dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; I DEO SKC Niš, 2008.

Transcript

1 dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; I EO KC Niš, 28.

2 dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; I EO I izdanje, Niš, 28. Recenzenti: dr jubiša Kocić, red. prof. Elektronskog fakulteta u Nišu, dr ragana Cvetković Ilić, vanr. prof. PMFa u Nišu Izdavač: tudentski kulturni centar Niš Za izdavača: Miroslav Jović, direktor Urednik: Aleksandar Blagojević Tehnička obrada: dr idija tefanović, mr Branislav Rand elović, dipl. ing. Biljana ord ević Štampa: Petrograf Niš Tiraž: 1 primeraka IBN Bilo kakvo umnožavanje ove knjige nije dozvoljeno bez pisanog odobrenja autora.

3 PREGOVOR Ova knjiga je proistekla iz višegodišnjeg rada autora u nastavi na Elektronskom fakultetu u Nišu. Zato je, pre svega, prilagod ena i namenjena studentima tehničkih nauka. Naravno, mogu da je koriste i studenti drugačije profesionalne orijentacije, koji u okviru predvid enog nastavnog programa imaju ovde iznetu materiju. Knjiga se odnosi na oblast matematike Integracija realnih funkcija, uključujući i integraciju vektorskih funkcija sa realnim komponentama. Neodred eni i odred eni integral nisu razmatrani jer su oni predmet izučavanja ranijih kurseva matematike. Prezentovani tipovi integrala su značajni u drugim oblastima matematike, kakve su Integracija kompleksnih funkcija i Teorija polja, a ove oblasti su neophodne za stručno usavršavanje studenata tehničkih nauka. Knjiga sadrži teoriju, rešene primere kojima se teorija ilustruje i veliki broj uputstava za primenu teorije, koja nije obuhvaćena primerima, a u praksi je potreba za takvom primenom česta. Autor se trudio da način izlaganja bude istovremeno matematički, metodološki i pedagoški ispravan, ali i prilagod en novim zahtevima u načinu školovanja studenata. Zato su dokazi nekih teorema izostavljeni, uz obavezno navod enje literature u kojoj se mogu naći, a zauzvrat je teorija demonstrirana kroz veći broj adekvatnih primera. Tekst knjige je urad en pomoću programskog paketa MIKTEX (verzija Amste 2.), a slike pomoću programskog paketa Corel raw (verzija 11) i odgovarajućih propratnih programa, neophodnih za tehničku obradu teksta u celini. U vezi sa slikama, autor ukazuje na konvencionalno prikazivanje prostornih objekata, čiji je prirodni izgled žrtvovan jasnom unošenju podataka, značajnih za te objekte i za problem koji se rešava. Takvi objekti su, npr., prostorne krive i površi. Korektan prikaz nekih od prostornih krivih i površi je dat na slikama u Prilogu, a dobijen je pomoću programskog paketa MATHEMATICA (verzija 6.). Autor duguje i ovom prilikom iskazuje zahvalnost dr Vladimiru Pavloviću, iii

4 iv PREGOVOR asistentu Prirodno matematičkog fakulteta u Nišu, jer je pročitao veći deo rukopisa, ispravio postojeće materijalne greške u njemu i ukazao autoru na mnogobrojne nepreciznosti, previde i propuste, svojstvene tehničkoj, ne i matematičkoj literaturi. Takod e, autor iskreno zahvaljuje asistentima Elektronskog fakulteta u Nišu, mr Marjanu Matejiću i mr Branislavu Rand eloviću. Prvom od njih na predanom isčitavanju i ispravljanju teksta, a drugom na nesebičnoj pomoći u grafičkoj obradi istog. Posebna zahvalnost pripada recenzentima, prof. dr jubiši Kociću i prof. dr ragani Cvetković Ilić. Nastanak Priloga isključiva je zasluga prof. dr jubiše Kocića. Autor smatra da bi prvobitni rukopis, bez intervencije svih pomenutih učesnika u mukotrpnom procesu formiranja ove knjige, bio znatno manje korektan u matematičkom, estetskom i svakom drugom pogledu. Niš, 28. g. Autor

5 ARŽAJ 1. UVONI POJMOVI Pojam krive, oblasti i površi Orijentacija krive, oblasti i površi Orijentacija i podela prostorne krive Orijentacija i podela ravne oblasti Orijentacija i podela prostorne površi Riemannovi integrali Vrste i način formiranja Riemannovih integrala Odred eni integral Opšte osobine Riemannovih integrala Koordinatni sistemi Generalisane koordinate: polarne, cilindrične, sferne Primena generalisanih koordinata KRIVOINIJKI INTEGRAI Krivolinijski integrali po luku (I vrste) Krivolinijski integrali po koordinatama (II vrste) Izračunavanje krivolinijskih integrala Izračunavanje krivolinijskih integrala I vrste Izračunavanje krivolinijskih integrala II vrste Veza izmed u krivolinijskih integrala I i II vrste Vektorski krivolinijski integrali VIŠETRUKI INTEGRAI vojni integrali Trojni integrali Izračunavanje višestrukih integrala 98 v

6 vi ARŽAJ Izračunavanje dvojnih integrala Izračunavanje trojnih integrala mena promenljivih u višestrukim integralima mena promenljivih u dvojnim integralima mena promenljivih u trojnim integralima Green Riemannova teorema POVRŠINKI INTEGRAI Površinski integrali po površi (I vrste) Površinski integrali po koordinatama (II vrste) Izračunavanje površinskih integrala Izračunavanje površinskih integrala I vrste Izračunavanje površinskih integrala II vrste Veza izmed u površinskih integrala I i II vrste Vektorski površinski integrali Teorema Ostrogradskog tokesova teorema Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije 183 PRIOG 193 ITERATURA 197

7 1. UVONI POJMOVI 1.1. Pojam krive, oblasti i površi Radi lakšeg praćenja materije koja sledi, dajemo definicije i opise osnovnih pojmova koji se koriste u kasnijem izlaganju. Pri tome smo, u skladu s potrebama ovog kursa, izvršili izvesne modifikacije i učinili značajna skraćivanja. Za precizna i detaljna objašnjenja videti [6], str , uključujući i literaturu citiranu u [6]. Prvo navodimo definicije nekih elementarnih topoloških pojmova ([3], str ). Neka je R n (n = 1, 2, 3) skup svih ured enih n torki realnih brojeva i d euklidska metrika na tom skupu. efinicija kup K(M, r) = { X R n d(m, X) < r }, gde je r R i r >, zove se okolina tačke M R n. efinicija Tačka M je unutrašnja tačka skupa R n ako postoji okolina K(M, r) takva da je K(M, r). efinicija kup R n je otvoren skup ako su sve tačke iz unutrašnje. efinicija Tačka M R n je rubna tačka skupa R n ako u svakoj okolini K(M, r) postoji bar jedna tačka iz i bar jedna tačka iz c, gde je c komplement skupa u odnosu na R n. efinicija Rub ili med a skupa R n je skup svih rubnih tačaka za. efinicija kup R n je ograničen skup ako postoji okolina K(M, r) takva da je K(M, r), gde je M R n i r konačan broj. U suprotnom je neograničen skup. 1

8 2 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Prelazimo sada na definiciju krive i ostale pojmove vezane za krivu. efinicija Prostorna kriva je geometrijsko mesto tačaka (,, z) R 3 dobijenih preslikavanjem (1.1.1) = (t), = (t), z = z(t) ; t [α, β] R, gde su (t), (t), z(t) neprekidne funkcije na [α, β]. Jednačine (1.1.1) su parametarske jednačine ili parametrizacija krive. Za postupak kojim se do njih dolazi se koristi isti termin, parametrizacija krive. egment [α, β] je oblast definisanosti krive. Činjenica da je kriva data svojim parametarskim jednačinama (1.1.1) često se zapisuje na način : = (t), = (t), z = z(t) ; t [α, β]. efinicija Prostorna kriva je prosta ili Jordanova kriva ako se jednačinama (1.1.1) ostvaruje bijekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje) izmed u brojeva t [α, β] i tačaka X ( (t), (t), z(t) ). Bijekciju (1.1.1) ćemo kraće označavati sa [α, β]. Prosta kriva očigledno nema višestrukih tačaka, tj. samu sebe ne dodiruje i ne preseca. Prostu krivu zvaćemo i otvorenom krivom ili lukom, a tačke A ( (α), (α), z(α) ), B ( (β), (β), z(β) ) graničnim tačkama krive. Još, reći ćemo da je ograničena sa A i B. efinicija Prostorna kriva, koja se od Jordanove razlikuje samo u tome što je (α) = (β), (α) = (β), z(α) = z(β), zove se zatvorena prosta kriva ili kraće zatvorena kriva. Kod zatvorene krive je preslikavanje (1.1.1) bijekcija samo na intervalu (α, β), ne i na segmentu [α, β]. Različiti brojevi t = α i t = β se preslikavaju u istu tačku A ( (α), (α), z(α) ) = B ( (β), (β), z(β) ) i nijedan drugi broj t (α, β) se ne preslikava u tu tačku. Uslovno rečeno, granične tačke krive se poklapaju i otvorena kriva postaje zatvorena.

9 1. UVONI POJMOVI 3 tim u vezi, ukoliko bar jedan od uslova iz efinicije nije ispunjen, npr. ako je (α) (β), (α) = (β), z(α) = z(β), kriva je otvorena. Neka su i (i = 1, 2,..., n; n 3) proste (otvorene) krive, definisane na različitim segmentima u opštem slučaju. Još, neka za svako i = 1, 2,..., n 1 važi: i i i+1 imaju samo jednu zajedničku tačku i to graničnu; i i j (j > i + 1) nemaju zajedničkih tačaka. Tada se krive i nadovezuju i formiraju novu krivu = 1 2 n, koja je takod e prosta (otvorena). Ukoliko 1 i n imaju jednu graničnu tačku zajedničku, je zatvorena prosta kriva. U slučaju = 1 2 (n = 2) kriva je otvorena ako 1 i 2 imaju za zajedničku samo jednu graničnu tačku, a zatvorena ako 1 i 2 imaju dve zajedničke tačke, obe granične. efinicija Prosta ili zatvorena prosta kriva je glatka kriva ako su izvodi (t), (t), z (t) neprekidne funkcije na [α, β] i ako je 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) > za svako t [α, β]. efinicija Prosta ili zatvorena prosta kriva je deo po deo glatka kriva ako je sastavljena od konačno mnogo glatkih delova i (i = 1, 2,..., n) koji se nadovezuju. efinicija Zatvorena glatka ili deo po deo glatka kriva zove se kontura. NAPOMENA Pretpostavimo da kriva pripada nekoj od koordinatnih ravni, npr. ravni. Tada je R 2 skup tačaka (, ) R 2 dobijenih preslikavanjem = (t), = (t) ; t [α, β]. Ako ovu krivu posmatramo u prostoru, sve njene tačke (,, z) imaju istu treću koordinatu z =, pa ona postaje specijalan slučaj prostorne krive R 3, date jednačinama : = (t), = (t), z = z(t) = ; t [α, β]. Analogno, neka segment [a, b] R pripada nekoj od koordinatnih osa, npr. osi. Posmatran u prostoru, on postaje specijalan slučaj prostorne krive R 3, date jednačinama : = (t) = t, = (t) =, z = z(t) = ; t [a, b]. Nadovezujući se na efinicije , uvodimo pojam oblasti kao sledeći važan pojam. efinicija kup R n je povezan skup ako za ma koje dve različite tačke iz postoji prosta kriva koja prolazi kroz te tačke i cela se sadrži u.

10 4 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO efinicija Otvoren i povezan skup R n zove se oblast. efinicija kup R n, koji se sastoji od tačaka oblasti i tačaka njenog ruba, zove se zatvorena oblast. Ako je R, je interval na koordinatnoj osi. Ako je R 2, je oblast u koordinatnoj ravni ili ravna oblast. Ako je R 3, je oblast u prostoru ili prostorna oblast. U ovom trenutku se zadržavamo na ravnim oblastima. efinicija Granična kriva oblasti R 2 je svaka zatvorena prosta kriva koja je deo ruba ili ceo rub te oblasti u R 2. Ukoliko je granična kriva kontura, zvaćemo je i graničnom konturom oblasti ili samo konturom oblasti. Unija svih graničnih krivih čini granicu oblasti. Prema efiniciji , zatvorena oblast sadrži svoju granicu. Ako je ograničena oblast u smislu efinicije 1.1.6, reći ćemo da je ograničena svojom granicom. Bez dokaza navodimo sledeću teoremu ([2], str. 13). Teorema (JORANOVA TEOREMA) vaka zatvorena prosta kriva R 2 deli koordinatnu ravan na dve oblasti, jednu ograničenu i drugu neograničenu. Ograničena oblast iz Teoreme zove se unutrašnjost krive i označava se sa int, a neograničena oblast je spoljašnjost krive, u oznaci et. Pri tome je zajednička granična kriva obe oblasti. Nadalje radimo samo sa ograničenim oblastima i njihovim granicama sastavljenim od kontura. efinicija Oblast R 2 je jednostruko ili prosto povezana oblast ako za svaku zatvorenu prostu krivu važi int. ve ostale oblasti su višestruko povezane oblasti. Granica prosto povezane oblasti se sastoji od samo jedne konture, a granica višestruko povezane oblasti od više kontura koje nemaju zajedničkih tačaka. Brojem graničnih kontura je odred ena višestrukost oblasti. Konkretno, granica dvostruko povezane oblasti ima dve konture, trostruko povezane oblasti tri konture, itd. Neka je n tostruko povezana oblast i neka je njena granica sastavljena od kontura i i (i = 1, 2,..., n 1), takvih da je i int za svako i = 1, 2,..., n 1. Tada je spoljna kontura oblasti, a i su unutrašnje konture oblasti. Na sledećoj slici su prikazane prosto, dvostruko i trostruko povezana oblast redom.

11 1. UVONI POJMOVI lika U skladu sa ranijim dogovorom, za prosto povezanu oblast sa like kažemo da je ograničena konturom, za dvostruko povezanu da je ograničena konturama i 1, itd. efinicija Prosto povezana oblast R 2 je elementarna oblast ako prava kroz proizvoljnu tačku iz, koja je paralelna ma kojoj od koordinatnih osa, seče granicu (konturu) te oblasti samo u dve tačke. X M lika Prva oblast na lici je elementarna jer prave kroz svaku tačku X, paralelne koordinatnim osama, seku konturu oblasti u po dve tačke. ruga oblast nije elementarna jer postoji tačka M kroz koju prava paralelna osi seče konturu u četiri tačke. Prelazimo na pojam površi. efinicija Prostorna površ je geometrijsko mesto tačaka (,, z) R 3 dobijenih preslikavanjem (1.1.2) = (u, v), = (u, v), z = z(u, v) ; (u, v) uv R 2, gde su (u, v), (u, v), z(u, v) neprekidne funkcije na uv, a uv ograničena, zatvorena i prosto povezana oblast. U efiniciji su za oblast uv uvedeni uslovi koji nisu neophodni, ali odred uju za nas interesantne površi. Na primer, uv može da bude višestruko povezana oblast. je

12 6 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Jednačine (1.1.2) su parametarske jednačine površi, a postupak kojim se do njih dolazi je parametrizacija površi. Oblast uv je oblast definisanosti površi. a je površ zadata svojim parametarskim jednačinama (1.1.2) često se zapisuje sa : = (u, v), = (u, v), z = z(u, v) ; (u, v) uv. efinicija Prostorna površ je prosta površ ako se jednačinama (1.1.2) ostvaruje bijekcija izmed u tačaka oblasti (u, v) uv i tačaka površi X ( (u, v), (u, v), z(u, v) ). Bijekciju (1.1.2) kraće označavamo sa uv. Prostu površ zovemo i otvorenom površi, a krivu, koja se dobija bijekcijom (1.1.2) iz granične krive oblasti uv, graničnom krivom ili granicom površi. Primećujemo da je granica površi zatvorena kriva. Ukoliko je kontura, kažemo da je granična kontura ili samo kontura površi. U oba slučaja je površ ograničena sa. Pojam zatvorene proste površi ili kraće zatvorene površi nije jednostavno definisati, ali ga je jednostavno intuitivno prihvatiti. Kako precizna matematička definicija nije neophodno potrebna za razumevanje ovog kursa, oslonićemo se na intuiciju i iskustvo čitalaca. Na primer, sfera (lopta) je zatvorena površ, dok je polusfera otvorena površ. Izmed u zatvorene krive i zatvorene površi postoji analogija u sledećem smislu. Kod zatvorene površi preslikavanje (1.1.2) nije bijekcija samo na granici oblasti uv jer se po dve ili više različitih tačaka sa granice oblasti preslikavaju u istu tačku površi. Time se zatvorena granična kriva oblasti uv preslikava u otvorenu krivu sa površi, a ne u zatvorenu graničnu krivu površi. vakodnevnim rečima kazano, granična kriva površi se sklapa i otvorena površ se zatvara. Navodimo još jednu sličnost izmed u prostorne krive i površi. Neka su i (i = 1, 2,..., n) otvorene površi, definisane na različitim oblastima uv u opštem slučaju i neka kao zajedničke tačke imaju samo tačke sa svojih granica. U izvesnim situacijama, za nas i jedino interesantnim, površi i formiraju novu otvorenu ili zatvorenu površ = 1 2 n. Najjednostavniji slučaj je = 1 2. Površ je otvorena ako se granične krive površi 1 i 2 poklapaju delimično. Površ je zatvorena ako se granične krive poklapaju u celini, tj. ako površi 1 i 2 imaju zajedničku graničnu krivu.

13 1. UVONI POJMOVI 7 efinicija Prosta ili zatvorena prosta površ je glatka površ ako su parcijalni izvodi prvog reda u = u, v = v ; u = u, v = v ; z u = z u, z v = z v neprekidne funkcije na uv i za minore A = u v u v, B = u v z u z v, C = u v z u z v matrice [ u u ] z u v v z v važi A 2 + B 2 + C 2 >. efinicija Prosta ili zatvorena prosta površ je deo po deo glatka površ ako je sastavljena od konačno mnogo glatkih delova i (i = 1, 2,..., n). Primetimo da je granična kriva proste i deo po deo glatke površi kontura. Ukoliko nije drugačije rečeno, nadalje radimo sa deo po deo glatkim krivama i površima. NAPOMENA Neka je R 2 zatvorena, ograničena i prosto povezana oblast u nekoj od koordinatnih ravni, npr. = u ravni. Ako ovu oblast posmatramo u prostoru, ona prestaje da bude oblast (sve tačke iz su rubne) i postaje specijalan slučaj prostorne površi R 3, date jednačinama : = (u, v), = (u, v), z = z(u, v) = ; (u, v) uv. Vraćamo se na prostorne oblasti. Zbog analogije sa ravnim oblastima, ukratko dajemo samo najvažnije činjenice. Granična površ oblasti R 3 je svaka zatvorena površ koja je deo ruba ili ceo rub te oblasti u R 3. Unija svih graničnih površi čini granicu oblasti. Granica prosto povezane oblasti se sastoji od jedne zatvorene površi, a n tostruko povezane oblasti od n zatvorenih površi, koje nemaju zajedničkih tačaka. Za prosto povezanu oblast i njenu granicu kažemo: ograničava, je ograničena sa, je unutrašnjost površi i slično. Za višestruko povezanu oblast takod e kažemo da je ograničena svojom granicom, ali uz navod enje svih zatvorenih površi od kojih se granica sastoji. Prostorna oblast je elementarna pod istim uslovima kao i ravna oblast.

14 8 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO NAPOMENA Mnogi od termina su ovde uvedeni radi lakšeg izražavanja i sporazumevanja, pa su internog karaktera. Ne treba ih poistovećivati sa opšte prihvaćenim terminima koji se odnose na skupove jer oni označavaju različite pojmove. Na primer, otvorena kriva iz efinicije i otvorena površ iz efinicije su zatvoreni skupovi u R 3 ([3], str. 93). Takod e, neka su A i B granične tačke krive. Ako krivu posmatramo kao skup = X R 3 X }, tada je svaka tačka X granična tačka (tačka nagomilavanja) skupa ([3], str. 94). Med utim, samo su dve tačke iz, X = A i X = B, granične tačke krive. Na kraju, podsećamo čitaoca na sledeće pojmove ([5], str. 18 2). Neka je (,, z) R 3 proizvoljna tačka i R 3 proizvoljan skup. Tačke (,, ), (,, z), (,, z) su ortogonalne projekcije tačke (,, z) na koordinatne ravni, z i z redom. Tačke (,, ), (,, ), (,, z) su ortogonalne projekcije tačke (,, z) na koordinatne ose, i z redom. kup { (,, ) (,, z) } je ortogonalna projekcija skupa na koordinatnu ravan. kup { (,, ) (,, z) } je ortogonalna projekcija skupa na koordinatnu osu. Analogno se definišu i ortogonalne projekcije skupa na ostale koordinatne ravni i ose. Preslikavanje koje tački (,, z) ili skupu dodeljuje neku ortogonalnu projekciju je ortogonalno projektovanje. Za ortogonalnu projekciju i ortogonalno projektovanje nadalje koristimo kraće termine projekcija i projektovanje. Projektovanje skupa u opštem slučaju nije bijekcija. Na primer, različite tačke (,, z 1 ), (,, z 2 ) imaju istu projekciju (,, ). U skladu s prethodnim i prema efiniciji 1.1.7, projekcija krive na ravan je data jednačinama : = (t), = (t), z = z(t) = ; t [α, β], a projekcija krive na osu jednačinama : = (t), = (t) =, z = z(t) = ; t [α, β]. Takod e, prema efiniciji , projekcija površi na ravan ima jednačine : = (u, v), = (u, v), z = z(u, v) = ; (u, v) uv.

15 1. UVONI POJMOVI 9 Radi matematičke korektnosti kasnijeg izlaganja, na ovom mestu usvajamo i sledeći dogovor. Neka je f = f(,, z) funkcija tri argumenta. Ako argumenti,, z nisu nezavisno promenljive, nego funkcije date jednačinama (1.1.1), f je složena funkcija f ( (t), (t), z(t) ) definisana na segmentu [α, β]. druge strane, za tačku X(,, z) važi X. Zato funkciju f možemo da posmatramo, ne kao složenu na [α, β], već kao funkciju tačke f = f(x) na krivoj. Ovo je razlog zbog kojeg ćemo da kažemo da je funkcija f = f(,, z) definisana na krivoj ili da je kriva oblast definisanosti funkcije f. Analogno, ako su,, z funkcije date sa (1.1.2), složena funkcija f ( (u, v), (u, v), z(u, v) ) je definisana na oblasti uv. Kako je X(,, z), to je f = f(x) funkcija tačke sa površi. Zato je funkcija f = f(,, z) definisana na površi ili je površ oblast definisanosti funkcije f Orijentacija krive, oblasti i površi Orijentacija i podela prostorne krive Ako postoji parametar t i parametarske jednačine (1.2.1) = (t), = (t), z = z(t) ; t [α, β], kojima je definisana prosta ili zatvorena prosta kriva, kriva je dvosmerna kriva. mer krive je isto što i specijalna relacija totalnog poretka, kojom se odred uje med usobni raspored tačaka na krivoj. Ova relacija totalnog poretka se uvodi prema jednom od sledeća dva kriterijuma. 1 Od dve tačke sa krive prva je ona tačka kojoj odgovara manja vrednost parametra t (α, β). 2 Od dve tačke sa krive prva je ona tačka kojoj odgovara veća vrednost parametra t (α, β). Neka su tačke M, N i neka je sa označena relacija totalnog poretka. Zapis M N čitamo na neki od načina: tačka M je ispred tačke N; M prethodi N; M je prva, a N druga tačka; N je iza M i slično. Ako su t 1 i t 2 (t 1 < t 2 ) vrednosti parametra t (α, β) koje odgovaraju tačkama M i N redom, prema kriterijumu 1 je M N, a prema kriterijumu 2 je N M. Ovi kriterijumi očigledno odred uju dva med usobno suprotna rasporeda tačaka na krivoj, tj. dva med usobno suprotna smera, pa otuda potiče ime dvosmerna kriva.

16 1 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO vosmerna kriva je orijentisana kriva ako je na njoj izabran jedan od dva moguća smera, koje drugačije zovemo i orijentacijama krive. Ukoliko orijentacija nije precizirana, krivu smatramo neorijentisanom. Pojmove raspored tačaka na krivoj, smer krive i orijentacija krive nadalje poistovećujemo. Kod otvorene krive, kriterijumi 1 i 2 se odnose i na vrednosti parametra t = α, t = β kojima odgovaraju granične tačke krive. Graničnu tačku otvorene krive koja prethodi svim ostalim tačkama zovemo početnom tačkom, a graničnu tačku koja je iza svih ostalih krajnjom tačkom krive. NAPOMENA Termini orijentisana kriva i dvosmerna (orijentisiva) kriva u literaturi često imaju isto značenje, tj. predstavljaju krivu na kojoj postoje dve prethodno opisane relacije totalnog poretka, bez obzira da li je neka od njih nametnuta krivoj ili ne. Termin neorijentisana kriva se sreće i u značenju neorijentisive krive. Orijentacija krive može da se zada posredno ili direktno. Posredno se zadaje pomoću kriterijuma 1 ili 2, kao ona orijentacija koja je u skladu sa rastućom promenom (rastom) parametra u slučaju kriterijuma 1 ili ona koja je u skladu sa opadajućom promenom (opadanjem) parametra u slučaju kriterijuma 2. a bi se lakše pratila promena parametra, kod zatvorene krive je korisno uzeti tri, a ne dve vrednosti parametra. Ovakav način zadavanja orijentacije zovemo posrednim jer zahteva prethodno poznavanje konkretnih jednačina (1.2.1) i parametra t koji figuriše u njima. Na osnovu iskustva, u praksi se kriva prepoznaje kao dvosmerna i bez utvrd ivanja egzistencije preslikavanja (1.2.1). Takod e, često postoji više različitih preslikavanja oblika (1.2.1) pomoću kojih može da se uvede orijentacija na krivoj. Zato se egzistencija jednog ili više preslikavanja oblika (1.2.1) podrazumeva, preslikavanje se ne navodi, a orijentacija se zadaje direktno: upisivanjem strelice na crtežu, korišćenjem graničnih tačaka kod otvorene krive ili na neki drugi opisan, ali dovoljno jasan način. Na primer, za otvorenu krivu sa graničnim tačkama A i B se kaže: da je A početna tačka krive; da je B krajnja tačka; da je orijentisana od A ka B. Često se koristi i oznaka = AB sa istim značenjem (lika 1.2.1). U slučaju = BA kriva je suprotno orijentisana, od tačke B ka tački A (lika 1.2.2). irektno zadatoj orijentaciji odgovara samo jedna promena, rastuća ili opadajuća, konkretno izabranog parametra. B B A lika lika A

17 1. UVONI POJMOVI 11 NAPOMENA Otvorena kriva sa graničnim tačkama A i B često se označava sa = AB ili = BA. Ove oznake ukazuju samo na granične tačke, a ne i na orijentaciju krive, pa se suštinski ne razlikuju. Ukoliko jednu od orijentacija proglasimo pozitivnom, druga je negativna i obrnuto. ajemo dve definicije kojima se upravo jedna od orijentacija bira za pozitivnu. ledeća definicija polazi od posredno zadate orijentacije, pa se njome pozitivna orijentacija takod e odred uje posredno, pomoću parametra. efinicija je univerzalna jer se odnosi na sve krive. efinicija Kriva je pozitivno orijentisana ako njena orijentacija odgovara rastućoj promeni parametra. Prema efiniciji 1.2.1, od dve orijentacije pozitivna je ona koja se dobija primenom kriterijuma 1 (parametar raste), a negativna ona koja se dobija primenom kriterijuma 2 (parametar opada). Pozitivno orijentisana kriva se označava sa + ili samo sa, a negativno orijentisana sa. Kod utvrd ivanja direktno zadate orijentacije kao pozitivne ili negativne prema efiniciji 1.2.1, treba biti oprezan. Ista orijentacija za jedan parametar može da bude pozitivna, a za neki drugi parametar negativna, o čemu svedoči sledeći primer. Neka je kriva deo kružnice = 1 u I kvadrantu ravni, sa graničnim tačkama A na osi, B na osi i neka je orijentisana od tačke A ka tački B. Ako za parametarske jednačine krive izaberemo : = t, = 1 t 2 ; t [, 1], zadatoj orijentaciji odgovara opadajuća promena parametra, pa je to negativna orijentacija (lika 1.2.3). Ako su parametarske jednačine : = 1 t 2, = t ; t [, 1], zadata orijentacija je pozitivna jer joj odgovara rastuća promena parametra (lika 1.2.4). B _ + B A A lika lika

18 12 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO pecijalan slučaj prostornih krivih su zatvorene krive u nekoj od koordinatnih ravni. efinicija kao univerzalna može da se primeni i na ove krive. Med utim, mnogo je češća definicija kojom se pozitivna (negativna) orijentacija uvodi direktno. efinicija Zatvorena kriva u koordinatnoj ravni je pozitivno orijentisana ako se njena orijentacija poklapa sa smerom suprotnim kretanju skazaljke na satu, posmatrano s pozitivnog dela z ose. Analogno važi i za zatvorene krive u z i z koordinatnoj ravni, posmatrano s pozitivnog dela i ose redom (lika 1.2.5). + 3 z lika Izdvojene koordinatne ravni sa like su prikazane na lici z lika z NAPOMENA efinicija podrazumeva koordinatni sistem desne orijentacije. Promenom orijentacije koordinatnog sistema menja se i orijentacija krive. Na primer, pozitivno orijentisana kriva u z ravni ( desni sistem) je negativno orijentisana u z ravni ( levi sistem) i obrnuto. O koordinatnim sistemima će više biti reči kasnije. Očigledno je da su efinicije i različite jer efinicija ne obuhvata krive u prostoru, niti otvorene krive. Med utim, one se razlikuju čak i u specijalnom slučaju zatvorenih krivih u koordinatnoj ravni. Razlog leži u činjenici da efinicija pozitivnu (negativnu) orijentaciju ne utvrd uje jednoznačno jer je uslovljava izborom i promenom parametra, dok efinicija odred uje pozitivnu (negativnu) orijentaciju nezavisno

19 ( qweqwe123ada 2/2,V2/2) ( qweqwe123ada 2/2,V2/2) ( qweqwe123ada 2/2,V2/2) 1. UVONI POJMOVI 13 od parametra. Kao ilustraciju navodimo primer jedinične kružnice u ravni, date sa = 1. Kako je sin 2 t + cos 2 t = 1 za svako t [, 2π], to za parametarske jednačine ravnopravno mogu da se uzmu : = cos ϕ, = sin ϕ ; ϕ [, 2π], : = sin θ, = cos θ ; θ [, 2π]. Izaberimo rastuće vrednosti parametra ϕ, npr. ϕ =, ϕ = π/4, ϕ = π/2. Na kružnici se redom dobijaju tačke (1, ), ( 2/2, 2/2), (, 1). Ovaj raspored tačaka odred uje pozitivnu orijentaciju kružnice prema efiniciji 1.2.1, koja se poklapa sa pozitivnom orijentacijom iz efinicije (lika 1.2.7). U slučaju parametra θ, za rastuće vrednosti θ =, θ = π/4, θ = π/2 se dobijaju iste tačke (, 1), ( 2/2, 2/2), (1, ), ali u redosledu koji odred uje pozitivnu orijentaciju prema efiniciji i negativnu orijentaciju prema efiniciji (lika 1.2.8). (,1) (,1) ( 2/2, 2/2) ( 2/2, 2/2) + (1,) _ (1,) lika lika Zaključujemo da su kriterijumi iz efinicija i ekvivalentni samo za neke parametre, kakav je parametar ϕ u prethodnom primeru. Ako nije drugačije rečeno, prednost dajemo efiniciji zbog njene jednoznačnosti i pozitivnu orijentaciju zatvorene krive u koordinatnoj ravni odred ujemo u skladu s njom. NAPOMENA U praktičnim primenama, neki parametri su pogodni za potrebna izračunavanja, a neki nisu. Zato se orijentacija, po pravilu, zadaje direktno, zatim se bira parametar pogodan za izračunavanje, a tek onda se utvrd uje promena parametra za zadatu orijentaciju. Ako parametar raste, zadata orijentacija je pozitivna, a ako opada, orijentacija je negativna (efinicija 1.2.1). Najčešće nije ni važno da li je zadata orijentacija pozitivna ili negativna, nego je važna samo promena parametra. Navodimo još nekoliko pojmova koji su od interesa za ovaj kurs, uz dogovor da nadalje imamo u vidu samo deo po deo glatke krive. Neka je otvorena ili zatvorena prostorna kriva, a, z, z njene projekcije na, z i z koordinatnu ravan redom. Uočimo, npr., projekciju

20 14 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO i pretpostavimo da je odgovarajuće projektovanje bijekcija, kao i da su i opisane pomoću istog parametra t [α, β] jednačinama oblika (1.2.1), tj. jednačinama : = (t), = (t), z = z(t) ; t [α, β], : = (t), = (t), z = z(t) = ; t [α, β]. Kaže se da kriva i projekcija imaju saglasne orijentacije ako su obe istovremeno pozitivno ili obe negativno orijentisane prema efiniciji Analogno važi i za projekcije z, z. Neka je zatvorena, orijentisana prostorna kriva i neka njena saglasno orijentisana projekcija (lika 1.2.9). Zbog razlike u efinicijama i dešava se da su i, npr., pozitivno orijentisane prema efiniciji 1.2.1, ali da je negativno orijentisana prema efiniciji Takva je projekcija = z na lici U skladu s ranijim dogovorom, na slici su projekcije orijentisane pozitivno ili negativno prema efiniciji Iako efinicija ne može da se primeni na krive u prostoru, često se namerno pravi previd i kaže se, npr., da je pozitivno orijentisana posmatrano sa pozitivnog dela z ose. Pri tome se misli da je saglasna orijentacija njene projekcije pozitivna prema efiniciji z z _ z + + lika U proizvoljnoj tački X(,, z) orijentisane krive postavimo tangentu t i sečicu c, koja nije normalna na tangentu t. U tački X mogu da se postave dva vektora tangente (tangentni vektori), čiji su smerovi uzajamno suprotni. Za krivu, zadatu jednačinama (1.2.1), vektori tangente su ([2], str. 137) t 1 = ( (t), (t), z (t) ), t 2 = ( (t), (t), z (t) ) = t 1.

21 1. UVONI POJMOVI 15 Kriva i tangenta t imaju saglasne orijentacije ako je na tangenti izabran vektor t 1 i kriva je istovremeno pozitivno orijentisana prema efiniciji 1.2.1, ili ako je na tangenti izabran vektor t 2 i kriva je negativno orijentisana. Kriva i sečica c imaju saglasne orijentacije ako je na sečici izabran vektor koji gradi oštar ugao θ sa vektorom saglasno orijentisane tangente. aglasne orijentacije krive, tangente i sečice su prikazane na lici t t X c X c lika NAPOMENA Uopšte uzev, orijentacija različitih krivih se ne upored uje. Izuzetak je slučaj kada su dve krive (ili više krivih) opisane pomoću istog parametra jednačinama oblika (1.2.1). Tada se kaže da krive imaju saglasne orijentacije ako su obe istovremeno pozitivno ili obe negativno orijentisane prema efiniciji Umesto termina saglasne često se koristi termin uzajamno odgovarajuće orijentacije. efinicija Neka je oznaka bilo koje orijentacije dvosmerne krive i neka su tačke T i (i =, 1,..., n) takve da je T 1 T n 1. Ako je T T 1, T n 1 T n i tačke T, T n se poklapaju sa graničnim tačkama kod otvorene krive, ili je T = T n kod zatvorene krive, tačkama T i je izvršena podela krive. Tačke T i (i =, 1,..., n) su tačke podele ili podeone tačke krive, pri čemu je T početna, a T n krajnja tačka podele. elovi T i 1 T i izmed u uzastopnih podeonih tačaka su podeoni delovi krive. Ako je kriva orijentisana, podeone tačke T i (i =, 1,..., n) moraju da prate izabranu orijentaciju krive, a podeoni delovi T i 1 T i da zadrže orijentaciju celine. Ovo znači da su delovi orijentisani od prethodne ka sledećoj tački podele, tj. T i 1 T i. Takod e, kod otvorene krive, početna tačka podele T mora da se poklapa sa početnom tačkom krive, a krajnja tačka podele T n sa krajnjom tačkom krive. Podele prostorne krive sa graničnim tačkama A i B, za suprotne orijentacije = AB i = BA, prikazane su na lici

22 16 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Ti- 1 T i T =B n T i Ti- 1 T =B A=T A=T n lika Pretpostavimo da je orijentisana kriva data jednačinama (1.2.1) i da graničnim tačkama A i B odgovaraju vrednosti parametra t = α i t = β redom. Ako je T i ( (ti ), (t i ), z(t i ) ) (i =, 1,..., n), podeli orijentisane krive tačkama T i odgovara podela segmenta [α, β] tačkama t i (i =, 1,..., n). Zavisno od orijentacije krive, tačke t i čine rastuću ili opadajuću podelu segmenta [α, β]. Tako je α = t < t 1 < < t n = β ; A = T, B = T n za = AB i β = t > t 1 > > t n = α ; A = T n, B = T za = BA. Pri tome je AB = + zbog rastuće i BA = zbog opadajuće promene parametra t. Važi i obrnuto. vakoj podeli segmenta [α, β] tačkama t i (i =, 1,..., n) odgovara podela krive tačkama T T 1 T n i orijentacija krive = T T n, bilo da je T T n = AB ili T T n = BA. Veza izmed u podele segmenta [α, β] i podele krive ilustrovana je na lici za specijalan slučaj krive iz ravni i izbor parametra t =. Podeone tačke t i su označene sa i (i =, 1,..., n), u skladu sa izborom parametra. A=T = T T =B n A=T... n= = n... 1 = lika n _ T T =B 1

23 1. UVONI POJMOVI 17 Prethodno izvedeni zaključak važi i za zatvorene krive. Prema Napomeni 1.1.1, segment na nekoj od koordinatnih osa može da se tretira kao prostorna kriva. Jasno je da su tada podela segmenta i podela krive isti pojmovi. Na lici je prikazana podela segmenta = [a, b] sa ose. Uočavamo da se orijentacija označena sa + poklapa sa pozitivnim smerom, a orijentacija sa negativnim smerom ose. + _ T1 Tn Tn T1 T T [ ] a=... n=b [ ] a=... =b 1 n 1 lika NAPOMENA Ako je kriva data jednačinama (1.2.1), na osnovu prethodnog zaključujemo da iz bijekcije [α, β] sledi i bijekcija izmed u odgovarajućih podela segmenta [α, β] i krive. Ovu činjenicu ćemo da iskoristimo kasnije. Podelu na krivoj ćemo da uvodimo direktno, podrazumevajući i ne naglašavajući da je ona nastala iz prethodno uvedene podele segmenta Orijentacija i podela ravne oblasti Neka je zatvorena, prosto povezana oblast u nekoj od koordinatnih ravni i njena kontura. Oblast je orijentisana oblast ako je kontura orijentisana. efinicija Oblast je pozitivno orijentisana ako je kontura pozitivno orijentisana. Pozitivnu orijentaciju konture utvrd ujemo prema efiniciji Ako je kontura negativno orijentisana i oblast je negativno orijentisana. Pozitivno orijentisana oblast se označava sa + ili samo sa, a negativno orijentisana sa. Na likama i su redom prikazane pozitivno i negativno orijentisana oblast u ravni. + + lika lika

24 18 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Ako je kontura pozitivno orijentisana, oblast ostaje s njene leve strane pri obilaženju u zadatom pozitivnom smeru. Obrnuto, ako ostaje sleva pri obilaženju po konturi, smer obilaženja konture (orijentacija) mora da bude pozitivan. Kako pozitivna orijentacija konture odred uje pozitivnu orijentaciju oblasti, često se kaže da je pozitivno orijentisana ako ostaje s leve strane pri obilaženju konture (lika ). Negativno orijentisane oblasti ostaju s desne strane pri obilaženju konture (lika ). Za višestruko povezane oblasti efinicija se modifikuje. Neka je zatvorena, n tostruko povezana ravna oblast, sa spoljnom konturom i unutrašnjim konturama i (i = 1, 2,..., n 1). efinicija Oblast je pozitivno orijentisana ako je spoljna kontura pozitivno orijentisana, a unutrašnje konture i (i = 1, 2,..., n 1) negativno orijentisane. lika prikazuje pozitivno orijentisanu trostruko povezanu oblast lika Primećujemo da u ovom slučaju pozitivno orijentisana oblast ostaje s leve strane pri obilaženju ma koje konture, i (i = 1, 2,..., n 1). Prema efiniciji 1.2.4, prosto povezana ravna oblast i njena kontura su isto orijentisane, obe istovremeno pozitivno ili obe negativno. Analogno, prema efiniciji 1.2.5, n tostruko povezana oblast i spoljna kontura su isto oorijentisane, dok su i unutrašnje konture i (i = 1, 2,..., n 1) suprotno orijentisane. U oba slučaja su oblast i njene konture (jedna ili više) saglasno orijentisane. efinicija Neka su i i (i = 1, 2,..., n) zatvorene ravne oblasti. Kažemo da je izvršena podela oblasti ako oblasti i zadovoljavaju uslove: 1 svaka tačka oblasti pripada bar jednoj oblasti i, 2 oblasti i i j (i j) mogu da imaju samo svoje rubne tačke kao zajedničke.

25 1. UVONI POJMOVI 19 Oblasti i (i = 1, 2,..., n) su podeoni delovi oblasti ili ćelije podele. Ćelije koje nemaju zajedničkih tačaka sa konturom oblasti su unutrašnje, a sve ostale su rubne ćelije. Uobičajeno je da se podela oblasti na ćelije i vrši koordinatnim linijama (prave paralelne koordinatnim osama). U ovom slučaju su unutrašnje ćelije pravougaone oblasti, a za sve ćelije se kaže da su pravolinijske (lika ). i lika Ako je oblast orijentisana, ćelije i (i = 1, 2,..., n) moraju da zadrže orijentaciju celine. To znači da su sve ćelije pozitivno orijentisane ako je pozitivno orijentisana i sve negativno orijentisane ako je negativno orijentisana. Pri tome zajednički delovi rubova susednih ćelija imaju po dve, med usobno suprotne orijentacije (lika ). + lika Od interesa za dalja izučavanja su pre svega pozitivno orijentisane ravne oblasti i podele uvedene na njima. Orijentaciju prostornih oblasti ne definišemo. efinicija podele prostornih oblasti je u potpunosti analogna definiciji kod ravnih oblasti, uz napomenu da su ćelije podele i prostorne oblasti. Podela se vrši koordinatnim površima (ravni paralelne koordinatnim ravnima), pa je unutrašnja ćelija oblast kvadra (lika ). z i lika

26 2 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Orijentacija i podela prostorne površi Ako postoje parametri u, v i parametarske jednačine (1.2.2) = (u, v), = (u, v), z = z(u, v) ; (u, v) uv, kojima je definisana prosta ili zatvorena prosta površ, površ je dvostrana površ. U suprotnom je jednostrana površ. Primer jednostrane površi je Möbiusova traka ([2], str. 234). vaka od strana površi se poistovećuje sa jednom od dve med usobno suprotne orijentacije. vostrana površ je orijentisana površ ako je na njoj izabrana strana, tj. ako je na njoj zadata orijentacija. Ukoliko orijentacija nije precizirana, površ smatramo neorijentisanom. Napominjemo da se termini orijentisana i neorijentisana površ u literaturi često sreću u različitom značenju od prethodnog. Odnose se na dvostranu (orijentisivu) i jednostranu (neorijentisivu) površ. Orijentacija (strana) površi se uglavnom zadaje direktno: šrafurom na crtežu, postavljanjem odgovarajućeg normalnog vektora ili jasnim opisom. Na primer, kod otvorene površi se kaže da je strana površi vidljiva sa pozitivnog dela neke od koordinatnih osa. Ukoliko jednu od orijentacija (strana) površi proglasimo pozitivnom, druga je negativna i obrnuto. Umesto pozitivna (negativna) strana površi, češće se kaže pozitivno (negativno) orijentisana strana površi. akle, pojmovi pozitivna (negativna) orijentacija, pozitivna (negativna) strana i pozitivno (negativno) orijentisana strana površi znače isto. Pri utvrd ivanju orijentacije površi kao pozitivne ili negativne interesuju nas samo specijalni slučajevi jednačina (1.2.2), kada zatvorena oblast uv pripada nekoj od koordinatnih, z, z ravni. Takod e, imamo u vidu samo deo po deo glatke površi. Neka uv = pripada koordinatnoj ravni i neka je otvorena površ data sa (1.2.3) z = z(, ) ; (, ). Ovo je kraći zapis za specijalan slučaj jednačina (1.2.2), = (u, v) = u, = (u, v) = v, z = z(u, v) ; (u, v) uv, kada su za parametre izabrani u =, v =. Odmah primećujemo da je istovremeno oblast definisanosti i ortogonalna projekcija površi na ravan, pri čemu je.

