U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematiqki fakultet GRADUISANE SLOBODNE REZOLVENTE

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u Matematiqki fakultet GRADUISANE SLOBODNE REZOLVENTE M a s t e r r a d Student: Maja Roslavcev Mentor: prof. dr Aleksandar Lipkovski B e o g r a d, 2011

S a d r ж a j Uvod 1 1 Osnovni pojmovi 3 2 Rezolvente 7 3 Minimalna rezolventa 13 4 Betijevi brojevi 18 5 Kosulov kompleks 21 6 Konaqna projektivna dimenzija 25 7 Hilbertova funkcija 27 8 Qiste rezolvente 32 9 Regularnost 34 10 Multigradacija i Tejlorina rezolventa 36 Zakljuqak 39 Literatura 40

Zahvaljujem se svom mentoru, profesoru dr Aleksandru Lipkovskom na pruжenoj pomo i tokom pisanja rada. Takođe se zahvaljujem docentu dr Zoranu Petrovi u na pomo i pri izboru literature, kao i na korisnim sugestijama.

Uvod Teme predstavljene u ovom radu su deo komutativne algebre, sa elementima homoloxke algebre. Komutativna algebra je u bliskoj vezi sa algebarskom geometrijom, koja predstavlja motivaciju za razvoj nekih objekata komutativne algebre, ali i oblast u kojoj se mogu primeniti rezultati ostvareni izuqavanjem tih objekata. Iako je odnos geometrijskih objekata i jednaqina kojima se predstavljaju bio ispitivan jox od davnina, veza dve oblasti na koju se ovde misli bila je prime ena tek sredinom devetnaestog veka. Hilbertovi 1 rezultati: teorema o bazi, teorema o nulama, polinomska struktura onoga xto nazivamo Hilbertovom funkcijom i teorema o sizigijama, dokazani u tom periodu, imaju znaqajnu ulogu u stvaranju osnova komutativne algebre. Vode i problem algebarske geometrije je klasifikacija njenih objekata izuqavanja - algebarskih varijeteta. Takvi objekti i njihova veza sa algebrom grubo se mogu objasniti na slede i naqin: za poqetak se uspostavi veza između n-dimenzionog afinog prostora A n i prstena polinoma S sa n promenljivih. Podskup afinog prostora je algebarski skup, ako je oblika {P A n f(p ) = 0 za sve polinome f T }, za neki podskup prstena polinoma T S. Topologiju Zariskog 2 na A n dobijamo kao kolekciju komplemenata algebarskih skupova, i konaqno, nesvodljivi zatvoreni podskupovi od A n u odnosu na ovu topologiju su afini varijeteti. Nasuprot definiciji algebarskog skupa, gde zapravo podskupu prstena polinoma dodeljujemo podskup afinog prostora, ideal skupa X A n je I(X) = {f S f(p ) = 0 za sve P X}, i to jeste ideal prstena polinoma. Najzad, za algebarski skup X A n, njegov afini koordinatni prsten S(X) je koliqnik S/I(X). Ako afini prostor zamenimo projektivnim, dobijamo pojmove projektivni varijetet i homogeni koordinatni prsten. Na ovaj naqin smo dobili mogu nost da objektu algebarske geometrije - varijetetu, dodelimo algebarski pojam - prsten. Kao xto je spomenuto, cilj algebarske geometrije je klasifikacija varijeteta. Razlikovanje varijeteta moжe se ostvariti posmatranjem njihovih invarijanti. Komutativna algebra, kroz izuqavanje koordinatnih prstena, daje informacije o numeriqkim invarijantama varijeteta, u qemu se ogleda njena uloga i znaqaj u algebarskoj geometriji. Nabrojimo neke od tih invarijanti. Jedna je dimenzija varijeteta, 1 David Hilbert (1862-1943), nemaqki matematiqar 2 Oscar Zariski (1899-1986), ameriqki matematiqar 1

koja je i Krulova 3 dimenzija njegovog koordinatnog prstena. Zatim, stepen i rod krive, algebarskog varijeteta dimenzije 1, koji se mogu odrediti iz Hilbertovog polinoma njenog koordinatnog prstena. U radu e, pored Hilbertovog polimoma, biti izloжeni i pojmovi minimalne slobodne rezolvente, Betijevog 4 dijagrama, regularnosti, koji takođe mogu da daju podatke o polaznim objektima. Jedan od poznatijih rezultata ovog tipa je Grinova 5 hipoteza, koja tvrdi da se Klifordov 6 indeks krive sa određenim osobinama moжe odrediti iz Betijevog dijagrama homogenog koordinatnog prstena krive. Jedan zanimljiv primer povezanosti dve navedene oblasti je primer sedam taqaka trodimenzionog projektivnog prostora. Naime, moжe se dokazati da je Hilbertov polinom unije sedam taqaka u opxtem linearnom poloжaju u P 3 jednak konstanti 7, kao i da postoje samo dve mogu nosti za Betijeve dijagrame skupova taqaka. Glavna geometrijska razlika između razliqitih skupova od sedam taqaka leжi u pitanju da li se te taqke nalaze na uvrnutoj kubnoj krivoj. Pokazuje se da je to pitanje ekvivalentno pitanju koji od dva mogu a Betijeva dijagrama odgovara uniji taqaka. U ovom radu bi e definisani i objaxnjeni slede i pojmovi: gradacija, Hilbertova funkcija, rezolvente, Betijevi brojevi, sizigije, Hilbertov i Poenkareov 7 red, projektivna dimenzija, Hilbertov polinom, Ojlerov 8 polinom i Ojlerova karakteristika, regularnost, kao i Kosulov 9 i Tejlorin 10 kompleks. Ostali pojmovi iz komutativne i homoloxke algebre koji nisu u direktnoj vezi sa temom ne e biti definisani. Od literature, za izradu rada najvixe je korix ena knjiga [1], i to u smislu izbora sadrжaja i redosleda izlaganja. Za dodatna objaxnjenja pojmova korix ene su knjige [2] i [3]. Knjige [6] i [3] su posluжile za izradu uvoda. 3 Wolfgang Krull (1899-1971), nemaqki matematiqar 4 Enrico Betti (1823-1892), italijanski matematiqar 5 Mark Green, ameriqki matematiqar 6 William Kingdon Clifford (1845-1879), engleski matematiqar 7 Jules Henri Poincaré (1854-1912), francuski matematiqar 8 Leonhard Euler (1707-1783), xvajcarski matematiqar 9 Jean-Louis Koszul, francuski matematiqar 10 Diana Taylor, ameriqka matematiqarka 2

1 Osnovni pojmovi Neka je k polje i S = k[x 1,..., x n ] prsten polinoma nad tim poljem. Osnovne algebarske strukture koje e biti korix ene su upravo navedeni prsten polinoma, njegovi ideali, koliqniqki prsteni dobijeni faktorisanjem po tim idealima, kao i moduli nad S ili nad navedenim koliqniqkim prstenima. Napomenimo da je S komutativni prsten sa jedinicom. Graduisane strukture e ovde biti od velike vaжnosti. Ispitivanje osobina datog graduisanog objekta bi e pospexeno ispitivanjem osobina njegovih graduisanih komponenti. Takođe, pri preslikavanjima takvih objekata, omogu eno je lakxe pra enje događanja na elementima. Vixe puta u tekstu, a prvi put posle definicije 1.7, koristi emo qinjenicu da se element modula moжe predstaviti kao suma proizvoda generatora i elemenata prstena koji imaju posebne osobine, xto je posledica gradacije. Ovde e biti korix ena gradacija pomo u prirodnih i celih brojeva, mada se graduisane strukture mogu definisati nad bilo kojim monoidom. Definicija 1.1. Prsten R je graduisan ako se moжe predstaviti kao direktna suma R = R 0 R 1 R 2 svojih aditivnih podgrupa, tako da R i R j R i+j, za svako i, j N. Element u iz R je homogen, ako pripada nekoj od grupa R i, i tada kaжemo da je u stepena i i pixemo deg(u) = i. Kako svaki element u R moжe na jedinstven naqin da se predstavi kao konaqna suma u = u i1 + + u ij, to e se elementi u il zvati homogenim komponentama elementa u, stepena i l. Definicija 1.2. Neka je I ideal graduisanog prstena R. Kaжemo da je ideal I graduisan, ako za svako u I vaжi da je svaka homogena komponenta od u u I. Definicija graduisanog ideala I je ekvivalentna tvrđenju da je I = i N I i, gde je I i = R i I, kao i uslovu da I ima sistem homogenih generatora. Definicija 1.3. Ako je R = R 0 R 1 R 2 graduisan prsten, tada je R-modul M graduisan ako je direktna suma M = i Z M i svojih aditivnih podgrupa, tako da R i M j M i+j, za svako i, j Z. Element m iz M je homogen, ako pripada nekoj od grupa M i, i tada kaжemo da je m stepena i i pixemo deg(m) = i. Homogene komponente određenog stepena elementa m definixu se analogno. Definicija 1.4. Neka je N podmodul graduisanog modula M. Kaжemo da je podmodul N graduisan, ako za svako m N vaжi da je svaka homogena 3

