Držvn mtur iz mtemtike Ispitni ktlog z nstvnike Rujn 7. Verzij. Člnovi stručne rdne skupine z pripremu ispit iz mtemtike doc. dr. sc. Željk Milin Šipuš, Prirodoslovno-mtemtički fkultet-mtemtički odjel Sveučilišt u Zgrebu, voditeljic prof. dr. sc. Zvonimir Šikić, Fkultet strojrstv i brodogrdnje Sveučilišt u Zgrebu Jelen Gusić, prof., XV. gimnzij, Zgreb Jgod Krjin, prof., Tehničk škol Ruđer Bošković, Zgreb Drgic Mrtinović, prof., Žensk opć gimnzij Družbe sestr milosrdnic, Zgreb Josip Pvlić, prof., Gimnzij Lucijn Vrnjnin, Zgreb
Opis ispit iz mtemtike n držvnoj mturi Mtemtik je izborni predmet polgnj n držvnoj mturi. Pri kreirnju ispit iz mtemtike z držvnu mturu vodilo se rčun o tome d postoji velik broj rzličitih progrm iz mtemtike. Ispit iz mtemtike stog se može polgti n dvije rzine zhtjevnosti n rzini A i n rzini B. Ispit sdrži zdtke ztvorenog i zdtke otvorenog tip. Zdci ztvorenog tip su zdci višestrukog izbor. Učenik zokružuje slovo ispred jednog od četiri ponuđen odgovor. Zdci otvorenog tip su zdci krtkih odgovor i zdci produljenih odgovor. U zdcim krtkih odogovor, učenik odgovr n postvljeno pitnje, dok u zdcim produljenih odgovor učenik prikzuje postupk rješvnj i odgovr n postvljeno pitnje. Ispit n držvnoj mturi iz mtemtike je jedinstven i njegovo plnirno trjnje (bez prekid) opisno je u sljedećoj tblici: Rzin A Rzin B 8 minut 5 minut Pribor Z polgnje držvne mture iz mtemtke pristupnici koriste uobičjeni pribor z pisnje i brisnje (olovk, gumic). Potrebn je i geometrijski pribor (trokut ili rvnlo, šestr), ko i džepno rčunlo (tzv. znnstveni klkultor). Učenici smiju koristiti i formule predviđene z ispit odbrne rzine zhtjevnosti. Opći ciljevi ispit Držvnom se mturom ispituju rzine znnj i dostignutih kompetencij učenik n krju srednjoškolskog obrzovnj. Pri tome ispit provjerv koliko učenici znju: koristiti mtemtički jezik pri čitnju, interpretirnju i rješvnju zdtk očitvti i interpretirti podtke zdne u nlitičkom, tbličnom i grfičkom obliku ili riječim, te u nvedenim oblicim jsno i logično prikzivti dobivene rezultte mtemtički modelirti problemsku situciju, nći rješenje te provjeriti isprvnost dobivenog rezultt prepoznti i koristiti vezu između rzličitih područj mtemtike koristiti rzličite mtemtičke tehnike pri rješvnju zdtk koristiti džepno rčunlo.
Udjeli ispitnih cjelin Udio ispitnih cjelin u ispitu n držvnoj mturi iz mtemtike z rzinu A prikzn je u tblici: Ispitn cjelin Bodovni udio, % Brojevi i lgebr Funkcije 5 Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij 5 Modelirnje Ukupno Udio ispitnih cjelin u ispitu n držvnoj mturi iz mtemtike z rzinu B prikzn je u tblici: Ispitn cjelin Bodovni udio, % Brojevi i lgebr 45 Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe 5 Geometrij 5 Modelirnje 5 Ukupno Postotni udio pojedine ispitne cjeline odnosi se n postotk ukupnog broj bodov. Moguće odstupnje udjel pojedine cjeline iznosi ±%. Izržvnje rezultt n ispitu Uspjeh n ispitu iz mtemtike n držvnoj mturi iskzivt će se postotkom postignutih bodov u rsponu od do % i ocjenom od do 5. Rspon postotk koji odgovrju pojedinoj ocjeni odredit će Stručn rdn skupin z mtemtiku nkon provedenog ispit. Rezultti ispit n držvnoj mturi koristit će se z sumtivno vrednovnje rd učenik. Opis bodovnj i ocjenjivnje U zdcim višestrukog izbor, svki isprvno riješen zdtk donosi jedn bod. Neisprvni odgovori ne donose negtivne bodove. 3
