ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 58. και συνεπώς ο δείκτης διάθλασης η θα είναι = c u= εµ. Επειδή γενικά το µ είναι πολύ κοντά στη µονάδα ισχύει η σχέση:
|
|
- ŌΣίμων Γούναρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 58 5 ΙΑΣΚΕ ΑΣΜΟΣ-ΣΧΕΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Ειδικά θα αχληθύ τη διάδη Η/Μ κυάτν η αγώγι διηλκτρικό υλικό. Είδα παραπάν ότι τα Η/Μ κύατα έα υλικό (, ) έχυν αική ταχύτητα u και υνπώς δίκτης διάθλαης η θα ίναι n c u. Επιδή γνικά τ ίναι πλύ κντά τη νάδα ιχύι η χέη: n () Η διηλκτρική ταθρά και κατά υνέπια δίκτης διάθλαης η ξαρτώνται από τη υχνότητα τυ πρπίπτντς Η/Μ κύατς. Η ανάλυη πυ ακλυθί θα πρπαθήι να ξηγήι τη υική βάη της ξάρτηης ηη() καθώς πίης και τ ηχανιό για τν πί ς πί τ πλίτν u<c. ) Τέλις ντής Βαικά αναένυ ότι τ Η/Μ πδί διαταράι την τρική κατανή ρτίυ ένα διηλκτρικό κυρίς τ χριό τν θτικών από τα αρνητικά ρτία. Αν υβλίυ ξ τ ξτρικό ηλκτρικό πδί τότ ι δηιυργύνς διπλικές ρπές κραζόνς από την πόλη P τυ διηλκτρικύ υνιέρυν τ τλικά απκαθιτών πδί P, ξ () (Η χέη () ίναι πργγιτική. Σ αυτή δ λαβάνται υπόψη η πίδραη τν γιτνικών ατόν τ πδί.) Γνικά ιχύι: ξ ( ) (3α) όπυ ( ) :τανυτής (πίνακας) διηλκτρικής διαπρατότητας. Αν ξ,όπς και την πρίπτή ας,τότ τανυτής ( ) ίναι ία ταθρά, η διηλκτρική ταθρά τυ έυ. Άρα: ξ (3β) Από την () και την (3α) έχυ: ( ) P P Πρκύπτι ότι: ξ P και τλικά + (4) Θρώντας αρνικό ξτρικό πδί αναένυ ότι τ θα ίναι πίης αρνικό. Θα ξτάυ την πίδραη τυ παραπάν πδίυ τα ξτρικά ηλκτρόνια (ηλκτρόνια θένυς) τν ατόν, τα πία θρύ υνδδένα τα άτα λατήρια ταθράς m όπυ m η άζα τυ ηλκτρνίυ. Αν χ η απόκλιη από τη θέη ιρρπίας τότ η διαρική ξίη πυ διέπι την κίνηη τυ ηλκτρνίυ θα ίναι: q m m d (5) d όπυ $ τ πδί πυ τλικά απκαθίταται και q τ ρτί τυ ( k) ηλκτρνίυ. Τ πδί ίναι γνικά. Υπθέτυ ότι τ ήκς κύατς τυ πδίυ ίναι πλύ γαλύτρ από τ έγθς τυ ατόυ έτι ώτ όλη τη διάταη τυ ατόυ τ πδί πυ βλέπι τ ηλκτρόνι να έχι την ίδια τιή. Συνπώς πρύ να θρήυ αλητέα τη χρική ταβλή, δηλαδή παίρνυ $.
2 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 59 Θρώντας τώρα ότι τ ηλκτρόνι ταλαντώνται την ίδια υχνότητα όπς τ αναζητύ λύις της ρής: () Αντικαθιτώντας αυτή τη χέη (5) καταλήγυ: q m () (6) ( ) Αν < τότ τα Ε και χ έχυν τ ίδι πρόη. Αλλά P q() N (7) όπυ Ν αριθός τν ηλκτρνίν ανά νάδα όγκυ. ( 6),( 7) q N P (8) m ( ) q N και λόγ της χέης (4) + m Από την () τλικά πρκύπτι: n q N + m Φαίνται αές η ξάρτηη τυ δίκτη διάθλαης από τη υχνότητα. Στην πράξη υπάρχυν πριότρς από ία υικές υχνότητς. Η () γράται τότ: q N f n () + () m Τα f γνικά αντιπρπύυν τη υνιρά τν διαόρν τρόπν ταλάντης την πλιότητα τυ υλικύ και υνπώς τ δίκτη διάθλαης. ) Ατλής ντής Παρατηρύ την () ότι όταν η πληιάζι πρς ία από τις χαρακτηριτικές υχνότητς τ η γίνται αυνχές, πράγα πυ αντιβαίνι πρς τις πιραατικές παρατηρήις. Αυτό ίλται τ γγνός ότι την αρχική διαρική ξίη πυ πιλύα δν λάβα υπόψη τη δύναη τριβής (damng fc) πυ ίλται την αλληλπίδραη ταξύ τν γιτνικών ατόν και ρίν και η πία ίναι ανάλγη της ταχύτητας γ d.πληρέτρη ξίη κίνηης ίναι η παρακάτ: d d q m m m d γ () d d και αναζητώντας λύη της ρής:, θα έχυ : d d q d d m + γ + Σηιώτ ότι υντλτής γ έχι διατάις υχνότητς. Τυπικές τιές τυ γ ίναι της τάξης ~ 8 s -.Αντικαθιτώντας τ χ από την παραπάν έκραη έχυ: q m q m γ ( ) + γ ( ) + γ [( ) ] Αν γράψυ τ χ τη ρή A, τότ πρκύπτι: (9) ()
3 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 6 q m ( ) + γ διαρά άης ταξύ και () ή P : an Άρα () γ q m q m ( ) () ( ) + γ ( ) + γ Από τις χέις (4) και (7) θα έχυ τη γνική πρίπτη, θρώντας ότι κάθ τρόπ ταλάντης αντιτιχί ένα γ, την έκραη: όπυ n an qn f + m ( ) + γ γ ή γ ( ) + γ Λαβάνντας υπόψη ότι q N 5 (η τιή της για τν Cu ίναι 5.5 s ) m υχνότητα πλάατς καταλήγυ την έκραη : γ n + f ( ) + γ ( ) + γ (3) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ / ΣΧΟΛΙΑ. Η έκραη (3) τυ δίκτη διάθλαης υπδικνύι ότι ίναι ιγαδικός αριθός ήτι ηη π -η, πυ κατά τα χτικά της λίδας 54 ηαίνι ξαθένηη τυ κύατς έα από ντικό υλικό. Ας ηιθί ότι αυτό ανανόταν καθ όν όρς mγ d τη χέη () αντιπρπύι ταρά νέργιας από τα ταλαντύνα d ρτία πρς τ έ η πία ανίζται ς θρότητα τυ υλικύ.στα πριότρα από τα υλικά τ γ βρίκται την πριχή 6 ές s - τις πτικές υχνότητς ( 4 s - ). Για ακριά τυ τ αντατικό έρς τυ η ίναι αλητέ. Μ άλλα λόγια δ.δ. ίναι πραγατικός αριθός κτός της πριχής υντνιύ. Στην πρίπτη τέλιυ ντή, γ πότ η, τ κύα διαδίδται χρίς ξαθένηη. Τ πλάτς τυ ίναι ταθρό έα τν τέλι ντή υνία και την ανάλυη τις λίδς 4 και 43. Για τ πρί να παραληθί από τν παρανατή και υνπώς τ η ίναι ταθρό. Καθώς τ αυξάνι πληιάζντας τ όρς αρχίζι να λαττώνται και θρώντας τν όρ τριβής γ αλητέ πρύ να πύ ότι τ η αυξάνι τη υχνότητα (αλός διακδαός). Καθώς τ πληιάζι τη υική υχνότητα αρχίζι να δηιυργίται κατάταη υντνιύ. Ταυτόχρνα όρς γ αρχίζι να γίνται
