IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a >0). (sin)`=cos. (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos 4. (ctg)`= kπ sin. (arcsin)`= 6. (arccos)`= - 7. (arctg)`= + 8. (arcctg)`= - + <
. [cf()]`=cf `() Kad je konstanta vezana za funkciju, nju prepišemo a tražimo izvod samo od funkcije. A kad je konstanta sama, izvod od nje je 0.. [f() ± g()]` = f `() ± g`() Od svakog sabirka tražimo izvod posebno.. (uοv)`=u`v+v`u izvod proizvoda 4. ` u u`v v`u = v v izvod količnika Zadaci:. Nađi izvode sledećih funkcija: a) y = b) y = 0 c) f() = d) y = log e) f() = f) f() = 7 g) y = 8 h) y = i) y = a) y = y` = 4 kao 4-ti tablični b) y = 0 y` = 0 ln0 kao -ti tablični c) f() = f `( ) = kao 0-ti tablični d) y = log pa je y` = kao 7-mi tablični ln e) f() = Pazi: Ovde funkciju moramo prvo pripremiti za izvod. Iskoristićemo pravilo vezano za stepenovanje: m m n n =. Dakle = pa dalje radimo kao ( n )`=n n- f `() = = f) f() = I ovde moramo pripremiti funkciju. Kako je 7 f `()= -7-7- = -7 8 n a = a n to je 7 = 7 pa je izvod
g) y = 8 8 ovde je y = pa će izvod biti y` = 8 8 = 8 8 h) y = = = pa je y`= = = i) y = = = = 6 pa će izvod biti y` = 6 6 = 6 6. Nađi izvode sledećih funkcija: a) y = sin b) y = ln c) y = tg 4 d) y = π e) f() = 4 arctg f) f() = - a ctg g) y = 0 h) y = -ab a) y = sin je konstanta, pa nju prepišemo i tražimo izvod od sin, a to je cos. Dakle: y` = cos b) y = ln je konstanta... y` = c) y = = tg konstanta ostaje a od tg je izvod. tablični, pa je y` = 4 d) y = π Pazi : π je takodje konstanta, a od izvod je, pa je dakle: y` = π 4 cos e) f() = 4 arctg f `()= 4 + 4 = ( + ) kao 7. tablični
a f) f() = - a ctg f `() = -a ( )= sin sin g) y = 0 Pazi: kad je konstanta sama izvod od nje je 0. Dakle y`=0 h) y = -ab Ovde je ab konstanta, akako je od izvod to je : y` = -ab. Nađi izvode: a) y = 6 +4 8 b) f() = sin - e + 7arctg c) y = + + 4 a) y = 6 +4 8 Iskoristićemo pravilo [f() ± g()]` = f `() ± g`() i od svakog člana tražiti izvod posebno, naravno prepisujući konstantu ispred funkcije. y` = ( 6 )` ( )` +4()` 8` y` = 0 4 +4 0 Pazi još jednom, kad je konstanta sama izvod je 0. y` = 0 4 +4 b) f() = sin - e + 7arctg f `() = (sin)` - (e )` + 7(arctg)` ` f `() = cos - e + 7 + - 0 = cos - e 7 + + c) y = + 4 + Najpre ćemo koristeći već pomenuta pravila za stepenovanje i korenovanje, pripremiti funkciju, a zatim tražiti izvode u tablici... y = - + - - - +4 y` = - ( ) +(-) - (-) -4 + 0 = + - 6 - + -4
4. Nađi izvode sledećih funkcija: a) f() = sin b) f() = e arcsin c) y = ( +)( +) d) y = sincos Kao što primećujete, u ovom zadatku moramo koristiti pravilo za izvod proizvoda: (uοv)`=u`v+v`u a) f() = sin Ovde je kao funkcija u, dok je sin kao funkcija v f `() = ( )` sin + (sin)` f `() = sin + cos = (sin+cos) b) f() = e arcsin Ovde je e kao funkcija u, dok je arcsin kao funkcija v f `() = (e )`arcsin + (arcsin)`e f `() = e arcsin + e = e ( arcsin + ) c) y = ( +)( +) Naravno ovde možemo sve pomnožiti pa tražiti izvod od svakog posebno, ali malo je lakše upotrebiti izvod proizvoda. y` = ( +)`( +)+ ( +)( +)`= 6 ( +)+ 4 ( +)= [(6 +9)+ (6 +)]=[ +] d) y = sincos Od je izvod a sincos moramo kao izvod proizvoda y` = [ (sin)`cos + (cos)`sin] y` = [ cos cos - sin sin] Znamo da je sin + cos = y` = sin + cos - cos + sin = sin
