UVOD U TEORIJU MODELA

UVOD U TEORIJU MODELA Predrag Tanovi April 5, 2017 1 Strukture prvog reda 2 1.1 Strukture...................................... 2 1.2 Formule, zadovoǉivost.............................. 5 1.3 Parametri...................................... 6 1.4 Definabilni skupovi............................... 7 1.5 Teorije........................................ 10 1.6 Podstrukture i utapaǌa............................. 12 1.7 Izomorfizmi i automorfizmi.......................... 14 2 Kompaktnost 17 2.1 Kanonski model generisan konstantama..................... 17 2.2 Teorema kompaktnosti............................... 21 2.3 Ekvivalent kompaktnosti............................. 23 2.4 Potpune teorije................................... 24 1

1. Strukture prvog reda 1.1 Strukture U matematici pod pojmom strukture podrazumevamo skup M na kome su definisane određene relacije i funkcije, i posebno izdvojeni određeni elementi. Na primer, pod pojmom uređenog poǉa realnih brojeva podrazumevamo strukturu (R, +,,, 0, 1) koju qine skup realnih brojeva sa izdvojenim operacijam sabiraǌa i mnoжeǌa, relacijom uređeǌa i posebno izdvojenim realnim brojevima (konstantama) 0 i 1. Znaqajne strukture u matematici su i parcijalna uređeǌa, grafovi, grupe, prsteni, poǉa, vektorski prostori,... Osobine struktura koje nas interesuju izraжavamo formulama. Da bismo gradili formule, koje su nizovi određenih simbola, prvo biramo simbole koji predstavǉaju imena operacija, relacija i konstanti strukture: Signatura L se sastoji od slede ih, međusobno disjunktnih delova: Skupa funkcijskih simbola F, pri qemu za svaki simbol f F imamo zadat prirodan broj n f (koji predstavǉa duжinu, ili arnost, operacije koju predstavǉa simbol f); Skupa relacijskih simbola R; za svaki R R imamo zadat prirodan broj n R (koji predstavǉa duжinu, ili arnost, operacija koju oznaqava) Skupa simbola konstanti C. Struktura signature L (L-struktura, ili model signature L), je struktura M = (M, f M, R M, c M ) f F,R R,c C pri qemu: Skup M je neprazan i naziva se domen ili nosaq strukture; f M : M n f M funkcija (operacija) na skupu M duжine nf N za f F; R M M n R relacija duжine n R N za R R; c M M za c C. Jezik signature L je skup svih simbola potrebnih za građeǌe formula. Saqiǌavaju ga simboli signature L kao i: Simboli logiqkih veznika: Simboli kvantifikatora Simbol jednakosti 2

Simboli leve i desne zagrade i zapeta: ( ), Prebrojiv skup promenǉivih: v 0 v 1 v 2.... Izraz ili term signature L je qlan najmaǌeg skupa reqi (nizova simbola) jezika koji zadovoǉava: Svaka promenǉiva i simbol konstante je izraz; Ako f F i t 1,..., t nf su izrazi, tada je i f(t 1,..., t nf ) izraz. Sloжenost izraza definixemo kao broj (raqunaju i vixestrukost) funkcijskih znakova koji uqestvuju u ǌegovom građeǌu. Zatvoreni izrazi su oni u qijem građeǌu ne uqestvuju promenǉive. Ako je f binarni funkcijski znak, onda izraz f(t 1, t 2 ) zapisujemo i kao (t 1 f t 2 ). Tako umesto (v 1, +(v 2, v 3 )) pixemo (v 1 (v 2 + v 3 )). Dodatno uprox avaǌe zapisa ovog izraza je primena tzv. konvencije o brisaǌu spoǉnih zagrada izraza, kojom dobijamo uobiqajeni zapis v 1 (v 2 + v 3 ). Valuacija u modelu M je preslikavaǌe skupa promenǉivih u domen modela M. Valuaciju tumaqimo kao dodeǉivaǌe konkretnih vrednosti simbolima promenǉivih. Za svaku valuaciju ν definixemo vrednost izraza pri toj valuaciji: t M [ν] = ν(v i ) ako je t promenǉiva v i. t M [ν] = c M ako je t simbol konstante c C. t M [ν] = f M (t M 1 [ν],..., t M n f [ν]) ako je t oblika f(t 1,..., t nf ). Primetimo da je t M [ν] konkretan element domena M pa, ukoliko ν identifikujemo sa nizom (ν(v 0 ), ν(v 1 ),...) tada t M moжemo identifikovati sa funkcijom t M : M ω M. Iz definicije sledi da vrednost t M [ν] zavisi iskǉuqivo od vrednosti valuacija promenǉivih koje uqestvuju u građeǌu izraza t. Zato uvodimo slede u konvenciju. Konvencija 1.1.1. Promenǉive emo oznaqavati simbolima x, y, z, x 1,..., tako da svaki od tih simbola moжe oznaqavati bilo koju promenǉivu v i. 2. Ako je t izraz, tada nizom simbola t(x 1,..., x n ) oznaqavamo qiǌenicu da su jedine promenǉive koje uqestvuju u građeǌu izraza t neke od x 1,..., x n (ali moжda ne sve); mi emo i ovakve reqi smatrati izrazima. Tako imamo da jednom istom izrazu odgovara vixe ovakvih novih izraza; ako je t izraz v 1 + v 2, tada ga zapisujemo i kao t i kao t(v 1, v 2 ), t(v 1, v 2, v 5 ), t(v 1, v 2, v 3, v 9 ),..., ali nikada kao t(v 1 ), t(v 2 ), t(v 1, v 7 ), t(v 2, v 3 )... 3. Oznakom ū oznaqavamo neki konaqan niz (u 1,..., u n ), tj. n-torku, elemenata nekog skupa X. Broj n je duжina tog niza i oznaqava se sa ū. Ukoliko duжina niza nije vaжna u nekom kontekstu, koristi se i kra a (formalno nepravilna) oznaka ū X umesto ū X ū ). Ako je t(x 1,..., x n ) izraz i ā = (a 1,..., a n ) M n n-torka elemenata domena strukture M, tada sa t M (ā) oznaqavamo element t M [ν] domena, pri qemu je ν ma koja valuacija za koju vaжi ν(x i ) = a i (1 i n). Reinterpretacijom definicije vrednosti izraza pri valuaciji ν zakǉuqujemo da za izraz t(x 1,..., x n ) i ā = (a 1,..., a n ) M n vaжi: t M (ā) = a i ako je t promenǉiva x i. 3

t M (ā) = c M ako je t simbol konstante c C. t M (ā) = f M (t M 1 (ā),..., t M n f (ā)) ako je t( x) oblika f(t 1 ( x),..., t nf ( x)). Neformalno govore i, t M (ā) izraqunavamo tako xto u izrazu t svako pojavǉivaǌe promenǉive x i zamenimo elementom a i, simbol konstante c zamenimo sa c M i potom izraqunavaǌe vrximo koriste i funkcije f M umesto simbola f. Posebno, ako je t zatvoren term tada vrednost t M [ν] ne zavisi od valucije ν, tj. t M je konstantna funkcija qiju vrednost takođe oznaqavamo sa t M. Neka je x = (x 1,..., x n ) i neka su t( x), t 1,..., t n izrazi. t(t 1,..., t n ) je izraz koji dobijamo zamenom svakog pojavǉivaǌa promenǉive x i u formiraǌu izraza t izrazom t i. Naredno tvrđeǌe formalizuje prethodni neformalni opis izraqunavaǌa vrednosti izraza. Dokazuje se indukcijom po sloжenosti izraza. Lema 1.1.2. Ako je x = (x 1,..., x m ), t 1 ( x), t 2 ( x),..., t n ( x) izrazi i s( x) je izraz oblika t(t 1,..., t n ), tada u svakoj L-strukturi M vaжi: s M (ā) = t M (t M 1 (ā),..., t M n (ā)). Atomske formule signature L su nizovi simbola oblika: (t 1 t 2 ) gde su t 1, t 2 izrazi; ili R(t 1,..., t nr ) gde su t 1,..., t nr izrazi i R relacijski znak duжine n R. Atomske formule oblika (t 1 t 2 ) u kojima se pojavǉuje bar jedna promenǉiva su jednaqine; npr. u jeziku teorije prstena {+,, 0, 1} formula x (1 + x) = x + (1 + 1). Atomske formule oblika R(t 1,..., t nr ) su, intuitivno, uopxtene nejednaqine; na primer, u jeziku uređenih prstena {+,,, 0, 1} takva je formula x (1 + x) x + (x + 1). Atomska formula je atomska reqenica ukoliko u ǌoj ne uqestvuje ni jedna promenǉiva. Ako je φ atomska formula i x = (x 1,..., x n ) niz promenǉivih, tada formulu φ oznaqavamo i sa φ( x) ukoliko su sve promenǉive koje uqestvuju u građeǌu formule φ neke od x 1,..., x n. Sliqno kao i u sluqaju izraza, sa φ(t 1,..., t n ) oznaqavamo atomsku formulu dobijenu iz atomske formule φ(x 1,..., x n ) zamenom svakog pojavǉivaǌa promenǉive x i termom t i. Relaciju zadovoǉeǌa atomske formule φ( x) na nizu elemenata ā domena strukture M, u oznaci M = φ[ā], određujemo na slede i naqin: M = (t 1 t 2 )[ā] ako i samo ako t M 1 (ā) = t M 2 (ā); M = R(t 1,..., t nr )[ā] ako i samo ako (t M 1 (ā),..., t M n R (ā)) R M. U ovoj definiciji za sluqaj atomske reqenice φ (bez istaknutih promenǉivih) podrazumevamo slede e: ako je oblika t 1 t 2, gde su t 1 i t 2 zatvoreni izraza, tada M = (t 1 t 2 ) vaжi ako i samo ako je t M 1 = t M 2 ; ovde je, u skladu sa ranijom konvencijom, t M i M element domena modela koji je vrednost odgovaraju e konstantne funkcije. Sliqno podrazumevamo i za atomske reqenice oblika R(t 1,..., t nr ). Dakle, zadovoǉeǌe atomske reqenice u modelu moжemo opisati na slede i naqin: Lema 1.1.3. Ako je φ(x 1,..., x n ) atomska formula, t 1,..., t n zatvoreni izrazi i M model signature L tada vaжi: M = φ(t 1,..., t n ) ako i samo ako M = φ[t M 1,..., t M n ]. 4

