(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi a) z=z b) z z = z z c) z ± z = z ± z d) z z= z 3. Izračunajte a) Re(+i+4i )= b) Im(+i+i + i 3 + i 4 + i 5 )= c) i(i )( i)= d) i +i = 4. Skicirajte rješenja jednadžbe a) z + z+=0; b) z 4 = ; u kompleksnoj ravnini. 5. Riješite jednadžbe a) z = 4 b) z+z=, zz= 4 c) i+z = +i 6. z = i z = + i 3 su dva od ukupno tri različita rješenja jednadžbe z3 =0. Odredite treće rješenje (ili korijen) ove jednadžbe. Skicirajte sva tri rješenja u kompleksnoj ravnini. 7. Skicirajte brojeve z =, z = +i i z 3 = i u kompleksnoj ravnini. Neka je f (z)=i z. Izračunajte i skicirajte f (z ), f (z ), f (z 3 ). 8. Izračunajte a) b) i
(kompleksna analiza, vježbe ). Prebacite sljedeće kompleksne brojeve u trigonometrijski zapis (eulerovu formu): a)π b) +i c) ( i) d) e) i. Izračunajte a) (i+) 3 b) i+ 4 c) i (sve korijene) (skicirajte rješenja) 3. Neka je a=+i= e iπ b=i+ 3 Izračunajte c=a 5 b+ a. Skicirajte a, b, c u kompleksnoj ravnini. Za računske operacije koristite odgovarajući zapis kompleksnog broja: za zbrajanje i oduzimanje je bolji kartezijev zapis a+bi; za množenje, dijeljenje i potenciranje je bolja eulerova forma r e iϕ. 4. Riješite jednadžbu iz ( i)z =0. 5. Riješite jednadžbu z 5 + z 3 + z=0. 6. Izračunajte a) Re ( ) e iπ b) Arg i +i = 7. Odredite funkciju f :C C oblika f (z)=az+b koja. rotira z oko ishodišta za 0 (u pozitivnom smjeru). zatim radi translaciju za vektor (, ) u kompleksnoj ravnini.
(kompleksna analiza, vježbe 3). Prebacite sljedeće brojeve u polarnu (eulerovu) formu: a) +i b) i c) 3 4i d) 0 e) 3i, 3i i f) + i ( ) 6+8i g) 4 3i i h) 3+3i +i i) 5 3i j) 7 5i 4i. Riješite jednadžbe a) z iz+=0 b) (z 3 )(z )=0 c) (z i+)(z + )=0 3. Skicirajte u kompleksnoj ravnini (bez rješavanja) rješenja jednadžbe a) z 5 = 3= 5 b) z 5 = 3
(kompleksna analiza, vježbe 4). Skicirajte sljedeća područja u kompleksnoj ravnini: a) z b) Im z c) svi z za koje je z < i Re z> d) z. Za w=u+iv= f (x+iy) izrazite u i v kao funkcije u(x, y) i v(x, y). a) f (z)=(z) ; b) f (z)=i (z z); c) f (z)=+z+z ; d) f (z)=re(z + )+Im ((i+)z). 3. Preslikajte a) pravac Re z=im z funkcijom f (z)=z ; b) područje Re z<funkcijom f (z)=i z; c) područje z < funkcijom f (z)= z; Opišite skup točaka w = u + iv = f (x + iy) za ova preslikavanja. Izrazite u i v kao koordinatne funkcije od x i y. 4. Izračunajte a) e i+ b) i e πi
(kompleksna analiza, vježbe 5). Polinom f (z)=a 0 + a z+a z +...a n z n izrazite f (z 0 + z) kao polinom u z: oko zadane točke z 0. b 0 + b z+b ( z) + +b n ( z) n a) f (z)=3+z+z razviti (izraziti) kao polinom oko z 0 =, odnosno kao polinom u potencijama z=(z ) b) f (z)=+z+z + z 3 razviti kao polinom oko z 0 = ; c) f (z)=3z 3 z + 3z oko z=; d) f (z)=z+z 3 razviti kao polinom po potencijama od (z ) i polinom po potencijama (z+).. Funkcija f oko točke z 0 = 3 ima sljedeći razvoj u red potencija: + z 3( z) + ( z) 3. Pomoću ovog razvoja odredite vrijednost funkcije u točkama a) z=0; b) z=3+i. 3. Prikažite racionalne funkcije a) c) z b) z ; z +z ; d) z z ; kao beskonačne polinome (odnosno kao redove potencija) u z. Primjer. Na primjer, za z=(z ) funkcija 3/(4 z) može se razviti u beskonačni polinom na sljedeći način: 3 4 z = 3 4 ( z+) = 3 z / = 3/ / ( z /) = 3 ( +( z/)+( z /) +... ) Koeficijenti ovog beskonačnog polinoma u z su redom 3, 3, 3 ( ),... 4. Prikažite racionalne funkcije a) c) e) z z z 3 z z z+ b) 3 z d) z+ 5 z f) +z+z kao beskonačne polinome oko z 0 =, odnosno kao beskonačne polinome u potencijama od z=(z ).
