Zadatak 08 (Gimnazijalka, gimnazija) Nad stanicom B jednakostaničnog tokuta BC konstuiana je polukužnica koja dia iznuta ostale dvije stanice tokuta. ko je duljina stanice tokuta BC jednaka 6 cm, koliki je polumje polukužnice?. 4 cm B. cm C. 8 cm D. 4 3 cm Rješenje 08 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Tokut je geometijski lik koji ima ti stanice, ti kuta i ti vha. Tokute dijelimo: pema odnosu među duljinama stanica aznostaničan jednakokačan jednakostaničan pema kutovima šiljastokutan tupokutan pavokutan. Jednakostaničan tokut ima ti jednaka kuta α = 60 i ti jednake stanice. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). Stanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Za šiljaste kutove α i β pavokutnog tokuta vijedi: 0 α + β = 90. Pitagoin poučak Tokut BC je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Sinus šiljastog kuta pavokutnog tokuta jednak je omjeu duljine katete nasupot tog kuta i duljine hipotenuze. 0 sin 30,, a c = a b = a b = a d = b c. b d C 60 a a N d 60 30 a 60 Sa slike vidi se: S B
a B = BC = C = a = 6, S = SB = = 8, SN =, N = d 0 0 CB = BC = BC = 60, SN = 30 Uočimo pavokutan tokut SN. Tada je: 0 N d sin 30 = = d = 8 d = 8 /: d = 4. S 8 Upoabom Pitagoina poučka dobije se duljina polumjea polukužnice. a SN = S N = d = 8 4 = 64 6 = 48 = 48 / = 48 = 6 3 = 6 3 = 4 3 cm. Odgovo je pod D. Vježba 08 Nad stanicom B jednakostaničnog tokuta BC konstuiana je polukužnica koja dia iznuta ostale dvije stanice tokuta. ko je duljina stanice tokuta BC jednaka 3 cm, koliki je polumje polukužnice? Rezultat: D. Zadatak 08 (Mac, tehnička škola). 8 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 3 cm Razlika sedišnjih kutova dvaju kužnih lukova jednakih duljina je 30º. ko su polumjei jednaki 0 cm i 8 cm, izačunaj sedišnje kutove tih lukova. Rješenje 08 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. B S α l ko je polumje kužnice, tada je duljina luka sa sedišnjim kutom od α stupnjeva dana fomulom l π = α. 80 ( α ) 0 0 0 0 α 30 30 = + α α = + α α 30 α = 0 π α π α π α l π α 80 = l = 0 0 = / 80 80 0 0 80 80 π
α 30 0 0 30 0 = + α = α = + α 0 0 α 8 30 8 = + α = α = 0 α = 8 α Računamo α. ( α ) 0 0 0 0 α = 40 + 8 α 0 α 8 α = 40 α = 40 0 α = 30 + α 0 α = 0 0 0 α = 40 /: α = 0. 0 0 0 α = 30 + 0 α = 50. l l α l = l α B C Vježba 08 Razlika sedišnjih kutova dvaju kužnih lukova jednakih duljina je 30º. ko su polumjei jednaki 5 cm i 4 cm, izačunaj sedišnje kutove tih lukova. Rezultat: 0º, 50º. Zadatak 083 (ntonijo, tehnička škola) Kolika je mjea kuta α pikazanoga na slici ako je duljina dužine B jednaka polumjeu kužnice? B S α 0 0 0 0. 5 B. 30 C. 40 D. 45 Rješenje 083 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Tokut je geometijski lik koji ima ti stanice, ti kuta i ti vha. Jednakostaničan tokut ima ti jednaka kuta α = 60 i ti jednake stanice. Kut kojem je vh na kužnici, a čiji kakovi sijeku tu kužnicu naziva se obodni kut. Svi su obodni kutovi nad danim lukom kužnice sukladni. 3 C
