Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki končn skup tčk iz [,b] koji sdrži skup {,b}. Tčke skup P su podione tčke segment [,b]. Ako pretpostvimo d podjel P sdržin+ u tčku, td se često (po dogovoru), piše ( ) P = { = x 0 < x < x 2 < < x n = b} Jsno je d se podionim tčkm segment[,b] dijeli n podrzmke mnje dužine. Svki od njih je oblik(x i,x i ), odnosno [x i,x i ] (ili, pk (x i,x i ], [x i,x i )) i predstvljju rzmke podjele P. Dužin rzmk je x i = x i x i (i =,2,...,n), d(p) = mx i n (x i x i ) = mx i n x i nzivmo dijmetrom podjele P. N svkome rzmku podjele[x i,x i ],(i =,2,...,n) izberimo po jednu proizvoljnu tčkuξ i. Skup tko odbrnih tčk nzivmo skupom odbrnih tčk i oznčvmo s Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n }. N ovj smo nčin dobili pr (P, Ξ), podjelu zdtog segment [, b] s skupom odbrnih tčk, koji iz prktičnih rzlog zovemo podjelom segment [, b], kd ns to ne dovodi do konfuzije. Definicij 3. Nek je f : [,b] R i (P,Ξ) podjel s odbrnim tčkm segment [,b]. Sumu σ(f; P,Ξ) = n f(ξ i )(x i x i ) = i= n f(ξ i ) x i, () gdje je P = { = x 0 < x < < x n = b} ; Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n } nzivmo integrlnom sumom funkcije f z dtu podjelu(p, Ξ). Primjer prvi. Pretpostvimo, z tren, d je f C [,b] ko i d je z svko x [,b]f(x) 0. Krivolinijski trpez ABb je rvn figur ogrničen dijelom Ox ose, prvim x = ix = b i grfikom funkcijey = f(x) ; slik (6.). Uočimo podjelu P = { = x 0 < x < < x n = b} s skupom odbrnih tčk Ξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n }, te odgovrjuće prvougonike osnovic [x k,x k ] i visin f(ξ k ),k =,2,...,n ; ko n slici (6.). Intuitivno možemo ustvrditi d je površin krivolinijskog trpez ABb, približno, jednk integrlnoj sumi dtoj relcijom (). i= Definicij 4. Z funkciju f : [,b] R, kžemo d je Riemnn - integrbiln n segmentu[, b] ko postoji reln broj L tkv d ( ε > 0)( δ > 0)( σ(f; P,Ξ) L < ε) (2)
z svku podjelu P = { = x 0 < x < < x n = b} i svki skup odbrnih tčk Ξ = {ξ i (x i,x i ),i =,2,...,n} z koje jed(p) < δ. BrojL se nziv Riemnnov integrl funkcijef n segmentu[,b] i oznčv b f(x)dx, čit: odredeni integrl funkcije f od do b. Segment predstvlj područje integrcije, funkcij f je integrnd. Dkle, funkcij f je R integrbiln ili f I [,b], ko im končn Riemnnov integrl. Ovj se integrl zove i odredeni integrl od f, n segmentu [,b], z rzliku od skup svih primitivnih funkcij funkcije f, koji smo nzvli neodredenim integrlom funkcije f. Broj L iz relcije (2), jeste grničn vrijednost integrlnih sum, kd dijmetr d(p) 0, p tj es je L = ( n ) f(x)dx = d(p) 0 f(ξ i )(x i x i ), (3) gdje su ξ i [x i,x i ] odbrne tčke u podjeli P. Već sd možemo pokzti d početn pretpostvk o ogrničenosti funkcije f n [, b], nije dovoljn uslov z njenu integrbilnost. Rzmotrićemo, ko primjer, Dirichlet i= χ(x) = {, x Q 0, x J. (4) Nek su,b R i < b. Uzmimo d je P = { = x 0 < x < < x n = b} proizvoljn podjel segment[,b]. Nek suξ = {ξ,ξ 2,...,ξ n } iξ 2 = {ξ,ξ 2,...,ξ n} dv skup odbrnih tčk segment [,b] tkvi d su ξ i [x i,x i ] Q, ξ i [x i,x i ] J (i =,2,...,n). Td jeσ(χ; P,Ξ ) = n x i = b,σ(χ; P,Ξ 2 ) = n 0 x i = 0, odkle slijedi d σ(χ; P,Ξ) ne postoji. Prem tome, Dirichled(P) 0 i= 2 i=
