J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e <) 'Jia""" <en,m.l "'e ""'me",le ".ner"je d) :lome <e",,.r,,,e ;>o&''re!e / 1J7erce c) v 1 () al) '\, \ )< \, r + JA = '= 0.1&03 +. [ BO'?o + 1 1 80.0' 70.J (;8,67'11:/'+[ '33.10'+ 7M.10'] : "1, :3310 mm :: ". :: =::, 81, 5?J,. 1o",mlt 160.c/ +. [ 1 Q&7. lo +. [ 8S;.33 "1()+ o :. 1 + 0.8<;). So J.: 00.1)] =:." l H.. '" + 80'0. (Jb)( So) / 80'0'('10). SO.. ::. 11.0. 10 q '11J
Lf. G (o 1/711' j?ro V'a D 10( = fl?jon1en:' 60) 5,5Q 0(.=.30,17 o '1d?er1'e.' 11{)) '61 :JJ81 7S ',!L = f ( +1) :t: i i (J: ) f ; l! E T Gla\ln'l 1,Z= t (Q.. 38t). i 1 f{'1 'J8!). ifd'l 1 6:.J.. 1 G:S(j fo.o+ SOl? Q)O f 6 t.j..!.5 BO 16 11:: '1.:10.., 1"'1 :: :. 9 11 cm" 51 crn,,... Glo, d!"", rjl.1rei'fu"" "."'ibe. # 1:::: ",9cfY1 11 A An; 1 =t: 1 9 cm r. '
Momenti inercije 1 Momenti inercije složenog profila Za zadani složeni presjek odrediti: 1. Glavne centralne momente inercije i položaj glavni centralni osa inercije. Momente inercije za sistem osa Ouv koji je zaokrenut za ugao j=50 u odnosu na težišne ose 3. Glavne poluprečnike inercije i elipsu inercije. Morov krug inercije i 1 i O 1 1 Sl.1 Složeni presjek z tablica: NP10 A 1 =13,5 cm 1 =06 cm 1 =9,3 cm c C 80108 A =15,5 cm =6 cm =80,8 cm 1 =61 cm =5,8 cm c c C
Momenti inercije Podaci koji se odnose na poprečni presjek prikazan slikom 1: profil Ai [cm ] i [cm] i [cm] ξ i [cm ] η i [cm ] 1i [cm ] i [cm ] 1. [ 13,5 5 1,55 9,3 06 06 9,3. L 15,5 1,87 3,83 6 80,8 61 5,8 Poredeći podatke u tablicama i podatke koji su prilagođeni usvojenim koordinatnim sistemima na slici 1, može se zaključiti da za vlastite ose profila mogu biti korištene različite oznake kao i za oznake koordinata težišta profila. Npr. za profil L vrijedi = c i = c. Za profil [ NP10 osa 1 odgovara osi u tablicama, a osa 1 odgovara osi. Pažnja se mora obratiti i na znak koordinata težišta profila u odnosu na usvojeni koordinatni sistem O jer je npr. 1 = 1,55 cm. 1.1 Težište složenog presjeka A i i 13,5 5 + 15,5 1,87 = å C = = 3,37 cm å A 13,5 + 15,5 i A i i 13,5 ( 1,55) + 15,5 3.83 C = = = 1,35cm A 13,5 + 15,5 å å i 1. Težišni (centralni) momenti inercije = + (1,55 + 1,35) A + + (3,83 1,35) A = 9,3 + 8, 65 13,5 + 6 + 6, 75 15,5 = 6,1 cm = + (5 3,37) A + + (3,37 1,87) A = + + + 06 (5 3,37) 13,5 80,8 (3,37 1,87) 15,5 = 357, 89 cm Centrifugalni moment inercije L profila određujemo na osnovu druge invarijante momenata inercije: u uv 1 0 Druga invarijanta = = = uv v 0 = u v uv = 1 =± 1 = 6 80,8 61 5,8 =79, cm ξη + ξη + ξη ξη
