OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1

Transcript

1 UNIVERZITET U ITOČNOM ARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET edvni pfes d lavk Pkni, dipl. inž. el. ONOVE ELEKTROTEHNIKE Elektstatika Istčn aajev, 4.

2 PREDGOVOR Ovaj mateijal pedstavlja tekst kji su na snvu pedavanja kje je dža aut na Elekttehničkm fakultetu Univeziteta u Istčnm aajevu, pčevši d 997. gdine, i na Vjnj akademiji u Begadu d 7. gdine, pv zapčeli studenti fakulteta u Istčnm aajevu da unse u ačuna i ctaju slike, a zatim ga je aut nešt kigva, dpuni nedstajući tekst i slike i mgući da studenti mgu da ga kiste u elektnskj fmi d 9. gdine. Mateijal je najvećim delm zasnvan na udžbenicima Osnvi elekttehnike i Osnvi elekttehnike, akademika d Banka Ppvića i najnvijim udžbenicima Osnvi elekttehnike i Osnvi elekttehnike (četii knjižice, dve za Osnve elekttehnike i dve za Osnve elekttehnike ), akademika d Antnija Đđevića sa Elekttehničkg fakulteta Univeziteta u Begadu. Mateijal teba shvatiti ka neku vstu skipta. U mateijalu vevatn ima gešaka i u tekstu i u fmulama i slikama, ali će ne, kak budu učavane, biti ispavljane, i mateijal dađivan, pa će dađeni mateijal biti dstupan pek inteneta. Tekst skipta u celini buhvata mateijal kji je mga da se ispedaje takvm bzinm da su studenti mgli pedavanja da zabeleže, uz neke ddatke kje je aut naknadn une. Nadam se da će va skipta biti značajna pmć studentima, da ne maju da zapisuju pedavanja, pa da staje više vemena za bjašnjavanje i diskusiju. U vm mateijalu ispavljene su neke d d sada učenih gešaka i unete neznatne dpune teksta. Naavn, mguće je da i dalje ima štampaskih i dugih gešaka, pa mlim sve ne kji kiste vu skiptu da mi pšalju svja zapažanja i pimedbe, kak bi takve geške bile ispavljene. Dbdšle su i sve duge sugestije kje dpinse kvalitetu sadžaja i uspešnijem savladavanju sadžaja pedmeta.

3 adžaj. ONOVNI POJMOVI O ELEKTRICITETU I ELEKTRIČNIM OOBINAMA MATERIJE KULONOV ZAKON I VEKTOR JAČINE ELEKTRIČNOG POLJA Kulnv zakn Pjam elektičng plja. Vekt jačine elektičng plja Linije vekta jačine elektičng plja Kntinualn aspdeljen naelektisanje i njihv elektičn plje POTENCIJAL ELEKTRIČNOG POLJA Rad sila elektičng plja Zakn džanja enegije i njegva pimena na elektstatičk plje Definicija ptencijala elekičng plja. Razlika ptencijala. Napn Ekviptencijalne pvši. Veza između ptencijala i vekta jačine plja Elektični dipl Ptencijal kji stvaa kntinualna aspdela pteećenja GAUOV ZAKON Fluks vekta elektičng plja Izvđenje Gausvg zakna Pimei pimene Gausvg zakna PROVODNICI U ELEKTROTATIČKOM POLJU Osbine elektičng plja u pisustvu pvdnih tela Veza između gustine pvšinskg naelektisanja i vekta jačine plja uz pvš pvdnika Raspdela pteećenja na usamljenim pvdnim telima aznih blika Elektstatička indukcija Teema gledala (likva) Veza između naelektisanja i ptencijala pvdnih tela. Kndenzati i njihva kapacitivnst Paalelna i seijska veza kndenzata Veza između ptencijala i gustine naelektisanja (jedndimenzina Puasnva jednačina) DIELEKTRICI U ELEKTRIČNOM POLJU Plaizacija dielektika Vekt elektične plaizacije Vezana elektična pteećenja Elektičn plje u hmgenm dielektiku. Relativna i apslutna dielektična knstanta Upšteni blik Gausvg zakna. Vekt elektičng pmeaja Integalne jednačine u elektstatici Ganični uslvi Tube fluksa vekta elektičng pmeaja Neke elektične sbine dielektika ILE I ENERGIJA U ELEKTROTATIČKOM POLJU ile u elektstatičkm plju Enegija pteećeng kndenzata Gustina enegije u elektstatičkm plju. Enegija elektičng plja Izačunavanje elektstatičkih sila pek enegije Mmenti elektičnih sila Gubici u dielekticima pi vemenski pmenjivim pljima KRETANJE NAELEKTRIANE ĆETICE U ELEKTROTATIČKOM POLJU U VAKUUMU

4 8.. Ketanje naelektisane ćestice u hmgenm elektičnm plju Ketanje naelektisane ćestice u nehmgenm elektičnm plju LITERATURA PRILOZI PREGLED ONOVNIH FIZIČKIH VELIČINA I JEDINICA ONOVNI POJMOVI O VEKTORKIM VELIČINAMA TABELA IZVODA NEKIH ONOVNIH FUNKCIJA... 9 TABELA INTEGRALA NEKIH ONOVNIH FUNKCIJA

5 ELEKTROTATIKA. ONOVNI POJMOVI O ELEKTRICITETU I ELEKTRIČNIM OOBINAMA MATERIJE va tela u pidi, tenjem ili na neki dugi način, mgu steći sbinu da pivlače lake pedmete, ka i da se pivlače ili dbijaju međusbn (češalj pvučen neklik puta kz ksu pivlači pačiće papia; dva kmadića stipa (plastične mase) ptljani vunenm tkaninm međusbn se dbijaju). Za tela kja su stekla tu sbinu kažem da su naelektisana. ilu između naelektisanih tela pipisujem naelektisanju (ili elekticitetu) na njima. Danas znam da pstje dve vste naelektisanja, kje su suštinska sbina elementanih čestica elektna i ptna i da je naelektisanje tela ezultat manjka ili viška bja elektna u telu u dnsu na bj ptna. Ak sa n e beležim bj elektna, a sa n p bj ptna, nda za n e n p tel je neutaln, n e > n p tel je negativn naelektisan, a za n e < n p tel je pzitivn naelektisan. Bez nekg psebng azlga naelektisanje ptna je nazvan pzitivn (ameički fiziča Bendžamin Fanklin 76-79), a elektna negativn. Dgvn, u matematičkim elacijama, kjima pisujem elektične pjave, te dve vste naelektisanja se beležavaju ka pzitivne dnsn negativne algebaske veličine. Ova knvencija je mgućila pisivanje elektičnih pjava vl kmpaktnim matematičkim izazima. Za jedinicu naelektisanja je usvjen naelektisanje,648 9 ptna. Ta jedinica se naziva Kuln (znaka C). Naelektisanje ptna je pema tme: 9 9,6 C,648 T je i apslutna vednst naelektisanja elektna, tj. e -,6-9 C, kji ima 836 puta manju masu d ptna, a pnaša se i ka elementana ćestica i ka talas (dualistička pida). Za naelektisanje se kisti znaka. T je algebaska vednst pteećenja (naelektisanja). U zatvenm sistemu ukupna kličina naelektisanja uvek je ista. Naelektisanje mže sam peči sa jedng tela na dug, nemže da nestane ili da se stvi. U m 3 čvstg tela ima k 9 atma (u mm 3 ima ). Jezg atma i elektn(i) zauzimaju vema mali de psta u atmu. Ak se zamisle ka lptice, ed veličine plupečnika jezga je (-) -5 m, zavisn d vste mateijala, a elektna 5-5 m, dakle pibližne su veličine, a plupečnik atma je eda - m, tj. dns plupečnika atma i njegvg jezga dnsn elektna je k puta. Ovaj pazan pst između elementanih čestica supstance naziva se vakuum. U pgledu elektičnih sbina sve supstance se dele u ti gupe: - izlati, - plupvdnici i - pvdnici. Pdela je dnekle pizvljna, a zasnvana je na elativnm bju slbdnih nsilaca naelektisanja u supstanci. U izlatima (dielekticima) pstji vl mala kncentacija slbdnih nsilaca u dnsu na njihvu kncentaciju u plupvdnicima, a u plupvdnicima je znatn manja neg u pvdnicima. Najvažnija klasa pvdnika su metali. U njima su elektni iz spljašnje ljuske, tzv. elektni pvdnsti, vl labav vezani za atme, pa se u nmalnim uslvima paktičn slbdn keću u metalima. U tečnstima - tečnim astvima, mlekuli astvene supstance se aspadaju na dva suptn naelektisana dela, tzv. pzitivne i negativne jne. Jni mgu da pstje i u gasvima. 5

6 . KULONOV ZAKON I VEKTOR JAČINE ELEKTRIČNOG POLJA ile između naelektisanih tela su ustvai ezultat sila kje deluju između elementanih čestica u psmatanim telima. Međutim, pačun sila plazeći d tih elementanih čestica (na atmskm nivu, dnsn mikskpskj skali) je vema slžen. Zbg tga se uvde sednje vednsti veličina kje se dnse na elementane čestice. U tu svhu se psmata tzv. fizički mala zapemina, kja je vema mala ali ipak buhvata veliki bj elementanih naelektisanja. Takav pilaz se naziva makskpski pilaz, a sednje vednsti veličina makskpske veličine. Ekspeimenti pkazuju da sile između elektičnih pteećenja nisu iste kada pteećenja miuju i kada se keću u dnsu na psmatača. Najpstiji slučaj je kada sva pteećenja makskpski miuju (na mikskpskj skali takv stanje ne pstji). De fizike i elekttehnike kji pučava sisteme vemenski nepmenjivih pteećenja na nepketnim telima naziva se elektstatika. Najpstiji su slučajevi sa telima u vakuumu... Kulnv zakn Opisuje silu između dva naelektisana tela čije su dimenzije znatn manje d njihvg astjanja. Takva tela se nazivaju punktualna (tačkasta) pteećenja (naelektisanja). Punktualn pteećenje ne ma biti ni mal ni nekg psebng blika. Pdsetim se da je naelektisan tel n tel na kme pstji višak bil pzitivnih bil negativnih pteećenja. Kulnv zakn je snvni zakn elektstatike iz kga pističe paktičn celkupna teija elektstatičkg plja. Ekspeimentaln, pmću tzine vage, Kuln je dša d zaključka da je elektična sila između dva naelektisana tela sazmena pizvdu pteećenja jedng i dugg, a bnut sazmena kvadatu astjanja između njih, tj. sila kjm tel (izv sile) deluje na tel je gde su:, naelektisanja tela astjanje između tela, F k jedinični vekt (t) duž pave kja plazi kz tela, usmeen d pteećenja kje je izv sile ( ) ka pteećenju na kje deluje sila ( ), F sila kjm tel deluje na tel. Ak su i istg znaka (ba pzitivna ili ba negativna), F je istg smea ka i, tj. sila je dbjna (slika.a). Ak su i suptng znaka, F je u suptnm smeu d, tj. sila je pivlačna (slika.b). U međunadnm sistemu (I) jedinica, knstanta k je k 9 9 [Nm /C ]. Ta knstanta je pibližn ista i kada se meenja vše u vakuumu, pa se k izažava ka k gde je ε dielektična knstanta ili pemitivnst vakuuma, kja ima vednst 9 C F ε 8, π Nm m 6

7 a) b) lika.. Dva tačkasta pteećenja i smevi vekta sile Kulnvg zakna naelektisanja istg znaka (a) i naelektisanja azličitg znaka (b) Pema tme Kulnv zakn se mže pisati u bliku F, št je vektski blik Kulnvg zakna. Algebaski blik je F F pa je vektski blik F F Za elektičnu silu važi zakn akcije i eakcije (slika.), tj. kak je F, t je F F,. a F F Za elektične sile važi pincip supepzicije (pavil vektskg sabianja), št znači da je ukupna elektična sila kjm na nek mal naelektisan tel deluje više dugih malih naelekisanih tela jednaka vektskm zbiu sila kjima ta duga tela deluju pnasb na psmatan tel. Pime.. kiciajm silu kjm i deluju na 3 (slika.a) gde su lika.. Ti tačkasta naelektisanja (a) i deđivanje ezultantne sile na naelektisanje 3 (b) Gafički pikazan ešenje na slici.b, analitički se mže pisati ka F 3 F na3 F 3 + F 3 F i3, 3 3 i 3 3, F 3 3 Da bi se dšl d ezultantne sile ptebn je sabati ve dve sile dnsn sabati dva vekta. Mže se pstupiti na azličite načine. Jedan je da se u Dekatvm kdinatnm sistemu 3 Pincip supepzicije je ustanvljen ekspeimentaln. 7

8 bavi azlaganje pjedinačnih sila na kmpnente a zatim bavi sabianje i dbije ezultantna sila dnsn zbi vekta. Pimei ačunanja sile će se aditi na auditnim vežbama... Pjam elektičng plja. Vekt jačine elektičng plja Dejstv jedng naelektisang tela na dug ne bjašnjavam dejstvm naelektisang tela na daljinu već time da n u svjj klini mdifikuje stanje psta stvaanjem psebng fizičkg stanja kje se naziva elektičn plje. Pema tme elektična sila na nek tel je psledica delvanja elektičng plja na t naelektisan tel. Ak plje ptiče d nepketnih elektičnih pteećenja naziva se elektstatičk plje. D načina za pecizn pisivanje elektičng plja u svim tačkama dlazi se pmću pbng pteećenja (naelektisanja), kje se bičn značava sa. T je naelektisan tel vl mal p dimenzijama i p naelektisanju, da bi njegv uticaj mga da se zanemai, je i n stvaa elektičn plje, inače sa ne bi mgli ispitati pvbitn plje. Običn se uzima da je >, tj. pzitivn. Psmatajm tačkast naelektisanje, i zamislim u njegvm elektičnm plju pbn pteećenje. Na deluje elektična sila deđena Kulnvim zaknm Kličnik F na F na je nezavisan d i kaakteiše elektičn stanje psta dnsn plje u psmatanj tački bez bzia da li se tu nalazi ili ne. Zbg tga se usvaja za snvnu veličinu kjm se pisuje elektičn plje u svakj tački psta i naziva se vekt jačine elektičng plja (slika.3), i značava sa E F na Vekt (elektičng) plja se cta tak da je njegv pčetak u tački na kju se vekt dnsi (slika.3). Osnvna sbina elektičng plja u klini naelektisang tela je da na dug naelektisan tel uvek t plje deluje elektičnm silm. Jedinica za intenzitet vekta jačine elektičng plja je N/C (njutn/kuln) ili V/m (vlt/meta). je Iz elacije () se za silu F na dbija F E Plazeći d elacije () i imajući u vidu elaciju (), elektičn plje tačkastg naelektisanja () () Neki auti insistiaju na tme da pbn naelektisanje ma biti infinitezimaln mal, tj.. Onda je elektičn plje dat izazm F na E lim 8

9 E gde je usmeen d, tj. d izva ka tački u kjj tažim plje. lika.3. Pime vekta jačine elektičng plja tačkastg naelektisanja Za ukupn elektičn plje pizvljng bja tačkastih pteećenja (naziva se i sistem elektičnih pteećenja), takđe važi pincip supepzicije, ka za elektične sile, tj. ukupni vekt jačine elektičng plja se dbija ka zbi vekta jačina elektičng plja kje u psmatanj tački stvaaju pteećenja sistema pjedinačn, tj. E n E k k 4 πε n k Algebaski intenzitet elektičng plja (jedng) tačkastg naelektisanja je E E, pa je vektski blik k k k E E U inženjeskj paksi najjača elektična plja su eda veličine desetak MV/m i ganičena su pbjem dielektika. Za veme luja jačina elektičng plja na pvši tla dstiže neklik kv/m. Za plja kja se menjaju u vemenu, maksimalna jačina dzvljena za dugtajan bavak ljudi u tm plju zavisi d učestansti. Za plje industijskih učestansti (na pime, 5 Hz) dzvljena jačina je kv/m, a za 9 MHz (učestanst ada mbilnih telefna) dzvljena jačina je (p ppisima Republike bije) 7 V/m. Elektičn plje na ganici pijema kmecijalnih adiapaata je eda veličine µv/m..3. Linije vekta jačine elektičng plja Linije sila ili linije vekta jačine elektičng plja služe za jednstavn vizueln pedstavljanje elektičng plja. Definišu se ka zamišljene kive linije na kje je vekt E u svim tačkama tangentan. Za tačkast, usamljen, pteećenje linije vekta jačine elektičng plja imaju izgled adijalnih linija kje izviu iz pzitivng, a pniu u negativn pteećenje, slika.4. telice na linijama ukazuju na sme dejstva (u dnsu na pzitivn naelektisanje), a gustina linija ukazuje na intenzitet elektičng plja. Tam gde su linije gušće plje je većeg intenziteta. Linije vekta jačine elektičng plja dva bliska tačkasta pteećenja, imaju izgled ka na slici.5, a) ak su suptng i b) ak su istg znaka. Pseban slučaj je hmgen elektičn plje je plje u kme je vekt jačine plja u svim tačkama istg intenziteta, pavca i smea. T se simblički piše ka E cnst. Pedstavlja se slikvit linijama plja kje su paalelne i na jednakm astjanju (iste gustine, slika.6). Takv je, na pime, elektičn plje u delu plčastg kndenzata (ne i na kajevima, gde je plje nehmgen, št se naziva ubni efekat). Ak je E cnst. plje je nehmgen. Takv je, na 9