komponenta od m u N. Napomena 1.5. Pod skupom prirodnih brojeva N podrazumevamo skup 0, 1, 2,... Gradacija se na prsten polinoma S = k[x 1,..., x n ] uvodi na slede i naqin: S = S 0 S 1 S 2, gde je S i k-vektorski prostor generisan monomima stepena i. Naravno, deg(x i ) = 1, za svako i 1,..., n i deg(x c 1 1 x cn n ) = c 1 + + c n, za sve c 1,... c n N. Primetimo da je S 0 = k i da je 0 homogeni element proizvoljnog stepena. Ako je I graduisani ideal u S, tada je koliqniqki prsten R = S/I takođe graduisan, sa gradacijom nasleđenom iz S. Naime, R i = S i /I i. Napomena 1.6. Oznake S i R e imati isto znaqenje u nastavku teksta, i sem u poslednjem odeljku, podrazumeva emo gradaciju koja je gore opisana. Hilbertova funkcija nam daje veliqinu graduisanih komponenti modula i jedan je od fundamentalnih pojmova u ovoj oblasti. Definicija 1.7. Neka je U konaqno generisani graduisani R-modul. Hilbertova funkcija modula U je i dim k (U i ) i predstavlja se Hilbertovim redom Hilb U (t) = dim k (U i )t i. i Z Kako je R 0 = S 0 /I 0 = k, jer je I 0 = S 0 I = {0} i R 0 U i U i, to su U i k-vektorski prostori. Dokaжimo da su konaqno dimenzioni. Svaki graduisani modul ima sistem homogenih generatora, koji se dobija kao kolekcija svih homogenih komponenti elemenata fiksirane generatrise. Kako je U konaqno generisan, sistem homogenih generatora od U je konaqan, pa se svaki element u U i moжe predstaviti kao konaqna suma u = j f ju j, sa f j R. Neka je g j homogena komponenta od f j stepena i deg(u j ). Tada je u = ( j f j u j ) i = j (f j ) i deg(uj )u j = j g j u j. Element g j je u U i deg(uj ), pa je zbir konaqno mnogo monoma h r istog stepena. Tako da su elementi h r u j R i deg(uj )U deg(uj ) U i konaqna generatrisa za U i nad k. Dakle, dim k (U i ) <, pa je Hilbertova funkcija dobro definisana. Takođe, iz qinjenice da je U konaqno generisan i da je R pozitivno graduisan, sledi da je U i 0 za konaqno mnogo i < 0. Definicija 1.8. Pomereni modul graduisanog R-modula U je modul U( p) takav da U( p) i = U i p, za svako i N. Broj p N se zove pomeraj, i kaжemo da je U( p) modul U pomeren za p stepeni. 4

Stav 1.9. Modul R( p) je slobodni R-modul, generisan jednim elementom u stepenu p. Definicija 1.10. Neka su N i T graduisani R-moduli. Kaжemo da homomorfizam modula φ : N T ima stepen i ako je deg(φ(m)) = i+deg(m), za svaki homogen element m N, koji nije u Ker(φ). Oznaqimo sa Hom i (N, T ) prostor svih homomorfizama stepena i iz N u T. Kaжemo da je homomorfizam φ graduisan, ili da je φ homomorfizam graduisanih modula, ako φ Hom i (N, T ), za neko i. Bi e nam vaжni homomorfizmi stepena nula. Ako je φ : N T homomorfizam graduisanih modula stepena i, moжemo ga posmatrati i kao preslikavanje iz N( i) u T stepena nula, xto objaxnjava uvođenje pomerenih modula. Slede i jednostavni rezultat je tehniqkog karaktera, i bi e korix- en vixe puta u daljem tekstu. Stav 1.11. Neka je α : N T homomorfizam graduisanih R-modula. Tada su Ker(α), Im(α), Coker(α) takođe graduisani moduli. D o k a z. Neka je f Ker(α). Kako je Ker(α) N, moжemo predstaviti f kao konaqnu sumu homogenih komponenti f = i f i. Ako je α(f i ) 0 za neko i, onda je to i homogena komponenta od α(f), jer je α homomorfizam graduisanih modula. Poxto je α(f) = 0, mora biti α(f i ) = 0. Dakle, svaka homogena komponenta od f Ker(α) je takođe u Ker(α), pa prema definiciji 1.4, Ker(α) jeste graduisani podmodul. Neka je g Im(α) i neka je f N takav da α(f) = g i da su sve homogene komponente od f van Ker(α). Vaжi da je f = i f i, gde su f i homogene komponente od f. Tada su α(f i ) homogene komponente od α(f) = g, pa je svaka homogena komponenta od g takođe u Im(α). Poxto je Coker(α) = T/Im(α), onda nasleđuje gradaciju kao koliqniqki prostor preko Coker(α) i = T i /Im(α) i. Definicija 1.12. Neka je U homogen sistem generatora graduisanog R-modula U. Kaжemo da je U minimalni sistem generatora, ako nijedan pravi podskup od U ne generixe U. Nakajamina 11 lema 1.13. Neka je J pravi, graduisani ideal u R, a U konaqno generisani graduisani R-modul. Ako je U = JU, tada je U = 0. D o k a z. Pretpostavimo suprotno, U 0. Neka je U konaqni sistem homogenih generatora za U. Neka je m 0 element iz U minimalnog stepena. Tada je U j = 0 za sve j < deg(m). Kako je J 0 = 0, svi homogeni elementi u JU su stepena strogo ve eg od deg(m). Prema pretpostavci, U = JU, pa je m JU, xto je kontradikcija. 11 Tadasi Nakayama (1912-1964), japanski matematiqar 5

Posledica 1.14. Neka je J pravi, graduisani ideal u R, a U konaqno generisani R-modul. Ako je W graduisani R-podmodul od U tako da U = W + JU, tada je U = W. D o k a z. Primena Nakajamine leme na modul U/W daje traжeni rezultat. Nakajamina lema je jedan od rezultata u kome gradacija ostvaruje suxtinsku ulogu, kroz izbor generatora minimalnog stepena. Pojam minimalnog sistema generatora, Nakajamina lema i naredna teorema 1.16, koja detaljno opisuje kako izgleda minimalni sistem generatora konaqno generisanog R-modula, qine osnovu za izgradnju teorije koja sledi. Napomena 1.15. Maksimalni ideal (x 1,..., x n ) u S jeste graduisan, i u daljem tekstu emo ga oznaqavati sa M. Teorema 1.16. Neka je U konaqno generisani graduisani R-modul. Struktura U = U/MU je graduisani modul nad R, koji je kao k-vektorski prostor konaqno dimenzion. Neka je p njegova dimenzija. (1) Neka je {u 1,..., u p } baza za U nad k. Ako su elementi u 1,..., u p takvi da u i u i pri kanonskom preslikavanju U U, tada je u 1,..., u p minimalni sistem homogenih generatora za U. (2) Svaki minimalni sistem homogenih generatora za U dobija se na navedeni naqin i ima p elemenata. Ako je q i = dim k (U i ) za svako i, tada svaki minimalni sistem homogenih generatora za U sadrжi q i elemenata stepena i. (3) Neka su {u 1,..., u p } i {v 1,..., v p } dva minimalna sistema homogenih generatora za U, i v s = j a sju j, za a sj R. Neka su c sj homogene komponente elemenata a sj stepena deg(v s ) deg(u j ), za sve s, j. Tada je v s = j c sju j za sve s, det([c sj ]) k, i [c sj ] je invertibilna matrica. D o k a z. (1) Kako je U = MU + Ru 1 + Ru p, primenom posledice Nakajamine leme dobijamo da je U = Ru 1 + +Ru p. Pretpostavimo da sistem generatora u 1,..., u p nije minimalan. Bez umanjenja opxtosti, vaжi da je u 1 = 2 i p α iu i, za neke α i R. Sledi da je u 1 = 2 i p α iu i, gde su α i slike elemenata α i pri navedenom koliqniqkom preslikavanju, a zapravo su elementi samog polja k. Kako je {u 1,..., u p } baza, dobili smo kontradikciju. (2) Neka je {u 1,..., u p } minimalni sistem homogenih generatora za U. Tada je sistem {u 1,..., u p } generatrisa za U nad k. Pretpostavimo da je linearno zavisan i neka je {u i 1,..., u i p } njegov podskup koji je linearno nezavisan. Neka su elementi u j1,..., u jp takvi da u ji u j i pri navedenom kanonskom preslikavanju. Tada sistem u j1,..., u jp generixe U. Time smo dobili pravi podskup sistema generatora koji generixe U, xto je kontradikcija sa qinjenicom da je {u 1,..., u p } minimalni sistem. Sledi da svaki minimalni sistem mora imati elemenata koliko i baza za U nad 6

