1 Integrle proprii cu prmetru 2 3
Integrle proprii cu prmetru
Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul [, b ], dică există integrl F(y) = b f (x, y) dx (1.1) tunci spunem că m definit o integrlă cu prmetru (funcţi F : E R).
Trecere l limită sub semnul integrlei Teorem 1.1 Fie f : [, b ] E R, E R şi fie y 0 R punct de cumulre l mulţimii E. Dcă există lim f (x, y) = f 0 (x) y y 0 uniform în rport cu x [, b ] tunci funcţi x f 0 (x) este integrbilă pe [, b ] şi b f 0 (x) dx = b b lim f (x, y) dx = lim f (x, y) dx. (1.2) y y 0 y y0
Ipotez existenţei limitei uniforme în rport cu x este esenţilă în enunţul Teoremei 1.1. Exemplul 1.1 Pentru f : [ 0, 1 ] (0, + ) R, f (x, y) = x x 2 y 2 e y 2, re loc lim y 0 1 0 f (x, y) dx 1 0 lim y 0 f (x, y) dx.
Avem deci F(y) = lim y 0 1 0 1 x x 2 0 y 2 e y 2 dx = 1 2 x2 ( ) e y 2 x=1 = 1 e 1 y 2 1 x=0 2 f (x, y) dx = lim F(y) = 1 ( ) y 0 2 lim e 1 y 2 1 = 1 y 0 2. Pe de ltă prte vem lim f (x, y) = lim y 0 y 0 x y 2 e x 2 y 2 = 0 deci 1 0 lim y 0 f (x, y) dx = 0.
Să observăm că lim y 0 f (x, y) = 0 nu re loc în mod uniform în rport cu x. Într-devăr dcă, prin reducere l bsurd, m presupune cest lucru tunci ε > 0 δ ε > 0 stfel c 0 < y < δ ε f (x, y) < ε, x [ 0, 1 ]. Dcă legem în prticulr x = y (0, δ ε ) vem contrdicţie. f (x, y) = 1 y e 1 +, pentru y 0,
Continuitte integrlei cu prmetru Teorem 1.2 Dcă f : [, b ] [ c, d ] R este continuă tunci funcţi F : [ c, d ] R dtă de (1.1) este continuă pe intervlul [ c, d ].
Derivbilitte integrlei cu prmetru Teorem 1.3 Fie f : [, b ] [ c, d ] R continuă stfel încât : (i) (ii) pentru orice y [ c, d ] există integrl cu prmetru F(y) = b f (x, y) dx, f este derivbilă prţil în rport cu y şi funcţi f y este continuă pe [, b ] [c, d]. Atunci F este derivbilă şi F este continuă pe [ c, d ] ir F (y) = b f (x, y)dx, y [ c, d ]. (1.3) y
Exemplul 1.2 Să clculăm integrl I n (y) = 1 0 dx (x 2 + y 2, n N, y 0. ) n Derivăm integrl în rport cu y şi găsim stfel relţi I n+1 (y) = 1 2ny I n(y). Deorece I 1 (y) = 1 y rctg 1, rezultă că y I 2 (y) = 1 2y I 1 (y) = 1 ( 2y 3 rctg 1 y + y ) y 2. + 1
Formul lui Leibniz de derivre integrlelor cu prmetru Teorem 1.4 Fie integrl cu prmetru F(y) = β(y) α(y) f (x, y)dx, y [ c, d ] unde (i) (ii) (iii) α, β : [ c, d ] [, b ] sunt funcţii derivbile, f : [, b ] [ c, d ] R este funcţie continuă, f f este derivbilă prţil în rport cu y şi este continuă. y
Atunci F este derivbilă pe [ c, d ] şi re loc formul lui Leibniz de derivre F (y) = β(y) α(y) f y (x, y) dx +f (β(y), y) β (y) f (α(y), y) α (y). (1.4)
Integrre unei integrle cu prmetru Teorem 1.5 Fie f : [, b ] [ c, d ] R o funcţie continuă. Atunci re loc formul d c ( ) b f (x, y) dx dy = b ( ) d f (x, y) dy dx. (1.5) c
Exemplul 1.3 Să clculăm I = 1 0 1 ln x (x b x ) dx, x > 0, > 0, b > 0. b Avem 1 ln x (x b x ) = x y dy, x [ 0, 1 ]. Deorece funcţi (x, y) x y este continuă pe [ 0, 1 ] [, b ], putem schimb ordine de integrre, ( 1 ) b ( b ) 1 I = x y dy dx = x y dx dy = b ( x y+1 0 y + 1 ) b 1 dy dy = x=0 y + 1 = ln(y + 1) b = ln b + 1 + 1. 0
Fie f : [, + ) [ c, d ] R şi fie integrl cu prmetru Integrl F(y) = i. converge simplu pe [ c, d ] dcă ii. b lim f (x, y) dx = b + f (x, y) dx, y [ c, d ]. (2.1) f (x, y) dx; converge uniform pe [ c, d ] dcă limit este uniformă în rport cu y.