tov funkcij, koj je očito ogrničen n bilokojem segmentu [, b], nije integrbiln n[,b]. U vezi s ovim, može se tkode, dokzti još jedn vžn rezultt. Nime, uprvo smo pokzli d izf B[,b] ne slijedif I[,b]. Pokzuje se d obrt uvijek vrijedi, tj. ko je funkcij integrbiln n [, b], ond je on ogrničen n tome segmentu. Drugim riječim, potrebn uslov integrbilnosti funkcije jeste njen ogrničenost, nime tčn je Lem 0. Ako je f I [,b] td je f B [,b]. Drbouxove sume. Vžnu ulogu u definiciji integrl, igrju Drbouxove sume koje su u bliskoj vezi s, već definirnom, integrlnom sumom. Pretpostvimo d jef definirn n[,b] i d je ogrničen d je P = { = x 0 < x < < x n = b} podjel tog segment. Uvedimo oznke m i = inf f(x),m = inf f(x),m i = sup f(x),m = sup f(x) x [x i,x i] x [,b] x [x i,x i] x [,b] i= Sume s P = s(f, P) = n m i x i,s P = S(f, P) = n M i x i nzivmo, redom, donjom i gornjom Drbouxovom sumom funkcijef n segmentu[,b], koje odgovrju podjeli P. Iz definicije integrlne sume i Drbouxovih sum, slijedi i= s P = s(f, P) σ(f; P,Ξ) S(f, P) = S P (5) z svku podjelu P segment[, b] i bilokoje odbrne tčke ξ i [x i,x i ],(i =,2,...,n), gdje Drbouxove sume svkko i ne ovise od skup odbrnih tčk. Lem. Z bilo koju podjelu P segment[,b], vrijedi m(b ) s P S P M(b ), (6) gdje je m = inf {f(x)}m = sup {f(x)}. x [,b] x [,b] Lem 2. Ako je P finij podjel od podjele P, tj. ko je P P, td vrijedi s P s P S P S P. (7) Lem 3. Nek su P i P dvije proizvoljne podjele segment [,b], td je s P S P. Dokz. Nek je P = P P. Jsno d je podjel P finije od obije dte podjele, tj. P, P P. N osnovu leme 2, imćemo s P s P S P S P, što je treblo i pokzti. Definicij 5. Broj s = sup {s P } zove se donji Drbouxov integrl P [,b] 3
funkcije f n segmentu [, b], S = inf P [,b] {S P} gornji Drbouxov integrl funkcijef n segmentu[, b]. Negdje se ovi integrli nzivju i donji Riemnnov, odnosno gornji Riemnnov integrl, svejedno, z njih vrijedi Lem 4. s S. Teorem 6. Nek je f ogrničen funkcij n segmentu [,b]. Td f je integrbiln n [,b] ko i smo ko z svko ε > 0, postoji δ > 0 tkv d z svku podjelu P segment[,b] dijmetr d(p) < δ, vrijedi S P s P < ε. Z prktično utvrdivnje d li je nek funkcijf integrbiln n segmentu[,b], od koristi je sljedeći Teorem 7. Funkcij f je integrbiln n [,b] ko i smo ko z svko ε > 0 postoji podjel P segment[, b], tko d vrijedi ( ) S P s P < ε. Teorem 8. Funkcijf je integrbiln ko i smo ko je S = s, u slučju integrbilnosti n[,b],s = s = b f(x)dx. Primjer 5. Nek je Pokzti d je f(t)dt = 2. 0 f(t) =. Osobine integrbilnih funkcij { 0, 0 t < 2, 2 t. Definicij 6. Nek je f I [,b]. Td je, po definiciji, b f(x)dx = b f(x)dxi λ f(x)dx =0,λ [,b]. λ Lem 5. Ako jef I [,b] i α < β b, td jef integrbiln n segmentu[α,β]. Lem 6. Nek je < c < b i nek je funkcij f integrbiln n[, b]. Td vrijedi f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. (8) Teorem 9. Nek f,g I [,b]. Td su funkcije f + g,f g,λ g integrbilne n segmentu[,b], gdje jeλ R ; pri tome vrijedi 4
