Mera, integral i izvod

Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014.

2

Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori......................... 11 1.4 Prostori R, R i R n........................ 13 1.5 Bnhovi i Hilbertovi prostori.................. 17 2 Pozitivne mere 21 2.1 Merljivi skupovi.......................... 21 2.2 Monotone fmilije......................... 27 2.3 Merljive funkcije......................... 30 2.4 Pozitivne mere.......................... 39 2.5 Konstrukcij Krteodorij................... 44 3 Lebegov mer 49 3.1 Lebeg-Stiltjesov mer n R................... 49 3.2 Lebegov mer n R....................... 54 3.3 Lebegov mer n R n....................... 60 3.4 Trnsformcije prostor R n................... 62 4 Integrl 73 4.1 Integrl proste nenegtivne funkcije............... 73 4.2 Integrl nenegtivne merljive funkcije.............. 75 4.3 Integrl proširene relne merljive funkcije.............................. 81 4.4 Integrl kompleksne merljive funkcije.............. 85 3

4 SADRŽAJ 4.5 Lebegov integrl.......................... 95 5 Konvergencije nizov funkcij 103 5.1 L p prostori............................. 103 5.2 Konvergencij po meri...................... 110 6 Kompleksne mere 115 6.1 Apsolutn vrijcij kompleksne mere.............. 115 6.2 Apsolutn neprekidnost i singulrnost.............. 120 6.3 Teoreme Rdon-Nikodime i Lebeg.............. 123 6.4 Dekompozicij mere i prostor.................. 129 7 Izvod 131 7.1 Vitlijev pokrivč......................... 131 7.2 Monotone funkcije........................ 134 7.3 Funkcije ogrničene vrijcije.................. 140 7.4 Apsolutno neprekidne funkcije.................. 144 7.5 Teoreme diferencijlnog i integrlnog rčun.......... 151 7.6 Diferencijbilne funkcije ko skup prve ktegorije....... 154 7.7 Vžni primeri u teoriji funkcij.................. 158 8 Mer i integrcij n proizvodu prostor 165 8.1 Proizvod merljvih prostor.................... 165 9 Reprezentcije funkcionl 167 9.1 Reprezentcij pozitivnih funkcionl n C c ()........ 167 9.2 Aproksimcije neprekidnim funkcijm............. 168 9.3 Reprezentci ogrničenih funkcionl n L p (, µ)...... 168 9.4 Reprezentcij ogrničenih funkcionl n C 0 ()....... 171 10 Diferencirnje mer 173 11 Vektorske mere 175

Predgovor Izloženi rezultti predstvljju osnovni mterijl z izučvnje mere, integrl i izvod, uzimjući u obzir potrebe student n rzličitim nivoim studij. Čitnje kompletnog tekst uslovljeno je poznvnjem element opšte i linerne lgebre, ko i teorije skupov. Posebno, vžno je rzumeti gustinu skupov Q i I u skupu relnih brojev R, postojnje supremum i infimum podskupov od R, rzlikovti prebrojive skupove (N, Z, Q) od neprebrojivih skupov (I, R, C), ko i uočiti primenu ksiome izbor. Poznvnje ɛ-δ tehnike je svud neophodno. Glve 2-4 sdrže mterijl nmenjen prevshodno studentim osnovnih kdemskih studij. Ovj mterijl čitlc može svldti uz poznvnje osnov mtemtičke nlize: diferencijlnog i integrlnog rčun funkcije jedne promenljive, ko i osobin brojnih i funkcionlnih redov. Glve 5-8 su ozbiljnije prirode i nmenjene su studentim mster kdemskih studij. Neophodno je poznvnje element funkcionlne nlize i topologije. U ovom trenutku tekst nije kompletn, tko de im slovnih i drugih grešk. Konstntno se rdi n poboljšnju mterijl nmenjenog studientim (obrtiti pžnju n dtum upisn n prvoj strni). Studenti su u obvezi d konsultuju dodtnu literturu, koj je nveden u spisku referenci. Obvezno posetiti bilioteku Fkultet. 5

6 SADRZ AJ

Glv 1 Uvod Ov glv predstvlj rekpitulciju pojmov i teorem koje se koriste u ovom rukopisu, li pri tome ne predstvljju glvnu temu izučvnj. Sdržj ove glve ne može zmeniti detljno izučvnje relne prve, topoloških, metričkih, ili normirnih prostor. 1.1 Osnovni pojmovi Smtrmo d je student upoznt s ɛ-δ definicijm i tehnikm dokzivnj. Podvlčimo neophodnost rzumevnj sledećih osnovnih princip. 1) Uočvnje rzlike izme du prebrojivih i neprebrojivih skupov. Skupovi N, Z i Q su prebrojivi, skupovi I, R i C su neprebrojivi. Skup je njviše prebrojiv, ko je končn ili prebrojiv. 2) Postojnje infimum i supremum podskupov od R. Nek je A R. Infimum skup A, u oznci inf A, jeste njveć donj grnic skup A. Ako je A =, ond je inf A = +. Ako je A i A je odozdo ogrničen, td postoji inf A R. Ako A nije odozdo ogrničen, td je inf A =. Supremum skup A, u oznci sup A, je njmnj gornj grnic skup A. Ako je A =, td je sup A =. Ako je A i A je odozgo ogrničen, td postoji sup A R. Ako A nije odozgo ogrničen, td je sup A = +. Slično ko je A R = R {, + }. 3) Skupovi Q i I su gusti u skupu R. Ako je (, b) proizvoljn intervl u skupu R, td postoji beskončno mnogo rcionlnih brojev u intervlu (, b), tko de postoji beskončno mnogo ircionlnih brojev u ovom intervlu. 7

8 GLAVA 1. UVOD Ako je (A i ) i nek fmilij skupov, pri čemu je I indeksni skup, td je direktni proizvod skupov ove fmilije definisn n sledeći nčin: A = i I A i = {f f : I i I A i, ( i I)f(i) A i }. Dkle, prirodno je z element A uvesti formu = ( i ) i I, pri čemu je i A i z svko i I. Aksiom izbor tvrdi d ko su svi skupovi A i neprzni, td je i njihov direktn proizvod A tko de neprzn skup. Drugim rečim, ko su svi skupovi A i neprzni, ond postoji procedur formirnj nekog skup B, koji sdrži br po jedn element svkog skup A i. Npomen 1.1.1. Često koristimo oznku x := y s sledećim znčenjem: novoj veličini x dodeljujemo istu vrednost koju im poznt veličin y, u njširem smislu (n primer, x, y mogu biti brojevi, izrzi, funkcije, skupovi,... ). 1.2 Topološki prostori Nek je neprzn skup i nek je P() prtitivni skup od. Pretpostvimo d fmilij τ P() zdovoljv sledeće uslove: (1), τ; (2) Ako je A, B τ, td je A B τ; (3) Ako je I proizvoljn (indeksni) skup, i ko je (A i ) i I fmilij skupov s svojstvom A i τ z svko i I, td je i I A i τ. Td je τ topologij n skupu, ure den pr (, τ) je topološki prostor. U slučju d se topologij τ n skupu podrzumev, ond se može krtko reći d je topološku prostor. Elementi topologije τ nzivju se otvoreni skupovi. Ako je A i (, τ) je topološki prostor, ond je unutršnjost skup A, u oznci int A, definisn ko int A = {G : G A, G τ}. Dkle, int A je njveći otvoren skup sdržn u A.

1.2. TOPOLOŠKI PROSTORI 9 Teorem 1.2.1. Nek je (, τ) topološki prostor i G. Td je G τ ko i smo ko je G = int G. Skup A je ztvoren, ko i smo ko je A c τ. Nek je Ϝ fmilij svih ztvorenih skupov prostor (, τ). Dkle, A Ϝ ko smo ko je A c τ. N osnovu De Morgnovih 1 prvil z uniju, presek i komplement skupov, vži sledi sledeći rezultt. Teorem 1.2.2. Nek je (, τ) toploški prostor i nek je Ϝ fmilij odgovrjućih ztvorenih skupov u. Td vže sledeć svojstv: (1), Ϝ; (2) Ako je A, B Ϝ, td je A B Ϝ; (3) Ako je I proizvoljn (indeksni) skup, i ko je (A i ) i I fmilij skupov s svojstvom A i Ϝ z svko i I, td je i I A i Ϝ. Ako je (, τ) topološki prostor, td je ztvorenje skup A, u oznci cl A, definisno ko cl A = {F : F A, F Ϝ}, pri čemu je Ϝ odgovrjuć fmilij ztvorenih skupov u. Proizilzi d je cl F njmnji ztvoren podskup od koji sdrži skup F. Teorem 1.2.3. Nek je (, τ) topološki prostor i F. Td je F Ϝ ko i smo ko je F = cl F. Nek su (, τ 1 ), (Y, τ 2 ) topološki prostori, i nek je f : Y preslikvnje. f je neprekidno preslikvnje n skupu, ko z svko G τ 2 vži f 1 (G) τ 1. Teorem 1.2.4. Nek su Ϝ 1 i Ϝ 2 fmilije ztvorenih skupov u topološkim prostorim (, τ 1 ) i (Y, τ 2 ), redom. Preslikvnje f : Y je neprekidno, ko i smo ko z svko F Ϝ 2 vži f 1 (F ) Ϝ 1. Nek je (, τ) topološki prostor. Ako je x A, U, i ko postoji V τ, tko d je x V U, td je U okolin tčke x. Nek su (, τ 1 ) i (Y, τ 2 ) topološki prostori, i nek je f : Y preslikvnje. f je neprekidno u tčki x, ko z svku okolinu V tčke f(x) u prostoru Y, postoji okolin U tčke x u prostoru, tko d je f(u) V. 1 Augustus De Morgn (1806-1871), britnski mtemtičr i logičr