k, a kako je preslikavanje U U stepena nula, vaжi i deo tvrđenja koji se odnosi na stepene elemenata. (3) Neka su elementi c sj kao u formulaciji teoreme. Tada je v s = ( ) a sj u j = deg(v s) (a sj ) deg(vs) deg(uj )u j = c sj u j. j j j Dalje, neka je C = [c sj ] i neka su B i blokovi dimenzija q i q i koji se nalaze na dijagonali matrice C. Moжemo pretpostaviti da su elementi u oba skupa generatora poređani tako da im se stepeni pove avaju. Prema (2), svaki minimalni sistem homogenih generatora sadrжi q i elemenata stepena i, pa je deg(u j ) deg(v s ) za j > s. Element v s se izraжava kao suma elemenata stepena deg(v s ), pa koeficijenti c sj koji stoje uz elemente u j stepena deg(v s ) pripadaju polju k = R 0. Koeficijenti uz elemente u j stepena strogo ve eg od deg(v s ) su 0. Dakle, blokovi B i su sa elementima u k, a deo matrice iznad blokova B i je 0. To znaqi da je det(c) = i det(b i) k. Da bismo dokazali da je matrica C invertibilna, dovoljno je dokazati da je det(c) invertibilan, to jest da je det(c) 0. Oznaqimo sa C matricu nastalu od C kada se elementi c sj preslikaju u elemente c sj na ve pomenuti naqin. Pri tom preslikavanju, elementi c sj koji su u k se ne menjaju, a oni koji nisu, postaju 0. Matrica C ima na dijagonali blokove B i, a svuda ostalo su nule. Kako su sistemi {u 1,..., u p } i {v 1,..., v p } baze vektorskog prostora U, i matrica C je ta koja prevodi jednu bazu u drugu, to je C invertibilna, a time i det(c) = i det(b i) = det(c) 0. 2 Rezolvente Pri ispitivanju osobina modula, imamo mogu nost da mu dodelimo niz modula i homomorfizama, qije osobine su lakxe za ispitivanje. Takav niz naziva emo rezolventom, i kao xto e se pokazati u narednim odeljcima, kroz ispitivanje rezolvente modula dobija emo vaжne podatke o njemu samom. Definicija 2.1. Graduisani lanqasti kompleks modula je lanqasti kompleks d F i d i Fi 1 F 2 d 2 1 F1 F0, pri qemu su svi moduli F i graduisani i preslikavanja d i su homomorfizmi stepena nula. Definicija 2.2. Projektivna rezolventa modula M nad proizvoljnim prstenom P je taqan lanqasti kompleks d F i d i Fi 1 F 1 1 F0 7

projektivnih P -modula, tako da je M = F 0 /Im(d 1 ). Ako su moduli F i slobodni konaqnog ranga za svako i, kaжemo da je rezolventa slobodna. Graduisana slobodna rezolventa modula je slobodna rezolventa koja je i graduisani lanqasti kompleks, i izomorfizam M = F 0 /Im(d 1 ) je stepena nula. Dakle, niz modula i homomorfizama d F i d i Fi 1 F 1 1 F0 je graduisana slobodna rezolventa modula M ako je lanqasti kompleks koji je taqan, moduli F i su graduisani i slobodni konaqnog ranga, homomorfizmi d i su stepena nula i M = F 0 /Im(d 1 ) je izomorfizam stepena nula. Rezolventu modula M moжemo oznaqiti i sa i to jeste taqan niz. d F i d i Fi 1 F 1 ɛ 1 F0 M 0, Projektivna rezolventa je, oqigledno, opxtiji pojam od slobodne, ali u sluqaju prstena polinoma, projektivni moduli su slobodni, tako da e u tekstu koji sledi biti reqi samo o slobodnim rezolventama. Ako fiksiramo bazu modula F i koja se sastoji od homogenih elemenata, tada su preslikavanja d i zadata matricama qije komponente su homogeni elementi, i takve matrice nazivamo diferencijalne matrice. Naravno, matrice zavise od izabrane baze. Moжe se dokazati da svaki modul ima slobodnu rezolventu. Za modul F 0 uzmimo slobodan modul qiji generatori su generatori modula M i neka preslikavanje ɛ slika generatore u same sebe. Kako M nije slobodan, Ker(ɛ) nije trivijalan i ne mora biti slobodan. Ponovimo postupak za Ker(ɛ). Neka je F 1 slobodan modul qiji generatori su generatori za Ker(ɛ) i definiximo preslikavanje d 1 : F 1 Ker(ɛ) analogno. Tada je Ker(ɛ) = Im(d 1 ) i M = Im(ɛ) = F 0 /Ker(ɛ) = F 0 /Im(d 1 ). Ponavljanjem postupka dobijamo slobodnu rezolventu za M. Neka je sada U konaqno generisani graduisani R-modul. Prethodni dokaz moжe se lako podesiti tako da dobijemo i gradaciju. Znamo da je slobodan R-modul direktna suma kopija prstena R. U graduisanom sluqaju te kopije e biti pomereni moduli R( p), jer na taj naqin moжemo odrediti kog stepena je generator. Konstrukcija graduisane slobodne rezolvente modula U e biti predstavljena induktivno. Neka su m 1,..., m r homogeni generatori modula U, i neka su a 1,..., a r njihovi stepeni. Neka je F 0 = R( a 1 ) R( a r ) i neka je f i generator modula R( a i ), za svako i. Tada je deg(f i ) = a i. Definiximo preslikavanje d 0 : F 0 U, tako da f j m j, za 1 j r. Preslikavanje quva 8

stepen, pa jeste homomorfizam stepena nula. Pretpostavimo da su definisani F i i d i. Kako je F i konaqno generisan nad R, koji je Neterin, onda je i F i Neterin kao modul, pa je Ker(d i ) konaqno generisan. Neka su l 1,..., l s homogeni generatori za Ker(d i ), koji jeste graduisani modul prema stavu 1.11, i neka su b 1,..., b s stepeni generatora. Neka je F i+1 = R( b 1 ) R( b s ), i g i generator modula R( b i ), za svako i. Kako je deg(g i ) = b i, preslikavanje d i+1 : F i+1 Ker(d i ) F i, definisano sa g j l j, za 1 j s, jeste stepena nula i surjektivno je na Ker(d i ). Prema konstrukciji, dobijeni niz modula je taqan. Na narednom primeru emo ilustrovati do sad uvedene pojmove, a koristi emo ga i dalje kroz rad. Primer 2.3. Neka je S = k[x, y] i I = (x 3, xy, y 5 ). Tada je S/I konaqno generisani modul nad S, sa jednim generatorom stepena nula. Odredimo Hilbertovu funkciju i graduisanu slobodnu rezolventu za S/I. Vaжi da je (S/I) 0 = k, pa je baza za (S/I) 0 nad k {1}, a time i dim k ((S/I) 0 ) = 1. Baza za (S/I) 1 nad k je {x, y}, a za (S/I) 2 je {x 2, y 2 }, jer je xy I. Zapravo, kako je I generisan monomima, moжemo primetiti da bazu za (S/I) i dobijamo kao skup monoma stepena i koji ne pripadaju idealu I. Tako da je baza u stepenu 3 {y 3 }, a u stepenu 4 {y 4 }. Kako I moжe da izgenerixe sve polinome stepena 5 i vixe, to je (S/I) j = 0 za j 5, pa je u tom sluqaju dim k ((S/I) j ) = 0. Dakle, Hilbertov red je Hilb S/I (t) = 1 + 2t + 2t 2 + t 3 + t 4. Sada emo odrediti graduisanu slobodnu rezolventu za S/I nad S. Prema izvedenoj konstrukciji, za F 0 uzimamo slobodni modul nad S sa jednim generatorom stepena nula, to jest F 0 = S. Preslikavanje d 0 slika taj generator u generator modula S/I. Homogeni generatori za Ker(d 0 ) su oqigledno x 3, xy, y 5. Njihovi stepeni su 3, 2 i 5. Tada je F 1 = S( 3) S( 2) S( 5), generatori su f 1, f 2, f 3, a preslikavanje d 1 takvo da f 1 x 3, f 2 xy, f 3 y 5. Prema tome, dobijamo poqetak rezolvente ( x 3 xy y 5 ) S( 3) S( 2) S( 5) S S/I 0. Dalje, treba odrediti Ker(d 1 ). Neka je αf 1 + βf 2 + γf 3 Ker(d 1 ), za α, β, γ S. Dakle, treba rexiti jednaqinu αx 3 + βxy + γy 5 = 0. Moжemo je napisati i u slede im oblicima: αx 3 = y(βx + γy 4 ), γy 5 = x(αx 2 + βy), odakle dobijamo da y deli α i x deli γ. Stavimo α = y α i γ = x γ. Polazna jednaqina je pojednostavljena: αx 2 + β + γy 4 = 0. Vidimo da β moжemo zapisati kao β = β y 4 + β x 2 + βx 2 y 4, gde nijedan monom u β nije deljiv sa y 4, i nijedan monom u β nije deljiv sa x 2. Sliqno je: 9

