TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2017/18

Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posmatra se telo koje vr²i sferno kretanje Neka je telo izvr²ilo kona an broj sukcesivnih elementarnih rotacija oko ta ke A ž θ 1, ž θ 2, ž θ 3,... Posmatra se proizvoljna ta ka tela P sa vektorom poloºaja ρ Traºi se UKUPNO elementarno pomeranje koje je rezultat superpozicije kona nog broja elementarnih rotacija

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle prve elemetarne rotacije ž θ 1 elementarno pomeranje ta ke je dato sa d ρ 1 = ž θ 1 ρ Vektor poloºaja ta ke je tada dat sa: ρ 1 = ρ + d ρ 1 = ρ + ž θ 1 ρ (1)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle druge elemetarne rotacije ž θ 2 elementarno pomeranje ta ke je dato sa d ρ 2 = ž θ 2 ρ 1 Vektor novog poloºaja ta ke je tada dat sa: Unose i (1) u (2) dobija se ρ 2 = ρ 1 + d ρ 2 = ρ 1 + ž θ 2 ρ 1 (2) ρ 2 = ρ + ž θ 1 ρ + ž θ 2 ( ρ + ž θ 1 ρ) odnosno, posle sreživanja ρ 2 = ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) (3)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle tre e elemetarne rotacije ž θ 3 elementarno pomeranje ta ke je dato sa d ρ 3 = ž θ 3 ρ 2 Vektor novog poloºaja ta ke je tada dat sa: Unose i iz (3) ρ 2 dobija se ρ 3 = ρ 2 + d ρ 3 ρ 3 = ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) + ž θ 3 [ ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ)] (4)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Sreživanjem izraza (4) se dobija ρ 3 = ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) + ž θ 3 (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 3 ž θ 2 (ž θ 1 ρ) (5)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle svake od elementarnih rotacija prira²taj vektora poloºaja ρ je dat sa ρ 1 ρ = ž θ 1 ρ ρ 2 ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) ρ 3 ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) + ž θ 3 (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 3 ž θ 2 (ž θ 1 ρ) (6)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle tri uzastopne elementarne rotacije ukupno elementarno pomeranje ta ke P je dato sa P P = d ρ = ρ 3 ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 ) ρ + male veli ine 2. i vi²eg reda (7) Zanemaruju i male veli ine 2. i vi²eg reda, dobija se, indukcijom, za proizvoljan kona an broj ž θ i : d ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 + ) ρ = n žθ i ρ (8) i=1

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Ako se izraz (8) napi²e u obliku d ρ = ž θ ρ onda je vektor ž θ dat kao vektorski zbir uzastopnih elementarnih rotacija: ž θ = ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 + (9) Vaºi komutativnost u superpoziciji elementarnih rotacija

Sabiranje KONAƒNIH rotacija Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Posmatra se veza izmežu vektora elementarne rotacije ž θ i elementarne promene Ojlerovih uglova dψ, dϑ i dϕ Trenutna osa rotacije je prava oko koje se telo obr e u trenutku t, a takože i kao materijalna prava linija u telu duº koje su u tom trenutku brzine ta aka jednake nuli Vektor elementarne rotacije ž θ je denisan kao vektor koji ima pravac trenutne ose rotacije Vektor ž θ moºe da se razlaºe (kao i svaki vektor) na izabrane koordinatne ose: sistem xyz ili sistem ξηζ ž θ = žθ x ı + žθ y j + žθ z k ž θ = žθ ξ λ + žθ η µ + žθ ζ ν

