SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE ZAVRŠNI RAD TEMA: SAVIJANJE KOMPOZITNIH NOSAČA Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA NEKE METODE ODREĐIVANJA POMAKA KOD RAVNIH ŠTAPOVA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE VIDOVIĆ MARIJA PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati naprezanja sastavljenog ravnog štapa opterećenog na savijanje. Analizirati sastavljen štap od istog materijala i sastavljen štap od dva različita materijala. U uvodu treba opisati problem, u teoretskom dijelu izvesti temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema/analitička metoda rješavanja. Riješiti nekoliko primjera. Rad treba sadržavati sažetak na izvornom jeziku. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije), spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek, 01. lipanj 2015. Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina

SADRŽAJ: SAŽETAK str. 1. UVOD... 3 2. PRORAČUN SASTAVLJENOG NOSAČA OD JEDNOG MATERIJALA... 4 2.1. Geometrijske karakteristike... 5 2.2. Naprezanja u poprečnome presjeku... 6 3. KOMPOZITNI NOSAČI... 7 3.1. METODA 1 - Proračun kompozitnih nosača... 7 3.2. METODA 2 - Proračun po metodi reduciranog poprečnog presjeka... 10 3.3. Usporedba metode 1 i 2... 11 4. NUMERIČKI PRIMJERI... 4.1. Zadatak 1... 4.2. Zadatak 2... 17 4.3. Zadatak 3... 21 4.4. Zadatak 4... 25 4.5. Zadatak 5... 28 5. ZAKLJUČAK... 31 6. LITERATURA... 32

SAŽETAK U ovom radu analizirana su normalna naprezanja sastavljenog ravnog nosača opterećenog na savijanje. Analiziran je sastavljeni nosač od istog materijala i sastavljeni nosač od dva različita materijala. U uvodu je opisan problem, a u teoretskom dijelu izvedene su temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema analitičkom metodom rješavanja. Riješeno je nekoliko primjera sastavljenog nosača iz istog materijala i dva različita materijala.

1. UVOD Sastavljeni (kompozitni) nosači su nosači koji su izrađeni od 2 ili više materijala. Pretpostavka je da je svaki materijal homogen i izotropan. Sastavljeni nosači mogu biti složeni od 2 ili više elementa, koji mogu biti od istog ili različitog materijala. U ovom radu analizirati ćemo ponašanje kompozitnih nosača izloženih savijanju, koristeći dvije metode rješavanja. Analizirati ćemo normalna naprezanja nosača sastavljenog od istog materijala i 2 različita materijala. 3

2. PRORAČUN SASTAVLJENIH NOSAČA OD ISTOG MATERIJALA Sastavljeni nosač je nosač koji je sastavljen od barem dvije grede. Materijal je homogen i izotropan. Štap nije monolitan. Imamo dvije drvene grede koje su položene jedna na drugu i pravokutnog su poprečnog presjeka, širine b i visine h (slika 1.a). Slika 1.a Pretpostavljamo da između dvije grede nema trenja u dodirnim površinama pod djelovanjem sile F, te se svaka greda savija neovisno jedna o drugoj. Krajnji presjeci nisu više u istoj ravnini, nego su se zaokrenuli. Gornja vlakna svake grede se skraćuju, a donja vlakna se rastežu. Nastaje pomak donjih vlakana gornje grede u odnosu na gornja vlakna donje grede (sl.1.b). Dijagrami normalnih i posmičnih naprezanja u presjeku 1-1 prikazani su na slici 1.b. Slika 1.b Kada spojimo dvije grede u dodirnim površinama, tako da su deformacije dodirnih vlakana gornje i donje grede jednake, sastavljeni će se nosač ponašati kao monolitni (slika 1.c). Slika 1.c Sastavljeni nosač je visine H = 2 h, a dijagrami normalnih i posmičnih naprezanja u presjeku 1-1 prikazani su na slici 1.c. 4