1.2 Formule, zadovoǉivost Formule logike prvog reda L ω,ω definixemo kao najmaǌi skup reqi (nizova simbola) jezika signature L koji zadovoǉava: Atomske formule signature su formule prvog reda. Ako su ϕ i ψ formule prvog reda i x promenǉiva, tada su i reqi ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ) x ϕ x ϕ formule prvog reda. Osim osnovnih logiqkih veznika koristi emo i ϕ ψ kao skra enicu za ϕ ψ, i ϕ ψ kao skra enicu za (ϕ ψ) (ψ ϕ). Sliqno se definixu i skra enice n i=1 φ i i n i=1 φ i. Sloжenost formule prvog reda je broj logiqkih veznika i kvantora, (raqunaju i i vixestrukost) koji se pojavǉuju u ǌoj. Formule sloжenosti 0 su atomske formule koje, podsetimo, intuitiivno predstavǉaju jednaqine i nejednakosti. Formule u kojime ne uqestvuju kvantifikatori, ili beskvantorne formule, intuitivno predstavǉaju sisteme jednaqina i nejednaqina. Za promenǉivu x koja se pojavǉuje u formuli ϕ kaжemo da je vezana promenǉiva u formuli ϕ ukoliko svako ǌeno pojavǉivaǌek dolazi pod dejstvo nekog kvantifikatora. U suprotnom kaжemo da je promenǉiva x slobodna u formuli ϕ. Mogu e je precizno definisati kada je koje pojavǉivaǌe promenǉive u formuli slobodno a kada vezano, jer ista promenǉiva u formuli moжe imati i slobodno i vezano pojavǉivaǌe: na primer, u formuli x(x x) (x x) promenǉiva x je slobodna, jer ǌeno javǉaǌe u potformuli sa desne strane nije pod dejstvom kvantora; prva dva pojavǉivaǌa promenǉive x su vezana, a druga dva slobodna. Ta definicija je tehniqki zahtevna i podugaqka, a nema preteranog znaqaja za izuqavaǌe osobina matematiqkih struktura, zato xto u primenama izbegavamo dvojno pojavǉivaǌe iste promenǉive pa umesto prethodne formule koristimo neku od logiqki ekvivalentnih joj, na primer y(y y) (x x). Definicija 1.2.1. Reqenice su formule bez slobodnih promenǉivih. Sliqno kao i u sluqaju izraza, formulama emo nazivati i reqi oblika ϕ(x 1,..., x n ), u kojima je ϕ formula qije su sve slobodne promenǉive među promenǉivim x 1,..., x n. Neka je M = M,... model signature L, ϕ( x) proizvoǉna formula prvog reda signature L i neka ā = (a 1,..., a n ) M n. Predikat Model M zadovoǉava formulu ϕ( x) pri valuaciji u kojoj x i a i, 1 i n, u oznaci M = ϕ[ā], definixemo rekurzivno po sloжenosti formule ϕ. Za sluqaj formula sloжenosti 0, odnosno atomskih formula, ova relacija je ve definisana. U ostalim sluqajevima: 1. M = φ[ā] ako i samo ako ne vaжi M = φ[ā]. 2. M = (φ ψ)[ā] ako i samo ako vaжe i M = φ[ā] i M = ψ[ā]. 3. M = (φ ψ)[ā] ako i samo ako vaжi bar jedno od M = φ[ā] i M = ψ[ā]. 4. Ako je ϕ( x) oblika yφ za neku formulu φ(y, x), tada 5

M = ϕ[ā] ako i samo ako postoji b M takav da vaжi M = φ[b, ā]. 5. Ako je ϕ( x) oblika yφ za neku φ(y, x), tada M = ϕ[ā] ako i samo ako za svako b M vaжi M = φ[b, ā]. (Primetimo da kvantifikatori deluju samo na slobodna pojavǉivaǌa promenǉive u formuli!) Lema 1.2.2. Neka je M model i φ( x) formula signature L. Za svaki niz elemenata ā domena strukture M vaжi ili M = φ[ā], ili M = φ[ā]. Naredno tvrđeǌe opisuje zadovoǉivost reqenica u modelima i predstavǉa uopxteǌe leme 1.1.3, a u ǌemu tvrdimo i da zadovoǉivost reqenice u modelu ne zavisi od valuacije. Dokazuje se indukcijom po sloжenosti formule, pri qemu je baza indukcije (sluqaj atomske formule) sadrжan u Lemi 1.1.3. Lema 1.2.3. Ako je φ(x 1,..., x n ) formula, t 1,..., t n zatvoreni termi i M model jezika L tada vaжi: M = φ(t 1,..., t n ) ako i samo ako M = φ[t M 1,..., t M n ]. 1.3 Parametri Neka je φ(x 1,..., x n ) formula i neka su t 1,..., t n izrazi jezika L. Sa φ(t 1,..., t n ) oznaqavamo formulu dobijenu zamenom svih slobodnih pojavǉivaǌa promenǉive x i termom t i. Pri tom, zamena je regularna ukoliko ni jedna promenǉiva terma t i ne dođe pod dejstvo nekog kvantifikatora. Neregularnim zamenama izraza remetimo suxtinsku nameru da formulu φ( x) tumaqimo kao niz x ima osobinu φ. Na primer, neka je φ(z) formula x(x + x z) koju u Abelovoj grupi tumaqimo sa element z je deǉiv sa 2. Formula φ(x + y) je x(x + x x + y) i ona ne tvrdi da je x + y deǉiv sa 2. Razlog za to je neregularna zamena promenǉive z sa x + y, jer promenǉiva x u izrazu x + y dolazi pod dejstvo kvantifikatora x u formuli φ(x + y); zamena promenǉive z u formuli bilo kojim termom koji sadrжi x nije regularna. Naredno tvrđeǌe obezbeđuje da se regularnim zamenama ne remeti жeǉeno znaqeǌe formula. Lema 1.3.1. Neka je φ(x 1,..., x n ) formula i t 1 (ȳ),..., t n (ȳ) termi jezika L takvi da je zamena φ(t 1,..., t n ) regularna. Tada za svaki model M jezika L i niz ā M m vaжi: M = φ(t 1,..., t n )[ā] ako i samo ako M = φ[t M 1 (ā),..., t M n (ā)]. Neka je M model signature L i L L. L -redukt modela M je struktura M koju qine domen M i interpretacije svih simbola signature L u strukturi M. U tom sluqaju kaжemo i da je M oboga eǌe, ili ekspanzija modela M do jezika L. Neka je A M. Proxirimo skup konstantnih simbola signature skupom novih konstanti {c a a A} (pretpostavivxi da dodati simboli ne pripadaju jeziku L). Oznaqimo tako dobijen jezik sa L A. Model M oboga ujemo do modela jezika L A interpretiravxi svaki simbol c a elementom a A i tako dobijen model oznaqavamo sa M A ili (M, A). Tvrđeǌe 1.3.2. Za svaku formulu φ(x 1,..., x n ) i niz ā elemenata modela M jezika L slede i uslovi su ekvivalentni. (1) M A = φ(c a1,..., c an ) vaжi za svaki skup A M koji sadrжi niz ā; (2) M M = φ(c a1,..., c an ). (3) M = φ[a 1,..., a n ]; 6

