PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 5. VJEŽBE DIMENZIONIRANJE - GSN Dominik Skokandić, mag.ing.aedif.
GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI DIMENZIONIRANJE - GSN 1. Sila prednapinjanja 2. Provjera nosivosti za otkazivanje bez najave 3. Dimenzioniranje presjeka u polju savijanje s uzdužnom silom 4. Dokaz predstlačenog vlačnog područja 5. Dokaz nosivosti na poprečne sile Rok predaje 22.12.2015. 2 5. Auditorne vježbe
GSN Sila prednapinjanja SILA PREDNAPINJANJA Utjecaj prednapinjanja promatramo kao reznu silu Parcijalni koeficijent sigurnosti za prednapinjanje: γ p =1.0 Za dokaze nosivosti uzima se sila prednapinjanja u trenutku t= Vrijednost sile prednapinjanja u sredini raspona u (t= ) : P P P 2089,54 142,59 1946,95 kn pm,,1 pm,1 p,c sr P P P 2094,99 142,59 1952,40 kn pm,,2 pm,2 p,c sr P P P 2091,54 142,59 1948,95 kn pm,,3 pm,3 p,c sr Proračunska vrijednost sile prednapinjanja za dokaz savijanja s uzdužnom silom: P P 1,0 1946,95 1946,95kN Ed,1 pm,,1 P P P 1,0 1952,40 1952,40kN Ed,2 pm,,2 P P P 1,0 1948,95 1948,95kN Ed,3 pm,,3 P 3 5. Auditorne vježbe
GSN Sila prednapinjanja SILA PREDNAPINJANJA Vrijednost sile prednapinjanja za dokaz na poprečnu silu uzimamo na osloncu (aktivno sidro) u trenutku t= uz pretpostavku da su vremenski gubici jednaki kao i na sredini raspona: P (x 0,0m) 2032,48 142,59 1889,89kN pm,,1 P (x 26,7m) 2067,43 142,59 1924,84kN pm,,2 P (x 0,0m) 2002,05 142,59 1859,46 kn pm,,3 natega 1 natega 2 natega 3 l sl,i 15.54 [m] 12.56 [m] 11.57 [m] σ pm (A) 1129.16 N/mm 2 1117.95 N/mm 2 1112.25 N/mm 2 σ pm (B) 1154.00 N/mm 2 1148.57 N/mm 2 1145.40 N/mm 2 σ p0 (A) 1178.84 N/mm 2 1179.20 N/mm 1178.55 N/mm 2 Δl sl,calc. 1.98 [mm] 1.97 [mm] 1.97 [mm] P pm (A) 2032.48 [kn] 2012.31 [kn] 2002.05 [kn] P pm (B) 2077.20 [kn] 2067.43 [kn] 2061.72 [kn] P p0 (A) 2121.92 [kn] 2122.55 [kn] 2121.39 [kn] 4 5. Auditorne vježbe
GSN Sila prednapinjanja SILA PREDNAPINJANJA Komponente reznih sila za dokaz poprečnih sila dobivamo iz nagiba tangenti u osi ležaja (iz tablice): Natega 1 tan 0,0310 1,77 1 1 Natega 2 tan 0,0821 4,69 2 1 Natega 3 tan 0,1083 6,18 3 3 Pretpostavka iznos sile prednapinjanja je približno jednak na čelu nosača i nad osloncem. (Pm,x=0 Pm,x=0,35) Vođenje natega Rezultati os ležaja x [m] 0 0.35 2.67 5.34 ξ=x/l tot 0 0.013108 0.1 0.2 z 1 [m] 0.0000 0.0110 0.0765 0.1360 0. z 2 [m] 0.0000 0.0291 0.2025 0.3600 0. z 3 [m] 0.0000 0.0384 0.2673 0.4752 0. Kut nagiba tangente tgα 1 0.0318 0.0310 0.0255 0.0191 0. tgα 2 0.0843 0.0821 0.0674 0.0506 0. Udaljenost težišne linije natege do donjeg ruba Udaljenost težišne linije natege do težišta p tgα 3 0.1112 0.1083 0.0890 0.0667 0. Z dr1 [m] 0.3550 0.3440 0.2785 0.2190 0. Z dr2 [m] 0.7050 0.6759 0.5025 0.3450 0. Z dr3 [m] 1.0550 1.0166 0.7877 0.5798 0. z cp1 [m] 0.4389 0.4498 0.5154 0.5749 0. z cp2 [m] 0.0889 0.1180 0.2914 0.4489 0. z cp3 [m] -0.2612-0.2227 0.0061 0.2141 0. P m,i [kn] α i [ ] N p [kn] V p [kn] Natega 1-1889.89 1.77-1888.99-58.37 Natega 2-1924.84 4.69-1918.40-157.38 Natega 3-1859.46 6.18-1848.65-200.18 5 5. Auditorne vježbe
