APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46
Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? Normirani linearni prostor funkcija definisanih na datom skupu A (npr. A može biti kompaktan interval [a,b], kružnica T, itd.) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? Normirani linearni prostor funkcija definisanih na datom skupu A (npr. A može biti kompaktan interval [a,b], kružnica T, itd.) X može biti prostor neprekidnih funkcija C[a,b], APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? Normirani linearni prostor funkcija definisanih na datom skupu A (npr. A može biti kompaktan interval [a,b], kružnica T, itd.) X može biti prostor neprekidnih funkcija C[a,b], prostor L p (a,b), ili neki drugi Banachov prostor. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
C[a,b]: f = max a x b f(t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] L (a,b): f = sup a x b f(t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] L (a,b): f = sup a x b f(t) Rastojanje izme du f i φ se meri sa f φ. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] L (a,b): f = sup a x b f(t) Rastojanje izme du f i φ se meri sa f φ. Rastojanje izme du f i podskupa Φ je E(f) = inf φ Φ f φ (greška najbolje aproksimacije) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! Najbolja aproksimacija nije uvek jedinstvena APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! Najbolja aproksimacija nije uvek jedinstvena U striktno normiranim prostorima najbolja aproksimacija je jednistvena! APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! Najbolja aproksimacija nije uvek jedinstvena U striktno normiranim prostorima najbolja aproksimacija je jednistvena! f + g = f + g f = αg (α R) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
Kako birati mali podskup Φ X? APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije eksponencijalne funkcije, itd. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije eksponencijalne funkcije, itd. Podskup Φ je skup svih linearnih kombinacija (lineal) konačnog broja (posebno odabranih) linearno nezavisnih elementa iz X. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije eksponencijalne funkcije, itd. Podskup Φ je skup svih linearnih kombinacija (lineal) konačnog broja (posebno odabranih) linearno nezavisnih elementa iz X. Tipični primeri Φ = P n ili Φ = T n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 dim P n = n + 1; Prirodni bazis {1,t,...,t n } APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 dim P n = n + 1; Prirodni bazis {1,t,...,t n } T n je skup svih trigonometrijskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = t n (t) = a 0 + (a k coskt+b k sinkt) (a k,b k R) k=0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 dim P n = n + 1; Prirodni bazis {1,t,...,t n } T n je skup svih trigonometrijskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = t n (t) = a 0 + (a k coskt+b k sinkt) (a k,b k R) k=0 dim T n = 2n + 1; Trigonometrijski bazis {1, cos t, sint,...,cos nt, sin nt} APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. 2 Svaki polinom p n P n (t n T n ) može se jedinstveno interpolirati u n + 1 (2n + 1) tačaka. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. 2 Svaki polinom p n P n (t n T n ) može se jedinstveno interpolirati u n + 1 (2n + 1) tačaka. Weierstrass (1885): APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. 2 Svaki polinom p n P n (t n T n ) može se jedinstveno interpolirati u n + 1 (2n + 1) tačaka. Weierstrass (1885): Teorema. Za svako f C[a,b] i svako ε > 0 postoji algebarski polinom p takav da da je f(t) p(t) < ε (a t b). APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
1.0 0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 f(t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.8/46
1.0 0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 f(t), f(x) ε, f(x) + ε APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.9/46
1.0 0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 f(t), f(x) ε, f(x) + ε, p 1 (t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.10/46
1.0 0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 f(t), f(x) ε, f(x) + ε, p 2 (t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.11/46
1.0 0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 f(t), f(x) ε, f(x) + ε, p 1 (t), p 2 (t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.12/46
Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi Neka je E n (f) = min p P n f p [a,b]. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi Neka je Tada je E n (f) = min p P n f p [a,b]. lim n E n(f) = 0, f C[a,b]. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi Neka je Tada je E n (f) = min p P n f p [a,b]. lim n E n(f) = 0, f C[a,b]. Skup polinoma je svuda gust u C[a,b]. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
Interpolacija? Konstrukcija novih podataka u opsegu datih podataka APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.14/46
Interpolacija? Konstrukcija novih podataka u opsegu datih podataka čitanje izme du redova APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.14/46
Interpolacija? Konstrukcija novih podataka u opsegu datih podataka čitanje izme du redova Analitički izraz konstruktivni elementi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.14/46
APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.15/46
Podaci APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.16/46
Deo-po-deo konstanta (Splajn nultog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.17/46
Deo-po-deo konstanta (Splajn nultog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.17/46
Linearna interpolacija (Splajn prvog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.18/46
Linearna interpolacija (Splajn prvog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.18/46
Polinomska interpolacija APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.19/46
Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = 1 1 + (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = 1 1 + (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = 1 1 + (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n Ekvidistantni čvorovi: x k = 1 + 2(k 1) n 1 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = 1 1 + (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n 2(k 1) Ekvidistantni čvorovi: x k = 1 + n 1 (2k 1)π Čebiševljevi čvorovi: x k = cos 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = 1 1 + (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n 2(k 1) Ekvidistantni čvorovi: x k = 1 + n 1 (2k 1)π Čebiševljevi čvorovi: x k = cos 2n Nule Čebiševljevih polinoma T n (x) = cos(n arccos x), 1 x 1 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
Interpolacija (Runge-ov primer) y = f(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.21/46
n = 3 1.0 x k = 1 + 2(k 1) n 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.22/46
n = 5 1.0 x k = 1 + 2(k 1) n 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.23/46
n = 9 1.0 x k = 1 + 2(k 1) n 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.24/46
n = 17 1.0 x k = 1 + 2(k 1) n 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.25/46
n = 33 1.0 0.8 x k = 1 + 2(k 1) n 1 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.26/46
n = 65 1.0 0.8 x k = 1 + 2(k 1) n 1 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.27/46
n = 129 1.0 0.8 x k = 1 + 2(k 1) n 1 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.28/46
y = f(x) 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.29/46
y = f(x) 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 Interpolacioni polinom za n = 3, 5, 9, 17 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.29/46
n = 3 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.30/46
n = 5 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.31/46
n = 9 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.32/46
n = 17 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.33/46
n = 17 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 divergencija konvergencija divergencija APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.33/46
y = f(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.34/46
n = 3 1.0 x k = cos (2k 1)π 2n 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.35/46
n = 5 1.0 x k = cos (2k 1)π 2n 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.36/46
n = 9 1.0 x k = cos (2k 1)π 2n 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.37/46
n = 17 1.0 x k = cos (2k 1)π 2n 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.38/46
n = 33 1.0 x k = cos (2k 1)π 2n 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.39/46
n = 65 1.0 x k = cos (2k 1)π 2n 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.40/46
n = 129 1.0 x k = cos (2k 1)π 2n 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.41/46
n = 3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.42/46
n = 5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.43/46
n = 9 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.44/46
n = 17 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.45/46
n = 33 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.46/46
n = 33 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.47/46
n = 33 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 0.2 Konvergencija za svako x [ 1, 1] APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.47/46