10 pime, plje na ivicama plčastg kndenzata, ili plje tačkastg naelektisanja (slika.4), pemda je istg intenziteta u svim tačkama na istm astjanju d naelektisanja (ali nije istg pavca i smea). izv linija pn linija a) b) lika.4. Linije sila elektičng plja usamljeng tačkastg naelektisanja: a) pzitivng, b) negativng lika.5. Linije E dva tačkasta naelektisanja: a) azličitig znaka (tela se pivlače), b) istg znaka (tela se dbijaju) lika.6. Linije vekta hmgeng elektičng plja.4. Kntinualn aspdeljen naelektisanje i njihv elektičn plje Videli sm da se naelektisanje uvek javlja u vidu celg bja najmanjeg naelektisanja ili kvanta naelektisanja e (dnsn e). Naelektisana tela imaju gman bj takvih naelektisanih čestica, pa bi pačun plja pek plja tačkastg naelektisanja bi paktičn nemguć i kada bi znali plžaj svake te čestice. Radi pjednstavljenja, umest da se svaka čestica psmata zasebn, uvdi se pjam gustine naelektisanja, kja kaakteiše makskpsku sednju vednst naelektisanja u klini tačke unuta naelektisang tela, na njegvj pvši, ili duž neke linije. Pvšinska gustina naelektisanja Zamislim jednu pvš sa pvšinskim naelektisanjem, i na tj pvši učim elementanu pvšinu (pvšinicu). Na pvšinici se nalazi nek pteećenje (slika.7). Gustina pvšinskg naelektisanja u tačkama pvšinice se definiše elacijm

11 σ na lika.7. Uz definiciju pvšinske gustine naelektisanja Ak znam σ u svim tačkama pvši nekg naelektisang tela, ukupn pteećenje na pvši tela se dbija zbi svih na pvši σ Vednst biće utlik tačnija uklik su pvšinice manje. Kada su pvšinice jak (infinitezimaln) male beležavaju se sa ds, a znak sume zamenjuje se sa znakm integala, pa se dbija σ ds Ak je σ ist u svim tačkama pvši nekg tela (hmgen naelektisan), tj. σcnst., tada je σ d σ Jedinica za pvšinsku gustinu naelektisanja je C/m. Kd pvdnih tela naelektisanje (višak naelektisanja) aspeđen je uz pvš tela (slj debljine eda veličine atma). Zapeminska gustina naelektisanja Ak je naelektisanje aspeđen zapeminski (slika.8), na pime u elektnskim cevima (katdne cevi, magnetni) uvdi se pjam gustine zapeminskg naelektisanja ρ v u v gde u v značava unuta male zapemine v kja buhvata psmatanu tačku. Na sličan način, ka u pethdnm slučaju je zbi svih (ρ v) p zapemini V ρ v dnsn ρ dv Ak je ρ ist u svim tačkama tela zapemine V, tj. ρcnst., tada je ρ dv ρv Jedinica za zapeminsku gustinu naelektisanja je C/m 3. V V V lika.8. Uz definiciju zapeminske gustine naelektisanja

12 Linijska gustina naelektisanja Ak je naelektisanje aspeđen linijski (slika.9), v je apksimacija, uvdi se pjam linijske gustine naelektisanja na l l Na sličan način, ka u pethdnm slučaju je zbi svih ( l ) p dužini l jednak je l dnsn dl l l lika.9. Uz definiciju linijske gustine naelektisanja Ak je ist u svim tačkama linije, tj. cnst., tada je dl l Jedinica za linijsku gustinu naelektisanja je C/m. l Pstupak deđivanja elektičng plja kntinualn aspdeljeng naelektisanja Ak je pznata gustina naelektisanja u svakj tački, vekt jačine elektičng plja kje takv naelektisanje stvaa deđuje se na sledeći način: plazi se d izaza za tačkast naelektisanje i pimenjuje pincip supepzicije. U slučaju pvšinskg naelektisanja, izdeli se pvšnica, na kjj se naelektisanje nalazi, na pvšinice ds. Ak je u tačkama pvšinice ds gustina pvšinskg naelektisanja σ, naelektisanje na pvšinici je σds. T naelektisanje se mže tetiati ka tačkast, pa je elektičn plje kje d njega ptiče d σds de Ukupan vekt elektičng plja dbija se vektskim zbim svih vekta jačina plja kji ptiču d pteećenja na pjedinim pvšinicama, tj. σds E Znak integala vde, u stvai, znači zbi (vektski) vema malih veličina. U pštem slučaju ešavanje integala svdi se na dvstuki integal. Na sličan način se u slučaju zapeminske aspdele pteećenja pznate gustine ρ dbija za ukupan vekt jačine plja ili linijske gustine ρdv E dl E V l

13 Kd zapeminski aspdeljeng naelektisanja, u pštem slučaju ešavanje integala svdi se na tstuki integal (pa takve pimee nećem ešavati), a kd linijske na integal p jednj pmenjivj. U slučaju kmbinvane aspdele naelektisanja vekt jačine elektičng plja (više) tačkastih pteećenja, zapeminski, pvšinski i linijski aspdeljenih naelektisanja u vakuumu, izačunava se p fmuli n k ρdv σd dl k k k V l E Pimei deđivanja elektičng plja kntinualn aspdeljeng naelektisanja Pime.. Odediti vekt E u pizvljnj tački na si z nmalnj na avan kužne kntue plupečnika a, u vakuumu, a kja plazi kz centa kntue. Kntua je avnmen naelektisana ukupnim naelektisanjem (slika.a). lika. a) naelektisana kužna kntua, b) način deđivanja njeng elektičng plja na si namalnj na avan kntue a kja plazi kz centa kntue mestim u centa kntue Dekatv kdinatni sistem. Psmatan naelektisanje je / l / πa. Izdelim kntuu na niz malih elemenata dl. linijsk, pdužne gustine ( ) Naelektisanje jedng elementa dužine dl (slika.b) je d dl. Vekt jačine elektičng plja tg elementa, u tački M, je, u skladu sa izazm za plje tačkastg naelektisanja, d E dl, gde je + a z. Ak učim dva naspamna elementa kntue, istih dužina ( dl dl ), slika.b, vidim da su intenziteti njihvih plja jednaki zbg simetije, i da zbi vekta plja ta dva elementa ( d E + d E ) ima sam z kmpnentu (kmpnente p x i y si se pništavaju), pa plje cele kntue ima sam E kmpnentu ( E E ) (hizntalne kmpnente se pništavaju). z x y Uga između vekta d E i z-se (θ) jednak je uglu α (uglvi sa unaksnim kacima, slika z.b), pa je pjekcija d E na z-su jednaka de z de cs θ de csα de. Odatle je z- 3

14 kmpnenta ezultantng elektičng plja dl z z z z Ez dez dl πa 3 3 3, je je dl πa πε, dnsn l l l 4 z z E z + ( a ) 3 / 3 z Ak je tačka M na velikm astjanju d kntue ( z >> a ), kntua se iz tačke vidi ka tačkast naelektisanje smešten u kdinatnm pčetku. Matematički, tada je l a + z z, z pa je E z. Kličnik 3 z sgn z je lgičan je psmatam z kmpnentu elektičng z z plja. Ak je >, tada je stvani sme plja d kntue. Ak je tačka M na pzitivnm delu z- se, stvani sme se pklapa sa pzitivnim smem z-se, dnsn E z negativnm delu z-se, stvani sme se pklapa sa negativnim delm z-se, tj. E, a ak je tačka M na E z E, št je u skladu sa elacijm E z sgn z. Elektičn plje kužne kntue se ne mže analitički dediti u tačkama van z-se bez uptebe specijalnih matematičkih funkcija (eliptički integali). Pime.3. Odediti vekt E na z-si plukužne linije avnmen naelektisane naelektisanjem, ka na slici.a. Pdužna gustina naelektisanja je /( πa). Pime se ešava sličn pethdnm. Linija se izdeli na segmente dl, dedi se plje svakg segmenta, a nda se plja vektski sabeu. Ali vde, za azliku d pethdng pimea, pstji, ped z kmpnente, i hizntalna kmpnenta elektičng plja. Vekt d E azlžim na kmpnente u Dekatvm kdinatnm sistemu, d E d E h + d E z (slika.b). Izaz za vetikalnu (z) kmpnentu je isti ka u pethdnm z pimeu, tj. de z de cs α de. Odatle je dl z z E z dez, št je isti πε 3 l l 4 ezultat ka u pethdnm pimeu (je je ukupn naelektisanje ist). Algebaski intenzitet hizntalne kmpnente, u dnsu na efeentni sme sa slike.b, a je de h de sin α de. Vekt d E h teba zatim pjektvati na se x i y, de x de h cs Φ i de sin Φ. y de h ada je dl a a E x dex cs Φ a cs ΦdΦ, je je dl adφ, l l π / a a dnsn E x je je cs Φ Φ 3 3 πε π ε d, dk je π / π / π / 3 Funkcija signum se definiše ka sgn z,,, z < z z > 4

15 E y dl de y simetije. l l a π / sin Φ, je je sin Φd Φ, št se mgl zaključiti i na snvu π / lika. a) naelektisana plukužna kntua, b) način deđivanja njeng elektičng plja Pime.4. Odediti vekt E u pizvljnj tački na si nmalnj na kug (plazi kz centa kuga) plupečnika a, avnmen naelektisan p pvši naelektisanjem pvšinske gustine σ (slika.). lika.. Uz deđivanje elektičng plja avnmen naelektisane plukužne avni Zadatak se mže ešiti plazeći d pšteg izaza za plje pvšinskg naelektisanja, ali takav pilaz zahteva dvstuku integaciju. Ali, ak se pđe d ezultata iz pimea na slici., ešenje se mže svesti na jednstuku integaciju (je je jedna integacija već bavljena u tm pimeu). Dakle, izdelim kug na tanke pstenve, plupečnika R i šiine dr. Plje svakg vg pstena je ist ka plje kužne kntue (št sm ešili u pimeu sa slike.) čije je naelektisanje d σds σ πrdr, gde je ds pvšina tankg pstena. Na snvu ezultata iz pimea na slici., plje ima sam z-kmpnentu (pa ak naelektisanje zamenim sa d, a plupečnik a sa zd R), dbijam de z. Ukupn plje se dbija sabianjem (integaljenjem) plja 4 πε R + z 3 / ( ) svih pstenva na kje je kug izdeljen, pa je E z a de a σzrdr σz 3 / ( ) R + z R ( R z ) z R R ε ε + a RdR 3 /. 5

16 Pslednji integal se mže ešiti, na pime smenm t R + z, pi čemu je dt RdR. Dnja ganica integacije p t je z, a gnja je a + z. Tak se dbija a RdR a + z dt a R + + z ( ) R + z 3 / 3 / t t t z z t z a z σz data izazm E z. ε z a + z Kada je tačka M dalek d kuga, tj. kada je plje tačkastg naelektisanja E z σz a σπa, tj., pa je z-kmpnenta ezultantng plja z >> a, dbijeni ezultat pelazi u izaz za ( a + z z )( a + z + z ) σz a σπa z 3 3 z a + z ( a + z + z ) ε z πε ε ε 4 z z + z a + z z σz Zamislim da se pibližavam pvši kuga (tak da z ). Kug, u ganičnm slučaju, izgleda ka besknačn velika avnmen naelekisana avna pvš, pa izaz za elektičn plje σz σ pstaje E z sgn z ε. Ovaj ezultat za avnmen naelektisanu avan, z a + z ε izvešćem kasnije, jednstavnije, plazeći d Gausvg zakna. Deljenjem na kužne pstenve mže se, na sličan način, dediti i elektičn plje na si avnmen naelektisane plusfene ili sfene pvši, ali se plje sfene pvši jednstavnije deđuje pmću Gausvg zakna. Pime.5. Odediti vekt E u pizvljnj tački Oxy avni, ( x, z ) avnmen naelektisane niti pdužnm gustinm naelektisanja y je nmalna na avan cteža i usmeena u tu avan. M u avni, u vakuumu (slika.3a). Osa. lika.3. Uz deđivanje elektičng plja avnmen naelektisane niti Izdelim nit (vlakn) na elemente dužine dl i pimenim izaz za elektičn plje linijskg dl naelektisanja E. Vekt d E, kji ptiče d elementa dl, je d E l dl, a mže se azlžiti na dve kmpnente, hizntalnu i vetikalnu. U dnsu na efeentne smeve sa slike.3a, algebaski intenziteti tih kmpnenti su 6 de h de csα i

17 de v de sinα, gde je α uga između hizntalng pavca (nmalng astjanja tačke M i niti) i ptega (kji spaja element dl i tačku M). Uga α je pzitivan uklik je z-kdinata elementa dl veća d z ( z > z ), ka št je slučaj na slici.3a. U suptnm α je negativan. Na slici.3a, x-kmpnenta vekta E je d E x d E h, a z-kmpnenta je d E z d E v, x z z dnsn de x de cs α de i de z de sinα de, gde je x ( ) + z z. tavljajući da je dl dz i sabiajući (integaljeći) dpinse svih elemenata dl, dbijam integale p pmenjivj z kji se mgu ešiti analitički. Međutim, umest da integalim p z kdinati, u vm pimeu je lakše da sve pmenjive veličine izazim pek ugla α i integalim p tm uglu. x a slike.3 se vidi da je. Dužina dl se mže izaziti pek piaštaja d α ugla α csα na dva načina. Pvi sledi iz tignmetijskih dnsa (slika.3b). Dužina kužng luka ( A A ) kji 3 dgvaa uglu d α je dα, gde je A M plupečnik tg luka. Dužina luka je pibližn jednaka dužini nmale pvučene iz tačke A na dugi kak ugla d α ( A A 4 ). Kak je uga d α mali, t su dužine kužng luka dα, tetive ( A A3 ) i nmale ( A A 4 ) pibližn jednake. Osim α + α tga, uglvi α, α α + dα i α su pibližn jednaki, a važi ielacija. Zbg tga je A A dα 4. Uga između nmale A A i elementa dl jednak je 4 α (uglvi sa nmalnim kacima) pa A A4 dα xdα je, iz pavuglg tugla A A A4, dl. csα csα cs α Dugi način je pmću difeencijalng ačuna. Pv je z x tgα, gde je sa z značena z dα kdinata elementa dl. Difeencianjem ve elacije se takđe dbija dz x dl. cs α Ak sa α i α značim uglve kji dgvaaju dnjem, dnsn gnjem kaju niti, knačn se dbija i α csα α d E x x x α α sinα α d E z x x α ( sinα sinα ) ( csα csα ) Pime.6. Pnvn psmatajm pime sa slike.3, ali neka je nit vema dugačka π π (teijski besknačn dugačka). ada je α i α, pa je E x πε x i E z. Ovaj ezultat se mng jednstavnije mže dbiti pmću Gausvg zakna (pime 4.7 u pdpglavlju 4.3). 7

18 3. POTENCIJAL ELEKTRIČNOG POLJA Ped vekta E, elektičn plje se mže pisati i skalanm veličinm ptencijalm. D njega se dlazi pek azmatanja ada sila elektičng plja. 3.. Rad sila elektičng plja Psmatajm de nekg elektičng plja pikazang pmću linija E (slika 3.). Zamislim da se u tački A plja nalazi pzitivn pbn naelektisanje. Na njega deluje sila F E (videti pdpglavlje.) kja je u smeu E u tački A. lika 3.. Pmeanje pbng pteećenja iz tačke A u tačku B pd dejstvm elektičng plja Ak bism pustili da ta sila pmei u smeu vekta E za neku malu dužinu l, sila bi izvšila ad A F l E l Međutim ak pmeaj pteećenja pd dejstvm sile F nije u smeu vekta F, neg pd nekim uglm, na pime α, tada je A α α ( E l ) F l cs E l cs F l E l E l cs, gde F l pedstavlja skalani pizvd vekta. T se mže shvatiti i ka azlaganje sile na kmpnente u pavcu pmeaja i nmaln na pavac pmeaja (slika 3.) F F n + F p lika 3.. Kmpnente elektične sile u tački sa slike 3.. Ukupni ad sila pi pmeanju d A d B duž izlmljene linije kju čine l, l,..., l n, dbija se ka zbi adva 8

19 ili A sila plja d A d B A + A ( l + E l + + E n l n ) A E..., k,..., n l k su mali vektski elementi putanja u smeu ketanja pbng naelektisanja, ili kaće napisan A n k E k l k Ak se keće duž kive linije, nda se ista deli na veliki bj malih segmenata, tak da je svaki pibližn pav i pimeni se ista fmula, pi čemu l dl, pa je A Ak je ad pzitivan (A>) znači da su ga bavile elektične sile, a ak je A< pmeanje naelektisanja, tj. ad vše neke duge sile (mehaničke) delujući ptiv elektičnih sila. Ovaj zaključak ćem kistiti u naednm izlaganju. B A Edl A n 3.. Zakn džanja enegije i njegva pimena na elektstatičk plje Iskustv kaže da se enegija mže petvaati iz jedng blika u dugi, ali da se na dugi način nemže dbiti. Na pime, elektična enegija se mže dbiti iz hemijske enegije (bateije, akumulati), tpltne enegije (temelementi) ili mehaničke enegije (geneat u elektičnim centalama). Ćinjenica da se enegija nemže stvaati već sam džavati (tj. pelaziti iz jedng blika u dugi) naziva se zakn džanja enegije 4. Psmatajm sistem naelektisanih tela (slika 3.3.). Zamislim da su sile elektičng plja penele pbn naelektisanje iz tačke A u tačku B jednm duž kive linije AaB, a dugi put duž kive linije AbB (bez tenja). Da li se ad azlikuje? lika 3.3. Pimena zakna džanja enegije na elektstatičk plje Dkazaćem da su ta dva ada jednaka (maju biti). Neka se keće duž zatvene putanje AaBbA, bez tenja. Tam gde je ( E, dl )<π/, ad elektičnih sila je pzitivan (A>), tj. sile plja ubzavaju pteećenje. Tam gde je ( E, dl )>π/, ad sila elektičng plja je negativan (A<), št znači da elektične sile uspavaju pteećenje, tj. da se ketanje mže všiti sam pd dejstvm neke mehaničke sile. 4 Videti u pilzima u Pegledu snvnih fizičkih veličina i jedinica. 9

20 Kada biđe celu putanju i vati se u tačku A, ce sistem je sasvim isti ka pe plaska pteećenja iz tačke A. Enegija sadžana u sistemu ma takđe biti ista ka anije. ledi da je ad sila elektičng plja p bil kjj zatvenj putanji jednak nuli, tj. matematički napisan Edl, cnst. AaBbA dnsn sledi da E u elektstatici ma da zadvljava jednačinu C E dl, (3.) št se čita cikulacija vekta elektičng plja duž pizvljne kntue C (zatvene putanje) ili zbi pizvda E dl p pizvljnj kntui C jednak je nuli.. Relacija (3.) 5 važi za svaku zatvenu putanju u elektstatičkm plju. Važi za vakuum, nelineane dielektike (lineane hmgene dielektike i lineane nehmgene dielektike) za sve slučajeve. Važi i za vemenski knstantne (stalne) stuje. Plja za kja važi elacija (3.) nazivaju se knzevativna. Relacija (3.) se, za naš pime, kji je sasvim pšti, mže napisati vak B Edl + Edl, dnsn Edl Edl A Iz matematike je pznat da je A B A B E dl B ili pi pmeni smea ketanja ketanja menja se sme dl pa se mže umest dl staviti - dl (pmena ijentacije putanje ekvivalentna je pmeni znaka), tak se dbija da je AaB A Edl Edl AbB Edl Psle delenja sa, dbija se E dl Edl (3.) B dakle sledi zaključak da A Edl AaB AbB ne zavisi d blika putanje između A i B, pa su jednačina (3.) i jednačina (3.) ekvivalentne (jednačinu (3.) sm izveli iz jednačine (3.)) i u suštini izažavaju zakn džanja enegije za elektstatičk plje. Zaključak iz jednačine (3.) služi ka snva za definisanje ptencijala elekičng plja. B A A B 3.3. Definicija ptencijala elekičng plja. Razlika ptencijala. Napn Osbina elektičng plja da ad pi penšenju ne zavisi d blika putanje, već sam d njenih kajnjih tačaka mgućuje da se svaka tačka plja piše jednm skalanm veličinm, tzv. ptencijalm. Odabeim pizvljn jednu tačku R u plju. Nazvaćem je efeentna tačka. Kličnik 5 Mže se izvesti i iz Kulnvg zakna.