PROVJERA NOSIVOSTI NA OTKAZIVANJE BEZ NAJAVE Ugradnja najmanje potrebne armature zadovoljava provjeru nosivosti za otkazivanje bez najave u slučaju otkazivanja natega armatura osigurava pojavu pukotina koje najavljuju otkazivanje konstrukcije. Armatura se ugrađuje sa promjerom d s 10 mm. Dimenzionira se na vrijednost momenta pojave pukotina (uz pretpostavku da je prednapinjanje skroz otkazalo), sa donjom vrijednošću vlačne čvrstoće betona f ctk,0.05 (da bismo bili na strani sigurnosti). Mr,rep fctk,0.05 WC moment pojave pukotina Armaturu za otkazivanje bez najave određujemo u polju i na ležaju: A s,polje min A f sd M f W f z f z r,rep ctk,0.05 C,i yk s yk s W fctk,0.05 W i,d ; As,ležaj f z f z ctk,0.05 yk s yk s i,g 6 5. Auditorne vježbe
PROVJERA NOSIVOSTI NA OTKAZIVANJE BEZ NAJAVE - POLJE U polju predviđamo armaturu (pretpostavka Φ=20mm) za otkazivanje bez najave koju ugrađujemo u donji dio hrpta (i mora se prevesti preko oslonca): f ctk,0.05 = 2,9 N/mm 2 - za beton C50/60 (tablica 6 u prilogu) f yk = 500 N/mm 2 c nom = 55 mm, vilice Φ=10 mm c spona = c nom Φ spona = 55 10 = 45 mm Statička visina nenapete armature : d=145-4,5-1 -2/2=138,5 cm Krak sile pretpostavljamo kao 0,9 d z s =0,9 138,5=124,65 cm Momenti otpora (idealan presjek): W ig =467560,81 cm 3 W id =265055,54 cm 3 mina sd f W 2,9 265055,54 12,33 cm f z 500 124,64 ctk,0.05 i,d 2 yk s 7 5. Auditorne vježbe
PROVJERA NOSIVOSTI NA OTKAZIVANJE BEZ NAJAVE POLJE U polju predviđamo armaturu (pretpostavka Φ=20mm) za otkazivanje bez najave koju ugrađujemo u donji dio hrpta (i mora se prevesti preko oslonca): mina Odabrano: 4Φ20 -> A s,od =12,57 cm 2 sd f W 2,9 265055,54 12,33 cm f z 500 124,64 ctk,0.05 i,d 2 PROVJERA NOSIVOSTI NA OTKAZIVANJE BEZ NAJAVE LEŽAJ Nad osloncem izvodimo kontinuitetnu ploču u nju je potrebno ugraditi najmanju armaturu za otkazivanje bez najave: min A sd Odabrano: Φ20/14 cm -> A s,od =21,99 cm 2 yk s f W 2,9 467560,81 21,75 cm f z 500 124,64 ctk,0.05 i,g 2 yk s 8 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Sila prednapinjanja se promatra kao uzdužna sila koja djeluje u osi natege. Dimenzioniranje se provodi za najnepovoljniji presjek (L/2) Statička visina presjeka d (udaljenost težišta napete i nenapete armature do gornjeg ruba nosača): A 6,5 A 19,92 12,57 6,5 54 19,92 s p d huk 145 127,61 cm As A p 12,57 54 Za presjek u L/2 tlačna zona nalazi se na u gornjem dijelu idealnog poprečnog presjeka, te je potrebno je odrediti položaj neutralne osi od moguća tri slučaja: neutralna os se nalazi u pojasnici idealnog poprečnog presjeka neutralna os se nalazi točno na spoju hrpta s pojasnicom idealnog poprečnog presjeka neutralna os se nalazi u hrptu idealnog poprečnog presjeka. 