10 GLAVA 1. UVOD Teorem 1.2.5. Nek su (, τ 1 ) i (Y, τ 2 ) topološki prostori, i nek je f : Y preslikvnje. f je neprekidno preslikvnje n skupu, ko i smo ko je f neprekidno u svkoj tčki x. Fmilij skupov (G i ) i I je pokrivnje skup K, ko je K i I G i. Ako su G i otvoreni skupovi u topološkom prostoru, td je (G i ) i I otvoreno pokrivnje skup G. Skup K je kompktn u topološkom prostoru, ko se svko otvoreno pokrivnje skup K može svesti n končno pokrivnje. Prostor je kompktn, ko je sm z sebe kompktn skup. Skup svih kompktnih podskupov od oznčvmo s κ. Teorem 1.2.6. Nek su (, τ 1 ) i (Y, τ 2 ) topološki prostori, i nek je f : Y neprekidno preslikvnje. Ako je K kompktn skup u, td je f(k) kompktn skup u Y. Prostor je loklno kompktn, ko z svko x postoji okolin U tčke x, tko d je cl U kompktn skup. Npomen 1.2.1. Lokln kompktnost je topološk krkterizcij končno dimenzionlnih normirnih vektorskih prostor. Topološki prostor (, τ) je Husdorfov 2, ko z svke dve rzličite tčke x, y postoje uzjmno disjunktni skupovi U, V τ, tko d je x U i y V. Teorem 1.2.7. Nek je loklno kompktn Husdorfov prostor, K U, U je otvoren i K je kompktn. Td postoji otvoren skup V, tko d je cl V komptn, i U V cl V K. Definicij 1.2.1. Nek je f kompleksn (ili reln) funkcij, definisn i neprekidn n topološkom prostoru. Nosč funkcije f, u oznci supp(f), jeste skup supp(f) = cl{x : f(x) 0}. Skup svih kompleksnih (ili relnih) neprekidnih funkcij f n, s osobinom d je supp(f) kompktn skup u, oznčv se s C c (). 2 Felix Husdorff (1868-1942), nemčki mtemtičr

1.3. METRIČKI PROSTORI 11 Vžn krkterizcij loklno kompktnih Husdorfovih prostor jeste Urisonov 3 lem. Teorem 1.2.8. (Urison) Nek su E, F ztvoreni i uzjmno disjunktni podskupovi loklno kompktnog Husdorfovog prostor. Ako je E kompktn skup, td postoji neprekidn funkcij f : [0, 1], tko d je f(x) = 0 z svko x E, i f(x) = 1 z svko x F. Definicij 1.2.2. Nek je f kompleksn (ili reln) funkcij, definisn i neprekidn n topološkom prostoru. Funkcij f isčezv u beskončnosti, ko z svko ɛ > 0 postoji kompktn podskup K od, tko d z svko x \ K vži f(x) < ɛ. Skup svih neprekidnih funkcij n koje isčezvju u beskončnosti, oznčv se s C 0 (). Nije teško dokzti sledeći rezultt. Teorem 1.2.9. Nek je topološki prostor. Td je C c (x) C 0 (). Štviše, C c () = C 0 () ko i smo ko je kompktn prostor. 1.3 Metrički prostori Nek je neprzn skup i d : R preslikvnje koje zdovoljv sledeće uslove: (1) d(x, y) 0 z svko x, y ; (2) d(x, y) = d(y, x) z svko x, y ; (2) d(x, y) = 0 ko i smo ko je x = y; (3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) z svko x, y, z. Td je d metrik n skupu, ure den pr (, d) je metrički prostor. Jednostvnije, je metrički prostor, ko se metrik d podrzumev. U metričkom prostoru definisni su pojmovi: otovren kugl, ztvoren kugl i sfer s centrom u tčki poluprečnik r > 0 n sledeći nčin: B(; r) = {x : d(, x) < r}, B[; r] = {x : d(, x) r}, S(; r) = {x : d(, x) = r}. Skup A je otvoren u metričkom prostoru (, d), ko z svko x A postoji kugl B(; r) A. Fmilij svih otvorenih skupov u čini topologiju u, indukovnu metrikom d. 3 Pvel Smuilovich Urysohn (1898-1924), ruski mtemtičr

12 GLAVA 1. UVOD Ako drugčije ne nglsimo, smtrmo d je topologij u metričkom prosotru uvek indukovn metrikom. Niz tčk ( n ) n u metričkom prostoru (, d) konvergir k tčki (u smislu metrike d), ko z svko ɛ > 0 postoji n 0 N, tko d je z svko n n 0 ispunjeno d( n, ) < ɛ. Td je grničn vrednost niz ( n ) n, u oznci lim n =. Ekvivlentno, lim n = ko i smo ko z svku kuglu B(; r) poluprečnik r > 0, postoji n 0 N tko d je z svko n n 0 ispunjeno n B(; r). Teorem 1.3.1. Skup A u metričkom prostoru (, d) je ztvoren, ko i smo ko: z svki niz ( n ) n s svojstvim n A z svko n N i lim n =, sledi d je A. Nek je A i A. Tčk je tčk ngomilvnj skup A, ko postoji niz (x n ) n rzličitih tčk skup A, tko d je lim x n =. Drugim rečim, tčk je tčk ngomilvnj skup A, ko u svkoj kugli B(; r) (r > 0) postoji beskončno mnogo tčk skup A. Skup svih tčk ngomilvnj skup A oznčen je s cc A. Tčk A je izolovn tčk skup A, ko nije tčk ngomilvnj skup A. Skup svih izolovnih tčk skup A oznčen je s iso A. Dkle, iso A = A \ (cc A). Tčk je rubn tčk skup A, ko svk kugl B(; r) (r > 0) im neprzn presek i s skupom A i s skupom A c. Skup svih rubnih tčk skup A oznčv se s bd A. Niz ( n ) n u metričkom prostoru je Košijev, ko z svko ɛ > 0 postoji n 0 N, tko d z sve brojeve m, n N vži implikcij: m, n n 0 = d( n, m ) < ɛ. Teorem 1.3.2. Ako je niz ( n ) n konvergentn u metričkom prostoru, td je ovj niz i Košijev. Poznto je d u opštem slučju postoje Košijevi nizovi koji nisu konvergentni. Me dujtim, vži sledeći rezultt. Teorem 1.3.3. Nek je ( n ) n Košijev niz u metričkom prosotru. Ako postoji konvergentn podniz ( nk ) k ovog niz, tko d je lim k nk =, td je i niz ( n ) n konvergentn i vži lim n =.

