73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je onda je i, dakle, (44) x = 0, y = f(x + ) f(x) f(x + ) f(x) = k za svako x i svako 0. Broj k, koji smo nazvali nagibom prave y = kx + n, meri brzinu promene veličine y u odnosu na x. U opštem slučaju, količnik y/ x zavisi i od x i od ; npr. ako je y = x 2, onda je y x = (x + )2 x 2 = 2x +. Ako oćemo da merimo brzinu promene funkcije f, možemo fiksirati, stopu promene promenljive x, i razmatrati količnik (45) M f(x) = f(x + ) f(x).
74 7 DIFERENCIRANJE U ekonomskoj teoriji se funkcija M f naziva marginalnom funkcijom. Na primer, ako f(x) označava trošak proizvodnje x jedinica, onda se uzima = i odgovarajuća marginalna funkcija označava se sa M f, Mf(x) = f(x + ) f(x). Dakle M f(x), marginalna funkcija troškova, predstavlja povećanje troškova pri povećanju proizvodnje za jednu jedinicu. U nekim slučajevima, npr. kod proizvodnje vode, mogli bismo uzeti male vrednosti, pa bismo imali (46) M f(x) = f(x + ) f(x), po jednu marginalnu funkciju za svako. Tako definisana marginalna funkcija, pored toga što zavisi od, može biti suviše komplikovana. Na primer, ako je tada je f(x) = 200 + x, (47) 200 + x + 200 + x M f(x) = = 200 + x + + 200 + x (Proverite množenjem!) Umesto tog izraza koristi se sledeći, prostiji: (48) Mf(x) = 2 200 + x. Fukciju (48) dobili smo od funkcije (47) uzimajući,,male vrednosti, tj. stavljajući = 0. Reč,,malo nema apsolutno značenje; npr. ako f(x) predstavlja funkciju troškova i ako je količina proizvoda, x, velika 5, onda je = malo. Izvod funkcije Neka je f realna funkcija definisana u nekom intervalu (a, b). Dešava se da sve marginalne funkcije M f (vidi (46)) izgledaju kao jedna, za male vrednosti, pozitivne i negativne. Ta jedna se zove izvodna funkcija (ili izvod) 5 Mada ni reč,,velika nema apsolutno značenje.
7. Marginalna funkcija i izvod 75 funkcije f i označava se sa f. Na primer, ako je f(x) = 200 + x, onda je, kako videsmo, f (x) = 2 200 + x. Najprostija situacija javlja se kod linearne funkcije f(x) = kx + n. Tada su sve marginalne funkcije medjusobno jednake, konstantne, i jednake nagibu k (vidi (44)); dakle, f (x) = k. Posebno, izvod konstante jednak je nuli. Drugi primer: Neka je f(x) = x 2. Tada je M f(x) = (x + )2 x 2 = 2x + 2 ( 0). Ovde ne možemo staviti = 0, ali možemo skratiti, M f(x) = 2x +, pa staviti = 0. Dakle, f (x) = 2x. Tako ne možemo postupiti u slučaju funkcije f(x) = e x. Tada je f(x + ) f(x) = ex+ e x = e x e Potrebno je malo više truda da bi se dokazalo ( 6 ) da je f (x) = e x. Još jedan primer: Ako je f(x) = x,. onda je M f(x) = = x + x (x + )x = (x + )x. 6 dokaz izostavljamo
76 7 DIFERENCIRANJE Stavljajući = 0, dobijamo f (x) = x 2. Funkcija ne može imati dva izvoda u jednoj tački, a može se desiti da ga u nekoj nema. Ponekad se razlog nalazi u tome što smo dužni da razmotrimo M f i za negativne, ne samo za > 0. Na primer, funkcija f(x) = x nema izvod u tački x = 0; to je zato što je M f(0) = f(0 + ) f(0) = = { za > 0, za < 0. Dakle, vrednosti u nuli marginalni funkcija M f sa negativnim,,daleko su od vrednosti M f sa pozitivnim. Sve u svemu, izvod je koristan bar zato što daje približnu vrednost marginalne funkcije; jednostavniji je od marginalne funkcije. Domen izvodne funkcije može biti uži od domena funkcije. Na primer, ako je f(x) = x, onda je domen(f) = (, ) a domen(f ) = (, 0) (0, ). Zadatak 57. Nadjite vrednosti marginalne funkcije M f(x) ako je f(x) = x 2 i (a) x = 50, = ; (b) x =, = 0.0; (c) x =, = 0.0. Zadatak 58. Odredite izvod funkcije f čiji je grafik prikazan na slici 23, znajući da je izvod linearne funkcije jednak nagibu. Zadatak 59. Nadjite izvod funkcije f razmatrajući marginalnu funkciju M f za male vrednosti : (a) f(x) = x 2 ; (b) f(x) = 2 + x; (c) f(x) = 2x x. Rešenje (c). Kritično mesto je kako napisati f(x + ); ovde imamo f(x + ) = = 2(x + ) (x + ) 2x + 2 x ( Zamenili smo x sa (x + ) ) i oslobodili se zagrada.