Sedišnji kut β nad lukom kužnice jednak je dvostukom obodnom kutu α nad tim istim lukom. α β β = α α = β B S β α Sa slike vidi se: C B = BS = S =, BS = β = 60 0 Kut α je obodni kut nad lukom B, a kut β je sedišnji kut nad istim lukom. Budući da je tokut BS jednakostaničan tokut, mjea njegovih kutova je 60º pa vijedi: Odgovo je pod B. 0 β = 60 0 0 α = 60 α = 30. α = β Vježba 083 Kolika je mjea kuta β pikazanoga na slici? 4
B S β 0 Rezultat: C. 0 0 0 0. 5 B. 30 C. 40 D. 45 C Zadatak 084 (4, 4B, TUPŠ) Polumje pednjega kotača na taktou je 30 cm, a polumje stažnjega kotača je 55 cm. Za koliko je opseg stažnjega kotača veći od opsega pednjega kotača? Koliki je put pešao takto ako je pednji kotač napavio 50 oketaja više nego stažnji kotač? Rezultate napišite u metima. Rješenje 084 m = 00 cm. Zakon distibucije množenja pema zbajanju Opseg kuga polumjea iznosi: a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. O = π. Računamo za koliko je opseg stažnjega kotača veći od opsega pednjega kotača. = 30 cm O O = R π π O O = π ( R ) R = 55 cm O O = π 55 cm 30 cm O O = 57.08 cm.57 m. Neka je n boj oketaja koje napavi stažnji (veći) kotač. Tada pednji (manji) kotač napavi n + 50 oketaja pa možemo napisati jednadžbu: π n O = n + 50 O n R = n + 50 π n R π = ( n + 50) π / n R = ( n + 50) π 5 n R = n + 50 n R n = 50 n R = 50 50 = 30 cm 50 30 cm n ( R ) = 50 / n = n n 60. R R R = 55 cm = = 55 cm 30 cm Stažnji kotač napavi 60 oketaja, a pednji 0, dakle, 50 oketaja više. Put koji je takto pešao iznosi 07.35 m: n = 60 n O = n R π = = 60 55 cm π = 0 734.5 cm 07.35 m R = 55 cm n = 60 n + 50 O = n + 50 = 60 50 30 3 0 = + cm π = = cm π
= 0 734.5 cm 07.35 m. Vježba 084 Polumje pednjega kotača na taktou je 3 dm, a polumje stažnjega kotača je 5.5 dm. Za koliko je opseg stažnjega kotača veći od opsega pednjega kotača? Koliki je put pešao takto ako je pednji kotač napavio 50 oketaja više nego stažnji kotač? Rezultate napišite u metima. Rezultat:.57 m, 07.35 m. Zadatak 085 (4, 4B, TUPŠ) Opseg kuga je 8 π cm. Kolika mu je povšina?. 4 π cm B. 8 π cm C. 6 π cm D. 3 π cm Rješenje 085 Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Opseg kuga polumjea iznosi: O = π. Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Iz zadanog opsega kuga izačunamo njegov polumje. O = π π = O [ O= 8 π ] π = 8 π π = 8 π / = 4 cm π Povšina kuga iznosi: = 4 cm P = ( 4 cm) π P = 6 π cm. P = π Odgovo je pod C. Vježba 085 Opseg kuga je 4 π cm. Kolika mu je povšina?. 4 π cm B. 8 π cm C. 6 π cm D. 3 π cm Rezultat:. 6
Zadatak 086 (Sanja, sednja škola) utomobil vozi po ekvatou, a na visini od 8 m pati ga helikopte. Koliko je dulji put što ga pijeđe helikopte od puta što ga pijeđe automobil ako jednom obiđu Zemlju? Rješenje 086 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. Označimo polumje Zemlje (ekvato) u metima oznakom R. Kada jednom obiđu Zemlju: automobil pijeđe s = R π metaa helikopte pijeđe s = ( R + 8) π metaa. Razlika je s = s s s = R + 8 π R π s = R π + 6 π R π s = R π + 6 π R π s = 6 π s = 50. 7 m. Uočimo da azlika puta ne ovisi o polumjeu Zemlje. Zato bi ta azlika bila ista kada bi automobil vozio po kužnici bilo kojeg polumjea R, a na visini od 8 m patio ga helikopte. Poopćenje! R h s = R π s = s s s = R + h π R π s = R + h π s = R π + h π R π s = R π + h π R π s = h π. Vježba 086 utomobil vozi po ekvatou Mjeseca, a na visini od 8 m pati ga helikopte. Koliko je dulji put što ga pijeđe helikopte od puta što ga pijeđe automobil ako jednom obiđu Mjesec? Rezultat: 50.7 m. 7