1.4. PROSTORI R, R I R N 13 Metrički prostor je kompletn, ko u prostoru svki Košijev niz jeste konvergentn. Teorem 1.3.4. Skup K je kompktn u metričkom prostoru (, d), ko i smo ko z svki niz ( n ) n u skupu K postoji podniz ( nk ) k niz ( n ) n, tko d je lim k nk = K. Nek je (, d) metrički prostor, i nek je E. Skup E je nigde gust, ko je int(cl E) =. Skup E je prve ktegorije, ko je E = E n, pri čemu su svi E n nigde gusti skupovi (eventulno, neki skupovi E n su przni). Svki skup koji nije prve ktegorije, jeste druge ktegorije. Dkle, može se reći d su skupovi druge ktegorije veći od skupov prve ktegorije. Poznt je i vžn sledeći rezultt Ber 4 o ktegorijm. Teorem 1.3.5. (Ber) Ako je kompletn metrički prostor, td je druge ktegorije. 1.4 Prostori R, R i R n U skupu R metrik je definisn n uobičjeni nčin: d(x, y) = x y, x, y R. Smtrmo d je topologij u R uvek odre den pomenutom metrikom d. Očigledno, otvoreni intervli (, b), (, + ), (, b) i (, + ) u skupu R jesu otvoreni skupovi (, b R i < b). Lko je proveriti d svki otvoreni skup u R jeste unij nekih otvorenih intervl. Dokzujemo sledeće preciznije i korisno tvr denje. Teorem 1.4.1. Svki otvoren skup G u R je njviše prebrojiv unij disjunktnih otvorenih intervl iz R. Pri tome, ovi intervli su jedinstveno odre deni skupom G. Dokz. Ako je G = R ili G =, ond je tvr denje dokzno. Stog pretpostvimo d je G neprzn otvoren skup u R i G R. Nek je x G. Td postoji intervl ( 0, b 0 ), tko d je x ( 0, b 0 ) G. Me du svim ovkvim intervlim, postoji njveći mogući intervl, odnosno postoji intervl (, b) tko d x (, b) G,, b / G. Do ovog intervl se dolzi n sledeći nčin: b = inf([x, + ) G c ), = sup((, x] G c ). 4 René-Louis Bire (1874-1932), frncuski mtemtičr

14 GLAVA 1. UVOD Intervl (, b) je komponentni intervl koji sdrži tčku x G. Očigledno, svkoj tčki x G odgovr tčno jedn komponentni intervl. Dkle, skup G je unij fmilije svih svojih komponentnih intervl, pri čemu su komponentni intervli jednoznčno odre deni. Osim tog, komponentnih intervl ne može biti više od rcionlnih brojev (svki komponentni intervl sdrži neki rcionln broj), te sledi d komponentnih intervl im njviše prebrojivo mnogo. Prethodno tvr denje ne vži u prostoru R n z n > 1. Nek je x = (x 1,..., x n ) R n i y = (y 1,..., y n ) R n. Podrzumevn metrik u R n je Euklidov 5 metrik, definisn ko d(x, y) = x y = (x 1 y 1 ) 2 + + (x n y n ) 2. Pretpostvimo d u prostoru R n ulogu otvorenih intervl igrju otvorene kugle. Drugim rečim, ko je x R n i r > 0, osnovni otvoreni skupovi u R n jesu K(x, r) = {y R n : x y < r}. Drugi pristup je d ulogu otvorenih intervl u prostoru R n imju n- intervli. Nek je i, b i R i i < b i z svko i = 1,..., n. Td je P = n ( i, b i ) = {x = (x 1,..., x n ) R n : i < x i < b i, i = 1, 2,..., n} i=1 otvoren n-intervl u prostoru R n. Primer 1.4.1. Pretpostvimo d je otvoreni kvdrt u rvni prebrojiv unij uzjmno disjunktnih otvorenih kugli. Td dijgonl polznog kvdrt (posmtrn ko podskup prve) mor biti njviše prebrojiv unij uzjmno disjunktih otvorenih intervl (intervl koji su otvoreni podskupovi prve). Poslednje tvr denje očigledno nije moguće. Anlogno, nek je otvoren krug u rvni prebrojiv unij uzjmno disjunktnih otvorenih prvougonik. Td je prečnik (koji nije pprleln koordintnim osm) tog krug prebrojiv unij uzjmno disjunktnih otvorenih intervl (intervl n prvoj), što tko de nije moguće. U nekim situcijm korisno je zmeniti otvorene intervle (, b) poluztvorenim intervlim [, b) (ili (, b]). N primer, nek je < b i n 0 N, tko d je 1 n 0 < b. Td je, očigledno, 5 Euklid iz Aleksndrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grčki mtemtičr

1.4. PROSTORI R, R I R N 15 (, b) = [ + 1 ) (, b n 0 n=n 0 [ + 1 n + 1, + 1 ) ), n pri čemu su svi poluztvoreni intervli n desnoj strni me dusobno disjunktni, i im ih prebrojivo mnogo. Anlogno rzmtrnje vži i z intervle ztvorene s desne strne. N osnovu prethodnog rezonovnj, formulišemo rezultt. Teorem 1.4.2. Svki otvoren skup G u R je prebrojiv unij uzjmno disjunktnih poluztvorenih intervl, pri čemu su svi intervli ztvoreni s leve strne, ili su svi intervli ztvoreni s desne strne. Ndlje, jednostvnosti rdi, posmtrćemo intervle oblik [, b). Problemi merenj skupov dovode do situcije d vrednosti nekih funkcij mogu biti beskončno velike. N primer, prirodno je uzeti d je dužin relne prve jednk +. Stog je potrebno rzmotriti i proširenu relnu prvu, odnosno skup R = [, + ]. U skupu R umesto definisnj metrike, definišemo fmiliju otvorenih skupov. N tj nčin, skup R rzmtrćemo ko topološki prostor, u kome je R potprostor. Drugim rečim, ko je U R, ond je U otvoren u R, ko i smo ko je U = R V, gde je V R i V je otvoren u R. Dkle, otvoreni intervl u skupu R je svki skup oblik (, b), [, b), (, + ], [, + ], z, b R, < b. Skup G R je otvoren, ko je unij otvorenih intervl. Lko je utvrditi d je dovoljno posmtrti njviše prebrojive unije otvorenih intervl (u svkom otvorenom intervlu postoji neki rcionln broj, te stog disjunktnih intervl ne može biti više nego rcionlnih brojev; ko intervli nisu disjunknti, njihov unij je ponovo intervl). U skupu R poluztvoreni intervli s leve strne jesu: [, b), [, b), [, + ], [, + ],, b R, < b. Anlogno su definisni poluztvoreni intervli s desne strne. Z otvorene podskupove skup R lko je dokzti sledeće tvr denje. Teorem 1.4.3. Svki otvoreni skup u R je njviše prebrojiv unij uzjmno disjunktnih otvorenih intervl, pri čemu su ti intervli jednoznčno odre deni.

16 GLAVA 1. UVOD Svki otvoreni skup u R je prebrojiv unij uzjmno disjnuktnih poluztvorenih intervl u R, pri čemu su svi intervli ztvoreni s leve strne, ili su svi ztvoreni s desne strne. Dokz ovog tvr denj je nlogn dokzu z otvorene skupove u R. Algbrske opercije u skupu R definisne su n uobičjeni nčin. N primer, ko je R, td je + = +, (+ ) = + ko je > 0, i slično. Nije moguće definisti +, dok je, s druge strne, po konvenciji 0 = 0. Ovu neobičnu konvenciju suštinski koristimo smo u integrciji. Nime, integrl nul-funkcije n skupu beskončne mere biće jednk nuli. Tko de, integrl proizvoljne funkcije n skupu mere nul biće tko de jednk nuli. Ov prost svojstv integrljenj su posledic prethodno uvedene konvencije. Z ovko uvedene opercije u skupu R vže uobičjene lgebrske osobine. S druge strne, opercij množenj nije neprekidn u skupu R. N primer, nek je n = 1/n i b n = n, z svko n N. Td je n b n = 1, n 0 i n + kd n +. N krju uvodnog del opisujemo strukturu otvorenih skupov u R n z n > 1. Teorem 1.4.4. Svki otvoreni skup u R n jeste njviše prebrojiv unij otvorenih kugli. Svki otvoreni skup u R n jeste njviše prebrojiv unij otvorenih n-intervl. U prethodnom tvr denju posmtrne otvorene kugle nisu obvezno uzjmno disjunktne, tko de posmtrni otvoreni n-prvougonici nisu obvezno uzjmno disjunktni. Ovu nelgodnost prevzilzimo korišćenjem poluztvorenih intervl u R n. Ako je i, b i R i i < b i z svko i = 1, 2,..., n, td su poluztvoreni n-intervli u R n odre deni n ko ili n [ i, b i ) = {x = (x 1,..., x n ) : i x i < b i, i = 1, 2,..., n}, i=1 n ( i, b i ] = {x = (x 1,..., x n ) : i < x i b i, i = 1, 2,..., n}. i=1 Poluztvoreni n-intervli omogućvju formirnje disjunktih unij n sledeći nčin.