Integrl f (x, y) dx este uniform convergentă pe [ c, d ] dcă pentru orice şir (b n ) n N cre re limit +, şirul de funcţii (F n ) n N, F n (y) = converge uniform l F pe [ c, d ]. bn f (x, y) dx
Criteriul lui Cuchy Teorem 2.1 Integrl (2.1) este uniform convergentă dcă şi numi dcă pentru orice ε > 0 există b 0 (ε) > 0 stfel c pentru orice b, b > b 0 şi pentru orice y [ c, d ] re loc b b f (x, y) dx < ε.
Criteriul de convergenţă uniformă Weierstrss Teorem 2.2 Fie f : [, + ) [ c, d ] R. Admitem că există g : [, + ) R stfel încât (i) (ii) Atunci [ c, d ]. f (x, y) g(x), x [, + ), g(x) dx este convergentă. f (x, y) dx este uniform şi bsolut convergentă pe
Continuitte integrlei improprii cu prmetru Teorem 2.3 Fie f : [, + ) [ c, d ] R o funcţie continuă stfel încât funcţi f (x, y) dx este uniform convergentă pe [ c, d ]. Atunci F(y) = este continuă pe [ c, d ]. f (x, y)dx
Derivbilitte integrlei improprii cu prmetru Teorem 2.4 Fie funcţi f : [, + ) [ c, d ] R cu următorele proprietăţi: (i) f (x, y) dx este convergentă (ii) există derivt prţilă f şi este continuă pe y [, + ) [ c, d ] (iii) Atunci y F(y) = F (y) = d dy f (x, y) dx este uniform convergentă pe [ c, d ]. y ( f (x, y) dx este derivbilă pe [ c, d ] ) f (x, y) dx = f (x, y) dx, y [ c, d ]. y (2.2)
Integrbilitte unei integrle improprii cu prmetru Teorem 2.5 Fie funcţi f : [, + ) [ c, d ] R continuă stfel încât (i) (ii) integrl [ c, d ], integrl Atunci re loc ( + ) d f (x, y)dy dx = c f (x, y) dx este uniform convergentă pe ( ) d f (x, y) dy dx este convergentă. c d ( c ) f (x, y) dx dy. (2.3)
Funcţi Gmm su integrl lui Euler de l doile tip Γ(p) = 0 x p 1 e x dx (3.1) Funcţi Bet su integrl lui Euler de primul tip B(p, q) = 1 0 x p 1 (1 x) q 1 dx. (3.2)
Propoziţi 3.1 Au loc proprietăţile Integrl Γ(p) este convergentă pentru orice p > 0 şi divergentă pentru orice p 0. Integrl Γ(p) este uniform convergentă pe orice intervl compct [, b ] (0, + ). Funcţi Γ(p) este continuă pe (0, + ). Funcţi Γ(p) este infinit derivbilă pe (0, + ) şi Γ (n) (p) = 0 x p 1 (ln x) n e x dx, n N. (3.3)
Propoziţi 3.2 B(p, q) este convergentă pentru orice p > 0, q > 0 şi divergentă în celellte situţii.
Propoziţi 3.3 Au loc următorele relţii: formul de recurenţă pentru Γ Γ(p + 1) = p Γ(p), p (0, + ) (3.4) Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n!, n N (3.5) formulele de recurenţă pentru B B(p, q) = q 1 B(p, q 1), p > 0, q > 1 (3.6) p + q 1 B(p, q) = p 1 B(p 1, q), p > 1, q > 0 (3.7) p + q 1
B(p, q) = B(q, p), p > 0, q > 0 (3.8) B(p, q) = 0 t p 1 dt (3.9) (1 + t) p+q Γ(p) Γ(q) B(p, q) =, p > 0, q > 0 Γ(p + q) (3.10) ( 1 B 2, 1 ) 1 1 = dx = π 2 0 x(1 x) (3.11) ( ) 1 Γ = π, e x 2 π dx = (integrl lui Guss). 2 0 2 (3.12)
formul lui Guss Γ(p) = lim n n p n! p(p + 1)(p + 2)... (p + n) (3.13) formul rgumentelor complementre B(p, 1 p) = Γ(p) Γ(1 p) = p, p (0, 1) (3.14) sin(pπ)