4 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 6 ηαντικός απτέλα ηαντική απρρόηη νέργιας από τ πρπίπτν κύα. Στην πριχή πλύ κντά τ τ dn/d γίνται αρνητικό (ανώαλς διακδαός). Για ένα υλικό πριότρς της ιας η γραική παράταη της χέης διακδαύ έχι την παρακάτ ρή: n ρατό 3 υπέρυθρ υπριώδς Σχήα 8 ακτίνς Χ. Στην πρίπτη της υπυκνένης ύλης, τα γιτνικά άτα δηιυργύν P πίης πδί. Τότ η () γράται τότρα ς ξής: ξ (4) 3O και η έκραη τυ διακδαύ έχι τλικά τη ρή: n q N f (5) n + 3 m ( ) + γ 3. Ένα άλλ ηί τ πί έχι νδιαέρν ίναι όταν η υχνότητα τυ Η/Μ κύατς γίνι γαλύτρη από τ,τότ η < δηλαδή η<. Αυτό αιννικά έρχται αντίθη τη θρία της χτικότητας αύ η< υνπάγται αική ταχύτητα γαλύτρη της ταχύτητας τυ τός. Αλλά η αική ταχύτητα δν ταδίδι πληρρία. Η αδική ταχύτητα αντιθέτς, η πία έχι υικό πριχόν, ίναι πάντα ικρότρη της ταχύτητας τυ τός. 4. Αξίζι πίης να ιπθύν ρικά λόγια γιατί τ Η/Μ κύα διαδίδται έα την ύλη ταχύτητα διάδης διάρη της c. Όταν τ Η/Μ κύα πέι τ διηλκτρικό υλικό πλώνι τ έ και ξαναγκάζι τα ηλκτρόνια να ταλαντώννται. Αυτά τη ιρά τυς ακτινβλύν νέργια τη ρή Η/Μ κυάτν. Μλνότι τ κλαικό ντέλ πρβλέπι ότι τα ηλκτρόνια ταλαντώννται άη τ διγίρν πδί, αυτό υβαίνι όν για χαηλές υχνότητς. Καθώς η υχνότητα τυ κύατς αυξάνι παρατηρίται ια διαρά άης, υνέπια τα δυτργνή κύατα πυ πρκαλύνται λόγ της ταλάντης τν ηλκτρνίν, να έχυν διαρά άης τ αρχικό πρπίπτν κύα. Τ τλικό απτέλα ίναι ότι τ κύα πυ διαδίδται έα τ υλικό έχι διαρά άης τ αρχικά πρπίπτν Η/Μ κύα. Αυτό ός ίναι ιδύνα διαρά τη αική ταχύτητα. Πράγατι έτ ότι ένα ηί τυ χώρυ Α (τ κνό) η διαταραχή ίναι cs( ). Όταν τ ηί αυτό βρθί έα τη διηλκτρική ύλη λόγ της διαράς άης η διαταραχή θα κράζται από ια χέη της ρής: cs( ). Η υχνότητα διάδης τυ κύατς έα την ύλη ίναι ίδια αυτή τ κνό. Ένας παρατηρητής τ ηί Α θα πρέπι να πριένι πριότρ χρόν ένα υγκκριέν ηί τυ κύατς (π.χ. τ mamum) να βρθί τ Α έα την ύλη παρά τ κνό. Μ άλλα λόγια η ταχύτητα διάδης τυ κύατς την ύλη ίναι ικρότρη αυτής τ κνό (n>). Ανάλγα άλλς πριπτώις πρί να βρθί n<. 5. Τλικά πρέπι να τνιθί ότι τ κάλαι (4) αναρόν τη διάδη Η/Μ κυάτν έα την ύλη και τ κάλαι (5) αναρόν την απόκριη της
5 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 6 ύλης Η/Μ πδία απτλύν ιδύνας αναλύις νός και τυ αυτύ θέατς και υνπώς αναένται να καταλήγυν τα ίδια υπράατα. Αυτό αίνται την πόνη παράγρα όπυ η ανάλυη για τα έταλλα δηγί την ίδια έκραη για τ πιδρικό βάθς όπς αυτή πυ βρήκα τη λίδα 45. Άκηη: Τ απταγέν νρό έχι, 8,. Από τη χέη n πρκύπτι η9. Είναι ός πιραατικά γντό ότι για τ ς τ νρό έχι δίκτη διάθλαης η.33. Πυ ίλται κατά τη γνώη ας αυτή η αυνέπια; (Για την ιτρία αναέρται ότι αυτή η πρίπτη ίχ χρηιπιηθί ς ένδιξη ναντίν της θρίας τυ Mawll) Απάντηη: Η απάντηη έγκιται τ γγνός ότι η διηλκτρική ταθρά δν ίναι ταθρή, αλλά ξαρτάται από τη υχνότητα τυ κύατς. Η παραπάν τιή της ιχύι για τίνντς τ ηδέν. Για τις υχνότητς τυ τός (π.χ. για ς νατρίυ λ589nm) βρίκυ.77 και η.33. Συπέραα: να ην ξχνά ότι δίκτης διάθλαης και διηλκτρική ταθρά πλλές υίς ταβάλλνται τη υχνότητα, ήτι ηη() και (). Αυτή η ξάρτηη ός αναπτύχθηκ πρηγύνς λίδς ίναι απτέλα της ατικής ύης της ύλης. ).ΑΕΡΙΟ q N ίξτ ότι για τα αέρια η () γίνται n +.Πράγατι, πιδή για m τα αέρια αναένυ τ δίκτη διάθλαης να ίναι λαρά γαλύτρς της νάδας, πρύ να γράψυ η +, όπυ : πλύ ικρός αριθός. Τότ, n + + q N. Στην πρίπτή ας,. m v).καλοσ ΑΓΩΓΟΣ Η λέτη πυ πιχιρύ αναέρται τα λύθρα ηλκτρόνια τν τάλλν, πυ ίναι υπύθυνα για την αγγιότητα. Για τα δέια ηλκτρόνια ιχύυν ι τύπι της πρηγύνης παραγράυ. Τα τιχία πυ πρέπι να λάβυ υπόψη ας για τ λύθρ ηλκτρόνι, ίναι: Πρώτν: Η κινητική ξίη τν ηλκτρνίν θα ίναι παρόια τη χέη (), λίδα 54, χρίς ός τν όρ, αύ δν υπάρχι παναέρυα δύναη m την κίνηή τυς. Μ άλλα λόγια, δν υπάρχι ταθρά λατηρίυ k m, αύ για λύθρ ηλκτρόνι ίναι. Ο όρς mγ d ξακλυθί να υίταται και d κράζι την ύπαρξη δύναης τριβής την κίνηη τυ ηλκτρνίυ. ύτρν: Τα ηλκτρόνια κινύνα όλ τ χώρ τυ αγγύ, βρίκνται υπό την πίδραη νός έυ ηλκτρικύ πδίυ πυ κράζται από χέη της ρής () P ξ και όχι της ρής (4). Στην πρηγύνη χέη τ ξ αναέρται τ πδί πυ θα υπήρχ αν δ υτίχαν καθόλυ τα ηλκτρόνια. Γίνται λιπόν αές, ότι η χέη (3) για ντές, πρί να χρηιπιηθί και τα έταλλα, όπυ ββαίς παραβλέπντας τα f λαβάνι την έκραη:
6 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 63 γ n + n γ + γ γ γ ( + γ ) Αν n n n π (6) γ ( + ) + + γ τότ: nπ (6α) + γ 4 γ και n (6β) ( + γ )( + γ ) γ + + ( + γ ) Πριν πρχρήυ τη διρύνηη τν χέν 6, θα δώυ τη χέη πυ υνδέι τις παραέτρυς, και γ. Σύνα τ νό τυ Ωhm J, όπυ : η αγγιότητα. Αν u η έη ταχύτητα τν ηλκτρνίν τότ: J Nq u.οπότ Nq u (7) Αλλά η έη ταχύτητα τν ηλκτρνίν ίναι η πιτάχυνη πλλαπλαιαένη τ έ χρόν τ ταξύ δύ διαδχικών υγκρύν. Η πιτάχυνη πυ έχυν τα ηλκτρόνια ίναι q m,άρα q u τ (8) m Επιδή u: ταθρό, αυτό ηαίνι ότι q m γ u και λόγ της χέης (8), έχυ: τ (9) γ q N γ Από τις (7),(8),(9) τλικά πρκύπτι η γντή χέη : ή P () mγ Αναρόνι την τιγιαία ταχύτητα u τν ηλκτρνίν πρύ να απδίξυ ότι γνικά () (βλέπ άκηη 5 λ. 67). α) Χαηλές υχνότητς ( << γ ) Η (6) λόγ πρέγγιης παίρνι τη ρή : + γ γ Από τη (6α) έχυ : n γ γ γ γ + + γ γ ( ) ( ) ( ) nπ nπ nπ γ γ γ Από την (6β) έχυ : 4 γ ( γ ) n n n ( ) γ γ γ γ ()