27 1. UVONI POJMOVI 21 U svakoj tački površi mogu da se postave dva vektora normalna na površ (vektori normale), tj. na tangentnu ravan površi ([2], str. 4). Ovi vektori imaju suprotne smerove i odgovaraju različitim stranama površi. Na lici su normalni vektori označeni sa n 1 i n 2, pri čemu je n 1 postavljen na osenčenu stranu, a n 2 na njoj suprotnu stranu površi. z n 1 n 1 n 2 n 2 + _ lika Neka je pozitivno orijentisana oblast. efinicija trana površi je pozitivno orijentisana ako njoj odgovarajući normalan vektor zaklapa oštar ugao sa pozitivnim delom z ose. U praksi se mnogo češće sreće sledeća opisna definicija. efinicija trana površi je pozitivno orijentisana ako se vidi iz beskonačno daleke tačke sa pozitivnog dela z ose. Pozitivno orijentisana strana se označava sa + ili samo, a negativno orijentisana sa. efinicijama i su ustanovljeni ekvivalentni kriterijumi za pozitivnu orijentaciju površi. Na lici pozitivno orijentisana strana + je osenčena. Ovoj strani odgovara vektor n 1 koji zaklapa oštar ugao sa pozitivnim delom z ose. Ista strana se vidi iz beskonačno daleke tačke sa pozitivnog dela z ose. Radi jednostavnijeg izražavanja, u nastavku podrazumevamo poziciju posmatrača u beskonačno dalekoj tački koordinatne ose i naglašavamo samo odgovarajući pozitivan ili negativan deo ose. efinicije i su specijalan slučaj sledećeg opšteg pravila. Isto orijentisana (pozitivno, negativno) kao oblast je ona strana površi koja se vidi sa pozitivnog dela z ose ili čiji normalan vektor zaklapa oštar ugao sa pozitivnim delom z ose (like i ). lučaj oblasti + sa like je izdvojen u definicijama jer nas on jedino interesuje. Navedeno opšte pravilo, u stvari, znači da površ i projekcija imaju saglasne orijentacije.

28 22 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Na ovom mestu primetimo i sledeće. Neka je kontura oblasti, a kontura površi. Kako je preslikavanje (1.2.3) bijekcija, to je bijektivna projekcija za na ravan. Konture i su takod e saglasno orijentisane (like 1.2.9, i ). z z + _ + _ + + lika lika NAPOMENA Posmatran iz beskonačno daleke tačke z ose, svaki objekat se vidi kao njegova ortogonalna projekcija na koordinatnu ravan. Imajući u vidu bijekciju i pretpostavku da je pozitivno orijentisana oblast, što znači da je pozitivno orijentisana kontura (lika ), sa pozitivnog dela z ose vidimo samo jednu stranu površi, uključujući i sa saglasno orijentisanu konturu. Ovu stranu vidimo kao pozitivno orijentisanu projekciju, + pa je prirodno da upravo to bude pozitivno orijentisana strana +. uprotna strana površi je negativno orijentisana strana. tranu vidimo iz beskonačno daleke tačke sa negativnog dela z ose i to kao projekciju jer se sa ovog dela z ose oblast + vidi kao. Neka oblast definisanosti uv površi pripada nekoj drugoj koordinatnoj ravni, ne ravni. Ako oblast uv i površ zadovoljavaju iste uslove kao u prethodnom slučaju uv =, pozitivna orijentacija površ se definiše analogno. Pretpostavimo da je uv = z iz z ravni i da je (1.2.4) : = (, z) ; (, z) z. Tada su sva zaključivanja ista, samo se vrše u odnosu na pozitivan deo ose. Na primer, strana + je ona čiji normalan vektor zaklapa oštar ugao sa pozitivnim delom ose. U slučaju (1.2.5) : = (z, ) ; (z, ) z, zaključivanja se vrše u odnosu na pozitivan deo ose. NAPOMENA Prema Napomeni 1.1.2, svaka ograničena, zatvorena i prosto povezana oblast u nekoj od koordinatnih ravni, npr. u ravni, može da se tretira kao prostorna površ. ada znamo da je to dvostrana površ. Prema efiniciji 1.2.8, strana +

29 1. UVONI POJMOVI 23 je ona koja se vidi sa pozitivnog dela, a strana ona koja se vidi sa negativnog dela z ose. Na osnovu dosadašnjeg razmatranja vidimo da pozitivna orijentacija površi zavisi od izbora preslikavanja (1.2.2), konkretno (1.2.3) (1.2.5), tj. od izbora parametara u, v. akle, efinicijama i pozitivna orijentacija je uvedena posredno, slično efiniciji kod prostorne krive, pa iznosimo analogno zapažanje. Ista, direktno zadata strana površi može da bude različito orijentisana za različite bijekcije, z, z. Na lici je zadata strana, na koju je postavljen normalan vektor, negativno orijentisana u odnosu na i pozitivno orijentisana u odnosu na z. Zato se površ orijentiše pozitivno ili negativno isključivo u odnosu na jedno, unapred izabrano preslikavanje oblika (1.2.2). z z lika Neka je dvostrana površ direktno orijentisana i neka je projektovanje bijekcija, a projektovanje z to nije. Tada površ može jedinstveno da se opiše pomoću parametara u =, v =, tj. preslikavanjem oblika (1.2.3) i da se izabrana strana jedinstveno pozitivno ili negativno orijentiše. To nije moguće u slučaju parametara u =, v = z. Ako praktični problem zahteva baš upotrebu parametara i z, površ se rastavlja na delove i ( = 1 2 n ), takve da preslikavanja oblika (1.2.4), i : = i (, z) ; (, z) z, ostvaruju bijekcije z i (i = 1, 2,..., n). Za delove i kažemo da su bijektivni delovi površi. elovi i zadržavaju orijentaciju celine, pa na njima treba posmatrati one strane koje se poklapaju sa izabranom stranom površi. Tek onda se posmatrana strana svakog dela i odred uje

30 24 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO kao pozitivno ili negativno orijentisana u odnosu na odgovarajuću bijekciju z i. Kod dvostranih zatvorenih površi, intuitivno i nevezano za prethodno uvedenu pozitivnu (negativnu) orijentaciju, jedna od strana se zove unutrašnja, a druga je spoljna strana zatvorene površi. Unutrašnju stranu možemo da opišemo kao onu koju posmatrač vidi ako se nalazi unutar prostorne oblasti ograničene zatvorenom površi, a spoljnu stranu kao onu koju posmatrač vidi ako je van te oblasti. Kao što znamo, ove dve strane su dve med usobno suprotne orijentacije površi. Ako nije drugačije zahtevano, površ se orijentiše izborom spoljne strane i ta strana se smatra pozitivno orijentisanom. Ovakvo uvod enje pozitivne orijentacije je direktno jer je nezavisno od izbora parametara u, v i analogno je efiniciji kod zatvorenih krivih u koordinatnoj ravni. Primetimo da za zatvorenu površ ni jedno od projektovanja, z, z nije bijekcija, ne samo na granicama oblasti, z, z, već i u njihovim unutrašnjim tačkama. Zato, u slučaju potrebe, zatvorenu površ treba rastavljati na bijektivne delove. Neka je orijentisana kontura površi, X proizvoljna tačka i K(X, r) R 3 dovoljno mala okolina tačke X (efinicija 1.1.1). U tački X postavljamo tangentnu ravan t površi i saglasno orijentisanu tangentu t t krive. Okolina K(X, r) se ortogonalno projektuje na ravan t u oblast t, a kriva u krivu t. Pri tome se tačke iz K(X, r) projektuju samo s jedne strane krive u skup 1. Uočimo vektor v t sa početkom u tački X i pravcem normalnim na t. mer vektora v je takav da v i skup 1 imaju X za jedinu zajedničku tačku (lika ). 1 X v v X 1 t t t t lika Ako je t vektor tangente t, od dva vektora normalna na biramo onaj vektor n za koji t, n, v čine ortogonalni sistem desne orijentacije ([3], str ). Kontura i strana površi imaju saglasne orijentacije ako je to ona strana na koju je postavljen vektor n. aglasno orijentisana strana je osenčena na lici

31 1. UVONI POJMOVI 25 z t X v n z n v X t lika Zamišljajući sebe kao vektor v, u svakodnevnom govoru često koristimo sledeći intuitivno jasan opis. Pri obilaženju konture u zadatom smeru, saglasno orijentisana strana površi je ona koja nam ostaje sleva. Uočimo da saglasno orijentisana strana površi ne znači pozitivno (negativno) orijentisana strana površi. Na primer, površ sa like se ne projektuje bijektivno ni na jednu od koordinatnih ravni, pa saglasno orijentisana strana ne može u celini da se orijentiše ni pozitivno ni negativno. efinicija Neka su i Σ i (i = 1, 2,..., n) otvorene prostorne površi. Kažemo da je izvršena podela površi ako površi Σ i zadovoljavaju uslove: 1 svaka tačka površi pripada bar jednoj površi Σ i, 2 površi Σ i i Σ j (i j) mogu da imaju samo tačke sa svojih kontura kao zajedničke. Površi Σ i (i = 1, 2,..., n) su podeoni delovi površi ili ćelije podele. Za ove ćelije se kaže da su krivolinijske (lika ). efinicija važi i ako je zatvorena površ. Ako je površ orijentisana, ćelije Σ i (i = 1, 2,..., n) moraju da zadrže orijentaciju celine. To znači da je na svakoj od ćelija Σ i izabrana ona strana koja se poklapa sa izabranom stranom površi. Pri tome su, jasno, sve ćelije pozitivno orijentisane ako je pozitivno orijentisana i sve negativno orijentisane ako je negativno orijentisana. z i lika

32 26 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Podela površi na ćelije Σ i se vrši posredno, podelom oblasti definisanosti uv na ćelije i i pridruživanjem i Σ i (i = 1, 2,..., n) pomoću bijekcije (1.2.2). Ako oblast uv pripada nekoj od koordinatnih, z, z ravni, uobičajeno je da podela površi nastaje iz podele oblasti uv pomoću odgovarajućih koordinatnih površi. Na primer, neka je uv = u ravni podeljena koordinatnim linijama na ćelije i i neka je (1.2.3) bijekcija. Kroz linije paralelne osi se postavljaju ravni paralelne z ravni, a kroz linije paralelne osi ravni paralelne z ravni. Ove ravni (koordinatne površi) seku površ i na njoj formiraju podelu na ćelije Σ i. Zbog bijekcije (1.2.3), ovakva podela površi je jedinstvena. Važi i obrnuto, svakoj podeli površi koordinatnim površima odgovara samo jedna podela oblasti koordinatnim linijama. U nastavku govorimo o podeli površi bez naglašavanja da je ona nastala iz prethodno uvedene podele oblasti uv. NAPOMENA Pretpostavimo da je preslikavanje (1.2.3) bijekcija i da su konture ćelija Σ i orijentisane saglasno konturama ćelija i (i = 1, 2,..., n). Tada zajednički lukovi susednih ćelija Σ i imaju po dve med usobno suprotne orijentacije, kao i kod ćelija i. Ovo zapažanje se u literaturi često koristi za definisanje dvostrane površi ([2], str ) Riemannovi integrali Vrste i način formiranja Riemannovih integrala Naziv integral odnosi se na različite pojmove: neodred eni integral, Riemannovi integrali, ebesgueovi integrali, itd. Nas interesuju samo Riemannovi integrali. Neodred eni integrali su izučavani na ranijim kursevima matematike ([4], str ), dok ebesgueove i ostale integrale ne razmatramo. Neka je f(), [a, b], poznata funkcija, c R proizvoljna konstanta i F () funkcija takva da je F () = f(), tj. df () = f() d za svako [a, b]. Tada je i ( F () + c ) = f(). Neodred eni integral funkciji f() dodeljuje skup funkcija {F () + c c R} i označava se sa f() d = F () + c. Funkcija f() je podintegralna funkcija, izraz f() d je podintegralni izraz, a F () + c je primitivna funkcija funkcije f() za svako c. Neodred eni integral je očigledno operator suprotan (inverzan) operatoru diferenciranja ([4], str. 28).

33 1. UVONI POJMOVI 27 Za razliku od neodred enog, Riemannovi integrali podintegralnoj funkciji dodeljuju samo jednu, konkretnu brojnu ili funkcionalnu vrednost. em podintegralne funkcije, Riemannovi integrali zahtevaju i tzv. oblast integracije. Oblast integracije je deo ili cela oblast definisanosti podintegralne funkcije, sa adekvatnim osobinama, za koju se vezuje izračunavanje Riemannovih integrala. lučaj kada oblast integracije sadrži tačke u kojima podintegralna funkcija nije definisana ne uzimamo u razmatranje. Ako je oblast integracije segment na nekoj od koordinatnih osa, izmed u neodred enog i Riemannovog integrala, iako suštinski različitih pojmova, može da se uspostavi veza. Veza se ostvaruje Newton eibnitzovom formulom ([4], str ). Zavisno od podintegralne funkcije i oblasti integracije, Riemannovi integrali obuhvataju više med usobno različitih tipova. Najjednostavniji Riemannovi integrali su odred eni integrali, koji su takod e izučavani ranije ([4], str ). Oblast integracije odred enih integrala je segment na nekoj od koordinatnih osa i podintegralna funkcija zavisi od jednog realnog argumenta. U Riemannove integrale spadaju još: krivolinijski, višestruki i površinski integrali, koji za oblast integracije imaju prostornu krivu, višedimenzionalnu oblast i prostornu površ redom. U opštem slučaju, kod krivolinijskih i površinskih integrala podintegralna funkcija zavisi od tri realna argumenta, dok kod višestrukih integrala broj argumenata podintegralne funkcije odgovara dimenziji oblasti integracije. Na primer, ako je oblast integracije dvodimenzionalna (zatvorena oblast u nekoj od koordinatnih ravni), podintegralna funkcija zavisi od dva argumenta, a ako je trodimenzionalna (zatvorena oblast u prostoru), podintegralna funkcija zavisi od tri argumenta. U prvom slučaju višestruki integrali se zovu dvojni, a u drugom slučaju trojni integrali. NAPOMENA Jasno je da oblast integracije odred uje broj argumenata podintegralne funkcije jer funkcija pre svega mora da bude definisana na oblasti integracije. U izvesnom smislu važi i obrnuto. Na primer, ako podintegralna funkcija zavisi od jednog argumenta, njena oblast definisanosti je jednodimenzionalna, pa za oblast integracije može da se uzme jedino segment na koordinatnoj osi. Takod e, ako podintegralna funkcija zavisi od tri argumenta, oblast integracije može da bude kriva, oblast ili površ u prostoru, ali ne može da bude segment na koordinatnoj osi ili oblast u koordinatnoj ravni bez prethodnog svod enja podintegralne funkcije na funkciju manjeg broja argumenata. Inače, oblast definisanosti, oblast integracije i slično su uobičajeni termini koji ne znače uvek i oblast u topološkom smislu. Korektnije bi bilo reći područje definisanosti, područje integracije, itd. NAPOMENA U dosadašnjem tekstu smo pod argumentom funkcije podrazumevali nezavisno promenljivu. Inače, argument funkcije može da bude i zavisno promenljiva, tj. opet neka funkcija. U nastavku, kad god postoji mogućnost zabune, naglašavaćemo da li je argument nezavisno ili zavisno promenljiva.

34 28 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Grubo govoreći, način na koji se formiraju isti je za sve Riemannove integrale. Oblast integracije OI se podeli na n delova. U svakom od podeonih delova P i (i = 1, 2,..., n) se izabere tačka X i i u njoj izračuna vrednost podintegralne funkcije P F. Tačka X i P i može da bude bilo koja. Vrednost P F (X i ) se pomnoži izabranom karakteristikom podeonih delova k(p i ) i izvrši se sumiranje po svim indeksima i = 1, 2,..., n. Tako dobijen zbir, (1.3.1) k (n) = n P F (X i ) k(p i ), i=1 zove se integralna ili Riemannova suma funkcije P F (X), gde je X OI proizvoljna tačka. Riemannov integral se definiše kao granična vrednost sume (1.3.1) kada broj podeoka n i ma 1 i n k(p i) i označava se sa (1.3.2) OI P F (X) dk = lim n k(n), pri čemu granična vrednost ne sme da zavisi od načina deobe OI i izbora tačaka X i. Ako Riemannov integral (1.3.2) postoji, za podintegralnu funkciju se kaže da je integrabilna na oblasti integracije. Uslovi pod kojima je neka funkcija integrabilna formulisani su u teoremama o integrabilnosti ([4], str ; [1], str ). Ove uslove nećemo da razmatramo. Pretpostavljaćemo najstroži od njih, da je funkcija neprekidna na oblasti integracije, imajući u vidu da Riemannov integral može da postoji i pod manje strogim uslovima. O neprekidnosti funkcija jedne ili više nezavisno promenljivih videti [3], str. 39; [2], str U zavisnosti od izabrane karakteristike podeonih delova, razlikuju se podvrste nekih tipova Riemannovih integrala, npr. krivolinijski integrali po luku i krivolinijski integrali po koordinatama ili površinski integrali po površi i površinski integrali po koordinatama. Kod krivolinijskih (površinskih) integrala po luku (površi) karakteristika podeoka je njegova dužina (površina). Kod krivolinijskih (površinskih) integrala po koordinatama karakteristika je dužina (površina) projekcije podeoka na neku od koordinatnih osa (ravni), uzeta sa znakom + ili, zavisno od orijentacije krive (površi). Postoje i vektorski krivolinijski i vektorski površinski integrali, kada je karakteristika podeonih delova pogodno izabrani vektor. Oblast integracije Riemannovih integrala je orijentisana. Uticaj orijentacije oblasti integracije na vrednost integrala zavisi od izabrane karakteristike podeonih delova. Tako je orijentacija značajna za neke tipove Riemannovih integrala, npr. za krivolinijske i površinske integrale po koordinatama, jer

35 1. UVONI POJMOVI 29 promena orijentacije dovodi do promene vrednosti integrala. Za druge tipove Riemannovih integrala, kakvi su krivolinijski po luku i površinski po površi, orijentacija oblasti integracije nije važna jer integrali imaju istu vrednost za bilo koju orijentaciju. NAPOMENA Višestruki integrali su generalizacija odred enih integrala kada se sa jednodimenzionalne pred e na višedimenzionalnu oblast integracije. druge strane, odred eni integrali su specijalan slučaj krivolinijskih ako je oblast integracije (kriva) deo neke od koordinatnih osa, a dvojni integrali su specijalan slučaj površinskih ako je oblast integracije (površ) deo neke od koordinatnih ravni. Zato su krivolinijski i površinski integrali takod e jedna vrsta generalizacije odred enih integrala, ali suštinski drugačija od višestrukih. Zbog činjenice da se podela krivih i površi vrši posredno, podelom njihovih oblasti definisanosti, krivolinijski i površinski integrali se često i ne smatraju Riemannovim, već se izdvajaju u posebnu grupu integrala, poznatu pod imenom integrali na mnogostrukostima ([1], str ) Odred eni integral vi Riemannovi integrali se rešavaju tako što se odgovarajućim transformacijama dovode na jedan ili više odred enih integrala. Zato ukratko podsećamo čitaoca na tu vrstu integrala. Pri tome, umesto standardnog pristupa definisanju odred enog integrala pomoću arbouovih suma ([4], str ), prosled ujemo prethodno izneto pravilo koje se odnosi na sve Riemannove integrale. Oblast integracije odred enog integrala je orijentisani segment na nekoj od koordinatnih osa, npr. OI = [a, b] (a < b) na osi. Tačkama i (i =, 1,..., n) vršimo deobu segmenta na n podsegmenata P i = [ i 1, i ] ili P i = [ i, i 1 ] (i = 1, 2,..., n), u zavisnosti od orijentacije segmenta (lika ). U svakom od njih biramo tačku X i = ξ i. Za ξ i P i može da se uzme bilo koja tačka. Karakteristika podeonih delova je razlika izmed u uzastopnih podeonih tačaka k(p i ) = i i 1, s tim što se uvek od sledeće oduzima prethodna tačka. Neka je podintegralna funkcija P F (X) = f() neprekidna na [a, b], gde je tačka X = [a, b] proizvoljna. Vrednost P F (X i ) = f(ξ i ) množimo izabranom karakteristikom i sabiranjem dobijamo integralnu sumu (n) = n f(ξ i ) ( i i 1 ), i=1

36 3 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO a zatim i odred eni integral [a,b] f() d = lim n (n), pri čemu ma 1 i n k(p i) = ma 1 i n i i 1 kad broj podeoka n. Ako je segment [a, b] orijentisan od a ka b, tačke i čine rastuću podelu a = < 1 < < i 1 < i < < n = b, pa važi k(p i ) = i i 1 > za svako i = 1, 2,..., n. U ovom slučaju odred eni integral se označava sa b f() d. Ako je segment orijentisan od a b ka a, tačke i čine opadajuću podelu a = n < n 1 < < i < i 1 < < = b i važi k(p i ) = i i 1 < za svako i = 1, 2,..., n, a odred eni integral ima oznaku a b f() d. Vidimo da je k(p i) = ± i i 1 dužina podeoka P i, uzeta sa znakom + ili zavisno od orijentacije segmenta. akle, promena orijentacije dovodi do promene znaka karakteristike k(p i ), što za posledicu ima promenu znaka integralne sume (n) i dobro poznatu osobinu odred enih integrala (1.3.3) a b a f() d = a b f() d. U specijalnom slučaju, za f() 1 i orijentaciju od a ka b, vrednost odred enog integrala jednaka je dužini segmenta [a, b] jer je b n (1.3.4) d = lim ( i i 1 ) = lim (b a) = b a. n n i=1 Geometrijska interpretacija odred enog integrala je sledeća. Neka je f() pozitivna funkcija za svako [a, b] i neka je [a, b] orijentisan od a ka b. Tada je f(ξ i ) ( i i 1 ) površina oblasti i, ograničene pravougaonikom čije su stranice dužine f(ξ i ) > i i i 1 > (lika 1.3.1), pa je (n) površina stepenaste oblasti = n i=1 i. Kada n i ma i i 1, 1 i n površina oblasti se približava površini m(kt ) oblasti KT, ograničene krivolinijskim trapezom sastavljenim od delova ose, pravih = a, = b i krive = f(). Prema tome, važi m(kt ) = b a f() d.

37 1. UVONI POJMOVI 31 =f() 1 2 i n a= 1 2 i 1 i i n- 1 - =b n lika Ako je f() negativna funkcija za svako [a, b], tada je f(ξ i ) < za svako i = 1, 2,..., n, pa je b f() d < i za površinu treba uzeti a m(kt ) = b a f() d. akle, kada funkcija f() ne menja znak na segmentu [a, b], površina oblasti krivolinijskog trapeza je b m(kt ) = f() d. Ako f() menja znak na [a, b], npr. samo u tački c (a, b), segment [a, b] treba deliti na podsegmente [a, b] = [a, c] [c, b] na kojima f() ima stalan znak, na svakom od podsegmenata računati odred eni integral i sabrati module dobijenih vrednosti. Na taj način se odred uje površina m(f G) oblasti F G, ograničene figurom koja se sastoji od dva krivolinijska trapeza nad podsegmentima [a, c] i [c, b], m(f G) = c a a f() d + b c f() d. Neka je segment [a, b] simetričan, tj. neka je a = b (b > ) i [a, b] = [ b, b]. Ako je f() parna funkcija, kriva = f() je simetrična u odnosu na osu (lika 1.3.2), pa je prema prethodnom zaključivanju b f() d = b f() d. Ako je f() neparna funkcija, kriva = f() je simetrična u odnosu na koordinatni početak (lika 1.3.3), pa je b f() d = b f() d.

38 32 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Zato za parnu i neparnu funkciju f() redom važi (1.3.5) b f() d = 2 b b f() d, b b f() d =. =f() =f() -b b -b b lika lika Odred eni integrali izračunavaju se pomoću Newton eibnitzove formule b a f() d = F () b F (b) F (a), a= gde je F () primitivna funkcija funkcije f(). Kako se svi Riemannovi integrali rešavaju dovod enjem na odred eni, Newton eibnitzovom formulom je uspostavljena veza izmed u neodred enog i Riemannovih integrala generalno. Zavisno od tipa, za rešavanje neodred enih integrala postoji više metoda, koji su obrad eni u ranijim kursevima matematike ([4], str ) Opšte osobine Riemannovih integrala Navodimo neke od zajedničkih osobina Riemannovih integrala, poštujući ranije uvedene oznake i dogovor da je podintegralna funkcija neprekidna na oblasti integracije. Uopšteniji oblik ovih osobina, njihovi dokazi, kao i ostale osobine koje ne navodimo dati su, npr., u [1], str Osobine koje su karakteristične samo za konkretne tipove Riemannovih integrala obradićemo u okviru izlaganja o tim integralima. 1 Ako su c i (i = 1, 2,..., n) proizvoljne konačne realne konstante, tada je (1.3.6) OI ( n i=1 ) c i P F i (X) dk = n c i i=1 OI P F i (X) dk.

39 1. UVONI POJMOVI 33 Osobina (1.3.6) je linearnost integrala i sastoji se od osobine aditivnosti OI ( n i=1 i osobine homogenosti c P F (X) dk = c OI ) P F i (X) dk = OI n i=1 OI P F i (X) dk P F (X) dk (c, c, c R). vakodnevnim rečima kazano, oznaka integrala prolazi kroz zbir u podintegralnom izrazu (aditivnost) i multiplikativne konstante izlaze ispred oznake integrala (homogenost). 2 Ako je OI = n OI i, pri čemu delovi OI i, OI j (i j) mogu da imaju i=1 samo svoje rubne tačke kao zajedničke, tada je (1.3.7) OI P F (X) dk = n i=1 OI i P F (X) dk. Osobina (1.3.7) znači da je integral po ukupnoj oblasti integracije OI jednak zbiru integrala po svim njenim delovima OI i. elovi OI i moraju da zadrže orijentaciju celine OI kod integrala za koje je orijentacija značajna. 3 Ako orijentacija oblasti integracije utiče na vrednost integrala, taj uticaj se ispoljava na način (1.3.8) P F (X) dk = P F (X) dk, OI + OI gde + i u oznakama OI +, OI ukazuju na suprotne orijentacije iste oblasti integracije OI. akle, promena orijentacije oblasti integracije, iz pozitivne u negativnu ili obrnuto, dovodi do promene znaka vrednosti integrala. Primer je jednakost (1.3.3). 4 Neka je m = m(oi) veličina (mera) ukupne oblasti integracije OI. Zavisno od prirode oblasti integracije, m je dužina, površina ili zapremina. Ako je za karakteristiku podeonih delova k(p i ) izabrana njihova veličina m(p i ), tada je (1.3.9) dk = m. OI

40 34 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Ova osobina se dobija u specijalnom slučaju P F (X) 1, tj. P F (X) = 1 za svako X OI. Primer je jednakost (1.3.4). 5 Ako je M > konačna realna konstanta takva da je P F (X) M za svako X OI i m veličina za OI, tada je (1.3.1) P F (X) dk P F (X) dk Mm. OI OI Osobina (1.3.6) je direktna posledica definicije Riemannovih integrala kao limesa integralne sume (formule (1.3.1) (1.3.2)) i lako se dokazuje. okaz osobine (1.3.7) zahteva poznavanje mnogo ozbiljnije teorije od ovde iznete, pa ga izostavljamo ([1], str. 251). Osobine (1.3.8) (1.3.1) ne dokazujemo u iskazanom opštem obliku, a dokazaćemo ih za neki od konkretnih tipova Riemannovih integrala, npr. za krivolinijske integrale Koordinatni sistemi Osim escartesovog koordinatnog sistema, često su u upotrebi i generalisani koordinatni sistemi. Neka su,, z escartesove koordinate tačke i c 1, c 2, c 3 konkretno izabrane realne konstante. kupovi tačaka čija je jedna koordinata konstantna, {(c 1,, z) c 1 R} ; {(, c 2, z) c 2 R} ; {(,, c 3 ) c 3 R}, su koordinatne površi. Njihove jednačine su redom: (1.4.1) = c 1 ; = c 2 ; z = c 3. Ukoliko su konstante c 1, c 2, c 3 proizvoljne, prethodnim jednačinama su predstavljene familije koordinatnih površi. pecijalno, za c 1 = c 2 = c 3 = koordinatne površi se zovu koordinatne ravni. Tako su = ; = ; z = jednačine z, z i koordinatne ravni redom. Koordinatne površi = c 1 su paralelne z ravni = i, naravno, med usobno. Analogno važi i za površi = c 2, odnosno z = c 3. Presek dve koordinatne površi je koordinatna linija. akle, jednačine koordinatnih linija su: (1.4.2) = c 1, = c 2 ; = c 1, z = c 3 ; = c 2, z = c 3.

41 1. UVONI POJMOVI 35 Za c 1 = c 2 = c 3 = koordinatne linije se zovu koordinatne ose. To su, i z osa, čije su jednačine redom: =, z = ; =, z = ; =, =. U escartesovom sistemu sve koordinatne linije su prave, pa je ovo pravolinijski koordinatni sistem. Kod generalisanih sistema koordinatne površi i linije se definišu analogno. U ovom slučaju nisu sve koordinatne linije prave, pa se generalisani sistemi drugačije zovu krivolinijski koordinatni sistemi. Još, u escartesovom sistemu na koji smo navikli koordinatne linije su uzajamno normalne, što se obično naglašava u imenu sistema i kaže se escartesov pravougli koordinatni sistem. Kod generalisanih sistema sa kojima ćemo da radimo koordinatne linije su takod e normalne ([2], str. 342), ali se to ne naglašava u imenu sistema. To su polarni koordinatni sistem u ravni, cilindrični i sferni koordinatni sistem u prostoru. Postoje i kosougli ili afini koordinatni sistemi, med u njima i escartesov kosougli koordinatni sistem ([5], str ). Afini sistemi nas ne interesuju. Izrazi escartesov koordinatni sistem, escartesov sistem koordinata (kraće escartesov sistem), sistem escartesovih koordinata, samo koordinatni sistem ako se zna o kom sistemu se radi i slično, imaju isto značenje. Analogno važi za generalisane sisteme. Zato ove izraze ravnopravno koristimo. Kod escartesovog koordinatnog sistema su ustanovljeni levi i desni escartesov koordinatni sistem, koji se med usobno razlikuju u rasporedu koordinatnih osa (koordinata). Mi radimo u desnom koordinatnom sistemu. U ovom sistemu je raspored osa,, z (ili, z, ili z,, ), pa umesto escartesov često kažemo i z sistem. Uzajamna promena mesta samo dve ose prevodi desni u levi sistem i obrnuto. Tako je, npr., z levi sistem. Ovo je razlog zbog kog smo uvek za koordinatnu ravan = govorili z ravan, a ne z ravan. Reći z ravan nije pogrešno, ali u nepažnji može da dovede do pogrešnog zaključivanja zbog promenjenog redosleda osa u zapisu. Kod generalisanih sistema raspored koordinata nije preciziran Generalisane koordinate: polarne, cilindrične, sferne Polarne koordinate odred uju položaj tačke u ravni. a bismo objasnili ove koordinate, posmatrajmo koordinatnu ravan i proizvoljnu tačku X u njoj, različitu od koordinatnog početka O. už koja spaja tačku X sa koordinatnim početkom je poteg tačke X. Kroz tačku X postavimo centralnu

42 36 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO kružnicu poluprečnika r, orijentisanu u skladu sa efinicijom i sa ϕ označimo ugao izmed u pozitivnog dela ose i potega tačke X, uz sledeći dogovor. Neka se tačka X kreće po kružnici polazeći sa pozitivnog dela ose. Početnom položaju X na pozitivnom delu ose dodeljujemo vrednost ugla ϕ =. Ako se tačka X kreće po kružnici u pozitivnom smeru, ugao ϕ je pozitivan i raste od ϕ = do ϕ = 2π (lika 1.4.1), a ako se kreće u negativnom smeru, ugao je negativan i opada od ϕ = do ϕ = 2π (lika 1.4.2), kada se tačka X vraća na početni položaj X. užina potega r (poluprečnik kružnice ) i ugao ϕ jednoznačno odred uju položaj tačke X u ravni. Pri tome je svejedno koji od dva ugla se uzima, ϕ 1 ili ϕ 2 = ϕ 1 +2π ako je ϕ 1 < (lika 1.4.3), odnosno ϕ 2 = ϕ 1 2π ako je ϕ 1 >. + O r X X _ O r X X 2 O r 1 X X lika lika lika Prethodnu situaciju izdvojimo iz escartesovog koordinatnog sistema. Koordinatnu ravan posmatrajmo kao proizvoljnu ravan R, a pozitivan deo ose kao polupravu p R sa početkom u tački O. Tačka O je pol, poluprava p je polarna osa. Kao što smo ustanovili, položaj proizvoljne tačke X R je jednoznačno odred en u ravni R prethodno opisanim veličinama r i ϕ, osim tačke O koja ima r = i nedefinisan ugao ϕ. Veličine r i ϕ su polarne koordinate i u parovima (r, ϕ) formiraju polarni koordinatni sistem, uključujući i tačku O sa r =. Pri tome je r polarni radijus, a ϕ polarni ugao. Prema (1.4.2), koordinatne linije u polarnom sistemu su kružnice r = c 1 (c 1 > ) i poluprave ϕ = c 2 sa početkom u tački O. U presečnim tačkama one zaklapaju prav ugao, pa je sistem zaista pravougli (lika 1.4.4). U polarnom sistemu koordinatna linija r = nije definisana jer r = odred uje tačku O (pol). Zato samo jednu koordinatnu liniju ϕ = možemo da zovemo osom, a to je polarna osa. Za konstantu c 2 nije stavljeno ograničenje, npr. c 2 2π, jer je u mnogim slučajevima potrebno da bude ϕ R, što ne menja prirodu ugla ϕ i dozvoljeno je.

43 1. UVONI POJMOVI 37 2 X O c 2 c 1 p lika Maksimalni raspon polarnih koordinata je (1.4.3) r < +, ϕ 2π. U skladu sa malopred ašnjim zapažanjem, umesto segmenta [, 2π] sme da se uzme bilo koji drugi segment dužine 2π. Za praktičnu primenu je uglavnom najpogodniji [ π, π]. Vrednosti ϕ = π, ϕ = π odgovaraju tačkama na negativnom delu ose, a ostale vrednosti ugla ϕ imaju isti znak kao koordinata tačke X(, ). Izmed u escartesovih, i polarnih r, ϕ koordinata (r >, ϕ < 2π) tačke X(, ) = X(r, ϕ) postoji biunivoka veza iskazana jednakostima (1.4.4) = r cos ϕ, = r sin ϕ, što se lako uočava sa like Jednakosti (1.4.4) se često smatraju definicionim jednakostima polarnih koordinata. O r X lika Analogne jednakosti sa (1.4.4) u z i z koordinatnoj ravni su redom (1.4.5) = r cos ϕ, z = r sin ϕ ; z = r cos ϕ, = r sin ϕ. U prvom slučaju je ϕ ugao izmed u pozitivnog dela ose i potega tačke, a u drugom slučaju izmed u pozitivnog dela z ose i potega.

44 38 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Uopštene polarne koordinate se uvode jednakostima (1.4.6) = ar cos n ϕ, = br sin n ϕ, gde su a, b realne i n > racionalna konstanta u opštem slučaju. pecijalno, za n = 1, (1.4.6) se svodi na (1.4.7) = ar cos ϕ, = br sin ϕ. Iako isto označene, očigledno je da u ravni uopštene polarne koordinate nemaju značenje polarnih koordinata iz (1.4.4). Maksimalni raspon koordinate r je r < +, dok raspon koordinate ϕ zavisi od n. Izdvajamo dva slučaja. Ako je n neparan broj, vrednosti za ϕ su iz bilo kog segmenta dužine 2π, npr. ϕ 2π ili π ϕ π, pa je maksimalni raspon uopštenih polarnih koordinata r < +, ϕ 2π. Ako je n paran broj, obično se uzima ϕ π/2, pa je maksimalni raspon r < +, ϕ π 2. U slučaju parnog broja n, uopštene polarne koordinate su lokalnog karaktera jer se uvode različitim jednakostima (1.4.6) za tačke iz pojedinih delova (kvadranata) ravni. Za r > i ϕ iz odgovarajućeg raspona, jednakosti (1.4.6) ostvaruju bijekciju izmed u escartesovih, i uopštenih polarnih r, ϕ koordinata. Cilindrične koordinate su kombinacija polarnih i escartesovih koordinata. U stvari, cilindrične koordinate predstavljaju produženje polarnih koordinata sa ravni na prostor, pa se kod nekih autora sreću pod zajedničkim imenom polarno cilindrične koordinate. Uvode se jednakostima (1.4.8) = r cos ϕ, = r sin ϕ, z = z, gde su r i ϕ polarne koordinate projekcije X (,, ) tačke X(,, z) na ravan, a z je escartesova koordinata tačke X (lika 1.4.6).

45 1. UVONI POJMOVI 39 z z X r X lika Prema (1.4.1), koordinatne površi u ovom sistemu su cilindrične površi r = c 1 (c 1 > ) normalne na ravan, poluravni ϕ = c 2 koje su ograničene z osom ( oslanjaju se na z osu) i takod e su normalne na ravan i ravni z = c 3 paralelne ravni ([5], str. 81). Prema (1.4.2), koordinatne linije su prave r = c 1, ϕ = c 2 paralelne z osi, kružnice r = c 1, z = c 3 i poluprave ϕ = c 2, z = c 3 u ravnima paralelnim ravni. Poluprave imaju početke na z osi. Koordinatne linije su uzajamno normalne, pa je i ovaj sistem pravougli. Koordinatna linija ϕ =, z = je polarna osa, r = je z osa, dok linija r =, z = nije definisana jer se degeneriše u tačku O(, ϕ, ) (pol, koordinatni početak). Maksimalni raspon cilindričnih koordinata je (1.4.9) r < +, ϕ 2π, < z < +, pri čemu umesto segmenta [, 2π] sme da se uzme bilo koji drugi segment dužine 2π. Analogne jednakosti sa (1.4.8), kada se tačka X(,, z) projektuje na z i z koordinatnu ravan, su redom = r cos ϕ, z = r sin ϕ, = ; z = r cos ϕ, = r sin ϕ, =. Ugao ϕ ima značenje kao u odgovarajućim jednačinama (1.4.5) kod polarnih koordinata. Uopštene cilindrične koordinate su produženje uopštenih polarnih koordinata (1.4.6) sa ravni na prostor. ate su sa ili, za n = 1, = ar cos n ϕ, = br sin n ϕ, z = z (1.4.1) = ar cos ϕ, = br sin ϕ, z = z.

46 4 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO ferne koordinate su prostorne koordinate i uvode se jednakostima (1.4.11) = r cos ϕ cos θ, = r sin ϕ cos θ, z = r sin θ ili (1.4.12) = r cos ϕ sin θ, = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ, gde je r dužina potega tačke X(,, z), a ϕ ugao izmed u potega projekcije X (,, ) na ravan i pozitivnog dela ose. U (1.4.11) je θ ugao izmed u potega tačke X i ravni, a u (1.4.12) to je ugao izmed u potega tačke i pozitivnog dela z ose (like i 1.4.8). z r X X z r X X lika lika Koordinatne površi u ovom sistemu su sfere r = c 1 (c 1 > ), poluravni ϕ = c 2 ograničene z osom i normalne na ravan i konusi θ = c 3 oko z ose (osovina im je z osa) ([5], str. 82). Koordinatne linije su polukružnice r = c 1, ϕ = c 2, kružnice r = c 1, θ = c 3 i prave ϕ = c 2, θ = c 3 ([7], str. 186). I ovaj sistem je pravougli. Inače, sferne koordinate mogu da se shvate kao generalizacija polarnih koordinata, sa prostornim tumačenjem veličine r i dodatkom treće veličine θ. Maksimalni raspon sfernih koordinata iz (1.4.11) je (1.4.13) r < +, ϕ 2π, π 2 θ π 2, a iz (1.4.12) je (1.4.14) r < +, ϕ 2π, θ π. U prvom slučaju (1.4.13), vrednosti θ = π/2 i θ = π/2 uzimaju tačke na negativnom i pozitivnom delu z ose redom, a tačke u ravni imaju vrednost θ =. U drugom slučaju (1.4.14) je θ = i θ = π za tačke na pozitivnom i negativnom delu z ose redom, a θ = π/2 za tačke u ravni.

47 1. UVONI POJMOVI 41 Kako ugao ϕ ima isto značenje kao kod polarnih i cilindričnih koordinata, važi isto pravilo o njegovim granicama. U matematici se obično radi sa jednakostima (1.4.11), dok su (1.4.12) češće u tehničkim naukama. Mi ćemo da radimo sa (1.4.11) i samo po potrebi sa (1.4.12). Ako se tačka X(,, z) projektuje na neku drugu koordinatnu ravan, npr. na z ravan, jednakosti analogne sa (1.4.11) glase = r cos ϕ cos θ, z = r sin ϕ cos θ, = r sin θ, pri čemu je ϕ ugao izmed u potega projekcije tačke X na z ravan i pozitivnog dela ose, a θ ugao izmed u potega tačke X i z ravni. Uopštene sferne koordinate se uvode sa = ar cos n ϕ cos k θ, = br sin n ϕ cos k θ, z = cr sin k θ, gde su a, b, c realne i n, k > racionalne konstante. Ove koordinate se retko primenjuju u navedenom generalnom slučaju, pa navodimo specijalan slučaj, za n = k = 1, (1.4.15) = ar cos ϕ cos θ, = br sin ϕ cos θ, z = cr sin θ. U ravni uopštene sferne koordinate nemaju značenje sfernih koordinata iz (1.4.11). Maksimalni raspon koordinata iz (1.4.15) je dat sa (1.4.13) Primena generalisanih koordinata Generalisane koordinate imaju veliku primenu jer se mnogi problemi neuporedivo jednostavnije rešavaju upotrebom ovih koordinata. Na primer, rešavanje krivolinijskih, dvojnih i trojnih integrala je u velikom broju slučajeva najjednostavnije ako se parametrizacija krive, odnosno opis oblasti u ravni ili prostoru, izvrši pomoću odgovarajućih generalisanih koordinata. Izdvajamo neke od krivih i oblasti za koje su generalisane koordinate karakteristične. Od krivih to su kružnica i elipsa u koordinatnoj ravni, od ravnih oblasti unutrašnjost kružnice i elipse, a od prostornih oblasti unutrašnjost sfere i elipsoida. Po pitanju naziva krivih, oblasti i površi, terminologija u literaturi je raznovrsna, često neusaglašena i dvosmislena. Tako se za unutrašnjost

48 42 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO kružnice koriste termini krug, kružna oblast ili oblast kružnice, a za unutrašnjost elipse elipsoidna oblast ili oblast elipse. Takod e, unutrašnjost sfere je oblast sfere ili sferna oblast, a unutrašnjost elipsoida je oblast elipsoida ili, kao i kod elipse, elipsoidna oblast. Čak i više, kružnica se poistovećuje sa krugom, dok sfera i elipsoid označavaju i površi i oblasti unutar njih. a ne bi bilo nesporazuma, u nastavku teksta koristimo izraze kružnica za krivu, krug za njenu unutrašnjost, a sfera (lopta) i elipsoid isključivo za površi. Koristićemo i slične termine, kao što su pravougaonik (kriva) i pravougaona oblast, konus (površ) i konusna oblast, itd. akle, izuzimajući krug, uvek naglašavamo kada se radi o oblasti. Pri tome nas interesuju samo zatvorene oblasti (efinicija ), npr. krug kao unutrašnjost kružnice zajedno sa samom kružnicom. 1 Neka je centralna kružnica u ravni poluprečnika a > (lika 1.4.9), data implicitno sa (1.4.16) = a 2. a lika Zamenom escartesovih polarnim koordinatama, tj. zamenom (1.4.4) u (1.4.16), dobija se r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = a 2, zatim r 2 = a 2 i r = a. Za r = a jednakosti (1.4.4) postaju = a cos ϕ, = a sin ϕ. Imajući u vidu ograničenje (1.4.3), iz prethodnog sledi (1.4.17) = a cos ϕ, = a sin ϕ, z = ; ϕ [, 2π], što su parametarske jednačine (1.1.1) kružnice sa t = ϕ. U skladu sa ranijim objašnjenjem, umesto ϕ [, 2π] može da se uzme, npr., ϕ [ π, π].

