R A D N I M A T E R I J A L I

Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7.

IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE FUNKCIJE 9 4.4. NEKI POJMOVI VEZANI UZ FUNKCIJE 5 4.5. INVERZNA FUNKCIJA 4.6. KOMPOZICIJA FUNKCIJA 4.7. ELEMENTARNE FUNKCIJE 5 4. 8. GRANIČNA VRIJEDNOST NEPREKIDNOST 46

4.. POTREBNO PREDZNANJE - Svojstv skup relnih brojev - Koordintni sustv u rvnini - Sustvi jedndži - Nejedndžbe 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE Uočvnje međuzvisnosti dviju veličin veom je znčjno u svim područjim. Deinicij Nek su A i B dv neprzn skup. Postupk ( prvilo, zkon) koje svkom elementu iz skup A pridružuje točno jedn element iz skup B nzivmo unkcijom s skup A u skup B. Sdržj prethodne deinicije simbolički oznčvmo s : A B. Skup A zove se područje deinicije unkcije ili domen, oznk D( ) ili D. Skup svih B zove se područje vrijednosti ili kodomen, oznk K( ) ili K. Pri tome je nezvisn vrijbl (rgument), zvisn vrijbl. Istknimo d deinicij unkcije uključuje tri objekt: () područje deinicije D, () područje vrijednosti K i () postupk prem kojem se svkom elementu D pridružen jedinstveni element ( ). K Ako je područje deinicije unkcije podskup skup relnih brojev R i ko vrijednosti unkcije pripdju skupu R, ond kžemo d je unkcij reln unkcij relne vrijble. U okviru ovog dijel kolegij bvit ćemo se relnim unkcijm jedne relne vrijble, dkle unkcijm koje brojevim pridružuje brojeve. Skup unkcijskih vrijednosti R { ( ) : } D Funkcije i su jednke ko je :. D ( ) D( ). K ( ) K( ). ) ( ) z svko D ) D( ). ( ( Zdvnje relnih unkcij jedne vrijble Anlitički nčin zdvnj unkcije Često se unkcijom nziv ormul, tj. izrz koji sdrži rgument i ukzuje n opercije koje treb izvšiti d bi se zdni nšo njemu pridruženi ().

, Zbog čeg se tkve ormule nzivju unkcijm i nije li to u suprotnosti s zdnom deinicijom (budući d tu nisu zdni ni područje deinicije, ni područje vrijednosti)? Vezu s deinicijom unkcije dje sljedeći dogovor. Ako je reln unkcij zdn ormulom, podrzumijev se d je:. područje vrijednosti skup relnih brojev R i. područje deinicije (domen) D onj mksimlni poskup skup R z koji nlitički izrz (ormul) im smisl. Drugim rječim, možemo reći d je domen relne unkcije skup svih relnih brojev z koje je i () reln broj. Tkvo područje deinicije zovemo prirodno područje deinicije. Ako ne kžemo drugčije, podrzumijevt ćemo d se z rzmtrnu unkciju koristimo prirodnim područjem deinicije. Nekd se unkcij zdje s nekoliko rzličitih ormul koje se primjenjuju u rzličitim dijelovim područj deinicije. ( ) 4 z z z [,] (,4] ( 4,6] Ako je unkcij zdn pomoću jedne ili više ormul kžemo d je zdn nlitički. Rčunnje vrijednosti unkcije zdne nlitički (ormulom) ( ) ( ) ( ) 6 (.4).4. Gr relne unkcije relne vrijble : X R je skup točk rvnine : G {(, ) : ( ) X }, Krivulj predstvlj gr unkcije ko proizvoljn prvc, prleln s -osi siječe krivulju njviše u jednoj točki. Jednke unkcije imju jednke grove. 4

gr unkcije nije gr unkcije gr unkcije Tbelrno zdvnje unkcij Tbelrno unkciju zdjemo tko d z sve promtrne vrijednosti nezvisne vrijble zdjemo pripdnu vrijednost zvisne vrijble i to u obliku tblice. U prksi su vrijednosti zvisne vrijble uglvnom dobivene ko rezultt nekog mjerenj i mogu se izmjeriti smo u nekim točkm. Područje deinicije, područje vrijednosti ko i vrijednosti unkcije zdne tbelom «očitvmo» iz tblice. Dni u svibnju 4. Tempertur u sti 7 8 9 4 5 4 9 Svkom dnu pridružen je smo jedn vrijednost temperture. D R { 7,8,9,,,,,4 } { 9,,,,4,5 } T tempertur (dtum) Vrijednost unkcije zdne tbelrno očitvmo direktno iz tblice.. Kolik je tempertur 8.5 u sti? T ( 8). Kojeg je dn bil njviš tempertur? Iz tblice vidimo d je njveć vrijednost temperture 5 i d je to bilo 9.5. 5

Gr unkcije zdne tbelrno. tempertur 5 4 9 7 8 9 4 dtum Pogledjte sliku i objsnite zšto to nije gr unkcije..5.5.5 Z. 5 immo dvije rzličite vrijednosti. 5 i. 6

4.. INTERPOLACIJA Z rgumente koji nisu zdni u tblici vrijednost unkcije određuje se interpolcijom ili ekstrpolcijom. Njjednostvnij je linern interpolcij koj se sstoji u sljedećem: Nek su ib dvije susjedne vrijednosti vrijble te () i (b) njihove pripdne unkcijske vrijednosti zdne u tblicm. Kroz točke A (, ( ) ) i B ( b, ( b) ) kojim prolzi gr unkcije povučemo prvc ( b) ( ) p ( ) b ( ) ( ) Z svki (, b) umjesto () uzme se vrijednost p (). Time smo vrijednost () proksimirli s p() i pišemo ( ) p( ). Zmjen vrijednosti () s p() zove se interpolcij. Ako je vn intervl (, b) zmjen vrijednosti () s p() zove se ekstrpolcij. Npomen: kod ekstrpolcije mormo biti oprezni, jer je primjen utoliko nesigurnij što je točk dlje od rubov intervl. A(, ()) (, ()) B(b, (b)) (, p()) p b Grički nčin zdvnj unkcije Pri gričkom zdvnju unkcije zdn je smo njen gr. Vrijednosti unkcije z zdni rgument neposredno se očitv iz tog gr. U mnogim situcijm grove crtju utomtski prti (osciloskop) Osob se vozi u utomobilu od ured do kuće 6 minut. N slici je zdn brzin v (km/ min) u ovisnosti o vremenu t (min). v - brzin 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 4 5 6 t - vrijeme 7

