ELEKTRODINAMIKA. Voja Radovanović Fizički fakultet Univerzitet u Beogradu. Beograd, decembar godine

ELEKTRODINAMIKA Voja Radovanović Fizički fakultet Univerzitet u Beogradu Beograd, decembar 2014. godine

2

Contents 1 Naelektrisanje i elektromagnetno polje 7 1.1 Uvod.......................................... 7 1.2 Naelektrisanje..................................... 8 1.3 Dirakova delta funkcija................................ 9 1.4 Tačkasto, linijsko i površinsko naelektrisanje jezikom zapreminskog........ 13 1.5 Jednačina kontinuiteta................................ 13 1.6 Elektromagnetno polje................................ 14 2 Maksvelove jednačine 15 2.1 Elektrostatika..................................... 15 2.2 Magnetostatika.................................... 19 2.3 Razlaganje skalarnog potencijala po multipolima.................. 22 2.4 Razlaganje vektorskog potencijala po multipolima................. 26 2.5 Faradejev zakon elektromagnetne indukcije..................... 28 2.6 Maksvelove jednačine................................. 29 2.7 Samousaglašeno odredjivanje EMP u vakuumu................... 31 2.8 Potencijali elektromagnetnog polja u vakuumu................... 32 2.8.1 Jednačine za potencijale........................... 33 2.8.2 Kalibraciona (gauge ili gradijentna simetrija................ 33 3 Elektromagnetno polje u sredini 37 3.1 Maksvel Lorencove jednačine za polje u supstancijalnoj sredini.......... 37 3.2 Supstancijalne jednačine............................... 44 3.3 Granični uslovi.................................... 47 4 Teoreme elektromagnetnog polja 51 4.1 Pointingova teorema................................. 51 4.2 Teorema impulsa................................... 55 4.3 Teorema momenta impulsa.............................. 61 5 Relativistička elektrodinamika 63 5.1 Lorencove transformacije............................... 63 5.2 Četvorovektor gustine struje............................. 67 5.3 Četvorovektor potencijala.............................. 68 3

4 CONTENTS 5.4 Tenzor jačine polja. Zakon transformacije jačina polja............... 69 5.5 Elektromagnetno polje naelektrisanja u uniformnom kretanju........... 72 5.6 Naelektrisana čestica u elektromagnetnom polju.................. 75 5.7 Manifestno kovarijantno izvodjenje jednačina kretanja............... 77 5.8 Kovarijantnost Maksvelovih jednačina........................ 79 5.9 Invarijantnost Maksvelovih jednačina na prostornu i vremensku inverziju.... 84 5.10 Kovarijantnost Maksvel-Lorencovih jednačina................... 86 5.11 Integralni oblik Maksvel-Lorencovih jednačina................... 88 6 Elektrostatičko polje u vakuumu 93 6.1 Diskontinuiteti potencijala; Dipolni list....................... 93 6.2 Jednoznačnost rešenja Poasonove jednačine..................... 95 6.3 Poason-Grinova formula............................... 97 6.4 Rešavanje Laplasove jednačine metodom razdvajanja promenljivih........ 97 6.4.1 Rešavanje Laplasove jednačine u Dekartovim koordinatama........ 98 6.4.2 Rešavanje Laplasove jednačine u sfernim koordinatama.......... 99 6.4.3 Rešavanje Laplasove jednačine u cilindričnim koordinatama........ 104 6.5 Elektrostatičko polje provodnika........................... 108 6.6 Jednoznačnost Laplasove jednačine za sistem provodnika............. 111 6.7 Metod likova..................................... 112 6.8 Grinove funkcije.................................... 113 6.9 Energijski odnosi u elektrostatičkom polju..................... 116 7 Dielektrici u konstantnom električnom polju 121 7.1 Klauzijus-Mosotijeva relacija............................. 121 7.2 Modeli polarizovanja dielektrika........................... 123 7.3 Sila i energija..................................... 125 8 Magnetostatičko polje u vakuumu 129 8.1 Energetski odnosi u magnetostatičkom polju.................... 129 8.2 Magnetostatička energija sistema provodnika sa strujom.............. 132 8.3 Rad na premeštanju strujne konture u spoljnjem polju.............. 135 9 Magnetici u konstantnom magnetnom polju 137 9.1 Dijamagnetizam.................................... 137 9.2 Paramagnetizam................................... 140 9.3 Feromagnetizam.................................... 141 10 Elektromagnetni talasi u vakuumu i neprovodnim sredinama 145 10.1 Ravni talasi...................................... 146 10.2 Sferni talas...................................... 148 10.3 Ravan monohromatski talas............................. 149 10.4 Furijeov integral.................................... 151 10.5 Polarizovanost ravnog monohromatskog elektromagnetnog talasa......... 151

CONTENTS 5 10.6 Doplerov efekt..................................... 153 10.7 Termodinamički ravnotežno zračenje u šupljini................... 154 11 Grinova funkcija za nehomogenu talasnu jednačinu 161 11.1 Grinova funkcija. Retardovani potencijali...................... 161 11.2 *Alternativno izvodjenje Grinove funkcije..................... 164 12 Zračenje 169 12.1 Polje na velikim rastojanjima............................ 169 12.2 Talasna zona-dipolna aproksimacija......................... 171 12.3 Spektralna raspodela emitovane snage zračenja................... 174 12.4 Kočenje zračenjem.................................. 175 12.5 Zračenje višeg reda u talasnoj zoni......................... 176 12.6 Lijenar-Vihertovi potencijali i polja......................... 178 12.7 Zračenje relativističke čestice............................. 180 12.8 Relativistička generalizacija Larmorove formule.................. 183 12.9 Sinhrotronsko zračenje................................ 185 12.10Zračenje antene.................................... 186 13 Kvazistacionarno elektromagnetno polje 189 14 Sredine sa disperzijom 195 14.1 Vremenska disperzija................................. 195 14.2 Energetski odnosi.................................. 198 14.3 Disperzije dielektrične propustljivosti........................ 200 14.4 Disperzija provodnosti................................ 203 14.5 Kramers-Kronigove relacije.............................. 205 14.6 Ravan monohromatski talas u sredini sa disperzijom............... 208 14.7 Talasni paket i grupna brzina............................ 210 14.8 Sredine sa prostorno vremenskom disperzijom................... 212 15 Ravan monohromatski talas u anizotropnim sredinama 215 15.1 Prostiranje kroz prozračan kristal.......................... 215 15.2 Faradejev efekt.................................... 219 16 Prostiranje talasa u talasovodu 223 16.1 Pravougaoni talasovod................................ 223 16.2 Snaga i disipacija snage u talasovodu........................ 226 17 Rasejanje elektromagnetnih talasa 229 17.1 Rasejanje na slobodnim elektronima......................... 230 17.2 Rasejanje na vezanim elektronima.......................... 231 17.3 Plavo nebo....................................... 233 17.4 Rasejanje na malim kuglicama........................... 234

6 CONTENTS 17.4.1 Rasejanje na meti sa više centara rasejanja................. 235 A Vektorska analiza 237

Chapter 1 Naelektrisanje i elektromagnetno polje 1.1 Uvod U prirodi postoje četiri interakcije: gravitaciona, elektromagnetna, slaba i jaka. Na ovom kursu izučavaćemo elektromagnetnetnu interakciju, tj. interakciju izmedju naelektrisanih tela. Preciznije, izučavaćemo klasičnu elektrodinamiku, što znači da ćemo proučavati situacije u kojima su kvantni efekti zanemarljivi.. Dva osnovna entiteta u elektrodinamici su naelektrisanje i elektromagnetno polje. Naelektrisanje je izvor elektromagnetnog polja. Elektron ima naelektrisanje e = 1, 6 10 19 C, što je prvi izmerio Miliken (1910 g.. Tela se mogu naelektrisati medjusobnim dodirom i/ili trljanjem. Pri tome elektroni sa jednog tela prelaze na drugo telo. Telo sa viškom (manjkom elektrona je negativno (pozitivno naelektrisano. Naelektrisanje nekog tela je celobrojni umožak tzv. elementarnog naelektrisanja 1, e tj. Q = Ne, N Z. Naelektrisanje metalne kugle poluprečnika r = 10 cm čiji je potencijal ϕ = 100V je Q = 4πɛ 0 φr = 10 9 C, što znači da je N 10 10. U ovom slučaju N je veliki broj te možemo smatrati da je naelektrisanje kugle neprekidna a ne diskretna funkcija. Elektromagnetno polje ima impuls, energiju i moment impulsa. Elektromagnetna interakcija se u vakuumu prenosi brzinom svetlosti c = 3 10 8 m. s Ukoliko je impuls fotona mnogo manji od impulsa sistema, p f p s onda merni aparat ne vidi pojedinačane fotone. Tada primenjujemo klasičnu elektrodinamiku. Navešćemo dva primera. Jačina električnog polja sijalice snage P = 100W na rastojanju l = 1 m je E = 50 Vm 1. Fluks fotona je n f = 10 15 1. Električno polje antena snage P = 100W, frekvence ν = cm 2 s 108 Hz na rastojanju l = 100km je E = 5µVcm 1 dok je fluks fotona n f = 10 12 1. U oba slučaja broj cm 2 s fotona je veliki pa elektromagnetno polje opisujemo vektorima jačina polja E(r, t i B(r, t, tj. koristimo klasičnu elektrodinamiku. 1 Naelektrisanje kvarkova nije celobrojan umnožak elementarnog naelektrisanja, npr. up (gornji kvark je naelektrisan sa (2/3e. 7

8 CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE Figure 1.1: Električno polje dva tačkasta naelektrisanja Rasejanje fotona na elektronu (γ + e γ + e je Komptonof efekt. Impuls fotona je p f = ω dok je impuls elektrona reda p c e mc. U ovom slučaju vidimo pojedinačni foton te je klasična elektrodinamika neprimenljiva. Da bi analizirali ovaj proces moramo primeniti kvantnu elektrodinamiku. Klasična elektrodinamika je limes kvantne elektrodinamike. 1.2 Naelektrisanje Prvo ćemo uvesti pojam tačkastog naelektrisanja. To može biti aproksimacija naelektrisanog tela čije dimenzije možemo zanemariti u datoj situaciji ili stvarno tačkasto naelektrisanje, kao što su elementarne čestice. Elementarne čestice, u koje spadaju leptoni i kvarkovi, su čestice bez unutrašnje strukture. Već smo rekli da u mnogim situacijama možemo smatrati da je naelektrisanje neprekidno rasporedjeno unutar neke oblasti. Tada govorimo o kontinumu naelektrisanja. Model kontinuma je zasnovan na pojmu fizički beskonačno male zapremine V 0, i fizički beskonačno malog intervala vremena, t 0. Fizički mala zapremina je mnogo manja od zapremine celog sistema ali mnogo veća od l 3 gde je l srednje medjumolekulsko rastojanje l 3 V 0 L 3. Ona sadrži veliki broj čestica ali ipak mnogo manje nego što je njihov ukupan broj u sistemu. Osnovna ideja modela kontinuma je da ne vidimo granulastu strukturu materije, tj. da ne pravimo limes V 0 oko neke tačke u prostoru. Tako su nam tačke razmazane u zapremini V 0. Potpuno analogno se uvodi i fizički beskonačno mali interval vremena t 0 koji zadovoljava l v t 0 T, gde je v srednja brzina molekula, a T karakteristično vreme sistema. Gustina naelektrisanja je definisana sa ρ(r, t = q V (t lim V V 0, t t 0 V, (1.2.1 gde je q V (t srednje naelektrisanje u oblasti V oko tačke r usrednjeno po vremenskom intervalu t. Jedinica za zapreminsku gustinu naelektrisanja je Cm 3.

1.3. DIRAKOVA DELTA FUNKCIJA 9 Figure 1.2: Figure 1.3: Funkcija δ ε (x a. Kretanje neprekidne sredine je opisano poljem brzine v = v(r, t. U elektrodinamici ćemo uvesti jedno drugo vektorsko polje koje opisuje kretanje kontinualne naelektrisane sredine. Naelektrisanje dq koje za vreme dt prodje kroz površinu ds sa slike 1.2 je dq = ρ(r, tds vdt = j(r, t dsdt. U prethodnom izrazu veličina j(r, t = ρ(r, tv(r, t je vektor gustine struje. Njegov intenzitet je jednak pozitivnom naelektrisanju koje u jedinici vremena prodje kroz jediničnu površinu postavljenu normalno na pravac prenošenja naelektrisanja. Jačina struje je očigledno I = j ds, tj. ona je fluks vektora gustine struje. 1.3 Dirakova delta funkcija Definišimo funkciju δ ε (x a na sledeći način S δ ε (x a = 1 ε (x a 2 π e ε 2. (1.3.2

10 CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE Normalizacioni faktor 1/(ε π je izabran tako da važi δ ε (x adx = 1. Maksimum ove funkcije je u tački x = a, njena vrednost u ovoj tački je oblika 1/ε, a njena širina je proporionalna sa ε. Kada smanjujemo parametar ε funkcija δ ε (x a postaje sve uža i uža i sve viša i viša. Površina ispod ove krive ne zavisi od paramaetra ε pa ona ostaje jednaka jedinici uzimanjem ovog limesa. Delta funkcija je limes funkcije δ ε (x a kad ɛ 0 tj. δ(x a = lim ε 0 δ ε (x a = { 0, x a, x = a, (1.3.3 pri čemu je zadovoljeno δ(x adx = 1. (1.3.4 Delta funkcija δ(x a je svuda jednaka nuli sem u tački x = a gde je beskonačna. Na osnovu (1.3.4 je δ(x af(xdx = f(a, (1.3.5 što se često uzima za definiciju delta funkcije. Obično se kaže da delta funkcija izbacuje vrednost podintegralne funkcije f(x u tački x = a. Delta funkcija je zapravo funkcional koji funkiju f(x preslikava u f(a. Navešćemo neke osobine delta funkcije 2 : δ a : f(x f(a δ(ax = 1 δ(x a (1.3.6 δ( x = δ(x (1.3.7 f(xδ (x a = f (xδ(x a (1.3.8 n δ(x x i δ(f(x = f (x i (1.3.9 i=1 δ(x 2 a 2 = 1 (δ(x a + δ(x + a. (1.3.10 2 a U formuli (1.3.9 x i su proste nule funkcije f(x. Dokažimo prvu osobinu, (1.3.6. Smenom 2 Ove osobine važe pod integralom.

1.3. DIRAKOVA DELTA FUNKCIJA 11 promenljivih t = ax imamo f(xδ(axdx = a a = sgn(a = 1 a = 1 a f(t/aδ(t dt a f(t/aδ(t dt a f(t/aδ(tdt = f(0 a f(xδ(xdx. Time smo pokazali (1.3.6. Specijalno ako u (1.3.6 uzmemo a = 1 dobijamo (1.3.7, tj. delta funkcija δ(x je parna. Treća osobina se pokazuje parcijalnom integracijom. Naime dxf(xδ (x a = f(xδ(x a dxf (xδ(x a = Da bi dokazali (1.3.9 podjimo od integrala dxg(xδ(f(x = dxf (xδ(x a. (1.3.11 n i=1 xi +ε x i ε dxg(xδ(f(x (1.3.12 gde integralimo u maloj, ε okolini oko svake nule funkcije f(x. U segmentu (x i ε, x i + ε funkciju f(x ćemo aproksimirati sa f(x = f (x i (x x i pa primenom (1.3.6 dobijamo Prema tome xi +ε x i ε dxg(xδ(f(x = dxg(xδ(f(x = xi +ε x i ε = dx g(x f (x i δ(x x i = g(x i f (x i. (1.3.13 n g(x i f (x i n i=1 i=1 dx g(x f (x i δ(x x i, (1.3.14 čime smo dokazali četvrtu osobinu. Peta osobina je specijalni slučaj četvrte, za f(x = x 2 a 2. U izrazu (1.3.5 možemo umesto po celoj realnoj osi integraliti u intevalu (c, d pri čemu je c < a < d. Napomenimo da ukoliko bi se jedna od granica oblasti integracije poklopila sa tačkom x = a imali bi d a d a dxδ(x a = 1 2 dxf(xδ(x a = 1 f(a, (1.3.15 2

12 CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE gde je a < d. Delta funkcija može biti napisana u integralnom obliku Trodimenzionalna delta funkcija je definisana sa δ(x x = 1 dke ik(x x. (1.3.16 2π V d 3 rδ (3 (r r f(r = f(r, (1.3.17 gde tačka r pripada oblasti integracije V. Ona izbacuje vrednost podintegralne funkcije u tački r = r pod uslovom da ta tačka pripada oblasti integracije V. U Dekartovim koordinatama trodimenziona delta funkcija je proizvod tri jednodimenzione delta funkcije δ (3 (r r = δ(x x δ(y y δ(z z, (1.3.18 gde su (x, y, z Dekartove koordinate vektora r, a (x, y, z koordinate vektora r. Ako umesto dekartovih koristimo neke druge ortogonalne krivolinijske koordinate ξ 1, ξ 2, ξ 3, tj. r = (ξ 1, ξ 2, ξ 3, r = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 tada je δ (3 (r r = 1 J δ(ξ 1 ξ 1δ(ξ 2 ξ 2δ(ξ 3 ξ 3, (1.3.19 gde je (x, y, z J = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 Jakobijan. Jakobijan u prethodnoj formuli se krati sa jakobijanom u meri inegracije da bi važilo V d 3 rδ (3 (r r = V dξ 1 dξ 2 dξ 3 J 1 J δ(ξ 1 ξ 1δ(ξ 2 ξ 2δ(ξ 3 ξ 3 = 1. (1.3.20 U praksi se najčešće susrećemo sa cilindičnim i sfernim koordinatama. funkcija u cilindričnim koordinatama je Trodimenziona delta δ (3 (r r = 1 ρ δ(ρ ρ δ(ϕ ϕ δ(z z, (1.3.21 a u sfernim δ (3 (r r = 1 r 2 sin θ δ(r r δ(ϕ ϕ δ(θ θ. (1.3.22 Iz definicije delta funkcije (1.3.5 sledi da je dimenzija delta funkcije [δ(x a] = m 1. Dimenzija trodimenzione delta funkcije je m 3.

1.4. TAČKASTO, LINIJSKO I POVRŠINSKO NAELEKTRISANJE JEZIKOM ZAPREMINSKOG13 1.4 Tačkasto, linijsko i površinsko naelektrisanje jezikom zapreminskog Neka se naelektrisanje q α nalazi u trenutku t u tački sa radijus vektorom r α (t. Gustina naelektrisanja je 0 za r r α a beskonačna za r = r α. Jasno je da je kao i ρ(r, t = q α δ (3 (r r α (t (1.4.23 d 3 rρ(r, t = q α. (1.4.24 Zapreminska gustina naelektrisanja sistema od N tačkastih naelektrisanja je N ρ(r, t = q α δ (3 (r r α (t. (1.4.25 α=1 Primer: Dugačka nit, ravnomerno je naelektrisana sa naelektrisanjem λ po jedinici dužine. Naći zapreminsku gustinu naelektrisanja ρ(r. Primenom (1.4.23 imamo ρ(r = α λ z α δ(xδ(yδ(z z α = λδ(xδ(y dz δ(z z = λδ(xδ(y. Sada ćemo naći zapreminsku gustinu struje za sistem tačkastih naelektrisanja. Poćićemo od izraza za zapreminsku gustinu struje j = ρv i zapreminske gustine sistema tačkastih naelektrisanja (1.4.25. Kombinovanjem ovih formula dobijamo: j(r, t = N q α v α (tδ (3 (r r α (t, (1.4.26 α=1 gde je v α (t brzina naelektrisanja indeksa α u trenutku t. 1.5 Jednačina kontinuiteta Neka je V nepokretna zapremina unutar neprekidne sredine. Promena naelektrisanja u toj zapremini u jedinici vremena je dq = d d 3 rρ(r, t = d 3 r ρ dt dt V V t = = j ds = d 3 r divj S V (1.5.27

14 CHAPTER 1. NAELEKTRISANJE I ELEKTROMAGNETNO POLJE odakle sledi ρ + divj = 0. (1.5.28 t Poslednja jednačina je jednačina kontinuuiteta i ona je zakon održanja naelektrisanja u diferencijalnom obliku. Zadatak: Pokazati da (1.4.25 i (1.4.26 zadovoljavaju jednačinu kontinuiteta. 1.6 Elektromagnetno polje Kao što smo rekli u uvodu elektromagnetno polje se u klasičnoj elektrodinamici opisuje dvema vektorskim funkcijama: jačinom električnog polja E(r, t i magnetnom indukcijom B(r, t. One se mere pomoću sile F = q(e + v B. (1.6.29 kojom elektromagnetno polje deluje na probno naelektrisanje q. Naravno predpostavljamo da probno naelektrisanje ne perturbuje raspodelu naelektrisanja i struja koje kreiraju elektromagnetno polje. U slučaju neprekidne raspodele naelektrisanja Lorencova sila je F = ρd 3 r(e + v B. = (ρe + j Bd 3 r. Izraz f = ρe + j B je zapreminska gustina Lorencove sile. Kao i svako drugo vektorsko polje i za elektromagnetno se definišu linije polja. Linije električnog polja su definisane kao linije čije tangente u datom trenutku vremena su jačine polja u datim tačkama u tom trenutku vremena. Dakle, dx E x (x, y, z, t = dy E y (x, y, z, t = dz E z (x, y, z, t. (1.6.30 Linije električnog polja se dobijaju rešavanjem gornjeg sistema diferencijalnih jednačina. Linije magnetnog polja se definišu analogno, tj. dx B x (x, y, z, t = dy B y (x, y, z, t = U prethodnim jednačinama vreme t igra ulogu parametra. dz B z (x, y, z, t. (1.6.31