7 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 64 Οπότ πρκύπτι: nπ n n ( ) Αντικαθιτώντας αυτή την τιή τυ η την έκραη τυ κύατς τ πλάτς nz c (λίδα 49) γίνται: z z c c Αν δ ίναι τ πιδρικό βάθς,τότ τ πλάτς γράται : z δ,πότ δ c Συγκρίντ τη χέη αυτή την έκραη της πότητας δ,πυ ίδα τ πρηγύν κάλαι, όπυ λήθη υπόψη και η αγνητική διαπρατότητα τυ υλικύ και χλιάτ τα δύ απτλέατα. β) Υψηλές υχνότητς ( >> γ ) Η (6) λόγ πρέγγιης παίρνι τη ρή: + γ. γ n 3 Στην (3) ός τ αντατικό έρς γράται: γ γ 3 ( )) >> γ Συνπώς: n nπ (4) και n Συγκρίνατ την αντίτιχη χέη πυ δίν ι τ δίκτη διάθλαης τν Η/Μ κυάτν τ πλάα (λίδα 56). ιαπιτώτ πραιτέρ ότι για υψηλές υχνότητς τα έταλλα έχυν την ίδια χέη διαπράς για τα Η/Μ κύατα αυτήν τυ πλάατς. Πράγατι c ck c k n + ck (5) u Άρα τα χαηλόυχνα Η/Μ κύατα ( << γ ) δν διαδίδνται τν αγγό, νώ τα υψίυχνα ( >> γ ) διαδίδνται. Θρώντας τη χέη (5) γνικά για έταλλα πρύ να διαχρίυ τις πριπ τώις για <, δίκτης διάθλαης έχι αντατικό έρς και υνπώς τα κύατα ξαθνίζυν κατά τη διάδή τυς τ ταλλικό αγγό, νώ για >>, δίκτης διάθλαης ίναι πραγατικός και τα έταλλα διαπρνύνται από τα κύατα. Αυτό ξηγί, π.χ. γιατί τα έταλλα ίναι διαπρατά από τις ακτίνς Χ (πυ έχυν υψηλές υχνότητς και για τις πίς ιχύι > ). Ειτάται η πρχή τυ αναγνώτη τα παρακάτ. Στην πρίπτη τυ ντή η ανάλυη της λίδας 37 δηγί την (5) απ όπυ πρκύπτι u, πότ (3) ()
8 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 65 n. Στην πρίπτη τυ αγγύ, η διαρική ξίη πριλαβάνι τν όρ (λίδα 45), πότ η ταχύτητα ξαρτάται από την αγγιότητα τυ υλικύ και από τη υχνότητα τυ Η/Μ κύατς κατά πλύπλκ τρόπ (χέη (), λίδα 46). Η χέη n δν ιχύι γνικά. Ας ηιθί ός ότι ακλυθώντας τυς υλλγιύς της λίδας 53, ικρές όν τρππιήις και πργγίις, ίναι δυνατό να χρηιπιηθί η χέη n και για τα έταλλα, δίνντας απτλέατα πυ πιββα ιώννται από πιραατικά δδένα. Ερώτηη: Οι κράις (6α) και (6β) τυ δίκτη διάθλαης για αγγό υνύν τις αντίτιχς κράις πυ πρκύπτυν από την ανάλυη τν λίδν 46, 47 και 48 ;. Σηαντικό Συπέραα: Είναι αές από την παραπάν ανάλυη ότι η ξάρτηη τυ δίκτη διάθλαης από την υχνότητα ίναι απτέλα της ατικής δής της ύλης. Τα ατικά ρτία, πυ πλώννται από τα πδία, έχυν αδράνια η πία κάνι την απόκριή τυς τις ηλκτραγνητικές δυνάις να ξαρτάται από την υχνότητα. Πι υγκκριένα, όταν θρύ ότι τα ηλκτρόνια υνδένται τα άτα έ λατηρίν ταθράς κ (ηχανικό ανάλγ), πριένυ η απόκριή τυς ξτρικά ηλκτρικά και αγνητικά πδία να ξαρτάται από την υχνότητα τν πδίν αυτών, ακριβώς όπς όταν ια χρδή κτλί ια ξαναγκαένη ταλάντη η απόκριή της ξαρτάται από την υχνότητα τυ ξτρικύ διγίρντς αιτίυ. Πι γνικά, υνδυαός της αδράνιας και τν δυνάν τριβής ιάγι ια διαρά άης ταξύ της αρζόνης δύναης τ ύτηα και της απόκριης τυ υτήατς. Σ'αυτή την πρίπτη ίναι πι βλικό να πριγράνται τα διάρα υικά γέθη ή παράτρι ιγαδικύς αριθύς. Στα παρακάτ ργαζόθα την πτική πριχή υχντήτν, για την πρίπτη ντή δίκτη διάθλαης n λαρά γαλύτρ της νάδας. Έτ ότι υπάρχι ία όν υχνότητα. Τότ : n + και υνπώς n +. Σχέη Sllm: n + 4π υ 4π υ + 8π υ λ λ λ λ λ + λ Aλ λ 8π υ ή n +, η χέη Sllm, A λ λ λ λ 8π υ Σχέη Cauch: Η χέη n + διαδχικά γράται n Λα βάν ντας υπ όψιν ότι π v π υ καταλήγυ ότι 4 λ B, χέη Cauch, + ρ λ n A + π υ A, Β. 4
9 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 66 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίξτ ότι ταξύ της αδικής ταχύτητας u g και της αικής u ιχύι η χέη: u g. ck dn + n d u () u g d ( ) k dk () d ku u+ k du u+ k du d u u+ ku du g g dk dk d dk d c du c dn u u u u ck dn u g g u g n d n d n d ck dn + n d dn Πρανώς όταν > (αλός διακδαός, u d u dn g < ), νώ όταν d < (ανώαλς διακδαός, u u ). g >. Η διάδη τν Η/Μ κυ άτν την ινόαιρα πριγράται από τη διαρική ξίη: + c z. () ίξτ τη χέη διαπράς : + ck και πίης βρίτ τη χέη ηη(). Παίρνυ sn( kz ) και αντικαθιτώντας την () έχυ: + c k + c k c c n n Αλλά n k πότ c. Τλικά: n. u c c k 3. Ο δίκτης διάθλαης τυ αρίυ υδργόνυ καννικές υνθήκς θρκραίας και πίης ίναι η για λ m κα ι η για λ m. Υπθέτντας ότι υπάρχι ία όν ιδιυχνότητα,υπλγίτ την. ίνται c3 8 m/sc Για λ 5.46 m πρκύπτι πc/λ 3.45 sc Για λ.54-7 m πρκύπτι πc/λ sc - Για τα αέρια η χέη πυ υνδέι τ δίκτη διάθλαης τη υχνότητα ίναι: Nq n + m( ) όπυ η υχνότητα υντνιύ. Επένς ιχύι: n Nq () + () m( )
10 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 67 n Nq + m ( ) ( n ) m( ) Από τη χέη () πρκύπτι: N q Αν αντικατατήυ τη () πρκύπτι: ( n ) m( ) q q n + n ( ) ( n ) m ( ) ( n ) ( n ) n n 5. ad sc () 4. Ύπαρξη χαηλής υχνότητας απκπής. ιαπιτώνυ πιραατικά ότι αρνικό κύα υχνότητας ικρότρης από ια ριένη τιή δν πρί να διαδθί έα ένα ντικό υλικό. Μια υική ξήγηη ίναι η ακόλυθη. Από τις διάρς υικές υχνότητς,πυ έχι ένα υικό ύτηα έτ η ικρότρη δυνατή. Nq Έτ η χέη διακδαύ: n + m( ) (). Αλλά, n c ck (). k Από τις () και () πρκύπτι: ck Nq + m Θρύ ότι για τη υχνότητα απκπής τ ήκς κύατς τυ αρνικύ κύατς τίνι τ άπιρ δηλαδή k. Οπότ για κ βρίκυ: απ + Nq +. m Συζητίτ τ απτέλα χέη τα αντίτιχα υπράατα για τη διάδη Η/Μ κυάτν τα έταλλα, πυ ίδα παραπάν. 5. Η χέη () : Για την πρίπτη αγγύ η χέη της λ. 59 γράται du q mγu m. Για d θρύ ότι u u πότ q Nq q mγu mu υνπώς u. Αλλά J ρu Nqu. m γ + m mγ + m Από τν νό τυ Ohm J Ε πρκύπτι ότι απ Νq Nq mγ mγ + m + γ. Για την Nq τατική πρίπτη ( ), πότ δηλ. γνικά (). mγ + γ Συνάγται λιπόν ότι η απόκριη της ύλης τα ηλκτρικά και αγνητικά πδία ξαρτάται από την υχνότητα τν πδίν.