21 A el. siladadr R A Edl V definiše ptencijal tačke A u dnsu na efeentnu tačku R i izažava se elacijm V A R A Pnekad se umest V kiste i duge znake, na pime ψ. bzim da se d elacije za V (ptencijal) dšl pek elacije za A (ad) vidi se da je ptencijal u nekj tački bjn jednak adu kji bi elektične sile izvšile kada bi jediničn pbn pteećenje penele iz tačke A u efeentnu tačku R. Izb efeentne tačke je uglavnm pizvljan 6. U paksi se najčešće uzima tačka na pvši zemlje. Pšt je Zemlja pvdna sve njene tačke su na istm ptencijalu a t je ekviptencijalna pvš, št ćem pkazati kasnije. Ptencijal efeentne tačke je V R je se tačke pklapaju, tj. R Edl V R Edl Edl. R Uzima se da je ptencijal Zemlje nula. Razlika ptencijala dve tačke (slika 3.4), u skladu sa definicijm ptencijala je V A V B R R C Edl Edl Edl + A B R A A B R Edl lika 3.4. Odeđivanje azlike ptencijala tačaka A i B B Kak E dl ne zavisi d putanje između A i B, svejedn je da li je R na putanji ili ne, pa se A mže pisati V A V B št pedstavlja definiciju azlike ptencijala u tačkama A i B. Razlika ptencijala čigledn ne zavisi d plžaja efeentne tačke. Pethdna definicija važi u elektstatičkm plju. Razlika ptencijala se naziva i elektični napn ili napn između tačaka A i B, tj. ti nazivi su ekvivalentni. Napn se značava sa U, a jedinica je [V] št se čita vlt. Napn između tačaka A i B je U V V AB B A A Edl B 6 Pi pačunima, za tela knačnih dimenzija efeentna tačka se bičn bia u besknačnsti, a za tela neganičenih dimenzija (na pime vema dug pvdnik) bia se u knačnm delu psta.

22 Iz definicine elacije sledi da je U AB U BA Napn je usmeena skalana veličina. Odeđuje se svjim efeentnim smem i algebaskim intenzitetm u dnsu na taj sme. Refeentni sme napna se definiše pek indeksa ili gafički. Petpstavlja se da je tačka kju značava pvi indeks na višem ptencijalu. Ak se značava gafički, nda se kd tačke, za kju se petpstavlja da je, na višem ptencijalu stavlja znak +. Ak se u ezultatu pačuna dbija negativna vednst, znači da je tačka značena pvim indeksm, u stvai, na nižem ptencijalu. Očigledn ak znam E u svim tačkama neke putanje d A d R mže se izačunati i ptencijal tačke A (V A ) u dnsu na R. Pime 3.. Odediti ptencijal u nekj tački P plja tačkastg naelektisanja u dnsu na efeentnu tačku R (slika 3.5). Plazim d definicine elacije V P R P Za putanju integacije mžem izabati pizvljnu (bil kju) putanju, pa zat biam nu kja mgućuje najlakše izačunavanje integala, t je PP R (slika 3.5), na snvu čega je V P P R P Edl R R ( E, dl) + E( ) d cs( E, d) Edl + Edl E ) dl cs + P P s bzim da je uga ( E, dl )π/, a uga ( E, d ). P ( E( ) d, P P lika 3.5. Odeđivanje ptencijala tačke u plju tačkastg naelektisanja Kak je intenzitet elektičng plja tačkastg naelektisanja, u tački na astjanju d centa naelektisanja E( ), t je R R d R V P d P R P P dnsn V P P R Ak se zamisli da je R u besknačnsti, tada R, / R, pa je P (3.3)

23 VP, št pedstavlja ptencijal tačke P u plju tačkastg naelektisanja, za efeentnu tačku u besknačnsti. U pslednjj elaciji indeks P je izstavljen ka nepteban. Izaz važi i za negativn tačkast naelektisanje. Kisteći izaz (3.3) lak se dlazi d azlike ptencijala (napn) između tačaka A i B u plju tačkastg pteećenja (A je na astjanju A, a B na astjanju B d pteećenja) V A VB U AB A B 3.4. Ekviptencijalne pvši. Veza između ptencijala i vekta jačine plja Ekviptencijalne pvši su pvši čije su sve tačke na istm ptencijalu. ličn ekviptencijalne linije su linije čije su sve tačke na istm ptencijalu. Na pime ekviptencijalne linije tačkastg naelektisanja su kužnice, a ekviptencijalne pvši sfee, je su pema elaciji V sve tačke na istm astjanju d naelektisanja na istm ptencijalu. Psmatajm dve bliske tačke A i B (na astjanju dl ) na nekj ekviptencijalnj pvši (slika 3.6). lika 3.6. U svim tačkama ekviptencijalne pvši E je nmalan na tu pvš Razlika ptencijala u tačkama A i B je nula (p definiciji ekviptencijalne pvši). Takđe je p definiciji ( E dl) VA VB Edl Edl cs, E dl ). (znak integala ne pišem, je imam sam jedan član Kak je ptebn da je, p petpstavci, V A V B, t je mguće sam ak je ( E, dl )π/ (pi E, i dl ). Pšt su A i B pizvljne tačke, datle sledi da je vekt jačine elektičng plja nmalan na ekviptencijalne pvši (linije sila plaze kz ekviptencijalne pvši pd pavim uglm). Između E i V pstji jednstavna veza, kju ćem izvesti. Psmatajm dve bliske tačke A i B u elektstatičkm plju (slika 3.7). Neka se nalaze na x si. Neka ptencijal aste u smeu x se, pa je VB VA + dv a azlika ptencijala tačaka A i B je 3

24 V A ( V + dv ) dv V V (3.4) B A A lika 3.7. Odeđivanje kmpnente E u smeu x-se pmću pmene ptencijala u dve bliske tačke A i B Kak su tačke, p petpstavci, bliske (na astjanju dx, slika 3.6), azlika ptencijala se mže dbiti i elacijm gde je ( E, dx) Edx csα Exdx VA VB E dx Edx cs (3.5) Iz jednačine (3.4) i (3.5) se dbija V dakle sledi E x E csα. V dv A B E x dv ( x) dx a t pedstavlja izaz za intenzitet kmpnente E u smeu x se. Na sličan način se dbija elacija za intenzitet kmpnente E u smeu stalih sa, dnsn u genealisanm pavcu. Pema tme ak se zna ptencijal u nekj tački, intenzitet kmpnenata E, u bil km smeu, u tj tački mže da se izačuna. Znak - znači da je sme E ka susednj ekviptencijalnj pvši nižeg ptencijala. Past ptencijala je najbži u smeu suptnm d smea vekta E (α 8 ). Na ekviptencijalnj pvši je dv, pa je E x, a t znači da je E nmaln na pvš, tj. ima sam nmalnu kmpnentu. E x dx 3.5. Elektični dipl Pd elektičnim diplm se pdazumeva sistem d dva jednaka pteećenja suptng znaka (slika 3.8). Najčešće se smata da je astjanje između pteećenja mng manje d dstjanja tačaka dipla u kjima deđujem plje ili ptencijal. Pjam dipla ćem kistiti kd pučavanja pnašanja dielektika u elektstatičkm plju. Pizvd d naziva se mmenat elektičng dipla i kaakteiše dipl i p ijentaciji i veličini, ka št pisuje tačkast naelektisan tel. Vekt d je usmeen d negativng ka pzitivnm pteećenju. p 4

25 lika 3.8. Elektični dipl i njegv mmenat Bez izvđenja, navdim da je ptencijal na dstjanju V d p >> d d dipla Plje i ptencijal dipla u tačkama dalek d dipla zavise sam d p. Tak p u ptpunsti kaakteiše dipl ka št pisuje tačkast naelektisanje. amstaln izvesti izaz za elektičn plje i ptencijal dipla Ptencijal kji stvaa kntinualna aspdela pteećenja U slučaju pvšinski aspdeljenih pteećenja izdelim naelektisanu pvš na elementane pvši (pvšinice) d (slika 3.9). Na tj pvšinici se nalazi elementan (tačkast) pteećenje d σd, pa je ptencijal kji u tački P (slika 3.9) stvaa t (tačkast) pteećenje, na snvu izaza za ptencijal tačkastg pteećenja) d σd dv 4 πε lika 3.9. Odeđivanje ptencijala pvšinske aspdeljeng naelektisanja Kak je ptencijal skalana veličina, ukupni ptencijal se dbija ka algebaski zbi (tj. integal) vakvih elementanih ptencijala σd V dv ličn se pstupa u slučaju zapeminski aspdeljeng pteećenja. Zapemina sa naelektisanjem se deli na veliki bj malih (elementanih) zapemina dv (slika 3..). U zapemini dv se nalazi d ρdv. Ptencijal kje t d (tačkast pteećenje) stvaa u tački P (slika 3.) je d ρdv dv Ukupni ptencijal je zbi (integal) elementanih ptencijala ρdv V dv Kd linijski aspdeljeng naelektisanja je V dv V l V l dl 5

26 lika 3.. Odeđivanje ptencijala zapeminski aspdeljeng naelektisanja Ptencijal elektstatičkg plja kje ptiče d tačkastih, zapeminskih, pvšinskih i linijskih naelektisanja u vakuumu, dbija se elacijm n k ρdv σd dl V k k V l Ptencijal zapeminskg, pvšinskg i linijskg naelektisanja u vakuumu deđuje se, dakle, na isti način ka i elektičn plje: naelektisanje se izdeli na dgvaajuće elemente, svaki elemet se psmata ka tačkast naelektisanje, dedi se ptencijal svakg elementa, pa se nda ptencijali sabeu. Ptencijal više tačkastih naelektisanja se dbija skalanim sabianjem, št je jednstavnije d vektskg sabianja elektičnih plja tačkastih naelektisanja. Kd aspdeljenih naelekisanja integali su skalani, pa se ptencijal lakše ačuna neg elektičn plje, gde su integali vektski. Ak znam elektični ptencijal, nda je vekt E jednznačn deđen u svakj tački 7, št ćem kasnije pkazati. Zbg tga je u analizi elektstatičkg plja, jednstavnije aditi sa ptencijalm V neg vektm E (lakše je aditi sa skalanim neg vektskim veličinama) Pimei deđivanja ptencijala kntinualn aspdeljenih naelektisanja Pime 3.. Odediti ptencijal u pizvljnj tački M na z-si kužne kntue plupečnika a, avnmen naelektisane ukupnim naelekisanjem (slika 3.a, ista ka slika.a). lika 3.. Odeđivanje ptencijala u tački na si nmalnj na avan avnmen naelektisane ukupnim naelektisanjem: a) kužne kntue, b) plukužne kntue 7 Obnut, ak je pznat vekt E, ptencijal je deđen sa tačnšću d aditivne knstante, kja je uslvljena plžajem efeentne tačke. 6

27 Izdelim kntuu na elemente dl. Pdužna gustina naelektisanja kntue je /( πa ) naelektisanje jedng elementa je dl dv, gde je naelektisanja je +, d dl, a ptencijal tg ( tačkastg ) naelektisanja je a z. Pema elaciji za ptencijal linijski aspdeljeng dl V dl a 4 4 π πε πε l l a + z u dnsu na efeentnu tačku u besknačnsti. Ak se upedi v izvđenje sa izvđenjem elacije za E, u istm slučaju (pime., slika.), čigledn da je ptencijal lakše dediti (je se ne sabiaju vekti u pstu). Pime 3.3. Odediti ptencijal u pizvljnj tački M na z-si avnmen naelektisane plukužne kntue (linije, niti) plupečnika a, avnmen naelektisane ukupnim naelekisanjem (slika 3.b, ista ka na slici.a). Lak se dlazi d ezultata V. 4 πε a + z Pime 3.4. Odediti ptencijal u pizvljnj tački M ( x,,) na x-si, kja je nmalna na avnu nit knačne dužine avnmen naelektisane pdužnm gustinm naelektisanja 3.a). (slika lika 3.. Odeđivanje ptencijala u tački u klini avnmen naelektisane avne niti knačne dužine, za efeentnu tačku: a) u besknačnsti, b) u knačnm delu psta Usvjim dgvaajući kdinatni sistem (slika 3,). Izdelim nit na elemente dl dz. dz Ptencijal naelektisanja tg elementa u tači M je dv, gde je x + z, a ukupni 7

28 z a dz z a a + x + a V ln z + x + z ln z a a ptencijal je ( ) 8 z a x + z a + x + dnsu na efeentnu tačku u besknačnsti (učite da je nit knačne dužine). Ak zamislim da je nit sve duža ( a +, besknačn duga nit), ali da jj pi tme pdužn naelektisanje ( ) staje knstantn, ptencijal u dnsu na efeentnu tačku u besknačnsti pstaje besknačn veliki je a + x + a a + x V ln ln a + x + a πε x + a. Očigledn, kd besknačne avnmen naleektisane niti, efeentna tačka nemže biti u besknačnsti. Dkaz da se efeentna tačka nemže uzeti u besknačnsti, mže se izvesti na jš jedan način. Na snvu analize niti sa slike.3a, znam da je elektstatičk plje besknačn dugačke pavlinijske avnmen naelektisane niti adijaln (slika 3.b), a njegv intenzitet na astjanju d niti je E (videti pime.6). Uzmim da je efeentna tačka R na knačnm astjanju πε R d niti. Radi jednstavnsti, psmatajm tačku A, kja je na astjanju A ptegu R (slika 3.b). Ptencijal tačke A je V A R R Edl A d πε πε efeentna tačka ide u besknačnst ( + ) i izaz za ptencijal divegia. R Napmenim da dbijeni izaz za ptencijal besknačne niti, A V u d niti, a nalazi se na ln R A. Ak R A ln, važi i ak πε A tačke A i R nisu na istm ptegu, št se lak dkazuje na isti način ka št sm izveli izaz za ptencijal tačkastg naelektisanja sa slike Integal ash + cnst. ln( x + x + a ) + cnst. x dx + a x a je tablični. 8

29 4. GAUOV ZAKON Pnekad se naziva i Gausva teema. T je matematički izaz kji pisuje vezu između vekta E na nekj zatvenj pvši i ukupng viška naelektisanja unuta te pvši. Za izvđenje Gausvg zakna ptebn je pznavanje pjma fluksa vekta. 4.. Fluks vekta elektičng plja blika Reč fluks ptiče d latinske eči fluxus, št znači kji ptiče i dnsi se na pizvd A gde je A - bil kakav vekt, a - vektski element pvši (slika 4.), kji se definiše sa n gde je n - t (jedinični vekt) nmalan na pvšinicu (nmala na pvšinu najblje kaakteiše plžaj pvšinice ). lika 4.. Pedstavljanje pvšinice vektm Fluks E kz pvšinicu je Ψ Ekz E i p definiciji je skalana veličina. Zbg tga se fluks kz bil kju pvš mže da izačuna ka zbi flukseva kz sve pvšinice kje sačinjavaju pvš (slika 4.), tj. Ψ E E + E n E n n E k k (4.) k lika 4.. Delenje pvši na pvšinice adi deđivanja fluksa E 9