Zadatak 087 (Mala undlava, TUPŠ) Na skici su pikazane ti sukladne male kužnice koje se međusobno dodiuju i koje iznuta dodiuju veliku kužnicu sa sedištem S. Izačunajte polumje velike kužnice ako je polumje male 5 cm. Rješenje 087 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Oko svakog tokuta može se opisati kužnica. Njezino sedište je sjecište tiju simetala stanica tokuta. Jednakostaničan tokut ima ti jednaka kuta α = 60 i ti jednake stanice. a R S a a Za jednakostaničan tokut vijedi: a 3 R =, 3 gdje je R polumje opisane kužnice tokutu. Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Zakon distibucije množenja pema zbajanju a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. 8
9 D S C B V E Sa slike vidi se: 5 30, 5 polumje velike kužnice, B BC C CD SD R = = = = = = = = D S C B V E
Uočimo da je tokut BC jednakostaničan sa duljinom stanice. Točka S je sedište opisane kužnice tokutu BC čiji polumje iznosi: 3 5 3 5 3 SC = SC = SC = 3 3 3 Tada je polumje velike kužnice jednak: SC = 5 3 SC = 0 3. R = SD R = SC + CD R = 0 3 + 5 R = 5 + 0 3 cm R = 5 3 + 3 cm. Vježba 087 Na skici su pikazane ti sukladne male kužnice koje se međusobno dodiuju i koje iznuta dodiuju veliku kužnicu sa sedištem S. Izačunajte polumje velike kužnice ako je polumje male 5 cm. Rezultat: = ( + ) = ( + ) R 6 4 3 cm 3 3 cm. Zadatak 088 (Laisa, gimnazija) Šiina kužnog vijenca je 4 cm, a povšina 36 π cm. Nađite zboj pomjea pipadnih kužnica. Rješenje 088 n a c a d + b c a b = ( a b) ( a + b), n =, + =. b d b d Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Zakon distibucije množenja pema zbajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Pomje kužnice: d =. ko su u avnini zadana dva koncentična kuga (imaju zajedničko sedište), manji kug polumjea i 0
veći polumjea R, tada se skup svih točaka avnine koje pipadaju većem kugu, a ne pipadaju unutašnjosti manjeg kuga zove kužni vijenac. Ploština kužnog vijenca izačunava se po fomuli gdje je R >. P = R π, d Sa slike vidi se = + d..inačica Budući da je zadana povšina kužnog vijenca, vijedi: P P = 36 π = 36 π = 36 π /: π = 36 ( ) ( ) = + d ( d ) ( ) ( d ) ( ) d ( ) [ d 4 ] ( ) /: 4 / + = 36 + + = 36 + + = 36 + = 36 = 4 + = 36 4 + = 36 + = 9 + = 9 + = 8 cm..inačica Budući da je zadana povšina kužnog vijenca, vijedi: P P = 36 π = 36 π = 36 π /: π = 36 ( ) ( ) 36 = + d ( d ) ( d ) 36 ( ) ( ) 36 ( ) 36 [ d ] 4 ( ) 4 ( + 4) = 36 /: 4 + 4 = 9 = 9 4 = 5 + = + + + = + + = + = = 4 + 4 = 36 5 = 5 /: =. Računamo. 5 5 5 4 5 8 3 d = + = + = + 4 = + = =. d = 4 Zboj pomjea iznosi:
5 3 5 3 + = + = + = 5 + 3 = 8 cm. Vježba 088 Šiina kužnog vijenca je 0.4 dm, a povšina 36 π cm. Nađite zboj pomjea pipadnih kužnica. Rezultat: 8 cm. Zadatak 089 (Laisa, gimnazija) Koliku povšinu možemo zagaditi ako od 00 m žice napavimo kužnicu? Rješenje 089 a a = b. b Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Budući da od žice adimo kužnicu, opseg kužnice jednak je duljini žice. O O = π π = O π = O /. π = π Povšina koju možemo zagaditi iznosi: Vježba 089 O O O O P = π P = π P = π P = π P = π 4 π 4 π 4 π ( m) 00 [ O = 00 m ] P = P = 795.77 m. 4 π Koliku povšinu možemo zagaditi ako od 0. km žice napavimo kužnicu? Rezultat: 795.77 m. Zadatak 090 (Laisa, gimnazija) Vodoskok kužna oblika pomjea 3 m okužen je tavnjakom šiine m. Odedite povšinu tavnjaka. Rješenje 090 n a c a d + b c a a a b a b n =, + =, =, =. b d b d b b n n n