11 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 68 and B a slwl dsaang fm h mdn ssn f h hscal laws; h a bng lacd b A and R.Fnman 6 Η ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ας θρήυ τις ξιώις τυ Mawll τ κνό πηγές: ρ () B () B ( j + ) (3) B (4) πυ δηγύν τις γντές κυατικές ξιώις: ρ J ( ) + B B J Συχνά ίναι πλύ πι ύκλ τν Ηλκτραγνητιό να διαπραγατυόατ διάρα πρβλήατα χρηιπιώντας τα δυναικά και όχι τα πδία. Έχι λιπόν ηαντικό νδιαέρν να βρύ τις αντίτιχς κυατικές ξιώις τα δυναικά. Από τη () έπται ότι υπάρχι ένα διανυατικό έγθς A έτι ώτ: B A ( A :διανυατικό δυναικό) (5) Μάλιτα τ A δν ίναι νήαντα ριέν από τη (5). Πράγατι διαπιτώνυ ότι για κάθ A A+ ψ (6) όπυ ψ νό τρ πδί, ιχύι B A ( A+ ψ ) A+ ψ A B B Από την έχυ λόγ της (5) ( A) A A ( ) ( + ) και υνπώς υπάρχι ένα νότρ έγθς έτι ώτ: A + (: νότρ δυναικό) (7) Τ αρνητικό ηί παίνι για αθηατική διυκόλυνη. Εαρόζντας τ ταχηατιό ( 6) την (7) έχυ:
12 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 69 A A ( ψ ) ( ψ ) Θα πρύ τ πδί να παραένι αναλλίτ τ ταχηατιό A A+ ψ τυ διανυατικύ δυναικύ αν ταυτόχρνα τ νότρ δυναικό υίταται τ ταχηατι ό: ψ (8) Πράγατι τότ: A ψ A ( ψ ) + ( ) Άρα τα και B v ένυν ανπηρέατα αν τα A και αλλάξυν ταυτόχρνα κατά τις χέις (6) και (8). A A + ψ Οι χέις αυτές ψ λέγνται ταχηατιί βαθίδας (gaug v ansfmans). Οι υικί νόι πυ κράζνται από τα και B παραένυν αναλλίτι (gaug nvaan) κάτ από τυς παραπάν ταχηατιύς βαθίδας. ψ ( ιαπιτώτ ότι και ι ταχηατιί A A ψ, + ίναι πίης ταχηατιί βαθίδας.) A ρ Αντικαθιτώντας την (7) την () έχυ: ( ) ρ ( A ) (9) Αντικαθιτώντας τις (5) και (7) την (3) έχυ: A A A J + A A+ + ( ) ( ) J A A ( A + ) J () Είδα παραπάν ότι τ A δν ρίζται νή αντα από τη χέη (5). Για να ριθί τ A νήαντα θα πρέπι πιπλέν να ριθί και τ A. Παρ όλ ότι έχυ λυθρία την πιλγή τυ A η κέψη ας κατυθύνται από τ γγνός ότι τ A και τ θα πρέπι να ξχρίυν και να ικανπιύν την κυατική ξίη. Επιλέγυ λιπόν: A () θήκη Lnz χέη πυ ίναι γντή ς υν. Τότ η (9) γίνται : ή
13 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 ρ () Επίης η χέη () γίνται: A A J (3) Βλέπυ λιπόν ότι ι κυατικές ξιώις τα πδία πρύν να κραθύν τα δυναικά ένα τλίς ιδύνα ραλιό, την πρϋπόθη ότι ιχύι η υνθήκη τυ Lnz. J ρ + ρ ( ) B A B J A J Πρέπι να τνιθί ότι η υνθήκη τυ Lnz δν ίναι απλώς ια πιπλέν υνθήκη ριένη αυθαίρτ τρόπ απλώς και όν για να καλύψι την αδυναία τυ ριύ τυ A από την A. A. Ορίζι ια πιπλέν χέη, (κτός της + ) ταξύ τυ νότρυ και τυ διανυατικύ δυναικύ A.. Εξααλίζι ώτ τα A και να ικανπιύν την ξίη κύατς αντίτιχα όπς τα πδία και B v. 3. Ειάγι πλήρη υτρία ταξύ τν και A από την άπψη ότι τις ξιώις () και (3) τα και A έχυν διαχριθί κατά τν καλύτρ τρόπ. Τ A υνδέται τ J και τ τ ρ. 4. ιαπιτώτ ότι η υνθήκη τυ Lnz ίναι απόλυτα υβατή την ξίη της υνέχιας. Υπόδιξη: Εαρόζυ τν τλτή τη υνθήκη τυ Lnz. Έχυ: ( A + ) ( A) + ( ) ( ),( 3) ( + A ρ ) + ( + J ) ρ A ρ ( J ) ( A ) J + πυ ίναι και η ξίη της υνέχιας.
14 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Πρπαθήτ να κράτ τις ξιώις τυ Mawll τη βήθια τν δυναικών A και και όχι τν πδίν και B v. Σχλιάτ τα απτλέατα πυ λαβάντ. ρ A ρ ( ) B A A ( A) B, A ( ) () I ( II) B B J + ( ( A) ) A ( A) [ J + ( )] Θα πρύ κάπις να ιχυριτί ότι τ ύτηα ξιών (ΙΙ) ίναι αρκτά πλύπλκ και υνπώς όχι πρτιητέ. Ός από την ανάλυη της λίδας 64 ίδα ότι αν χρηιπιηθί και η χέη Lnz, A +, τότ τ ύτηα δηγί τις ξιώις: ρ III A ( ) A J Παρατηρύ ότι καταλήγυ ένα νέ ύτηα ξιών τα A,, πυ έχι τν ίδι αθηατικό τύπ για κάθ ία από τις τέρις υναρτήις, Α χ, Α,Α z. Λύνντας τις ξιώις τυ υτήατς (ΙΙΙ) πρύ αές να υπλγίυ τα και B v A από τις χέις + και B A. Τ ύτηα (ΙΙΙ) τν ξιών τα δυναικά ίναι τλίς ιδύνα πρς τ αντίτιχ ύτηα (λίδα 67) για τα πδία, την πρϋπόθη βέβαια της υνθήκης Lnz. Σ πλλές πριπτώις ίναι απλύτρ και υκλότρ να αντιτπίζυ τα πρβλήατα χιριζόνι τα δυναικά παρά τα πδία.. Ξκινήτ από τις κυατικές ξιώις για τα δυναικά τν κνό χώρ χρίς πηγές για να παράγτ τις ξιώις για τα πδία. A Αρχικά A J () και ρ Ιχύυν και B A και A + ()
15 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 () A ( A) ( A) ( A) c c B B (3) c ( ) ( ) ( ) c c A A c A A ( ) + + ( ) c c A + ( ) A ( ) c c + A A c c (4) c 3. ίξτ ότι τν κνό χώρ χρίς πηγές ( ρ, J ), ι ξιώις τυ Mawll, πρκύπτυν από ένα ναδικό διανυατικό δυναικό A για τ πί ιχύι: A A (Ι) και A (ΙΙ) c. B A A B (). A A B, ( A) B (). A + + A c c από (ΙΙ) έχυ: A A + A c c A ( ) A ( A) A+ + ( A) c c c
16 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 73 A Αλλά πότ B c v. Είναι A ( A) Αλλά A και άρα Από τις A και A + Συνπώς η χέη γίνται (4) Η υτρία βαθίδας και η διατήρηη τυ ρτίυ : Η έρυνα για την ύπαρξη υτριών τυς υικύς νόυς, δηλαδή η έρυνα για την ύρη τρόπν τυς πίυς ι νόι ταχηατίζνται διατηρώντας την ρής τυς, ίναι από τις πλέν γητυτικές την πιτήη της Φυικής και όχι όνν. Η έρυνα αυτή αναέρται την γνικότρη διαπίτη ότι υτρίς την ύη δηγύν νόυς διατήρηης την Φυική (θώρηα Nh). Έτι η ιγένια τυ χώρυ (υτρία την χρική ταρά ), δηγί την διατήρηη της ρής, η ανιτρπία τυ χώρυ (υτρία την τρή) δηγί την διατήρηη της τρρής και η ιγένια τυ χρόνυ (υτρία την χρνική ταρά) δηγί την διατήρηη της Ενέργιας. Είδα τα πρηγύνα ότι η ταχηατιί βαθίδας αήνυν αναλλίτς τις ξιώις τυ Mawll. Είναι λγικό λιπόν να ρυνήυ, αυτή η υγκκριένη υτρία βαθίδς πι νό διατήρηης δηγί. ψ Ειάγυ τυς ταχηατιύς Α Α + ψ και τις χέις ρ A και Α J. ( ιαπιτώτ ότι η υνθήκη τυ Lnz Α + απαιτί η αυθαίρτη υνάρτηη ψ να ικανπιί ψ την κυατική ξίη ψ ). Οι αντίτιχς κυατικές ξιώις γράνται : ρ () A Α J () Παραγγίζντας ς πρς τν χρόν την () και παίρνντας την απόκλιη τν όρν της () έχυ : (3)
17 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 74 ρ (3) ( ) ( ) J A Α (4) Πρθέτντας κατά έλη της (3) και την (4) λαβάνυ : ( ) ( ) J ρ + Α Α, ή J ρ + + Α Α ή + + J ρ Α Α. Επιδή Α + + ρ J πυ ίναι αρχή της υνέχιας. Συπέραα : Η υτρία βαθίδας δηγί την διατήρηη τυ ρτίυ.