α = α y 4 + α, gde nijedan monom u α nije deljiv sa y 4 ; γ = γ + γ x 2, gde nijedan monom u γ nije deljiv sa x 2. Dobijamo jednakost (α + β + γ )x 2 y 4 + (α + β )x 2 + (β + γ )y 4 = 0, odakle sledi da je α + β = 0 i β + γ = 0, a time i α + β + γ = 0. Svako rexenje polazne jednaqine moжemo zapisati (α, β, γ) = (α y 5 + α y, β y 4 + β x 2 + βx 2 y 4, γ x + γ x 3 ) = = (α y 5 + α y, γ y 4 α x 2 α x 2 y 4 γ x 2 y 4, γ x + γ x 3 ) = = α (y, x 2, 0) + α (0, y 4, x) + γ (y 5, x 2 y 4, 0) + γ (0, x 2 y 4, x 3 ), pa je skup rexenja generisan sa σ 1 = (y, x 2, 0), σ 2 = (0, y 4, x), σ 3 = (y 5, x 2 y 4, 0), σ 4 = (0, x 2 y 4, x 3 ). Moжemo primetiti da je σ 3 = y 4 σ 1 i σ 4 = x 2 σ 2, pa σ 1 i σ 2 predstavljaju minimalnu generatrisu za skup rexenja navedene jednaqine. Dakle, imamo da su yf 1 x 2 f 2, y 4 f 2 + xf 3 homogeni generatori za Ker(d 1 ). Njihovi stepeni su deg(yf 1 ) = deg(y) + deg(f 1 ) = 1 + 3 = 4 i deg( y 4 f 2 ) = deg( y 4 )+deg(f 2 ) = 4+2 = 6. Imamo da je F 2 = S( 4) S( 6), generatori su g 1, g 2, a preslikavanje d 2 takvo da Sada je rezolventa g 1 yf 1 x 2 f 2, g 2 y 4 f 2 + xf 3. y 0 x 2 y 4 0 x S( 4) S( 6) S( 3) S( 2) S( 5) ( x 3 xy y 5 ) S S/I 0. Treba na i homogene generatore za Ker(d 2 ). Neka je µg 1 +νg 2 Ker(d 2 ), za µ, ν S. Traжimo rexenja jednaqine µyf 1 + ( µx 2 νy 4 )f 2 + νxf 3 = 0. Kako su f 1, f 2, f 3 slobodni generatori, mora biti µy = 0, µx 2 νy 4 = 0, νx = 0. Zakljuqujemo da je µ = ν = 0, pa je Ker(d 2 ) = 0, a time i taqan niz y 0 x 2 y 4 0 x 0 S( 4) S( 6) S( 3) S( 2) S( 5) 10

( x 3 xy y 5 ) S S/I 0, koji predstavlja graduisanu slobodnu rezolventu za S/I. Pronalaжenje generatora za module Ker(d 1 ) i Ker(d 2 ) bilo je ekvivalentno rexavanju jedne jednaqine αx 3 +βxy +γy 5 = 0 i rexavanju sistema od tri jednaqine µy = 0, µx 2 νy 4 = 0, νx = 0, respektivno. U pitanju su jednaqine linearne nad S i traжili smo rexenja nad istim prstenom. Moжemo uopxtiti prethodno objaxnjenje na slede i naqin: ako su R p i R q slobodni R-moduli, i B matrica preslikavanja R p B R q, tada je opisivanje strukture Ker(B) ekvivalentno rexavanju sistema R- linearnih jednaqina BX = 0 nad R. Dakle, konstruisanje slobodne rezolvente... R s B 2 R t B 1 R p B 0 R q ekvivalentno je uzastopnom rexavanju sistema R-linearnih jednaqina B 0 X = 0, B 1 Y = 0, B 2 Z = 0,.... Bitno je pitanje kako na i minimalni broj elemenata koji generixu jezgro, kao xto je razmatrano za sluqaj Ker(d 1 ). Time emo se baviti u slede em odeljku. Napomenimo jox da se u sluqaju minimalne generatrise odgovaraju a jezgra nazivaju sizigije. Slede i rezultati su tehniqke prirode i omogu i e nam da, u poslednjoj teoremi ovog odeljka, objasnimo neke veze između razliqitih slobodnih rezolventi fiksiranog R-modula. Definicija 2.4. Neka su U i W konaqno generisani R-moduli i F i G lanqasti kompleksi nad U i W. Kaжemo da je homomorfizam lanqastih kompleksa φ : F G podizanje homomorfizma σ : U W, ako je komutativan dijagram... F i d i F i 1... F 0 W 0 φ i φ i 1... G i δ i Gi 1... G 0 U 0 φ 0 σ Lema 2.5. Neka su U i W konaqno generisani R-moduli i σ : U W homomorfizam. Neka su dati lanqasti kompleksi F : F i d i d Fi 1 F 1 d 1 0 F0 U 0 i G : G i δ i δ Gi 1 G 1 δ 1 0 G0 W 0, 11

tako da su F i slobodni moduli konaqnog ranga, d 0 surjektivno, i G slobodna rezolventa za W. (1) Postoji podizanje φ : F G za σ. (2) Svaka dva podizanja za σ su homotopna. Ako su navedeni moduli graduisani i homomorfizmi stepena p, tada se φ i homotopija mogu izabrati da budu stepena p. D o k a z. (1) Konstrukcija podizanja se izvodi induktivno. Preslikavanje δ 0 je surjekcija, jer je niz G taqan. Kako je F 0 slobodan, postoji homomorfizam φ 0 : F 0 G 0, tako da δ 0 φ 0 = σd 0. F 0 φ 0 σd 0 G 0 δ 0 U Poxto je F lanqasti kompleks, kompozicije susednih preslikavanja su nule, vaжi da je δ 0 φ 0 (Im(d 1 )) δ 0 φ 0 (Ker(d 0 )) = σd 0 (Ker(d 0 )) = 0. Dakle, φ 0 (Im(d 1 )) Ker(δ 0 ) = Im(δ 1 ), xto omogu ava pravilno izvođenje indukcije, to jest definisanje narednog preslikavanja. Pretpostavimo da postoji φ i 1 : F i 1 G i 1, tako da φ i 1 (Im(d i )) δ Im(δ i ). Kako je F i slobodan i preslikavanje G i i Im(δi ) je surjektivno, postoji homomorfizam φ i : F i G i, tako da δ i φ i = φ i 1 d i. Takođe je F i φ i φ i 1 d i G i δ i Im(δ i ) δ i φ i (Im(d i+1 )) δ i φ i (Ker(d i )) = φ i 1 d i (Ker(d i )) = 0, pa imamo φ i (Im(d i+1 )) Ker(δ i ) = Im(δ i+1 ). (2) Ako su φ 1 i φ 2 dva podizanja za σ, tada su φ 1 φ 2 i 0 dva podizanja za nula preslikavanje. Dakle, dovoljno je pokazati da ako je α podizanje nule, tada je α homotopno nuli. Konstrukcija se ponovo izvodi induktivno. Zbog komutativnosti dijagrama je δ 0 α 0 = 0, pa i α 0 (F 0 ) Ker(δ 0 ) = Im(δ 1 ). Poxto je F 0 slobodan, postoji homomorfizam h 0 : F 0 G 1 tako da α 0 = δ 1 h 0. F 0 α 0 h 0 G 1 δ 1 Im(δ 1 ) 12

