5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani kut α, ima: prilezecu stranicu, suprotnu stranicu i hipotenuzu. suprotna stranica prilezeca stranica sinα cosα hipotenuza r hipotenuza r suprotna stranica prilezeca stranica tanα cotα prilezeca stranica suprotna stranica hipotenuza r hipotenuza secα cosecα prilezeca stranica suprotna stranica Na donjoj slici, prikazan je jedinicna kruznica, sa radijusom r. To je pomagalo pomocu kojeg se jednostavnim putem mogu prikazati vrijednosi za trigonometrijske funkcije. Promatrajmo slijedece trokute u kruznici: Trokut OCE za kut od α i trokut OAB za kut α 6 sin CE cos OC tan DF cot JG sin 6 AB cos 6 OA tan 6 DH cot 6 JK r Triginometrija
Vrijednosti za kut α 45 nije nacrtana radi preglednosti. Lako je zakljuciti, da je presjeciste tangens i kotangens pravaca u tocki L. Promatrajmo kvadrat ODLJ. Dijagonala (nije nartana), je duzina OL. Nagib dijagonale kvadrata je α 45. Vrijednosti za funkcije su slijedece: sin 45 nije nacrtano cos 45 tan 45 DL cot 45 JL U praksi se najcesce koriste funkcije : sin, cos i tan. Ostale funkcije se lako izvedu iz osnovnih. 5. Trigonometrijske funkcije specificnih kuteva Promatrajmo donju jedinicnu kruznicu i odredimo pojednie trigonometrijske funkcije : ( α) Analizirajmo kut ϕ 9 + : Iz sukladnosti trokuta OCE i OPT vrijedi i OVP moze se definirati: TP OC sinϕ TP sin 9 + α OC cosα CE OT cosϕ OT cos 9 + α CE sinα DW JG tanϕ DW tan 9 + α JG cotα DF JM cotϕ JM cot 9 + α DF tanα ili nakon sto sredimo, funkcije imaju slijedeci oblik: ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) sin 9 + α cosα odnosno:sin 9 α cosα cos 9 α sinα cos 9 α sinα tan 9 α cotα tan 9 α cotα cot 9 α tanα cot 9 α tanα Slicnim putem dolazimo do slijedecih izraza: ( α) α ( α) α ( α) ( α) α ( α) α ( α) ( α) α ( α) α ( α) ( ± α) ± α ( α) α ( α) sin 8 ± sin sin 7 ± cos sin 6 sinα cos 8 ± cos cos 7 ± ± sin cos 6 cosα tan 8 ± ± tan tan 7 ± cot tan 6 tanα cot 8 cot cot 7 ± tan cot 6 cotα Triginometrija
5. Funkcije slozenih kuteva, duzina luka, povrsina kruznog isjecka. sin sin ( 8 + ) sin. cos 5 cos 7 + 45 sin 45. tan tan 8 7 tan 7.74 4. π π radijana se u pravilu ne pise 8 6 5. π π 45 45 8 4 6. π π 8 6 π 7. π π 8 5 4 4 π 8. 5π 5π 8 5 6 6 π 9. 7π 7π 8 5 4 4 π. π Nadji duzinu kruznog luka koji pripada kruznici radijusa r m i kuta α 6 π π l r ϕ(u radijanima).57m 6. π Nadji radijus kruznice koja ima duzinu luka l 7. cm, koji pripada kutu od α 6 l r ϕ 5 7. π 8 7..68 π 6. Nadji pvrsinu kruznog isjecka, odredjenog kutem α 8 i radijusa r 5.5 cm π P r ϕ 5.5 8 5.4 cm 8. Odredi kut koji pripada kruznom isjecku povrsine 75.5 cm i radijusa r. cm P P 75.5 8.. 57.869 r. π r ϕ ϕ 4. Nadji duzinu centralne crte na autoputu, koji ima radijus r m i zatvara π kut od α6 l r ϕ 6 46 m 8 Triginometrija