Chapter 2 Maksvelove jednačine 2.1 Elektrostatika Elektrostatičko polje stvaraju naelektrisanja koja miruju. Osnovni zakon elektrostatike je Kulonov zakon (kraj 18. veka i on je ustanovljen eksperimentalno. Sila interakcije izmedju naelektrisanja q 1 i q 2 u sistemu reference gde oba naelektrisanja miruju proporcionalna je naelektrisanjima, a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja izmedju njih. Kulonova sila je usmerena duž pravca koji spaja naelektrisanja. Ako su r 1 i r 2 radijus vektori naelektrisanja q 1 odnosno q 2 onda sila kojom naelektrisanje q 1 deluje na naelektrisanje q 2 je (slika 2.1 F 12 = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 2 r 1 3 (r 2 r 1. (2.1.1 Konstanta ε 0 = 8, 85 10 12 F je dielektrična propustljivost vakuuma dok je 1 m 4πɛ 0 = 9 10 9 m. Sila F kojom naelektrisanje q 2 deluje na naelektrisanje q 1 je F 21 = F 12. Kako je rot 2 F 12 = 0 Kulonova interakcija je konzervativna, tj. sila je negativan gradijent potencijalne energije F 12 = 2 W. (2.1.2 Potencijalna energija interakcije 1 ova dva tačkasta naelektrisanja je W = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 r 2 r 1. (2.1.4 Jačina polja u nekoj tački se odredjuje preko sile koja deluje na probno naelektrisanje smešteno u tu tačku E(r = F q p. (2.1.5 1 F 21 = F 12 = 1 W (2.1.3 15

16 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE q 1 q 2 F 21 F 12 Figure 2.1: Kulonova interakcija 0 Primenom Kulonovog zakona polje u tački r tačkastog naelektrisanja q postavljenog u tačku r je E(r = 1 q(r r 4πɛ 0 r r. (2.1.6 3 Ako imamo više naelektrisanja q 1,..., q N kao izvore električnog polja, ukupno polje je vektorski zbir polja koja potiču od svakog naelektrisanja ponaosob E = 1 4πɛ 0 N α=1 q α (r r α r r α 3. (2.1.7 Ovo je princip superpozicije. U slučaju neprekidne raspodele naelektrisanja ρ = ρ(r jačina polja je E(r = 1 ρ(r d 3 r 4πɛ 0 r r (r r. (2.1.8 3 Lako se pokazuje da je rote(r = 0 pa možemo uvesti potencijal elektrostatičkog polja ϕ sa Potencijal u tački r je odredjen sa Primenom E(r = ϕ(r. ϕ(r = 1 ρ(r d 3 r 4πɛ 0 r r ( 1 r r lako se vidi da potencijal (2.1.9 daje polje (2.1.8.. (2.1.9 = (r r r r 3 (2.1.10

2.1. ELEKTROSTATIKA 17 Figure 2.2: Rad elektrostatičkog polja pri premeštanju naelektrisanja q iz tačke A u tačku B u polju je A = B A B F dr = q ϕ dr = q(ϕ A ϕ B = (W B W A = W. (2.1.11 A Vidimo da je rad jednak negativnoj promeni potencijalne energije naeletrisanja u polju i da ne zavisi od oblika tajektorije. Ako je putanja naelektrisanja zatvorena rad polja je jednak nuli, tj. E dl = 0. Elektrostatičko polje je konzervativno. Pri računanju laplasijana izraza 1/r moramo biti obazrivi zbog singularnosti u tački r = 0. Dirak-Grinov identitet ( 1 r r = 4πδ (3 (r r (2.1.12 daje precizan odgovor. Dokaz ovog identiteta je sledeći. Jednostavnosti radi uzmimo da je r = 0. Za r 0 imamo ( 1 = 1 d 2 r r dr (r 1 2 r = 0. (2.1.13 Za r = 0 gornji račun je neprimenljiv, pa ćemo funkciju 1/r predstaviti u obliku gde je a regularizacioni parametar. Prema tome 1 r = lim 1 a 0 r2 + a, (2.1.14 2 ( 1 ( 1 3a 2 = lim = lim. (2.1.15 r a 0 r2 + a 2 a 0 (r 2 + a 2 5/2

18 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE Integracija po celom prostoru daje 0 ( 1 r 2 4πdr = 12πa 2 r 2 dr = 4π. (2.1.16 r2 + a 2 (r 2 + a 2 5/2 Rezultat ne zavisi od parametra a. Kako je rezultat integracije konstanta to je podintegralna funkcija proporcionalna delta funkciji. Koeficijent proporcionalnosti nam daje prethodni račun. Dakle ( 1 = 4πδ (3 (r. (2.1.17 r Ovim smo dokazali Dirak-Grinov identitet. Potražimo divergenciju elektrostatičkog polja: 0 dive = div ϕ = ϕ = 1 ( d 3 r ρ(r 1 r 4πɛ 0 r r = 1 d 3 r ρ(r δ (3 (r r = ρ(r. (2.1.18 ε 0 ε 0 Primenili smo Dirak-Grinov identitet. Dakle, dive(r = 1 ε 0 ρ(r (2.1.19 Poslednja relacija je Gausova teorema u lokalnom (diferencijalnom obliku. Njen integralni oblik se dobija integracijom jednačine (2.1.19 po zapremini odnosno V d 3 rdive(r = 1 ε 0 V E ds = 1 ε 0 V V d 3 rρ(r (2.1.20 d 3 rρ(r. (2.1.21 Fluks elektrostatičkog polja kroz ma koju zatvorenu površ jednak je ukupnom naelektrisanju koje se nalazi u zapremini čija je granica ta površ podeljenom sa ε 0. To je Gausova teorema u integralnom obliku. Iz (2.1.18 vidimo da potencijal zadovoljava Poasonovu jednačinu Jednačine koje kompletno odredjuju elektrostatičko polje su ϕ = ρ(r ε 0. (2.1.22 dive(r = ρ(r ε 0 rote(r = 0. (2.1.23

2.2. MAGNETOSTATIKA 19 z Idr' db r' r y x Figure 2.3: This is a figure. 2.2 Magnetostatika Istorija magnetizma je dosta duga i u početku su se magnetizam i elektrostatika potpuno nezavisno razvijali. Početkom devetnaestog veka Ersted je otkrio da magnetna igla kompasa postavljena u blizini provodnika se ponaša na isti način kao kada je postavimo u blizini magneta. Iz ovog eksperimenta se zaključuje da naelektrisanja u kretanju generišu magnetno polje baš kao i sam magnet. Magnetostatičko polje generišu naelektrisanja koja se kreću stacionarno. To znači da gustina struje ne zavisi eksplicitno od vremena, tj. j = j(r. Takodje zapreminska gustina naelektrisanja kod stacionarnog kretanja ne zavisi eksplicitno od vremena. U većini slučajeva zapremiska gustina naelektrisanja je jednaka nuli, ρ(r = 0, tj. provodnik je elektroneutralan, pa je električno polje jednako nuli. Osnovni zakon magnetostatike je Bio Savar Laplasov zakon. On za zadatu raspodelu gustine struje kao izvora magnetnog polja odredjuje magnetno polje. Ako kroz linijski provodnik 2 protiče struja jačine I, magnetna indukcija u tački r je data sa gde je B(r = µ 0 4π Idr (r r r r 3, (2.2.24 µ 0 = 4π 10 7 H m magnetna propustljivost vakuuma. U slučaju kada ne možemo zanemariti poprečni presek provodnika potrebno je da strujni element Idr zamenimo na sledeći način: Idr 2 Poprečni presek linijskog provodnika je zanemarljiv. I S dr S = j dv, (2.2.25

20 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE gde je S površina provodnika ortogonalna na pravac prenošenja naelektrisanja. Magnetna indukcija je prema tome data sa B(r = µ 0 j(r d 3 r (r r. (2.2.26 4π r r 3 Magnetnu indukciju možemo napisati u obliku B = rota, gde je A vektorski potencijal dat sa A(r = µ 0 j(r 4π r r d3 r. (2.2.27 Ovo se neposredno proverava 3 : rota(r = µ [ 0 j(r ] rot d 3 r 4π r r = µ [ 0 d 3 r 1 4π r r rotj(r j(r 1 ] r r r = µ 0 j(r d 3 r (r r 4π r r 3 = B(r, jer je rotj(r = 0 i 1 r r r = r r r r. 3 Iz izraza B = rota sledi da je divb = 0. Poslednji izraz znači da je magnetno polje bezizvorno tj. ne postoje magnetna naelektrisanja. Drugim rečima magnetne linije nemaju ni početak ni kraj; ili su zatvorene ili počinju i završavaju se u beskonačnosti. Na slici 2.2 prikazane su magnetne linije strujnog pravolinijskog provodnika. Linije su koncentrični krugovi koji leže u ravni normalnoj na provodnik čiji se centri nalaze na provodniku. Smer magnetnih linija se odredjuje pravilom desne ruke. Plac desne ruke pokazuje smer struje a ostali prsti smer polja. Na slici 2.5 prikazane su linije magneta i solenoida. Potražimo rotor magnetne indukcije. Primenom formula (A.0.1 i (2.2.27 kao i Dirak Grinovog identiteta imamo rotb(r = rotrota = graddiva A = µ ( 0 j(r 4π grad div r r r = µ [ ( 0 grad j(r 1 4π r r = µ ( 0 4π grad j(r 1 r r d 3 r µ 0 4π d 3 r + 4π d 3 r + j(r, gde smo iskoristili divb(r = 0. Ako dalje primenimo ( 1 ( = 1 r r r r ( j(r 1 r d 3 r r r ] j(r δ (3 (r r d 3 r (2.2.28 3 rot(ψa = ψrota a ψ

2.2. MAGNETOSTATIKA 21 Figure 2.4: Magnetno polje linijskog provodnika Figure 2.5: Magnetnetne linije magneta i solenoida sa strujom.

22 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE i ponovo formulu (A.0.1 imamo rotb(r = µ [ ( ( 0 j(r grad div 4π r r = µ 0 j(r 4π grad ds r r + µ 0j(r 1 ] r r div j(r d 3 r 4πj(r = µ 0 j(r. (2.2.29 U prethodnom izvodjenju primenili smo jednačinu kontinuiteta, uslov stacionarnosti: divj(r = ρ(r = 0 (2.2.30 t kao i činjenicu da je zapreminska gustina struje j lokalizovana unutar oblasti V pa j ds = 0. V Ako ovaj uslov ne bi važio onda bi na granici oblasti V gustina struje imala normalnu komponentu pa bi naelektrisanja prolazila kroz granicu oblasti V. Onda to ne bi bila granica oblasti V. Dakle dobili smo rotb(r = µ 0 j(r. (2.2.31 Ovo je lokalni oblik Amperove teoreme. Integracijom po nepokretnoj konturi dobijamo integralni oblik Amperove teoreme B dl = µ 0 I S, (2.2.32 L gde je I S jačina struje koja prolazi kroz površ nategnutu na konturu L. Cirkulacija magnetne indukcije proporcionalna je sa strujom I S. Rezimirajmo na kraju da je magnetostatičko polje odredjeno sa vrednostima njegove divergencije i rotora: divb(r = 0 rotb(r = µ 0 j(r. (2.2.33 2.3 Razlaganje skalarnog potencijala po multipolima Neka se unutar neke oblasti V linearnih dimenzija d nalazi naelektrisanje čija je zapreminska gustina ρ = ρ(r. Potencijal električnog polja je ϕ(r = 1 4πɛ 0 V ρ(r d 3 r r r. (2.3.34 Na velikim rastojanjima od ovog sistema (d r potencijal se može razviti u red po stepenima 1 od d/r. Da bi to pokazali podintegralni izraz ćemo razviti u red po stepenima (d/r. r r

2.3. RAZLAGANJE SKALARNOG POTENCIJALA PO MULTIPOLIMA 23 Primenom binomne formule imamo 1 r r 1 = r2 2r r + r = 1 ( 2 1/2 r 1 + r 2 2r r r 2 = 1 ( 1 1 r 2 r 2 r + r r + 3 (r r 2 +... 2 r 2 2 r 4 = 1 r + r r Poslednji član u prethodnom izrazu prepisaćemo u obliku r 3 + 3(r r 2 r 2 r 2 2r 5 +.... (2.3.35 3(r r 2 r 2 r 2 = x i x j (3x ix j r 2 δ ij, (2.3.36 gde su x i i x i dekartove koordinate vektora r odnosno r. Zamenom (2.3.35 u (2.3.34 imamo ϕ(r = 1 ( 1 ρ(r d 3 r + r r ρ(r d 3 r + 1 4πɛ 0 r r 3 2r x ix 5 j ρ(r (3x ix j r 2 δ ij d 3 r +.... (2.3.37 Integral u prvom sabirku u (2.3.37 je ukupno naelektrisanje Q sistema. Drugi sabirak sadrži električni dipolni moment sistema naelektrisanja p = r ρ(r d 3 r. (2.3.38 Dipolni moment zavisi od izbora koordinatnog početka, sem kod elektroneutralnih sistema. Za sistem tačkastih naelektrisanja dipolni moment je p = d 3 r rρ(r = q α d 3 r rδ (3 (r r α α = α q α r α. (2.3.39 Veličina D ij = ρ(r (3x ix j r 2 δ ij d 3 r (2.3.40 je tenzor kvadrupolnog momenta. Razvoj (2.3.37 postaje ϕ(r = 1 ( Q 4πɛ 0 r + r p + x ix j D ij +.... (2.3.41 r 3 2r 5 U najnižoj aproksimaciji potencijal na velikim rastojanjima od sistema naelektrisanja je potencijal tačkastog naelektrisanja Q smeštenog u koordinatni početak. To je tzv. monopolni član i on je oblika 1/r. Sledeći član u razvoju potencijala je oblika 1/r 2 i to je dipolni član. Naredna korekcija potencijala, koja se na velikim rastojanjima ponaša kao 1/r 3 je kvadrupolni član.

24 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE Za sistem tri naelektrisanja: q u tački (0, 0, a, q u tački (0, 0, a i 2q u koordinatnom početku prva nenulta korekcija potencijala je kvadrupolna, jer je Q = 0 i p = 0. Ovaj sistem naelektrisanja je tzv. linerani kvadrupol. Navešćemo neke osobine tenzora kvadrupolnog momenta. 1. Tenzor kvadrupolnog momenta je simetričan tenzor nultog traga. Njegov trag je nula zbog 3 (3x ix i r 2 δ ii = 0. (2.3.42 i=1 2. Ako je raspodela naelektrisanja sferno-simetrična, ρ = ρ(r onda je tenzor kvadrupolnog momenta jednak nula. Ovo se lako pokazuje, npr. D 11 = 0 drr 4 ρ(r π 0 dθ sin θ 2π 0 dφ(3 sin 2 θ cos 2 φ 1 = 0. (2.3.43 Nenulti matrični elementi tenzora kvadrupolnog momenta opisuju odstupanje sistema od sferne simetrije. 3. Ako sistem poseduje aksijalnu simetriju, tj. invarijantnost na rotacije oko z ose, tenzor kvadrupolnog momenta je dijagonalnog oblika D 11 0 0 D = 0 D 11 0. (2.3.44 0 0 2D 11 Pokažimo sada da je tenzor kvadrupolnom momenta euklidski tenzor. Pri rotaciji koordinatnog sistema (pasivna interpretacija Dekartov bazis {e 1, e 2, e 3 } prelazi u {e 1, e 2, e 3}. Primovane bazisne vektore možemo razviti po starim e i = 3 R ij e j. (2.3.45 j=1 Koeficijenti u razvoju R ij čine matricu rotacije R. Ova matrica je ortogonalna, R T R = RR T = I i zadovoljava uslov det R = 1. To su tzv. specijalne ortogonalne matrice, SO(3. Pri rotaciji koordinatnog sistema koordinate vektora se transformišu, dok se sam vektor ne menja. Iz imamo odnosno 3 3 r = x i e i = x ie i (2.3.46 i=1 i=1 3 3 x j e j = x ir ij e j (2.3.47 j=1 i,j=1 3 3 x j = R ij x i = (R T ji x i (2.3.48 i=1 i=1

2.3. RAZLAGANJE SKALARNOG POTENCIJALA PO MULTIPOLIMA 25 odakle dobijamo zakon tranformacije x i = 3 (R T 1 ij x j = j=1 3 R ij x j, (2.3.49 j=1 gde smo u poslednjem koraku iskoristili činjenicu da je matrica R ortogonalna. Neka su D ij komponente tenzora kvadrupolnog momenta u sistemu S, a D ij njegove komponente u sistemu dobijenog rotacijom iz S. Veza izmedju ovih komponenti je: D ij = = = ρ(r (3x ix j r 2 δ ij d 3 r ρ(r(3r ik R jl x k x l r 2 δ ij d 3 r ρ(rr ik R jl (3x k x l r 2 δ kl d 3 r = R ik R jl D kl = (RDR T ij (2.3.50 Time smo pokazali da su D ij stvarno komponente tenzora drugog reda. Zašto je d 3 r = d 3 r i δ ij = R ik R jl δ kl? Iz (2.3.41 lako možemo dobiti izraz za električno polje na velikim rastojanjima: E = ϕ = 1 ( Q 4πɛ 0 r r + 3(p rr r2 p +.... (2.3.51 3 r 5 Prvi član je monopolni dok je drugi dipolni. Električni dipol je sistem dva nalektrisanja q i q na rastojanju l. Dipolni moment dipola je p = ql, gde je vektor l usmeren od negativnog ka pozitivnom naelektrisanju. Tačkasti dipol je dipol kod kojeg je rastojanje izmedju naelektrisanja, l infinitezimalno malo. Potencijal tačkastog dipola koji se nalazi u koordinatnom početku na rastojanju r od njega je ϕ(r = 1 4πɛ 0 r p r 3. (2.3.52 Jačina električnog polja se dobija nalaženjenjem gradijenta potencijala. Naivan račun zasnovan na običnom diferenciranju daje korektno polje za r 0. Električno polje dipola je singularno u tačke gde se nalazi dipol. Rezultat za polje je E = 1 ( 3(p rr r 2 p 4π 4πɛ 0 r 5 3 pδ(3 (r. (2.3.53 Prvi član u (2.3.53 je isti kao dipolna korekcija u razvoju (2.3.51. To je tačan izraz za polje dipola ukoliko je r 0. Član sa delta funkcijom je neophodan jer je zapreminski integral po

26 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE sferi, poluprečnika R čiji je centar u koordinatnom početku r<r Ed 3 r = 1 4πɛ 0 = 1 4πɛ 0 r<r π 2π 0 ( p r 0 d 3 r r 3 p cos 2 θ sin θdθdφe 3 = p 3ɛ 0. (2.3.54 Primenili smo formulu (A.0.7 iz vektorske analize. U prethodnom izvodjenju pretpostavili smo da je električni dipolni moment usmeren duž z ose. Prvi sabirak u (2.3.53 daje nulti doprinos zapreminskom integralu definisanom gore. 2.4 Razlaganje vektorskog potencijala po multipolima Neka se unutar neke oblasti V nalazi prostorno lokalizovan sistem naelektrisanja u kretanju opisan zapreminskom gustinom struje j = j(r. Vektorski potencijal na velikim rastojanjima od ovog sistema takodje se može razviti u red po multipolima. Zamenom (2.3.35 u dobijamo A(r = µ ( 0 1 4π r A(r = µ 0 4π j(r d 3 r + 1 r 3 j(r r r d3 r (2.4.55 (r r j(r d 3 r +..., (2.4.56 gde smo zadržali samo prva dva člana. Neka su f(r i g(r dve neprekidne funkcije. Iz Gausove teoreme d 3 r div(fg j = fg j ds (2.4.57 sledi V V V [( fgj + ( gfj ]d 3 r = 0, (2.4.58 jer je divj = 0 i j ds = 0. Ako u (2.4.58 uzmemo da je f = x i i g = 1 onda dobijamo V V j i d 3 r = 0, (2.4.59 a ako za funkcije f i g izaberemo f = x i, g = x k onda dobijamo V x i j k d 3 r = x k j i d 3 r. (2.4.60 V

2.4. RAZLAGANJE VEKTORSKOG POTENCIJALA PO MULTIPOLIMA 27 Prvi član u razvoju (2.4.56 je monopolni član i on je jednak nuli zbog (2.4.59. Drugi član u (2.4.56 transformisaćemo uz pomoć (2.4.60 na sledeći način A (2 (r = µ 0 1 (r r j(r d 3 r 4π r 3 = µ 0 4π = µ 0 4π = µ 0 4π = µ 0 4π = µ 0 4π 1 ( (r r j(r d 3 r + (r r j(r d 3 r 2r 3 1 ( (r r j(r d 3 r + x 2r 3 i x ij k (r e k d 3 r 1 ( (r r j(r d 3 r x 2r 3 i x kj i (r e k d 3 r 1 d 3 r ((r r j(r (r j r 2r 3 d 3 r (r j(r r. (2.4.61 1 2r 3 Ako uvedemo magnetni dipolni moment sistema m = 1 d 3 r r j (2.4.62 2 onda drugi član u razvoju vektorskog potencijala je A (2 = µ 0 m r. (2.4.63 4π r 3 Najniži nenulti član u razvoju vektorskog potencijala stacionarne lokalizovane struje je dipolni član. Magnetna indukcija na velikim rastojanjima od lokalizovane struje se lako nalazi iz B = rota. Rezultat je B = µ 0 3(m rr r 2 m. (2.4.64 4π r 5 To je magnetno polje na velikim rastojanjima od dipola koji se nalazi u koordinatnom početku. Izraz (2.4.63 je vektorski potencijal magnetnog dipola, momenta m koji se nalazi u koordinatnom početku, dok izraz (2.4.64 zahteva korektivni član za r = 0. Naime, lako se vidi da je 4 Bd 3 r = 2µ 0 r<r 3 m (2.4.65 pa je magnetno polje tačkastog dipola koji se nalazi u koordinatnom početku B = µ ( 0 3(m rr r 2 m + 8π 4π r 5 3 mδ(3 (r. (2.4.66 Odredimo magnetni moment konture sa strujom I u ravni prikazanoj na slici 2.4. Ako je ravan konture xoy ravan onda primenom formule za magnetni moment dobijamo m = 1 2 I r dr = ISn, (2.4.67 gde je S površina konture, a n njen ort. 4 V d3 xrota = ds(n A

28 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE Figure 2.6: Strujna kontura u xoy ravni. 2.5 Faradejev zakon elektromagnetne indukcije Faradej je eksperimentalno otkrio da se u nepokretnom provodniku indukuje struja ukoliko se u provodniku u njegovoj blizini ili menja struja ili je struja stalna a provodnik se kreće. Takodje do pojave električne struje u provodniku doći će i kada su provodnik i magnet u relativnom kretanju. U svim ovim primerima dolazi do promene fluksa magnetnog polja, definisanog sa Φ = B ds (2.5.68 S kroz konturu provodnika u kome se indukuje struja. Faradejev zakon elektromagnetne indukcije uspostavlja vezu izmedju promene fluksa magnetnog polja kroz površinu S i cirkulacija električnog polja E = E dr (2.5.69 C izračunatoj po zatvorenoj konturi C koja je granica površine S, tj. C = S. Kontura C u definiciji elektromotorne sile je nepokretna. Faradejev zakon ima jednostavan matematički oblik: E = E dr = d B ds. (2.5.70 C dt S Magnetno polje čiji se fluks menja indukuje električno polje. Znak minus u (2.5.70 je vezan sa Lencovim pravilom. Ako je kontura C provodnik onda će zbog dejstva indukovanog električnog polja u provodniku teći struja koju možemo meriti. Naravno, pojava indukovanog električnog polja je nezavisna od postojanja provodnika u kome se indukuje struja. Neka je magnetno polje usmereno kao na slici 2.7 i neka raste sa vremenom Vrtložno električno polje je prikazano na slici 2.7. Primenom Stoksove teoreme u (2.5.70 dobijamo B rote ds = ds (2.5.71 t odakle dobijamo Faradejev zakon u lokalnom obliku S S rote = B t. (2.5.72 Pri kretanju konture C integralni oblik Faradejevog zakona ne važi u obliku (2.5.70, dok diferencijalni oblik Faradejevog zakon važi generalno u klasičnoj elektrodinamici. Detaljnija analiza Faradejevog zakona za pokretnu konturu biće analizirana kasnije.