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Imaju i u vidu sabiranje elementarnih rotacija, PROIZVOLJAN vektor elementarne rotacije ž θ moºe da se prikaºe kao vektorski zbir tri elementarne rotacije koje odgovaraju elementarnim prira²tajima Ojlerovih uglova: ž θ = d ψ + d ϑ + d ϕ = dψ k + dϑ n + dϕ ν (10) Relacija (10) se podeli sa dt, pa se dobija veza izmežu vektora ugaone brzine i Ojlerovih uglova: ω = ψ k + ϑ n + ϕ ν (11)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Imaju i u vidu deniciju Ojlerovih uglova, kao i relacije izmežu jedini nih vektora u fazama tri kona ne rotacije za uglove ψ, ϑ i ϕ, kao i veze izmežu elemenata matrice rotacije i Ojlerovih ugolva, vektor elementarne rotacije (10) moºe da se prikaºe u sistemu inercijalnih osa xyz kao: ž θ = ı(dϑ cos ψ + dϕ sin ψ sin ϑ) + j(dϑ sin ψ dϕ cos ψ sin ϑ) + k(dψ + dϕ cos ϑ) (12)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije u sistemu xyz su žθ x = dϑ cos ψ + dϕ sin ψ sin ϑ žθ y = dϑ sin ψ dϕ cos ψ sin ϑ žθ z = dψ + dϕ cos ϑ (13) Koordinate vektora ugaone brzine u sistemu xyz su onda date sa ω x = ϑ cos ψ + ϕ sin ψ sin ϑ ω y = ϑ sin ψ ϕ cos ψ sin ϑ ω z = ψ + ϕ cos ϑ (14)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Na sli an na in, vektor elementarne rotacije (10) moºe da se prikaºe u sistemu materijalnih osa ξηζ kao: ž θ = λ(dψ sin ϕ sin ϑ + dϑ cos ϕ) + µ(dψ cos ϕ sin ϑ dϑ sin ϕ) + ν(dψ cos ϑ + dϕ) (15)

Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije u sistemu ξηζ su žθ ξ = dψ sin ϕ sin ϑ + dϑ cos ϕ žθ η = dψ cos ϕ sin ϑ dϑ sin ϕ žθ ζ = dψ cos ϑ + dϕ (16) Takože, koordinate vektora ugaone brzine u sistemu ξηζ su date sa ω ξ = p = ψ sin ϕ sin ϑ + ϑ cos ϕ ω η = q = ψ cos ϕ sin ϑ ϑ sin ϕ ω ζ = r = ψ cos ϑ + ϕ (17)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Denicija ravnog kretanja Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje tela pri kome sve ta ke tela vr²e kretanje paralelno jednoj istoj ravni i pri kome sve ta ke tela koje pripadaju istoj pravoj, normalnoj na ovu ravan, opisuju podudarne putanje, svaka u ravni kojoj pripada Alternativna denicija ravnog kretanja: Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje tela kod koga se tri ta ke tela stalno kre u u istoj ravni (A, B, C π)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Denicija ravnog kretanja Ako su tri proizvoljne ta ke tela A, B, C stalno u istoj ravni π tokom kretanja tela, onda telo moºe da se obr e SAMO oko ose upravne na tu ravan π Sve ta ke tela na normali na ravan π vr²e ISTO kretanje Da bi se pratilo kretanje tela koje vr²i ravno kretanje, dovoljno je da se posmatra kretanje preseka tela sa ravni π Umesto koordinate 3 ta ke (kao kod op²teg kretanja tela), dovoljno je da su poznate koordinate dve ta ke, A i B, koje se stalno kre u u ravni π Telo koje vr²i ravno kretanje ima TRI stepena slobode kretanja n = 3

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Broj stepeni slobode kretanja: n = 3 Posmatra se presek tela sa ravni kretanja π i usvajaju se inercijalni i materijalni sistem na slede i na in: Ose Oz i Aζ su stalno mežusobno paralelne Ravni Oxy i Aξη se poklapaju mežusobno i sa ravni kretanja π Ojlerovi uglovi su, prema tome, - z ζ ϑ = 0 - (x, ξ) = ψ + ϕ = θ Generalisane koordinate (za opisivanje poloºaja, odn. kretanja tela): q 1 = x A, q 2 = y A, q 3 = θ

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela Kona ne jedna ine ravnog kretanja krutog tela (n = 3) q 1 = x A (t) q 2 = y A (t) q 3 = θ(t) Kona ne jedna ine ta ke tela koje vr²i ravno kretanje r = r A + ρ

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela Vektori r A i ρ su, za ravansko kretanje, dati sa r A = x A ı + y A j ρ = ξ λ + η µ Relacije izmežu jedini nih vektora su date sa λ = ı cos θ + j sin θ µ = ı sin θ + j cos θ (18)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela Izraºavanjem λ i µ preko ı i j, posle sreživanja se dobijaju kona ne jedna ine kretanja ta ke tela koje vr²i ravno kretanje ili u matri nom obliku x y z = x = x A + ξ cos θ η sin θ y = y A + ξ sin θ + η cos θ x A y A z A + cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 T ξ η ζ

