Conceptos previos. Nocións de mecánica clásica.

Transcript

1 Tem 1 Conceptos previos. Nocións de mecánic clásic. 1-1 Productos esclr e vectoril 1- Derivción e integrción de funcións vectoriis. Apliccións o movemento 1-3 Estudio dlgúns movementos Composición de movementos 1-4 Interccións físics fundmentis. As leis de Newton 1-5 Momento linel e momento ngulr: principios de conservción. 1-6 Problems e cuestións 1-1 Productos esclr e vectoril Compoñentes dun vector no espcio. Ddo un vector v con orixe n orixe de coordends O, e extremo no punto C, s sús compoñentes crtesins v x, v y, v son s proxeccións do z vector sobre cd un dos eixes crtesinos, é dicir, os ldos dun prlelepípedo que ten como digonl o vector. Como OB = vx + vy e v=ob+vz será: v=v x+ v y+ v z Aplicndo o teorem de Pitágors os triángulos rectángulos OAB e OBC: OB = v x+ v y ; v = OB + v z polo que: v = vx+ vy+ vz ; v= vx+ vy+ v z O producto dun esclr c, por un vector v (Fig.) é outro vector de igul dirección que v, igul sentido se c>0 e sentido oposto se c<0, e de módulo c veces o de v. Por esto un vector v pode expresrse com un producto do seu módulo v por un vector unitrio u de igul dirección e sentido: v=vu. 1: Mecánic clásic 1

2 Os vectores unitrios no sentido positivo dos eixes X, Y e Z represéntnse por i, j e k, (Fig.b), respectivmente, polo que s compoñentes crtesins dun vector v poden expresrse: v =vi, v =v j, v =vk x x y y z z Producto esclr de dous vectores e b que formn un ángulo α, e o esclr ou número que result de multiplicr os seus módulos polo coseno do ángulo formdo: b=b cosα podendo demostrrse que sú expresión en función ds compoñentes crtesins é: b=b x x + b y y + b z z Xeometricmente é igul o producto do módulo dun dos vectores pol proxección do outro sobre el (Fig. ). O producto esclr de dous vectores perpendiculres é nulo, porque o coseno de 90º é cero. Un exemplo de mgnitude físic definid com un producto esclr é o trbllo: W=Fs, sendo F forz plicd e s o desprzmento producido. b b b α cosα b α bsenα () b (b) (c) xb Producto vectoril de dous vectores e b é outro vector (Fig.b), que se represent ou b, cos seguintes crcterístics: módulo: producto dos módulos polo seno do ángulo formdo polos dous vectores b =bsenα. Xeometricmente represent áre do prlelogrmo construído sobre os dous vectores (Fig.c). dirección: perpendiculr o plno determindo polos dous vectores. sentido: o de vnce dun scrrolls que xire dende o primeiro vector o segundo b, percorrendo o menor ángulo. Os productos vectoriis entre os vectores unitrios i, j e k vlen: i j = k, j i = -k, i k = -j, k i = j, j k = i, k j = -i, i i = j j = k k = 0 A expresión do producto vectoril de dous vectores en función ds compoñentes rectngulres é (non se demostrrá): 1: Mecánic clásic

3 b= ( b y z-b z y) i + ( b z x-b x z) j+ ( b x y-b y x) k que pode obterse desenrolndo o determinnte. i j k x y z b b b x y z O producto vectoril de dous vectores prlelos é sempre nulo porque o seno de 0º é igul cero. Un exemplo de mgnitude físic definid com un producto vectoril é o momento ngulr dunh prtícul: L = r p sendo r o vector de posición e p = mv o momento linel ou producto d ms pol velocidde. Momento de un vector respecto un punto. O momento dun vector AB con respecto un punto O é outro vector M ddo por: M = OA AB Xeometricmente, como se ve n figur, o módulo do vector momento é igul o producto do módulo do vector pol distnci d do punto á rect soporte do vector. En efecto, de: M=OA AB senα, o ser d=oa senα, teremos: M=AB d Por trtrse dun producto vectoril, o vector momento M será perpendiculr o plno de OA e AB e o seu sentido obtense pol regr do scrrolls. Un exemplo importnte é o momento dunh forz F plicd sobre unh prtícul situd n posición r respecto un punto O : M = r F Pr entender o significdo dest mgnitude consideremos un corpo que pode xirr rredor do punto O. Ao ctúr unh forz F, o efecto sobre rotción do corpo qued determindo polo producto d compoñente de forz perpendiculr r, de vlor Fsenα, pol distnci r o punto: Fsenα r, que coincide exctmente co módulo do vector momento M. 1: Mecánic clásic 3