2.6. MAKSVELOVE JEDNAČINE 29 Figure 2.7: Smer vrtložnog električnog polja kada magnetno polje polje raste sa vremenom. 2.6 Maksvelove jednačine U prethodnim lekcijama izložili smo osnovne zakonitosti elektrostatičkog i magnetostatičkog polja u vakuumu kao i Faradejev zakon koji uspostavlja vezu izmedju električnog i magnetnog polja. Zakon indukcije ukazuje nam da su električno i magnetno polje deo jedinstvenog elektromagnetnog polja. Maksvelove jednačine su jednačine koje opisuju klasično elektromagnetno polje u vakuumu. Potvrdjene su u velikom broju eksperimenata i povezuju izvore polja: zapreminsku gustinu naelektrisanja ρ(r, t i zapreminsku gustinu struje j(r, t sa jačinama polja E(r, t, B(r, t: ρ(r, t dive(r, t = (2.6.73 ε 0 divb(r, t = 0 (2.6.74 rote(r, t = B (2.6.75 t ( E rotb(r, t = µ 0 j(r, t + ε 0. (2.6.76 t Odmah vidimo da su Maksvelove jednačine parcijane diferencijalne jednačine i da su lokalne i simultane. Prva od njih je Gausov zakon koji važi ne samo za elektrostatičko polje već i za promenljivo električno polje. Druga jednačina govori o bezizvornosti magnetnog polja. Treća je Faradejev zakon elektromagnetne indukcije; promenljivo magnetno polje stvara vrtložno električno polje. Četvrta jednačina je analogna Amperovom zakonu ali sadrži jedan dodatni član, E j d = ε 0 (2.6.77 t tzv. struju pomeranja. Kretanje naelektrisanja, tj. struja provodjenja ali i struja pomeranja stvaraju vrtložno magnetno polje. Pretpostvimo da struja pomeranja nije izvor magnetnog polja, tj. da Amperova teorema rotb(r, t = µ 0 j(r, t (2.6.78

30 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE Figure 2.8: važi za vremenski promenljivo magnetno polje. Razmotrimo kondenzator gde struja teče u smeru kao na slici 2.6. Primenom integralnog oblika prethodne formule gde je kontura C u blizini provodnika a daleko od kondenzatora imamo { S B dl = 0 S 0I S 1 rotbds = µ 0 S 1 jds = 0. (2.6.79 C Rezultat zavisi od izbora površi nategnute na konturu C, tj. cirkulacija magnetne indukcije nije ista za površi S i S 1 nategnute na konturu C. Iz ove jednostavne analize vidimo da jednačina (2.6.78 nije korektna. Njoj nedostaje član sa strujom pomeranja. Kada se neka supstancijalna sredina nalazi u promenljivom električnom polju dolazi do njenog polarizovanja; naelektrisanja sredine pod dejstvom spoljnjeg polja počinju da se kreću, nastaje tzv. polarizaciona struja. Maksvel je iskoristio tu ideju tako što je smatrao da promenljivo električno polje uzrokuje kretanje naelektrisanih čestica u etru i zato je uveo struju pomeranja kao izvor magnetnog polja. Naravno, mi danas znamo da etar ne postoji, ali je član (2.6.77 u četvrtoj Maksvelovoj jednačini korektan. Maksvelove jednačine su saglasne sa jednačinom kontinuiteta. Uzmimo divergenciju četvrte Maksvelove jednačine (2.6.76: ( E divrotb = µ 0 div j + ε 0. (2.6.80 t Kako je divrot = 0 onda primenom prve Maksvelove jednačine imamo divj + ρ t = 0. E Dobili smo jednačinu kontinuiteta. Iz ovog izvodjenja se još vidi i da je polje j +ε 0 bezizvorno t tj. da su njegove linije zatvorene. Maksvelove jednačine su linearne tako da važi princip superpozicije. Ako izvori ρ 1, j 1 generišu polje E 1, B 1 a izvori ρ 2, j 2 generišu polje E 2, B 2 onda izvori ρ 1 + ρ 2, j 1 + j 2 generišu polje E 1 + E 2, B 1 + B 2.

2.7. SAMOUSAGLAŠENO ODREDJIVANJE EMP U VAKUUMU 31 Neka su u nekoj oblasti prostora nemamo naelektrisanih čestica, tj. neka je ρ = 0 i j = 0. Uzmimo rotor četvrte Maksvelove jednačine. Primenom vektorskog identiteta (A.0.6 i treće Maksvelove jednačine dobijamo: Konačno, korišćenjem druge Maksvelove jednačine dobijamo Slično uzimanjem rotora treće Maksvelove jednačine dobijamo graddivb B = µ 0 ε 0 2 B t 2. (2.6.81 B 1 c 2 2 B t 2 = 0. (2.6.82 E 1 c 2 2 E t 2 = 0. (2.6.83 Dobili smo talasne jednačine. Dakle, u oblasti prostora gde su odsutni izvori u vakuumu postoji elektromagnetni talas. Fazna brzna elektromagnetnog talasa u vakuumu je c = 1 ɛ0 µ 0 = 3.10 8 m s. Herz je dokazao postojanje elektromagnetnih talasa. 2.7 Samousaglašeno odredjivanje EMP u vakuumu Naelektrisanja i struje odredjuju elektromagnetno polja ali i polje utiču na kretanje naelektrisanih čestica tako da izvore i polja treba odredjivati samousaglašeno. Posmatrajmo sistem od N naelektrisanih čestica. Zapreminska gustina naelektrisanja je data sa zapreminska gustina struje je ρ(r, t = j(r, t = N q α δ (3 (r r α (t, (2.7.84 α=1 N q α v α δ (3 (r r α (t. (2.7.85 α=1 Oni zadovoljavaju jednačinu kontinuiteta. Maksvelove jednačine imaju sledeći oblik dive(r, t = 1 N q α δ (3 (r r α (t ε 0 α=1 divb(r, t = 0 rote(r, t = B t ( N rotb(r, t = µ 0 q α v α δ (3 E (r r α (t + ε 0. (2.7.86 t α=1

32 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE Ovaj skup jednačina treba dopuniti jednačinama kretanja čestica dp α dt = q α (E α + v α B α, α = 1,..., N. (2.7.87 Polja i čestice su odredjene sa ukupno 3N+8 jednačinom. Nepoznate veličine su E(r, t, B(r, t, r α = r α (t pa je broj nepoznatih 3N + 6. Odmah primećujemo da je broj jednačina veći od broja nepoznatih i to za dva. Postavlja se pitanje da li je sistem jednačina kretanja predefinisan jer postoje dve jednačine viška. Pokazaćemo da su te dve jednačine zapravo početni uslovi pa je broj jednačina isti kao i broj nepoznatih. Ako uzmemo divergenciju četvrte Maksvelove jednačine i primenimo jednačinu kontinuiteta dobijamo 0 = µ 0 div(j + ε 0 E t = µ 0 ( ρ t + ε 0 (dive t = µ 0 t (ε 0divE ρ. Iz poslednjeg izraza vidimo da je izraz F ε 0 dive(r, t ρ(r, t nezavistan od vremena i jednak je vrednosti ovog izraza u početnom trenutku ε 0 dive(r, t ρ(r, t = ε 0 dive(r, t 0 ρ(r, t 0, gde je t 0 početni trenutak. Prva Maksvelova jednačina onda fiksira F (x, y, z = 0. Slično uzimajući divergenciju treće Maksvelove jednačine dobijamo da je divb(r, t = G(x, y, z = divb(r, t 0 Druga Maksvelova jednačina fiksira G(r = 0. Ovim smo pokazali da od osam jednačina polja dve nisu dinamičke već predstavljaju početne uslove. Bez obzira što smo rekli da polja i naelektrisanja utiču i odredjuju jedni druge u praksi, pri rešavanju elektrodinamičkih problema se primenjuju dve aproksimacije. Jedna je aproksimacija zadatih gustina kada smatramo da su gustine naelektrisanja i struja ρ(r, t, j(r, t poznate i da rešavanjem jednačina nalazimo polja. Druga je aproksimacija zadatih polja. U ovoj aproksimaciji polja su zadata pa iz Maksvelovih jednačina nalazimo gustine naelektrisaja. 2.8 Potencijali elektromagnetnog polja u vakuumu Mi smo već ranije za statička polja uveli skalarni i vektorski potencijal. Medjutim, na osnovu bezizvornih Maksvelovih jednačina možemo uvesti skalarni i vektorski potencijal za proizvoljno elektromagnetno polje. Iz druge Maksvelove jednačine, divb = 0 sledi B(r, t = rota(r, t, jer je divrot 0. Zamenom B = rota u treću Maksvelovu jednačinu (2.6.75 imamo ( rot E + A = 0 t

2.8. POTENCIJALI ELEKTROMAGNETNOG POLJA U VAKUUMU 33 pa je E = A t ϕ jer je rotgrad 0. Dakle, jačinu električnog polja i magnetnu indukciju možemo izraziti preko potencijala ϕ i A: B = rota (2.8.88 E = A ϕ. t (2.8.89 Potencijali su funkcije vektora položaja i vremena. Sest funkcija E x,..., B z zamenili smo sa četiri ϕ, A x, A y, A z. Imamo ih dve manje jer smo rešili bezizvorne Maksvelove jednačine, tj. polja (2.8.88, (2.8.89 automatski zadovoljavaju drugu i treću Maksvelovu jednačinu. 2.8.1 Jednačine za potencijale Zamenem izraza (2.8.89 u prvu Maksvelovu jednačinu dobijamo ϕ + t diva = ρ/ε 0. (2.8.90 Zamenom (2.8.88 i (2.8.89 u četvrtu Maksvelovu jednačinu imamo odnosno ( rotrota = µ 0 j µ 0 ε 0 t ϕ + A t (2.8.91 A 1 2 A c 2 t grad(diva + 1 ϕ 2 c 2 t = µ 0j. (2.8.92 Jednačine za potencijale (2.8.90 i (2.8.92 su parcijalne diferencijalne jednačine drugog reda. Ove jednačine su kuplovane, jer se skalarni i vektorski potencijal pojavljuju u ove jednačine. 2.8.2 Kalibraciona (gauge ili gradijentna simetrija Potencijali nisu jednoznačno definisani. definisane sa Sa potencijala ϕ i A prećićemo na nove potencijae ϕ = ϕ + Λ t A = A Λ, (2.8.93 gde je Λ = Λ(r, t proizvoljna funkcija. Transformacije potencijala (2.8.93 nazivaju se kalibracionim (gradijentnim ili gauge transformacijama. Novi potencijali daju ista polja kao i polazni potencijali ϕ i A. Ovo se lako proverava: E = A t ϕ = E + t A t A = E B = rot(a Λ = rota = B. (2.8.94

34 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE Jačina električnog polja i magnetna indukcija su invarijantne na kalibracione transformacije, a kako su oni opservabilne veličine to zaključujemo da je elektrodinamika gauge (ili kalibraciono invarijantna teorija 5. Kalibraciona simetrija je osnova za razumevanje sve četiri interakcije u prirodi. Potencijali su dakle nejednoznačni; odredjeni su do na kalibracione transformacije. Stoga je moguće nametnuti neki uslov na potencijale, tj. fiksirati gauge. Potrebno je proveriti da se kalibracioni uslov može nametnuti, tj. da li sa potencijala koji ne zadovoljavaju dati kalibracioni uslov možemo kalibracionom transformacijom preći na nove potencijale koji su u datoj kalibraciji. Najčešće se koriste Lorencov i Kulonov kalibracioni uslov. Lorencov uslov je Kasnije ćemo pokazati da je ovaj uslov Lorenz invarijantan. Lorencovoj kalibraciji dekuplovane: diva + 1 c 2 ϕ t = 0. (2.8.95 Jednačine za potencijale su u ϕ 1 c 2 2 ϕ t 2 = ρ/ε 0 A 1 c 2 2 A t 2 = µ 0 j. (2.8.96 Sada ćemo proveriti da je Lorencov kalibracioni uslov moguće nametnuti na potencijale (ϕ, A. Neka polazni potencijali ne zadovoljavaju Lorencov gauge, tj. neka je diva + 1 c 2 ϕ t = Ψ(t, r 0. Kalibracionom transformacijom potencijali (ϕ, A prelaze u nove potencijale (ϕ, A za koje zahtevamo da zadovoljavaju Lorencov kalibracioni uslov: Gornja jednačina postaje 0 = diva + 1 ϕ c 2 t = div(a Λ + 1 ( c 2 t = diva + 1 c 2 ϕ t ( Λ 1 c 2 2 Λ t 2. ϕ + Λ t Λ 1 2 Λ c 2 t = Ψ 2 Ovo je nehomegena Dalamberova jednačina za koju znamo da ima rešenja. Primetimo da kada fiksiramo Lorencov gauge možemo i dalje vršiti gauge transformacije sa funkcijama Λ koja zadovoljavaju Λ 1 2 Λ c 2 t = 0. 2 Ova dopunska simetrija preostala nakon fiksiranja gauga naziva se rezidualnom simetrijom. 5 Potencijali nisu opservabilni u klasičnoj elektrodinamici.

2.8. POTENCIJALI ELEKTROMAGNETNOG POLJA U VAKUUMU 35 U Kulonovoj kalibraciji na potencijle se nameće sledeći uslov diva = 0. Jednačine za potencijale u ovoj kalibraciji postaju ϕ(r, t = ρ(r, t/ε 0 A 1 2 A c 2 t 2 = µ 0 j + 1 c ϕ 2 t. (2.8.97 Ove jednačine su spregnute; u obe se pojavljuje skalarni potencijal. Rešenje prve jednačine je ϕ(r, t = 1 ρ(r, td 3 r, (2.8.98 4πɛ 0 r r tzv. trenutni Kulonov potencijal. Druga jednačina je A 1 c 2 2 A 2 t = µ 0 j + 1 4πε 0 c ρ(r, td 3 r 2 t r r = µ 0 j 1 div 4πε 0 c j(r, td 3 r 2 r r = µ 0 j(r 4π rotrot, td 3 r. (2.8.99 r r Prelaz sa drugog na treći red u (2.8.99 je netrivijalan. Proverićemo ga tako što ćemo krenuti od izraza u trećem redu: j(r, td 3 r j(r, td 3 r j(r, td 3 r rotrot = graddiv r r r r r r = j(r, t 1 r r d3 r + 4πj = j(r, t 1 r r d3 r + 4πj ( j(r = div, t div d 3 r j(r, td 3 r + + 4πj r r r r ( j(r, t ds div j(r, t d 3 r + 4πj V r r r r div j(r, t = d 3 r + 4πj(r, t. (2.8.100 r r U prvom redu primenili smo (A.0.6, zatim Dirak-Grinov identitet i (A.0.1, u trećem formulu (2.2.28 a zatim ponovo vektorski identitet (A.0.1. Rezultat (2.8.100 ćemo prepisati u obliku j = 1 div 4π j(r, t d 3 r + 1 j(r r r 4π rotrot, td 3 r. (2.8.101 r r

36 CHAPTER 2. MAKSVELOVE JEDNAČINE Vektorsko polje j smo razložili u dve komponente. Prvi sabirak j L = 1 4π div j(r, t d 3 r (2.8.102 r r zadovoljava uslov rotj L = 0. Ova komponenta vektora gustine struje naziva se longitudinalnom komponentom. Druga komponenta j T = 1 j(r 4π rotrot, td 3 r r r (2.8.103 je tzv. transverzalna (solenoidna komponenta. Ona zadovoljava uslov divj T = 0. Ovim smo pokazali Helmholcovu teoremu, po kojoj se svako vektorsko polje može razložiti na transverzalnu i longitudinalnu komponentu. Jednačina (2.8.99 je dakle A 1 2 A c 2 2 t = µ 0j T. (2.8.104 Sa desne strane ove jednačine figuriše samo transverzalna komponenta gustine struje. Kulonov gauge se često naziva transverzalnim gauge-om.

Chapter 3 Elektromagnetno polje u sredini U prethodnoj glavi formulisali smo jednačine za elektromagnetno polje u vakuumu. Sada ćemo naći jednačine za polje u prisustvu supstancijalne sredine. 3.1 Maksvel Lorencove jednačine za polje u supstancijalnoj sredini Elektromagnetno polje u supstancijalnoj sredini generišu naelektrisanja te sredine kao i naelektrisanja uneta u tu sredinu. Mikroskopske gustina naelektrisanja η(r, t i struje k(r, t sredine su brzo fluktuirajuće funkcije kako u prostoru tako i u vremenu. Sva naelektrisanja, dakle spoljašnja i unutrašnja, generišu mikropolja: mikroskopsko električno polje e(r, t i mikroskopsku magnetnu indukciju b(r, t. Mikropolja su takodje brzo fluktuirajuće funkcije. Vremenske fluktuacije su sa periodom reda T 10 17 s a prostorne d 10 10 m. Uzimajući da se sva prisutna naelektrisanja, dakle naelektrisanja sredine i spolja uneta naelektrisanja, nalaze u vakuumu možemo napisati Maksvelove jednačine za mikropolja: div(ε 0 e = η + ρ ext divb = 0 rote = b t ( b rot µ 0 = k + j ext + ε 0 e t. (3.1.1 Da bi imali kompletan sistem jednačina moramo dodati jednačine kretanja naelektrisanih čestica: dp α dt = q α (e α + v α b α, α = 1,..., N (3.1.2 gde je N je reda veličine 10 23. Iz ovog sistema jednačina ne možemo izvući neku značajnu informaciju. Čak i kad bi uspeli da rešimo jednačine, ne znamo početne uslove. Mikroskopska polja kao i mikroskopska gustine naelektrisanja i struje su neopservabilne veličine. Zato ćemo ih usrednjiti po prostornom i vremenskom intervalu, koji su odredjeni samim 37

38 CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI procesom merenja makroskopskih veličina. Mi ne merimo polje u tački r već merimo srednje polje unutar oblasti V oko tačke r, gde je V zapremina sonde kojom merimo polje. Slično, usrednjavamo i po vremenu. Makroskopska vrednost polja ili gustina u trenutku t predstavlja srednju vrednost mikroskopskih veličina po vremenu usrednjenu u vremenskom intervalu t. Makroskopsko električno polje, E(r, t je srednja vrednost mikroskopskog polja, e(r, t: E(r, t = e(r, t = 1 t V V t d 3 r dt e(r + r, t + t. (3.1.3 Slično se definišu srednje vrednosti ostalih mikroskopskih veličina. Ako su veličine posle usrednjavanja i dalje brzo fluktuirajuće onda ih usrednjavamo statistički 1. Jasno je da parcijalni izvodi komutiraju sa usrednjavanjem: e(r, t = e(r, t (3.1.4 x i x i i slično e(r, t = e(r, t t t Posle usrednjavanja mikroskopskih jednačina (3.1.1 dobijamo div(ε 0 E = η + ρ ext divb = 0 rote = B t rot( B µ 0 = k + j ext + ε 0 E t. 0. (3.1.5 E i B su makroskopska jačina električnog polja odnosno makroskopska magnetna indukcija; k i η su makroskopske gustine struje i naelektrisanja i oni su funkcije makroskopskih polja. Unutrašnja naelektrisanja ćemo podeliti na slobodna i vezana. Slobodna naelektrisanja se kreću po celom telu. Vezana naelektrisanja su lokalizovana u atomu, molekulu ili jonu. 2 U metalima postoje slobodni elektroni; joni i elektroni su slobodna naelektrisanja u plazmi, joni su takodje slobodna naelektrisanja u elektrolitu. Mikroskopska gustina unutrašnjih naelektrisanja je η = η sl + η vez, (3.1.6 dok je mikroskopska gustina struje 1 Srednja vrednost opservable A(p i, q i, t po ansamblu je A(pi, q i, tf(p i, q i dγ Ā = f(pi, q i dγ k = k sl + k vez. (3.1.7 gde je f funkcija raspodele, a dγ = d3 p i d 3 q i element faznog prostora. 2 h 3N N! Ova podela je uslovna, npr. u brzo promenljivom polju sva naelektrisanja se ponašaju kao vezana.