a b = ( a b) ( a + b). Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Pomje kužnice: d =. Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b ko su u avnini zadana dva koncentična kuga (imaju zajedničko sedište), manji kug polumjea i veći polumjea R, tada se skup svih točaka avnine koje pipadaju većem kugu, a ne pipadaju unutašnjosti manjeg kuga zove kužni vijenac. Ploština kužnog vijenca izačunava se po fomuli gdje je R >. P = R π, R d.inačica Budući da je zadan pomje vodoskoka kužnog oblika, polumje iznosi: 3 = 3 = 3 /: = m. Vodoskok je okužen tavnjakom šiine m pa je polumje vanjske kužnice jednak 3 = 3 3 3 + 5 = + d = + = + = = m. d = Povšina tavnjaka jednaka je povšini kužnog vijenca. 5 3 P = P P P = ( ) π P = m m π 5 9 5 9 6 P = m m π P = π m P = π m 4 4 4 4 6 P = π m P = 4 π m. 4.inačica Budući da je zadan pomje vodoskoka kužnog oblika, pišemo: = 3 m. Vodoskok je okužen tavnjakom šiine d pa je polumje vanjske kužnice jednak 3
= + d. Povšina tavnjaka jednaka je povšini kužnog vijenca. π ( ) ( ) P = P P P = P = + π ( ) π P ( d ) ( d ) = + d P = + d + d + = + + π P d ( d ) π d = = + ( 3 ) 4. = 3 P = + π P = π m Vježba 090 Vodoskok kužna oblika pomjea 300 cm okužen je tavnjakom šiine 0 dm. Odedite povšinu tavnjaka. Rezultat: 4 π m. Zadatak 09 (4B dm, TUPŠ) Koliki je opseg kužnice koja je upisana u kvadat čija je stanica duljine 6 cm?. 3 π cm B. 6 π cm C. 9 π cm D. π cm Rješenje 09 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Kvadat je četveokut kojemu su sve stanice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite. S a Sa slike vidi se pa je opseg kužnice jednak Odgovo je pod B. a = a [ = a ] [ = 6 ] O = π O = a π a cm O = 6 π cm. Vježba 09 Koliki je opseg kužnice koja je upisana u kvadat čija je stanica duljine 9 cm?. 3 π cm B. 6 π cm C. 9 π cm D. π cm Rezultat: C. 4
Zadatak 09 (Matej, gimnazija) Zboj obodnog i sedišnjeg kuta nad istom tetivom iznosi 70º 9'. Koliko stupnjeva i minuta ima veći obodni kut nad istom tetivom? Rješenje 09 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Tetiva je spojnica dviju točaka kužnice. Svaki kut s vhom na kužnici čiji kakovi sijeku kužnicu zovemo obodni kut. Svaki kut s vhom u sedištu kužnice čiji kakovi sijeku kužnicu zovemo sedišnji kut. Sedišnji kut nad nekim kužnim lukom dva je puta veći od obodnog kuta nad istim lukom. α α = β β tetiva β = α Četveokut je dio avnine omeđen sa četii stanice. Četveokut kojemu se može opisati kužnica zove se tetivni četveokut. Zboj mjea nasupotnih kutova tetivnog četveokuta jednak je 80º. α γ α γ α γ α + γ = 360 α + γ = 360 /: α + γ = 80. Računamo mjeu taženog obodnog kuta. 5