. Nađi izvode sledećih funkcija: a) b) c) d) y = + cos y = sin e y = e + ln + y = ln u u`v v`u Ovde ćemo koristiti izvod količnika : = v v ` a) + y = ovde je + funkcija u, dok je - funkcija v ( + )`( ) ( )`( + ) y `= savet : imenilac nek ostane ovako do kraja! ( ) ( ) ( + ) y `= izvuci zajednički ispred zagrade ako ima, biće lakše za rad! ( ) [( ) ( + )] y `= malo prisredimo... ( ) 4 y `= evo konačnog rešenja! ( ) b) cos y = u je cos ; a v je - sin sin (cos )`( sin ) ( sin )`cos y`= nadjemo izvode u brojiocu... ( sin ) y`= sin ( sin ) + cos cos ( sin )
sin + sin + cos y`= kako je sin + cos = to je ( sin ) sin y`= skratimo sin, naravno postavimo uslov da je to različito od 0 ( sin ) y`= i evo konačnog rešenja! sin c) y e e + = y ` ( e )`( e = + ) ( e + )`( e ) ( e + ) e ( e + ) e ( e ) y `= izvlačimo e kao zajednički ispred zagrade ( e + ) e ( e + + e ) y `= malo sredimo... ( e + ) 7e y `= konačno rešenje ( e + ) d) ln + y = ln (ln + )`ln (ln )`(ln + ) `= ln y ln (ln + ) ln y`= `= ln ln ln y `= pa je ln y `= konačno rešenje ln y
6. Odrediti jednačinu tangente funkcije y = + u datoj tački A(,y) koja pripada funkciji. Najpre ćemo naći nepoznatu koordinatu y tako što ćemo u datoj funkciji zameniti = y = * - 6 + = 4, pa je data tačka ustvari A(,4) Da vas podsetimo: Jednačina tangente Jednačina tangente na krivu y=f() u tački ( 0,y 0 ) u kojoj je funkcija diferencijabilna, računa se po formuli: y y 0 = f `( 0 )( 0 ) f() = + Nađemo izvod... f `() = 4 - Ovde zamenimo vrednost = f `() = 8- = Vrednost prvog izvoda u dvojci je. Sad upotrebimo formulu: y y 0 = f `( 0 )( 0 ) y 4 = (- ) malo prisredimo y = 6 je tražena jednačina tangente 7. U kojoj tački parabole y = 7 + je tangenta paralelna sa pravom y = +? f() = 7 + pa je prvi izvod f `() = 7 Uslov paralelnosti je da je k = k, iz prave y = + je k = pa zaključujemo da je f `() =, to jest 7 = = = 6 Sada ovu vrednost zamenimo u jednačinu parabole da nađemo koordinatu y. Dakle : y = 7 + y = 6 4 + y = - Tražena tačka koja pripada paraboli je ( 6,-)
8. Odrediti jednačinu normale funkcije y = 4 + u tački M(,y) koja pripada grafiku te funkcije. Najpre nadjemo nepoznatu koordinatu y. Y = + =, dakle koordinate su M(,) Normala se traži po formuli : Jednačina normale Normala na krivu y=f() u tački ( 0,y 0 ) je prava normalna na tangentu krive u toj tački. Njena jednačina je : y y 0 = f ` ( ) 0 ( 0 ) y = 4 + y` = 4 pa zamenimo koordinatu tačke M y`()= 4 = i sad upotrebimo formulu: y = ( ) malo sredimo y 6 = - + pa je normala n: +y 7 = 0 traženo rešenje