1.5. BANAHOVI I HILBERTOVI PROSTORI 17 Teorem 1.4.5. Svki otvoren skup u R n je prebrojiv unij uzjmno disjunktnih poluztvorenih n-intervl, tko d su svi n-intervli ztvoreni s leve strne, ili su svi ztvoreni s desne strne. 1.5 Bnhovi i Hilbertovi prostori Nek je V vektorski prostor nd K (K = R ili K = C). Skup B (B V ) je lgebrsk bz prostor V, ko z svko x V postoji jedinstveno n N, jedinstveni vektori e 1,..., e n B i jedinstveni sklri λ 1,..., λ n K, tko d je x = λ 1 e 1 + + λ n e n. Ako su B 1 i B 2 dve lgebrske bze vektorskog prostor V, ond su krdinlnosti ovih bz jednke, odnosno crd(b 1 ) = crd(b 2 ). Dokz ove činjenice zsniv se n Aksiomi izbor, i ovde g nećemo nvoditi. Ako je V vektorski prostor s lgebrskom bzom B, td je crd(b) dimenzij prostor V, u oznci dim V. Ako bz B im končno mnogo element, ond je dim V prirodn broj, prostor V je končno dimenzionln. Ako je B beskončn skup, ond se ne upuštmo u rzmtrnje krdinl crd(b). U ovom slučju je V beskončno dimenzionlni prostor, uz krtku oznku dim V =. Funkcij : V R je norm n vektorskom prostoru V, ko su ispunjeni sledeći uslovi: (1) x 0 z svko x V ; (2) x = 0 ko i smo ko je x = 0; (3) λx = λ x z svko x V i svko λ K; (4) x + y x + y z svko x, y V (nejednkost trougl). U tom slučju je (, ) normirn prostor. Jednostvnije, je normirn prostor ko se norm n neki nčin podrzumev. Ako je normirn prostor, td je metrik d, indukovn normom, definisn ko d(x, y) = x y z svko x, y V. Ako drugčije ne nglsimo, podrzumevmo d je metrik n normirnom prostoru uvek indukovn normom. Ako je i r > 0, td je B[; r] = {x : x r} ztvoren kugl s centrom u poluprečnik r. Teorem 1.5.1. Ztvoren kugl B[; r] je komktn skup u normirnom prostoru, ko i smo ko je končno dimenzionln prostor.

18 GLAVA 1. UVOD Ako je normirn prostor i je kompletn metrički prostor u odnosu n metriku indukovnu normom, ond je Bnhov 6 prostor. U prostoru R n koristi se Euklidov norm. Ako je x = (x 1,..., x n ) R n, td je x = x 2 1 + + x 2 n. Prostor R n je Bnhov u odnosu n ovko uvedenu normu. Ako je vektorski prostor nd K (K = R ili K = C), td je sklrni proizvod u funkcij, : K s sledećim osobinm: (1) x, x 0, x ; (2) x, x = 0 ko i smo ko je x = 0; (3) x, y = y, x z svko x, y x (nrvno, konjugovnje nem nikkvu funkciju u slučju relnog vektorskog prostor); (4) λx + µy, z = λ x, z + µ y, z, x, y, z, λ, µ K. Skup, n kome je definisn sklrni proizvod, nziv se unitrn prostor. N unitrnom prostoru postoji norm koj je indukovn sklrnim proizvodom, i to: x = x, x, x. Ako je Bnhov prostor u odnosu n normu indukovnu sklrnim proizvodom, ond je Hilbertov 7 prostor. U prostoru R n je sklrni proizvod uveden ko x, y = n x j y j, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n. j=1 Očigledno, Euklidov norm n R n zdovoljv uslov x = x, x, x R n, te je R n Hilbertov prostor. Sklrni proizvod u C n definisn je ko x, y = n x j y j, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) C n. j=1 6 Stefn Bnch (1892-1945), poljski mtemtičr 7 Dvid Hilbert (1862-1943), nemčki mtemtičr

1.5. BANAHOVI I HILBERTOVI PROSTORI 19 Npominjemo d je neophodn obzrivost, jer se, n primer, u fizici po prvilu konjuguje prvi činilc. Norm indukovn sklrnim proizvodom u C n je Euklidov norm: x = x, x, x C n. Prostor C n u odnosu n ovko definisnu normu jeste Hilbertov.

20 GLAVA 1. UVOD

Glv 2 Pozitivne mere 2.1 Merljivi skupovi Principi merenj u mtemtici, ko i uopšte u svkodnevnim situcijm, podležu izvesnim prvilim. Mtemtički model merenj zhtev postojnje neprznog skup, ko i postojnje fmilije podskupov od koje je moguće n izvestn nčin meriti. Prve principe merenj u mtemtici, zjedno s primenm n odre divnje površine i zpremine oblih geometrijskih tel, predstvio je Arhimed 1. Nčin merenj koji ovde izučvmo, uveo je Lebeg 2. Nek je neprzn skup, i nek je P() prtitivni skup od. Drugim rečim, P() je skup svih podskupov od. Precizirmo fmiliju skupov čije elemente (tj. skupove) možemo meriti. Definicij 2.1.1. Nek je neprzn skup. Fmilij R (R P()) je σ-lgebr n, ko su ispunjeni uslovi: (1) R; (2) Ako E R, ond E c R; (3) Ako je E n R z svko n N, ond je i E n R. Ure den pr (, R) je merljiv prostor. Jednostvnije, je merljiv prostor ko se fmilij R podrzumev. Ukoliko se uslov (3) prethodne definicije zmeni slbijim uslovom: 1 Arhimed iz Sirkuze, Aρχιµηδηζ (oko 287. p.n.e. - 212. p.n.e.), grčki mtemtičr 2 Henri Léon Lebesgue (1875-1941), frncuski mtemtičr 21

22 GLAVA 2. POZITIVNE MERE (3 ) Ako E, F R, td E F R, ond je fmilij R lgebr n skupu. Uslov (3) Definicije 2.1.1 nziv se još i ztvorenost fmilije R z prebrojive unije svojih element. Dkle, σ-lgebr je ztvoren z prebrojive unije svojih element. Anlogno, lgebr je ztvoren z končne unije svojih element. Termin lgebr u prethodnoj Definiciji 2.1.1 preuzet je iz potpunijeg nziv Bulov 3 lgebr podskupov od. Primer 2.1.1. Nek je neprzn skup. Td je R 0 = {, } njmnj σ-lgebr n. Tko de, P() je njveć σ-lgebr n. Prethodni primer pokzuje d n svkom skupu postoje njmnje dve σ- lgebre. Z potrebe mtemtičke nlize potrebno je izgrditi sofisticirnije primere. N početku dokzujemo osnovn svojstv σ-lgebri. Teorem 2.1.1. Nek je R jedn σ-lgebr n skupu. Td vži: (1) R; (2) Ako E 1,..., E n R z svko n N, td E 1 E n R; (3) Ako E n R z svko n N, td E n R; (4) Ako E, F R, td E \ F R. Dokz. (1) Vži R, te je i = c R. (2) Ako je n N i E n+1 = E n+2 = = R, td sledi d je n E k = E k R. (3) Nek je E n R z svko n N. Td je (4) Nek je E, F R. Td je E \ F = E F c R. ( E n = c En) c R. Ako je A nek fmilij podskupov od, od interes je posmtrti σ- lgebre koje sdrže fmiliju A. Posebno, vžno je postojnje njmnje tkve σ-lgebre. 3 George Boole (1815-1864), engleski mtemtičr

2.1. MERLJIVI SKUPOVI 23 Teorem 2.1.2. Nek je neprzn skup i A P(). Td je σ R(A) = {R : A R, R je σ lgebr} njmnj σ-lgebr skup koj sdrži fmiliju skupov A. Dokz. Prvo dokzujemo d je σ R(A) jedn σ-lgebr. N osnovu R z svku σ-lgebru R, sledi d je σ R(A). Nek je E σ R(A) i nek je R proizvoljn σ-lgebr koj sdrži A. Td je E R, te je i E c R. Prem tome, E c σ R(A). N krju, nek je E n σ R(A) z svko n N. Ako je R proizvoljn σ-lgebr koj sdrži A, td je E n R z svko n N, te je i E n R. Sledi d je E n σ R(A). Ovim smo pokzli d je σ R(A) jedn σ-lgebr n skupu. Dokžimo d je σ R(A) njmnj σ-lgebr koj sdrži A. N osnovu konstrukcije sledi d je A σ R(A). Ako je R bilo koj σ-lgebr koj sdrži A, tko de n osnovu konstrukcije sledi d je σ R(A) R. Ovim smo dokzli d je σ R(A) njmnj σ-lgebr koj sdrži fmiliju A. Definicij 2.1.2. (Borelovi 4 skupovi) Nek je (, τ) proizvoljn topološki prostor. Td je B() = σ R(τ) fmilij svih Borelovih skupov n. Teorem 2.1.3. Nek je R njmnj σ-lgebr koj sdrži ztvorene skupove proizvoljnog topološkog prostor (, τ). Td je R = B(). Dokz. Nek je Ϝ fmilij svih ztvorenih podskupov od, i nek je R = σ R(Ϝ). Ako je F Ϝ, td je F c τ B(), odkle sledi F B(). Time je dokzno Ϝ B(). Kko je R njmnj σ-lgebr koj sdrži fmiliju Ϝ, sledi d je R B(). Nek je G τ. Td je G c Ϝ R, odkle sledi G R i τ R. Fmilij B() je njmnj σ-lgebr koj sdrži τ, te je B() R. N krju proizilzi B() = R. Nek su, redom, dte sledeće fmilije intervl u R: I 0 je fmilij svih intervl oblik (, b); I 1 je fmili svih poluztvorenih intervl oblik [, b); I 2 je fmilij svih poluztvorenih intervl oblik (, b]; I 3 je fmilij svih segment oblik [, b]. 4 Félix Édourd Justin Émile Borel (1871-1956), frncuski mtemtičr