4 1- Derivción e integrción de funcións vectoriis. Apliccións o movemento. Derivd dun vector respecto un esclr. Recordemos primeiro o concepto de derivd dunh función esclr. Sex f(x) unh función definid no intervlo [,b]. A derivd d función f(x) no punto x 0 é o límite do cociente entre o incremento d función: f(x 0 )=f(x 0 + x)-f(x 0 ), e o incremento d vrible independente x, cndo este tende cero: f ( x) df( x) f ( x0 ) = lim x 0 x dx A últim iguldde (con tres ris) indic unh form de notción empregd no ámbito científico, que record definición de derivd como un cociente incrementl entre unh vrición infinitesiml d función, df(x), e unh vrición infinitesiml d vrible, dx. A continución resumimos s principis regrs de derivción: sexn f(x) e g(x), dús funcións esclres d vrible x, e c unh constnte: Derivds ds opercións lxebrics: ( ( )) [ ( ) ( )] d c f x df ( x) ( ) ( ) ; d f x + g x df x dg x = c = + dx dx dx dx dx [ ] df ( x ) g ( x ) ( ) ( ) = df x gx ( ) + f( x) dg x dx dx dx f( x) d df ( x) dg( x) gx ( ) gx ( ) f( x) = dx dx dx ( gx ( )) 1: Mecánic clásic 4 ( ) Derivd dunh función de función (regr d cde): d g f ( x ) ( ) = g ( f( x) ) df x dx dx n dx n 1 d x 1 Derivds d función potencil e d ríz cdrd: = nx ; = dx dx x x dln x 1 de Derivds ds funcións logrítmic e exponencil: ; x = = e dx x dx Derivds ds funcións trigonométrics: dsenx dcos x dtn x 1 = cos x ; = senx ; = dx dx dx cos x Definmos derivd dunh función vectoril. Sex R() t = R () t i + R () t j + R () t k x y z un vector que vrí respecto un esclr, t. Defínese derivd do vector R respecto o esclr t, com o vector: dr() t lim R lim R( t + t) dr dr x y dr z = = = i + j + k dt t 0 t t 0 t dt dt dt

5 Pr clculr derivd dun vector respecto un esclr, debemos derivr cd unh ds sús compoñentes, empregndo s regrs de derivción de funcións esclres x coñecids. Concepto de integrl definid. O concepto de integrl definid non se estudi ns mtemátics de º Bchrelto t o último trimestre, e en físic precísse dende o primeiro momento. Por este motivo introdúcense s ides básics. Definmos áre limitd por unh función f(x) co eixe de bsciss. Sex y=f(x) unh función continu no intervlo [,b] e tomemos unh sucesión de números que determinen unh prtición de [,b] en n intervlos de igul mplitude x= i+1 - i : = 0 < 1 < < 3 <...< n-1 < n =b, e tomemos un punto x i, i=1...n, en cd intervlo d prtición: = 0 <x 1 < 1 <x < <...< n-1 <x n < n =b Se multiplicmos x polo vlor d función f(x i ) en cd punto, f(x i ) x, e summos pr todos os intervlos, obtemos un vlor proximdo d áre buscd. Se tommos límite cndo n tende infinito, obtemos exctmente áre limitd por f(x) entre e b. Polo tnto: n b A lim = f( xi) x n i= 1 Teorem fundmentl do cálculo de áres por integrción. Sex y=f(x) unh función continu no intervlo [,b] e sex F(x) unh función primitiv de f(x): df( x) = f ( x) x [, b] dx entón re A b limitd pol función f(x) entre e b vle: b A=F(b)-F(). Non se demostrrá. A áre denomínse integrl definid e represéntse: b f ( xdx ) que se lee integrl de f(x) entre e b. O símbolo non é máis que unh S estilizd, inicil d plbr sum. df( x) =, despexndo qued df( x) = f ( x) dx e dx Resumindo, se f ( x), x [, b] F( b) F( ) df( x) = F( b) F( ) = f ( x) dx 1: Mecánic clásic 5 b

6 Se clculmos integrl definid d función f(x) cmbindo os límites de integrción, é dicir, entre b e, s mplitudes dos intervlos d prtición fnse negtivs, x= i - i+1 <0, polo que integrl cmbi de signo: b f ( xdx ) = - f( xdx ) b Pr obter funcións primitivs, f ( xdx ), emprégnse regrs de integrción, de demostrción inmedit, pois bst comprobr que derivd do termo d dereit de cd iguldde, coincide co función que integrmos no termo d esquerd. Sexn f(x) e g(x) funcións esclres d vrible x, f'(x) derivd d función f=f(x), e c unh constnte: ( ) f ( x) + gx ( ) dx= f( xdx ) + gxdx ( ), cf( xdx ) = c f( xdx ) n+ ( f x ) 1 n+ 1 n x n ( ) x dx) = + C, ( f ( x) ) f ( x) dx = + C n+ 1 n+ 1 1 f ( x) dx = ln x + C, dx = ln f ( x) + C x f( x) x x f ( x) f ( x) edx= e + C, e f( xdx ) = e + C ( ) sen xdx = cos x + C, sen f ( x) f ( x) dx = cos f ( x) + C ( ) cos xdx = sen x + C, cos f ( x) f ( x) dx = sen f ( x) + C Integrl dunh función vectoril. Sex R() t = R () t i + R () t j + R () t k x y z un vector que vrí respecto un esclr t. Defínese integrl definid do vector R entre os límites t= e t=b com o vector: b b b b R() tdt= R() tdti+ R() tdtj+ R() tdtk x y z Pr integrr unh función vectoril, debemos integrr cd unh ds sús compoñentes, empregndo s regrs de integrción de funcións esclres. Definición dos vectores desprzmento, velocidde e celerción. Consideremos un punto en movemento con respecto un sistem de referenci. O vector que une orixe de coordends co posición que ocup o punto en cd instnte chámse vector de posición, rt () = xti () + yt () j+ ztk (). As compoñentes crtesins do vector de posición: x=x(t), y=y(t), z=z(t), denomínnse ecucións do movemento. Trxectori é liñ descrit polo punto no seu movemento, ou liñ trzd polo extremo do 1: Mecánic clásic 6