30 Ak je E p smeu i intenzitetu pmenjiv p pvši, elacija (4.) će biti utlik tačnija uklik su pvšinice manje, tj. kada d s, pa je Ψ E E Jedinica za fluks je [(V/m)m ] [Vm]. Definicija fluksa važi za bil kji vekt i za bil kju pvš. T mže biti stvana pvš, ali je najčešće, za ptebe pačuna, neka zamišljena pvš. Pime 4.. Odediti izaz za fluks elektičng plja kz avnu pvš u hmgenm elektičnm plju. Zadatak mžem ilustvati slikm 4.3a, gde je n nmala na pvš, a α uga između nmalne na pvš i vekta E. d s a) b) lika 4.3. Fluks E kz pvš: a) pd pizvljnim uglm pvši u dnsu na E, b) kada je pvš U pštem slučaju Ψ E nmalna na E ili paalelna E ( E, ds) Eds cs( E, n) E ds Eds cs Eds csα Kak je plje hmgen ( E cnst.) i pvš avna (αcnst.), t se E i csα mgu izvući isped integala, pa se dbija ΨE E csα ds E csα Za α (pvš nmalna na linije E ), čigledn E i n su klineani (csα), pa je ψ E E. Za απ/ (pvš paalelna linijama E ), E i n su nmalni (csα), pa je ψ E. U vm slučaju linije plja čigledn ne pdiu kz pvš, ka na pime na slici 4.3b, gde je pikazana plča paalelna na linije sila plja. Na istj slici je pikazana plča nmalna na linije sila plja, gde je čigledn da sve linije plja pdiu kz plču (maksimalan fluks). Ak se adi zatvenj pvši, nda se, p dgvu, usvaja da je n usmeen uvek uplje (izvan) pvši (slika 4.4), a kd pačuna fluksa pethdnim izazm, na integal se stavlja kužić (da bi se naznačil da se adi zatvenj pvši), tj. ΨE E d s 3

31 Očigledn, fluks E hmgeng plja kz zatvenu pvš je jednak nuli 9. lika 4.4. Nmala na zatvenu pvš usmeena je d pvši uplje 4.. Izvđenje Gausvg zakna Psmatajm jedn pzitivn tačkast naelektisanje, i dedim fluks vekta E kz zamišljenu sfenu pvš plupečnika čiji je centa u naelektisanju (slika 4.5). lika 4.5. Odeđivanje fluksa E tačkastg naelektisanja kz sfeu plupečnika Vekt elektičng plja tačkastg naelektisanja na astjanju d centa naelektisanja dat je izazm E Vekt E je nmalan na sfeu u svim tačkama (uga ( n) E, je, slika 4.5), pa je ( E n) Eds E ds E dsn Eds cs, je je cs, a kak je intenzitet E isti u svim tačkama sfee (videti pdpglavlje.), t je E d s gde je 4π pvšina sfee plupečnika. Eds E ds E4π Ak se, u pethdni izaz, zameni izaz za intenzitet E tačkastg naelektisanja, dbija se E d s π 4 4 πε ε 9 Je je Ψ ds E ds E E. Učiti da je, kada se adi zatvenj pvši, d s sfeu li kcku (pkažite t sami), ali se mže dkazati da važi i upšte (za bil kakvu zatvenu pvš). 3. Ov je čigledn za

32 Kak su veličine na desnj stani jednačine knstantne, sledi da je ψ E isti kz sve sfee sa centm u tački gde je naelektisanje (ne zavisi d veličine sfee, kz sve sfee pdie isti bj linija E ). Pkazat ćem da je Ψ E ε i kada je bil kakva (pizvljna) zatvena pvš kja buhvata naelektisanje. Zamislim da sm zapeminu celkupng plja pteećenja izdelili na veliki bj knusa (pizvljng peseka) sa temenima u pteećenju, d kjih je jedan pikazan na slici 4.6, gde je ds de te zatvene pvši kju peseca knus. lika 4.6. Fluks E je isti kz sve peseke knusa Odedim dψ E kz ds dψ E E ds Eds cs( E, ds ) Eds csα Kak je ds csαds (pvš nmalna na knus), t psle zamene izaza za E, dbijam ds dψ E Eds ds te fluks E kz pesek tankg knusa ne zavisi d ugla kji pvšinica peseka ds zaklapa sa tm. Kak ψ E zavisi d? Pvšinica ds, čigledn, pedstavlja snvicu tankg pavg knusa, a je njegva visina. Neki dugi nmalan pesek ds dati će dugi knus snvice ds i visine. vi takvi knusi su slični, pa važi,,, ds ds ds...,,, Pema tme fluks dψ E kz bil kji pesek tankg knusa, na bil km dstjanju d i pd bil kjim uglm α je isti, tj. ψ E je nezavisn i d i d α. T znači da pi ačunanju dψ E mžem staviti bil kje α (pa i α), i bil kje, pa i cnst., tj. ist za sve zamišljene knuse na kju izdelim pizvljnu zatvenu pvš, a ta pvš se nda svdi na zamišljenu sfeu sa centm u naelektisanju i pizvljng plupečnika. T znači da je fluks ψ E kz zatvenu pvš pizvljng blika kja buhvata tačkast naelektisanje dat jednačinm E ds (kužić na integalu značava zatvenu pvš ). Pi izvđenju sm petpstavili >. Ak bi bil <, nda je uga ( E, n )8 (a ne nula), pa je E ds E ds π 4 ε ε pa gnji izaz važi za algebasku vednst naelektisanja, a n takv i jeste. 3 ε

33 dnsn Ak unuta zatvene pvši ima n tačkastih naelektisanja, nda je E ds Ψ ε ( E + E E n ) ε + Ψ + ε Ψ ( ) n n ε ds n E ds E ds + ukupn u ε E ds št pedstavlja Gausv zakn, pi čemu je algebaski zbi svih naelektisanja u (višak naelektisanja). Gausv zakn važi i ak pstje pteećenja izvan pvši. Pkažim t (slika 4.7). E n ds lika 4.7. Fluks E je istg intenziteta, ali suptng znaka kz ds i ds Kak je α tup uga, t je csα < (negativan), a α je šta uga, t je csα > (pzitivan), pa je d ψ <, a d ψ >. Ranije je pkazan da je d ψ dψ, tj. fluks je isti kz sve peseke knusa (linije vekta elektičng plja su adijalne, pa se unuta jedng knusa, kji je takđe adijalan, nalazi isti bj linija, bez bzia gde da knus pesečem), pa je d ψ + dψ a t znači da je ukupan fluks kz pvš jednak nuli. Ovaj zaključak važi i za svaku dugu aspdelu pteećenja van pvši. T znači da Gausv zakn važi za bil kji sistem pteećenja u vakuumu. Kak su svi mateijali (supstance) sačinjeni d naelektisanih čestica kje se nalaze u vakuumu, t Gausv zakn važi u svim slučajevima, ak se pd pdazumeva ukupan višak naelektisanja unuta zatvene pvši Pimei pimene Gausvg zakna Dve su gupe pimena: a) dkazi nekih pštih sbina elektstatičkg plja. 33

34 b) izačunavanje vekta E u nekim jednstavnim ali važnim slučajevima (št je pimenm Gausvg zakna znatn pstije neg na duge načine). Pime 4.. Šta mžem da zaključim aspdeli naelektisanja unuta neke zapemine V ak petpstavim da je u svakj tački unuta nje E D ešenja mžem dći sledećm diskusijm: Ak na pizvljnu zatvenu pvš čije su sve tačke unuta te zapemine V, pimenim Gausv zakn datle je ukupn u Ed s, ε ε ukupn u Ed s je je E u svakj tački zapemine, pa i pvši. Ov mže da znači da u zapemini V upšte nema naelektisanja ili da nema viška naelektisanja (ista je kličina pzitivng i negativng). Iz dugg bi se mgl zaključiti da bi u jednm deliću mgl biti više pzitivng a u dugm negativg naelektisanja. Ali kak Gausv zakn ma da važi i za bil kju dugu zatvenu pvš, pa i neku pvš kja se nalazi unuta pvbitn psmatane pvši, a E u svim tačkama, datle sledi da ni u jednj tački nemže biti viška naelektisanja. U pdpglavlju 5. ćem videti da v važi u svim tačkama unuta pvdnih tela. ada ćem uaditi neklik pimea deđivanja elektičng plja Gausvim zaknm. Da bism mgli da pimenim Gausv zakn, mam nešt znati bliku linija elektičng plja E, a t mam zaključiti na snvu blika tela i pznatih sbina E, kje sm naučili anije. Pvi kak u ešavanju vakvih zadataka je učavanje simetije i ustanvljavanje pavca i efeentng smea vekta E (dakle t se ne ustanvljava na snvu izaza za Gausv zakn). Zatim se na snvu učene simetije, dabee pgdna zatvena pvš i na nju pimeni Gausv zakn. "Pgdna pvš" znači da je dnsu na delve te pvši vekt E ili nmalan ili tangencijalan. Na delvima pvši gde je E paalelan pvši, fluks je jednak nuli. Na delvima gde je E nmalan na pvš, ksinus ugla, između vekta E i vektskg elementa pvši ds, je jednak jedinici, a ak je algebaski intenzitet knstantan, mže se izvući isped integala, št lakšava ešavanje. Pime 4.3. Odediti vekt E i ptencijal u klini avnmen naelektisane lpte p pvši ukupnm kličinm naelektisanja (napmenim da je svaka usamljena pvdna naelektisana lpta avnmen naelektisana p pvši, št ćem videti u pdpglavlju 5.). Elektičn plje bzim da je avnmen aspdeljen, elektičn plje E je adijaln, sličn ka kd tačkastg naelektisanja, pi čemu linije E izviu iz lpte (>), pa je intenzitet E isti u svim tačkama na istm astjanju d centa lpte, tj. na pvši zamišljene sfee kncentične sa lptm (sfena gemetija). Kak sada pavac i sme E znam, teba jš dediti pmenu intenziteta u zavisnsti d astjanja u svim tačkama psta. 34

35 ) Psmatajm pv tačke izvan lpte, tj. za > a. Zamislim sfeu pvši, plupečnika > a (slika 4.8). E je svuda upavan na element pvši ds, a intenzitet mu je isti E(). Na snvu Gausvg zakna je dakle, za Eds, gde je d s dsn ε > a, za levu stanu Gausvg zakna dbijam Ed s Eds cs Eds E ( ) ds Ed s E 4π pa se izaz za Gausv zakn svdi na E ( ) 4π, dakle je dnsn ( ) E ( ) ε lika 4.8. Izačunavanje E u klini avnmen naelektisane lpte Dakle izaz je isti ka i za tačkast naelektisanje kje bi bil u centu lpte. ) Psmatajm sada tačke unuta lpte, tj. za < a. Ak bi unuta lpte pstjal plje, n bi mal imati istu simetiju ka plje izvan lpte. Pimenm istg zakna na sfeu unuta lpte, tj. za < a dbijam ε je je celkupn naelektisanje, p petpstavci iz zadatka, aspdeljen p pvši lpte, pa ga nema unuta lpte, pa ni unuta bil kje zamišljene sfee unuta lpte. Pema tme je E Ptencijal ) Tačke izvan lpte, tj. > a : ( ) Ak je pznata pvšinska gustina naelektisanja lpte σ, nda se ukupn lpte mže izačunati ka σ lpte σ π 4 a. Kada se taj izaz za zameni u pslednji izaz za E, dbija se Za a (plje na pvši lpte), dbija se E σa ε ( ) Učiti, da u vm slučaju, plje na pvši ima sam nmalnu kmpnentu. Videti i deljak 5.. E ( a) σ ε 35

36 Kak je elektičn plje ist (dat istim izazm) ka u slučaju tačkastg naelektisanja, t je i ptencijal dat istm elacijm (u dnsu na efeentnu tačku u besknačnsti), tj. Za V Ed l Ed cs a (sve tačke na pvši lpte), dbijam ) Tačke unuta lpte, tj. < a : a V a d, dakle je V ( ) a ( ) Edl Ed + Ed + Ed Va V a a Napmena: kd pvg integala E unuta lpte, pa je taj član nula, a blik dugg integala je isti ka pethdni (kji sm već ešavali), pa je i ešenje istg blika. Dakle ptencijal u svim tačkama unuta ve lpte je isti ka i ptencijal na pvši lpte. Gafički pikaz plja i ptencijala, u tačkama na astjanju d centa lpte, izgleda ka na slici 4.9. a lika 4.9. Zavisnst intenziteta E i ptencijala avnmen naelektisane lpte p pvši d astjanja d centa lpte Pime 4.4. (uaditi samstaln ka dmaći zadatak) Odediti elektičn plje i ptencijal u svim tačkama lpte avnmen naelektisane p zapemini zapeminskm gustinm naelektisanja ρ. Zavisnst plja i ptencijala, d astjanja d centa lpte, pikazati gafički. Rezultat: Elektičn plje za ρ ε 3 a > a je E( ), a za < a 3 E ρ 3ε. je ( ) 36

37 Ptencijal za ρ 3ε 3 a > a je V ( ), a za < a ρ je ( ) ( a ) ρa V + 6ε 3ε. Na slici 4. su pikazani zavisnst plja i ptencijala d astjanja d centa lpte: lika 4.. Zavisnst intenziteta E i ptencijala avnmen naelektisane lpte p zapemini d astjanja d centa lpte Pime 4.5. Odediti plje u klini vema velike, teijski besknačn velike, avne plče (naelektisana avan), avnmen naelektisane p pvši naelektisanjem pvšinske gustine σ. Elektičn plje mžem dediti na sledeći način: Na snvu simetije mžem zaključiti da je elektičn plje nmaln na pvš avni (avanska gemetija), a plje je usmeen d avni ak je plča naelektisana pzitivnim naelektisanjem. Intenzitet vekta elektičng plja je isti u svim tačkama na istm dstjanju d avni sa be stane avni. bzim na blik plja, da bism dedili intenzitet E, zamislim pvš blika pavg valjka (mže i kcke, dnsn kvada), kji je pstavljen nmaln na avan pvši, tak da mu je mtač paalelan sa linijama E, a t znači i nmalan na bazise valjka (slika 4.). lika 4.. Odeđivanje elektičng plja besknačn velike, avne plče Pimenm Gausvg zakna E ds ukupn u na zatvenu pvš valjka (mže i ε kcka dnsn paalelpiped), dbija se (suma flukseva kz dve snve i mtač valjka) ukupn u + + (*) ε B B O 37

38 Fluks kz mtač jednak je nuli, je su linije E paalelne sa mtačem, pa nema pdianja linija E kz pvš mtača), ili, matematički, uga vekta pvšine mtača i E je 9, pa je skalani pizvd ta dva vekta jednak nuli. σ Fluks kz bazise je E E cs E, pa se elacija (*) svdi na E + ε gde je σ kličina naelektisanja na delu avni buhvaćenj valjkm, pa je knačn σ E ε etite se da sm d istg ezultata dšli u pimeu na slici., ali na mng teži način. Pime 4.6. Odediti elektičn plje u klini dve vema avne plče, avnmen naelektisane p pvši naelektisanjem pvšinske gustine σ, ali suptng znaka. Plazeći d ešenja u pimeu 4.5 (slika 4.a), pimenm pincipa supepzicije dbija se slika 4.b, gde je sa leve stane pikazan elektičn plje pzitivn naelektisane plče kada je usamljena, a sa desne stane plje dve plče naelektisane suptn: plje pzitivn naelektisane plče pikazan je punim linijama, a negativn naelektisane ispekidanim linijama. Očigledn da je elektičn plje u bil kjj tački izvan plča jednak nuli (pništava se), dnsn izvan plča nema plja, a u pstu između plča plje je usmeen d pzitivn ka negativn naelektisanj plči (slika 4.c), a intenzitet mu je dvstuk veći, neg kada se adi jednj usamljenj plči, tj. σ E ε a) b) c) lika 4.. Elektičn plje besknačn velike avni (a), dve takve avni naelektisanje naelektisanjima suptng znaka (b i c) Ovakav sistem se naziva kndenzat. Plje između plča, ak su plče avne i na jednakm astjanju, je hmgen, sim na ivicama plča, gde plje nije hmgen (tzv. ivični efekti), a azlg ćem videti u pdpglavlju 5.. Pime 4.7. Odediti elektičn plje vema duge (teijski besknačn duge) niti (vlakna) avnmen naelektisane pdužnm gustinm naelektisanja, slika 4.3a. Ov je pime cilindične gemetije. Zbg simetije, elektičn plje mže imati sam adijalnu kmpnentu, i mže zavisiti sam d nmalng astjanja d niti, ali je istg intenziteta u svim tačkama na istm astjanju, a t u pstu pedstavlja cilinda plupečnika (slika 4.3b). 38

39 bzim na blik plja, vde je pgdn za zatvenu pvš uzeti valjak čija se sa pklapa sa sm niti (št je inače pgdn u pimeima cilindične gemetije). lika 4.3. Ravnmen naelektisana besknačn duga nit (a) i deđivanje njeng elektičng plja (b) Kak je E adijaln (slika 4.3b), fluks vekta E kz bazise valjka je nula (vekt E paalelan bazisima), pa staje sam fluks kz mtač, gde je E nmalan na pvš i knstantng intenziteta (s bzim na simetiju), pa se za levu stanu Gausvg zakna dbija Ed s Ed s + Ed s + Ed s + + Eds E ds Eπh b b Ukupn naelektisanje buhvaćen valjkm je naelektisanje na dužini h unuta cilinda, a n je h, pa je desna stana Gausvg zakna, u vm slučaju, h / ε. Kada se izjednače leva i desna stana Gausvg zakna, dbija se, knačn E πε etite se da sm d istg ezultata dšli u pimeu.6 (slika.3), ali na kmplikvaniji način (astjanju tam dgvaa x ). Napmenim, a t se mgl učiti i iz pikazanih pimea, da se blik zamišljene zatvene pvši, za pimenu Gausvg zakna, bia zavisn d simetije sistema naelektisanja. Lpta ima sfenu simetiju, pa se za pvš uzima blik sfee, za štap, šipku ili pvdnik cilindičng blika, uzima se pvš blika valjka, za sistem u bliku avni (avanska simetija) pvš blika valjka, kvada ili kcke. 39