9 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Ako je udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka x u veća od debljine pojasnice D f tada presjek promatramo kao presjek s pojasnicom. Poprečni presjek Dijagram naprezanja Dijagram naprezanja Ako je udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka x u manja od debljine pojasnice D f tada presjek promatramo kao pravokutni presjek. 10 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Pretpostavljamo da se neutralna os nalazi na spoju hrpta s pojasnicom idealnog poprečnog presjeka pa je visina tlačne zone x: x d d 45,5 cm pojasnica Ako se neutralna os nalazi unutar područja pojasnice tada idealni poprečni presjek možemo promatrati kao pojednostavljeni pravokutni presjek računamo težište tlačne zone presjeka: z s Izmjere pojednostavljenog pravokutnog poprečnog presjeka: b i /h/d=191,37/145/127,61 (d udaljenost težišta do gornjeg ruba presjeka) ploca 20 192 10 25,5 190 32,75 22,67 cm 20 192 25,5 190 h 2 z 2 22,67 45,34 cm i s 20 192 25,5 190 bi 191,37cm 45,34 11 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Izmjere pojednostavljenog pravokutnog poprečnog presjeka: b i /h/d=191,37/145/127,61 (d udaljenost težišta armature do gornjeg ruba presjeka) 12 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Moment savijanja od pojedinih natega u odnosu na težište ukupne armature: MEd,p PEd,1 ys1 PEd,2 ys2 PEd,3 ys3 Ed,p M 1946,95 (14,25 17,39) 1952,40 14,25 17,39 1948,95 (31,25 17,39) 147,68 knm Računski moment savijanja u L/2: Ed,s gk1 gk2 gk3 Ed,p q Q Ed,s 1,5 884,37 1370,28 8131,25 knm M 1,35 M M M M 1,5 M M M 1,35 1996,09 787,50 625,0 147,68 Bezdimenzionalni moment savijanja: M 813125 0,078 b d f 191,37 127,61 3,33 Ed,s Ed,s 2 2 i cd 13 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Bezdimenzionalni moment savijanja: M 813125 0,078 b d f 191,37 127,61 3,33 Ed,s Ed,s 2 2 i cd Iz tablica (sa betonskih konstrukcija) za μ Rd =0,082 očitamo: ε s1 =0.020 ε c2 =-0.0026 ζ=0.955 z d 0,955 127,61 121,87 cm ξ=0.115 x d 0,115 127,61 14, 67 cm (pretpostavka, da je nul linija u pojasnici je ispravna) Ed,s Ravnoteža unutarnjih i vanjskih sila: A A N, gdje je: M s sd p pd Ed z Sila prednapinjanja kao normalna sila NEd Ap p Prirast sile prednapinjanja od dodatnog izduljenja Proračunska vrijednost naprezanja čelika za prednapinjanje: pd p pd N A Rd,p p pd 14 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Iz ravnoteže sila potrebna armatura u polju: A s,req M z Ed,s A sd p pd 15 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Iz ravnoteže sila potrebna armatura u polju: A s,req M z Ed,s Naprezanja čelika ovise o njihovim deformacijama (izduljenjima) ε : Naprezanje čelika za armiranje pri ε=0,020: A Kao mjerodavno naprezanje uzimamo računsku čvrstoću čelika: Naprezanje čelika za prednapinjanje: Ed,i izduljenje od sile prednapinjanja pi dodatno izduljenje od vanjskih djelovanja za GSN p maksimalno dopušteno izduljenje sd p E 0,020 200000 5000 N / mm f 2 sd s s yd A N p,i pd f 435 N / mm sd yd f f E ili ako je 0,025 p0,1,k p,k pi pi pi p p s s E p p 0,025 2 16 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Određivanje dodatnog izduljenja JEDNADŽBE KOMPATIBILNOSTI. 