3.1. MAKSVEL LORENCOVE JEDNAČINE ZA POLJE U SUPSTANCIJALNOJ SREDINI39 Figure 3.1: Srednje vrednosti ovih gustina su η(r, t = η sl. (r, t + η vez. (r, t = ρ sl + ρ vez k(r, t = k sl. (r, t + k vez. (r, t = j sl + j vez. Da bi ρ sl bilo različito od nule nije dovoljno da se naelektrisanja sredine mogu slobodno kretati u njoj, već moraju biti u višku ili manjku. Mikroskopska gustina slobodnih naelektrisanja je η sl = j sl q j δ (3 (r r j (t, (3.1.8 dok je mikroskopska gustina vezanih naelektrisanja η vez = n η n (r, t, (3.1.9 gde je η n (r, t = q j δ (3 (r r j (t j n = q j δ (3 (r r n (t r nj (t j n gustina naelektrisanja n tog molekula (ili ćeliji tela; atomu, jonu,... r n je radijus vektor centra mase n tog molekula, r nj je radijus vektor naelektrisanja q j koje pripada n tom molekulu, u odnosu na njegov centar mase. Ove oznake su predstavjene na slici 3.1. Polarizacija, P(r, t je definisana kao dipolni moment jedinične zapremine n V P(r, t = p n. (3.1.10 V

40 CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI U prethodnoj formuli sumira se po dipolnim momentima koji su u okolini tačke r u trenutku t. Ako je vektor položaja dipola momenta p α obeležen sa r α polarizacija sistema tačkastih dipola je P(r, t = α p α δ (3 (r r α (t. (3.1.11 U slučaju supstancijalne sredine prethodmu sumu ćemo obeležiti sa π(r, t pa je π(r, t = n p n δ (3 (r r n (t, (3.1.12 gde je p n električni dipolni moment n tog molekula. To je mikroskopska polarizacija. Makroskopska polarizacija je njena srednja vrednost Gustina vezanih naelektrisanja je ρ vez = = = = = P(r, t = π(r, t = p n δ (3 (r r n (t. (3.1.13 η n = q j δ (3 (r r n r nj n n j n n ( q j δ (3 (r r n q j r nj δ (3 (r r n (t +... n j n j n q n δ (3 (r r n p n δ (3 (r r n (t +... n n q n δ (3 (r r n div p n δ (3 (r r n (t +... n n q n δ (3 (r r n divp. (3.1.14 n U drugom redu delta funkciju smo razvili u red smatrajući da je r nj r n. Kvadratne članove smo zanemarili. Molekule (odnosno atome, jone,.. karakterišemo sa njihovim ukupnim naelektrisanjem i dipolnim momentom. Sledeća korekcija bi bio kvadrupolni moment ali taj član nismo uključili. Sa q n obeležili smo naelektrisanje n tog molekula. Ako je molekul elektroneutralan onda je prvi član u krajnjem rezultatu jednak nuli. Ukupna srednja vrednost mikroskopske gustine naelektrisanja je η = ρ sl + q n δ (3 (r r n divp n = ρ divp, (3.1.15

3.1. MAKSVEL LORENCOVE JEDNAČINE ZA POLJE U SUPSTANCIJALNOJ SREDINI41 gde je ρ = q j δ (3 (r r j (t + q n δ (3 (r r n j,sl n (3.1.16 makroskopska gustina naelektrisanja. Ona se sastoji od dva sabirka; prvi je srednja vrednost mikroskopskog slobodnog naelektrisanja, a drugi se dobija usrednjavanjem vezanih naelektrisanja molekula tretiraću ih kao tačkasta. U provodnoj sredini zbir prvog i drugog člana je nula ukoliko je sredina elektroneutralna. U metalima postoje slobodni elektroni koji se mogu kretati po celom telu, zatim vezani elektroni i nepokretni pozitivno naelektrisani joni u čvorovima metalne rešetke. Makroskopska gustina naelektrisanja provodne sredine je jednaka nuli. U dielektričnim sredinama nema slobodnih naelektrisanja pa je prvi sabirak u (3.1.16 jednak nuli. Molekuli sredine su elektroneuralni pa je i drugi sabirak jednak nuli. Neutralnost sredine u oba slučaja se narušava dodavanjem spoljnih naelektrisanja. U literaturi se često ρ identifikuje sa ρ sl što je u većini slučajeva tačno. Magnetni dipolni moment m = 1 d 3 r r j(r, t (3.1.17 2 za sistem tačkastih naelektrisanja je m = 1 q α r α v α. (3.1.18 2 α Magnetizacija se definiše slično kao polarizacija n V M(r, t = m n. (3.1.19 V Ona je suma magnetnih dipolnih momenata po jedinici zapremine. Za sistem tačkastih magnetnih dipola izražena je preko delta funkcije M(r, t = α m α δ (3 (r r a (t. (3.1.20 Mikroskopska magnetizacija sredine je µ(r, t = n m n δ (3 (r r n (t. (3.1.21 U prethodnoj formuli m n je magnetni dipolni moment n tog molekula. Srednja vrednost mikroskopske magnetizacije je makroskopska magnetizacija (koju ćemo zvati magnetizacijom M(r, t = µ(r, t. (3.1.22 Neka je v n brzina n tog molekula, a v ni = dr ni brzina i-tog naelektrisanja koje pripada dt n tom molekulu u odnosu na centar mase molekula. Srednja vrednost mikroskopske gustine

42 CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI struje vezanih naelektrisanja je j vez (r, t = k vez (r, t = k n (r, t n = q i (v n + v ni δ (3 (r r n (t r ni (t n i n qi (v n + v ni (δ (3 (r r n (t r ni δ (3 (r r n (t = n +... i n qi v n δ (3 (r r n (t + q i v ni δ (3 (r r n (t = n i n q i v n (r ni δ (3 (r r n (t n i n q i v ni (r ni δ (3 (r r n (t n i n. (3.1.23 Dobili smo četiri člana i svaki od njih ćemo analizirati posebno. Prvi član je q i v n δ (3 (r r n (t = q n v n δ (3 (r r n (t. (3.1.24 i n Za elektroneutralne molekule ovaj član je jednak nuli. Drugi sabirak je q i v ni δ (3 (r r n (t = ṗ n δ (3 (r r n (t n i n n = ( p n δ (3 (r r n (t t n n p n ( v n δ (3 (r r n (t. Poslednji član je reda brzine molekula i možemo ga zanemariti jer je v ni v n. Treći sabirak se takodje može zanemariti iz istog razloga. Lako se vidi da je q i v ni (r ni δ (3 (r r n (t = d ( dt i n i n i n i n q i r ni (r ni δ (3 (r r n (t q i r ni (v ni δ (3 (r r n (t q i r ni (r ni ( δ (3 (r r n (t t i n q i r ni (v ni δ (3 (r r n (t, (3.1.25

j = i sl 3.1. MAKSVEL LORENCOVE JEDNAČINE ZA POLJE U SUPSTANCIJALNOJ SREDINI43 gde smo članove kvadratne po dimenziji molekula zanemarili. Ovu aproksimaciju primenjujemo od samog početka. Prilikom razvijanje delta funkcije u red zadržali smo linearne članove po r ni. Koristeći (3.1.25 četvrti član u (3.1.23 se transformiše prema n q i v ni (r ni δ (3 (r r n (t i n = 1 q i v ni (r ni δ (3 (r r n (t + 1 q i r ni (v ni δ (3 (r r n (t 2 2 n i n n i n = 1 q i δ (3 (r r n (t (r ni v ni 2 n i n = n = n δ (3 (r r n (t m n rot(m n δ (3 (r r n (t. (3.1.26 U pretposlednjem koraku primenili smo rot(φv = φ v + φrotv. (3.1.27 Sabirajući sve članove dobijamo mikroskopsku gustinu vezanih naelektrisanja k vez = n + t q n v n δ (3 (r r n (t ( n p n δ (3 (r r n (t + rot Usrednjavanjem mikroskopske gustine struje dobijamo ( n m n δ (3 (r r n (t. (3.1.28 k = k sl + k vez qi v i δ (3 (r r i (t + n qn v n δ (3 (r r n (t = i sl + ( p n δ (3 (r r n (t ( + rot t = j + P t n n m n δ (3 (r r n (t + rotm, (3.1.29 gde je qi v i δ (3 (r r i (t + n qn v n δ (3 (r r n (t (3.1.30 makroskopska gustina struje. Za elektroneutralne molekule ona se svodi na gustinu struje slobodnih naelektrisanja. Kod provodnih sredina drugi član je obično zanemarljiv u odnosu na

44 CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI prvi. Zamenjujući izraze (3.1.14 i (3.1.29 u (3.1.6 dobijamo div(ε 0 E = ρ + ρ ext divp divb = 0 rote = B t rot( B = j + j ext + rotm + P µ 0 t + ɛ E 0 t. (3.1.31 Uvodeći D-vektor (električna indukcija i jačinu magnetnog polja, H sa prethodne jednačine postaju D = ε 0 E + P H = 1 µ 0 B M (3.1.32 divd = ρ + ρ ext (3.1.33 divb = 0 (3.1.34 rote = B (3.1.35 t roth = j + j ext + D t. (3.1.36 Ovo su Maksvel Lorencove jednačine za elektromagnetno polje u supstancijalnoj sredini. Nepoznatih veličina ima 16 i to E, B, D, H, j, ρ dok je broj jednačina šest (dve su dopunski uslovi. Maksvel Lorencove jednačine se moraju dopuniti sa još deset tzv. supstancijalnih jednačina. 3.2 Supstancijalne jednačine Kao što smo rekli Maksvel Lorencove jednačine moramo dopuniti sa jednačinama koje karakterišu sredinu. Ove jednačine se nazivaju supstancijalnim jednačinama. To su veze oblika D = D[E, B] H = H[E, B] j = j[e, B]. (3.2.37 Supstancijalne jednačine dobijamo bilo empirijski bilo metodama teorijske fizike. Npr. supstancijalne jednačine čvrstih tela se dobijaju primenom kvantne statističke fizike, za jonizovani gas odnosno plazmu moramo konsultovati teorijsku fiziku plazme itd. U elektrostatičkom odnosno magnetnostatičkom polju supstancijalne jednačine za neprovodnu sredinu imaju jednostavan oblik su ρ = 0 j = 0 D = ε 0 εe B = µ 0 µh, (3.2.38

3.2. SUPSTANCIJALNE JEDNAČINE 45 gde je ε relativna dielektrična propustljivost sredine, a µ relativna magnetna propustljivost. Jednačine su kao što vidimo linearne, ε i µ su konstante. Molekuli ovakvih sredina su najčešće elektroneutralni, pa se makroskopska gustina struje i naelektrisanja svode na gustine naelektrisanja i struje slobodnih naelektrisanja, ali i one su jednake nuli. Sredina kod koje prethodne formule važe i u promenljivom polju ρ = 0 j = 0 D(r, t = ε 0 εe(r, t B(r, t = µ 0 µh(r, t, (3.2.39 zvaćemo Maksvelov dielektrik. Jasno je da ove jednačine mogu važiti samo za sporo promenljiva polja. Ukoliko se provodna sredina nalazi u statičkom polju onda je ρ = 0 j = σe D = ε 0 εe B = µ 0 µh (3.2.40 gde je σ provodnost. Prva jednačina je posledica elektroneutralnosti sredine. Maksvelov provodnik je sredina kod koje prethodne relacije važe i za promenljiva polja. Provodna sredina ne dozvoljava postojanje zapreminske gustine naelektrisanja. Polazeći od jednačine kontinuiteta dobijamo ρ t + div(σe = 0 ρ t + σ ε 0 ε ρ = 0 ρ(t = ρ(0e σt ε 0ε. (3.2.41 Kod dobrih provodnika veličina ε 0 ε/σ je mala pa je ρ = 0. Ako je sredina anizotropna onda veličine ɛ, µ, σ su tenzori dielektrične propustljivosti, magnetne propustljivosti odnosno provodnosti. Jednačine (3.2.40 postaju j i (r, t = σ ij E j (r, t D i (r, t = ε 0 ε ij E j (r, t B i (r, t = µ 0 µ ij H j (r, t. (3.2.42 Prethodne supstancijalne relacije su lokalne i simultane, tj. sredina je bez disperzije, što je fizički neprihvatljivo. Elektrodinamička reakcija sredine (a to su polarizacija i magnetizacija sredine u trenutku t treba da zavisi od polja i osobina sredine u ranijim trenucima vremena. Ovakve sredine se nazivaju sredinama sa vremenskom disperzijom. Polarizacija i magnetizacija ne mogu

46 CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI zavisiti od polja i karakteristika sredine u kasnijim trenucima vremena jer bi time bila narušena kauzalnost. Dakle supstancijalne jednačine linearne sredine sa vremenskom disperzijom su D i (r, t = B i (r, t = j i (r, t = t t t dt F ij (r, t, t E j (t, r dt G ij (r, t, t H j (t, r dt K ij (r, t, t E j (t, r. Tenzori F ij (r, t, t, G ij (r, t, t, K ij (r, t, t karakterišu sredinu. Ako je sredina stacionarna, tj. njene osobine se ne menjaju sa vremenom, onda jezgra linearnih operatora F ij, G ij i K ij zavise od razlike t t a ne od t i t ponaosob. Za stacionarne sredine vrednosti jezgara integralnih operatora se ne menjaju pri translacijama za proizvoljno τ. Specijalno ako izaberemo τ = t dobijamo F ij (r, t + τ, t + τ = F ij (r, t, t, (3.2.43 F ij = F ij (r, t t (3.2.44 kao što smo tvrdili. Supstancijalne jednačine za stacionarne sredine sa vremenskom disperzijom su D i (r, t = B i (r, t = j i (r, t = t t t dt F ij (r, t t E j (t, r dt G ij (r, t t H j (t, r dt K ij (r, t t E j (t, r. Ukoliko npr. vrednost vektora električne indukcije u tački r zavisi od jačine polja u okolnim tačkama onda to nazivamo prostornom disperzijom. Vremenska disperzija, zbog konačnosti prostiranja elektromagnetne interakcije uvek prati prostornu disperziju. Dakle za sredine sa prostorno vremenskom disperzijom supstancijalne jednačine imaju sledeći oblik t D i (r, t = dt d 3 r F ij (r, r, t, t E j (t, r B i (r, t = j i (r, t = t t dt dt d 3 r G ij (r, r, t, t H j (t, r d 3 r K ij (r, r, t, t E j (t, r. Veze su linearne. Ako jezgra integralnih operatora u prethodnim jednačinama zavise od razlike r r, tj, ukoliko je npr. t D i (r, t = dt d 3 r F ij (r r, t, t E j (t, r (3.2.45

3.3. GRANIČNI USLOVI 47 Figure 3.2: onda takve sredine nazivamo homogenim. Tenzor F ij je translaciono invarijantan, tj. F ij (r, r = F ij (r + a, r + a (3.2.46 gde je a proizvoljan vektor. Specijalno za a = r sledi F ij = F ij (r r. Sredina može u opštem slučaju biti nelinearna. 3.3 Granični uslovi Vektori jačine električnog polja i magnetnog polja kao i električna i magnetna indukcija nisu neprekidne funkcije. Ukoliko se na nekoj površi nalaze naelektrisanja i/ili teku struje onda neke od komponenti polja trpe skokove. Ovo sledi iz samih Maksvel Lorencovih jednačina. Neka je Σ granična površ izmedju dve supstancijalne sredine. Veličine koje se odnose na prvu sredinu obeležićemo indeksom 1, a one koje se odnose na drugu sredinu sa indeksom 2. Uzećemo da je S mala površina na grničnoj površi i konstruisaćemo zatvorenu cilindričnu površ tako što ćemo u svakoj tački površi S konstruisati normalu na ovu površ. Visina ove normale je h, po pola u svakoj od oblasti 1 i 2. Bazisi ove cilindrične površi su S 1 i S 2, kao na slici 3.2. Zapremina koju ona obuhvata je V. Integracijom prve Maksvel-Lorencove jednačine, (3.1.33 po zapremini V imamo divdd 3 r = ρd 3 r. (3.3.47 V Sa ρ smo obeležili zbir makroskopske gustine nealektrisanje i gustine spolja unetih naelektrisanja. Primenom Gausove teoreme imamo ρd 3 r = D ds V ( V = D ds + D ds + D ds, (3.3.48 S 1 S 2 M V

48 CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI gde je M omotač cilindra. Element zapremine je d 3 r = hds za malo h pa u limesu h 0 imamo ( lim ρ h ds = (D 2 D 1 nds, (3.3.49 h 0 S gde smo uveli ort normale n na graničnoj površi koji je usmeren od sredine 1 ka sredini 2. Kada h teži nuli površi S 1, S 2 se poklapaju sa S. Izraz ( ρ h lim h 0 u (3.3.49 je nenulti ako gustina naelektrisanja divergira na graničnoj površini. Očigledno je da je on jednak površinskoj gustini slobodnog i spolja unetog naelektrisanja na graničnoj površi. Dakle, (D 2 D 1 nds = σds. (3.3.50 S Kako je predhodni izraz tačan za proizvoljno malu površ S to je S S D 2n D 1n = σ, (3.3.51 gde je D n = D n normalna projekcija vektora električne indukcije. Projekcija vektora električne indukcije na pravac normale u datoj tački granične ravni i u datom trenutku vremena trpi skok koji je jednak površinskoj gustini slobodnih i eksternih naelektrisanja u toj tački granične površi i u tom trenutku vremena. Analogno iz (3.1.34 sledi B 2n B 1n = 0, (3.3.52 tj. normalna projekcija magnetne indukcije je neprekidna funkcija na granici dve sredine. Iz izraza za zapreminsku gustinu polarizacionog (vezanog naelektrisanja sledi divp = ρ vez (3.3.53 P 2n P 1n = σ vez. (3.3.54 Normalna komponenta vektora polarizacije na granici dve sredine ima skok ukoliko se na njoj nalaze površinska vezana naelektrisanja. Pogledajmo sada rotorske jednačine. Neka se kriva AB nalazi na graničnoj površi Σ, slika 3.3. Konstruišimo površinu S kojoj pripada kriva AB i koja je normalna na graničnu površ. Visina ove površi je h, po pola sa svake strane granice. Integralićemo četvrtu Maksvel Lorencovu jednačinu (3.1.36 po površini A 2 B 2 B 1 A 1 D j ds + t ds = roth ds S = + S A2 A 1 H dl + B1 B 2 H dl + S B2 A 2 A2 H dl B 1 H dl. (3.3.55

3.3. GRANIČNI USLOVI 49 Figure 3.3: Površina ds je A 2 B 2 BB 1 A 1 A U prethodnom izrazu primenili smo Stoksovu teoremu. Dalje ćemo element površine napisati kao i uzeti limes h 0: B A ds = dsν = hdlν, (3.3.56 ( lim j h νdl = h 0 B A (H 2 H 1 τ dl. (3.3.57 U limesu h 0 linijski integrali duž A 1 A 2 i B 1 B 2 su jednaki nuli. Veličinu lim h 0 (j h ćemo obeležiti sa i. Ona je gustina površinske struje slobodnih i spolja unetih naelektrisanja. Ona je jednaka količini naelektrisanja koje u jedinici vremena prodje kroz jediničnu dužinu koja je normalna na pravac prenošenja naelektrisanja. Gustina površinske struje paralelna je graničnoj površi. Iz (3.3.57 sledi Primenom τ = ν n imamo i ν = (H 2 H 1 τ. (3.3.58 i ν = (H 2 H 1 (ν n, (3.3.59 odnosno i ν = (n (H 2 H 1 ν. (3.3.60 Pošto je ν proizvoljno i kako vektor površinske gustine struje ima komponente paralelnu graničnoj površini to sledi n (H 2 H 1 = i. (3.3.61 Ova relacija daje skok tangencijalne komponente jačine magnetnog polja. Množenjem poslednje relacije vektorski sa n dobijamo H 2t H 1t = i n (3.3.62

50 CHAPTER 3. ELEKTROMAGNETNO POLJE U SREDINI gde su H 2t odnosno H 1t tangencijalne komponente vektora jačine magnetnog polja u sredini 2 odnosno 1 3. Tangencijalna komponenta jačine magnetnog polja nije neprekidna pri prelasku iz jedne u drugu sredinu u onim tačkama granične površi gde postoji površinska struja slobodnih i/ili externih naelektrisanja. Analogno iz treće Maksvelove jednačine sledi rote = B t E 2t E 1t = 0. (3.3.63 Tangencijalna komponenta vektora električnog polja je neprekidna. Zapreminska gustina vezanih struja je zbir magnetizacione i polarizacione struje j vez = rotm + P t. (3.3.64 Odavde sledi izraz za skok tangencijalne momponente magnetizacije M 2t M 1t = i vez n. (3.3.65 Ona postoji u onim tačkama granične površine u kojima teku struje vezanih naelektrisanja. 3 Proizvoljan vektor A možemo razložiti na normalnu i tangencijalnu komponentu u odnosu na ort n na sledeći način A = A n + A t gde je A n = (A nn i A t = (n A n.