18 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 75 7 ΕΜΠΕ ΗΣΗ ΓΙΑ ΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Κατά τη διάδη ηχανικών κυάτν αίνται η ανάγκη ριύ νός γέθυς πυ καλίται πέδηη και τ πί χτίζται άα τη ταρά νέργιας από την πηγή (ππός) πρς τ έ (γραή ταράς). Η πέδηη κράζι τη υβατότητα από νργιακής κπιάς ό αρά την ικανότητα της γραής ταράς να «απρρά» και ταδίδι την πρρόνη από τν νργιακό ππό ιχύ. Αν τ έ δν παρυιάζι απώλις, τότ όλη η νέργια απθηκύται αυτό και η πέδηη καθρίζται από τις δύ παραέτρυς απθήκυης νέργιας, την λατικότητα και την αδράνια. Γνικά ιχύι η χέη: Z παραγντας λατικτητας παραγντας αδρανιας Η πέδηη πκτίνται όλν τν ιδών τα κύατα υνδέντας γνικά την αιτία αιτι τ απτέλα: Z απτλα Στην πρίπτη π.χ. της χρδής ρίζται αν τ πηλίκ της γκάριας δύναης (αίτι) πρς την γκάρια ταχύτητα(απτέλα) : Z F u. Στην πρίπτη κυάτν τάης τις γραές ταράς ηλκτρικής νέργιας ρίζται αν η τάη (αίτι) πρς τ ρύα (απτέλα) : Z V I. Στα πόνα θα αχληθύ τ έγθς πέδηη τη διάδη Η/Μ κυάτν.. Υπλγιός της πέδηης για πίπδ Η/Μ κύα τ κνό Ας θρήυ τις ξιώις τυ Mawll τ κνό χρίς πηγές ( ρ, J ) : () B ( ) B () 3 B ( 4) Από τη χέη (3) έχυ : $ $ j k$ $ $ z + j + B B B z z k$ (5) Έτ ότι έχυ ένα πίπδ Η/Μ κύα πυ διαδίδται κατά τν άξνα z, δηλαδή ι υνιτώς Ε z, Β z ίναι ίς τ ηδέν και Bz (,,, ) Bz (, ), (,, z, ) ( z, ). Επένς τ Η/Μ κύα έχι τη ρή: ( z, ) $ + ( z, ) $ j B B ( z, ) $ + B ( z, ) $ j Η χέη (5) τότ θα γραί:
19 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 76 B z B (5) $ $ $ $ $ B z B + B B j + + z z k j πότ πρκύπτι: B (6) z Έτ ότι: B z (7) ( kz) kz $ ( ) + $ j ( kz) ( kz) B B $ + B $ j Από τη χέη (6) έχυ τότ : B ( kz) ( kz) ( 6) B dz z ( ) ( ) + () kz B c B + () k k kz c Χρίς βλάβη της γνικότητας πρύ να θρήυ ότι c ( ), πότ: B B c c c π ( Ω) ( Ω) Σηιώνυ ότι η παραπάν χέη ανανόταν αύ: cb. z $ Παρατηρύ ότι αύ τ Ε χ έχι διατάις V/m και τ Η A/m, τ πηλίκ Ε χ /Η έχι διατάις (Ω). Αυτό ας δηγί τ να ρίυ ένα νέ έγθς Ε χ /Η,πυ αύ κράζται Ωhms, τ καλύ ύνθτη αντίταη ή πέδηη τυ κύατς. Ακλυθώντας την ίδια διαδικαία, χρηιπιώντας τη χέη (7) πρκύπτι ότι: B ( kz) ( kz) ( 7) B dz z B k ( kz) π ( Ω) ( Ω) B k B Ακόα γνρίζυ ότι για τα Η/Μ κύατα ιχύι: cb c k
20 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 77 Βλέπυ δηλαδή ότι τα τρία πηλίκα,, για την πρίπτη τυ κνύ ίναι ία. Παρατήρηη: Πρέπι να ηιθί ότι τ πηλίκ τν υνιτών Ε και Η νός Η/Μ κύατς, παρ όλ ότι έχι διατάις Ωhms, ν τύτις δν κράζι ότι και νός τυ Ωhm αύ τ Ε ίναι ηλκτρικό έγθς και τ Η αγνητικό. Η διαρά γίνται ανής αν κάπις θέι τ ξής ρώτηα: «Τα Ω ίναι η αντίταη ταξύ πιών ηίν ή πιανιών και για πια απόταη ταξύ τυς;» και αές θα αντιληθί ότι η απάντηη ίναι χρίς νόηα.. Υπλγιός της πέδηης για πίπδ Η/Μ κύα τέλι ντή Οι ξιώις τυ Mawll τν τέλι ντή γράνται: () B () B (3) B (4) Ακλυθώντας την πρηγύνη διαδικαία θα πάρυ από τη χέη (3): $ $ j k$ z () 3 $ + $ + $ z j k B B B B z B z $ $ $ $ $ B B B B j + k + j + z z z z k$ πότ πρκύπτι: B z B z (6) Από τη χέη (5) έχυ: B (5) z z Πραιτέρ ακλυθώντας την διαδικαία κατά την θάνυ τ ζητύν. Μια γνικότρη πρία λύης ίναι η ξής. Θρύ πίπδ Η/Μ κύα της ρής: f ( z u) + f ( z u)$ j τότ: (5)
21 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 78 f ( z u) ( z u) f ( zu)( u) z ( z u) f ( zu) z f ( z u) dz + c() + c() Χρίς βλάβη της γνικότητας θρύ c(), πότ: Αν την πότητα την νάυ Ζ κνύ,τότ: Z Οίς από τη χέη (6) παίρνυ: Z κνυ. Ακόα έχυ: B u $ + $ u j δηλαδή B u u. Παρατηρύ ότι και αυτή την πρίπτη τα τρία πηλίκα,, ιύνται την ίδια πότητα, πυ έχι διατάις Ωhm. Την πότητα αυτή την νάζυ πέδηη και για τν τέλι ντή ίναι: Zντη Z κνυ κνυ. Υπλγιός της πέδηης ατλή ντή Έτ ένα Η/Μ κύα πυ διαδίδται ατλή ντή. Από την 4 η ξίη τυ Mawll θα έχυ: j k z $ $ $ + + z j k $ $ $ z z z + j + z z k $ $ $ $ z z z $ j + k$ () () Από τη χέη () έχυ:
22 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 79 () z z d Στν ατλή ντή έχυ διηλκτρικές απώλις, πότ η ένταη τυ ηλκτρικύ πδίυ δίνται από την ξίη: + * * ( k z) ( k z) * * ( k z) ( k ) ( ) k d Οίς από τη χέη () πρκύπτι: Παρατηρύ ότι τα πηλίκα. Συνπώς: * * ( k z) k * * k, ιύνται την ίδια πότητα, πυ κατά αναλγία νάζυ πέδηη Ζ ατλύς ντή. Στην γνική πρίπτη πυ θα ίναι Ζ * k Γνρίζυ ότι k π π, πότ η πέδηη παίρνι τη π ρή: Zατλ.ντη Zατλ.ντη + π π π π π και θρώντας τη ρή Z Z θ πυ υβλίζται ς Z Z θ καταλήγυ: Z ατλ.ντη θ anθ + π π π v. Υπλγιός της πέδηης αγγό Στην πρίπτη τυ αγγύ ι ξιώις τυ Mawll παίρνυν τη ρή: () B () B J + (3) (4) νώ η ξίη τυ κύατς ίναι της ρής: * * ( k z) ( k z) $ + $ j. Από την 4 η ξίη τυ Mawll έχυ ότι : θ
23 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 8 j k + + z j z z z z + j z z k + z z k j+ z k (6) Από την (6) έχυ ότι : * z d k * ( k z) d * * k * ( k z) k * k Οίς η (5) θα δώι: *. k Επένς πρύ να ρίυ κατά αναλγία την πέδηη αγγό: Zαγγυ Σηιώτ ότι την πρίπτη αγγύ (όπς και για τν ατλή ντή) τ πηλίκ ιύται τ έτρ της πέδηης η δ διαρά άης θ (διότι Z Z θ ) πρδιρίζται από τις αντίτιχς χέις της θ. Z αγγυ Άρα όπυ A Z + αγγυ. Τότ A ( ) + ( ) ( ), A A / / Σύνα τ θώρηα τυ d Mv έχυ ότι : A A Τλικά από τη χέη (8) βάι της (9) καταλήγυ την έκραη A (7) θ, όπυ anθ. θ / (5) (8) (9)
24 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 8 Z αγγυ + ( ) 4 / θ / Καλός αγγός Έχυ ότι >>,πότ η χέη (7) γράται ς ξής: Z k.αγγυ π/4 45 ( + ) ( + ) δ Συνψίζντας τα παραπάν έχυ: Z κνυ Z τλ.ντη 3 Z ατλ.ντη 4 Z αγγυ π Z + π κνυ π π 4 + θ π θ / anθ π anθ 5 Z καλ.αγγυ ( + ) π/4