Primetimo da je δ 1 (α 1 h 0 d 1 ) = δ 1 α 1 δ 1 h 0 d 1 = α 0 d 1 δ 1 h 0 d 1 = (α 0 δ 1 h 0 )d 1 = 0, pa i Im(α 1 h 0 d 1 ) Ker(δ 1 ) = Im(δ 2 ). Pretpostavimo da postoji homomorfizam h i tako da α i = h i 1 d i +δ i+1 h i i Im(α i+1 h i d i+1 ) Im(d i+2 ). Postoji homomorfizam h i+1 : F i+1 G i+2 tako da δ i+2 h i+1 = α i+1 h i d i+1. F i+1 Kako je h i+1 α i+1 h i d i+1 G i+2 δ i+2 Im(δ i+2 ) δ i+2 (α i+2 h i+1 d i+2 ) = δ i+2 α i+2 δ i+2 h i+1 d i+2 = = α i+1 d i+2 δ i+2 h i+1 d i+2 = (α i+1 δ i+2 h i+1 )d i+2 = (h i d i+1 )d i+2 = 0, imamo da je Im(α i+2 h i+1 d i+2 ) Ker(δ i+2 ) = Im(δ i+3 ). Slede a teorema kaжe da su svake dve slobodne rezolvente konaqno generisanog modula homotopski ekvivalentne. Teorema 2.6. Ako su F i G slobodne rezolvente konaqno generisanog R-modula U, tada postoje homomorfizmi φ : F G i ϕ : G F, tako da je φϕ homotopno id F, a ϕφ homotopno id G. Ako su navedeni moduli graduisani, sva preslikavanja mogu se izabrati da budu stepena nula. D o k a z. Prema lemi 2.5(1) postoje podizanja φ : F G i ϕ : G F identiqnog preslikavanja id : U U. Tada su ϕφ : F F i id : F F dva podizanja identiqnog preslikavanja id : U U. Prema lemi 2.5(2), preslikavanja su homotopna. Sliqno se dokazuje da je φϕ homotopno preslikavanju id G. 3 Minimalna rezolventa Svaka rezolventa modula daje nam određene numeriqke podatke o samom modulu. Iako su svake dve slobodne rezolvente konaqno generisanog modula homotopski ekvivalentne, neki numeriqki podaci koje dobijamo tim putem se menjaju sa promenom rezolvente. Definisa emo specijalni tip rezolvente, koji ne samo da daje iste podatke pri promeni rezolventi, nego e i sami podaci koje dobijemo iz nje najbolje opisivati strukturu polaznog modula. 13

Definicija 3.1. Kaжemo da je graduisana slobodna rezolventa konaqno generisanog R-modula minimalna, ako je d i+1 (F i+1 ) MF i, za svako i. Definicija zapravo kaжe da, ako je rezolventa minimalna, u diferencijalnim matricama nema invertibilnih elemenata. Minimalna rezolventa je najmanja u smislu da su rangovi njenih slobodnih modula manji ili jednaki od rangova odgovaraju ih slobodnih modula u proizvoljnoj rezolventi. To emo i dokazati. Teorema 3.2. Graduisana slobodna rezolventa konaqno generisanog R-modula U konstruisana u prethodnom odeljku je minimalna ako i samo ako u svakom koraku konstrukcije biramo minimalni homogeni sistem generatora jezgra preslikavanja d i. D o k a z. Pretpostavimo da je rezolventa minimalna, i pretpostavimo da je u i-tom koraku izabran homogeni sistem generatora l 1,..., l s za Ker(d i ) koji nije minimalni. Bez umanjenja opxtosti, postoje r 2,..., r s R, tako da l 1 = 2 j s r jl j. Neka su g 1,..., g s generatori modula F i+1. Prema konstrukciji, vaжi da je d i+1 (g j ) = l j, za 1 j s, pa je d i+1 (g 1 ) = l 1 = 2 j s r jd i+1 (g j ). Dakle, g 1 2 j s r j g j Ker(d i+1 ) = Im(d i+2 ) MF i+1. Koeficijenti uz generatore g j moraju biti u M, pa je 1 M, xto je kontradikcija. Pretpostavimo da je u svakom koraku konstrukcije izabran minimalni homogeni sistem generatora, i pretpostavimo da je za neko i d i+1 (F i+1 ) MF i. Kako je d i+1 (F i+1 ) = Im(d i+1 ) = Ker(d i ), postoji element g Ker(d i )\MF i. Ako su g 1,..., g s generatori modula F i, tada se g moжe izraziti preko navedenih generatora, pri qemu neki od koeficijenata mora biti invertibilan element. Bez gubljenja opxtosti moжemo pretpostaviti da su generatori izabrani tako da je g = g 1 2 j s r jg j, za neke r j R. Dalje, vaжi g = g 1 2 j s r jg j Ker(d i ), pa je d i (g 1 ) = 2 j s r jd i (g j ). Ako su l 1,..., l s generatori za Ker(d i 1 ) F i 1, prema tome kako je konstruisana rezolventa, vaжi l 1 = 2 j s r jl j. Ovo je kontradikcija sa qinjenicom da je u svakom koraku biran minimalni sistem generatora. Definicija 3.3. Lanqasti kompleks oblika 0 R( p) id R( p) 0 se naziva kratki trivijalni kompleks. Direktna suma kratkih trivijalnih kompleksa naziva se trivijalni kompleks. 14

Ako je F rezolventa modula U, a G trivijalni kompleks, tada je i F G takođe rezolventa za U. To je posledica qinjenice da trivijalni kompleks ima trivijalnu homologiju. U teoremi 3.9 emo dokazati da se sve rezolvente modula U razlikuju do na direktnu sumu sa trivijalnim kompleksima, to jest, da minimalnu rezolventu moжemo dobiti uklanjanjem kratkih trivijalnih kompleksa. Za dokaz ove vaжne teoreme, koja govori o egzistenciji i jedinstvenosti minimalne rezolvente, neophodni su nam slede i rezultati tehniqke prirode. Definicija 3.4. Neka su T i N konaqno generisani R-moduli. Kaжemo da se niz N α T β N cepa, ako je βα = id. Lema 3.5. Neka su T i N konaqno generisani R-moduli. (1) Ako se niz N α T β N cepa, tada je T = Ker(β) Im(α). Ako su dodatno T i N graduisani, a α i β stepena nula, tada direktna suma poxtuje gradaciju. β (2) Ako je preslikavanje T N surjektivno i N slobodan, tada je T = Ker(β) N. Takođe, ako su T i N graduisani, a β stepena nula, tada direktna suma poxtuje gradaciju. D o k a z. (1) Neka je f T. Kako je β(α(β(f))) = β(f), to je f α(β(f)) Ker(β), pa je f Ker(β) + Im(α). Takođe, Ker(β) Im(α) = 0. Prema stavu 1.11 Ker(β), Im(α) jesu graduisani. Ako bismo u prethodnom dokazu izabrali homogen element f, i kako su α i β stepena nula, gradacija bi oqigledno bila ispoxtovana. (2) Neka je l 1,..., l s baza modula N. Kako je β surjekcija, moжemo izabrati elemente f 1,..., f s tako da β(f i ) = l i. Neka je α : N T zadato sa α(l i ) = f i. Tada je βα = id, pa prema (1) vaжi T = Ker(β) Im(α). Iz α(f) = α(g) sledi β(α(f)) = β(α(g)), a zbog cepanja i f = g, pa je α injekcija. Dakle, Im(α) = N. Lema 3.6. Neka je T graduisan R-modul i direktni sabirak graduisanog slobodnog R-modula konaqnog ranga. Tada je T slobodan. D o k a z. T jeste konaqno generisan, pa neka je tad l 1,..., l s minimalni sistem homogenih generatora za T, a a 1,..., a s njihovi stepeni. Definiximo preslikavanje α : N T, sa r i l i, za 1 i s, gde je N = R( a 1 ) R( a s ) slobodni R-modul sa bazom r 1,..., r s. Dokaжimo da je α izomorfizam. Oqigledno je surjekcija. Neka je q Ker(α) N. Tada je q = i c ir i, za c i R. Dalje je i c il i = 0. Ako bi neki od c i bio invertibilan, onda bi bilo l 1 = b j l j, xto je nemogu e, jer je l 1,..., l s minimalni sistem homogenih generatora. Znaqi, c i M i Ker(α) MN. Neka je G = F T navedeni slobodni modul, i g 1,..., g s njegova baza. Projekcija π : G T mora biti stepena nula. Kako je α surjektivno, za svako π(g i ) postoji f i N tako da α(f i ) = π(g i ). Moжemo definisati homomorfizam γ : G N sa γ(g i ) = f i. 15