Chapter 4 Teoreme elektromagnetnog polja 4.1 Pointingova teorema Razmotrimo sistem naelektrisanih čestica koje se kreću unutar neke zapremine. Ove čestice generišu elektromagnetno polje. Promena kinetičke energije čestica u jedinici vremena po teoremi energije je d dt ( α E α = α q α (E α + v α B α v α = α q α v α E α, (4.1.1 gde smo sa E α obeležili energiju čestice indeksa α; E α i B α su električno i magnetno polje u tački u kojoj se u datom trenutku nalazi naelektrisanje q α. Iz gornje formule vidimo da magnetno polje ne vrši rad. Ono može da promeni pravac i smer brzine čestice ali ne i njen intenzitet. Prelazak na kontinualnu raspodelu se lako nalazi ubacivanjem delta funkcije d E α = d 3 r( α q α v α δ (3 (r r α E(r, t dt ( α = d 3 rj E. (4.1.2 Rezultat (4.1.2 važi za proizvoljnu kontinualnu raspodelu naelektrisanja. Izraz d 3 rj E je rad polja u jedinici vremena (snaga na premeštanju naelektrisanja. On govori o pretvaranje elektromagnetne u mehaničku energiju. Pretpostavimo sada da je unutar neke fiksne oblasti V prisutna makroskopska sredina koja je nepokretna, linerna i neka su efekti disperzije zanemarljivi. Primenom četvrte Maksvel Lorencove jednačine i vektorskog identiteta div(e H = H rote E roth 51

52 CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA imamo j E = E roth E D t = div(e H + H rote E D t = div(e H H B t E D t. (4.1.3 U drugom redu iskoristili smo treću Maksvel Lorencovu jednačinu. Na osnovu prethodnog izraza i (4.1.2 imamo ( d 3 rj E = div(e Hd 3 r H B V V V t + E D d 3 r. (4.1.4 t Zapreminska gustina struje u (4.1.4 je zapreminska gustina spoljašnjih i slobodnih struja. Izraz E dd + H db u opštem slučaju nije totalni diferencijal. Saglasno našim pretpostavkama supstancijalne jednačine imaju sledeći oblik tj. sredina je linearna i bez disperzije. Tada imamo D i = ɛ 0 ɛ ij E j, B i = µ 0 µ ij H j, (4.1.5 E dd = E i dd i = ɛ 0 ɛ ij E i de j = 1 2 ɛ 0(ɛ ij E i de j + ɛ ij E i de j = 1 2 ɛ 0(ɛ ij E i de j + ɛ ji E j de i = 1 2 ɛ 0(ɛ ij E i de j + ɛ ij E j de i = 1 2 (E idd i + D i de i = 1 d(e D, (4.1.6 2 gde smo u trećem redu neme indekse i i j zamenili u drugom članu; a zatim u narednom redu iskoristili da je tenzor dielektrične propustljivosti simetričan. Slično je H db = 1 d(h B. (4.1.7 2 Zamenom (4.1.6 i (4.1.7 u (4.1.4 dobijamo d 3 rj E + d ( D E d 3 r + H B = V dt V 2 2 S= V S p ds, (4.1.8 gde je S p = E H Pointingov vektor. Izraz W em = V ( D E d 3 r 2 + H B 2

4.1. POINTINGOVA TEOREMA 53 je elektromagnetna energija, dok je podintegralni izraz u = 1 (E D + B H, 2 gustina elektromagnetne energije. U slučaju sredine koju analiziramo veličina ( d 3 r H B t + E D t α V jeste vrenski izvod veličine koju interpretiramo kao energiju elektromagnetnog polja. U opštem slučaju taj izraz nije vremenski izvod neke veličine, pa energiju elektromagnetnog polja ne možemo generalno definisati. Primer takvih sredina su sredine sa disperzijom kod kojih postoje gubici energije, tj. oslobadja se toplota. Pointingovu teoremu (4.1.8 možemo iskazati rečima na sledeći način: Promena elektromagnetne energije u oblasti V u jedinici vremena plus energija koja u jedinici vremena iscuri kroz graničnu poršinu oblasti V jednaka je negativnom radu u jedinici vremena na premeštanju slobodnih i spolja unetih naelektrisanja. Ovo je očigledno zakon održanja energije. Koristeći (4.1.2 imamo d ( E α + W em = S p ds, (4.1.9 dt odakle vidimo da promene mehaničke i energije elektromagnetnog polja u jedinici vremena je jednaka negativnom fluksu Pointingovog vektora kroz graničnu površinu. U slučaju odsustva supstancijalne sredine, tj. u vakuum izraz (4.1.8 ima oblik odnosno V d 3 r j E + d dt V V ( d 3 ɛ0 E 2 r + B2 = S p ds, (4.1.10 2 2µ 0 S= V d (W meh + W em = S p ds. (4.1.11 dt S= V Za polje se kaže da je potpuno ako je jednako nuli na granici konačne oblasti ili ako je granica u beskonačnosti onda opada bar kao 1/r 2 na velikim rastojanjima. Za potpuno polje fluks Pointingovog vektora kroz graničnu površ je nula pa je ukupna energija sistema, tj. zbir energije polja i mehaničke energije konstanta. Potpuno polje je analogon izolovanog sistema u mehanici. Pointingovu teoremu možemo napisati i u diferencijalnom obliku. Iz (4.1.8 sledi j E + u em t + divs p = 0 (4.1.12 odnosno t (u meh + u em + divs p = 0. (4.1.13 Prethodni izraz ima istu formu kao i jednačina kontinuiteta; to je standardni oblik zakona održanja. Sa u meh označili smo zapreminsku gustinu mehaničke energije.

54 CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA Figure 4.1: Pointingov vektor u slučaju ortogonalnih statičkih polja Fluks Pointingovog vektora S S p ds je energija u jedinici vremena koja prostruji kroz zatvorenu poršinu S. Dimenzije Pointingovog vektora su J/sm 2. Da li možemo interperirati Pointingov vektor lokalno, kao gustinu fluksa snage tj. kao energiju koja u jedinici vremena prodje kroz površinu normalnu na pravac prenošenja energije? U jednom broju slučajeva to je moguće, ali ne važi generalno. Rekli smo da je S p = E H Pointingov vektor. Medjutim, umesto njega možemo za Pointingov vektor uzeti i čitavu klasu vektora S p = S p + rotλ, gde je Λ proizvoljno vektorsko polje, jer je divrot = 0. Pointingov vektor nije jednoznačno definisan. Pointingovi vektori koji se razlikuju za rotor nekog vektorskog polja daju isti fluks kroz zatvorenu površinu i istu divergenciju. Pointingova teorema ne vidi razliku izmedju njih. Iz tog razloga Pointingov vektor nije opservabilna veličina. Fizički smisao ima fluks Pointingovog vektora kroz zatvorenu površinu, on je jednak negativnoj promeni energije (mehaničke i elektromagnetne u oblasti obuhvaćenoj tom površinom. Neka je elektrostatičko polje pločasog kondenzatora postavljeno ortogonalno na magnetostatičko polje permanentnog magneta, kao na slici 4.1. Pointingov vektor S p = 1 µ 0 E B je različit od nule iako nema nikakvog strujanja energije; polja su statička. Medjutim, fluks Pointingovog vektora kroz ma koju zatvorenu površinu u ovoj oblasti je jednak nuli. Primenimo Pointingovu teoremu za dugačak provodnik poluprečnika a koji je vezan na izvor elektromotorne sile. Neka je z osa usmerena duž ose simetrije provodnika. Električno polje u provodniku je E = Ee z = (U/le z, gde je U razlika potencijala izmedju krajeva provodnika, a l njegova dužina. Magnetna indukcija u oblasti van provodnika je B = µ 0 I 2π r e ϕ (4.1.14

4.2. TEOREMA IMPULSA 55 pa je Pointingov vektor na omotaču provodnika, r = a dat sa S p = 1 µ 0 E B = EI 2πa e ρ. I je jačina struje u provodniku. Za površinu S u Pointingovoj teoremi uzećemo cilindar čiji je omotač površina provodnika. Fluks Pointingovog vektora je S p ds = ElI = UI = RI 2, S gde je R otpor provodnika. Pointingova teorema ima sledeći oblik d 3 r j E = RI 2 = UI. Poslednji izraz je Džulov zakon; snaga oslobodjena u provodniku je proizvod struje i napona. Pointigov vektor je usmeren ka osi simetrije provodnika. Da li energija od izvora u provodnik dolazi ne kroz žice već iz okolnog prostora? Problem je vezan za lokalnu interpretaciju Pointingovog vektora. Ono što sigurno možemo reći je kolika je energija koja prodje kroz cilindaričnu površ jedinične dužine oko provodnika, jer ta veličina figuriše u Pointingovoj teoremi. Ako bi granična površina obuhvatala i izvor elektromotorne sile tada bi Pointingova teorema Primenili smo dw em dt + d 3 r j2 σ d 3 rj E = j = σ(e + E, S S p ds. (4.1.15 gde je E neelektromagnetno polje. Takodje smo uzeli da je provodnik izotropan. Izraz d 3 rj E je snaga izvora EMS. Iz izraza (4.1.15 sledi d 3 r j2 σ = d 3 rj E, tj. Džulova snaga je jednaka snazi izvora. Bez obzira na probleme interpretacije Pointingovog vektora Pointingova teorema radi savršeno. U svim merenjima mi merimo promenu energije u jedinici vremena u oblasti prostora koju zauzima detektor, dakle fluks Pointingovog vektora. 4.2 Teorema impulsa Dobro je poznato sa kursa Mehanike da je ukupni mehanički impuls izolovanog sistema čestica stalan. Ovo je posledica činjenice da je zbir unutrašnjih sila jednak nuli zbog zakona akcije i reakcije.

56 CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA v 1 q q 2 v 2 Figure 4.2: Razmotrimo izolovan sistem dve naelektrisane čestice q 1 i q 2 koje se kreću u ravni stalnim brzinama po medjusobno normalnim trajektorijama, kao što je prikazano na slici 4.2. U nekom trenutku vremena brzina drugog naelektrisanja, v 2 je usmerena duž pravca koji spaja ova dva naelektrisanja, dok je v 1 normalna na taj pravac. Lorencova sila kojom drugo naelektrisanje deluje na prvo je F 21 = µ 0 4π q 1v 1 q 2(v 2 (r 1 r 2 r 1 r 2 3. (4.2.16 Odmah vidimo da je ova sila jednaka nuli zbog kolinearnosti vektora brzine druge čestice i relativnog radijus vektora jedne čestice u odnosu na drugu. Sa druge strane sila kojom prvo naelektrisanje deluje na drugo F 12 = µ 0 4π q 2v 2 q 1(v 1 (r 2 r 1 r 2 r 1 3 (4.2.17 i ona nije jednaka nuli. Zaključujemo da ne važi zakon akcije i reakcije. Prema tome bez obzira što nema spoljnih sila koje deluju na ove dve čestice mehanički impuls ovog sistema čestica nije očuvan. Medjutim mi znamo da bi impuls ovog sistema morao biti očuvan jer je sistem translaciono invarijantan. Rešenje ovog paradoksa leži u činjenici da pored mehaničkog impulsa i samo elektromagnetno polje ima impuls. Ukupni impuls, tj. zbir mehaničkog i impulsa polja je očuvan. U ovoj lekciji naćićemo impuls elektromagnetnog polja. Razmatrajmo sistem naelektrisanih čestica u vakuumu. Promena mehaničkog impulsa čestica

4.2. TEOREMA IMPULSA 57 jednaka je ukupnoj sili koja deluje na čestice: d ( p α = q α (E α + v α B α dt α α = d 3 r q a (E(r, t + v α B(r, tδ (3 (r r α (t V α = d 3 r(ρe + j B, (4.2.18 V gde smo ubacili jednu delta funkcije kako bi rezultat generalisali na neprekidnu raspodelu naelektrisanja i struja. Ako sa P meh obeležimo ukupan mehanički impuls svih čestica kontinulane sredine u zapremini V to imamo dp meh = d 3 r(ρe + j B. (4.2.19 dt V Iz (2.6.73 i (2.6.76 možemo izraziti zapreminsku gustinu naelektrisanja odnosno struje i dobijene izraze zameniti u (4.2.19, što daje dp meh dt = = = V V [ d 3 r ɛ 0 EdivE + ( 1 E ] rotb ɛ 0 B µ 0 t [ d 3 r ɛ 0 EdivE + 1 rotb B ɛ 0 µ 0 [ d 3 r ɛ 0 EdivE ɛ 0 E rote + 1 µ 0 BdivB 1 µ 0 B rotb ɛ 0 t (E B ]. t (E B + ɛ 0E B ] t Sa latiničnim slovima i, j,... obeležićemo dekartove koordinate tako da divergencija vektora E je 3 E i 3 dive = = i E i. x i i=1 Parcijalni izvod po koordinati x i kraće zapisujemo kao i. Vektorski proizvod dva vektora A i B možemo zapisati preko simbola Levi Čivita na sledeći način pa rotor možemo prestaviti u formi A B = 3 i,j,k=1 rote = E = i=1 ɛ ijk A j B k e i, (4.2.20 3 i,j,k=1 ɛ ijk j E k e i. (4.2.21

58 CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA Primenom ovih izraza imamo (EdivE E rote i = E i j E j ɛ ijk ɛ klm E j l E m = E i j E j (δ il δ jm δ im δ jl E j l E m = E i j E j E j i E j + E j j E i = j (E i E j 1 2 i(e j E j = j (E i E j 1 2 i(e 2 = j (E i E j 1 2 E2 δ ij. (4.2.22 Analogan identitet važi za treći i četvrti član pa je ( dpmeh ( = d 3 r j ɛ 0 E i E j + 1 B i B j 1 dt i V µ 0 2 (ɛ 0E 2 + 1 B 2 δ ij µ 0 d ɛ 0 d 3 r(e B i dt V = d 3 d r j T ij ɛ 0 d 3 r(e B i, dt gde smo uveli Maksvelov tenzor napona sa V V T ij = ɛ 0 E i E j + 1 µ 0 B i B j 1 2 (ɛ 0E 2 + 1 µ 0 B 2 δ ij. (4.2.23 Maksvelov tenzor napona možemo prepisati u obliku 1 ˆT = ɛ 0 E >< E + 1 µ 0 B >< B ui, (4.2.24 gde je u zapreminska gustina energije elektromagnetnog polja u vakuumu. Kao što znamo dijagonalne komponente tenzora napona su pritisci, a vandijagonalne su naponi smicanja. Primenom Gausove teoreme za tenzore d 3 r j T ij = T ij ds j zapreminski integral (4.2.23 se može transformisati u površinski pa teorema impulsa za sistem koji čine polje i naelektrisane čestica postaje d ] [P meh + ɛ 0 d 3 r(e B = ˆT ds. (4.2.25 dt 1 Dijada A >< B na vektore deluje prema S= V ( A >< B C >= A >< B C > < C ( A >< B =< C A >< B S

4.2. TEOREMA IMPULSA 59 Iz nje vidimo da je ukupan impuls sistema zbir mehaničkog impulsa P = α p α i impulsa elektromagnetnog polja G = gd 3 r = ɛ 0 d 3 r(e B = 1 d 3 rs c 2 p. V V Impuls se menja unutar neke oblasti zato što curi kroz graničnu površinu te oblasti. Silu koja deluje na naelektrisanja i struje unutar neke oblasti V možemo naći na dva načina. Jedan je direktan, primenom izraza (4.2.19 u kome je sila izražena kao zapreminski integral po oblasti V. Drugi način je primenom (4.2.25 gde je jedan deo sile napisan kao površinski integral po površini koja obuhvata naelektrisanja i struje. Za potpuno polje površinski integral u (4.2.25 je jednak nuli pa je ukupan impuls sistema očuvan. Prethodno razmatranje se odnosilo na sistem naelektrisanih čestica i struja u vakuumu. U slučaju nepokretne linearne i izotropne sredine bez disperzije supstancijalne jednačine imaju oblik D = ɛ 0 ɛ r (re, B = µ 0 µ r (rh. Uzeli smo da je sredina nehomogena. Pored toga pretpostavićemo da relativna dielektrična i magnetna propustljivost ne zavise od temperature. U ovom slučaju sličnom analizom kao ranije se može dobiti d [ dt α p α + ] d 3 r(d B 1 2 gde je sada Maksvelov tenzor napona dat sa d 3 r(ɛ 0 E 2 ɛ r + µ 0 H 2 µ r = S ˆT ds, (4.2.26 ˆT = E >< D + B >< H 1 (E D + H BI. (4.2.27 2 U (4.2.26 suma α p α je mehanički impuls slobodnih i externih naelektrisanja. Drugi član u (4.2.26 potiče od sile koja deluje na vezana naelektrisanja. Minkovski je izraz G M = d 3 r(d B interpretirao kao impuls elektromagnetnog polja u sredini. Mehanička sila koja deluje na sredinu je data sa F = d 3 rf M = d 3 r(ρe + j B 1 2 ɛ 0E 2 ɛ r 1 2 µ 0H 2 µ r (4.2.28 V V i ona se može prepisati kao površinski integral tenzora napona i član koji je izvod impulsa polja kako ga je definisao Minkovski. U lokalnom obliku izraz (4.2.26 je f M = div ˆT g M t, (4.2.29 gde je g M Minkovskijeva gustina impulsa polja.

60 CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA Figure 4.3: Ne ulazeći u detaljnu analizu prihvatljiviji izraz za impuls polja je G A = 1 (E Hd 3 r. c 2 V Ovaj rezultat potiče od Abrahama. PRIMER1 Odrediti silu po jedinici površine koja deluje na provodnik na kome je zadata raspodela površinskog naelektrisanja. Električno polje je E = En = σ ɛ 0 n gde je n ort spoljašnje normale prodnika. Kako je polje statička to iz (4.2.25 sledi F = 0 E S(ɛ 2 n 1 2 ɛ 0E 2 nds = 1 ɛ 0 E 2 nds 2 S pa je sila po jedinici površine f = df ds = 1 2 ɛ 0E 2 n = ω e n. Ako su ploče ravnog kondenzatora naelektrisane sa površinskim naelektrisanjem σ odnosno σ sila koja deluje na pozitivnu ploču, prema prethodnoj formuli je F = (σs σ 2ɛ 0. Izraz za silu je napisan u obliku proizvoda naelektrisanja ploče σs i električnog polja σ/(2ɛ 0. Zar polje kondenzatora nije σ/ɛ 0. Odakle faktor 1/2? PRIMER2 Naći silu po jedinici površine koja deluje na graničnoj površini izmedju dva dielektrika prikazana na slici 4.2. Dielektrične propustljivosti su ɛ 1 i ɛ 2. Sila koja deluje na tanak sloj sa slike je df = (T (1 + T (2 ds gde je T (1 ds = (D 1n E 1 1 2 ɛ 0ɛ 1 E 2 1ndS, T (2 ds = (D 2n E 2 1 2 ɛ 0ɛ 2 E 2 2ndS,

4.3. TEOREMA MOMENTA IMPULSA 61 pa je df = (D 2n E 2 D 1n E 1 1 2 (E 2 D 2 E 1 D 1 nds. Ako bi ova dva dielektrika bila izmedju obloga kondenzatora koji je na stalnom napanu V i kod koga je rastojanje izmedju ploča d sila bi bila df = 1 ( V 2ɛ0 (ɛ 1 ɛ 2 nds. 2 d 4.3 Teorema momenta impulsa Teorema momenta impulsa za sistem naelektrisanih čestica koje se nalaze u zapremini V u vakuumu ima oblik d ( L α = d 3 r r (ρe + j B, (4.3.30 dt α V gde je L α moment imulsa čestice indeksa α. Postupajući kao u prethodnoj lekciji dobijamo d ( L α = d 3 rɛ ijk x j l T kl d d 3 rɛ ijk x j g k, (4.3.31 dt i dt α gde je i = 1, 2, 3. Prvi član na desnoj strani izraza (4.3.31 prepisaćemo kao jer je V V ɛ ijk x j l T kl = ɛ ijk l (x j T kl (4.3.32 ɛ ijk ( l x j T kl = ɛ ijk T kj = 0. (4.3.33 Izraz ɛ ijk T kj je jednak nuli jer je proizvod dva tenzora od kojih je jedan (simbol Levi Čivita antisimetričan po indeksima j i k a drugi, Maksvelov tenzor napona, simetričan po ovim indeksima. Onda izaraz (4.3.31 postaje odnosno Dobili smo Izraz d dt ( L α α d ( dt α i L α i = V = d ( L meh + dt V V L f = ɛ 0 d 3 rɛ ijk l (x j T kl d dt ɛ ijk x j T kl ds l d dt V V d 3 rɛ ijk x j g k (4.3.34 d 3 rɛ ijk x j g k. (4.3.35 d 3 r(r g = (r ˆT ds. (4.3.36 V V d 3 r(r (E B (4.3.37 je moment impusa elektromagnetnog polja. Ukupni moment impulsa je zbir mehaničkog momenta impulsa i momenta impulsa polja. On se menaja unutar neke oblasti V jer curi kroz granicu ove oblasti.