() b (b) b (f(x)±g(x))dx = b (λf(x))dx = λ b f(x)dx. f(x)dx± b g(x)dx, Teorem 0. Nek su f,g I [,b] tkve d je f(x) g(x) z svko x [,b], td vrijedi f(x)dx g(x)dx. (9) Teorem. Ako je f integrbiln funkcij n segmentu [,b], td su integrbilne i funkcijef + i f ; osim tog, vrijedi nejednkost f(x)dx f(x) dx. (0) Primijetimo d iz integrbilnosti funkcije f n [,b] ne slijedi d f I [,b]. Zist, funkcij {, x [,b] Q f(x) =,, x [,b] J očigledno nije integrbiln n[, b]. Medutim f(x) =,x [,b], jeste integrbiln n istome segmentu; v. primjer 4. Teorem 2. Ako jef C [,b], td jef I [,b]. Primjer 6. Nek je f neprekidn funkcij n segmentu[, b] i c (, b) ; definirjmo funkcijug n[,b], pomoću g(x) = { f(x), x [,b]\{c} α, x = c, () gdje je α f(c). Nije teško uočiti d je g prekidn funkcij u tčki c (,b). Pokzćemo d je g integrbiln funkcij n [, b]. Još više, ko ogrničen funkcij g, im bilo koji končn broj otklonljivih prekidnih tčk n segmentu [, b], svejedno, on je integrbiln i vrijedi g(x)dx = f(x)dx. N tj nčin se pokzuje d je neprekidnost funkcije smo dovoljn uslov z njenu integrbilnost. 5
Teorem 3. Svk monoton funkcij n [, b] je integrbiln n[, b]. Teorem 4. (Teorem o srednjoj vrijednosti) Nek je f neprekidn funkcij n segmentu[, b], td postoji λ [, b] tkvo d vrijedi f(λ) = b f(x)dx. (2).2 Vez odredenog i neodredenog integrl Vez odredenog i neodredenog integrl Nek je f integrbiln funkcij n segmentu [,b], td je f I [,x] z bilokoje x x [, b]. Dkle, postoji integrl f(t)dt, koji je, očito, funkcij svoje gornje grnice x. Oznčimo tu funkcionlnu zvisnost s F(x), tj. F(x) = x f(t)dt. (3) Ovko definirn funkcij F, ko što ćemo pokzti, im bolj svojstv od podintegrlne funkcije f. Teorem 5. Nek jef integrbiln funkcij n[,b], td je funkcijf(x) = x f(t)dt neprekidn n [,b]. Dokz. Iz f I [,b] slijedi d postoji K > 0 tkv d je f(x) K z svkox [,b] (lem 0). Zh > 0, immo F(x+h) F(x) = odkle je F(x+h) F(x) = h 0+ x+h x+h x f(t)dt x f(t)dt = x+h x f(t)dt, f(t)dt x+h f(t) dt K h. x Dkle, F(x+h) = F(x). Poslednj relcij pokzuje d je funkcij F(x) neprekidn s desne strne u tčkix [,b]. Teorem 6. Ako je f neprekidn funkcij n[, b], td je F(x) = x f(t)dt 6
diferencijbiln funkcij i z svko x (, b), vrijedi F (x) = f(x). Dokz. Nek jex 0 bilo koj tčk iz(,b), F(x 0 ) = F(x 0 +h) = x 0+h x 0 f(t)dt. Količnik prirst funkcije F i prirst rgument x je Budući d je f(x 0 ) = h F(x 0 +h) F(x 0 ) h x 0+h x 0 F(x 0 +h) F(x 0 ) h = h x 0+h x 0 f(t)dt i f(t)dt. f(x 0 )dt, iz poslednje relcije slijedi f(x 0 ) = h x 0+h x 0 (f(t) f(x 0 ))dt. (4) S druge strne, f C [,b] p je z zdto ε > 0 moguće nći δ > 0, tkv d je f(t) f(x 0 ) < ε kdgod t im svojstvo d je t x 0 < δ. Osim tog, ko se izbereh, tko d je0 < h < δ, ond ćemo imti h x 0+h x 0 (f(t) f(x 0 ))dt h x 0+h f(t) f(x 0 ) dt < ε h h = ε. x 0 Ako poslednju nejednkost primijenimo n (4), dobijmo d postoji desn derivcij funkcijef(x) u x 0 i jednk je f(x 0 ). Isto tko se tretir slučj h < 0 i δ < h < 0, tj. isto vrijedi i z lijevu derivciju funkcijef(x) u tčkix 0. Budući d je x 0 (,b) proizvoljno uzeto, teorem je dokzn. Iskoristićemo poslednju tvrdnju d izvedemo jednu od njvžnijih formul integrlnog rčun, to je Newton-Leibnizov formul. Dkle iz teorem 6 slijedi d je funkcij F(x) = x f(t)dt primitivn funkcij funkcije f(x). Pokzli smo u d rzlik bilo koje dvije primitivne funkcije iste funkcije f predstvlj konstntu. To znči, ko je Φ(x) bilokoj primitivn funkcij funkcije f(x), ond je Φ(x) F(x) = C, jer je F(x), tkode, primitivn funkcij funkcije f. Budući d je opšti oblik primitivne funkcije z f(x), njen neodredeni integrlφ(x) = f(x)dx, to slijedi d je x f(x)dx = f(t)dt+c, 7