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema alova teorema (specijalan slu aj Dalamberove teoreme): Svako kona no pomeranje pri ravnom kretanju moºe da se predstavi kao kona na rotacija oko odrežene ose na ravan kretanja Presek ose ekvivalentne rotacije i ravni kretanja je centar kona ne rotacije Ravno kretanje moºe da se shvati i kao grani ni slu aj sfernog kretanja kada je nepokretna ta ka u (radijus sfere je veliki) Ose ekvivalentne rotacije su mežusobno

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Posmatra se duº AB, kao reprezent ravnog kretanja tela U trenutku t 1 duº (odn. telo) je u poloºaju (I), AB, a u trenutku t 2 duº je u nekom kona no udaljenom poloºaju (II), A B Bez obzira kakvo je stvarno kretanje iz poloºaja (I) u poloºaj (II), to kretanje moºe da se prikaºe kao jedna kona na rotacija oko neke ta ke C (odn. oko ose upravno na ravan kretanja u ta ki C)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Ta ka A se spoji linijom sa ta kom A, a ta ka B se spoji linijom sa ta kom B Ta ka M je na sredini duºi AA, dok je ta ka N na sredini duºi BB Iz ta ke M se povu e osa simetrije za duº AA, a iz ta ke N osa simetrije na duº BB Presek te dve ose simetrije je ta ka C - centar kona ne rotacije tela (odn. duºi AB)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) alova teorema (centar kona ne rotacije)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Uo avaju se dva trougla ABC i A B C Ova dva trougla su podudarna, jer su im sve tri stranice iste: - AC = A C... kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije - BC = B C... kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije - AB = A B... pretpostavka o krutom telu Prema tome, i uglovi izmežu odgovaraju ih stranica su isti: ACB = A CB (19)

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Relaciji (19) se doda isti ugao: ACB + BCA = BCA + A CB Posle sabiranja uglova, dobija se jednakost uglova ACA = BCB (20) Relacija (20) zna i da su ta ke A i B, pri datom kona nom pomeranju tela koje vr²i ravno kretanje, dospele u kona an poloºaj posle obrtanja za isti kona an ugao oko zajedni kog centra C

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - trenutni centar rotacije Centar kona ne rotacije se odnosi na proizvoljan kona an interval vremena t Trenutni centar rotacije je grani ni poloºaj centra kona ne rotacije za t dt 0 Presek trenutne ose rotacije i ravni kretanja je trenutni centar rotacije. To je ona ta ka u ravni kretanja oko koje se presek tela u ravni kretanja obr e u posmatranom trenutku, ili ona ta ka tela ija je brzina, u posmatranom trenutku, jednaka nuli

Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Ravno kretanje moºe da se posmatra kao sukcesivan niz mnogo elementarnih rotacija oko trenutnih centara rotacije Ose upravno na ravan kretanja u trenutnom centru su trenutne ose rotacije Sve trenutne ose rotacije su mežusobno, odn. upravne na ravan kretanja U tom smislu, ravno kretanje moºe da se posmatra i kao sferno kretanje, pri emu je nepokretna ta ka u beskona nosti na pravcu upravno na ravan kretanja Geometrijsko mesto svih trenutnih osa rotacije kod ravnog kretanja je cilindri na povr², a ne konus, kao kod "pravog" sfernog kretanja

- brzina i ubrzanje Ugaona brzina pri ravnom kretanju krutog tela je uvek na ravan kretanja π ω = ω k = ω ν gde je ω(t) = θ(t) Vektor ugaone brzine je izvod ugla θ po vremenu Brzina proizvoljne ta ke tela koje vr²i op²te kretanje, pa prema tome i ravno kretanje, je data sa Ojlerovom relacijom v = v A + ω ρ (21)

- brzina i ubrzanje U slu aju ravnog kretanja ω je uvek π, dok je ρ uvek u ravni π: ρ π Skalarni proizvod ω ρ se dobija u obliku λ µ ν ω ρ = 0 0 ω ξ η 0 = ωη λ + ωξ µ Relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu na sistem xy, kao ẋ = ẋ A ω(ξ sin θ + η cos θ) ẏ = ẏ A + ω(ξ cos θ η sin θ) (22)