α β γ α + β = 70 9' α + α = 70 9' 3 α = 70 9' 3 α = 70 9' /: 3 α = 3 3'. β = α Sada je: α + γ = 80 γ = 80 α γ = 80 3 3' γ = 56 37 '. Vježba 09 Zboj obodnog i sedišnjeg kuta nad istom tetivom iznosi 7º. Koliko stupnjeva i ima veći obodni kut nad istom tetivom? Rezultat: 56º. Zadatak 093 (Dubavko, sednja škola) Polumje ekvatoa je pibližno 6370 km. Koliko je dug kužni luk na ekvatou, ako mu pipada sedišnji kut od: a) jednog stupnja b) jedne kutne minute? Rješenje 093 = 60 ', ' = 60. Ekvato je zamišljena cta na povšini nebeskog tijela koja je jednako udaljena od obaju polova. Ekvato dijeli povšinu na sjevenu i južnu polutku. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. 6
B S α l ko je polumje kužnice, tada je duljina luka sa sedišnjim kutom od α stupnjeva dana fomulom π l ( α ) = α. 80 a) = 6370 km π 6370 km π l = α l = =.8 km. α = 80 80 b) = 6370 km π 6370 km π l = α l = =.853 km. α = ' = 80 80 60 60 Vježba 093 Polumje ekvatoa je pibližno 6370 km. Koliko je dug kužni luk na ekvatou, ako mu pipada sedišnji kut od 0º? Rezultat:.77 km. Zadatak 094 (Dubavko, sednja škola) Geogafska šiina Zageba je 45º 48' 54''. Kolika je udaljenost Zageba od ekvatoa? (polumje Zemlje = 6370 km) Rješenje 094 = 60 ', = 3600 '', ' =, '' =. 60 3600 Ekvato je zamišljena cta na povšini nebeskog tijela koja je jednako udaljena od obaju polova. Ekvato dijeli povšinu na sjevenu i južnu polutku. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. 7
B S α l ko je polumje kužnice, tada je duljina luka sa sedišnjim kutom od α stupnjeva dana fomulom l ( α ) π = α. 80 ZG α e k v a t o = 6370 km = 6370 km 48 54 α = 45 48'54 '' α = 45 + + 60 3600 = 6370 km = 6370 km π l α α = 45 = + 0.8 + 0.05 α = 45.85 80 6370 km π l = 45.85 = 5 093.60 km. 80 Vježba 094 Geogafska šiina Bjelovaa je 45º 53' 56''. Kolika je udaljenost Bjelovaa od ekvatoa? (polumje Zemlje = 6370 km) Rezultat: 50.9 km. Zadatak 095 (4B, TUPŠ) Zec tči po ekvatou, a na visini od 0 m pati ga sokol. Koliko je dulji put što ga pevali sokol od puta što ga pevali zec dok jednom obiđu Zemlju? Rješenje 095 8
Ekvato je zamišljena cta na povšini nebeskog tijela koja je jednako udaljena od obaju polova. Ekvato dijeli povšinu na sjevenu i južnu polutku. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. Zakon distibucije množenja pema zbajanju a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Neka je: polumje Zemlje (ekvatoa) izažen u metima + 0 polumje kužnice koju obleti sokol. Računamo boj metaa koji: petči zec O = π peleti sokol O = ( + 0 ) π. Tada azlika putova koje pevale sokol i zec iznosi: O O = + 0 π π O O = π + 0 π π [ 4 ] O O = π + 0 π π O O = 0 π π 3. Uočimo da ta azlika ne ovisi o polumjeu. O O = 0 3.4 O O = 6.8 m. Vježba 095 utomobil vozi po ekvatou, a na visini od 8 m pati ga zakoplov. Koliko je dulji put što ga pijeđe zakoplov od puta što ga pijeđe automobil ako jednom obiđu Zemlju? Rezultat: 50.4 m. Zadatak 096 (Linda, geodetska škola) Neka je BCD pavokutnik, a k je kužnica sa sedištem u koz C. Koliko je duga tetiva EF? F k D C 5. 37 3 B. 0.5 C. 50 D. 44 E. 5 0 B E 9
