Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov
INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e x + C x x ln + C sin x cos x + C cos x sin x + C tg x + C cos 2 x ctg x + C sin 2 x x 2 +1 1 x 2 + 2 1 x 2 2 rctg x + C rctg x + C 2 ln x x+ + C 1 x rcsinx + C 2 rcsin x 2 x 2 + C x ln x + x 2 2 2 + C 2 x ln x + x 2 + 2 2 + + C 2 x 2 + 2 1 2 (x x 2 + 2 + 2 ln x + ) x 2 + 2 + C x 2 2 1 2 (x x 2 2 2 ln x + ) x 2 2 + C 2 x 2 1 2 (x 2 x 2 + 2 x rctg 2 x 2) + C 2
Integrirnje supstitucijom f(ϕ(x))ϕ (x) = ( t = ϕ(x) dt = ϕ (x) ) = f(t) dt Prcijln integrcij u(x) dv = u(x)v(x) v(x) du Integrirnje rcionlnih funkcij Nek je f(x) = P(x) Q(x) rcionln funkcij. Ako je stupnj polinom P(x) mnji od stupnj polinom Q(x), funkciju rstvljmo n prcijlne rzlomke. Ako je stupnj polinom P(x) veći ili jednk stupnju polinom Q(x), td se P(x) dijeli polinomom Q(x) i funkciju f(x) možemo zpisti u obliku P(x) Q(x) = P 1(x) + R(x) Q(x) Stupnj polinom R(x) mnji je od stupnj polinom Q(x), p funkciju R(x) Q(x) rstvljmo n prcijlne rzlomke. Integrirnje rcionlnih izrz trigonometrijskih funkcij Koristimo supstituciju: tg x 2 = t cos x = 1 t2 1 + t 2 sin x = 2t 1 + t 2 = 2dt 1 + t 2 3
ODREDENI INTEGRALI = F(x) b = F(b) F() Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± 2. α = α 3. = 4. = c + c 5. = 0 b g(x) Integrirnje supstitucijom f(ϕ(x))ϕ (x) = ( t = ϕ(x) dt = ϕ (x) ) = ϕ(b) ϕ() f(t) dt Prcijln integrcij u(x) dv = u(x)v(x) b v(x) du 4
NEPRAVI INTEGRALI 1. integrli neogrničenih funkcij () n [, b : (b) n, b]: (c) n [, c c, b]: = lim c b = lim c c c = lim 2. integrli s beskončnim grnicm = lim ǫ c ǫ = lim b = lim 0 + lim η c η + lim b 0 5
PRIMJENE ODREDENOG INTEGRALA Površin lik y y = f(x) y O - b x O b x y = f(x) P = P = y y = f(x) y y = g(x) O + c - b x y = f(x) O b x P = c c P = (f(x) g(x)) 6
Volumen rotcijskog tijel ) rotcij oko osi x b) rotcij oko osi y V x = π V y = 2π [f(x)] 2 x c) rotcij lik omedenog krivuljm f 1 (x) i f 2 (x) oko osi x V x = π ([f 2 (x)] 2 [f 1 (x)] 2 ) d) rotcij lik omedenog krivuljm f 1 (x) i f 2 (x) oko osi y V y = 2π x(f 2 (x) f 1 (x)) e) rotcij krivulje zdne prmetrski x = ϕ(t), y = ψ(t) oko osi x V = π [ψ(t)] 2 ϕ (t) dt Duljin luk krivulje ) funkcij y = f(x) zdn prvokutnim koordintm s = 1 + y 2 b) funkcij zdn prmetrski x = ϕ(t), y = ψ(t) s = t2 t 1 [ϕ (t)] 2 + [ψ(t) ] 2 dt 7
Površin rotcijske plohe (oplošje) ) oplošje rotcijske plohe nstlo rotcijom funkcije y = f(x) oko osi x P x = 2π y 1 + y 2 b) funkcij zdn prmetrski x = ϕ(t), y = ψ(t) t2 P = 2π ψ(t) ϕ(t) 2 + ψ(t) 2 dt t 1 Primjen integrl u fizici 1. Put: ) zdn brzin v(t) = s (t) i početni položj s 0 = s(0) t s(t) = v(τ) dτ + s 0 b) zdn kcelercij (t) = v (t) i početn brzin v 0 = v(0) 0 t v(t) = (τ) dτ + v 0, čime se dobije brzin, p se put dlje rješv ko pod ). 0 2. Rd sile: W = F(x) 8