Ovo tvrđeǌe nam daje znaqajan stepen slobode u pojednostavǉeǌu komplikovanih sintaksnih zapisa. Konvencija 1.3.3. 1. Mi emo na daǉe pretpostaviti da uvek vaжi c ai = a i, a bilo koji od ekvivalentnih uslova u prethodnom tvrđeǌu jednostavno emo oznaqavati sa M = φ(a 1,..., a n ). Simbole a i nazivamo parametrima i koristimo ih priliqno slobodno. Pod formulom sa parametrima iz skupa A M podrazumevamo L A -formulu. 2. Radi qitǉivijeg zapisa formula, od sada pa NA DAǈE koristi emo simbol = umesto simbola jednakosti. Prvi smo koristili do sada semantiqki, u strukturama, da oznaqimo da su dva ǌena elementa jednaka, dok je drugi bio deo jezika. Razlikovaǌe ova dva simbola je bilo bitno iskǉuqivo zbog preciznijeg definisaǌa pojma zadovoǉivosti formule u modelu. 1.4 Definabilni skupovi Definicija 1.4.1. Neka je M = (M,...) model jezika L. (a) Skup D M n je definabilan (u strukturi M) ako postoji L-formula φ( x) (gde je x = n) takva da je D = { b M n M = φ( b)}. U tom sluqaju kaжemo i da je D skup rexeǌa formule φ( x) ili da je definisan formulom φ( x), i pixemo D = φ(m n ), a ponekad i samo D = φ(m). (b) Skup D M n je A definabilan, gde je A M, ako postoji L-formula φ( x, ȳ) (sa n + m promenǉivih) i ā A m tako da je D = { b M n M = φ( b, ā)}. Pixemo i D = φ(m n, ā) ili samo D = φ(m, ā). (v) Skup D je definabilan sa parametrima ako postoji A M takav da je D A- definabilan. (g) a M je definabilan element ako je skup {a} definabilan. Kada жelimo da posebno naglasimo da je skup definabilan (bez parametara), kaжemo i da je 0-definabilan ili L-definabilan. Definabilan skup D M n moжemo posmatrati i kao n-arnu definabilnu relaciju. Ako je skup D M n+m definabilan, tada ga moжemo posmatrati i kao binarnu relaciju D M n M m, odnosno bipartitni graf qiji skup levih temena je M n a desnih M m ; ukoliko je m = n onda posmatramo dve disjunktne kopije skupa M n. Sliqno, f : A M (gde je A M n ) je definabilna funkcija ako je ǌen graf {(x 1,..., x n, f( x)) x A} M n+1 definabilan; primeti da tada i ǌen domen A mora biti definabilan. Xta vixe, direktne i inverzne slike definabilnih skupova su definabilne. Tvrđeǌe 1.4.2. Neka je M = (M,...) struktura jezika L i neka je B n (M) skup svih definabilnih podskupova skupa M n. (a) (B n (M),, c,, M n )je Bulova algebra: ako D 1, D 2 B n (M), onda i D 1 D 2, D 1 D 2, M n D 1 B n (M). (b) Projekcija skupa D B n+m (M) na ma kojih n koordinata pripada algebri B n (M). (v) Ako je π : M m+n M n projekcija na nekih n koordinata i D B n (M) definabilan skup, tada je π 1 (D) B m+n (M). 7

Dokaz. (a) Ako formula φ i ( x) definixe skup D i, tada φ 1 ( x) φ 2 ( x), φ 1 ( x) φ 2 ( x) i φ 1 ( x) definixu, redom, skupove D 1 D 2, D 1 D 2 i M n D 1. (b) Formula x n+1 φ(x 1,..., x n+1 ) definixe projekciju skupa φ(m n+1 ) na prvih n koordinata. Sliqno je i u opxtem sluqaju. (v) Ako je π : M n+1 M n projekcija na prvih n koordinata i formula φ(x 1,..., x n ) definixe skup D, tada formula φ(x 1,..., x n+1 ) (ista formula sa dodatom promenǉivom) definixe skup π 1 (D). Sliqno je i u opxtem sluqaju. Prethodnim tvrđeǌem familija svih definabilnih skupova strukture (M,...) je opisana nizom Bulovih algebri (B n (M) n N) koji je zatvoren za projekcije i inverzne projekcije. Analizom definicije (formule) i zadovoǉivosti formule u strukturi moжemo opisati i genezu te familije. Polazimo od niza (At n (M) n N) gde At n (M) B n (M) qine svi podskupovi definabilni atomskim formulama ( jednaqinama i nejednaqinama ). Zatim svaki qlan niza zatvorimo za preseke, unije i komplemente, pa dobijeni niz zatvorimo za projekcije i inverzne projekcije; iteriramo postupak ω puta i dobijamo niz (B n (M) n N). Znaqi, familija skupova definabilnih atomskim formulama (At n (M) n N) određuje familiju svih definabilnih skupova (B n (M) n N) zatvaraǌem u odnosu na određene skupovne operacije. Obrnuti proces ne postoji: ne moжemo iz niza (B n (M) n N) dekodirati niz (At n (M) n N). Razlog za to je taj xto istu familiju definabilnih skupova na domenu M mogu imati strukture razliqitih jezika. Na primer, posmatrajmo maksimalnu u nekom smislu strukturu koja ima iste definabilne skupove kao i naxa struktura M. Uzmimo relacijski jezik L = {R D D n B n (M)), pri qemu R D ima arnost n ako je D M n. L -strukturu M pravimo tako xto svaki simbol R D interpretiramo skupom D. Jasno, strukture M i M imaju iste definabilne skupove. Za dve strukture (mogu e razliqitih jezika) kaжemo da su definiciono ekvivalentne ako imaju isti domen i iste definabilne skupove. Struktura M = (M,...) jezika L L je definiciono proxireǌe L-strukture M = (M,..., ukoliko imaju iste interpretacije simbola jezika L na domenu, a svaka interpretacija simbola L L je skup koji je definabilan u strukturi M. Drugim reqima, definiciono proxireǌe se dobija tako xto imenujemo simbolom jezika neke definabilne skupove; iz opisa geneze definabilnih skupova sledi da time ne meǌamo familiju definabilnih skupova, odnosno da dobijamo definicionu ekvivalentnu strukturu. Tim postupkom smo ojaqali jezik i dobili mogu nost da neki definabilni skup polazne strukture zapixemo kra om formulom. Qesto se u matematici pod pojmom strukture misli na skup (domen strukture) i niz Bulovih algebri (B n (M) n N) podskupova. Zatim se jezik bira tako da se imenuju neke osnovne konstante, relacije i operacije iz te familije, tako da se svojstva strukture koja nas zanimaju daju zapisati jednostavnim (razumǉivim) formulama. Definicionim proxirivaǌem L-strukture moжe se uticati na podstrukture, jer domen L-podstruktura ne mora uvek biti domen podstrukture novog jezika. Na primer, vaжi (N, <) (ω, <), ali N nije domen podstruktura strukture (ω, <, 0). Skra enice. U zapisivaǌu formula, radi preglednosti qesto koristimo skra enice. (1) U jeziku koji sadrжi binarni simbol, koriste se formule ( x y)φ(x, y) i ( x [y, z])ψ(x, y, z). One predstavǉaju jasniji (i kra i) zapis formula x(x y φ(x, y)) i x(y x x z ψ(x, y, z)). 8