7.2 Tangenta i nagib krive 77........................................................................... Slika 23: Izlomljena linija 2 3 4 2........................................................................... Dakle, M f(x) = 2x + 2 x 2x x = (2x + 2 )( x) (2x )( x ) ( x )( x) (Uprostili smo ( x )( x) = Sada ovaj razlomak možemo kratiti sa 0, M f(x) = ( x )( x), a sada ima smisla uzeti = 0; dakle, f (x) = ( x) 2. brojilac.) 7.2 Tangenta i nagib krive Nagib krive y = f(x) u tački A(x, f(x)) jednak je, po definiciji, nagibu,,tangente u tački A, ako tangenta postoji. Nagib tangente jednak je tan θ
78 7 DIFERENCIRANJE (vidi sliku 24). Da bismo ga odredili, možemo odrediti nagib sečice AB, gde je B(x +, f(x + ) ) bilo koja tačka na krivoj, B A. Nagib sečice jednak je k AB = f(x + ) f(x) = M f(x). Ako je malo, onda je B blizu A i nećemo moći da razlikujemo sečicu od tangente, pa ni niove nagibe (na slici 25 prikazane su tri sečice). A u stvari, s obzirom da je marginalna funkcija M f(x) približno jednaka f (x), nagib tangente u tački (x, f(x)) jednak je f (x). Držeći se toga, sa grafika funkcije možemo pročitati gde je njen izvod jednak nuli, gde je pozitivan ili negativan. Pored toga, možemo videti gde izvod ne postoji. Naime: Izvod je jednak nuli tamo gde grafik ima orizontalnu tangentu. Izvod je pozitivan tamo gde je nagib tangente pozitivan. Izvod je negativan tamo gde je nagib tangente negativan. Izvod ne postoji u tački u kojoj funkcija nema tangentu ili ima vertikalnu tangentu. Na primer, funkcija sa slike 23 nema izvod u tačkama x =, x = 3. Slika 24: y (x+, f (x+)) B y=f(x) y y=f(x) A (x, f(x)) x A θ x
7.3 Izvod kao trenutna brzina 79 Slika 25: Tri sečice y y y B B A A θ θ2 θ x x A x Zadatak 60. Na slici 26 označeno je 5 tačaka na krivoj y = f(x). Odredite znak izvoda u svakoj od nji. U kojoj od tačaka je izvod najveći? u kojoj je najveći po apsolutnoj vrednosti? Zadatak 6. Skicirajte grafik krive y = f (x), gde je f(x) funkcija prikazana na slici 26. y Slika 26: A C D E B x 7.3 Izvod kao trenutna brzina Zamislite da ste 3 sata vozili automobil od mesta A do mesta B. U svakom momentu t [0, 3] bili ste na nekom rastojanju od mesta A; označimo to rastojanje sa r(t). Uz prepostavku da nije bilo vraćanja unazad, ni sudaranja,
80 7 DIFERENCIRANJE Slika 27: 200 r(t) 50 00 50 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 t grafik fukcije r(t) mogao bi izgledati kao na slici 27. U svakom trenutku t brzinomer pokazuje trenutnu brzinu v(t), koja je približno jednaka srednjoj brzini u vremenskom intervalu izmedju t i t + za sve male ; dakle, v(t) r(t + ) r(t) Kako je, s druge strane, r(t + ) r(t) r (t), ( = predjeni put potrošeno vreme to je trenutna brzina jednaka izvodu rastojanja od početne tačke, ). v(t) = r (t) Reći da je r (t 0 ) = 0 isto je kao reći da ste se u momentu t 0 zaustavili. Šta ste radili ako je r (t 0 ) < 0? 7.4 Izvodi elementarni funkcija Na strani 82 imate tablicu izvoda osnovni elementarni funkcija. Da bismo je verifikovali, morali bismo imati preciznu definiciju svake funkcije i preciznu definiciju izvoda, na čemu se ovoga puta nećemo zadržavati.
