OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina
GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK
GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN Pri proučavanju raznih vrsta naprezanja štapa, odnosno pri određivanju unutrašnjih sila primenom metode preseka, napona, deformacija i dr. koriste se neke čisto geometrijske karakteristike poprečnih preseka. To su: površina, statički momenti i momenti inercije. Površina se, pored ostalog koristi pri proučavanju aksijalnog naprezanja, statički momenti se koriste pri određivanju težišta površina i pri proučavanju savijanja, a momenti inercije pri proučavanju savijanja, uvijanja, izvijanja i dr.
POVRŠN POPREČNOG PRESEK... n i i n Dimenzija L Jedinica [m ], [cm ], [mm ]
POVRŠN POPREČNOG PRESEK ko presek ne može da se rastavi na konačan broj delića čija su težišta poznata, razdeli se na veliki broj malih površina, a zatim se prelazi na granični slučaj, kada sve površine teže nuli. Površina elementarnog dela je d d d d
STTČK MOMENT POVRŠNE POPREČNOG PRESEK Z OSU S d S d i su rastojanja težišta elementarne površine d do ose, odnosno ose ntegraljenje se vrši po celoj površini Dimenzija [L ] Jedinica [m ], [cm ], [mm ]
STTČK MOMENT POVRŠNE POPREČNOG PRESEK Z OSU Prema Varinjonovoj teoremi Moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata: d d S S Statički momenti, pored neposrednog integraljenja mogu da se odrede i kao proizvodi površine i odgovarajuće koordinate njenog težišta
TEŽŠTE POVRŠNE Koordinate težišta površine: n d i d i S i i i S n n d d i i S i i i S n ko su statički momenti određeni neposrednim integraljenjem, mogu se odrediti koordinate težišta površine. Dimenzija [L] Jedinica [m], [cm], [mm]
STTČK MOMENT POVRŠNE POPREČNOG PRESEK Z OSU ko osa prolazi kroz težište površine, statički moment za tu osu jednak je nuli. S S 0 0 S 0 S 0 S u 0 S v 0 Za osu simetrije statički moment površine je jednak nuli jer ova osa prolazi kroz težište.
STTČK MOMENT SLOŽENE POVRŠNE Statički momenti prostih površina izračunavaju se neposredno integraljenjem. Statički moment složene površine, koja se sastoji od više prostih površina - pravougaonika, kvadrata, trouglova, krugova itd. jednak je zbiru statičkih momenata pojedinih prostih površina u odnosu na istu osu. S d d d... d... n n i i i n S d d d... d... n n i i i,,...,,... n,,... n n n površine pojedinih delova složene površine, koordinate težišta pojedinih površina, n broj prostih površina. n n
Koordinate težišta površine: n i i i S... n n n i... n i n i i i n i n n n ko površina ima osu simetrije težište se nalazi na toj osi, slika a). ko površina ima dve ose simetrije težište je u njihovom preseku, slika b). ko površina ima centar simetrije, težište je u tom centru, slika c). i S...... a) b) c)
Primer: Odrediti statički moment pravougaonika dimenzija b, h u odnosu na osu, i u odnosu na osu. h/ b h h S d bd b h/ 0 h/ Statički moment površine u odnosu na težišnu osu je jednak nuli. h h b bh ( ) 0 0 S d bd b h 0
Primer: Odrediti koordinate težišta date složene površine.
a h 6 a 6 h 6cm, cm, 0,67cm r π π r 6, 8cm, 0,85cm, 0 π a 6 b a b 6 cm, cm, cm 6 6, 8, 8cm
S 0,67 6,0cm S 0 6,8 0 ( ) S cm S 6 cm ( ) S 0,85 6, 8 5, cm S 6cm S S S S, 0 0 7,98cm S S S S 5, 6,6 cm
Koordinate težišta: S,6, 8 S 7,98, 8, 75m 0, m
KRKTERSTKE STTČKH MOMENT NERJE RVNH POVRŠN Statički moment površine za neku osu u ravni te površine može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli u zavisnosti od uzajamnog položaja te površine i ose. ko je statički moment za neku osu jednak nuli, to znači da je ta osa težišna. S S 0 0 S S 0 0
Za osu simetrije statički moment površine jednak je nuli jer ova osa prolazi kroz težište. ko površina ima dve ose simetrije ili više takvih osa, težište se nalazi u presečnoj tački tih osa. krug, kvadrat, elipsa, pravougaonik, prsten itd. Kososimetrična površina ima težište u tački kose simetrije.