49 1. UVONI POJMOVI 43 Neka je sada pomerena kružnica u ravni poluprečnika a > sa centrom u tački (, ) (lika 1.4.1). Njena implicitna jednačina je tada (1.4.18) ( ) 2 + ( ) 2 = a 2. menom u =, v = (translacija koordinatnog sistema u uv koordinatni sistem), kružnica iz ravni se transformiše u centralnu kružnicu 1 iz uv ravni (lika ). a v 1 a u lika lika Kružnica 1 ima jednačinu oblika (1.4.16), u 2 + v 2 = a 2, pa na nju može da se primeni prethodni postupak. Zamenom u = r cos ϕ, v = r sin ϕ sledi r = a i za 1 važi u = a cos ϕ, v = a sin ϕ ; ϕ [, 2π], što povratkom u polaznu smenu daje = a cos ϕ, = a sin ϕ. Parametarske jednačine kružnice su (1.4.19) = + a cos ϕ, = + a sin ϕ, z = ; ϕ [, 2π]. U praksi se ne realizuje čitav prethodni postupak, već se iz jednačina (1.4.18) kružnica prepoznaje kao pomerena i odmah se uvodi smena (1.4.2) = r cos ϕ, = r sin ϕ, koja dovodi do parametarskih jednačina (1.4.19). pecijalan slučaj kružnice (1.4.18) je ona koja ima centar na nekoj od koordinatnih osa i prolazi kroz koordinatni početak. Takva je, npr., kružnica sa like , čija je jednačina (1.4.21) ( a) = a 2.

50 44 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Umesto (1.4.2), za ove kružnice može da se koristi smena (1.4.4). Zamenom = r cos ϕ, = r sin ϕ u (1.4.21) sledi r 2 cos 2 ϕ 2ar cos ϕ + a 2 + r 2 sin 2 ϕ = a 2, odakle je r 2 2ar cos ϕ = i r(r 2a cos ϕ) =. Mogućnost r = otpada jer r = definiše tačku (koordinatni početak), pa ostaje r = 2a cos ϕ. Primećujemo da u ovom slučaju r nije konstanta, već funkcija ugla ϕ, pri čemu se ugao kreće u rasponu π/2 ϕ π/2. Parametarske jednačine su [ (1.4.22) = 2a cos 2 ϕ, = 2a cos ϕ sin ϕ, z = ; ϕ π 2, π ]. 2 Jednačine (1.4.22) u praksi mogu da budu mnogo pogodnije za potrebna izračunavanja od jednačina (1.4.19). Za kružnicu sa like , : 2 + ( a) 2 = a 2, postupak se izvodi analogno. obija se r = 2a sin ϕ, ϕ π i parametarske jednačine : = 2a cos ϕ sin ϕ, = 2a sin 2 ϕ, z = ; ϕ [, π]. 2a a 2a a lika lika NAPOMENA Uvod enje polarnih koordinata sa (1.4.4) kod kružnica (1.4.18) ne dovodi do jedinstvenih parametarskih jednačina kružnice jer istom uglu ϕ na kružnici odgovaraju dve tačke sa r 1 r 2 (lika ). Isto tako, ugao ϕ se kreće u opsegu ϕ 1 ϕ ϕ 2 (lika ), gde je ϕ 1 = arctan k 1, ϕ 2 = arctan k 2. Ovakvo iskazivanje uglova ϕ 1, ϕ 2 zahteva prethodno nalaženje tangenata = k 1, = k 2 kružnice, a i nepogodno je za praktičnu primenu. Analogna je situacija i kod drugih zatvorenih krivih u koordinatnim ravnima.

51 1. UVONI POJMOVI 45 r 2 r lika lika Kod kružnica koje prolaze kroz koordinatni početak i imaju centar na ili osi, granice ugla ϕ se odmah odred uju na osnovu specijalnog položaja kružnica u ravni, tj. neposredno se uočavaju sa odgovarajućih slika. 2 Neka je centralna elipsa u ravni sa poluosama a, b > na i osi redom (lika ). Njena implicitna jednačina je (1.4.23) 2 a b 2 = 1. menom u = /a, v = /b (deformacija koordinatnig sistema u uv koordinatni sistem), elipsa iz ravni prelazi u centralnu jediničnu kružnicu 1 iz uv ravni (lika ). b 1 v 2 a 1 u lika lika Jednačina kružnice 1 je u 2 + v 2 = 1. Prema (1.4.16) i (1.4.17), za 1 važi u = cos ϕ, v = sin ϕ ; ϕ [, 2π], pa su parametarske jednačine elipse (1.4.24) = a cos ϕ, = b sin ϕ, z = ; ϕ [, 2π].

52 46 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Ovaj postupak se u praksi skraćuje neposrednim uvod enjem smene (1.4.25) = ar cos ϕ, = br sin ϕ u (1.4.23), što daje r = 1 i parametarske jednačine (1.4.24). Jednakosti (1.4.25) su, u stvari, definicione jednakosti uopštenih polarnih koordinata (1.4.7). Ove koordinate su i uvedene sa ciljem da se na jednostavan način izvrši parametrizacija nepravilnih krivih, kakva je i elipsa. Ako je pomerena elipsa u ravni sa poluosama a, b > i centrom u tački (, ) (lika ), njena jednačina je (1.4.26) ( ) 2 a 2 + ( ) 2 b 2 = 1. Posle translacije u =, v = ona postaje centralna elipsa 1 u uv ravni (lika ), a posle deformacije U = u/a, V = v/a centralna jedinična kružnica 2 u UV ravni (lika 1.4.2). a b v b 1 V 2 a u 1 U lika lika lika Za kružnicu 2 važi pa za elipsu 1 važi U = cos ϕ, V = sin ϕ ; ϕ [, 2π], u = a cos ϕ, v = b sin ϕ ; ϕ [, 2π]. Zato su tražene parametarske jednačine elipse date sa (1.4.27) = + a cos ϕ, = + b sin ϕ, z = ; ϕ [, 2π]. o istih jednačina (1.4.27) dovodi odmah uvedena smena (1.4.28) a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.

53 1. UVONI POJMOVI 47 Kao i kod kružnica, u specijalnom slučaju za (1.4.26), kada elipsa ima centar na nekoj od koordinatnih osa i prolazi kroz koordinatni početak, umesto (1.4.28) može da se koristi smena (1.4.7), tj. (1.4.25). Za elipsu sa like , (1.4.29) ( a) 2 a b 2 = 1, zamenom = ar cos ϕ, = br sin ϕ u (1.4.29) se dobija r = 2 cos ϕ i za π/2 ϕ π/2 slede parametarske jednačine elipse (1.4.3) = 2a cos 2 ϕ, = 2b cos ϕ sin ϕ, z = ; ϕ Analogno, parametarske jednačine elipse sa like , [ π 2, π ]. 2 su : 2 ( b)2 + a2 b 2 = 1, : = 2a cos ϕ sin ϕ, = 2b sin 2 ϕ ; ϕ [, π]. a 2a 2b b lika lika NAPOMENA Ako tačka, kriva ili oblast pripadaju nekoj od koordinatnih ravni, npr. ravni, treća koordinata z = se obično podrazumeva i u odgovarajućim jednačinama ili opisima se izostavlja. Tako je (1.4.16) isto što i a (1.4.17) isto što i = a 2, z =, = a cos ϕ, = a sin ϕ ; ϕ [, 2π]. Koristićemo i nadalje jedan ili drugi zapis, u zavisnosti od procene koliko je naglašavanje treće koordinate značajno za trenutnu situaciju.

54 48 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO NAPOMENA Zatvorene krive u koordinatnim ravnima, kao što su kružnice i elipse, nemaju jedinstvenu eksplicitnu jednačinu u escartesovim koordinatama. Tako kružnica (1.4.16) mora da se rastavi na delove koji mogu jedinstveno da se iskažu, npr. 1 : = p a 2 2, 2 : = p a 2 2 ; [ a, a]. druge strane, svaka eksplicitna jednačina krive u ravni istovremeno predstavlja i skraćeni zapis parametarskih jednačina sa specijalno izabranim parametrom. Na primer, za krivu 1 i = t je 1 : = t, = p a 2 t 2, z = ; t [ a, a]. Zato se parametrizacija zatvorenih krivih u koordinatnim ravnima ne vrši pomoću escartesovih koordinata, već pomoću nekih drugih parametara, kakve su generalisane koordinate, ali uz uvid u Napomenu Neka je krug ograničen kružnicom (1.4.16). Krug se opisuje implicitno nejednakošću (1.4.31) a 2 ili eksplicitno nejednakostima (1.4.32) a a, a 2 2 a 2 2, odnosno (1.4.33) a 2 2 a 2 2, a a. Uvod enjem polarnih koordinata pomoću (1.4.4), opis istog kruga je (1.4.34) r a, ϕ 2π. Zamišljajući polarni krivolinijski kao escartesov pravolinijski koordinatni sistem sa osama r = i ϕ = i imajući u vidu opis (1.4.34), krug iz ravni (lika ) može da se predstavi kao oblast pravougaonika u rϕ ravni (lika ). Opis (1.4.34) kruga ima veliku prednost nad opisima (1.4.32) i (1.4.33), posebno pri rešavanju dvojnih integrala, jer omogućava da se krug tretira kao pravougaona oblast. a * a r lika lika

55 1. UVONI POJMOVI 49 Zahvaljujući smeni (1.4.2), krug ograničen kružnicom (1.4.18) prelazi u krug sa like (ali u uv ravni), koji se zatim tretira kao pravougaona oblast sa like , opisana nejednakostima (1.4.34). U specijalnom slučaju kružnice (1.4.21), krug je opisan sa (1.4.35) r 2a cos ϕ, π 2 ϕ π 2 i u rϕ ravni predstavlja oblast prikazanu na lici Ovaj opis je takod e mnogo pogodniji od odgovarajućeg opisa pomoću escartesovih koordinata. 2 * 2 2a lika r 4 Oblast ograničena elipsom (1.4.23) se smenom (1.4.25) transformiše u krug 1 u uv ravni, a 1 se tretira kao pravougaona oblast u rϕ ravni sa opisom (1.4.36) r 1, ϕ 2π. Oblasti, 1 i su prikazane na likama , i redom. b v 1 a 1 u * 1 r lika lika lika Oblast ograničena elipsom (1.4.26) se smenom (1.4.28) transformiše prvo u elipsoidnu oblast sa like (ali u uv ravni), a zatim u krug sa like (u U V ravni). Krug se posmatra kao pravougaona oblast sa like , opisana nejednakostima (1.4.36).

56 5 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO U slučaju elipse (1.4.29), odgovarajuća elipsoidna oblast ima opis (1.4.37) r 2 cos ϕ, π 2 ϕ π 2 i u rϕ ravni predstavlja oblast prikazanu na lici za a = 1. NAPOMENA U prethodnom izlaganju smo pominjali translaciju i deformaciju koordinatnog sistema, bez objašnjavanja ovih pojmova, a pouzdajući se u intuitivno razumevanje istih od strane čitalaca. a ovim transformacijama ([5], str ) treba biti na oprezu, posebno sa deformacijom (1.4.6), kojom se sa escartesovih, prelazi na uopštene polarne koordinate r, ϕ. U navedenom primeru elipse i oblasti ograničene njome, (1.4.7) je kompozicija dve deformacije. Prvom se elipsa prevodi u kružnicu, a drugom kružnica u pravougaonik. Uopšte uzev, uticaj deformacije (1.4.6) na promenu krivih i oblasti, tj. na opseg vrednosti koordinata r, ϕ, nije uvek lako sagledati. To se, pre svega, odnosi na koordinatu ϕ jer se ona često javlja kao parametar, pa je njen opseg značajan za praktičnu primenu. Ovim problemom ćemo da se bavimo kroz konkretne primere. 5 Ako je sfera poluprečnika a > sa centrom u koordinatnom početku (lika ), njena jednačina je (1.4.38) z 2 = a 2. z a a a lika Zamenom escartesovih sfernim koordinatama, tj. zamenom (1.4.11) u (1.4.38), dobija se redom: r 2 = a 2 i r 2 cos 2 ϕ cos 2 θ + r 2 sin 2 ϕ cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = a 2, r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = a 2, r = a. Povratkom sa r = a u (1.4.11), slede parametarske jednačine (1.1.2) sfere : = a cos ϕ cos θ, = a sin ϕ cos θ, z = a sin θ ; (ϕ, θ) ϕθ,

57 1. UVONI POJMOVI 51 gde je ϕθ pravougaona oblast u ϕθ ravni opisana sa ϕθ : ϕ 2π, π 2 θ π 2. Opis oblasti ϕθ je sadržan u ograničenjima (1.4.13). NAPOMENA a opštim parametarskim jednačinama (1.1.2) otvorenih i zatvorenih površi ćemo da radimo uglavnom teorijski, pa se na parametrizaciji dalje ne zadržavano. Parametrizaciju sfere smo izveli radi ilustracije postupka u slučaju zatvorenih površi, koje nemaju jedinstvenu eksplicitnu jednačinu u escartesovim koordinatama. a sličnom situacijom smo se sreli kod zatvorenih krivih u ravni (Napomena 1.4.3), pa nadalje treba imati u vidu i analognost sa zapažanjima iznetim u Napomenama 1.4.1, Neka je prostorna oblast ograničena sferom (1.4.38), tj. oblast (1.4.39) z 2 a 2. Pomoću escartesovih koordinata oblast može eksplicitno da se opiše na tri načina, od kojih je jedan (1.4.4) a a, a 2 2 a 2 2, a z a Uvod enjem sfernih koordinata sa (1.4.11), komplikovani opis (1.4.4) se zamenjuje jednostavnim opisom (1.4.41) r a, ϕ 2π, π 2 θ π 2. Posmatrano u rϕθ sistemu kao escartesovom, nejednakosti (1.4.41) predstavljaju oblast kvadra (lika 1.4.3). 2 * r a 2 lika fera poluprečnika a > sa centrom u tački (,, z ) (lika ) ima jednačinu (1.4.42) ( ) 2 + ( ) 2 + (z z ) 2 = a 2,

58 52 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO a oblast ograničena njome ima opis (1.4.43) ( ) 2 + ( ) 2 + (z z ) 2 a 2. z z Zahvaljujući smeni lika (1.4.44) = r cos ϕ cos θ, = r sin ϕ cos θ, z z = r sin θ, oblast sfere se tretira kao oblast kvadra sa like 1.4.3, opisan nejednakostima (1.4.41). pecijalan slučaj sfere (1.4.42) je ona koja ima centar na nekoj od koordinatnih osa i prolazi kroz koordinatni početak. Takva je, npr., sfera sa like , čija je jednačina (1.4.45) (z a) 2 = a 2. z 2a a lika U ovom slučaju umesto (1.4.44) može da se koristi smena (1.4.11), tj. = r cos ϕ cos θ, = r sin ϕ cos θ, z = r sin θ. Oblast ograničena sferom tada ima opis (1.4.46) r 2a sin θ, ϕ 2π, θ π 2,

59 1. UVONI POJMOVI 53 pri čemu se granice ugla θ sagledavaju direktno sa like Elipsoid sa poluosama a, b, c > na, i z osi redom i sa centrom u koordinatnom početku (lika ) ima jednačinu (1.4.47) a oblast elipsoida ima opis 2 a b 2 + z2 c 2 = 1, (1.4.48) 2 a b 2 + z2 c 2 1. z c a b lika Uvod enjem uopštenih sfernih koordinata pomoću (1.4.15), oblast se opisuje jednostavno sa (1.4.49) r 1, ϕ 2π, π 2 θ π 2. U rϕθ sistemu kao escartesovom, nejednakosti (1.4.49) predstavljaju specijalan slučaj oblasti kvadra sa like za a = 1. menom = ar cos ϕ cos θ, = br sin ϕ cos θ, z z = cr sin θ se elipsoidna oblast opisuje nejednakostima (1.4.49). ( ) 2 a 2 + ( ) 2 b 2 + (z z ) 2 c 2 1 Uvod enje uopštenih sfernih koordinata sa (1.4.15) u slučaju elipsoidne oblasti 2 a (z c)2 + b2 c 2 1

60 54 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO dovodi do opisa (1.4.46) sa a = 1. 8 Nevezano za generalisane koordinate, navodimo još neke površi koje se često javljaju pri rešavanju praktičnih problema. To su konus, paraboloid i cilindrična površ. Konus 1 sa z osom kao osovinom ima jednačinu (1.4.5) z = a 2 + 2, gde je a > realna konstanta. efinisan je za svako (, ) R 2. Iz (1.4.5) je očigledno z, pa se konus 1 nalazi iznad ravni. Osim ovog, z osu za osovinu ima i konus 2 sa jednačinom (1.4.51) z = a 2 + 2, samo se on nalazi ispod ravni zbog z (lika ). Konusi 1 i 2 se najčešće smatraju delovima jedne konusne površi = 1 2 sa implicitnom jednačinom : z 2 = a 2( 2 + 2). Konusi 3 i 4 sa osom kao osovinom imaju jednačine 3 : = a 2 + z 2, 4 : = a 2 + z 2 i izgled sa like Analogno važi i za konuse čija je osovina osa. z z lika lika Konuse smo već pominjali kao koordinatne površi u slučaju sfernih koordinata (θ = c 3 za π/2 < c 3 < π/2).

61 1. UVONI POJMOVI 55 Paraboloid 1 čija je osovina z osa ima jednačinu (1.4.52) z = a( ), gde je a > realna konstanta. efinisan je za svako (, ) R 2 i čitav se nalazi iznad ravni jer je z. Još jedan paraboloid ima z osu za osovinu, a to je 2 sa jednačinom (1.4.53) z = a( ), koji je ceo ispod ravni zbog z (lika ). Jednačine paraboloida 1 i 2 mogu da se objedine u jednu jednačinu z 2 = a 2( 2 + 2) 2, ali se u praksi, za razliku od konusa, to skoro nikad ne radi. Analogni su slučajevi paraboloida sa i osom kao osovinom. z 1 2 lika NAPOMENA U efiniciji je oblast definisanosti prostorne površi bila ograničena. Kod konusa i paraboloida nismo uveli takvo ograničenje, a uvodićemo ga kada konkretne prilike to zahtevaju. Konus i paraboloid su otvorene površi prema efiniciji Neka kriva pripada nekoj od koordinatnih ravni, npr. ravni. Ako se kroz svaku tačku krive postavi prava p paralelna z osi, geometrijsko mesto takvih pravih formira cilindričnu površ (lika ). Kriva je direktrisa ili linija vodilja, a prave p su generatrise ili izvodnice. Kao geometrijsko mesto pravih, cilindrična površ je neograničena. Ukoliko je ograničimo krivama 1 i 2, ove krive zovemo osnovama ili bazisima. Cilindrična površ ima istu jednačinu kao direktrisa. Pri tome je treća koordinata z = za krivu, dok je z R za površ proizvoljna. Na primer, ako su jednačine direktrise : = (t), = (t), z = ; t [α, β],

62 56 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO jednačine cilindrične površi su (1.4.54) = (t), = (t) ; t [α, β]. Kako se za krive u koordinatnim ravnima najčešće ne navodi koordinata koja je jednaka nuli, a za cilindrične površi se podrazumeva i nikad ne upisuje proizvoljna koordinata, to se jednačine direktrise i cilindrične površi ne razlikuju. Zato je uvek potrebno naglasiti da li se jednačine odnose na ravan ili prostor, tj. na krivu ili cilindričnu površ. Analogno razmatranje važi za cilindrične površi čije su direktrise u z i z koordinatnoj ravni. Cilindrične površi smo već pominjali kao koordinatne površi u slučaju cilindričnih koordinata (r = c 1 za c 1 > ). z 2 p 1 lika NAPOMENA Prema načinu na koji nastaju, konus i cilindrična površ spadaju u pravolinijske površi, a paraboloid je obrtna površ ([5], str ). efinicije ovih površi u opštem slučaju, vezane za način njihovog nastanka, nismo razmatrali. Izdvojili smo samo neke specijalne slučajeve i prezentovali ih u obliku koji odgovara potrebama ovog kursa.

63 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 2.1. Krivolinijski integrali po luku (I vrste) U cilju definisanja krivolinijskih integrala po luku, prosled ujemo opšte pravilo o formiranju Riemannovih integrala, uvodeći konkretne umesto opštih oznaka. Neka je oblast integracije OI =, gde je orijentisana prostorna kriva. Tačkama T i (i =, 1,..., n) se kriva deli (efinicija 1.2.3, lika ) na n delova P i = T i 1 T i (i = 1, 2,..., n). Unutar svakog dela se bira tačka X i (ξ i, η i, ζ i ). Za X i T i 1 T i može da se uzme bilo koja tačka. Karakteristika podeonih delova je njihova dužina k(p i ) = m ( T ) i 1 T i = λi >. Neka je podintegralna funkcija P F (X) = H(,, z) neprekidna na krivoj, gde je tačka X(,, z) proizvoljna. Vrednost P F (X i ) = H(X i ) = H(ξ i, η i, ζ i ) se množi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija integralna suma, a zatim i odgovarajući integral. efinicija Zbir (2.1.1) λ (n) = n H(X i ) λ i = i=1 n H(ξ i, η i, ζ i ) λ i i=1 je integralna suma po luku funkcije H(,, z). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma λ i, granična 1 i n vrednost (2.1.2) H(,, z) dλ = lim λ(n) n 57

64 58 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO je krivolinijski integral po luku ili krivolinijski integral I vrste funkcije H(,, z). Granična vrednost (2.1.2) mora da postoji nezavisno od načina deobe i izbora tačaka X i, što je uslov egzistencije svih Riemannovih integrala, pa više nećemo da ga ponavljamo. Promena orijentacije krive dovodi do promene rasporeda tačaka T i (i =, 1,..., n) na krivoj (lika ). Med utim, to ne menja dužine λ i podeoka T i 1 T i, pa karakteristike podeonih delova zadržavaju znak k(p i ) = λ i > za svako i = 1, 2,..., n. Zato integralna suma (2.1.1) i integral (2.1.2) ostaju isti. Zaključujemo da orijentacija krive ne utiče na vrednost krivolinijskog integrala I vrste, što znači da za njih ne važi osobina (1.3.8), već važi H(,, z) dλ = H(,, z) dλ. + Ako je l = m() dužina cele krive, za H(,, z) 1 iz (2.1.1) i (2.1.2) sledi osobina (1.3.9), tj. (2.1.3) dλ = lim n n i=1 λ i = lim n l = l. Neka je M > konačan realan broj, takav da je H(,, z) M za svaku tačku X(,, z). Ako je l dužina krive, prema (2.1.1) i (2.1.2) sledi i osobina (1.3.1), tj. H(,, z) dλ = lim n n i=1 Za H(,, z) M važi znak jednakosti. H(X i ) λ i lim n n H(X i ) λ i Ml. Geometrijska interpretacija krivolinijskog integrala I vrste može da se dâ samo kada kriva pripada nekoj od koordinatnih ravni, npr. ravni. Tada se funkcija H(,, z) svodi na funkciju dve nezavisno promenljive f(, ) = H(,, ). Krivolinijski integral f(, ) dλ izračunava površinu cilindrične površi čije su izvodnice paralelne z osi, donji bazis (i direktrisa) je kriva, a gornji bazis se nalazi u preseku te površi i površi z = f(, ) (lika 2.1.1). agledavanje ovog geometrijskog tumačenja je jednostavno. Ako krivu ispravimo, ispravlja se i opisana cilindrična površ. ovodeći krivu, npr., na osu i cilindričnu površ u z ravan, nastaje situacija koja je u i=1

65 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 59 potpunosti analogna situaciji kod odred enih integrala jer kriva postaje segment na osi, a cilindrična površ postaje oblast krivolinijskog trapeza kao na lici 1.3.1, samo u z ravni. z z = f(,) T- i 1 T i lika U skladu sa uočenom analogijom u geometrijskoj interpretaciji krivolinijskog integrala I vrste i odred enog integrala je i sledeće zapažanje. Na lici je prikazan slučaj kada je f(, ) duž čitave krive. Ako je f(, ) za svako (, ), vrednost f(, ) dλ je negativna, pa za površinu treba uzeti f(, ) dλ. Ako f(, ) menja znak duž krive, krivu treba podeliti tako da na dobijenim delovima f(, ) ima stalan znak, zatim na svakom od delova izračunati integral i sabrati module nad enih vrednosti. Na primer, za = AB, C, f(, ) na AC i f(, ) na CB, površinu cilindrične površi dobijamo pomoću f(, ) dλ + AC f(, ) dλ. CB pecijalno, neka pripada nekoj od koordinatnih osa, npr., neka je = [a, b] segment na osi. Tada se podintegralna funkcija H(,, z) svodi na funkciju f() = H(,, ), a krivolinijski integral I vrste H(,, z) dλ na odred eni integral b f() d. a NAPOMENA Neka je kriva data parametarskim jednačinama (1.1.1). Za funkciju H(,, z) kažemo da je neprekidna na krivoj ako je funkcija f(t) = H (t), (t), z(t) neprekidna na segmentu [α, β] Krivolinijski integrali po koordinatama (II vrste) Kod krivolinijskih integrala po koordinatama situacija je ista kao kod krivolinijskih integrala po luku. Oblast integracije je OI =, gde je

66 6 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO orijentisana prostorna kriva. Kriva se tačkama T i (i =, 1,..., n) deli na lukove P i = T i 1 T i (i = 1, 2,..., n) i u svakom od njih se bira tačka X i (ξ i, η i, ζ i ). Ovi tipovi integrala se med usobno razlikuju u izabranoj karakteristici podeonih delova k(p i ). Ako je T i ( i, i, z i ), kod krivolinijskih integrala po koordinatama se za karakteristiku bira jedan od izraza: k(p i ) = i i 1, k(p i ) = i i 1, k(p i ) = z i z i 1. akle, karakteristika k(p i ) je razlika izmed u odgovarajućih koordinata uzastopnih podeonih tačaka T i 1 i T i, s tim što se uvek od koordinate naredne oduzima koordinata prethodne tačke podele. Ako je X(,, z) proizvoljna tačka i podintegralna funkcija P F (X) = P (,, z) neprekidna na, dolazi se do sledećih definicija. efinicija Zbir (2.2.1) (n) = n P (X i ) ( i i 1 ) = i=1 n P (ξ i, η i, ζ i ) ( i i 1 ) i=1 je integralna suma po koordinati funkcije P (,, z). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma 1 i n i i 1, granična vrednost (2.2.2) P (,, z) d = lim n (n) je krivolinijski integral po koordinati ili krivolinijski integral II vrste funkcije P (,, z). Ako su Q(,, z) i R(,, z) funkcije neprekidne na, analogno se definišu integralne sume po koordinatama i z, (n) = n Q(X i ) ( i i 1 ), z (n) = i=1 n R(X i ) (z i z i 1 ), i=1 kao i krivolinijski integrali po koordinatama i z, Q(,, z) d = lim n (n), Ovi integrali su takod e krivolinijski integrali II vrste. R(,, z) dz = lim n z(n).

67 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 61 efinicija Potpuni krivolinijski integral II vrste je (2.2.3) P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz = P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz. Vidimo da je potpuni krivolinijski integral samo kraći zapis zbira krivolinijskih integrala po koordinatama u kojima se integracija vrši po istoj krivoj. misao uvod enja ovog integrala biće razjašnjen kasnije, u okviru vektorskih krivolinijskih integrala. AB i pretpostavimo da su a, b (a < b) prve Posmatrajmo krivu = koordinate graničnih tačaka A, B redom. Takod e, pretpostavimo da je u jednačinama (1.1.1) preslikavanje = (t) bijekcija. Tada orijentaciji krive od tačke A ka tački B i podeli tačkama T i odgovara rastuća podela segmenta [a, b] tačkama i na osi (lika 2.2.1), dok orijentaciji od B ka A odgovara opadajuća podela segmenta (lika 2.2.2). akle, karakteristike podeonih delova za svako i = 1, 2,..., n su k(p i ) = i i 1 > u slučaju = AB i k(p i ) = i i 1 < u slučaju = BA. uprotan znak k(p i ) uslovljava suprotan znak integralne sume, a time i krivolinijskog integrala po koordinati. Zaključujemo da za krivolinijski integral po koordinati važi osobina (1.3.8), tj. važi P (,, z) d = P (,, z) d, + pri čemu označava samo suprotno orijentisanu krivu u odnosu na, ne obavezno negativno orijentisanu. Analogno se zaključuje i za krivolinijske integrale po ostalim koordinatama, pa osobina (1.3.8) važi generalno za sve krivolinijske integrale II vrste. z A Ti- 1 T i z A T i Ti- 1 B B a i-1 i b i- b 1 a lika lika i

68 62 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Primećujemo da je segment [a, b] projekcija krive na osu. Pretpostavka da je = (t) bijekcija uvedena je da bi i projektovanje na osu bilo bijekcija. Ovaj uslov obezbed uje da segment [a, b] i kriva imaju saglasne orijentacije (Napomena 1.2.5) i da koordinate i podeonih tačaka T i krive, kao podeone tačke segmenta, slede jedna za drugom. Takod e, k(p i ) = ± i i 1 je dužina projekcije podeoka P i na osu, uzeta sa znakom + ili u zavisnosti od orijentacije krive. Osobina (1.3.9) ne važi za krivolinijske integrale II vrste jer karakteristike k(p i ) nisu veličine podeonih delova T i 1 T i. Osobinu (1.3.1) pokazujemo u slučaju krivolinijskog integrala po koordinati, a slično se pokazuje i za integrale po ostalim koordinatama. Neka je M > konačan realan broj, P (,, z) M i l dužina krive. Tada je i i 1 λ i (lika 2.2.3) i P (,, z) d lim n i=1 M lim n n P (X i ) i i 1 n i=1 i i 1 M lim n n λ i = Ml, gde je λ i dužina luka T i 1 T i, a jednakost važi ako je P (,, z) M i ako je paralelna osi. Radi jednostavnosti, na lici je predstavljena kriva u ravni. užina hipotenuze m i u uočenom pravouglom trouglu je najkraće rastojanje izmed u tačaka T i 1 i T i, pa je m i λ i. Kako je i i 1 dužina katete u istom trouglu, to je i i 1 m i, dakle i i 1 λ i. Ako je kriva paralelna osi, tada je i i 1 = λ i. Primećujemo da u ovom slučaju važi i stroža nejednakost P (,, z) d M(b a), gde su a i b (a < b) prve koordinate graničnih tačaka krive. i=1 T i i m i i i- i-1 Ti- - i 1 1 lika

69 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 63 Za krivolinijske integrale II vrste je značajna i sledeća osobina. Ako kriva pripada ravni normalnoj na osu, važi (2.2.4) P (,, z) d =, što se lako pokazuje. Neka je ravan normalna na osu, koja osu seče u tački = a. ve tačke ravni, pa i tačke sa krive, tada imaju istu prvu koordinatu = a. Zato je = 1 = = n = a, i i 1 = za svako i = 1, 2,..., n i, prema (2.2.1) i (2.2.2), sledi (2.2.4). Analognu osobinu imaju integrali po koordinatama i z. Osobina (2.2.4) ne važi za krivolinijske integrale po luku jer je λ i za svako i = 1, 2,..., n bez obzira na položaj krive. Geometrijska interpretacija krivolinijskog integrala II vrste može da se dâ pod istim uslovom pripadnosti krive nekoj od koordinatnih ravni, kao u slučaju krivolinijskog integrala I vrste. Zato imamo u vidu istu situaciju (lika 2.1.1). Krivolinijski integral f(, ) d izračunava površinu projekcije cilindrične površi na z ravan, pod uslovom da je projektovanje bijek- tivno (lika 2.2.4). z i- 1 i Ti- 1 T i lika Znamo da znak krivolinijskog integrala II vrste, osim od znaka podintegralne funkcije, zavisi i od orijentacije krive. Na lici je izabrana ona orijentacija za koju je i i 1 > (i = 1, 2,..., n). U slučaju suprotne orijentacije je i i 1 < i vrednost integrala je negativna, pa za površinu treba uzeti f(, ) d. Uticaj znaka podintegralne funkcije na znak integrala je isti kod svih Riemannovih integrala, konkretno kod krivolinijskih integrala I i II vrste. Zato ranije dati komentari o izračunavanju površine u zavisnosti od znaka podintegralne funkcije ostaju i ovde na snazi. Interpretacija integrala f(, ) d je analogna prethodnoj, samo projektovanje treba vršiti na z ravan. pecijalno, neka pripada nekoj od koordinatnih osa, npr., neka je = [a, b] segment na osi. Tada se podintegralna funkcija P (,, z) svodi na

70 64 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO funkciju f() = P (,, ), a krivolinijski integral II vrste P (,, z) d na odred eni integral b f() d ako je kriva orijentisana od a ka b ili na a b f() d ako je orijentisana od b ka a. a NAPOMENA Bilo koja kriva se u literaturi često sreće pod imenom luk, put ili trajektorija. Tako se za krivu po kojoj se vrši integracija kaže da je kriva, luk ili put integracije. Čest je i termin smer integracije jer je orijentisana kriva. Krivolinijski integrali po luku i koordinatama su dobili svoja imena prema izabranim karakteristikama podeonih delova. U prvom slučaju se karakteristikom k(p i ) = λ i kriva (luk) tretira direktno. U drugom slučaju se karakteristikom, npr. k(p i ) = i i 1, kriva tretira posredno, preko njene projekcije na osu, tj. pomoću prvih koordinata njenih tačaka Izračunavanje krivolinijskih integrala Izračunavanje krivolinijskih, kao i ostalih Riemannovih integrala, svodi se na izračunavanje odgovarajućih odred enih integrala. Uslove i pravila prevod enja krivolinijskih na odred ene integrale formulisaćemo u obliku teorema Izračunavanje krivolinijskih integrala I vrste Teorema Ako je orijentisana kriva data parametarskim jednačinama : = (s), = (s), z = z(s) ; s [, l], gde je parametar s dužina dela krive merena od jedne njene granične tačke i l ukupna dužina krive, tada je l (2.3.1) H(,, z) dλ = H ( (s), (s), z(s) ) ds. okaz. Neka su A i B granične tačke krive, a s dužina dela krive merena od bilo koje granične tačke, npr. od tačke A. obzirom na značenje parametra s, očigledno je s [, l], pri čemu s = odgovara tački A, a s = l tački B. Još, neka su s = s i (i =, 1,..., n) vrednosti parametra s koje odgovaraju podeonim tačkama T i (like 2.3.1, 2.3.2). si- 1 s i Ti- 1 i T i Tn=B s i si- 1 T i i Ti- 1 T =B A= T A= T n lika lika

71 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 65 Za orijentaciju krive od tačke A ka tački B, tj. za = AB, parametar s raste od s = s = do s = s n = l, pa je λ i = s i s i 1 > za svako i = 1, 2,..., n (lika 2.3.1). Ako je s = σ i [s i 1, s i ] vrednost parametra koja odgovara tački X i (ξ i, η i, ζ i ) T i 1 T i, važi i λ (n) = X i (ξ i, η i, ζ i ) = X i ( (σi ), (σ i ), z(σ i ) ), H(X i ) = H ( (σ i ), (σ i ), z(σ i ) ) = f(σ i ) n H(X i ) λ i = i=1 n f(σ i ) (s i s i 1 ) = s (n). i=1 obijeni zbir s (n) je integralna suma za odred eni integral u kome je podintegralna funkcija f(s) = H ( (s), (s), z(s) ), a oblast integracije segment [, l]. Kako tačke s i (i =, 1,..., n) čine rastuću podelu segmenta [, l], to je H(,, z) dλ = lim λ(n) = lim s(n) = n n = l H ( (s), (s), z(s) ) ds. l f(s) ds Za suprotnu orijentaciju = BA parametar s opada od s = s = l do s = s n =, pa je λ i = s i 1 s i > za svako i = 1, 2,..., n (lika 2.3.2) i λ (n) = n f(σ i ) (s i 1 s i ) = i=1 n f(σ i ) (s i s i 1 ) = s (n). Kako tačke s i (i =, 1,..., n) čine opadajuću podelu segmenta [, l], to je i=1 H(,, z) dλ = lim λ(n) = lim s(n) = n n = l čime je dokaz teoreme završen. H ( (s), (s), z(s) ) ds, l f(s) ds = l f(s) ds Teorema Ako je orijentisana kriva data parametarskim jednačinama : = (t), = (t), z = z(t) ; t [α, β],

72 66 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO gde je parametar t proizvoljan, tada je (2.3.2) H(,, z) dλ = β α H ( (t), (t), z(t) ) 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt. okaz Teoreme je izveden u [6], str Ovde ga zbog komplikovanosti izostavljamo, uz napomenu da su za njegovu realizaciju potrebne jednakosti ti λ i = ± 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt, t i 1 gde su t i 1, t i vrednosti parametra t koje odgovaraju podeonim tačkama T i 1, T i. Pri tome je t i 1 < t i ako je pozitivno orijentisana prema efiniciji 1.2.1, a t i 1 > t i ako je negativno orijentisana. pecijalno, ako je parametar t neka od escartesovih koordinata, npr. [a, b], parametarske jednačine krive su ili, uobičajeno zapisano, i (2.3.2) postaje (2.3.3) = (t) = t, = (t), z = z(t) ; t [a, b] : = (), z = z() ; [a, b] H(,, z) dλ = b a H (, (), z() ) () + z 2 () d. U sva tri navedena slučaja (2.3.1), (2.3.2) i (2.3.3) granice odred enih integrala su uzete od manje ka većoj, tj. u smeru rasta izabranog parametra, što odgovara pozitivnoj orijentaciji krive (efinicija 1.2.1) bez obzira na njenu stvarnu orijentaciju, a u skladu je sa ranijim zaključkom da orijentacija krive ne utiče na krivolinijske integrale I vrste. Ukoliko se kriva sastoji od delova sa različitom parametrizacijom, treba primeniti opštu osobinu Riemannovih integrala (1.3.7). PRIMER Izračunati dužinu dela krive (cikloida) 1 : = t sin t, = 1 cos t, z = ; t R izmed u tačaka A(,, ) = O(,, ) i B(2π,, ).

73 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 67 Neka je kriva = AB deo zadate krive 1 (lika 2.3.3) čiju dužinu l = m() treba izračunati A B 2 4 lika užina l se izračunava prema (2.1.3), tj. l = Z dλ. Kriva ima parametarske jednačine kao 1, uz ograničenje za parametar t, : = t sin t, = 1 cos t, z = ; t [α, β], pri čemu vrednosti t = α i t = β, koje odgovaraju graničnim tačkama A i B, nisu poznate. Ove vrednosti se odred uju iz činjenice da je A, B, tj. da koordinate tačaka A i B zadovoljavaju jednačine krive. Za tačku A(,, ) je =, =, pa važi = t sin t, = 1 cos t. Iz druge jednačine dobijenog sistema je cos t = 1 i t = 2kπ (k =, ±1, ±2,... ). Za t = 2kπ prva jednačina postaje = 2kπ sin 2kπ. Kako je sin 2kπ =, to je 2kπ = i k =. akle, za tačku A je t = 2kπ =, pa je α =. Analogno, za tačku B(2π,, ) je = 2π, =, pa je 2π = t sin t, = 1 cos t. Iz druge jednačine je t = 2kπ, što smenom u prvu daje 2π = 2kπ i k = 1. t = 2kπ = 2π i β = 2π. Konačno, parametarske jednačine krive su : = t sin t, = 1 cos t, z = ; t [, 2π]. Prema tvrd enju (2.3.2) Teoreme sa H(,, z) 1 dužina l je Z 2π q l = 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt. Kako je (t) = 1 cos t, (t) = sin t, z (t) = ; 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) = 2(1 cos t), ada je dalje je l = Z 2π p 2(1 cos t) dt.

74 68 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Primenom jednakosti 1 cos t = 2 sin 2 t 2 i imajući u vidu da je sin t za t/2 [, π], tj. t [, 2π], poslednji odred eni integral 2 se jednostavno rešava i dobija se l = Z 2π = 4 cos t 2 Z r4 sin 2 t2 2π dt = 2 sin t 2 dt = 2 Z 2π 2π = 4(cos π cos ) = 4( 1 1) = 8. Z sin t 2π 2 dt = 4 sin t t 2 d 2 NAPOMENA Primećujemo da u Primeru oblast definisanosti R krive 1 nije ograničena kao u efiniciji Kako je u ovakvim i sličnim slučajevima moguće ograničiti oblast definisanosti na bilo koji segment [α, β] R, efinicija i sve njene posledice ostaju na snazi. Ovu činjenicu nadalje podrazumevamo i dozvoljavamo da oblast definisanosti krive bude proizvoljna, a biramo onaj segment unutar nje koji nam za posmatrani problem odgovara. PRIMER Izračunati površinu dela cilindrične površi 1 : = a koji se nalazi unutar sfere gde je a > konačan realan broj. 2 : z 2 = a 2, Neka je cilindrična površ deo zadate cilindrične površi 1 čiju površinu m treba izračunati. Takod e, neka je direktrisa, a 1 i 2 bazisi površi koji nastaju u preseku 1 sa sferom 2. fera 2 je centralna poluprečnika a (lika 2.3.4). Zbog simetrije površi u odnosu na ravan, posmatramo samo deo iznad ravni za koji je z. z a a a 1 lika Iz zadate implicitne jednačine sfere 2 jednačina gornje polusfere (z ) je z = ± p a 2 2 2, pa je eksplicitna z = f(, ) = p a 2 2 2

75 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 69 i očigledno važi f(, ) za (, ). Prema geometrijskom tumačenju krivolinijskog integrala I vrste, polovina tražene površine je Z m p 2 Z = f(, ) dλ = a dλ. irektrisa ima istu jednačinu kao cilindrična površ, odnosno 1, pa je tj. je kružnica u ravni (z = ) : = a, z =, : a = a2 2 4, sa centrom u tački (a/2,, ) i poluprečnika a/2. Poslednja jednačina je oblika (1.4.21). Uvod enjem polarnih koordinata sa (1.4.4), tj. sa = r cos ϕ, = r sin ϕ, dobijaju se parametarske jednačine kružnice oblika (1.4.22), : = a cos 2 ϕ, = a cos ϕ sin ϕ, z = ; ϕ Prema tvrd enju (2.3.2) Teoreme sa t = ϕ, je q a 2 2 (ϕ) 2 (ϕ) Kako je dalje je Z m π/2 2 = π/2 h i π 2, π. 2 q 2 (ϕ) + 2 (ϕ) + z 2 (ϕ) dϕ. 2 (ϕ) + 2 (ϕ) = a 2 cos 4 ϕ + a 2 cos 2 ϕ sin 2 ϕ = a 2 cos 2 ϕ ; (ϕ) = 2a cos ϕ sin ϕ = a sin 2ϕ, (ϕ) = a sin 2 ϕ + a cos 2 ϕ = a cos 2ϕ, z (ϕ) = ; 2 (ϕ) + 2 (ϕ) + z 2 (ϕ) = a 2, Z m π/2 p Z 2 = a 2 a 2 cos 2 ϕ π/2 p Z π/2 a 2 dϕ = a 2 1 cos 2 ϕ dϕ = a 2 sin ϕ dϕ. π/2 π/2 π/2 Funkcija sin je parna, a segment [ π/2, π/2] simetričan, pa važi (1.3.5). Još je sin ϕ za ϕ [, π/2]. Zato je Z m π/2 2 = 2a2 sin ϕ dϕ = 2a 2 cos ϕ π/2 = 2a 2 i konačno m = 4a 2.