. Odredite brzinu utomobil u trenutku t. S slike očitvmo v ( ) 4.. U kojem je trenutku utomobil postigo njveću brzinu? Njveć brzin postignut je z t 5 i iznosi v 7. U kojem je vremenskom intervlu utomobil stjo? ( t) t 5,7 v z [ ] 4. U kojim se vremenskim interv utomobil kreto konstntnom brzinom? v ( t) 4 z t [,4] ; v ( t) z t [ 5,7] ; ( t) 6 t 8, v z [ ] 8

4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE FUNKCIJE I NJIHOVI GRAFOVI Od unkcij koje su zdne nlitički posebnu ulogu imju tzv. osnovne elementrne unkcije. Z sd ćemo nvesti neke od njih, odrediti njihovo područje deinicije i skicirti njihove grove. Npomen : Grove možemo skicirti tko d izrčunmo unkcijske vrijednosti u određenom broju točk i tko dobijemo točke gr (, ( ) ). Konstnt je unkcij zdn ormulom ( ) R. Tu unkciju krkterizir činjenic d se svki D preslikv u jedn jedini element R( ). Gr konstntne unkcije je prvc prleln s osi pscis, koji siječe os ordint u točki (, ). ( ) (-, ) (, ) (, ) (, ) - ( ) - (, -) (, -) (, -) - Potencij Funkciju zdnu ormulom smo slučj kd je r Q. r ( ) R r nzivmo potencijom. Promtrt ćemo U zvisnosti od eksponent r mijenj se i područje deinicije. Pogledjmo neke slučjeve.. r N r r prn broj neprn broj k ( ), N ( ) k, N k R D, (R) [, ) k D R, ( R) R 9

Skicirjte gr unkcije ( ) i ( ) ( ) (-, 4) (-, ) (, ) (, 4) (, ) - - (, ) ( ) (, 8) (, ) - (, ) (-,-8). r n, n N R n n ( ) D \{ }

( ) 4 (, 4) (, ) - - (, ) (, ) 4. m r m, n N n ( ) m n n m mogu nstupiti rzni slučjevi ovisno o tome kkvi su brojevi m i n ( ) D [, ) (4, ) (, ) 4 (, ) 4. m r m, n N n ( ) m n m n n m ( ) (, ) 4 (, ) (, ) (4, ) 4 D (, )

Eksponencijln unkcij Eksponencijln unkcij deinir se ormulom ( ) z > i D R ( R) R Specijlno ( ) e. 7 e... Npomen: Z rcionlne eksponente vrijednost te unkcije deinir se nlogno ko z potencije koristeći korijene, z ircionlne ćemo vidjeti ksnije (kd upoznmo pojm grnične vrijednosti niz brojev). ( ) ( ) > < () > () ( ) < < - - Trigonometrijske unkcije U rvnini je dn Krtezijev prvokutni koordintni sustv i kružnic jediničnog rdijus s središtem u ishodištu. U točki A(, ) postvimo brojevni prvc prlelno s -osi u točki A. π T(cos,sin) B(-, ) - sin cos A(, ) - «Nmtnjem» prvc n kružnicu i to dijel s pozitivnim brojevim suprotno, dijel s negtivnim brojevim u smjeru gibnj kzljke n stu, pridružimo svkom relnom broju jednu točku T n kružnici. N primjer broju pridružen je točk A (, ), broju π pridružen je točk B (, ).Tkvu kružnicu nzivmo brojevnom ili trigonometrijskom kružnicom.

Dkle, relnom broju pridružili smo točku T n kružnici. Ordintu točket oznčimo s sin, pscisu s cos. N tj nčin svkom relnom broju pridružili smo reln broj sin i tko deinirli unkciju sinus uz oznku sin : R R. Z unkciju sinus vrijedi: ( ) sin D R R [, ] sin( kπ) sin z svki R i svki k Z. (, sin) sin -π -π -π - π π π π Funkcij kosinus uz oznku cos : R R svkom relnom broju pridružuje pscisu pripdne mu točke T n trigonometrijskoj kružnici. Z unkciju kosinus vrijedi: ( ) cos D R R [,] cos( kπ) cos z svki R i svki k Z. -π - π -π π π π π - cos Dlje se deinirju unkcije: sin tg cos ( čitj tnges od ) cos ctg sin ( čitj kotnges ) Funkcije sin, cos, tg i ctg zovu se trigonometrijske unkcije.

( ) tg sin cos D π R \ (k ) : k Z R R tg - π -π π π cos ( ) ctg sin R \ kπ : k Z D R R { } - π -π π π ctg 4

4.4. NEKI POJMOVI VEZANI UZ FUNKCIJE Nul-točk unkcije : X R je vrijednost nezvisne vrijble D z koju je ( ). Funkcij zdn tbelrno. ( ) ) ) (. ) (. k n n. ) ) k ( k n ( n Pregledmo tbelu i uočimo z koju je vrijednost nezvisne vrijble vrijednost unkcije jednk. n ( n..4.6.8 4. 4. 4.4.5.6..4..5.. Vidimo: (.8). ( 4.). Ov unkcij im dvije nul-točke. 8 i 4.. Funkcij zdn grom (, ) (, ) (, ) (, ) im jednu nul -točku nem nul -točk im nul -točke Nul točk unkcije je pscis točke u kojoj gr Γ unkcije sijeće -os. Ako je unkcij zdn grom, ili ko immo gr unkcije zdne ormulom možemo jednostvno odrediti je li t unkcij im nul-točke. Pogledmo je li postoje točke u kojim gr unkcije sijeće - os. Ako tkve točke postoje, njihove pscise su nul-točke zdne unkcije. Funkcij zdn nlitički Problem određivnj nul-točk unkcije svodi se n problem rješvnj jedndžbe ( ). 5

Odredite nul-točke unkcij:. ( ) 5 5 unkcij im jednu nul-točku 5. ( ) unkcij im dvije nul-točke. ( ) z svki, ± R unkcij nem nul-točk 4. ( ) sin sin ± kπ k,,... unkcij im beskončno mnogo nul-točk Loklni ekstrem Funkcij im loklni minimum (loklni mksimum) u točki tko d vrijedi ( ) ( ) < ( ( ) ( ) ) > z svki iz te okoline. D ko postoji okolin točke Zjedničkim imenom loklni mksimum i loklni minimum zovu se loklni ekstremi. (, M) (, m) (, M) (, m) šiljk (, m) (, m) lom 6