U spoju dviju greda pojavljuju se posmična naprezanja koja djeluju na spojna sredstva grede kao što su moždanici, ljepila itd. 2.1 Geometrijske karakteristike Za slobodno oslonjenu gredu (slika 1.b) : - Moment tromosti: I yb = 2 b h3 (1) - Moment otpora: - Statički moment tromosti: W yb = 2 b h2 6 (2) S y = 2 b h2 8 (3) Za sastavljeni nosač (slika 1.c) : - Moment tromosti: I yc = b H3 = 8 b h3 = 4 I yb (4) - Moment otpora: - Statički moment tromosti: W yc = b H2 6 = 4 b h2 6 = 2 W yb (5) S y = b h2 2 (6) Iz navedenih formula proizlazi da je kod sastavljenog nosača moment tromosti četverostruko, a moment otpora dvostruko veći nego kod poprečnog presjeka složenog nosača iste visine gdje su dvije grede slobodno položene jedna na drugu. Kod složenog sastavljenog nosača, ukoliko postoje spojna sredstva, potrebno ih je uzeti u obzir jer stvaraju oslabljenja. 5

2.2 Naprezanja u poprečnome presjeku Normalna naprezanja na neutralnoj osi jednaka su nuli, dok se najveća normalna tlačna i vlačna naprezanja nalaze na najudaljenijim točkama od neutralne osi. Prema uvjetu čvrstoće najveće normalno naprezanje uspoređujemo sa dopuštenim naprezanjima. Kada imamo dvije grede položene jedna na drugu postoje 2 neutralne osi, tako da se raspodjela naprezanja odvija prema slici 1.b. Posmično naprezanje ima maksimalnu vrijednost u visini neutralne osi presjeka (z = 0). Naprezanja kod slobodno oslonjene grede: - Normalna naprezanja: σ = M y W y, (7) gdje je W y = bh2 3, (8) tada slijedi da je normalno naprezanje: σ = 3 M y bh 2. (9) - Posmična naprezanja: τ xy = TS y I y b, (10) gdje je S y = bh2 4, (11) tada slijedi da je posmično naprezanje: τ xy = 3T 4hb. () Naprezanja kod monolitnog nosača s jednom neutralnom osi (raspodjela naprezanja prema slici 1.c): - Normalna naprezanja: σ = M y W y, (13) gdje je W y = 2 bh2 3, (14) tada slijedi da je normalno naprezanje: σ = 3 M y 2bh 2. (15) - Posmična naprezanja: τ xy = TS, (16) I y b gdje je S y = bh2 2, (17) tada slijedi da je posmično naprezanje: τ xy = 3T 4hb. (18) Ako promotrimo normalna naprezanja u oba slučaja, možemo zaključiti da su normalna naprezanja u prvom slučaju dvostruko veća nego u drugom slučaju što je usko vezano za odnose momenta otpora. 6

Kako su omjeri statičkog momenta presjeka i momenta inercije jednaki, posmična naprezanja u oba slučaja ostaju jednaka. 3.KOMPOZITNI NOSAČI Kompozitni nosači su nosači koji su sastavljeni od dva ili više elementa od različitih materijala koji imaju različite module elastičnosti. Pretpostavljamo da je materijal homogen i izotropan. Kod proračuna koristimo teoriju savijanja homogenih nosača tako da od stvarnog poprečnog presjeka sa različitim modulima elastičnosti napravimo ekvivalentni poprečni presjek s jednakim modulima elastičnosti. 3.1 METODA 1 - PRORAČUN KOMPOZITNIH NOSAČA Slika 2. Ukoliko imamo čisto savijanje ravni poprečni presjeci nosača ostaju ravni neovisno o tome sastoji li se poprečni presjek od jednog ili više materijala (Bernoullijeva hipoteza ). Materijal je homogen i izotropan, opterećenje djeluje u jednoj od ravnina simetrije. Slijedi da se normalna naprezanja mijenjaju linearno po visini presjeka, a na prijelazu jednog materijala na drugi postoji skok. Nagib pravca u dijagramu normalnih naprezanja se mijenja ovisno o modulu elastičnosti Normalne deformacije po visini poprečnog presjeka mijenjaju se linearno i određene su izrazom: ε xx = z ρ (19) gdje je: 7