5. Nadji povrsinu koju poda koju zahvate vrata kada se otvore za α a imaju sirinu r75. cm. 76. π 557.78 c P r ϕ m 8 6. Plinovod duzine l.5 km ima oblik kruznog luka radijusa r 8.5 km. Odredi koji kut zahvata taj luk. l.5 8 ϕ.8.8.9 r 8.5 π 7. Rotirajuci rasprsivac za zalijevanje trave zahvaca kut od α5 i baca vodu na udaljenost od r5 m. Odredi povrsinu trave koju zalijeva. π P r ϕ 5 5 67. m 8 8. Zeljeznicka pruga ima oblik luka, pod kutem od α 8.Ako je radijus unutarnjeg ruba r 8.55 m a sirina pruge.44 m, nadji razmak u duzini izmedju vanjskog i unutarnjeg dijela pruge: π lu ruϕ 8.55 8.95m 8 π lv rvϕ ( 8.55 +.44) 8 4.656m 8 l 4.656.95.74m 9. Komunikacijski satelit je uvijek iznad iste tocke ekvatora, na visini od h 59 km. Ako je radijus zemlje r 67 km odredi brzinu satelita. z ( ω ) [ ], ω[ ] Odnos obodne brzine v i kutne brzine v ω r v m s rad s, je definirana sa okret π Odredimo kutnu brzinu zemlje: ω.68 rad / h dan 4sata Radijus na kome se krece satelit: r r + h 67 + 59 49km Brzina satelita je: v ω r.68 49 7 km/ h z. Automobil napravi "U" zaokret u vremenu t 6 s. Izracunaj kutnu brzinu ω automobila. rπ Put je jednak polovici opsega kruznice, rπ: rπ v t v t rπ π π Brzina iznosi: v ω r Izjednacimo: ω r ω.5 rad/s t t 6 Triginometrija 4
. Dionica ceste ima oblik kruznog luka, radijusa r 85 m, i zatvara kut od α 5.6. Izracunaj kolicinu potrosenog asfalta, ako je sirina ceste 5. m a debljina asfalta δ.5 m. Povrsina isjecka iznosi: P r ϕ; Cesta ima dvije mjere: unutarnji radijus r 85 m i vanjski radijus r 85 + 5.. m u π Povrsina isjecka: P ( rv ru ) ϕ (. 85) 5.6.9 m 8 Volumen asfalta iznosi: V P v δ.9.5 69.4 m 5.4 Trigonometrijski identiteti Iz ranije izlozene jedinicne kruznice, mogu se izvesti slijedece identicnosti: α + α sinα α α α cscα secα cosα cosα sinα sin cos sin cos tan cotα tanα cotα + tan α sec α + cot α csc α Identicnosti za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija sin i cos : α + β α β α + β α β sinα + sin β sin cos sinα sin β cos sin α + β α β α + β α β cosα + cos β cos cos cosα cos β sin sin Identicnosti za produkt trigonometrijskih funkcija sin i cos : sinαcos β sin sin cos sin sin sin α + β + α β α β α + β α β cosαcos β cos( α + β) + cos( α β) sinαsin β cos( α + β) cos( α β ) Ne ulazeci u dokazivanje istinitosti, u nastavku su identiteti za gornje spomenute funkcije: sin α ± β sinαcos β ± cosαsin β cos α ± β cosαcos β sinαsin β tan tanα + tan β ± tanαtanβ ( α β) sin α sinαcosα cos α cos α sin α ta cos cos cos sin α α α α α cosα α + cosα sin ± cos ± tanα nα tan α Triginometrija 5
α + β α β sinα cos β sin sin sin sin sin cos α + β + α β α + β α + β α β cosα sin β sin ( α β) sin ( α β) sinα sin β cos sin + α + β α β cosα cos β cos( α + β) + cos( α β) cosα + cos β cos cos α + β α β sinα sin β cos( α + β) sin ( α β) cosα cos β sin sin cos csc. Dokazi da je: tan cot cos cos csc sin cos sin sin tan cot cos sin cos cos sin sec ϕ cotϕ. tan ϕ tan ϕ sec ϕ sec ϕ tan ϕ tan ϕ sec ϕtanϕ tan ϕ cotϕ tanϕ tanϕ sec ϕ tan ϕ tanϕ ϕ ϕ sec tan po gornjoj definiciji 4. sinϕ cosϕ sinϕcotϕ + sinϕ ( + ) ( + ) ( sinϕ) sinϕ ( sinϕ) ( + sinϕ) ( + ) ( + ) sinϕ sinϕ sin ϕ sinϕcotϕ cosϕ sinϕcosϕ cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ sinϕ sinϕ cos ϕ cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ csc 5. cos tan + cot csc sin sin tan + cot sin cos sin + cos + cos sin sin cos sin cos cos sin Triginometrija 6