7.4 Izvodi elementarni funkcija 8 Izvode neki funkcija možemo pročitati iz tablice; na primer, ( 3 x ) = (x /3 ) = (/3)x /3 = (/3)x 2/3. Još jedan primer: ( x 2 ) = ( x 2 ) = 2x 3 = 2 x 3. Nadjite izvod funkcije f(x) = x x. Nadjite izvod funkcije f(x) = ln 3. Operaciju nalaženja izvoda zovemo diferenciranje. Komplikovanije funkcije diferenciramo služeći se tablicom i pravilima koja slede. Izvod zbir i razlike Važe formule (49) (f + g) = f + g (izvod zbira = zbiru izvoda), (f g) = f g (izvod razlike = razlici izvoda). Na primer, (x 2 + e x ln x) = (x 2 ) + (e x ) (ln x) = 2x + e x x. Objašnjenje. primer: Navedena pravila trebalo bi preciznije formulisati; na Ako su funkcije f i g diferencijabilne u intervalu (a, b), onda je i funkcija f + g diferencijabilna u (a, b) i važi jednakost (f + g) (x) = f (x) + g (x). Za funkciju kažemo da je diferencijabilna u (a, b) ako ima (konačan) izvod u svakoj tački iz (a, b). Da bismo videli poreklo pravila (49), treba da razmotrimo marginalnu funkciju M F, gde je F = f + g : M F (x) = = f(x + ) + g(x + ) f(x) g(x) f(x + ) f(x) f (x) + g (x). + g(x + ) g(x)
82 7 DIFERENCIRANJE Tabela 3: Tablica izvoda f(x) f (x) C 0 C=const. x x 2 2x x n nx n n = const. R x x 2 x 2 x e x e x e kx ke kx k=const. ln x ln(x + b) x x + b b=const. Ovo je mala, praktična tablica. Da bi se računao izvod proizvoljne elementarne funkcije, trebalo bi imati u vidu i sledeće formule: (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tan x) = cos 2 x, (cot x) = sin 2 x, (arcsin x) = x 2, (arctan x) = + x 2.
7.4 Izvodi elementarni funkcija 83 Dakle, funkcija f + g je ona kojoj je M F približno jednaka, i zato je F = f + g. Linearnost Ako je k konstanta, onda važi formula (kf) = kf To svojstvo zajedno sa (49) čini ono što se zove linearnost operacije diferenciranja. Primer: ( ln x ) ( ) = 2 2 ln x = 2 (ln x) = 2x. Izvod proizvoda Pri diferenciranju proizvoda koristimo pravilo (50) (fg) = f g + fg Drugi: Primeri. Prvi: (x 2 ln x) = (x 2 ) ln x + x 2 (ln x) = 2x ln x + x. ( ln x x ) = ( x /2 ln x ) (5) = ( x ) /2 ln x + x /2 (ln x) = 2 x 3/2 ln x + x /2 x ( = x 3/2 ). 2 ln x + (= 2 x 3/2 ln x + x 3/2 ) Treći: ( x e 2x ) = ( xe 2x ) ( = e 2x + x( 2)e 2x (e 2x ) = ( 2)e 2x, ) = ( 2x)e 2x. vidi tablicu.
84 7 DIFERENCIRANJE Objašnjenje. U slučaju pravila proizvoda razmatramo M F, gde je F = fg. Tada važi ovo: M F (x) = f(x + )M g(x) + g(x)m f(x) f(x)g (x) + g(x)f (x). Ako oćete da proverite, podjite od izraza f(x + )M g(x) + g(x)m f(x). Izvod količnika U slučaju količnika radi formula (52) ( f g ) = f g fg g 2 Primer: ( ln x ) (ln x) x (ln x)(x) = = x x 2 x (ln x) x x 2 = ln x x 2. Zadatak 62. Pomoću pravila količnika nadjite izvod funkcija f(x) = ln x x, pa postupak uporedite sa (5). Objašnjenje. Da bismo videli otkud potiče pravilo količnika, stavimo ϕ = f/g. Tada je f = gϕ, pa primena pravila proizvoda daje f = g ϕ + ϕ g = g f g + ϕ g. Odatle sledi ϕ = g ( f g f ) = f g g f. g g 2
7.5 Izvod složene funkcije 85 7.5 Izvod složene funkcije Ako je funkcija f zadata kao kompozicija dve funkcije, f(x) = g(u(x)), onda izvod od f računamo po formuli (53) f (x) = g (u(x)) u (x), (pod uslovom da su funkcije g i u diferencijabilne). Posebno, ako je g(x) = x n, tada je f(x) = (u(x)) n, pa iz (53) sledi f (x) = n(u(x)) n u (x); kraće, (u n ) = nu n (u) Ta se zove pravilo stepena, a sledeće je pravilo eksponenta: (e u ) = e u (u) Primeri: (e 2x ) = e 2x (2x) = 2e 2x, (e x ) = e x, ( e x 2 ) = e x 2, ( (x 2 + ) 7 ) = 7(x 2 + ) 6 (x 2 + ) = 4(x 2 + ) 6 x, ( x 2 + ) = 2 x 2 + (x2 + ) = x x2 +. 7.6 Logaritamski izvod Kao poseban slučaj pravila za izvod složene funkcije imamo sledeće: Kraće: Ako je f(x) = ln u(x), tada je f (x) = u (x) u(x). (54) (ln u) = u u = u u