7 seu vector de posición. Definición dos vectores desprzmento, velocidde e celerción. Consideremos un punto en movemento con respecto un sistem de referenci. O vector que une orixe de coordends co posición que ocup o punto en cd instnte chámse vector de posición, r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k. As compoñentes crtesins do vector de posición: x=x(t), y=y(t), z=z(t), denomínnse ecucións do movemento. Trxectori é liñ descrit polo punto no seu movemento, ou liñ trzd polo extremo do seu vector de posición. Desprzmento entre dous puntos, 1 e, d trxectori, e o vector r= r - r1, é un vector con orixe n posición 1 e extremo n posición, e o seu módulo é igul distnci en liñ rect entre s dús posicións. Supoñmos que unh prtícul sofre un desprzmento r nun tempo t. O vector velocidde defínese com o límite do cociente r/ t cndo t tende cero: lim r dr v = = t 0 t dt A expresión do vector velocidde en función ds compoñentes crtesins será: dx dy dz v= i+ j+ k dt dt dt O módulo d velocidde instntáne é igul o límite do cociente entre o espcio percorrido s e o tempo invertido t cndo este tende cero, ou derivd do espcio respecto o tempo: v=ds/dt. Como dirección do vector desprzmento r tende proximrse á rect tnxente á trxectori en cd instnte, dirección do vector velocidde será tnxente á trxectori, e o seu sentido o do movemento. O vector celerción instntáne, é o límite o que tende o cociente cndo t tende cero: lim v dv = = t 0 t dt A expresión do vector celerción en función ds compoñentes crtesins será: dv x dv y dv z = i+ j+ k dt dt dt v/ t, Consideremos un móbil que describe unh trxectori curv. Se descompoñemos celerción,, en dús compoñentes, unh norml, n, e outr tnxente, t, á trxectori, obtemos expresión (non se demostrrá): v dv = n+ t= n+ R dt τ sendo n e τ vectores unitrios norml e tnxente á trxectori, respectivmente. 1: Mecánic clásic 7

8 A compoñente d celerción norml á trxectori, n, é igul en módulo o cociente v /R, sendo R o rdio de curvtur. Existe sempre que trxectori sex curv, é dicir, sempre que dirección d velocidde vríe. Nos movementos rectilíneos será nul, pois unh rect pode considerrse com unh curv de rdio infinito: R=, n =0. A compoñente d celerción tnxente á trxectori, t, é igul en módulo á derivd do módulo d velocidde respecto o tempo, t =dv/dt. Existe sempre que o módulo d velocidde vríe. Nos movementos uniformes, con módulo de velocidde constnte, será nul: v=cte, dv/dt=0, t =0. Os vectores n e t chámnse compoñentes intrínsecs d celerción, e o ser perpendiculres entre si será: = n+ t 1-3 Estudio dlgúns movementos. A continución estudiremos lgúns movementos importntes: movemento rectilíneo uniforme, movemento rectilíneo uniformemente celerdo, cíd libre e movemento circulr uniforme. Movemento rectilíneo uniforme. É o movemento dun móbil que describe unh trxectori rect percorrendo espcios iguis en tempos iguis. Recordndo o significdo físico ds compoñentes intrínsecs d celerción, temos que: n =0 e t =0. Podemos integrr n expresión d velocidde, v=ds/dt, pr obter ecución d posición en función do tempo: s t ds v =, ds = v dt, s s 0= vt, s = s 0+vt dt sendo s 0 posición inicil. s0 0 Movemento rectilíneo uniformemente celerdo, M.R.U.A. É o dun móbil que describe unh trxectori rect, e que experiment unh vrición uniforme do módulo d velocidde, é dicir, sofre umentos ou diminucións d velocidde iguis en tempos iguis. Nun M.R.U.A. so hi t, e escribiremos = t. Clculemos por integrción s ecucións d velocidde e posición en función do tempo: v t dv =, dv = dt, dt v0 0 v v 0= t, v = v 0+t (1) sendo v 0 velocidde inicil. 1: Mecánic clásic 8