6. sec csc sec + csc sin ( + tan ) csc csc + csc tan csc + csc + cos sin cos sec + csc 7. sin csc sin cos sin ( csc sin ) sin csc sin sin sin sin cos sin 8. sin tan + cos sec sin sin + cos sin tan + cos sin + cos sec cos cos cos 9. sec tan csc tan + sin cos csc sec tan csc sec csc sec csc sec sec tan +. tan cos + cot sin sin cos tan cos + cot sin cos + sin sin + cos cos sin ( α β) sin. cotα cot β sinαsin β ( ) sin α β sinαcos β cos βsinα sinαcos β cos βsinα cot β cot β sinαsin β sinαsin β sinαsin β sinαsin β π π. sin + cos + ( cos sin ) 4 4 π π π π π π sin + cos + sin cos + cos sin cos cos sin sin 4 4 4 4 4 4 π π π π π π sin cos cos sin sin cos + cos sin cos sin sin cos 4 4 4 4 4 4 cos sin cos sin cos sin cos sin ( cos sin ) + Triginometrija 7
. sec + cos + cos + cos + cos cos cos ( ) sec sin cos 4. + 4cos sin cos sin cos sin cos+ cossin sin + sin 4 + sin cos sin cos sin sin ( sincos) 4cos sin α α sin + cos α α 5. sec + csc sinα α α α α sin cos sin cos α α + + sin cos + + sinα α α α α α α α α sin cos sin cos sin cos cos sin α α sec + csc sec tan 6. cos cot sec tan sec tan sec tan po definiciji sec + tan cos cot sec tan cos 7. tan cot sin cos sin cos cos cos + sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos tan cot cos sin 8. cos csc tan csc cot Triginometrija 8
sin po definiciji csc sin cos cos csc tan cos + cot + sin 9. sec + tan + cot sin cos sin cos sin sin cos sin + + + sec + tan + cot + + cos cos sin sin cos sin cos cos + sin 4. cos + tan cos + sin cos + sin cos + sin cos + tan sin cos + sin + cos cos 4. tan + cot sin cos sin cos sin cos sin + cos tan + cot sin cos + sin cos sin cos cos sin sin cos + 4 4 sin cos 4 4. sin 4 cot 4 4 4 4 4 4 4 4 sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin 4 4 4 4 4 4 cot cos sin cos sin cos sin 4 4 sin 4 4 cos sin 4. sec ( sec cos ) + + tan sec cos cos sin sin cos sin sec sec cos + + cos + + cos cos cos cos cos sin cos + cos + cos sin + cos sin + sec cos cos cos ( + ) + ( + ) 44. cos cos sin sin cos + cos + sin + sin cos cos sin sin cos + + sin cos + cos sin sin cos cos sin sin cos + sin sin cos + + + cos sin cos cos sin cos Triginometrija 9
( π) ( π) ( ( π π) 45. sin cos cos sin sin cos π cossin π sin coscosπ + sin sinπ cos sin cos cossin sin cos+ cossin cosπ sinπ 46. sin cos cos sin sin sin 9 47. cos cos 48 sin sin 48 cos + 48 cos6 π sin + cos 48. sin + 4 π π π sin + sin cos + cos sin cos + sin cos + sin 4 4 4 cos + sin ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 49. sin sin sin sin sin + sin sin cos + cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin + sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin ( sin ) sin ( sin ) sin sin sin sin + sin sin sin sin 5. sin cos + cos sin sin + cos + csc + cos sin ( + cos) sin cos cos cos cos + + + + + csc + cos sin + cos sin + cos sin sin 5. Izrazi sin sa faktorima jednostrukog kuta : sin sin + sin cos + cos sin cos cos ( sin ) sin sin cos sin cos + + sin sin sin sin + sin sin sin sin + sin sin sin 4sin Triginometrija