MOMENT NERJE RVNH POVRŠN KSJLN MOMENT NERJE ENTRFUGLN MOMENT NERJE POLRN MOMENT NERJE
KSJLN MOMENT NERJE d d ksijalni moment inercije površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od odgovarajuće ose u ravni te površine
ENTRFUGLN MOMENT NERJE d entrifugalni moment inercije predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i oba njihova odstojanja od osa.
POLRN MOMENT NERJE O r d Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i kvadrata njihovih odstojanja od tog pola.
POLRN MOMENT NERJE r ( ) d d d O Polarni moment inercije jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije za bilo koje dve međusobno upravne ose koje se seku u tom polu.
KRKTERSTKE MOMENT NERJE RVNH POVRŠN Dimenzija L Jedinica m cm ksijalni i polarni moment inercije uvek su pozitivne veličine, različite od nule entrifugalni moment inercije može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Svaka površina, bila ona simetrična ili nesimetrična, ima bar jedan par međusobno upravnih osa za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli.
ko površina ima jednu osu simetrije, tada je centrifugalni moment inercije za tu osu i bilo koju drugu upravnu osu jednak nuli. ( ) d 0 d d
PROMEN MOMENT NERJE PR TRNSLJ KOORDNTNOG SSTEM. ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije preseka za ose ξ i η ξ η ξη η ξ d d ξη d ko je koordinatni početak koordinatnog sistema ξo η ujedno i težište površine O, tada su ose ξ i η težišne, a ξ, η, ξη težišni li sopstveni momenti inercije.
ŠTJNEROV TEOREM ξa ηb ( ) d η b d η d b η d b d ξ bsξ b ( ) d ξ a d ξ d a ξ d a d η asη a ( )( ) ξ a η b d ξη d a η d b ξ d ab d as bs ab ξµ η
ŠTJNEROV TEOREM ko je koordinatni početak koordinatnog sistema ξo η ujedno i težište površine O, tada su ose ξ i η težišne, a ξ, η, ξη težišni li sopstveni momenti inercije. Kako su statički momenti za te ose jednaki nuli (S ξ 0, S η 0), a b i a ξ ξ b η ξη η a a b ξη
ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije za ose koje nisu težišne jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za paralelne težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije ξ, η, ξη težišni li sopstveni momenti inercije Položajni aksijalni momenti inercije predstavljaju proizvode kvadrata rastojanja odgovarajućih paralelnih osa i površine (b, a ), a položajni centrifugalni moment inercije jednak je proizvodu oba rastojanja između paralelnih osa i površine (a b ). Za a, b položajni momenti inercije su a, b, a b
ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije ravne površine za ose paralelne težišnim osama jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije Sopstveni (težišni, centralni) ξ b η a ξη a b Položajni
ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije za ose koje nisu težišne jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za paralelne težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije ko su poznati momenti inercije nekog preseka za ose koje nisu težišne, na primer i, sopstveni (težišni) momenti inercije za odgovarajuće paralelne težišne ose su: ξ η ξη
KRKTERSTKE MOMENT NERJE RVNH POVRŠN ksijalni moment inercije za osu koja nije težišna uvek je veći od momenta inercije za paralelnu težišnu osu, jer su položajni momenti inercije uvek pozitivne veličine (b >0, a >0). Moment inercije za težišnu osu (sopstveni moment inercije) je najmanji od momenata inercije za sve međusobno paralelne ose. Pri paralelnom pomeranju samo jedne koordinatne ose centrifugalni moment inercije se ne menja. Ovo sledi iz a b ako je, na primer a0, b 0 (ili je a 0, b0) tada je ξη ξη ξη
MOMENT NERJE Z ZOKRENUT (ROTRN) KOORDNTN SSTEM Poznati su sopstveni (težišni) momenti inercije, i. Za neki novi koordinatni sistem ξoη koji je zaokrenut u odnosu na prethodni, treba odrediti momente inercije ξ, η i ξη. ξη Ugao zaokretanja φ je proizvoljan i smatra se pozitivnim ako se rotacija osa vrši u pozitivnom matematičkom smeru (suprotno od smera kazaljke na satu)
MOMENT NERJE Z ZOKRENUT KOORDNTN SSTEM ROTJ KOORDNTNOG SSTEM. GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE ξ MN M PQ M sin ϕ cos ϕ η SQ NQ SQ MP cos ϕ sin ϕ ( ) d cos sin d cos d sin d sin cos d ξ η ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕcos ϕ ( ) d sin cos d sin d cos d sin cos d η ξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕcos ϕ