9 t t t ds = v +t, s s = (v +t)dt = v dt tdt = v t + t, s = s +v t + t dt () sendo s 0 posición inicil. Despexndo t n ecución (1) e substituíndo n ecución () eliminndo o tempo, e operndo obtemos seguinte relción entre velocidde e posición: v =v 0 +(s-s 0 ) (3) Un movemento de cíd libre verticl é un movemento rectilíneo uniformemente vrido con celerción de 9,8 10 m/s verticl e cr bixo. Esto é válido só cndo, forz de rozmento do corpo contr o ire, sex pequen en comprción co seu peso, como sucede, por exemplo n cíd dunh bol de ceiro dende pequens lturs (en cíds dende ltur elevds, debe considerrse forz de rozmento co ire, que ument co velocidde). Movemento circulr uniforme É o dun móbil que describe unh trxectori circulr movéndose co módulo d velocidde constnte. Nun M.C.U. n =v /R=constnte, pois o módulo d velocidde v e o rdio de curvtur R, que é o rdio d circunferenci, son constntes; e t =0. Nun MCU so hi celerción norml ou centrípet e ten s seguintes crcterístics: Módulo: n = v /R Dirección: rdil. Sentido: Cr ó centro d trxectori. Punto de plicción: A posición do móbil. Defínese o período T como o tempo que trd o móbil en percorrer unh circunferenci complet. e frecuenci f ou ν (letr greg ni ) como o número de volts relizds nun segundo. A relción entre ámbls dús mgnitudes obtense d proporción: 1 volt f volts 1 = f = T segundos 1 segundo T O módulo d velocidde pode obterse d expresión: π r v = T Pr estudir o M.C.U. podemos empregr o ángulo θ formdo polo vector de posición r co orixe de ángulos. En físic e enxeñerí, os ángulos mídense en rdiáns. Un rdián é o ángulo correspondente un rco de circunferenci de lonxitude igul o rdio. Pr obter o ángulo θ correspondente un rco rbitrrio, dividimos sú lonxitude s entre o rdio R d circunferenci: : θ=s/r ou s=θr. Está últim ecución expresse: "rco igul ángulo en rdiáns multiplicdo polo rdio". 1: Mecánic clásic 9

10 O ángulo expresdo en rdiáns correspondente unh circunferenci complet, obtense dividindo lonxitude d circunferenci πr, entre lonxitude R do rco correspondente un rdián: πr/r=π rdiáns. Como unh circunferenci complet correspóndelle un ángulo de 360º, podemos psr de gros sesxesimis rdiáns, medinte relción: π rdiáns= 360º. O cociente entre o ángulo θ vrrido polo vector de posición r e o tempo t empregdo, chámse velocidde ngulr: ω=θ/t. Mídese en rdiáns/s. A relción entre velocidde linel v e ngulr ω é: s θ R θ v= = = R= ωr v= ωr t t t Composición de movementos Principio de Glileo de independenci dos movementos. Se sobre un corpo ctún simultnemente dous movementos durnte certo tempo, o desprzmento do corpo e o mesmo que se os movementos cturn sucesiv e seprdmente, durnte dito tempo. É dicir, o vector desprzmento r resultnte d cción simultáne dos dous movementos é igul á sum dos vectores desprzmento r 1 e r, debidos á cción seprd de cd movemento compoñente: r=r 1+ r (1) onde pr simplificr s ecucións tommos orixe de coordends n posición inicil do corpo r=0 0 de xeito que o desprzmento r=r-r 0 coincide con vector de posición r. Supoñmos, por exemplo, un nddor cruzndo o ncho un río. Sex r 1 o desprzmento perpendiculr o río, debido o esforzo do nddor (é dicir, o que relizrí se non for rrstrdo simultnemente pol corrente) e sex r o desprzmento provocdo pol corrente. Entón o desprzmento resultnte d cción simultáne de mbos movementos ven ddo pol ecución (1). Derivndo respecto o tempo n expresión (1) obtemos: v=v 1+v, velocidde resultnte é sum vectoril ds velociddes dos movementos compoñentes. Anlogmente obtemos: = +. 1 Apliquemos s ecucións nteriores á composición de movementos rectilíneos: De igul dirección e sentido. Por exemplo unh perso ndndo no mesmo sentido cá corrente: s=s 1 +s, v=v 1 +v. De igul dirección e sentidos opostos. Por exemplo unh perso que nd en sentido contrrio á corrente: s=s 1 -s, v=v 1 -v. 1: Mecánic clásic 10

11 De direccións rbitrris. Supoñmos que envimos un brco de xoguete pils cr o punto P. Sex r 1 o desprzmento debido ás hélices do brco, r o desprzmento debido á corrente, e r o desprzmento debido á cción simultáne dos dous movementos. Entón cúmprese iguldde vectoril: r=r+r 1 e relción entre os módulos obtense plicndo o teorem do coseno: r= r 1 +r cos +rr 1 α Anlogmente pr s velociddes: v=v +v, v= v +v +vv α cos No cso prticulr en que s direccións dos movementos forn perpendiculres, os módulos do desprzmento e d velocidde obterínse polo teorem de Pitágors: r= r 1 +r, v= v 1 +v Os lnzmento de proxectís son exemplos de composición de movementos rectilíneos de direccións perpendiculres. Tiro horizontl. Consiste no lnzmento con velocidde inicil v 0 horizontl, dende unh ltur H. É unh composición dun M.R.U. no eixe X, pois despois de sír do cnón o proxectil non ten celerción nest dirección, e un M.R.U.A. no eixe Y, pois o proxectil sofre celerción d grvidde. As ecucións correspondentes o desprzmento e velocidde en cd eixe son: Eixe X: x=v 0 t, v x =v 0. Eixe Y: y=1/gt, v y =gt, x que v oy =0. O tempo de cíd obtense igulndo o desprzmento verticl y co ltur H e despexndo: 1 H y = gt = H, t = g O lcnce do proxectil A é igul o desprzmento horizontl x relizdo durnte o tempo de cíd: H A=v0t=v0 g A ecución d trxectori clcúlse despexndo o tempo d ecución do desprzmento horizontl, t=x/v 0, e substituíndo n expresións do desprzmento verticl: 1 x g y= g = x v v 0 0 1: Mecánic clásic 11