Rješenje 096 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Ploština tokuta izačunava se po fomuli a v b v a, b c v P = P =, P = c. Ploština tokuta jednaka je polovici podukta duljine jedne njegove stanice i duljine visine koja odgovaa toj stanici. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). Stanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut BC je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Ploština pavokutnog tokuta duljina kateta a i b izačunava se po fomuli: a b P =. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Plošna dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vha nekog mnogokuta. Dijagonala pavokutnika je dužina koja spaja dva njegova nesusjedna vha. Pavokutnik ima dvije dijagonale i one su jednakih duljina. ko je a duljina pavokutnika, b njegova šiina, fomula za duljinu dijagonale glasi: d = a + b. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke te avnine (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Dužina koja spaja dvije točke kužnice zove se tetiva. Simetala dužine je pavac okomit na dužinu te polazi njezinim polovištem. Svaka točka na simetali jednako je udaljena od ubnih točaka dužine. Dužina i njezina simetala zatvaaju pavi kut. Simetala svake tetive kužnice polazi sedištem te kužnice. k s S t t 0
F k Sa slike vidi se: b = 5 D v N d a = 0 B = DC = a = 0, D = BC = b = 5, C = BD = d, N = v, EF = t t EN = NF =, E = C = E = Polumje kužnice k jednak je dijagonali pavokutnika BCD. = d d = a + b = a + b = 0 + 5 = 400 + 5 F = 65 = 5. k t C B E b = 5 D v N d a = 0 Ploštinu pavokutnog tokuta BD možemo izačunati na dva načina i tako naći duljinu visine v. P = P = BD B N D BD N B D d v a b = = d v a b a b 0 5 = / v = v = v =. d d 5 t C B E
F k b = 5 D v N d a = 0 Uočimo pavokutan tokut EN i upoabimo Pitagoin poučak. t t EN = E N = v = v / t t = v = v / t = v t = 5 Odgovo je pod. t = 65 44 t = 48 t = 37 3. Vježba 096 Neka je BCD pavokutnik, a k je kužnica sa sedištem u C koz. Koliko je duga tetiva EF? E D C t C B E 5 0 B k F Rezultat:.. 37 3 B. 0.5 C. 50 D. 44 E. 5
Zadatak 097 (Linda, geodetska škola) Kolika je duljina veće stanice pavokutnika? + 5. + 5 B. C..5 D. 5 E. 5 Rješenje 097 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). Stanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut BC je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke te avnine (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. n n n a + b = a + a b + b, a b = a a b + b, a b = a b. a b a b a b a + b a b = a b, =, + =. n n n n n n Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Zakon distibucije množenja pema zbajanju a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. 3
R R R R Sa slike vidi se: R + + R = 4 R + = 4 R + = /: R + = = R. R R Uočimo pavokutan tokut (žuta boja) i upoabom Pitagoina poučak dobije se: R + = ( R + ) + + R + R + = R + R + + + + R + R + = R + R + + + + 4 4 R + R + = R + R + + + + 4 4 R + R + = R + R + + + + R = R + + + 4 4 R = R + +. Iz sustava jednadžbi izačunamo R. 4
= R metoda zamjene R = R + + R = R R + R + R R = R 4 R + R + ( R) + R R = R 4 R + 4 4 R + R + R R = R 4 R + R + 4 R + R 4 R = R 4 R + 4 R + 8 R + R R = R 4 R + 4 R + 8 R + R 4 4 R = R 4 R + 4 R + 8 R + R R = R 4 R + 4 R + 8 R + R 0 = 4 R + 4 R + 8 R + R 0 = 4 R 6 R + 4 R 6 R + = 0 a = 4, b = 6, c = 4 R 6 R + = 0 b ± b 4 a c a = 4, b = 6, c = R, = a R 6 ± 6 4 4 6 36 6 6 0, 4 R ±, 8 R ± = =, = 8 R 6 ± 4 5 6 4 5 6 5 3 5, 8 R ±, 8 R ±, 8 R ± = = =, = 8 3 + 5 n ( 3 ± 5 R ) 3 5 = > ema smisla ± 4 3 5 R, = R, = R =. 8 4 3 5 4 R = 4 Sada iznosi: 3 5 R = 4 3 5 3 5 3 5 = = = 4 4 = R 3 5 3 + 5 + 5 = = =. 5