76 7 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Kako je (1.4.21) specijalan slučaj kružnice (1.4.18), umesto (1.4.4) može da se uvede smena (1.4.2), tj. a = r cos ϕ, = r sin ϕ, 2 posle koje se dobijaju parametarske jednačine oblika (1.4.19), : = a 2 + a 2 cos ϕ, = a sin ϕ, z = ; ϕ [, 2π], 2 a dalje se postupak odvija analogno. Teorijski posmatrano, svejedno je koje parametarske jednačine krive se koriste. U praksi se, naravno, koriste one koje omogućavaju jednostavnije rešavanje odgovarajućeg odred enog integrala. NAPOMENA Parametrizacija zatvorene krive u ravni pomoću neke od escartesovih koordinata ne može da se izvrši jedinstveno za celu krivu (Napomena 1.4.3). Tada se kriva deli i svaki od delova se parametrizuje zasebno. Ovakav način rada najčešće dovodi i do znatno komplikovanijeg rešavanja odred enih integrala. U Primeru 2.3.2, za t =, imamo = 1 2 i 1 : = t, = p at t 2, z = ; t [, a], 2 : = t, = p at t 2, z = ; t [, a], a rešavanje integrala prepuštamo čitaocu. Nemogućnost jedinstvene parametrizacije, kao i otežano izračunavanje su razlozi zbog kojih se escartesove koordinate izbegavaju kao parametri u slučaju zatvorenih krivih Izračunavanje krivolinijskih integrala II vrste Krivolinijski integrali II vrste se rešavaju na isti način po bilo kojoj od koordinata, pa svod enje na odred eni integral dajemo samo za integral po koordinati. Teorema Ako je pozitivno orijentisana kriva data parametarskim jednačinama : = (t), = (t), z = z(t) ; t [α, β], tada je (2.3.4) P (,, z) d = + β α P ( (t), (t), z(t) ) (t) dt. okaz. Neka su t = t i (i =, 1,..., n) vrednosti parametra t [α, β] koje odgovaraju podeonim tačkama T i. Zbog pretpostavljene pozitivne orijentacije krive, parametar t raste od t = t = α do t = t n = β, pa je

77 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 71 t i t i 1 > za svako i = 1, 2,..., n. Ako je t = τ i [t i 1, t i ] vrednost parametra koja odgovara tački X i (ξ i, η i, ζ i ) T i 1 T i, važi i (n) = T i ( i, i, z i ) = T i ( (ti ), (t i ), z(t i ) ), X i (ξ i, η i, ζ i ) = X i ( (τi ), (τ i ), z(τ i ) ), P (X i ) = P ( (τ i ), (τ i ), z(τ i ) ) = φ(τ i ) n P (X i ) ( i i 1 ) = i=1 n φ(τ i ) ((t i ) (t i 1 ) ). Funkcija (t) je neprekidna na [α, β], pa je neprekidna i na [t i 1, t i ] za svako i = 1, 2,..., n. Zbog već postignutog dogovora da radimo samo sa deo po deo glatkim krivama, ne umanjujući opštost pretpostavljamo da je glatka kriva (efinicija 1.1.1). To znači da je (t) neprekidna funkcija na [α, β], odakle sledi da je (t) diferencijabilna na [α, β], tj. na [t i 1, t i ] za svako i = 1, 2,..., n ([4], str. 4). Prema agrangeovoj teoremi ([4], str. 35), postoje tačke ˆτ i [t i 1, t i ] takve da je (t i ) (t i 1 ) = (ˆτ i ) (t i t i 1 ). Zato je dalje n (n) = φ(τ i ) (ˆτ i ) (t i t i 1 ), (n) i=1 n φ(τ i ) (τ i ) (t i t i 1 ) i=1 i=1 n φ(τ i ) (ˆτ i ) (τ i ) (t i t i 1 ). Funkcija P (,, z) je neprekidna na, što znači da je funkcija φ(t) = P ( (t), (t), z(t) ) neprekidna na [α, β] (Napomena 2.1.1). Kao neprekidna, φ(t) je i ograničena funkcija ([3], str. 317), tj. postoji konačan broj M > tako da je φ(t) M za svako t [α, β]. Takod e, iz neprekidnosti funkcije (t) sledi da za svako ρ n > postoji dovoljno sitna podela segmenta [α, β] tako da je (ˆτ i ) (τ i ) < ρ n ([3], str. 39). Neka ρ n kad n. Tada je lim (n) n i=1 n φ(τ i ) (τ i ) (t i t i 1 ) i=1 lim n Mρ n(β α) = M(β α) lim n ρ n = i lim (n) = lim n n n φ(τ i ) (τ i ) (t i t i 1 ). i=1

78 72 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Zbir na desnoj strani jednakosti je integralna suma za odred eni integral u kome je podintegralna funkcija f(t) = φ(t) (t) = P ( (t), (t), z(t) ) (t), a oblast integracije segment [α, β]. Kako tačke t i (i =, 1,..., n) čine rastuću podelu segmenta [α, β], to neposredno sledi tvrd enje teoreme + P (,, z) d = β α f(t) dt = β α P ( (t), (t), z(t) ) (t) dt. pecijalno, ako je parametar t neka od escartesovih koordinata, npr. [a, b], parametarske jednačine krive su i (2.3.4) postaje (2.3.5) : = (), z = z() ; [a, b] + P (,, z) d = b Takod e, za parametar [c, d] i jednačine je (2.3.6) a P (, (), z() ) d. : = (), z = z() ; [c, d] + P (,, z) d = d c P ( (),, z() ) () d. U skladu sa (2.3.4), potpuni krivolinijski integral II vrste se prevodi na odred eni pomoću (2.3.7) P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz + β [ = P ( (t), (t), z(t) ) (t) + Q ( (t), (t), z(t) ) (t) α + R ( (t), (t), z(t) ) ] z (t) dt. Prema osobini (1.3.8), koja važi za krivolinijske integrale II vrste i odred ene integrale, za negativno orijentisanu krivu je α P (,, z) d = P (,, z) d = P ( (t), (t), z(t) ) (t) dt. + β

79 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 73 Iz poslednje jednakosti i jednakosti (2.3.4) vidimo da su granice u odred enim integralima uzete od manje ka većoj ako je kriva pozitivno i od veće ka manjoj ako je kriva negativno orijentisana u odnosu na izabrani parametar. Jasno, isto važi i u jednakostima (2.3.5) (2.3.7). Pri prelasku s jednog parametra na drugi treba biti oprezan zbog moguće promene orijentacije od pozitivne u negativnu i obrnuto. Zato je najbolje unositi granice u odred eni integral onim redosledom koji prati orijentaciju krive, bez obzira da li je to pozitivna AB i neka tačkama A i ili negativna orijentacija. Na primer, neka je = B odgovaraju vrednosti parametra t = α i t = β redom. Tada orijentaciji = AB odgovara P (,, z) d B a orijentaciji = BA odgovara P (,, z) d A A B P (,, z) d = P (,, z) d = β α α β P ( (t), (t), z(t) ) (t) dt, P ( (t), (t), z(t) ) (t) dt. Za krivolinijski integral duž krive sa graničnim tačkama A i B smo upotrebili ekvivalentne oznake B A ili A. Ove oznake ćemo i nadalje često B da koristimo jer one, osim na krivu, ukazuju i na njenu orijentaciju. Primetimo da parametar t = s, gde je s dužina dela krive, nije karakterističan za krivolinijske integrale II vrste kao što je za integrale I vrste. Zato ga treba tretirati kao proizvoljan parametar, tj. za prevod enje krivolinijskog II vrste na odred eni integral treba koristiti jednakost (2.3.4). Budući da orijentacija krive utiče na integrale II vrste, u slučaju upotrebe parametra s mora da bude precizirano od koje granične tačke krive se s meri. Ako se kriva sastoji od delova sa različitom parametrizacijom, treba primeniti osobinu (1.3.7). NAPOMENA Formule (2.3.3) i (2.3.5) smo dobili iz formula (2.3.2) i (2.3.4) kao specijalne slučajeve. Moguć je i obrnuti postupak, da se (2.3.3) i (2.3.5) dokažu, a iz njih izvedu (2.3.2) i (2.3.4). To se vrši smenom = (t) u odred ene integrale, gde je (t) funkcija koja figuriše u parametarskim jednačinama krive. Ovaj postupak je prirodniji od iznetog u slučaju krivolinijskih integrala II vrste jer su escartesove koordinate za njih karakteristični parametri u sledećem smislu. Na primer, koordinata je karakteristična za krivolinijske integrale po koordinati, ali ne i za krivolinijske integrale po koordinatama i z. PRIMER Izračunati površinu projekcije na z ravan dela cilindrične površi 1 : = a

80 74 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO koji se nalazi unutar sfere za i a >. 2 : z 2 = a 2 Neka je cilindrična površ koju treba projektovati na z ravan i m površina njene projekcije. Takod e, neka je direktrisa, a 1 i 2 bazisi koji nastaju u preseku 1 i 2. fera 2 je centralna poluprečnika a (lika 2.3.5). Zbog simetrije površi u odnosu na ravan, posmatramo samo deo za koji je z. z a a a 1 lika Prema geometrijskom tumačenju krivolinijskog integrala II vrste i imajući u vidu da je površ polovina cilindrične površi iz Primera za, koristimo iste oznake i dobijamo Z m p 2 Z = f(, ) d = a d. a bi vrednost krivolinijskog integrala bila pozitivna, je orijentisana tako da bude i i 1 > za svako i = 1, 2,..., n (lika 2.2.1). Parametarske jednačine direktrise smo već odredili : = a cos 2 ϕ, = a cos ϕ sin ϕ, z = ; ϕ h i, π, 2 pri čemu su granice parametra ϕ uzete u skladu sa uslovom. Za izabranu orijentaciju krive parametar ϕ se menja od ϕ = π/2 do ϕ =, pa je negativno orijentisana. Prema osobini (1.3.8) i tvrd enju (2.3.4) Teoreme sa t = ϕ, je Z m π/2 q 2 = a 2 2 (ϕ) 2 (ϕ) (ϕ) dϕ pa je = Z π/2 = 2a 2 Z π/2 p a 2 a 2 cos 2 ϕ ( 2a cos ϕ sin ϕ) dϕ = 2a 2 Z π/2 sin 2 ϕ d(sin ϕ) = 2a 2 sin3 ϕ 3 m = 4 3 a2. π/2 = 2 3 a2, cos ϕ sin 2 ϕ dϕ

81 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 75 PRIMER gde je kriva presek površi Izračunati potpuni krivolinijski integral II vrste I = Z d + z d + dz, 1 : + z = a, 2 : z 2 = a 2 za a >. Posmatrano sa pozitivnog dela z ose, je pozitivno orijentisana. Površ 1 je cilindrična površ čija je direktrisa prava = z+a u z ravni (lika 2.3.6), a izvodnice su paralelne osi. akle, 1 je ravan koja osu ( =, z = ) seče u tački (a,, ), a z osu u tački (,, a). Površ 2 je centralna sfera poluprečnika a (lika 2.3.7). a je označena saglasno orijentisana projekcija krive na ravan (lika 1.2.9). z a a 1 2 a z a a lika lika a bismo odredili parametarske jednačine krive, prethodno odred ujemo parametarske jednačine njene projekcije. Proizvoljna tačka X(,, z) istovremeno pripada i ravni 1 i sferi 2, pa njene koordinate zadovoljavaju sistem jednačina + z = a, z 2 = a 2. Iskazujući z = a iz prve jednačine i smenom u drugu jednačinu, dobija se ekvivalentni sistem a =, z = a. druge strane, projekcija X (,, ) tačke X ima iste koordinate, kao i tačka X, pa koordinate tačke X zadovoljavaju prvu od jednačina prethodnog sistema. Zato je jednačina projekcije : a =, z =. Jednostavnim transformacijama se dobija a 2 : 2 a a 2 2 = 1, što znači da je elipsa sa centrom u tački (a/2,, ) i poluosama a/2, a/ 2 na i osi redom. Poslednja jednačina je oblika (1.4.26). Uvod enjem smene (1.4.28), tj. a 2 a 2 = r cos ϕ, a 2 = r sin ϕ,

82 76 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO dobijaju se parametarske jednačine elipse oblika (1.4.27), : = a 2 + a 2 cos ϕ, = a 2 sin ϕ, z = ; ϕ [ π, π]. Povratkom u jednačinu z = a slede i parametarske jednačine krive : = a 2 + a 2 cos ϕ, = a sin ϕ, z = a 2 2 a cos ϕ ; ϕ [ π, π]. 2 Zadata orijentacija krive predstavlja, u stvari, orijentaciju njene projekcije, a je samo orijentisana saglasno sa (lika i komentar uz sliku). Zato se parametar ϕ menja od ϕ = π do ϕ = π, pa je pozitivno orijentisana. Prema jednakosti (2.3.7) sa t = ϕ, je Z π h i I = (ϕ) (ϕ) + z(ϕ) (ϕ) + (ϕ) z (ϕ) dϕ. Kako je to je I = = Z π π Z π h a2 π = a2 2 2 π (ϕ) = a 2 sin ϕ, (ϕ) = a 2 cos ϕ, z (ϕ) = a 2 sin ϕ, h a 2 sin ϕ a a 2 sin ϕ + 2 a a 2 a 2 cos ϕ cos ϕ a a i 2 cos ϕ 2 sin ϕ dϕ i a2 2 a2 a2 cos ϕ + sin ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ Z π π a2 dϕ Z π π cos ϕ dϕ + a2 4 Z π π sin ϕ dϕ + a2 4 Z π π cos ϕ sin ϕ dϕ. Funkcije sin ϕ i cos ϕ sin ϕ su neparne, a segment [ π, π] simetričan, pa važi (1.3.5), tj. Z π π sin ϕ dϕ =, Z π π cos ϕ sin ϕ dϕ =. Zato je dalje I = a2 2 2 ϕπ π + a2 2 2 sin ϕπ π = 1 2 a 2 π. Elipsu smo mogli da tretiramo kao specijalan slučaj (1.4.29). Tada se uvode uopštene polarne koordinate sa (1.4.7), tj. smena (1.4.25), = a 2 r cos ϕ, = a 2 r sin ϕ, posle koje se dobijaju parametarske jednačine elipse oblika (1.4.3) i odgovarajuće parametarske jednačine krive : = a cos 2 ϕ, = 2 a cos ϕ sin ϕ, z = a sin 2 ϕ ; ϕ h i π 2, π. 2 Med utim, ovakva parametrizacija krive dovodi do odred enog integrala koji se znatno teže rešava.

83 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 77 U parametarskim jednačinama (1.4.27) smo uzeli simetričan segment [ π, π] umesto segmenta [, 2π] da bismo mogli da iskoristimo jednakosti (1.3.5) i uprostimo izračunavanje odred enog integrala. Ovo je razlog zbog kog je skoro uvek bolje uzimati simetričan od nekog drugog segmenta. NAPOMENA Ako je kriva zadata kao presek površi 1, 2 i ako je njena projekcija na ravan, postupak iz Primera kojim se dolazi do jednačine projekcije je, u stvari, eliminacija z koordinate iz jednačina površi 1 i 2. Analogno, eliminacijom koordinate se dobija jednačina projekcije z na z ravan, a eliminacijom koordinate jednačina projekcije z na z ravan. U Primeru iz sistema + z = a, z 2 = a 2 eliminišemo tako što iz prve jednačine iskazujemo = a z i zamenom u drugu jednačinu dobijamo 2z az =, pa je jednačina projekcije na z ravan z : 2z az =, =. Uopšte uzev, nalaženje jednačine projekcije, njena parametrizacija, kao i parametrizacija same krive, mogu da predstavljaju značajan problem, pa nije svejedno na koju koordinatnu ravan se vrši projektovanje. Na ovom mestu primetimo i sledeće. Neka su, npr., za odred ivanje parametarskih jednačina projekcije upotrebljene polarne (1.4.4) ili uopštene polarne koordinate (1.4.7). Tada čitav postupak iz Primera nije ništa drugo nego odred ivanje parametarskih jednačina krive uvod enjem cilindričnih (1.4.8) ili uopštenih cilindričnih koordinata (1.4.1). NAPOMENA Ako je za odred ivanje parametarskih jednačina prostorne krive potrebno prethodno odrediti jednačinu njene projekcije na neku od koordinatnih ravni, dajemo nekoliko praktičnih saveta. 1 Ukoliko se kriva bijektivno projektuje samo na jednu koordinatnu ravan, nalazi se jednačina projekcije upravo na tu koordinatnu ravan da bi se izbeglo rastavljanje krive na bijektivne delove u odnosu na ostala projektovanja i rešavanje više umesto jednog odred enog integrala. 2 Ukoliko se kriva bijektivno projektuje na dve ili tri koordinatne ravni, bira se ono projektovanje za koje se jednačina projekcije krive najlakše nalazi i odgovarajući odred eni integral najlakše rešava. U Primeru su projektovanja na i z ravan bijekcije, dok projektovanje na z ravan to nije. Pri tome su projekcije i z ravnopravne po pitanju nalaženja njihovih jednačina i rešavanja odgovarajućih odred enih integrala. 3 Pogodna situacija je kada je bijektivna projekcija krive u slučaju 1 ili neka od bijektivnih projekcija u slučaju 2 direktrisa već poznate cilindrične površi jer tada jednačina projekcije ne mora da se odred uje. 4 Ukoliko je kriva sastavljena od delova sa različitom parametrizacijom, posle deobe se svaki od delova tretira kao posebna kriva i na nju se primenjuje odgovarajući od prethodnih zaključaka. a krivama koje se ne projektuju bijektivno ni na jednu od koordinatnih ravni nećemo da se srećemo u okviru ovog kursa. Inače, u tom slučaju treba vršiti deobu krive na bijektivne delove u odnosu na ono projektovanje kojim se do željenog rezultata najjednostavnije dolazi.

84 78 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO 2.4. Veza izmed u krivolinijskih integrala I i II vrste Razmatramo, najpre, jednostavniji slučaj kada orijentisana kriva pripada nekoj od koordinatnih ravni, npr. ravni. Neka je kriva = AB zadata parametarskim jednačinama : = (t), = (t), z = ; t [t 1, t 2 ], pri čemu vrednost parametra t = t 1 odgovara graničnoj tački A, a vrednost t = t 2 graničnoj tački B. U proizvoljnoj tački X(,, ) = X(, ) postavimo tangentu i sečicu krive i orijentišimo ih saglasno orijentaciji krive (lika 1.2.1). a α, ψ [, π] označimo manje od uglova koje orijentisana tangenta i sečica zaklapaju sa pozitivnim delom ose (lika 2.4.1), a sa β, θ [, π] manje od uglova koje one zaklapaju sa pozitivnim delom ose (lika 2.4.2). Još, neka su,, h priraštaji po osi, osi i sečici redom kada se tačka X kreće duž krive u zadatom smeru od položaja X(, ) do položaja M( +, + ). X A h M N + B + N X A h M B lika lika Kako je X(, ) = X ( (t), (t) ) proizvoljna tačka, sve prethodno uvedene veličine zavise od položaja tačke X na krivoj, tj. od njenih koordinata, koje su funkcije nezavisnog parametra t, pa važi: (2.4.1) = (t), = (t), h = h(t) ; ψ = ψ(, ) = ψ ( (t), (t) ), θ = θ(, ) = θ ( (t), (t) ) ; α = α(, ) = α ( (t), (t) ), β = β(, ) = β ( (t), (t) ).

85 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 79 Ako je t priraštaj parametra koji tačku X dovodi u položaj M, tada je i M( +, + ) = M ( (t) + (t), (t) + (t) ) = M ( (t + t), (t + t) ) (t) = (t + t) (t), (t) = (t + t) (t), što znači da su (t) i (t) priraštaji funkcija (t) i (t). Iz pravouglih trouglova sa temenima N, X, M (like i 2.4.2) je h = ( ) 2 + ( ) 2 ; cos ψ = h, cos θ = h. Zato je dalje cos ψ = t h t = t ( ) 2 ( ), cos θ = 2 ± + t t t ( ) 2 ( ), 2 ± + t t pri čemu se ispred kvadratnog korena uzima znak + za t >, a znak za t <. Kad t, tačka M se približava tački X, sečica se približava tangenti, ugao ψ uglu α, ugao θ uglu β i sledi: (2.4.2) (2.4.3) lim t t = (t), lim t cos α = lim cos ψ = ± t t = (t) ; (t) 2 (t) + 2 (t) cos β = lim cos θ = ± (t) t 2 (t) + 2 (t)., U jednakostima (2.4.2) i (2.4.3) znak + odgovara rastućoj promeni parametra ( t > ), a znak opadajućoj promeni ( t < ). Uočimo da dobijeni izrazi ukazuju na zavisnost cos α = cos α(, ) = cos α ( (t), (t) ), cos β = cos β(, ) = cos β ( (t), (t) ), što je logična posledica zavisnosti (2.4.1).

86 8 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO obzirom na orijentaciju krive od tačke A ka tački B i rast parametra t, uz upotrebu oznake H(, ) = P (, ) cos α(, ) i korišćenjem jednakosti (2.3.4), rezultata (2.4.2) i jednakosti (2.3.2) redom, dobijamo P (, ) d = B A t2 P (, ) d = t2 t 1 P ( (t), (t) ) (t) dt = P ( (t), (t) ) cos α ( (t), (t) ) 2 (t) + 2 (t) dt t 1 t2 = H ( (t), (t) ) 2 (t) + 2 (t) dt = H(, ) dλ t 1 = P (, ) cos α(, ) dλ. Analogno je, za oznaku i rezultat (2.4.3), Q(, ) d = B A t2 H(, ) = Q(, ) cos β(, ) Q(, ) d = t2 t 1 Q ( (t), (t) ) (t) dt = Q ( (t), (t) ) cos β ( (t), (t) ) 2 (t) + 2 (t) dt t 1 t2 = H ( (t), (t) ) 2 (t) + 2 (t) dt = H(, ) dλ t 1 = Q(, ) cos β(, ) dλ. abiranjem poslednje dve jednakosti i podrazumevajući cos α = cos α(, ), cos β = cos β(, ), sledi (2.4.4) [ ] P (, ) d + Q(, ) d = P (, ) cos α + Q(, ) cos β dλ.

87 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 81 Za suprotnu orijentaciju = BA, parametar t opada, pa se u jednakostima (2.4.2) i (2.4.3) uzima znak, što dovodi do istih rezultata, npr. t1 P (, ) d = P ( (t), (t) )[ cos α ( (t), (t) ) ] 2 (t) + 2 (t) dt t 2 t2 = P ( (t), (t) ) cos α ( (t), (t) ) 2 (t) + 2 (t) dt t 1 = P (, ) cos α(, ) dλ. Geometrijski posmatrano, promena orijentacije krive povlači promenu smera tangente, čime se uglovi α i β menjaju u uglove α 1 i β 1 takve da je α+α 1 = π (lika 2.4.3), β+β 1 = π (lika 2.4.4), pa je cos α 1 = cos α, cos β 1 = cos β. akle, jednakost (2.4.4) važi za bilo koju orijentaciju krive. Uočavamo da u ovom slučaju orijentacija utiče i na integrale I i na integrale II vrste, ali se taj uticaj ispoljava na različite načine: kod integrala II vrste kroz znak diferencijala d i d, koji potiču od odgovarajućih karakteristika k(p i ) = i i 1 i k(p i ) = i i 1, a kod integrala I vrste kroz znak podintegralne funkcije. X 1 B 1 X B A A lika lika Ako je prostorna kriva data jednačinama : = (t), = (t), z = z(t) ; t [t 1, t 2 ], tada se slično prethodnom izvodi: (2.4.5) cos α = ± (t), 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) cos β = ± (t), 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) cos γ = ± z (t), 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t)

88 82 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO gde uglovi α i β imaju isto značenje kao ranije, γ je manji od uglova izmed u orijentisane tangente i pozitivnog dela z ose, a znaci + i odgovaraju rastućoj, odnosno opadajućoj promeni parametra t redom. obija se (2.4.6) = pri čemu važi zavisnost P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz [ P (,, z) cos α + Q(,, z) cos β + R(,, z) cos γ ] dλ, cos α = cos α(,, z) = cos α ( (t), (t), z(t) ), cos β = cos β(,, z) = cos β ( (t), (t), z(t) ), cos γ = cos γ(,, z) = cos γ ( (t), (t), z(t) ). Jednakost (2.4.6) predstavlja traženu vezu izmed u potpunog krivolinijskog integrala II vrste i krivolinijskog integrala I vrste. NAPOMENA o jednakosti (2.4.5) može da se dod e i jednostavnije. U proizvoljnoj tački (,, z) vektor saglasno orijentisane tangente je jedan od vektora t = ± (t), (t), z (t), sa znakom + ako je pozitivno orijentisana (parametar t raste), a sa znakom ako je negativno orijentisana (parametar t opada). Tada je q t = 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) i odgovarajući jedinični vektor glasi t = t t = ± (t) t, (t) t druge strane, za ma koji jedinični vektor v važi v = (cos α, cos β, cos γ),, z (t). t gde su α, β, γ manji od uglova koje taj vektor zaklapa sa pozitivnim delovima koordinatnih osa ([5], str. 2). Birajući specijalno v = t, iz prethodnog sledi cos α = ± (t) t, cos β = ± (t) t, cos γ = ± z (t) t, što su upravo jednakosti (2.4.5).

89 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 83 Nevezano za jednakost (2.4.6), na ovom mestu izvodimo još jedan zaključak. U tom cilju navodimo rezultat (2.4.7) dλ = ± 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt, u kome znak + odgovara rastućoj promeni parametra t (dt > ), a znak opadajućoj promeni (dt < ). iferencijal dλ > predstavlja dužinu beskonačno malog dela krive jer nastaje iz dužine λ i podeonog dela krive kad n i λ i ([4], str ). Prema (2.4.7), iz (2.4.5) sledi (2.4.8) d = (t) dt = ± cos α 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt = cos α dλ, d = (t) dt = ± cos β 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt = cos β dλ, dz = z (t) dt = ± cos γ 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt = cos γ dλ. Posmatrajmo dalje vektor (2.4.9) dλ = (d, d, dz) = (cos α dλ, cos β dλ, cos γ dλ). Kako je t = (cos α, cos β, cos γ) jedinični vektor tangente u tački X, to je dλ = t dλ vektor tangente koji ima početak u proizvoljnoj tački krive, smer saglasan orijentaciji krive i dužinu dλ = dλ. Vektor dλ i njegov moduo dλ su vektorski i skalarni element krive redom. U Primeru smo dužinu l krive odredili pomoću jednakosti l = dλ = t2 t 1 2 (t) + 2 (t) + z 2 (t) dt, koja je specijalan slučaj tvrd enja (2.3.2) Teoreme o iste jednakosti se dolazi i primenom rezultata (2.4.7) kad parametar t raste ([4], str. 285). NAPOMENA a bismo mogli da upotrebimo standardne oznake α, β, γ za uglove izmed u tangente krive i koordinatnih osa, dosadašnji zapis t [α, β] u opštim parametarskim jednačinama krive smo privremeno zamenili zapisom t [t 1, t 2 ]. NAPOMENA Ako je kriva zadata parametarskim jednačinama : = (s), = (s), z = z(s) ; s [, l], gde s i l imaju isto značenje kao u Teoremi 2.3.1, umesto (2.4.5) i (2.4.7) se dobijaju jednostavniji izrazi ([6], str ): cos α = ± (s), cos β = ± (s), cos γ = ±z (s) ; dλ = ±ds,

90 84 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO pri čemu se znak + uzima kada se dužina s meri od početne tačke krive i raste, a znak kada se s meri od krajnje tačke i opada. Jasno da rezultati (2.4.6), (2.4.8) i (2.4.9) ostaju isti. PRIMER Izračunati potpuni krivolinijski integral II vrste I = Z d + d + dz, gde je bilo koji isto orijentisani deo prave 1 i dužine l. Tangenta u proizvoljnoj tački zadate prave 1 je sama prava 1. Zato ma koji orijentisani deo, kao vektor tangente, gradi konstantne uglove α, β, γ sa pozitivnim delovima koordinatnih osa, pa su cos α, cos β, cos γ takod e konstante. Primenom jednakosti (2.4.6) integral I postaje krivolinijski I vrste I = Z (cos α + cos β + cos γ) dλ = (cos α + cos β + cos γ) = (cos α + cos β + cos γ) l Z dλ i ima konstantnu vrednost za istu orijentaciju delova. PRIMER Ako je orijentisana kružnica u ravni : = 4, z =, odrediti jedinične vektore saglasno orijentisane tangente u tačkama A(2,, ), B(, 2, ) i C( 2, 2, ). Parametarske jednačine kružnice su : = 2 cos ϕ, = 2 sin ϕ, z = ; ϕ [ π, π], gde je parametar ϕ polarni ugao. Tačkama A, B i C odgovaraju vrednosti parametra ϕ =, ϕ = π/2 i ϕ = 3π/4 redom. Jedinični vektor tangente t = (cos α, cos β, ) odred ujemo pomoću jednakosti (2.4.2) i (2.4.3), imajući u vidu da je (ϕ) = 2 sin ϕ, (ϕ) = 2 cos ϕ ; 2 (ϕ) + 2 (ϕ) = 4. Ako je pozitivno orijentisana (lika 2.4.5), parametar ϕ raste i jednakosti (2.4.2), (2.4.3) postaju cos α = sin ϕ, cos β = cos ϕ. Zamenom odgovarajućih vrednosti parametra dobijamo: cos α =, cos β = 1 za tačku A (ϕ = ), cos α = 1, cos β = za tačku B (ϕ = π/2) i cos α = 2/2, cos β = 2/2 za tačku C (ϕ = 3π/4). Zato su traženi jedinični vektori t (A) = (, 1, ), t (B) = ( 1,, ), t (C) = ( 2/2, 2/2, ).

91 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 85 Ako je negativno orijentisana (lika 2.4.6), parametar ϕ opada i jednakosti (2.4.2), (2.4.3) glase cos α = sin ϕ, cos β = cos ϕ, što daje jedinične vektore t (A) = (, 1, ), t (B) = (1,, ), t (C) = ( 2/2, 2/2, ). t (B) B + 1 t (B) C t (C) 2 t (A) A + t (C) C t (C) B 2 t (B) A 1 t (A) lika lika Primetimo da je u slučaju pozitivne orijentacije kružnice α = π/2, β = za tačku A, α = π, β = π/2 za tačku B i α = π/4, β = 3π/4 za tačku C. U slučaju negativne orijentacije je α = π/2, β = π za A, α =, β = π/2 za B i α = 3π/4, β = π/4 za C. Na lici su označeni uglovi α i β koji odgovaraju tački B, tj. vektoru t (B), a na lici isti uglovi za tačku C, tj. vektor t (C) Vektorski krivolinijski integrali Osim skalarnih funkcija sa kojima smo do sada radili, postoje i vektorske funkcije. Vektorske funkcije su predmet izučavanja posebne oblasti matematike Vektorska analiza ([2], str ; [6], str. 3 14, 15). Ovde navodimo samo neke za nas važne činjenice. Vektorske funkcije se definišu analogno skalarnim. Med utim, za razliku od skalarnih funkcija, čije vrednosti su skalari, vrednosti vektorskih funkcija su vektori. Komponente (projekcije, koordinate) vektorske funkcije su skalarne funkcije istih argumenata kao i sama vektorska funkcija. Na primer, ako je a = a(,, z) vektorska funkcija tri nezavisno promenljive,, z, tada je a = (a 1, a 2, a 3 ), gde su komponente a 1, a 2, a 3 skalarne funkcije a 1 = a 1 (,, z), a 2 = a 2 (,, z), a 3 = a 3 (,, z). Kako vektor položaja r tačke X(,, z) ima iste koordinate kao tačka X, tj. r = (,, z), to se za vektorsku funkciju a = a(,, z) i skalarnu funkciju f = f(,, z) ravnopravno upotrebljavaju oznake a(,, z) = a(x) = a( r ), f(,, z) = f(x) = f( r ).

92 86 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Često se terminološki ne pravi razlika izmed u vektorske funkcije i konstantnog vektora i za oba pojma se koristi isti kraći naziv vektor. Takod e, nazivi komponente, projekcije ili koordinate se podjednako odnose i na vektorsku funkciju i na konstantan vektor. Ovakvu terminologiju smo prećutno i do sada koristili. Ako su parametarske jednačine krive : = (t), = (t), z = z(t) ; t [α, β], X(,, z) proizvoljna tačka i r njen vektor položaja, tada je : r = r(t) = ( (t), (t), z(t) ) ; t [α, β] vektorska jednačina krive, pri čemu je očigledno r = r(t) vektorska funkcija jedne nezavisno promenljive t. Pokazuje se ([6], str. 8) da je diferencijal ove vektorske funkcije vektor dr = d r = (d, d, dz) i, prema (2.4.9), (2.5.1) d r = dλ. Kod vektorskih krivolinijskih integrala situacija je ista kao kod krivolinijskih integrala I i II vrste. Oblast integracije je OI =, gde je orijentisana prostorna kriva. Kriva se deli tačkama T i (i =, 1,..., n) na delove P i = T i 1 T i (i = 1, 2,..., n) i u svakom od njih se bira tačka X i. Vektorski krivolinijski integrali se od integrala I i II vrste razlikuju u izabranoj karakteristici podeonih delova k(p i ), koja je kod integrala I i II vrste skalar, dok je kod vektorskih integrala vektor. Ako je r i vektor položaja podeone tačke T i, za karakteristiku se bira vektor k(p i ) = r i r i 1. akle, k(p i ) je vektor koji spaja uzastopne podeone tačke T i 1, T i i usmeren je od prethodne T i 1 ka sledećoj tački podele T i, tj. k(p i ) = T i 1 T i (lika 2.5.1). Još, neka je ρ i vektor položaja tačke X i, r vektor položaja proizvoljne tačke X(,, z) i P F (X) = Ω(,, z) = Ω( r ) skalarna ili vektorska funkcija, neprekidna na. z Ti- 1 X i T ri - 1 i r i T i T n O lika

93 efinicija Zbir (2.5.2) v (n) = 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 87 n Ω(X i ) ( r i r i 1 ) = i=1 n Ω( ρ i ) ( r i r i 1 ) i=1 je vektorska integralna suma po luku funkcije Ω( r ). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma 1 i n r i r i 1, granična vrednost (2.5.3) Ω( r ) d r = lim n v(n) je vektorski krivolinijski integral funkcije Ω( r ). U zavisnosti od prirode funkcije Ω( r ) i karaktera množenja, svaki sabirak Ω( ρ i ) ( r i r i 1 ) integralne sume, a time i cela integralna suma v (n), je vektor ili skalar. Kako je granična vrednost niza brojeva opet broj, a niza vektora opet vektor, razlikuju se sledeće vrste vektorskih integrala. 1 Ako je Ω( r ) = f( r ) skalarna funkcija, integralna suma v (n) je vektor, pa je vektor i integral (2.5.4) f( r ) d r. 2 Ako je Ω( r ) = a( r ) vektorska funkcija i množenje skalarno, integralna suma v (n) je skalar, pa je skalar i integral (2.5.5) a( r ) d r. 3 Ako je Ω( r ) = a( r ) vektorska funkcija i množenje vektorsko, integralna suma v (n) je vektor, pa je vektor i integral (2.5.6) a( r ) d r. Osobina (1.3.8) važi za vektorske krivolinijske integrale. Promenom orijentacije krive menja se raspored podeonih tačaka T i, čime se menja smer vektora k(p i ) = T i 1 T i. Kako se vektori suprotnog smera razlikuju u znaku, menjaju znak i integralna suma (2.5.2) i integral (2.5.3).

94 88 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Osobina (1.3.9) prirodno da ne važi za vektorske integrale jer karakteristike k(p i ) ne samo da nisu veličine lukova T i 1 T i, već su kao vektori i kvalitativno različite. Med utim, ako usvojimo oznaku n (2.5.7) d r = lim r i r i 1, n i=1 i=1 zbog λ i r i r i 1 važi n n (2.5.8) l = λ i = lim r i r i 1 = n i=1 Prema (2.5.1) i dλ = dλ, (2.5.8) postaje l = d r = dλ = dλ, pa su (2.5.8) i (2.1.3), uz dogovor (2.5.7), isti rezultati. d r. Osobina (1.3.1) takod e važi. U slučaju (2.5.4) se pokazuje jednostavno. Iz f( r ) M, prema (2.5.7) i (2.5.8) sledi n n f( r ) d r = lim f( r ) ( r i r i 1 ) lim f( r ) r i r i 1 n n i=1 M lim n n r i r i 1 = Ml. i=1 U slučajevima (2.5.5) i (2.5.6) se dokaz izvodi analogno, uz korišćenje jednakosti za skalarni i vektorski proizvod i=1 a b = a b cos ψ, a b = a b sin ψ, gde je ψ manji od uglova izmed u vektora a = a( r ) i b = r i r i 1 ([3], str. 142, 261). Na primer, zbog cos ψ 1, za (2.5.5) je n a( r ) d r = lim a( r ) ( r i r i 1 ) n = lim n lim n i=1 n a( r ) r i r i 1 cos ψ i=1 n a( r ) r i r i 1 cos ψ i=1 M lim n n r i r i 1 = Ml. i=1

95 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 89 Vektorski krivolinijski integrali se izračunavaju prevod enjem na odgovarajuće krivolinijske integrale II vrste ili, zahvaljujući jednakosti (2.4.6), na krivolinijske integrale I vrste. Veza izmed u vektorskih krivolinijskih integrala i krivolinijskih integrala II vrste se uspostavlja na osnovu njihovih definicija. Posmatramo integral (2.5.4). Za T i ( i, i, z i ) (i = 1, 2,..., n) je r i r i 1 = ( i i 1, i i 1, z i z i 1 ), pa su sabirci integralne sume v (n) vektori f(x i )( r i r i 1 ) = ( f(x i )( i i 1 ), f(x i )( i i 1 ), f(x i )(z i z i 1 ) ). Zato je i integralna suma v (n) vektor v (n) = n f(x i )( r i r i 1 ) i=1 ( n = f(x i )( i i 1 ), i=1 = ( (n), (n), z (n) ), n f(x i )( i i 1 ), i=1 n i=1 ) f(x i )(z i z i 1 ) gde su (n), (n), z (n) integralne sume po koordinati, i z funkcije f(,, z) redom. Kako je lim ( v(n) = lim (n), (n), z (n) ) n n = ( lim (n), lim (n), lim z(n) ), n n n prema (2.2.2) i analognim jednakostima sa P (,, z) = Q(,, z) = R(,, z) = f(,, z) sledi (2.5.9) ( f( r ) d r = f d, ) f d, f dz. akle, vektorski integral (2.5.4) je vektor čije su koordinate krivolinijski integrali po koordinati, i z iste funkcije f = f(,, z) redom. Posmatramo sada integral (2.5.5). Neka je a( r ) = (a 1, a 2, a 3 ) vektorska funkcija s komponentama a 1 = a 1 (,, z), a 2 = a 2 (,, z), a 3 = a 3 (,, z). Tada je a(x i ) = ( a 1 (X i ), a 2 (X i ), a 3 (X i ) )

96 9 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO i, korišćenjem izraza a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 za skalarni proizvod vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) ([3], str. 141), a(x i ) ( r i r i 1 ) = a 1 (X i )( i i 1 )+a 2 (X i )( i i 1 )+a 3 (X i )(z i z i 1 ). Integralna suma v (n) postaje = v (n) = n a(x i ) ( r i r i 1 ) i=1 n a 1 (X i )( i i 1 ) + i=1 = (n) + (n) + z (n), n a 2 (X i )( i i 1 ) + i=1 n a 3 (X i )(z i z i 1 ) gde su (n), (n), z (n) integralne sume po koordinati funkcije a 1 (,, z), po koordinati funkcije a 2 (,, z) i po koordinati z funkcije a 3 (,, z) redom. Zato je i=1 lim v(n) = lim (n) + lim (n) + lim z(n). n n n n Prema (2.2.2) sa P (,, z) = a 1 (,, z) i analognim jednakostima sa Q(,, z) = a 2 (,, z), R(,, z) = a 3 (,, z), dalje je a( r ) d r = a 1 d + a 2 d + a 3 dz i, prema (2.2.3), (2.5.1) a( r ) d r = a 1 d + a 2 d + a 3 dz. Zaključujemo da je vektorski integral (2.5.5) potpuni krivolinijski integral II vrste. Integral (2.5.5) je u oblasti matematike Teorija polja poznat pod imenom cirkulacija vektorske funkcije a( r ) duž orijentisanog puta. Inače, do jednakosti (2.5.1) može da se dod e mnogo jednostavnije, skalarnim množenjem vektora a( r ) = (a 1, a 2, a 3 ) i d r = (d, d, dz) u podintegralnom izrazu iz (2.5.5). U slučaju integrala (2.5.6) se postupa slično kao u prethodnim slučajevima. Ako su i, j, k jedinični vektori, i z ose redom, korišćenjem izraza a i j k b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3

97 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 91 za vektorski proizvod vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) ([3], str. 26), integral (2.5.6) postaje (2.5.11) a( r ) d r ( = a 2 dz a 3 d, ) a 3 d a 1 dz, a 1 d a 2 d, gde su a 1 = a 1 (,, z), a 2 = a 2 (,, z), a 3 = a 3 (,, z) komponente vektorske funkcije a = a( r ). Prema tome, vektorski integral (2.5.6) je vektor čije su koordinate potpuni krivolinijski integrali II vrste. NAPOMENA krivolinijskog integrala Ako je v = (v 1, v 2, v 3 ) vektor, uvod enjem vektorske forme Z Z Z Z v = v 1, v 2, v 3 se jednakosti (2.5.9) i (2.5.11) dobijaju mnogo jednostavnije. Kako je d r = (d, d, dz), podintegralni izraz u (2.5.4) je vektor sa komponentama v = f( r ) d r = (f d, f d, f dz) v 1 = f d, v 2 = f d, v 3 = f dz. Prethodna vektorska forma je isto što i (2.5.9). Podintegralni izraz u (2.5.6) je vektor v = a( r ) d r = sa komponentama i j k a 1 a 2 a 3 d d dz = (a 2 dz a 3 d, a 3 d a 1 dz, a 1 d a 2 d) v 1 = a 2 dz a 3 d, v 2 = a 3 d a 1 dz, v 3 = a 1 d a 2 d i vektorska forma se svodi na (2.5.11). NAPOMENA Vektorski krivolinijski integrali mogu da se definišu drugačije, tj. za karakteristiku podeonih delova može da se izabere vektor saglasno orijentisane tangente k(p i ) = λ i = t λ i. Vektorska integralna suma i vektorski integral tada glase v (n) = nx i=1 Ω(X i ) λ i, Z Ω( r ) dλ = lim v(n). n Za dovoljno malo λ i je λ i r i r i 1, pa je dλ = d r kad n, što smo već utvrdili u jednakosti (2.5.1). Zato se ovako definisani vektorski integrali i integrali (2.5.3) u suštini

98 92 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO ne razlikuju i svi prethodni zaključci ostaju na snazi. Čak i više, u ovom slučaju važi tačna λ i = λ i, a ne približna jednakost λ i r i r i 1 i, uz dogovor (2.5.7), osobina (2.5.8) neposredno sledi l = nx i=1 λ i = nx i=1 λ i = lim nx n i=1 λ i = Z dλ, čime se i ostale osobine dokazuju jednostavnije. PRIMER Izračunati vektorske krivolinijske integrale (2.5.4), (2.5.5) i (2.5.6) ako je f(,, z) = + + z, a(,, z) = (,, 3) ; : ( 2) = 1, z =. Parametarske jednačine kružnice su : = 2 + cos ϕ, = sin ϕ, z = ; ϕ [ π, π] i važi (ϕ) = sin ϕ, (ϕ) = cos ϕ, z (ϕ) =. Pod pretpostavkom da je pozitivno orijentisana, parametar se menja od ϕ = π do ϕ = π. Komponente vektorske funkcije a( r ) su a 1 (,, z) =, a 2 (,, z) =, a 3 (,, z) = 3. obzirom na (2.5.9), izračunavamo Z Z Z f d = f d = f dz = Z Z Z ( + + z) d = ( + + z) d = ( + + z) dz = i za integral (2.5.4) dobijamo vektor Prema (2.5.1) nalazimo Z a 1 d + a 2 d + a 3 dz = = Z Z Z π π Z π π Z π π f( r ) d r = (2 + cos ϕ + sin ϕ)( sin ϕ) dϕ = = π, (2 + cos ϕ + sin ϕ) cos ϕ dϕ = = π, π, π,. d + d + 3 dz sin ϕ( sin ϕ) + (2 + cos ϕ) cos ϕ dϕ = = 2π,

99 pa je integral (2.5.5) skalar Prema (2.5.11) je Z Z Z a 2 dz a 3 d = a 3 d a 1 dz = a 1 d a 2 d = 2. KRIVOINIJKI INTEGRAI 93 Z Z Z = Z a( r ) d r = 2π. Z π 3 d = 3 3 d = 3 d d Z π π π Z π π cos ϕ dϕ = =, sin ϕ dϕ = =, sin ϕ cos ϕ + (2 + cos ϕ)( sin ϕ) dϕ = = i integral (2.5.6) je nula vektor, tj. tačka Z a( r ) d r = (,, ). Na kraju ovog poglavlja napomenimo i sledeće. Za sve tipove krivolinijskih integrala (po luku, po koordinatama, vektorske), u slučaju zatvorene krive se obično koristi preciznija oznaka umesto standardne.