- brzina i ubrzanje Imaju i u vidu relacije (18) izmežu jedini nih vektora, λ = ı cos θ + j sin θ µ = ı sin θ + j cos θ (23) inverzne relacije su date sa ı = λ cos θ µ sin θ j = λ sin θ + µ cos θ (24)

- brzina i ubrzanje Prema tome, brzina referentne ta ke A: v A = ẋ A ı + ẏ A j se dobija, posle sreživanja, kao v A = (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) λ + ( ẋ A sin θ + ẏ A cos θ) µ Sa ovim, relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu na sistem ξη, kao v ξ = ẋ A cos θ + ẏ A sin θ ωη v η = ẋ A sin θ + ẏ A cos θ + ωξ (25) v ξ i v η sa KVAZIBRZINE - NISU izvodi po vremenu nekih koordinata

- brzina i ubrzanje Ugaono ubrzanje pri ravnom kretanju krutog tela ε = ε k = ε ν gde je ε = ω(t) = θ(t) Ugaono ubrzanje kod ravanskog kretanja je 2. izvod po vremenu ugla obrtanja θ: ε = θ Ubrzanje proizvoljne ta ke tela koje vr²i op²te kretanje je dato sa relacijom a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ)

- brzina i ubrzanje Kako je, kod ravanskog kretanja uvek ρ ω, to se dvostruki vektorski proizvod svodi na ω ( ω ρ) = ω( ω ρ) ω 2 ρ = ω 2 ρ Prema tome, ubrzanje ta ke tela koje vr²i ravansko kretanje je dato sa a = a A + ε ρ ω 2 ρ - ubrzanje referentne ta ke: a A - tangencijalno ubrzanje: ε ρ - normalno ubrzanje: ω 2 ρ (usmereno ka referentnoj ta ki A)

Skalarni oblik ubrzanja ta ke kod ravanskog kretanja u sistemu inercijalnih osa xy a x = ẍ = ẍ A ε(ξ sin θ + η cos θ) ω 2 (ξ cos θ η sin θ) a y = ÿ = ÿ A + ε(ξ cos θ η sin θ) ω 2 (ξ sin θ + η cos θ) u sistemu materijalnih osa ξη a ξ = ẍ A cos θ + ÿ A sin θ εη ω 2 ξ a η = ẍ A sin θ + ÿ A cos θ + εξ ω 2 η

- trenutni centar rotacije Trenutni centar rotacije je ona ta ka u ravni kretanja oko koje se obr e presek tela sa ravni kretanja u tom trenutku Trenutni centar rotacije je ona ta ka tela ija je brzina u tom trenutku jednaka nuli Trenutni centar rotacije je ta ka S(x S, y S ) ili S(ξ S, η S ) Uslov za odreživanje ta ke S je v S = 0, odnosno, v S = v A + ω ρ S = 0 (26)

- trenutni centar rotacije Uslovna jedna ina (26) se transformi²e v S = v A + ω ρ S = 0 / ω Dobija se ω v A + ω ( ω ρ S ) = 0 odnosno, razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda, ω v A + ω( ω ρ S ) ω 2 ρ S = 0

- trenutni centar rotacije Kako je ω ρ S = 0, zbog ortogonalnosti vektora, to se dobija re²enje za vektor poloºaja ta ke S u odnosu na referentnu ta ku A: ρ S = ω v A ω 2 Vektor poloºaja trenutnog centra rotacije u osnosu na ta ku O je dat sa r S = r A + ρ S = r A + ω v A ω 2

- trenutni centar rotacije Vektorski proizvod ω v A, izraºen u sistemu xyz, iznosi ı j k ω v A = 0 0 ω ẋ A ẏ A 0 = ω ẏ A ı + ω ẋ A j Vektor poloºaja u odnosu na nepokretnu ta ku O, r S = r A + ρ S, dobija se, razlaganjem na prostorne koordinate xy, kao: x S = x A 1 ω ẏa y S = y A + 1 ω ẋa (27)