Duljina a veće stanice pavokutnika je: + 5 a = + + + + + a = + + a = + = a 5 5 a = + + a = + + a = + + 5 a = + 5 Odgovo je pod D. Vježba 097 Kolika je ploština pavokutnika? a = + 5 a = 5. + 5. + 5 B. C..5 D. 5 E. 5 Rezultat: D. 6
Zadatak 098 (Linda, geodetska škola) Kolika je obojena povšina? π. B. π + C. + D. π 3 + E. π + 4 Rješenje 098 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). Stanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut BC je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Poluopseg tokuta ako su mu poznate duljine stanica a, b, c. a + b + c s =. Tokut koji ima dvije sukladne stanice zove se jednakokačan tokut. Sukladne stanice su kaci, a teća stanica zove se osnovica ili baza tokuta. Ploština jednakokačnog tokuta izačunava se po fomuli a v b v P = a, P = b. Ploština pavokutnog tokuta duljina kateta a i b izačunava se po fomuli: a b P =. Ploština tokuta ako su mu poznate duljine stanica a, b, c i duljina polumjea upisane kužnice. a + b + c P = s, s =. Sukladnost tokuta Kažemo da su dva tokuta sukladna ako postoji piduživanje vhova jednog vhovima dugog tako da su odgovaajući kutovi jednaki, a odgovaajuće stanice jednakih duljina. α = α, β = β, γ = γ, a = a, b = b, c = c. Pvi poučak sukladnosti (S S S) Dva su tokuta sukladna ako se podudaaju u sve ti stanice. Dugi poučak sukladnosti (S K S) Dva su tokuta sukladna ako se podudaaju u dvije stanice i kutu između njih. 7
Teći poučak sukladnosti (K S K) Dva su tokuta sukladna ako se podudaaju u jednoj stanici i oba kuta na toj stanici. Četvti poučak sukladnosti (S S K) Dva su tokuta sukladna ako se podudaaju u dvije stanice i kutu nasupot većoj stanici. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke te avnine (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Zakon distibucije množenja pema zbajanju D a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. a c a c =, a = a, a b a + b = a b. b d b d n a b = a a b + b, = n. N C k S T B Sa slike vidi se: B = DC =, T = TB = DN = NC = D = TN = BC = DT = TC =, SN = Uočimo jednakokačne pavokutne tokute TD i TBC. Oni su sukladni je se podudaaju u dvije stanice i kutu između njih. Duljinu hipotenuze DT izačunamo pomoću Pitagoina poučka. DT = D + T DT = + DT = + DT = 8
Dakle, vijedi: Poluopseg tokuta TCD iznosi: DT = / DT =. DT = TC =. TC + CD + DT + + + + s = s = s = s = ( ) + s = s = +. Povšina tokuta TCD može se izačunati na dva načina. CD TN P = s = P = s, polumje upisane kužnice CD TN CD TN s = / = = = s s + + CD TN acionalizacija = nazivnika = = + + = = =. Povšina obojenog dijela jednaka je zboju povšina pavokutnih tokuta TD i TBC te povšine kuga k polumjea. T D TB BC P = P TD + P TBC + P k P = + + π π P P = + + = + + + π π π π P = + + P = + 3 P = 3 +. Odgovo je pod D. Vježba 098 Kolika je bijela povšina? 9