12 de xeito que eliminmos o tempo, obtendo ecución dunh prábol. 1-4 Interccións físics fundmentis. Hi 4 tipos de interccións básics entre s prtículs que constitúen o universo que ordends de mior menor intensidde son: A intercción nucler forte responsble de que protóns e neutróns (coñecidos como nucleóns), se mnteñn dentro do núcleo tómico e de outros procesos relciondos. É mis intens ds interccións pero o seu lcnce é moi limitdo, rredor de m, que é o tmño dun núcleo pequeno. A intercción electromgnétic, é mellor comprendid e responsble de múltiples fenómenos que observmos n vid diri, incluíndo os procesos químicos e biolóxicos, ó ligr os electróns en torno ó núcleo pr formr os átomos, e enlzndo os átomos pr formr moléculs. A sú intensidde é rredor d centésim prte (10 - ) d forz nucler forte, e decrece co cdrdo d distnci. A intercción nucler feble, cusnte de certos procesos entre prtículs fundmentis, como desintegrción bet, n que un neutrón trnsformse nun protón o emitir un electrón e un ntineutrino: 0 + n p + e + ν 0 A sú intensidde é do orde de en comprción á intercción nucler forte, e o seu rdio de cción é corto. A intercción grvitcionl, que se mnifest no movemento plnetrio e no peso dos corpos, pesr de ser mis feble ds interccións coñecids, foi primeir en ser estudid coiddosmente, debido ó interese do home, dende ntigüidde, n stronomí e porque grvitción é responsble de fenómenos, que fectn dirimente nos vid, socidos o peso dos corpos. A sú intensidde é d intensidde d intercción forte. Produce efectos grn escl, x que é sempre trctiv e oper lrgo lcnce. Pero sú cción escl tómic é indetectble. Moits prtículs sofren s 4 interccións. Por exemplo o protón é unh prtícul que interccion fortemente; ten crg eléctric positiv polo que sinte forz electromgnétic; pode, pol intercción débil, trnsformrse no interior dun núcleo inestble nun neutrón, emitindo un positrón e un neutrino: p + n 0 + e + + ν 0 ; e com o resto d mteri, o protón é trído pol grvidde. Cndo dús prtículs interccionn medinte unh dests forzs, créese que intercción e debid o intercmbio dunh prtícul. Pr entender est ide consideremos dús persos psándose unh á outr, cos mns, unh pelot. Como s dús persos permnecen xunts porque se intercmbin pelot, terímos unh forz de trcción, que podemos chmr de intercmbio. Créese tmén que o lcnce d intercción está determind pol ms d prtícul intercmbid. N nloxí d pelot, o seu peso determin distnci que se pode lnzr, de xeito que se substituímos por unh esfer de chumbo, terimos que 1: Mecánic clásic 1

13 cercrmos moito máis pr intercmbil e hipotétic forz de trcción serí de menor lcnce. Resumindo ide de cmpo pr describir ás interccións substitúese polo concepto de intercmbio de prtículs. A intercción grvitcionl prodúcese polo intercmbio de grvitóns, prtículs de ms nul, índ non observds experimentlmente. A intercción feble é debid o intercmbio ds prtículs W +, W - e Z 0, de grn ms, predits pol teorí electrofeble, que consider s forzs electromgnétic e feble como mnifestcións distints do mesmo tipo de intercción, e observds experimentlmente no CERN en A intercción electromgnétic consiste no intercmbio de fotóns, de ms nul. A intercción nucler forte é producid polo intercmbio de gluóns, prtículs de ms nul identificds indirectmente, pero que non poderon ser illds e probblemente non poidn selo. O feito, prentemente contrdictorio, dunh forz de lcnce limitdo ás distncis nucleres (10-15 m), medinte intercmbio de prtículs de ms nul, é debido s crcterístics peculires d forz nucler e dos gluóns. De xeito similr como crg eléctric é responsble d intercción electromgnétic, s prtículs que interccionn fortemente posúen crg de color (nome rbitrrio que non grd ningunh relción co que entendemos n linguxe ordinri). Pero diferenci dos fotóns intercmbidos n intercción electromgnétic que non posúen crg eléctric, os gluóns si teñen crg de color. Cndo unh prtícul emite un gluón, cmbi de color e tre o gluón emitido que por está rzón non pode pens fstrse. 1-5 As leis de Newton. A sú vlidez n mecánic clásic. 1ª lei de Newton ou lei de inerci: se sobre unh prtícul non ctú ningunh forz, ou resultnte ds que ctún é nul, prtícul permnece indefinidmente en repouso ou en MRU. Se experienci diri prece desmentir est lei, o observrse que os corpos en movemento terminn por prr, é cus d cción de forzs de fricción ou rozmento. ª lei de Newton ou lei fundmentl d dinámic: s forzs que ctún sobre un corpo son proporcionis ás celercións producids, F=m, sendo constnte de proporcionlidde, m, ms inercil do corpo. Se sobre unh prtícul non ctú ningunh forz, non terá celerción, polo que o vector velocidde será constnte en módulo e dirección: F = m, = dv/dt = 0, v = constnte, e prtícul permnecer en repouso ou en MRU (lei de inerci). Se sobre unh prtícul ctú unh forz, terá celerción, polo que o vector velocidde vrirá en módulo e/ou dirección. Como forz plicd produce unh celerción co mesm dirección e sentido, se forz é tnxente á trxectori, produce unh celerción tnxencil, modificndo o módulo d velocidde; se forz é perpendiculr á trxectori produce unh celerción norml, modificndo dirección d velocidde. 3ª lei de Newton ou lei de cción e rección: se unh prtícul A ctú sobre outr B, medinte unh forz F AB (cción), prtícul B ctú sobre A cunh forz F BA (rección), 1: Mecánic clásic 13