U zdcim krtkih odgovor, svki isprvno riješen zdtk donosi jedn bod. Ako zdtk trži više krtkih odgovor, svki donosi jedn bod. U zdcim produljenih odgovor boduje se postvljnje zdtk, postupk i odgovor prem rzrđenoj bodovnoj shemi. 4
Udio sdržj u strukturi mturlnog ispit A rzin A RAZINA Brojevi i lgebr % Funkcije 5% Jedndžbe i nejedndžbe % Geometrij 5% Modelirnje % rzlikovti skupove N, Z, Q, R, C elementrno rčunti ( +,,, :, korjenovti, potencirti, određivti psolutne vrijednosti, zokruživti) koristiti postotke i omjere provoditi opercije s potencijm i korijenim znti binomni poučk znti rčunti s lgebrskim izrzim i lgebrskim rzlomcim koristiti džepno rčunlo rčunti s jedinicm z duljinu, površinu, obujm, vrijeme, msu i novc poznvti pojm funkcije, nčin njezinog zdvnj i opercije s njim ( +,,, :, kompozicij) znti svojstv rst/ pd, prnosti/ neprnosti i periodičnosti funkcije poznvti linernu funkciju i njezin grf poznvti kvdrtnu funkciju i njezin grf poznvti funkcije psolutne vrijednosti i drugog korijen i njihove grfove poznvti grfove polinom i rcionlnih funkcij poznvti eksponencijlnu i logritmsku funkciju i njihove grfove poznvti trigonometrijske funkcije i njihove grfove poznvti pojm niz poznvti pojm derivcije funkcije rješvti linerne jedndžbe i nejedndžbe rješvti kvdrtne jedndžbe i nejedndžbe rješvti jedndžbe i nejedndžbe s psolutnim vrijednostim i s rješvti jednostvnije polinomske i rcionlne jedndžbe i nejedndžbe rješvti eksponencijlne i logritmske jedndžbe i nejedndžbe rješvti trigonometrijske jedndžbe i nejedndžbe rješvti sustve gore nvedenih jedndžbi i nejedndžbi Elementrn geometrij: znti elementrnu geometriju likov u rvnini poznvti prizmu, pirmidu, vljk, stožc, kuglu Trigonometrij: poznvti trigonometriju prvokutnog trokut znti poučk o sinusim i kosinusim znti primjenjivti trigonometriju u plnimetriji i stereometriji Anlitičk geometrij: koristiti koordintni sustv n prvcu i u rvnini poznvti pojm vektor, provoditi opercije s vektorim poznvti jedndžbu prvc poznvti pojm i elemente krivulje drugog red, njihove jedndžbe i skice Rješvti zdtke koristeći brojeve lgebru geometriju funkcije jedndžbe nejedndžbe grfički prikz 5
U ZADATCIMA.-. ZAOKRUŽITE JEDAN OD PONUĐENIH ODGOVORA ISPIT A. Z kvdrtnu jedndžbu 4 + 4= vrijedi tvrdnj: A. jedndžb im dv 9 3 (rzličit) reln rješenj B. jedndžb nem relnih rješenj C. jedndžb im smo jedno (dvostruko) rješenje D. jedndžb se ne može riješiti. + 3 : = A. B. C. D. 3. 7 U jednoj tbleti je 5. dobrih bkterij. Dijete od A. godin smije popiti njviše dvije tkve tblete tri put n dn. Koliko njviše tih dobrih bkterij dijete smije unijeti u orgnizm u jednom dnu? B. C. 8 5. 8.4 8.56 D. 8 3. 4. Ircionlno rješenje jedndžbe 7 4 = jednko je: A. log 3 B. log3 C. log3 4 D. log4 3 6
ISPIT A 5. Koj je od ncrtnih funkcij rstuć smo n intervlu [,5 ]? A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 6. Ako je log = s i log = t, ond je log = A. B. C. D. s t s t t s t s 7