86 7 DIFERENCIRANJE Na primer, ( ln(2x + ) ) = 2x + (2x + ) = 2 2x +. Izraz (ln u) = u /u zove se logaritamski izvod funkcije u. Ako je u > 0, onda on predstavlja trenutnu procentualnu ( 7 ) brzinu promene funkcije u. Primer neprekidnog ukamaćivanja. Kao što znamo, pri primeni metode neprekidnog ukamaćivanja kapital raste po formuli K(t) = K 0 e pt, gde je K 0 početni kapital a p nominalna godišnja stopa. Trenutna apsolutna brzina rasta kapitala u momentu t jednaka je je K (t) = K 0 pe pt, a trenutna procentualna brzina: (ln K) = (ln K 0 + pt) = p. Drugim rečima, trenutna procentualna brzina jednaka je nominalnoj godišnjoj stopi. Ako je u < 0, onda izraz ln u nije definisan, ali u /u jeste, pa i tada logaritamski izvod može biti od koristi za diferenciranje. Primer: Funkcija f(x) = x x (x > 0) nije ni stepena ni eksponencijalna jer se menjaju i osnova eksponent. Stavimo y = x x ; logaritmujemo: ln y = x ln x; diferenciramo obe strane: (ln y) = (x ln x) ; dakle y y = + ln x. Odavde sledi y = ( + ln x)y = ( + ln x)x x. Primer: y = 3 x 3 3x = (x 3 3x) /3. Prvo: ln y = 3 ln(x3 3x). 7 tj. relativnu
7.7 Izvodi višeg reda 87 Drugo: Dakle, Uprostimo: y y = (x 3 3x) 3 x 3 3x = x2 x 3 3x. y = x2 x 3 3x y = x2 x 3 3x (x3 3x) /3. y = x 2 (x 3 3x) 2/3. (Naravno, izvod se mogao naći i po pravilu stepena.) Nadjite y. 7.7 Izvodi višeg reda Diferenciranjem funkcije f dobijamo novu funkciju f. Izvod te nove funkcije zove se drugi izvod funkcije f i označava se sa f. Na primer, ako je f(x) = x 3, onda je f (x) = 3x 2, pa je f (x) = (3x 2 ) = 6x. Na sličan način odredjujemo treći izvod, tj. izvod trećeg reda, f (x), itd. Izvod reda n označavamo sa f (n). Zanimljiva je funkcija f(x) = e x : (e x ) = e x ; dakle (e x ) = (e x ) = e x ; dakle (e x ) = e x. Znači, izvod bilo kog reda funkcije e x jednak je samoj funkciji. S druge strane, postepenim diferenciranjem polinoma stepena n zaključićemo da je izvod reda n + jednak nuli. U opštem slučaju teško je naći pravilo po kome se nižu izvodi neke funkcije, mada možemo naći izvod bilo kog zadatog reda (ako imamo dovoljno vremena). 7.8 Diferencijal Pretpostavimo da su dve veličine, označimo i sa y i x, povezane formulom y = f(x), gde je f : (a, b) R, diferencijabilna funkcija. U opštem slučaju, promena veličine x izaziva promenu veličine y. Označimo te promene sa x i y : (55) y = f(x + x) f(x).
88 7 DIFERENCIRANJE Iz definicije izvoda sledi da je (56) y x f (x), y f (x) x. za,,relativno male vrednosti x. Izraz f (x) x se zove diferencijal funkcije f u tački x i označava se sa df ili dy. Piše se i dx umesto x, tako da je (57) dy = f (x) dx, i (58) dy dx = f (x). Ove oznake su korisne. složene funkcije: Na primer, lako je zapamtiti pravilo za izvod dy dx = dy du du dx. Primer 7.. Diferencijal može poslužiti za procenu stvarne promene. Razmotrimo funkciju prioda R(x) = 00x 2 x2. Povećanje prioda pri povećanju proizvodnje sa 50 na 5 jednako je R = R(5) R(50) = 49.5. Pomoću diferencijala nećemo dobiti tačnu vrednost, ali ćemo dobiti zadovoljavajuću procenu na mnogo prostiji način. Naime, imamo dr dx = 00 x. U našem slučaju je x = 50, dx = ; dakle, R dr = 50 = 50.