62 CHAPTER 4. TEOREME ELEKTROMAGNETNOG POLJA

Chapter 5 Relativistička elektrodinamika 5.1 Lorencove transformacije U ovoj lekciji ćemo vrlo ukratko ponoviti neke osnovne elemente specijalne teorije relativnosti, posebno naglašavajući njenu formulaciju u prostoru Minkovskog. Tačke prostora Minkovskog (ct, x, y, z, t su dogadjaji. Kvadrat intervala izmedju dva infinitezimalno bliska dogadjaja (ct, r i (c(t + dt, r + dr u prostoru Minkovskog je ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. Brzina svetlosti c = 3 10 8 m je ista za sve inercijane posmatrače. To je jedan od postulata s specijalne relativnosti. Iz ovoga principa direktno sledi da je kvadrat intervala invarijanta, tj. c 2 dt 2 dr 2 = c 2 dt 2 dr 2. Primovane veličine označavaju koordinate u primovanom sistemu. Vektori u prostoru Minkovskog su x 0 ct x = x µ e µ = x 1 x 2 = x y, x 3 z gde su x µ kontravarijantne komponente vektora x u bazi 1 0 0 0 e 0 = 0 0, e 1 = 1 0, e 2 = 0 1, e 3 = 0 0. 0 0 0 1 Metrika prostora Minkovskog je 1 0 0 0 g µν = 0 1 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 63

64 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Ona služi za odredjivanje dužine vektora. Kvadrat dužine četvorovektora x je x 2 = x T gx = g µν x µ x ν = c 2 t 2 x 2, tj. s 2. Lorencove transformacije su one linearne transformacije koordinata x = Λx, gde je Λ realna 4 4 matrica, koje ne menjaju kvadrat dužine četvorovektora, tj. za koje važi x 2 = x 2. Prethodni uslov daje odakle sledi x T gx = x T gx x T Λ T gλx = x T gx, Λ T gλ = g. (5.1.1 Prethodna matrična jednačina sadrži deset uslova na matricu Λ pa su Lorencove transformacije odredjene sa 16 10 = 6 nezavisnih parametara. Lorencova grupa je šestoparametarska. Bust duž x ose (prelazak iz sistema S u sistem S koji se kreće konstantnom brzinom v duž x ose dat je sa ili u matričnom obliku gde su uvedene sledeće oznake t = t v x c 2, x = 1 v2 c 2 x vt, y = y, z = z (5.1.2 1 v2 c 2 x 0 γ βγ 0 0 x 0 x 1 x 2 = βγ γ 0 0 x 1 0 0 1 0 x 2, x 3 0 0 0 1 x 3 β = v c, γ = 1 1 β 2. Uvodeći tanh ϕ = β matrica busta duž x ose ima oblik 1 chϕ shϕ 0 0 Λ µ ν = shϕ chϕ 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 Lako se vidi da matrica busta duž x ose zadovoljava uslov (5.1.1, tj. transformacija. Rotacija za ugao θ oko z ose 1 0 0 0 Λ µ ν = 0 cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ona je Lorencova 1 µ je indeks vrste a ν kolone.

5.1. LORENCOVE TRANSFORMACIJE 65 je takodje Lorencova transformacija. Šest nezavisnih Lorencovih transformacija su tri busta i tri rotacije. Lorencove transformacije 2 čine grupu: 1. Ako su Λ 1 i Λ 2 Lorencove transformacije onda je i Λ 1 Λ 2 Lorencova transformacija, jer (Λ 1 Λ 2 T g(λ 1 Λ 2 = Λ T 2 (Λ T 1 gλ 1 Λ 2 = Λ T 2 gλ 2 = g. 2. Jedinični element u grupi je jedinična matrica. 3. Generalno množenje matrica je asocijativno, pa to važi i za Lorencove transformacije. 4. Uzimanjem determinante uslova (5.1.1 dobijamo da je determinatna matrica Lorencove transformacije ±1, pa su ove matrice invertibilne. Iz (5.1.1 sledi da je inverzni element Λ 1 = g 1 Λ T g. Lako se vidi da je Λ 1 Lorencova transformacija. U komponentnoj notaciji inverzna Lorencova matrica je (Λ 1 µ ν = (g 1 Λ T g µ ν = g µρ Λ σ ρg σν = Λ ν µ. Iz prethodnog izraza ne sledi Λ T matrica je odnosno = Λ 1, to bi bilo u kontradikciji sa (5.1.1. Transponovana Λ T = gλ 1 g 1, (Λ T ρ µ = (gλ 1 g 1 ρ µ = g µν (Λ 1 ν σg σρ = (Λ 1 ρ µ. Indeksi matrice Λ su Λ µ ν, inverzne matrice (Λ 1 µ ν a transponovane (Λ T µ ρ. Kovarijantne komponente vektora su definisane sa x 0 x 0 x µ = g µν x ν = x 1 x 2 = x 1 x 2. x 3 x 3 Ispitajmo sada kako se kovarijantne komponente vektora, x µ transformiše pri Lorencovim transformacijama: x µ = g µν x ν = g µν Λ ν ρx ρ = g µν Λ ν ρg ρσ x σ = (gλg 1 µ σ x σ = (Λ T 1 µ σ x σ = (Λ 1 σ µx σ = Λµ σ x σ. (5.1.3 Prema tome kontravarijantne, odnosno kovarijantne komponete se transformišu prema: x µ = Λ µ νx ν x µ = (Λ 1 ν µx ν = Λ ν µ x ν. 2 Mnogi detalji o Lorencovoj grupi dati su u prvoj glavi knjige V. Radovanović, Problem book in Quantum Field Theory, Springer, Berlin,2006, second edition 2008.

66 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Parcijalni izvodi po x µ su ( 1 x = µ c t,. (5.1.4 Ispitajmo njegov zakon transformacije: x = x ν µ x µ Množeći prethodni izraz sa (Λ 1 µ σ dobijamo x = ν Λν µ. (5.1.5 x ν x = σ (Λ 1 µ σ x. µ Dakle, izvod po kontravarijantnoj komponenti vektora transformiše se kao kovarijantna komponenta četvorovektora pa ćemo koristiti notaciju Slično µ = µ = x µ. ( 1 = x µ c t, su komponente kontravarijantnog vektora. Dalamberov operator (Dalamberijan je definisan sa Ovaj operator je skalar tj. = g µν µ ν = 1 c 2 2 =. t 2. Kontavarijantne komponente vektora v(x = v µ (xe µ se pri Lorencovim transformacijama transformišu prema v µ (x = Λ µ νv ν (x. (5.1.6 Kovarijantne komponente se menjaju prema v µ(x = (Λ 1 ν µv ν (x. (5.1.7 Koordinte tačke u prostoru Minkovskog x µ odnosno x µ se isto ovako transformišu. Ovo je specifičnost prostora Minkovskog, to ne važi generalno. Na sferi možemo koristiti koordinate θ, ϕ ali one ne čine vektor. Tenzor tipa (m, n se pri Lorencovim transformacijama transformiše prema T µ 1...µ mν1...ν n (x = Λ µ 1 ρ1... Λ µ m ρm (Λ 1 σ 1 ν1... (Λ 1 σn ν n T ρ 1...ρ mσ1...σ n (x. Kontravarijantni vektor je tenzor tipa (1, 0, a kovarijantni tipa (0, 1.

5.2. ČETVOROVEKTOR GUSTINE STRUJE 67 Element zapremine prostora Minkovskog je d 4 x = dx 0 d 3 x = dx 0 dx 1 dx 2 dx 3. Za posmatrača iz drugog inercijalnog sistema, ovaj element zapremine je d 4 x = dx 0 d 3 x. Ova dva zapreminska elemenata su povezana Jakobijanom: d 4 x = x d 4 x. x Matrični elementi Jakobijeve matrice su x µ x = (Λµ ρx ρ ν x ν = Λ µ x ρ ρ x = ν Λµ ν. (5.1.8 Kako je det Λ = ±1 to dobijamo d 4 x = det Λ d 4 x = d 4 x. Dakle element zapremine u prostoru Minkovskog je invarijanta. 5.2 Četvorovektor gustine struje Naelektrisanje tela je isto za sve posmatrače, tj. ono ne zavisi od toga da li se telo kreće ili miruje. Ovaj rezultat je potvrdjen nizom eksperimenata. Svi elektroni u Svemiru imaju isto naelektrisanje, nezavisno od njihovog relativnog kretanja prema posmatraču. Za jednog posmatrača u maloj zapremini d 3 x oko tačke x u trenutku t nalazi se naelektrisanje dq = ρ(x, td 3 x, gde je ρ zapreminska gustina naelektrisanja. Za drugog inercijalnog posmatrača to naelektrisanje je dq = ρ (x, t d 3 x. Iz invarijantnosti naelektrisanja sledi ρ (x, t d 3 x = ρ(x, td 3 x. (5.2.9 Definišimo veličinu j µ (t, x = ρ(t, x dxµ. (5.2.10 dt Ispitajmo kako se ona transformiše pri Lorencovim transformacijama. Krenućemo od izraza za ovu veličinu u primovanom sistemu Primenom (5.2.9 imamo j µ (t, x = ρ (t, x dx µ dt. (5.2.11 j µ (t, x = ρ(t, xd3 x Λ µ dx ν d 3 x ν dt d 3 x = ρ(t, x d 3 x dt Λµ νdx ν = Λ µ νρ(t, x dxν dt = Λ µ νj ν (t, x, (5.2.12 gde smo iskoristili invarijantnost elementa zapremine d 4 x. Rezultat koji smo dobili znači da su j µ komponente jednog četvorovektora. To je tzv. četvorovektor gustine struje. Nulta komponenta

68 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA četvorovektora gustine struje je j 0 = cρ, dok prostorne kompnente su komponente (tro-vektora gustine struje. Prema tome j µ = (cρ, j = ρv. Gustina naelektrisanja i struje za posmatrača iz inercijalnog sistema S su ρ odnosno j, a za posmatrača iz inercijalnog sistema S su ρ odnosno j. Ako se sistem S kreće duž x ose brzinom v onda prema zakonu transformacije j µ = Λ µ νj ν sledi cρ γ βγ 0 0 cρ βγ γ 0 0 j x j y j z = 0 0 1 0 0 0 0 1 Primer: Naelektrisanje q se kreće ravnomerno sa brzinom v = ve x. U sistemu reference vezanom za ovo naelektrisanje vektor gustine struje je j µ = (cqδ (3 (r, j = 0 Primenom Lorencovih transformacija pokazati da su komponente četvorovektora gustine struje u laboratorijskom sistemu date sa j x j y j z. j µ = (cqδ (3 (r vt, j = qvδ (3 (r vt. Jednačinu kontinuiteta (1.5.28 možemo da prepišemo u obliku µ j µ = 0, iz kojeg je jasno da je ona kovarijantna, tj. važi u svim inercijalnim sistemima. 5.3 Četvorovektor potencijala Jednačine za elektromagnetne potencijale u Lorencovoj kalibraciji su ( ϕ 1 2 ( ϕ c c 2 t 2 c = µ 0 cρ A 1 2 A c 2 t 2 = µ 0 j. Koristeći Dalamberov operator ove jednačine imaju sledeći oblik ( ϕ = µ 0 cρ c A = µ 0 j. (5.3.13 Uvodeći A µ = ( ϕ c, A

5.4. TENZOR JAČINE POLJA. ZAKON TRANSFORMACIJE JAČINA POLJA 69 prethodne jednačine se mogu zapisati u formi A µ = µ 0 j µ. Kako je Dalamberov operator skalar, a j µ četvorovektor onda uvedena veličina A µ je takodje četvorovektor. On se naziva četvorovektorom potencijala i pri Lorencovim transformacijama menja se prema A µ (x = Λ µ νa ν (x. (5.3.14 Potencijal u sistemu S je A µ (x, dok je potencijal u primovanom sistemu A ν (x. Pri bustu duž x ose potencijali se menjaju prema ϕ ϕ γ βγ 0 0 c A x c A = βγ γ 0 0 A x y 0 0 1 0 A y, A z 0 0 0 1 A z odnosno ϕ = ϕ va x, A x = 1 v2 c 2 A x v ϕ c 2, A y = A y, A z = A z. (5.3.15 1 v2 c 2 Lorencov kalibracioni uslov 1 ϕ c 2 t + diva = 0 zapisan u kovarijantnoj formi je µ A µ = 0. On ima isti oblik u svim inercijalnim sistemima, dakle ako u jednom inercijalnom sistemu potencijali zadovoljavaju Lorencovu kalibraciju, µ A µ = 0 onda i u svakom drugom sistemu važi µa µ = 0. Skalarni i vektorski potencijal se pri gauge transformacijama menjaju prema potencijala ϕ ϕ + Λ t A A Λ, što možemo da prepišemo u kovarijantom obliku A µ A µ + µ Λ. 5.4 Tenzor jačine polja. Zakon transformacije jačina polja Tenzor jačine polja je definisan sa F µν = Aν x µ Aµ x ν = µ A ν ν A µ. (5.4.16 On je dva puta kontravarijantan tenzor. Ovo sledi iz zakona transformacije potencijala i parcijalnog izvoda. Pokazali smo da se potencijal A µ = (ϕ/c, A pri Lorencovim transformacijama transformiše kao četvorovektor A µ (x = Λx = Λ µ νa ν (x.

70 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Zakon transformacije parcijalnog izvoda µ = Λ µ ν ν (5.4.17 smo ranije pokazali. Dakle F µν je dva puta kontravarijantni tenzor jer se pri Lorencovim transformacijama transformiše prema F µν (x = Λx = Λ µ ρλ ν σf ρσ (x. (5.4.18 Prethodno transformaciono pravilo može biti zapisano u matričnom obliku Spuštanjem oba indeksa na F µν dobijamo F µν = (ΛF Λ T µν. (5.4.19 F µν = g µρ g νσ F ρσ = µ A ν ν A µ, (5.4.20 što su dva puta kovarijantne komponente tenzora jačine polja. Iz definicije tenzora jačine polja je jasno da je on antisimetričan, F µν = F νµ. Odredimo komponente tenzora jačine polja. Potražimo prvo F 0i : Slično je i F 0i = 0 A i i A 0 = 1 A i c t 1 ϕ c x i = Ei c. (5.4.21 Preostale komponente se slično nalaze pa je Analogno dobijamo F µν = F 12 = 1 A 2 2 A 1 = A 2 x A 1 1 x 2 = A x y A y x = B z. (5.4.22 0 E x c E x Ey E z 0 E x c F µν = E y E y c E z c c 0 B z B y B c z 0 B x. (5.4.23 c B y B x 0 E y c E z c E x c 0 B z B y c B z 0 B x E z c B y B x 0. (5.4.24

5.4. TENZOR JAČINE POLJA. ZAKON TRANSFORMACIJE JAČINA POLJA 71 Dakle komponente tenzora jačine polja F µν su Dekartove komponente vektora jačine električnog polja i magnetne indukcije. Sada ćemo naći zakon transformacije električog i magnetnog polja pri bustu duž x ose. Matrica busta je γ βγ 0 0 Λ µ ν = βγ γ 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 Iz (5.4.18 sledi F 01 = Λ 0 0Λ 1 1F 01 + Λ 0 1Λ 1 0F 01 = γ 2 E x c + β2 γ 2 E x c = E x c (5.4.25 pa je E x = E x. Dalje je F 12 = Λ 1 0Λ 2 2F 02 + Λ 1 1Λ 2 2F 12 = βγe y c γb z (5.4.26 odakle je Slično se dobijaju i sledeći zakoni transformacije B z = B z v E c 2 y. (5.4.27 1 v2 c 2 E y = E y vb z, E z = 1 v2 c 2 E z + vb y, 1 v2 c 2 B x = B x, B y = B y + v E c 2 z. (5.4.28 1 v2 c 2 Prethodne formule se mogu generalisati za slučaj proizvoljnog boosta. Neka se sistem S kreće brzinom v u odnosu na S. Vektore E i B ćemo razložiti na dve komponente: paralelnu i normalnu. Paralelne komponente polja su kolinearne sa vektorom brzinom v, dok su normalne ortogonalne na brzinu. Zakon transformacije polja je E = E, E = E + v B, 1 v2 c 2 B = B, B = B 1 c 2 v E 1 v2 c 2. (5.4.29

72 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Zakoni transformacije polja se mogu lako dobiti primenom formule (5.4.19. Za boost duž x ose imamo 0 E x c E y E z c c E x c 0 B z B y E y B c z 0 B x E z c B y B x 0 γ βγ 0 0 = βγ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 E x c E y E z c c E x c 0 B z B y E y B c z 0 B x E z c B y B x 0. (5.4.30 Odavde se ponovo dobija (5.4.29. Za male brzine, v c iz (5.4.29 dobijamo zakone transformacije polja u nerelativističkoj aproksimaciji E = E + v B B = B 1 c 2 v E. 5.5 Elektromagnetno polje naelektrisanja u uniformnom kretanju Neka se naelektrisanje q kreće konstantnom brzinom duž x ose. Odredimo elektromagnetno polje koje generiše ovo naelektrisanje u laboratorijskom sistemu S. Neka je S sistem vezan za naelektrisanje kao na slici 5.5. U tom sistemu postoji samo elektrostatičko polje. Potencijali u sistemu vezanom za naelektrisanje su Potencijali u laboratorijskom sistemu se dobijaju iz ϕ/c A x A y = A z ϕ = 1 4πɛ 0 q r, A = 0. (5.5.31 γ βγ 0 0 ϕ /c βγ γ 0 0 A x 0 0 1 0 A y 0 0 0 1 A z.

5.5. ELEKTROMAGNETNO POLJE NAELEKTRISANJA U UNIFORMNOM KRETANJU73 Figure 5.1: Odavde je skalarni potencijal dat sa gde je ϕ = ϕ + va x 1 v2 c 2 = 1 q 4πɛ 0 (x vt 2 + (1 v2 (y c 2 + z 2 2 = 1 q, 4πɛ 0 R (5.5.32 R = (x vt 2 + (1 v2 c 2 (y2 + z 2. Dekartove komponente vektorskog potencijala su A x = v c ϕ = 1 v q, A 2 4πɛ 0 c 2 y = A z = 0. (5.5.33 R Koristeći izraze za skalarni i vektorski potencijal lako se nalazi jačina električnog polja E = A t ϕ = q 1 v2 c 2 4πɛ 0 (R R, (5.5.34 3 gde je R relativan radijus vektor u sistemu S izmedju tačke u kojoj se nalazi naelektrisanje i tačke u kojoj se odredjuje polje, tj. R = (x vt, y, z. Lako se vidi da je x vt = R cos θ y2 + z 2 = R sin θ. (5.5.35

74 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Figure 5.2: Ugao θ je ugao izmedju vektora R i e x u sistemu S. Lako se vidi da je E = q 4πɛ 0 1 v2 c R ( 2 3/2 1 v2 sin 2 R. (5.5.36 θ 3 c 2 Magnetna indukcija je rotor vektorskog potencijala. Rezultat je B = 1 c 2 v E. (5.5.37 Na slici 5.5 prikazana je raspodela jačine električnog polja u različitim pravcima. Jačina električnog polja ima minimum za uglove θ = 0 i θ = π a maksimum za θ = π/2. Lako se vidi da za male brzine, v c (nerelativistička aproksomacija jačina električnog polja je data sa dok je magnetna indukcija E = q R 4πɛ 0 R, (5.5.38 3 B = µ 0 qv R. (5.5.39 4π R 3 Ovaj izraz direktno daje izraz za magnetnu indukciju stacionarne struje (2.2.24. U ultrareletivističkoj aproksimaciji (v c električno polje je dato sa E = q 1 v2 c 2 4πɛ 0 cos 3 θ R R 3. (5.5.40 Ovo polje je skoncentrisano u transverzalnom pravcu, θ π/2, što je graficki prikazano na slici 5.5.