SUSTAVI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI GAUSSOVA METODA ELIMINACIJE 11 x 1 + 12 x 2 + + 1n x n = b 1 21 x 1 + 22 x 2 + + 2n x n = b 2. m1 x 1 + m2 x 2 + + mn x n = b m Ako je: svki b i = 0, i = 1, 2,...,m jedno rješenje je x 1 = x 2 = = x n = 0 (trivijlno rješenje), immo dv slučj: ) r(a) = n trivijlno rješenje je jedino rješenje b) r(a) < n sustv im beskončno mnogo rješenj brem jedn b i 0, i = 1, 2,...,m, immo tri slučj: ) r(a) = r(a p ) = n sustv im jedinstveno rješenje b) r(a) = r(a p ) < n sustv im beskončno mnogo rješenj c) r(a) r(a p ) sustv nem rješenj gdje je n broj nepoznnic u sustvu 11 12... 1n 21 22... 2n r(a) rng mtrice A =.. m1 m2... mn 11 12... 1n b 1 21 22... 2n b 2 r(a p ) rng proširene mtrice A p =.. m1 m2... mn b m 9
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE I. REDA Seprcij vrijbli y = f(x)g(y) dy = f(x)g(y) dy g(y) = Homogen diferencijln jedndžb y = ϕ( y x ) koristi se supstistucij u = y x y = ux, y = u + u x Linern diferencijln jedndžb y + f(x) y = g(x) opće rješenje: y(x) = e f(x) ( ) g(x) f(x) e + C 10
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE II. REDA Snižvnje red obične diferencijlne jedndžbe ) y = f(x, y ) koristi se supstitucij: y (x) = p(x) y (x) = p (x) p (x) = f(x, p(x)) b) y = f(y, y ) koristi se supstitucij: y (x) = p(y) y (x) = p (y) y p (y) p(y) = f(y, p(y)) Linern diferencijln jedndžb II. red s konstntnim koeficijentim y (x) + p y (x) + q y(x) = f(x) opće rješenje: y(x) = y H (x) + y P (x) gdje je y H (x) opće rješenje pripdne homogene jedndžbe, y P (x) jedno prtikulrno rješenje polzne jedndžbe. Immo tri slučj općeg rješenj: ) r 1 r 2 reln rješenj y H (x) = C 1 e r1x + C 2 e r 2x b) r 1 = r 2 = r relno rješenje y H (x) = C 1 e rx + C 2 x e rx c) r 1,2 = α ± iβ y H (x) = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx) gdje su - C 1, C 2 konstnte - r 1 i r 2 rješenj krkteristične jedndžbe r 2 + pr + q = 0 11
Ako je funkcij f(x) oblik f(x) = e αx [P s (x)cos βx + Q t (x)sin βx], prtikulrno rješenje tržimo u obliku y P = x p e αx [M n (x)cos βx + N n (x)sin βx], pri čemu su: - s i t stupnjevi polinom P s (x) i Q t (x) - n = mx{s, t} - M n (x) i N n (x) polinomi stupnj n - p višestrukost rješenj α ± iβ u krkterističnoj jedndžbi. Immo sljedeće posebne slučjeve: ) α = β = 0: f(x) = P s (x) y P = x p M s (x) b) β = 0, α 0: f(x) = P s (x)e αx y P = x p M s (x)e αx c) α = 0, β 0: f(x) = P s (x)cos βx f(x) = Q t (x)sin βx f(x) = P s (x)cos βx + Q t (x)sin βx d) α, β 0: y P = x p [M n (x)cos βx + N n (x)sin βx] f(x) = P s (x)e αx cos βx f(x) = Q t (x)e αx sinβx f(x) = e αx [P s (x)cos βx + Q t (x)sinβx] y P = x p e αx [M n (x)cos βx + N n (x)sin βx] 12