7.9 Ekstremne vrednosti 89 7.9 Ekstremne vrednosti Ako funkcija f na nekom skupu D ima bezbroj vrednosti, nije izvesno da li medju njima postoje najveća i najmanja. Na primer, funkcija f(x) = x 2 na skupu D = (, ) ima najmanju vrednost, jednaku nuli, ali nema najveću. Zapravo sve vrednosti funkcije f čine skup [0, ). Najveća vrednost funkcije f na skupu D zove se apsolutni maksimum, ili globalni maksimum, ili samo maksimum, od f na D. Informaciju da je apsolutni minimum od f na skupu D jednak M zapisujemo, recimo, na sledeći način: max x D f(x) = M (slično za minimum). A da bismo pokazali da je max x D f(x) = M, dovoljno je da pokažemo dve stvari: (a) M f(x) za svako x D; (b) M = f(x) bar za jedno x D. Primer: Funkcija f(x) = x 2 ima apsolutni minimum na skupu [, 2); tačnije min x 2 =, x [0,) jer je f(x) za svako x [0, ) i = f(). Ali maksimum ne postoji. (Ako ste pomislili da je 4 maksimum, pogrešili ste uslov (b) nije ispunjen.) Primer: Funkcija može imati samo jedan maksimum ali se on može dostići u dve (ili više tačaka). Na primer, funkcija f(x) = x 2 dostiže maksimum u dve tačke: x =, x 2 =. Zadatak 63. Nacrtajte grafik funkcije f(x) = x 2 2x pa odredite sledeće brojeve: max f(x), x [2,3] max f(x), x [,2] min f(x), x [2,3] min f(x). x [,2] Lokalne ekstremne vrednosti Kaže se da funkcija f ima u tački c (a, b) lokalni maksimum ako je f(c) f(x) za svako x iz nekog intervala (α, β) c (vidi sliku 28(a)). Prema tome,
90 7 DIFERENCIRANJE lokalni maksimum je absolutni maksimum na,,kratkom intervalu (vidi slike 28(b)(c)). Lokalni minimum se definiše na sličan način. Primer: Funkcija f(x) = x 2 (x ) ima lokalni maksimum u tački x = 0 jer je f(0) = 0 x 2 (x ) za (α, β) = (, ). S druge strane, f nema ni najveću ni najmanju vrednost na intervalu (, ). Slika 28: f(a) f(a) f(b) a x 0 x b f(b) a x 0 x b (a) apsolutni maksimum=f(a), apsolutni minimum=f(b), lokalni minimum u tački x 0, lokalni maksimum u tački x (b) (c) Stacionarne tačke Neka je data funkcija f : (a, b) R. Tačku c (a, b) nazivamo stacionarnom (tačkom funkcije f) ako je f (c) = 0. Dakle, stacionarne tačke nalazimo rešavanjem jednačine f (x) = 0. Stacionarne tačke nalazimo na dijagramu tamo gde grafik funkcije ima orizontalnu tangentu. Na slici 29 vidite grafik jedne funkcije definisane na intervalu [.2,.7]. Obeležite tačke x, x 2, x 3 na x-osi u kojima f ima lokalni maksimum ili minimum; uverite se da su tangente u odgovarajućim tačkama na grafiku orizontalne, što znači da je f (x ) = 0, itd. Uopšte, važi sledeći stav:
7.9 Ekstremne vrednosti 9 Slika 29: f(x) = 0x 4 5x 3 0x 2 + 5x 0 5 0.5 0.5.5 x 5 Stav. Ako funkcija f : (a, b) R ima lokalnu ekstremnu vrednost u tački c (a, b) i ako je f diferencijabilna u c, onda je c stacionarna tačka funkcije f. S druge strane, ako je c stacionarna tačka funkcije f, to još ne znači da f ima ekstremnu vrednost u c. Na primer, tačka x = 0 je stacionarna za funkciju f(x) = x 3, ali f uopšte nema ekstremni vrednosti (vidi sliku 30). Slika 30: Dva dijagrama funkcije f(x) = x 3 3 2.5 0.5 0 0.5.5 2 3