5.6. NAELEKTRISANA ČESTICA U ELEKTROMAGNETNOM POLJU 75 Figure 5.3: 5.6 Naelektrisana čestica u elektromagnetnom polju Dejstvo sistema sa konačnim brojem stepeni slobode je S[q i ] = tf t i L(q i, q i, tdt, (5.6.41 gde su q 1,..., q n generalisane koordinate, a q 1,..., q n generalisane brzine. Sistem od neke početne konfiguracije u početnom trenutku t i do finalne konfiguracije u t f može da evoluira na beskonačno puno načina. Prava trajektorija sistema je ona za koju je dejstvo stacionarno, tj. δs = 0. (5.6.42 Ovo je Hamiltonov princip. Lako se može pokazati da uslov stacionarnosti dejstva daje Lagranževe jednačine kretanja d ( L L = 0. (5.6.43 dt q i q i Za sisteme sa potencijalnim silama i idealnom holonomnim vezama lagranžijan je dat sa L = L(q 1,... q n, q 1... q n = T U, gde je n broj stepeni slobode sistema, dok su T i U kinetička, odnosno potencijalna energija sistema. Razmatraćemo kretanje naelektrisane čestice u zadatom elektromagnetnom polju A µ = A µ (x. Česticu opisujemo trajektorijom xµ = x µ (τ u prostoru Minkovskog. Dejstvo je S = ( mcds qa µ dx µ + S f. (5.6.44 Prvi član je dejstvo za slobodnu relativističku česticu, dok je drugi član interakcija naelektrisanja sa elektromagnetnim poljem. Kako je polje zadato treći član, dejstvo slobodnog polja, nas ne

76 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA interesuje. Dejstvo (5.6.44 je skalar u odnosu na Lorencove transformacije. Interval izmedju infinitezimalno bliskih tačaka x µ i x µ + dx µ je ds = cdτ = c 1 v2 dt. (5.6.45 c2 Kako je to imamo S = tf t i A µ dx µ = (ϕ A vdt ( dt mc 2 1 v2 c qϕ + qa v. (5.6.46 2 Izraz u zagradi prethodnog izraza je očigledno lagranžijan L = mc 2 1 v2 qϕ + qa v (5.6.47 c2 i on nije skalar. Da bi našli hamiltonijan za česticu u elektromagnetnom polju prvo odredjujemo generalisani impuls P = L v = mv 1 v2 c 2 + qa = p + qa, (5.6.48 gde je p vektor impulsa slobodne relativističke čestice. Generalisani impuls je zbir mehaničkog impulsa i vektorskog potencijala. Hamiltonijan je H = v P L = mc 2 1 v2 c 2 + qϕ = m 2 c 4 + c 2 (P qa 2 + qϕ. (5.6.49 U poslednjem koraku smo eliminisali brzine preko impulsa jer je hamiltonijan funkcija koordinata i impulsa. U nerelativističkom limesu Hamiltonijan postaje H = (P qa2 2m + qϕ. (5.6.50 Šredingerova jednačina za česticu u elektromagnetnom polju se onda dobija lako. Potrebno je da generalisani impuls u hamiltonijanu zamenimo sa i. Tako dobijamo i ψ [ ( i qa 2 ] t = + qϕ ψ. 2m Nadjimo Lagranževe jednačine kretanja čestice. Iz (5.6.47 sledi 3 L = L = q ϕ + q (v A r v = q ϕ + q(v rota + (v A 3 (a b = (a b + (b a + a rotb + b rota

5.7. MANIFESTNO KOVARIJANTNO IZVODJENJE JEDNAČINA KRETANJA 77 i pa jednačina kretanja L v = p + qa (5.6.51 d ( L L dt v r = 0 (5.6.52 je Kako je d (p + qa = q ϕ + qv B + q(v A. (5.6.53 dt da dt = A + (v A (5.6.54 t to iz (5.6.53 sledi dp = q(e + v B. (5.6.55 dt Dobili smo očekivani rezultat, na česticu deluje Lorencova sila. Lako se može pokazati da je d ( mc 2 = v F = qv E. (5.6.56 dt 1 v2 c 2 Jednačine kretanja, (5.6.55 i (5.6.56 govore o promeni impulsa i energije čestice. One su povezane, jer su i ove fizičke veličine povezane. Medjutim, na osnovu oblika ovih jednačina teško nam je da zaključimo da li su one kovarijantne ili nisu. One jesu kovarijantne, tj. imaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima. To ćemo videti u narednoj lekciji. 5.7 Manifestno kovarijantno izvodjenje jednačina kretanja Kao što smo rekli trajektorija relativističke čestice je x µ = x µ (τ, gde smo uzeli da je τ sopstveno vreme. Trajektorija je kriva u prostoru Minkovskog parametrizovana sa τ. Interval ds izmedju tačaka x µ i x µ + dx µ je ds = g µν dx µ dx ν dx = g µ dx ν µν dτ. (5.7.57 dτ dτ Dejstvo za slobodnu česticu koja se kreće od tačke (dogadjaja 1 do druge tačke (dogadjaj 2 je S = mc 2 1 τ2 dx ds = mc g µ µν τ 1 dτ dx ν dτ. (5.7.58 dτ

78 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Ono je proporcinalno dužini rastojanja izmedju tačaka (t 1, x 1 i (t 2, x 2. Ovo dejstvo je reparametrizaciono invarijantno, tj. umesto parametra τ može se uzeti bilo koji drugi parametar 4 τ = τ (τ ali uz uslov τ (τ 1 = τ 1, τ (τ 2 = τ 2. Dejstvo relativističke čestice u spoljnem polju (5.6.44 postaje τ2 [ dx S = mc g µ dx ν µν τ 1 dτ dτ + qa dx µ ] µ dτ dτ τ2 = [mc ] g µν u µ u ν + qa µ u µ dτ, gde smo uveli četvorobrzinu čestice u µ. Izraz τ 1 L(x µ (τ, u µ (τ = mc g µν u µ u ν qa µ u µ (5.7.59 je Lagranžijan, samo za razliku od (5.6.47 ovaj lagranžijan je Lorencov skalar jer je za razliku od laboratorijskog vremena sopstveno vreme skalar. Jednačine kretanja čestice d ( L L dτ u α x = 0 (5.7.60 α dobijene iz ovog Lagranžijana su manifestno kovarijantne. Zamenom u jednačine kretanja dobijamo što se može prepisati u obliku gde je L = mc u α gµν u µ u u ν α qa α = mu α qa α L x α = q Aµ x u α µ 4 Izborom x 0 = cτ ova simetrija se fiksira. Dejstvo tako postaje tf S = mc 2 dt 1 v2 c 2. m du ( α dτ = q Aµ x A α u µ (5.7.61 α x µ m du α dτ = qf αµu µ, (5.7.62 F µν = A ν x µ A µ x ν (5.7.63 Dobli smo tzv. gauge fiksirano dejstvo koje nema reparametrizacionu simetriju. t i

5.8. KOVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNAČINA 79 tenzor jačine polja. Četvoroimpusla čestice je p µ = mu µ = ( mc dt ( E dτ, mdx = dτ c, p gde je E energija čestice, a p njen impuls. Jednačine kretanja (5.7.62 postaju Potražimo sada µ = 0 jednačinu (5.7.64: dp µ dτ = qf µν u ν. (5.7.64 odnosno Za µ = 1 imamo dp 1 dτ dp 0 dτ = qf 0i u i ( ( = q Ei dxi c dτ de dt (5.7.65 = qe v. (5.7.66 = q (F 10 u 0 + F 12 u 2 + F 13 u 3 ( dt = q E x dτ + B dx 2 z dτ B dx 3 y dτ = q (E x + v y B z v z B y. (5.7.67 Lako se zaključuje da za µ = i = 1, 2, 3 imamo dp dt = q(e + v B. (5.7.68 Dakle, jednačine kretanja (5.7.66, (5.7.68 su kovarijantne, tj. važe u svim inercijalnim sistemima reference. Njihova kovarijantnost je očigledna iz oblika (5.7.64. Jednačine kretanja (5.7.64 su manifestno kovarijantne. Kovarijantnost jednačina (5.7.66, (5.7.68 nije kovarijantnost koju vidimo odmah, na prvi pogled, iako one jesu kovarijantne. 5.8 Kovarijantnost Maksvelovih jednačina U prethodnoj lekciji rekli smo da je interakcija naelektrisanja q sa elektromagnetnim poljem opisana interakcionim članom u dejstvu S int = q A µ (xdx µ.

80 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Očigledno je da u slučaju sistema od N naelektrisanih čestica ovaj član postaje S int = N a=1 q a A µ dx µ a. (5.8.69 Indeks a prebrojava čestice: q a je naelektrisanje čestice indeksa a, dx µ a je diferencijal na njenoj trajektoriji. Interakcioni član ćemo transformisati na sledeći način 5 S int = a = + a = 1 c = 1 c ( q a ca 0 (x a + A i (x a dxi a dt dt ( dt d 3 r q a δ (3 (r r a (tca 0 (r, t a q a vaa i i (r, tδ (3 (r r a (t ( d 4 x cρ(r, ta 0 (r, t + j i (r, ta i (r, t d 4 xj µ A µ = 1 d 4 xl int. (5.8.70 c Član u lagranžijanu koji opisuje interakciju ima oblik: gustina struje puta potencijal. Dejstvo za sistem čestica i elektromagnetno polje koje one generišu i u kome se kreću ima oblik S = S c + S int + S p. (5.8.71 Poslednji član u dejstvu, S p je dejstvo elektromagnetnog polja. Dato je sa S p = 1 d 4 xf µν F µν. (5.8.72 4µ 0 c Da bi jednačine kretanja bile kovarijantne dejstvo treba da bude Lorencov skalar. Jednačine kretanja su linearne po potencijalima što znači da je dejstvo kvadratno po potencijalima. U opštem slučaju dejstvo je oblika S = t2 t 1 dtl = t2 t 1 dt d 3 xl = Ω d 4 x c L, gde je Lagranžijan L = d 3 xl. Veličina L je gustina Lagranžijana. Neka je φ r = φ r (x φ r,x (t (5.8.73 5 Laboratorijsko vreme je isto za sve čestice.

5.8. KOVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNAČINA 81 skup polja. Indeks r prebrojava polja. Iz prethodnog izraza vidimo da je polje sistem sa beskonačno puno stepeni slobode. Gustina Lagranžijana je funkcija polja i izvoda polja L = L(φ r (x, µ φ r (x. (5.8.74 Jednačine kretanja za polja se dobijaju primenom Hamiltonovog principa. Pri varijaciji polja Ω φ r (x φ r(x = φ r (x + δφ r (x (5.8.75 infinitezimalna promena dejstva (tj. varijacija dejstva je ( cδs = d 4 x L(φ r(x, µ φ r(x L(φ r (x, µ φ r (x Ω ( L = d 4 x δφ r + L φ r ( µ φ r δ( µφ r. (5.8.76 Dalje je δ( µ φ r = µ φ r(x µ φ r (x = µ φ r (x, (5.8.77 tj. varijacija i parcijalni izvod komutiraju jer pri variranju koordinate su nepromenjene. Primenom ovog rezultata i parcijalne integracije i Gausove teoreme imamo ( L cδs = d 4 x δφ r + ( L ( L Ω φ r x µ ( µ φ r δφ r µ δφ r ( µ φ r ( L ( L = d 4 L x µ δφ r + Ω φ r ( µ φ r Ω ( µ φ r δφ rdσ µ ( L ( L = d 4 x µ δφ r. (5.8.78 φ r ( µ φ r Ω Površinski integral je nula jer je varijacija polja na granici oblasti integracije nula. Iz Hamiltonovog principa δs = 0 slede Lagranževe jednačine kretanja za polja L ( L µ = 0. (5.8.79 φ r ( µ φ r Prepišimo još jednom dejstvo (5.8.71 S = m a c ds a 1 c a d 4 xj µ A µ 1 4µ 0 c d 4 xf µν F µν. (5.8.80 Gustina Lagranžijana je L = L ces A µ j µ 1 4µ 0 F µν F µν, (5.8.81 gde je prvi član L ces gustina lagranžijana čestica. Jednačine kretanja za potencijale elektromagnetnog polja su ( L α L = 0. (5.8.82 ( α A β A β

82 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Da bismo sastavili jednačine kretanja za potencijale, moramo prvo odrediti i Jednačine kretanja su L ( α A β L A β = j β (5.8.83 = 1 2µ 0 F µν F µν ( α A β = 1 2µ 0 F µν (δ α µδ β ν δ β µδ α ν = 1 2µ 0 (F αβ F βα = 1 µ 0 F αβ. α F αβ = µ 0 j β. (5.8.84 Dobili smo četiri jednačine. Za β = 0 jednačina je α F α0 = µ 0 j 0 odnosno što je prva Maksvelova jednačina Za β = 1 imamo odnosno 1 c ie i = µ 0 cρ (5.8.85 dive = ρ ɛ 0. (5.8.86 0 F 01 + 2 F 21 + 3 F 31 = µ 0 j 1 (5.8.87 (rotb x = µ 0 j x + 1 E x, (5.8.88 c 2 t što je x komponenta četvrte Maksvelove jednačine. Jasno je da β = 2, 3 su y odnosno z komponenta iste jednačine. Dakle, (5.8.84 su Maksvelove jednačine sa izvorima; dobili smo ih variranjem dejstva. Uvrštavanjem izraza za jačinu polja u (5.8.84 dobijamo odnosno µ ( µ A ν ν A µ = µ 0 j ν (5.8.89 A ν ν µ A µ = µ 0 j ν (5.8.90 Ťo su jednačine za potencijale koje smo izveli ranije. U Lorencovoj kalibraciji one su Iz definicije tenzora jačine polja sledi da je sledeći identitet A ν = µ 0 j ν. (5.8.91 µ F ρσ + ρ F σµ + σ F µρ = 0 (5.8.92

5.8. KOVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNAČINA 83 zadovoljen. Ovo se lako proverava: µ ( ρ A σ σ A ρ + ρ ( σ A µ µ A σ + σ ( ρ A µ µ A σ = 0. (5.8.93 Iz prethodnog identiteta slede druga i treća Maksvelova jednačina. Npr. je 1 F 23 + 2 F 31 + 3 F 12 = 0 (5.8.94 divb = 0. (5.8.95 Dakle, bezizvorne jednačine se ne dobijaju variranjem dejstva (5.8.80. One su kinematički uslovi. Simbol Levi Čivita ɛµνρσ je totalno antisimetričan pseudotenzor četvrtog ranga 6. Uzećemo da je ɛ 0123 = 1; svaka transpozicija indeksa daje jedan znak minus. Npr. ɛ 1023 = ɛ 1230 = 1, ɛ 2301 = 1. Ukoliko su dva indeksa ista onda je Levi-Čivita simbol jednak nuli; npr. ɛ0012 = 0 Simbol Levi Čivita sa donjim indeksima se dobija spuštanjem indeksa pomoću metričkog tenzora. Važno je uočiti da je ɛ 0123 = 1. Jednačine (5.8.92 možemo prepiati u formi Tenzor koji se pojavljuje na levoj strani gornje jednačine je dualni tenzor jačine polja. Videli smo da je veličina F µν F µν invarijanta. Lako se vidi da je ɛ µνρσ ν F ρσ = 0. (5.8.96 F µν = 1 2 εµνρσ F ρσ (5.8.97 I 1 = 1 2 F µνf µν = B 2 1 c 2 E2. Definisaćemo još jednu invarijantu elektromagnetnog polja I 2 = c 8 ɛµνρσ F µν F ρσ = E B. Nikako ne propustite da ovo pokažete. Iz invarijantnosti E B na Lorencove transformacije sledi da ako su električno i magnetno polje ortogonalni u jednom sistemu onda su oni ortogonalni u svim inercijalnim sistemima. 6 Pri transformaciji koordinata x µ x µ = x µ (x 0, x 1, x 2, x 3 pseudotenzor T µ ν se transformiše prema T µ ν = J x µ x β J x α x ν T β α, gde za razliku od običnog tenzorskog zakona transformacije figuriše ekstra faktor koji je znak Jakobijana. Tenzori sa više indeksa se transformišu analogno. Pri prostornoj inverziji znak jakobijana je pa se Levi Čivita simbol transformiše prema ε µνρσ = ε µνρσ, tj. isti je i u levom i u desnom koordinatnom sistemu.

84 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA 5.9 Invarijantnost Maksvelovih jednačina na prostornu i vremensku inverziju Pod relativističkom kovarijantnošću neke teorije podrazumeva se njena kovarijantnost ne na celu Lorencovu grupu, već samo na Lorencove transformacije koje su povezane sa jediničnom transformacijom. Ove Lorencove transformascije zadovoljavaju sledeća dva uslova det Λ = 1, Λ 0 0 1 (5.9.98 i nazivaju se pravim ortohronim Lorencovim transformacijama. Prave ortohrone Lorencove transformacije čine podgrupu cele Lorencove grupe koja ne sadrži inverzije, već kao što smo rekli samo one Lorencove transformacije povezane sa jedinicom, a to su rotacije i bustovi. Prostorna inverzija je definisana sa t t = t, r r = r. (5.9.99 Matrica ove transformacije je 1 0 0 0 Λ µ ν = 0 1 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 Ona je Lorencova transformacija jer zadovoljava uslov Λ T gλ = g. Ova transformacija nije povezana neprekidnom transformacijom sa jedinicom. Prostorna inverzija je diskretna transformacija. Pri prostornoj inverziji brzina menja znak v = dr dt v = dr dt = dr dt = v. (5.9.100 Vektori koji pri prostornoj inverziji menjaju znak nazivaju se pravim vektorima. Slično se vidi da ubrzanje menja znak pri prostornoj inverziji, pa je i ono pravi vektor. Iz F = ma sledi da i sila menja znak pri prostornoj inverziji. Iz izraza za Lorencovu silu F = q(e + v B sledi da pri prostornoj inverziji električno polje menja znak (pravi vektor a magnetno polje ne menja znak. Magnetna indukcija je primer aksijalnog ili pseudo vektora, jer ne menja znak pri inverziji prostora. Dakle: E (r = r, t = t = E(r, t B (r = r, t = t = B(r, t. (5.9.101 Sa druge strane iz invarijantnosti naelektrisanja q = d 3 rρ(r, t na prostornu inverziju sledi zakon transformacije gustine narelektrisanja ρ (r = r, t = t = ρ(r, t. (5.9.102

5.9. INVARIJANTNOST MAKSVELOVIH JEDNAČINA NA PROSTORNU I VREMENSKU INVERZIJU85 Vektor gustine struje j = ρv menja znak pri prostornoj inverziji j (r = r, t = t = j(r, t. (5.9.103 Sada je lako pokazati da su Maksvelove jednačine invarijantne pri prostornoj inverziji. Npr. ako podjemo od rot E (r, t = B (r, t (5.9.104 t dobićemo rote = B t. (5.9.105 Tenzori i pseudotenzori se na isti način transformišu pri rotacijama. Razlika nastaje zbog transformacionih svojstava pri refleksijama odnosno inverziji prostora. Tenzor koji ima N indeksa zvaćemo pravim tenzorom ako pri prostornoj refleksiji se transformiše sa faktorom ( 1 N. Sa druge strane ako se transformiše sa faktorom ( 1 N zvaćemo ga pseudotenzorom. Već smo rekli da su električno odnosno magnetno polje primeri pravog vektora, odnosno pseudovektora. Simbol Levi Čivita pri prostornoj inverziji transformiše se prema pa je on takodje pseudotenzor. Vremenska inverzija je definisana sa Matrica ove transformacije je ε ijk = ( δ im ( δ jn ( δ kp ε mnp = ε ijk, (5.9.106 t t = t, r r = r. (5.9.107 1 0 0 0 Λ µ ν = 0 1 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 Ona je Lorencova transformacija jer zadovoljava uslov Λ T gλ = g, ali kao i prostorna inverzija nije povezana sa jediničnom transformacijom. Pri vremenskoj inverziji brzina menja znak v = dr dt v = dr = dr dt dt = v. (5.9.108 Slično se vidi da ubrzanje ne menja znak pri vremenskoj inverziji. Iz F = ma sledi da i sila ne menja znak pri vremenskoj inverziji. Iz izraza za Lorencovu silu F = q(e + v B sledi da pri vremenskoj inverziji električno polje ne menja znak a magnetno polje menja znak. Dakle: E (r = r, t = t = E(r, t B (r = r, t = t = B(r, t. (5.9.109

86 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Zakon transformacije zapreminske gustine naelektrisanja i struje pri vremenskoj inverziji je ρ (r = r, t = t = ρ(r, t j (r = r, t = t = j(r, t. (5.9.110 Pokažimo da je (2.6.75 invarijantna na vremensku inverziju. Iz rot (E (r, t = (B (r, t t (5.9.111 sledi rote = B t. (5.9.112 Sliňo se pokazuje i da su preostale tri Maksvelove jednačine invarijantne na vremensku inverziju. 5.10 Kovarijantnost Maksvel-Lorencovih jednačina Zapreminska gustina naelektrisanja i struje koje potiču od vezanih naelektrisanja čine četvorovektor j µ vez = (cρ vez, j vez = ( cdivp, rotm + P t. (5.10.113 To je četvorovektor gustine struje vezanih naelektrisanja. Koristeći ovaj četvorovektor prvu i poslednju Maksvel Lorencovu jednačinu možemo prepisati u obliku µ F µν = µ 0 (j ν + j ν vez, (5.10.114 gde je j ν četvorovektor gustine struje eksternih i slobodnih naelektrisanja. Uvedimo tenzor M µν sa 0 cp x cp y cp z M µν = µ 0 cp x 0 M z M y cp y M z 0 M x. (5.10.115 cp z M y M x 0 Lako se vidi da važi µ 0 j νvez = µ M µν. (5.10.116 Poslednja relacija potvrdjuje da je M µν tenzor drugog reda. Iz (5.10.114 sledi µ (F µν M µν = µ 0 j ν (5.10.117 odnosno gde je H µν = µ H µν = µ 0 j ν (5.10.118 0 D x ε 0 c D x Dy Dz D y ε 0 c D z ε 0 c ε 0 0 µ c 0 H z µ 0 H y ε 0 µ c 0 H z 0 µ 0 H x. (5.10.119 ε 0 µ c 0 H y µ 0 H x 0

5.10. KOVARIJANTNOST MAKSVEL-LORENCOVIH JEDNAČINA 87 Jednačine (5.10.118 su kovarijantni zapis prve i četvrte Maksvel Lorencove jednačine. Druga i treća jednačina u kovarijantnom obliku su date sa (5.8.92. Iz zakona transformacije tenzora M µν lako se nalaze zakoni transformacije polarizacije i magnetizacije pri prelasku iz sistema S u sistem S koji se kreće konstantnom brzinom v P = P, P = P 1 v M c 2, 1 v2 c 2 M = M, M = M + v P. (5.10.120 1 v2 c 2 Analogno, zakon transformacije H µν daje zakone trensformacije D = D, D = D + 1 v H c 2, 1 v2 c 2 H = H, H = H v D. (5.10.121 1 v2 c 2 Nadjimo supstancijalne jednačine za dielektrik bez disperzije koji se kreće stalnom brzinom v. Za dielektrik ćemo vezati primovan sistem, i sve veličine u ovom sistemu obeležićemo sa primom. U sistemu mirovanja dielektrika je D = ε 0 εe B = µ 0 µb. (5.10.122 Primenom transformacionih zakona (5.10.121 i (5.4.29 možemo u gornjim jednačinama eliminisati primovane veličine preko neprimovanih i tako naći supstancijalne jednačine u laboratorijskom sistemu. Konačno se dobijaju sledeće relacije D + 1 c 2 (v H = ε 0ε(E + v B B 1 c 2 (v E = µ 0µ(H v D. (5.10.123 Ove realcije su poznate pod imenom Minkovskijeve relacije, jer ih je on prvi izveo. Pri izvodjenju ovih relacija pretpostavili smo da se sredina kreće stalnom brzinom. Medjutim, ove relacije važe i kad to nije slučaj. Možemo ih primenjivati lokalno. Različiti delići sredine se kreću različitim brzinama, ali za svaki uočeni delić možemo preći u sistem u kome on trenutno miruje i koji je inercijalan u infinitezimalno malom vremenskom intervalu. Ako je sredina provodna i ako u sistemu vezanom za nju važi Omov zakon j = σe onda se lako dobija da u laboratorijskom sistemu važi j = σ E + v B 1 v2 c 2 v 2 c 2 σe 1 v2 c 2 + ρv. (5.10.124