40 5. PROVODNICI U ELEKTROTATIČKOM POLJU 5.. Osbine elektičng plja u pisustvu pvdnih tela Pvdnici su mateijali kji u svjj stuktui imaju veliki bj tzv. slbdnih elektičnih pteećenja. (U većini tehničkih pimena t su elektni.) Ona pčinju da se keću u smeu delvanja i najmanje elektične sile na njih. T je snva za azumevanje uticaja (pnašanja) pvdnih tela u elektičnm plju u kme se na nalaze. Pvdnici su vema značajni za elekttehniku. Mgl bi se eći da bez pvdnika ne bi ni bil elekttehnike. U elektstatici dnsn elektstatičkm plju, p definiciji, ne mže biti usmeeng makskpskg ketanja elektičnih pteećenja, pa ni u pvdnicima. T znači da u elektstatici ni u jednj tački u unutašnjsti pvdnih tela ne mgu na slbdna pteećenja delvati elektične sile (je bi ne izazvale sistematsk, makskpsk ketanje tih pteećenja u smeu sile). Pšt je elektična sila na svak elementan elektičn pteećenje sazmena E (setim se da je F E ) datle sledi da u elektstatičkm plju u svim tačkama u unutašnjsti pvdnih tela elektičn plje je nula, tj. E (pva sbina) Razume se van naelektisanih pvdnih tela, u vakuumu, plje pstji. Na snvu. sbine i Gausvg zakna mže se dkazati da nigde u unutašnjsti pvdnika nemže biti makskpskg viška naelektisanja. Ak pimenim Gausv zakn na pizvljnu pvš unuta nekg naelektisang tela, s bzim da je u svim tačkama E (pva sbina), datle sledi da ma biti jednak nuli, da bi i desna stana jednaksti u Gausvm zaknu bila zadvljena (videti pime 4. kd pimene Gausvg zakna), tj. 4 ukpn u Kak je bil kakva pvš, t znači i vl mala, t znači da ni u jednj tački nemže pstjati višak pteećenja u pvdnm telu, dakle sledi zaključak da se višak naelektisanja na pvdnim telima aspdeljuje u vl tankm slju uz pvš tela. U unutašnjsti pvdnih tela nema viška naelektisanja, tj. ρ (duga sbina) bzim da ni ta naelektisanja uz pvš ne mgu da se keću (elektstatika) datle sledi da su linije vekta elektičng plja nmalne na pvš pvdnika (u suptnm bi pstjala kmpnenta plja kja bi izazvala ketanje p pvši pvdnika), tj. (teća sbina) T se mže dkazati i na sledeći način. Petpstavim da E ima i nmalnu i tangencijalnu kmpnentu na pvš pvdnika. Nmalna kmpnenta teži da pteećenja uz pvš istgne iz pvdnika, ali t u nmalnim uslvima nije mguće, pa d ketanja ne dlazi. Tangencijalna kmpnenta bi izazvala sistematsk makskpsk ketanje naelektisanja p pvši pvdnika, a t, p definiciji, u elektstatici, nije mguće, pa tangencijalna kmpnenta ma biti jednaka nuli na pvši pvdnika u elektstatici, dnsn E (četvta sbina) t Težnja da se slbdni nsici keću u pvdniku pstji i iz dugih azlga: usled azlike u tempeatui pjedinih tačaka pvdnika (Tmsnv efekat), slbdni nsici se keću d tačke na višj ka tački na nižj tempeatui; usled azličite kncentacije nsilaca naelektisanja u azličitim delvima pvdnika, pstji težnja da se kncentacija svuda izjednači (diuzija, psebn inteesantna kd plupvdnika). lbdni nsici se hatičn keću (temičk ketanje) čak i kada ne pstji spljašnja pbuda. Ak se psmata mala zapemina, vektski zbi (ezultanta) temičkih bzina u tj zapemini pibližn je jednak nuli.

41 Imajući vidu anija azmatanja, u vezi sa situacijm kada je E nmaln na pvš pvdnika (pdpglavlje 3.4), zaključujem da su pvši pvdnih tela ekviptencijalne (št je dkazan tećm sbinm). Kak je vekt elektičng plja jednak nuli unuta pvdnih tela, datle sledi da je ptencijal svih tačaka unuta pvdng tela jednak ptencijalu na njegvj pvši. (videti pime 4.3. i sliku 4.9 kd pimene Gausvg zakna). Pkazali sm kakv je E unuta i na samj pvši pvdnih tela, u vakuumu. Klik je elektičn plje, u vakuumu, u nepsednj klini uz pvš pvdnika? T se mže pkazati analizm situacije ka na slici 5.. Petpstavim da plje ima be kmpnente (nmalnu i tangencijalnu). Zamislim tanku pavuganu kntuu C, čija se jedna stanica nalazi na samj pvši pvdnika (ili u pvdniku), a duga nepsedn uz pvš pvdnika, u vakuumu. lika 5.. Tangencijalna kmpnenta E je nula i na pvši pvdng tela i u vakumu nepsedn uz tu pvš Kak za svaku zatvenu pvš, u elektstatici, ma da važi C E dl t pimenm pethdne elacije na kntuu C, dbijam E dl + Edl + Edl + Edl Kak je kntua tanka, h, i E u pvdniku (i E t na samj pvši pvdnika) jednak nula, t dbijam dnsn l E t E u vakuumu blizu pvši pvdnih tela. t Ak je tangencijalna kmpnenta elektičng plja (nepsedn) uz pvš pvdnih tela jednaka nuli, znači da plje ima sam nmalnu kmpnentu. ada ćem dediti tu kmpnentu. 5.. Veza između gustine pvšinskg naelektisanja i vekta jačine plja uz pvš pvdnika Psmatajm vema pljsnat mali, zamišljen, tanak, pvdni valjak čija je jedna snvica u pvdniku naelektisanm pvšinskm gustinm naelektisanja σ, a duga u vakuumu uz pvš pvdnika (slika 5..). Pimenm Gausvg zakna na (zatvenu) pvš valjka, dbijam 4

42 Ed s buhv.u Leva stana Gausvg zakna mže se azdvjiti na četii integala: Ed s snvica u vakumu ε snvica u pvd. mtač u vakumu mtač u pvd. lika 5.. U tačkama blizu pvši pvdnih tela, u vakumu, E σ / ε Fluks E kz snvicu u pvdniku i mtač u pvdniku je nula, je je E. Fluks kz mtač u vakuumu je nula, je je E t. Očigedn, pstji sam fluks kz snvicu u σ vakuumu, kji je E cs E, pa je E, dnsn knačn se dbija ε σ E ( n) ε Pslednja elacija daje vezu između gustine pvšinskg naelektisanja σ na pvdnm telu i intenziteta E u vakuumu (ima sam nmalnu kmpnentu) u tački blizu pvši tela. Ak pveite vezu E i σ za slučaj pvši lpte avnmen naelektisane p pvši, valjka, avne pvdne plče, uveićete se da se dbija ista elacija (pgledati napmenu uz pime 4.3). Imati u vidu da se, zbg simetije, na vakvim telima naelektisanje aspdeljuje avnmen, tj. naelektisanja će se pmeati dk se tak ne aspede da sile kjima međusbn deluju ne budu uavntežene, a t će, zbg simetije, biti ak je aspdela naelektisanja avnmena. Učite da t nije mguće na kajevima avne plče, pa tu aspdela nije avnmena i plje nije hmgen (pstje ivični efekti). Kak se pteećenja aspdeljuju, ak tela nisu simetična? ada ćem detaljnije analiziati aspdelu pteećenja na usamljenim pvdnim telima aznih blika Raspdela pteećenja na usamljenim pvdnim telima aznih blika Mže se dediti na snvu sbina, i 4 i zaključka (kji sm upav izveli) da je Ranije sm pkazali da je intenzitet elektičng plja na pvši lpte avnmen naelektisane p pvši sa pvšinskm gustinm nalektisanja σ, Eσ/ε. U vektskm bliku vaj izaz se mže napisati ka E ( n) n, gde je n jedinična nmala na pvš lpte, usmeena d lpte. 4 σ ε

43 σ E ε Analiziaćem neklik pimea, kji su važni ne sam sa teijskg stanvišta, već i za inženjesku paksu. Pime 5.. Usamljena pvdna lpta (slika 5.3). lika 5.3. Višak pteećenja na usamljenj pvdnj lpti se aspdeljuje avnmen p pvši Opteećenja (kja su višak) su istg znaka (a nalaze se uz samu pvš, unuta pvdng tela nema viška naelektisanja), deluju jedni na duge dbjnim silama, te će se udaljiti jedni d dugih najviše št mgu (iz pvdnika nemgu da izađu), te se aspdeljuju avnmen uz samu pvš pvdnika (zbg sila kjima deluju jedni na duge i zbg simetičnsti tela). Na slici 5.3. avnmenu aspdelu naelektisanja simbličn značavam avnmen azmaknutim znacima + (petpstavka da je tel pzitivn naelektisan). Ranije sm izveli izaz za ptencijal na pvši lpte: V a a Izazim ga sada u funkciji pvšinske gustine naelektisanja. Kak je σ σ 4a π t je σ 4πa σ V a a a ε Ovaj izaz će nam pslužiti u daljj analizi. Pime 5.. Psmatajm naelektisan tel jajastg blika (slika 5.4). lika 5.4. Intenzitet E uz pvš naelektisanih pvdnih tela je, gub, bnut sazmean plupečniku kivine tela u psmatanj tački Osbina. kaže da je naelektisanje aspdeljen uz pvš, ali ne i kakva je gustina (gde je gušće, a gde eđe). Očigledn da će na zabljenim delvima gustina biti ista ali ne ista u tačkama A i B (na vhvima zabljenih delva, ak su neka manje a neka više šiljata). Odns se mže pceniti na snvu izaza za ptencijal lpte 43

44 σ V a ε Kak su pvši pvdnih tela ekviptencijalne (isti ptencijal svih tačaka), pa ak zamislim zabljene delve ka lpte, plupečnika a i b (slika 5.4), ma da važi σ a σ b Va Vb a b ε ε gde je σ iσ gustine naelektisanja u tačkama sa plupečnicima a i b, espektivn, dakle je a b σ b a σ b a tj. σ je bnut sazmen dnsu plupečnika kivine zabljenih delva. Plazeći d ve jednaksti i veze E i σ na pvši pvdnih tela ( E σ / ε, dakle je σ Eε, pdpglavlje 5.), dbijam σ a Eaε Ea σ b Ebε Eb Odatle pizilazi zaključak, da je najveća gustina viška naelektisanja na šiljatim delvima usamljenih pvdnih tela. Na tim delvima je i najveća jačina elektičng plja u vakuumu izvan tela. Relacije važe pibližn, je sm d njih dšli psmatajući tela blika lpte. Ova pjava ima pimenu kd gmbana (blika je šiljka), avina (na kilima avina se čest ddaju šiljati metalni delvi, na vhu kjih je nda jak elektičn plje, vazduh se jnizuje i znatan de naelektisanja kje nastaje usled tenja kila vazduh, dlazi u vazduh). Vazduh pstaje pvdan pi kitičnj jačini elektičng plja 6 V MV 4 V kv E k > m m cm cm Da bi u ptpunsti bjasnili pjave kd gmbana, ptebn je pznavati i pjavu elekstatičke indukcije Elektstatička indukcija Ima mng aznvsnih i važnih paktičnih pimena, a neke ćem bjasniti kasnije. Psmatajm nek naelektisan pvdn tel u u čijj klini nema dugih tela (ni naelektisanih ni nenaelektisanih). Naelektisanje će se p pvši tg tela aspdeliti p pavilu: σ b a σ b a Gustinm znakva + ili - na ctežu simbličn značavam gustinu pvšinskg naelektisanja, na pime tel A na slici 5.5a. Zamislim da sm vl bz, teijski tenutn, uneli u plje vg naelektisang tela (A) jedn nenaelektisan pvdn tel (B), značen ctkanm kužnicm na slici 5.5a. U tenutku kad se tel B nađe u plju pteećenja tela A, pketljiva naelektisanja u telu B pčinju da se keću pd dejstvm elektičnih sila. Pzitivna u smeu vekta elektičng plja, a negativna u suptnm smeu. Tak će se na jednj stani pvši tela B pjaviti pzitivna, a na dugj negativna pteećenja. Ta pteećenja stvaaju svje plje kje pstepen pništava n kje stvaaju pteećenja tela A u tačkama tela B. Taj pces se dvija u svim tačkama tela B dk ukupn plje ne bude nula. Naavn da pteećenja na telu B stvaaju plje i izvan tela B. T plje dvdi d pmene aspdele pteećenja i na telu A. Kada se v, takzvan pelazn stanje, zavši i makskpski pteećenja pestanu da se keću, njihva aspdela će biti tpilike ka na 44

45 slici 5.5b. a) b) lika 5.5. Ilustacija pcesa elektstatičke indukcije Ovaj pces je u pvdnim telima vema katak, gtv tenutan. Vidi se da su se na telu (pvši tela) B čije je ukupn naelektisanje jednak nuli (bil je nenaelektisan, nije imal viška naelektisanja), pjavila neka pteećenja. Ona se nazivaju indukvana pteećenja. Pjava da se na pvši naelektisang tela, unetg u elektstatičk plje, javljaju tzv. indukvana naelektisanja, naziva se elektstatička (elektična) indukcija. Indukvana pteećenja nisu nva pteećenja, već se adi peaspdeli pstjećih u telu. Pema tme, ukupn indukvan naelektisanje jednak je nuli (ak je tel bil nenaelektisan, neutaln, i pd uslvm da tel nije vezan za Zemlju ili nek dug pvdn tel, kada pteećenja sa jedng tela mgu da peđu na dug tel, dnsn u Zemlju), tj. ind + ind + Teba učiti da pisustv nenaelektisanih pvdnih tela uvek u izvesnj mei menja, kak plje u svim tačkama, tak i aspdelu pteećenja u pvdnim telima d kjih ptiče pvbitn plje. Da je tel B bil pethdn naelektisan sa naelektisanjem, dvija bi se sličan pces pmene aspdele naelektisanja p pvšima tela (ba, tj. A i B). Pces pestaje kad se naelektisanje tak peaspdeli da ni u jednj tački ba tela nema plja. Ovaj pces se takđe naziva elektstatička indukcija. am je u vm slučaju ukupn indukvan naelektisanje ind + ind + Pces pmene aspdele naelektisanja p pvšima tela (pelazni ežim, pelazni pces) ne azmatam. U tku njega se čigledn javlja ketanje naelektisanja (elektična stuja), pa i petvaanje elektične enegije u tpltu (Džulvi gubici), št ćem bjasniti u dugm delu pedmeta.. Pime 5.3. Unšenje naelektisang pvdng tela u hmgen eletstatičk plje Ctkane linije pikazuju izgled linija sila hmgeng elektstatičkg plja pe unšenja pvdng nenaelektisang tela u t plje (slika 5.6.), a pune linije pikazuju plje nakn zavšeng pcesa elektstatičke indukcije. Očigledn da plje u klini tela nije više hmgen, i da se u nekim tačkama intenzitet pvećava. 45

46 lika 5.6. Elektičn plje, pe i psle unšenja nenaelektisang pvdng tela Pime 5.4. Nenaelektisan pvdn tel sa šupljinm u njemu (ljuska), unet u elektstatičk plje Kak je u zidu tela (pvdnika) vekt elektičng plja jednak nuli, nema plja kje bi indukval pteećenje na unutašnjj pvši šupljine, bez bzia klik je zid tanak (ljuska), pa je i u unutašnjsti ljuske plje jednak nuli (slika 5.7.). Na vaj način mguće je zaštititi neki željeni di psta d elektstatičkg plja. Takve stuktue se nazivaju elektstatički zaklni, a zaštita je efikasna (ne i savšena) ak je zakln u vidu ešetke čak i ak su plja pmenljiva u vemenu. U mngim labatijama pstje čitave sbe zaštićene na vaj način (pletenm žicm kavezm). Tak zaštićeni psti nazivaju se Faadejev kavez. lika 5.7. Ljuska d pvdng mateijala bezbeđuje savšenu elektstatičku zaštitu dela psta kji buhvata Pime 5.5. Opteećenje unet u šupljinu nenaelektisang pvdng tela a) Šuplje nenaelektisan tel lptastg blika, sa tačkastim pteećenjem u centu tela Zbg plja tačkastg pteećenja, na unutašnjem zidu šuplje lpte (ljuske) se indukuje pteećenje. Ak je tačkast pteećenje pzitivn, indukvan pteećenje, na unutašnjem zidu, je negativn (slika 5.8.). lika 5.8. Tačkast naelektisanje u centu nenaelektisane šuplje pvdne lpte 46

47 Vednst tg indukvamg pteećenja se mže dediti pimenm Gausvg zakna na zamišljenu sfenu pvš takvg plupečnika da se nalazi unuta zida lpte Ed s buhv.u bzim da je plje unuta pvdng tela jednak nuli, a ukupn naelektisanje buhvaćen zamišljenm sfem je naelektisanje u centu i negativn indukvan naelektisanje na unutašnjem zidu pvdng tela (ljuske), pa dbijam dnsn ind ε + ε ind- ind Indukvan pteećenje na spljašnjem zidu lpte (u vm slučaju pzitivn), ind +, mže se dediti iz uslva da ukupn naelektisanje šuplje lpte ma stati ist psle pcesa elektstatičke indukcije, ka št je bil pe. Kak je lpta bila nenaelektisana, t je dakle sledi da je ind + ind + ( ) ind + ind Očigledn da će indukvan pteećenje biti avnmen aspdeljen i na unutašnjj i na spljašnjj pvši lpte, zbg sfene simetije. Elektičng plje izvan lpte je adijalng blika (slika 5.8). amstaln uaditi isti pime, ali kada je šuplje tel naelektisan naelektisnajem. b) Šuplje nenaelektisan tel lptastg blika, sa pteećenjem van centa Raspdelu pteećenja na spljašnjj i unutašnjj stani ljuske, mžem pceniti na snvu dsadašnjeg znanja. Na spljašnjj ljusci (zidu ljuske) aspdela je avnmena (zbg simetije, na tu aspdelu ne utiču naelektisanja u unutašnjsti ljuske, a u zidu ljuske plje je jednak nuli). U unutašnjsti plje nije hmgen, pa ni aspdela indukvanih pteećenja na unutašnjem zidu lpte. Raspdela pteećenja je pikazana na slici 5.9. lika 5.9. Tačkast naelektisanje van centa nenaelektisane šuplje pvdne lpte Št se tiče kličine indukvanih naelektisanja na unutašnjj i spljašnjj ljusci važe isti ezultati ka u pethdnm slučaju (pime 5.5 pd a). Ima li elektičng plja izvan lpte i kak je aspdeljen (videti aspdelu naelektisanja). Napminjem da se vde petpstavlja da spljnja ili unutašnja ljuska nisu vezane pvdnicima za nek dug pvdn tel. Međutim, ak, na pime, spljnu ljusku spjim 47