β G γ π N α T Neka je β = γ T. Niz T N α T se cepa, jer je αβ = id. Koriste i lemu 3.5(1), zakljuqujemo da je N = Im(β) Ker(α), a na osnovu prethodnog i da je N = Im(β) + MN. Primenom posledice Nakajamine leme 1.14 dobijamo MN = 0, a kako je Ker(α) MN, imamo i Ker(α) = 0. Lema 3.7. Ako je T : T i d i d Ti 1 T 1 1 T0 0 taqan graduisan lanqasti kompleks slobodnih R-modula konaqnog ranga, tada je to trivijalni kompleks. D o k a z. Takođe je T 0 slobodan i d 1 surjektivno, prema lemi 3.5(2) je T 1 = Ker(d1 ) T 0. Vaжi da je T 1 slobodan, pa je prema lemi 3.6 i Ker(d 1 ) slobodan. Kompleks T 1 : T i d i d Ti 1 T 2 2 Ker(d1 ) 0 je taqan i vaжi T = T 1 {0 T 0 T 0 0}. Sada, isti argument moжemo primeniti na kompleks T 1. Na taj naqin dobijamo da je T direktna suma kratkih trivijalnih kompleksa, a time i trivijalni kompleks. Lema 3.8. Neka je [c ij ] matrica homomorfizma stepena nula α : F F, u odnosu na homogene baze f 1,..., f s F i g 1,..., g p F, gde su F i F graduisani slobodni R-moduli konaqnog ranga. Neka je a ij homogena komponenta elementa c ij R stepena deg(f j ) deg(g i ). Za matricu [a ij ] vaжi da je α(f j ) = i a ijg i. Ako je F = F i stepeni elemenata u odgovarau im bazama se pove avaju, tada [a ij ] ima kvadratne blokove na dijagonali qije komponente su u k, i nule ispod blokova na dijagonali. D o k a z. Sliqno kao dokaz teoreme 1.16(3). Teorema 3.9. Neka je U graduisani konaqno generisani R-modul. (1) Postoji minimalna graduisana slobodna rezolventa od U. (2) Ako je F minimalna, a G bilo koja graduisana slobodna rezolventa od U, tada je G = F T, za neki trivijalni kompleks T. (3) Minimalna graduisana slobodna rezolventa od U je jedinstvena, do na izomorfizam. D o k a z. (1) Sledi iz teoreme 3.2. (3) Sledi iz (2). (2) Prema teoremi 2.6, postoje homomorfizmi φ : F G i ϕ : G F stepena nula, kao i homotopija h tako da id i ϕ i φ i = d i+1 h i + h i 1 d i : F i F i. 16

Neka je f 1,..., f t homogena baza za F i, sastavljena od elemenata qiji stepeni se pove avaju. Neka je A = [a ij ] matrica preslikavanja ϕ i φ i u toj bazi, dobijena kao u lemi 3.8. Matrica A ima kvadratne blokove na dijagonali qije komponente su u k i nule ispod blokova na dijagonali. Matrica za id i ϕ i φ i je E A. Kako je F minimalna rezolventa, vaжi Im(id i ϕ i φ i ) = Im(d i+1 h i + h i 1 d i ) Im(d i+1 ) + h i 1 Im(d i ) MF i + h i 1 (MF i 1 ) MF i + Mh i 1 (F i 1 ) MF i. To znaqi da su komponente matrice E A u M. Vaжi k M = {0}. Sledi da je 1 a jj = 0, za svako j, pa i a jj = 1. Takođe imamo da su u matrici A nule ispod dijagonale. Dakle, A je gornje trougaona matrica i det(a) = a jj = 1, xto znaqi da je A invertibilna, a samim tim, i preslikavanje ϕφ izomorfizam. Neka je ξ inverzno preslikavanje za ϕφ. Tada se F φ G ξϕ F cepa, jer je (ξϕ)φ = id. Neka je T = Ker(ξϕ). Prema lemi 3.5 i kako sva preslikavanja moжemo izabrati da budu stepena nula, vaжi da je G = φ(f) T kao suma graduisanih modula. Treba jox dokazati da je G = φ(f) T direktna suma lanqastih kompleksa. Neka je d diferencijal na F, a δ diferencijal na G. Treba dokazati da je δ lanqasto preslikavanje na φ(f) i na T. Poxto je φ preslikavanje lanqastih kompleksa, onda je δφ = φd, pa je δ(φ(f)) φ(f). Dokaza emo da vaжi i δ(t ) T. Neka je u T i+1 = Ker(ξ i+1 ϕ i+1 ) G i+1, pa je δ(u) G i = φ(f i ) T i. Dakle, postoji f F i i v T i tako da δ i+1 (u) = φ(f) + v. Vaжi da je a s druge strane je (ξϕ)δ(u) = ξϕ(φ(f) + v) = ξϕ(φ(f)) = id(f) = f, (ξϕ)δ(u) = ξ(ϕδ)(u) = ξdϕ(u) = d(ξϕ)(u) = d(0) = 0, pa je δ i+1 (u) = v. Dakle, G = φ(f) T je direktna suma lanqastih kompleksa. Kako je ϕφ izomorfizam, to je φ injekcija, pa i G = F T. Dokaza emo da je T trivijalni kompleks. Poxto su F i G slobodne rezolvente, onda su i taqni nizovi, pa su im homologije trivijalne. Samim tim, i T ima trivijalnu homologiju, pa je taqan niz. Modul T i je direktni sabirak od G i, koji je slobodan, pa je prema lemi 3.6 i sam T i slobodan. Kompleks T je taqan graduisani kompleks slobodnih modula, pa je prema lemi 3.7 trivijalan. Teorema kaжe da graduisani konaqno generisani modul ima minimalnu graduisanu slobodnu rezolventu, koja je jedinstvena do na izomorfizam. Kljuqna pretpostavka koja je dovela do ovog rezultata je gradacija. Nakajamina lema za graduisane module obezbeđuje nam, kroz teoremu 1.16, da svaki minimalni sistem homogenih generatora R-modula 17

ima isti broj elemenata, kao i isti broj elemenata određenog stepena u svakom minimalnom sistemu. A kao xto je poznato, minimalnu rezolventu dobijamo biraju i minimalni sistem generatora u svakom koraku konstrukcije rezolvente. Lokalni prsteni zadovoljavaju drugu verziju Nakajamine leme, i pojam minimalne rezolvente, kao i teorija indukovana tim, se moжe uvesti i u tom sluqaju. Naime, ova dva pojma objedinjuje pojam generalisanih lokalnih prstena, ali o tome ovde ne e biti reqi. Jedan od neispitanih problema vezanih za ovu oblast je slede i: konstruisati eksplicitnu minimalnu graduisanu slobodnu rezolventu za neke klase graduisanih modula, pri qemu se pod eksplicitnom rezolventom misli na onu opisanu formulama, ne algoritmima. Sem znaqajnih numeriqkih invarijanti o kojima e biti reqi u slede em odeljku, minimalna rezolventa opisuje strukturu modula i na slede i naqin: daje nam minimalni sistem generatora za polazni modul, zatim minimalni sistem relacija među tim generatorima, zatim minimalni sistem relacija na strukturu generisanu prethodnim relacijama i tako dalje. 4 Betijevi brojevi U ovom odeljku bi e uvedeni pojmovi Betijevih brojeva, projektivne dimenzije i Poenkareovog reda, koji daju numeriqki opis strukture modula. Definicija 4.1. Neka je F minimalna graduisana slobodna rezolventa konaqno generisanog R-modula U. Za i 1 podmodul Im(d i ) = Ker(d i 1 ) modula F i 1 naziva se i-ti modul sizigija od U i oznaqava se Syz R i (U). Njegovi elementi se nazivaju sizigije. Teorema 4.2. Neka je F minimalna graduisana slobodna rezolventa R-modula U. Ako je f 1,..., f s baza od F i, tada je d i (f 1 ),..., d i (f s ) minimalni sistem generatora za Syz R i (U). D o k a z. Kako je Syz R i (U) = Im(d i ), to za svaki element g Syz i (U) postoji h F i tako da d i (h) = g. Za neke r j R je h = r j f j, a time i g = r j d i (f j ), pa d i (f 1 ),..., d i (f s ) jeste sistem generatora. Kako je F minimalna rezolventa, to je d i (F i ) MF i 1, pa ni za jedno j ne moжe biti d i (f j ) = p j l pd i (f p ), xto znaqi da je sistem d i (f 1 ),..., d i (f s ) minimalan. 18