100 3. VIŠETRUKI INTEGRAI Oblast integracije višestrukih integrala je višedimenzionalna oblast, a karakteristika podeonih delova je njihova mera ([6], str. 59; [1], str ). Generalni slučaj višestrukih integrala, kada je R n, nije od interesa za ovaj kurs, pa se zadržavamo samo na specijalnim slučajevima. To su dvojni i trojni integrali, kod kojih je oblast integracije R 2 dvodimenzionalna (ravna) i R 3 trodimenzionalna (prostorna) oblast redom vojni integrali Konkretizacija opšteg pravila o formiranju Riemannovih integrala za slučaj dvojnih integrala je sledeća. Neka je oblast integracije OI =, gde je zatvorena orijentisana oblast u ravni. Kako sve tačke ravni, pa i tačke oblasti, posmatrane u R 3, imaju treću koordinatu z =, ovu koordinatu u nastavku podrazumevamo i ne naglašavamo. Koordinatnim linijama se oblast deli (efinicija 1.2.6, lika ) na n ćelija podele P i = i (i = 1, 2,..., n) i unutar svake ćelije se bira tačka X i (ξ i, η i ). Tačka X i i može da bude bilo koja. Karakteristika podeonih delova je njihova površina k(p i ) = m( i ) = δ i >. Neka je podintegralna funkcija P F (X) = f(, ) neprekidna u oblasti, gde je tačka X(, ) proizvoljna. Vrednost P F (X i ) = f(x i ) = f(ξ i, η i ) se množi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija integralna suma, a zatim i dvojni integral. efinicija Zbir (3.1.1) δ (n) = n f(x i ) δ i = i=1 94 n f(ξ i, η i ) δ i i=1

101 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 95 je integralna suma po ravnoj oblasti funkcije f(, ). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma 1 i n ε i, gde je ε i najveće rastojanje izmed u tačaka ćelije i, granična vrednost (3.1.2) f(x) dδ = je dvojni integral funkcije f(, ). f(, ) dd = lim n δ(n) Iz uslova ma ε i očigledno sledi ma k(p i) = ma δ i, što 1 i n 1 i n 1 i n je u skladu sa opštim pravilom. U (3.1.2) prva oznaka odgovara zajedničkoj oznaci Riemannovih integrala i koristi se za sve višestruke integrale, dok je druga konkretna oznaka dvojnih integrala. Umesto dδ je upotrebljen proizvod diferencijala nezavisno promenljivih dd, koji proističe iz površine unutrašnje ćelije (oblast pravougaonika). Analogno se definišu i dvojni integrali (3.1.3) f(, z) ddz, f(z, ) dzd, kada oblast integracije pripada z, odnosno z koordinatnoj ravni. Orijentacija ćelija i (i = 1, 2,..., n) ne utiče na njihove površine k(p i ) = δ i >, pa je vrednost dvojnog integrala ista za bilo koju orijentaciju oblasti (lika ) i osobina (1.3.8) za dvojne integrale ne važi. Ne umanjujući opštost, pretpostavljaćemo da je pozitivno orijentisana oblast, uz napomenu da bi negativna orijentacija dovela do nepotrebnih komplikacija u kasnijim izvod enjima. Ako je d = m() površina cele oblasti, za f(, ) 1 iz (3.1.1) i (3.1.2) sledi osobina (1.3.9), tj. (3.1.4) dδ = dd = lim n n i=1 δ i = lim n d = d. Osobina (1.3.1) takod e važi za dvojne integrale i jednostavno se dokazuje ([6], str ). Osim navedenih opštih osobina Riemannovih integrala, za dvojne integrale je značajna i osobina iskazana narednom teoremom.

102 96 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Teorema (TEOREMA O RENJOJ VRENOTI INTEGRAA) Ako su f(x) i g(x) neprekidne funkcije u oblasti i g(x) ima stalan znak, tada postoji tačka A takva da je (3.1.5) f(x)g(x) dδ = f(a) g(x) dδ. okaz ove teoreme izostavljamo ([6], str ). g(x) 1, (3.1.5) se svodi na (3.1.6) f(x) dδ = f(a) dδ = f(a) d. pecijalno, ako je U jednakostima (3.1.4) (3.1.6) je upotrebljena opšta oznaka integrala jer one važe za sve dvojne (oblast integracije pripada ma kojoj koordinatnoj ravni), kao i za višestruke integrale generalno. Geometrijska interpretacija dvojnog integrala se sastoji u sledećem. Neka prosto povezana oblast pripada ravni i neka je f(, ) u čitavoj oblasti. Uočimo cilindričnu površ čije su izvodnice paralelne z osi, donji bazis je kontura oblasti, a gornji bazis je u preseku te površi i površi z = f(, ). vojni integral f(, ) dd izračunava zapreminu prostorne oblasti koju ograničavaju oblast (posmatrana kao površ u smislu Napomene 1.1.2), površ z = f(, ), (, ) i opisana cilindrična površ (lika 3.1.1). z z = f(,) i lika Ako je f(, ) za svako (, ), vrednost f(, ) dd je negativna, pa za zapreminu treba uzeti f(, ) dd. Ako f(, ) menja znak u oblasti, oblast treba podeliti tako da na dobijenim delovima f(, ) ima stalan znak, zatim na svakom od delova izračunati integral i sabrati module nad enih vrednosti. Na primer, za = 1 2, f(, ) na 1 i f(, ) na 2, zapremina je 1 f(, ) dd + 2 f(, ) dd.

103 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 97 vojni integrali su generalizacija odred enih integrala, kada se sa jednodimenzionalne, zatvorene i pozitivno orijentisane oblasti (segment na koordinatnoj osi) pred e na dvodimenzionalnu oblast (zatvorena oblast u koordinatnoj ravni). NAPOMENA Neka je oblast u ravni i njena kontura. Uočimo površi 1 i 2 čija je oblast definisanosti i 1, 2 granične krive. Ako su 1, 2 bazisi cilindrične površi 3 sa direktrisom i izvodnicama paralelnim z osi, tada je = zatvorena površ, poznata pod imenom cilindar. Površi 1 i 2 su bazisi, a 3 je omotač cilindra. Prostorna oblast ograničena cilindrom je oblast cilindra. Analogni cilindri se dobijaju ako je u z i z ravni Trojni integrali Kod trojnih integrala je oblast integracije OI =, gde je zatvorena prostorna oblast. Koordinatnim površima se oblast deli (lika ) na n ćelija podele P i = i (i = 1, 2,..., n) i unutar svake ćelije se bira tačka X i (ξ i, η i, ζ i ). Tačka X i i može da bude bilo koja. Karakteristika podeonih delova je njihova zapremina k(p i ) = m( i ) = δ i >. Neka je podintegralna funkcija P F (X) = f(,, z) neprekidna u oblasti, gde je tačka X(,, z) proizvoljna. Vrednost P F (X i ) = f(x i ) = f(ξ i, η i, ζ i ) se množi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija integralna suma, a zatim i trojni integral. efinicija Zbir (3.2.1) δ (n) = n f(x i ) δ i = i=1 n f(ξ i, η i, ζ i ) δ i i=1 je integralna suma po prostornoj oblasti funkcije f(,, z). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma 1 i n ε i, gde je ε i najveće rastojanje izmed u tačaka ćelije i, granična vrednost (3.2.2) f(x) dδ = je trojni integral funkcije f(,, z). f(,, z) dddz = lim n δ(n)

104 98 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Kao i kod dvojnih integrala, iz uslova ma ε i sledi ma k(p i) = 1 i n 1 i n ma δ i. U (3.2.2) prva oznaka odgovara zajedničkoj oznaci Riemannovih integrala, a druga je konkretna oznaka trojnih integrala. Umesto dδ 1 i n je upotrebljen proizvod diferencijala nezavisno promenljivih dddz, koji proističe iz zapremine unutrašnje ćelije (oblast kvadra). Ovaj proizvod se često zamenjuje kraćom oznakom dv zbog asocijacije na zapreminu (volumen). ve osobine koje smo naveli kod dvojnih integrala važe i za trojne integrale, samo se odnose na trodimenzionalni slučaj. Izdvajamo osobinu (1.3.9) zbog njenog značaja u primenama. Ako je d = m() zapremina cele oblasti, tada je (3.2.3) dddz = d. Izuzimajući jednakost (3.2.3), trojni integrali nemaju geometrijsku interpretaciju. I trojni, kao i dvojni integrali, predstavljaju generalizaciju odred enih integrala, kada se sa jednodimenzionalne, zatvorene i pozitivno orijentisane oblasti (segment na koordinatnoj osi) pred e na trodimenzionalnu oblast (zatvorena oblast u prostoru) Izračunavanje višestrukih integrala Izračunavanje višestrukih integrala se svodi na sukcesivno izračunavanje više odred enih integrala. Broj odred enih integrala odgovara dimenziji oblasti integracije. Tako se dvojni integrali prevode na dva, a trojni na tri odred ena integrala Izračunavanje dvojnih integrala Pravila za prevod enje dvojnih na dva odred ena integrala dajemo samo za integral (3.1.2), a analogna pravila važe i za integrale (3.1.3). Neka su a, b, c, d R konstante takve da je a < b, c < d. Razmatramo sledeće slučajeve.

105 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 99 1 Oblast je pravougaona (lika 3.3.1), čija je kontura pravougaonik sastavljen od delova koji se nadovezuju pravih 1 : = a, 2 : = b, 3 : = c, 4 : = d. Neka je X(, ) proizvoljna tačka. Najmanju prvu koordinatu = a imaju tačke X 1 (a, ) 1, a najveću = b tačke X 2 (b, ) 2, pa za prve koordinate tačaka X(, ) važi a b. Takod e, najmanju drugu koordinatu = c imaju tačke X 3 (, c) 3, a najveću = d tačke X 4 (, d) 4, pa je za druge koordinate c d. Zato je oblast opisana nejednakostima (3.3.1) a b, c d. Opis (3.3.1) znači da su obe promenljive, u konstantnim granicama. 2 Oblast je proizvoljna prosto povezana oblast (lika 3.3.2), sa konturom sastavljenom od delova koji se nadovezuju pravih i krivih 1 : = a, 2 : = b 3 : = 1 (), 4 : = 2 (), pri čemu je 1 () < 2 () za svako (a, b). Kao i u prethodnom slučaju 1, za prve koordinate tačaka X(, ) važi a b. Za svako fiksirano ( = ξ [a, b] najmanju drugu koordinatu = 1 (ξ) ima tačka X 3 ξ, 1 (ξ) ) ( 3, a najveću = 2 (ξ) tačka X 4 ξ, 2 (ξ) ) 4. Zato je 1 (ξ) 2 (ξ) i, zbog proizvoljnosti = ξ, za druge koordinate je 1 () 2 (). Oblast je opisana sa (3.3.2) a b, 1 () 2 (). Iz (3.3.2) sledi da je promenljiva u konstantnim, a u funkcionalnim granicama. 3 Oblast je proizvoljna prosto povezana oblast (lika 3.3.3), sa konturom sastavljenom od delova koji se nadovezuju krivih 1 : = 1 (), 2 : = 2 () i pravih 3 : = c, 4 : = d,

106 1 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO pri čemu je 1 () < 2 () za svako (c, d). Analognim postupkom kao pod 2 se utvrd uje da je opis oblasti (3.3.3) 1 () 2 (), c d. akle, sada promenljiva ima konstantne, a funkcionalne granice. elovi pravih 1, 2 u slučaju 2, odnosno 3, 4 u slučaju 3, mogu da se svedu na samo jednu tačku. d c X 1 1 X a 3 X4 b 2 X X 1 a 1 X 4 X 3 X2 3 d X c lika lika lika b X 3 X 4 2 X2 Radi jednostavnosti izražavanja i zapisivanja, usvajamo sledeći dogovor. elove krivih (pravih) i (i = 1, 2,..., n) koji ulaze u sastav granice oblasti označavamo isto sa i kao i same krive (prave). Tako u opisanim slučajevima pišemo = 4 i=1 i, podrazumevajući pod i odgovarajuće delove isto označenih krivih (pravih) i. Takod e, kažemo da je oblast ograničena krivama (pravama) i umesto granicom sastavljenom od delova krivih (pravih) i, ili da se nalazi izmed u krivih (pravih) i umesto izmed u njihovih delova. Koristićemo i druge neprecizne opise ako smatramo da su oni čitaocu dovoljno jasni. efinicija Ako je tada se integrali b a d c φ 1 () = φ 1 () d = φ 2 () d = d c b a d c f(, ) d, φ 2 () = [ d c [ b a ] f(, ) d d = ] f(, ) d d = b a b a d c f(, ) d, d d d c b a f(, ) d, f(, ) d zovu dvostruki integrali po pravougaonoj oblasti (3.3.1) funkcije f(, ). 4 3

107 efinicija Ako je φ 3 () = tada se integrali 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 11 2 () b a d c 1 () f(, ) d, φ 4 () = φ 3 () d = φ 4 () d = b a d c d d 2 () 1 () 2 () 1 () 2 () 1 () f(, ) d, f(, ) d f(, ) d, zovu dvostruki integrali po proizvoljnoj oblasti (3.3.2) i (3.3.3) redom funkcije f(, ). U dvostrukim integralima je prvi upisani integral spoljašnji, a drugi upisani unutrašnji. Integracija se vrši sukcesivno zdesna ulevo, tako što se prvo rešava unutrašnji, a zatim spoljašnji integral, pri čemu rezultat unutrašnje podleže spoljašnjoj integraciji. U slučaju pravougaone oblasti (3.3.1) svejedno je koji je integral unutrašnji, a koji spoljašnji, dok je u slučaju oblasti (3.3.2) i (3.3.3) uvek unutrašnji integral sa funkcionalnim, a spoljašnji sa konstantnim granicama. Ako je oblast pravougaona i podintegralna funkcija oblika f(, ) = f 1 ()f 2 (), unutrašnji i spoljašnji integral su nezavisni, pa je dvostruki integral proizvod dva odred ena integrala. Teorema Ako je pravougaona oblast (3.3.1), tada je (3.3.4) f(, ) dd = b a d d c f(, ) d = d c d b a f(, ) d. okaz teoreme zbog komplikovanosti izostavljamo ([6], str. 67 7), a iz dokaza izdvajamo samo sledeće zapažanje. ve ćelije i pravougaone oblasti su takod e pravougaone. Koordinatne linije = i, = i istovremeno dele oblast i segmente [a, b], [c, d] na koordinatnim osama. Zbog uslova δ i = ( i i 1 )( i i 1 ) = ( i 1 i )( i 1 i ) >, podele na segmentima su istovremeno rastuće (lika 3.3.4) ili opadajuće (lika 3.3.5) i odgovaraju pretpostavljenoj pozitivnoj orijentaciji oblasti.

108 12 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO U Teoremi su uzete rastuće podele, što je uslovilo da redosled granica u oba odred ena integrala bude od manje ka većoj. Za opadajuće podele segmenata bi redosled granica u oba integrala bio od veće ka manjoj, ali se to nikada ne radi. Kako proizvodu ( i i 1 )( i i 1 ) > odgovara proizvod dd >, u oznaci dvojnog integrala je s razlogom dδ zamenjeno sa dd. i i-1 i-1 i i i-1 i i i lika lika Teorema Ako je prosto povezana oblast (3.3.2), tada je (3.3.5) f(, ) dd = b a d 2 () 1 () i-1 f(, ) d. okaz. Posmatrajmo pravougaonu oblast 3, opisanu sa (3.3.1) i takvu da je c < 1 () < 2 () < d za svako (a, b) (lika 3.3.6). Tada je 3 = 1 2, gde je 1 : a b, c 1 (), 2 : a b, 2 () d. d 2 c 1 X X X 1 2 a b lika Na oblasti 3 definišemo novu funkciju { f(, ), (, ), f (, ) =, (, ) 3 \. Ovako definisana funkcija u opštem slučaju nije neprekidna na 3 jer nije neprekidna duž krivih = 1 () i = 2 (). Med utim, funkcija f (, ) je

109 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 13 integrabilna na 3 ([1], str. 239, 246), pa na nju može da se primeni (3.3.4) i dobija se (3.3.6) 3 f (, ) dd = b a d d c f (, ) d. eva strana jednakosti (3.3.6), prema osobini (1.3.7) Riemannovih integrala i definiciji funkcije f (, ), postaje (3.3.7) f (, ) dd 3 = f (, ) dd + 1 = f (, ) dd = f (, ) dd + f (, ) dd 2 f(, ) dd. Posmatramo desnu stranu jednakosti (3.3.6). Za bilo koje fiksirano = ξ [a, b] su vrednosti i () = i (ξ) = η i [c, d] (i = 1, 2) konstante i za tačke X(ξ, ) 3 važi: X 1 ako je [c, η 1 ], X ako je [η 1, η 2 ], X 2 ako je [η 2, d] (lika 3.3.6). Kako je f (, ) = na 3 \, tj. f (ξ, ) = za [c, η 1 ), (η 2, d] i f (, ) = f(, ) na, tj. f (ξ, ) = f(ξ, ) za [η 1, η 2 ], to je d c f (ξ, ) d = = η1 c η2 η2 f (ξ, ) d + f (ξ, ) d + η 1 η 1 f (ξ, ) d = η2 η 1 f(ξ, ) d. d η 2 f (ξ, ) d Zbog proizvoljnosti = ξ [a, b], a prema prethodnoj jednakosti, unutrašnji integral u (3.3.6) je d c f (, ) d = odakle integracijom po [a, b] sledi 2 () 1 () f(, ) dd, (3.3.8) b d d f (, ) d = b d 2 () a c a 1 () f(, ) dd. Konačno, iz (3.3.7) i (3.3.8) se dobija tvrd enje (3.3.5) teoreme.

110 14 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Teorema Ako je prosto povezana oblast (3.3.3), tada je (3.3.9) f(, ) dd = d c d 2 () 1 () f(, ) d. okaz ove teoreme se izvodi analogno dokazu Teoreme U (3.3.5) i (3.3.9) je, kao i u (3.3.4), uzet redosled granica od manje ka većoj u oba odred ena integrala. Ukoliko oblast ne pripada ni jednom od tipova (3.3.1) (3.3.3), treba je deliti na podoblasti nekog od ovih tipova, posebno na svakoj od njih računati dvojni integral i dobijene vrednosti sabrati, što je opšta osobina Riemannovih integrala (1.3.7). Primetimo na ovom mestu i sledeće. Kako je pravougaona oblast (3.3.1) specijalan slučaj oblasti (3.3.2) za 1 () c, 2 () d ili oblasti (3.3.3) za 1 () a, 2 () b, to je jednakost (3.3.4) specijalan slučaj jednakosti (3.3.5) ili (3.3.9). PRIMER Izračunati površinu oblasti trougla u ravni (z = ) sa temenima A(1, 1), B(4, 2), C(3, 6). Neka je oblast trougla čiju površinu d = m() treba izračunati. Takod e, neka su 1, 2, 3 prave na kojima leže stranice trougla, 4 : = 1, 5 : = 3, 6 : = 4 prave paralelne osi koje prolaze kroz tačke A, B, C redom (lika 3.3.7) i 7 : = 1, 8 : = 2, 9 : = 6 prave paralelne osi kroz iste tačke (lika 3.3.8) C 6 C B 3 B 8 1 A A lika lika

111 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 15 Površina d se izračunava prema (3.1.4), tj. d = ZZ dd. Oblast nije nijednog od tipova (3.3.1) (3.3.3), pa je delimo pravom 5 na = 1 2 (lika 3.3.7), gde je oblast 1 ograničena sa 4, 5, 1, 3, oblast 2 sa 5, 6, 1, 2 i obe su tipa (3.3.2). Tada je površina d zbir d = ZZ 1 dd + ZZ 2 dd = d 1 + d 2, gde su d 1 i d 2 površine oblasti 1 i 2. Jednačinu prave 1 tražimo u eksplicitnom obliku = k + n. Kako 1 prolazi kroz tačke A i B, koordinate ovih tačaka zadovoljavaju jednačinu prave. menjujući = 1, = 1 i = 4, = 2 u = k + n, dobija se sistem jednačina k + n = 1, 4k + n = 2, odakle je k = 1/3, n = 2/3 i 1 : = Analogno se nalaze i jednačine pravih 2 : = , 3 : = Prema objašnjenju pod 2, opis (3.3.2) oblasti 1 i 2 je 1 : 1 3, , 2 : 3 4, obzirom na opis oblasti 1 i 2, primenjujemo tvrd enje (3.3.5) Teoreme i dobijamo d 1 = d 2 = ZZ = 13 6 ZZ = 13 3 Z 3 1 dd = 1 Z 3 1 d ( 1) d = 13 6 Z 4 2 dd = 3 Z 4 3 d Z 5/2 3/2 /3+2/3 2 ( 4) d = 13 3 d = Z = 13 Z 4+18 /3+2/3 2 d = Z 4 3 3, = 13 6, 5/2 3/2 d /3+2/ d /3+2/3 odakle je d = = 13 2.

112 16 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Oblast možemo da podelimo drugačije, pravom 8 na = 3 4 (lika 3.3.8), gde je oblast 3 ograničena sa 7, 8, 3, 1, oblast 4 sa 8, 9, 3, 2 i obe su tipa (3.3.3). U ovom slučaju jednačine pravih 1, 2 i 3 treba zapisati u obliku 1 : = 3 2, 2 : = , 3 : = , što dovodi do opisa 3 : 4 : , 1 2, , 2 6, primenom tvrd enja (3.3.9) Teoreme do integrala d 3 = d 4 = ZZ ZZ 3 dd = 4 dd = Z 2 1 Z 6 i, naravno, do istog rezultata 2 d d Z 3 2 2/5+3/5 d = 13 5 Z /4+9/2 2/5+3/5 Z 2 d = 13 1 ( 1) d = = 13 1, 1 Z 6 d = d 3 + d 4 = = d = = 26 5 NAPOMENA Neka je oblast (lika 3.3.2) opisana sa (3.3.2). Prema (3.1.4) i (3.3.5), površina d oblasti je d = ZZ dd = Z b a d Z 2 () 1 () d = Z b a 2 () d Z b a 1 () d. Isti rezultat se dobija i prema geometrijskom tumačenju odred enog integrala (lika 1.3.1), bez poznavanja jednakosti (3.1.4). Tako bi se, npr., površina d 1 iz Primera dobila pomoću d 1 = Z d Z d = = PRIMER Izračunati zapreminu oblasti cilindra, čiji je omotač cilindrična površ sa izvodnicama paralelnim osi, jedan bazis je oblast trougla u z ravni sa temenima O(,, ), A(, 1, ), B(,, 1), a drugi bazis je deo ravni + + z = 2. a označimo oblast trougla, sa 1 pravu koja prolazi kroz tačke A, B (lika 3.3.9) i sa ravan + + z = 2. Kako je segmentni oblik jednačine ravni ([3], str. 269) a + b + z c = 1, gde su a, b, c koordinate tačaka (a,, ), (, b, ), (,, c) u kojima ravan seče koordinatne ose, to je a = b = c = 2 u slučaju ravni (lika 3.3.1).

113 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 17 z z 1 B 2 B A 1 A lika lika Kako oblast pripada z ravni, jednačinu ravni zapisujemo u eksplicitnom obliku : = f(, z) = 2 z i uočavamo da je f(, z) > za (, z). Prema geometrijskom tumačenju dvojnog integrala, zapremina m oblasti cilindra je m = ZZ f(, z) ddz = ZZ Jednačinu prave 1 nalazimo kao u Primeru 3.3.1, pa je opis oblika (3.3.2) oblasti dat sa 1 : z = + 1, (2 z) ddz. : 1, z + 1. Primenom jednakosti (3.3.5) i rešavanjem dvostrukog integrala, za zapreminu dobijamo m = = Z 1 d Z +1 Z (2 z) dz = d = Z 1 h(2 )z z = 2 3. i z= +1 Prilikom upisivanja granica koje treba zameniti upisujemo i promenljivu na koju se granice odnose kad god nije sasvim očigledno o kojoj se promenljivoj radi. U ovom slučaju, po rešavanju unutrašnjeg integrala kao neodred enog, tako su upisane granice z = i z = + 1 promenljive z. Ukoliko jednačinu prave 1 zapišemo u obliku opis oblasti je oblika (3.3.3), 1 : = z + 1, : z + 1, z 1, z= d

114 18 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO a odgovarajući dvostruki integral iz jednakosti (3.3.9) je m = Z 1 dz Z z+1 (2 z) d = = 2 3. NAPOMENA Preseci ravni, kao i bilo koje druge površi, sa koordinatnim osama mogu da se nad u na standardan način, iz sistema jednačina formiranog od jednačine površi i jednačina koordinatnih osa. Tako bi se u Primeru presečna tačka (2,, ) ravni sa osom dobila iz sistema + + z = 2, =, z =, tj. zamenom =, z = u jednačinu ravni, a analogno bi se dobile i tačke (, 2, ), (,, 2). PRIMER Izračunati dvojni integral I = ZZ dd, gde je oblast u ravni (z = ) ograničena krivama za i a >. 1 : = 2a, 2 : 2 = 2a, 3 : = 2a Kriva 1 je kružnica (1.4.21), tj. 1 : ( a) = a 2, kriva 2 je parabola = 2 /2a simetrična u odnosu na osu, dok je 3 prava paralelna osi. Od dve ograničene oblasti izmed u 1, 2 i 3, oblast je ona za koju je (lika ). 2a a a 2a 1 lika obzirom na uslov, delovi krivih 1 i 2 koji ograničavaju imaju eksplicitne jednačine 1 : = p 2a 2, 2 : = 2a,

115 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 19 pa je opis (3.3.2) oblasti dat sa : 2a, p 2a 2 2a. Prema (3.3.5), dvojni integral postaje dvostruki, čijim rešavanjem sledi ZZ Z 2a Z 2a I = dd = d d 2a 2 = Z 2a 2 2 = 2a = 2a 2 d = 1 2 Z 2a 3 d = a = 2a4. Oblast ne može u celini da se opiše nejednakostima (3.3.3), ali je ove nejednakosti moguće koristiti za opis njenih delova. Ako pravom 4 : = a podelimo oblast na = 1 2 3, opis (3.3.3) delova je 1 p 1 : 2a 2 p a a 2 2, a, 2 : a + a 2 2 2a, a, 1 3 : 2a 2 2a, a 2a, p p gde je = a a 2 2 jednačina dela kružnice 1 za a i = a+ a 2 2 jednačina dela 1 za a. U ovom slučaju dvojni integral I mora da se rastavi na tri nova dvojna integrala ZZ ZZ ZZ I = i da se svaki od njih posebno rešava, što je očigledno znatno komplikovanije nego u prethodnom slučaju opisa (3.3.2). NAPOMENA Za opis proizvoljne oblasti mogu da se koriste i nejednakosti (3.3.2) i nejednakosti (3.3.3), bilo da se njima opisuju delovi oblasti (Primer 3.3.1) ili čitava oblast (Primer 3.3.2). Teorijski posmatrano, svejedno je koji se opis koristi. U praksi se koristi onaj koji omogućava jednostavnije rešavanje dvojnog ili odgovarajućeg dvostrukog integrala. Po pitanju jednostavnosti rešavanja, integrali u Primerima i su ravnopravni. Med utim, dvojni integral u Primeru se jednostavnije rešava ako se za opis oblasti koriste nejednakosti (3.3.2) Izračunavanje trojnih integrala Neka su a, b, c, d, g, h R konstante takve da je a < b, c < d, g < h. Razmatramo sledeće slučajeve.

116 11 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO 1 Prostorna oblast je oblast kvadra (lika ), čija je granica kvadar sastavljen od delova ravni 1 : = a, 2 : = b, 3 : = c, 4 : = d, 5 : z = g, 6 : z = h. Projekcija oblasti na ravan je ravna oblast sa opisom (3.3.1). Ako je X(,, z) proizvoljna tačka, tada je njena projekcija X (,, ). Zato prva i druga koordinata, zadovoljavaju nejednakosti (3.3.1). Najmanju treću koordinatu z = g imaju tačke X(,, g) 5, a najveću z = h tačke X(,, h) 6, pa za treće koordinate tačaka X(,, z) važi g z h. akle, oblast je opisana nejednakostima (3.3.1) a b, c d, g z h, što znači da su sve tri promenljive,, z u konstantnim granicama. 2 Prostorna oblast je proizvoljna prosto povezana oblast (lika ), čija je granica zatvorena površ sastavljena od delova: ravni 1 : = a, 2 : = b, cilindričnih površi sa izvodnicama paralelnim z osi 3 : = 1 (), 4 : = 2 () i površi 5 : z = z 1 (, ), 6 : z = z 2 (, ), pri čemu je 1 () < 2 () i z 1 (, ) < z 2 (, ) za svako (a, b), ( 1 (), 2 () ). Projekcija oblasti na ravan je ravna oblast sa opisom (3.3.2), pa za koordinate, tačaka X(,, z) važe nejednakosti (3.3.2). Za svako fiksirano = ξ [a, b] i = η [ 1 (ξ), 2 (ξ) ], tj. X (ξ, η, ), najmanju treću koordinatu z = z 1 (ξ, η) ima tačka X ( ξ, η, z 1 (ξ, η) ) 5, a najveću z = z 2 (ξ, η) tačka X ( ξ, η, z 2 (ξ, η) ) 6. Zato je z 1 (ξ, η) z z 2 (ξ, η) i, zbog proizvoljnosti = ξ, = η, za treće koordinate je z 1 (, ) z z 2 (, ). Oblast je opisana sa (3.3.11) a b, 1 () 2 (), z 1 (, ) z z 2 (, ), odakle vidimo da je promenljiva u konstantnim, a promenljive i z u funkcionalnim granicama.

117 3. VIŠETRUKI INTEGRAI Prostorna oblast je proizvoljna prosto povezana oblast, čija je granica zatvorena površ sastavljena od delova: cilindričnih površi sa izvodnicama paralelnim z osi 1 : = 1 (), 2 : = 2 (), ravni i površi 3 : = c, 4 : = d 5 : z = z 1 (, ), 6 : z = z 2 (, ), pri čemu je 1 () < 2 () i z 1 (, ) < z 2 (, ) za svako (c, d), ( 1 (), 2 () ). Projekcija oblasti na ravan je ravna oblast sa opisom (3.3.3). Analogno kao pod 2 se utvrd uje da je opis oblasti (3.3.12) 1 () 2 (), c d, z 1 (, ) z z 2 (, ). Ovde je promenljiva u konstantnim, a promenljive i z u funkcionalnim granicama. U slučajevima 2 i 3 delovi ravni i cilindričnih površi mogu da se svedu na samo jednu krivu (pravu). b a z h 6 X g X c X d b a z lika lika Kao i kod dvojnih integrala, usvajamo dogovor o istom označavanju površi (ravni) i njihovih delova i (i = 1, 2,..., n) koji ulaze u sastav granice oblasti. Na primer, u prethodno opisanim slučajevima pišemo = 6 i, podrazumevajući pod i odgovarajuće delove isto označenih površi (ravni). Koristićemo i druge neprecizne opise, analogne onima kod dvojnih integrala. X X X 2 i=1

118 112 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO efinicija Ako je oblast u ravni opisana sa (3.3.1) i φ 1 () = tada se integrali d c d h g f(,, z) dz, φ 2 (, ) = h g f(,, z) dz, (3.3.13) (3.3.14) b a φ 1 () d = b a d d φ 2 (, ) dd = dd c d h g h g f(,, z) dz, f(,, z) dz zovu trostruki integrali po oblasti kvadra (3.3.1) funkcije f(,, z). efinicija Ako je oblast u ravni opisana sa (3.3.2) i φ 3 () = 2 () tada se integrali d z2 (,) f(,, z) dz, φ 4 (, ) = z2 (,) 1 () z 1 (,) z 1 (,) f(,, z) dz, (3.3.15) (3.3.16) b a φ 3 () d = b a d 2 () φ 4 (, ) dd = dd d z2 (,) 1 () z 1 (,) z2 (,) z 1 (,) f(,, z) dz, f(,, z) dz zovu trostruki integrali po proizvoljnoj oblasti (3.3.11) funkcije f(,, z). Ako je oblast u ravni opisana sa (3.3.3), trostruki integral po proizvoljnoj oblasti (3.3.12) funkcije f(,, z) se definiše analogno (3.3.17) d d 2 () d z2 (,) c 1 () z 1 (,) f(,, z) dz. Imajući u vidu (3.3.4), (3.3.5), (3.3.9), trostruki integrali (3.3.13) i (3.3.14), (3.3.15) i (3.3.16), odnosno (3.3.16) i (3.3.17), su jednaki, pa svi trostruki integrali predstavljaju tri odred ena integrala. U trostrukim integralima je prvi upisani integral spoljašnji, a ostali su unutrašnji. Integracija se vrši sukcesivno zdesna ulevo, pri čemu rezultat prethodne podleže sledećoj integraciji. U slučaju oblasti kvadra (3.3.1) svejedno je koji je integral spoljašnji, a koji su unutrašnji, tj. redosled rešavanja

119 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 113 odred enih integrala nije od značaja. Čak i više, ukoliko je podintegralna funkcija oblika f(,, z) = f 1 ()f 2 ()f 3 (z), trostruki integral je proizvod tri odred ena integrala. U slučaju oblasti (3.3.11) i (3.3.12) uvek se prvo rešava unutrašnji integral čije su granice funkcije od dve nezavisno promenljive, zatim unutrašnji čije su granice funkcije jedne nezavisno promenljive i, kao poslednji, spoljašnji integral sa konstantnim granicama. Pod posebnim uslovima, trostruki integral je proizvod jednog odred enog i jednog dvojnog, tj. dvostrukog integrala. ledeće tri teoreme navodimo bez dokaza, uz napomenu da su dokazi slični onima kod dvojnih integrala. Teorema Ako je oblast kvadra (3.3.1), tada je b d h (3.3.18) f(,, z) dddz = d d f(,, z) dz. Teorema Ako je prosto povezana oblast (3.3.11), tada je b 2 () z2 (,) (3.3.19) f(,, z) dddz = d d f(,, z) dz. a a 1 () c g z 1 (,) Teorema Ako je prosto povezana oblast (3.3.12), tada je d 2 () z2 (,) (3.3.2) f(,, z) dddz = d d f(,, z) dz. c 1 () z 1 (,) U (3.3.18) (3.3.2) je uzet redosled granica od manje ka većoj u sva tri odred ena integrala. Ukoliko oblast ne pripada ni jednom od tipova (3.3.1) (3.3.12), treba je deliti na podoblasti nekog od ovih tipova, posebno na svakoj od njih računati trojni integral i dobijene vrednosti sabrati, tj. treba primeniti osobinu (1.3.7). Uočavamo da je oblast kvadra (3.3.1) specijalan slučaj oblasti (3.3.11) ili (3.3.12) za z 1 (, ) g, z 2 (, ) h i kada se ravne oblasti (3.3.2) ili (3.3.3) svode na pravougaonu oblast (3.3.1). Zato je i jednakost (3.3.18) specijalan slučaj jednakosti (3.3.19) ili (3.3.2). Koristeći ovu činjenicu i raniji komentar o trostrukim integralima, (3.3.18) (3.3.2) možemo da objedinimo u jednakost z2 (,) (3.3.21) f(,, z) dddz = dd f(,, z) dz, z 1 (,)

120 114 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO gde je projekcija oblasti na ravan. o sada smo razmatrali samo prostorne oblasti čija je projekcija na ravan ravna oblast sa nekim od opisa (3.3.1) (3.3.3) i dali pravila za prevod enje trojnog na odgovarajuće trostruke integrale. Analogna pravila važe i za trojne integrale po prostornim oblastima čije su projekcije z, z na z i z ravan redom nekog od opisa oblika (3.3.1) (3.3.3). Na primer, za : 1 (, z) 2 (, z), c d, z 1 () z z 2 () je projekcija na z ravan oblast z opisana nejednakostima oblika (3.3.2) i važi (3.3.22) f(,, z) dddz = d c d z2 () = ddz z dz 2 (,z) z 1 () 1 (,z) 2 (,z) 1 (,z) f(,, z) d f(,, z) d. PRIMER Izračunati zapreminu oblasti cilindra, čiji je omotač cilindrična površ sa izvodnicama paralelnim z osi, jedan bazis je oblast trougla u ravni sa temenima O(,, ), A(1,, ), B(, 1, ), a drugi bazis je deo ravni + + z = 2. Neka je oblast cilindra čiju zapreminu d = m() treba izračunati. Projekcija oblasti na ravan je oblast trougla sa temenima O, A, B. a 1 označimo ravan, a sa 2 ravan + + z = 2 (lika ). Presečne tačke (2,, ), (, 2, ), (,, 2) ravni 2 sa koordinatnim osama smo već odredili u Primeru z A 1 lika B Zapremina d se izračunava prema (3.2.3), tj. d = ZZZ dddz. lično kao u Primerima i nalazimo opis (3.3.2) ravne oblasti, : 1, + 1.

121 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 115 Zapisujući jednačine ravni 1 i 2 u obliku 1 : z = z 1 (, ) =, 2 : z = z 2 (, ) = 2 i prema objašnjenju pod 2, opis (3.3.11) oblasti je : 1, + 1, z 2. obzirom na opis oblasti, primenjujemo tvrd enje (3.3.19) Teoreme i dobijamo d = = = ZZZ dddz = Z 1 Z +1 Z 1 d z h(2 ) 2 Z 1 d Z +1 2 d = 2 i = +1 = Z 1 d d = Z 2 d Z +1 Z 1 Oblast možemo da opišemo i nejednakostima (3.3.3), što dovodi do opisa (3.3.12) oblasti, dz (2 ) d : + 1, 1, d = = 2 3. : + 1, 1, z 2 i, naravno, do iste zapremine d = ZZZ dddz = Z 1 d Z +1 d Z 2 dz = = 2 3. Upored ujući cilindre iz ovog primera i Primera 3.3.2, vidimo da oni imaju isti oblik, ali različite položaje u koordinatnom sistemu. Kako položaj oblasti ne utiče na njenu zapreminu, jasno da je u oba slučaja zapremina oblasti cilindra ista vrednost. NAPOMENA Neka je prostorna oblast (like , ) nekog od tipova (3.3.1) (3.3.12). Prema (3.2.3) i (3.3.21), zapremina d oblasti je d = = ZZZ ZZ dddz = ZZ z 2 (, ) dd ZZ dd Z z2 (,) z 1 (,) dz z 1 (, ) dd. Isti rezultat se dobija i prema geometrijskom tumačenju dvojnog integrala (lika 3.1.1), bez poznavanja jednakosti (3.2.3), o čemu svedoči Primer PRIMER Izračunati trojni integral I = ZZZ 2 dddz,

122 116 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO gde je prostorna oblast ograničena ravnima 1 : = 1, 2 : z = 1, 3 : + + z = 1, 4 : =. Ravni 1 i 2 su paralelne z i ravni redom, a 4 je z ravan. Kako ravan 3 seče koordinatne ose u tačkama (1,, ), (, 1, ), (,, 1), jedina ograničena oblast izmed u ovih ravni je oblast tetraedra za koju je (lika ). Projekcija oblasti na z ravan je oblast trougla z izmed u presečnih pravih 1, 2, 3 ravni 1, 2, 3 sa z ravni. z 1 2 z lika Zamenom = u + + z = 1 sledi + z = 1 i, npr., z = + 1, pa su jednačine pravih u z ravni ( = ) 1 : = 1, 2 : z = 1, 3 : z = + 1, a opis oblika (3.3.2) oblasti z je z : 1, + 1 z 1. Imajući u vidu da je za deo ravni 3 koji ograničava oblast, jednačine ravni 3 i 4 zapisujemo u obliku 3 : = 1 (, z) = 1 z, 4 : = 2 (, z) = i dobijamo opis oblika (3.3.11) oblasti, : 1 z, 1, + 1 z 1. Prema (3.3.22), trojni integral postaje trostruki, čijim rešavanjem sledi I = = ZZZ 2 dddz = Z 1 Z 1 Z 1 d 2 2 = +1 2 Z 1 Z 1 = 1 2 = 1 6 Z 1 2 d d Z 1 +1 dz Z Z 1 dz = d =1 z 1 z Z 1 2 d +1 Z 1 +1(1 z) 2 d(1 z) = d = = (1 z) 2 dz 2 (1 z)3 z=1 3 d z= +1

123 3. VIŠETRUKI INTEGRAI mena promenljivih u višestrukim integralima Oblast integracije dvojnog (trojnog) integrala je često teško ili nemoguće opisati nejednakostima oblika (3.3.1) (3.3.3), odnosno (3.3.1) (3.3.12), tj. pomoću escartesovih koordinata. To se dešava uglavnom onda kada se oblast zadaje implicitnom jednačinom svoje granice. Čak i ako se oblast opiše na neki od pomenutih načina, rešavanje odred enih integrala u dvostrukom (trostrukom) integralu može da bude komplikovano zbog nepogodne podintegralne funkcije. Zato se u dvojnom (trojnom) integralu vrši smena promenljivih, koja dovodi do transformacije oblasti u novu oblast integracije, mnogo jednostavniju za opis i do novog dvojnog (trojnog) integrala, mnogo jednostavnijeg za rešavanje. mena promenljivih se uvodi i u manje nepovoljnim situacijama, tačnije, kad god je njome omogućeno lakše i brže rešavanje dvojnog (trojnog) integrala, kao što je to u slučaju zamene integrala po proizvoljnoj oblasti (3.3.2) (3.3.3) ili (3.3.11) (3.3.12) integralom po oblasti pravougaonika (3.3.1) ili kvadra (3.3.1) mena promenljivih u dvojnim integralima Neka je zatvorena prosto povezana oblast u ravni i neka sistem funkcija (3.4.1) u = u(, ), v = v(, ) ostvaruje bijektivno preslikavanje tačaka (, ) u tačke (u, v), gde je zatvorena prosto povezana oblast u uv ravni. Tada postoji jedinstveni sistem funkcija (3.4.2) = (u, v), = (u, v), koji ostvaruje inverzno preslikavanje tačaka (u, v) u tačke (, ). Posmatrajmo funkcionalnu determinantu (, ) (3.4.3) J(u, v) = (u, v) = u gde su u, v, u, v parcijalni izvodi prvog reda funkcija (u, v), (u, v), tj. u v v, u = u, v = v ; u = u, v = v.