ISPIT A 7. Apscise istknutih točk K, L, M, N, P n slici rješenj su jedndžbe: A. sin = B. s in + = C. cos = K L.5 M N P D. cos + = π π π π 8. Koji je od ponuđenih vektor okomit n vektor AB? A A. 3i 4 j B. 4i 3 j C. 3i 4 j D. 4i+ 3 j B 9. Zdne su funkcije: ( f g )() = f( ) = + 5 i g 3 ( ) 3 = +. A. 9 B. 6 3 C. 8 3 3 D. 3 4 9. Duljine osnovic trpez su cm i 3 cm. Udljenost polovišt dijgonl trpez je: A. 6.5 cm B. 5 C. 3.5 cm D. 3 cm 8
ISPIT A. Plin je poskupio 5%. Koliko treb pojeftiniti d bi mu krjnj cijen bil 5.5% već od cijene prije poskupljenj? A. 7.8% B. 8.6% C. 8.96% D. 9.5% ODGOVORITE NA ZADATKE OD.- 3.. Z koji reln broj sustv 4+ 3= 3 3+ = 5 nem rješenje? Odgovor: 3. Skicirjte skup točk rvnine zdn jedndžbom + + 6 8 + 9=. 4. Svjetski rekord u trčnju n m je 9.73 s. Koliko je to km/h? Odgovor: km/h 9
ISPIT A 5. Grfovi funkcij f i g su prikzni n slici. = f () (,6) (-3,3) (5,) = g() Rješenje nejedndžbe f ( ) g( ) je intervl ( 3 6. Broj + i) zpišite u obliku + bi. Odgovor: 7. Odredite domenu funkcije ( ) log5 4 f( ) = + 5. Odgovor: 8. Odredite mjeru kut koji s pozitivnom zrkom osi ztvr prvc = + 3. Odgovor: ' '' 9. Metlnu kuglu obujm 36π cm 3 treb pretopiti u vljk. Odredite visinu vljk ko je polumjer bze vljk jednk polumjeru kugle. Odgovor: cm
ISPIT A. Ncrtjte grf funkcije f( ) = 4.. Usporedno s prvcem + = povučene su tngente n elipsu 3 + 4 = 48. Odredite njihove jedndžbe. Odgovor:. N intervlu [,5π ] riješite nejedndžbu: π π sin cos > 4 4 4. Odgovor: 3. STADION Posljednji, 5- ti red stdion može primiti 48 gledtelj. Svki prethodni red prim gledtelj mnje. ) Koliko gledtelj prim prvi red stdion? Odgovor: b) Koliko je gledtelj n stdionu, ko je popunjen do posljednjeg mjest? Odgovor:
ISPIT A Svečn lož stdion im 5 mjest i smješten je unutr 5-tog do -tog red. Svki njezin red počevši od njnižeg im pet sjedl više od prethodnog. c) Koliko mjest im u prvom redu svečne lože? Odgovor: U ZADATCIMA 4.-6. PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA 4. Jedndžb tngente n grf funkcije je = 7. Odredite p i k. 5. Zdn je funkcij f ( ) ( 3 5 ) = + u točki s pscisom = p jednk f ( ) 5 k Odgovor: p =, k = = +. 5 ) Odredite nultočke funkcije. Odgovor: b) Odredite (loklne) ekstreme funkcije. Odgovor:
ISPIT A c) Skicirjte grf funkcije. 6. RAZGOVOR Dubrvk i Ivn komunicirju elektronskim uređjem domet 5 m. Dubrvk stoji n mjestu, Ivn hod kko je prikzno n slici. Koliko metr Ivn može hodti od trenutk uspostvljnj do trenutk prekid komunikcije? DUBRAVKA 688 m A 43 4' IVANA Odgovor: m 3
A RAZINA F O R M U L E Kompleksn broj: i =, z = + bi, z = bi, z = + b, b, R ( ) z = r(cosϕ + isin ϕ), z z = rr cos( ϕ + ϕ ) + isin( ϕ + ϕ ), z z r = ( cos( ϕ ϕ) + isin( ϕ ϕ) ), n n z = r (cosnϕ + isin nϕ ), r n n ϕ + kπ ϕ + kπ z = r cos + isin, k =,,..., n n n m n m n = + m n m, : = n ( ), m = m ( ), n m n m = ( ) ± b = ± b+ b, ( ) 3 3 3 3 ± b = ± b+ b ± b 3 b = ( b)( + b), ± b = ( ± b)( b+ b ) n n n + b = + b+... + b +... + b k n ( ) 3 3 n n n n k k n + b n b± b 4c Kvdrtn jedndžb: + b + c =,, = b c Vièteove formule: + =, = 4 Tjeme prbole: b, b T c 4 b b = = log b, log b b = = b log b( ) = logb + logb, logb = logb logb, logb = logb, log log log = log v Površin trokut: P + b+ c =, P= s ( s ) ( s b) ( s c), s = bsinγ bc P =, P =, P= ru s 4r o 3 3 Jednkostrničn trokut: visin: v =, površin: P =, ro = v, ru = v 4 3 3 + c Površin prlelogrm: P= v