Omeđen (ogrničen, ogrđen) unkcij Funkcij je omeđen odozdo ko postoji broj m R tko d je m (), z svki D. Gr unkcije se nlzi «iznd» prvc m. Funkcij je omeđen odozgo ko postoji broj M R tko d je ( ) M, z svki D. Gr unkcije se nlzi «ispod» prvc M. Funkcij je omeđen ko je omeđen odozdo i odozgo. Gr omeđene unkcije nlzi se između prvc m i M. M M m m omeđen odozdo omeđen odozgo omeđen Prn unkcij Funkcij je prn ko vrijedi ( ) ( ) z svki D. Kod prne unkcije područje deinicije mor biti simetrično s obzirom n ishodište. Gr prne unkcije simetričn je sobzirom n os ordint ( -os) Pokžite d je ( ) ( ) ( ) ( ) prn unkcij. - - Vrijedi ( ) ( ), p je unkcij ( ) prn. 7

Neprn unkcij Funkcij je neprn ko vrijedi ( ) ( ) z svki D. Kod neprne unkcije područje deinicije mor biti simetrično s obzirom n ishodište. Gr neprne unkcije centrlno je simetričn je s obzirom n ishodište koordintnog sustv. Pokžite d je ( ) ( ) ( ) neprn unkcij. (,) - ( ) ( ), p je unkcij ( ) neprn. Monotone unkcije Funkcij : X R je strogo rstuć (rstuć) n intervlu I, I D, ko z svki pr, I z koje je < vrijedi: ( ) ( ) <, ( ) ( )). ( ( ) < ( ) ( ) < ( ) strogo rstuć rstu ć Funkcij : X R je strogo pdjuć ( pdjuć) n intervlu I, I D, ko z svki pr, I z koje je < vrijedi: ( ) ( ) >, ( ) ( )). ( ( ) > ( ) Strogo monotone (monotone) unkcije su strogo rstuće (rstuće) ili strogo pdjuće (pdjuće) unkcije. 8

Funkcij je po dijelovim monoton ko se područje deinicije D unkcije može rstviti n končno mnogo podintervl tkvih d je n svkom od njih unkcij monoton. N slici je dn gr unkcije Γ. Odredite intervle monotonosti. b c (, ) unkcij je strogo rstuć (, b) unkcij je strogo pdjuć ( b, c) unkcij je strogo rstuć ( c, ) unkcij je strogo pdjuć Periodičn unkcij Funkcij je periodičn, ko postoji reln broj T, tko d z svki D vrijedi:. D T D i T D. ( T ) ( ) Njmnji pozitivn broj T s nvedenim svojstvim zove se osnovni period ili period unkcije. T () () - - Rčunske opercije među unkcijm Nek su dne unkcije X u R. : X R i g : X R i nek je r R. Td se deinirju nove unkcije iz Sum unkcij i g, g, deinir se ormulom ( g)( ) ( ) g( ). Rzlik unkcij i g, g, deinir se ormulm ( g)( ) ( ) g( ) Produkt unkcij i g, g, deinir se ormulom ( g)( ) ( ) g( ). 9

Kvocijent unkcij i g, (ko je g( ) z svki X g ), deinir se ormulom g ( ) ( ) g( ) Produkt r R i, r, deinir se ormulom ( r )( ) r ( ). Z unkcije ( g )() ( g )() g () ( ) 5 i g ( ) izvršite nznčene rčunske opercije ( ) g( ) 5 ( ) g( ) 5 5 ( ) 5 g( ) Npomen: Ako unkcije i g imju rzličit područj deinicije prethodno deinirne unkcije imju smisl smo z zjedničke elemente njihov područj deinicije. Tko je D D D g g Z unkcije ( ), D R i g ( ), D (, ) odredite područje deinicije unkcije g h ( ) ( ) g( ) h ( ) ( ) g( ) Dh D Dg R (, ) (, )

4.5. INVERZNA FUNKCIJA Zdn je unkcij : X Y, td z svki element R Y postoji br jedn element D tkv d je ( ). Nek je unkcij tkv d z svki R postoji smo jedn X tkv d je (). To nm omogućv d deinirmo novu unkciju koj elementim iz R pridružuje elemente iz X. : X Y ( ) : R X ( ) Ovko deinirn unkcij zove se inverzn unkcij polzne unkcije. () - Teorem Strogo monoton unkcij im inverznu unkciju. Gr unkcije i gr njoj inverzne unkcije osno su simetrični s obzirom n prvc. -

4.6. KOMPOZICIJA FUNKCIJA Nek su zdne dvije unkcije elementu X se g o. pridružuje element [ ] Z : X Y i g : Y Z ( vrijedi Y Y ). Funkcij koj svkom g ( ) zove se kompozicij unkcij i g I oznčv R R R g z g() g () () X Y Z Iz prethodnog ko i iz deinicije inverzne unkcije slijedi d je: ( ( ) ) ( ( ) ) z R. z svki X i Logritmske unkcije Eksponencijln unkcij je zdn ormulom, > i, D R i smo d je strogo monoton. Prem tome postoji njen inverzn unkcij logritmsk unkcij bze i oznčv se ormulom log. : R R R i vidjeli R koj se zove log > Budući je log inverzn unkcij eksponencijlne unkcije bze vrijedi : log z svki R log z svki R Z logritmsku unkciju vrijede sljedeće ormule z, R i r R. log log log r log r log log log log Z > logritmsk unkcij log je strogo rstuć, z < < strogo pdjuć unkcij.

Ko posebn slučj promtrju se dvije logritmske unkcije:. Logritmsk unkcij koj odgovr bzi. Oznčvmo je ormulom log. U tom slučju immo dekdske (Briggsove) logritme.. Logritmsk unkcij koj odgovr bzi e.78... Oznčvmo je ormulom ln. Logritmi s bzom e zovu se prirodni logritmi. Ako su zdne dvije logritmske unkcije rzličitih bz log i log b vez između njih zdn je ormulom: log b logb Specijlno z i b e vrijedi ln ln log log log e odnosno log ln ln Arkus unkcije Funkcij sin : R R nem inveznu unkciju, jer nije strogo monoton. Zbog tog se promtr π unkcij Sin sin z, π π π. Immo dkle Sin : R, koj je strogo monoton unkcij p postoji inverzn unkcij π Sin : [, ], π. Z ovkve unkcije upotrebljv se zpis Sin rcsin. Funkcij, pridružuje luk (rc) čiji je sinus jednk. rcsin svkom broju [ ] π rcsin - π

Anlogno se deinir unkcij Cos : [, π ] R i Cos : [,] [,π ] Cos rccos.. Ovdje se koristi zpis π rccos π - π π Tg : R,, Tg π rctg,, π rctg : R π rctg π (, π) R Ctg :, Ctg rcctg, rcctg : R (, π ) π π rcctg 4