2,6 p,1 2,6 145 14,25 10 20,57 10 14,67 3 3 2,6 p,2 2,6 145 14,25 10 20,57 10 14,67 3 3 2,6 p,3 2,6 145 31,25 10 17,56 10 14,67 3 3 p c p c p c h y x d c p ( c (h y d)) x u u 17 5. Auditorne vježbe
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA U POLJU SAVIJANJE S UZDUŽNOM SILOM Natega 1: NEd,1 1946950 Izduljenje od prednapinjanja: Dodatno izduljenje: Naprezanje čelika za prednapinjanje: 18 5. Auditorne vježbe p1 A E 1800 195000 p,1 p p,1 0,02057 0,025 E 0,005546 0,02057 195000 5092,62 N / mm p1 p,1 p,1 p f 1570 f 1365 N / mm 1365 N / mm 1,15 p0,1,k 2 2 p1 p,d p1 s Natega 2 i 3: Potrebna armatura u polju je: sd p,2 p,3 1365 N / mm Odabrana armatura (4Ф20) iz provjere na otkazivanje bez najave zadovoljava i GSN. Ukoliko ne zadovolji potrebno je odabrati novu armaturu. 2 0,005546 MEd,s 8131250000 Ap pd 3 1800 1365 z 1218,7 As,req 1606mm A 12,57 cm 435 2 2 2 s,od,min
GSN predstlačeno vlačno područje DOKAZ PREDSTLAČENOG VLAČNOG PODRUČJA Za fazu građenja potrebno je provesti dokaz nosivosti vlačnog područja (gornja zona) za kombinaciju djelovanja vlastite težine i prednapinjanja: Dokaz se provodi dimenzioniranjem poprečnog presjeka u polju za savijanje s uzdužnom silom u trenutku t=0. Gubitak sile prednapinjanja zbog skraćenja betona se zanemaruje. Parcijalni koef. sigurnosti: povoljno djelovanje vlastite težine: γ G =1.0 prednapinjanje: γ P =1.0 19 5. Auditorne vježbe
GSN predstlačeno vlačno područje DOKAZ PREDSTLAČENOG VLAČNOG PODRUČJA Proračunski moment u polju od g k1 : M Ed,gk1 =1996,09 knm Proračunska vrijednost sile prednapinjanja (max iznos sile prednapinjanja u t=0, prije vremenskih gubitaka): P 2089,54 2094,99 2091,54 6276,07 kn pm,0 N P 6276,07 kn tlačna sila Ed pm,0 Krak sila prednapinjanja (osnovni presjek): 10 yp,i h cnom zdr,i 2 y 125 6 14,25 104,75 cm p,1 y 125 6 14,25 104,75 cm p,2 y 125 6 31,25 87,75 cm p,3 Srednja vrijednost kraka sile: ypm 99,08 cm 20 5. Auditorne vježbe
GSN predstlačeno vlačno područje DOKAZ PREDSTLAČENOG VLAČNOG PODRUČJA Moment savijanja od vl. težine i prednapinjanja: M 1996,09 6276,07 0,991 4217,15 knm vlačni moment u gornjoj zoni Eds Proračunski poprečni presjek (vlačno područje gore): 10 d h cnom 125 6 119 cmb w / h / d 0.54 / 1.25 / 1.19 2 Bezdimenzionalni moment savijanja: MEds 421715 0,165 b d f 54 119 3,33 Eds 2 2 i cd 0,906 z d 0,906 119 107, 81 cm Potrebna površina armature: M N 421715 6276,07 Ed,s Ed 107,81 2 A z s,req 5,435cm 0 fyd 4,35 Predznak minus jer je sila prednapinjanja tlačna. Ako je krajnje naprezanje tlačno nije potrebna dodatna armatura. Zbog utjecaja uzdužne tlačne sile ne javljaju se vlačna naprezanja na gornjem rubu presjeka, te prema ovom dokazu nije potrebna armatura na gornjem rubu. 21 5. Auditorne vježbe