- z udaljenost promatranog vlakna od neutralne osi. - ρ zakrivljenost nosača (udaljenost neutralne osi od centra zakrivljenosti) Materijali 1 i 2 ponašaju se prema Hookeovom zakonu i imaju module elastičnosti E1 i E2. Pretpostavit ćemo da je E2 < E 1. Normalna naprezanja u poprečnom presjeku za materijal 1 i 2 dobijemo pomoću izraza: σ x1 = E 1 ε xx = E 1 ρ z (20) σ x2 = E 2 ε xx = E 2 ρ z (21) Za promatrani poprečni presjek nosača postavljamo sljedeće jednadžbe ravnoteže: Σ F x = 0 σ x A Σ M y = 0 M y = σ x A da = z da = σ A1 x1 σ A1 x1 da + σ A2 x2 z da + da = 0 (22) σ A2 x2 z da = M, (23) A je površina cijelog poprečnog presjeka, dok su A 1 i A 2 površine materijala 1 i 2. Kada u jednadžbu (22) uvrstimo izraz (20) i (21) za σ x1 i σ x2 dobijemo: E 1 A1 z da + E 2 A2 z da = 0 (24) Ako uvedemo novi koordinatni sustav, koji je vidljiv na slici 2.b, dobijemo da je z = Z- z 0. Uvrštavanjem u izraz (24) dobijemo: E 1 (Z z 0 ) A1 da + E 2 (Z z 0 ) A2 da = 0, (25) gdje je: A1 Z da = z 1 A 1 i A2 Z da = z 2 A 2. (26) Nakon integracije dobijemo: E 1 (z 1 A 1 - z 0 A 1 ) + E 2 (z 2 A 2 - z 0 A 1 ) = 0 (27) i iz navedenog izraza (27) dobijemo jednadžbu položaja neutralne osi: z 0 = E 1 z 1 A 1 + E 2 z2 A2 E 1 A 1 + E 2 A 2 (28) Ukoliko imamo nosač koji se sastoji od tri ili više materijala, položaj neutralne osi dobijemo iz sljedećeg izraza: z 0 = m i=1 E i z i A i m i=1 E i A i (29) 8

Kada u izraze (22) i (23) uvrstimo izraze (20) i (21) i izlučimo module elastičnosti tada uvjet ravnoteže izgleda: M = σ A1 x1 z da + σ A2 x2 Ako iz svakog člana izlučimo 1 ρ, dobijemo z da = E 1 ρ A1 z2 da + E 2 ρ A2 z2 da (30) Iz izraza (31) dobijemo zakrivljenost nosača: M = 1 ρ (E 1 I y1 + E 2 I y2 ) (31) 1 ρ = M E 1 I y1 + E 2 I y2 (32) I na kraju kada izraz za zakrivljenost uvrstimo u izraz za normalna naprezanja dobijemo: σ x1 = σ x2 = Ukoliko vrijedi da je E 1 = E 2 = E izraz (33) i (34) ima oblik: E 1 M E 1 I y1 + E 2 I y2 z (33) E 2 M E 1 I y1 + E 2 I y2 z (34) σ x = M I y z (35) Ako se nosač sastoji od tri ili više različitih materijala, izraz (32) za zakrivljenost nosača poprima oblik: 1 ρ = M m i=1 E i I yi (36) Izraz za normalna naprezanja ima oblik: σ xi = E i M m i=1 E i I yi z (37) 9

3.2 METODA 2 - PRORAČUN PO METODI REDUCIRANOG POPREČNOG PRESJEKA Slika 3. Iz prethodno priloženog postupka pomoću kojeg određujemo naprezanja u nosaču koji se sastoji od dva ili više materijala, možemo koristiti i drugu metodu koja se naziva metoda reduciranog poprečnog presjeka, pomoću ekvivalentnog poprečnog presjeka. Prema metodi reduciranog poprečnog presjeka, poprečni presjek stvarnog nosača sa različitim modulima elastičnosti, moramo zamijeniti ekvivalentnim poprečnim presjekom koji ima iste module elastičnosti. Površinu poprečnog presjeka nosača također moramo promijeniti jer smo promijenili i module elastičnosti. Kako pomoću ekvivalentnog poprečnog presjeka zamjenjujemo stvarni nosač, on mora imati jednaka naprezanja i deformacije. Zbog toga površinu poprečnog presjeka ne reduciramo u ravnini djelovanja opterećenja. Širina presjeka se smije reducirati, dok visina mora ostati nepromijenjena. Faktorom n reduciramo površine presjeka koji dobijemo iz omjera modula elastičnosti materijala: n = E 2 E 1 (38) Kada u prethodne formule uvedemo n, dobijemo izraz za određivanje neutralne osi: z 0 = A 1 z 1 +n A 2 z 2 A 1 + n A 2. (39) Iz navedenog izraza vidljivo je da se položaj neutralne osi nalazi na istom mjestu kao i u prvoj metodi. Zakrivljenost nosača: 1 ρ = M E 1 (I y1 + n I y2 ), (40) 10