48 pvdnikm za Zemlju (uzemljim), tada ind + tekne u zemlju (elektni iz Zemlje kmpenzuju pzitivna naelektisanja) ( ind + ), a ind staje nepmenjen (setim se da je između slja ind + i ind.plje u pvdnm telu nula, pa pmene na spljašnj ljusci na utiču na unutašnju ljusku, već na nju utiče sam plje tačkastg naelektisanja u centu šuplje lpte). c) Opštiji slučaj, nenaelektisana šuplja ljuska (nije blika lpte) i unuta nje ima više naelektisanih i pvdnih tela Opteećenja na spljašnjem zidu ljuske (slika 5.) se aspdeljuju nezavisn d aspdele pteećenja u šupljini ljuske (zašt?). Pavil p kme se aspdeljuju je σ b a σ a b lika 5.. Naelektisanja na spljašnjj pvši šupljeg pvdng tela aspdeljuju se nezavisn d aspdele naelektisanja u šupljini tela Indukvan naelektisanje na unutašnjj i spljašnjj ljusci se deđuju, već pznatim pavilima, tj. Odatle sledi dakle je ind ( + + ) 3 ind + ind + Eds + buhv.u ε + ε + 3 ind ind + +, dnsn + 3 Ima li elektičng plja izvan lpte i kak je aspdeljen? Pime 5.6. Gmban Pedstavlja pvdan šiljati štap (štapve) kji se stavlja(ju) na kv bjekta (kuće), i vezuje(u) pvdnm takm za zemlju, a služe za zaštitu d udaa gma. Time se pdstiče uda gma ali na željenm mestu (vh štapa). U stvai, n teba da pimi taj uda. Pjave kje se dešavaju mgu se bjasniti elektstatičkm indukcijm. Zemljište je uvek manje više pvdn, pa se javlja indukvan naelektisanje suptng znaka d ng u blaku. Napmenim da se negde dalek na Zemlji javlja indukvan pteećenje istg znaka ka u blaku. Intenzitet elektičng plja će biti najveći na istuenim delvima, a t je u vm slučaju šiljak gmbana (slika 5.), gde, kada je E > dlazi d jnizacije vazduha i stvaa se put za iznenadn pažnjenje pteećenja blaka pema zemlji (nazivam ga gm). E k vazduha 48

49 lika 5.. Naelektisani blak iznad pvši zemlje Pime 5.7. Tanka metalna flija uneta upavn na linije elektičng plja Kak je pvš pvdng tela ekviptencijalna, a linije elektičng plja su nmalne na pvš tela, metalna flija uneta pd 9 u dnsu na vekt elektičng plja ne emeti t plje. T znači da ak metalnu fliju pstavim tačn u neku ekviptencijalnu pvš, njen unšenje neće pmeniti plje u kje je uneta (slika 5.). T znači da plje mže da se deli na sekcije pmću tankih flija pstavljenih u ekviptencijalnu pvš, a da se stuktua plja ne pmeni. Ov ćem kistiti kd pačuna enegije sadžane u elektičnm plju (pdpglavlje 7.3). lika 5.. Tanka pvdna flija pstavljena upavn na linije E ne emeti blik linija tg plja Pime 5.8. Razelektisanje pvdng tela pi spajanju sa Zemljm Psmatam situaciju u kjj mal naelektisan tel (u pimeu na slici 5.3 naelektisan pzitivn) pibližavam velikm nenaelektisanm telu (Zemlja). Dlazi d elektstatičke indukcije. Ak je mal tel naelektisan pzitivn, na velikm telu, na stani pema malm, javlja se negativn indukvan naelektisanje, kje se pvećava kak se mu se naelektisan tel pibližava. lika 5.3. Razelektisanje malg naelektisang i velikg nenaelektisang pvdng tela Nepsedn pe ddia malg i velikg tela, a pi ddiu va dva naelektisanja se pnište (neutališu). Mal tel se azelektiše. Tm pilikm na velikm telu staje naelektisanje 49

50 + kje je u pcesu elektstatičke indukcije bil aspdeljen na pvši velikg tela, ali dalek d malg tela. ada se n aspdeljuje p celj pvši velikg tela, pa je njegva gustina mala. Teijski azelektisanje zavisi d dnsa dimenzija malg i velikg tela. Kak je Zemlja gmnih dimenzija u dnsu na bil kje pvdn tel u paksi, mže se smatati da je azelektisanje ptpun, tj. da naelektisan tel izgubi sv svje naelektisanje, te k njega više neće biti elektičng plja.. Pime 5.9. Elektskp Pedstavlja staklenu psudu, u kju je kz izlacini čep, uvučen pvdnik, kji, u dnjem delu, ima dva pketna dela (listića) sa kuglicama (slika 5.4) Ak se kuglici, kja se nalazi na vhu, pinese štap kji je naelektisan, dći će d elektstatičke indukcije, ka u pimeu na slici 5.4, gde je štap pzitivn naelektisan. Zbg tga št naelektisanja istg znaka deluju međusbn dbjnim silama, kuglice se azmiču. Št je naelektisanje štapa veće, listići se više azmiču, pa na vaj način mžem meiti naelektisanje naelektisanih tela. lika 5.4. kica funkcinisanja elektskpa 5.5. Teema gledala (likva) Kak dediti elektičn plje u slučaju kada se naelektisan tel (na pime, kuglica) nalazi iznad pvdne avni (mže biti i Zemlja), je je čigledn da će dći d elektstatičke indukcije, dnsn pvdna avan utiče na blik linija elektičng plja, u dnsu na situaciju kada je naelektisan tel usamljen. etite se da je elektičn plje usamljeng tačkastg naelektisanja adijaln, št čigledn nije tak ak se u blizini nalazi pvdna avan (slika 5.5a). a) b) lika 5.5. Naelektisan tel iznad pvdne avni (a) i pimena teeme gledala (b) 5

51 P teemi gledala (likva) indukvana naelektisanja u pvdnj avni mgu se zameniti uvđenjem lika iginalng tela, ka lik u gledalu, čime se zamenjuje pvdna avan (slika 5.5b). ada se ezultantn plje nalazi supepzicijm plja kje ptiče d iginalng tela i plja kje ptiče d njegvg lika (a pvdne avni ka da nema). Učite da je naelektisanja lika ist p kličini ali suptn p znaku d naelektisanja ignala (i na istm astjanju d pvdne avni). U vm slučaju je ukupn elektičn plje jednak zbiu E uk E + + E a t znači da nemžem zanemaiti uticaj pvdne avni (Zemlje) Veza između naelektisanja i ptencijala pvdnih tela. Kndenzati i njihva kapacitivnst. Psmatajm jedn usamljen pvdn tel sa naelektisanjem i ptencijalm V (efeentna tačka u besknačnsti), slika 5.6. Neka se naelektisanje pmeni k puta (tj. k) pitam se št je tada s ptencijalm? lika 5.6. Uz bjašnjenje kapacitivnsti usamljeng naelektisang pvdng tela Neka je u nekj tački gustina pvšinskg naelektisanja pi naelektisanju jednaka σ. Gustina pvšinskg naelektisanja ma biti takva da pvš bude ekviptencijalna i E unuta tela. Pi k pvš takđe ma da bude ekviptencijalna i E unuta tela T je mguće ak je nva gustina pvšinskg naelektisanja u svim tačkama kσ, tj. k puta veća. Zbg tga će u svim tačkama van tela plje biti takđe k puta veće (ke, gde je E plje pi ). Zbg tga će i ptencijal biti k puta veći d V. Odatle sledi da je naelektisanje na pvdnm telu sazmen njegvm ptencijalu, tj. CV Gnja elacija pedstavlja definicini izaz za kapacitivnst usamljeng pvdng tela. Knstanta C se naziva kapacitivnst tela i ne zavisi ni d ni d V. Kasnije ćem videti da zavisi d sbina dielektika kji kužuje tel, ak n nije u vakuumu Pime 5.. Neka imam usamljenu naelektisanu pvdnu lptu plupečnika a, slika Ranije sm pkazali (pime 3.4) da je ptencijal lpte a Iz V lpte CV sledi izaz za kapacitivnst lpte C V a lpte lpte 5

52 lika 5.7. Uz deđivanje kapacitivnsti usamljene naelektisane pvdne lpte Psmatajm sada dva pvdna tela sa istim naelektisanjem suptng znaka. Takav sistem nazivam elektični kndenzat ili sam kndenzat. Pvdna tela kja čine kndenzat nazivaju se elektde ili blge. Pv ćem bjasniti kak na dva tela mžem dbiti ist naelektisanje suptng znaka. Petpstavim da su pvdna tela (elektde) i nenaelektisana (slika 5.8). Ak na neki način uzmem iz tela mal pzitivn naelektisanje i penesem ga na tel, tel će pstati pzitivn za. Na telu će nedstajati pzitivn naelektisanje, tj. n će imati višak negativng naelektisanja jednak. Ovaj pces mžem pnavljati dk ne naelektišem tel željenim naelektisanjem, kje sm duzeli telu i tak ga istvemen naelektisali sa, slika 5.8. lika 5.8. Elektični kndenzat (dva pvdna tela sa naelektisanjima suptng znaka) Paktičn se t bavlja tak da se blge kndenzata pvežu tankim pvdnicima na tzv. elektični geneat 3, slika 5.9. T je ueđaj kji ima sbinu da pzitivna naelektisanja sa jedng svg kaja, kz svju unutašnjst, pensi na svj dugi kaj, psedstvm neelektičnih sila kje u njemu deluju na naelektisanja. lika 5.9. Kndenzat vezan tankim pvdnicima za kajeve elektičng geneata Ak kajeve elektičng geneata vežem pvdnikm za blge kndenzata, geneat će sa jedne blge kndenzata uzimati pzitivna naelektisanja i pensiti ih na dugu, čime se na pvj elektdi stvaa višak negativng naelektisanja. Taj pcess taje dk naelektisanja nagmilana na elektdama ne pstanu tak velika da geneat nije više u stanju da savlada 3 O geneatima ćem detaljnije gviti u dugm delu vg pedmeta: vemenski knstantnim stujama. 5

53 elektične sile kjima ta pteećenja (a na stvaaju svje elektičn plje) djeluju na pteećenja u geneatu. Naelektisanje je pšl kz pvdnike kjima je geneat vezan za pvdna tela (blge kndenzata). Naelektisanje na tim pvdnicima je zanemaljiv u dnsu na naelektisanja na blgama kndenzata. Na sličan način, ka kd usamljeng naelektisang pvdng tela, dlazi se d zaključka da su pencijalna azlika (V+ - V-) između elektda kndenzata i pteećenje na pzitivnj elektdi sazmeni jedn dugm, tj. C ( V V + ) št pedstavlja definicini izaz za kapacitivnst kndenzata C je kapacitivnst kndenzata kji bazuju va dva tela. Zavisi d blika i međusbng plžaja ba tela i sedine između ta dva tela (dielektika, ak tela nisu u vakuumu). Najčešće C ne zavisi d naelektisanja na elektdama i napna U između elektda. Jedinica za kapacitivnst je faad (značava se sa F), kja je velika jedinica U C V C pa je [ F] Pime 5.. Odediti kapacitivnst Zemlje. Ak se ima u vidu da je plupečnik Zemljine lpte a R Zemlje 637 km, nda psle uvštavanja u izaz za kapacitivnst usamljene pvdne lpte, dbijam 6 3 C Zemlje a 6,37,78 F, 7mF 9 9 Kapacitivnst čveka je k 5 pf, a kapacitivnst lptice lema k, pf. Pime 5.. Odediti izaz za kapacitivnst za plčasti kndenzat (dve jednake paalelne plče pvšine na astjanju d mng manjem d dimenzija plča), slika 5.. lika 5.. Plčasti kndenzat Kak je pvšinska gustina naelektisanja σ svuda pibližn ista, sim na kajevim plča (t ne bi bi slučaj ak su plče jak dalek jedna d duge), t je σ Ranije sm pkazali (pime 4.6) da je intenzitet plja između plča: 53

54 σ E, pa je ε Plče su pvdna tela, pa su ekviptencijalne, pa je azlika ptencijala između bil kje dve tačke na plčama ista. Najpstije je izačunati azliku ptencijala (napn) između plča idući duž jedne linije plja (ne na kajevima kndenzata), slika 5.. E ε lika 5.. Elektičn plje kndenzata Plazeći d definicine elacije za napn, dedim napn između plča kndenzata, a zatim dbijem i kapacitivnst, tj. B B B B B ( E, dl) Edl cs Edl E dl Ed U AB VA VB Edl Edl cs A A σ C ε U AB Ed σ d d ε Pema tme za deđivanje kapacitivnsti, ptebn je pv dediti iztaz za elektičn plje, a zatim napn (sve sm t učili). U dbijenm izazu za napn figuiše. Pimenm izaza C / U, dbija se izaz za kapacitivnst ( se pkati). Obatite pažnju na zadatke na vežbama. Osnvna znaka (simbl), kja se kisti za pikazivanje kndenzata na elektičnim šemama je pikazana na slici 5.a. Na slici 5.b i c su pikazani simbli kndenzata pmenljive kapacitivnsti: pvi se dnsi na kndenzat kji je tak izađen da se njegva kapacitivnst, u tku uptebe, uvek mže pmeniti, a dugi se dnsi na kndenzat kji nije pedviđen da mu se čest menja kapacitivnst, već sam kada se pdešava ueđaj u kji je kndezat ugađen (time). Na slici 5.d je pikazan simbl za elektlitički kndenzat, kd kga se, pi piključivanju, ma vditi ačuna plaitetu elektda, št je uz simbl i naznačen. A A A lika 5.. imbli kndenzata na elektičnim šemama Važna kaakteistika kndenzata je maksimalni napn na kji mže da se piključi, a da ne dđe d pbja, a t zavisi d kitične jačine elektičng plja E k kje mže da izdži sedina između elektda (dielektik). 54

55 5.7. Paalelna i seijska veza kndenzata T su u paksi najčešće veze. U ba slučaja se cela gupa kndenzata mže zameniti sam jednim kndenzatm deđene kapacitivnsti a da pi tme kapacitivnst meena između piključaka cele gupe stane nepmenjena. Takav kndenzat se naziva ekvivalentni kndenzat (slika 5.3b), a njegva kapacitivnst ekvivalentna kapacitivnst psmatane gupe. Kndenzati su u paksi takve knstukcije da se elektičn plje van kndenzata mže zanemaiti pa se i međusbni uticaj, tj. elektstatička indukcija između pjedinih kndenzata mže zanemaiti. U tm slučaju se ekvivalentna kapacitivnst mže jednstavn dediti. Paalelna veza Gnje plče (elektde) svih kndenzata su na ptencijalu V a a dnje na ptencijalu V b, slika 5.3a. Zbg tga je azlika ptencijala između svih plča ista i jednaka V a V b. a) b) lka 5.3. Paalelna veza kndenzata (a) i njihv ekvivalentni kndenzat (b) Ukupn pzitivn naelektisanje na pzitivnim blgama svih kndenzata kje pilikm punjenja (pteećivanja) kndenzata (tzv. pelazn stanje) ma pći kz tačke A i B, u smeu C V V ) d A ka B je (za svaki kndenzat važi i i ( A B ) n C VA VB + C VA VB C dnsn dakle je ( ) ( ) ( V V ) ( C + C + + C )( V V ) C ( V V )... n C C + C ekv C n eijska (edna) veza Opteećenja svih kndenzata u seijskj vezi (slika 5.4) maju biti ista tj.... n Dkaz: Zamislim da sm dveli na levu elektdu kndenzata C pteećenje. T pteećenje će indukvati na desnj elektdi C pteećenje jednak tačn. (Pšt, p petpstavci, van kndenzata nema elektičng plja, unuta zatvene pvši kja buhvata kndenzat C, ukupn pteećenje ma p Gausvm zaknu biti jednak nuli u ind Ed s, dakle sledi ε ε ind + A 55 B ekv A B n. Višak + na desnj elektdi C (s bzim da je ta elektda vezana pvdnikm za levu elektdu C ) će se aspdeliti p levj elektdi C. Indukcijm će se na desnj elektdi istg kndenzata (C ) bazvati, itd. A B

56 dnsn lika 5.4. eijska veza kndenzata Napn U AB između tačaka A i B jednak je zbiu napna između kajeva svih kndezata: U AB V A V B B A Edl A Edl + Edl U AB VA VB U A + U U ( n )B a kak za svaki kndenzat važi U i, t imam C i B n Edl U AB C C Cn C C Cn i kada t upedim sa izazm za ekvivalentni kndenzat C U ekv AB (slika 5.3 desn) datle sledi da je Cekv C C Cn dnsn C C C ekv C n Izvedene elacije važe ak su kndenzati bili bez pčetne pteećensti (ak su pazni, nepteećeni). Pime 5.3: Dva kndenzata Paaleln vezana C ekv C C + C Ak su kndenzati jednakih kapacitivnsti C C C C ekv C Redn vezana + C ekv C C 56