- trenutni centar rotacije Posmatra se poloºaj trenutnog centra rotacije u materijalnom sistemu ξη Uslov za odreživanje ta ke S je v S = 0, odnosno v S = v A + ω ρ S = 0 (28) Vektor brzine referentne ta ke A u sistemu ξη je dat sa v A = (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) λ + ( ẋ A sin θ + ẏ A cos θ) µ

- trenutni centar rotacije Skalarni proizvod ω ρ S se dobija u obliku λ µ ν ω ρ = 0 0 ω ξ S η S 0 = ω η S λ + ω ξ S µ Uslovna jedna ina (28) se projektuje na ose materijalnog sistema λ v S = v A + ω ρ S = 0 / µ pri emu se brzina v A posmatra u sistemu ξη

- trenutni centar rotacije Dobija se: ẋ A cos θ + ẏ A sin θ ω η S = 0 ẋ A sin θ + ẏ A cos θ + ω ξ S = 0 Re²avanjem se dobijaju materijalne koordinate trenutnog centra rotacije: ξ S = 1 ω (ẋ A sin θ ẏ A cos θ) η S = 1 ω (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) (29)

- baza i ruleta Trenutni centar rotacije u sistemu inercijalnih koordinata: x S = x A 1 ω ẏa (30) y S = y A + 1 ω ẋa Trenutni centar rotacije u sistemu materijalnih koordinata: ξ S = 1 ω (ẋ A sin θ ẏ A cos θ) η S = 1 ω (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) (31)

- baza i ruleta Jedna ine (30) su parametarske jedna ine (vreme t je parametar) krive linije u sistemu inercijalnih osa Oxy Jedna ine (31) su parametarske jedna ine (vreme t je parametar) krive linije u sistemu materijalnih osa Aξη Geometrijsko mesto ta aka (30) u sistemu nepokretnih osa se zove NEPOKRETNA CENTROIDA ili BAZA (kriva linija u ravni Oxy) Geometrijsko mesto ta aka (31) u sistemu pokretnih osa se zove POKRETNA CENTROIDA ili RULETA (kriva linija u ravni Aξη)

- baza i ruleta Baza je geometrijsko mesto ta aka (izraºeno u sistemu Oxy) oko kojih se telo obrtalo tokom ravanskog kretanja Baza je geometrijsko mesto ta aka u prostoru Oxy koje pretstavljaju trenutne centre rotacije Ruleta je kriva linija u telu koja predstavlja geometrijsko mesto ta ka u kojima je, u pojedinim trenucima vremena, brzina bila jednaka nuli Ruleta se pomera u odnosu na Oxy ravan i pri tome se u svakom trenutku vremena po jedna ta ka rulete POKLAPA sa po jednom ta kom baze (to je trenutni centar rotacije u tom trenutku)

- baza i ruleta Izmežu baze i rulete postoje slede i odnosi: - U zajedni koj ta ki (u trenutnom centru rotacije u tom trenutku) baza i ruleta imaju zajedni ku tangentu (dodir prvog reda) - Brzine kojima se trenutni centar pomera po jednoj i po drugoj krivoj su mežusobno jednake - Ruleta se kotrlja po bazi bez klizanja

- trenutni centar rotacije Kada se poznaje poloºaj trenutnog centra rotacije S, onda moºe da se ta ka S usvoji za novu referentnu ta ku U tom slu aju je brzina referentne ta ke jednaka nuli: v S = 0, pa je brzina bilo koje ta ke tela P, koje vr²i ravansko kretanje, data sa v = ω ρ (32) gde se podrazumeva da se ρ meri od nove referentne ta ke ρ = SP

- trenutni centar rotacije Imaju i u vidu relaciju (32), odnosno izraz za brzinu v = ω ρ, moºe da se zaklju i slede e 1 Vektor brzine svake ta ke tela je upravan na pravac potega povu enog iz trenutnog centra rotacije ka toj ta ki 2 Intenzitet brzine ta ke je proporcionalan sa rastojanjem ta ke od trenutnog centra rotacije 3 Smer brzine ta ke zavisi od smera ugaone brzine