4.7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Polinomi To su unkcije zdne ormulom n n P( ) n n......,,..., n, n relni brojevi koje zovemo koeicijenti polinom. Polinom možemo pisti u skrćenom obliku P( ) n i i Ako je broj n N se zove stupnj polinom. n i Kko je zbrjnje i množenje izvodljivo z dv proizvoljn reln broj, polinom je deinirn z svki reln broj, tj. D P R. Polinom prvog stupnj P( ) ( linern unkcij). Gr linerne unkcije je prvc. Ako se prisjetimo jedndžbe prvc u obliku k l očito d je koeicijent smjer ( ngib prvc), odrezk n -osi. Polinom drugog stupnj P ( ) ( kvdrtn unkcij). Gr polinom drugog stupnj je kvdrtn prbol. Rcionlne unkcije To su unkcije prikzne ormulom ( ) P ( ) Q n m ( ) gdje su P n () i Q m () polinomi stupnj n odnosno m. Dijeljenje s nulom nije moguće, to znči d je rcionln unkcij deinirn z sve relne vrijednosti osim onih z koje je Q m ( ). Rcionln unkcij z koju je n > m zove se neprv, z n m prv rcionln unkcij. Vrijedi tvrdnj: svk se neprv rcionln unkcij može prikzti ko sum polinom i prve rcionlne unkcije. To se postiže dijeljenjem brojnik s nzivnikom. Rstvi n prcijlne rzlomke:.slučj Q ) ( )( )...( )... R n ( m U ovom slučju prvu rcionlnu unkciju rstvljmo u sumu jednostvnih rcionlnih unkcij s konstntnim brojnicim i linernim nzivnicim, tj. n tkozvne prcijlne rzlomke. Pn A A Am... Q m m m 5

A, A,... A n su konstntni koeicijenti koje treb odredit. Odvde immo nziv metod neodređenih koeicijent. Množeći gornju jednkost s (), ztim izjednčenjem koeicijent uz potencije Q m istog stupnj vrijble n obje strne dobivene jednkosti dobiv se sustv od n jedndžbi s n nepoznnic A, A,... An. Rješvnjem tog sustv dobijemo vrijednosti koeicijent. Ovko dobiveni sustv jedndžbi uvijek im jednoznčno rješenje.. slučj k Qn ( ) ( ) ( )...( mk ) Pn A A Ak B...... k Q m. slučj mk ( ) ( ) mk Q n ( ) ( p q) ( )...( m ) P A B n A Am... Q p q m 4. slučj m Qn ( ) ( p q) ( 5 )...( m4 ) P A B n C D A5.... Qm p q p q 5 ( ) m4 A B m4 Hiperbolne unkcije deinirju se pomoću eksponencijlnih unkcij n sljedeći nčin Funkcij sinus hiperbolni deinir se ormulom e e sh (sinus hiperbolni od ) D sh R sh - 6

e e ch (kosinus hiperbolni od ) D ch R Ch th sh ch D th R e e e e (tnges hiperbolni od ) - th Funkcij kotngeshiperbolni deinir se ormulom cth ch sh D th R \{ } e e e e (kotnges hiperbolni od ) cth - 7

Zšto crtmo gr unkcije?. Sve što ns interesir o nekoj unkciji možemo «očitti» s njenog gr 4-4 - - - 4 5 6 7 - - D R [ ) (, ), (,4 ] Možemo dti odgovor n pitnj: - je li unkcij omeđen? - im li nultočk? - z koje D je ( ) odnosno ( ) ( )? ( ) 4,? - je li unkcij prn? - je li unkcij neprn? - je li unkcij periodičn? - je li monoton? - z koje D unkcij rste (strogo rste), odnosno pd (strogo pd) - z koje D je < ( ) <. Iz gr unkcije možemo odrediti intervle (, b) D z koje je ( ), odnosno ( ). T inormcij nm može koristiti pri rješvnju nejedndžbi. Rješvnje nejedndžbi ( ) ( ( ) <, ( ), ( ) > ) () > () > () < b 8

Pzi! ( ) z [, b ] ( ) < z (, b) ( ) Rješvnje nejedndžbi g( ) ( ) ( ) ( ) >,, < g( ) g( ) g( ). g ( ). ( ) i g ( ) > ili ( ) i g ( ) < Riješite nejedndžbu > Ncrtmo prvce i. S gr «očitmo» z koje D je > i > ili < i < < i - < - - - > i - > > i - < (, ) (, ) Rješvnje nejedndžbi ( ) g( ) ( ( ) > g( ), ( ) g( ), ( ) < g( ), ) > c () > g() S g() () c g ( ) g( ) z c 9

Odrediti približnu vrijednost korijen jedndžbe Korijen jedndžbe ( ) je pscis točke u kojoj gr unkcije siječe -os. Skicirmo gr unkcije () i s slike «očitmo» što mnji intervl u kojem se nlzi sjecište gr s -osi. - - U nvedenom primjeru možemo zključiti d unkcij im dvije nul-točke tj. d jedndžb im dv korijen (ili rješenj), oznčimo ih i. [, ] ili < <, z približnu vrijednost uobičjeno je uzeti. 5. [,] ili < <, z približnu vrijednost uobičjeno je uzeti. 5. Korijen jedndžbe h ( ) ko je Γ h»složen» z ncrtti. h ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) g S (c, (c) g(c) ) c Korijen jedndžbe h ( ) je pscis sjecišt grov unkcij Γ i Γ g. Kko je ( c) g( c) slijedi ( c) g( c) tj. h ( c) ( c) g( c) Riješite jedndžbu ln ln S c ln -

Određivnje područj deinicije kompozicije unkcij h ( ) o g( ) ( g ( ) ) h ( ) g( ) D h { D : g( ) } g g() > g b Složene nejedndžbe h ( ) ( h( ), h( ) < h( ) > ) Prikžemo h ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) što smo već pokzli. sin sin sin in < - c sin > π π sin <

PROVJERA ZNANJA (osnovni pojmovi unkcije ). Skicirjte gr proizvoljne neprne unkcije.. Im li svk monoton unkcij inverznu unkciju? DA NE. Skicirjte gr unkcij ( ) sin i ( ) cos. 4. Odredite područje deinicije unkcije ( ) rcsin. 5. Skicirjte gr proizvoljne prne unkcije. 6. Ako je ( ) ln, g ( ) h ln td je h o g DA NE 7. Im li unkcij ( ) e inverznu unkciju? DA NE 8. Skicirjte grove unkcij ( ) e i g ( ) i ztim riješite nejedndžbu ( ) > g( ). 9. Je li ( ) e prn unkcij? DA NE. Nul točke unkcije su sve vrijednost D z koje je :. Jesu li unkcije ( ) i g ( ) jednke? DA NE. Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije ( ) (smo postviti). ( ). Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije 4. Predstvlj li krivulj n slici gr unkcije? ( ). ( ) DA NE 5. Rcionln unkcij Pn ( ) ( ) je neprv rcionln unkcij kd je: P ( ) m n > m n m n < m 6. Ncrtjte gr proizvoljne periodične unkcije temeljnog period T