57 C ekv + C C Ak su kndenzati jednakih kapacitivnsti C C C ekv C + C C C C + C C Mešvita veza Pd mešvitm vezm kndenzata pdazumeva se kmbinacija edn paalelnih veza. Pime mešvite veze kndenzata pikazan je na slici 5.5. lika 5.5. Pime mešvite veze kndenzata Pi deđivanju ekvivalentne kapacitivnsti pstupa se na sledeći način. Rešavaju se pv čist seijske dnsn čist paalelne vezane gupe dk se ne dđe d kapaciteta ekvivalentng kndenzata. Na kaju se, za naš pime, dlazi d ezultata, na pime u bliku C CC3 C( C + C3 ) e C + C C + C +, gde je C 3 C + C3 C Veza između ptencijala i gustine naelektisanja (jedndimenzina Puasnva jednačina) Petpstavim da se u jednm delu psta gustina naelektisanja menja sam u pavcu se x, tj. ρ ρ( x). Zamislim da u tm dmenu imam jednu malu zapeminu blika kvada (paalelpipeda, mže i katkg valjka), slika 5.6. Neka je na levj stanici kvada intenzitet elektičng plja E ( x), a na desnj E ( x) + de( x). Ak pimenim Gausv zakn na pvš vg paalelpipeda nda imam: ρ ( ) [ ( ) ( )] ( x) dx ρ E x + E x + de x, dnsn ( ) ( x) dx de x, dnsn, knačn de dx ε ( x) ρ( x) Gnja elacija se naziva i jedndimenzini difeencijalni blik Gausvg zakna. ε ε 57

58 lika 5.6. Ilustacija izvđenja Pasnve jednačine Ak se u pethdnu elaciju uvsti elacija kja pvezuje E i V (izvedena u deljku 3.4) dv x E x ( ) dbijam d dv ( x) ρ( x) dx dx ε dnsn d V ( x) ρ( x) dx ε št pedstavlja jedndimenzinalnu Puasnva jednačinu, kja se čest pimenjuje, psebn u elektnici. Ak je ρ (nema viška naelektisanja u pstu), sledi da je d V dx št se naziva jedndimenzinalna Laplasva jednačina. ( ) dx 58

59 6. DIELEKTRICI U ELEKTRIČNOM POLJU 6.. Plaizacija dielektika Videli sm da kada se nenaelektisan pvdn tel unese u elektičn plje, na njegvim pvšima dlazi d pjave nekmpenzianih elektičnih pteećenja (indukvana pteećenja), kja stvaaju dpunsk elektičn plje. On mže da dvede d pmene aspdele pteećenja i na naelektisanim pvdnim telima kja su izv pvbitng plja. ličn se dešava kada se tel d dielektika unese u elektičn plje. Kak u dielektiku nema slbdnih pteećenja 4, način stvaanja nekmpenzianih elektičnih pteećenja je dugačiji. Pjavu mžem bjasniti ak pznajem jednstavan mdel stuktue mateije (atma) i pjam elektičng dipla. Dielektici se pema elektičnim sbinama mlekula mgu pdeliti u dve gupe:. dielektici sa mlekulima diplima (planim mlekulima), i. dielektici sa neplanim mlekulima. Dielektici sa planim mlekulima Kd dielektika sa mlekulima diplima, elektični centi elektnskg blaka i jezga se ne pklapaju, slika 6.. Ka ezultat mlekul stvaa u svjj klini elektičn plje, kje se mže shvatiti ka plje nekg ekvivalentng elektičng dipla (videti pdpglavlje 3.5, slika 3.8), slika 6.. Takav je na pime mlekul vde (H O). lika 6.. Plani mlekul lika 6.. Elektični dipl U dsustvu stang (spljašnjeg) elektičng plja, diplni mmenti (mmenti elektičnih dipla) plang mlekula su aspdeljeni u pstu hatičn, pa ne pstji nikakv makskpsk elektičn plje. Ak se vakav dielektik unese u stan elektičn plje, pd dejstvm tg plja dipli će se delimičn ijentisati u pavcu tg plja, tj. teže da se vekt p i vekt E pklpe, slika 6.3. lika 6.3. Elektični dipl u elektičnm plju (smevi p i E teže da se pklpe) 4 vi elektni su čvst vezani u atmima. Nema ni viška naelektisanja, je su svi atmi neutalni (imaju isti bj elektna i ptna). Pd nmalnim uslvima u dielektiku mže pstjati E, ali nema stuje (je nema slbdnih nsilaca idealni dielektik). 59

60 Usmeenst dipla neće biti ptpuna je se tme supstavlja njihv temičk ketanje. Ipak će u dielektiku pstjati blast ijentisanih dipla (dipli čiji p imaju isti pavac i sme). Njihva plja (spstvena) se više ne pništavaju, te se javlja makskpsk (spstven) elektičn plje kje se sabia sa pvbitnim (stanim) pljem kje je izazval ijentaciju dipla. Dielektici sa neplanim mlekulima Kd dielektika sa neplanim mlekulima elektični centi elektnskg blaka i jezga (slika 6.4a) se, u dsustvu stang plja, pklapaju (slika 6.4b), tj. vi mlekuli nemaju svj spstveni diplni mmenat, i ne stvaaju elektičn plje na velikim astjanjima d dipla. lika 6.4. Mdel neplang mlekula u dsustvu stang plja E Ak se unesu u elektičn plje, na pzitivn jezg deluje sila u smeu vekta elektičng plja, a na elektnski mtač u suptnm smeu (slika 6.5). Unutašnje sile se suptstavljaju defmaciji mlekula, ali d izvesne defmacije ipak dlazi (ctkana linija na slici 6.5), pa se elektični centi pzitivnih i negativnih naelektisanja više ne pdudaaju. Tak pd dejstvm elektičng plja E neplani mlekul pstaje elektični dipl, slika 6.5. lika 6.5. Mdel neplang mlekula kada se nalazi u stanm plju E Kada se tel d dielektika sa neplanim mlekulima nalazi u stanm elektičnm plju, mlekuli pstaju dipli čiji će p biti ijentisani u smeu E u psmatanj tački, pa dlazi d pjave dpunskg (spstveng) elektičng plja, kje ptiče d gmng bja ijentisanih elektičnih dipla. Iak je mehanizam azličit, kd be vste dielektika kajnji ezultat je isti: pi unšenju u elektičn plje stvaa se makskpsk elektičn plje. Pces fmianja mnštva usmeenih dipla u dielekticima naziva se plaizacija dielektika, a za takav dielektik kaže se da je plaizvan. Plaizacija u slučaju diplnih mlekula naziva se diplna plaizacija, a u slučaju neplanih - elektnska plaizacija. Elektnska plaizacija pstji kd be vste mlekula je uvek dlazi d defmacije elektnskg mtača. Diplna plaizacija daje mng veći sednji diplni mmenat. 6

61 Jnska plaizacija Kd čvstih kistalnih dielektika, kji se sastje d pzitivnih i negativnih jna elemenata kji ulaze u sastav kistalne supstance, javlja se jnska plaizacija. Kada nema stang plja ti jni su unuta kistala tak azmešteni da nmaln ne stvaaju makskpsk elektičn plje. Pd dejstvm stang elektičng plja dlazi d pmeanja pzitivnih jna u smeu plja, a negativnih u suptnm, te se kistal pnaša ka j elektičnih dipla. Pjam plaizacije dielektika je važan za bjašnjenje pjava u vezi pnašanja dielektika u elektičnm plju. ada ćem uvesti matematičke pjmve vezane za pjave plaizacije kje sm d sada pisivali kvalitativn. 6.. Vekt elektične plaizacije Očigledn da su dipli u dielektiku kji se nalazi u elektičnm plju (plaizvani dielektik), jedini izv makskpskg elektičng plja. Ti dipli se kaakteišu svjim diplnim mmentm d p. bzim da stale sbine matetijala nisu bitne, mže se zamisliti da se ti dipli nalaze u vakuumu. Plje i ptencijal dipla u vakuumu sm već bađivali. Pšt u dielektiku ima mng dipla uvdi se pjam vekta gustine elektičnih mmenata dipla P za fizički malu zapeminu dv : P p dv u dv i naziva se vekt elektične plaizacije. Ukupni mmenat svih dipla u malj zapemini dv je ( p) Pdv d p u dv Vekt plaizacije se mže tumačiti i na sledeći način: Psmatajm nek tel d plaizvang dielektika i zamislim pvš kja iz dielektika iseca jedan njegv de, slika 6.6. lika 6.6. Tel d dielektika u elektstatičkm plju Pe plaizacije ukupna suma naelektisanja u pvši je bila nula. Da li je tak i pslije plaizacije? Iz slike 6.7, na kjj je pikazan uvećan detalj pvšinice sa slike 6.6, vidi se da t 6

62 nije tak, je klik je negativnih kajeva ušl u pvš, tlik je pzitivnih izašl iz pvši. U pgledu ukupng viška naelektisanja je svejedn da li je iz pvši izašl nek pzitivn naelektisanje ili je u nju ušl ist tlik negativn. Očigledn u ba slučaja nastaje višak naelektisanja u zatvenj pvši s d d d - d csa d + d csa csa a n p lika 6.7. Uvećan detalj sa slike 6.6 Petpstavim da u malj zapemini dv d csα psmatang dielektika ima Ndv neutalnih mlekula. Iz slike 6.7 se vidi da je kz mali de pvši zatvene pvši sa slike 6.6 pšla ukupna kličina elekticiteta: N( ) d csα (s desna na lev) N d csα (s leva na desn) + + Kak je je svejedn da li ušl negativn ili izašl pzitivn naelektisanje, t je + iz kz + N d csα Kak je mmenat svih dipla u dv isti p d i ak ih ima N nda je Np csα iz kz Kak je intenzitet vekta plaizacije P N d N p t je knačn P csα dnsn gde je n. iz kz iz kz 6 P Fizički v znači da je intenzitet vekta plaizacije P u nekj tački dielektika jednak kličniku naelektisanja kje u pcesu plaizacije pđe kz avnu pvšinicu upavn na pavac plaizacije, i te pvšinice. me vekta P je u smeu ketanja pzitivnih pteećenja. Ak znam P u svim tačkama dielektika, mžem da dedim diple ekvivalentne svakm njegvm elementu zapemine. Takđe se mže dediti vekt elektičng plja i ptencijal kje taj plaizvani dielektik stvaa.

63 Jedinica za P je C/m, ka za σ. Meenja pkazuju da je za najveći bj dielektika u nekj tački, vekt plaizacije sazmean vektu elektičng plja u tj tački, tj.. P ε χ E (v važi za lineane dielektike) e gde je χ je elektična susceptibilnst dielektika, i na je bj bez dimenzije (neimenvan bj). e Kak je P u smeu E ( P ima sme ketanja pzitivnih pteećenja, a na se keću u smeu elektične sile, kja ima sme E ), datle sledi da je χ e pzitivn. Dielektik je hmgen ak je χ e ist u svim tačkama, ak nije dielektik je nehmgen. Dielektici kji se plaizuju ist u svim pavcima vekta elektičng plja nazivaju se iztpni, a ni kji nemaju tu sbinu su aniztpni (na pime, kistal kvaca, uzk je jak međusbni uticaj susednih mlekula) Vezana elektična pteećenja Plazeći d elacije iz kz P kja važi za di pvši kja se nalazi u dielektiku, i imajući u vidu da je P van dielektika (pa i svi pizvdi P ), nda je ukupna kličina elekticiteta kja je u pcesu plaizacije izašla iz zatvene pvši : iz P Ak je dvljn mal, tj. ds pa je: nda mžem zameniti sa iz Klik se pteećenje pjavil unuta pvši u pcesu plaizacije? Pe plaizacije u pvši nije bil viška pteećenja. U tku plaizacije je izašl P d s, t znači da se unuta pvši pjavi višak iste kličine ali suptng znaka, beležim ga sa p. p Pd s Pd s Ov pteećenje jeste višak ealnih pteećenja unuta pvši ali t naelektisanje je neazdvjni di mlekula i atma pa se naziva vezan elektičn pteećenje ili pteećenje plaizacije. Gde se taj višak pteećenja nalazi? Psmatajm neki plaizvani hmgeni dielektik. Zamislim malu zatvenu pvš unuta dielektika. Ak je pvš dvljn mala vekt P je istg intenziteta i smea u svim tačkama unuta te pvši i na pvši (hmgeni dielektik). Ranije sm videli (pime 4.) da je fluks hmgeng elektičng plja ( E cnst ) kz bil kju zatvenu pvš jednak nuli. T važi i za svaki dugi vekt kji je istg intenziteta, pavca i smea u psmatanm delu psta (hmgen plje 5 i hmgeni dielektik). Zbg tga važi: 5 Kd elektstatičkih pečistača, na pime, kisti se nehmgen elektičn plje, u kme se dipli (čestice vazduha, itd.) pmeaju u blast jačeg plja (jače plje je na elektdama). Kak intenzitet elektične sile nije isti na jedan i dugi kaj dipla, dipl se zakeće, ali i linean pmea. 63

64 P d s P d s Kak je p u jednak p Pd s, a P d s, t je p Ukupn vezan naelektisanje u hmgenm dielektiku jednak je nuli 6, slika 6.8. Ov fizički znači da je u pcesu plaizacije u pvš ušl tačn nlik pzitivng i negativng klik je i izašl. T znači da svaka fizički mala zapemina u hmgenm dielektiku buhvata isti bj negativnih i pzitivnih kajeva dipla. T znači da u plaizvanm hmgenm dielektiku nema viška vezanih elektičnih pteećenja. Znači da se makskpsk plje u unutašnjsti dielektika pništava. Dakle celkupn makskpsk elektičn plje plaizvang hmgeng dielektika ptiče d slja vezanih pteećenja kja se u pcesu plaizacije pjave na njegvj pvši. pus s P lika 6.8. U hmgenm plaizvanm dielektiku zapeminska gustina vezang naelektisanja jednaka je nuli Klika je pvšinska gustina tih vezanih naelektisanja? Izvesti ćem izaz na sledeći način. Psmatajm mali vema pljsnat valjak čija je jedna snvica u dielekiku a duga u vakuumu (P u vakumu), slika 6.9. lika 6.9. Odeđivanje pvšinske gustine vezanih naelektisanja Na snvu jednačine p Pd s 6 U nehmgenm dielektiku mže biti p p zapemini dielektika. Teba azlikvati pjmve: lineaan hmgen dielektik (nema (viška) vezanih naelektisanja p zapemini); lineaan nehmgen dielektik (ima vezanih naelektisanja p zapemini); hmgen plaizvan dielektik ( P cnst. ); hmgeni dielektik (ε cnst., ili χ e cnst.); plaizvani hmgeni dielektik. 64

65 dbija se (fluks kz mtač je nula, je h, a kz snvu u vakuumu je nula, je je P ) je je na slici 6.9, n n d p p p na ( + + P ) P n Kak je p definiciji σ p t je σ P n p d P n 6.. Nmala n je usmeena d dielektika u vakuum. Pgledajm vezana pteećenja sa fizičkg stanvišta, št je slikvit pikazan na slici n P vakum slj nekmpenzianih vezanih pteećenja Dielektik pzitivni i negativni kajevi dipla kji se kmpenziaju lika 6.. σ p P n je, u stvai, gustina pteećenja između dve ctkane linije na slici, shvaćena ka pvšinsk naelektisanje a slike 6.. je čigledn da unuta dielektika dlazi d pništavanja pzitivnih i negativnih kajeva dipla, a staje sam nekmpenziani slj kajeva dipla uz samu pvš dielektika, i t je n št smatam vezanim pteećenjima 7. Pema tme unutašnjst dielektika mžem zameniti vakuumm, a ce dielektik sam sljem vezanih pteećenja uz pvš dielektika, čija je pvšinska gustina vezanih naelektisanja σ p. Znači dielektik se zamenjuje pvšinskim vezanim pteećenjima p njegvj pvši, a statak dielektika mžem zanemaiti, pa mžem smatati ka da se vezana pteećenja nalaze u vakuumu. Pime 6.. Pvdna pzitivn naelektisana lpta sa sfenim sljem hmgeng dielektika k nje, slika 6.a. Na slici 6.b je pikazan isti sistem ali kada je dielektik zamenjen sa vezanim pteećenjima. 7 U dielekticima nema viška naelektisanja, je su svi atmi neutalni (imaju istu kličinu pzitivng i negativng naelektisanja). 65

66 a) b) lika 6. a) naelektisana pvdna lpta i slj dielektika k nje, b) slj dielektika zamenjen pvšinski vezanim naelektisanjem 6.4. Elektičn plje u hmgenm dielektiku. Relativna i apslutna dielektična knstanta Oganičavam se na hmgene 8 dielektike, je su takvi najčešći u paksi (ili sljevi hmgenih dielektika). Psmatajm neklik pvdnih tela u hmgenm dielektiku susceptibilnsti χ e, slika 6.a. Kak sm već pkazali, dielektik mžem zameniti pvšinskim vezanim naelektisanjima u vakuumu (slika 6.b). a) b) lika 6. a) dva naelektisana tela u hmgenm dielektiku, b) dielektik zamenjen pvšinskim sljem naelektisanja na ddinj pvši dielektika i pvdnika Ukupna pvšinska gustina naelektisanja na pvši pvdng naelektisang tela u dielektiku (dielektik zamenjen sa σ p ) je: σ σ + σ ukupn T je naelektisanje kje se sada nalazi u vakuumu. σ i σ p mgu biti azličiti u azličitim tačkama. p 8 Hmgeni dielektik je dielektik kd kga je dielektična knstanta ista u svim tačkama (ε cnst., ili χ e cnst.). Hmgen plaizvan dielektik je dielektik kd kga je vekt elektične plaizacije isti (istg intenziteta, pavca i smea) u svim tačkama ( P cnst.). 66