- trenutni centar rotacije se obi no odrežuje direktno, iz zadatih uslova kretanja i postoje ih veza, a ne izra unavanjem relacija (27) ili (29) Pravac brzine ta ke je upravan na liniju koja spaja ta ku sa trenuntim centrom rotacije Prema tome, ako je poznat pravac brzina dve razli ite ta ke tela, trenutni centar rotacije se nalazi na preseku normala na pravce brzina te dve ta ke Ako je telo koje vr²i ravansko kretanje u nekoj ta ki vezano nepokretnim osloncem, onda je ta ta ka trenutni centar rotacije (odn. telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose koja je upravna na ravan kretanja, a nalazi se u toj ta ki, odn. u nepokretnom osloncu)

- Teorema o tri centra Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijeva teorema): Ako su dve plo e koje vr²e ravno kretanje mežusobno zglobno povezane, onda se trenutni centri rotacija plo a i mežuzglob nalaze na jednoj liniji Posmatraju se dve krute plo e, (1) i (2), koje se kre u u ravni Oxy, pri emu su plo e mežusobno zglobno vezane u ta ki C Pretpostavlja se da su poznati trenutni centri rotacija plo a: ozna eni, redom, sa S 1 i S 2

Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijeva teorema)

- Teorema o tri centra Posmatra se plo a (1) i neka je ρ 1 vektor poloºaja zajedni ke ta ke C u odnosu na S 1 Ako je ω 1 vektor ugaone brzine plo e (1), onda je vektor brzine ta ke C, posmatrane kao deo tela (1), dat sa v C1 = ω 1 ρ 1 Sli no, ako je ω 2 vektor ugaone brzine tela (2), a ρ 2 vektor poloºaja ta ke C u odnosu na S 2, onda je brzina ta ke C, posmatrane kao deo tela (2), data sa v C2 = ω 2 ρ 2

- Teorema o tri centra Ta ka C je zajedni ka za obe plo e, pa brzina ta ke C mora da bude jedinstvena, odn., mora da bude v C1 = v C2 t.j. ω 1 ρ 1 = ω 2 ρ 2 (33) Vektori ugaonih brzina kod ravanskog kretanja moraju da budu upravni na ravan kretanja, tako da je ω 1 = ω 1 k ω2 = ω 2 k Znak ugaone brzine tela (1) je negativan zbog prikazanog pretpostavljenog smera obrtanja (u smeru kazaljke na satu)

- Teorema o tri centra Unose i ugaone brzine u relaciju (33) dobija se ω 1 k ρ1 = ω 2 k ρ2 odnosno k (ω 1 ρ 1 +ω 2 ρ 2 ) = 0 (34) Vektorski proizvod (34) e da bude jednak nuli, samo ukoliko je izraz u zagradi jednak nuli: ω 1 ρ 1 + ω 2 ρ 2 = 0 odnosno ρ 1 = ω 2 ω 1 ρ 2 (35) Relacija (34) zna i da su vektori ρ 1 i ρ 2 mežusobno kolinearni, odnosno da se ta ke S 1, C = S 12 i S 2 nalaze na jednom pravcu

tela koje vr²i ravansko kretanje je ona ta ka tela u kojoj je, u posmatranom trenutku, ubrzanje jednako nuli koje vr²i ravansko kretanje je dato sa a = a A + ε ρ ω 2 ρ Ako je ta ka C trenutni centar ubrzanja, onda je a C = 0

Relacija a C = 0 se mnoºi sa leve strane vektorski sa ε, a zatim i sa ω 2 : a C = a A + ε ρ C ω 2 ρ C = 0 / ε ω 2 Dobija se: ε a A + ε ( ε ρ C ) ω 2 ( ε ρ C ) = 0 ω 2 a A + ω 2 ( ε ρ C ) ω 4 ρ C = 0 (36) Sabiranjem jedna ina (36) se dobija ε a A + ε ( ε ρ C ) + ω 2 a A ω 4 ρ C = 0 (37)

Dvostruki vektorski proizvod u (37) se razvije ε ( ε ρ C ) = ε ( ε ρ C ) ε 2 ρ C = ε 2 ρ C jer su vektori ε i ρ C mežusobno ortogonalni Sa ovim, relacija (37) postaje ε a A ε 2 ρ C + ω 2 a A ω 4 ρ C = 0 (38) odakle se direktno dobija vektor poloºaja ta ke C: ρ C = ω2 a A + ε a A ω 4 + ε 2 (39)

