METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

Matrična analiza linijskih nosača u ravni Posmatra se puni štap tipa k u ravni OXY, dakle štap koji je kruto vezan na svojim krajevima i, k Lokalni sistem štapa u ravni nosača je xy, pri čemu je koordinatni početak u (prvom) čvoru i, a lokalna osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i k Kao što je rečeno, nepoznate veličine su čvorna pomeranja: - u čvoru i... u i, v i, ϕ i, ili, alternativno q 1, q 2, q 3 - u čvoru k... u k, v k, ϕ k, ili, alternativno q 4, q 5, q 6 Dakle, štap tipa k ( beam ), kao deo nosača u ravni, raspolaže sa 6 stepeni slobode (6 dof )

Matrična analiza linijskih nosača u ravni : čvorne sile i pomeranja Štap tipa k je dužine l i od materijala sa konstantnim modulom elastičnosti E Poprečni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama: - površina preseka... F - momenat inercije... J

Matrična analiza linijskih nosača u ravni Štap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni je element punog nosača u ravni Štap tipa k može da bude izložen - aksijalnom naprezanju - savijanju U linearnoj teoriji štapa (koja se usvaja), takva dva naprezanja su međusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebno Istovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju se superpozicijom

Matrična analiza linijskih nosača u ravni Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 6 elemenata sa utvrđenim redosledom, prvo za čvor i, pa za čvor k: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k Sa u i v su označene komponente pomeranja u pravcima osa x i y, dok je ϕ obrtanje oko ose z

Matrična analiza linijskih nosača u ravni Razdvajanje naprezanja kod punih štapova Aksijalno naprezanje i savijanje su međusobno nezavisni u linearnoj teoriji štapa Za istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi se princip superpozicije

Matrična analiza linijskih nosača u ravni Matrica krutosti i odgovarajuće relacije za štap izložen aksijalnom naprezanju su iste kao što je prikazano u razmatranju rešetkastih štapova Posmatra se štap tipa k izložen savijanju Za savijanje relevantna su čvorna pomeranja - u čvoru i... v i, ϕ i - u čvoru k... v k, ϕ k kao i čvorne sile - u čvoru i... T i, M i - u čvoru k... T k, M k

Matrična analiza linijskih nosača u ravni Analiza savijanja kod punih štapova U nezavisnom posmatranju savijanja štapa ima po dve nepoznate u svakom čvoru Radi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste se oznake q 1, q 2, q 3, q 4, za čvorna pomeranja, kao i R 1, R 2, R 3, R 4 za čvorne sile Kada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi se računa o redosledu nepoznatih

Matrična analiza linijskih nosača u ravni - savijanje Pošto se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnog naprezanja, čvorne sile i čvorna pomeranja, kao i druge veličine, označavaju se sa gornjim indeksom s Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 4 elementa: q 1 R 1 q s q = 2 R s R = 2 q 3 R 3 q 4 R 4

- savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti za slučaj savijanja K s može da se izvede na bazi fizičkog značenja elemenata matrice krutosti: Koeficijent matrice krutosti k ij pretstavlja čvornu silu R i obostrano uklještenog štapa usled jediničnog čvornog pomeranja q j = 1, pri čemu su sva ostala pomeranja q i = 0 jednaka nuli, i j Reakcije veza obostrano uklještene grede za jedinična pomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila

Matrica krutosti štapa tipa k, za q 1 = 1 Obostrano uklještena greda je dva puta statički neodređena (treća nepoznata, sila u pravcu ose štapa, jednaka je nuli za slučaj savijanja) Osnovni sistem je prosta greda i nepoznate su spregovi na krajevima štapa

Uticaji u osnovnom sistemu

Dobijene reakcije vezaza za q 1 = 1 Reakcije veza za q 1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti

Matrica krutosti štapa tipa k Reakcije veza za svako od jediničnih pomeranja pretstavljaju odgovarajuću kolonu matrice krutosti K s Isprekidanom linijom prikazana je elastična linija štapa (ugibi)

- savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti K s je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 4 Elementi matrice krutosti dati su sa K s = EJ l 3 12 6l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l 2 12 6l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (1)

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa Q 1 Q s Q = 2 Q 3 Q 4 Elementi vektora ekvivalentog opterećenja jednaki su negativnim vrednostima reakcija obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja

Vektor ekvivalentnog opterećenja Za jednostavna opterećenja postoje gotova rešenja za reakcije veza obostrano uklještene grede Za proizvoljno opterećenje p y (x) reakcije veza se određuju primenom metode sila (za dva puta statički neodređen nosač)

Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednakopodeljenog opterćenja p y (x) = p = const dat je sa: Q s p = pl 2 pl 2 12 pl 2 pl2 12 = pl 2 1 l 6 1 l 6

Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k usled temperaturne razlike t

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj temperaturne razlike t dat je sa: Q s t = E J α t t h 0 1 0 1 Sa α t je označen koeficijent temperaturne dilatacije, dok je h visina preseka nosača

Matrica krutosti štapa tipa k

Matrica krutosti štapa tipa k Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 6 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije

Matrica krutosti štapa tipa k

Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednako-podeljenog aksijalnog opterćenja p x (x) = const, kao i istovremenog jednako-podeljenog transverzalnog opterćenja p y (x) = const, dat je sa: Q s p = p xl 2 p yl 2 p yl 2 12 p xl 2 p yl 2 pyl2 12

- savijanje Štap tipa g Posmatra se štap tipa g, dakle, štap koji je na jednom kraju, u čvoru i, kruto vezan, a na drugom kraju, čvor g, zglobno vezan Prema tome, takav štap ima 5 stepeni slobode: 3 u krutom čvoru i, i 2 nepoznate u zglobu g (obrtanje ϕ g nije nepoznata veličina, jer može da se odredi iz uslova M g = 0)

- savijanje Štap tipa g Dakle, vektori čvornih pomeranja i čvornih sila, u lokalnim koordinatama, imaju po pet elemenata: q 1 u i R 1 N i q 2 v i R 2 T i q = q 3 = ϕ i R = R 3 = M i q 4 u g R 4 N g q 5 v g R 5 T g Kao i kod štapova tipa k, u linearnoj teoriji aksijalno naprezanje je nezavisno od savijanja

Razdvajanje aksijalnog naprezanja i savijanja U linearnoj teoriji štapa aksijalno naprezanje (kao i torzija za 3D) je nezavisno od savijanja

- savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Bez obzira na redosled u ukupnom vektoru čvornih nepoznatih, u razdvojenom posmatranju aksijalnog naprezanja i savijanja, u analizi savijanja tri nepoznate se označavaju sa q 1, q 2 i q 3

- savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Matrica krutosti za aksijalno naprezanje K a je ista kao i za rešetkasti štap Matrica krutosti za savijanje K s određuje se direktnim putem, na osnvu fizičkog značenja koeficijenata matrice krutosti Koeficijent k ij matrice krutosti za savijanje štapa tipa g je reakcija R i jednostrano uklještenog štapa sa pokretnim osloncem na drugom kraju, usled jediničnog pomeranja q j = 1

Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti K s štapa tipa g su reakcije jednostrano uklještenog štapa, sa zglobnom vezom na drugom kraju, usled jediničnih čvornih pomeranja Isprekidanom linijom je prikazana odgovarajuća elastična linija (ugib)

- savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti pri savijanju štapa tipa g dobijaju se u obliku: K s = E F 3 3l 3 l 3 3l 3l 2 3l 3 3l 3 Kao što se vidi, matrica krutosti za savijanje štapa tipa g je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 3

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g izloženog savijanju ima tri elementa u lokalnom sistemu Q 1 Q = Q 2 Q 3 Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija jednostrano uklještene grede i zglobno vezane na drugom kraju, usled zadatog opterećenja

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija veza usled posmatranog opterećenja

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednakopodeljenog opterećenja p y (x) = p = const dobija se u obliku: 5 8 pl 1 Q p = 8 pl2 3 8 pl = 1 5 8 p l l 3

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za temperaturnu promenu t

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj temperaturne promene t dobija se u obliku: Q t = 1.5 E J α t t h 1 l 1 1 l

Matrica krutosti štapa tipa g Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 5 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije

Matrica krutosti štapa tipa g

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta

- savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednako-podeljenog opterećenja u pravcu ose štapa p x (x) = const, kao i jednako-podeljenog opterećenja upravno na štap p y (x) = const, dobija se u obliku: Q = 1 2 p xl 5 8 p yl 1 8 p yl 2 1 2 p xl 3 8 p yl

Transformacija koordinata za štap tipa k Štap tipa k, u sastavu nosača u ravni, zauzima proizvoljan položaj u odnosu na globalni koordinatni sistem Položaj štapa u posmatranom nosaču, koji pripada globalnoj ravni OXY, određen je sa položajem prvog čvora i štapa i k, kao i orjentisanim uglom α = (X, x) koji zaklapa lokalna osa štapa x prema globalnoj osi X Transformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnuto određene su matricom transformacije T

Globalni i lokalni sistem Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

Transformacija koordinata za štap tipa k Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 6 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 6 R =. R 6 q q = 2. q 6 R = R 1 R 2. R 6

Globalni i lokalni sistem Prikazi vektora čvornih pomeranja i čvornih sila štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije štapa tipa k dobija se kada se, npr., čvorne sile u lokalnom sistemu R i izraze preko čvornih sila u globalnom sistemu R i Imajući u vidu da je α = (X, x), dobijaju se sledeće relacije, posmatrajući čvorne sile u čvoru i: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α R 2 = R 1 sin α + R 2 cos α (2) R 3 = R 3

Transformacija koordinata za štap tipa k Prikazano u matričnom obliku, relacije (2) mogu da se napišu kao R 1 R 2 R 3 = cos α sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1 R 1 R 2 R 3 Relacije (3) mogu da se napišu u skraćenom obliku: (3) R i = t R i (4)

Transformacija koordinata za štap tipa k Analogne relacije mogu da se napišu i za sile u čvoru k: R k = t R k (5) Matrica t je čvorna matrica transformacije Relacije (4) i (5) mogu da se zajedno napišu u obliku { } [ ] { } Ri t 0 R = i R k 0 t Rk (6) ili u kompaktnijem obliku R = T R (7)

Transformacija koordinata za štap tipa k Relacija (7) pretstavlja transformaciju vektora čvornih sila iz globalnih u lokalne koordinate Matrica T je matrica transformacije za štap Napisano u razvijenom obliku, relacije (7) glase R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 (8)

Transformacija koordinata za štap tipa k Napisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T data je sa T = cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 Matrica transformacije je simetrična kvadratna matrica reda 6 (9)

Transformacija koordinata za štap tipa k Na isti način, važe relacije između čvornih pomeranja q: q = T q (10) kao i između vektora ekvivalentnog opterećenja Q: Q = T Q (11) Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalna matrica, odn. njena transponovana matrica jednaka je inverznoj matrici: T T = T 1 (12)

Transformacija koordinata za štap tipa k Imajući u vidu relacije (7) i (11), kao i svojstvo ortogonalnosti matrice transformacije, vektori čvornih sila i vektori ekvivalentnog opterećenja, izraženi u lokalnom sistemu, mogu da se izraze u globalnom sistemu: R = T R R = T T R Q = T Q Q = T T Q (13) Radi skraćenog pisanja, koriste se oznake λ = cos α, µ = sin α

Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije za čvor, kao i njena inverzna matrica, date su λ µ 0 λ µ 0 t = µ λ 0 t 1 = µ λ 0 0 0 1 0 0 1 dok je matrica transformacije za štap data sa T = λ µ 0 0 0 0 µ λ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 λ µ 0 0 0 0 µ λ 0 0 0 0 0 0 1 (14)

Transformacija koordinata za štap tipa k Ako su poznate globalne koordinate čvorova i i k štapa i k: (X i, Y i ), (X k, Y k ), onda se lako izračunavaju elementi matrice transformacije λ i µ za dati štap: l = (X k X i ) 2 + (Y k Y i ) 2 λ = 1 l (X k X i ) µ = 1 l (Y k Y i )

Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Posmatra se osnovna jednačina neopterećenog štapa R = K q Unoseći u ovu jednačinu relacije između čvornih sila i čvornih pomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama: R = T R q = T q dobija se T R = K T q (15)

Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Ako se jedn. (15) pomnoži sa transponovanom matricom transformacije sa leve strane, dobija se T T T R = T T K T q Imajući u vidu ortogonalnost matrice transformacije, T T = T 1, dobija se R = T T K T q (16) ili skraćeno, R = K q (17)

Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Jednačina (17) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa u globalnim koordinatama U toj jednačini matrica K pretstavlja vezu između čvornih sila i čvornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da je K matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama: K = T T K T (18)

Globalni i lokalni sistem - štap tipa g Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa g u lokalnom i globalnom sistemu

Transformacija koordinata za štap tipa g Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 5 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 5 R =. R 5 q q = 2. q 5 R = R 1 R 2. R 5

Transformacija koordinata za štap tipa g Veze između vektora čvornih sila, pomeranja i ekvivalentnog opterećenja su, formalno, iste kao i za štap tipa k R = T R q = T q Q = T Q Razlika je samo u matrici transformacije T : kako štap tipa g ima 5 čvornih nepoznatih, tako je i matrica transformacije kvadratna matrica reda 5 Ako je čvor, odn. zglob, g drugi čvor, onda je momenat savijanja u zglobu g jednak nuli i nema veze oblika R 6 = R 6, jer se R 6 odnosi na momenat savijanja koji je u zglobu jednak nuli

Transformacija koordinata za štap tipa g Prema tome, u matrici transformacije za štap tipa k, datoj sa (9) ili sa (14), treba samo da se izbaci 6. kolona i 6. vrsta koje se odnose na momenat, odn. obrtanje u zglobu g Dakle, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: cos α sin α 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 T = 0 0 1 0 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 0 sin α cos α (19)

Transformacija koordinata za štap tipa g Alternativno, koristeći oznake λ = cos α, µ = sin α, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: T = λ µ 0 0 0 µ λ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 λ µ 0 0 0 µ λ (20)

Transformacija koordinata za štap tipa g Matrica transformacije za štap tipa g je simetrična i ortogonalna matrica, pa važe iste inverzne relacije kao i za štap tipa k: q = T T q R = T T R Q = T T Q Takođe, matrica krutosti štapa tipa g, izražena u odnosu na globalne koordinate, data je na isti način: K = T T KT

Osnovna jednačina opterećenog štapa u lokalnom sistemu glasi R = Kq Q (21) Pri tome, isti oblik jednačine (21) važi i za rešetkaste štapove, kao i za štapove tipa k ili g - razlika je samo u dimenzijama matrica i vektora U jedn. (21) unosi se veza q = T q, pa se zatim jednačina množi sa leve strane sa T T : T T R = T T KT q T T Q (22)

Imajući u vidu veze (13), kao i izraz (18) za matricu krutosti u globalnom sistemu, jednačina (22) može da se prikaže u obliku R = K q Q (23) Jednačina (23) pretstavlja osnovnu jednačinu opterećenog štapa u globalnom sistemu Zbog različitih položaja štapova u sklopu linijskog nosača (u ravni, ali i u prostoru!) neophodna je transformacija u globalni koordinatni sistem za sve štapove nosača

Posmatra se jedan od štapova u sklopu nosača - štap j, tipa k Da se naglasi da se osnovna jednačina (23) odnosi baš na štap j, uvodi se oznaka štapa kao gornji indeks: R j = K j q j Q j (24) U jedn. (24) nepoznata su čvorna pomeranja q j, dok su matrica krutosti K j i vektor ekvivalentnog opterećenja Q j poznati - određuju se iz geometrije i zadatog opterećenja duž štapa

U cilju razdvajanja doprinosa svakog štapa na čvorove na svojim krajevima, vrši se particija vektora čvornih sila i čvornih pomeranja po čvorovima na kraju štapa: R j = { R j i R j k } q j = { q j i q j k Broj vektora čvornih pomeranja q i jednak je broju čvorova K u posmatranom nosaču: i = 1, 2,..., K Pri tome svaki vektor čvornih pomeranja q i ima onoliko komponenti koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru (za nosač u ravni od 0 do 3) }

Nepoznati vektori čvornih pomeranja q i određuju se iz uslova ravnoteže sila u izdvojenim čvorovima U pojedinim čvorovima postoje spoljašnje veze koje ograničavaju pojedine stepene slobode kretanja, odn. pretstavljaju granične uslove, jer je nosač, po definiciji, nepokretan sistem Prema tome, neki od stepeni slobode kretanja su unapred poznati, zbog postojećih graničnih uslova

Kada se postavljaju uslovi ravnoteže sila u čvorovima, čvorne sile se, prema vezama oblika (23), izražavaju preko čvornih pomeranja U takvim uslovima ravnoteže sila u čvorovima figurišu i čvorna pomeranja koja su poznata zbog datih graničnih uslova Poznata čvorna pomeranja mogu da se eliminišu iz uslova ravnoteže Nepoznata čvorna pomeranja u posmatranom nosaču određuju se iz uslova ravnoteže sila u slobodnim čvorovima

Jedino su u spoljašnjem uklještenju sprečana sva čvorna pomeranja (ukinuta su sva 3 stepena slobode kretanja za nosač u ravni) Drugi oslonci (npr. nepokretan ili pokretan zglob) ukidaju samo neki od stepena slobode kretanja Dakle, u formiranju jednačina ravnoteže sila u čvorovima nosača, mogu da se odmah eliminišu (uklone) poznata pomeranja (granični uslovi) i da se dobije sistem jednačina u kome figurišu samo nepoznata pomeranja

Alternativno, moguće je da se iz sistema jednačina ravnoteže sila u čvorovima ne uklone poznata pomeranja U tom slučaju iz uslovnih jednačina mogu da se dobiju i nepoznate reakcije veza (sile u čvorovima koje odgovaraju poznatim pomeranjima) Posmatra se čvor i koji je izdvojen iz nosača (u skladu sa Aksiomama statike) Uticaj uklonjenih štapova u čvoru, npr. štapa j, zamenjen je silama veze, odn. silama na krajevima štapova R j m, m=1,2,3

Sile na kraju štapa j, R j m, pozitivne su u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Po Principu akcije i reakcije uticaj štapa na čvor je dat sa istim silama ali suprotnih smerova Prema tome, uticaj štapa j na čvor i u kome je štap vezan, ogleda se silama Rm, j m = 1, 2, 3, koje su pozitivne u negativnim smerovima globalnih osa

Izdvojen čvor i iz nosača u ravni i sile koje deluju na čvor: - uticaj uklonjenih štapova na čvor - spoljašnje koncentrisane sile koje deluju na čvor

Osim sila koje sa uklonjenih štapova deluju na čvor, na čvor mogu da deluju i spoljašnje koncentrisane sile u čvoru To su sile Pi koje su pozitivne u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Ako je broj štapova j koji su vezani čvoru i jednak n i, onda su uslovi ravnoteže sila u čvoru i dati, u vektorskom obliku, sa: P i n i j=1 R j i = 0 (25)

Osnovna jednačina opterećenog štapa j data je sa: R j = K j q j Q j (26) Imajući u vidu čvorove i i k štapa j, vrši se particija vektora i matrica u jedn. (26) na subvektore i submatrice prema čvorovima štapa { R j i R j k } = [ K j ii K j ki K j ik K j kk ] { q j i q j k } { Q j i Q j k } (27)

Subvektori R j i i R j k su čvorne sile štapa j koje su na krajevima štapa j ka čvorovima i i k Slično, subvektori q j i i q j k su vektori pomeranja čvorova, dok su Q j i i Q j k vektori ekvivalentnog opterećenja štapa j koji deluju u čvorovima i i k Najzad, submatrice K j ii, K j ik i K j kk su čvorne matrice krutosti štapa j

Čvorne sile štapa j u čvoru i, R j i, mogu da se dobiju iz jednačine (27) u obliku: R j i = K j ii q j i + K j ik q j k Q j i (28) Unoseći ove sile u jedn. ravnoteže sila u čvoru i (25), dobija se P i n i j=1 (K j ii q j i + K j ik q j k Q j i ) = 0 (29)

Uvode se oznake n i Kii = j=1 K j ii Kik = K j ik (i k) n i Q i = j=1 Q j i (30) pa se jednačina ravnoteže sila u čvoru i dobija u obliku K iiq i + k K ik q k = P i + Q i (31)

Matrica Kii jednaka je zbiru svih čvornih matrica krutosti K j ii štapova j koji su povezani u čvoru i Matrica Kik postoji samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani i jednaka je matrici K j ik štapa j koji povezuje čvorove i i k Vektor čvornih sila Q i jednak je zbiru subvektora ekvivalentnog opterećenja Q j i za čvor i po svim štapovima j koji su povezani u čvoru i (i naravno, opterećeni duž štapa)

Ako se vektori Pi i Q i saberu: P i + Q i = S i jednačine ravnoteže sila u čvoru i (31) mogu da se prikažu kao: K iiq i + k K ik q k = S i (32) Jednačina ravnoteže (32) ima onoliko koliko ima čvorova: i = 1, 2,..., K

Ako se napišu sve jednačine (32), i = 1, 2,..., K, mogu da se prikažu kao jedna matrična jednačina: K q = S (33) Matrica K je matrica krutosti sistema štapova, vektor q je vektor pomeranja čvorova nosača, dok je S vektor opterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama)

Matrica krutosti sistema štapova je kvadratna matrica sa K submatrica Kik, (i, k = 1, 2,..., K), gde je K ukupan broj čvorova nosača: K11 K12 K1k K 1K K21 K22 K2k K 2K K =.... Ki1 Ki2 Kik KiK (34).... KK1 KK2 KKk KKK

Dijagonalni blokovi (submatrice) Kii su uvek različiti od nule, dok vandijagonalni blokovi Kik postoje samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani, inače su Kik nulti blokovi Prema tome, matrica krutosti sistema štapova nije puna matrica, već je trakaste strukture koja zavisi od topologije nosača, kao i od načina numerisanja čvorova nosača Red matrice krutosti K zavisi od broja stepeni slobode u svakom čvoru: maksimalno je 3 K Napominje se da u jednačinu (34) nisu uneti granični uslovi

Vektori čvornih pomeranja q i čvornih sila S imaju po K subvektora q i i S i, (i = 1, 2,..., K), od kojih svaki subvektor ima onoliko elemenata koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru i (maksimalno po 3): q = q 1 q 2. q i. q K S = S 1 S 2. S i. S K (35)

Osnovne osobine matrice krutosti K su sledeće: - matrica K je kvadratna matrica reda N, gde je N 3 K i pretstavlja ukupan broj stepeni slobode (broj generalisanih koordinata, odn. pomeranja čvorova nosača) - matrica K je simetrična - matrica K je trakaste strukture - matrica K je singularna Kako su sve čvorne matrice krutosti, kao i matrice krutosti pojedinih štapova, simetrične, to je i matrica K simetrična, jer se dobija sabiranjem i raspoređivanjem čvornih matrica krutosti

Trakasta struktura matrice krutosti je zavisna od topologije posmatranog nosača, kao i od načina numeracije čvorova nosača Matrica krutosti sistema štapova K je singularna, odn. rang matrice krutosti je manji od reda matrice N i ne postoji inverzna matrica Neki od redova (ili kolona) matrice krutosti su međusobno zavisni, jer u jednačine ravnoteže (33) nisu uneti odgovarajući granični uslovi po pomeranjima Znači, odgovarajuća pomeranja oslonačkih čvorova su poznata (obično su jednaka nuli)

To što u matricu krutosti K nisu uneti granični uslovi po pomeranjima znači da su u vektoru pomeranja q sadržana i pomeranja nosača kao krute ploče (kao krute figure) u ravni, tako da položaj nosača nije definisan Da bi se odredio položaj sistema u ravni, neophodno je da se zadaju konturni uslovi, odn. da se unesu uslovi oslanjanja nosača Za unutrašnje kinematički stabilne ravne sisteme minimalan broj konturnih uslova je tri, pošto sistem, kao kruto telo u ravni, raspolaže sa tri stepena slobode kretanja

u ravni Matrice krutosti štapova (punih i rešetkastih) u lokalnim koordinatama zavise od - dužine štapa... l - geometrijskih karakteristika poprečnog preseka... F, J - karakteristika materijala... E Matrice krutosti štapova u globalnim koordinatama zavise još i od - položaja štapa u odnosu na globalni sistem... ugao α = (X, x)

u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Ulazni podaci koji definišu računski model posmatranog nosača sastoje se iz sledećih celina: - opšti podaci o računskom modelu (naziv, vrsta analize,... ) - podaci o topologiji nosača: koordinate čvorova i povezanost štapova - podaci o poprečnim presecima i o materijalima - podaci o graničnim uslovima - podaci o opterećenju: osnovni slučajevi opterećenja i kombinacije opterećenja U posmatranom nosaču (u ravni, ali i u 3D) svaki čvor i svaki štap imaju svoj jedinstveni identifikacioni broj

u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Numeracije čvorova, kao i štapova, međusobno su nezavisne i počinju sa 1,2,3,... Za svaki čvor unose se koordinate tačaka (u globalnom sistemu) Za svaki štap unose se globalni brojevi prvog i drugog čvora (i, k), pri čemu je lokalna x osa orjentisana od i ka k Formiraju se liste različitih poprečnih preseka i različitih materijala u modelu nosača Unose se podaci o graničnim uslovima: koji čvor je granični i kakvi su granični uslovi

u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Unose se podaci o osnovnim slučajevima opterećenja: - naziv slučaja opterećenja (eventualno i redni broj) - podaci o koncentrisanim silama i spregovima u čvorovima nosača - podaci o raspodeljenim opterećenjima duž osa štapova: konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena opterećenja - podaci o koncentrisanim opterećenjima duž ose štapa (mada je moguće da se štap podeli na 2 dela na mestu koncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom čvoru) - podaci o temperaturnim uticajima duž ose štapa Podaci o kombinacijama osnovnih slučajeva opterećenja

u ravni U fazi učitavanja i analize ulaznih podataka svakom čvoru nosača dodeljuju se globalni brojevi za čvorna pomeranja u tom čvoru Ti globalni brojevi čvornih pomeranja pretstavljaju redne brojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja u ukupnom vektoru generalisanih pomeranja q Za svaki štap time su određeni globalni brojevi čvornih pomeranja njegovih čvornih tačaka i i k Za sve štapove koji su vezani u zajedničkoj čvornoj tački globalni brojevi čvornih pomeranja u zajedničkom čvoru su isti

u ravni Prema tome, svaki štap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnih stepeni slobode (u i, v i, ϕ i, u k, v k, ϕ k ) i svaka od tih generalisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni broj Globalni redni brojevi čvornih nepoznatih nazivaju se kodni brojevi Za svaki štap se formira odgovarajuća matrica krutosti, prvo u lokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemu Matrica krutosti štapa j u globalnom sistemu ima razdvojene submatrice koje odgovaraju njenim čvorovima i i k: k j ii, k j ik, k j ki = k j ik, k j kk (čvorne matrice krutosti)

u ravni Posle toga vrši se sabiranje matrica krutosti po svim elementima ( assembly ) Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutosti nosača K i svi elementi se iniciraju sa nulom Zatim se redom, za svaki štap j, u globalnu matricu krutosti nosača unose čvorne matrice krutosti k j ii, k j ik, k j ki, k j kk, pri čemu se čvorne matrice unose u pozicije globalne matrice koje odgovaraju globalnim brojevima čvornih pomeranja posmatrane čvorne matrice (postupak kodnih brojeva)

u ravni Kada se na istoj poziciji nađu čvorne matrice krutosti dva ili više štapova, elementi matrica čvornih krutosti se sabiraju Kada se saberu matrice krutosti svih štapova, odn. unesu čvorne krutosti svih štapova na odgovarajuće pozicije globalne matrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema štapova u globalnom sistemu K

u ravni Formiranje vektora slobodnih članova Zatim se vrši formiranje vektora slobodnih članova u globalnim koordinatama S Vektor slobodnih članova čine spoljašnje sile koje su direktno koncentrisane u čvorovima nosača, P, kao i vektor ekvivalentnog opterećenja koji pretstavlja uticaj spoljašnjeg opterećenja duž štapova nosača R : S = P + R

u ravni Za svaki štap koji je opterećen duž svoje ose formira se vektor ekvivalentnog opterećenja, prvo u lokalnom, a zatim u globalnom sistemu Vektor ekvivalentnog opterećenja pripada čvorovima i i k štapa na kome se nalazi raspodeljeno opterećenje Pri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi) nepoznatih pomeranja u posmatranom čvoru Ako je više opterećenih štapova vezano u istom čvoru, odgovarajuće komponente vektora ekvivalentnog opterećenja u tom čvoru se sabiraju

u ravni Na sličan način se formira i vektor slobodnih članova, koji je dat kao odgovarajući zbir vektora koncentrisanih sila u čvorovima nosača, kao i vektora ekvivalentog opterećenja koji potiče od opterećenja duž štapova Tako dobijen sistem jednačina K q = S ne može da se reši, jer je matrica krutosti sistema štapova singularna matrica - nisu uneti granični uslovi

u ravni U vektoru čvornih pomeranja q veći deo su nepoznata generalisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranja oslonačkih čvorova Ako se nepoznata čvorna pomeranja označe sa qf, a poznata čvorna pomeranja sa qb, onda je moguće da se izvrši particija: { } q q = f qb

u ravni Takođe, moguće je da se jednačine ravnoteže (33) prikažu u dekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatih i poznatih pomeranja: [ K ff K fb K bf K bb ] { q f q b } = { S f S b Jednačina (36) može da se napiše u vidu dve jednačine: } (36) K ff q f + K fb q b = S f K bf q f + K bb q b = S b (37)

u ravni Iz prve od jednačina (37) dobija se vektor nepoznatih čvornih pomeranja: q f = K 1 ff (S f K fb q b ) (38) Imajući u vidu da je S b = R b + Q b iz druge od jednačina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcija oslonaca: R b = K bf q f + K bb q b Q b (39)

u ravni Granični uslovi mogu da budu: - homogeni... q b = 0 - nehomogeni... q b 0 U slučaju homogenih graničnih uslova dobija se: 1 vektor nepoznatih čvornih pomeranja 2 vektor nepoznatih reakcija veza qf = K 1 ff Sf Rb = Kbf qf Q b = Kbf K 1 ff Sf Q b

u ravni U slučaju nehomogenih graničnih uslova (zadata pomeranja oslonaca), koriste se izrazi (38) i (39) Međutim, u realnoj implementaciji matrične analize linijskih nosača, odn. u izradi odgovarajućih računarskih programa, koriste se drugi pristupi unošenja graničnih uslova: 1 redukcija matrice krutosti 2 transformacija matrice krutosti Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponenta pomeranja, nepoznatog ili zadatog graničnim uslovima, ima svoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricu krutosti

u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće: - neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn. zadat graničnim uslovom (jednak je nuli) - vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti, uključujući i element m u vektoru slobodnih članova (unesu se nulte vrednosti) - sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatorno se pomere na gore za jedan red, tako što red m + 1 dospe u poziciju reda m i tako što poslednji red N dospe u poziciju reda N 1 - sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno se pomere levo za jednu kolonu, tako što kolona m + 1 dospeva u kolonu m, a poslednja kolona N dolazi u položaj kolone N 1

u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - na taj način, za jedan granični uslov matrica krutosti se smanji za jedan: sa reda N na red N 1 - takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnih članova, vrši se redom za sve granične uslove po generalisanim pomeranjima - time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosi samo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovan vektor slobodnih članova - tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularna kvadratna simetrična matrica koja ima inverznu matricu

u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće: - neka je zadat granični uslov po pomeranjima: q m = 0, gde je m globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q - u matrici krutosti postojećem elementu na glavnoj dijagonali na mestu (m, m), dakle elementu k mm koji odgovara čvornom pomeranju q m, dodaje se jako veliki broj - jako veliki broj se dobija kada se najveći broj u matrici krutosti (to je, obično, neki od elemenata na glavnoj dijagonali) pomnoži sa, recimo, 10 6

u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - isto se uradi i sa svim ostalim zadatima graničnim uslovima: na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih (homogenih) graničnih uslova dodaju se veliki brojevi - takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se red matrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, dodaju veliki brojevi - posledica takve transformacije matrice krutosti je da su promenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti koji odgovaraju rednim brojevima čvornih pomeranja koja su zadata graničnim uslovima (jednaka su nuli)

u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - tako transformisana matrica krutosti nije više singularna (ima inverznu matricu) i sistem jednačina može da se reši - zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matrice krutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, u rešenju se dobijaju nule za čvorna pomeranja koja su zadata homogenim graničnim uslovima (jer se deli sa jako velikim brojem) Metoda transformacije matrice krutosti više je u upotrebi od metode redukcije jer se lakše implementira u programu