Definicija 4.3. Neka je F minimalna graduisana slobodna rezolventa graduisanog konaqno generisanog R-modula U. Betijevi brojevi od U nad R su b R i (U) = rang(f i ). Minimalne graduisane slobodne rezolvente modula U su izomorfne, pa su rangovi odgovaraju ih slobodnih modula razliqitih rezolventi isti, a samim tim i brojevi b R i ne zavise od konkretne rezolvente. Teorema 4.4. Betijev broj b R i (U) je jednak broju minimalnih generatora za Syz R i (U) i takođe je b R i (U) = dim k (Tor R i (U, k)) = dim k (Ext i R(U, k)). D o k a z. Prvi deo sledi iz teoreme 4.2. Kako je F i R k = R br i (U) R k = k br i (U), to je kompleks F R k : k br i (U) k br i 1 (U) k br 1 (U) k br 0 (U). Rezolventa je minimalna, pa je Im(d) MF, a time je d R k = 0, i preslikavanja u kompleksu F R k su nula. Dakle, Tor R i (U, k) = H i (F R k) = k br i (U). Dokaz za Ext e biti preskoqen. Definicija 4.5. Duжina graduisane slobodne rezolvente G je max{i G i 0}. Ako je duжina rezolvente konaqna, kaжemo da je rezolventa konaqna, u suprotnom, kaжemo da je beskonaqna. Projektivna dimenzija od U je Poenkareov red za U nad R je pd R (U) = max{i b R i (U) 0}. P R U(t) = i 0 b R i (U)t i. Projektivna dimenzija pd R je zapravo duжina minimalne slobodne rezolvente za U. Poenkareov red i njegove osobine se obiqno izuqavaju kada je slobodna rezolventa beskonaqna. Primetimo da definicija Betijevih brojeva nije povezana sa gradacijom. Graduisani Betijevi brojevi, koji e sada biti uvedeni, predstavljaju precizniju verziju ovih invarijanti. Definicija 4.6. Graduisani Betijevi brojevi za U nad R predstavljaju broj sabiraka u F i oblika R( p), i oznaqavamo ih sa b R i,p(u). Graduisan Poenkareov red za U nad R je P R U(t, z) = b R i,p(u)t i z p. i 0,p Z 19

Primetimo da je b R i (U) = p Z br i,p(u). Suma je, naravno, konaqna, jer su u pitanju slobodni moduli konaqnog ranga. Moжe se dokazati, kao u teoremi 4.4, da je b R i,p(u) = dim k (Tor R i (U, k) p ) = dim k (Ext i R(U, k) p ). Teorema 4.7. Ako je c minimalni stepen elementa u minimalmnom homogenom sistemu generatora za U, onda je b R i,p(u) = 0, za p < i + c. D o k a z. Bi e izveden indukcijom po i. Kako U ima sistem homogenih generatora qiji stepeni nisu manji od c, i kako je U = F 0 /Im(d 1 ) izomorfizam stepena nula, to i F 0 ima sistem homogenih generatora qiji stepeni nisu manji od c, pa tvrđenje vaжi za i = 0. Pretpostavimo da vaжi za i, to jest da je b R i,p(u) = 0, za p < i + c. Dokaжimo da je b R i+1,p(u) = 0, za p < i+1+c. Elementi sistema homogenih generatora za F i su stepena ne manjeg od i + c. U pitanju je minimalna rezolventa, pa je Im(d i+1 ) MF i. Elementi u M su pozitivnih stepena, pa su elementi minimalnog sistema homogenih generatora za Im(d i+1 ) stepena ne manjeg od i + 1 + c. Ako se setimo da smo u konstrukciji minimalne rezolvente formirali i + 1-vi modul pomo u generatora za Ker(d i ) = Im(d i+1 ), jasno je da i za F i+1 vaжi da je minimalni sistem homogenih generatora stepena ne manjeg od i + 1 + c. Betijevi brojevi se obiqno predstavljaju u tabelama oblika: b 0 b 1 b 2.... 1 b 0, 1 b 1,0 b 2,1 0 b 0,0 b 1,1 b 2,2 1 b 0,1 b 1,2 b 2,3.. Prva vrsta sadrжi Betijeve brojeve, prva kolona oznake vrsta, a u ostatku tabele nalaze se graduisani Betijevi brojevi. Ovakva tabela se naziva Betijev dijagram. Primetimo da se u i-toj koloni i j-toj vrsti ne nalazi b i,j, ve b i,j+i. Teorema 4.7 daje delimiqno objaxnjenje za ovu, naizgled neobiqnu definiciju. Naime, dokazali smo da ako je b R i,p(u) = 0, za p < i + c, tada je i b R i+1,p(u) = 0, za p < i+1+c. Ako i-ta kolona Betijevog dijagrama ima nule iznad j-te vrste, tada, prema teoremi, i (i + 1)-va kolona takođe ima nule iznad j-te vrste. Na ovaj naqin dobijamo kompaktniji prikaz Betijevih brojeva. Definicija regularnosti e dati dodatno razjaxnjenje. Primetimo da se projektivna dimenzija moжe interpretirati kao duжina Betijevog dijagrama... 20

Primer 4.8. Izraqunajmo projektivnu dimenziju, Betijeve brojeve i Poenkareov red za modul iz primera 2.3. Odabirom minimalnog sistema generatora u svakom koraku konstrukcije rezolvente za S/I nad S, dobili smo da je 0 S( 4) S( 6) S( 3) S( 2) S( 5) S S/I 0 minimalna rezolventa. Ako uvedemo oznake F 0 = S, F 1 = S( 3) S( 2) S( 5), F 2 = S( 4) S( 6), moжemo primetiti da je pd R (S/I) = 2. Betijevi brojevi su b 0 = 1, b 1 = 3, b 2 = 2, a Poenkareov red P S S/I (t) = 1 + 3t + 2t2. U graduisanom sluqaju imamo i Betijev dijagram je: b 0,0 = 1, b 1,2 = 1, b 1,3 = 1, b 1,5 = 1, b 2,4 = 1, b 2,6 = 1 P S S/I(t, z) = 1 + tz 2 + tz 3 + tz 5 + t 2 z 4 + t 2 z 6. 1 3 2 0 1 1 1 2 1 1 3 4 1 1 5 Kosulov kompleks Pojam Kosulovog kompleksa ima e znaqajnu primenu u teoriji slobodnih rezolventi. Neka su f 1,..., f q R, i E spoljna algebra nad k sa baznim elementima e 1,..., e q, to jest E = k e 1,..., e q /({e 2 i 1 i q}, {e i e j + e j e i 1 i < j q}). Oznaqimo sa mnoжenje u E. Formirajmo kompleks K(f) na slede i naqin: neka je K 0 = R, K i = 0, za i > q. Za 0 i q, neka je K i slobodni R-modul ranga ( q i) sa bazom {e j1 e ji 1 j 1 < < j i q}. 21

Definiximo preslikavanja d i : K i K i 1 sa d i (e j1 e ji ) = ( 1) p+1 f jp e j1 ê jp e ji. 1 p i Kao i u drugim sliqnim konstrukcijama, jasno je d i+1 d i = 0. Definicija 5.1. Konstruisani lanqasti kompleks K(f) nazivamo Kosulov kompleks na elementima f 1,..., f q i oznaqavamo ga sa 0 K q... K 1 K 0 0. Ako stavimo deg(e i ) = 1 i deg(e j1 e ji ) = i, tada je K(f) i graduisani lanqasti kompleks. Lema 5.2. Neka je f = {f 1,..., f q 1 }, f q R i f je niz f, f q. Postoji kratak taqan niz kompleksa 0 K( f) K(f) K( f)[ 1] 0. D o k a z. Oznaka K( f)[ 1] predstavlja homoloxki pomeren kompleks. Jasno je da je K(f) i = K( f) i K( f) i 1 e q. Prvo preslikavanje definixemo kao inkluziju, a drugo kao projekciju. Tada niz jeste taqan. Dugi taqan niz u homologiji koji se dobija iz ovog kratkog taqnog niza je... H i (K( f)) H i (K(f)) H i 1 (K( f)) ( 1)i+1 f q Hi 1 (K( f))..., xto je posledica cik-cak leme. Definicija 5.3. Neka je W konaqno generisan R-modul i neka je R-modul K(f, W ) = K(f) R W. Homologija ovog kompleksa se naziva Kosulova homologija na W. Stav 5.4. Neka je W konaqno generisan R-modul. Tada vaжi da je (f)h i (K(f, W )) = 0, za sve i 0. D o k a z. Neka je f niz f 1,..., f q. Zbog oznaka je najlakxe dokazati da je f q H i (K(f, W )) = 0, mada je dokaz isti za sve f i. Prema lemi 5.2, element u K(f, W ) i je oblika c e q + a, gde je a K( f, W ) i, a c e q K( f, W ) i 1 e q. Pretpostavimo da je c e q + a cikl. Prema definiciji diferencijala u Kosulovom kompleksu vaжi 0 = d(c e q + a) = d(c) e q + ( 1) i+1 f q c + d(a). Kako e q nije element K( f, W ), a ( 1) i+1 f q c + d(a) jeste, nikako ne moжe do i do skra ivanja u prethodnom izrazu, pa mora biti d(c) = 0 i d(a) = ( 1) i f q c. Dalje, kako je d(( 1) i a e q ) = ( 1) i( d(a) e q + ( 1) i+2 f q a ) = 22