Relacijom (39) je odrežen poloºaj trenutnog centra ubrzanja u odnosu na referentnu ta ku A Sa odreženim poloºajem trenutnog centra ubrzanja C, ta ka C se usvaja za novu referentnu ta ku U tom slu aju je ubrzanje bilo koje druge ta ke tela P dato sa a P = ε ρ P ω 2 ρ P gde je ρ P vektor poloºaja ta ke P u odnosu na ta ku C: ρ P = CP Ukupno ubrzanje se tada sastoji SAMO iz tangencijalnog i normalnog ubrzanja u odnosu na trenutni centar ubrzanja

Ravno kretanje - primer U prikazanom poloºaju klipnog mehanizma koji se kre e u ravni xy poznati su brzina i ubrzanje klipa A. Odrediti brzinu i ubrzanje ta ke B

Ravno kretanje primer: re²enja Mehanizam se sastoji iz dva tela. Telo (1) zaklapa 30 0 sa osom x, a telo (2) je u pravcu ose y Trenutni centar rotacije tela (2) je u osloncu C, a trenutni centar tela (1) je u u pravcu ose y Prema tome, telo (1) vr²i trenutno translatorno kretanje Sve ta ke tela (1), pa i ta ka B, imaju istu brzinu: v B = v A Ugaona brzina tela (2) je, prema tome ω 2 = v B R = v A R

Re²enja: Brzine

Ravno kretanje primer: re²enja Ta ka B je zajedni ka za oba ²tapa. Imaju i u vidu da je za ²tap (1) poznato ubrzanje ta ke A, onda je to referentna ta ka za telo (1) i ubrzanje ta ke B, posmatrane kao ta ka tela (1), je dato sa a B1 = a A + ε 1 ρ BA (40) U relaciji (40) je uzeto u obzir da je ugaona brzina tela (1) jednaka nuli, a pretpostavljen je smer ugaonog ubrzanja u smeru kazaljke na satu Ako se ta ka B posmatra kao deo tela (2), onda je ubrzanje ta ke B dato sa a B2 = ε 2 ρ BC ω 2 2 ρ BC (41)

Ravno kretanjea primer: re²enja Za telo (2) je ta ka C referentna ta ka (jer je to nepokretna ta ka) i ubrzanje je nula Takože je pretpostavljen smer ugaonog ubrzanja tela (2) ε 2 : suprotno od kazaljke na satu (kao i stvaran smer ω 2 ) Ta ka B je zajedni ka ta ka za oba tela, tako da mora da bude a B1 = a B2 (42) Uno²enjem relacija (40) i (41) u jedn. (42), dobija se a A + ε 1 ρ BA = ε 2 ρ BC ω 2 2 ρ BC (43)

Re²enj: Ubrzanja Ubrzanje ta ke B se posmatra dvojako: kao ubrzanje ta ke koja pripada ²tapu AB kao ubrzanje ta ke koja pripada ²tapu CB

Ravno kretanje Test broj 2: re²enja Projektovanjem jedn. (43) na ose x i y se dobija a A + ε 1 2R sin 30 0 = ε 2 R ε 1 2R cos 30 0 = ω 2 2 R (44) Iz druge od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (1): ε 1 = v2 A R 2 3 3 (45) Kao ²to se vidi, ugaono ubrzanje ε 1 je pozitivno, ²to zna i da je stvaran smer kao ²to je pretpostavljen

Ravno kretanje primer: re²enja Iz prve od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (2): ε 2 = a A R + v2 A R 2 3 3 (46) Kao ²to se vidi, i ugaono ubrzanje ε 2 je pozitivno, ²to zna i da je stvaran smer kao ²to je pretpostavljen Komponente ubrzanja ta ke B (videti sliku sa ubrzanjima), posmatraju i ta ku B kao deo tela (2), su date sa a Bx = ε 2 R = a A v2 A R a By = ω 2 2 R = v2 A R 3 3

Ravno kretanje primer: re²enja Prema tome, vektor brzine ta ke B, izraºen u odnosu na sistem Cxy, dat je sa v B = v A ı Vektor ubrzanja ta ke B je dat sa a B = (a A + v2 A R 3 3 ) ı v2 A R j gde su v A i a A poznati pozitivni skalari