7. Nvedite osnovnu krkteristiku gr prne unkcije. 8. Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije ( ) (smo postviti). ( ) ( ) 9. Predstvlj li krivulj n slici gr prne unkcije? DA NE. Rcionln unkcij Pn ( ) ( ) je prv rcionln unkcij kd je: P ( ) m n > m n m n < m. Zdn je unkcij (,] (, ) ( ). Izrčunjte (), (), () i (4). Skicirjte gr unkcije koj nem nul-točk.. Funkcij ( ) tg je omeđen. DA NE 4. Funkcij log 5. ( ) je strogo rstuć unkcij. DA NE 6. Funkcij ( ) ln je inverzn unkcij unkcije: 7.Izrčunjte ( g o )() ko su ( ) i g( ) sin. 8. N slici su zdni grovi unkcij ( ), g( ) i h ( ) ) b) c) - N slici ) je gr unkcije.

b) je gr unkcije.. c) je gr unkcije 9. Nvedite koj od trigonometrijskih unkcij im sv ov svojstv: neprekidn, prn, omeđen i periodičn. Skicirjte njen gr.. Skicirjte gr eksponencijlne unkcije ovisno o bzi.. N slici je dn gr unkcije Γ skicirjte gr unkcije..rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ).. Funkcij ( ) rcsin im nul-točku.. 4. Funkcij 5. Funkcij ( ) e je strogo rstuć. DA NE ( ) je pdjuć unkcij. DA NE 6. Funkcij ( ) ln je omeđen unkcij. DA NE 7. Funkcij () je neprn i vrijedi ( 4) 5, ( 4)? 8. N slici je dn gr unkcije Γ. Odredite područje deinicije i nul-točke unkcije g ( ) ln ( ). 4

ODGOVORI (osnovni pojmovi unkcije).. NE sin cos. π -π -π π π π π 4., 5. 6. DA 7. DA e 8. g 9. NE ( ) > g( ) z (, ). ( ) 5

. NE. A B C ( ). A B 4. DA 5 kd je n > m ili n m 6. - - 4 7. Simetričn je s obzirom n os. 8. A B C 9. NE. n < m. ( ), ( ), ( ) i ( 4) 6.. NE 4. NE 5. 6. e 7. sin 8. ) je gr unkcije ( ), b) je gr unkcije h ( ), c) je gr unkcije g( ) 6

9. ( ) cos. ( ) > < <. -.. 4. DA 5. NE 6. NE 7. ( 4) 5 8. 7

RIJEŠENI ZADACI (osnovni pojmovi o unkcijm) - Zdtk: N slici je zdn gr unkcije Γ. Pomoću gr odredite (), (), (). 4-4 5 ( ) ( ) 4 ( ) - Zdtk: Postotk kupc p (t ) koji koriste internet z kupnju novih utomobil (podci od 997) zdn je sljedećom unkcijom: t 5 p ( t) 5t z z t < t 4 t predstvlj vrijeme u godinm t predstvlj 997. godinu p ( ) 5 tj. 997 godine 5% kupc koristilo je internet z kupnju utomobil. t.5 u prvoj polovini 998 p (.5).5 koristimo prvu ormulu z p (t ) jer je.5 < p ( ) 5 koristimo drugu ormulu z p (t ) p ( ) 5 4 koristimo drugu ormulu z p (t ) jer je 4 p (5) nije deinirno 8

- Zdtk: g ( ) 5 g ( ) 5 g ( ) 5 g ( ) 5 ( ) 5 5 5 8 g ( ) 5 ( ) 5 g 5 5 - Zdtk: Funkcijom n (A) je zdn broj litr boje potrebne z bojnje površine od Objsnite izrz:. ( A ). ( A).. ( A ) dje broj litr boje z bojnje ( A ) m površine.. ( A) dje broj litr boje potrebne z bojnje Am površine uvečne z litr. A m. ( ) - Zdtk: Zdne su unkcije ( ) i g ( ). Objsnite zšto je ( ) g( ). D R { }, D g R D Dg ( ) g( ). - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcij: ) ( ) e b) ( ) sh c) ) ( ) e e e ln D R \ ln { } e ( ) b) c) ( ) sh R \ { } e ( ) D D R \ { } 9

- Zdtk: Funkcij je zdn s tblicom 4 5 8 () - 5 7 6 Koristeći postupk linerne interpolcije izrčunjte (.6).6 7 6 5 4-4 5 6 7 8 <.6 <, b () () (.6) (.6) () (.6 ).6.6 - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ). Kko je unkcij deinirn z svki R, slijedi d je D R. - Zdtk: Zdne su unkcije g o. ( ) e i ( ) g. Odredite njihove kompozicije o g i o g( ) ( g ( )) ( ) e g o ( ) g( ( )) g( e ) e - Zdtk: Pokžite d je unkcij ( ) sin omeđen. D R i z sve D vrijedi: sin, p je unkcij ( ) sin omeđen. 4

- Zdtk: Odredite područje deinicije unkcij :. ( ) ln,. ( ) ln,. ( ) ln, 4. ( ) ln, 5. ( ) rcsin ( ). ( ) ln ln ln. ( ) ln ln ln e D [ e, ) e [ e, ) D. ( ) ln V > > D (, ) 4. ( ) ln > D (, ) (, ) - 5. ( ) rcsin ( ) 4 i D [, ] [, ] - - - - - - -4 - - 4 - Zdtk: Prikžite volumen V stošc, kojem je površin bze 75 jedinic površine, ko unkciju visine h stošc. V ( površin bze) ( visin ) 75 h V 5h P 75 h 4

- Zdtk: Utezi mse m vješju se n oprugu, koj se rsteže. Rezultti su dni u tbeli. ms 4 5 6 7 8 Rst.opr.5.9.4..4..6 4. Rsteznje opruge (mse) Ako stvimo uteg mse m 5. 5 grm procijenite koliko se oprug rstegl. 5.5 [ 5,6 ] (6) (5)..4 (5.5) ( 5) (5) (5.5 5).4.6.5. 4. 7 6 4 rvnotežni položj 4 5 6 7 8 detlj (5.5).7 - Zdtk: Skicirjte grove unkcij: ) b) g ( ), g (, ) D ; c) 5 5.5 6 ( ), (, ) D ; h ( ), h (, ) D. ) b) c) - - 4

ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (unkcije - osnovni pojmovi ). Ispitjte jesu li su unkcije ( ) i g( ) jednke.. ( ) sin, g ( ), o g( )?. ( ) ln, ( )?, ( )?, ( e)? 4. Rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ). 6 5. Rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ). ( ) 6. Zdne su unkcije ( g o ) ( ). ( ) i g ( ). Odredite područje deinicije unkcije e e 7. Rstvite n prcijlne rzlomke (smo postviti). ( ) 8. Z neke vrijednosti nezvisne vrijble D, dne su vrijednosti unkcije () : - - () 4 Koristeći linernu interpolciju izrčunjte približnu vrijednost unkcije z. 5. 9. Odredite područje deinicije unkcij: ) ( ) sin, b) ln ( ) ln c) ( ), d) ( ), e) ( ) ln ln ( ) ln,. Odredite područje deinicije i nul-točke unkcije (ko ih im) : ) ( ) ln, b) ( ) ln, c) ( ) e e) ( ) e, ) ( ) e d), ( ), 4

. Zdne su unkcije: ( ), g ( ) tg i h( ) cos. Koj je od unkcij: ) prn i omeđen, b) neprn i omeđen?. Rcionlnu unkciju zdtk) ( ) ( 6 ) rstvite n prcijlne rzlomke (dovoljno je postviti. Zdn je unkcij, i 4. ( ) 5 <. Nđite vrijednosti unkcije 44

RJEŠENJA (unkcije - osnovni pojmovi). DA. sin. () nije deinirno, ( ), ( e) 4. 5 5 5. 6. (, ] (, ) 7. A B C 8. (.5). 5 9. ) D R \{ } d) [, ), b) D (,) (, ), c) D (,) (, ), D, e) D (, ). ) (, e ] D, e ; b) D R \{ } d) D (,), nem nul-točke; e) R ) R, nul točk je. ) cos D \{ }, b) nijedn, i D \{ } ; c) [, ), nem nul točke; D, ; A. B C D E ( ) (ko netko želi riješiti zdtk do krj) A, B, C, D, E ). ( ) 5, ( ) 5 i ( 4) 5. 45

.8. GRANIČNA VRIJEDNOST (LIMES)FUNKCIJE NEPREKIDNOST FUNKCIJE U velikom broju situcij vžno je znti kojom se brzinom nek pojv mijenj u zvisnosti o promjeni veličine o kojoj ovisi. Isto tko, d bi se o nekoj pojvi moglo lkše donositi zključke, poželjno je grički predočiti zvisnost te pojve o nezvisnoj vrijbli (ncrtti gr promtrne unkcije). Ovdje ćemo rzviti mtemtički prt koji će nm u opisnim, li i u mnogim drugim situcijm biti od koristi. Riječ je o dierencijlnom rčunu. D bismo mogli prvilno shvtiti dierencijlni rčun, mormo uvesti pojm grnične vrijednosti (es unkcije). Zdn je unkcij ( ) 5. Rzmotrimo što se dogđ s vrijednostim te unkcije kd se s vrijednostim nezvisne vrijble približvmo broju polzeći od broj. 5.. 5. 7. 8. 9. 95. 99. 999. 9999 (). 5. 5. 5. 75.95.995.9995 Dkle, kd se približvmo po osi pscis broju s lijeve strne (tj. preko brojev koji su mnji od što pišemo ), ond unkcijske vrijednosti teže prem broju 4 preko brojev koji su mnji od 4. Znči kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 Anlogno vrijedi i ko se približvmo po osi pscis broju s desne strne (to jest preko brojev koji su veći od, što pišemo ), ko što je vidljivo iz slijedeće tblice..5....5... () 6.5 5.5 5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 Znči kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 Gornje rzmtrnje možd još zornije možemo predočiti sljedećom tblicom.5.7.8.9.95.99.999.9999...5....5.5.5.5.75.95.995.9995 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 5.5 6.5 ( 5 ) 4 ( 5 ) Prem tome, bez obzir težimo li (približvmo li se) broju s lijev ili s desn po osi pscis, odgovrjuće vrijednosti unkcije teže po osi ordint broju 4. To znči d ukoliko smo n osi pscis dovoljno blizu broju, uočvmo d su vrijednosti unkcije n osi ordint po volji blizu broju 4. To možemo zpisti : kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 U ovom slučju vrijedi : ( ) 4 i (5 ) 4 uočeno svojstvo vrijedi z svku točku područj deinicije.. Odbir točke je bio slučjn, uprvo 46

Prikžimo gornj rzmtrnj grički: 5-4 S slike je očito d u točki gr unkcije nem «lom» ni «rupe» i cijeli gr unkcije možemo ncrtti jednim potezom bez podiznj olovke s ppir. Z ovu unkciju z svko R vrijedi: Promotrimo sd unkciju z ( () ( ) ( ) 4 g ( ), D g (,) (, ). Iko unkcij nije deinirn g ) možemo se pitti kko se ponš g() kd je vrlo blizu broju, li nije jednk. Kd teži broju, brojnik 4 teži prem, li i nzivnik tkođer teži. Pitnje je što se dogđ s kvocijentom. Mogli bi konstruirti tblicu vrijednosti unkcije g () z (ko u prethodnom primjeru). Dobili bi. 4 g( ) 4 kd i z i kd Dkle, 4 4 4 i 4 4 ( ) ( ) Umjesto tog možemo pojednostvniti unkciju g( ) z 4.Uočimo gr unkcije g ( ) jednk je gru unkcije h ( ) osim što gr unkcije g u točki (,4) im ' rupu'. Pogledjmo sliku. 47

4 - - < < g () 4 g () 4 U slučju ovog primjer možemo zključiti : unkcij g( ) nije deinirn u točki i 4 4 vrijedi 4, što znči d unkcij im grničnu vrijednost u točki. Ponovimo cijeli postupk n primjeru unkcije l ( ), D (,) (, ) l.. 5. 5 4 6 4. 5. 5 6 6 4 6 4 Očito je d z unkcij l() poprim sve veće vrijednosti l ( ). Simbolički Anlogno unkcij l() poprim sve veće vrijednosti l ( ). Simbolički - - - Sd možemo uvesti pojm grnične vrijednosti unkcije. 48