= ( 1) i( ( 1) i f q c e q + ( 1) i f q a ) = f q (c e q + a), pomenuti element je u slici. Dakle, dokazali smo da je umnoжak svakog cikla elementom f q granica, a to upravo znaqi da je f q H i (K(f, W )) = 0. Definicija 5.5. Neka je U konaqno generisani R-modul. Kaжemo da element r R \ k nije delitelj nule ili da je U-regularan, ako je ru 0 za svaki u U \ {0}. Kaжemo da je niz elemenata f 1,..., f q R U-regularan, ako je (f 1,..., f q )U U i za svako 1 i q f i nije delitelj nule u modulu U/(f 1,..., f i 1 )U. Teorema 5.6. Neka je W konaqno generisan graduisani R-modul i f = {f 1,..., f q } R niz homogenih elemenata qiji stepeni su pozitivni. Slede i uslovi su ekvivalentni: (1) f je W -regularan niz. (2) H i (K(f, W )) = 0, za i > 0 i H 0 (K(f, W )) = W/(f)W. (3) H 1 (K(f, W )) = 0. D o k a z. Dokaжimo implikaciju (1) (2). Vaжi H 0 (K(f, W )) = W/(f)W. Koristi emo indukciju po q. Za q = 1 je pa i K(f 1 ) : 0 R f 1 R 0, K(f 1, W ) : 0 W f 1 W 0, jer je W = R R W. Poxto je f W -regularan, onda je {m W f 1 m = 0} = {0}, a time i H 1 (K(f 1, W )) = 0. Pretpostavimo da tvrđenje vaжi za q 1, to jest za niz f = {f 1,..., f q 1 }. Kao u lemi 5.2, postoji kratak taqan niz 0 K( f) K(f) K( f)[ 1] 0, a time i dugi taqan niz u homologiji H 1 (K( f, W )) H 1 (K(f, W )) H 0 (K( f, W )) fq H 0 (K( f, W )). Koristili smo da je H 0 (K( f, W )) = H 1 (K( f, W )[ 1]). Prema induktivnoj pretpostavci dobijamo 0 H 1 (K(f, W )) W/( f)w fq W/( f)w. Kako je f q regularan element, jezgro poslednjeg preslikavanja je trivijalno, pa je H 1 (K(f, W )) W/( f)w nula preslikavanje. To znaqi da je homologija H 1 (K(f, W )) = 0. Za i > 1, imamo taqan niz H i (K( f, W )) H i (K(f, W )) H i (K( f, W )), xto je prema induktivnoj pretpostavci 0 H i (K(f, W )) 0, pa je H i (K(f, W )) = 0. 23

(2) (3) je oqigledno. Implikaciju (3) (1) dokaza emo indukcijom po q. Prvo, pretpostavimo da je W/(f)W = 0. Stepeni elemenata iz f su pozitivni, pa je (f) pravi ideal. Modul W je konaqno generisan i graduisan, pa je prema Nakajaminoj lemi W = 0. To je kontradikcija, pa mora biti W/(f)W 0. Za q = 1: H 1 (K(f 1, W )) = 0 u nizu K(f 1, W ) : 0 W f 1 W 0. Kerf 1 = 0, pa je f 1 regularan. Pretpostavimo da je tvrđenje taqno za q 1. Treba dokazati implikaciju H 1 (K(f, W )) = 0 f je W -regularan. Kao i malopre, niz H 1 (K( f, W )) fq H 1 (K( f, W )) H 1 (K(f, W )) = 0 je taqan. Dakle, H 1 (K( f, W )) = (f q )H 1 (K( f, W )), i dobijamo H 1 (K( f, W )) = 0 primenom Nakajamine leme. Prema induktivnoj pretpostavci f = {f 1,..., f q 1 } je W -regularan niz. Taqan je niz H 1 (K(f, W )) H 0 (K( f, W )) fq H 0 (K( f, W )), fq a to je dalje 0 W/( f)w W/( f)w, xto znaqi da je jezgro poslednjeg preslikavanja trivijalno, pa je f q regularan element u W/( f)w. Jedna od bitnijih primena Kosulovog kompleksa u teoriji slobodnih rezolventi je određivanje rezolvente polja k. Naime, polje k nad kojim posmatramo prsten polinoma S moжemo posmatrati kao S-modul: k = S/(x 1,..., x n ). Oqigledno je (x 1,..., x n ) S-regularan niz. Zadovoljen je uslov (1) teoreme 5.6, pa je prema uslovu (2) iste teoreme u lanqastom kompleksu K(x 1,..., x n ) : 0 K n... K 1 K 0 H i (K(x 1,..., x n )) = 0, za i > 0 i H 0 (K(x 1,..., x n )) = S/(x 1,..., x n )S. To znaqi da je prethodni niz taqan i da je K 0 /Im(d 1 ) = H 0 (K(x 1,..., x n )) = S/(x 1,..., x n ) = k. Kako su navedeni S-moduli graduisani i slobodni, zadovoljeni su svi uslovi da K(x 1,..., x n ) bude graduisana slobodna rezolventa za k. Ako se setimo kako su definisani diferencijali u Kosulovom kompleksu, jasno je da su komponente u diferencijalnim matricama elementi ideala (x 1,..., x n ), pa je rezolventa i minimalna. Dakle, minimalna graduisana slobodna rezolventa za k nad S je K(x 1,..., x n ) : 0 K n... K 1 K 0, sa slobodnim S-modulima K i ranga ( n i). Tako da su Betijevi brojevi b S i (k) = ( n i), a projektivna dimenzija je pds (k) = n. 24

Teorema 5.7. Neka je V graduisani konaqno generisani S-modul, a K oznaka za minimalnu graduisanu slobodnu rezolventu S-modula k. Vaжi da je b S i,p(v ) = dim k H i (K V ) p, za p Z, i N. D o k a z. Znamo da je b S i,p(v ) = dim k (Tor S i (V, k) p ), a prema definiciji Tor funktora Tor S i (k, V ) = H i (K V ). Kako je Tor S (W, V ) = Tor S (V, W ) za bilo koja dva S-modula, tada je dim k (H i (K V ) p ) = dim k (Tor S i (V, k) p ). Aktuelno je pitanje određivanja granica za Betijeve brojeve S-modula. Kako su za sve S-module brojevi b S i (k), određeni uz pomo Kosulovog kompleksa, isti, pretpostavlja se da upravo ti brojevi uqestvuju u procenama za Betijeve brojeve raznih S-modula. Hipoteza 5.8. Ako je V Artinov graduisani konaqno generisani S- modul, tada je b S i (V ) b S i (k), za i 0. U sluqaju S-modula S/M, gde je M ideal generisan monomima, tvrđenje vaжi. Postoji i opxtija pretpostavka: Hipoteza 5.9. Ako je V Artinov graduisani konaqno generisani R- modul, tada je b R i (V ) b R i (k), za i 0. 6 Konaqna projektivna dimenzija Do sada je izloжeno sve xto je neophodno za predstavljanje slede ih vaжnih rezultata. Teorema 6.1. Neka je V graduisani konaqno generisani R-modul. Tada je pd R (V ) pd R (k). D o k a z. Neka je F minimalna graduisana slobodna rezolventa za k nad R. Prema teoremi 4.4 je b R i (V ) = dim k (Tor R i (V, k)) = dim k H i (F V ). Za i > pd R (k), F i = 0, pa je i odgovaraju a homologija 0. Teorema 6.2. (Hilbertova teorema o sizigijama) Minimalna graduisana slobodna rezolventa graduisanog konaqno generisanog S-modula je konaqna, sa duжinom ne ve om od n. D o k a z. Kako je pd S (k) = n, rezultat sledi iz teoreme 6.1. Teorema je poznata i u slede em obliku: postoji graduisana slobodna rezolventa graduisanog konaqno generisanog S-modula, qija duжina je ne ve a od n. Teorema nam daje ograniqenje za broj koraka u konstrukciji minimalne slobodne rezolvente i kaжe do koje duжine najvixe su sizigije, to jest relacije među generatorima, netrivijalne. Odatle i njen naziv. Slede a teorema daje i precizniji rezultat. 25