x odnosno Φ(x) f(t)dt = C. Ako u posljednjoj relciji stvimo x =, ztim i x = b, dobićemo sljedeće relcije Φ() = C i Φ(b) f(t)dt = C. Prem tome slijedi d je Ov formul se, po dogovoru, zpisuje i koristi u obliku f(t)dt = Φ(x) b f(t)dt = Φ(b) Φ(). i predstvlj Newton-Leibnizovu formulu. 3 dx Primjer 20. Izrčunti integrl +x. Glvni metodi izrčunvnj neodredenog 2 integrl, metod smjene promjenljive i metod prcijlne integrcije, mogu se primijeniti i kod izrčunvnj odredenog integrl. Prije nego pokžemo kko ovi metodi ovdje funkcionirju, uvešćemo pojm gltke funkcije. { x Rzmotrimo, njprije, primjer funkcije y(x) = 2, x 0, koju ćemo predstviti i n sinx, x > 0 slici. (5) Nije teško vidjeti d je njen prv derivcij prekidn funkcij u nuli. Nime,y (x) = { 2x, x 0 cosx, x > 0, p je y ( 0) = 0,y (+0) =. N grfiku se to prepoznje po tome d funkcij y(x) u nuli im špic, dkle, nije gltk ko u ost tčkm njenog domen. Definicij 7. Funkcij f : [, b] R je gltk n [, b], ko im neprekidnu prvu derivciju n skupu[, b] ; podrzumijev se desn (lijev) derivcij u tčki (odnosno b). Klsu svih gltkih funkcij n[,b] oznčvmo s C () [,b]. Z funkcije koje su gltke po dijelovim svog domen (koji sdrži končno mnogo tkvih dijelov), kžemo d su dio po dio gltke funkcije. 8
Teorem 7. Nek su funkcije u(x) i v(x) gltke n segmentu [, b]. Td vrijedi jednkost u(x)dv(x) = u(x)v(x) b v(x)du(x). (6) Dokz. Ako primijenimo Newton-Leibniz formulu n derivciju proizvod dobićemo (u(x)v(x)) = u (x)v(x) +v (x)u(x), (u (x)v(x)+v (x)u(x))dx = u(x)v(x) b, odnosno b u (x)v(x)dx + b u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b, odkle slijedi formul (6), što smo i tvrdili ovim teoremom. Iskoristićemo sd formulu z prcijlnu integrciju d pokžemo još neke osobine odredenog integrl. Medu njim je i poopštenje teorem o srednjoj vrijednosti. Teorem 8. Nek je f neprekidn, g rstuć nenegtivn gltk funkcij n segmentu [, b]. Td postoji ξ [, b] tko d vrjedi f(x)g(x)dx = g(b) ξ f(x)dx. (7) Teorem 9. (Drugi teorem o srednjoj vrijednosti) Ako je f neprekidn, g monoton i gltk funkcij n segmentu[, b], td postoji ξ [, b] tko d vrijedi ξ f(x)g(x)dx = g() f(x)dx+g(b) ξ f(x)dx. (8) Dokz. Ako pretpostvimo d jeg rstuć n[,b] i uvedemo funkcijuφ(x) = g(x) g(), ond je jsno Φ nenegtivn i gltk funkcij. Još više, primjenom formule (7) n funkcije f i Φ, slijedi jednkost (8), što je treblo i pokzti. Nvedimo sd formulu z smjenu promjenljive u odredenom integrlu, čime ćemo dobiti još jednu moćnu metodu z izrčunvnje odredenog integrl. Teorem 20. Nek je f : [A, B] R neprekidn, funkcij im neprekidnu derivcijuφ (t). Ako je φ : [α 0,β 0 ] [A,B] α,β [α 0,β 0 ], = φ(α),b = φ(β), 9
td vrijedi jednkost f(x)dx = β α f (φ(t))φ (t)dt. (9) Teorem 2. (Jensen) Nek je f C [,b], φ konveksn i neprekidn funkcij n [ ] min {f(x)}, mx {f(x)}. Td vrijedi nejednkost x [,b] x [,b] ( ) φ b f(x)dx b φ(f(x))dx. (J i ) Primjer 24. IzrčuntiI = π 0 xsinx +cos 2 x dx. Primjer 29. Nek suf ig neprekidne funkcije n[,b]. Pokzti d vrijedi nejednkost (Bunjkovski-Schwrz) f(x)g(x)dx ( ) ( 2 f 2 b (x)dx g 2 (x)dx ) 2, (BS) pri čemu u (BS) vži znk jednkosti ko i smo ko je f = αg, z nekoα R. Podimo od očigledne relcije T = λ 2 b = Možemo, odmh, uzeti d je b f 2 (x)dx+2λ b (λf(x)+g(x)) 2 dx 0. f 2 (x)dx > 0. f(x)g(x)dx+ b g 2 (x)dx = S druge strne, polzni kvdrtni trinom T je nenegtivn ko i smo ko (z njegovu diskriminntu) vrijedi f(x)g(x)dx 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx 0, što predstvlj nejednkost (BS). Osim tog, jednkost u (BS), vrijedi ko i smo ko jeλf(x)+g(x) = 0 z svkox [,b], tj. g(x) = αf(x), (α = λ). 0
