ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre Se bzeză pe o teoremă d lgebr mtrcelă: Dcă o mtrce esgulră pote f redusă l mtrce utte I pr îmulţre l stâg cu u şr de mtrce tuc vers - se pote clcul pr îmulţre lu I l stâg cu celş şr de mtrce î orde versă lgortmul de versre cuprde două procese de clcul derulte î prlel ş re pş: I Se fc ţlzărle: ; () D I () II L psul se clculeză elemetele mtrcelor ş D utlzâd formulele () ():
Elemete de clcul umerc mtrcel j j j ; () dj dj j ; (4) ; () d ; (6) j j j j ; (7) dj dj dj j ; (8) j j j ; (9) dj j j () III Î fl se obţ mtrce utte vers ş vlore determtulu: I ; () - D ; () det! () Observţ: Idcele superor corespude psulu de clcul
D () ş (4): dcă elemetul Metode de clcul l verse umt pvot re vlore ulă su modulul său este sub u prg de zero prestblt probleme l efecture împărţrlor Pvot ul u mplcă epărt că mtrce este sgulră; trebue îcercte tote posbltăţle: pote f dus î pozţ de pvot orce elemet j j cu schmbre ître ele llor ş ş coloelor ş j Dcă tote ceste posbltăţ duc l eşec mtrce este sgulră Î scopul reducer erorlor de rotujre se recomdă c l fecre ps să se ducă pe pozţ pvotulu elemetul de vlore bsolută mmă les coform procedeulu de l observţ procedeu umt pvotre Î fl trebue efectute d ou schmbărle de l ş / su coloe 4 () () sut echvlete cu următorele relţ: j j d j d j j (4) d j j d j j ( ( ) ) d j j j () cu terpretărle:
4 Elemete de clcul umerc mtrcel! lle corespuzătore pvotulu (lle ) le mtrcelor ş D se obţ pr împărţre llor mtrcelor - respectv D - corespuzătore pvotulu l pvot ( );! lle cu le mtrcelor ş D se obţ duâd l lle le mtrcelor - respectv D - lle le mtrcelor ş D îmulţte cu ( ) Eemplu: Fe mtrce Să se determe vers - versue Guss-Jord 6 utlzâd metod elmăr î Soluţe: Se plcă lgortmul metode elmăr: I Se fc ţlzărle: II 6 ş D Petru se plcă () () ţâd sem ş de observţ
Metode de clcul l verse Iterţ : Se duce pe pozţ pvotulu () elemetul de vlore bsolută mmă 6 (dec ş j ) Petru cest se schmbă petru îceput ître ele lle ş : ' 6 ş ' D po se schmbă ître ele coloele ş : " 6 ş " D " pvotul este cum 6 Tbel cu clculul elemetelor mtrcelor ş D : l mtrce mtrce D l 6/6 /6 /6 /6 66 66 l ( ) ( ) /6 ( ) /6 l ( ) ( ) /6 84 ( ) /6 66
6 Elemete de clcul umerc mtrcel L prm terţe 66 84 D 66 66 Iterţ : pvotul este elemetul Tbel cu clculul elemetelor mtrcelor ş D : l mtrce mtrce D l 66( ) 4 66 ( ) ( ) 666 ( ) l / / / / l 84( ) 66 ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 4 D 666 4
Metode de clcul l verse 7 Iterţ : pvotul este elemetul 4 Tbel cu clculul elemetelor mtrcelor ş D : l mtrce mtrce D l 6664 4 ( ) 4 l ( ) ( ) ( ) ( ) l 4/4 /4 /4 D Î fl se schmbă ître ele lle ş le mtrcelor ş D ' ' D precum ş coloele ş le celorş mtrce:
8 Elemete de clcul umerc mtrcel " " D () () " det 4 6 det REZOLVRE NUMERICĂ SISTEMELOR DE ECUŢII LGEBRICE LINIRE Sstem de ecuţ lgebrce lre vâd coefceţ j R j ş terme lber b R cu ecuoscute R : b b b " " "! () Form restrâsă corespuzătore lu ():
Metode drecte de rezolvre 9 j b j () Notţ: [ j ] j!!!! mtrce coefceţlor () b b b " b vectorul coloă l termelor lber (4) " vectorul coloă l ecuoscutelor () form mtrcelă sstemulu (): b (6) b sstem omoge; b sstem eomoge Sstemele eomogee u soluţe ucă mtrce este esgulră ( det ) Dcă este sgulră ( det ) sstemul re o ftte de soluţ (este