gdje je reducirani moment inercije: I yr = I y1 + n I y2 (41) Kada reducirani moment inercije uvrstimo u gornji izraz, dobijemo: Naprezanja u materijalu 1 i 2 su: 1 = M. (42) ρ E 1 I yr σ x1 = M I yr z (43) σ x2 = n M I yr z (44) Ako se nosač sastoji od tri ili više različitih materijala izraz za određivanje neutralne osi je: z 0 = A 1 z 1 + m i=2 n i A i z i A 1 + m i=2 n i A i, n i = E i E 1 (45) Moment inercije dobijemo iz izraza: Naprezanje dobijemo iz izraza: m I yr = I y1 + i=2 n i I yi (46) σ xi = n i M I yr z (47) 3.3 USPOREDBA METODE 1 I 2 Proračun kompozitnih nosača (metoda 1) zasniva se na Hookeovom zakonu i jednadžbama ravnoteže, a proračun po metodi reduciranog presjeka (metoda 2) temelji se na metodi 1 tako da uvodimo određena pojednostavljenja. Metoda 2 parcijalno rastavlja izraze te ubrzava postupak proračuna. 11

4. NUMERIČKI PRIMJERI 4.1. ZADATAK 1 Potrebno je odrediti normalna naprezanja sastavljenog ravnog nosača opterećenog na savijanje, ako je nosač sastavljen od dva različita materijala čelik i drvo. Pri proračunu koristiti dvije metode. Čelik S 235 - E 1 =21000 KN Drvo D 50 - E 2 =1400 KN KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm - Visina čeličnog dijela presjeka: h Č = 19,3 cm - Visina drvenog dijela presjeka: h D = 38,7 mm f Y = 23,5 KN - granica popuštanja čelika f c,0,k = 2,9 KN karakteristična čvrstoća drva na tlak u pravcu vlakana f t,0,k = 3,0 KN karakteristična čvrstoća drva na vlak u pravcu vlakana γ M = 1,3 faktor sigurnosti za puno drvo k mod = 0,9 modifikacijski faktor za djelovanja

- proračunska čvrstoća drveta na tlak u pravcu vlakana: f c,0,d = f c,0,k k mod 2.9 x 0,9 = = 2,008 KN γ M 1,3 - proračunska čvrstoća drveta na vlak u pravcu vlakana: f t,0,d = f t,0,k k mod 30 x 0,9 = = 2,077 KN γ M 1,3 - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 A 1 = b uk x h Č = 20 x 19,3 = 386 A 2 = b uk x h D = 20 x 38,7 = 774 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 13

METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 1 = h D + 0,5 h Č = 38,7 + 0,5 x 19,3 = 48,35 cm z 2 = 0,5 h D = 0,5 x 38,7 = 19,35 cm z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x386x48,35 + 1400x774x19,35 21000x386 + 1400x774 = 44,94 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h č 3 I y1 = 16470,21 cm 4 I y2 = b uk x h D 3 I y2 = 603453,43 cm 4 + b uk x h č x (z 1 z 0 ) 2 = + b uk x h D x (z 0 z 2 ) 2 = 20,0 x 19,33 20,0 x 38,73 + 20,0 x 19,3 x (48,35 44,94 ) 2 + 20,0 x 38,7 x (44,94 19,35 ) 2 - Normalna naprezanja σ 1 = σ 1 = σ 2 G = σ 2 G = σ 2 D = σ 2 D = σ 3 = M Y E 1 (h E 1 I y1 + E 2 I uk z 0 ) < 23,5 kn y2 322 x 21000 21000 x 16470,21 + 1400 x 603453,43 x (58,0 44,94) = 2,84 kn M Y E 1 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 23,5 kn y2 322 x 21000 21000 x 16470,21 + 1400 x 603453,43 x (44,94 38,7) = 1,36 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 2,008 kn y2 322 x 1400 21000 x 16470,21 + 1400 x 603453,43 x (44,94 38,7) = 0,09 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 ) < 2,008 kn y2 14