(2) Ako je D podskup domena strukture M definisan formulom φ(x), tada formulu x D ψ(x, ȳ) koristimo za definiciju unutar strukture M samo. Pod ǌom podrazumevamo formulu x(φ(x) ψ(x, ȳ)). (3) Formulu x 1...x n 1 i<j n (φ(x i, ȳ) x i x j ) kra e zapisujemo kao n x φ(x, ȳ). Na sliqan naqin uvode se i kvantifikatori <n, =n, n i >n. Uobiqajeno je kvantifikator =1 zapisivati i simbolima!. Primer 1.4.3. (Imenovaǌe definabilnog elementa) Ukoliko vaжi M =!x φ(x) i φ(m) = {a}, tj. element a je definabilan formulom φ(x), tada je zgodno pre utno uvesti novi konstantni simbol u jezik i definiciono proxiriti strukturu interpretiravxi konstantu elementom a; u skladu sa prethodnom konvencijom o parametrima, moжemo koristiti qak i isti simbol a. Tako, formula ψ(a) u novoj strukturi odgovara formuli x (φ(x) ψ(a)). Primetimo da imenovaǌe nedefinabilnog elementa (ma kog parametra) dodaje nov definabilan skup. Primer 1.4.4. Posmatrajmo strukturu (ω, <). U ǌoj je element 0 definisan formulom y (y < x); proxirimo strukturu do (ω, <, 0). U ǌoj je element 1 definabilan formulom 0 < x y(0 < x < y); proxirimo strukturu... Na taj naqin moжemo definisati sve prirodne brojeve, jer formula n < x y(n < x < y) definixe element n + 1. Alternativno, mogli smo primetiti da formula =n y(y < x) definixe element n + 1. Primer 1.4.5. 1. Grupa (G, ) ima definiciona proxireǌa (G,, e) i (G,, 1, e). Ukoliko nas zanimaju i komutatori te grupe, koristimo jezik definicionog proxireǌa (G,, [, ], 1, e). 2. Poǉe kompleksnih brojeva obiqno posmatramo kao strukturu (C, +,,, 0, 1), jer u tom jeziku ima eliminaciju kvantifikatora: svaki skup je definisan nekom beskvantornom formulom. To nije sluqaj ako izostavimo ma koji od imenovanih simbola jezika. ZADACI 1. Dokazati da je svaki prirodan broj definabilan u strukturi (N, +). 2. Dokazati da su u strukturi (N, +, ) slede i skupovi definabilni: (a) Skup prostih brojeva; (b) Skup svih brojeva oblika 2 m 3 n. (v) Funkcija NZD(x, y) = z. (v) {(x, y) x je najmaǌi prost broj koji deli y} 3. Dokazati da je prirodno uređeǌe < definabilna relacija i da je 2 definabilan element u poǉu realnih brojeva. 4. Dokazati da je skup svih celih brojeva oblika 198k + 17 definabilan sa parametrom u aditivnoj grupi celih brojeva (Z, +). 5. Dokazati da su slede i skupovi definabilni u aditivnoj grupi celih brojeva: a) Skup svih brojeva deǉivih sa 3; b) Skup svih neparnih brojeva; v) Skup svih brojeva oblika 4k + 2; g) Skup svih brojeva oblika 6k + 3. 9

6. Dokazati da je skup prirodnih brojeva definabilan u prstenu celih brojeva. 7. Dokazati da je u strukturi (N, +, ) gde je m n relacija m deli n, mnoжeǌe definabilna operacija. 8. Na i skup X N koji nije definabilan u strukturi (N, <). 1.5 Teorije Neka je L signatura. Teorija jezika L je bilo koji (mogu e i beskonaqan) skup reqenica tog jezika, a reqenice koje joj pripadaju nazivamo i ǌenim aksiomama. L-struktura M je model teorije T, u oznaci M = T, ako je u M zadovoǉena svaka aksioma teorije T. Mod(T ) oznaqava klasu svih modela teorije T. Zadovoǉiva teorija je ona koja ima bar jedan model. Za klasu K struktura jezika L kaжemo da je aksiomatizabilna klasa ako postoji L-teorija takva da je K = Mod(T ); u tom sluqaju kaжemo i da T aksiomatizuje klasu K. Aksiomatizacija klase nije jednoznaqno određena, ve za istu klasu moжe postojati vixe razliqitih aksiomatizacija. Mnoge klase matematiqkih struktura su aksiomatizabilne. Navodimo primere aksiomatizabilnih klasa i ǌihovih teorija. Radi jednostavnijeg zapisa izostavǉamo poqetni niz univerzalnih kvantifikatora; tako, umesto x y(x + y = y + x) pixemo samo x + y = y + x. 1. L =. Teorija beskonaqnog skupa je { n x(x = x) n N}. 2. L = {R} gde je R binarni relacijski simbol. Imamo slede e teorije: (a) Teorija prostih grafova bez petǉi: { R(x, x), R(x, y) R(y, x)}. (b) Teorija relacije ekvivalencije: {R(x, x), R(x, y) R(y, x), (R(x, y) R(y, z)) R(x, z)} 3. L = { } gde je binarni relacijski simbol. (a) Teorija kvazi-uređeǌa (ili preduređeǌa): {x x, (x y y z) x z). (b) Teorija parcijalnih uređeǌa ima dodatnu aksiomu: (x y y x) x = y. 4. L = {<} gde je < binarni relacijski znak. (a) Teorija striktnih uređeǌa: { (x < x), (x < y y < z) x < z)}. (b) Teorija linearnih uređeǌa ima dodatnu aksiomu x < y y < x x = y. (c) Teorija gustih linearnih uređeǌa ima i: x y z(x < z z < y) (d) Teorija gustih linearnih uređeǌa bez krajeva (DLO) ima dodatne aksiome: x y(x < y) i x y(y < x) 5. Peanova aritmetika je teorija u jeziku L P A = {+,,, 0}. Aksiome su: 1. x (x = 0); 2. x y(x = y x = y); 10

3. x(x + 0 = x); 4. x y(x + y = (x + y) ); 5. x(x 0 = 0); 6. x y(x y = x + (x y)). 7. (Shema indukcije) Za svaku formulu ϕ(x, ȳ) jezika L P A imamo po aksiomu: (ϕ(0, ȳ) x(ϕ(x, ȳ) ϕ(x, ȳ))) xϕ(x, ȳ). 6. Teoriju Bulovih algebri izraжavamo u jeziku L BA = {,,, c, 0, 1}. Aksiome su: 1. x y = y x; x y = y x 2. x (y z) = (x y) z; x (y z) = (x y) z; 3. x (x y) = x; x (x y) = x; 4. x (y z) = (x y) (x z); 5. x x c = 1; x x c = 0; 7. Teorija grupa u jeziku L = {, 1, e} ima aksiome: (x y) z = x (y z), x e = x, i x x 1 = e Teorija grupa se moжa izraziti i u jeziku {, e} kao i u { }. 8. Teorija Abelovih grupa u jeziku L = {+,, 0} ima aksiome (x + y) + z = x + (y + z) x + ( x) = 0 x + 0 = x i x + y = y + x 9. Teorija vektorskih prostora nad poǉem F izraжavamo u jeziku L = {+,, k, 0} k F, gde je k unarni operacijski simbol (mnoжeǌe skalarom). Pored aksioma Abelove grupe imamo i za svaki par k, k F slede e aksiome: 1. k (x + y) = k x + k y 2. (k + F k ) x = k x + k x 3. (k k ) x = k (k x) 4. 1 x = x 10. Jezik prstena je L r = {+,,, 0, 1}. (a) Teorija komutativnih prstena sadrжi aksiome Abelove grupe i: (x y) z = x (y z), x y = y x i x (y + z) = x y + x z x 1 = x. (b) Teorija poǉa, pored aksioma prstena, sadrжi i x 0 y(x y = 1). (c) Teorija poǉa karakteristike p (prost broj) sadrжi i aksiomu p x = 0 (p x je skra enica za izraz (...(x + x) +... + x)...) u kome se p puta pojavǉuje x). (d) Teorija poǉa karakteristike 0 pored aksioma teorije poǉa, sadrжi za svaki prost broj p i aksiomu x 0 p x 0. (e) ACF je teorija algebarski zatvorenih poǉa, sadrжi teorija poǉa i aksiome: x(x n + y 1 x n 1 +... + y n = 0) 11 (za n N).