Površin trpez: P= v Površin krug: P= r π Opseg krug: O= rπ r πα rπα Površin kružnog isječk: P = Duljin kružnog luk: l = 36 8 Obujm prizme i vljk: V = B h, Oplošje prizme i vljk: O= B+ P Obujm pirmide i stošc: V = B h, Oplošje pirmide: O= B+ P, stošc: O= r π + rπ s 3 4 3 Obujm kugle: V = r π, Oplošje kugle: O= 4r π 3 U prvokutnom trokutu: nsuprotn ktet sinus kut =, hipotenuz priležeć ktet kosinus kut = hipotenuz, b b nsuprotn ktet tngens kut = priležeć ktet b c Poučk o sinusim: = = Poučk o kosinusim: c = + b bcosγ sin α sin β sin γ 4
A RAZINA sin + cos =, sin tg =, sin = sin cos, cos ( ± ) = ±, ( ) sin sin cos sin cos cos = cos sin cos ± = cos cos sin sin, Udljenost točk T, T : dt (, T) = ( ) + ( ) + Polovište dužine TT : + P, Površin trokut 3 P= + + Vektor TT : TT = = ( ) i + ( ) j = i + j Sklrni umnožk vektor: b = b cosα b = b + b Jedndžb prvc: k( ) Udljenost točke ( ) Krivulj drugog red Kružnic središte S( p, q) Elips fokusi F, ( ± e,) Hiperbol fokusi F, ( ± e,) Prbol fokus p F, TT T : ( ) ( ) ( ) 3 3 3, tg ± tg tg( ± ) = tg tg k k =, k = Kut između dvju prvc: tgα = + kk A+ B+ C T, i prvc p... A + B + C = : dt (, p) = A + B Jedndžb Tngent u točki krivulje (, ) + =r ( p)( p) ( q)( q) r ( p) ( q) + =, b =, b e b Uvjet dodir prvc = k+ l i krivulje + = ( ) r + k = ( kp q+ l) = + = k + b = l b e = + b b =± = k b = l b ( ) = p = p + p = kl n Aritmetički niz: n = + ( n ) d, Sn = ( + n) n Geometrijski niz: n q n q =, Sn = q Geometrijski red: S =, q < q Derivcij umnošk: ( f g) f g f g Tngent n grf funkcije f u (, ) Derivcije: c ' = n n ( ) = n, f f g f g = + ; Derivcij kvocijent: = g g = f T : ( ) ( ) n ( sin ) = cos ( cos ) = sin ( tg ) = cos 5
Udio sdržj u strukturi mturlnog ispit B rzin B RAZINA Brojevi i lgebr 45% Funkcije % Jedndžbe i nejedndžbe 5% Geometrij 5% Modelirnje 5% rzlikovti skupove N, Z, Q, R elementrno rčunti ( +,,, :, korjenovti, potencirti, određivti psolutne vrijednosti, zokruživti) koristiti postotke i omjere znti rčunti s lgebrskim izrzim koristiti džepno rčunlo rčunti s jedinicm z duljinu, površinu, obujm, vrijeme, msu i novc poznvti pojm funkcije i nčin njezinog zdvnj poznvti linernu funkciju i njezin grf poznvti kvdrtnu funkciju i njezin grf poznvti eksponencijlnu i logritmsku funkciju i njihove grfove rješvti linerne jedndžbe i nejedndžbe rješvti kvdrtne jedndžbe i nejedndžbe rješvti jednostvnije eksponencijlne i logritmske jedndžbe rješvti jednostvnije sustve gore nvedenih jedndžbi znti elementrnu geometriju likov u rvnini poznvti prizmu, pirmidu, vljk, stožc, kuglu koristiti koordintni sustv n prvcu i u rvnini poznvti jedndžbu prvc Rješvti zdtke koristeći: brojeve lgebru geometriju funkcije jedndžbe nejedndžbe grfički prikz 6
U ZADATCIMA.-. ZAOKRUŽITE JEDAN OD PONUĐENIH ODGOVORA ISPIT B. Zjednički dio ztvorenih intervl prikznih n slici sdrži: -5 A. 5 cijelih brojev B. 4 cijel broj 3 4 C. 3 cijel broj D. cijel broj. Mrko je pročito /3, An 7/, Pero 5/6 i Višnj / iste knjige. Tko je pročito njviše? A. Mrko B. An C. Pero D. Višnj 3. Ako je O= + b, td je b jednko: O A. b= + O B. b= C. D. O+ b = O b = 4. Skupu svih rješenj nejedndžbe 3 < pripd broj: A. B. C. D. 7