σ 3 = 322 x 1400 21000 x 16470,21 + 1400 x 603453,43 x (44,94) = 0,65 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti drva i čelika n = E 2 E 1 = 1400 21000 = 0,067 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x386x48,35 + 1400x774x19,35 21000x386 + 1400x774 = 44,94 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y1 + I y2 n = 16470,21 + 603453,43 x 0,067 = 56901,59 cm 4 - Normalna naprezanja σ 1 = M Y (h I uk z 0 ) < 23,5 kn y,red σ 1 = 322 56901,59 x (58,0 44,94) = 2,83 kn σ 2 G = M Y ( z I 0 h D ) < 23,5 kn y,red σ G 2 = 322 56901,59 x (44,94 38,7) = 1,35 kn σ 2 D = M Y ( z I 0 h D ) n < 2,008 kn y,red σ D 2 = 322 56901,59 x (44,94 38,7) x 0,067 = 0,09 kn σ 3 = M Y ( z I 0 ) n < 2,008 kn y,red 15

σ 3 = 322 56901,59 x (44,94) x 0,067 = 0,65 kn 16

4.2. ZADATAK 2 KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm - Visina čeličnog dijela presjeka: h Č = 29 cm - Visina drvenog dijela presjeka: h D = 29 mm - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 A 1 = b uk x h Č = 20 x 29 = 580 A 2 = b uk x h D = 20 x 29 = 580 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 17

METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 1 = h D + 0,5 h Č = 29 + 0,5 x 29 = 43,50 cm z 2 = 0,5 h D = 0,5 x 29 = 14,50 cm z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x580x43,50 + 1400x580x14,50 21000x580 + 1400x580 = 41,69 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h č 3 I y1 = 42548,47 cm 4 I y2 = b uk x h D 3 I y2 = 469440,07 cm 4 + b uk h č (z 1 z 0 ) 2 = + b uk h D (z 0 z 2 ) 2 = 20,0 x 29,03 20,0 x 29,03 + 20,0 x 29,0 x (43,50 41,69 ) 2 + 20,0 x 29,0 x (41,69 14,50 ) 2 - Normalna naprezanja σ 1 = σ 1 = σ 2 G = σ 2 G = σ 2 D = σ 2 D = σ 3 = M Y E 1 (h E 1 I y1 + E 2 I uk z 0 ) < 23,5 kn y2 322 x 21000 21000 x 42548,47 + 1400 x 469440,07 x (58,0 41,69) = 2,72 kn M Y E 1 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 23,5 kn y2 322 x 21000 21000 x 42548,47 + 1400 x 469440,07 x (41,69 29,0) = 2, kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 2,008 kn y2 322 x 1400 21000 x 42548,47 + 1400 x 469440,07 x (41,69 29,0) = 0,14 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 ) < 2,008 kn y2 18

σ 3 = 322 74000,95 x (41,69) x 0,067 = 0,46 kn 20

4.3. ZADATAK 3 KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm - Visina čeličnog dijela presjeka: h Č = 38,7 cm - Visina drvenog dijela presjeka: h D = 19,3 mm - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 A 1 = b uk x h Č = 20 x 38,7 = 774 A 2 = b uk x h D = 20 x 19,3 = 386 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 21

METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 1 = h D + 0,5 h Č = 19,3 + 0,5 x 38,7 = 38,65 cm z 2 = 0,5 h D = 0,5 x 19,3 = 9,65 cm z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x774x38,65 + 1400x386x9,65 21000x774 + 1400x386 = 37,72 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h č 3 I y1 = 97270,44 cm 4 I y2 = b uk x h D 3 I y2 = 3160,77 cm 4 + b uk h č (z 1 z 0 ) 2 = + b uk h D (z 0 z 2 ) 2 = 20,0 x 38,73 20,0 x 19,33 + 20,0 x 38,7 x (38,65 37,72 ) 2 + 20,0 x 19,3 x (37,72 9,65 ) 2 - Normalna naprezanja σ 1 = σ 1 = σ 2 G = σ 2 G = σ 2 D = σ 2 D = σ 3 = M Y E 1 (h E 1 I y1 + E 2 I uk z 0 ) < 23,5 kn y2 322 x 21000 21000 x 97270,44 + 1400 x 3160,77 x (58,0 37,72) = 2,11 kn M Y E 1 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 23,5 kn y2 322 x 21000 21000 x 97270,44 + 1400 x 3160,77 x (37,72 19,3) = 1,92 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 2,008 kn y2 322 x 1400 21000 x 97270,44 + 1400 x 3160,77 x (37,72 19,3) = 0,13 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 ) < 2,008 kn y2 22