2 Nesvojstveni integrl i njegove osobine Rimnnov integrl relne funkcije f, koj je definirn n segmentu integrcije [, b], uveden je uz bitnu pretpostvku d je funkcij f ogrničen (f B[, b]). Osim tog, uslov d se integrcij vrši n končnom segmentu, tkode je ogrničenje koje se, sve vrijeme dok pričmo o odredenom integrlu, ističe. Drugim riječim, integrl neogrničene funkcije nije definirn. Jednko tko, ni integrl funkcije definirne n rzmku[, ), nije definirn. Medutim, pojm integrl se može poopćiti tko d obuhvti i neke ovkve slučjeve. Definicij 8. Nek je funkcijf definirn n rzmku[,b) i integrbiln n svkom segmentu[, β] [, b). Ako postoji končn es β β b 0 f(x)dx, (20) on predstvlj nesvojstveni integrl funkcije f n rzmku[,b) i oznčv s b f(x)dx. Često se (20) nziv i nesvojstvenim integrlom s singulritetom u tčki b i ko postoji β končn es f(x)dx kže se d nesvojstveni integrl b f(x)dx konvergir; β b 0 u suprotnom slučju kžemo d integrl b f(x)dx divergir. Slično se definir nesvojstveni integrl Primjer 30. Nesvojstveni integrl 0 konvergencij, očito, zvisi od prmetr α > 0. f(x)dx s singulritetom u tčki. x α dx, zα > 0 im singulritet u tčki0. Njegov Definicij 9. Pretpostvimo d je funkcij f : [, + ) R integrbiln n svkome segmentu[, β] [, + ). Ako postoji es β β + f(x)dx, ond kžemo d je to nesvojstveni integrl funkcije f n rzmku [,+ ) ; u oznci β + f(x)dx = f(x)dx. β + Često se simbol + f(x)dx nziv i nesvojstveni integrl s singulritetom. Ako postoji končn β + β f(x)dx, ond nesvojstveni integrl konvergir, u suprotnom
on divergir. N potpuno nlogn nčin se definir i nesvojstveni integrl f(x)dx. Primjer 3. Ispitjmo konvergenciju integrl β Nek je α. Td je x α dx = β β x dx = α β β Ako jeα =, td immo x α dx,α R. x α dx = α x α β = α ( β α ), tj. ( α β α ) { = α, α >, α <. xdx = lnβ ; dkle β β xdx = lnβ =, β što zjedno s (*), pokzuje d je integrl konvergentn z α >, divergentn z α. Reći ćemo d integrl im singulritet u tčki b ko je funkcij neogrničen n intervlu (β,b), (β < b), ili pk, b predstvlj simbol. Drugim riječim, ko je funkcij f definirn n končnom ili beskončnom rzmku [, b)(b je končn broj ili ), i integrbiln n svkom segmentu [, β] [, b), ond nesvojstveni integrl β f(x)dx konvergir u slučju d postoji končn f(x)dx ; u suprotnom nesvojstveni integrl divergir. Dkle, umjesto odnosno β β b 0 β b (*) β f(x)dx (ko je b končn broj), β β f(x)dx (ko jeb = ), pisćemo isto f(x)dx. Ako β b im singulritete uiub, ond ćemo stviti po definiciji d je f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx f(x)dx; (2) pri čemu pretpostvljmo integrbilnost funkcije f n svkom segmentu[α, β] (, b) i < c < b. Dkle, po definiciji integrl n desnoj strni u (2) konvergir. Teorem 22. Nek su f(x)dx i f(x)dx konvergir ko svki od dv nesvojstven g(x)dx nesvojstveni integrli s singulritetom u tčkib. Td: () ko ob integrl konvergirju, konvergir i b (λf(x)+µg(x))dx i vrijedi 2