ISPIT B 5. Prvcu n slici pripd točk: A. (, 3) B. ( 3, ) C. ( 4,3 ) D. ( 4, 4) 6. = b A. b b B. b b C. b D. b 7..3 sti je: A. sti i 3 minute B. sti i 8 minut C. sti i minut D. sti i 3 minut 8. log 5 + log 4 = A. log 9 B. log C. D. 8
ISPIT B 9. Rčunlo gubi n vrijednosti % svke godine. Ako je kupljeno z 35 kn, kolik mu je vrijednost nkon dvije godine? A. 4 kn B. 56 kn C. 4 kn D. 8 kn 7. U jednoj tbleti je 5. dobrih bkterij. Dijete od godin smije popiti njviše dvije tkve tblete tri put n dn. Koliko njviše tih dobrih bkterij dijete smije unijeti u orgnizm u jednom dnu? A. B. C. 8 5. 8.4 8.56 D. 8 3.. N kojoj je slici prikzn grf funkcije ( ) =? f A. B. C. D. 9
ISPIT B. Duljine strnic prvokutnog trokut su 3 cm, 4 cm i 5 cm. Površin tog trokut iznosi: A. 6 cm B. cm C. cm D. 3 cm ODGOVORITE NA ZADATKE OD 3.- 3. 3. Pomnožite i pojednostvnite 5( 4)(3 + ). Odgovor: 4. Riješite sustv jedndžbi + 3 = 3 4+ 7 = 5 Odgovor: =, = 5. Riješite jedndžbu 3 =. Odgovor: =, = 6. Cijen mndrin proporcionln je njihovoj msi. Dopunite tblicu: ms 3 kg.5 kg cijen 3.5 kn 56.5 kn 7. Popunite: 3 + = + + 4 8. Izrčunjte 3 35 4 + 5 5. Odgovor: 9. + Odredite iz jedndžbe =.. Odgovor: =
ISPIT B. Odredite opseg lik s slike. 7 cm 5 cm cm. Putnj lopte opisn je funkcijom Odgovor: cm = + +, gdje je h visin lopte iznd 5 h zemlje u metrim, horizontln udljenost od mjest ispucvnj. Odredite visinu njvišeg položj lopte iznd zemlje. Odgovor:. SNIJEG NA ZAVIŽANU Grf prikzuje visinu snijeg izmjerenog n Zvižnu tijekom jednog tjedn: visin snijeg (cm) 5 pon 6: uto 6: sri 6: čet 6: pet 6: sub ned pon 6: 6: 6: vrijeme mjerenj ) Kolik je visin snijeg izmjeren u nedjelju u 6: sti? Odgovor: cm b) Visin snijeg je rsl u dv nvrt. Koliko je ukupno centimetr snijeg npdlo u t dv nvrt? Odgovor: cm
ISPIT B 3. LEDENICA Vez temperture T u ledenici i vremen t koliko je ledenic uključen zdn je formulom: Tt ( ) =.t+. Pri tome je tempertur izržen u C, vrijeme u minutm. ) Kolik je tempertur u ledenici pol st nkon uključenj? Odgovor: C b) Koliko minut poslije isključenj je tempertur u ledenici bil C? Odgovor: min U ZADATCIMA 4.-5. RIJEŠITE ZADATAK I PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA 4. Zdne su funkcije f ( ) = 3 i g ( ) =. ) Prikžite njihove grfove u istom koordintnom sustvu. b) Izrčunjte udljenost sjecišt grfov tih funkcij. Odgovor:
ISPIT B 5. ZDRAVA PREHRANA Dnevn potreb odrsle osobe iznosi 5 g ugljikohidrt i,9 g bjelnčevin po kg težine. Kilogrm hrne A im g ugljikohidrt i 6 g bjelnčevin, dok kilogrm hrne B im g ugljikohidrt i g bjelnčevin. Koliko kilogrm hrne A i B treb konzumirti d se zdovolje dnevne potrebe ugljikohidrt i bjelnčevin osobe koj je tešk 5 kg? Odgovor: Hrne A kg Hrne B kg 3
B RAZINA F O R M U L E m n m n = + m n m n : =, m = m, ± b = ± b+ b ( ) b = ( b)( + b) Rješenj kvdrtne jedndžbe + + =, : b c, = ± b b 4c Tjeme prbole: 4 T, 4 b b c = = log, log = = log log( ) = log + log, log = log log, log = log Površin trokut: v P = Površin prlelogrm: P= v Površin krug: P= Opseg krug: O= rπ r π B = površin bze, P = površin pobočj, h = duljin visine Obujm prizme i vljk: V = B h Oplošje prizme: O= B+ P Obujm pirmide i stošc: Obujm kugle: V = B h Oplošje pirmide: O= B+ P 3 4 V = 3 3 r π Udljenost točk T,T : dt ( ( ) ( ), T) = + Jedndžb prvc: = k( ), k = Uvjet usporednosti prvc: k = k 4