Kako je: ( )( ) ξη d sin ϕ ξη cos ϕ cos ϕ sin ϕ d sin ϕ cos ϕ d d ( cos ϕ sin ϕ ) d ( ) sin cos ( cos sin ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( ϕ) ϕ ( ϕ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos ( ) ( ) ξ cos ϕ sin ϕ ( ) ( ) η cos ϕ sin ϕ ( ) ξη sin ϕ cos ϕ Momenti inercije za bilo koji novi, zaokrenuti koordinatni sistem
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Drugi obrazac dobija se iz prvog zamenom ugla φ sa φ90 0. Zbog toga je dovoljno ispitati prvi i treći od ovih obrazaca. ξ ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ η ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ ξη ( ) sin ϕ cos ϕ Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem su neprekidne funkcije ugla rotacije φ, pa se mogu odrediti njihove ekstremne vrednosti: d ξ dϕ ( ) sin ϕ cosϕ 0 rgumentφkoji zadovoljava poslednju jednačinu označimo saα, pa se dobija: tgα
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE tgα Ovo se isto dobija i iz uslova n π Jednačina ima bezbroj rešenja α n α, n,,,... Sva ova rešenja (uglovi) određuju dva uzajamno upravna pravca. Zato je dovoljno odrediti samo jedno, najmanje rešenje za α. Kako je: to mora biti tgα 0 0 90 α 90 dobijeno iz uslova d dϕ odnosno -5 0 α 5 0 ξ 0 za α φ d dϕ η 0 tj. apsolutna vrednost ugla 0 α 5 Ugao α određuje položaj takozvanih glavnih težišnih osa inercije.
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE cos α ( ) tg α ± tgα sin α ( ) ( ) ( ) ( ) ma min ( ) tg α ± Sa ovim, iz prva dva obrasca, zamenom φ sa α, dobijaju se ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercije glavni težišni momenti inercije: iz trećeg obrasca sledi: ( ) ξη 0 ϕα
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Osa () je osa u odnosu na koju je aksijalni moment inercije maksimalan i ona zaklapa ugao sa pozitivnim delom ose O α Osa () je osa u odnosu na koju je aksijalni moment inercije minimalan i ona zaklapa ugao α 90 0 α sa pozitivnim delom ose O,, tgα Ugao α se nanosi u pozitivnom matematičkom smeru.
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE entrifugalni moment inercije za glavne ose inercije je jednak nuli: 0 ko su i težišne ose tada su i glavni centralni momenti inercije, ose () i () su glavne centralne ose inercije: ( ) ( ) ( ) ( ) ma min
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Za ose za koje aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment inercije je jednak nuli. Važi i obrnut zaključak: ako je za par međusobno upravnih osa centrifugalni moment inercije jednak nuli, te su ose glavne ose inercije (aksijalni momenti inercije za te ose imaju ekstremne vrednosti). Pri svemu ovome, u opštem slučaju, ni jedna od osa ne mora biti osa simetrije površine. Za površinu koja ima jednu osu simetrije, ta osa je jedna glavna težišna osa, dok je druga glavna osa upravna na nju i prolazi kroz težište. Za ove ose centrifugalni moment inercije je jednak nuli. ko površina ima dve ose simetrije, te ose su glavne težišne ose inercije, jer je i za njih centrifugalni moment inercije jednak nuli (pravougaonik, profil itd.). ko površina ima tri ili više osa simetrije, bilo koja osa je glavna osa, jer su momenti inercije za sve težišne ose, u tom slučaju međusobno jednaki. Takve površine su kvadratna, kružna, prstenasta itd.
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Kako je moment inercije za težišnu osu manji od momenta inercije za osu koja nije težišna a paralelna je težišnoj, od svih težišnih osa najmanji je moment inercije za drugu glavnu osu (). Zaključuje se da je najmanji mogući aksijalni moment inercije površine. Od svih težišnih osa najveći je momenata inercije za osu (), ali postoji bezbroj netežišnih osa za koje su momenti inercije veći od. Detaljnijom analizom prva dva obrasca dolazi se do veoma korisnog zaključka: uvek osa većeg poznatog momenta inercije, zaokretanjem za ugaoα prelazi u osu najvećeg momenta inercije (), a osa manjeg poznatog momenta inercije u osu najmanjeg momenta inercije (). Pri rešavanju zadataka, korisno je imati u vidu činjenicu da osa najmanjeg momenta inercije () uvek prati izduženje površine, a osa najvećeg težišnog momenta inercije () ima poprečan položaj u odnosu na taj pravac.
GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Glavne težišne ose inercije nazivaju se i glavnim centralnim osama, dok se glavni težišni momenti inercije nazivaju i glavni centralni momenti inercije. Ove veličine imaju ogroman značaj u analizi napona i deformacije grednih nosača. Glavni težišni momenti inercije poprečnog preseka nekog štapa predstavljaju meru otpora pri njegovom savijanju. Na primer, gredu pravougaonog poprečnog preseka lakše je saviti oko vertikalne ose (), nego oko horizontalne ose (), jer je b<h.
MOMENT NERJE Z OSE ZOKRENUTE U ODNOSU N GLVNE OSE NERJE. NVRJNTE MOMENT NERJE ko se glavne ose inercije za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli ( 0) usvoje kao koordinatne ose, momenti inercije za zaokrenute ose u odnosu na njih, za proizvoljan ugao su: ξ cos ϕ sin ϕ ( ) ( ) cos ϕ η sin ϕ cos ϕ ( ) ( ) cos ϕ ξη ( ) sin ϕ cos ϕ ( ) sin ϕ ξ η ξ η ξη koje se pri rotaciji koordinatnog sistema ne menjaju. To su invarijante momenata inercije.
NVRJNTE MOMENT NERJE ξ η PRV NVRJNT Zbir aksijalnih momenata inercije se ne menja pri rotaciji pravouglog koordinatnog sistema. Taj zbir mora biti konstantan jer predstavlja polarni moment inercije preseka za koordinatni početak kao pol. ξ η ξη DRUG NVRJNT Nepromenljivost razlike proizvoda aksijalnih momenata inercije i kvadrata centrifugalnog momenta inercije (za glavne ose je centrifugalni moment inercije jednak nuli 0).
NVRJNTE MOMENT NERJE Korišćenjem druge invarijante može se za neku površinu izračunati centrifugalni moment inercije za par upravnih osa ako su poznati aksijalni momenti inercije za te ose i glavni momenti inercije. Na primer za standardni raznokraki ugaonik na sledećoj slici u tablicama su date vrednosti,, i pa iz druge ivarijante se sračuna centrifugalni moment inercije za koji nema vrednosti u tablicama: ξ η ξη ± Znak minus ili plus se uzima zavisno od položaja ugaonika u odnosu na usvojene koordinatne ose. U sličaju datom na slici, treba uzeti znak minus, jer je veći deo površine ugaonika u i V kvadrantu.
POLUPREČN NERJE. ELPS NERJE Promena aksijalnih momenata inercije od pravca ose može se geometrijski predstaviti pomoću elipse inercije preseka. Neka su za površinu poznate glavne težišne ose () i () i glavni težišni momenti inercije i. Moment inercije u odnosu na proizvoljnu težišnu osu ξ dobija se primenom prvog izraza: cos sin ϕ ϕ ξ : i i i i cos ϕ ξ sin ϕ i poluprečnici inercije za glavne ose glavni poluprečnici inercije i ξ ξ poluprečnik inercije za osu ξ
ELPS NERJE z praktičnih razloga označimo osu () sa a osu () sa. Uočimo na osi ξ neku tačku N (,) na rastojanju r od koordinatnog početka (težišta površine). Očigledno je da postoje sledeće zavisnosti: cos ϕ sin ϕ r r i i ξ cos ϕ i sin ϕ i i i r ξ i i / r r r r i i r ξ i i i i i ko se rastojanje r odabere tako da bude r i i i ξ i i
ELPS NERJE i i Ovo predstavlja elipsu inercije površine za težište (težišna elipsa inercije). Poluose elipse inercije su glavni težišni poluprečnici inercije i i i. Pri konstruisanju elipse inercije veći poluprečnik i nanosi se na na osu (), a manji poluprečnik inercije i nanosi se na na osu (). Poluprečnik inercije nanosi se upravno na osu za koju je određen. Zbog toga je elipsa inercije uvek izdužena u pravcu izduženja površine.