Rezolvre umercă sstemelor de ecuţ lgebrce lre comptbl edetermt) or u re c o soluţe (este comptbl) Sstemele omogee dmt totdeu soluţ blă dmt ş lte soluţ mtrce este sgulră Sstem cosstet sstem comptbl ; sstem cosstet sstem comptbl Dcă mc modfcăr le elemetelor lu ş b coduc l modfcăr reduse le elemetelor soluţe sstemul este be codţot Măsur petru melorre grdulu de codţore: ) Îte de îcepere efectvă rezolvăr se modfcă orde ecuţlor ş / su ecuoscutelor stfel îcât să se sgure domţ elemetelor dgole le mtrce ) Îte de rezolvre se plcă operţ de sclre cre determă c ecuoscutele ş terme lber să bă celş ord de mărme Se feză fctor de scră (coefceţ de sclre) j j ş b : j j j^ j (7) b b b ^ (8) Se fc îlocurle î ()
Metode drecte de rezolvre j j j^ b b ^ ; j împărţd cu b j j j^ b ^ j b Notţe: j j^ j j (9) b o formă echvletă sstemulu (): j^ j^ b ^ () j ole vlor le elemetelor lu ş b Urmeză rezolvre sstemulu () ş î fl clculul ecuoscutelor orgle cu jutorul relţlor (7) Ctegor de metode de rezolvre umercă:! drecte su ecte ;! drecte su tertve
Rezolvre umercă sstemelor de ecuţ lgebrce lre Metode drecte de rezolvre Obţ soluţ sstemulu prtr-o secveţă de operţ cre se eecută o sgură dtă umărul totl de operţ lgebrce elemetre fd ft ş cuoscut d strt Metod versăr mtrcele ce m smplă bztă pe îmulţre l stâg cu (dcă este esgulră) relţe (6) - b () () fzele metode:! versre lu ( se vede cptolul teror);! efecture produsulu mtrcel - b Eemplu: Să se rezolve sstemul de ecuţ lgebrce lre () pr metod versăr mtrcele: 4 4 9 () Soluţe: Idetfcre mtrcelor cre pr î form (6): 9 4 4 b () Iversre mtrce : det
Metode drecte de rezolvre 8 T 4 4 (4) det 8 () () soluţ sstemulu: b 8 9 4 (6) Dezvtj: Tmp de clcul mre dtortă umărulu mre de operţ rtmetce elemetre lte metode drecte: metod elmăr î versue Guss-Jord (dgolzăr) su Guss (trughulrzăr); metodele bzte pe fctorzre L R su Q R mtrce coefceţlor plcble cu succes ş l versre mtrcelor ( se vede cptolul teror)
4 Rezolvre umercă sstemelor de ecuţ lgebrce lre Metode tertve Soluţ se obţe prtr-u proces de promţ succesve cu covergeţă teoretc ftă ş prctc ftă Trăsătură crcterstcă: o secveţă de operţ (î umăr m mc fţă de metodele drecte) este prcursă de m multe or obţâd promţ d ce î ce m bue le soluţe pâă l tgere ue precz fte î prelbl Metod promţlor succesve î versue Guss-Sedel Se cosderă sstemul de ecuţ lgebrce lre de ordul sub form restrâsă () Se pote evdeţ dstct termeul d sumă corespuzător elemetulu dgol l mtrce () j j b j j eplctre eprese ecuoscute : b j j j j ()
Mtrce Defre ş propretăţle verse lgortmul metode Guss-Sedel etpe: I) Se ţlzeză cu (dcele superor umărul terţe curete): () II) L u ps de clcul se determă ole vlor le vrblelor: (b j j j j - ) (4) j j III) Codţ de termre procesulu de clcul: m { - } ε () cu erore ε > prestbltă de clcul: Codţ sufcetă de covergeţă procesulu tertv > j ( dgol domtă) (6) j j
6 Elemete de clcul umerc mtrcel o buă codţore sstemulu Remrcă: Petru ţlzre procesulu de clcul (î cz de covergeţă) este recomdtă: b (7) De l plcţe l plcţe pote prezet teres studul efectelor uor lte vrte de ţlzre Eemplu: Să se rezolve sstemul (8) pr metod promţlor succesve î versue Guss-Sedel: 4 4 8 (8) dmţâd o erore ε Soluţe: Î scopul îdeplr codţe de covergeţă (6) (dgol domţe) se schmbă ître ele lle ş ou screre sstemulu: 4 4 8 (9)
Mtrce Defre ş propretăţle verse 7 este îdepltă codţ (6) este grtt fptul că procesul de clcul v f coverget Î coture se plcă lgortmul metode Guss-Sedel: I) Se efectueză ţlzre coform relţe (7) prtculrztă: 8/ 666 /4 /4 () II) Petru se plcă relţle (4) (8 - - )/ ( - )/4 () ( )/4 Iterţ : ( 8 ) 4 ( ) 96 () 4 ( 96) 6 4 III) Se clculeză erorle: 666 > ε ; 96 > ε ; () 64 > ε
8 Elemete de clcul umerc mtrcel Nu este stsfăcută codţ () este ecesră o ouă terţe Iterţ : ( 8 96 64) 6 4 ( 6 64) 4 8 (4) 4 ( 6 48) 6 III) Se clculeză d ou erorle: 6 68 > ε ; ε 4 8 96 4 > ; () 6 64 > ε Se observă că erorle u scăzut semfctv Cu tote ceste u este stsfăcută codţ () este ecesră o ouă terţe