Grničn vrijednost (es) unkcije kd Nek je unkcij deinirn n intervlu I R, osim možd u točki I. Od interes je ispitti ponšnje unkcije oko te točke (još kžemo u okolini točke ). Deinicij: Kžemo d je broj L R es (grničn vrijednost) unkcije : X R kd teži broju, ko je () po volji blizu broju L čim je dovoljno blizu, li ne jednk, broju. U tom slučju pišemo ( ) L Uočimo: Funkcij ne mor biti deinirn u točki u kojoj tržimo njenu grničnu vrijednost. Dovoljno je d je on deinirn u točkm koje su po volji blizu točki. ( ) (čitmo: es unkcije () s desn u ) je broj L kojem teži () kd teži broju preko vrijednosti većih od. ( ) (čitmo: es unkcije () s lijev u ) je broj L kojem teži () kd teži broju preko vrijednosti mnjih od. L Γ L () L Γ () L - Ako je ( ) ( ) L td postoji es unkcije () u. Vrijedi ( ) L. Γ Γ Γ () D D D 49

c c z svki R c c D z svki () c Ako postoji ( ) td je : k ( ) k ( ) Ako postoje ( ) i g( ) td je : Ako postoje ( ) Ako postoje ( ) > ( ( ) ± g( ) ) ( ) ± g( ) ( ( ) g( ) ) ( ) g( ), ( ) i g( ) i g( ) td je : td je: ( ) ( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] Gore nveden svojstv vrijede i z es s lijev i es s desn unkcije u točki. 5

Izrčunjte nvedene ese:.. ( ) {, } 5. e. cos e cos e cos e cos. [ ] [ ] ln ln ln [ ( ) ] [] ln Grničn vrijednost unkcije kd (Limes u beskončnosti) Ako je područje deinicije unkcije D neogrničeno s jedne ili s obje strne, ( tj. (, ) D, ( b, ) D ili D R ) znim ns d li postoji li grničn vrijednost (es) unkcije kd nezvisn vrijbl teži k ili. Ako () teži L kd postje po volji velik, td pišemo: L ( ) L. Γ 5

Vrijednost L je grničn vrijednost (es) unkcije ( grničn vrijednost u desnom krju) Slično, vrijednost L je grničn vrijednost unkcije kd krju) ( ) L. (grničn vrijednost u lijevom L Γ Npomen: Svojstv grnične vrijednosti z c c, c c Često koristimo sljedeće ese: sin vrijede i z grnične vrijednosti u beskončnosti. e ( ) e Mnoge grnične vrijednosti rčunmo pomoću gore nvedenih rezultt. 5

Beskončn grničn vrijednost Kžemo d unkcij teži prem Pišemo: kd, ko () postje po volji velik kd. ( ) Γ Anlogno ( ) Γ Grničn vrijednost može biti beskončn i u slučju desne i lijeve grnične vrijednosti. ( ) ( ) 5

( ) ( ) Ako promtrmo grnične vrijednosti kd, mogu nstupiti slučjevi: ( ) Γ ( ) Γ 54

( ) Γ ( ) Γ i Ilustrirjmo neke slučjeve: ( ) A A B 55

56 A ) ( A ) ( B ) ( B ) ( ) ( B Npomen: Ako prilikom trženj grnične vrijednosti unkcije zdne ormulom pri ormlnoj zmjeni nezvisne vrijble s brojem prem kojem teži dobijemo izrze oblik,,,,,, njih zovemo neodređenim oblicim. U tim slučjevim ne možemo ocijeniti je li t grničn vrijednost postoji ili ne. Uz metode koje su do sd zdne z rčunnje es unkcije postoje i metode s kojim ćemo se upoznti nkon uvođenj pojm derivcije.

Neprekidnost unkcije Funkcij je neprekidn u točki ko postoji ( ) i ko je ( ) ( ). D Z unkciju koj u točki nije neprekidn kžemo d je prekidn, točk zove se točk prekid. Funkcij je neprekidn n intervlu I D ko je neprekidn u svkoj točki tog intervl. Funkcij je neprekidn n intervlu ko gr unkcije nd tim intervlom možemo ncrtti ne dižući olovku s ppir. Funkcij je neprekidn ko je neprekidn u svkoj točki područj deinicije D. Opisno govoreći unkcij je neprekidn ko se njen gr n bilo kojem intervlu u njenom području deinicije može ncrtti bez podiznj olovke s ppir. Iz prethodne deinicije je očito d je pojm neprekidnosti određen pojmom es unkcije. Uočimo d je rčunnje es z neprekidnu unkcijeu veom jednostvno. Nime,ko je unkcij neprekidn u točki ond ( ) postoji i vrijedi ( ) ( ). Iz tog slijedi d se zdtk određivnj es neprekidne unkcije u točki svodi n rčunnje vrijednosti unkcije u toj točki. Iz deinicije slijedi d unkcij može biti neprekidn smo u točkm u kojim je deinirn. Obrt ne vrijedi tj. unkcij može biti deinirn u nekoj točki li d u toj točki nije neprekidn. ( ) < > () D R ( ) ( ) ( ) je točk prekid unkcije. To se lijepo može vidjeti s gr unkcije. 57

Funkcij je deinirn n segmentu [ b] iz intervl ( b),. Ako je, jsno d z tkve točke vrijedi prethodn deinicij neprekidnosti unkcije. Pitnje je što je s grničnim točkm tog segment. Z te točke neprekidnost ispitujemo jednostrno. Funkcij je neprekidn u točki ko je Funkcij je neprekidn u točki b ko je ( ) ( ). b ( ) ( b) Ako su i g neprekidne unkcije n istom intervlu I i obje su neprekidne u točki I, td su u točki neprekidne i unkcije g, g, g, ( uz uvjet g ( ) ). g Može se pokzti d su slijedeće elementrne unkcije neprekidne: konstnt, polinom, eksponencijln unkcij, logritmsk unkcij, sinus, kosinus i rkus unkcije. Funkcije ( ) e i g ) ( su neprekidne unkcije, p je neprekidn i unkcij h( ) e Kompozicij neprekidnih unkcij Ako je unkcij td je unkcij h : X Y neprekidn u točki i unkcij g : Y Z neprekidn u točki b () X Z h( ) g o ( neprekidn u točki. :, ( ) ) Z g(b) g( () ) neprekidn u h g o g neprekidn u b () b () X neprekidn u Y Z grničnu vrijednost kompozicije neprekidnih unkcij vrijedi: g( ( )) g ( ( ) ) sin sin 58