24 GLAVA 2. POZITIVNE MERE Teorem 2.1.4. Vži jednkost B(R) = σ R(I 0 ) = σ R(I 1 ) = σ R(I 2 ) = σ R(I 3 ). Dokz. N osnovu inkluzije I 0 τ, sledi σ R(I 0 ) B(R). Nek je G τ. Td je G = ( j, b j ). j=1 Prem tome, G σ R(I 0 ). Dokzli smo τ σ R(I 0 ), te je B(R) σ R(I 0 ). Dkle, prv jednkost tvr denj je dokzn. Dokzćemo i drugu jednkost, ostle jednkosti prepuštmo čitocu z smostlni rd. Nek je R. Td je {} = ( ) 1, + 1, j j te je {} σ R(I 0 ). Tko de je [, b) = {} (, b) σ R(I 0 ), odkle sledi σ R(I 1 ) σ R(I 0 ). S druge strne, (, b) = ) [ 1j, b, te je (, b) σ R(I 1 ). Prem tome, vži i obrnut inkluzij σ R(I 0 ) σ R(I 1 ). Dokzno je σ R((I 0 )) = σ R((I 1 )). Prethodno tvr denje bez bitnijih izmen vži u prostoru R. Nek su, redom, dti sledeći tipovi intervl u R : I 0 je fmilij svih intervl oblik (, b), [, b), (, + ], [, + ]; I 1 je fmili svih poluztvorenih intervl oblik [, b), [, b), [, + ], [, + ]; I 2 je fmilij svih poluztvorenih intervl oblik (, b], [, b], (, + ], [, + ]; I 3 je fmilij svih segment oblik [, b], [, b], [, + ], [, + ]. Teorem 2.1.5. Vži jednkost j=1 j=1 B(R ) = σ R(I 0 ) = σ R(I 1 ) = σ R(I 2 ) = σ R(I 3 ). Dokzćemo d B(R) jeste prvi podskup od P(R). Drugim rečim, postoje podskupovi relne prve koji nisu Borelovi. Ako je A neki skup, td je crd(a) krdinlnost skup A. Poznto je d vži crd(p(r)) = 2 c > c. Posledic Aksiome izbor jeste d se svki skup može dobro urediti. Drugim rečim, n svkom skupu A postoji linerno ure denje, tko d z svko S A postoji min S.

2.1. MERLJIVI SKUPOVI 25 Nek su (A, A ) i (B, B ) dv dobro ure den skup. Preslikvnje f : A B je izotoni izomorfizm, ko je f bijekcij i ko z svko x, y A vži implikcij: iz x A y sledi f(x) B f(y). U tom slučju su (A, A ) i (B, B ) izotono izomorfni. U fmiliji svih dobro ure denih skupov jednostvno je proveriti d izoton izomorfnost jeste relcij ekvivlencije, koju oznčvmo s Υ. Predstvnik svke klse ekvivlencije u odnosu n relciju Υ je ordinl. Dv ordinl su jednk, ko pripdju istoj klsi ekvivlencije. Drugim rečim, dv ordinl su jednk ko i smo ko su izotono izomorfn. Ako je α = (A, A ) ordinl, td je crd(α) := crd(a). Ako su α i β ordinli, ond iz α = β sledi crd(α) = crd(β). Obrnut implikcij ne vži. Ako je α β, ond vži α β ili β A. Pri tome α = (A, A ) (B, B ) = β, ko postoji 1-1 izotono preslikvnje g : A B. Ako je α β i pri tome α β, ond je α < β. Njmnji beskončn ordinl jeste ω 0 = (N, ), pri čemu se posmtr prirodno ure denje skup N. Td je 1 + ω 0 = ω 0 i ω < ω 0 + 1. Ordinl β je nslednik, ko postoji ordinl α tko d je α + 1 = β. U tom slučju je α prethodnik ordinlu β. Ako ordinl nije nsledni, ond je α grnični ordinl. Ordinl n (n N) je nsledni, dok ordinl ω 0 jeste grnični ordinl. Njmnji neprebrojivi ordinl je ω 1. Ordinl ω 1 je grnični ordinl. Teorem 2.1.6. Nek je A fmilij nekih podskupov skup. crd(a) = ℵ 0, td je crd(σ R(A)) c. Ako je Dokz. Ako je B P(), nek je { } B σ := B n : B n B z svko n N, { } B δ := B n : B n B z svko n N, B σδ = (B σ ) δ. Nek je sd A 0 = A. Ako je α nsledni ordinl i α < ω 1, nek je A α+1 = (A α ) σδ.

26 GLAVA 2. POZITIVNE MERE Ako je α grnični ordinl i α ω 1, nek je A α = β<α(a α ) σδ. Končno, tvrdimo d je σ R(A) = A ω1. Kko je A α σ R(A) z svko α < ω 1, sledi d je A ω1 σ R(A). S druge strne, A ω1 je σ-lgebr, te je A ω1 = σ R(A). N osnovu pretpostvki, crd(a 1 ) ℵ ℵ 0 0 = c, crd(a 2 ) c ℵ 0 = c, i tko redom. Stog je crd(a ω1 ) c c = c. Konstrukcij fmilij A α u ovoj teoremi je izveden indukcijom po ordinlim, odnosno trnsfinitnom indukcijom. Posledic 2.1.1. crd(b(r)) = c, crd(b(r n )) = c. Dokz. Posmtrjmo fmiliju svih intervl I 00 koji su oblik (p, q), pri čemu je p, q Q i p < q. Td je crd(i 00 ) = crd(q 2 ) = ℵ 0. Jednostvno je dokzti B(R) = σ R(I 00 ). Prem prethodnoj Teoremi 2.1.6, sledi d je crd(b(r)) c. S druge strne, svi intervli oblik (, b) (, b R) su Borelovi skupovi i ovkvih intervl im c c = c. Dkle, crd(b(r)) = c. Dokz tvr denj u prostoru R n je nlogn. Npomen 2.1.1. Imjući u vidu d je crd(p(r)) = 2 c > c = crd(b(r)), sledi d im mnogo više podskupov od R koji nisu Borelovi, nego što im Borelovih podskupov od R. Anlogno, mnogo je više podskupov od R n, nego što im Borelovih skupov u R n. Dokz nrednog tvr denj je očigledn. Teorem 2.1.7. Nek je A sledeć fmilij intervl u R : A = {[, b), [, + ), [, b), [, + ] :, b R, < b}. Nek je R fmilij svih končnih unij uzjmno disjunktnih intervl iz A, odnosno { n } R= I j : n N 0 ; I j A z svko j = 1,... n; I i I j = z i j. j=1 Td je R lgebr n R. Mogućnost n = 0 u stvri znči R.

2.2. MONOTONE FAMILIJE 27 Definicij 2.1.3. Algebr R iz prethodnog tvr denj je Lebegov lgebr n R. Anlogno se konstruiše Lebegov lgebr n R. Posledic 2.1.2. Elementi Lebegove lgebre jesu Borelovi skupovi, odnosno vži inkluzij A B(R). 2.2 Monotone fmilije U izvesnim slučjevim fmilij skupov ne zdovoljv sve uslove σ-lgebre. Pored očigledne činjenice d nisu sve lgebre istovremeno i σ-lgebre, postoje i monotone fmilije skupov. Definicij 2.2.1. Nek je neprzn skup i nek je M fmilij podskupov od. M je monoton fmilij, ko vže sledeće dve implikcije: (1) Ako je A n M i A n A n+1 z svko n N, td je A n M; (2) Ako je A n M i A n A n+1 z svko n N, td je A n M. Očigledno, svk σ-lgebr je i monoton fmilij, dok monoton fmilij skupov nije obvezno i σ-lgebr. Teorem 2.2.1. Nek je A proizvoljn fmilij podskupov od. Td je M(A) = {M : A M, M je monoton fmilij} njmnj monoton fmilij n koj sdrži fmiliju A. Dokz. Nek je (A n ) n neopdjući niz skupov u M(A) i nek je A = Td je (A n ) n neopdjući niz skupov u svkoj monotonoj fmiliji skupov M z koju je ispunjeno A M. Dkle, A M. Sledi d je A M(A). Anlogno, ko je (B n ) n proizvoljn opdjuć fmilij skupov u M(A), ond je B = B n M(A). N tj nčin je dokzno d je M(A) jedn monoton fmilij koj sdrži A. Ako je M bilo koj monoton fmilij koj sdrži A, td je po konstrukciji M(A) M. Dkle, M(A) je njmnj monoton fmilij koj sdrži A. A n.