124 118 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO eterminanta (3.4.3) je poznata pod imenom Jacobieva determinanta ili jakobijan i označava se kraće samo sa J. Ako su funkcije (u, v), (u, v) neprekidne i imaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda, jakobijan je takod e neprekidna funkcija. Osim neprekidnosti, neka je još (3.4.4) J(u, v) za svaku tačku (u, v) i neka su, konture oblasti, redom (lika 3.4.1). Uslov (3.4.4) obezbed uje da se funkcijama (3.4.1) i (3.4.2) unutrašnje tačke oblasti bijektivno preslikavaju u unutrašnje tačke oblasti i obrnuto. Isto tako, tačke sa konture se bijektivno preslikavaju u tačke sa konture i obrnuto. Ne može, npr., unutrašnja tačka oblasti da se preslika u tačku sa konture ([6], str. 8). Ovo omogućava da se oblasti i jednostavno transformišu jedna u drugu transformacijom kontura i jedne u drugu. lika ledeću teoremu navodimo bez dokaza ([6], str ). Teorema Ako su preslikavanja (3.4.1) (3.4.2) bijekcije izmed u oblasti, i ako je Jacobieva determinanta (3.4.3) neprekidna funkcija za koju važi (3.4.4), tada je (3.4.5) f(, ) dd = f ( (u, v), (u, v) ) J(u, v) dudv. Teorema zahteva i neprekidnost mešovitih parcijalnih izvoda funkcija (u, v), (u, v). Ovu pretpostavku nismo naveli da ne bismo opterećivali tekst teoreme, a s opravdanjem da je ona u praktičnim problemima gotovo uvek ispunjena. Kako je (, ) J(v, u) = (v, u) = v u = J(u, v), znak jakobijana zavisi od rasporeda koordinatne u i v ose, a time i od orijentacije oblasti. Uticaj orijentacije oblasti na vrednost dvojnog integrala po toj oblasti u jednakosti (3.4.5) je izbegnut uzimanjem apsolutne v v u u

125 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 119 vrednosti J(u, v) u podintegralnoj funkciji, pa se podrazumeva da je pozitivno orijentisana. Za f(, ) 1, prema (3.1.4) i (3.4.5), površina d = m() oblasti je (3.4.6) d = dd = J(u, v) dudv. Označavajući sa d = m( ) površinu oblasti i primenjujući posledicu (3.1.6) Teoreme na jednakost (3.4.6), sledi da postoji tačka (u, v ) tako da je d = J(u, v ) dudv = J(u, v ) d. Kako je u opštem slučaju J(u, v ) 1, oblasti i se razlikuju i po obliku i po veličini (površini). Broj J(u, v ) je koeficijent deformacije ili koeficijent istezanja oblasti pri preslikavanju sa (3.4.1) u oblast. U praksi se najčešće koriste jednakosti (1.4.4) (1.4.7), koje su specijalan slučaj jednakosti (3.4.2) za u = r, v = ϕ. Ovim jednakostima se escartesove koordinate, zamenjuju polarnim i uopštenim polarnim koordinatama r, ϕ. Jakobijan za smenu (1.4.4), kojom se prelazi na polarne koordinate, je J = J(r, ϕ) = r r ϕ ϕ = cos ϕ sin ϕ i tvrd enje (3.4.5) Teoreme glasi (3.4.7) r sin ϕ r cos ϕ = r cos2 ϕ + r sin 2 ϕ = r f(, ) dd = f(r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ, pri čemu je J = r za sve tačke (r, ϕ). Uslov r znači da oblast ne sadrži koordinatni početak (, ). Za r = jednakosti (1.4.4) ne ostvaruju bijekciju izmed u tačaka oblasti i i ne važi zaključak da se unutrašnje tačke, odnosno tačke sa kontura, preslikavaju jedne u druge. Med utim, jednakost (3.4.7) ostaje na snazi i u ovom slučaju, kada je (, ), tj. J = r = ([2], str ). Za polarne koordinate (1.4.5) je J = (, z) (r, ϕ) = r z r ϕ z ϕ = r, J = (z, ) (r, ϕ) = z r r z ϕ ϕ = r.

126 12 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Jakobijan za smenu (1.4.6), kojom se prelazi na uopštene polarne koordinate, je (3.4.8) J = abnr cos n 1 ϕ sin n 1 ϕ. Pri tome je J =, ne samo za r =, već i za one vrednosti promenljive ϕ za koje je cos ϕ = ili sin ϕ =. Jednakost (3.4.5) važi i u ovom slučaju. pecijalno, za n = 1 i (1.4.7) je J = abr, a jednakost (3.4.5) postaje (3.4.9) f(, ) dd = ab f(ar cos ϕ, br sin ϕ)r drdϕ. PRIMER Izračunati dvojni integral I = ZZ sin( + ) sin( ) dd, gde je oblast u ravni (z = ) ograničena pravama 1 : =, 2 : = + 3π, 3 : =, 4 : = + π. Podintegralna funkcija sugeriše smenu oblika (3.4.1), u = +, v =, iz koje se jednoznačno odred uju funkcije oblika (3.4.2), = u + v 2 Prema (3.4.3), Jacobieva determinanta je, = u v 2. J = u v u v = 1/2 1/2 1/2 1/2 = 1 2. Kako je uslov (3.4.4) ispunjen, kontura = 4 i=1 i oblasti iz ravni (lika 3.4.2) se preslikava u konturu oblasti iz uv ravni. Pomoću uvedene smene se prave i (i = 1, 2, 3, 4) preslikavaju redom u prave 1 : v =, 2 : v = 3π, 3 : u =, 4 : u = π, pa je = 4 i=1 i. Oblast je pravougaona (lika 3.4.3), sa opisom : u π, 3π v.

127 3. VIŠETRUKI INTEGRAI v u lika lika Prema tvrd enju (3.4.5) Teoreme 3.4.1, dvojni integral I po oblasti postaje dvojni po oblasti, tj. I = 1 2 ZZ Prelazeći sa dvojnog na dvostruki integral, sledi I = 1 2 Z π sin u du Z 3π sin u sin v dudv. sin v dv = 1 2 ( cos u)π( cos v) = 1 2 ( 2) = 2. 3π 2 Integral I može da se reši i pomoću promenljivih,, bez uvod enja novih promenljivih 3 u, v. Med utim, tada oblast mora da se deli na = i=1 i (lika 3.4.2), a podintegralna funkcija mora da se transformiše pomoću trigonometrijske jednakosti sin α sin β = pa je korist od uvod enja smene dvostruka. cos(α β) cos(α + β) 2, PRIMER Izračunati dvojni integral ZZ p I = dd, gde je krug u ravni (z = ) za a >. : a 2 menom escartesovih, polarnim r, ϕ koordinatama pomoću = r cos ϕ, = r sin ϕ, krug iz ravni (lika ) se transformiše u pravougaonu oblast iz uv ravni (lika ), opisanu sa : r a, ϕ 2π.

128 122 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Kako je za uvedenu smenu J = r, primenjujući jednakost (3.4.7) i prelazeći sa dvojnog na dvostruki integral, sledi I = = ZZ q (r cos ϕ) 2 + (r sin ϕ) 2 r drdϕ = Z a r 2 dr Z 2π dϕ = r3 3 a ϕ2π = 2 3 a3 π. ZZ r 2 drdϕ Oblast može jednostavno da se opiše i pomoću escartesovih koordinata, npr. nejednakostima : a a, p a 2 2 p a 2 2. p Imajući u vidu parnost podintegralne funkcije po, simetričnost granica za i (1.3.5), dvojni integral postaje dvostruki Z a Z a 2 p 2 I = 2 d d. a Unutrašnji integral se mukotrpno p rešava hiperboličkom smenom = sinh t, koju iznud uje podintegralna funkcija Ništa lakše nije ni rešavanje spoljašnjeg integrala smenom a 2 2 / 2 = sinh 2 t. akle, bez uvod enja smene promenljivih u dvojni integral, rešavanje dvostrukog integrala je neuporedivo komplikovanije. Izračunati površinu oblasti u ravni (z = ) ograničene zatvore- PRIMER nom krivom : + 12 =. Neka je oblast čiju površinu d treba izračunati. Kriva je definisana za,. Još je (, ) = (, ), tj. (, ). escartesove koordinate, zamenjujemo uopštenim polarnim koordinatama r, ϕ pomoću = r cos 4 ϕ, = r sin 4 ϕ, što je moguće zbog, i važi za svako ϕ [, 2π]. druge strane, uvedena smena je oblika (1.4.6) sa a = b = 1 i n = 4. Broj n je paran, pa promenljiva ϕ ima maksimalni raspon ϕ π/2. Zato je ϕ [, π/2] [, 2π] i cos ϕ, sin ϕ. Primenom gotove formule (3.4.8) ili prema (3.4.3), za ovu smenu je J = r ϕ r ϕ = cos4 ϕ 4r cos 3 ϕ sin ϕ sin 4 ϕ 4r cos ϕ sin 3 ϕ = 4r cos3 ϕ sin 3 ϕ. Iz jednačine krive sledi r 4 = cos 4 ϕ sin 4 ϕ i r = cos ϕ sin ϕ, pa se preslikava u krivu : r = cos ϕ sin ϕ, koja je definisana za svako ϕ [, π/2]. Kako tački (, ) odgovara r =, oblast iz ravni (lika 3.4.4) prelazi u oblast iz rϕ ravni (lika 3.4.5), sa opisom : r cos ϕ sin ϕ, ϕ π 2.

129 3. VIŠETRUKI INTEGRAI r 2 lika lika Prema (3.4.6) je d = ZZ i prelaskom na dvostruki integral d = 4 = 2 Z π/2 Z π/2 Z π/2 dd = cos 3 ϕ sin 3 ϕ dϕ ZZ 4r cos 3 ϕ sin 3 ϕ drdϕ Z cos ϕ sin ϕ cos 5 ϕ sin 5 ϕ dϕ = 2 Z π/2 r dr 1 sin 2 ϕ 2 sin 5 ϕ d(sin ϕ) = 2 sin 5 ϕ 2 sin 7 ϕ + sin 9 ϕ d(sin ϕ) sin 6 ϕ = 2 2 sin8 ϕ + sin1 ϕ π/2 1 = = 1 3. U ovom primeru smenu promenljivih nameće granica oblasti. Implicitna jednačina, kojom je kriva zadata, ne može da se prevede na eksplicitan oblik = () ili = (), pa ni oblast ne može da se opiše nejednakostima (3.3.2) ili (3.3.3). Za razliku od ovog, mnogobrojni su primeri u kojima je prelazak sa implicitne na eksplicitnu jednačinu krive teorijski rešiv, ali za praktičnu realizaciju veoma težak problem. Takav je, npr., problem rešavanja opštih algebarskih jednačina trećeg ili četvrtog stepena ([4], str ). Ako se uzme u obzir i neupotrebljivost dobijenih rezultata za rešavanje integrala, s pravom često smatramo da ovako zadate ravne oblasti nije moguće opisati nejednakostima (3.3.2) ili (3.3.3). NAPOMENA o izgleda implicitno zadatih krivih, kakva je u Primeru 3.4.3, se teško dolazi bez pomoći računara i odgovarajućih programa. Često je teško sagledati i eksplicitno zadate krive. Taj izgled se samo naslućuje, pa čak ni to. Krive i su grafički prikazane (like 3.4.4, 3.4.5) pomoću programskog paketa MATHEMATICA 5.. druge strane, za rešavanje dvojnih integrala nije od značaja izgled, već analitički opis ravnih oblasti. o ovog opisa može da se dod e i bez poznavanja preciznog izgleda oblasti, tj. njene konture, o čemu svedoči zaključivanje izvedeno u Primeru Zato nadalje u sličnim situacijama upućujemo čitaoca na uslove koji dovode do opisa, a slikom predstavljamo izgled oblasti dobijen upotrebom računara ili sliku izostavljamo. NAPOMENA Primer koristimo za ilustraciju teorije o uopštenim polarnim koordinatama r, ϕ uvedenim sa (1.4.6) i konkretno sa = r cos 4 ϕ, = r sin 4 ϕ.

130 124 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Zamenjujući ovako iskazane, u jednačinu krive, dobijamo da se preslikava u krivu 1 : r = cos ϕ sin ϕ, koja je definisana za ϕ [, 2π]. Prema uvedenoj smeni, svakoj tački (, ) odgovaraju četiri različite tačke (r, ϕ k ) 1 (k =, 1, 2, 3), gde je ϕ [, π/2], ϕ 1 = ϕ + π/2, ϕ 2 = ϕ + π, ϕ 3 = ϕ + 3π/2. akle, kriva se četiri puta preslikava u 1 : jednom za ϕ [, π/2], drugi put za ϕ [π/2, π], treći put za ϕ [π, 3π/2] i četvrti put za ϕ [3π/2, 2π]. Zato umesto segmenta [, 2π] treba uzeti neki od navedenih podsegmenata, svejedno koji. Obično se uzima [, π/2]. Ovo je razlog što je, u slučaju jednakosti (1.4.6) sa parnim brojem n, maksimalni raspon koordinate ϕ definisan sa ϕ π/2. Zbog parnog broja n, prethodna smena može da se uvede samo za tačke (, ) iz I kvadranta ravni, za koje je,, pa su r i ϕ koordinate na lokalnom nivou. mena očigledno ne ostvaruje bijekciju izmed u tačaka (, ) iz I kvadranta ravni i račaka (r, ϕ) iz rϕ ravni za ϕ [, 2π], ali je ostvaruje za ϕ [, π/2] mena promenljivih u trojnim integralima Neka je zatvorena prosto povezana prostorna oblast i neka sistem funkcija (3.4.1) u = u(,, z), v = v(,, z), w = w(,, z) ostvaruje bijektivno preslikavanje tačaka (,, z) u tačke (u, v, w), gde je zatvorena prosto povezana prostorna oblast u uvw sistemu. Tada postoji jedinstveni sistem funkcija (3.4.11) = (u, v, w), = (u, v, w), z = z(u, v, w) koji inverzno preslikava tačke (u, v, w) u tačke (,, z). Jacobieva determinanta je u ovom slučaju (3.4.12) J = J(u, v, w) = gde je (,, z) (u, v, w) = u v w u v w z u z v z w, u = u, v = v, w = w ; u = u, v = v, w = w ; z u = z u, z v = z v, z w = z w.

131 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 125 eterminanta (3.4.12) je neprekidna funkcija ako su (u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w) i njihovi parcijalni izvodi prvog reda neprekidne funkcije. Ako je još (3.4.13) J(u, v, w) za svaku tačku (u, v, w), unutrašnje tačke jedne oblasti se preslikavaju u unutrašnje tačke druge oblasti, a isto važi i za tačke sa njihovih granica. Teorema Ako su preslikavanja (3.4.1) (3.4.11) bijekcije izmed u oblasti, i ako je Jacobieva determinanta (3.4.12) neprekidna funkcija za koju važi (3.4.13), tada je (3.4.14) f(,, z) dddz = f ( (u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w) ) J(u, v, w) dudvdw. Teorema zahteva i neprekidnost odgovarajućih mešovitih parcijalnih izvoda funkcija (u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w). Za f(,, z) 1, prema (3.2.3) i (3.4.14), zapremina d = m() oblasti je (3.4.15) d = dddz = J(u, v, w) dudvdw. Kao i kod dvojnih integrala, postoji tačka (u, v, w ) tako da je d = J(u, v, w ) d, gde je d = m( ) zapremina oblasti i J(u, v, w ) koeficijent deformacije oblasti. U praktičnim primenama se najčešće koriste jednakosti (1.4.8), (1.4.1) ili (1.4.11) (1.4.12), (1.4.15), koje su specijalan slučaj jednakosti (3.4.11) za u = r, v = ϕ, w = z, odnosno u = r, v = ϕ, w = θ. Ovim jednakostima se escartesove koordinate,, z zamenjuju cilindričnim i uopštenim cilindričnim koordinatama r, ϕ, z, odnosno sfernim i uopštenim sfernim koordinatama r, ϕ, θ. Jakobijan za smenu (1.4.8), kojom se prelazi na cilindrične koordinate, je r ϕ z J = J(r, ϕ, z) = r ϕ z z r z ϕ z z = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ 1 = r

132 126 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO i tvrd enje (3.4.14) Teoreme glasi (3.4.16) f(,, z) dddz = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)r drdϕdz, pri čemu je J = r za sve tačke (r, ϕ, z). Jakobijan za (1.4.1) i prelazak na uopštene cilindrične koordinate je a jednakost (3.4.14) postaje (3.4.17) J = abr, f(,, z) dddz =ab f(ar cos ϕ, br sin ϕ, z)r drdϕdz. Jednakosti (3.4.16), (3.4.17) ostaju na snazi i kada je J =. Jakobijan za smenu (1.4.11), kojom se prelazi na sferne koordinate, je r ϕ θ J = J(r, ϕ, θ) = r ϕ θ z r z ϕ z θ cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r cos ϕ sin θ = sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ sin θ r cos θ = r2 cos θ, a za (1.4.12) je J = r 2 sin θ, pri čemu je J na osnovu (1.4.13) i (1.4.14) redom. U slučaju smene (1.4.11) se (3.4.14) svodi na (3.4.18) f(,, z) dddz = f(r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r 2 cos θ drdϕdθ i analogno u slučaju (1.4.12). Jakobijan za (1.4.15) i prelazak na uopštene sferne koordinate je J = abcr 2 cos θ,

133 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 127 pa iz (3.4.14) sledi (3.4.19) f(,, z) dddz =abc f(ar cos ϕ cos θ, br sin ϕ cos θ, cr sin θ)r 2 cos θ drdϕdθ. Jednakosti (3.4.18), (3.4.19) važe i za J =. PRIMER Izračunati zapreminu prostorne oblasti ograničene površima 1 : = 2, 2 : z =, 3 : z = p Neka je prostorna oblast čiju zapreminu d treba izračunati. Površ 1 je cilindrična sa izvodnicama paralelnim z osi. irektrisa je kružnica (1.4.21) sa a = 1, tj. : ( 1) = 1, z =. Površ 2 je ravan, a 3 je konus sa z osom kao osovinom. Projekcija oblasti na ravan je krug ograničen sa (lika 3.4.6). z lika escartesove koordinate,, z smenjujemo cilindričnim r, ϕ, z koordinatama pomoću = r cos ϕ, = r sin ϕ, z = z. Za ovu smenu je J = r. Površi i (i = 1, 2, 3) se preslikavaju u površi 1 : r = 2 cos ϕ, 2 : z =, 3 : z = r, a kružnica u krivu : r = 2 cos ϕ, z =.

134 128 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Imajući u vidu značenje cilindričnih koordinata, za je ϕ [ π/2, π/2], pa se krug iz ravni (z = ) preslikava u oblast iz rϕ ravni (z = ), opisanu sa (1.4.35), tj. : r 2 cos ϕ, π 2 ϕ π 2, a oblast iz z sistema u oblast iz rϕz sistema, Prema (3.4.15) je : r 2 cos ϕ, π 2 ϕ π 2, z r. d = ZZZ i, prelaskom na trostruki integral, d = = Z π/2 π/2 Z π/2 = 16 3 dϕ dϕ π/2 Z π/2 Z 2 cos ϕ Z 2 cos ϕ r dr Z r r 2 dr = dddz = dz cos 2 ϕ d(sin ϕ) = 16 3 Z π/2 r 3 3 π/2 Z π/2 ZZZ r drdϕdz Z 2 cos ϕ dϕ = 8 π/2 cos 3 ϕ dϕ 3 π/2 1 sin 2 ϕ d(sin ϕ) = = 32 9, pri čemu je iskorišćena parnost funkcije cos 3 ϕ na simetričnom segmentu [ π/2, π/2]. Oblast može jednostavno da se opiše i pomoću promenljivih,, z, bez uvod enja novih promenljivih, npr. nejednakostima : 2, p 2 2 p 2 2, z p Odgovarajući trostruki integral tada postaje Z 2 Z 2 Z d = d dz = 2 d 2 2 Z 2 Z 2 p 2 d d. p Kao u Primeru 3.4.2, zbog nepogodne podintegralne funkcije 2 + 2, dobijeni odred eni integrali se teško rešavaju. PRIMER Izračunati trojni integral ZZZ p I = z 2 dddz, gde je prostorna oblast ograničena zatvorenom površi : z 2 = z. Površ je sfera (1.4.45) sa a = 1/2 (lika ), tj. : z = 2 4.

135 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 129 Zamenom escartesovih,, z sfernim r, ϕ, θ koordinatama pomoću = r cos ϕ cos θ, = r sin ϕ cos θ, z = r sin θ, sfera se preslikava u površ : r = sin θ, a oblast iz z sistema u oblast iz rϕθ sistema, opisanu sa (1.4.46), tj. : r sin θ, ϕ 2π, θ π 2. Primenjujući (3.4.18) i prelazeći sa trojnog na trostruki integral, sledi I = = q ZZZ (r cos ϕ cos θ) 2 + (r sin ϕ cos θ) 2 + (r sin θ) 2 r 2 cos θ drdϕdθ ZZZ = 1 4 Z 2π r 3 cos θ drdϕdθ = dϕ Z π/2 Z 2π dϕ Z π/2 cos θ dθ Z sin θ r 3 dr Z cos θ sin 4 θ dθ = 1 π/2 2 π sin 4 θ d(sin θ) = = 1 1 π. Kao u Primerima i 3.4.4, oblast može da se opiše pomoću escartesovih koordinata, npr. sa : , 1 2 p p 1 4 2, z p , ali podintegralna funkcija p z 2 otežava rešavanje trostrukog integrala. NAPOMENA U vezi sa cilindričnim i sfernim koordinatama je sledeće zapažanje. Iz projekcije prostorne oblasti na neku od koordinatnih ravni u slučaju cilindričnih koordinata može da se odredi raspon koordinata r i ϕ, a u slučaju sfernih koordinata samo raspon koordinate ϕ, što je posledica značenja ovih koordinata (like ). PRIMER Izračunati zapreminu prostorne oblasti ograničene zatvorenom površi : 2 a b 2 + z2 c 2 2 = a 2 za a, b, c >. Neka je prostorna oblast čiju zapreminu d treba izračunati. U jednačini površi je 2 /a /b 2 + z 2 /c 2 2, pa mora da bude i a 2, što znači da je definisana za. Još je (,, z) = (,, ), tj. (,, ). escartesove koordinate,, z zamenjujemo uopštenim sfernim koordinatama r, ϕ, θ pomoću = ar cos ϕ cos θ, = br sin ϕ cos θ, z = cr sin θ. Iz maksimalnog raspona r < +, π/2 θ π/2 koordinata r, θ sledi r i cos θ. Zato uslov zahteva cos ϕ, a to važi za π/2 ϕ π/2. Kako je [ π/2, π/2] [ π, π], vrednosti koordinate ϕ su unutar maksimalnog raspona te koordinate. Za uvedenu smenu je J = abcr 2 cos θ.

136 13 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Iz jednačine površi dobijamo r 4 = a 3 r cos ϕ cos θ, pa se preslikava u površ : r = a 3p cos ϕ cos θ, koja je definisana za svako ϕ, θ [ π/2, π/2]. Budući da tački (,, ) odgovara r =, oblast iz z sistema prelazi u oblast iz rϕθ sistema, : r a 3p cos ϕ cos θ, π 2 ϕ π 2, π 2 θ π 2. Primenom (3.4.15) i prelaskom na trostruki integral sledi d = ZZZ = abc Z π/2 = 1 3 a4 bc ZZZ dddz = abc r 2 cos θ drdϕdθ Z π/2 Z a 3 cos ϕ cos θ dϕ cos θ dθ r 2 dr π/2 Z π/2 π/2 π/2 Z π/2 dϕ π/2 cos ϕ cos 2 θ dθ. Koristeći parnost funkcija cos 2 θ, cos ϕ na simetričnom segmentu [ π/2, π/2] i jednakost cos 2 θ = 1 + cos 2θ 2, dalje je Z d = 2 π/2 3 a4 bc = 1 3 a4 bc = 1 3 a4 bcπ π/2 Z π/2 π/2 Z π/2 Z π/2 1 + cos 2θ cos ϕ dϕ 2 cos ϕ θ sin 2θ θ=π/2 θ= dθ cos ϕ dϕ = = 1 3 a4 bcπ. NAPOMENA Oblasti u Primerima 3.4.4, i, u Primeru nisu predstavljene slikom. Jedan razlog je što, u opštem slučaju, površi i prostorne oblasti nemaju jasan grafički prikaz, čak i kad je dobijen upotrebom računara. rugi razlog je što do potrebnog analitičkog opisa može da se dod e i bez poznavanja izgleda oblasti, o čemu svedoče upravo pomenuti primeri. a sličnom situacijom smo se već sreli kod krivih i oblasti u ravni (Napomena 3.4.1). dϕ 3.5. Green Riemannova teorema Green Riemannova teorema je jedna od značajnijih teorema u teoriji integrala. Njome se, pod odred enim uslovima, uspostavlja veza izmed u krivolinijskog integrala po konturi u nekoj od koordinatnih ravni i dvojnog integrala po oblasti ograničenoj tom konturom. Ovakva veza omogućava

137 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 131 široku primenu Green Riemannove teoreme, kako pri dokazivanju nekih drugih tvrd enja, tako i pri rešavanju praktičnih problema. U takve probleme spadaju izračunavanje krivolinijskog integrala prelaskom na dvojni ili izračunavanje površine ravne oblasti pomoću krivolinijskog integrala. Neka je zatvorena, prosto povezana oblast u nekoj od koordinatnih ravni, npr. u ravni, a njena kontura (granica), pozitivno orijentisana prema efiniciji Oblast je takod e pozitivno orijentisana prema efiniciji Pretpostavimo da je elementarna oblast (efinicija , lika 1.1.2). Ne umanjujući opštost, a radi jednostavnosti izvod enja, izaberimo onu koja u celini može da se opiše i nejednakostima (3.3.2) i nejednakostima (3.3.3). ema Ako su P (, ) i P/ neprekidne funkcije u elementarnoj oblasti sa konturom, važi (3.5.1) P (, ) d = + P dd. okaz. Neka su tačke A, B, X 1, X 2 takve da je + = AX 1 B BX 2 A, AX 1 B : = 1 (), z = ; [a, b], BX 2 A : = 2 (), z = ; [a, b], gde su a, b prve koordinate tačaka A, B redom i delovi AX 1 B, BX 2 A zadržavaju orijentaciju celine (lika 3.5.1). Tada se parametar menja od a do b za deo AX 1 B i od b do a za deo BX 2 A, a oblast se opisuje nejednakostima (3.3.2), tj. : a b, 1 () 2 (). + B X2 X1 A a b lika

138 132 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Prema (1.3.7) i (2.3.5), krivolinijski integral na levoj strani jednakosti (3.5.1) postaje P (, ) d = + = = AX 1 B b a b a P (, ) d + P (, 1 () ) d + P (, 1 () ) d BX 2 A a b b a P (, ) d P (, 2 () ) d P (, 2 () ) d. Kako su diferenciranje i integracija inverzne operacije, to je P d = P (, ) i, prema (3.3.5), dvojni integral na desnoj strani jednakosti (3.5.1) postaje P dd = = b a b a 2 () P d 1 () d = P (, 2 () ) d b a b a P (, ) = 2() d = 1 () P (, 1 () ) d. obijeni izrazi za krivolinijski i dvojni integral se razlikuju samo u znaku, pa sledi tvrd enje (3.5.1). ema Ako su Q(, ) i Q/ neprekidne funkcije u elementarnoj oblasti sa konturom, važi (3.5.2) Q(, ) d = + Q dd. okaz. Neka su tačke A, B, X 1, X 2 takve da je + = BX 1 A AX 2 B, BX 1 A : = 1 (), z = ; [c, d], AX 2 B : = 2 (), z = ; [c, d], gde su c, d druge koordinate tačaka A, B redom i delovi BX 1 A, AX 2 B zadržavaju orijentaciju celine (lika 3.5.2). Tada se parametar menja

139 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 133 od c do d za deo BX 1 A i od d do c za deo nejednakostima (3.3.3), tj. : 1 () 2 (), c d. AX 2 B, a oblast se opisuje d X + B X 1 2 c A lika Postupajući analogno kao u dokazu eme 3.5.1, uz korišćene jednakosti Q d = Q(, ) i (3.3.9), dobija se + Q(, ) d = d što je tvrd enje (3.5.2). c Q ( 2 (), ) d d c Q ( 1 (), ) d = Q dd, Teorema (GREEN RIEMANNOVA TEOREMA) Ako su P (, ), Q(, ), P/, Q/ neprekidne funkcije u prosto povezanoj oblasti sa konturom, važi Green Riemannova formula ( Q (3.5.3) P (, ) d + Q(, ) d = + P ) dd. okaz. abiranjem jednakosti (3.5.1) i (3.5.2) sledi tvrd enje (3.5.3) za slučaj elementarne oblasti. Pretpostavimo da nije elementarna oblast. Tada ona ne može u celini da se opiše bar na jedan od načina (3.3.2), (3.3.3). Na primer, za oblast sa like ne postoji jedinstven opis (3.3.2). Neka su tačke A, B, X 1, X 2 takve da kriva AB deli oblast na = 1 2, gde su 1 i 2 elementarne oblasti. a 1 i 2 označimo konture oblasti 1 i 2 redom. Na delovima AX 1 B 1, BX 2 A 2

140 134 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO zadržavamo orijentaciju celine + = AX 1 B BX 2 A, a zajednički deo AB BA 1 orijentišemo tako da 1 i 2 imaju jedinstvene orijentacije, tj. i AB 2. Konture 1 i 2 su pozitivno orijentisane (lika 3.5.3). 2 A X 2 1 B 1 lika Na elementarne oblasti 1 i 2 primenjujemo (3.5.3) i dobijamo P (, ) d + Q(, ) d = + 1 P (, ) d + Q(, ) d = + 2 X ( Q P ( Q P ) dd, ) dd. Radi jednostavnosti zapisivanja, podrazumevamo i izostavljamo podintegralne izraze P (, ) d + Q(, ) d u krivolinijskim i Q/ P/ u dvojnim integralima. Kako je + 1 = AX 1 B + BA i, prema (1.3.8), = BA sabiranjem sledi P (, ) d + Q(, ) d = + =, AX 1 B = AB +, BX 2 A 2 = BX 2 A = + AB ( Q P ) dd. akle, jednakost (3.5.3) ostaje na snazi i kada nije elementarna oblast, čime je teorema dokazana u potpunosti.

141 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 135 Ako kriva pripada z ili z ravni, Green Riemannova formula glasi ( R Q(, z) d + R(, z) dz = + Q ) ddz, z ( P R(z, ) dz + P (z, ) d = + z R ) dzd. Neka je sada zatvorena, n tostruko povezana oblast u ravni sa pozitivno orijentisanom spoljnom konturom i negativno orijentisanim unutrašnjim konturama i (i = 1, 2,..., n 1). Tada je oblast pozitivno orijentisana prema efiniciji Kako je granica n tostruko povezane oblasti sastavljena od svih njenih kontura, sledeća teorema je analogna Green Riemannovoj teoremi. Teorema Ako su P (, ), Q(, ), P/, Q/ neprekidne funkcije u n tostruko povezanoj oblasti sa spoljnom konturom i unutrašnjim konturama i (i = 1, 2,..., n 1), važi n 1 (3.5.4) P (, ) d + Q(, ) d + P (, ) d + Q(, ) d + i=1 i ( Q = P ) dd. okaz. Jednakost (3.5.4) pokazujemo u najjednostavnijem slučaju dvostruko povezane oblasti sa jednom unutrašnjom konturom 1. Neka su tačke A i, B i, X i, Y i (i = 1, 2) takve da krive A 1 B 1 i A 2 B 2 dele oblast na = 1 2, gde su 1 i 2 prosto povezane oblasti. a 1 i 2 označimo konture oblasti 1 i 2 redom. Na delovima A 1 X 1 B 2 1, B 2 X 2 A 1 2 zadržavamo orijentaciju celine + = A 1 X 1 B 2 B 2 X 2 A 1, a na delovima B 1 Y 1 A 2 1, B 1 Y 1 A 2 A 2 Y 2 B 1. Zajedničke delove 1 i 2 imaju jedinstvene orijentacije, tj. A 1 B 1 2, (lika 3.5.4). A 2 Y 2 B 1 2 orijentaciju celine 1 = A 1 B 1, A 2 B 2 orijentišemo tako da B 1 A 1 1, B 2 A 2 1 i A 2 B 2 2. Konture 1 i 2 su pozitivno orijentisane X B A 2 2 A B1 Y Y X 1 1 lika

142 136 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Na prosto povezane oblasti 1 i 2 primenjujemo (3.5.3) i dobijamo P (, ) d + Q(, ) d = + 1 P (, ) d + Q(, ) d = + 2 Izostavljajući podintegralne izraze, imamo + 1 = + 2 = B 1 A 1 + A 1 X 1 B 2 = + A 1 X 1 B 2 + B 2 X 2 A 1, A 1 B 1 + B 2 X 2 A 1 + B 2 A 2 + A 1 B 1 B 2 A 2 + B 1 Y 2 A ( Q P ( Q P + A 2 Y 1 B 1 + B 1 Y 2 A 2 = A 2 B 2 ) dd, ) dd., B 1 A 1 ; A 2 B 2 i sabiranjem P (, ) d + Q(, ) d + P (, ) d + Q(, ) d + 1 = = = ( Q P = A 2 Y 1 B 1 ) dd, što je jednakost (3.5.4). Green Riemannova teorema se koristi kad god je rešavanje dvojnog integrala po ravnoj oblasti jednostavnije od rešavanja krivolinijskog integrala po njenoj konturi, što je i najčešći slučaj. U obrnutom smeru, za rešavanje dvojnog pomoću krivolinijskog integrala, formula (3.5.3) se ne koristi, izuzimajući situaciju o kojoj će nešto kasnije biti reči. PRIMER Izračunati potpuni krivolinijski integral II vrste I = Z e sin b d + e cos b d, gde je deo pozitivno orijentisane kružnice 1 : = a, z =

143 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 137 za i a, b >. Kružnica 1 pripada ravni (z = ). Kako je 1 : a = a2 2 4, što je jednačina oblika (1.4.21), 1 ima centar na osi u tački (a/2, ) i poluprečnik a/2. Zbog uslova, deo kružnice 1 je polukružnica u I kvadrantu. Polukružnica zadržava orijentaciju celine 1. Ako je 2 deo ose izmed u tačaka (, ) i (a, ), orijentisan od tačke (, ) ka tački (a, ), kriva 3 = 2 je pozitivno orijentisana kontura. povezana (lika 3.5.5). Oblast u ravni, ograničena sa 3, je prosto a 2 a lika a I 2 i I 3 označimo krivolinijske integrale duž 2 i 3 redom, koji imaju isti podintegralni izraz kao integral I. Tada je I 3 = I + I 2, tj. I = I 3 I 2. Prvo izračunavamo integral I 3. tavljajući dobijamo P (, ) = e sin b, Q(, ) = e cos b, P = e cos b, Q = e cos, pa su funkcije P (, ), Q(, ), P/, Q/ neprekidne u čitavoj ravni, a time i u oblasti. Uslovi Green Riemannove teoreme su ispunjeni i primenom tvrd enja (3.5.3) sledi I 3 = = I ZZ + 3 e sin b d + e cos b d e cos e cos b dd = bzz dd.

144 138 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Uvod enjem polarnih koordinata sa = r cos ϕ, = r sin ϕ i imajući u vidu J = r, polukružnica 1 za ϕ [, π/2] i oblast se preslikavaju u pa je dalje I 3 = b ZZ = 1 2 a2 b Z π/2 r drdϕ = b : r = a cos ϕ, : r a cos ϕ, ϕ π 2, Z π/2 dϕ cos 2 ϕ dϕ = 1 2 a2 b Z a cos ϕ Z π/2 r dr 1 + cos 2ϕ 2 Isti rezultat se dobija primenom dobro poznate formule d = R 2 π dϕ = = 1 8 a2 bπ. za odred ivanje površine d kruga poluprečnika R. Konkretno, za polukrug i R = a/2 je ZZ 2π 1 = 8 a2 π. dd = 1 2 d = 1 2 a 2 Integral I 2 se jednostavno izračunava. Kako je 2 : = () =, z = ; [, a], to je sin () =, cos () = 1, () = i, prema (2.3.7) sa R(,, z), t =, Konačno je I 2 = Z 2 e sin b d + e cos b d =. I = I 3 I 2 = 1 8 a2 bπ. a je direktno rešavanje integrala I kao krivolinijskog izuzetno teško, čitalac i sam može da se uveri. NAPOMENA Iz Primera vidimo da je Green Riemannovu teoremu moguće primeniti i ako je kriva integracije u krivolinijskom integralu otvorena. Ovakva primena je otežana iz dva razloga. Otvorena kriva prethodno mora da se dopuni do zatvorene i, osim odgovarajućeg dvojnog, mora da se reši krivolinijski integral po dopuni. Čak i tada se mnogi krivolinijski integrali znatno lakše rešavaju pomoću ove teoreme. To su, uglavnom, oni integrali čija kriva integracije može da se dopuni delom prave paralelne nekoj od koordinatnih osa ili, jasno, delom same ose. Još jedna značajna primena Green Riemannove teoreme se sastoji u izračunavanju površine ravne oblasti pomoću krivolinijskog integrala po njenoj granici.

145 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 139 Neka je prosto povezana oblast u ravni i njena kontura. Zamenjujući u (3.5.3) specijalno izabrane funkcije P (, ) =, Q(, ) =, dobija se d d = 2 dd + i, prema (3.1.4), površina d oblasti je (3.5.5) d = d d. Za drugačiji izbor funkcija, npr. za P (, ), Q(, ) =, iz (3.5.3) sledi (3.5.6) d = d, + a za P (, ) =, Q(, ), (3.5.7) d = d. + Jednakosti (3.5.5) (3.5.7) su med usobno potpuno ravnopravne. Prednost u svakom konkretnom slučaju ima ona kojom se najlakše dolazi do rezultata, a to je obično (3.5.5). Kako (3.5.5) može da se zapiše u obliku (3.5.8) d = 1 ) d( 2, 2 + koji je ponekad pogodniji za primenu, (3.5.5) se ipak češće upotrebljava od (3.5.6) i (3.5.7). U slučaju višestruko povezane oblasti, za isti izbor funkcija P (, ), Q(, ) iz (3.5.4) slede analogne jednakosti sa (3.5.5) (3.5.8). Na primer, za dvostruko povezanu oblast sa spoljnom konturom i unutrašnjom 1, analogno sa (3.5.5) je d = d d d d. Ako su d 1 i d 2 površine prosto povezanih oblasti ograničenih sa i 1, dalje je d = 1 d d 1 d d = d 1 d 2,

146 14 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO što bi se dobilo i primenom (3.5.5). praktični značaj. Zato navedena jednakost nema veći PRIMER Izračunati površinu oblasti u ravni (z = ) ograničene zatvorenom krivom (kardioida) za a >. : = a cos t(1 cos t), = a sin t(1 cos t), z = ; t [, 2π] Neka je oblast čiju površinu d treba izračunati. Za t =, t = π/2, t = π, t = 3π/2, iz parametarskih jednačina krive se redom dobijaju presečne tačke (, ), (, a), ( 2a, ), (, a) krive sa koordinatnim osama (lika 3.5.6). Oblast je prosto povezana, ali nije elementarna. -2a + a -a Površinu odred ujemo prema (3.5.5), tj. d = 1 2 lika I + d d. Pozitivnoj orijentaciji krive odgovara promena parametra t od t = do t = 2π. Kako je (t) = a sin t(2 cos t 1), (t) = a cos t cos 2 t + sin 2 t, dužim sred ivanjem sledi (t) (t) (t) (t) dt = a 2 (1 cos t) 2 dt i, prema (2.3.7) sa R(,, z), Z d = 1 2π Z 2 a2 (1 cos t) 2 dt = 1 2π 2 a2 1 2 cos t + cos 2 t dt = 1 2 a2h (t 2 sin t) 2π + Z 2π 1 + cos 2t 2 dt i = = 3 2 a2 π. Izračunavanje površine d pomoću (3.5.6) ili (3.5.7) dovodi do komplikovanije podintegralne funkcije, a time i do težeg rešavanja krivolinijskog integrala.

147 3. VIŠETRUKI INTEGRAI 141 NAPOMENA Implicitna jednačina kardioide iz Primera je : a 2 = a Uvod enjem polarnih koordinata r, ϕ u ravni, za koje je J = r, kriva i oblast ograničena njome se preslikavaju u : r = a(1 cos ϕ), : i, prema (3.1.4), (3.4.6), sledi d = ZZ dd = r a(1 cos ϕ), ϕ 2π ZZ r drdϕ = Z 2π dϕ Z 2π = a 2 (1 cos ϕ) 2 dϕ = = 3 2 a2 π. Z a(1 cos ϕ) Jasno, isti rezultat smo dobili u Primeru 3.5.2, samo pomoću krivolinijskog, a ne dvojnog integrala. Imajući u vidu da u ovom slučaju ne treba nalaziti izvode i sred ivati podintegralni izraz, izračunavanje površine pomoću dvojnog integrala je po pravilu mnogo lakši način. To je i logično jer je (3.1.4) osnovna, a (3.5.5) posledična, na (3.1.4) zasnovana formula. Zato se (3.5.5) koristi uglavnom onda kada je kontura oblasti zadata svojim parametarskim jednačinama, na osnovu kojih ne umemo ili je naporno da dod emo do drugih, za opis oblasti pogodnih jednačina konture. Uočimo da se, zamenom r = a(1 cos ϕ) u = r cos ϕ, = r sin ϕ, dobijaju parametarske jednačine iz Primera sa t = ϕ implicitno zadate kardioide, pa je parametar t, u stvari, polarni ugao ϕ. r dr

148 4. POVRŠINKI INTEGRAI 4.1. Površinski integrali po površi (I vrste) Prosled ujemo opšte pravilo o formiranju Riemannovih integrala u konkretnom slučaju površinskih integrala po površi. Neka je oblast integracije OI =, gde je orijentisana prostorna površ. Površ se deli (efinicija 1.2.9, lika ) na n ćelija podele P i = Σ i (i = 1, 2,..., n) i unutar svake ćelije se bira tačka X i (ξ i, η i, ζ i ). Za X i Σ i može da se uzme bilo koja tačka. Karakteristika podeonih delova je njihova površina k(p i ) = m(σ i ) = σ i >. Neka je podintegralna funkcija P F (X) = H(,, z) neprekidna na površi, gde je tačka X(,, z) proizvoljna. Vrednost P F (X i ) = H(X i ) = H(ξ i, η i, ζ i ) se množi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija integralna suma, a zatim i odgovarajući integral. efinicija Zbir (4.1.1) σ (n) = n H(X i ) σ i = i=1 n H(ξ i, η i, ζ i ) σ i i=1 je integralna suma po površi funkcije H(,, z). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma ε i, gde je ε i 1 i n najveće rastojanje izmed u tačaka ćelije Σ i, granična vrednost (4.1.2) H(,, z) dσ = lim σ(n) n je površinski integral po površi ili površinski integral I vrste funkcije H(,, z). 142

149 4. POVRŠINKI INTEGRAI 143 Iz uslova ma ε i očigledno sledi ma k(p i) = ma σ i, što 1 i n 1 i n 1 i n je u skladu sa opštim pravilom. Orijentacija (strana) ćelija Σ i (i = 1, 2,..., n) ne utiče na njihove površine k(p i ) = σ i >, pa je vrednost površinskog integrala I vrste ista za bilo koju orijentaciju (stranu) površi (lika ). akle, za ove integrale ne važi osobina (1.3.8), već važi H(,, z) dσ = H(,, z) dσ. + Ako je s = m() površina cele površi, za H(,, z) 1 iz (4.1.1) i (4.1.2) sledi osobina (1.3.9), tj. (4.1.3) dσ = lim n n i=1 σ i = lim n s = s. Osobina (1.3.1) važi za površinske integrale I vrste, a dokazuje se analogno kao kod krivolinijskih integrala. Izuzimajući jednakost (4.1.3), površinski integrali I vrste nemaju geometrijsku interpretaciju. pecijalno, neka je deo neke od koordinatnih ravni, npr. ravni (z = ). Tada se podintegralna funkcija H(,, z) svodi na funkciju f(, ) = H(,, ), površ na dvodimenzionalnu oblast, ćelija Σ i na ćeliju i (Napomena 1.2.8), površina σ i na površinu δ i, a površinski integral I vrste H(,, z) dσ na dvojni integral f(, ) dd. Takod e, površinski integral I vrste podseća na krivolinijski integral I vrste u tome što se za karakteristiku podeonih delova uzima njihova veličina (dužina kod krivolinijskog i površina kod površinskog integrala). NAPOMENA Neka je površ data parametarskim jednačinama (1.1.2). Za funkciju H(,, z) kažemo da je neprekidna na površi ako je funkcija f(u, v) = H (u, v), (u, v), z(u, v) neprekidna u oblasti uv Površinski integrali po koordinatama (II vrste) Kod površinskih integrala po koordinatama situacija je ista kao kod površinskih integrala po površi. Oblast integracije je OI =, gde je orijentisana prostorna površ. Površ se deli na ćelije P i = Σ i (i = 1, 2,..., n) i

150 144 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO u svakoj od njih se bira tačka X i (ξ i, η i, ζ i ). Ovi tipovi integrala se med usobno razlikuju u izabranoj karakteristici podeonih delova k(p i ). Neka su i(z), i(z), i() bijektivne projekcije ćelije Σ i redom na z, z i koordinatnu ravan. a δ i(z), δ i(z), δ i() označimo površine ovih projekcija, uzete sa znakom + ako je Σ i pozitivno, a sa znakom ako je Σ i negativno orijentisana u odnosu na odgovarajuću bijekciju. akle, δ i(z), δ i(z), δ i() nisu obavezno pozitivni brojevi, niti moraju da imaju isti znak. Kod površinskih integrala po koordinatama se za karakteristiku bira jedan od njih: k(p i ) = δ i(z), k(p i ) = δ i(z), k(p i ) = δ i(). Ako je X(,, z) proizvoljna tačka i podintegralna funkcija P F (X) = P (,, z) neprekidna na, dolazi se do sledećih definicija. efinicija Zbir (4.2.1) z (n) = n P (X i ) δ i(z) = i=1 n P (ξ i, η i, ζ i ) δ i(z) je integralna suma po koordinatama, z funkcije P (,, z). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma 1 i n ε i, gde je ε i najveće rastojanje izmed u tačaka projekcije i(z), granična vrednost (4.2.2) i=1 P (,, z) ddz = lim n z(n) je površinski integral po koordinatama, z ili površinski integral II vrste funkcije P (,, z). Iz uslova ma ε i sledi ma k(p i) = ma δ i(z). Proizvod 1 i n 1 i n 1 i n diferencijala ddz u oznaci površinskog integrala iz (4.2.2) proističe iz karakteristike δ i(z), pa ima isto značenje kao kod dvojnih integrala u slučaju δ i(z) > i važi ddz >. Med utim, za razliku od dvojnih, kod površinskih integrala može da bude δ i(z) <, a time i ddz <. Ovu razliku izmed u površinskih i dvojnih integrala treba imati u vidu. Ako su Q(,, z) i R(,, z) funkcije neprekidne na, analogno se definišu integralne sume po koordinatama z, i, z (n) = n Q(X i ) δ i(z), (n) = i=1 n R(X i ) δ i(), i=1

151 4. POVRŠINKI INTEGRAI 145 kao i površinski integrali po koordinatama z, i,, Q(,, z) dzd = lim n z(n), Ovi integrali su takod e površinski integrali II vrste. R(,, z) dd = lim n (n). efinicija Potpuni površinski integral II vrste je (4.2.3) = P (,, z) ddz + Q(,, z) dzd + R(,, z) dd P (,, z) ddz + Q(,, z) dzd + R(,, z) dd. Vidimo da je potpuni površinski integral samo kraći zapis zbira površinskih integrala po koordinatama u kojima se integracija vrši po istoj površi. misao uvod enja ovog integrala biće razjašnjen kasnije, u okviru vektorskih površinskih integrala. Neka je z bijektivna projekcija površi na z ravan. obzirom na opis karakteristika, očigledno je da pozitivno orijentisanoj površi u odnosu na bijekciju z odgovara k(p i ) = δ i(z) >, a negativno orijentisanoj k(p i ) = δ i(z) <. uprotan znak k(p i ) uslovljava suprotan znak integralne sume, a time i površinskog integrala po koordinatama, z. Prema tome, za površinski integral po koordinatama, z važi osobina (1.3.8), tj. P (,, z) ddz = + P (,, z) ddz, gde su + i oznake suprotnih strana površi. Analogno je i u slučaju površinskih integrala po ostalim koordinatama, pa (1.3.8) važi generalno za sve površinske integrale II vrste. Osobina (1.3.9) ne važi za površinske integrale II vrste jer karakteristike k(p i ) nisu veličine podeonih delova Σ i. Osobina (1.3.1) važi za površinske integrale II vrste i pokazuje se slično kao kod krivolinijskih integrala II vrste. Preciznije, ako je P (,, z) M, d površina bijektivne projekcije površi na z ravan i s površina površi, tada je P (,, z) ddz Md Ms.