(λf(x)+µg(x))dx = λ b f(x)dx+µ b g(x)dx,(λ,µ R) ; (2) ko je < c < b, b f(x)dx konvergir ko i smo ko konvergir c f(x)dx i vrijedi b f(x)dx = c f(x)dx+ b i postoji končn f(x)g(x), integrl x b konvergir U tome slučju vrijedi jednkost c f (x)g(x)dx. f(x)dx ; (3) ko suf ig gltke funkcije f(x)g (x)dx konvergir ko i smo ko f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx, gdje je f(x)g(x) b = f(x)g(x) f()g(). x b Primjer 32. Nesvojstveni integrl e x dx konvergir, jer je e x dx = 0 e x dx+ e x dx = ( 0 = α ( eα )+ ) e β = 2. β α α 0 e x dx+ β 0 β e x dx = Definicij 0. Ako je f integrbiln funkcij n svkom segmentu [, α] [, c) i svkom segmentu[β,b] (c,b], < c < b, definirmo ukoliko integrli c f(x)dx i f(x)dx = c c f(x)dx+ f(x)dx konvergirju. c f(x)dx, Teorem 23. Potrebn i dovoljn uslov konvergencije nesvojstvenog integrl s singulritetom u tčkib, jeste ( ε > 0)( β 0, < β 0 < b) : ( β,β β (β 0,b)), vrijedi f(x)dx β < ε. f(x)dx, 3
Teorem 24. Nek je z svko x [, b) f(x) g(x). Ako integrl konvergir, td konvergir i integrl b f(x) dx. g(x)dx Dokz. Nek je, ko što smo rekli f(x) g(x),x [,b) i ε R +. Kko integrl g(x)dx konvergir, to postoji β 0, tko d z svko β,β (β 0,b) vrijedi β g(x)dx < ε. Iz polzne pretpostvke tvrdnje slijedi β p je tvrdnj dokzn. Definicij. Nesvojstveni integrl integrl b f(x) dx. β β β f(x)dx f(x) dx g(x)dx < ε, β β β f(x)dx psolutno konvergir ko konvergir Iz teorem 24, neposredno slijedi d ko nesvojstveni integrl b f(x)dx psolutno konvergir ond on i konvergir. Pretpostvimo, d integrl f(x)dx im singulritet u tčkic (,b) ; td je konvergentn ko i smo ko postoje i končni su esi α c 0 gdjeα iβ, nezvisno jedn od drugog teže kc. Ako postoji c ε L = f(x)dx+ f(x)dx, ε 0 c+ε ond se on nziv glvn vrijednost integrl i koristi se oznk Slično je i b + L = v.p. ( ) b f(x)dx = v.p. b + v.p. = vleur principl (frncuski) - glvn vrijednost f(x)dx. f(x)dx. α f(x)dx i β c+0 β f(x)dx f(x)dx, 4
Primjer 34. Pokzti d integrl cosx x 2 dx konvergir. Koristeći teorem 24 i očiglednu procjenu cosx x 2 tj. dti integrl konvergir, jer cosx x 2 dx dx x 2, x 2, dobijmo dx x 2 konvergir. Teorem 26. Nek je f(x) 0,x [, b). Potrebn i dovoljn uslov konvergencije nesvojstvenog integrl β d postoji broj M, tkv d je f(x)dx M, β b. Dokz. Iz nenegtivnosti funkcijef(x) n[,b), slijedi d je funkcijeφ(β) = f(x)dx, je β f(x)dx rstuć. Limes β b φ(β) je končn ko i smo ko je funkcij φ ogrničen, što je i treblo dokzti. Posljedic: Nek je 0 f(x) g(x),x [,b) i nek su () f(x)dx ; (2) g(x)dx, nesvojstveni integrli s singulritetom u tčki b. Iz konvergencije integrl (2) slijedi konvergencij integrl (), iz divergencije integrl () slijedi i divergencij integrl (2). β β Dokz posljedice. Nek je φ(β) = f(x)dx i Ψ(β) = g(x)dx, gdje je β [,b). Ako konvergir integrl (2), td postoji broj M, tkv d je φ(β) Ψ(β) M ; dkle, integrl () konvergir. Drugi dio tvrdnje je kontrpozicij prvog dijel, koji smo uprvo dokzli. 3 Primjene odredenog integrl Kriv linij. Dužin luk krive. Nek je I = [α,β] i pretpostvimo d su funkcijeϕ : I R i ψ : I R neprekidne n domenu. Preslikvnje Γ : I R R, zdto pomoću t (ϕ(t),ψ(t)),t [α,β], nzivmo putnjom. Tčk P (ϕ(α), ψ(α)) je početk putnje, tčk K(ϕ(β), ψ(β)) je krj putnje. Putnj je ztvoren ko jep K. 5