Momenti inercije 3 Znak centrifugalnog momenta inercije (79, cm ) određuje se na osnovu položaja presjeka u odnosu na njegove težišne ose. Težišne ose dijele presjek u četiri kvadranta. U i kvadrantu proizvod koordinata je pozitivan, dok je u iv kvadrantu taj proizvod negativan. Na osnovu definicije centrifugalnog momenta inercije =òò da slijedi da će moment u kvadrantu biti pozitivan, a u i V kvadrantu negativan. Ukupan centrifugalni moment je jednak zbiru centrifugalni momenata po kvadrantima. Vizuelno posmatrajući profil u odnosu na sopstveni koordinatni sistem možemo ocjeniti procenat površine po pojedinim kvadrantima, a time i znak ukupnog cetrifugalnog momenta inercije. ( 5 3,37) é ( 1,55 1,35) ù é ( 3,37 1,87) ù ë û ë û ( 3,83 1,3) = + + A + + A = 0 simetričan profil 11 1 11 =6,933 79, 56,571 =00,9cm 1.3 Glavni momenti inercije i položaj glavni osa inercije Prilikom rotiranja koordinatnog sistema C, momenti inercije mijenjaju vrijednosti. Za određen položaj osa a imaju ekstremne vrijednosti 1 = ma i = min, a centrifugalni moment inercije je jednak nuli. Vrijednosti glavni momenata inercije i položaj glavni osa inercije određujemo prema formulama: 1, = ( + ) ± ( ) + 1, = ( 6,1 + 357, 89) ± ( 6,1 357, 89) + ( 00,9) = 618, 69cm = 0,93cm 1 ( ) 00,9 tga = = = 3, 767878 6,1 357, 89 a = 75,136 a = 37,568 Ugao a određuje položaj glavne ose 1, a odmjerava se od ose veće vrijednosti momenta inercije u smjeru suprotno kazaljci na satu ili u smjeru kazaljke zavisno je li vrijednost ugla a pozitivna ili negativna. Primjer: (1) a= 19 ; =50 cm i =500 cm a, ()
Momenti inercije. Momenti inecije za zarotirane ose za ugao j=50 u = ( + ) + ( )cosj sinj = = (6,1 + 357, 89) + (6,1 357, 89) cos100 ( 00,9) sin100 = = 10,815 9, 59 + 197,871 u = 599, 7 cm v = ( + ) ( )cosj+ sinj = = (6,1 + 357, 89) (6,1 357, 89) cos100 + ( 00,9) sin100 = = 10,815 + 9, 59 197,871 =, 0 cm v =,0 cm 1 uv = ( )sin j+ cos j = 1 = (6,1 357,89)sin100 + ( 00,9)cos100 = 87, 05 cm uv 3. Glavni poluprečnici inercije i elipsa inercije 1 618, 69 i1 = = =,618 cm A 9 0,93 i = = =,65 cm A 9 Poluprečnici inercije služe za konstruisanje elipse inercije. Poluprečnik i 1 nanosi se na osu, a poluprečnik i nanosi se na osu 1. Elipsa inercije ima položaj koji slijedi konturu složenog presjeka.
Momenti inercije 5. Morov krug inercije U = 1cm /1mm O () c (1) a=75 Sl. Morov krug inercije Morov krug inercije možemo nacrtati u AutoCADu. Polazne tačke za konstrukciju kruga su A i B. Tačka A ima koordinate: A = =6,15 i A = = 00,9. Tačka B ima koordinate: B = =357,9 i B = =(00,9)=00,9. Centar Morovog kruga je presječna tačka ''c '' duži AB i ose, a poluprečnik je duž cb ili ca. Tačke C i D dobiju se kao presjek Morovog kruga i ose. One predstavljaju glavne momente inercije: =OC=0,9 i 1 =OD=618,7. Ugao između ose ξ i ose (1) u Morovom krugu je duplo veći nego na slici 1, jer je Morov krug konstruisan na osnovu formula transformacije momenata inercije u kojima se javljaju dvostruki uglovi (npr. u = ( + ) + ( )cosj sinj).