152 146 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Za površinske integrale II vrste je značajna i sledeća osobina. Ako je površ deo cilindrične površi čije su izvodnice paralelne osi, važi (4.2.4) P (,, z) ddz =, što se lako pokazuje. Neka je 1 cilindrična površ sa izvodnicama paralelnim osi i 1 njena presečna kriva sa z ravni (direktrisa). Tada je projekcija površi 1 na z ravan upravo direktrisa 1, a projekcija površi je deo krive 1. Zato su ćelije i(z) delovi krive i kao takve imaju površine δ i(z) = za svako i = 1, 2,..., n. Prema (4.2.1) i (4.2.2) sledi (4.2.4). Činjenica da projektovanje na z ravan nije bijekcija ne narušava ispravnost dokaza, a time ni tačnost tvrd enja (4.2.4). Analognu osobinu imaju integrali po koordinatama z, i,. Osobina (4.2.4) ne važi za površinske integrale po površi jer je σ i za svako i = 1, 2,..., n bez obzira na položaj površi. Površinski integrali II vrste nemaju geometrijsku interpretaciju. pecijalno, neka je deo neke od koordinatnih ravni, npr. z ravni ( = ). Tada se podintegralna funkcija P (,, z) svodi na funkciju f(, z) = P (,, z), površ na oblast z, a površinski integral II vrste P (,, z) ddz na dvojni integral z f(, z) ddz ako je pozitivno orijentisana ili, prema osobini (1.3.8), na z f(, z) ddz ako je negativno orijentisana. Takod e, površinski integrali II vrste podsećaju na krivolinijske integrale II vrste jer se za karakteristiku podeonog dela uzima veličina njegove projekcije (na koordinatne ose kod krivolinijskih i na koordinatne ravni kod površinskih integrala), sa znakom + ili zavisno od orijentacije oblasti integracije. NAPOMENA Kao i kod krivolinijskih, površinski integrali po površi i koordinatama su dobili svoja imena prema izabranim karakteristikama podeonih delova. U prvom slučaju se karakteristikom k(p i ) površ tretira direktno, a u drugom slučaju posredno, preko njene projekcije na neku od koordinatnih ravni, tj. pomoću odgovarajućih koordinata njenih tačaka. NAPOMENA U površinskim integralima je oblast integracije orijentisana površ, tj. na površi je izabrana jedna od dve strane. Zato je uobičajeno reći da se integracija vrši po strani površi umesto po površi, termin površ integracije se zamenjuje terminom strana integracije i slično.

153 4. POVRŠINKI INTEGRAI Izračunavanje površinskih integrala Izračunavanje površinskih integrala se svodi na izračunavanje dvojnih integrala, tj. na izračunavanje dva odred ena integrala. Uslove i pravila prevod enja površinskih na dvojne integrale formulisaćemo u obliku teorema Izračunavanje površinskih integrala I vrste Teorema Ako je orijentisana površ data jednačinom : = (, z) ; (, z) z, tada je (4.3.1) H(,, z) dσ = H ( (, z),, z ) 1 + p2 + q 2 ddz, z gde su p i q standardne oznake parcijalnih izvoda funkcije (, z), tj. (4.3.2) p = =, q = z = z. okaz. Neka je i (i =, 1,..., n) projekcija ćelije Σ i na z ravan, δ i njena površina i X i (ξ i, η i, ζ i ) Σ i proizvoljna tačka. Tada je (η i, ζ i ) i i važi kao i X i (ξ i, η i, ζ i ) = X i ( (ηi, ζ i ), η i, ζ i ), σ (n) = H(X i ) = H ( (η i, ζ i ), η i, ζ i ) = φ(ηi, ζ i ), n H(X i ) σ i = i=1 n φ(η i, ζ i ) σ i. Zbog već postignutog dogovora da radimo samo sa deo po deo glatkim površima, ne umanjujući opštost pretpostavljamo da je glatka površ (efinicija ). To znači da su p = p(, z) i q = q(, z) neprekidne funkcije na oblasti z, odakle sledi da je i=1 ψ(, z) = 1 + p 2 + q 2

154 148 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO takod e neprekidna funkcija na z, tj. na ćelijama i za svako i = 1, 2,..., n. Kako je ([6], str ) σ i = 1 + p2 + q 2 ddz = ψ(, z) ddz, i i prema Teoremi postoje tačke (ˆη i, ˆζ i ) i takve da je Zato je dalje i δ (n) σ i = ψ(ˆη i, ˆζ i ) ddz = ψ(ˆη i, ˆζ i ) δ i. i σ (n) = n φ(η i, ζ i ) ψ(ˆη i, ˆζ i ) δ i i=1 n φ(η i, ζ i ) ψ(η i, ζ i ) δ i i=1 n i=1 φ(ηi, ζ i ) ψ(ˆηi, ˆζ i ) ψ(η i, ζ i ) δi. Funkcija H(,, z) je neprekidna na, što znači da je funkcija φ(, z) = H ( (, z),, z ) neprekidna na z (Napomena 4.1.1). Kao neprekidna, φ(, z) je i ograničena funkcija ([2], str. 24), tj. postoji konačan broj M > tako da je φ(, z) M za svaku tačku (, z) z. Takod e, iz neprekidnosti funkcije ψ(, z) sledi da za svako ρ n > postoji dovoljno sitna podela oblasti z na ćelije i tako da je ψ(ˆηi, ˆζ i ) ψ(η i, ζ i ) < ρn ([2], str. 22). Neka ρ n kad n. Tada je lim σ (n) n n i=1 gde je d površina oblasti z, pa je φ(η i, ζ i ) ψ(η i, ζ i ) δ i lim n Mρ nd = Md lim n ρ n =, lim σ(n) = lim n n n φ(η i, ζ i ) ψ(η i, ζ i ) δ i. i=1 Zbir na desnoj strani poslednje jednakosti je integralna suma za dvojni integral po oblasti z u kome je podintegralna funkcija f(, z) = φ(, z) ψ(, z) = H ( (, z),, z ) 1 + p2 + q 2

155 4. POVRŠINKI INTEGRAI 149 i tvrd enje teoreme neposredno sledi H(,, z) dσ = f(, z) ddz z = H ( (, z),, z ) 1 + p2 + q 2 ddz. z Analogno, ako je tada je (4.3.3) (4.3.4) a ako je tada je (4.3.5) (4.3.6) : = (z, ) ; (z, ) z, p = z = z, q = =, H(,, z) dσ = H (, (z, ), z ) 1 + p2 + q 2 dzd, z : z = z(, ) ; (, ), p = z = z, q = z = z, H(,, z) dσ = H (,, z(, ) ) 1 + p2 + q 2 dd. Teorema Ako je orijentisana površ data parametarskim jednačinama tada je (4.3.7) : = (u, v), = (u, v), z = z(u, v) ; (u, v) uv, H(,, z) dσ = H ( (u, v), (u, v), z(u, v) ) EG F 2 dudv, uv gde su E, G, F Mongeove oznake (4.3.8) E = 2 u + 2 u + z 2 u, G = 2 v + 2 v + z 2 v, F = u v + u v + z u z v.

156 15 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO okaz. Posmatrajmo dvojni integral na desnoj strani jednakosti (4.3.1) i jednačinu = (, z) površi privremeno označimo drugačije sa = ψ(, z). Za smenu = (u, v), z = z(u, v), gde su (u, v), z(u, v) funkcije koje figurišu u parametarskim jednačinama površi, jednačina = ψ(, z) postaje = ψ ( (u, v), z(u, v) ) = (u, v). Takod e, jakobijan je (4.3.9) J(u, v) = (, z) (u, v) = u z u v z v i pokazuje se ([6], str ) da za J(u, v) važi 1 + p2 + q 2 = EG F 2 J(u, v). Zbog pretpostavljenih bijekcija z, uv, bijekcija je i preslikavanje z uv, a iz pretpostavke da je glatka površ sledi da je J(u, v) neprekidna funkcija. akle, uslovi Teoreme su ispunjeni, pa se njenom primenom na posmatrani dvojni integral dobija tvrd enje H(,, z) dσ = H ( (u, v), (u, v), z(u, v) ) EG F 2 J(u, uv J(u, v) v) dudv = H ( (u, v), (u, v), z(u, v) ) EG F 2 dudv. uv Ukoliko se površ sastoji od delova sa različitom parametrizacijom, treba primeniti opštu osobinu Riemannovih integrala (1.3.7). PRIMER Izračunati površinu manjeg dela sfere 1 : z 2 = a 2 koji iseca cilindrična površ za a >. 2 : 2 + z 2 = az

157 4. POVRŠINKI INTEGRAI 151 Neka je deo sfere 1, čiju površinu s = m() treba izračunati. fera 1 je centralna poluprečnika a. Cilindrična površ 2 ima izvodnice paralelne osi, a njena direktrisa je kružnica u z ravni : 2 + z + a 2 a 2 = 2 4, =, sa centrom na z osi u tački (,, a/2) i poluprečnika a/2 (lika 4.3.1). Za površ 2, a time i za, važi z. Površ 2 iseca na sferi 1 dva dela, simetrična u odnosu na z ravan, pa se sastoji od dve površi jednakih površina. Posmatramo samo deo 3 za koji je (lika 4.3.2). z -a -a 2 z z z lika lika Polovina tražene površine se izračunava prema (4.1.3), tj. ZZ s 2 = dσ. 3 Površ 3 se bijektivno projektuje na z ravan ( = ) u krug z ograničen sa, z : 2 + z 2 az. Kako je 3 deo sfere 1 za, iz jednačine sfere sledi Prema (4.3.3) odred ujemo p = z = z a 2 2 z 2 3 : = (z, ) = p a 2 2 z 2 ; (z, ) z., q = = i prema tvrd enju (4.3.4) sa H(,, z) 1 dobijamo ZZ s p 2 = 1 + p 2 + q 2 dzd = a z Uvod enjem polarnih koordinata sa a 2 2 z 2 ; 1 + p2 + q 2 = ZZ z z = r cos ϕ, = r sin ϕ, za koje je J = r, kružnica i oblast z prelaze u dzd a 2 2 z 2. a 2 a 2 2 z 2 : r = a cos ϕ, z : r a cos ϕ, π 2 ϕ 3π 2,

158 152 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO pa je dalje s 2 = a ZZ z = a 2 Z 3π/2 π/2 = a 2 Z 3π/2 π/2 Z r 3π/2 a 2 r drdϕ = a 2 dϕ Z a cos ϕ π/2 d a 2 r 2 Z a cos ϕ dϕ a 2 r 2 = a Z 3π/2 sin ϕ 1 dϕ = a 2 Z 3π/2 Kako je sin ϕ za ϕ [π/2, π] i sin ϕ za ϕ [π, 3π/2], to je Z s π 2 = a2 π/2 sin ϕ dϕ a 2 Z 3π/2 π π/2 π/2 r a 2 r 2 dr p a 2 r 2 a cos ϕ dϕ Z 3π/2 sin ϕ dϕ + a 2 dϕ. sin ϕ dϕ + a 2 ϕ 3π/2 π/2 = a 2 cos ϕ π π/2 a2 cos ϕ 3π/2 +a 2 π = a 2 a 2 + a 2 π = a 2 (π 2) π π/2 i konačno s = 2a 2 (π 2). Osim na z ravan, površ 3 se bijektivno projektuje i na ravan u oblast. Granična kriva oblasti je projekcija granične krive površi 3. Jednačina : 4 a a 2 2 =, z = se nalazi eliminacijom z koordinate iz jednačina površi 1 i 2 (Napomena 2.3.4), pa je oblast opisana sa : p a 2 2 p a 2 2, a. a a Pomoću polarnih koordinata ova oblast se transformiše u : cos 2ϕ r a sin 2, ϕ π 4 ϕ 3π 4. Rešavanje bilo kog od odgovarajućih dvojnih integrala, po oblasti ili, uključujući i nalaženje samog opisa oblasti, je neuporedivo teži postupak od ovde iznetog. Projektovanje površi 3 na z ravan nije bijekcija i zahteva deobu površi 3 na dva bijektivna dela. Olakšavajuća okolnost je da su ti delovi simetrični u odnosu na z ravan, što znači da imaju jednake površine i da se projektuju na istu oblast z : p a 2 az p a 2 z 2, z a, pa je dovoljno rešavati samo jedan dvojni integral. Med utim, kao i u prethodnom slučaju, ceo postupak je nepotrebno komplikovan. NAPOMENA amo nalaženje bijektivne projekcije površi (ili delova površi) može da predstavlja problem, kakav je slučaj projekcija i z u Primeru Uzrok je u činjenici da se projekcija površi najčešće nalazi projektovanjem granične krive površi (Napomena 2.3.4), kao i u dodatnom opisivanju projekcije nejednakostima oblika (3.3.2) ili

159 4. POVRŠINKI INTEGRAI 153 (3.3.3). Zato je izbor koordinatne ravni na koju se vrši projektovanje značajan. Po pravilu, ako je bijektivna projekcija površi na neku od koordinatnih ravni ograničena direktrisom već zadate cilindrične površi, projektovanje se vrši upravo na tu koordinatnu ravan jer je granična kriva projekcije (direktrisa) već poznata. U Primeru je projekcija z ograničena direktrisom cilindrične površi 2. PRIMER gde je deo konusa Izračunati površinski integral I vrste I = ZZ ( + z + z) dσ, 1 : = p 2 + z 2 koji iseca cilindrična površ 2 : 2 + z 2 = 2a za a >. Konus 1 ima osu za osovinu i važi. irektrisa cilindrične površi 2 je kružnica u z ravni : ( a) 2 + z 2 = a 2, =, a izvodnice su paralelne osi (lika 4.3.3). z z 1 2a 2 lika Površ se bijektivno projektuje na z ravan ( = ) u krug z ograničen sa, z : 2 + z 2 2a. Kao deo konusa 1, površ ima jednačinu Prema (4.3.2) odred ujemo : = (, z) = p 2 + z 2 ; (, z) z. p = = p 2 + z 2, q = z = z p 2 + z ; p2 + q 2 = 2

160 154 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO i prema tvrd enju (4.3.1) Teoreme dobijamo I = ZZ = 2 Uvod enjem polarnih koordinata sa p (, z) + z + (, z)z 1 + p 2 + q 2 ddz ZZ z p p 2 + z 2 + z + z 2 + z 2 ddz. z = r cos ϕ, z = r sin ϕ, za koje je J = r, kružnica i oblast z prelaze u pa je dalje I = 2 = 2 = 2 ZZ z Z π/2 π/2 Z π/2 : r = 2a cos ϕ, z : r 2a cos ϕ, π 2 ϕ π 2, r 3 (cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) drdϕ dϕ Z 2a cos ϕ r 3 (cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) dr π/2(cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) r4 4 r=2a cos ϕ Z = 4 π/2 Z 2 a 4 cos 4 ϕ(cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) dϕ = 8 π/2 2 a 4 cos 5 ϕ dϕ, π/2 pri čemu su iskorišćene jednakosti (1.3.5), tj. parnost i neparnost odgovarajućih funkcija na simetričnom segmentu [ π/2, π/2]. Rešavanjem dobijenog odred enog integrala sledi rezultat Z I = 8 π/2 2 a 4 1 sin ϕ d(sin ϕ) = = 2 a Površ se bijektivno projektuje i na z ravan, dok projektovanje na ravan nije bijekcija. I u ovom slučaju važi komentar iz Primera Takod e, projektovanje na z ravan je u skladu sa Napomenom NAPOMENA U okviru ove napomene dajemo nekoliko praktičnih saveta, značajnih za rešavane zadataka. obzirom na zapažanje iz Napomene 4.3.1, ova napomena je u velikoj meri analogna Napomeni kod krivolinijskih integrala. 1 Ako se površ bijektivno projektuje samo na jednu koordinatnu ravan, npr. na ravan, za rešavanje površinskog integrala treba koristiti jednakost (4.3.6) da bi se izbeglo rastavljanje površi na bijektivne delove u odnosu na ostala projektovanja i rešavanje više dvojnih integrala umesto jednog. Retke su, ali ne i nemoguće, situacije kada ovaj savet treba ignorisati. 2 Ako se površ bijektivno projektuje na dve ili tri koordinatne ravni, bira se ona od jednakosti (4.3.1), (4.3.4), (4.3.6) u kojoj je dvojni integral najlakši za rešavanje (Primeri 4.3.1, 4.3.2), uključujući i nalaženje projekcije. r= dϕ

161 4. POVRŠINKI INTEGRAI Ako se površ ne projektuje bijektivno ni na jednu od koordinatnih ravni, kakav je slučaj zatvorenih površi, površ mora da se deli na bijektivne delove. eoba se vrši u odnosu na ono projektovanje koje dovodi do najjednostavnijeg nalaženja projekcija i rešavanja integrala. 4 Ukoliko je površ sastavljena od delova sa različitom parametrizacijom, gde spada i 3, posle deobe se svaki od delova tretira kao posebna površ i na nju se primenjuje odgovarajući od zaključaka 1 ili 2. Na primer, neka je = 1 2 3, pri čemu se 1 i 2 bijektivno projektuju samo na z ravan, a 3 na z i ravan. Tada za rešavanje površinskih integrala po 1, 2 i 3 površi 1 i 2 treba projektovati na z ravan (zaključak 1 ), a površ 3 na z ili ravan (zaključak 2 ). Česta je pogodnost da se 1 i 2 projektuju na istu oblast u koordinatnoj ravni Izračunavanje površinskih integrala II vrste Površinski integrali II vrste se rešavaju na isti način po bilo koje dve koordinate, pa svod enje na dvojni integral dajemo samo za integral po koordinatama, z. Teorema Ako je orijentisana površ data jednačinom : = (, z) ; (, z) z, tada je (4.3.1) P (,, z) ddz = P ( (, z),, z ) ddz, + z gde je + oznaka pozitivne strane površi u odnosu na bijekciju z. okaz. Neka je i(z) (i =, 1,..., n) projekcija ćelije Σ i na z ravan, δ i njena površina i X i (ξ i, η i, ζ i ) Σ i proizvoljna tačka. Tada je X i (ξ i, η i, ζ i ) = X i ( (ηi, ζ i ), η i, ζ i ), P (X i ) = P ( (η i, ζ i ), η i, ζ i ) = f(ηi, ζ i ). Površ je pozitivno orijentisana u odnosu na bijekciju z, pa se za karakteristiku ćelija Σ i uzima površina ćelija i(z), tj. k(p i ) = δ i(z) = δ i >. Zato je n n z (n) = P (X i ) δ i(z) = f(η i, ζ i ) δ i. i=1 i=1

162 156 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO obijeni zbir je integralna suma za dvojni integral po oblasti z u kome je podintegralna funkcija f(, z) = P ( (, z),, z ) i tvrd enje teoreme sledi n P (,, z) ddz = lim z(n) = lim f(η i, ζ i ) δ i n n i=1 = f(, z) ddz = P ( (, z),, z ) ddz. z z Analogno, ako je : = (z, ) ; (z, ) z, tada je (4.3.11) a ako je tada je (4.3.12) Q(,, z) dzd = Q (, (z, ), z ) dzd, + z : z = z(, ) ; (, ), R(,, z) dd = R (,, z(, ) ) dd. + U (4.3.11) je površ pozitivno orijentisana u odnosu na bijekciju z, a u (4.3.12) u odnosu na bijekciju. Teorema Ako je orijentisana površ data parametarskim jednačinama : = (u, v), = (u, v), z = z(u, v) ; (u, v) uv, tada je (4.3.13) P (,, z) ddz + = P ( (u, v), (u, v), z(u, v) ) J(u, v) dudv, uv

163 4. POVRŠINKI INTEGRAI 157 gde je J(u, v) jakobijan (4.3.9), a + oznaka pozitivne strane površi u odnosu na bijekciju z. okaz. lično kao u dokazu Teoreme 4.3.2, uvod enjem smene = (u, v), z = z(u, v) u dvojni integral na desnoj strani jednakosti (4.3.1) i primenom Teoreme 3.4.1, dobija se tvrd enje (4.3.13). Važe i analogne jednakosti sa (4.3.13) za površinske integrale po koordinatama z, i,. Potpuni površinski integral II vrste (4.2.3) se rešava rastavljanjem na integrale po koordinatama, koji se zatim nezavisno jedan od drugog rešavaju odgovarajućom od jednakosti (4.3.1) (4.3.12). Za ovakav način rešavanja kažemo da je direktan. Integral (4.2.3) može da se reši i jednostavnije, prelaskom na odgovarajući površinski integral I vrste, o čemu će više biti reči kasnije. Ako se površ sastoji od delova sa različitom parametrizacijom, treba primeniti opštu osobinu (1.3.7). Osobina (1.3.8) važi za površinske integrale II vrste. Zato za negativnu stranu površi u odnosu na bijekciju z iz (4.3.1) sledi (4.3.14) P (,, z) ddz = P (,, z) ddz + = P ( (, z),, z ) ddz z i analogno u ostalim slučajevima (4.3.11) (4.3.13). NAPOMENA Tvrd enja (4.3.1), (4.3.4), (4.3.6) su samo specijalni slučajevi tvrd enja (4.3.7), a (4.3.1) (4.3.12) specijalni slučajevi tvrd enja (4.3.13) za odgovarajući izbor parametara u i v. Na primer, za u =, v = z parametarske jednačine površi se svode na jednačinu = (u, v) = (, z), a jednakosti (4.3.7) i (4.3.13) redom na (4.3.1) i (4.3.1). Za razliku od krivolinijskih integrala (Napomena 2.3.3), ovde smo prvo dokazali specijalne slučajeve (4.3.1) i (4.3.1), pa tek onda iz njih izveli generalne slučajeve (4.3.7) i (4.3.13). Znatno je teže direktno dokazati jednakosti (4.3.7) i (4.3.13), a za površinske integrale po koordinatama i neprirodno. PRIMER Izračunati potpuni površinski integral II vrste I = ZZ ddz + dzd + z dd,

164 158 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO gde je : z = deo paraboloida za z 4. Integracija se vrši po strani površi koja se vidi sa negativnog dela z ose. Paraboloid ima z osu za osovinu i nalazi se iznad ravni (z ), a ispod ravni z = 4 (z 4). Neka je = 1 2, gde je 1 deo za, a 2 deo za (lika 4.3.4). Takod e, neka je = 3 4, gde je 3 deo za, a 4 deo za (lika 4.3.5). Na strane delova koje odgovaraju strani integracije površi su postavljeni normalni vektori. lika prikazuje projekcije z, z, površi na z, z i ravan redom. z 4 2 z lika lika z 4 z 2 z 1 4 z lika Potpuni površinski integral I rastavljamo na površinske integrale po koordinatama I 1 = ZZ i svaki od njih rešavamo zasebno. ddz, I 2 = ZZ dzd, I 3 = ZZ z dd Integral I 1 je po koordinatama, z, pa treba projektovati na z ravan. Kako ovo projektovanje nije bijekcija, rastavljamo na bijektivne delove 1 i 2. Površ seče z ravan po paraboli 1 : z = 2, =. Za z = 4 iz z = 2 je = ±2. Zato se 1 i 2 projektuju na z ravan ( = ) u istu oblast z : 2 2, 2 z 4.

165 4. POVRŠINKI INTEGRAI 159 obzirom na prethodno projektovanje, jednačine površi 1 i 2 zapisujemo u potrebnom obliku 1 : = 1 (, z) = p z 2 ; (, z) z, 2 : = 2 (, z) = p z 2 ; (, z) z. Integracija se vrši po strani površi 1 koja se vidi sa pozitivnog dela ose, pa je to pozitivno orijentisana strana + 1 u odnosu na bijekciju z 1. Takod e, strana površi 2 po kojoj se vrši integracija se vidi sa negativnog dela ose, pa se radi o negativno orijentisanoj strani 2 u odnosu na bijekciju z 2. Primenjujući osobine (1.3.7), (4.3.14) i tvrd enje (4.3.1) Teoreme 4.3.3, integral I 1 postaje I 1 = = = ZZ ZZ ZZ + 1 ZZ ddz + 2 z 1 (, z) ddz z p z 2 ddz 2 Z 2 ddz = ZZ ZZ 2 p z 2 dz = 2 ZZ + 1 z 2 (, z) ddz ZZ ddz + 2 z p z 2 ddz = 2 obzirom na opis oblasti z i činjenicu da je funkcija [ 2, 2] simetričan, dalje je Z 2 Z 4 Z 2 Z 4 I 1 = 2 d d = z 2 3/2 z=4 z= 2 d = Z 2 2 Poslednji odred eni integral se rešava smenom = 2 sin t, ddz ZZ Z 4 2 3/2 8 2 d = 3 2 p z 2 d z 2 za koju je t = kad je = i t = π/2 kad je = 2. obija se I 1 = Z π/2 Z π/2 cos 4 t dt = Z π/2 = cos 2t + cos 2 2t dt = = 32 π t sin 4t π/2 = 32 3 cos t dt = 3 z p z 2 ddz /2 parna, a segment Z π/2 (t + sin 2t) π/2 + π 2 + π 4 = 8π /2 d. 1 + cos 2t 2 dt 2 Z π/2 1 + cos 4t 2 Integral I 2 je po koordinatama z,, pa projektujemo na z ravan. Ni ovo projektovanje nije bijekcija, ali su 3 i 4 bijektivni delovi. Analogno prethodnom slučaju, površ seče z ravan po paraboli 2 : z = 2, =, odakle je = ±2 za z = 4. akle, projekcije površi 3 i 4 na z ravan ( = ) su ista oblast z : 2 z 4, 2 2, dt

166 16 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO a jednačine ovih površi u odgovarajućem obliku su 3 : = 3 (z, ) = p z 2 ; (z, ) z, 4 : = 4 (z, ) = p z 2 ; (z, ) z. Integracija se vrši po pozitivno orijentisanoj strani + 3 površi 3 u odnosu na bijekciju z 3 jer se ona vidi sa pozitivnog dela ose i po negativno orijentisanoj strani 4 površi 4 u odnosu na bijekciju z 4 jer se ta strana vidi sa negativnog dela ose. Prema osobinama (1.3.7), (4.3.14) i jednakosti (4.3.11), integral I 2 postaje I 2 = ZZ + 3 dzd + ZZ 4 dzd = ZZ z dzd ZZ z dzd =. Integral I 3 je po koordinatama,, pa projektujemo na ravan. Ovo projektovanje jeste bijekcija. Granična kriva površi je presek ravni z = 4 i paraboloida z = Zato eliminacijom z koordinate sledi jednačina njene projekcije na ravan : = 4, z =. Kružnica je granična kriva projekcije površi na ravan (z = ), što znači da je krug : Odgovarajući oblik jednačine površi glasi : z = z(, ) = ; (, ). Integracija se vrši po negativno orijentisanoj strani površi u odnosu na bijekciju. Prema osobini (4.3.14) i jednakosti (4.3.12), integral I 3 postaje dvojni I 3 = ZZ z dd = Uvodeći polarne koordinate sa ZZ z(, ) dd = = r cos ϕ, = r sin ϕ, za koje je J = r, kružnica i krug se preslikavaju u i dobija se Konačno je : r = 2, : ZZ I 3 = r 3 drdϕ = ZZ r 2, ϕ 2π Z 2 r 3 dr Z 2π I = I 1 + I 2 + I 3 = 8π + 8π = dd. dϕ = = 8π.

167 4. POVRŠINKI INTEGRAI 161 U okviru ovog primera vršimo sledeće razmatranje i u tom cilju posmatramo samo projektovanje na z ravan, a analogno važi i za projektovanje na z ravan. Prvo uočavamo da je ravan z = 4 paralelna ravni, pa granična kriva površi ima istu jednačinu kao njena projekcija, tj. : = 4, z = 4. Neka je = 3 4, gde je 3 deo kružnice za, a 4 deo za. Kružnica pripada ravni z = 4, koja seče z ravan ( = ) duž prave 5 : =, z = 4. Za = iz jednačine kružnice sledi = ±2, pa se i 5 seku u tačkama A( 2,, 4), B(2,, 4). Kako je ravan z = 4 normalna na z ravan, delovi 3, 4 se bijektivno projektuju na deo prave 5 izmed u tačaka A i B. Parabola 2 pripada z ravni i poklapa se sa svojom projekcijom. Ako deo parabole 2 za z 4 označimo isto sa 2, a deo prave 5 izmed u A i B isto sa 5, tada su 2 3 i 2 4 granične krive za 3 i 4 redom i projektuju se na istu krivu z = 2 5. Kriva z je granična kriva zajedničke projekcije z površi 3 i 4. akle, u ovom slučaju, kao i u slučaju projektovanja na ravan, bijektivna projekcija z površi 3, 4 je nad ena pomoću projekcije z njihovih graničnih krivih (Napomena 4.3.1). ako se uočava koliko je prethodno razmatranje zamorno i istovremeno nepotrebno s obzirom na očiglednost projekcija z i z. Zato u nastavku ovakva i slična razmatranja izostavljamo, kao što smo to učinili i u osnovnom tekstu ovog primera. NAPOMENA Iz prethodne teorije zaključujemo, a iz Primera i vidimo, da direktno rešavanje potpunog površinskog integrala II vrste (4.2.3) zahteva projektovanje površi integracije na svaku od koordinatnih ravni, bez obzira da li je projektovanje bijekcija ili ne. To iznud uje primenu svake od jednakosti (4.3.1) (4.3.12) bar jednom i rešavanje najmanje tri dvojna integrala obuhvaćena ovim jednakostima Veza izmed u površinskih integrala I i II vrste Neka je orijentisana površ zadata jednačinom : = (, z) ; (, z) z, n vektor normalan na i α, β, γ [, π] manji od uglova koje n zaklapa sa pozitivnim delovima, i z ose redom. Iz jednačine tangentne ravni ([2], str. 43) sledi da za vektor n u proizvoljnoj tački X(,, z) može da se uzme jedan od vektora ove ravni n 1 = (1, p, q), n 2 = ( 1, p, q) = n 1.

168 162 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Vektori n 1 i n 2 su suprotnog smera i odgovaraju različitim stranama površi. Posmatramo vektor n = n 1. Tada je n = 1 + p 2 + q 2, gde su p i q arcijalni izvodi funkcije f(, z) odred eni sa (4.3.2), pa je jedinični vektor n = n ( 1 n = n, p n, q ). n druge strane je (Napomena 2.4.1) n = (cos α, cos β, cos γ) i sledi (4.4.1) cos α = cos α(, z) = cos β = cos β(, z) = p2 + q 2, p 1 + p2 + q 2, cos γ = cos γ(, z) = q 1 + p2 + q 2, Kako je α [, π] i cos α >, ugao α je oštar. Prema efiniciji 1.2.7, vektor n je postavljen na pozitivno orijentisanu stranu + površi u odnosu na bijekciju z. Korišćenjem jednakosti (4.3.1), rezultata (4.4.1) i jednakosti (4.3.1) redom, uz upotrebu oznake H(,, z) = P (,, z) cos α(, z), dobija se P (,, z) ddz = P ( (, z),, z ) ddz + z = P ( (, z),, z ) p2 + q 2 ddz z 1 + p2 + q 2 = P ( (, z),, z ) cos α(, z) 1 + p 2 + q 2 ddz z = H ( (, z),, z ) 1 + p2 + q 2 ddz = H(,, z) dσ z = P (,, z) cos α(, z) dσ.

169 4. POVRŠINKI INTEGRAI 163 Ako je n = n 2, jednakosti (4.4.1) postaju cos α = cos α(, z) = p2 + q 2, (4.4.2) cos β = cos β(, z) = cos γ = cos γ(, z) = p 1 + p2 + q 2, q 1 + p2 + q 2. Takod e, zbog cos α <, vektor n zaklapa tup ugao α sa pozitivnim delom ose i postavljen je na negativno orijentisanu stranu površi u odnosu na bijekciju z. Zato se dobija isti rezultat P (,, z) ddz = P ( (, z),, z ) ddz z = P ( (, z),, z ) p2 + q 2 ddz z 1 + p2 + q 2 = P ( (, z),, z ) cos α(, z) 1 + p 2 + q 2 ddz z = P (,, z) cos α(, z) dσ. Podrazumevajući cos α = cos α(, z), na osnovu prethodnog zaključujemo da važi (4.4.3) P (,, z) ddz = P (,, z) cos α dσ, pri čemu se integracija vrši po bilo kojoj od dve strane površi. Analognim postupkom se izvode sledeća dva zaključka. U slučaju : = (z, ) ; (z, ) z i izvoda p, q datih sa (4.3.3) se odred uje q cos α = cos α(z, ) = ± 1 + p2 + q, 2 (4.4.4) 1 cos β = cos β(z, ) = ± 1 + p2 + q, 2 p cos γ = cos γ(z, ) = ± 1 + p2 + q. 2

170 164 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO i dobija (4.4.5) Q(,, z) dzd = Q(,, z) cos β dσ. U jednakostima (4.4.4) znak + odgovara oštrom uglu β i pozitivno orijentisanoj strani, a znak tupom uglu β i negativno orijentisanoj strani površi u odnosu na bijekciju z. U slučaju : z = z(, ) ; (, ) i izvoda p, q datih sa (4.3.5) se odred uje p cos α = cos α(, ) = ± 1 + p2 + q, 2 (4.4.6) q cos β = cos β(, ) = ± 1 + p2 + q, 2 1 cos γ = cos γ(, ) = ± 1 + p2 + q. 2 i dobija (4.4.7) R(,, z) dd = R(,, z) cos γ dσ. U jednakostima (4.4.6) znak + odgovara oštrom uglu γ i pozitivno orijentisanoj strani, a znak tupom uglu γ i negativno orijentisanoj strani površi u odnosu na bijekciju. abiranjem jednakosti (4.4.3), (4.4.5) i (4.4.7) sledi tražena veza izmed u potpunog površinskog integrala II vrste i površinskog integrala I vrste (4.4.8) = P (,, z) ddz + Q(,, z) dzd + R(,, z) dd [ P (,, z) cos α + Q(,, z) cos β + R(,, z) cos γ ] dσ. Jednakost (4.4.8) ostaje na snazi i ako je površ zadata parametarskim jednačinama (1.2.2) ([6], str. 133). okazali smo da (4.4.8) važi za bilo koju stranu (orijentaciju) površi jer strana površi podjednako utiče i na integral I i na integral II vrste. Ovaj uticaj se samo ispoljava na različite načine: kod integrala I vrste kroz znak

171 4. POVRŠINKI INTEGRAI 165 podintegralne funkcije, tj. znak za cos α, cos β, cos γ, a kod integrala II vrste kroz znak za ddz, dzd, dd. NAPOMENA Za razliku od veze (2.4.6) izmed u krivolinijskih integrala I i II vrste, veza (4.4.8) izmed u površinskih integrala I i II vrste ima veliki praktični značaj. irektno rešavanje potpunog površinskog integrala II vrste zahteva projektovanje površi na sve tri koordinatne ravni (Napomena 4.3.4), dok je za rešavanje površinskog integrala I vrste dovoljno projektovati površ samo na jednu koordinatnu ravan, koja se bira u skladu sa Napomenom Zato se potpuni površinski integrali II vrste najčešće ne rešavaju direktno, nego prelaskom na površinske I vrste pomoću veze (4.4.8). Ovakav način rešavanja je naročito pogodan kada je samo jedno od projektovanja bijekcija jer se izbegava rastavljanje površi na bijektivne delove u odnosu na ostala projektovanja i rešava se samo jedan umesto više dvojnih integrala. Nevezano za jednakost (4.4.8), na ovom mestu izvodimo još jedan zaključak. U tom cilju navodimo rezultat (4.4.9) dσ = ± 1 + p 2 + q 2 ddz, dσ = ± 1 + p 2 + q 2 dzd, dσ = ± 1 + p 2 + q 2 dd, pri čemu su izvodi p i q u prvoj jednakosti odred eni sa (4.3.2), u drugoj sa (4.3.3) i u trećoj sa (4.3.5). Znak + odgovara pozitivnoj orijentaciji površi u odnosu na bijekcije z, z, redom (ddz, dzd, dd > ), a znak negativnoj orijentaciji (ddz, dzd, dd < ). iferencijal dσ > predstavlja površinu beskonačno malog dela površi jer nastaje iz površine σ i ćelije podele kad n i σ i ([1], str. 337; [6], str. 19). Prema (4.4.9), iz (4.4.1) i (4.4.2) sledi ( ) 1 (± ddz = ± 1 + p2 + q ) 2 ddz 1 + p2 + q 2 i analogno, iz (4.4.4) i (4.4.6) sledi Formirajmo vektor = cos α ( ± 1 + p 2 + q 2 ddz ) = cos α dσ dzd = cos β dσ, dd = cos γ dσ. (4.4.1) dσ = (ddz, dzd, dd) = (cos α dσ, cos β dσ, cos γ dσ). Kako je n = (cos α, cos β, cos γ) jedinični normalni vektor površi u tački X, to je dσ = n dσ vektor normalan na površ, sa početkom u

172 166 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO proizvoljnoj tački površi i dužinom dσ = dσ. mer vektora dσ odgovara orijentaciji površi, tj. strani površi na koju je postavljen. Vektor dσ i njegov moduo dσ su vektorski i skalarni element površi redom. NAPOMENA Proizvodi diferencijala ddz, dzd, dd u (4.4.9) i (4.4.1) se odnose na površinske integrale II vrste. Ukoliko je ddz, dzd, dd <, pri prelasku na odgovarajuće dvojne integrale ovi proizvodi menjaju znak, što je regulisano znakom ispred dvojnog integrala u (4.3.14) i analognim jednakostima, a upravo omogućava da (4.4.8) važi za bilo koju orijentaciju površi. Zato pri upotrebi (4.4.8) i prelasku sa površinskog integrala I vrste na dvojni mogu da se koriste i jednakosti (4.4.9), ali uvek sa znakom +, što dovodi do istih dvojnih integrala kao primena (4.3.1), (4.3.4), (4.3.6). PRIMER Izračunati potpuni površinski integral II vrste I = ZZ ddz + dzd + z dd, gde je : z = deo paraboloida za z 4. Integracija se vrši po strani površi koja se vidi sa negativnog dela z ose. Isti integral je direktno rešen u Primeru ada ga rešavamo prelaskom na površinski integral I vrste, uz korišćenje već izvedenih zaključaka. Prema jednakosti (4.4.8) je I = ZZ ( cos α + cos β + z cos γ) dσ, gde su α, β, γ manji od uglova koje normalni vektor na stranu integracije zaklapa sa pozitivnim delovima, i z ose redom. Već smo utvrdili da je projektovanje na ravan jedino bijektivno, našli projekciju : i jednačinu površi zapisali u potrebnom obliku : z = z(, ) = ; (, ). Takod e smo utvrdili da je strana integracije negativno orijentisana u odnosu na bijekciju ili, što je isto, da normalni vektor na stranu integracije zaklapa tup ugao γ sa pozitivnim delom z ose. Zato koristimo jednakosti (4.4.6), u njima biramo znak i dobijamo cos α = p p 1 + p 2 + q, cos β = q p p 2 + q, cos γ = 1 p p 2 + q. 2 Za posmatrani oblik jednačine površi i jednakosti (4.4.6), p i q se odred uju prema (4.3.5), pa je p = z z = 2, q = = 2.