92 7 DIFERENCIRANJE Ako f ima drugi izvod u stacionarnoj tački c i ako je f (c) 0 onda f ima ekstremnu vrednost u c : Stav 2. Neka je c stacionarna tačka funkcije f, koja ima drugi izvod. Ako je f (c) > 0, onda f ima lokalni minimum u c ; ako je f (c) < 0, onda f ima lokalni maksimum u c. Globalne ekstremne vrednosti Pretpostavimo da je funkcija f definisana i neprekidna u (zatvorenom) intervalu [a, b]. Tada f ima najveću i najmanju vrednost. Da bismo i našli, postupamo na sledeći način: (i) Nalazimo stacionarne tačke u (otvorenom) intervalu (a, b); neka su to, recimo, x, x 2, x 3. (ii) Nalazimo tačke u kojima f nije diferencijabilna; pretpostavimo da smo našli jednu: x = n. (iii) Računamo vrednost funkcije u pretodno nadjenim tačkama i na krajevima a i b. Dakle, imamo sledeće brojeve: f(x ), f(x 2 ), f(x 3 ), f(n ), f(a), f(b). (iv) Medju pretodno nadjenim vrednostima nalazimo najveću i najmanju. Zaključujemo: najveća (odn. najmanja) vrednost funkcije jednaka je najvećoj (odn. najmanjoj) vrednosti iz koraka (iii). Koraka (ii) najčešće nema, ali treba biti oprezan. Monotonost Funkciju f, definisanu u intervalu (a, b) nazivamo (striktno) rastućom ako se njena vrednost povećava pri povećanu vrednosti nezavisne promenljive; tačnije, f je rastuća ako iz x 2 > x sledi f(x 2 ) > f(x ).
7.9 Ekstremne vrednosti 93 Slično tome, f je opadajuća ako iz x 2 > x sledi f(x 2 ) < f(x ). Na primer, funkcija f(x) = 2x 3 je rastuća na intervalu (, ) jer iz pretpostavke x 2 > x sledi 2x 2 3 > 2x 3. Funkcija f(x) = /x opada na intervalu (0, ) jer iz x 2 > x > 0 sledi /x 2 < /x. Tačkom zaokreta funkcije f nazivamo takvu tačku c koja ima svojstvo da u njoj,,f menja smisao monotonosti ; to znači da se može naći δ > 0 tako da je ispunjen jedan od uslova: (a) f(x) raste za x (c δ, c] a opada za x [c, c + δ); (b) f(x) opada za x (c δ, c] a raste za x [c, c + δ). U tački zaokreta f ima ekstremnu vrednost. Monotonost i prvi izvod Iz informacije da je (diferencijabilna) funkcija f rastuća u (a, b) možemo zaključiti da je f (x) 0. Važnije je to što posedujući informaciju o pozitivnosti izvoda, možemo zaključiti da funkcija raste: Stav 3. Ako je f diferencijabilna u (a, b) i ako je f (x) > 0 za svako x (a, b), tada je f rastuća. Drugim rečima, ako je nagib krive y = f(x) svuda pozitivan, onda funkcija f raste. Dakle, da bismo videli gde funkcija raste, dovoljno je da rešimo nejednačinu f (x) > 0 ; slično, nejednačina f (x) < 0 pokazuje gde f opada. Medjutim, često je u praksi dovoljno naći stacionarne tačke, tj. rešiti jednačinu f (x) = 0. Uzmimo, recimo, da funkcija ima dve stacionarne tačke, x, x 2, u intervalu (a, b). Tada imamo tri intervala: (a, x ), (x, x 2 ), (x 2, b). Znamo unapred da je f monotona u svakom od nji ponaosob. Da bismo videli da li raste ili opada, dovoljno je da testiramo znak izvoda u tri izabrane tačke: c (a, x ), c 2 (x, x 2 ), c 3 (x 2, b).