14 de igul módulo e dirección pero de sentido oposto: FAB = FBA. Por tnto un corpo non pode exercer unh forz sobre outro, sen que simultnemente se vex fectdo el mesmo, por unh forz igul e opost. As forzs nunc ctún sos n nturez, sempre precen com resultdo de ccións mutus, ou interccións, entre corpos. Vlidez d Mecánic Clásic. As leis de Newton d mecánic xunto co sú lei d grvitción universl, poden plicrse multitude de experiencis e fenómenos, denominándose mecánic clásic o conxunto dests pliccións. Noutros csos s leis de Newton dn lugr resultdos proximdos ou incorrectos. Pr poder plicls deben cumprirse dús circunstncis: ) A velocidde ds prtículs debe ser pequen en comprción co velocidde d luz, c = km/s. b) O tmño dos corpos obxecto de estudio debe ser grnde comprdo cás prtículs tómics e nucleres. Se velocidde d prtícul é próxim á velocidde d luz, debemos empregr teorí d reltividde especil de Albert Einstein, n que desprecen os conceptos de espcio e tempo bsoluto e ms dos corpos ument co velocidde conforme á expresión: m0 m = v 1 c onde m 0 é ms en repouso. Observr que o umento d ms dun corpo só é precible cndo sú velocidde v proxímse á velocidde d luz c. No cmpo d físic tómic e nucler debe empregrse mecánic cuántic, n que desprece o concepto de trxectori e so podemos flr en termos de probbilidde de que unh prtícul este nunh posición nun determindo intre. Estudio dinámico de movementos sinxelos. Nun MRU velocidde permñece constnte en módulo, dirección e sentido, polo que celerción =dv/dt é nul, e tmén é cero forz plicd F=m=0. Reciprocmente se forz totl que ctú sobre un corpo é cero F =0, será =0 e o vector velocidde permñece constnte, polo que o corpo reliz un MRU ou permnece en repouso. Nun MRUA celerción é constnte polo que forz F=m é constnte. Reciprocmente unh forz F constnte provoc un MRUA. Nun MCU velocidde ten módulo constnte pero vrí en dirección, polo que hi celerción norml: n =v /R. Dit celerción está producid por unh forz norml ou centrípet de módulo F n =m n de igul dirección e sentido cá celerción, é dicir, dirixid cr o centro d circunferenci. O corpo tende por inerci moverse en liñ rect e forz 1: Mecánic clásic 14

15 centrípet curv sú trxectori obrigándoo describir unh circunferenci. 1-6 Momento linel e momento ngulr dunh prtícul: sú conservción. Momento linel ou cntidde de movemento p dunh prtícul é un vector definido como o producto d ms d prtícul pol sú velocidde: p=mv. Ten igul dirección e sentido cá velocidde, e o seu módulo é o producto d ms polo módulo d velocidde. Principio e conservción do momento linel dunh prtícul: Se sobre unh prtícul non ctú ningunh forz exterior, ou resultnte ds que ctún é nul, o seu momento linel non vrí. En efecto, forz plicd o corpo é igul á derivd do momento linel p con respecto o tempo: dv d(mv) dp F=m=m = = dt dt dt polo que se forz plicd e nul, F =0, o momento linel p permñece constnte. Esto non é máis có principio de inerci, x que se p e m son constntes, tmén será constnte velocidde v. Principio de conservción do momento linel pr un sistem de prtículs: O momento linel totl dun sistem de prtículs sometids interccións mutus, pero sobre o que non ctúen forzs externs, permñece constnte. En efecto, consideremos dús prtículs que interccionn entre si. A forz exercid pol prtícul 1 sobre, F 1 é igul á derivd do momento linel p d p d p1 con respecto o tempo: F 1 =, e nlogmente: F 1=. dt dt D lei de cción e rección, F 1 = F1. polo que: dp dp1 dp dp1 d( p+ p1) = ; + = 0 ; = 0 ; p+ p1= constnte dt dt dt dt dt Este resultdo é válido pr clquer número de prtículs. Momento ngulr L dunh prtícul é un vector definido como o producto vectoril do vector de posición r d prtícul polo seu momento linel p : L =r p 1: Mecánic clásic 15