Ako je Γ : I R R injektivno preslikvnje, ond putnju Γ zovemo prostom putnjom. PutnjΓje ztvoren prost putnj ko je ztvoren restrikcijγ [α,β) injekcij. Grfik G Γ = {(ϕ(t),ψ(t)) t [α,β]} nzivmo krivom putnje, bez obzir kkv je putnj, ko je bitno ond ćemo nglsiti i kkve putnje. Z prostu krivu, definirnu prostom putnjomγ : I R R,G Γ = {(ϕ(t),ψ(t)) t [α,β]}, kže se, tkode, d je prmetrizirn prmetrom t. U tkvim slučjevim, kžemo d je krivg Γ zdt prmetrskim jednčinm Nek je dt skup tčk x = ϕ(t),y = ψ(t), α t β. (22) {(ϕ(t),ψ(t)) t }, (*) gdje je R neki rzmk. Ovj skup tčk nije obvezno prost kriv. S druge strne, često je moguće rzmk podijeliti n podsegmente[α i,α i ], tko d su Γ i : [α i,α i ] R 2,Γ i = Γ [αi,α i], proste putnje. Još više, podjel rzmk je tkv d je = [α i,α i ], presjek i podsegment može sdržvti smo krjnju tčku, p se pomenuti skup tčk (*) svodi n krivu, koj je po djelovim prost kriv. Nek je dt krivγ u rvnir 2, koj predstvlj grfik neprekidne funkcije y = f(x), x [, b], čiji je početk A(, f()), krj u tčki B(b,f(b)). Nek je, dlje, P = { = x 0 < x < < x i < x i < < x n = b} podjel segment[, b]. Uočimo redom tčke, n grfikuγfunkcijey = f(x) A = X 0,X,...,X i,x i,...,x n = B; X k (x k,f(x k )),k = 0,,2,...,n, 6
Oznčimo s σ P sumu dušin d(x i,x i ),i =,2,...,n, svih duži X i X i,i =, 2,..., n, koje čine izlomljenu liniju (koj, očito, proksimir krivu Γ), tj. σ P = n d(x i,x i ). (23) i= Ako d(p) = mxd(x i,x i ) 0 i postoji končn σ P, kžemo d se krivγ i d(p) 0 može rektificirti, L(f;,b) = σ P nzivmo dužinom dte krive. d(p) 0 Teorem 27. Nek je zy = f(x),x [,b] prv derivcijf (x) neprekidn funkcij n[,b] i Γ = (x,f(x)),x [,b]. Td se otvoren kriv y = f(x),x [,b] može rektificirti i dužin kriveγ L(f;,b), izržv formulom L(f;,b) = Pretpostvimo d je krivγ zdt prmetrski. +(f (x)) 2 dx. (24) Teorem 28. Nek su ϕ(t)iψ(t), α t β, funkcije čije su prve derivcije neprekidne funkcije n [α,β]. Td se kriv Γ, odreden jednčinm x = ϕ(t),y = ψ(t),α t β može rektificirti. Još više, ko je ϕ(α) = iϕ(β) = b, tj. ϕ([α,β]) = [,b] R + {0}, njen dužin s(γ) iznosi s(γ) = β α ϕ 2 (t)+ψ 2 (t)dt. Nek funkcijy = f(x),x [,b] zdje krivug f, pri čemu suf if neprekidne n [, b]. Uočimo dvije tčke M(x,f(x)),M (x+h,f(x+h)) G f i povučene tngente u tim tčkm n G f, čiji su uglovi s osom Ox, redom α i α ; oznčimo s α = α(x) α (x 0 ),x 0 = x+h. Nek je, još oznčeno s s dužin luk kriveg f koji spj tčkem im ; slik (6.4). Definicij 2. Količnik α / s nzivmo srednjom krivinom krive G f, n luku. Ako postoji končn es α K = M M s = α s 0 s, on se nziv krivinom kriveg f u njenoj tčkim. Recipročnu vrijednost modul krivine K krive G f zovemo poluprečnikom krive G f u zdtoj tčki. 7
Ako kriv im K = 0, ond je poluprečnik krive, po definiciji+. Pokzuje se d krivinu kriveg f, pri već ustnovljenim pretpostvkm z funkcijuf, u zdtoj tčkim 0 (x 0,f(x 0 )) možemo izrziti formulom K(x 0 ) = D bismo to pokzli, njprije primijetimo d je f (x 0 ) (+f 2 (x 0 )) 3 /2. (25) α = α(x) α(x 0 ) = α (ξ)(x x 0 ),ξ (x 0,x); gdje egzistencij tkve tčke ξ (x 0,x) (ili ξ (x,x 0 ), svejedno), slijedi iz teorem o srednjoj vrijednosti u diferencijlnome rčunu. S druge strne, iz tg(α(x)) = f (x), slijedi d je Derivcijom iz (26) slijedi Prem tome, α(x) = rctg(f (x)). (26) α (x) = f (x) +f 2 (x). α = α (ξ)(x x 0 ) = f (ξ) +f 2 (ξ) (x x 0),ξ (x 0,x). (27) Dužin luk= s može se izrziti pomoću s = x x 0 +(f (t)) 2 dt. Osim tog funkcij +f 2 (t) je očigledno neprekidn, p primjenom teorem 3 možemo obezbijeditiτ (x 0,x), tkv d je Iz (27) i (28), slijedi d je α s = f (ξ) +f 2 (ξ) s = (x x 0 ) +f 2 (τ). (28) +f 2 (τ), ξ,τ (x 0,x). (29) Nije teško uočiti d čitv lnc grničnih proces nstje, kd dozvoo d tčk M M 0, duž krive Γ. Nime td s 0, drugim riječim: ko x x 0, ond ξ,τ x 0 (s lijeve ili desne strne, svejedno). Ako sd u (29) predemo n es dobićemo α s 0 s = f (ξ) ξ x +f 2 (ξ) 0 τ x 0 dkle, formulu (25). (+f 2 (τ)) 2 = f (x 0) (+f 2 (x 0)) 3 /2 = K(x 0), 8