28 GLAVA 2. POZITIVNE MERE Vez izme du σ-lgebri, lgebri i monotonih fmilij skupov, dt je sledećom teoremom. Teorem 2.2.2. Nek je neprzn skup, i nek je R fmilij podskupov od, tko d je R istovremeno i lgebr i monoton fmilij n. Td je R jedn σ-lgebr n. Dokz. Dovoljno je dokzti d je R ztvoren z prebrojive unije svojih element. Nek je (E n ) n proizvoljn niz iz R, i z svko n N nek je A n = n E k. Fmilij R je lgebr, te sledi d je A n R z svko n N. Očigledno je A n A n+1, te je (A n ) n neopdjuć fmilij u R. Kko je R monoton fmilij, sledi d je A = A n R. S druge strne, skupovn jednkost A = E n je očigledn. Dkle, dokzli smo d je R ztvoren fmilij z prebrojive unije svojih element, te je R jedn σ-lgebr n. Formulišemo sledeći jednostvn rezultt. Posledic 2.2.1. Nek je neprzn skup i nek je R nek fmilij podskupov od. Fmilij R je σ-lgebr, ko i smo ko je R lgebr i monoton fmilij. Nek je (A n ) n proizvoljn niz podskupov od. Definišemo sledeće skupove ( ) ( ) B = A k, C = A k. Nek je B n = C n = k=n k=n k=n k=n A k z n N. Td je B n B n+1 z svko n N. Ako je A k z n N, td je C n C n+1 z svko n N. Osim tog, vže sledeće ekvivlencije: x B ( n N)( k n) x A k, Dkle, B C. x C ( n N)( k n) x A k.

2.2. MONOTONE FAMILIJE 29 Prethodni pojmovi nm omogućvju nm d definišemo donju i gornju grničnu vrednost niz skupov. Ako su ove dve grnične vrednosti jednke, ond je moguće rzmtrti grničnu vrednost posmtrnog niz skupov. Definicij 2.2.2. Nek je (A n ) n proizvoljn niz podskupov skup. Td je ( ) ( ) lim inf A n := B = A k, lim sup A n := C = A k. k=n Skup B je donj grničn vrednost, skup C je gornj grničn vrednost niz (A n ) n. Ako je B = C, ond je B = lim A n, i ovj skup je grničn vrednost niz (A n ) n. Teorem 2.2.3. (1) Ako je A n A n+1 z svko n N, td je lim A n = A n. (2) Ako je A n A n+1 z svko n N, td je lim A n = Dokz. (1) Nek je A n A n+1 z svko n N. U skldu s prethodnim oznkm, z svko n N vži B n = A k = A n, te je lim inf A n = B = B n = A n. ( S druge strne, iz C = A k ), sledi d je z svko n N ispunjeno k=n C A k. Specijlno, C A k = B. Imjući u vidu d uvek vži k=n B C, sledi d je B = C = k=n A n = lim A n. (2) Nek je A n A n+1 z svko n N. U skldu s uvedenim oznkm, z svko n N vži C n = A k = A n, te je C = C n = A n. ( k=n N osnovu B = A k ), sledi d je z svko n N ispunjeno k=n A k B. Specijlno, C = A n B. Kko je B C uvek ispunjeno, k=n sledi d vži B = C = lim A n = A n. k=n A n.

30 GLAVA 2. POZITIVNE MERE 2.3 Merljive funkcije U ovoj sekciji rzmtrmo funkcije koje se mogu izmeriti u odnosu n dtu σ-lgebru. Definicij 2.3.1. Nek je R jedn σ-lgebr n skupu, i nek je (Y, τ) topološki prostor. Funkcij f : Y je R-merljiv (merljiv u odnosu n R, ili smo merljiv), ko z svki otvoren skup G od Y vži d je f 1 (G) R. Specijlno, nek su (, τ 1 ) i (Y, τ 2 ) topološki prostori. Funkcij f : Y je B()-merljiv (Borel-merljiv, Borelov), ko z svko G τ 2 vži f 1 (G) B(). Posledic 2.3.1. Nek je (, R) merljiv prostor i nek je (Y, τ) topološki prosotor. Funkcij f : Y je R-merljiv, ko i smo ko z svko F Ϝ vži f 1 (F ) R. Dokz. Sledi n osnovu f 1 (F c ) = (f 1 (F )) c. Teorem 2.3.1. Nek su (, τ 1 ) i (Y, τ 2 ) topološki prostori. Ako je f : Y neprekidn funkcij, td je f Borelov. Dokz. Nek je f neprekidn funkcij i nek je G τ 2. Td je f 1 (G) τ 1 B(). Time je dokzno d je f Borelov funkcij. Uočvmo znčj Borelovih skupov i Borelovih funkcij. Njvžniji skupovi u nlizi, odnosno otvoreni i ztvoreni skupovi, jesu Borelovi skupovi. Osim tog, u nlizi veom vžnu ulogu imju neprekidne funkcije, z koje smo uprvo proverili d su Borelove funkcije. Ako funkcij f uzim relne vrednosti, ond je f reln funkcij. Ako f može uzeti vrednoti ili +, td je f proširen reln funkcij. Interesntno je rzmtrti i funkcije koje uzimju vrednosti iz skup C, odnosno kompleksne funkcije. Sledeći rezultt olkšv proveru merljivosti konkretne relne ili proširene relne funkcije. Teorem 2.3.2. Nek je (, R) merljiv prostor i f : R. Td su sledeć tvr denj ekvivlentn: (1) f je R-merljiv;

2.3. MERLJIVE FUNKCIJE 31 (2) {x : f(x) > } R z svko R; (3) {x : f(x) } R z svko R; (4) {x : f(x) < } R z svko R; (5) {x : f(x) } R z svko R. Dokz. (1) = (2): Nek je funkcij f R-merljiv. Skup (, + ] je otvoren u R z svko R, te je f 1 ((, + ]) = {x : f(x) > } R. (2) = (1): Pretpostvimo d je {x : f(x) > } R z svko R. Td je {x : f(x) b} = {x : f(x) > b} c R z svko b R. Sledi d je { {x : f(x) < b} = x : f(x) b 1 } R n z svko b R. N krju, f 1( (, b) ) = {x : f(x) > } {x : f(x) < b} R z svko, b R. Nek je G proizvoljn otvoren skup u R. Td je G = ( i, b i ). Sledi d vži i=1 f 1 (G) = f 1( ( i, b i ) ) R. i=1 Dkle, funkcij f je R-merljiv. Dokz preostlih ekvivlencij ostvljmo čitocu z smostln rd. Posledic 2.3.2. Nek je (, R) merljiv prostor i f : R nek je R-merljiv funkcij. Ako je R, td je f 1 ({}) R. Dokz. Ako je R, td je f 1 ({}) = Tko de je f 1 ({+ }) = (( f 1 1 n, + 1 )) R. n f 1 ((n, + ]) R. Slično se dokzuje d je f 1 ({ }) R. Iz uslov f 1 ({}) R z svko R, ne sledi R-merljivost funkcije f.

32 GLAVA 2. POZITIVNE MERE Teorem 2.3.3. Nek je (, R) merljiv porostor, i nek su f, g : R R-merljive funkicije. Td su R-merljivi sledeći skupovi: {x : f(x) < g(x)}, {x : f(x) g(x)}, {x : f(x) = g(x)}. Dokz. Skup Q je prebrojiv i gust u R, te je {x : f(x) < g(x)} = = r Q [{x : f(x) < r} {x : r < g(x)}] R. Tko de je {x : f(x) g(x)} = [{x : f(x) < g(x)}] c R i {x : f(x) = g(x)} = {x : f(x) g(x)} {x : g(x) f(x)} R. Cilj nm je d dokžemo kko osnovne opercije n merljivim funkcijm tko de dju ko rezultt merljivu funkciju. Teorem 2.3.4. Nek je (, R) merljiv prostor, nek su f, g : R R-merljive funkcije, λ, α R i α > 0. Td su R-merljive i sledeće funkcije: λ + f, λf, f α, f g, f + g, n skupovim n kojim su ove funkcije definisne. Dokz. Nek je R. Prem prethodnoj teoremi vži: {x : f(x) + λ > } = {x : f(x) > λ} R, odkle sledi merljivost funkcije f + λ. Ako je λ = 0, ond je funkcij λf = 0 trivijlno merljiv. Pretpostvimo d je λ 0. Td je {x : λf(x) > } = { {x : f(x) > λ }, λ > 0 R, {x : f(x) < }, λ < 0 λ odkle sledi merljivost funkcije λf. Nek je α > 0. Td je { {x : f(x) α {x : f(x) > 1/α, 0 > } =, < 0 { {x : f(x) > 1/α } {x : f(x) < 1/α }, 0 =, < 0 R,