ELPS NERJE ko su glavni težišni momenti inercije međusobno jednaki, tada su jednaki i poluprečnici inercije (i i ), pa se elipsa inercije svodi na krug. To je slučaj kod kvadrata, kruga, prstena, pravilnog šestougaonika i dr, tj. kod svih površina kod kojih se momenti inercije ne menjaju pri rotaciji koordinatnog sistema. Elipsa inercije ima svoja geometrijska značenja. Dva najvažnija su:. Rastojanje proizvoljne težišne ose, na primer ξ, i njoj paralelne tangente t na elipsu, jednako je poluprečniku inercije za tu osu (d i ξ ).. ko je tangenta t elipse inercije paralelna sa jednom težišnom osom, tada se centrifugalni moment inercije površine može dobiti kao proizvod koordinata dodirne tačke D i površine, tj. ξη ξ D η D. ξη
MOMENT NERJE PRVOUGONK h, b h, b bh d b bd d h 0 h 0 bd d hb d b hd d b 0 b 0 hd d h b d b bd b d b d h 0 h 0 h 0 bd d Za težišne ose 0 bh h b h b hb bh b h bh bh h bh
MOMENT NERJE ELPS NERJE PRVOUGONK Za težišne ose i z momenti inercije su: bh hb 0 Poluprečnici inercije su: bh h i i h bh 6 0,9h i hb bh i b b 6 0,9b Rastojanje između tačke dodira tangente koja je paralelna sa odabranom osom i težišta je i D. D i D
MOMENT NERJE KRUG MOMENT NERJE POLOVNE KRUG π π r D r D 0 0,785 r 0,09D r 6 D π π i i r 8 D π π 0,878 D r 0, D, r c π 0,005 D 0,9 r 8 D 8 r 0,005 D 0,9 r 8 D 8 r D 0,0069 r 0,098 r 9 8 8 π π π π π π
POSTUPK ODREĐVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE. zabrati koordinatni sistem O i odrediti položaj težišta. Odrediti sopstvene momente inercije svake površine. Primenom Štajnerove teoreme odrediti momente inercije složene površine za težišne ose. Odrediti položaj (ugao) glavnih centralnih osa inercije 5. Odrediti glavne centralne momente inercije 6. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati elipsu inercije
PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odabrati ose i i odrediti težište: ( ) cm, 0, 0 0;0 ( ) ( ) 8 8cm,,5cm, 6,5cm,5;6,5 8 8cm,,5cm, 6,5cm,5; 6,5 S 0 S 8 cm S 8cm S 0 S 5 cm S 5 cm S S S S 0 8 8 0 S S S S 0 5 5 0 S 0 8 T 0 S 0 8 T 0
PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odrediti momente inercije za ose i
Odrediti sopstvene momente inercije b h h b 0 cm cm h b 0 b h 8 8 0,66 cm,66 cm b h h b 0 8 8 0,66 cm,66 cm
8 6,5 0,66 8 6,5 0,66 cm 8 8,5,66 8,5,66 cm 8 ( ) ( ) 8 6,5,5 8 6,5,5 0 0 cm 6 Odrediti momente inercije za ose i
PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odrediti položaj glavnih osa i glavne momente inercije tgα tgα ( 6) α arctg,8 5, α 6,7 ma ( ) ( ) min ( ) ( ),8 8, 8 ( ξη ) ϕα 0 0 0 ma min 0 006cm 99cm ( 8 8) ( 8 8) ( 6) ( 8 8) ( 8 8) ( 6)
PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odrediti poluprečnike inercije i 006 8 5,66cm i 99 8,88cm
POSTUPK ODREĐVNJ GEOMETRJSKH KRKTERSTK SLOŽENE POVRŠNE NPOMENE O ČEMU TREB VODT RČUN Treba koristiti simetriju jer je težište površine uvek na osi simetrije Osa simetrije je ujedno i glavna osa inercije, a druga glavna osa prolazi kroz težište i upravna je na prvu. ko površina ima više osa simetrije težište je njihovom preseku, a one su ujedno i glavne ose inercije Za glavne ose inercije centrifugalni moment inercije je uvek jednak nuli
Primer: Odrediti momente inercije date složene površine. 6cm ( ;0,67) 6,8 cm ( 0,85;0) ( ; ) cm S,6,75 m, 8 S 7,98 0, m, 8
Sopstveni momenti inercije trougla površina b h 6 h b 6 b h 7 6 6 6 6,cm cm 6 7 cm Sopstveni momenti inercije polukružne površine 6,8 cm 6cm r 7π 0 r π 8 π 8 ( 9π 6) ( 0,5;) (,60; 0,) 6,8cm,76 cm
( ) 0,68,5; cm Sopstveni momenti inercije pravougaonika površina 0 6cm 6 h b cm 6 b h Momente inercije date složene površine ( ) 0,68 6,8 0, 6,8 6, T ( ),5 6 6,8,6,76 6 0,5 T ( ) ( ) 0,68,5 0 6,8 0,,6 0 6 0,5 T T cm 5,80 T cm T,8 cm 5,95 T T