16 Principio de conservción do momento ngulr dunh prtícul: Se o momento d forz M =r F que ctú sobre unh prtícul é nulo, o momento ngulr L d prtícul permñece constnte. Primeiro demostremos que o momento d forz plicd é igul á derivd con respecto o tempo do momento ngulr: dl M=. dt Derivndo o momento ngulr respecto o tempo: dl d(r p) dr dp = = p + r dt dt dt dt e como: dr dp p=v mv=0 ; r =r F=M dt dt x o temos demostrdo. Aplicndo este resultdo é inmedito que se o momento de forz é nulo, M =0 ngulr L debe ser unh constnte. 1-7 Problems e cuestións 1: Mecánic clásic 16, o momento (1) Ddos os vectores: =i - j+3k e b=-i+j+5k, obter: ) Os módulos de cd vector. b) O producto esclr. c) O producto vectoril. d) Empreg o resultdo do prtdo b) pr obter o coseno do ángulo que formn. Anlogmente obtén o seno do ángulo prtir do prtdo c) R.- ) =3,74, b=5,477 ; b) 11, c) -11i -13j +3k ; d) cosα=0,5367, senα=0,8436. () Obter o momento do vector =3i -j+k con orixe no punto P(-1,-3,-) respecto á orixe de coordends. (Axud: M = r Px) (3) Demostrr que os vectores =i+4j+k e b=3i - j-k son perpendiculres. (Axud: bst demostrr que o producto esclr é cero) R.- -7i - 5j +11k Derivción e integrción de funcións vectoriis. Apliccións o movemento df ( x) d f( x) (4) Clcul primeir derivd, f ( x) =, e segund derivd, f ( x) =, dx dx ds seguintes funcións: ) f(x) = 5senx b) f(x) = 3senπx (5) Un móbil de 1 kg segue s seguintes ecucións do movemento:

17 x = t 3 - t m, y = t - 5t +6 m ) Compoñentes rectngulres d velocidde en clquer instnte e cndo t = s. b) Compoñentes rectngulres d forz en clquer instnte e cndo t = s. c) Instnte no que forz é prlel o eixe Y. Solución: dx m dy m ) vx= =3t 4t ; vy= =t5 dt s dt s Pr t= s : v x = 3-4 =1-8=4 ms -1 ; v y = -5=-1 ms -1. dv x m dv y m b) x= =6t4 ; y= = dt s dt s Pr t= s : x =6-4=1-4=8 ms - ; y = ms -. F x =m x =1 kg (6t-4) ms - =6t-4 N ; F y =m y =1 kg ms - = N. c) A forz é prlel o eixe Y, cndo F x =0: F x =6t-4=0 ; t=4/6 ; t=/3 s. (6) As ecucións do movemento dun corpo de ms 4 kg son: π x =5t, y=3sen t ) Demostrr que forz é proporcionl á distnci entre o corpo e o eixe X. b) Representr grficmente trxectori do corpo. Solución: ) Clculmos velocidde e celerción por derivción: dx m dv x v m x= = 5, x= = 0 dt s dt s dy 3 y y cos m dv v = = π π t, 3 π m y= = sen π t dt s dt 4 s Empregndo ª lei de Newton: π F=m=m( xi+ yj)=myj=-3π sen tj = π yj N sendo y distnci entre o corpo e o eixe x como querimos demostrr. b) Obtense unh función senoidl, correspondente á composición dun MRU no eixe x e un MHS no eixe y. dx 1 (7) Demostrr que: = + C x x Estudio dlgúns movementos (8) Existe lgún tipo de movemento con velocidde constnte e que posú celerción. Solución: Si. Nun movemento circulr uniforme M.C.U. velocidde non vri en módulo, pero si en dirección de xeito que hi celerción: n = v /R. (9) Unh rod xir con velocidde ngulr constnte. Ten un punto d sú periferi celerción tnxencil? e celerción norml? Solución: Se ω=v/r=cte, ó módulo d velocidde dun punto d periferi será constnte, v=cte, polo 1: Mecánic clásic 17