5. Dokazi identicnost: + cos α + cos 4α + cos 6α 4 cosα cos α cos α 4α + α 4α α + cos α + cos 4α + cos 6α + cos 6α + cos cos + cos cos cos cos cos cos cos cos α α + α α α + α α + α α α cosαcos cos 4cosαcos αcosα sin 4+ sin 5. Dokazi identicnost: tan cos4+ cos 4+ 4 sin cos sin 4+ sin sin cos sin tan cos 4+ cos 4+ 4 coscos cos cos cos 5. Dokazi identicnost: cos sin ( cos cos cos 5) 6 ( sin cos ) cos sin cos sin cos sin cos 4 sin sin cos sin ( sin cos ) sin ( sin + sin ) ( sin sin + sin sin ) 4 4 8 ( c os 5 cos ) + ( cos cos ) 8 ( cos 5+ cos cos + cos ) ( cos cos cos 5) 6 6 tan sin sin 5 4. Dokazi identicnost: sin + sin + tan + cos sin tan tan sin sin + cot tan sin + sin + + + sin cos tan tan 6 5 5. Dokazi jednakost: cos 465 cos65 465 + 65 465 65 cos 465 cos65 cos cos cos 5 cos5 6 cos( 7 45 ) cos( 8 ) cos 45 cos Triginometrija
sin 75 sin5 5 6. Dokazi jednakost: cos 75 + cos5 75 + 5 75 5 cos sin sin 75 sin5 sin tan cos 75 + cos5 75 + 5 75 5 cos cos cos 5.5 Trigonometrijske jednadzbe Rijesiti trigonometrijsku jednadzbu podrazumijeva pronaci odgovarajuce vrijednosti funkcije za zadani interval nezavisne promijenjive, obicno zadane u radijanima. Dobijena rjesenja imaju, opcenito gledano, beskonacno mnogo rjesenja, jer su trigonometrijske funkcije periodicne, sa slijedecom periodom: Funkcije sin i cos imaju periodu π odnosno ( ) π odnosno kπ; ( k,,,... n) kπ; k,,,... n,funkcije tan i cot imaju periodu U nastavku, sva rjesenja trigonometrijskih jednadzbi, biti ce za interval < π. 5. Rijesi jednadzbu: cosϕ - π 5π cosϕ cosϕ ϕ ( 6 ), ( ) π 5π Rjesenje jednadzbe je: ϕ ( 6 ), ( ) jer zadovoljava postavljene uvjete. 5. Rijesi jednadzbu: cos - sin ϕ ( ) (-) sin sin sin sin + + sin sin sin sin π 5π 6 6 π π 5π π Rjesenje jednadzbe je:, 5, 6 6 7 ( sin ) sin ( ), ( 5 ) ( sin + ) sin ( 7 ) 54. Rijesi jednadzbu: sec + tan 6 + tan + + tan 6 tan tan 5 ± 4 4 ± 4 tan, ±.4495 Triginometrija
tan.4495.9669 55.9, 4.8 5.9 tan.4495.85 7.8, 4.995 6.6 Rjesenje jednadzbe je:.9669 55.9, 4.8 5.9,.85 7.8, 4.995 6.6 ( ) 55. Rijesi jednadzbu: 7sin sin 7sin 6 + sin sin 8 sin.8 45.87 Rjesenje jednadzbe je: 45.87 56. Rijesi jednadzbu: 4sin sin sin, ± 4 π π 4π 5π sin 6, sin 4, π π 4π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( 6 ), ( ), ( 4 ), ( ) 57. Rijesi jednadzbu: sin 4 cos sincos cos cos sin π π π π cos, ( 45 ), ( 5 ) 4 4 π 5π π 5π sin sin, 5, 75 6 6 π π 4π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( 6 ), ( ), ( 4 ), ( ) 58. Rijesi jednadzbu: sin sin + cos sin cos sin + cos cos sin + π π cos 9, 7 π π Rjesenje jednadzbe je: 9, 7 sin + sin, ± Nema smisla. Rjesenje je imaginarni broj. Triginometrija