(kompleksna analiza, vježbe 6). Neka je K jednostavna zatvorena krivulja u kompleksnoj ravnini, P je polinom. P(K) je krivulja nastala preslikavanjem od K s polinomom P. a) Ako krivulja P(K) zakrene 4 puta oko z=0 u kompleksnoj ravnini, koliko se nultočaka od P nalazi unutar K? b) Ako krivulja P (K) zakrene puta oko z=0, koliko se nultočaka od P nalazi unutar K? c) Koliko i-točaka ima polinom drugog stupnja Q? Ako je L jednostavna zatvorena krivulja koja okružuje sve i-točke, koliko puta Q(L) zakrene oko i? Nultočke brojimo s njihovim višestrukostima npr. dvostruku nultočku brojimo dva puta.. Za w=u+iv koji je slika f (z) od z= x+iy odredite funkcije u(x, y) i v(x, y): a) w=z 3 b) w=z + z + c) z z+ d) w=e z e) w=e iz 3. Funkcije sin i cos na kompleksnim brojevima računaju se prema sljedećim formulama: Izračunajte a) sinπi b) sin π c) cos i sin z= i ( e iz e iz) cos z= ( e iz + e iz)
Rješenja zadataka kompleksna analiza, vježbe..................... str.. a), b) 4+4i+= 3+4i, c) 0 4. a) z, = ± 4 8 = ±i, b) z,,3,4 =, i,, i (vrhovi kvadrata) 5. a)±i, b) z=a+bi, a=, b=0 8. a)±i kompleksna analiza, vježbe..................... str.. (i+) = 5 e i 3 4 π 4. z, = i± i i = i 7. f (z)=e i π 3 z+(+i) ( i± (i ) ) =... kompleksna analiza, vježbe 3..................... str. 3. a) e i 3 4 π. a) z, = i± 4 = ± i 5 ; b) z,,3 su korijeni 3, z4,5 =± kompleksna analiza, vježbe 4..................... str. 4. a) kružni vijenac s malim radijusom r=ivelikim R=, b) horizontalna pruga izme du y= i y=, c) 3. a) slika je imaginarna os; b) slika je poluravnina Im z<; c) slika je kružnica radijusa r= sa središtem u 4. a) re iϕ, r=e,ϕ=; b) e 3π/i = i; kompleksna analiza, vježbe 5..................... str. 5. Ako je z 0 = 3 slijedi da je z=z 3. a) Za z=0je z= 3; b) Za z=3+i je z=3+i 3=i 4. b) = = 3 (+(z )) z + z+( z) +... kompleksna analiza, vježbe 6..................... str. 6. vidi predavanja, pod "Princip argumenta"; c) puta. c) najprije racionalizirajte nazivnik d) u(x, y)=e x cos y, v(x, y)=e x sin y; e) u(x, y)=e y cos x, v(x, y)= e y sin x 3. a) i /(e π e π ); b) iskoristite da je e iπ/ = i pa je sin π /= /, što znamo i otprije