NUMERIČKE METODE NUMERIČKO RJEŠAVANJE JEDNADŽBI Osnovni problem: riješiti jedndžbu f(x) = 0. Metod polovljenj Ako immo približn rješenj x n 1 i x n, ond je x n+1 = x n 1+ x n 2 i immo sljedeće slučjeve: f(x n+1 ) = 0 x n+1 je točno rješenje f(x n 1 )f(x n+1 ) < 0 x n+2 = x n 1 + x n+1 2 f(x n+1 )f(x n ) < 0 x n+2 = x n+1 + x n 2 Ocjen greške: z = x 0, b = x 1 i s točno rješenje, vrijedi: x n s 1 2n 1(b ) Newtonov metod Približn rješenj tržimo pomoću formule Postupk se provodi dok se ne dobije pri čemu je ε tržen točnost. x n+1 = x n f(x n) f (x n ) x n+1 x n = f(x n ) f (x n ) < ε 13
APROKSIMACIJA FUNKCIJE Osnovni problem: odrediti polinom koji njbolje proksimir funkciju f s pozntim vrijednostim u točkm x 1, x 2,...,x n. Lgrngeov interpolcijski polinom pri čemu je: P(x) = f(x 0 )L 0 (x) + f(x 1 )L 1 (x) + f(x 2 )L 2 (x) +... + f(x n )L n (x) L k = Ocjen greške: (x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) M n f(x) P(x) (n + 1)! x x 0 x x 1... x x n f M n = mx (n+1) x [,b] (x) Metod njmnjih kvdrt Zdne su točke (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )),...,(x n, f(x n )). Koeficijente polinom g(x) = αx + β odredujemo iz sustv: n n n α x 2 k + β x k = f(x k )x k k=1 α gdje je n broj zdnih točk. k=1 n x k + n β = k=1 k=1 k=1 n f(x k ) 14
NUMERIČKA INTEGRACIJA Osnovni problem: izrčunti integrl Trpezn formul I = I h 2 {f() + f(b) + 2 [f(x 1) + f(x 2 ) + + f(x n 1 )]} pri čemu je: - h = b n - x 0 =, x n = b, x k = + k h Ocjen greške G: (b )3 G 12n 2 M M = mx x [,b] f (x) Simpsonov formul I h 3 {f() + f(b) + 2 [f(x 2)+f(x 4 )+ +f(x n 2 )] + 4 [f(x 1 )+f(x 3 )+ +f(x n 1 )]} pri čemu je: - n prn broj - h = b n - x 0 =, x n = b, x k = + k h Ocjen greške G: (b )5 G 180n 4 M M = mx x [,b] f iv (x) 15
NUMERIČKO RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI ) Diferencijlne jedndžbe I. red Osnovni problem: riješiti diferencijlnu jedndžbu I. red y (x) = f(x, y(x)) n segmentu [, b] uz početni uvjet y 0 = y() = α. Eulerov metod Vrijednosti y 1, y 2,...,y n rčunmo pomoću formule: y i+1 = y i + h f(x i, y i ) pri čemu je: - h = b n - x 0 =, x n = b, x i = + h i Metod Runge-Kutt Vrijednosti y 1, y 2,...,y n rčunmo pomoću formule: y i+1 = y i + y i, y i = 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) gdje je pri čemu je: - h = b n - x 0 =, x n = b, x i = + h i k 1 = h f(x i, y i ) k 2 = h f(x i + h 2, y i + k 1 2 ) k 3 = h f(x i + h 2, y i + k 2 2 ) k 4 = h f(x i + h, y i + k 3 ) 16
b) Diferencijlne jedndžbe II. red Osnovni problem: riješiti diferencijlnu jedndžbu II. red y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f(x) n segmentu [, b] uz zdne rubne uvjete y 0 = y() = α, y n = y(b) = β. Metod končnih diferencij Pri rčunnju vrijednosti y 1, y 2,...,y n 1 koristimo proksimcije derivcij: y i y i+1 y i h proksimcij s desn y i y i y i 1 h proksimcij s lijev y i y i+1 2y i + y i 1 h 2 pri čemu je: - h = b n - x 0 =, x n = b, x i = + h i 17