25 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 8 Γνικές παρατηρήις - Σχόλια - Ερτήις. Η πέδηη Ζ πρί να ίναι πραγατικός, αντατικός ή ιγαδικός αριθός. Όταν Ζ ίναι πραγατικός αριθός, τότ η γραή ταράς απρρά όλη την πρρόνη νέργια από τν ππό. ν πιτρέι τίπτα. ν υπάρχι η δυνατότητα αυτή την πρίπτη για να γυρίι ένα έρς της νέργιας αυτής πί τν ππό. Παραδίγατα ίναι η χρδή απίρυ ήκυς, η ική αντίταη R, τα κυκλώατα LC απίρυ ήκυς, τ κνό(π.χ. νργιακός ππός πρί να ίναι ένα πλέν δίπλ ταδίδντας Η/Μ νέργια τ κνό) και τέλις ντής. Όταν Ζ ίναι αντατικός αριθός τότ όλη η πρρόνη νέργια τη γραή ταράς πιτρέι πί τν ππό. ν υπάρχυν ι πρϋπθέις για να ξδυτί. Παραδίγατα ίναι η χρδή ππραένυ ήκυς και τ κύκλα LC ππραένυ ήκυς. Όταν Ζ ιγαδικός αριθός, τότ ένα έρς της νέργιας απρράται από τη γραή ταράς και διαδίδται και ένα έρς πιτρέι πί από τν ππό. Η κατάταη αυτή ίναι πι ραλιτική και απτλί ια νδιάη τν δύ παραπάν πριγραόνν πριπτών. Παραδίγατα ίναι τ κύκλα RLC και τ αγώγι έ κατά τη διάδη Η/Μ κυάτν.. Για την πρίπτη τυ κνύ Z κνυ.θα πρύ κάπις να πρδώι τ κνό ιδιότητς όπς η λατικότητα και η αδράνια αντίτιχα γέθη / και. αιτι 3. Μ δδέν τ γνικότρ ριό της πέδηης Z χλιάτ τη απτλα χέη Z για τη διάδη Η/Μ κυάτν. 4. Για την πρίπτη τυ κνύ ή τυ τέλιυ ντή η πέδηη ίναι πραγατικός αριθός ανξάρτητς της υχνότητας τυ Η/Μ κύατς. Τα δύ πδία και ίναι υαικά. Η τιή της Ζ δηλώνι ότι ταξύ τν έτρν τν και υπάρχι ια καθριένη χέη πυ ξαρτάται από τη ύη τυ έυ πυ διαδίδται τ κύα (δηλαδή, για τ κνό και από τις τιές και για τν ντή). Στην πρίπτη τυ αγγύ η πέδηη ίναι ιγαδικός αριθός, τ έτρ τυ πίυ ξαρτάται κτός από τις ιδιότητς τυ αγγύ (, ) και από τη υχνότητα τυ Η/Μ κύατς. Στην έκραη Z Z θ η γνία θ ίναι η διαρά άης ταξύ και. 5. Θυηθίτ: Z κνυ Z τλ.ντη Z κνυ Z αγγυ Z κνυ
26 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 83 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( kz). ίνται τ ηλκτρικό πδί πυ διαδίδται ντή. Να βρθύν α. Η χέη διαπράς β. τα u, Ζ, λ, κ χέη τυς αντίτιχυς όρυς τ κνό γ. τα Ζ, κ, Ε χ Ε(z, ), (z, ) ίννται Ε V/m, v3 Mz, 9,,. z k ( ) α. ( kz) k c β. u, Z Zκνυ, λ λ, k k κ Z Zκνυ πω 6 ad γ. k π 3 /sc 8 9 6π ad / m c 3 m /sc 6 cs( kz) cs( 6π 6π z) V / m 9 4π Ω Επιδή δν υπάρχι διαρά άης ταξύ τν Ε χ και Η,έχυ: V / m cs( 6π 6π z) cs( 6π 6π z) A/ m Z 4πΩ π. Επίπδ Η/Μ κύα πλάτς ηλκτρικύ πδίυ Ε V/m και υχνότητας νgz πρπίπτι πλάκα από χαλκό ( και ) και 58Ms/m. Υπλγίτ την πέδηη Ζ και τ πλάτς τυ αντίτιχυ αγνητικύ πδίυ. Απδίξτ ότι για τη δδένη υχνότητα χαλκός ίναι καλός αγγός. Επένς από την χέη πν Z ( + ) Z Z 65. Ω Z / m Z Σηιώτ ότι: anθ 6 θ 58 8 π πυ ηαίνι θ9 άρα 45 Άρα : Z Ένα πίπδ κύα διαδίδται κατά τη διύθυνη z τ κνό. Στ ηί ηδέν πρπίπτι αγγό για τν πί 6.7ms/m και. Στ κνό τ κύα έχι
27 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 84 υχνότητα ν.5mz και πλάτς Ε χ.v/m, νώ τη διαχριτική πιάνια ιχύι (, ). sn πv $ (V/m).Βρίτ την έκραη Η(z, ) έα τν αγγό. Για τ κύα διαδιδόν έα τν αγγό ιχύι az ( πv-kz) z (,). ( V/ m) όπυ k a 9 4 cm πv. δ Γνρίζυ ότι καλό αγγό η πέδηη δίνται από τη χέη: πν Zκαλ.αγγυ ( + ) Zκαλ.αγγυ ( + ) Συνπώς λόγς (θρύ ότι τ ηλκτρικό πδί ταλαντώνται τ πίπδ z) θα ίναι ίς τ έτρ της πέδηης. az ηλαδή: 8 3 (. πv-kz) $ j Z πν Αλλά για καλό αγγό θ/45 και υνπώς az 8 9 (. πv-kz-π/4) $ j. Στην πρίπτη πυ ας δίνται ότι τ ηλκτρικό πδί ταλαντώνται τ πίπδ z, δηλαδή sn πv $ j, δν πρέπι να ξχάυ τ αρνητικό πρόη πυ υπάρχι τη χέη Z. Τότ τ αγνητικό πδί ίναι της ρής Z $ $ 4. Σ ένα υλικό πυ δν παρυιάζι απώλις, τα ξής χαρακτηριτικά: Ζ6π,, διαδίδται Η/Μ κύα τυ πίυ τ αγνητικό πδί υπακύι την ξίη :.cs( z)$ + 5.sn( z)$ j (Α/m). Υπλγίτ τη διηλκτρική ταθρά τυ υλικύ, την κυκλική υχνότητα τυ κύατς και τ ηλκτρικό πδί. Τ υλικό ας ίναι πρανώς ένας τέλις ντής, πότ και πραγατικός αριθός. Γνρίζυ ότι για ένα ντή ιχύι: Z π 4. Ακόα γνρίζυ ότι η ταχύτητα διάδης ένα ντή δίνται από τη χέη: u Αλλά uκ κ πότ.5 8 ad/sc. Τέλς από τν ριό της πέδηης έχυ: Z Z 6πsn(-z) πότ: 3πsn(-z) 3πsn(-z)+6πsn(-z)j $ $
Κεφάλαιο 1: Οπτικές Ιδιότητες. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών
Σχολή Εφαροένν Μαηατικών και Φυικών Επιτηών Ενικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οπτικές Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο : Οπτικές Ιδιότητς Λιαροκάπης Ευύιος Άδια Χρήης Το παρόν κπαιδυτικό υλικό υπόκιται
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Φαίνεται αµέσως ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου ισούται µε την πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 I believe that we shuld adhee t the stict validity f the enegy pinciple until we shall have fund imptant easns f enuncing this guiding sta A.instein 9 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΜΗ ΣΤΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ-
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών
Σχολή Εφαρμομένν Μαθηματικών και Φυικών Ειτημών Εθνικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οτικές Μαγνητικές Ιιότητς Υλικών Κφάλαιο 3: Αλληλίραη Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης Λιαροκάης Ευθύμιος Άια Χρήης Το αρόν
Διαβάστε περισσότεραΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.
Διαβάστε περισσότερα10 ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. Η φατονική συνιστώσα του ηλκτρικού δίου δύο έσα t t. Η κάθτη συνιστώσα του ανύσατος της ηλκτρικής τατόισης σταθρή
Διαβάστε περισσότεραC V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.
. Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί
Διαβάστε περισσότεραΙV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ
ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΚΑΤΟΠΤΡΣΜΟΥ Φορτίο πάνω από αγώγιµο πίπδο z o. Τιµή και θέη του κατοπτρικού φορτίου,.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Σγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmias.weebly.m ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΥπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών
Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές
Διαβάστε περισσότεραΔυο κρούσεις σε μια τραμπάλα
Δ κρύσις σ μια τραμάλα μια τραμάλα μήκς και μάζας της ίας τ μέσ στηρίζται σ βάση ύψς αφήνμ να έσι στ ένα άκρ της αό ύψς άν αό τ έδαφς σφαιρίδι μάζας νώ στ άλλ άκρ της έχμ ττήσι σ ήκη σφαιρίδι μάζας. Να
Διαβάστε περισσότεραΕάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt
Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά
Διαβάστε περισσότεραΜπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται;
Έστω μακροσκοπικό σύστημα αποτούμνο από μόρια τα οποία μπορούν να βρθούν σ ένα σύνοο μη κφυισμένων καταστάσων μ νέργια, όπου,, 2, 3, 4,. Σ προηγούμνο παράδιγμα δίξαμ ότι η κυρίαρχη διαμόρφωση νός τέτοιου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, E-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr
Διαβάστε περισσότεραΠροσέγγιση Born- Openheimer: ηφύσητουχημικούδεσμού_ Η 2+
Πρσέγγιση orn- Opnhir: ηφύσητυχηικύδεσύ_ Η, πρόβληα κβαντηχανικής πρσέγγιση orn- Oppnhir. διαχωρισός, πυρηνικής- ηλεκτρνιακής κίνησης επίλυση ηλεκτρνιακής συνιστώσας-καπύλες δυναικής ενέργειας δεσικά τρχιακά
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών
Σιρά Ακήων ην Ανοχή ων Υλικών Άκηη η Σο ημίο Α μιας πίπδης μαλλικής πιφάνιας μ μέρο λαικόηας 00 GP και λόγο Pissn 0.5 μρήθηκαν οι πιμηκύνις ις καυθύνις, και μ η διάαξη ων πιμηκυνιομέρων ου χήμαος, ως 900,
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)
Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου
Διαβάστε περισσότεραΘ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς
9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1
Διαβάστε περισσότεραΝόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:
Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα τ γράμμα πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Αν δείκτης διάθλασης ενός πτικύ υλικύ μέσυ είναι n= 4 3 ακτινβλία
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση
Διαβάστε περισσότεραΚατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)
Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο
Διαβάστε περισσότεραιαγράµµατα Αλληλεπίδρασης Αξονικής ύναµης και Ροπής Κάµψης Ορθογωνικής ιατοµής Ωπλισµένου Σκυροδέµατος
ιαγράατα Αλληλπίδραης Αξοικής ύαης και Ροπής Κάψης Ορθογικής ιατοής Ωπλιέου Σκυροδέατος Χρ. Ι. Γιούης Επίκουρος Καθηγητής, Εργατ. οικής Μηχαικής και Στοιχί Τχικώ Έργ, Σχολή Αγροό και Τοπογράφ Μηχαικώ,
Διαβάστε περισσότερα> T. Επίσης η ροπή της Tείναι µεγαλύτερη από αυτήν
T Το τσέρκι Το τσέρκι ίναι ένα ταλλικό στφάνι που συγκρατούσ τα ύλα νός βαρλιού. Τα παιδιά χρησιοποιούσαν πταένα τσέρκια σαν παιγνίδια στους χωατόδροους της πόλης ή του χωριού. Έσπρωχναν ένα ύλο το τσέρκι
Διαβάστε περισσότεραΑ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ
A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γνική ξίσωση κίνησης για µη ρλατιβιστικές πριπτώσις q( ) + B Α. Αρχή διατήρησης της νέργιας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t).
Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα ( ) x x. f (x)
Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί
Διαβάστε περισσότερα( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL Συγγρφή Επιέλι: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ
Διαβάστε περισσότεραΘηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής
Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος
Διαβάστε περισσότεραV=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1
ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές ασκήσεις
Επαναληπτικές ασκήσις Έστω απομονωμένο μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτλίται από mol όμοιων και διακριτών μονοατομικών μορίων τα οποία δν αλληλπιδρούν μταξύ τους. Τα μόρια αυτά μπορούν να βρθούν ίτ σ
Διαβάστε περισσότεραΠροσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών: Το μοριακό υδρογόνο Η 2. Διατομικά μόρια:
Πρέγγιη Bon- Opnhim: καμπύλες δυναμικής ενέργειας Θεωρία μριακών τρχιακών: Εφαρμγή τ Η Δεμικά αντιδεμικά τρχιακά λκληρώματα επικάλυψης, Coulom, Συντνιμύ Τ μριακό υδργόν Η : Θεωρία Μ.Ο Vs Θεωρία δεμών θένυς
Διαβάστε περισσότεραΠα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.
ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική
Διαβάστε περισσότεραΠεριέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις
ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή
Διαβάστε περισσότεραΣυµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια
35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 3. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΟΠΕΣ 3.. Η «Εντατική Κατάταη» ώματος Η ντατική κατάταη ένα ημίο M νός ώματος που υποβάλλται
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και
Διαβάστε περισσότεραΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 0 ΤΗΛ. 60 65.360, 60 6.009, FAX 60 65.366 www.kapalar.gr -mail: ifo@kapalar.gr ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΕΜΠΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο. γ. α 3. δ. β 5. (α) Σωστό (β)
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Σωστό το γ. Σωστό το γ. Σωστό το γ 4. Σωστό το δ
Διαβάστε περισσότεραExουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ
Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό
Διαβάστε περισσότεραΣκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.
Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότερα2. Ποιά από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχεί στο νόµο του Ohm; (α) (β) (γ) (δ)
ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθό της ερώτησης και δίπλα το γράα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Πυκνωτής χωρητικότητας είναι φορτισένος ε φορτίο Q και η τάση στους οπλισούς
Διαβάστε περισσότεραΕργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού
Εργατηριακές Σημιώις Ανλατική Κάμψη Μταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανπιτημιακός Υπότροφος) Ειαγωγή Δοκός καθαρή κάμψη (λατική υμπριφορά) Τρόπος που παραμορφώνται η δοκός λόγω κάμψης
Διαβάστε περισσότεραΑτομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών:
τμικάενεργειακάδιαγράμματα: Χωρικές διαστάσεις ενεργειακές απστάσεις χρνική κλίμακα Καταστάσεις ydg Θεώρημα μεταβλών: Εφαρμγή σε πρόβλημα της ατμικής Πρσέγγιση on- Opnhm: Εφαρμγή στ Η Θεωρία μριακών τρχιακών:
Διαβάστε περισσότεραΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ
ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΑ θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ
Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Α ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α. α) Πιι αριθμί λέγνται μόσημι. Να γράψετε δύ παραδείγματα μόσημων αριθμών. β) Πιι αριθμί λέγνται ετερόσημι. Δώστε ένα παράδειγμα. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ. Οι βασικοί νόµοι ανάκλασης διάλασης Στο παρόν κφάλαιο ξτάζται η πρίπτωση όπου ένα πίπδο κύµα προσπίπτι σ µια πίπδη πιφάνια S που διαχωρίζι δύο µέσα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι,
Kεφ. 16 (Part III, pages 6-34) ΣΤΤΙΚ ΗΜΜ ΠΕΔΙ Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Τ έργ πυ παράγεται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί τυ αγωγύ είναι, dw = f dr = qe υdt άρα Ρ = dw dt = qυ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο 4: Πυροηλκτρισμός, Πιζο- ηλκτρισμός, Σιδηροηλκτρισμός Λιαροκάπης Ευθύμιος
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.
Διαβάστε περισσότερα. / )!! )! +! ) + 4
!! # % & ( ) ) +!,. / )!! )! +! 0 1!+! 2 3. 4 ) + 4! 5! # 6!, / / +! + 7 % + +!! 8 9! : #!! 5!.! ; %! %!! 8:! 0 9 + 8 9 < 4 4 + ) + ;= > ) 5! +! < : + 5 +!! + 1! ; 2! +! + / #!!! + 5 + < + # = ;!+ 1 0
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΝ.ΕΠΕ. Επεµβάσεις µε Στόχο την Αύξηση της Τοπικής Πλαστιµότητας ΑΣΚΗΣΗ 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΝ.ΕΠΕ. Επβάσις Στόχο την Αύξηση της Τοπικής Πλαστιότητας ΑΣΚΗΣΗ Να προσδιοριστί η απαιτούνη πρίσφιγξη στο πλέον ύτρωτο πρωτύον υποστύλωα της καταυής που να ικανοποιί την απαίτηση για συντλστή
Διαβάστε περισσότεραEΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ
Kεφ. 3 EΞΑΝΑΓΚΑΣΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ Θα εξετάσυμε τη περίπτση εφαρμγής σ ένα σύστημα μιάς δεδμένης εξτερικής δύναμης η πία να εξαρτάται από τ χρόν (δηλ. τ σύστημα υπβάλλεται σε εξτερική διέγερση. η περίπτση:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ
XΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΙΑ ΟΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΗ ΑΓΩΓΙΜΑ ΜΕΣΑ ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ.3 ΧΙ.4 Φαική ταθερά ιάοης κύµατος β Μονοιάτατη εξίωη Helmholt για τις υνιτώες των ιανυµάτων H και ( H ) επιπέου κύµατος
Διαβάστε περισσότεραOδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης.