(f) ACF 0 je teorija algebarski zatvorenih poǉa karakteristike 0, a ACF p teorija algebarski zatvorenih poǉa karakteristike p. (g) Teoriju realno zatvorenih poǉa qine aksiome teorije poǉa i: x(x 2n 1 + y 1 x 2n 2 +... + y 2n 1 = 0) (za n N). 11. Teorija uređenih poǉa je u jeziku L or = L r {<}. Qine je aksiome teorije poǉa i aksiome: x y x + z y + z i (0 x 0 y) 0 xy. 12. Teoriju diferencijalnih poǉa u jeziku L = L r {δ} qine teorija poǉa plus aksiome δ(x + y) = δ(x) + δ(y) δ(x y) = xδ(y) + yδ(x). 13. Teoriju eksponencijalnih (prstena) poǉa u jeziku L = L r {exp} qine teorija (prstena) poǉa i aksiome: exp(0) = 1 i exp(x + y) = exp(x) exp(y). 1.6 Podstrukture i utapaǌa M je pod- Definicija 1.6.1. Neka su M = (M,...) i N = (N,...) strukture jezika L. struktura strukture N, u oznaci M N, ako je M N i vaжi: c M = c N za svaki simbol konstante jezika; Za svaki funkcijski znak F jezika L i sve a 1,... a nf F M (a 1,..., a nf ) = F N (a 1,..., a nf ); M vaжi: Za svaki relacijski znak R jezika L i sve a 1,... a nr M vaжi: (a 1,..., a nr ) R M ako i samo ako (a 1,..., a nr ) R N. Uslove definicije moжemo izraziti i na ekvivalentan naqin, slede im uslovima: {c M } = {c N } M, F M = F N M n F +1 i R M = R N M n R ; gde je F M graf operacije. Moжemo zakǉuqiti da za datu strukturu N = (N,...) i podskup A N postoji najvixe jedna podstruktura qiji je domen skup A, jer su na ǌemu interpretacije simbola jezika jednoznaqno određene ovim uslovima. Neophodni uslovi da bi podstruktura na takvom skupu A uopxte postojala su: A mora sadrжati sve interpretacije (u N) konstanti jezika i mora biti zatvoren za sve operacije strukture N koje su interpretacije simbola jezika. Drugim reqima, A mora biti domen podalgebre koja se dobija iz N izostavǉaǌem svih interpretacija relacija. U sluqaju kada jezik ne sadrжi relacijske simbole, pojmovi podstrukture i podalgebre se podudaraju, pa su u sluqaju grupa radi o podgrupama, podstrukture poǉa su potpoǉa... ; u sluqaju qisto relacijskog jezika svaki podskup strukture je nosaq podstrukture. Uslovi definicije izraжeni na gorǌi naqin sugerixu da za osnovne atomske formule x 1 = c, F (x 1,..., x nf ) = y i R(x 1,..., x nr ) vaжi φ(m m ) = φ(n m ) M m (gde je m = 1, m = n F + 1 ili m = n R ). U narednom tvrđeǌu dokazujemo da isto vaжi za sve atomske i xire, beskvantorne, formule. 12

Tvrđeǌe 1.6.2. Neka je M N i neka je φ( x) beskvantorna formula jezika ovih struktura. Tada za sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(ā). Drugim reqima, za sve beskvantorne formule vaжi φ(m n ) = φ(n n ) M n. Dokaz. Indukcijom po sloжenosti izraza t 1 ( x),..., t n ( x) dokaжe se da tvrđeǌe vaжi za sve atomske formule t 1 ( x) = t 2 ( x) i R(t 1 ( x),..., t n ( x))... Naglasimo da tvrđeǌe 1.6.2 NE vaжi za sve formule φ( x) i parove M N, xto pokazuje slede i primer. Primer 1.6.3. Posmatrajmo strukture N = (N, <) i M = (ω, <) (ω = N {0}). Tada je N M. Neka je φ(x) formula y (y < x). Ona opisuje x kao minimalan element domena. Oqito vaжi N = φ(1) i M = φ(0) φ(1), pa je φ(n) φ(ω) N. Ukoliko podstruktura quva sve definabilne skupove, kaжemo da se radi o elementarnoj podstrukturi: Definicija 1.6.4. Neka je M N. Kaжemo da je M elementaran podmodel (elementarna podstruktura) strukture N, xto oznaqavamo sa M N, ako za svaku formulu jezika φ( x) i sve ā M n vaжi: Drugim reqima: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(ā). φ(m n ) = φ(n n ) M n vaжi za sve formule φ( x). Elementarne podstrukture su u teoriji modela znaqajne jer quvaju sve definabilne skupove, odnosno sve osobine (opisive formulom prvog reda) elemenata u podstrukturi: Formulu φ( x) moжemo tumaqiti kao niz x ima osobinu φ. Za ā M n relaciju N = φ(ā) tumaqimo kao ā ima osobinu φ u modelu N. Prethodnu definiciju prevodimo na slede i naqin: M N ako i samo ako za sve φ i ā M n vaжi: ā ima osobinu φ u modelu N ako i samo ako ā ima osobinu φ u modelu M. Definicija 1.6.5. Neka su M = (M,... ) i N = (N,... ) modeli istog jezika L. Utapaǌe modela M u N je 1-1 funkcija f : M N za koju vaжi: f(c M ) = c N vaжi za svaki simbol konstante c; Za svaki funkcijski znak F jezika L i sve a 1,... a nf f(f M (a 1,..., a nf )) = F N (f(a 1 ),..., f(a nf )); M vaжi: Za svaki relacijski znak R jezika L i sve a 1,... a nr M vaжi: R M (a 1,..., a nr ) ako i samo ako R N (f(a 1 ),..., f(a nr )). Utapaǌe koje je i bijekcija naziva se izomorfizam; u tom sluqaju kaжemo da su M i N izomorfne strukture. Uvedimo slede u notaciju. Svako preslikavaǌe g : A B indukuje preslikavaǌa P(A) P(B) (direktna slika), ali i prirodna preslikavaǌa A n B n,...,a X B X,... Sva ta preslikavaǌa emo oznaqavati sa g i ako je X A, tada je g(x) = {g(x) x X}; ako je ā = (a 1,..., a n ), tada je g(ā) = (g(a 1 ),..., g(a n ))... Uslove definicije utapaǌa moжemo izraziti i na ekvivalentan naqin: 13

f(c M ) = c N, f(f M ) = F N f(m) n F +1 i f(r M ) = R N f(m) n R. Primetimo da skup f(m) sadrжi sve konstante strukture N i da je zatvoren za operacije strukture N. Zato je on nosaq strukture, koju oznaqavamo sa f(m). Tvrđeǌe 1.6.6. Neka su M = (M,...) i N = (N,...) strukture istog jezika. (a) f : M N je utapaǌe ako i samo ako je skup f(m) nosaq podstrukture strukture N i f je izomorfizam struktura M i podstrukture indukovane na skupu f(m). (b) M N vaжi ako i samo ako je M N, a identiqko preslikavaǌe id M : M N je utapaǌe. (v) M se moжe utopiti u N ako i samo ako postoji podstruktura strukture N koja je izomorfna strukturi M. Kao i u sluqaju podstruktura, uslovi definicije izraжeni na gorǌi naqin sugerixu da za osnovne atomske formule x 1 = c, F (x 1,..., x nf ) = y i R(x 1,..., x nr ) vaжi f(φ(m m )) = φ(n m ) f(m) m. Isto vaжi za sve beskvantorne formule. Tvrđeǌe 1.6.7. Neka je f : M N utapaǌe strukture M u strukturu N i neka je φ( x) beskvantorna formula jezika ovih struktura. Tada za sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(f(ā)). Drugim reqima, za sve beskvantorne formule vaжi f(φ(m n )) = φ(n n ) f(m) n. Ukoliko prethodno tvrđeǌe vaжi za sve formule, a ne samo za beskvantorne, tada kaжemo da je utapaǌe elementarno. Definicija 1.6.8. Neka su M i N modeli jezika L. Funkcija f : M N je elementarno utapaǌe, u oznaci f : M N, ako za sve formule φ( x) i sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(f(ā)). Drugim reqima, za sve formule vaжi f(φ(m n )) = φ(n n ) f(m) n. Sliqno prethodnom pokazuje se da je utapaǌe f elementarno ako i samo je f(m) N. Nisu sva utapaǌa elementarna, takvo je identiqko preslikavaǌe u primeru 1.6.3. 1.7 Izomorfizmi i automorfizmi Napomenuli smo da utapaǌa ne moraju biti elementarna preslikavaǌa. Za razliku od ǌih, izomorfizmi to moraju biti, jer quvaju sve definabilne skupove. Tvrđeǌe 1.7.1. Neka je f izomorfizam modela M i N jezika L. (a) Za sve formule φ( x) formula jezika L i za sve ā M n vaжi: M = φ(ā) ako i samo ako N = φ(f(ā)). Drugim reqima, za sve formule vaжi f(φ(m n )) = φ(n n ). (b) Za sve formule jezika ψ( x, ȳ) i sve ā M m vaжi: f(φ(m n, ā)) = φ(n n, f(ā)). Tvrđeǌe 1.7.2. Neka su f : M 1 N i g : N M 2 izomorfizmi. (a) Inverzno preslikavaǌe f 1 je izomorfizam modela N i M 1. (b) Kompozicija g f je izomorfizam modela M 1 i M 2. (v) Izomorfizam struktura je relacija ekvivalencije na klasi svih modela jezika L. 14