Površine rvnih likov. Pretpostvimo d y = f(x),x [,b], gdje je f nenegtivn i neprekidn funkcij, im grfik ko n slici (6.5). Figur D ABb u rvni Oxy, ogrničen dijelovim prvih x =, x = b, y = 0 i zdtom krivomg f, zove se krivolinijski trpez. Izvedimo formulu z izrčunvnje površine ove rvne figure. Nek je P = { = x 0 < x < < x n = b} podjel segment [,b]; oznčimo dlje m i = inf f(x) i M i = sup f(x). x [x i,x i] x [x i,x i] Td će donj Drbouxov sum s(f, P) biti jednk zbiru svih površin upisnih prvougonik u figuru D ABb, čije su visine m i, ko n slici 6.5. S druge strne, gornj Drbouxov sum S(f, P) biće jednk sumi površin opisnih prvougonik, čije su visine M i, ko n slici (6.6). Budući d je f integrbiln funkcij n [,b], jer je neprekidn, to z zdto ε > 0 postoji podjel P segment [,b], tko d je S(f, P) s(f, P) < ε, odnosno krivolinijski trpez je mjerljiv figur, njegov površin je P (D ABb ) = 9 f(x)dx. (30)
Isto tko, ko je f(x) 0, n segmentu [,b], gdje je i neprekidn, lko dobijmo d je P (D ABb ) = b f(x)dx (primjenom formule (30) n nenegtivnu funkciju g(x) = f(x)). Jednko tko, treb primijetiti d se formul (30) može primijeniti n sve funkcije koje su integrbilne n [, b], što ostvljmo d čitlc pokže z vježbu. Primjer 37. Izrčunti površinu lik omedjenog krivimy = x 2 3x+2 i y = 2x 2 +2x+4. Zpremin rotcionih tijel. Nek jef : [,b] R + neprekidn funkcij. Ako se krivolinijski trpez, omeden segmentom [,b] prvim x = ix = b i krivom y = f(x), okreće okoox ose, dobij se obrtno tijelot [,b],ox, ko n slici. Zpreminu dtog rotcionog tijel T [,b],ox rčunmo pomoću V(T) = π f 2 (x)dx. (X) Pored tog, može se pokzti d ko se krivolinijski trpez omeden segmentom [, b], prvimx = i x = b i krivomy = f(x), gltke monotone (n[,b]) funkcijef rotir okooy ose (v. sliku 6.8,b), formul z rčunnje zpremine dobijenog tijel je V(T,Oy) = 2π b xf(x)dx. (Y) Nek sd, kriv zdt jednčinm x = ϕ(t),y = ψ(t),t [α,β], 20
rotir oko x ose. Zpremin V(T) obrtnog tijel dobij se po formuli (vidi teorem 6, formul (24)) β V(T) = π ψ 2 (t)ϕ (t)dt. α Površin rotcionih površi. Ako bismo trebli izrčunti površinu rotcione površi T [,b],ox, koj nstje rotcijom krive y = f(x), x [, b] (vidi sliku (6.8)), nužno je, ustvri, odrediti formulu z izrčunvnje površine omotč obrtnog tijel koje smo već rzmtrli kod rčunnj zpremine. Osnove rotcionog tijel, dv krug (jedn poluprečnik f(), drugi poluprečnikf(b)), koji nstju rotcijom dvije duži (jedn spj tčke(,0) i (,f()) ; drug tčku(b,0) s(b,f(b))) ne smtrju se sstvnim dijelom rotcione površi čiju površinu žeo odrediti. Površin omotč rotcionog tijel se izrčunv pomoću formule S(f;[,b]) = 2π f(x) +(f (x)) 2 dx. Ako je kriv, koj rotir oko ose, zdt prmetrski u formi obrzc z površinu S je S(ϕ,ψ;[α,β]) = 2π x = ϕ(t),y = ψ(t),α t β, β α ψ(t) (ϕ (t)) 2 +(ψ (t)) 2 dt. (3) 2