59. Rijesi jednadzbu: cos ( cos sin ) cos cos cos cos sin sin + π π 5π 7π sin, ± ± 45, 5 5, 5 4 4 4 4 π π Rjesenje jednadzbe je: ( 9 ), ( 7 ) 6. Rijesi jednadzbu: cos sin + sin sin + cos sin sin sin sin k ± k k k k, sin nema smisla π 5π k sin, 6 6 5 π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( ), 6 6 5 b b 4ac a 6. Rijesi jednadzbu: sin csc sin sin sin sin sin 7π π sin sin, b± b 4ac 6 6 sin, a π sin sin ( 9 ) 7π π π Rjesenje jednadzbe je: ( ), ( ) ( 9 ) 6 6 6. Rijesi jednadzbu: tan + sin sin sin cos + sin + sin cos cos cos cos + cos sin, π ( 8 ) sin + sin cos cos sin cos + cos b± b 4ac cos cos + cos cos, a cos Triginometrija 4
π 5π, ( 6 ), ( ) Rjesenje jednadzbe je:, π 8 π 5π, 6, 5.6 Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija Funkcije asin d + c acos b + c Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija se u pravilu daje u pravokutnom koordinatnom sistemu, u radijanima, kao jedinici mjere. Na taj nacin funkcijske vrijednosti, zavisne promijenjive, poprimaju realne vrijednosti. Svaka trigonometrijska funkcija ima osnovne karakteristike, za podrucje koje se obicno zadaje u domeni nezavisne promijenjive od π : AMPLITUDA a Maksimalna vrijednost funkcije koja moze biti pozitivna ili negativna. Ta je vrijednost jednaka apsolutnoj vrijednosti a. Promatrajmo funkcije acos 4cos Amplituda funkcije iznosi a 4 asin sin Amplituda funkcije iznosi a 4.5.5.75 5 6.5.5.5.75 5 6.5 - - -4 - PERIODA P Perioda funkcije je definirana kao udaljenost dviju tocaka nezavisno promijenjive, kada funkcija ponavlja svoju vrijednost. Za funkcije sin i cos, perioda iznosi π. To znaci da se vrijdn e osti funkcije ponavljaju svakih π odnosno nakon punog okretaja. π π π Promatranmo funkcije: a sin b sin 4 a, P b 4 π π a cosb cos a, P b Triginometrija 5
.5.5.5.5.75 5 6.5.5.5.75 5 6.5 -.5 - -.5 - FAZNI POMAK faza Fazni pomak funkcije je definirana kao pomak pocetne tocke funkcije u odnosu na ishodiste. Taj pomak moze biti pozitivan ili negativan a izrazen je u radijanima ili stupnjevima. c Fazni pomak se racuna faza b π π c Promatrajmo funkcije: sin sin 4 π a b+ c + faza 4 b 8 c π π asin ( b+ c) sin ( π ) faza b.5.5.5.75 5 6.5.5.5.75 5 6.5 -.5 - - - π Za zadanu funkciju a cos( b + c) cos odredi amplitudu, periodu i fazni pomak. 6 π π π c Amplituda iznosi: a Perioda iznosi: P 4 faza 6 π π b b Triginometrija 6
.5 5 7.5.5 5 - π π Vodeni val ima oblik funkcije asin ( b+ c).7sin + 4 Odredi amplitudu, periodu i fazni pomak izrazenu u metrima. π π Amplituda iznosi: a.7 m Perioda iznosi: P 4 m b π π c faza 4.5 m b π.5.5.5 5 7.5.5 5 -.5 -.5 Funkcije tan; cot; sec; csc Ove trigonometrijske funkcije imaju periodu π, sto znaci da se funkcijska vrijednost ponavlja svakih pola kruga (vidi jedinicnu kruznicu). Triginometrija 7
( ϕ) ( ϕ + ϕ) ( ϕ ) ( ϕ) 6. Izraz sin + 4cos preuredi u oblik acos i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza sin + 4cos acos u intervalu π. acos a cos cos sin sin 4 a cosϕ 4 cosϕ a sin + 4cos asinϕ sinϕ a 4 cos ϕ + sin ϕ + a 5 a ± 5 a a 4 4 a 5 cosϕ ϕ cos.645 5 5 4 4 a 5 cosϕ ϕ cos.785 5 5 sin 4cos 5cos.645 Nase jednadzbe inaju slijedeci izgled: sin + 4cos 5cos(.785) + Triginometrija 8