Definicija 1.7.3. Izomorfizam f : M M je automorfizam strukture M. Tvrđeǌe 1.7.4. Skup svih automorfizama strukture M qini grupu u odnosu na kompoziciju preslikavaǌa. Skup svih automorfizama strukture L oznaqavamo sa Aut(M). Za svaki A M skup Aut A (M) = {f Aut(M) za svaki a A vaжi f(a) = a} svih automorfizama koji fiksiraju skup A taqku po taqku je podgrupa grupe Aut(M). Takođe, skup svih automorfizama koji fiksira A kao skup: Aut {A} (M) = {f Aut(M) f(a) = A} je podgrupa grupe Aut(M) (podsetimo: f(a) = {f(a) a A}). Automorfizmi (skup-) fiksiraju L-definabilne skupove, pa se zato koriste pri utvrđivaǌu nedefinabilnosti nekog skupa D: ukoliko postoji automorfizam f takav da je f(d) D, tada skup D nije definabilan. Obrnuto ne vaжi, moжe se desiti da skup nije definabilan, a da je fiksiran svakim automorfizmom. Na primer, jedini automorfizam strukture (N, <) je identiqko preslikavaǌe, pa je svaki podskup X N fiksiran svim automorfizmima. Budu i da ima prebrojivo mnogo formula i neprobrojivo mnogo podskupova X, bar jedan od ǌih nije definabilan. Zadatak 1.7.5. Neka je A = (A, +) beskonaqna (Abelova) grupa eksponenta p (prost). Pokaza emo da je A minimalna struktura, tj. da svaki definabilan (sa parametrima) skup D A je ili konaqan ili ko-konaqan (komplement mu je konaqan). Rexeǌe. Posmatrajmo vektorski prostor A = (A, +, m, 0) 1 m p 1 (nad poǉem Z p ), gde je unarna operacija m definisana formulom x } + x + {{... + x } = y. Svaka od dodatih operacija je definabilna u strukturi A, pa je A definiciono proxireǌe strukture m A ; one imaju iste definabilne skupove (n-torki za sve n). Prema tome, dovoǉno je dokazati da je A minimalna struktura, a to emo uqiniti tako xto emo pokazati da svaka formula sa beskonaqnim skupom rexeǌa ima ko-konaqan skup rexeǌa. Neka je ā A n i neka je φ(x, ā) formula koja ima beskonaqan skup rexeǌa. Pokaza emo da je svaki element c A span(ā) ǌeno rexeǌe, gde je span(ā) potprostor generisan sa ā. Potprostor span(ā) ima najvixe p n elemenata, pa postoji element b φ(a, ā) span(ā). Neka je a 1,..., a m baza potprostora span(ā). Tada je skup {a 1,..., a m, b} linearno nezavisan i sadrжan je u nekoj bazi B prostora A. Sliqno, skup {a 1,..., a m, c} je linearno nezavisan i sadrжan je u nekoj bazi B. Izaberimo bijekciju f : B B takvu da je f(a i ) = a i za i = 1, 2,..., m i f(b) = c. Tada se f na jedinstven naqin produжava do bijektivnog linearnog preslikavaǌa ˆf : A A. Ovo preslikavaǌe je automorfizam prostora A (jer quva sabiraǌe i mnoжeǌe skalarom). Svaki element niza ā je linearna kombinacija elemenata skupa {a 1,..., a m }, pa je on fiksiran preslikavaǌem ˆf. Zbog b φ(a, ā) imamo ˆf(b) φ(a, ˆf(ā)), odnosno c φ(a, ā), xto je i trebalo dokazati. 1. Za strukturu (Z, +) dokazati slede e: ZADACI a) 0 joj je definabilan element, a 1 nije; b) Prirodno uređeǌe < nije definabilna relacija i mnoжeǌe nije definabilna operacija; v) Skup svih brojeva oblika 4k+1 nije definabilan, ali je definabilan sa parametrom 15

2. Dokazati da je jedini automorfizam poǉa realnih brojeva identiqko preslikavaǌe. 3. Dokazati da je svaka deǉiva Abelova grupa bez torzije minimalna struktura. (Grupa (G, +, 0) je deǉiva ako za svaki n zadovoǉava reqenicu x y(ny = x), a bestorziona ako za svaki n vaжi x(nx = e x = e); ovde je nx izraz x } + {{... + x }. n 4. Dokazati da skupovi celih i realnih brojeva nisu definabilni u poǉu kompleksnih brojeva. 5. Neka su a 1 < a 2 <... < a n i b 1 < b 2 <... < b n racionalni brojevi. Dokaжi da postoji automorfizam f Aut(Q, <) takav da je f(a i ) = b i za sve i = 1, 2,..., n. 6. Dokaжi da je svako prebrojivo gusto linearno uređeǌe izomorfno uređeǌu racionalnih brojeva (Q, <). 16

2. Kompaktnost Tema ovog dela je osnovna teorema teorije modela, a to je teorema kompaktnosti, koja tvrdi da svaka konaqno zadovoǉiva teorija ima model. Postoje dva naqina da se ona dokaжe. Prvi je zasnovan na Henkinovom metodu uvođeǌa novih konstanti, koji emo ovde i izloжiti. Drugi naqin koristi ultraproizvode struktura i ǌime se ovde ne emo baviti. Osnovna ideja Henkinove konstrukcije je da se proxiri jezik uvođeǌem skupa novih konstanti i da se na odgovaraju i naqin proxiri i teorija. Proxirivaǌe treba da je tako da u novodobijenoj teoriji imamo konstantu-svedoka za svaku egzistencijalnu formulu, tj. ispuǌen je Henkinov uslov (videti lemu 2.2.2): ako formula x φ(x) pripada teoriji, tada i formula φ(c) pripada teoriji za neki simbol konstante c. Ispostavi e se da svaka teorija koja zadovoǉava Henkinov uslov i koja je maksimalna konaqno zadovoǉiva (u smislu inkluzije) ima model qiji je svaki element interpretacija neke konstante jezika. Razlog je taj xto takva teorija sadrжi sve informacije prvog reda o svojim konstantama i xto je svaka egzistencijalna formula svedoqena nekom konstantom. U prvom delu emo opisati nexto opxtiju konstrukciju modela koji se ne mora sastoji samo od interpretacija konstanti jezika: ǌegovi elementi su interpretacije zatvorenih izraza. U tom sluqaju teorija ne mora biti maksimalna, a uslovi (Hintikinim uslovi) koje ona treba da zadovoǉava su, iako naizgled brojni, znaqajno blaжi. Naglasimo da se Hintikini uslovi, za razliku od Henkinovog, mogu adaptirati i za sluqaj beskonaqnih logika. 2.1 Kanonski model generisan konstantama U ovom delu tema su modeli teorija koji su generisani svojim skupom konstanti. Ovde generisan ima qisto algebarsko znaqeǌe: ako iz strukture M = (M,...) jezika L izostavimo sve relacije, dobijamo algebru signature L koju qine simboli konstanti i operacija jezika L. Dakle model M je generisan svojim konstantama ako je, kao algebra, generisana skupom C M svih interpretacija konstanti. Vaжno je primetiti da je u tom sluqaju svaki element domena M interpretacija nekog zatvorenog izraza jezika L. Izdvoji emo Hintikine uslove H0 H8 qija ispuǌenost u datoj teoriji garantuje da ona ima model generisan skupom konstanti. Neka je A = (A,...) struktura prvog reda jezika L qiji je svaki element domena interpretacija nekog zatvorenog izraza jezika. Neka je T skup svih reqenica jezika L koje vaжe u modelu A. Nije texko proveriti da teorija T zadovoǉava slede e uslove: 17