94 7 DIFERENCIRANJE Konveksne i konkavne funkcije Pretpostavimo da je f neka funkcija definisana u intervalu (a, b). Kažemo da je f konveksna ako se svaka tetiva grafika nalazi iznad grafika (vidi sliku 3, tetiva AB). Ako je f diferencijabilna, tada se njena konveksnost može okarakterisati jednim od svojstava: (a) Svaka tangenta je ispod grafika. (b) Nagib funkcije raste. Pogledajte sliku 3 i uverite se da su nagibi tetive AB i tangenti AD i BE u sledećem odnosu: k AD < k AB < k BE. To pokazuje da iz pretpostavke da je f konveksna sledi da nagib raste; može se dokazati da važi i obrnuto, tj. da iz pretpostavke da nagib raste sledi da je f konveksna. Slika 3: B D A E C 0 Označimo sa N(x) nagib funkcije u tački x. Znamo da je N(x) = f (x). Ako pretpostavimo da N ima prvi izvod, tj. da f ima drugi izvod, onda
7.0 Implicitno zadate funkcije 95 N(x) raste ako je N (x) > 0 za svako x (a, b). A kako je N (x) = f (x), znači da važi sledeći stav: Stav 4. Ako funkcija f ima drugi izvod u (a, b) i ako je f (x) > 0, onda je f konveksna u (a, b). Obrnuto, ako je f konveksna i ima drugi izvod u intervalu (a, b), onda je f (x) 0 u (a, b). Priča o konkavnim funkcijama je slična. Kažemo da je f konkavna ako se svaka tetiva grafika nalazi ispod grafika. Stav 5. Ako funkcija f ima drugi izvod u (a, b) i ako je f (x) < 0, onda je f konkavna u (a, b). Obrnuto, ako je f konkavna i ima drugi izvod u intervalu (a, b), onda je f (x) 0 u (a, b). 7.0 Implicitno zadate funkcije Ima slučajeva kad su dve veličine, x i y, povezane formulom u kojoj nijedna od nji nije,,subjekat, tj. koja se nije napisana ni kao y =... ni kao x =... ; na primer, (59) y 5 y + e x x = 0. Da bismo analizirali ovakvu vezu, moramo se prvo dogovoriti koje je od dva slova,,nezavisna promenljiva. Neka to bude x. To znači da x možemo birati kako oćemo. A kad ga odaberemo, onda y zavisi od tog izbora; zato slovo y zovemo,,zavisna promenljiva. Ako u našem primeru uzmemo x = 0, onda iz (59) dobijamo jednačinu y 5 y = 0, koja ima tri rešenja: y {, 0, }. To znači da ne postoji funkcijska (tj. jednoznačna) zavisnost y od x. U opštem slučaju (ne u ovom) može se desiti da za izabrano x ne postoji nijedno y; primer: y 2 + x 2 + = 0. Vratimo se na (59). Pretpostavimo da imamo diferencijabilnu funkciju y = f(x) za koju znamo jedino da zadovoljava jednačinu (59). Iako y ne
96 7 DIFERENCIRANJE možemo stvarno izraziti u obliku y = f(x), izvod možemo naći na sledeći način: Dakle, Iz (59) sledi: (y 5 y + e x x ) = 0 (y 5 y + e x x ) = 5y 4 y y + e x Odatle dobijamo: (60) y = ex 5y 4. = (5y 4 )y + e x = 0. Prema ovome, izvod funkcije nekoj tački možemo naći samo ako znamo vrednost funkcije u toj tački. A ni tačka ni domen funkcije ne mogu se zadati napamet zato što su y i x vezani formulom (59). Na primer, ako smo odnekud saznali da je domen neki interval koji sadrži nulu, onda ćemo staviti x = 0 u (59); dobićemo, kako smo videli, tri rešenja: y {, 0, }. Stavljajući, redom, y =, 4y = 0, y = u (60), dobićemo sva tri puta y = 0. Kako su matematičari dokazali, iz toga sledi da postoje tri funkcije, y = a(x), y = b(x), y = c(x) koje su definisane u otvorenom intervalu I 0, koje zadovoljavaju jednačinu (59) za x I, i, pored toga, a(0) = 0, b(0) =, c(0) =, a (0) = 0, b (0) = 0, c (0) = 0. Grafike ti funkcija možete videti na slici 32. (6) (62) x 3 + 4xy 2y 3 3 = 0, x 4 + xy + y 4 = 3. 7. Zadaci 65. Nadjite i klasifikujte stacionarne tačke sledeći funkcija: (a) f(x) = 3x 2 + 6x 20; (b) g(x) = 3 x3 2x 2 + 3x 5;
7. Zadaci 97 Slika 32: y 5 y + e x x = 0 b(x) a(x) 2 2 2 2 c(x) (a) (b) 2 Slika 33: 0 2 0 2 3 (a) x 3 + 4xy 2y 3 3 = 0 (b) x 4 + xy + y 4 = 3 64. Na slici je prikazana funkcija 3 f(x) = x 2, x [, 3]. Uverite se da f nema stacionarni tačaka. Nadjite lokalne ekstremne vrednosti. Nadjite najveću i najmanju vrednost funkcije. 2 2 3 x