Maksimalna vrijednost: 5cos.645 je za:.645.645 i ma : 5cos 5 Minimalna vrijednost: 5cos.645 je za:.645 π.785 min : 5cosπ 5 ( ϕ) ( ϕ ϕ) ( ϕ ) 64. Izraz 5sin + sin preuredi u oblik acos i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu π. acos a coscos + sin sin 5sin + sin 5 a cosϕ 5 cosϕ a 5 cos ϕ + sin ϕ + a a a sinϕ sinϕ a + + ± cos ϕ sin ϕ 5 44 a a 5 5 Jednadzba izgledaju ovako: acos cos.76 cosϕ ϕ cos.76 ( ϕ ) ( ).76 Ma: cos(.76 ) je za:.76.9 ma π +.76 Min: cos(.76 ) je za:.76 π.49 min Triginometrija 9
66. Izraz sin cos preuredi u oblik asin ( ϕ) ( ϕ ϕ ) cos ϕ + ( ϕ ) i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu π. asin a sin cos cos sin sin cos a cosϕ cosϕ a asinϕ sinϕ a ϕ + ϕ ± cos sin a a sin + ϕ a a π asin ( ϕ) sin ( ϕ) ϕ sin ϕ 4 π Jednadzba izgledaju ovako: asin ( ϕ ) sin 4 π π π π Maksimum: sin je za: ma 4 4 4 π π π 7π Minimum: sin je za: min 4 4 4 U nastavku su prikazani grafovi za razlicite kombinacije krivulja. Radi lakseg razumijevanja, svaka krivulja je prikazana drugacijom bojom. Eventualni pomak u fazi, se moze vidjeti na mjestu. Rezultirajuca funkcija nacrtana je plavom bojom. Triginometrija
sin cos sin + π sin sin + cos sin cos tan cos cosπ sin Triginometrija
sin+ cos 5.7 Inverzne trigonometrijske funkcije Za trigonometrijsku funkciju sin kazemo da je sinus luka koji zatvara kut. Inverzna funkcija toj funkciji je arcsin, Arcus sinus. To znaci, da je luk kome je sinus jednak. Trigonometrijska funkcija sin Inverzna funkcija arcsin obicno se pise, arcsin 75. arctan je kut ciji je tangens 76. arccot je kut ciji je cotangens 77. arcsin je dvaput kut ciji je sinus π 78. arccos koji luk ima cosinus α 6 79. arcsin koji luk ima sinus α π ( ) α ( ) 8. arctan koji luk ima je tangens - 6 π π 8. arctan koji luk ima tangens ( ), jer je tan 6 6 π π 8. arcsin koji luk ima tangens ( 45 ), jer je tan 4 4 π 8. arccsc koji luk ima kosecans ( 45 ), jer je csc 4 sin π sin 4 84. π π arcsin koji luk ima sinus ( 6 ), jer je sin 85. π cos arctan ( ) koji luk ima tangens( -) ( 45 ), 4 Triginometrija
π koliko iznosi cos 4 π π 86. cos( arcsin) koji luk ima je sinus ( 9 ),koliko iznosi cos 87. Rijesi zadanu jednadzbu po : arcsin sin arcsin 88. arctan arctan 4 tan 4 4 arcsec 89. + sec sec arc sec( ) 9. arccos cos cos ( ω ϕ) 9. Rijesi pomocu arcus funkcije, po t: Acos t + cos( ωt + ϕ) ( ωt+ ϕ) arccos ωt + ϕ arccos A A A ϕ ϕ t arccos t arccos ω A ω ω A ω 9. Rijesi po t: i Ima sin ωt + α cosϕ + cos ωt+ α sinϕ i i Ima sin ( ωt + α + ϕ) I sin ( ωt+ α + ϕ) i i ωt + α + ϕ arcsin t arcsin α ϕ Ima ω Ima cos 9. Rijesi na nacin koji znas: sec + tan sin ( ) ( ) ma ) ( ) ( ) sin + sin sin ( sin sec + tan + cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin 94. tan + tan 7 tan 6 tan tan 7 tan.5.95 74.55, 4.44 54.49 Triginometrija
( ) 95. sin, ± 4 π 5π 7π π 6 6 6 6 4sin sin sin 96. cos ( ), ( 5 ), ( ), ( ) cos cos, ±, π 8 9, 7 97. 4cos π π π 5π 7π π ± 4 6 6 6 6 cos cos, 5,, 98. cos sin sin cos sin sin cos π 5π sin,π 6 cos cos 6, 99. sin cos + sin cos sin + sin cos + sin sin + sin + sin + sin. Rijesi jednadzbu ako je cos : sin 4 sin 4 cos 4 4cos cos sin. Rijesi jednadzbu ako je sec : 4 tan sec 4 4sec 4 sec tan. Rijesi jednadzbu ako je tan : sin + Triginometrija 4