Kεφ. 4 OΔEYONTA KYMATA (pges -7 (Trveling Wves Eξετάσυμε ανικτά συστήματα, δηλ. συστήματα χωρίς σύνρα. Oδεύντα κύματα είναι διαταραχές (πυ μεταφέρυν ενέργεια και ρμή πυ διαδίδνται στν ανικτό χώρ με ρισμένη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΕικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αή
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ. α β γ ΜΑΘΗΜΑ 10. Κεφάλαιο 2o : Τριγωνοµετρία. Υποενότητα 2.4: Νόµος των Ηµιτόνων Νόµος των Συνηµιτόνων. Θεµατικές Ενότητες:
ΜΑΘΗΜΑ 10 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.4: Νόµς των Ηµιτόνων Νόµς των Συνηµιτόνων Θεµατικές Ενότητες: 1. Νόµς Ηµιτόνων.. Νόµς Συνηµιτόνων. Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Τ σηµαντικότερ πρόβληµα στη τριγωνµετρία
Διαβάστε περισσότερα2 (4! ((2 (5 /! / Β ;! + %ΧΑ + ((5 % # &
!! # % & # () %# + (, # &,. /01 2 23 () 0 &. 04 3 23 (5 6787%.9 : ; 3!.&6< # (5 2!.& 6 < # ( )!.&+ < # 0= 1 # (= 2 23 0( >? / #.Α( 2= 0( 4 /
Διαβάστε περισσότεραΕικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 12ς (Π, (ίς- )) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 12ς (Π, (ίς- )) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης 2014
Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατύθυνσης 014 ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψτ στο φύλλο απαντήσών σας τον αριθµό καθµιάς από τις ακόλουθς ηµιτλίς προτάσις 1-4 και δίπλα της το γράµµα που αντιστοιχί στο σωστό συµπλήρωµά
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ
1 ΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Στην «Μεγάλη Πραγματεία» τυ Κμφύκιυ αναφέρεται: «Στ Yi 1 υπάρχει τ tài jí 太 極. Τ tài jí 太 極 γεννά τις 2 πρωταρχικές ενέργειες ή πλικότητες τ liang yi 兩 儀 ή αλλιώς yīn yáng» και
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 3 Ιουνίου 2004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 Πέµπτη, 3 Ιυνίυ 004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Ο Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα τ γράµµα πυ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ
Κφάλαι 5 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Σύνψη Στ πέμπτ τύτ κφάλαι πριγράφται η έννις της χωρητικότητας και τυ διηλκτρικύ υλικύ. Επίσης, παρυσιάζνται τα ίδη των πυκνωτών και η συνδσμλγία τυς. Επιπλέν, ρίζται
Διαβάστε περισσότερα! #! # % &# # #!&! #!& #! # # % &# # ( ) +,.. / 0 / 1,&#
! #! # % &# # #!&! #!& #! # # % &# # ( ) +,.. / 0 / 1,&# 0 223334 #&4+ #4 12 &# 2!.. 2 ! #! # % &# # # &!!,! # #5#!&!! #!,+#,%! # #! #! &#! #! 223334 #&4+ #4 12 &# 2!.. 2 #,&% 3# +# + &% %! #!& # 4 6 #
Διαβάστε περισσότεραΕφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στερεού σώµατος
Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στρού σώµατος Εφαρµογή 1η Οµογνής δίσκος ακτίνας R ηρµί στην άκρη οριζόντιου τραπζιού µ το κέντρο του Κ να βρίσκται στην κατακόρυφη που διέρχται από την ία Ο του
Διαβάστε περισσότεραΕικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 16ς (Φ, Χ, (ό)) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 16ς (Φ, Χ, (ό))
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1
Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών) Κφάλαιο Σύνθτα υλικά: ποιά ίναι και πώς ίναι.. Στο πλαίιο της ανάλυης µηχανικής υµπριφοράς υνθέτων υλικών, θα πριοριθούµ την θώρηη δοµικών τοιχίων που χρηιµοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά και κλειστά σύνολα
5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.
Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 16ης ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2004 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II
Ν. 16()/2004 ΠΑΡΑΡΤΑ ΠΡΩΤ ΤΣ ΕΠΣΣ ΕΦΕΡΔΑΣ ΤΣ ΔΚΡΑΤΑΣ Αρ. 87 της 16ης ΑΠΡΛΥ 2004 ΝΘΕΣΑ ΕΡΣ II περί Πρϋπλγιμύ τυ Ειικύ Τμείυ γι Πρώηη κι Ενάρρυνη της ρήης Αννεώιμν Πηγών Ενέργεις κι της Εξικνόμηης Ενέργεις
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 02 Ιουνίου 2005 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Πέµπτη, Ιουνίου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ρωτήσις - να γράψτ στο ττράδιό σαςτον αριθµό της ρώτησης και δίπα το γράµµα, που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση.. Το έτος
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.poira.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 22/12/09 ( )
19/11/9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθσµία παράδοσης /1/9 Άσκηση 1 Η γνική µορφή νός ΗΜ κύµατος δίνται από E E sin k r ωt (1) ( ) Α) Το µέτρο του πλάτους πλάτος
Διαβάστε περισσότεραE.E. Παρ. Ill (I) 701 &.Δ.Π. 237/92 Αρ. 2740, Αριθμός 237 Ο ΠΕΡΙ ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ ΝΟΜΟΣ (ΝΟΜΟΙ 90 ΤΟΥ 1972 ΚΑΙ 56 ΤΟΥ 1982)
E.E. Παρ. Ill (I) 71 &.Δ.Π. 7/9 Αρ. 74, 5.9.9 Αριθμός 7 ΠΕΡΙ ΠΛΕΔΙΑΣ ΑΙ ΧΩΡΤΑΞΙΑΣ ΝΣ (ΝΙ 9 ΤΥ 197 ΑΙ 5 ΤΥ 19) Διάταγμα Διατήρησης σύμφνα μ τ άρθρ (1) Ασκώντας τις ξσίς π χρηγύνται σ' ατόν από τ άφι (Ι)
Διαβάστε περισσότεραΑντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.
Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός
Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m
Διαβάστε περισσότεραιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.
Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ
Διαβάστε περισσότερα15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στο κφάλαιο αυτό πριγράφται ν υντοµία η πίλυη προβληµάτων παραµορφώιµων ωµάτων µ λατο-πλατική υµπριφορά, µέω της
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 6: Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Multiple Linear Regression)
Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 7 Ενότητα 6: Πολλαπλή Γραική Παλινδρόηη ultle Lear Regresso Στην προηγούνη νότητα χρηιοποιήα το απλό γραικό
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014
ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: // ΘΕΜΑ ( μνάδες) T κύκλωμα τυ παρακάτω σχήματς λαμβάνει ως εισόδυς τις εξόδυς των αισθητήρων Α και Β. Η έξδς τυ αισθητήρα Α είναι ημιτνικό
Διαβάστε περισσότεραI.K., ΙΙαμ. Ι, 3703 Ν.200/89 Λμ. 2461,
I.K., ΙΙμ. Ι, 7 Ν.2/89 Λμ. 2461, 29.11.89 πεμί Συμπληρμτιύ Ι Ιμϋπλγισμύ Νόμς (Λμ. 8) τυ 1989 εδίδετι με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδ της Κυπριής Δημρτίς σύμφν μι; τ Αρθρ 52 τν» Συντάγμτς. Αριθμός 2
Διαβάστε περισσότεραΕ.Ε. Παρ. ΙΙΙ(Ι) Αρ. 3810, Κ.Δ.Π. 75/2004
Ε.Ε. Παρ. ΙΙΙ(Ι) Αρ. 3810,13.2.2004 297 Κ.Δ.Π. 75/2004 Αριθμός 75 ΠΕΙ ΠΛΕΔΙΑΣ ΚΑΙ ΧΩΤΑΞΙΑΣ ΝΣ (ΝΙ 90 ΤΥ 1972,56 ΤΥ 1982, 7 ΤΥ 1990, 28 ΤΥ 1991, 91(1) ΤΥ 1992, 55(1) ΤΥ 1993, 72(1) ΤΥ 1998, 59(1) ΚΑΙ 142(1)
Διαβάστε περισσότεραΚ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο
Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Α Α. Σ Υ Σ Τ Α Σ Η - Ε Π Ω Ν Υ Μ Ι Α - Ε Δ Ρ Α - Δ Ι Α Ρ Κ Ε Ι Α Β. Μ Ε Λ Η Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ Ο Υ Γ. Ο Ρ Γ Α Ν Α Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η Σ Δ. Π Ο Ρ Ο Ι Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΝΟΝΙΣ ΜΟ Ι ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ 1 / 8 SCALE IC TRA CK ΕΛ. Μ. Ε
ΚΑΝΟΝΙΣ ΜΟ Ι ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ 1 / 8 SCALE IC TRA CK ΕΛ. Μ. Ε. 2 0 1 9 Κλ ά δο ς θερ µ ι κώ ν τη λ εκα τ ευθυ νό µ εν ω ν α υ το κι νή τω ν. Υπ εύ θυνο ς Κ λ ά δ ο υ Ζωτιαδης Κωστας bo d @ e l - m e. gr
Διαβάστε περισσότεραΤετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
Τετάρτη 5 Νεμρίυ 014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα κινητό διέρχεται τη χρνική στιγμή to=0 από τη θέση xo=0 ενός πρσανατλισμένυ άξνα Οx, κινύμεν κατά μήκς τυ
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ. Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου ΙΙ. Ασκήσεις Πράξης. . Καλλιγερόπουλος Σ. Βασιλειάδου. Χειµερινό εξάµηνο 2008/09
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτµατισµύ Συστήµατα Αυτµάτυ Ελέγχυ ΙΙ Ασκήσεις Πράξης. Καλλιγερόπυλς Σ. Βασιλειάδυ Χειµερινό εξάµην 8/9 Ασκήσεις Μόνιµα Σφάλµατα & Κριτήρια ευστάθειας Άσκηση.. ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα