. NEODREÐENI INTEGRAL
Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno mnogo. Skup svih pripdnih rješenj ćemo nzvti (neodre denim) integrlom funkcije f i pritom ćemo govoriti d smo funkciju f integrirli. integrirnje tehnicki neusporedivo sloeniji rcunpostupk od derivirnj, premd se, n neki ncin, rdi o obrtnomu rcunu. Oznke: Jednostvnosti rdi nzivom intervl i oznkom I obuhvtiti ćemo sve mogućnosti: (; b) ; (; ) ; ( ; b) ; ( ; ) =R.
. Pojm i svojstv neodre denog integrl Denicij. Nek je dn intervl I i funkcij f : I! R. Svku neprekidnu funkciju F : I! R s svojstvom F (x) = f(x) z svki x I, nzivmo primitivnom funkcijom z funkciju f n intervlu I. Npomen: Primitivn funkcij z funkciju f se moe denirti i mlo općenitije (vidjeti: http://www.fesb.hr/mt) dopuštjući d je F (x) = f(x) z sve x I n A, gdje je A koncn ili prebrojiv podskup intervl I; Primijetimo d je primitivn funkcij z funkciju f; denirn ko u Deniciji., derivbiln funkcij (kod općenitije denicije to ne mor biti).
Primjer Funkcij F : R f ; g! R; F (x) = 8 >< >: x +, x < x 4, < x < x, x > ; je primitivn funkcij z funkciju f : R f ; g! R; f(x) = 8 < : x; x < x; < x < x, x > ; jer je F (x) = f(x) z svki R f ; g :
Primjer funkciju f : R! R; f(x) = x; su izme du ostlih i ove funkcije primitivne n R : F (x) = x ; F (x) = x 3; F 3 (x) = x + p 5; jer je npr. F (x) = x = f(x) z svki x R: Teorem. Ako z dnu funkciju f : I! R postoji primitivn funkcij F : I! R, ond je i svk funkcij G : I! R, G = F + C, gdje je C R konstnt, primitivn z funkciju f. Štoviše, ko su F; G : I! R primitivne funkcije z f, ond je G = F + C, z neki C R. (Seto: "Primitivn funkcij je jednozncno odre den do n ditivnu konstntu".) Dokz:
Denicij.3 dnu funkciju f : I! R, skup svih njezinih primitivnih funkcij n intervlu (ili njihovoj uniji) I nzivmo neodre denimintegrlom funkcije f n intervlu I i ozncujemo s f(x) dx. Skrćeno pišemo f(x) dx = F (x) + C; x I; gdje F nek (bilo koj) primitivn funkcij z f n I, C oznk z opću konstntu. Oznke: funkciju f nzvti integrndom (ili podintegrlnom funkcijom), x - integrcijskom vrijblom, C - integrcijskom konstntom. Primjer sin x dx = cos x + C; jer je ( cos x + C) = sin x; x R:
Primjer dx p x = rcsin x + C; jer je (rcsin x + C) = p ; x ( ; ) : x Primjer 3 jxj dx = x, x x, x < dx = x + C, x x + C, x < ; jer je x + C, x x + C, x < = x, x x; x < = jxj ; x R: (Funkcij x 7! jxj nije derivbiln u tocki x =, dok njezin primitivn funkcij x x 7! + C, x x + C, x < to jest. T derivcij je, jer postoje derivcije slijev i zdesn i obje išcezvju.)
Teorem.4 Nek je f(x) dx = F (x) + C, tj. F (x) = f(x) z svki x I Td n I vrijedi: ) f(x) dx = f(x) ("derivirnjem integrl dobivmo integrnd"); b) d f(x) dx = f(x) dx ("diferencirnje poništv integrirnje"); c) df (x) = F (x) + C ("integrirnje poništv diferencirnje do n konstntu"). Dokz: Ocit.
Teorem.5 Nek funkcije f ; : I! R, dopuštju primitivne funkcije n intervlu I, te nek su ; R konstnte. Td i funkcij f + f : X! R dopušt primitivnu funkciju n I i vrijedi ( f (x) + f (x)) dx = f (x) dx + f (x) dx + C; tj. neodre deni integrl cuv (do n ditivnu konstntu) linernu kombinciju. Dokz: Npomen: Ubuduće u jednkostim slicnim (), opću konstntu C njcešće nećemo zpisivti, tj. u tkvim "jednkostim" ćemo dopuštti d se lijev i desn strn smiju rzlikovti do n ditivnu konstntu. () Teorem.5 ocito povlci (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx; f(x) dx = f(x) dx:
Primjer 4 cos x + x3 3 dx () = 4 cos x dx + x 3 dx 3 dx = 4 sin x + x4 3x + C: 8 x (Nime, (sin x) 4 = cos x, = x 3 i (x) =.) 4 Tocnost tblice osnovnih integrl (n denicijskim podrucjim podintegrlnih funkcij) lko se provjeri derivirnjem: dx = C; () dx = x + C; (3) x r dx = r + xr+ + C; r 6= ; (4) dx x dx = ln jxj + C; (5) x e x dx = e x + C; (6) x dx = ln x + C; < 6= ; (7)
sin x dx = cos x + C; (8) sh x dx = ch x + C (8') cos x dx = sin x + C; (9) ch x dx = sh x + C (9') dx = tg x + C; cos () x ch dx = th x + C; x (') sin dx = ctg x + C; () x sh dx = cth x + C; (') x dx = rctg x + C; () + x p dx = rcsin x + C; (3) x x dx = ln + x x + C; (4)
p x + dx = ln x + p x + + C; (5) p x dx = ln x + p x + C: (6) Neodre dene integrle od () do (6) nzivmo tbli cnim integrlim.. Osnovne integrcijske metode Neodre dene integrle elementrnih funkcij što se mogu prikzti ko linerne kombincije podintegrlnih funkcij iz tblice gore, lko odre dujemo primjenom Teorem.5. U tkvim slucjevim kemo d smo funkciju integrirli izrvno (ili neposredno). Primjer p x x 3p dx = x x 7 6 dx (4) = 3 x 6 p x + C;
Primjer sin x cos x dx = dx cos x + dx sin x sin x + cos x sin x cos x dx () = (),() = tg x ctg x + C: Skup svih izrvno integrbilnih funkcij proširujemo primjenom dvju jednostvnih postupk: uvo denjem nove vrijble (supstitucij) i prepoznvnjem diferencijl nekog umnošk (prcijln integrcij). Supstitucij se sstoji u tomu d se nekom dopustivom zmjenom integrcijske vrijble ili podintegrlnog izrz polzni integrl svede n neke od onih tblicnih. O tomu govore dv iduć teorem.
Teorem. Nek z funkciju f postoji nek primitivn funkcij n intervlu I. Ndlje, nek je ' : J! I, J - intervl, strogo monoton i derivbiln surjekcij. Td je f(x) dx = (' (x)) + C; (7) gdje je primitivn funkcij z funkciju (f ') ' n J. Drugcijim zpisom, ((f ') ' ) (t) dt = f ('(t)) ' (t) dt = (t) + C: Dokz: Npomen: Teorem. jmci d se, pod nvedenim uvjetim, zdni integrl smije rješvti zmjenom x = '(t) i dx = ' (t) dt, tj. f(x) dx = x = '(t) dx = ' (t) dt = f('(t)) ' (t) dt = (t) + C = ' (x) + C = F (x) + C:
Temeljn zmiso je u tomu d se n de zmjensk funkcij ', koj će poluciti funkciju = (f ') ', tko d integrl (t) dt bude "tehnicki" bitno jednostvniji (što blii nekom tblicnom integrlu) od polznog (netblicnog) f(x) dx. Nrvno, idelno je ko se "iz prve" z (t) dt dobije neki tblicni integrl. Obicno zmjenske funkcije koje su pogodne z pojednostvljenje podintegrlnog izrz n svojim denicijskim podrucjim ne zdovoljvju uvjete Teorem.5, p uzimmo njihov suenj koj zdovoljvju te uvjete. Primjer + 3p x p x dx = x = t 6 ; t > + t dx = 6t 5 = 6t 5 dt = dt t 3 t 4 dt + 6 t dt (4) = 6(t 4 + t ) dt () = 6 6 t5 5 + 6 t3 3 t= 6p x = 6 5 6 p x5 + p x + C
Teorem. Nek je G primitivn funkcij z funkciju g n intervlu J, tj. G (t) = g(t), t J, te nek je : I! J, I - intervl, derivbiln funkcij. Td je g( (x)) (x) dx = G( (x)) + C: (8) Dokz: Promotrimo funkcije f(x) = g( (x)) (x) i F (x) = G( (x)): Budući je G (t) = g(t); t J immo F (x) = (G( (x))) = G ( (x)) (x) = g( (x)) (x) = f(x) z svki x I; to se i tvrdilo. Npomen: Teorem. kzuje d ko se u podintegrlnoj funkciji f (x) prepozn izrz oblik g ( (x)) (x) i ko znmo d je g (t) dt = G (t) + C; ond je f (x) dx = g( (x)) (x) dx = = G( (x)) + C = G ( (x)) + C:
Primjer cos 5x dx = 5 Primjer x dx ( + x ) r = 5 cos 5x 5 dx = [t = 5x; dt = 5 dx] = cos t dt = 5 sin t + C = 5 dt t r = = 8 >< >: sin 5x + C: x dx ( + x ) = [t = + r x ; dt = x dx] = 8 >< >: ln jtj + C, r = t r+ = r + + C, r 6= ln( + x ) + C, r = ( + x ) r+ + C, r 6= r + Npomen: Vrijedi općenito h (x) dx = ln jh(x)j + C h(x)
i (h(x)) r h (x) dx = (h(x))r+ r + + C; r 6= : Prcijln integrcij se sstoji u tomu d se pogodnim izborom relnih funkcij x 7! g(x) i x 7! h(x); tkvih d je g(x)h (x) dx = f(x) dx, i primjenom diferencijl n produktnu funkciju x 7! g(x)h(x), integrl f(x) dx ili bitno pojednostvni ili d postne nepoznnicom u lko rješivoj jedndbi. Teorem.3 Ako su funkcije g; h : I! R, neprekidno derivbilne, ond vrijedi g(x)h (x) dx = g(x)h(x) h(x)g (x) dx: (9) Dokz: Npomen: Uobicjilo se uvesti pokrte g(x) = u i h(x) = v p formul (9) im i zpis u dv = uv v du:
Primjer xe x dx = 4 u = x; dv = e x dx; du = dx; v = e x dx = e x 3 5 (9) = = xe x e x dx = xe x e x + C: Primjer I = e x sin x dx = u =e x ; du =e x dx dv = sin x dx; v = R sin x dx = cos x = e x cos x + e x cos x dx = u =e x ; du =e x dx dv = cos dx; v = R cos x dx = sin x e x cos x + e x sin x e x sin x dx = e x cos x + e x sin x I Sd immo I = e x cos x + e x sin x I =) I = ex (sin x cos x) + C
Primjer 3 - Rekurzivn formul Odredimo, z svki n N, integrl dx ( + x ) n I n: n = se rdi o tblicnomu integrlu (),tj. I = rctgx + C. Nek je n. Td je tj. dx ( + x ) n = dx ( + x ) n I n = I n + x x ( + x ) n dx = x dx ( + x ) n ; x dx ( + x ) n : Primijenimo prcijlnu integrciju n x dx ( + x ) n ; n ; uzevši
Slijedi, u = x; du = dx; dv = v = x dx ( + x ) n = x dx ( + x ) n = x dx ( + x ) n ; (n ) ( + x ) n : x (n ) ( + x ) n + (n ) x (n ) ( + x ) n + (n ) I n : Dobili smo, dkle, rekurzivnu formulu dx ( + x ) n = I n = x (n ) ( + x ) n + n 3 (n ) I n : Primjerice, z n = i n = 3 je, redom, Rekurzivne formule omogućuju d se integrl koji ovisi o prirodnom broju n N (ili n ) svede n integrl (ili integrle) istog oblik, li s mnjim indeksom, npr. n ili n.
I dx ( + x ) = x ( + x ) + I = x ( + x ) + rctg x + C; I 3 dx ( + x ) 3 = x 4 ( + x ) + 3 4 I = x 4 ( + x ) + 3x 8 ( + x ) + 3 rctg x + C: 8
3. Integrirnje nekih elementrnih funkcij Integrlni rcun, tj. odre divnje primitivnih funkcij je tehnicki sloen poso. Poteškoće: Primitivn funkcij z (i reltivno jednostvnu) elementrnu funkciju ne mor biti elementrn (td se ke d je integrl elementrno nerješiv). Npr. sin x x dx; e x dx; ln x dx ::: su neelementrni (elementrno nerješivi) integrli. Kd je primitivn funkcij elementrn funkcij (td se ke d je integrl elementrno rješiv), njezino je odre divnje, osim u rijetkim slucjevim (tblicni ili njim vrlo slicni integrli) vrlo zhtjevno. Dkle, integrlni rcun je puno sloeniji nego diferencijlni rcun. Derivcij elementrne funkcije je opet elementrn funkcij (i svku znmo derivirti!), dok integrl elementrne funkcije ne mor biti elementrn funkcij ( ko i jest, cesto je vrlo teško nći!). Ovdje ćemo pokzti nekoliko tehnik integrlnog
rcun u slucju elementrno rješivih integrl. 3.. Integrl rcionlne funkcije Integrl rcionlne funkcije je oblik Pm (x) Q n (x) dx gdje su P m (x) i Q n (x) polinomi stupnj m i n; redom, koji nemju zjednickih nul-tock. Rzlikujemo slucjeve: n = =) P m(x) Q n (x) = S (x) je polinom (dobivmo sumu tblicnih integrl); Ako je m < n ond je P m(x) Q n (x) funkcij; prv rcionln Ako je m n ond, dijeljenjem, dobivmo Pm (x) Q n (x) dx = gdje je S (x) polinom R k(x) Q n (x) funkcij. S (x) + R k (x) Q n (x) dx prv rcionln
Dkle, dovoljno je pretpostviti d je P m(x) Q n (x) prv rcionln funkcij. Temeljn zmiso jest d se polzn (prv) rcionln funkcij f = P m Qn prike ko zbroj jednostvnijih rcionlnih funkcij, koje u nzivnicim imju prirodne potencije linernih ili kvdrtnih fktor iz fktorizcije od Q n (rstv n prcijlne rzlomke). Pritom se rbi tzv. metod neodre denih koecijent, koj se, u biti, temelji n cinjenici d su dv polinom jednk ond i smo ond kd su im koecijenti uz iste potencije jednki. Rstv P m(x) Q n (x) n prcijlne rzlomke - postupk: Po Osnovnom teoremu lgebre, svki polinom se n jedinstven ncin moe rstviti (nd R) ko produkt linernih i kvdrtnih clnov (s negtivnom diskriminntom) Q n (x) b n x n + + b x + b = b n (x ) s (x r ) s r x +c x + d k {z} c 4d < x kl +c l x + d l ; {z} c l 4d l <
Linernom polinomu x j koji se pojvljuje s j put, pridruuje se s j prcijlnih rzlomk A j x j + A j (x j ) + ::: + A js j (x j ) s j ; kvdrtnom polinomu koji se pojvljuje k i put, pridruuje se k i prcijlnih rzlomk B x + C x + c i x + d i + B x + C (x + c i x + d i ) + ::: + B k i x + C ki (x + c i x + d i ) k i : Sd je P m (x) Q n (x) = b n A x + + A s (x ) s + A + x + A rs r (x r ) s r + + B x + C x + c x + d + + B lx + C l x + c l x + d l + + B lk l x + C lkl (x + c l x + d l ) k l B k x + C k (x + c x + d ) k +
Nepoznti koecijenti A isi, B jkj i C jkj se odre duju tko d se predhodn jednkost pomnoi polinomom Q n (x) i potom izjednce koecijenti uz iste potencije. Nkon što odredimo nepoznte koecijente dobivmo R d se integrirnje (prve) rcionlne funkcije, Pm (x) Q n (x) dx, svodi n izrcunvnje sljedeć tri (tipicn) neodre den integrl: (x ) dx; x + b s (x + cx + d) k dx; (x + cx + d) dx; k gdje su s; k N i ; b; c; d R. Odbirnjem odgovrjućih supstitucij, dolzimo do (tblicnih) integrl oblik dt dt t s i (t + ) k: Primjer Izrcunti integrl R 5x+ (x +x+) dx:
I = 5 5x + (x + x + ) dx = 5 x + (x + x + ) dx 3 (x + ) 6 5 (x + x + ) dx = (x + x + ) dx = 5 I 3I I = x + (x + x + ) dx = x + x + (x + ) dx = t = x + x + dt = (x + ) dx = x + x + = x + x + + C I = = 7 (x + x + ) dx = 3 4 x+ 3 dx x+ = + (t + ) dt = t 7 ( + t ) + rctg t = 54 x+ 3 + x+ 3! + rctg x + 3 + C 3 =t
5 x +x + 8 I = 5 I 3I = 3 (x + ) x +x + + rctg x + +C 3 Primjer Izrcunti integrl R x 6 x 3 + x 5 x dx: Budući d x6 x 3 + x 5 x nije prv rcionln funkcij, dijeljenjem dobivmo I = x 6 x 3 + x 5 x dx = x dx + x 5 Rstv nzivnik n fktore: x + x 5 x dx = x dx = x + I x 5 x = x (x ) x + x + Rstv n prcijlne rzlomke: x 5 x = A x + B x + C x + Dx + E x + x + povlci
= Ax (x ) x + x + +B (x ) x + x + +Cx x + x + + (Dx+E) x (x ) ili = (A + C + D) x 4 + (B + C D + E) x 3 + (C E) x + ( A) x B; što dje sustv A + C + D = B + C D + E = C E = A = B = koji im rješenje A = ; B = Sd je ; C = 3 ; D = 3 ; E = 3 :
I = x 5 x dx = x + 3 x + 3 x +! 3 x + x + dx = = x + 3 ln jx j 6 ln x + x + + p je p 3 3 rctg x + p 3 + C; I = x 6 x 3 + x 5 x dx = x + I = x + x + 3 ln jx j 6 ln x + x + + p 3 3 rctg x + p 3 +C 3. Integrirnje kompozicije trigonometrijske i rcionlne funkcije Ovj tip neodre denog integrl se obicno ozncuje s R(sin x; cos x) dx; gdje je R opć oznk z rzlomcki izrz (rcionlnu funkciju). U trivijlnom slucju R sin x dx i R cos x dx dobivmo dv tblicn integrl (8) i (9). Ndlje,
tg x dx = ctg x dx = sin x cos x cos x sin x sin x cos x dx dx cos x=t = ln j cos xj + C; dx sin x=t = ln j sin xj + C; sin x=t = sin x + C: U općem slucju se integrl R R(sin x; cos x) dx svodi n integrl rcionlne funkcije, tj. n R p(t) q(t) dt, p i q polinomi, koji se ond rješv tehnikom iz prethodnog rzmtrnj. Njopćenitij zmjensk funkcij jest tg x t (x = rctg t): (s) On povlci: dx = t t dt; sin x = + t + t; cos x = + t; (s)
Primjer Izrcunti integrl R 3 sin x cos x + 5 (t + 3 ) + 5 9 (s),(s) dx = p dt t+ 3 5 3 u = p 5 sin x cos x+5 dx: p 5 rctg 3t p + = p 5 5 rctg 3tg x p + 5 3t + t + dt = u + du = p rctg u = 5 + C Ako je funkcij R "prn", tj. ko je R( sin x; cos x) = R(sin x; cos x); moguće je to svo denje provesti zmjenskom funkcijom koj povlci: t = tg x (x = rctg t) (ss) dx = + t dt; sin x = t + t ; cos x = + t : (ss)
Primjer Izrcunti integrl R sin x+ sin x cos x cos x dx: sin x + sin x cos x cos x +t q q t t +t + +t +t dt = +t (t + ) p t+= u dt = p p ln u t+ u + p p ln t+ p + (ss),(ss) dx = t + t dt = (4) du = u p + tg x + p + tg x + C: p ln ili sin x + sin x cos x cos x dx = dx (tg x + tg x ) cos x = (t + ) dt = = p ln tg x = t dt = dx = cos x p + tg x + p + tg x + C
Npokon, u njjednostvnijim slucjevim R(sin x) cos x dx i R(cos x) sin x dx rbimo, redom, zmjenske funkcije t = sin x; dt = cos x dx; (sss) t = cos x; dt = sin x dx: (sss) Primjer Izrcunti integrl R (+cos x) sin x dx: ( + cos x) sin x dx = sin x ( + cos x)( cos x) 3 t + + 6 t (sss) dx = sin x ( + cos x) sin x dx = t + ( + t) ( t ) dt =! dt =
3 ln jt + j + 6 ln jt j ln jt + j = 6 ln (t + ) (t ) (t + ) 3 = 6 ln (cos x + ) (cos x ) (cos x + ) 3 + C: Promtrni se integrl moe izrcunti i ovko: ( + cos x) sin x (s),(s) dx = +t + t +t t +t dt = ::: = 3 ln t t + 3 = 3 ln tg x tg x + 3 + C: Npomen: Primijetimo d se izrcunvnjem neodre denog integrl rzlicitim metodm (ili smo rzlicitim zmjenskim funkcijm) mogu dobiti "rzlicite" primitivne funkcije. Ali, ko što znmo, one se mogu rzlikovti do n ditivnu konstntu. To npr. znci d su n svkom intervlu I R, n kojemu su ob rezultt iz predhodnog primjer denirn, on i me dusobno jednk do n ditivnu konstntu. Vrijedi: 6 ln ( cos x + ) ( cos x ) ( cos x + ) 3 = 3 ln tg x tg x +3 + 3 ln
Posve slicno integrirnju kompozicije trigonometrijske i rcionlne funkcije, integrir se i R R(sh x; ch x) dx; kompozicij hiperbolne i rcionlne funkcije: Primjer Integrl supstitucijom sh x + 3ch x dx th x = t (x = rth t); dx = t dt; sh x = t + t t; ch x = t ; prelzi u integrl rcionlne funkcije: sh x + 3ch x dx = 3t +4t + 3 dt = 3 t t t + 3 +t t dt = t+ 3 + 5 9 p dt t+ 3 5 3 u = p 5 = p 5 rctg u = p 5 rctg 3t + p 5 = p 5 rctg 3thx + p 5 u + du + C
3.3 Integrirnje nekih ircionlnih funkcij Primitivn funkcij z ircionlnu funkciju nije, općenito, elementrn funkcij, tj. neodre deni integrl R f(x) dx ircionlne funkcije f nije, općenito, elementrno rješiv. Rzmtrt ćemo smo neke elementrno rješive tipove neodre denih integrl ircionlnih funkcij: R x m n ; ; x m k n k dx; m i ; n i ; k N; i = ; ; k: (uditorne vjebe) R x + b m cx + d n ; ; x + b cx + d m k n k! dx; m i ; n i ; k N; i = ; ; k; (uditorne vjebe). R (uditorne vjebe) x; p x + bx + c dx:
Binomni integrl, tj. x s ( + bx r ) p dx; p; r; s Q: () Općenito, on nije elementrno rješiv. Skup svih elementrno rješivih binomnih integrl krkterizir ovj teorem: Teorem 3. Binomni integrl () je elementrno rješiv ond i smo ond, ko je brem jedn od brojev cijeli broj. p; s + ; s + r r + p Dokz: Dkle, immo sljedeće supstitucije: p =) x = t n ; n (njmnji) zjed. nzivnik od s i r; s + r s + r =) + bx r = t n ; n nzivnik od p; + p =) x r + b = t n ; n nzivnik od p;
Primjer Izrcunti integrl R x 4p +x dx: dx = x 4 + x dx x 4 ( + x ) p = ; s = 4; r = 3 = 6 p = ; s + = 3 4 r = ; 7 s + 5 = +p = r x = + = t x 3 = t dt = dx= t dt t r t 3 3 = x + x 3 r! 3 r x + = x x + + C x 3x x
3.4. Integrirnje red funkcij n= Pod integrlom (konvergentnog) red funkcij P f n smtrmo neodre deni integrl (ko postoji) pripdne sume x 7! s(x) = X f n (x): n= Budući d, općenito, s nije elementrn funkcij, to je izrcunvnje integrl! X s(x) dx f n (x) dx n= vrlo netrivijlni zdtk. Ipk, u posebnom slucju P jednoliko konvergentnog red f n neprekidnih n= funkcij f n, integrl red funkcij dopušt integrirnje "cln po cln".
Teorem 4. Nek su f n : [; b]! R preslikvnj, P n N; i nek red funkcij f n jednoliko konvergir prem funkciji n= s : [; b]! R; s(x) = X f n (x); n= ond s dopušt primitivnu funkciju n [; b] i on se moe dobiti integrirnjem "cln po cln", tj. s(x) dx X n= f n (x)! Posebice, z red potencij P n x n n njegovu intervlu konvergencije vrijedi X n= n x n! dx = n= X n n= dx = X n= f n (x) dx+c: x n dx = X n= n n + xn+ +C: Integrirnjem redov funkcij i posebice, redov potencij mogu se izrcunti mnogi elementrno nerješivi integrli.
Primjer Izrcunjmo neodre deni integrl funkcije f : R! R; f(x) = e x : Budući je vrijedi e x = X n= x n n! ; x R; e x = Prem tomu, e x dx = = X n= X n= ( x ) n n! X n= = X n= ( ) nxn n! ( ) nxn n! ; x R:! dx T = 4.. ( ) n x n+ (n + )n! + C: X n= ( ) nxn n! dx
Primjer Izrcunjmo neodre deni integrl funkcije g : Rnfg! R; g(x) = sin x x : Vrijedi p je sin x = X n= ( ) n xn+ (n + )! ; x R; g(x) = sin x x = X ( ) n x n (n + )! ; x Rnfg: n= Uocimo d red funkcij n desnoj strni konvergir i u sin x tocki x = i to prem broju. Budući je i lim x! x =, red funkcij X n= ( ) n x n (n + )! konvergir prem (neprekidnoj) funkciji f : R! R; f(x) = ( sin x x ; x 6= ; x = :
Funkcije f i g imju istu primitivnu funkciju n Rnfg. Slijedi, sin x x dx = X n= f(x) dx =! ( ) n x n (n + )! g(x) dx = dx T = 4.. = X n= ( ) n x n (n + )! dx = X ( ) n x n+ (n + )(n + )! +C: n= Primjer 3 Rzvijmo u red potencij (ne rbeći Mclurinovu formulu) funkciju rctg j [ ;] : [ ; ]! R: Prisjetimo se, prvo, sume geometrijskog red X n= ( ) n x n x + x 4 x 6 + = + x; jxj < : Drugo, derivcij (rctg x) = +x ; p je
X (rctg x) = ( ) n x n ; jxj < : n= Prem tomu, X rctg x = (rctg x) dx+c = (! ) n x n n= dx+c T 4.. = X n= ( ) n x n dx+c = X n= ( ) n xn+ +C; x h ; i n + Budući je rctg =, to je C =. Osim tog, primijetimo d red funkcij X n= ( ) n xn+ n + konvergir i u tockm x = i x =. Postvlj se pitnje, konvergir li on u tim tockm, redom, prem funkcijskim vrijednostim rctg ( ) (= 4 ) i rctg (= 4 ) ili prem nekim drugim tockm (?). Pokzuje se d vrijedi X rctg x = ( ) n xn+ ; x [ ; ]: n + n=
. ODREÐENI INTEGRAL
Pojm odre denog integrl je, povijesno, tijesno povezn s problemom izrcunvnje površine "krivocrtnog" rvninskog lik. Odre deni integrl (li ne i njegov nziv) dvno prethodi pojmu neodre denog integrl. Temeljnu ideju (n konkretnim primjerim) je do strogrcki genij Arhimed. Nziv je došo mnogo poslije, kd se shvtil dubok poveznost tih dvju pojmov (vezu dli - I. Newton i G.W. Leibniz), iko n prvi pogled, po denicijm, t dv pojm nemju "ništ" zjednicko.
. Pojm i svojstv odre denog integrl Problem površine. dtk: Izrcunti površinu P rvninskog lik koji je ome den grfom funkcije f : [; ]! R; f(x) = x i prvcim y = ; x = : Podijelimo segment [; ] n cetiri jednk dijel duljine. Izrcunjmo površine L 4 i D 4 koje su zbroj površin prvokutnik, tko d svki prvokutnik im bzu duljine 4 i visinu vrijednost funkcije f u lijevom, odnosno, desnom rubu bze. Immo: L 4 = 4 () + 4 4 + 4 4 + 4 3 4 = 7 3 = :8 75; D 4 = 4 4 + 4 4 + 4 3 4 + 4 4 4 = 5 3 = :468 75:
trenu površinu vrijedi L 4 < P < D 4 : Podijelimo li segment [; ] n više jednkih dijelov dobit ćemo bolju proksimciju. L n i D n z n = ; ; ; immo n L n D n :85 :385 :3875 :35875 :3835 :33835 :33835 :3338335 Dkle, smijemo zkljuciti d z trenu površinu P vrijedi: L n < L n < P < D n < D n ; n < n :
Izrcunjmo sd L n i D n i potrimo cemu tee kd n! : L n = n n + n n + n n + + n n n = n 3 + + + (n ) = n 3 (n )n(n ) 6 = (n )(n ) 6n! n! 3 ; D n = n n + n n + n 3 n + + n n n = n 3 + + + n = n 3 n(n+)(n+) 6 = (n+)(n+) 6n! n! 3 : Prirodno je sd stviti d je tren površin P = 3 : Formlizirjmo sd prethodni postupk kd je f : [; b]! R nek (nenegtivn) funkcij: P = lim n! L n = lim n! nx f(x i i= )4x; Koristimo cinjenicu d vrijedi: np i= i = n(n+)(n+) 6 :
P = lim n! D n = lim n! nx f(x i )4x: U prethodnim summ je bz svkog prvokutnik 4x = b n ; z visinu je uzet funkcijsk vrijednost n lijevom (u L n - lijev integrln n-sum), odnosno desnom krju (u D n - desn integrln n-sum) diobenog segment [x i ; x i ] (i = ; ; n): Umjesto krjev moemo odbrti i bilo koju tocku x i (x i ; x i ) ; odnosno polovište x i = x i+x i (Slik ); i površinu P moemo proksimirti s nx S n = f(x i )4x; (integrln n-sum); i= odnosno s nx M n = f(x i )4x; (srednj integrln n-sum), tj. vrijedi i= i=
P = lim n! S n = lim n! nx f(x i )4x; i= P = lim n! M n = lim n! nx f(x i )4x: i= Slik.
Denicij. Nek je f: [; b]! R neprekidn funkcij n segmentu [; b] i nek je segment [; b] tockm = x ; x ; ; x n = b podijeljen n n-jednkih dijelov duljine 4x = b n ; te nek je x i [x i ; x i ] : Odre deni integrl funkcije f od do b denirmo ko grnicnu vrijednost integrlnih sum R b f(x) dx, tj. Nzivlje: b lim n! np f(x i )4x i ozncvmo s i= f(x) dx def. = lim n! nx f(x i )4x () i= f(x) integrnd; donj grnic; b gornj grnic; sm postupk rcunnj nzivmo integrcijom. Integrlne sume se nzivju i Riemnnove sume (po njemckom mtemticru Bernhrdu Riemnnu, 86-866), ovko denirn integrl Riemnnov integrl. Oznku R je uveo Leibniz - izdueni S ko limes sum.
Npomen. Odre deni integrl je broj i ne ovisi o x; tj. b f (x) dx = b f (u) du = b f (t) dt = ::: Npomen.3 Pokzuje se d limes u Deniciji. uvijek postoji i jedinstven je, bez obzir n izbor tock x i [x i ; x i ] : Dkle, b f (x) dx = lim n! nx f (x i ) x i= {z } L n = lim n! nx f (x i ) x i= {z } D n = = lim n! nx f xi + x i x i= {z } M n Ovi limesi postoje i ko je f neprekidn funkcij n segmentu [; b] izuzev u koncno mnogo tock u kojim im uklonjivi prekid ili prekid prve vrste.
Npomen.4 Općenito odre deni integrl se denir z bilo koju ogrnicenu funkciju. T denicij je nešto komplicirnij od Denicije.. Nime, u Deniciji. pretpostvili smo d je segment [; b] podijeljen n n jednkih djelov. To je bitno ogrnicenje. Me dutim, z neprekidne funkcije i funkcije iz Npomene.3, te dvije denicije su ekvivlentne. Npomen.5 Ukoliko je f (x) z x [; b], P Riemnnov sum n f (x i ) x dje proksimciju i= površine rvninskog lik ispod krivulje y = f (x) n intervlu [; b] sumom površin prvokutnik, integrl R b f (x) dx dje prvu površinu P tog lik. Ukoliko je f (x) z x [; b] integrl dje [; b] integrl R b f (x) dx P, ukoliko f mijenj predznk n intervlu R b f (x) dx dje rzliku površin.
Primjer Izrcunti R 3 (x3 6x) dx: 3 3 = lim n! lim n! (x 3 6x) dx = lim D n = lim n! nx i= nx f i= 3i n 3 n = lim n! nx h i= 7 n 3 i 3 8 n i 3 n = lim n! " n! 8 n 4 3i 3 n nx i= nx f(x i )4x i= i 6 3i 3 n i 3 54 n 8 (*) = lim n(n+) 54 n(n+) n! n 4 n = n = # nx i i= h 8 lim n! 4 + n i 7 + n = 8 4 7 = 7 4 P 3 (*) U rcunu smo koristili pozntu formulu n i 3 = i= n(n+)
Slik 3. Primjetimo d ovj integrl rcun rzliku površin P P ( P < P ) (Slik 3.) Npomen.6 U Deniciji. prepostvili smo d je < b. Denicij vrijedi i ko je b < : U tom slucju je x = b (> ); p slijedi d je n b f (x) dx = b f (x) dx: Ukoliko je = b td je x = ; p ocito vrijedi f (x) dx = :
Teorem.7 (Svojstv odre denog integrl) ) b) c) d) R b R b R b R b Dokz: c dx = c (b [f (x) + g (x)] dx = cf (x) dx = c f (x) dx = R c ) ; c R konstnt, R b R b f (x) dx; f (x) dx + f (x) dx + Primjer Izrcunti R (4 + 3x ) dx: R b c R b f (x) dx: g (x) dx; (4 + 3x ) dx T..7, b) = 4 dx + 3x dx T..7, c) = 4( ) + 3 x dx = 4 + 3 3 = 5; gdje smo iskoristili rezultt R x dx = 3 (to je pocetni primjer n pocetku ovog poglvlj).
Npomen.8 Iz Denicije. ndlje slijedi ) f (x) ; 8x [; b] =) R b b) f (x) g (x) ; 8x [; b] =) b b f (x) dx ; f (x) dx g (x) dx; c) m f (x) M; 8x [; b] =) b m (b ) f (x) dx M (b ) :
. R cunnje odre denog integrl Teorem. (Newton-Leibnizov formul) Nek je f : [; b]! R neprekidn funkcij n segmentu [; b]: Td vrijedi Newton-Leibnizov formul b f(x) dx = F (b) F (); (N-L) gdje je F bilo koj primitivn funkcij od f: Dokz: Uobicjen oznk je b f(x) dx = F (b) F () = F (x) j x=b x= Npomen: Newton-Leibnizov formul se moe primijeniti i ko je f neprekidn funkcij n segmentu [; b] izuzev u koncno mnogo tock u kojim im uklonjivi prekid ili prekid prve vrste (f je po djelovim neprekidn funkcij n [; b]).
Primjer Izrcunti R x dx: x dx (N L);(4) = x + x= x= = = + + = 3 Uocimo: f (x) = x je neprekidn n [; ] : Primjer Izrcunti R x cos x dx: Izrcunjmo neodre deni integrl u=x x cos x dx = = x sin x dv=cos x dx sin x dx i immo x cos x dx = x sin x + cos x + C; (N L) = (x sin x + cos x) j x= x= = : Uocimo: f (x) = x cos x je neprekidn n ; :
3. Osnovni teorem r cun Osnovni teorem rcun dobio je nziv po tome što povezuje diferencijlni s integrlnim rcunom. Osnovni teorem otkrili su nezvisno Newton i Leibniz i on dje precizn odnos izme du derivcije i integrl. Teorem 3. (Osnovni teorem r cun) Nek je f : [; b]! R neprekidn funkcij i funkcij g : [; b]! R; denirn s g (x) = x f (t) dt; x [; b] : Td je g primitivn funkcij od f: Dokz: Tvrdnju teorem moemo zpisti n sljedeći ncin: d dx x f (t) dt = f (x) ; x [; b] :
Npomen 3. S g (x) = R x f (t) dt cesto se denirju funkcije neophodne u zici, kemiji, sttistici,... Ovog oblik su npr. funkcije S (x) = Si (x) = x x sin t sin t t dt dt Frenselov funkcij (optik) Sinus integrlni (elektronik) Npomen 3.3 Newton-Leibnitzov formul b f (x) dx = F (b) F () ; npišemo li je drugcije, tko der povezuje integrl i derivciju b F (x) dx = F (b) F () ; (F = f) : ovo znci d ko uzmemo prvo derivciju, potom integrciju, opet se vrćmo n polznu funkciju F; sd u obliku F (b) F () :
bog ove veze, u literturi Osnovni teorem integrlnog rcun je cesto dn u sljedećem obliku: Osnovni teorem r cun: Nek je f : [; b]! R neprekidn funkcij, td vrijedi: i) Ako je g (x) = ii) R b R x f (x) dx = F (b) funkcij od f, tj. F = f: f (t) dt td je g (x) = f (x) ; F () ; gdje je F primitivn Primjer Izrcunti derivciju funkcije d dx g(x) = d dx g(x) = x (t ) dt: x (t ) dt Primjer Izrcunti derivciju funkcije T 3: = (x ) g(x) = x sin 4 t dt:
g(x) = x sin 4 t dt = u (x) = x = u sin 4 t dt d dx g(x) = d du = d u sin 4 t dt du = sin 4 u x du g(u (x)) dx = x = x sin4 x T 3: = 4. Supstitucij i prcijln integrcij u odre denom integrlu Do sd smo kod izrcunvnj odre denog integrl primjenjivli Newton-Leibnizovu formulu: izrcunli smo neodre deni integrl i potom izrcunli vrijednosti primitivne funkcije u rubnim tockm integrcijskog segment. Drug mogućnost, koj se prkticir, jest d se primjeni supstitucij ili prcijln integrcij u odre denom integrlu.
Teorem 4. Nek z (neprekidnu) funkciju f : [; b]! R postoji nek primitivn funkcij n intervlu I = [; b]. Ndlje, nek je ' : [; ]! [; b] (ili ' : [; ]! [; b]) strogo monoton i neprekidno derivbiln surjekcij, tko d je '() = i '() = b; td je Dokz: f('(t)) ' (t) dt = b f(x) dx: (sup) Primjer Izrcunti površinu P krug rdijus R: Rcun dje R 4 P = p R x dx = 4 x = R cos t 3 {z } '(t) 5 =! ; R! pr R cos t( R sin t) dt = R p cos t sin t dt =R sin t dt = R ( cos t) dt = R t sin t = 4 R ; pozntu formulu z površinu krug P = R :
Teorem 4. Nek se (neprekidn) funkcij f : [; b]! R dde npisti u obliku f (x) = g( (x)) (x); gdje je g nek neprekidn funkcij i nek neprekidno derivbiln funkcij. Td je b Dokz: f(x) dx = b g( (x)) (x) dx = (b) () g(t) dt: (sup) Primjer Izrcunti integrl R 3 sin 5 x cos x dx 3 (x) = sin x = t sin 5 x cos x dx =! ; 3! = t 5 dt = t 6 6 = 6 Prcijln integrcij se prenosi direktno: Teorem 4.3 Ako su funkcije g; h : [; b]! R neprekidno derivbilne, ond vrijedi b g(x)h (x) dx = [g(x)h(x)]j x=b x= b h(x)g (x) dx:
Primjer Izrcunti R rctg x dx: rctg x dx = u=rctg x dv= dx = = (xrctg x )j x + x dx = = 4 ln + x = 4 ln p : Npomen: Ukoliko funkcij im neku simetriju (prn, neprn funkcij), te ko su grnice integrcije simetricne obzirom n ishodište, td vrijedi: f(x) dx = funkcij; f(x) dx ukoliko je f prn f(x) dx = ukoliko je f neprn funkcij. Primjer Vrijedi tg x + x + x 4 dx = jer je podintegrln funkcij neprn (i neprekidn n [ ; ]).
f (x) dx pret- 5. Neprvi integrl U deniciji odre denog integrl postvili smo: segment [; b] je koncn; R b f (x) je n tom segmentu ili neprekidn ili im koncno uklonjivih prekid ili prekid prve vrste). Ako prvi uvjet poprvimo i pretpostvimo d je intervl "beskoncn" (neome den), dobivmo neprvi integrl (I. tip). Ako drugi uvjet poprvimo i pretpostvimo d je f (x) n segmentu [; b] neogrnicen (im koncno prekid druge vrste) dobivmo neprvi integrl (II. tip).
Primjer Promotrimo funkciju f(x) = x x = (Slik ): desno od y F(t) t x Slik t > denirmo funkciju F (t) = t x dx = t : Primjetimo d je F (t) < z t > : Ndlje vrijedi lim F (t) = lim = ; t! t! t p moemo stviti d je površin (neome denog) lik ispod krivulje y = x (desno od ) jednk. Ovdje lei motiv d neprvi integrl funkcije n neome denom denicijskom podrucju denirmo n sljedeći ncin:
Denicij 5. ) Ako postoji R t b) Ako postoji b f (x) dx z 8t ; td je f (x) dx def. = lim t! R b t t f (x) dx: f (x) dx z 8t b; td je f (x) dx def. = lim t! b t f (x) dx: Ako limes u ) (u b)), postoji (koncn je), ond R R b kemo d neprvi integrl I. tip f (x) dx; ( f (x) dx); konvergir. U suprotnom kemo d divergir. c) Denirmo još neprvi integrl I. tip oblik f (x) dx def. = f (x) dx + f (x) dx: gdje je bilo koji reln broj. Ako ob integrl
R R f (x) dx i R f (x) dx konvergirju, kemo d f (x) dx konvergir. U suprotnom (tj. ko brem jedn divergir) kemo d Primjer Izrcunti I = R xex dx: xe x dx = lim t! = lim (xe x )j x= t! x=t R t f (x) dx divergir. {z} x e x {z dx} = t u dv e x dx = = lim [ t! {z} tet! + {z} e t ] = :!
Primjer U ovisnosti od p > ispitti konvergenciju integrl R x dx: p Pokzli smo d je z p = integrl konvergentn. Općenito z p 6= immo dx = lim xp t! = 8 < : lim t! t dx = lim xp t! p + t p x p+ = p + ; konvergentn z p > p ; divergentn z < p < t = (vrijedi lim t! t = p ; p > ; < p < ): Ostje još rzmotriti slucj kd je p = : x dx = lim t! t p u ovom slucju integrl divergir. x dx = lim (ln t ln ) = ; t!
Teorem 5. (Poredbeni kriterij) Nek je f (x) g (x) ; z 8x : R R Ako g (x) dx konvergir, ond i f (x) dx konvergir. Ako R f (x) dx divergir, ond i R g (x) dx divergir. Primjer Dokzti d je R e x dx konvergentn. Ovdje je problem u tome što R t e x dx nije elementrn integrl. Promotrimo funkcije f(x) = e x i g(x) = e x (Slik ): y y=f(x) y=g(x) Slik. x Budući je f (x) g (x) z svki x ; ustnovimo li d je integrl R e x dx konvergentn,
jsno je d će td i R e x dx biti konvergentn. Immo: lim t! t e x dx = lim t! e x dx = e x x=t x= = lim t! ( e t + e ) = e i polzni integrl jest konvergentn. Denicij 5.3 ) Ako je f (x) neprekidn funkcij n [; b) i lim f (x) = (slik ), td je x!b b b " f (x) dx def. = lim f (x) dx: "! + y (..) b ε b slik x
b) Ako je f (x) neprekidn funkcij n (; b] i lim f (x) = td je x! + b b f (x) dx def. = lim f (x) dx: "! + +" (.b.) Ako limes (.) ((.b.)), postoji (koncn je), ond kemo d neprvi integrl II. tip ( R b R b f (x) dx; f (x) dx); konvergir. U suprotnom kemo d divergir. c) Ako je f (x) neprekidn n [; b] funkcij, osim u tocki c (; b) gdje je lim f (x) = ili x!c f (x) = ; denirmo neprvi integrl II. tip + lim x!c b f(x) dx def. = lim "! + c " b f(x) dx+ lim f(x) dx:! + c+ (3.c.) Ako ob limes u (3.c.) postoje, kemo d
R b f (x) dx konvergir. U suprotnom (tj. ko brem jedn ne postoji) kemo d Primjer Izrcunti I = R 3 Mlo nepnje dje x R b dx: f (x) dx divergir. 3 x dx = (ln jx j)jx=3 x= = ln ln = ln ; no to je netocn rezultt. Nime, funkcij f(x) im u x = vertiklnu simptotu. y 3 x Dkle, treb primijeniti (3..), tj. izrcunti neprvi integrl 3 x " dx = lim "! + x 3 dx + lim! + + x dx:
Vrijedi x " dx = lim "! + x dx = lim "! +[ln j " j ln j j] = lim +[ {z} ln " "!! i polzni neprvi integrl jest divergentn. ] = Npokon, sd je ocito kko postupiti u "općem" slucju, tj. kd postoji (njviše) koncno mnogo tock c i u kojim je lim f(x) = ; i = ; ; n; x!c i ili (i) kd je integrcijski intervl neogrnicen.
Primjer Nek je dn funkcij f : A! R kojoj je grf G f prikzn n slici: y b c d c d c 3 b x Ovdje je vno uociti d je lim ; lim x!c + f(x) = +; lim x!c 3 x!c f(x) = +; lim f(x) = x!c : U skldu f(x) = s prethodnim rzmtrnjem, odberimo tocke,, b, b, i d tko d bude b < c, c < d < c ; c < d < c 3 < < b, p neprvi integrl funkcije f im ovj zpis: + f(x) dx = lim t! b t f(x) dx + lim "! + c " b f(x) dx+ d c c f(x) dx+ lim! + d d f(x) dx + lim f(x) dx+! + c + lim! + c3 d f(x) dx + lim f(x) dx + lim! + c 3 + s!+ s f(x) dx:
6. Nekoliko primjen odre denog integrl ) Površin rvninskog lik (kvdrtur) Pokzli smo: ko je f neprekidn i f(x) z svki x [; b]; ond je R b f(x) dx površin ispod krivulje y = f(x) nd segmentom [; b]. Ako je rvninski lik ome den ztvorenom krivuljom ili se prostire i n donju polurvninu, ond z izrcunvnje njegove površine rbimo dv ili više odre denih integrl, tj. "snlzimo se" od slucj do slucj: y y=f(x) D y=g(x) b x P (D) = b ( (f(x) g(x)) dx y y=f(x) D c b x P (D) = c f(x) dx b c f(x) dx
Kd je krivulj zdn "inverznom" funkcijom, tj. jedndbom x = h(y), y [c; d]; površin rvninskog lik D d je s y d x=h(y) c D x P (D) = d c h(y) dy: Primjer Izrcunti površinu lik kojeg ome duju prvc y = x i prbol y = x + 6 y (5,4) x (, ) P = 4 (y + ) y 3 dy = 4 4 + y y dy = 4y + y 6 y3 y=4 y= = 8:
Npomen: Ozncimo li u formuli z površinu, P (D) = R b f(x) dx, umnok f(x) dx ko dp, smijemo pisti P (D) = dp: [;b] Geometrijski se broj dp smije interpretirti ko površin "innitezimlnog" ("neizmjerno mlog") pseudotrpez nd segmentom [x; x+dx], koji se ond smije proksimirti trpezom s osnovicm f(x) i f(x) + f(x) i visinom dx. ist, dp y f(x) = f(x) dx + d P y=f(x) x dx x+dx f(x) + (f(x) + f(x)) f(x) dx x dx f(x) dx pri cemu smo umnok f(x) dx dvju neizmjerno mlih brojev znemrili u zbroju s f(x) dx. Stog se o dp = f(x) dx govori ko o "površinskome elementu" rvninskog lik D. "brjnjem" (tj. integrirnjem) svih površinskih element nd segmentom [; b] dobivmo trenu površinu P (D).
N isti ncin ćemo, poslije, svki podintegrlni izrz pomoću kojeg izrcunvmo površinu (duljinu, obujm (volumen),...) zvti nlognim imenom. Cesto se formlnim izrcunvnjem tih "element" vrlo lko dolzi do korisnih formul z izrcunvnje trenih velicin. Prmetrski zdn krivulj Ukoliko je krivulj prmetrski zdn x = x(t); y = y(t); t [; ] (x(t) je injekcij, Slik 5.) td je površinu n slici nzncenog lik izrcunvmo n ncin P = y(t)x (t) dt: y α t y y=y(t) x x=x(t) x in jekcij β D
Primjer Izrcunti površinu jednog svod cikloide x(t) = R(t sin t); y(t) = R( cos t); t [; ] y R Rp x P = y(t)x (t) dt = R( cos t)[r(t sin t)] dt = R ( cos t) dt = R ( cos t + cos t) dt = R 3 cos t + cos t dt = R 3 t sin t + 4 sin t t= t= = 3R :
Krivulj zdn u polrnim koordintm Nek je rvninsk krivulj zdn u polrnim koordintm jedndbom = g('); ' [; ]: Izrcunjmo ploštinu pseudotrokut odre denog krivuljom i zrkm ' =, ' =. dj dp l r=g (j) j b (r! ; j! ';! ; b! ) "površinski element" uzimmo pripdni kruni isjeck od ' do ' + d' polumjer g('), tj. dp = l = d' = g(') d'; gdje su l i opće oznke, redom, z lucnu duljinu i polumjer. Slijedi P (D) = p g(') d':
Primjer Izrcunti površinu rvninskog lik D ome denog polrnom osi i prvim "zvojem" Arhimedove spirle = '; > : p p P (D) = ' d' = '3 '= 3 '= = 4 3 3 :
b) Duljin rvninskog luk (rektikcij) Nek je rvninski luk d AB (dopuštmo i B = A) zdn prmetrskim jedndbm x = '(t); y = (t); t [; b]; pri cemu su ' i neprekidno derivbilne funkcije i A = ('(); ()) i B = ('(b); (b)). M =A y M y(t i ) M i M n =B t i t t i b M i j(t i ) x Nek je: D n = f = t ; ; t n = bg rstv segment [; b] n n-jednkih dijelov. Bijekcij (do n rub) r : [; b]! d AB, r(t) = ('(t); (t)), pridruuje svkom rstvu D n = ft ; ; t n g tockovni skup fm ; ; M n g n, M = A = r(t = ),, M n = B = r(t n = b). Tocke M i dijele luk n n podlukov \ M i M i, i = ; ; n. Spojimo li svki pr susjednih tock;
M i i M i, duinom, dobivmo poligonlnu crtu "upisnu" luku. Pridijelimo sd svkom rstvu D n broj = nx d(m i ; M i ) = i= = nx i= nx p (xi x i ) + (y i y i ) i= nx p ('(ti ) '(t i )) + ( (t i ) (t i )) i= L:t:s:v = nx i= q (' ( i )4t) + ( (~ i )4t) q ' ( i ) + (~ i ) 4t ' nx i= pri cemu su i ; ~ i ht i ; t i i, i = ; ; n. q ' ( i ) + ( i ) 4t; Prehodni izrz moemo interpretirti ko integrlnu sumu, broj nx q L( ) = lim ' ( i ) + ( i ) 4t n! i= b q = ' (t) + (t) dt; ko duljinu luk d AB:
Primjer Izrcunti duljinu L jednog luk cikloide x(t) = R(t sin t); y(t) = R( cos t); t [; ]: q L = [R( cos t) ] + [R(t sin t) ] dt = R = R = R = 4R q [( cos t) ] + [(t sin t) ] dt q sin t + ( cos t) dt p r cos t dt = R 4 sin t dt sin t dt = 8R cos t t= = 8R t= Ako je rvninski luk zdn jedndbom y = f(x), x [; b], pri cemu je funkcij f neprekidno derivbiln, ond iz prmetrizcije x = t, y = f(t), t [; b], dobivmo L( ) = b p + f (x) dx:
Anlogno, ko je rvninski luk zdn jedndbom x = g(y), y [c; d], pri cemu je funkcij g neprekidno derivbiln, ond iz prmetrizcije x = g (t), y = t, t [c; d], dobivmo L( ) = d c p + g (y) dy: Primjer Izrcunti duljinu luk prbole y = x + 6 odre denog tockm A = ( ; ) i B = (5; 4): y B=(5,4) x A=(, ) = = 4 s L( ) = + d c y 6 h y p y + + ln p + g (y) dy 4 p dy = y + dy y + p y + i y=4 y= :7.
zdn (jedndbom) u polrnim ko- Ako je, pk, luk ordintm = g('); ' [; ]; g neprekidno derivbiln, ond prmetrizcij x = g(') cos '; y = g(') sin '; dje (x ) + (y ) = g(') + g ('). Slijedi, L( ) = p g(') + g (') d': Primjer Izrcunti duljinu prvog zvoj Arhimedove spirle = '; > p q L( ) = g(') + g (') d' = (') + (') d' = = q(') + (') p d' = + ' d' h p 4 + + ln + p 4 + i :56
c) Volumen rotcijskog tijel (kubtur) Nek je f : [; b]! R neprekidn i nenegtivn funkcij. Td grf G f posve odre duje pseudotrpez nd segmentom [; b]. Vrtnjom oko x-osi tj pseudotrpez oblikuje geometrijsko tijelo koje nzivmo rotcijskim tijelom. y y y + y y x dp x+ x x z dv x dosttno mli dx, pripdni njegov dio odre den segmentom [x; x+dx] [; b] proksimirt ćemo krnjim stošcem visine dx i bznih polumjer f(x) i f(x+dx) = f(x) + f(x). pripdni "volumenski element" td dobivmo: dv = dx 3 [f(x) + f(x)(f(x) + f(x)) + (f(x) + f(x)) ] = dx 3 3f(x) + 3f(x) f(x) + (f(x)) f(x) dx; gdje smo pribrojnike 3f(x) f(x) i (f(x)) ispustili jer su znemrivo mli prem 3f(x).
(Ovo povlci d smo z promtrni "volumenski element" smjeli odbrti i vljk visine dx i bznog polumjer f(x).) Prem tomu, treni volumen rotcijskog tijel jest V x = b f(x) dx: Primjer Izrcunti volumen kugle. Kuglu smijemo smtrti rotcijskim tijelom, pri cemu podrzumijevmo d se odgovrjući polukrug vrti oko svog promjer. Promtrjmo krunicu x + y = R. Dovoljno je promtrti smo funkciju Dobivmo V = R R f(x) = p R x ; x [ R; R] : (R x ) dx = R x x 3 3 x=r x= R = 4 3 R3 što je poznt formul z izrcunvnje volumen kugle rdijus R:
Ako je krivulj zdn prmetrskim jedndbm x = '(t); y = (t); t [; b]; i ko je i ' neprekidno derivbiln, ond je volumen pripdnog rotcijskog (oko x-osi, nd [; b]) tijel dn formulom V x = b (t) ' (t) dt: Primjer Izrcunjmo volumen tijel dobivenog rotcijom prvog svod cikloide x(t) = R(t sin t); y(t) = R( cos t); t [; ]: V = b (t) ' (t) dt = [R( cos t)] [R(t sin t) ] dt = R 3 ( cos t) 3 dt = 5R 3 :
Ako je, pk, krivulj zdn polrnom jedndbom = g('); ' [; ]; g neprekidno derivbiln, ond prmetrizcij dje Slijedi, V x = x = g(') cos '; y = g(') sin '; dx = (g (') cos ' g(') [g (') cos ' Primjer Izrcunti volumen kugle. g(') sin ') d': g(') sin '] sin ' d': Promtrjmo dio krunice x + y = R, y ; cij je polrn jedndb: = R; ' [; ]. Prmetrizcij dje Slijedi, V x = x = R cos '; y = R sin '; dx = R [ R sin ' d': R sin '] sin ' d' = = R 3 cos ' 3 (cos ')3 '= '= = 4 3 R3
Npokon z volumen pripdnog rotcijskog tijel što nstje vrtnjom oko y-osi dobivmo V y = d c '(t) (t) dt: Primjer Izrcunjmo volumen rotcijskog tijel što nstje rotcijom rvninskog lik ome denog s y = x 3 ; y = 8; x = oko y-osi. y 8 6 4 3 4 x 8 p V y = ( 3 y) dy = 3 8 5 y 5 3 = 3 5 85 3 = 96 5 : Npomen: Ovdje je prmetrizcij x = 3 p y; y = y (t) ; y [; 8]:
d) Oplošje rotcijskog tijel (komplncij) oplošje rotcijskog tijel (bez bz): zdn prmetrskim jed- ko je krivulj ndbm x = '(t); y = (t); t [; b]; gdje su su ' i neprekidno derivbilne, dobivmo: oplošje tijel nstlog vrtnjom oko x-osi O x = b j (t)j q ' (t) + (t) dt: oplošje tijel nstlog vrtnjom oko y-osi O y = d c j'(t)j q ' (t) + (t) dt: Posebno, ko je krivulj koordintm: dn u prvokutnim jedndbom y = f (x) ; x [; b] ; ond je oplošje tijel nstlog vrtnjom oko x-osi O x = b jf (x)j p + f (x) dx:
jedndbom x = g (y) ; y [c; d] ; ond je oplošje tijel nstlog vrtnjom oko y-osi O y = d c jg (y)j p + g (y) dy: Primjer Izrcunjmo oplošje rotcijskog tijel dobivenog rotcijom oko x osi prvog svod cikloide: x(t) = R(t sin t); y(t) = R( cos t); t [; ] Immo: q ' (t) + (t) = q [R(t sin t) ] + [R( cos t) ] = = p R p cos t = p r R sin t = R sin t {z} ; t[;] = R sin t ; i (t) = R( O x = b cos t) : Sd je q j (t)j ' (t) + (t) dt = = R( cos t) R sin t dt = 64 3 R
Numeri ck integrcij Numerick integrcij se koristi z priblino rcunnje odre denog integrl i to: ko se integrl ne moe tocno izrcunti (npr. R e x dx); ko se integrl moe tocno izrcunti, li je rcunnje teško ili je vn smo priblin vrijednost integrl; ko su zdne smo neke vrijednost podintegrlne funkcije, ne i funkcij. Iz denicije integrl immo: b f (x) dx nx i= f (x i ) x; x i [x i ; x i ] ; x = b n : Ako izberemo z x i lijevi krj, desni krj, polovište intervl [x i ; x i ] immo redom:
b f (x) dx nx f (x i i= ) x = L n b f (x) dx nx f (x i ) x = D n i= b f (x) dx nx f (x i ) x = M n ; i= Moemo uzesti i proksimciju: b = f (x) dx (L n + D n ) nx f (x i ) x + i= =! nx f (x i ) x i= nx (f (x i ) + f (x i )) x i= = x [f (x ) + f (x ) + f (x ) + + f (x n ) + f (x n )] = T n :
T n se nziv Trpezn formul zbog tog što je x (f (x i ) + f (x i )) površin trpez s osnovicom [x i ; x i ] : Pretpostvimo d je jf (x)j K z x [; b] : Pokzuje se d z grešku vrijedi je M j K (b )3 4n, je T j K (b )3 n
Nek je segment [; b] tockm x = ; x ; :::; x n = b podijeljen n n jednkih djelov duljine x = b n i nek je n prn broj. Luk krivulje y = f (x) od x i do x i+ proksimirjmo prbolom koj prolzi tockm f (x i ) ; f (x i ) ; f (x i+ ) : Površin ispod te prbole je x 3 [f (x i ) + 4f (x i ) + f (x i+ )] Sd je b gdje je f (x) dx S n S n = x 3 ff (x ) + 4 [f (x ) + f (x 3 ) + + f (x n )] + [f (x ) + f (x 4 ) + + f (x n )] + f (x n )g: S n se nziv Simpsonov formul. Pokzuje se d z grešku vrijedi je S j K (b )5 8n 4 gdje je f (iv) (x) K z x [; b] :
Primjer Izrcunti proksimcije trpeznom formulom T i Simpsonovom formulom S integrl e x dx i ocijeniti pogreške E T i E S : Koliki mor biti n d T n proksimir integrl s tocnošću :? Immo općenito: T n = b n f() + ili u nšem slucju X T = e + Budući je i= Xn i= f + i b n! +i e + e + f(b)! f (x) = e x =) f (x) = e x =) = :797: jf (x)j e = e(= K); z x [; ] ; to je ocjen pogreške ; je T j K (b )3 n = e ( )3 = :65:
Kko je I = ond je stvrn pogrešk e x dx = e :783; je T j = ji T j j:783 :797j = :4: Koliki mor biti n d T n proksimir integrl s tocnošću :? Immo: je Tn j e ( )3 n : =) n 5:5 =) n 5 Slicno se poke: S :7883; je S j :6.