2.3. MERLJIVE FUNKCIJE 33 odkle sledi merljivost funkcije f α. Ako su funkcije f i g proširene relne, ond je moguće d funkcij f g nije definisn u svkoj tčki skup. Nek je A = {x : f(x) = +, g(x) = + } i B = {x : f(x) =, g(x) = }. Prem Posledici 2.3.2, skupovi A i B su merljivi, li je funkcij f g definisn smo n merljivom skupu 1 = \ (A B). U tom slučju posmtrmo funkciju f g n skupu 1, i n tom skupu dokzujemo njenu merljivost. Funkcij g + je merljiv, n osnovu već dokznog del ove teoreme. Iskoristimo i prethodno dokznu Teoremu 2.3.3: {x 1 : f(x) g(x) > } = {x 1 : f(x) > g(x) + } R, te je funkcij f g merljiv. Potpuno nlogno, funkcij f + g je merljiv, uz eventulno odbcivnje merljivih skupov n kojim funkcij f + g nije definisn. Teorem 2.3.5. Nek je (, R) merljiv prostor, i nek su f, g relne R- merljive funkcije, definisne n. Td su merljive i funkcije: fg, f g, n skupovim n kojim su ove funkcije definisne. Dokz. Nek su funkcije f i g relne. Td merljivost funkcije fg sledi n osnovu jednostvne jednkosti fg = 1 4 [(f + g)2 (f g) 2 ]. Skup 1 = {x : g(x) 0} je merljiv. Dokzujemo merljivost funkcije f g n skupu 1. Nek je R. Ako je = 0, ond je { x 1 : Ako je > 0, ond je { } 1 x 1 : g(x) > } 1 g(x) > = {x 1 : g(x) > 0} R. Ako je < 0, ond je { } 1 x 1 : g(x) > = {x 1 : g(x) > 0} = { x 1 : 0 < g(x) < 1 } R. { x 1 : g(x) < 1 } R.

34 GLAVA 2. POZITIVNE MERE Sledi d je funkcij f g merljiv n 1. Nek je ( n ) n niz u R, nek je k N, i nek je b k = inf n k n. Td je (b k ) k neopdjući niz, i stog postoji sup b k = lim (inf k N k n) = lim inf n (proveriti poslednju jednkost!) n k Anlogno se može dokzti d je inf (sup n ) = lim (sup n ) = lim sup n. k N k n k n k Koristeći nvedene osobine relnih nizov, dokzćemo još jednu vžnu krkterizciju merljivih funkcij. Teorem 2.3.6. Nek je (, R) merljiv prostor i f n : R niz R- merljivih funkcij. Td su funkcije f, F, f, F, definisne z x ko f(x) = inf{f n (x) : n N}, F (x) = sup{f n (x) : n N}, tko de R-merljive funkcije. f (x) = lim inf f n(x), F (x) = lim sup f n (x), Dokz. Nek je R proizvoljn. Td merljivost funckij f i F sledi n osnovu {x : f(x) } = {x : f n (x) } R, {x : F (x) > } = {x : f n (x) > } R. Ovim smo pokzli d je infimum, odnosno supremum niz merljvih funkcij, tko de merljiv funkcij. N osnovu osobin limes inferior i limes superior, sledi d je f (x) = sup k { inf n k f n(x) }, F (x) = inf k { sup f n (x) n k N osnovu merljivosti infimum i supremum niz merljivih funkcij, sledi merljivost limes inferior i limes superior niz merljivih funkcij. }.

2.3. MERLJIVE FUNKCIJE 35 Posledic 2.3.3. Nek je (, R) merljiv prostor i (f n ) n niz proširenih relnih merljivh funkcij n. Ako postoji funkcij f tko d je f(x) = lim f n(x) z svko x, td je f merljiv funkcij. Dokz. U skldu s oznkm prethodne teoreme, sledi d z svko x vži f (x) = F (x) = lim f n (x) = f(x), te je f merljiv funkcij. Teorem 2.3.7. Nek je (, R) merljiv prostor, i nek su f, g : R R-merljive funkcije, definisne n. Td su merljive i funkcije: fg, f g, n skupovim n kojim su ove funkcije definisne. Dokz. Dovoljno je posmtrti proširene relne funkcije, jer smo odgovrjući rezultt z relne funkcije dokzli rnije. Ako je x, nek je f(x), f(x) n, f n (x) = n, f(x) > n, n, f(x) < n, n N. N isti nčin konstruišemo niz (g n ) n. Td su f n i g n relne merljive funkcije, te je i f n g n reln merljiv funkcij. Očigledno, f(x)g(x) = lim f n (x)g n (x) z svko x, te je fg merljiv funkcij. N osnovu f = f 1 sledi merljivost funkcije f n skupu g g g 1 = {x : g(x) 0}. Dokzujemo d kompozicij neprekidne i merljive funkcije jeste merljiv funkcij. Teorem 2.3.8. Nek je (, R) merljiv prostor, i nek su (Y, τ 1 ) i (Z, τ 2 ) topološki prostori. Ako je f : Y jedn R-merljiv funkcij, g : Y Z neprekidn funkcij, td je g f : Z tko de R-merljiv funkcij.

36 GLAVA 2. POZITIVNE MERE Dokz. Nek je G otvoren skup u Z. N osnovu neprekidnosti funkcije g sledi d je g 1 (G) otvoren skup u Y. Funkcij f je R-merljiv, te je (g f) 1 (G) = f 1 (g 1 (G)) R. Time je dokzn R-merljivost funkcije g f. Teorem 2.3.9. Nek je (, R) merljiv prostor, nek je (Y, τ) topološki prostor, i nek je f : Y jedn R-merljiv funkcij. Skup Ω P(Y ) nek je definisn n sledeći nčin: E Ω ko i smo ko f 1 (E) R, pri čemu je E Y. Td je Ω jedn σ-lgebr n Y. Dokz. Vži = f 1 (Y ) R, te je Y Ω. Ako je E Ω, td je f 1 (E c ) = (f 1 (E))( c R, ) te je E c Ω. Končno, nek je E n Ω z svko n N. Td je f 1 E n = f 1 (E n ) R, te je E n Ω. Dkle, Ω je n n n σ-lgebr n Y. Posledic prethodnog tvr denj je sledeći vžn rezultt. Teorem 2.3.10. Nek je (, R) merljiv prostor, nek su (Y, τ 1 ) i (Z, τ 2 ) topološki prostori, nek je f : Y nek je R-merljiv funkcij, i nek je g : Y Z Borelov funkcij. Td je g f : Z tko de R-merljiv funkcij. Dokz. Nek je Ω fmilij podskupov od Y, tko d skup E Y pripd fmiliji Ω, ko i smo ko je f 1 (E) R. Prem prethodnoj teoremi, Ω je jedn σ-lgebr n Y. N osnovu merljivosti funkcije f sledi d Ω sdrži sve otvorene podskupove od Y. S druge strne, B(Y ) je njmnj σ-lgebr koj sdrži sve otvorene podskupove od Y, te je B(Y ) Ω. Nek je G proizvoljn otvoren skup u Z. Funkcij g je Borelov, te sledi d je g 1 (G) B(Y ) Ω. Td je f 1 (g 1 (G)) R, prem konstrukciji fmilije Ω. Sledi d je g f R-merljiv funkcij n. Dokzujemo vžnu teoremu o proksimciji nenegtivne merljive funkcije nizom prostih funkcij. Ako je E, td je krkterističn funkcij skup E definisn ko { 1, x E, χ E (x) = 0, x / E.

2.3. MERLJIVE FUNKCIJE 37 Ako je (, R) merljiv prostor, td je funkcij χ E : R R-merljiv ko i smo ko je E R. Funkcij s : R je prost, ko je f() končn podskup od R (isključujemo mogućnost d s bude proširen merljiv funkcij). Nek je funkcij s prost, i nek su {α 1,..., α n } sve rzličite vrednosti funkcije s. Nek je A i = {x : s(x) = α i }, i = 1,..., n. Td je A i A j = ko je i j, ko i s(x) = n α i χ Ai (x), x. i=1 Lko je proveriti d je funkcij s merljiv ko i smo ko su svi skupovi A i merljivi. Teorem 2.3.11. Nek je (, R) merljiv prostor, i nek je f jedn R- merljiv nenegtivn proširen reln funkcij n. Td postoji niz (s n ) n prostih R-merljivih funkcij n, tko d vži (1) 0 s 1 (x) s 2 (x) f(x) z svko x. (2) lim s n = f n ; (3) Ako je f ogrničen funkcij, td (s n ) n konvergir k f rvnomerno n. Dokz. Nek je n N i t 0. Postoji jedinstveni prirodn broj k = k(n, t), tko d je k 1 t < (k + 1) 1. Definišemo funkcije ϕ 2 n 2 n n : [0, + ] R z n N n sledeći nčin: { k(n, t) 1, 0 t < n, 2 ϕ n (t) = n n, t n. Lko je proveriti d je ϕ n Borelov funkcij n skupu [0, + ]. Ako je 0 t n, td je t 1 < ϕ 2 n n (t) t. Tko de, z svko t 0 vži 0 ϕ 1 (t) ϕ 2 (t) t i lim ϕ n (t) = t. Funkcij s n = ϕ n f je merljiv, ko kompozicij Borelove i merljive funkcije. Nije teško proveriti d je (s n ) n je trženi niz funkcij. Nek je sd f ogrničen funkcij. Td postoji n 0 N tko d je f n 0 n. Primećujemo d je zbog ϕ n (t) t 1 z svko t 0 i 2 n svko n n 0, dokzn rvnomern konvergencij niz (s n ) n k f.

38 GLAVA 2. POZITIVNE MERE Teorem 2.3.12. Nek je (, R) merljiv prostor, i nek je f : R n funkcij dt koordintno s f = (f 1,..., f n ), pri čemu je f j : R z svko j = 1,..., n. Funkcij f je R-merljiv ko i smo ko su R-merljive sve funkcije f j, j = 1,..., n. Dokz. = : Pretpostvimo d je f : R n R-merljiv funkcij. Ako je π j : R n R projekcij prostor R n n j-ti koordintni prostor R = ( R j, td je π j neprekidn funkcij. Nime, ko je (, b) R j, td je π 1 j (, b) ) = R j 1 (, b) R n j otvoren skup u R n. Kko je f j = π j f kompozicij neprekidne i R-merljive fukcije, prem rnijem rezulttu sledi d je f j R- merljiv funkcij. U ovim rzmtrnjim je j {1,..., n} proizvoljn indeks, odkle sledi rezultt. = : Pretpostvimo sd d su sve funkcije f 1,..., f n R-merljive. Nek je G otvoren skup u R n. Td postoji niz n-prvougonik (I k ) k u R n, tko d je I k = ( k 1, b k 1) ( k n, b k n), i pri tome je G = I k. Koristeći merljivost svke funkcije f j, sledi d je f 1 (G) = f 1 (I k ) = odkle sledi R-merljivost funkcije f. ( n j=1 ( f 1 j ( k j, b k j )) ) R, Posledic 2.3.4. Nek je (, R) merljiv prostor, f = u + iv nek je kompleksn funkcij n, pri čemu su u, v relne funkcije n. Funkcij f je R-merljiv, ko i smo ko su funkcije u, v R-merljive. Dokz. Fmilij otvorenih skupov u C jednk je fmiliji otvorenih skupov u R 2. Stog je merljivost funkcije f = u+iv : C ekvivlentn merljivosti vektorske funkcije f = (u, v) : R 2. Rezultt sledi n osnovu prethodne teoreme. Teorem 2.3.13. Nek je (, R) merljiv prostor, nek su u, v : R R-merljive funkcije, nek je (Y, τ) topološki prostor, i nek je F : C Y neprekidn funkcij. Definišemo funkciju h : Y n sledeći nčin: Td je h R-merljiv funkcij. h(x) = F (u(x), v(x)), x.

2.4. POZITIVNE MERE 39 Dokz. Ako je f = u + iv, ond je h = F f. Funkcij f je merljiv prem prethodnoj posledici. Funkcij F je neprekidn, te sledi d je h = F f tko de R-merljiv. Posledic 2.3.5. Nek je (, R) merljiv prostor i nek su f, g : C R-merljive funkcije. Td: (1) f je merljiv funkcij; (2) f + g, f g i f su merljive funkcije (posebno, poslednj funkcij je g merljiv n skupu n kojem je definisn); (3) Postoji kompleksn merljiv funkcij α n, tko d je α = 1 i f = α f. Dokz. (1) Sledi iz merljivosti funkcij u i v, ko i jednkosti f = u 2 + v 2. (2) Posmtrmo neprekidne funkcije F j : R 2 definisne ko F 1 (x, y) = x + y, F 2 (x, y) = xy i F 3 (x, y) = x, i primenimo prethodnu teoremu. y (3) Nek je 0 = {x : f(x) = 0} i definišimo funkciju α n sledeći nčin: { f(x) f(x) α(x) =, x \ 0, 1, x 0. Td je α tržen merljiv funkcij (proveriti merljivost!). Posledic 2.3.6. Nek je (f n ) n niz kompleksnih merljivih funkcij n, tko d je lim f n = f n. Td je f merljiv funkcij. N krju, nek je χ E : C krkterističn funkcij skup E. Lko je proveriti d je χ E merljiv kompleksn funkcij ko i smo ko je E R. 2.4 Pozitivne mere U ovoj sekciji izučvmo pozitivne mere n σ-lgebrm. Definicij 2.4.1. Nek je (, R) merljiv prostor. Funkcij µ : R R nziv se pozitivn mer n prostoru, ko vže svojstv: (1) µ(a) 0 z svko A R; (2) µ( ) = 0;

40 GLAVA 2. POZITIVNE MERE (3) Ako je (A n ) n niz uzjmno disjunktnih skupov iz R, td je ( ) µ A n = µ(a n ). U tom slučju je (, R, µ) prostor mere. Njvžnij osobin mere jeste svojstvo (3), koje se nziv prebrojiv ditivnost. Teorem 2.4.1. Nek je µ pozitivn mer n. Td vže tvr denj: ( n ) (1) Ako su A 1,..., A n R uzjmno disjunktni, td je µ A k = n µ(a k ); (2) Ako je A, B R i A B, td je µ(a) µ(b); ((3) Ako je A n R z svko n N, i ko je A 1 A 2, td je ) µ A n = lim µ(a n ); (4) Ako je A n R ( z svko n N, i ko je A 1 A 2, pri čemu je ) µ(a 1 ) <, td je µ A n = lim µ(a n ); ( ) (5) Ako je A n R z svko n N, td je µ A n µ(a n ). Dokz. (1) Sledi iz definicije pozitivne mere, ko se uzme d je A n+1 = A n+2 = =. (2) Ako je A B, td je B = A (B\A), te je µ(b) = µ(a)+µ(b\a) µ(a). (3) Nek je A 1 A 2, i nek je B 1 = A 1, B k = A k \ A k 1 z n k = 2, 3,.... Td su B k uzjmno disjunktni merljivi skupovi, B k = n A k = A n, i ( ) µ A k B k = A k. Sd je ( ) = µ B k = = lim µ ( n µ(b k ) = lim B k ) = lim µ(a n ). n µ(b k )

2.4. POZITIVNE MERE 41 (4) Nek je A 1 A 2, i nek je C n = A 1 \A n z n = 1, 2, 3,.... Td je C 1 = C 2 C 3. Tko de je A 1 = A n C n i µ(a 1 ) = µ(a n )+µ(c n ). Iz µ(a 1 ) < sledi µ(a n ) < z svko n N, te je µ(c n ) = µ(a 1 ) µ(a n ). Tko de je ( ) ( ) c C n = (A 1 A c n) = A 1 = A 1 A n = A 1 \ A n. Primenimo već dokzno svojstvo (c), odkle sledi ( ) µ(a 1 ) µ A n = lim µ(c n ) = µ(a 1 ) lim µ(a n ). A c n Time je dokzno svojstvo (4) ovog tvr denj. (5) Nek je B 1 = A 1 i B n = A n \ (A 1 A n 1 ) z svko n = 2, 3,.... Td je B i B j = z i j, B n A n z svko n, i A n = B n. Stog je ( ) ( ) µ A n = µ B n = µ(b n ) µ(a n ). Svojstv (3) i (4) predstvljju osobine neprekidnosti mere (z rstuće i opdjuće nizove skupov). Svojstvo (5) je subditivnost mere. N nekom skupu se može n trivijln nčin definisti mer: { 0, A =, µ(a) = A. +, A, Drugi jednostvn nčin je mer prebrojvnj. Nek je proizvoljn neprzn skup i A. Nek je µ d (A) jednko broju element skup A ko je A končn, i nek je µ d (A) = ko je A beskončn skup. Posebn je vžnost mere prebrojvnj n skupu N. N tj nčin se teorij integrl povezuje s teorijom redov, i o tome će biti više reči ksnije. Nek je x 0. Definišemo meru µ x0 n sledeći nčin: { 1, x 0 A, µ x0 (A) = 0, x 0 / A.