σ 3 = 322 118450,53 x (37,72) x 0,067 = 0,26 kn 24

4.4. ZADATAK 4 Potrebno je odrediti normalna naprezanja ravnog nosača opterećenog na savijanje, ako je nosač čelični. Pri proračunu koristiti dvije metode. Čelik S 235 - E 1 =21000 KN KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm f Y = 23,5 KN - granica popuštanja čelika - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 25

METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h uk 3 = I y1 = 325186,67 cm 4 20,0 x 58,03 - Normalna naprezanja σ 1 = M YE 1 (z E 1 I 0 ) < 23,5 kn y1 σ 1 = 322 x 21000 21000 x 325186,67 x (29,0) = 1,10 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti čelika n = E 1 E 1 = 21000 21000 = 1,00 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y1 n = 325186,67 x 1 = 325186,67 cm 4 - Normalna naprezanja σ 1 = M Y (z I 0 ) < 23,5 kn y,red 26

σ 1 = 322 325186,67 x (29,0) = 1,10 kn 27

4.5. ZADATAK 5 Potrebno je odrediti normalna naprezanja ravnog nosača opterećenog na savijanje, ako je nosač izveden od drveta. Drvo D 50 - E 2 =1400 KN KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm f m,k = 5,0 KN karakteristična čvrstoća drva na savijanje γ M = 1,3 faktor sigurnosti za puno drvo k mod = 0,9 modifikacijski faktor za djelovanja - proračunska čvrstoća drveta na savijanje: f m,d = f m,k k mod 5,0 x 0,9 = = 3,46 KN γ M 1,3 - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 28

DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Momenti inercije: I y2 = b uk x h uk 3 = I y2 = 325186,67 cm 4 20,0 x 58,03 - Normalna naprezanja σ 1 = M YE 2 (z E 2 I 0 ) < 3,46 kn y2 σ 1 = 322 x 1400 1400 x 325186,67 x (29,0) = 1,10 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti drva i čelika n = E 2 E 2 = 1400 1400 = 1,00 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y2 n = 325186,67 x 1,00 = 325186,67 cm 4 29

- Normalna naprezanja σ 1 = M Y (z I 0 ) < 23,5 kn y,red σ 1 = 322 325186,67 x (29,0) = 1,10 kn 30

5. ZAKLJUČAK Kada imamo nosač sastavljen od istog materijala, raspodjela naprezanja će izgledati kao kod monolitnog nosača sastavljenog od bilo kojega materijala. Normalna naprezanja na rubovima poprečnog presjeka će imati isti iznos naprezanja jer se naprezanja mijenjaju linearno po visini presjeka. Proveden je proračun za sastavljeni nosač iz dva različita materijala. Varirana je visina, u prvom primjeru jedna trećina visine je čelični dio presjeka, a preostale dvije trećine drveni dio presjeka. U drugom primjeru dvije trećine visine je čelični dio presjeka, a jedna trećina drveni dio presjeka. U trećem primjeru i drveni i čelični dio imaju istu visinu. Nagib pravca u dijagramu normalnih naprezanja mijenja po visini presjeka ovisno o modulu elastičnosti, a na prijelazu jednog materijala na drugi postoji skok. S obzirom da čelik ima znatno veći modul elastičnosti preuzima i veći dio vanjskih sila što rezultira i većim normalnim naprezanjima. Iz dobivenih rezultata se može vidjeti da sa povećanjem čeličnog dijela presjeka se smanjuju maksimalna normalna naprezanja u drvenom dijelu nosača. Također možemo uočiti da se smanjuju maksimalna normalna naprezanja u čeličnom dijelu nosača. 31

6. LITERATURA [1] Šimić, V.: Otpornost materijala 1, Školska knjiga, Zagreb,1992 [2] Šimić, D., Prilog proračuna sastavljenih nosača opterećenih na savijanje, Građevinar 58 (2006) 3, 209-214 [3] Terzić, N., Metodička zbirka zadataka iz otpornosti materijala (I dio), drugo izdanje, Građevinski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 1991 [4] Timošenko, S., Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1965 [5] http://am.hit.edu.cn/courses/mechmat20/courseware_files/15_compbeam_print.pdf [6] http://www.ecourses.ou.edu/cgibin/ebook.cgi?topic=me&chap_sec=06.1&page=theory 32