67 Ranije sm pkazali (pdpglavlje 5.3) da za naelektisana pvdna tela u vakuumu, između E u vakuumu u tački blizu pvši tela i σ, važi veza E σ, gde je σ ukupna pvšinska ε gustina naelektisanja. Pema tme i sada važi veza istg blika ak se umest σ stavi σ σ + σ, tj. ukupn p E σ + σ p ε Želim da dedim elaciju kja pvezuje E i σ u pisustvu dielektika. E je nmaln na pvš pvdnika. Kak sm petpstavili hmgeni dielektik, t u svim tačkama važi i P ε χ e E, pa je i P nmaln na pvš tg pvdnika. Nmala n je usmeena d dielektika. Iz jednačina σ p P n P ε χ E i imajući u vidu da je uga između ( ) π elacije dlazi se d izaza da je: Izaz ( e ) e P, n (slika 6.b), pa je σ p ε χ e E, kmbinujući ve σ E ( + χ ) ε e + χ ε naziva se elativna dielektična knstanta (elativna pemitivnst). Kak je χ e >, t je i ε >. ε ε ε naziva se apslutna dielektična knstanta ili dielektična knstanta (pemitivnst). Kak je ε >, t je i ε >. ada se, knačn, izaz za E mže pisati u kmpaktnm bliku E σ ε σ (etim se da u vakuumu važi E. Učite azliku u ta dva izaza.) ε Ukupna pvšinska gustina pteećenja uz pvš pvdnika u dielektiku se mže sada izaziti ka (imajući u vidu da je χ ε ): e σ ε σ + σ p σ ε χee σ ε χe σ ε ε σ σ + σ p ε Pema tme zbi pvšinskih gustina slbdnih i vezanih pteećenja na pvdnim telima, u hmgenm plaizvanm dielektiku, elativne dielektične knstante ε, je ε puta manji d pvšinske gustine slbdnih pteećenja. T važi i za E, i za V u pisustvu dielektika u dnsu na pvdn tel bez dielektika. Na pime E E / ε. Pime 6.. a) kndenzat bez dielektika na + elekt. C U V V + 67

68 b) kndenzat u pisustvu dielektika. Razlika ptencijala kndenzata sa dielektikm je ε puta manja, te će kapacitet takvg kndenzata biti veći ε puta. C sa diel. ε C bez diel. Dakle kd svih izaza za kapacitivnst sistema u vakuumu, teba uz ε dpisati ε i dbijaju se izazi za kapacitivnst u pisustvu dielektika. Kndenzat sa dielektikm, slika 6.3a, mže se pikazati i ka kndenzat u kme je dielektik zamenjen vezanim naelektisanjima uz pvš dielektika, slika 6.3b, dnsn ce kndenzat sa 4 pvši naelektisanja, slika 6.3c. Uz sliku 6.3 važe elacije: (nactati na slici 6.3b vekte σ p P, σ P, Eσ p P /ε Eσ p i P ) p + lika 6.3 a) plčasti kndenzat sa dielektikm, b) sa dielektikm zamenjenim pvšinskim sljvima vezanih naelektisanja, sa sljevima slbdnih i vezanih naelektisanja Relativne pemitivnsti nekih dielektika pikazane su u tabeli 6.: Tabela 6.. Relativne emitivnsti mateijala Mateijal ε Vazduh,6 Tansfmatsk, -,4 ulje Papi,5-3,5 Petinaks 5 8 Guma 3,5 Liskun 4 7 Alkhl 8,4 Čista vda ( C ) 8, Čista vda ( C ) 88, Led ( 5 C ), Upšteni blik Gausvg zakna. Vekt elektičng pmeaja Zamislim da zatvena pvš buhvata de tela d hmgeng dielektika, ali i de slbdnih pteećenja kja su izv pvbitng plja (slika 6.4.). 68

69 Dielektik mžem zameniti viškm vezanih naelektisanja kja se nalaze u vakuumu, pa se na zatvenu pvš mže pimeniti Gausv zakn ukupn u Eds ε lika 6.4. Ilustacija izvđenja upšteng blika Gausvg zakna Pimenm Gausvg zakna, u našem slučaju, dbijam ukupn u + p Eds ε ε gde je višak slbdng, a p višak vezang naelektisanja unuta zatvene pvši. Višak vezang naelektisanja p na delu dielektika unuta pvši mže da se izačuna ka (- P ds ) p celj pvši, je je na delu pvši van dielektika P, pa je + p Eds Pds ε ε dakle se, s bzim da se ba integala dnse na istu pvš, psle seđivanja, dbija ( ε E + P) ds Dbijeni izaz važi za bil kakvu pvš, a u njj se mgu nalaziti ne sam naelektisana pvdna tela, neg i plaizvani dielektici, pa se elacija naziva upšteni Gausv zakn. Veličina data izazm D ε E + P naziva se vekt elektične indukcije, ili vekt gustine elektičng fluksa, ili vekt elektičng pmeaja. Dakle D pedstavlja ukupni elektični pmeaj, P elektični pmeaj u dielektiku, a ε E se fmaln mže psmatati ka elektični pmeaj u vakuumu, pemda ne pedstavlja nikakav pmeaj stvanih pteećenja. ada se mže pisati Dd s 69 ukupn u št pedstavlja upšteni blik Gausvg zakna napisan u kmpaktnm bliku (ili jednu d četii Maksvelve jednačine). Imajući u vidu elacije kje važe za lineane dielektike ( P ε χ E, i ( χ ) ε ε ε ε ), elacija D ε E + P se mže napisati u bliku + e kja važi za lineane dielektike. D ε E e

70 Jedinica za D i P je C/m. Upšteni Gausv zakn, ka i Gausv zakn, ima mng pimena, kje se mgu svesti na dve gupe: - dkazivanje nekih pštih sbina E u pisustvu dielektika, i - izačunavanje D i E u pstim, ali važnim slučajevima. Integalne jednačine u elektstatici Na snvu ng št sm d sada naučili, mžem knstatvati da su snvne integalne jednačine u elektstatici zakn cikulaciji vekta elektičng plja, i upšteni Gausv zakn. Odnsn: A) U svim slučajevima važi 9 E dl C B) Upšteni Gausv zakn se u aznim slučajevima mže napisati u sledećem bliku: ) nelineani dielekik s knstitutivnu elaciju. D d s, D(ε) je nelineana funkcija, D D( E) ) lineani nehmgeni dielektik s 3) lineani hmgeni dielektik 4) vakuum E d s s ε ε E d s, ε cnst., ε f ( x, y, z) s E d s, ε ε ε ε, ε cnst., pedstavlja Učite da, ak je plje hmgen ( E cnst. ), a dielektik lineaan i hmgen (slučaj 3.), dbija se E d s, je je d s, pa u hmgenm dielektiku, u unutašnjsti, nema slbdnih naelektisanja, dk u nehmgenm mže biti Ganični uslvi Psmatajm pvš kja azdvaja dva hmgena dielektika dielektičnih knstanti ε i ε (slika 6.5.). Ak su dielektici plaizvani, na ganičnj pvši će se javiti, jedan uz dugi, dva slja vezanih pvšinskih pteećenja. Njihva gustina, pjedinačn, deđuje se elacijm gde n ide u dugu sedinu. Ukupna pvšinska gustina je zbi: ( ) σ P n + P n P P n, gde je n n p σ p Pn, 9 Taj zakn je izveden iz zakna džanju ada i enegije, pa ma da važi bez bzia na pisustv pvdnika ili dielektika. 7

71 lika 6.5. Ganična pvš dva dielektika Vekti E i D u dve bliske tačke u jednm i dugm dielektiku ( i ) kji su psledica nekmpenzianih pteećenja na ganičnj pvši, u pštem slučaju imaju azličit i intenzitet i sme. Kakva je veza među njima? Ta veza se naziva ganični uslv. Psmatajm pv kmpnente vekta elektičng plja E, u tačkama i, kje su paalelne sa ganičnm pvši (tangencijalne kmpnente). Pimenm E dl na malu pljsnatu pavuganu kntuu C (čija se jedna stanica nalazi u jednj a duga u dugj sedini, nepsedn uz azdvjnu pvš), slika 6.6, imam lika 6.6. Ilustacija izvđenja dkaza da je E t Et C Edl b c d E h + E l + E h + E l E a b c a d b a 7 c b a t l + E t l E t l Et l d pi čemu teba imati u vidu da h, pa je E h i E h. Knačn se dbija E t Et. št pedstavlja ganični uslv za tangencijalne kmpnente vekta elektičng plja. D t Dt Kak je, za lineane sedine, D ε E, t je E t i E t, pa na snvu ganičng ε ε uslva sledi da je D t D t ε ε Psmatajm sada nmalne kmpnente vekta elektične indukcije D na ganičnu pvš. Pimenim upšteni Gausv zakn na mali pljsnat valjak čija je jedna snvica u sedini, a duga u sedini, slika 6.7. Petpstavim da na ganičnj pvši nema slbdnih naelektisanja (σ), dnsn ukupna slbdna naelektisanja u pvši su jednaka nuli. d c

72 lika 6.7. Ilustacija izvđenja dkaza da je D n Dn bzim da visina valjka h t se, i imajući u vidu da je n n, imam dakle je Dds D D kz mtač valjka mže zanemaiti, je n D n D n D n št je ganični uslv za nmalne kmpnente vekta elektičng pmeaja. dnsn Kak je, za lineane sedine, En ε En D ε E, t je D n ε E n, i Dn ε En ε ili E E n n ε ε Pime 6.3. Razmtim sada slučaj kada je sedina pvdnik. U pvdniku je E t, pa na snvu ganičng uslva za tangencijalne kmpnente vekta elektičng plja, dnsn E t E, t pizilazi da je u dielektiku uz samu pvš pvdnika (slika 6.8.) E. t lika 6.8. E u dielektiku uz pvš pvdnika t Pime 6.4. Petpstavim sada da pstje slbdna naelektisanja na azdvjnj pvši (u pimeu 6.3) i neka je njihva pvšinska gustina u nekj tački pvdnika na slici 6.8 σ. Pimenim upšteni Gausv zakn na pljsnat valjak ka na slici 6.7. Na pvšinici u pvdniku nema plja ( D u pvdniku), pa je D. Pljsnati valjak sada buhvata ukupn slbdn naelektisanje jednak σ, pa je na snvu upšteng Gausvg zakna Dds Dn ukupn u σ D n D n σ ak ima (slbdnih) naelektisanja na ganičnj pvši. 7

73 dakle sledi da je nmalna kmpnenta vekta elektičng pmeaja u dielektiku, uz samu pvš pvdnika. D σ. Uklik linije E nisu paalelne sa ganičnm pvši dva dielektika, ili nmalne na nju, na ganičnj pvši se linije pelamaju, slika 6.9. n lika 6.9. Linije sile se pelamaju na ganičnj pvši dva dielektika Nactajm kmpnente vekta E u tačkama nepsedn uz azdvjnu pvš dva dielektika (slika 6.). Pema slici 6. je E t Et tgα, i tgα E E n n lika 6.. Ilustacija izvđenja dkaza da je tg α / tgα ε / ε Ak napavim kličnik tg α i tg α, i imam u vidu ganični uslv za tangencijalne kmpnente vekta E, tj. E t Et, dbijam A ak uzmem u bzi da je D n Dn tgα tgα D E E n n n E n i ε, D n E n, i ganični uslv za nmalne ε kmpnente vekta D, tj., nda dbijam tgα ε. tgα ε Ak je ε > ε datle sledi da je α > α, pa pi plasku kz azdvjnu pvš, na pime, dielektika i vazduha (vakuuma), E i D se pelama ka nmali. Pimena ganičnih uslva dlazi d izažaja kd ešavanja pblema gde je dielektik nehmgen u delvima. Na pime plčasti kndenzat sa dva slja dielektika čija je azdvjna pvš paalelna elekdama ili nmalna na elektde, a kji su svaki pnasb hmgeni, ali se Pblemi sa ptpun nehmgenim dielekticima su vema slženi za ešavanje. 73

74 azlikuju jedan u dnsu na dugi. Ili kd cilindičng kndenzata gde se azdvjna pvš dielektika pklapa sa adijalnm sm. Ili kd sfeng kndenzata gde azdvjna pvš dielektika ima sfeni blik sa centm u si kndenzata (sami skiciajte pimee) Tube fluksa vekta elektičng pmeaja Tubm fluksa vekta D naziva se cevasta pvš kju bazuje snp linija vekta D kja se pteže kz dielektik d tela naelektisang pzitivn d tela naelektisang negativn (slika 6..). lika 6.. Tuba fluksa vekta elektičng pmeaja Da su kličine elekticiteta buhvaćene tubm, jednake a suptng znaka, dkazuje se pimenm Gausvg zakna: Dd s + + t Dd s + Dd s + Dd s t u + je je fluks vekta D jednak nuli kz pvš i (zbg tga št je D u pvdniku jednak nuli), a kz pvš t je su linije vekta D paalelne pvši, pa ne pdiu kz pvš, dnsn uga vekta D i nmale na tu pvš je 9. Dakle Lak se pkazuje da je fluks D isti kz svaki pesek tube (u dielektiku između pvdnih tela nema pteećenja) Neke elektične sbine dielektika Dielektična knstanta dielektika (bjašnjena je anije, deljak 6.4) Elektična čvstina dielektika definiše se ka najveća jačina elektičng plja E k kja mže da pstji u njemu (kje dielektik mže da izdži), a da dielektik zadži svja izlatska svjstva. Jedinica za E k je V kv 5 V kv V,, 6 m cm m mm m Za vazduh je 5-3 kv/cm. Zavisi d vlažnsti itd. Za E > E k dlazi d pbja dielektika (gubi svja izlatska svjstva). Kd gasva pi pbju ne dlazi d tajng štećenja dielektika. Pi velikim vednstima E mgu nastupiti dva slučaja u zavisnsti d blika naelektisang tela: - vaničenje, kada je E > E k sam u nekim delvima plja, - kna (jnizvani slj gasa) kada je E > E k, u slučaju gasvitih dielektika, ali d pbja ne dlazi. Pime je dvžični vazdušni vd piključen na vl viski napn. Vazduh k pvdnika se jnizuje i bazuje knu kja sa u maku vidi ka svetlucava svetlst k 74

75 pvdnika. D pbja vazduha između pvdnika ne dlazi je kna k pvdnika dgvaa izvesnm pvećanju plupečnika i pema tme smanjenju plja E (št se lak vidi iz izaza za E pvdnika plupečnika a, naelektisang p pvši pdužnm gustinm naelektisanja, videti pime 4.7 u pglavlju 4.3) E πε a pa se pces zaustavlja kada plupečnik jnizvang slja dstigne vednst pi kjj je E na pvšini kne manje d E k (efektivni plupečnik pvdnika sa knm je veći d plupečnika pvdnika bez kne). Ak u nekj tački bude E E k ipak mže dći d pbja. Vaničenje i kna su nepželjni. Međutim pdstiču se, na pime, kd gmbana i elektda za pažnjenje naelektisanja avina. Zastala plaizvanst je sbina nekih dielektika sa planim mlekulima, gde je ptebn izvesn veme kak za plaizaciju tak i za deplaizaciju. Zbg tga pi, katktajnm spajanju elektda pvdnikm, slbdna naelektisanja na elektdama se pnište sam delimičn, je se dielektik ne deplaizuje ptpun, pa zastala vezana pteećenja zadžavaju izvestan de slbdnih pteećenja na elektdama. Psle nekg vemena se dielektik delimićn deplaizuje i između blga se javlja napn. Feelektici (senjetelektici) su dielektici kd kjih zavisnst između P i E nije lineana (slika 6..) pa ni veza D i E, tj. P ε χ e E Takvi mateijali su senjetve sli i titanati, a služe za dbijanje kndenzata sa kapacitivnšću kja zavisi d piključeng napna Cf(U). lika 6.. Zavisnst intenziteta D d intenziteta E u feelektičnm mateijalu Elekteti su mateijali ka neke ganske smle i vskvi kji, ak se u astpljenm stanju izlže dejstvu elektičng plja i u tm plju hlade i čvsnu, zadžavanju plaizaciju i psle ukidanja plja. Pimena im se pvećava. Naelektisanje tenjem (mže se desiti, a i ne). Kada se dielektici ddinu, dlazi d tga da se neki elektni iz spljašnje ljuske istgnu, pa kada se dielektici astave pstanu naelektisani. 75

76 7. ILE I ENERGIJA U ELEKTROTATIČKOM POLJU 7.. ile u elektstatičkm plju Pkazali sm da se sila između dva mala (tačkasta) naelektisana tela, ili na jedn u sistemu više takvih tela, deđuje Kulnvim zaknm, a sila na naelektisan tel naelektisanja, ak je pznat elektičn plje na mestu naelektisang tela je F E gde su: - naelektisanje tela na kje se deđuje sila, E - elektičn plje kje stvaa jedn dnsn sva stala naelektisana tela, sim n na kje se sila deđuje, na mestu tela na kje se sila deđuje. Kak se deđuje sila na tela kja nisu malih dimenzija u dnsu na međusbn astjanje? Psmatajm dva takva tela u vakuumu (slika 7.). lika 7.. Odeđivanje sile kjm naelektisan tel deluje na naelektisan tel Elementan plje kje stvaa elementan naelektisanje d na mestu ds (slika 7.) je d σ ds d E Jačina plja E (ukupn plje) kje stvaa pteećenje na (celm) telu na mestu male pvšine ds je: σ ds E Naavn, σ mže biti azličit za pjedine pvšinice ds. Kada znam E, nda elementana sila kjm tel deluje na elementan naelektisanje d na telu, je d F 76 d E ds E ada je ukupna sila kjm tel deluje na tel F σ σ, ds i E se za pjedine tačke mgu azlikvati. Relacije važe za tela bil kg blika. Za pačun teba znati pvšinsku gustinu naelektisanja σ št nije lak dediti. Pibližnim azmatanjem mgu se dediti ganice među kjima bi ta sila mgla biti. ds σ E