GSN provjera na poprečne sile DOKAZ NOSIVOSTI NA POPREČNE SILE Proračunska vrijednost djelujuće poprečne sile uz uzimanje u obzir nagnutog vođenja natega za prednapinjanje: VEd VEd,0 VPd V Ed,0 =osnovna proračunska vrijednost poprečne sile na presjeku: VEd,0 1,35 Vgk1 Vgk2 Vgk3 1,5 Vq VQ VEd,0 1,35 319,32 126 100 1,5 141,5 222,93 1282,83 kn V Pd =komponenta poprečne sile nagnute natege (os ležaja->x=0): VPd 58,37 157,38 200,18 415,93 kn Proračunska vrijednost sile: VEd 1282,83 415,93 866,90 kn Proračunska nosivost na poprečnu silu elementa bez poprečne 1/3 armature: V (C k (100 f ) 0,15 ) b d C 0,18 / 0,12 Rd,c Rd,c 1 ck cp w k 1 200 / d(mm) 1 200 / 1390 1,38 2,0 k 1,37 As 12,57 1 0,00167 0,02 b d 54 139 Rd,c cp w c N 1888,99 1918,40 1848,65 1000 0,408 kn / cm 4,08 N / mm i A 13850,64 100 c p,i 2 2 22 5. Auditorne vježbe
GSN provjera na poprečne sile DOKAZ NOSIVOSTI NA POPREČNE SILE Provjeravamo da li je potrebna poprečna armatura: 1/3 V (0,12 1,37 (100 0,00167 50) 0,15 4,08) 540 1390 / 1000 709,71 kn V POTREBNA! Rd,c Najmanja potrebna poprečna armatura Asw,min w sw bw sin Min. koeficijent armiranja za beton C50/60 w 0,0013 Dozvoljeni razmaci vilica kod prednapetih mostova: s w,min =10, s w,max =25 cm Odabiremo vertikalne spone α=90 ->sin(α)=1 Najmanja potrebna poprečna armatura: sw,min 2 Nosivost armature na poprečne sile: Nagib tlačnih štapova: A s w 0,0013 54 0,0702 7,02 cm / m' 1,0 ctg ctg 2 2,5 A VRd,s fywd z ctg s Ne preporuča se strmiji nagib jer se na taj način smanjuje duljina sidrenja i iskoristivost tlačnih štapova. sw w Ed 23 5. Auditorne vježbe
GSN provjera na poprečne sile DOKAZ NOSIVOSTI NA POPREČNE SILE Potrebna poprečna armatura iz uvjeta V Rd,s =V Ed : Asw VEd VEd s f z ctg f 0,9 dctg w ywd ywd Asw 866,90 2 A 7,96 cm / m' s 43,5 0,9 1,39 2 s w Odabiremo vilice Ф10, reznost m=2 (dvorezne) Poprečna armatura na ležaju Ф10 (m=2) / 18cm ->a swyd =8,72 cm 2 /m' Poprečna armatura u polju Ф 10 (m=2) / 25cm ->a swyd =6.28 cm 2 /m' Dokaz čvrstoće tlačnih štapova betona: V Rd,max f bw z ctg tan 1 cd cw Ako je promjer zaštitne cijevi natege O.D. veći od 1/8 širine hrpta potrebno je reducirati nosivost poprečnog presjeka. sw,min fck 50 1 0,6 1 0,6 1 0,48 250 250 w 24 5. Auditorne vježbe
GSN provjera na poprečne sile DOKAZ NOSIVOSTI NA POPREČNE SILE Ako je promjer zaštitne cijevi natege O.D. veći od 1/8 širine hrpta potrebno je reducirati nosivost poprečnog presjeka, i to: b b 0,5 0,54 0,5 0,08 0,50 m w,nom w cijev cp Za cp 4,08 MPa 0,25 fcd 8,33 MPa cw 1 1,14 f 0,48 33300 0,5 0,9 1,39 1,14 VRd,max 4559,08 kn V 2 0,5 cd Ed 25 5. Auditorne vježbe