Svojstv neprekidnih unkcij Teorem: Funkcij neprekidn n segmentu [ b],, koj n krjevim tog segment poprim vrijednosti suprotnog predznk, im u br jednoj točki tog segment vrijednost nul. To možemo iskzti i ovko: ko je unkcij neprekidn n segmentu [, b] i ko je sgn ( ) sgn ( b) ( ili ( ) ( b) < ) td postoji brem jedn, b tkv d je ( c). c [ ] (b) > [ c b ] [ b c c c ] () < () < Vžno svojstvo neprekidnih unkcij kojeg ćemo koristiti kod jedne metode određivnj približnog rješenj nelinerne lgebrske jedndžbe. ( ) > i ( b) < i unkcij nije neprekidn nem nul-točke u[, b ] (b) > [ c b ] () < Funkcij je neprekidn i z svki segment [ b ], vrijedi ( ) > i ( b) >, unkcij im nultočku ( - ) 59

PROVJERA ZNANJA (grničn vrijednost, neprekidnost). Z unkciju vrijedi ( ) i ( ). Im li unkcij grničnu vrijednost u točki?. Ako postoji grničn vrijednost unkcije u točki D znči li d je unkcij neprekidn u točki? DA DA NE NE. < Je li unkcij ( ) neprekidn u točki? DA NE 4. < Je li unkcij ( ) neprekidn u točki? DA NE 5. cos DA NE 6. sin DA NE 7. 8. Postoji?,? DA NE DA NE 9. e?, e?, e? DA NE. ln?, ln? DA NE. e sin DA NE 6

ODGOVORI (grničn vrijednost, neprekidnost). NE. NE. NE 4. DA 5. NE 6. DA 7., 8. NE 9.,,.,. DA 6

RIJEŠENI ZADACI (grničn vrijednost, neprekidnost) - Zdtk: Ispitjte grnične vrijednosti unkcije ( ) n rubovim područj deinicije. R: Funkcij nije deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koju je tj. z. Možemo zključiti D (,) (, ). - - - - - Zdtk: Izrčunj: ), b) ), b) : ( ) : 6

- Zdtk: Ispitjte grnične vrijednosti unkcije R: ) ( ) n rubovim područj deinicije. ( Funkcij nije deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koju je. ( ) i D (, ) (,) (, ) - - - 5 4 5 4 - Zdtk: Izrčunjte ( ). Koristimo poznti es ( ) e. ( ) ( ) ( ) e : : 6

- Zdtk: Zdn je unkcij ( ). Izrčunjte ( ), ( ), te ispitjte ln ponšnje unkcije u okolini točke. ( ) ln Funkcij nije deinirn z vrijednost nezvisne vrijble z koju je ln. Kko je deinirn z >. Znmo d je to ln deinirno z > ( (, ) ) možemo zključiti unkcij ( ) je ln i. D (,) (, ) ili D (, ) \ { }. U dljnjem rčunu pomoći će nm gr unkcije ln. ln ln ln ' ln ln cos sin - Zdtk: Izrčunjte. sin Koristimo poznti es cos sin sin sin cos cos 64

- Zdtk: Ispitjte ponšnje unkcije i > ( ) n rubovim područj deinicije. < - > < - D (,) - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ). Izrčunjte ' ( ), ( ), ( ), ( ). ( ) Funkcij je deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koje vrijedi i - 65

D (, ] (, ) ili R \ (,] D : : Anlogno Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ) ln. Pokžite d nem d nul točk. Ispitjte ponšnje unkcije n rubovim područj deinicije. ( ) ln Funkcij ln je deinirn z pozitivne vrijednosti rgument, p mor vrijediti > i. - D (,) (, ) ln kontrdikcij Zključk: Zdn unkcij nem nul-točk. : ln ln ln : 66

67 Anlogno : : ln ln ln ln ln ln - Zdtk: Izrčunjte. ) ( ) ( ) )( ( - Zdtk: Postoji li 4? 4 4 ( ) 4 ) ( 4 8 Očito d ne postoji ov grničn vrijednost. - Zdtk: 6 6 e - Zdtk: Odredite R tko d je unkcij > ) ( z z neprekidn. Funkcij je neprekidn ko je neprekidn z svki D. Z < i z > unkcij je polinom p je neprekidn. Dkle treb postviti uvjet neprekidnosti unkcije u točki. ) ( () ) ( ) ( ( ) 6 ( ) 4 ) ( 4 6

- Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije z ( ). z > Ispitjte ponšnje unkcije n rubovim područj deinicije. Pokžite d je unkcij neprekidn u točki. Z unkcij poprim vrijednosti zdne ormulom. Kko je tj izrz deinirn z svko možemo zključiti d je unkcij deinirn n intervlu (, ]. Z > unkcij poprim vrijednosti zdne ormulom. Tj izrz nije deinirn z vrijednosti i. Kko promtrmo smo pozitivne vrijednosti rgument možemo zključiti d je unkcij deinirn z (,) (, ). Funkcij je deinirn z, (,) (, ). Nkon sređivnj končno dobijemo ( ] D (, ) (, ) Vrijedi ( ), i. Možemo zključiti () tj. unkcij je neprekidn u točki. 68

ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (grnične vrijednosti, neprekidnost). N slici je zdn gr unkcije. Odredite područje deinicije unkcije i dole nvedene grnične vrijednosti (ukoliko ih im smisl rčunti) 5 4 - - Odredite (ko postoje): ) * ( ), ) ( ), ) ( ), 4) ( ) *, 5) ( ) 6) * ( ), 7) ( ), 8) ( ), 9) ( ) *, ) ( ). 4. Ako postoje izrčunjte sljedeće grnične vrijednosti: ) ) ( ), ), 4) *, 5. Izrčunjte nvedene ese: ) 5, ) ( ), ) ( 5), 5 4) ( 5), 5), 6) 4 e, e, 7), 8), 9), ) 4. Izrčunjte nvedene ese: ), ), ) ln ( ) 4), 5), 6) 7) 69

5. N slici je zdn gr unkcije: - Odredite područje deinicije, nul-točke i intervle monotonosti. Je li unkcij neprekidn u točki? 6. Ispitjte neprekidnost unkcije () u točki, 7. Je li moguće odrediti R tko d je unkcij u točki? sin < ( ). e < ( ) neprekidn 8. Je li unkcij ln < e ( ) neprekidn u točki e? e e 7

RJEŠENJA (grničn vrijednost, neprekidnost). područje deinicije je D (, ] ) * ( ), ) ( ) nem smisl, ) ( ), 4) ( ) *, 5) ( ), 6) * ( ) 5, 7) ( ), 8) ( ) nem grničnu vrijednost, 9) * ( ) nem smisl, ) ( ) 4.. ) ne postoji, ) postoji i, ), 4) *. ), ), ), 4) 5, 5), 6), 7), 8), 9), ), ) 4 4..),.),.), 4.), 5.) 6.), 7.) 5. [, ) D, nul-točk, ( ) ( ) () 6. Funkcij je neprekidn u točki 7. D,. 8. Ne. 7