sin tan tan tan cos sin cos + + ( tan) + tan sec cos cos sin 5.8 Sinusov i kosinusov poucak Sinusov poucak: Omjer izmedju stranice trokuta i sinusa kuta suprotnog toj stranici, je konstantan. a b c sinα sin β sinγ Dodajmo jos slijedece: Zbroj stranica s a+ b+ c Povrsina trokuta Upisana kruznica Opisana kruznica Kosinusov poucak: P s s a s b s c P ρ s P abc r sinα 4P Kvadrat nad stranicom trokuta jednak je zbroju kvadrata drugih dviju stranica, umanjenog za dvostruki produkt tih dviju stranica i kosinusa kuta izmedju tih stranica. a b + c bccos( bc, ) Prilikom rjesavanja zadataka, posebno treba voditi racuna o kutu izmedju stranica, kada je kut o veci od ϕ > 9. Tada funkcija cos ϕ mijenja vrijednost i predznak pa se dvostruki produkt zbroji kvadratima drugih dviju stranica.. Dva promatraca medjusobno udaljena 7,45 m, promatraju helikopter istocno od njih, pod kutem: prvi promatrac α, drugi promatrac β v 44. Odredi udaljenost helikoptera od prvog promatraca i visinu helikoptera. α, unutarnji kut drugog promatraca iznosi β 8 β 8 44 6 Kut na vrhu, gdje je helikopter iznosi γ 8 α + β 8 + a b c 754sin6 Iz sinusovog poucka: b sin α sin β sin γ si n Visina helikoptera iznosi: h bsin 5,9sin,9 m v 5,9 m Triginometrija 5
4. Rijesi trokut: a 45.7, α 65, β 49 γ 8 α + β 8 65 + 49 66 Iz sinusovog poucka: a b c 45.7 b c sin α sin β sin γ sin65 sin49 sin66 45.7sin 49 45.7sin 66 b 8.55 c 46.6 sin 65 sin 65 5. Stol u obliku peterokuta ima dijagonalu duzine. m. Kolika je duzuna stranice. 6 Kut pri vrhu peterokuta iznosi α 7 5 a b c d a Iz sinusovog poucka: a.8 m sinα sin β sinγ sin 7 7 sin 6. Stup je usidren sa dva uzeta. Sila u desnom je 85 kp. Kut koji uzad cine na vrhu stupa je α5 a kut desnog uzeta prema zemlji iznosi β5.7. Odredi silu u lijevom uzetu. Treci kut iznosi γ 8 ( α β) + 8 5 + 5.7 7.8 a b c F 85 F 89.775 kp sinα sin β sinγ sin 7.8 sin 5.7 7. Rijesi trokut: a.76, c.54, β 9. b a + c ac β b a + c ac Iz kosinusovog poucka: cos cos9. b ac b.76 +.54 cos9..965.697 a b c. 76.697.54 Iz sinusovog poucka: sin α sin β sin γ sinα sin9. sinγ.76sin9. sinα.68 α.5.697.54sin9. sinγ.696 γ 8.8.697 8. Rijesi trokut: a 9.5, b 45., c 67.5 b + c a Iz kosinusovog poucka: a b + c bccosα cosα bc 67.5 + 45. 9.5 cosα.888 α 4.7 67.5 45. a b bsinα Iz sinusovog poucka: sin β 45.sin 4.7.6555 sinα sin β a 9.5 Triginometrija 6
β 4.65 γ 8 α + β 8 4.7 + 4.65 4.6 γ 8.8 9. Cjevovod je zbog prirodne prepreke mijenjao pravac. Prvi dio je dug,756 km a drugi 4,675 km. Kut skretanja trase iznosi γ 68.85. Koliko je povecana duzina cjevovoda zbog te prepreke. c a + b c ab 7, 48,87.5 cosγ, 756 + 4, 675, 765 4, 675cos68.85 Duzina zamisljene trase iznosi: c 8,9.59 km Duzina trase iznosi:, 756 + 4, 675 8, 4 km Razlika u duzini iznosi: l 8,4 8,9.59 9.4 km. Rijecni brod putuje brzinom.5 km/h ali zbog strujanja vode, ta je brzina.7 km/h u odnosu na obalu. Koja je brzina vode, ako brod putuje pod kutem γ.6. c a b abcosγ.5.7.5 + +.7 cos.6 c 5.87 c 5.86 Brzina vode iznosi: 5.86 km/h 5.9 Trigonometrijske funkcije u parametarskom i polarnom obliku Trigonometrijske funkcije zadane u parametarskom obliku ( ) () () Ako se tocka, moze zadati u ovisnosti o trecoj promjenjivoj t, tada se jednadzbe f t i f t zovu parametarske jednadzbe a parametar je t.. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu cos t, sin t u pravokutnom koordinatnom sistemu: cost cost t + t + + 4 9 sint sint Rjesenje predstavlja jednadzbu elipse. cos sin. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu + t, + t u pravokutnom koordinatnom sistemu: + t t 6 4 + t t Rjesenje predstavlja jednadzbu pravca Triginometrija 7
. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu t, t + u pravokutnom koordinatnom sistemu: + + ( ) + + t + t t t Rjesenje predstavlja jednadzbu parabole t t 4. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu e, e u pravokutnom koordinatnom sistemu: t e t t e e t e Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole 5. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu cos ϕ, sin ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: cosϕ cosϕ cos ϕ + sin ϕ + sinϕ sinϕ Rjesenje predstavlja jednadzbu kruznice Triginometrija 8
6. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu 4 + tan ϕ, + sec ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: 4 4+ tanϕ tanϕ 4 tan ϕ + sec ϕ + + + secϕ secϕ ( 4) ( + ) + 9 4 Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole 7. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu tan ϕ, cot ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: tanϕ tanϕ cotϕ tanϕ cotϕ Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole Trigonometrijske funkcije zadane u polarnim koordinatama Polarni koordinatni sistem ima dvije koordinate sa kojima je odredjen polozaj tocke u ravnini. r udaljenost tocke od ishodsta ili r radijvektor. Ishodiste se zove i pol polarnog koordinatnog sistema. ϕ kut rotacije, kut izmedju nultog polozaja r (pozitivni dio osi) Na slici je prikazan odnos velicina u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. Za pretvaranje jednog sistema u drugi koristimo slijedece relacije: rcosϕ rsinϕ r + ϕ Arc tan Triginometrija 9
8. Odredi pravokutne koordinate tocke zadane u polarnom obliku. T 4, 4 r 4, ϕ4 r cosϕ 4 cos 4 4( cos 6 ) 4 rsinϕ 4sin 4 4( sin 6 ) 4 T ( 4, 4 ) T(, ) 9. Pretvori pravokutne koordinate tocke T T,, (, ) (,9 ), (, 7 ) ( ), u polarne. + + 4 ± ϕ tan tan ϕ 9 r r Arc Arc T T T ( ). Pretvori pravokutne koordinate tocke T, u polarne. T,, r + + + 4 r ± ϕ Arc tan Arc tan 5 ϕ 5 (,) (,5 ), (, ) T T T ( + i ). Pretvori u polarne koordinate:, 4 + i + i r + + ϕ Arc tan Arc tan 6 ( ϕ ) (,6 ), T(,4 ) + i + i r cos + isin ± cos6 + isin 6 + i T. Pretvori u pravokutne koordinate: rsinϕ rcosϕ Rjesenje je: T, Triginometrija
( + i ). Pretvori u pravokutne koordinate: 6 cos sin rcosϕ 6 cos 6 ( sin ) 6 6 rsinϕ 6 sin 6 cos 6 8 ( + i ) ( + i ) 6 cos sin 6 Triginometrija