18 que non hi celerción tnxencil: t =dv/dt=0. Como dirección d velocidde, tnxente á circunferenci, vrí co tempo hi celerción norml: n =v /R. (10) Coment seguinte frse: " Cndo un corpo vir rredor dun eixe fixo con movemento circulr uniforme, tódolos seus puntos teñen mesm velocidde". Solución: Posúen mesm velocidde ngulr ω pero distint velocidde linel v que ument co distnci R o eixe de xiro: v = ωr. (11) Clculr velocidde ngulr en rd./s dunh rod que xir 300 rpm. Solución: revol revol π rd 1 min 300 π rd rd 300 rpm = 300 = 300 = = 31,4 min min 1 revol 60 s 60 s s (1) As rods dun coche teñen 70 cm de diámetro e xirn 80 rpm. Obter: ) A velocidde ngulr ds rods. b) A velocidde con que se move o coche. c) A celerción dun punto d superficie exterior d rod. Solución: revol revol π rd 1 min 80 π rd rd ) 80 rpm = 80 = 80 = = 85,87 min min 1 revol 60 s 60 s s b) v = ω R = 85,87 rd/s 0,35 m = 30,05 m/s = 108, km/h. c) n = v /R = (30,05 m/s) /0,35 m = 580 m/s. (13) Un móbil desprázse 90 km/h sobre unh curv de 98 m de diámetro cunh celerción tnxencil de 5 m/s. Clculr celerción totl do móbil. Solución: v = 90 km/h = 5 m/s. n = v /R = 5 /49 = 1,76 m/s. = t + n= 5 + 1, 76 = 13,7 m/ s (14) Un punto d periferi dun rodmento de cm de rdio rot 0,65 m/s. Clculr velocidde ngulr do rodmento en rpm. v 0,65 m/s Solución: v = ωr, ω = = = 3,5 rd/s R 0,0 m rd 1 revol 60 s ω = 3,5 = 310,4 rpm s π rd 1 min (15) Un ciclist corre nun velódromo circulr de rdio 60 m cunh velocidde constnte de 45,36 km/h. Clculr: ) O espcio que percorre nun minuto. b) A posición, con respecto posición inicil de síd, do ciclist nese intre. c) O tempo que trd en dr unh volt. d) A velocidde ngulr. R.- ) 756 m, b) m, c) 9,9 s, d) 0,1 rd/s. (16) A distnci Terr-Lú é de km e Lú trd 8 dís en dr unh volt rredor d Terr. Clcul velocidde d Lú no seu movemento de trnslción rredor d 1: Mecánic clásic 18

19 Terr, en m/s e en km/h. Clcul celerción norml. R.- v = 3591 km/h, n =, m/s. (17) Un móbil percorre, con MCU, 1/4 de volt en s (lonxitude de 1/4 de volt 16 m.). ) Cnto trd en dr unh volt? b) Clcul velocidde do móbil. c) Cnts volts drí en 1 minuto? E en 1 s? d) Clcul o rdio d circunferenci. R.- ) 8 s, b) 8 m/s, c) 7,5 volts ; 1/8 de volt, d) 10,19 m (18) Un corpo está xirndo rzón de 30 volts/minuto. Clcul velocidde de dous puntos situdos 5 cm e 15 cm do eixe de xiro. R.- 0,1571 m/s e 0,4713 m/s respectivmente. (19) Clcul velocidde linel, debid á rotción d Terr, dunh perso situd n liñ do Ecudor. R = 6400 km. Noutro punto, fór do Ecudor, perso do problem, Terí mesm velocidde? Cl serí sú velocidde se estivese situd no Polo? R km/h. A velocidde depende d distnci, r, o eixe de rotción terrestre. No polo v = 0 m/s. (0) O cegoñl dun utomóbil vir 3500 r.p.m. Clcul o seu período e sú frecuenci expresándoos no S.I. R.- T = 1, s, f = 58,34 revol./s 1: Mecánic clásic 19

20 Cálculo d expresión dun vector e sum de vectores no plno: Todo vector pode escribirse como producto do seu módulo por un vector unitrio: v = v u O vector unitrio pode obterse fcilmente sbendo o ángulo que form cun dos eixes de coordends, plicndo s fórmuls válids pr clquer triángulo rectángulo de hipotenus unidde: cteto contiguo= cosenoα cteto oposto=senoα As compońentes serán positivs se están dirixids ns direccións positivs dos eixes de coordends e, negtivs en cso contrrio. Exemplo resolto: Escribe s compoñentes dos vectores d figur e clcul sú sum. Solución: = 6(cos30º i + sen30º j) = 5,196i + 3 j N b = 5( cos 60º i + sen60º j) =,5i + 4,33 j N c = 7( cos 5º i sen5º j) = 6,344i,958 j N d = 4(cos75º i sen75º j) = 1,035i + 3,864 j N + b + c + d =,613i + 0,508 j N Exemplo resolto: Escribe s compoñentes dos vectores d figur e clcul sú sum Solución: OA = = 8,60, OB = = 8,944 7i + 5j = 6(cos αº i + senαº j) = 6( ) = 4,883i + 3, 488 j N 8,60 4i + 8j b = 5( cos βº i + senβº j) = 5( ) =,36i + 4,47 j N 8,944 + b =, 647i + 7,96 j N 1: Mecánic clásic 0

21 Exercicio: Escribe s compoñentes dos seguintes vectores e clcul sú sum en cd cso. R.- 1) 1,84i 0,474 j ; ) 1,913i + 3,79 j ; 3) 6,956i + 0,705 j 4) 4,06i 0,41 j ; 5),5i 3,67 j ; 6) 1,347i 7,04 j 1: Mecánic clásic 1