H0 x(x = x) T. H1 Za svaku atomsku reqenicu φ jezika L vaжi: ako φ T tada φ / T. H2 Za svaki zatvoren term t jezika L vaжi (t = t) T. H3 Ako je φ(x) atomska formula, s, t zatvoreni termi jezika L i (s = t) T, tada vaжi: φ(s) T ako i samo ako φ(t) T. H4 Ako φ T, tada φ T. H5 Ako φ 1 φ 2 T, tada φ 1 T i φ 2 T ; Ako (φ 1 φ 2 ) T, tada φ 1 T ili φ 2 T. H6 Ako φ 1 φ 2 T, tada φ 1 T ili φ 2 T ; Ako (φ 1 φ 2 ) T, tada φ 1 T i φ 2 T. H7 Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za svaki zatvoren term t jezika L; Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za neki zatvoren term t jezika L. H8 Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za neki zatvoren term t jezika L; Ako xφ(x) T, tada φ(t) T za svaki zatvoren term t jezika L. Definicija 2.1.1. Teorija H jezika L je Hintikin skup reqenica jezika L ako zadovoǉava uslove H0-H8. Primetimo da Hintikini skupovi reqenica mogu postojati samo u jezicima koji imaju bar jedan simbol konstante: Prema osobini H0 reqenica x(x = x) pripada svakom Hintikinom skupu pa, prema H8, on mora sadrжati i reqenicu t = t za neki zatvoren term t jezika L. Zakǉuqujemo da mora postojati zatvoren term jezika L, pa skup simbola konstanti jezika L ne moжe biti prazan. Teorema 2.1.2. Svaki Hintikin skup H jezika L ima model u kome je svaki element interpretacija nekog zatvorenog terma jezika L. Dokaz. Dokaz sprovodimo u dve faze. U prvoj emo opisati konstrukciju L-strukture M u kojoj je svaki element interpretacija nekog zatvorenog terma, dok emo u drugoj dokazati da je M model teorije H. 1. Konstrukcija. U ovoj fazi koristi emo samo aksiome H2 i H3. Neka je C skup svih zatvorenih terma jezika L. Na skupu C definiximo binarnu relaciju: E(s, t) ako i samo ako (s = t) H. Pokaжimo prvo da je E relacija ekvivalencije. Refleksivnost sledi iz uslova H2. Pretpostavimo da (s = t) H. Oznaqimo sa φ(x) atomsku formulu t = x. Tada φ(t) H pa, prema H3, φ(s) H. Znaqi (t = s) H, qime je simetriqnost relacije E dokazana. Preostaje da proverimo tranzitivnost. Pretpostavimo da vaжi (s = t), (t = u) H i neka je ψ(x) formula x = u. Tada ψ(t) H pa, prema H3, vaжi ψ(s) H, qime je tranzitivnost relacije E dokazana. Neka [t] E oznaqava klasu ekvivalencije terma t C i neka je M = {[t] E t C} koliqniqki skup. Na skupu M, kao nosaqu, definisa emo strukturu M jezika L. Prvo 18

definiximo interpretacije simbola konstanti: c M = [c] E. Slede e, pokaжimo da je uslovom f M ([t 1 ] E,..., [t n ] E ) = [f(t 1,..., t n )] E korektno definisana funkcija f M : M n M koja je interpretacija funkcijskog znaka f duжine n. Treba pokazati da za zatvorene terme s i, t i : ako [s i ] E = [t i ] E vaжi za 1 i n, tada [f(s 1..., s n )] E = [f(t 1,..., t n )] E. Pretpostavimo da (s i = t i ) H vaжi za sve 1 i n. Dovoǉno je dokazati: (f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1,..., t k, s k+1,..., s n )) H za sve 1 k n. (2.1) Dokaz provodimo indukcijom po k. Za k = 1, neka je φ 1 (x) formula f(s 1, s 2,..., s n ) = f(x, s 2,..., s n ). Tada φ 1 (s 1 ) H pa, prema aksiomi H3, zakǉuqujemo φ 1 (t 1 ) H. Dakle, (f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1, s 2,..., s n )) H, qime je uslov (2.1) dokazan za k = 1. Pretpostavimo sada da za k < n vaжi: (f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1,..., t k, s k+1,..., s n )) H. Oznaqimo sa φ k+1 (x) formulu f(s 1, s 2,..., s n ) = f(t 1,..., t k, x, s k+2,..., s n )). Prema induktivnoj hipotezi φ k+1 (s k+1 ) H pa, prema H3, vaжi φ k+1 (t k+1 ) H. Time je induktivni korak kompletiran. Neka je R relacijski simbol duжine n i pretpostavimo da (s i = t i ) H vaжi za sve 1 i n. Kao u sluqaju funkcijskih pokaжe se da za sve k n vaжi: R(s 1..., s n ) H ako i samo ako R(t 1,..., t k, s k+1,..., s n ) H, (2.2) pa je uslovom: ([t 1 ] E,..., [t n ] E ) R M ako i samo ako R(t 1,..., t n ) H korektno definisana n-arna relacija na M. Time je kompletirana definicija strukture M. Pokaжimo da je svaki element domena interpretacija nekog zatvorenog terma jezika L. Kako je svaki element domena oblika [t] E, dovoǉno je dokazati za svaki zatvoren term jezika L vaжi t M = [t] E. (2.3) Ovo tvrđeǌe dokazujemo indukcijom po sloжenosti terma t. Ako je t simbol konstante tada c M = [c] E vaжi po definiciji interpretacije. Pretpostavimo da t M i = [t i ] E vaжi za 1 i n i da je t oblika f(t 1,..., t n ), gde je f funkcijski znak duжine n. Imamo: t M = f M (t M 1,..., t M n ) = f M ([t 1 ] E,..., [t n ] E ) = [f(t 1,..., t n )] E = [t] E ; Prva jednakost u ovom nizu je posledica definicije interpretacije terma, druga sledi iz pretpostavki o termima t i, tre a je posledica definicije interpretacije f M, dok je qetvrta posledica definicije terma t. 2. Zadovoǉivost H u M. Dokaжimo prvo da za svaku atomsku reqenicu φ jezika L vaжi: Imamo dva podsluqaja: φ je oblika t 1 = t 2. Imamo niz ekvivalencija: φ H ako i samo ako M = φ (2.4) 19

(t 1 = t 2 ) H akko [t 1 ] E = [t 2 ] E akko t M 1 = t M 2 akko M = t 1 = t 2. Prva ekvivalencija je posledica definicije relacije E, druga vaжi zbog uslova (2.3), dok je tre a posledica definicije zadovoǉeǌa u modelu M. φ je oblika R(t 1,..., t n ). U ovom sluqaju zakǉuqak sledi iz niza ekvivalencija: R(t 1,..., t n ) H akko ([t 1 ] E,... [t n ] E ) R M akko (t M 1,... t M n ) R M akko M = R(t 1,..., t n ). Prva ekvivalencija je posledica definicije relacije R M, druga vaжi zbog uslova (2.3), dok tre a sledi iz definicije zadovoǉeǌa u modelu M. Ovim je dokaz (2.4) zavrxen. Slede e, dokaжimo da za svaku reqenicu φ jezika L vaжi: Ako φ H tada M = φ, i ako φ H tada M = φ. (2.5) Dokaz vrximo indukcijom po sloжenosti reqenice φ. Ako je φ atomska, prvi deo uslova sledi iz (2.4), a drugi deo iz H1 i (2.4). Pretpostavimo da uslov (2.5) vaжi za sve reqenice maǌe sloжenosti od φ. Imamo slede e sluqajeve: φ je oblika ψ. Pretpostavimo da vaжi ψ H. Prema induktivnoj hipotezi drugi deo tvrđeǌa uslova (2.5) vaжi za ψ umesto φ, pa zakǉuqujemo da vaжi M = ψ. Ovim je prvi deo tvrđeǌa uslova (2.5) za φ dokazan. Da dokaжemo drugi deo, pretpostavimo φ H. Tada ψ H pa, prema H4, vaжi ψ H. Primenom induktivne hipoteze zakǉuqujemo M = ψ. Samim tim je M = ψ, pa vaжi i drugi deo tvrđeǌa uslova (2.5). φ je oblika ψ 1 ψ 2. Pretpostavimo ψ 1 ψ 2 H. prema H5 vaжi ψ 1, ψ 2 H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ 1 i M = ψ 2, odakle zakǉuqujemo M = ψ 1 ψ 2. Za drugi deo tvrđeǌa, pretpostavimo da (ψ 1 ψ 2 ) H. Prema drugom delu uslova H5, tada vaжi ψ i H za bar jedan i {1, 2}. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ 1, pa samim tim je i M = (ψ 1 ψ 2 ). φ je oblika ψ 1 ψ 2. Pretpostavimo ψ 1 ψ 2 H. Prema H6 tada vaжi ψ i H za neki i {1, 2}. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ i, odakle zakǉuqujemo M = ψ 1 ψ 2. Za drugi deo tvrđeǌa, pretpostavimo (ψ 1 ψ 2 ) H. Prema drugom delu uslova H6 tada vaжi ψ 1, ψ 2 H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ 1 i M = ψ 2, pa samim tim i M = (ψ 1 ψ 2 ). φ je oblika xψ(x). Pretpostavimo prvo xψ(x) H. Za svaki zatvoren term t prema uslovu H6 vaжi ψ(t) H pa, prema induktivnoj hipotezi, vaжi i M = ψ(t). Prema lemi 1.2.3 tada vaжi i M = ψ(t M ). Kako je svaki element modela M interpretacija nekog zatvorenog terma, zakǉuqujemo da vaжi M = xψ(x). Da dokaжemo drugi deo tvrđeǌa, pretpostavimo da xψ(x) H. Prema H6 postoji zatvoren term t takav da ψ(t) H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ(t), pa primenom leme 1.2.3 dobijamo M = ψ(t M ) odakle zakǉuqujemo M = xψ(x). 20