98 7 DIFERENCIRANJE (c) (x) = 2x 3 + 3x 2 + 2x 6; (d) f(x) = x + x 2. 66. Nadjite najveću i najmanju vrednost (ako postoji) sledeće funkcije na intervalu I: (a) f(x) = 3x 2 + 6x 20, I = [0, 3]; (b) g(x) = 3 x3 2x 2 + 3x 5, I = [0, 4]; (c) (x) = 2x 3 + 3x 2 + 2x 6, I = [0, 4]; (d) f(x) = x + x 2, I = (0, + ). 67. Skicirajte grafike funkcija iz zadatka 66. 68. Odredite nagib sledeće funkcije i jednačine tangenti u datim tačkama: (a) f(x) = x 4 3x 2 + 3, x = 0, x = ; (b) g(x) = x + x, x = 2, x = 2; (c) (x) = x 3 2x + 2, x =, x =. 69. Data je funkcija f(x) = xe x/0. Odredite intervale monotonosti. Nadjite najveću i najmanju vrednost na intervalu (a) [0, ), (b) [9, 20]. 70. Za svaku od funkcija iz zadatka 65 odredite intervale monotonosti, pa na osnovu toga nadjite lokalne ekstreme. 7. Data je funkcija y = 3 x. Nadjite dy za x = 8, dx =. Na osnovu toga procenite y = 3 9; uporedite dobijeni rezultat sa onim koji daje kalkulator. 72. Data je funkcija f(x) = ln x x, x <. (a) Nadjite najveću i najmanju vrednost funkcije. (b) Dokažite da je ln x x/e za x >. (c) Nadjite tačku u kojoj f ima najveći nagib. (d) Nadjite prevojne tačke. (e) Skicirajte grafik na intervalu [, 5]. (f) Napišite jednačinu sečice kroz tačke (, f()) i (e, f(e)). (g) Dokažite nejednakost ln x x x e(e ), 0 < x < e.
7. Zadaci 99 73. Data je funkcija f(x) = x 3 6x 2 + 9x 25, x [0, 4]. (a) Nadjite i klasifikujte stacionarne tačke. (b) Nadjite najveću i najmanju vrednost. (c) Odredite intervale konveksnosti. (d) Skicirajte grafik. (e) Odredite rang funkcije. (f) Postoji li inverzna funkcija? 74. Data je funkcija { 2 f(x) = x2 + x, x, x + λ, x <. (a) Nacrtajte grafik za λ = 0,, 2. (b) Koliko treba da bude λ da bi grafik bio jedna neprekinuta linija? (c) Pretpostavimo da je λ rešenje za (b). Razmotrite marginalne funkcije M f() za > 0 i < 0. (d) Postoji li f ()? (e) Za koje λ funkcija raste na intervalu < x <? (f) Za koje λ je funkcija konveksna na intervalu < x <? (g) Izračunajte f (x). 75. Zamenite x + λ sa 2x + λ u zadatku 74, pa radite isto. 76. Tačke na slici 3 imaju sledeće koordinate: A(0.3, 0.54), B(0.9,.06), E(0.65, ). (a) Nadjite f (0.3), f (0.9). (b) Nadjite y i dy ako je x = 0.3 i x = 0.6. 77. Jedna firma ima monopol na tržištu, tako da može odlučiti po kojoj ceni će prodavati svoju robu. Ako jedinicu proizvoda prodaje po ceni p, onda je potražnja q jednaka 300 2p, dok su troškovi proizvodnje dati formulom C = 30 + 30q (/0)q 2. Priod je R = q p (broj prodati proizvoda puta cena jednog).
00 7 DIFERENCIRANJE (a) Odredite funkciju profita te firme. (b) Izračunajte vrednost q koja daje najveći profit. (c) Koja će cena biti ako je kapacitet firme ograničen na 20 jedinica? 78. Nivo potražnje za jednim proizvodom povezan je sa cenom pomoću formule p 2 q = 6000. (a) Nadjite izvod dq dp. (b) Na osnovu (a), procenite koliki će efekat na prodaju imati podizanje cene sa 0 na 0.5 funti. 79. Podignut je jedan web-site. Broj poseta dat je formulom S = 3t 2 0.008t 3, gde je t broj dana posle podizanja. (a) Koliki je najveći broj poseta u jednom danu? (b) Kog dana je najveći porast poseta? 80. Broj stanovnika države A je za 0% manji od broja stanovnika države B. Ako manja populacija raste neprekidno po godišnjoj stopi 3%, a veća po stopi %, kada će se izjednačiti? Sve to prikažite grafički. 8. Jedan automobil vredi 20 000 ali mu vrednost neprekidno i eksponencijalno opada po (nominalnoj) godišnjoj stopi od 20%. Drugi auto vredi 30 000 ali mu vrednost opada ravnomerno, brzinom 20% godišnje. Predstaviti grafički vrednosti atomobila u toku pet godina. 82. Jedan proizvod ima funkciju potražnje q = p2 25 8p 5 + 00. Za koje vrednosti p ova funkcija ima ekonomskog smisla?