π. B. π + C. + D. π 3 + E. π + 4 Rezultat: D. Zadatak 099 (Linda, geodetska škola) ( cicle k is inscibed into a quate cicle of adius 6 as shown on the ight. What is the adius of k?) Kug k je upisan u četvtinu kuga polumjea 6 kako je pikazano na slici. Koliki je polumje kuga k? 6 3. B. C..5 D. 3 E. 6 R = 6 k Rješenje 099 ( a b) = a a b + b, a b = a b. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). Stanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut BC je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke te avnine (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Zakon distibucije množenja pema zbajanju a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. 30
O C x D S B Sa slike vidi se: O = OC = S = SC = SD = SB =, OD = x, OB = R = 6 Za duljinu OB vijedi: [ 6 ] OB = OD + SD + SB R = x + + R = x + R = 6 = x + x + = 6 x = 6. O x D C S B Za pavokutan tokut OSC je hipotenuza a katete pa se upoabom Pitagoina poučka dobije: OS = OD + SD OS = x +, OC = SC = OS = OC + SC x + = + x + =. Iz sustava jednadžbi izačunamo. 3
x = 6 metoda ( 6 + ) = ( 6 ) = ( x + ) = zamjene 36 + = 36 + = 0 + 36 = 0 + 36 = 0 + 36 = 0 / ( ) + 36 = 0 a =, b =, c = 36 a =, b =, c = 36 ± 4 ( 36) b ± b 4 a c, =, = a ± 44 + 44 ± 44 ± 44, =, =, = = nema smisla ± +, = = + = + + = = = 6 ( + ) = 6 ( ). Odgovo je pod E. Vježba 099 ( cicle k is inscibed into a quate cicle of adius 3 as shown on the ight. What is the adius of k?) Kug k je upisan u četvtinu kuga polumjea 3 kako je pikazano na slici. Koliki je polumje kuga k? 3. B. C..5 D. E. 3 R = 3 k Rezultat: E. 3
Zadatak 00 (Jee, sednja škola) Ploština bijelog dijela na slici je π. Kolika je duljina B?. B. C. 3 D. 4 Rješenje 00 ( a + b) = a + a b + b. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). Stanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke te avnine (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Duljina polumjea označava se slovom. Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Zakon distibucije množenja pema zbajanju a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skatiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Talesov poučak Svaki obodni kut nad pomjeom kužnice je pavi (jednak je 90º). 33
pomje S Euklidov poučak Neka je BC pavokutan tokut s visinom CD na hipotenuzu B. Tada je v = p q, a = c p, b = c q, gdje je p = DB i q = D. Visina pavokutnog tokuta je geometijska sedina odsječaka na hipotenuzi, a kateta je geometijska sedina hipotenuze i pipadnog odsječka. C b v a B q c D p 34
Sa slike vidi se: Pomje kuga k je pa njegov polumje ρ iznosi: T = TB = t, B = t, S T = S C = R, TC = R S D = S T =, DT =, DC = + R, SD = SC = ρ DC = + R DC = + R DC + R + R ρ = ρ = ρ = ρ = + R. ko od ploštine kuga k oduzmemo ploštine kugova k i k dobit ćemo ploštinu bijelog dijela sa slike koja iznosi π. P P P = π ρ π π R π = π ρ π π R π = π /: π ρ R = = + R ( R) R R R R [ ρ ] + = + + = + R + R R = R = R = /: R =. Po Talesovu poučku tokut DC je pavokutan je je DC pomje kužnice k. Upoabom Euklidova poučka dobije se: [ R ] T = DT TC t = R t = 4 R = t = 4 Duljina B iznosi: Odgovo je pod D. t = 4 t =. B = t B = B = 4. Vježba 00 Ploština bijelog dijela na slici je 8 π. Kolika je duljina B?. B. 4 C. 6 D. 8 Rezultat: D. 35