φ je oblika xψ(x). Pretpostavimo prvo xψ(x) H. Uslov H7 garantuje da postoji zatvoren term t takav da je ψ(t) H. Prema induktivnoj hipotezi vaжi M = ψ(t), pa prema lemi 1.2.3 vaжi M = ψ(t M ). Zakǉuqujemo M = xψ(x). Da dokaжemo drugi deo tvrđeǌa, pretpostavimo xψ(x) H. Prema H7 za svaki zatvoren term t vaжi ψ(t) H. Prema induktivnoj hipotezi imamo M = ψ(t), pa primenom leme 1.2.3 dobijamo M = ψ(t M ). Kako je svaki element modela oblika t M, zakǉuqujemo M = xψ(x). Ovim je tvrđeǌe uslova (2.5) u potpunosti dokazano. Primetimo da iz ǌega neposredno sledi da je M model teorije H, qime je dokaz teoreme kompletiran. 2.2 Teorema kompaktnosti Teorija T jezika L je zadovoǉiva ako ima model; T je konaqno zadovoǉiva ako je svaki ǌen konaqan podskup zadovoǉiv. Teorema kompaktnosti. Svaka konaqno zadovoǉiva teorija ima model. Teorija T je maksimalna ako za svaku reqenicu φ vaжi: ili φ T ili φ T. Primetimo da maksimalnost ne povlaqi zadovoǉivost. Lema 2.2.1. Svaka konaqno zadovoǉiva teorija T se moжe proxiriti do maksimalne, konaqno zadovoǉive teorije istog jezika. Dokaz. Pretpostavimo da je T konaqno zadovoǉiva i da je φ reqenica jezika L. Tvrdimo da je bar jedna od teorija T {φ} i T { φ} je konaqno zadovoǉiva. U suprotnom, postoje konaqne teorije T 0, T 0 T takva da nijedna od teorija T 0 {φ} i T 0 { φ} nije zadovoǉiva. Kako je teorija T 0 T 0 konaqna podteorija teorije T, ona je zadovoǉiva: postoji M = T 0 T 0. U modelu M zadovoǉena je taqno jedna od reqenica φ i φ; bez umaǌeǌa opxtosti, neka je to φ. Tada je M model teorije T 0 {φ} xto je u kontradikciji sa pretpostavkom da ta teorija nije zadovoǉiva. Time je tvrđeǌe dokazano. Ostatak dokaza leme je rutinska primena aksiome izbora. Posmatrajmo skup svih konaqno zadovoǉivih teorija T T parcijalno uređen inkluzijom. Prema Hausdorfovom principu maksimalnosti ovo parcijalno uređeǌe ima maksimalan (u odnosu na inkluziju) lanac L. Neka je T unija svih elemenata tog lanca L. Pokaжimo da je T konaqno zadovoǉiva teorija. Svaka konaqna podteorija T 0 T je sadrжana u nekoj teoriji koja pripada lancu L, a ta teorija je konaqno zadovoǉiva, pa je T 0 zadovoǉiva. Prema tome, T je konaqno zadovoǉiva. Slede e, tvrdimo da je T maksimalna teorija. Zaista, ako je φ reqenica jezika L, tada je prema gorǌem tvrđeǌu bar jedna od teorija T {φ} i T { φ} konaqno zadovoǉiva pa, zbog maksimalnosti izabranog lanca, ta teorija ne moжe biti pravi nadskup teorije T. Samim tim, bar jedna od reqenica φ i φ pripada teoriji T, pa je T maksimalna teorija. Lema 2.2.2. Pretpostavimo da teorija T jezika L zadovoǉava slede e uslove: 1. T je maksimalna. 2. T je konaqno zadovoǉiva. 21

3. (Henkinov uslov) Za svaku formulu ϕ(x) jezika L vaжi: ako x ϕ(x) T tada ϕ(c) T za neki simbol konstante c jezika L. Tada je T Hintikin skup reqenica jezika L. Dokaz. Ispuǌenost uslova H0-H6 je neposredna posledica maksimalnosti i konaqne zadovoǉivosti teorije T. Za proveru ispuǌenosti prvog dela uslova H7 pretpostavimo da vaжi xφ(x) T. Neka je t zatvoren term jezika L. Kako skup { xφ(x), φ(t)} oqito nije zadovoǉiv, zbog maksimalnosti mora biti φ(t) / T. Odavde, zbog maksimalnosti, dobijamo φ(t) T, xto potvrđuje ispuǌenost prvog dela uslova H7. Radi provere drugog dela, pretpostavimo xφ(x) T. Kako skup { xφ(x), x φ(x)} nije zadovoǉiv, zakǉuqujemo x φ(x) / T odakle, zbog maksimalnosti, sledi x φ(x) T. Prema Henkinovom uslovu vaжi φ(c) T za neki simbol konstante, qime smo pokazali ispuǌenost uslova H7. Ispuǌenost uslova H8 se proverava na sliqan naqin. Kao neposrednu posledicu Leme 2.2.2 i Teoreme 2.1.2 imamo: Posledica 2.2.3. Svaka maksimalna, konaqno zadovoǉiva teorija koja ispuǌava Henkinov uslov je zadovoǉiva. Neka su L L jezici prvog reda i neka je T teorija jezika L. ǋu moжemo posmatrati i kao teoriju jezika L. Nije texko pokazati da se zamena jezika ne utiqe na (konaqnu) zadovoǉivost teorije. Zaista, ako T ima model (jezika L), tada taj model obogatimo do modela jezika L proizvoǉno interpretiraju i simbole jezika L L, qime ne utiqemo na zadovoǉivost L-reqenica, pa je novodobijena struktura takođe model teorije T. Na sliqan naqin se pokaжe i obrnuta implikacija. Lema 2.2.4. Ako je T konaqno zadovoǉiva teorija jezika L i C skup novih simbola konstanti mo i L + ℵ 0, tada postoji maksimalna, konaqno zadovoǉiva teorija T T jezika L C = L C takva da za svaku formulu φ(x) jezika L vaжi: ako xφ(x) T tada φ(c) T za neki c C. Dokaz. Neka je κ = L + ℵ 0 i neka je C = {c i i < κ} numeracija elemenata skupa C. Prema Lemi 2.2.1, postoji maksimalna, konaqno zadovoǉiva teorija T 0 T jezika L. Prema prethodnom razmatraǌu, T 0 je konaqno zadovoǉiva teorija jezika L C. Neka je {φ i (x) i < κ} numeracija svih formula φ(x) jezika L takvih da xφ(x) T 0. Za ξ κ definiximo T ξ = T 0 {φ j (c j ) j < ξ}. Tada je (T ξ ξ κ) rastu i (u odnosu na inkluziju) lanac teorija, jer je T ξ+1 = T ξ {φ ξ (c ξ )} i T η = i<η T i za graniqne ordinale η. 1 Tvrdimo da je teorija T ξ (jezika L C ) konaqno zadovoǉiva za svaki ξ κ. Dokaz provodimo indukcijom po ξ. Za ξ = 0 tvrđeǌe oqito vaжi. Pretpostavimo da ono vaжi za sve i < ξ i dokaжimo da vaжi i za ξ. Imamo dva sluqaja: Sluqaj 1. ξ je graniqni ordinal. U ovom sluqaju vaжi T ξ = i<ξ T i, pa je konaqne zadovoǉivost teorije T ξ posledica konaqne zadovoǉivosti teorija T i za i < ξ, jer je svaka konaqna teorija T T ξ sadrжana u nekoj teoriji T i. 1 Za ovakav lanac se kaжe i da je neprekidan. 22