173 4. POVRŠINKI INTEGRAI 167 Primenom (4.3.6) integral I postaje dvojni ZZ p + q z(, ) p I = p 1 + p 2 + q 2 dd 1 + p 2 + q 2 ZZ = p + q z(, ) dd = dd. ZZ vojni integral se rešava kao u Primeru ravni, oblast se transformiše u Uvod enjem polarnih koordinata r, ϕ u : r 2, π ϕ π i sledi I = = = 8 ZZ Z 2 Z π r 3 dr r 3 cos 2 ϕ sin 2 ϕ + 2 cos ϕ sin ϕ drdϕ Z π π cos 2 ϕ sin 2 ϕ + 2 cos ϕ sin ϕ dϕ cos 2ϕ dϕ = 4 sin 2ϕ π =, pri čemu je iskorišćena parnost funkcije cos 2 ϕ sin 2 ϕ = cos 2ϕ i neparnost funkcije cos ϕ sin ϕ na simetričnom segmentu [ π, π]. Očigledno je ovaj način rešavanja površinskog integrala II vrste neuporedivo jednostavniji od direktnog rešavanja, izloženog u Primeru 4.3.3, a razlozi za to su objašnjeni u Napomeni Umesto pomoću (4.3.6), sa p površinskog integrala I vrste na dvojni može da se pred e neposrednom zamenom dσ = 1 + p 2 + q 2 dd iz (4.4.9), pri čemu je izabran slučaj dd > iako se integracija vrši po negativno orijentisanoj strani površi (Napomena 4.4.2). NAPOMENA p Na osnovu prethodne teorije se lako uočava, a Primer to i potvrd uje, da se 1 + p 2 + p q 2 uvek skraćuje pri prevod enju površinskog integrala I vrste iz (4.4.8) na dvojni. Zato 1 + p 2 + q 2 ne izračunavamo i u nastavku med ukorak ne navodimo Vektorski površinski integrali Kod vektorskih površinskih integrala situacija je ista kao kod površinskih integrala I i II vrste. Oblast integracije je OI =, gde je orijentisana prostorna površ. Površ se deli na ćelije podele P i = Σ i (i = 1, 2,..., n) i unutar svake ćelije se bira tačka X i. Vektorski površinski integrali se od integrala I i II vrste razlikuju u izabranoj karakteristici podeonih delova

174 168 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO k(p i ), koja je kod integrala I i II vrste skalar, dok je kod vektorskih integrala vektor. Ako je σ i površina ćelije Σ i, za karakteristiku se bira vektor k(p i ) = σ i, koji je normalan na površ, ima početak u tački X i i dužinu σ i = σ i. mer vektora σ i odgovara orijentaciji površi, tj. strani površi na koju je postavljen. Neka je ρ i vektor položaja tačke X i, r vektor položaja proizvoljne tačke X(,, z) i P F (X) = Ω(,, z) = Ω( r ) skalarna ili vektorska funkcija, neprekidna na. efinicija Zbir (4.5.1) v (n) = n Ω(X i ) σ i = i=1 n Ω( ρ i ) σ i i=1 je vektorska integralna suma po površi funkcije Ω( r ). efinicija Ukoliko postoji kad n i ma σ i, granična 1 i n vrednost (4.5.2) Ω( r ) dσ = lim v(n) n je vektorski površinski integral po površi funkcije Ω( r ). U zavisnosti od prirode funkcije Ω( r ) i karaktera množenja, svaki sabirak Ω( ρ i ) σ i integralne sume, a time i cela integralna suma v (n), je vektor ili skalar. Kako je granična vrednost niza brojeva opet broj, a niza vektora opet vektor, razlikuju se sledeće vrste vektorskih integrala. 1 Ako je Ω( r ) = f( r ) skalarna funkcija, integralna suma v (n) je vektor, pa je vektor i integral (4.5.3) f( r ) dσ. 2 Ako je Ω( r ) = a( r ) vektorska funkcija i množenje skalarno, integralna suma v (n) je skalar, pa je skalar i integral (4.5.4) a( r ) dσ.

175 4. POVRŠINKI INTEGRAI Ako je Ω( r ) = a( r ) vektorska funkcija i množenje vektorsko, integralna suma v (n) je vektor, pa je vektor i integral (4.5.5) a( r ) dσ. Osobina (1.3.8) važi za vektorske površinske integrale. Promenom orijentacije površi menja se smer vektora k(p i ) = σ i. Vektori suprotnog smera se razlikuju u znaku, pa menjaju znak i integralna suma (4.5.1) i integral (4.5.2). Osobina (1.3.9) ne važi za vektorske integrale jer karakteristike k(p i ) ne samo da nisu veličine ćelija Σ i, nego su kao vektori i kvalitativno različite. Osobina (1.3.1) važi i dokazuje se slično kao kod vektorskih krivolinijskih integrala. Vektorski površinski integrali se izračunavaju prevod enjem na odgovarajuće površinske integrale I ili II vrste. lično krivolinijskim integralima, veza izmed u vektorskih površinskih integrala i, npr., površinskih integrala II vrste se uspostavlja na osnovu njihovih definicija. o istih veza sada dolazimo jednostavnije, na formalan način kao u Napomeni U tom cilju za vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) uvodimo vektorsku formu površinskog integrala ( ) v = v 1, v 2, v 3 i imamo u vidu (4.4.1), tj. dσ = (ddz, dzd, dd). Podintegralni izraz u (4.5.3) je vektor sa komponentama v = f( r ) dσ = (f ddz, f dzd, f dd) v 1 = f ddz, v 2 = f dzd, v 3 = f dd. Prethodna vektorska forma postaje ( (4.5.6) f( r ) dσ = f ddz, ) f dzd, f dd. Prema (4.5.6), vektorski integral (4.5.3) je vektor čije su koordinate površinski integrali po koordinatama, z, zatim z, i, iste podintegralne funkcije f = f(,, z).

176 17 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Ako je a( r ) = (a 1, a 2, a 3 ) vektorska funkcija sa komponentama a 1 = a 1 (,, z), a 2 = a 2 (,, z), a 3 = a 3 (,, z), podintegralni izraz u (4.5.4) je skalar a( r ) dσ = a 1 ddz + a 2 dzd + a 3 dd i neposredno sledi (4.5.7) a( r ) dσ = a 1 ddz + a 2 dzd + a 3 dd. Zaključujemo da je vektorski integral (4.5.4) potpuni površinski integral II vrste (4.2.3). Integral (4.5.4) je u oblasti matematike Teorija polja poznat pod imenom fluks vektorske funkcije a( r ) kroz orijentisanu površ. Podintegralni izraz u (4.5.5) je vektor v = a( r ) dσ i j k = a 1 a 2 a 3 ddz dzd dd = (a 2 dd a 3 dzd, a 3 ddz a 1 dd, a 1 dzd a 2 ddz) sa komponentama v 1 = a 2 dd a 3 dzd, v 2 = a 3 ddz a 1 dd, v 3 = a 1 dzd a 2 ddz. Uvedena vektorska forma glasi (4.5.8) a( r ) dσ = (I 1, I 2, I 3 ), gde je (4.5.9) I 1 = I 3 = a 2 dd a 3 dzd, I 2 = a 1 dzd a 2 ddz. a 3 ddz a 1 dd, Ako se iz (4.4.1) koristi izraz dσ = (cos α, cos β, cos γ) dσ ili ako se primeni (4.4.8), u jednakostima (4.5.6), (4.5.7) i (4.5.9) umesto površinskih integrala II vrste figurišu površinski integrali I vrste. Na primer, jednakost (4.5.6) postaje ( ) f( r ) dσ = f cos α dσ, f cos β dσ, f cos γ dσ.

177 4. POVRŠINKI INTEGRAI 171 je i PRIMER Izračunati vektorske površinske integrale (4.5.3), (4.5.4) i (4.5.5) ako f(,, z) =, a(,, z) = (,, z) : z = deo paraboloida za z 4. Integracija se vrši po strani površi koja se vidi sa negativnog dela z ose. Koristimo zaključke iz Primera i jer se radi o istoj površi. Površ se bijektivno projektuje samo na ravan u krug : Pomoću polarnih koordinata r, ϕ u ravni, krug se transformiše u oblast : r 2, π ϕ π. trana integracije je negativno orijentisana u odnosu na bijekciju. Za uglove α, β, γ, koje normalni vektor ove strane zaklapa sa pozitivnim delovima koordinatnih osa, važi cos α = p p 1 + p 2 + q, cos β = q p p 2 + q, cos γ = 1 p p 2 + q, 2 gde je p = 2, q = 2. Komponente vektorske funkcije a( r ) su obzirom na (4.5.6), nalazimo I 1 = I 3 = ZZ ZZ a 1 (,, z) =, a 2 (,, z) =, a 3 (,, z) = z. f ddz = f dd = ZZ ZZ ddz = 8π, I 2 = dd = ZZ ZZ dd. f dzd = ZZ dzd =, Vrednosti za I 1, I 2 su već odred ene u Primeru Vrednost za I 3 odred ujemo prelaskom na oblast i dobijamo ZZ Z 2 Z π I 3 = r 2 cos ϕ drdϕ = r 2 dr cos ϕ dϕ = =. π akle, integral (4.5.3) je vektor ZZ f( r ) dσ = (I 1, I 2, I 3 ) = (8π,, ).

178 172 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Prema (4.5.7) nalazimo ZZ a 1 ddz + a 2 dzd + a 3 dd = ZZ ddz + dzd + z dd =. Vrednost poslednjeg integrala je izračunata u Primerima i (4.5.4) skalar ZZ a( r ) dσ =. Prema (4.5.9) nalazimo I 1 = I 2 = I 3 = ZZ ZZ ZZ a 2 dd a 3 dzd = a 3 ddz a 1 dd = a 1 dzd a 2 ddz = ZZ ZZ ZZ dd z dzd, z ddz dd, dzd ddz. Zato je integral Prelaskom na površinske integrale I vrste, dobijamo I 1 = ZZ = = I 2 = = I 3 = = 2 = 2 ZZ ZZ ZZ ZZ ( cos γ z cos β) dσ = Z 2 r 2 dr ZZ r 2 cos ϕ + 2r 2 sin ϕ drdϕ Z π π (z cos α cos γ) dσ = ZZ dd cos ϕ + 2r 2 sin ϕ dϕ = =, ZZ r 2 2r cos ϕ drdϕ = ( cos β cos α) dσ = 2 Z 2 r 3 dr Z dd ZZ r 3 cos ϕ(sin ϕ cos ϕ) drdϕ Z π π r 2 2r dr ( ) dd cos ϕ(sin ϕ cos ϕ) dϕ = = 8π, Z π π cos ϕ dϕ = =, pa iz (4.5.8) zaključujemo da je (4.5.5) vektor ZZ a( r ) dσ = (,, 8π).

179 4.6. Teorema Ostrogradskog 4. POVRŠINKI INTEGRAI 173 Teorema Ostrogradskog je generalizacija Green Riemannove teoreme kada se sa dvodimenzionalnog pred e na trodimenzionalni slučaj. Pod odred enim uslovima, ovom teoremom se uspostavlja veza izmed u površinskog integrala po zatvorenoj površi i trojnog integrala po prostornoj oblasti ograničenoj tom površi. Kako se trojni integrali po pravilu rešavaju jednostavnije od površinskih, mogućnost zamene površinskog odgovarajućim trojnim integralom čini Teoremu Ostrogradskog jednom od najčešće primenjivanih teorema, čak i u situacijama kada je površ otvorena. Neka je zatvorena, prosto povezana prostorna oblast i njena pozitivno orijentisana granična površ. Tada je zatvorena površ na kojoj je izabrana spoljna strana. Teorema (TEOREMA OTROGRAKOG) Ako su P (,, z), Q(,, z), R(,, z), P/, Q/, R/ z neprekidne funkcije u prosto povezanoj prostornoj oblasti sa graničnom površi, važi formula Ostrogradskog (4.6.1) P (,, z) ddz + Q(,, z) dzd + R(,, z) dd + ( P = + Q + R ) dddz. z okaz. Neka je elementarna oblast. Ne umanjujući opštost, a radi jednostavnijeg dokazivanja, izaberimo onu koja u celini može da se opiše na bilo koji od načina : 1 (, z) 2 (, z) ; (, z) z, : 1 (z, ) 2 (z, ) ; (z, ) z, : z 1 (, ) z z 2 (, ) ; (, ). Odmah primećujemo da se ovi opisi ne razlikuju od ranije datih. Na primer, ako se precizira opis oblasti, treći od prethodnih opisa oblasti postaje (3.3.11) ili (3.3.12). a bismo dokazali (4.6.1), prvo pokazujemo da važi (4.6.2) R(,, z) dd = + R z dddz.

180 174 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Iz uvedene pretpostavke za oblast i trećeg opisa sledi da može da se rastavi na = 1 2, pri čemu se delovi 1 i 2 bijektivno projektuju na ravan u oblast i imaju jednačine 1 : z = z 1 (, ) ; (, ), 2 : z = z 2 (, ) ; (, ). Površi 1 i 2 zadržavaju orijentaciju celine, što znači da su na njima izabrane strane koje odgovaraju spoljnoj strani površi. Izabrane strane su negativno orijentisana 1 u odnosu na bijekciju 1 i pozitivno orijentisana 2 + u odnosu na bijekciju 2 (lika 4.6.1). z 2 1 lika Prema (1.3.7), (1.3.8) i (4.3.12), površinski integral na levoj strani jednakosti (4.6.2) postaje R(,, z) dd = R(,, z) dd + R(,, z) dd = R (,, z 1 (, ) ) dd + R (,, z 2 (, ) ) dd. Imajući u vidu da su diferenciranje i integracija inverzne operacije i primenjujući (3.3.21), trojni integral na desnoj strani jednakosti (4.6.2) postaje R z dddz = dd z2 (,) z 1 (,) R z dz = R(,, z) z=z 2(,) dd z=z 1 (,) = R (,, z 2 (, ) ) dd R (,, z 1 (, ) ) dd.

181 4. POVRŠINKI INTEGRAI 175 obijeni izrazi za površinski i trojni integral su isti, pa (4.6.2) zaista važi. Koristeći prvi i drugi opis oblasti, analognim postupkom se pokazuje da važi (4.6.3) P P (,, z) ddz = + dddz, (4.6.4) Q Q(,, z) dzd = + dddz. abiranjem (4.6.2), (4.6.3) i (4.6.4) neposredno sledi tvrd enje (4.6.1) teoreme za slučaj elementarne oblasti. Ako nije elementarna oblast, treba je podeliti na elementarne podoblasti, na svaku od njih primeniti (4.6.1) i sabrati dobijene rezultate. Utvrd uje se da jednakost (4.6.1) važi i u ovom slučaju, čime je Teorema Ostrogradskog u potpunosti dokazana. Neka je sada zatvorena, n tostruko povezana prostorna oblast sa pozitivno orijentisanom graničnom površi i negativno orijentisanim graničnim površima i int (i = 1, 2,..., n 1). ve granične površi su zatvorene. Na površi je izabrana spoljna, a na površima i unutrašnje strane. Teorema Ako su P (,, z), Q(,, z), R(,, z), P/, Q/, R/ z neprekidne funkcije u n tostruko povezanoj prostornoj oblasti sa graničnim površima i i int (i = 1, 2,..., n 1), važi (4.6.5) P (,, z) ddz + Q(,, z) dzd + R(,, z) dd + n 1 + P (,, z) ddz + Q(,, z) dzd + R(,, z) dd i=1 = i ( P + Q + R ) dddz. z okaz teoreme izostavljamo, uz napomenu da se on izvodi deobom oblasti na prosto povezane podoblasti. Kako je granica prostorne oblasti sastavljena od svih njenih graničnih površi, Teorema je analogna Teoremi Ostrogradskog. Takod e, Teorema je generalizacija Teoreme lično Green Riemannovoj teoremi, Teorema Ostrogradskog može da se primeni za dobijanje jednakosti kojima se izračunava zapremina prostorne oblasti pomoću odgovarajućeg površinskog integrala ([6], str ).

182 176 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Jedna od tih jednakosti se odnosi na prosto povezanu oblast sa graničnom površi i glasi (4.6.6) d = 1 ddz + dzd + z dd. 3 + Med utim, izuzetno se retko dešava da jednakost (4.6.6) ima prednost nad (3.2.3), pa (4.6.6) nema veći praktični značaj. PRIMER Izračunati potpuni površinski integral II vrste I = ZZ ddz + dzd + z dd, gde je : z = deo paraboloida za z 4. Integracija se vrši po strani površi koja se vidi sa pozitivnog dela z ose. Površ je ista kao u Primerima i 4.4.1, pa ne ponavljamo izvod enja, već samo koristimo dobijene rezultate. Ako je 1 deo ravni z = 4 unutar paraboloida, površ 2 = 1 je zatvorena. Prostorna oblast, ograničena sa 2, je prosto povezana. Pretpostavljamo da je pozitivno orijentisana. a I 1 i I 2 označimo površinske integrale po površima 1 i 2 redom, koji imaju isti podintegralni izraz kao integral I. U integralu I se integracija vrši po strani površi koja odgovara unutrašnjoj strani površi 2. Zato je, prema (1.3.7) i (1.3.8), I 2 = I + I 1, tj. to je Prvo izračunavamo I 2. Kako je I = I 1 I 2. P (,, z) =, Q(,, z) =, R(,, z) = z, P = 1, Q =, R z = 1, pa su funkcije P (,, z), Q(,, z), R(,, z), P/, Q/, R/ z neprekidne u svakoj tački (,, z) R 3, a time i u oblasti. Uslovi Teoreme Ostrogradskog su ispunjeni i primenom tvrd enja (4.6.1) sledi I 2 = ZZ + 2 ddz + dzd + z dd = 2 Projekcija oblasti na ravan je krug : ZZZ dddz.

183 4. POVRŠINKI INTEGRAI 177 Uvod enjem cilindričnih koordinata sa = r cos ϕ, = r sin ϕ, z = z, za koje je J = r, oblast i površi, 1 se preslikavaju u pa se oblast preslikava u i za integral I 2 se dobija I 2 = 2 = 4π : r 2, ϕ 2π, : z = r 2, 1 : z = 4, : r 2, ϕ 2π, r 2 z 4 ZZZ Z 2 r drdϕdz = 2 rz z=4 Z 2π dϕ Z 2 Z 4 r dr dz r 2 Z 2 dr = 4π r 4 r 2 dr = = 16π. z=r 2 Integral I 1 se jednostavno izračunava direktno, kao i pomoću (4.4.8), jer je površ 1 paralelna ravni. Rešavamo ga, npr., prelaskom na površinski integral I vrste. Površ 1 se bijektivno projektuje na ravan u oblast i ima jednačinu 1 : z = z(, ) = 4 ; (, ). trana površi 1 koja odgovara spoljnoj strani površi 2 je pozitivno orijentisana u odnosu na bijekciju 1. Zbog paralelnosti 1 sa ravni, jedinični normalni vektor ove strane je jedinični vektor z ose, tj. pa je Još, iz jednačine površi 1 sledi n = k = (,, 1), cos α =, cos β =, cos γ = 1. p = z =, q = z = ; 1 + p2 + q 2 = 1. Primenom (4.4.8), (4.3.1) i (3.1.4), za integral I 1 se dobija I 1 = ZZ 1 z dσ = 4 ZZ dd = 4d = 16π, gde je d = R 2 π = 4π površina kruga poluprečnika R = 2 (Primer 3.5.1). Konačno je I = I 1 I 2 = 16π 16π =. NAPOMENA U vezi sa rešavanjem površinskih integrala II vrste i primenom Teoreme Ostrogradskog, a uz uvid u Napomenu 4.4.1, iznosimo sledeća zapažanja.

184 178 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO 1 Ako je površ zatvorena, umesto jednakosti (4.4.8) treba koristiti Teoremu Ostrogradskog jer se tako izbegava rastavljanje površi na odgovarajuće bijektivne delove. 2 Ako je površ otvorena, primena Teoreme Ostrogradskog je otežana. Površ prethodno treba dopuniti do zatvorene površi i zatim, osim trojnog, izračunati površinski integral po dodatoj površi. Teorijski posmatrano, u ovom slučaju prednost ima (4.4.8). druge strane, veliki je broj integrala koji se ipak jednostavnije rešavaju primenom Teoreme Ostrogradskog. Takvi su, uglavnom, integrali čija površ integracije dozvoljava da dodata površ bude paralelna nekoj od koordinatnih ravni (Primer 4.6.1). Zaključujemo da ni jedna od jednakosti (4.4.8), (4.6.1) nema prednost nad drugom uopšte uzev, već to zavisi od konkretnog integrala koji se rešava tokesova teorema Pod odred enim uslovima tokesova teorema uspostavlja vezu izmed u krivolinijskog integrala po konturi i površinskog integrala po površi ograničenoj tom konturom. Ovakva veza omogućava da se umesto krivolinijskog rešava odgovarajući površinski integral, što je često mnogo jednostavnije. Zbog svog značaja, Green Riemannova teorema, Teorema Ostrogradskog i tokesova teorema se u literaturi sreću pod zajedničkim imenom Osnovne integralne teoreme, a njihova tvrd enja Osnovne integralne formule ([1], str. 341). Neka su površ i njena kontura saglasno orijentisane. Teorema (TOKEOVA TEOREMA) Ako su P (,, z), Q(,, z), R(,, z), P/, P/ z, Q/, Q/ z, R/, R/ neprekidne funkcije na površi sa konturom, važi tokesova formula (4.7.1) P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz = ddz dzd dd / / / z P (,, z) Q(,, z) R(,, z). okaz. Ne umanjujući opštost, dokaz izvodimo za specijalan slučaj površi koja se bijektivno projektuje na sve tri koordinatne ravni i pozitivno je orijentisana u odnosu na bijekciju. Oblast je projekcija površi na ravan. Normalni vektor n, postavljen na izabranu stranu površi, zaklapa uglove α, β, γ sa pozitivnim delovima, i z ose redom. a bismo dokazali (4.7.1), prvo pokazujemo ( P P ) (4.7.2) P (,, z) d = cos β z cos γ dσ.

185 4. POVRŠINKI INTEGRAI 179 Iz uvedenih pretpostavki za površ sledi da se kontura površi bijektivno projektuje na konturu oblasti. Takod e, konture i su saglasno orijentisane, pri čemu je pozitivno orijentisana prema efiniciji (lika 4.7.1). z n lika Neka su krive, i površ date jednačinama : = (t), = (t), z = φ(t) ; t [t 1, t 2 ], : = (t), = (t), z = ; t [t 1, t 2 ], : z = ψ(, ) ; (, ). Zbog saglasne orijentacije krivih i, parametar t se menja na isti način, npr. od t 1 ka t 2. Rastuća promena parametra odred uje pozitivnu orijentaciju ovih krivih prema efiniciji Oznake φ(t) i ψ(, ) su privremeno uvedene, umesto dosadašnjih oznaka z(t) i z(, ), radi matematičke korektnosti jer z(t) i z(, ) očigledno nisu iste funkcije. Ako je (,, z) proizvoljna tačka, njene koordinate, zadovoljavaju jednačine krivih, i površi, dok koordinata z zadovoljava jednačine samo krive i površi, tj. za t [t 1, t 2 ] važi Još, neka je z = φ(t) = ψ ( (t), (t) ). f(, ) = P (,, ψ(, ) ) = P (,, z). z=ψ(,) Prema (2.3.4), uz poštovanje svih prethodnih dogovora, krivolinijski integral na levoj strani jednakosti (4.7.2) postaje t2 P (,, z) d = P ( (t), (t), φ(t) ) (t) dt + t 1 t2 ( = P (t), (t), ψ ( (t), (t) )) t2 (t) dt = f ( (t), (t) ) (t) dt t 1 t 1 = f(, ) d = P (,, ψ(, ) ) d. + +

186 18 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO Prema pravilu za nalaženje parcijalnih izvoda složene funkcije ([2], str. 48) važi f = P + P ψ ψ = P + q P ( P ψ = + q P ), z z=ψ(,) gde je q = ψ parcijalni izvod odred en sa (4.3.5). Koristeći (4.4.6), (4.4.9) i (3.5.1), površinski integral na desnoj strani jednakosti (4.7.2) postaje ( P P ) ( P cos β z cos γ dσ = + + q P ) z z=ψ(,) dd ( P = + q P ) f dd = ψ dd = f(, ) d = P (,, ψ(, ) ) d. + + obijeni izrazi za krivolinijski i površinski integral su isti, pa je (4.7.2) tačna jednakost. Ako se površ projektuje na ostale dve koordinatne ravni, analognim postupkom se dokazuju jednakosti ( Q(,, z) d = Q Q ) (4.7.3) cos α + z cos γ dσ, ( R R ) (4.7.4) R(,, z) dz = cos α cos β dσ. abiranjem (4.7.2), (4.7.3) i (4.7.4) sledi P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz [ ( R = Q ) ( P cos α + z z R ) ( Q cos β + P ) ] cos γ dσ i,prema (4.4.8), (4.7.5) P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz ( R = Q ) ( P ddz + z z R ) ( Q dzd + P ) dd. druge strane, primećujemo da je tokesova formula (4.7.1) iskazana u operatorskom obliku jer sadrži operatore parcijalnog diferenciranja /, /,

187 4. POVRŠINKI INTEGRAI 181 / z. Ako determinantu u podintegralnom izrazu površinskog integrala iz (4.7.1) razvijemo po elementima prve vrste i operatore parcijalnog diferenciranja primenimo na odgovarajuće funkcije, vidimo da je (4.7.1) isto što i (4.7.5), čime je tokesova teorema dokazana. tokesova formula se ne iskazuje u obliku (4.7.5), nego u operatorskom obliku (4.7.1) jer je ovaj oblik pregledniji, a i lakše se pamti. Iz razloga navedenih u Napomeni 4.4.1, navodimo i operatorski oblik tokesove formule (4.7.6) P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz = cos α cos β cos γ / / / z P (,, z) Q(,, z) R(,, z) dσ. tokesovu teoremu smo i dokazali koristeći površinske integrale I vrste (jednakosti (4.7.2) (4.7.4)). Ako je površ deo neke od koordinatnih ravni, tokesova teorema se svodi na Green Riemannovu. Na primer, ako je deo ravni i njena kontura pozitivno orijentisana, (4.7.1) postaje (3.5.3). Zato je tokesova teorema, kao i Teorema Ostrogradskog, generalizacija Green Riemannove teoreme, ali drugačijeg tipa. Na kraju, napominjemo da postoji modifikacija tokesove teoreme, slična Teoremama i Odnosi se na površi kod kojih je oblast uv u efiniciji višestruko povezana. U literaturi se obično ne navodi jer je njena primena izuzetno retka. PRIMER Izračunati potpuni krivolinijski integral II vrste I = I 2 3 d + d + z dz, gde je kriva presek površi 1 : = 2, 2 : z = p Posmatrano sa pozitivnog dela ose, je pozitivno orijentisana. Površ 1 je cilindrična sa izvodnicama paralelnim z osi, a 2 je konus sa z osom kao osovinom. irektrisa površi 1 i istovremeno projekcija krive na ravan je kružnica : ( 1) = 1, z =. Neka je deo konusa 2 ograničen sa. Za zadatu orijentaciju krive saglasno je orijentisana strana površi koja se takod e vidi sa pozitivnog dela ose. Na ovu stranu je postavljen normalni vektor (lika 4.7.2).

188 182 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO z lika U integralu I je pa je P (,, z) = 2 3, Q(,, z) = 1, R(,, z) = z, P = 32 2, P z =, Q = Q z =, R = R =. Očigledno je da su P (,, z), Q(,, z), R(,, z) i nad eni parcijalni izvodi neprekidne funkcije u svakoj tački (,, z) R 3, a time i na površi. Uslovi tokesove teoreme su ispunjeni i primenom tvrd enja (4.7.6) sledi I = ZZ cos α cos β cos γ / / / z z ZZ dσ = cos γ dσ. Površ se bijektivno projektuje na i z ravan. U skladu sa Napomenom 4.3.1, projektujemo na ravan (z = ). Projekcija je krug ograničen sa, a odgovarajuća jednačina površi je : z = z(, ) = p ; (, ). Normalni vektor na stranu integracije zaklapa tup ugao γ sa pozitivnim delom z ose i, prema (4.4.6), sledi 1 cos γ = p 1 + p 2 + q. 2 Imajući u vidu Napomenu 4.4.3, izvode p i q ne odred ujemo, već integral I odmah prevodimo na dvojni Uvodeći smenu oblika (1.4.2), I = 3 ZZ 2 2 dd. = 1 + r cos ϕ, = r sin ϕ,

189 4. POVRŠINKI INTEGRAI 183 za koju je J = r, kružnica i krug se preslikavaju u pa je dalje I = 3 = 3 = 3 4 ZZ Z 2π Z 2π : r = 1, : r 1, ϕ 2π, r 3 (1 + r cos ϕ) 2 sin 2 ϕ drdϕ = 3 sin ϕ cos ϕ cos2 ϕ sin 2 ϕ dϕ Z 2π Upotrebom trigonometrijskih jednakosti sledi i za integral I se dobija sin 2 ϕ = dϕ Z 2π sin 2 ϕ d(sin ϕ) cos 2ϕ 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ = 1 4 sin2 2ϕ = 1 4 sin 2 ϕ dϕ Z 2π Z 1, sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ 1 cos 4ϕ 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ dϕ. = 1 cos 4ϕ 8 r 3 (1 + r cos ϕ) 2 dr I = 3 4 Z 2π 1 cos 2ϕ 2 dϕ sin 3 ϕ 3 Z 2π + 1 2π 1 cos 4ϕ dϕ = = π. Za direktno rešavanje integrala I kao krivolinijskog se koriste parametarske jednačine krive : = 1 + cos ϕ, = sin ϕ, z = 2cos ϕ ; ϕ [, 2π], 2 koje se nalaze na poznat način pomoću prethodno uvedene smene. a je ovakvo rešavanje teže u odnosu na rešavanje primenom tokesove teoreme, prepuštamo čitaocu da se sam uveri Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije Ovo razmatranje nije uključeno u deo o krivolinijskim integralima, iako se na njih odnosi, zbog potrebnog poznavanja tokesove i Green Riemannove teoreme, odnosno površinskih i dvojnih integrala u vezi s ovim teoremama. Neka su P (,, z), Q(,, z) i R(,, z) neprekidne funkcije u zatvorenoj prostornoj oblasti i neka su A, B proizvoljne tačke. efinicija Krivolinijski integral (4.8.1) I = P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz

190 184 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO je nezavisan od puta integracije u oblasti ako je njegova vrednost ista duž svake krive = AB sa početnom tačkom A i krajnjom tačkom B. Teorema Potreban i dovoljan uslov za nezavisnost integrala (4.8.1) od puta integracije je (4.8.2) po svakoj konturi. P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz = okaz. Prvo pokazujemo da je (4.8.2) potreban uslov i u tom cilju pretpostavljamo da integral (4.8.1) ne zavisi od puta integracije. Neka su 1 = AX 1 B, 2 = AX 2 B proizvoljne krive sa zajedničkom početnom tačkom A i krajnjom B. Krive 1 i 2 formiraju zatvorenu krivu (konturu). Ako na jednoj od krivih, npr. na krivoj 2, promenimo orijentaciju, kontura je jedinstveno orijentisana, tj. = AX 1 B BX 2 A (lika 4.8.1). z X 2 A X 1 B lika Podrazumevajući i izostavljajući podintegralni izraz, iz efinicije je I = 1 = 2, odakle je dalje = 1 2 = AX 1 B AX 2 B = AX 1 B + BX 2 A =, što je jednakost (4.8.2). Obrnuto, pokazujemo da je (4.8.2) dovoljan uslov, tj. pretpostavljamo da (4.8.2) važi.

191 4. POVRŠINKI INTEGRAI 185 Ako je proizvoljna kontura i tačke A, B, X 1, X 2 takve da je = AX 1 B BX 2 A (lika 4.8.1), tada je = = AX 1 B + BX 2 A = AX 1 B AX 2 B = 1 gde su krive 1 = AX 1 B, 2 = AX 2 B obe orijentisane od tačke A ka tački B. Iz poslednje jednakosti sledi 1 = 2, što znači da integral (4.8.1) ne zavisi od puta integracije. Teorema Potreban i dovoljan uslov za nezavisnost integrala (4.8.1) od puta integracije je egzistencija funkcije u(,, z), koja je diferencijabilna u oblasti sa diferencijalom (4.8.3) du = P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz. 2, okaz Teoreme izostavljamo ([1], str ; [2], str ). Funkcija u(,, z) se zove potencijal i, prema Teoremi 4.8.2, postoji ako i samo ako je integral (4.8.1) nezavisan od puta integracije. Tada iz (4.8.1) i (4.8.3) sledi (4.8.4) I = du = B A du = u(b) u(a). Iz jednakosti (4.8.4) vidimo da integral (4.8.1), u stvari, ne zavisi od oblika puta integracije = AB, ali zavisi od njegovih graničnih tačaka A i B. Osim funkcija P (,, z), Q(,, z), R(,, z), neka su i njihovi parcijalni izvodi P/, P/ z, Q/, Q/ z, R/, R/ neprekidni u oblasti. Tada važi sledeća teorema. Teorema Potreban uslov za nezavisnost integrala (4.8.1) od puta integracije je da za svako (,, z) važe jednakosti (4.8.5) P = Q, P z = R, Q z = R. Isti uslov je dovoljan ako je prosto povezana oblast.

192 186 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO okaz. Pokazujemo da je uslov (4.8.5) potreban i pretpostavljamo da integral (4.8.1) ne zavisi od puta integracije. Prema Teoremi 4.8.2, postoji funkcija u(,, z) takva da važi (4.8.3). druge strane, totalni diferencijal funkcije u(,, z) je ([2], str. 35) (4.8.6) du = u u u d + d + z dz. Upored ivanjem (4.8.3) i (4.8.6) sledi (4.8.7) P (,, z) = u i diferenciranjem, Q(,, z) = u P = 2 u, Q = 2 u., R(,, z) = u z Zbog pretpostavljene neprekidnosti izvoda P/ i Q/, neprekidni su i mešoviti izvodi 2 u/, 2 u/, pa važi 2 u/ = 2 u/ ([2], str. 59), tj. P/ = Q/, što je prva od jednakosti (4.8.5). Analogno se zaključuje da važe i druge dve jednakosti (4.8.5). Obrnuto, pokazujemo da je (4.8.5) dovoljan uslov, tj. pretpostavljamo da je prosto povezana oblast i da (4.8.5) važi. Ako je proizvoljna kontura i površ ograničena sa, uslovi tokesove teoreme su ispunjeni, pa prema (4.7.5) sledi P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz = ( R Q ) ( P ddz + z z R ) ( Q dzd + P ) dd =, što je jednakost (4.8.2). Premi Teoremi 4.8.1, integral (4.8.1) ne zavisi od puta integracije. Od navedene tri teoreme najčešće je u upotrebi Teorema jer je najjednostavnije proveriti uslove (4.8.5). pecijalno, kada je prosto povezana oblast ravna, npr. u ravni (z = ), integral (4.8.8) I = P (, ) d + Q(, ) d ne zavisi od puta integracije ako i samo ako važi prva od jednakosti (4.8.5), (4.8.9) P = Q,

193 4. POVRŠINKI INTEGRAI 187 a dokaz se izvodi korišćenjem Green Riemannove teoreme. U ovom slučaju je potencijal funkcija u(, ), a (4.8.7) se svodi na (4.8.1) P (, ) = u, Q(, ) = u. Ukoliko oblast pripada nekoj drugoj, z ili z koordinatnoj ravni, situacija je analogna. Praktično odred ivanje potencijala zasniva se na Teoremama ili Radi jednostavnosti, postupak iznosimo za slučaj integrala (4.8.8). Prvo nalazimo potencijal prema Teoremi Neka je = AB proizvoljna kriva sa fiksiranom početnom tačkom A(, ) i promenljivom (tekućom) krajnjom tačkom B( 1, 1 ) = B(, ). Jednakost (4.8.4) tada postaje u(, ) = P (, ) d + Q(, ) d + u(, ). Ako vrednost u(, ) nije poznata, potencijal u(, ) se odred uje s tačnošću do na konstantu c = u(, ). Zbog proizvoljnosti krive, biramo specijalno = AC CB (like 4.8.2, 4.8.3). 1 C A B U slučaju krive sa like je A lika lika AC : =, = t, z = ; t [, 1 ], CB : = t, = 1, z = ; t [, 1 ], B C

194 188 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO pa je d = (t) dt = duž AC, d = (t) dt = duž CB i u(, ) = = = = P (, ) d + Q(, ) d + c P (, ) d + Q(, ) d + AC 1 Q(, t) dt + Q(, t) dt + ili, uobičajeno zapisano, (4.8.11) u(, ) = 1 CB P (t, 1 ) dt + c P (t, ) dt + c P (, ) d + P (, ) d + Q(, ) d + c Q(, ) d + c. Za slučaj krive sa like se na sličan način dobija (4.8.12) u(, ) = P (, ) d + Q(, ) d + c. Izrazi (4.8.11) i (4.8.12) su ravnopravni. U oba izraza je c = u(, ). Za nalaženje potencijala se češće koristi postupak koji je zasnovan je na Teoremi On se sastoji u sledećem. Neka je (, ) proizvoljno izabrana i fiksirana tačka, a (, ) promenljiva (tekuća) tačka. Integracijom po prve jednakosti iz (4.8.1), sledi odnosno P (, ) d = (4.8.13) u(, ) = u d = u(, ) u(, ), P (, ) d + v(), gde je v() = u(, ). iferenciranjem po, iz (4.8.13) dalje sledi (4.8.14) u = P d + v ().

195 4. POVRŠINKI INTEGRAI 189 Korišćenjem druge jednakosti iz (4.8.1) i jednakosti (4.8.9), (4.8.14) postaje Q(, ) = Q d + v () = Q(, ) Q(, ) + v (), odakle je Q(, ) = v () i, integracijom po, Q(, ) d = Iz poslednje jednakosti je v() = v () d = v() v( ). Q(, ) d + c, gde je c = v( ) = u(, ). Zamenom ovako iskazanog v() u (4.8.13), dobija se (4.8.11). lično, polazeći od druge jednakosti iz (4.8.1), dobija se (4.8.12), pa je svejedno koju od jednakosti (4.8.1) biramo za polaznu. Kada se formule (4.8.11), (4.8.12) praktično primenjuju, tačka (, ) se obično bira konkretno i to tako da rešavanje odred enih integrala bude jednostavnije. Pri tome mora da je (, ), što se najlakše proverava pomoću P = Q (,)=(, ). (,)=(, ) Konstanta c = u(, ) se unapred zadaje ili se odred uje iz dodatnog uslova. Taj uslov je poznata vrednost potencijala u(, ) u nekoj konkretnoj tački (, ). Analogno se izvodi izraz za potencijal u(,, z) u slučaju prosto povezane prostorne oblasti i krive sa početnom tačkom (,, z ) i krajnjom tačkom (,, z), (4.8.15) u(,, z) = + P (,, z) d + z z R(,, z) dz + c. Q(,, z) d Komentar o konkretnom izboru tačke (,, z ) i odred ivanju konstante c = u(,, z ) važi i ovde, s tim što se uslov (,, z ) proverava pomoću jednakosti (4.8.5).

196 19 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO NAPOMENA Postupak zasnovan na Teoremi se pri praktičnim primenama često realizuje u celini, ali na drugačiji način. Radi se sa neodred enim umesto sa odred enim integralima, pri čemu se funkcija v() i konstanta c dobijaju kao proizvoljni integracioni elementi. Ovakav postupak je opravdan samo ako se ima u vidu zavisnost v() = v(, ), c = c(, ). rugim rečima, proizvoljnost funkcije v() i konstante c potiče od proizvoljnosti početne tačke (, ), ali za svaki konkretan izbor ove tačke funkcija v() dobija konkretan oblik v(, ), a konstanta c konkretnu vrednost c(, ). U opštem slučaju je v(, ) u(, ) i c(, ) u(, ). PRIMER Neka je proizvoljna prosto povezana zatvorena oblast u ravni (z = ), takva da je < za sve tačke (, ) i A(3, 2), B(5, 3). Takod e, neka je I = Z ( 2)( ) λ + d + ( ) λ 2 d potpuni krivolinijski integral II vrste, u kome je = AB proizvoljna kriva i λ R konstanta. (1 ) Odrediti λ tako da integral I ne zavisi od puta integracije. (2 ) Izračunati integral I za nad enu vrednost λ. (1 ) Integral I je oblika (4.8.8) sa odakle je P (, ) = ( 2)( ) λ +, Q(, ) = ( ) λ 2, P = 2( )λ λ( 2)( ) λ 1, Q = λ( )λ 1. Funkcije P (, ), Q(, ), P/, Q/ su neprekidne u oblasti za svako λ zbog >, pa je (4.8.9) dovoljan uslov za nezavisnost integrala I od puta integracije. Jednakost (4.8.9), tj. P/ = Q/, postaje i, deobom sa ( ) λ 1 >, Kako je, to je 2( ) λ λ( 2)( ) λ 1 = λ( ) λ 1 (2 + λ)( ) =. λ = 2. (2 ) Integral I izračunavamo primenom jednakosti (4.8.4). U tom cilju prvo odred ujemo potencijal u(, ) prosled ujući postupak zasnovan na Teoremi 4.8.3, a u skladu sa Napomenom Za λ = 2 je P (, ) = Zato iz prve od jednakosti (4.8.1) sledi u = P (, ) = 2 ( ) 2 +, Q(, ) = ( ) ( ) 2 + = 1 ( ) 2 +,

197 4. POVRŠINKI INTEGRAI 191 integracijom po u(, ) = i diferenciranjem po Z h 1 i Z d( ) Z d( ) Z ( ) 2 + d = ( ) 2 + = ln( ) v() u = 1 + ( ) 2 + v (). Prema drugoj od jednakosti (4.8.1), tj. u/ = Q(, ), je dalje odakle je i integracijom Potencijal je 1 + v() = Z ( ) 2 + v () = v () d = u(, ) = ln( ) + v () = 2 Neka je (, ) konkretno izabrana tačka. konstanta, pa izračunavajući za integral I dobijamo Z ( ) 2 2, 2 d = c c. u(a) = u(3, 2) = ln c = c, d Tada je c = c(, ) konkretna u(b) = u(5, 3) = ln c = ln c, I = u(b) u(a) = ln c 23 6 c = ln PRIMER Neka je proizvoljna prosto povezana zatvorena prostorna oblast, takva da je z za sve tačke (,, z) i A(7, 2, 3), B(5, 3, 1). Takod e, neka je Z z d + z d + dz I = ( z) 2 potpuni krivolinijski integral II vrste, u kome je = AB proizvoljna kriva. Odrediti potencijal u(,, z) ako je u(, 1, 1) = 1, a zatim izračunati integral I. Prvo proveravamo da li potencijal postoji u svim tačkama oblasti, tj. ispitujemo nezavisnost integrala I od puta integracije u oblasti. Kako je z P (,, z) = ( z) 2, Q(,, z) = z ( z) 2, R(,, z) = ( z) 2,

198 192 INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI; I EO to je P = Q z( + z) = ( z) 3, P z = R ( + z) = ( z) 3, Q z = R ( + z) = ( z) 3. ve navedene funkcije su neprekidne u oblasti zbog z, pa dovoljni uslovi (4.8.5) važe. Potencijal u(,, z) odred ujemo direktnom primenom formule (4.8.15). Za (,, z ) biramo konkretnu tačku (,, z ) = (1,, ) i uočavamo da je (,, z ) jer je z = 1. Ova tačka je pogodna zbog R(,, z) = R(1,, z) =, pa se (4.8.15) svodi na u(,, z) = Z = 1Z 1 P (,, z) d + Z Z z ( z) 2 d + Q(1,, z) d + c z (1 z) 2 d + c, gde je c = u(,, z ) = u(1,, ) nepoznata konstanta. integrala, za potencijal se dobija Po izračunavanju odred enih u(,, z) = z z + c. Konstantu c nalazimo iz zadatog dodatnog uslova u tački (,, z) = (, 1, 1). u(, 1, 1) = 1 + c i u(, 1, 1) = 1, sledi c = i Kako je u(,, z) = z z. Izračunavajući u(a) = u(7, 2, 3) = 6, u(b) = u(5, 3, 1) = 3 2, prema (4.8.4) se dobija i vrednost integrala I = u(b) u(a) = = 9 2.

199 PRIOG Osnovni nedostatak konvencionalnog načina predstavljanja prostornih objekata je nedostatak perspektive. Ilustracije radi, u ovom Prilogu predstavljamo površi i krive sa lika , , , , 2.3.4, 4.7.2, uključujući i poziciju posmatrača, tj. perspektivu. Na likama 1 5 su prikazane redom prostorne površi: sfera elipsoid konus paraboloid cilindrična površ z 2 = a 2, 2 a b 2 + z2 c 2 = 1, z = a 2 + 2, z = a ( 2 + 2), = a 2. like 1, 2 i 5 prikazuju još presečne krive površi sa koordinatnom ravni i tačke prodora koordinatnih osa kroz površi. lika

200 194 PRIOG lika 2. lika 3. lika 4. lika 5.

201 PRIOG 195 lika 6 prikazuje presečnu krivu cilindrične površi i sfere, = a, z 2 = a 2. Ova kriva se javlja u Primeru i poznata je pod imenom Vivianieva kriva. lika 6. lika 7 prikazuje presečnu krivu cilindrične površi i konusa, = 2, z = 2 + 2, koja se javlja u Primeru lika 7.