88 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Zadatak: Dugačak valjak radijusa R napravljen je od materilala permanentne polarizacije. Vektor polarizacija u valjku je data sa P = aρe ρ gde je a konstanta. a Naći raspodelu vezanih naelektrisanja pa na osnovu toga odrediti raspodelu vezanih struja ako valjak rotira oko ose simetrije konstantnom ugaonom brzinom ω = ωe z, pri čemu je ωr c. b Naći gustinu vezanih struja primenom zakona transformacije (5.10.120 c odrediti B Rešenje: aiz P = aρe ρ sledi ρ vez = divp = 2a. Na omotaču valjka za posmatrača za koga uočeni delić na obodu valjka miruje, normalna komponenta polarizacije trpi skok koji daje vezana površinska naelektrisanja σ vez = ar. Odavde je j vez = ρ vez (ω ρ = 2aωρe ϕ i vez = σ vez Rωe ϕ = ar 2 ωe ϕ. (5.10.125 biz zakona transformacije polarizacije i magnetizacije sledi da je magnetizacija u laboratorijskom sistemu M lab = v P = aωρ 2 e z. (5.10.126 a polarizacija P lab = P. Gustina struje je onda odakle se lako nalazi j vez = rotm lab + P lab t j vez = 2aωρe ϕ. Iz graničnog uslova za skok tangencijalne komponente magnetizacije dobija se i vez. Amperova teorema B dl = µ 0 j vez ds daje B = µ 0 aωρ 2 e z unutar valjka. Smislite još neki način da nadjete B, npr. krenite od izraza za cirkulaciju H. 5.11 Integralni oblik Maksvel-Lorencovih jednačina Integracija prve Maksvel Lorencove jednačine (3.1.33 po zapremini V daje divdd 3 r = ρd 3 r. (5.11.127 Primenom Gausove teoreme dobijamo V V D ds = V V ρd 3 r, (5.11.128 što je integralni oblik prve Maksvel-Lorencove jednačine. Fluks vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu jednak je ukupnom makroskopskom i spolja unetom naelektrisanju koje se

5.11. INTEGRALNI OBLIK MAKSVEL-LORENCOVIH JEDNAČINA 89 nalazi u zapremini čija je granica zatvorena površina. Vektor električne indukcije D ne vidi polarizaciono naelektrisanje. Slično, iz druge jednačine (3.1.34 sledi B ds = 0. (5.11.129 S Fluks vektora magnetne indukcije kroz ma koju zatvorenu površinu je nula. Integracijom Faradejevog zakona (3.1.35 po površini S dobijamo B rote ds = ds. (5.11.130 t Primenom Stoksove teoreme dobijamo E dl = S C S S B t ds. (5.11.131 Ako pretpostavimo da je kontura C = S nepokretna onda je E dl = d B ds. (5.11.132 C dt S Kao što smo ranije rekli cirkulacija vektora jačine električnog polja je elektromotorna sila. Slično se dobija i integralni oblik jednačine (3.1.36 H dl = j ds + d D ds (5.11.133 dt C S u slučaju nepokretne konture. Jasno je da se u nepokretnom provodniku smeštenom u promenljivo magnetno polje indukuje struja, ali takodje struja se indukuje i u pokretnom provodniku u stalnom magnetnom polju. Zato ćemo sada analizirati slučaj kada je kontura C pokretna. Neka je A(r, t vektorsko polje. Nadjimo vremenski izvod fluksa ovog polja kroz pokretnu površ. Kretanje površi, odnosno konture koja je njena granica je zadato sa poljem u(t, r. Na slici 5.11 prikazali smo položaje konture u trenutku t odnosno t + t. Neka je S(t = S 1 površ u trenutku t, a S(t + t = S 2 površ u trenutku t + t. Pri kretanju površi ona opisuje telo čija je izvodnica u t. Po definiciji izvod fluksa vektorskog polja je d A(t ds = lim A(t + t ds A(t ds S(t+ t S(t. (5.11.134 dt S(t t 0 t Primenićemo Gausovu teoremu na zapreminu V prikazanu na slici 5.11 ali uzimajući vektorsko polje u trenutku t. Bazisi oblasti V su S 1 i S 2 pa imamo divad 3 r = A(t ds + A(t ds A(t (v t dl. (5.11.135 V S 1 S 2 om Koristeći S A(t + t = A(t + A t (5.11.136 t

90 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA Figure 5.4: Kretanje konture. imamo V divad 3 r = A A(t + t ds S 2 S 2 t tds A(tdS A(t (v t dl (5.11.137 S 1 om odnosno diva v ds = 1 [ ] A(t + t ds A(t ds S 1 t S 2 S 1 A S 2 t ds (v A(t dl. (5.11.138 U limesu t 0 dobijamo d A(t ds = dt S(t S diva v ds + S A t ds rot(v A ds, (5.11.139 S gde vidimo da se fluks polja A po pokretnoj konturi menja zbog toga što pri kretanju kontura prolazi kroz oblast sa izvorima i ponorima polja A (prvi član, zbog toga što se samo polje A menja sa vremenom (drugi član kao i zbog toga što fluks curi kroz omotač (treći sabirak. Primenom (5.11.139 u formuli (5.11.131 za slučaj pokretne konture imamo E dl = d B ds (v B dl (5.11.140 C(t dt S(t C(t

5.11. INTEGRALNI OBLIK MAKSVEL-LORENCOVIH JEDNAČINA 91 odnosno + v B dl = C(t(E d B ds. (5.11.141 dt S(t što je Faradejev zakon za pokretnu konturu. Sve veličine u ovom zakonu meri laboratorijski posmatrač. Pretpostavimo sada da je brzina konture mala v c. Za posmatrača S vezanog za konturu Faradejev zakon ima oblik E dl = d B ds. (5.11.142 C dt S Veličine koje meri laboratorijski posmatrač (sistem S su neprimovane i za njega Faradejev zakon je oblika (5.11.141. Kako je dl = dl i dt = dt to poredjenjem ova dva zakona dobijamo E = E + v B B = B. Dobili smo nerelativistički zakon transformacije polja jer smo pretpostavili da se kontura kreće malom brzinom. Izraz E = E dl C je elektromotorna sila. Sve veličine se odnose na konturu. Primer: Kontura kvadratnog oblika kreće se brzinom v = ve x u xy ravni u magnetnom polju B = B(xe z. Sopstvena dužina stranice kvadrata je l. Proveriti važenje Faradejevog zakona u sistemu konture i u laboratorijskom sistemu. Neka je sistem S vezan za kvadrat, postavljen tako da mu se koordinatni početak poklapa sa jednim temenom kvadrata, a x i y ose su duž njegovih stranica. U ovom sistemu postoji električno i magnetno polje: E = vb(x e y 1 v2 c 2 B = EMS u trenutku t u sistemu konture je E = E dl = vl Sa druge strane je B t ds = 1 v2 c 2 = B(x 1 v2 c 2 e z. [ ( l + vt B B 1 v2 c 2 l 1 v2 c 2 lv 1 v2 c 2 l 0 z2 z 1 ( vt ]. 1 v2 c 2 ( x t B + vt dx 1 v2 c 2 db dz, (5.11.143 dz

92 CHAPTER 5. RELATIVISTIČKA ELEKTRODINAMIKA gde su granice integracije Na kraju dobijamo B t ds = z 1 = vt l + vt, z 2 =. 1 v2 1 v2 c 2 c 2 vl ( ( l + vt ( vt B B 1 v2 1 v2 1 v2 c 2 c 2 c 2. (5.11.144 Dakle važi Ako je v c onda je E dl = d dt B ds (5.11.145 E = vl(b(vt B(l + vt. (5.11.146 Za posmatrača u sistemu S kontura je pokretna pa on primenjuje (5.11.141. Leva strana ove jednačine je ( ( (v B dl = vl B vt + 1 v2 B(vt. (5.11.147 c 2 Lako se vidi da je to i desna strana. Prethodni izraz se u nerelativističkom slučaju svodi na (5.11.146.

Chapter 6 Elektrostatičko polje u vakuumu Naelektrisanja koja miruju generišu statičko električno polje E = E(r. U tom slučaju Maksvelove jednačine za polje u vakuumu se svode na dive(r = ρ(r ɛ 0 (6.0.1 rote(r = 0. (6.0.2 Iz (6.0.2 sledi da je E = ϕ što zamenom u (6.0.1 daje Poasonovu jednačinu ϕ = ρ(r ε 0 (6.0.3 za potencijal. U oblasti prostora gde je zapreminska gusina naelektrisanja nula, ρ = 0 potencijal zadovoljava Laplasovu jednačinu ϕ = 0. (6.0.4 6.1 Diskontinuiteti potencijala; Dipolni list Neka su oblasti 1 i 2 razdvojene granicom na kojoj su rasporedjena površinska naelektrisanja. U obe oblasti se nalazi vakuum. Normalna komponenta električnog polja pri prelasku iz jedne u drugu oblast trpi skok prema E 2n E 1n = σ ɛ 0 (6.1.5 odakle sledi ϕ ϕ = σ. (6.1.6 n 1 n 2 ɛ 0 Dakle izvod potencijala u pravcu normale trpi skok proporcionalan površinskoj gustini naelektrisanja. Medjutim i sam potencijal može da trpi skok. To se dešava kod dipolnog sloja ili kako se još zove, dipolnog lista. Neka su dve raznoimeno naelektrisane površi postavljene na malom medjusobnom rastojanju b, gde b ne mora biti konstantno. Gustina naelektrisanja u naspramnim 93

94 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU Figure 6.1: tačkama na ove dve površi je +σ odnosno σ. Površinska gustina σ nije konstantna već može da se menja po površi. Kada je rastojanje izmedju ove dve naelektrisane površi, b malo dobijamo tzv. dipolni sloj (list. Dipolni list se sastoji od elementarnih dipola momenta dp = b(rσ(rdsn, (6.1.7 gde je ort normale n usmeren od negativne ka pozitivnoj površi. Veličina τ (r = dp ds = σ(rb(rn (6.1.8 naziva se gustinom električnog dipolnog momenta. Potencijal dipolnog sloja u tački r je zbir potencijala naelektrisanja sa pozitivne i sa negativne površi, kao što je prikazano na slici 6.1. Prema tome potencijal je ϕ(r = = = = 1 ( σ(r ds 4πɛ 0 r r 1 ( σ(r ds 4πɛ 0 r r r r 1 σ(r bn (r r ds 4πɛ 0 r r 3 1 τ (r (r r ds 4πɛ 0 σ(r ds r r + bn σ(r ds ( 1 bn (r r r r 2 +... r r 3, (6.1.9

6.2. JEDNOZNAČNOST REŠENJA POASONOVE JEDNAČINE 95 Figure 6.2: gde smo članove višeg reda po malom parametru b/r zanemarili. Ako uvedemo prostorni ugao (slika 6.1 pod kojim se iz tačke u kojoj odredjujemo potencijal vidi element površi ds sa dω = (r r nds r r 3 (6.1.10 izraz za potencijal dipolnog sloja postaje ϕ(r = 1 4πɛ 0 τ(r dω. (6.1.11 Odredimo sada razliku potencijala u tačkama 1 i 2 koje se nalaze uz sam dipolni list u oblasti 1 odnosno 2. Dipolni sloj možemo da prikažemo kao superpoziciju malog dela površine ds neposredno iznad tačke 1 i ispod tačke 2 i dipolnog sloja kod koga smo izvadili taj mali deo površine ds. Za mali element dipolnog sloja gustinu električnog dipolnog momeneta možemo da smatramo skoro konstantnom pa iz (6.1 sledi da je potencijal u tački 1 jednak 1 4πɛ 0 2πτ dok 1 je u tački 2 njegova vrednost 4πɛ 0 2πτ. Za dipolni sloj sa rupom potencijal je isti u tačkama 1 i 2 pa je ukupni skok potencijala po principu superpozicije ϕ 2 (r ϕ 1 (r = τ(r ɛ 0. (6.1.12 6.2 Jednoznačnost rešenja Poasonove jednačine U ovoj lekciji odredićemo pod kojim uslovima Poasonova (odnosno Laplasova jednačina ima jednoznačno rešenje. Neka je V zapremina prostora unutar koga rešavamo Poasonovu jednačinu.

96 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU Da bi ona imala jednoznačno rešenje potrebno je da: 1. u toj oblasti V znamo raspodelu naelektrisanja ρ = ρ(r i sve diskontinuitete potencijala i izvoda potencijala; 2. na graničnoj površini S oblasti V ili je zadat potencijal ϕ S = H(r ili znamo izvod potencijala u pravcu normale n ϕ S ϕ = F (r. n S Ukoliko na granci oblasti V znamo potencijal takav granični uslov se naziva Dirišleovim. Ako je na granici zadata vrednost izvoda potencijala u pravcu normala takav granični uslov je Nojmanov. Da bi dokazali prethodno tvrdjenje prvo ćemo izvesti prvi Green-ov identitet. Zamenom A = φ ψ, gde su φ i ψ dve diferencijabilne funkcije u Gausovu teoremu V divad 3 r = V A ds (6.2.13 dobijamo spomenuti identitet V d 3 r( φ ψ + φ ψ = V φ ψds. (6.2.14 Sada ćemo pokazati jednoznačnost rešenja Poasonove jednačine. Pretpostavimo da postoje dva rešenja ϕ 1 i ϕ 2 Poasonove jednačine koja zadovoljavaju iste granične uslove. Njihova razlika u = ϕ 1 ϕ 2 zadovoljava Laplasovu jednačinu u = 0. Ukoliko potencijal zadovoljava Dirišleov granični uslov onda je u V = 0. Ako sa druge strane potencijal zadovoljava Nojmanov granični uslov tada je u = 0. n V Zamenom ψ = φ = u u prvi Grinov identitet dobijamo V [ ] d 3 r ( u 2 + u u = V u u ds. (6.2.15 n Drugi sabirak sa leve strane je nula, dok je površinski član bilo da su zadati Dirišleovi bilo Nojmanovi granični uslovi takodje nula pa je V d 3 r( u 2 = 0 (6.2.16 odakle sledi da je u = C, tj. rešenja ϕ 1 i ϕ 2 se razlikuju do na konstantu, što je fizički jedno te isto rešenje. Recimo na kraju da granični uslov može biti i mešovit, tj. na nekom delu granice je zadat potencijal a na preostalom izvod potencijala u pravcu normale na granici.

6.3. POASON-GRINOVA FORMULA 97 6.3 Poason-Grinova formula Ako u prvom Grinovom identitetu (6.2.14 zamenimo funkcije ψ i φ dobijamo V d 3 r( ψ φ + ψ φ = Oduzimanjem dobijenog izraza od (6.2.14 dobijamo drugi Grinov identitet: V d 3 r(φ ψ ψ φ = V V ψ φds. (6.3.17 (φ ψ ψ φds. (6.3.18 Zamenom ψ = 1 r r i φ = ϕ u drugi Grinov identitet (6.3.18, u kome se integrali po r dobijamo V ( d 3 r ϕ(r 1 r r 1 ( r r ϕ(r = (ϕ V Primenom Dirak-Grinovog identiteta dobijamo ϕ(r = 1 4πɛ 0 V ρ(r d 3 r r r 1 r r + 1 [ 1 ( 4π V r r ϕ ϕ 1 r r ϕ ds. (6.3.19 1 r r ] ds. (6.3.20 Prethodni izraz je Poason-Grinova formula. Desna strana jednačine sadrži dva člana. Prvi je zapreminski, gde se integrali po naelektrisanjima u oblasti V. Drugi član je površinski, podintegralna funkcija zavisi od potencijala i izvoda potencijala u pravcu normale na granici. Neka je V = R 3, tj. zapremina V je ceo prostor. Potencijal na velikim rastojanjima od sistema teži nuli kao 1 ili brže pa izraz u zagradi površinskog terma se ponaša kao 1 na velikim r r 3 rastojanjima. Množenjem sa elementom površine koji se ponaša kao r 2 vidimo da je površinski integral tipa 1 i dakle teži nuli. U ovom slučaju Poason-Grinova formula svodi na poznat rezultat r ϕ(r = 1 R3 ρ(r d 3 r 4πɛ 0 r r, (6.3.21 gde se integrali po celom prostoru. Površinski term u Poason-Grinovoj formuli je doprinos potencijalu od naelektrisanja van oblasti V. Napomenimo da Poason-Grinova formula predstavlja integralni uslov koji potencijal zadovoljava. 6.4 Rešavanje Laplasove jednačine metodom razdvajanja promenljivih Laplasova jednačina Φ = 0 je parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda. Metod razdvajanja promenljivih je dobro poznat način za rešavanje parcijalnih jednačina. U ovoj lekciji potencijal ćemo obeležiti sa Φ, a sa ϕ polarni ugao.

98 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU 6.4.1 Rešavanje Laplasove jednačine u Dekartovim koordinatama Laplasova jednačina u Dekartovim koordinatama je 2 Φ x + 2 Φ 2 y + 2 Φ 2 z = 0. (6.4.22 2 Pretpostavićemo da partikularno rešenje ove jednačine je proizvod tri funkcije od kojih svaka zavisi od jedne Dekartove koordinate: Φ = X(xY (yz(z. Laplasova jednačina postaje 1 d 2 X X dx 2 + 1 Y d 2 Y dy 2 + 1 Z d 2 Z dz 2 = 0. (6.4.23 Za svako x, y, z zbir tri funkcije od kojih prva zavisi samo od x, druga od y a treća od z je nula, što je jedino moguće ako je svaka od njih konstanta 1 d 2 X X dx = 2 k2 x, 1 Y d 2 Y dy 2 = k2 y, 1 d 2 Z Z dz = 2 k2 z (6.4.24 pri čemu je k 2 x + k 2 y k 2 z = 0. Znak konstanti k 2 x, k 2 y i k 2 z zavisi od graničnih uslova. Dalje ćemo da rešavamo konkretan problem. Rešićemo Laplasovu jednačinu unutar kvadra, ivica a, b i c. Neka se koordinatni početak nalazi u jednom temenu kvadra, a ose x, y i z su redom duž stranica dužine a, b odnosno c. Unutar kvadra nema naelektrisanja. Strane x = 0, x = a, y = 0, y = b i z = 0 su na nultom potencijalu, dok je strana z = c na konstantnom potencijalu V 0. Zbog graničnih uslova k 2 x > 0, pa je rešenje za funkciju X dato sa X(x = C 1 sin(k x x + C 2 cos(k x x. (6.4.25 Iz Φ(x = 0, y, z = X(0Y (yz(z = 0 i Φ(x = a, y, z = X(aY (yz(z = 0 sledi X(0 = X(a = 0 pa se konačno dobija C 2 = 0, k x = nπ/a gde je n ceo broj. Granični uslov je diskretizovao konstantu k x. Prema tome partikularna rešenja za funkciju X su ( nπx X n sin. (6.4.26 a Analogno partikularna rešenja za funkciju Y su ( mπy Y m sin, (6.4.27 b gde m Z. Jednačina za funkciju Z je Njeno rešenje je d 2 Z dz 2 π ( n 2 a 2 + m2 b 2 Z = 0. (6.4.28 Z = Ae π n 2 a 2 + m2 b 2 z + Be π n 2 a 2 + m2 b 2 z. (6.4.29

6.4. REŠAVANJE LAPLASOVE JEDNAČINE METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH99 Granični uslov Z(z = 0 = 0 daje A = B, pa zaključujemo da je za fiksne koeficijente n i m funkcija Z data sa ( n Z nm sinh 2 a + m2 2 b πz. (6.4.30 2 Opšte rešenje Laplasove jednačine je zbir partikularnih rešenja: Φ = m,n=1 A mn sin ( nπx sin a ( mπy gde su A mn koeficijenti koje odredjujemo iz graničnog uslova V 0 = m,n=1 A mn sin 0 ( nπx sin a b ( mπy b ( n sinh 2 a + m2 2 b πz, (6.4.31 2 ( n sinh 2 a + m2 2 b πc. (6.4.32 2 Množenjem gornje relacije sa sin(kπx/a sin(lπy/b i integracijom po x i y uz relacije ortogonalnosti a ( nπx ( lπx dx sin sin = a a a 2 δ nl (6.4.33 dobijamo Φ = m,n=0 ( (2n+1πx 16V sin 0 a π 2 ( (2n + 1(2m + 1 sinh πc sin (2n+1 2 a 2 ( (2m+1πy b + (2m+12 b 2 sinh Rezultat za potencijal je predstavljen u obliku dvostruke beskonačne sume. ( (2n + 1 2 (2m + 12 πz +. a 2 b 2 (6.4.34 6.4.2 Rešavanje Laplasove jednačine u sfernim koordinatama Laplasova jednačina Φ = 0 gde je potencijal Φ = Φ(r, θ, ϕ u sfernim koordinatama je 1 r 2 r (rφ + 1 2 r 2 sin θ ( θ sin θ Φ + θ 1 2 Φ r 2 sin 2 θ ϕ = 0 (6.4.35 2 Rešenje parcijalne diferencijalne jednačine (6.4.35 predpostavićemo u obliku V = R(r P (θq(ϕ, r tj. kao proizvod tri funkcije od kojih prva zavisi od r, naredna od θ i treća od ϕ. Zamenom ovog oblika rešenja u jednačinu (6.4.35 dobijamo P Q d2 R dr + RQ d ( sin θ dp + RP d 2 Q 2 r 2 sin θ dθ dθ r 2 sin 2 θ dϕ = 0. (6.4.36 2

100 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU Množenjem prethodne jednačine sa r 2 sin 2 θ/(p QR dobijamo [ 1 r 2 sin 2 d 2 R θ R dr + 1 2 r 2 sin θp d ( sin θ dp ] + 1 d 2 Q dθ dθ Q dϕ = 0. (6.4.37 2 U prethodnoj jednačini prvi sabirak je funkcija θ i r a drugi samo od ϕ a kako im je zbir nula za svako r, θ, ϕ onda oni moraju biti konstante. Prvi je m 2 a drugi m 2, tj. odnosno 1 d 2 R R dr + 1 2 r 2 sin θp d 2 Q dϕ 2 + m2 Q = 0 (6.4.38 d ( sin θ dp m2 dθ dθ r 2 sin 2 θ = 0. (6.4.39 Iz (6.4.38 sledi Q e imϕ. Konstanta m mora biti ceo broj da bi funkcija Q bila periodična sa periodom 2π Q(ϕ + 2π = Q(ϕ. Jednačinu (6.4.39 prepisaćemo u obliku r 2 d 2 R R dr + 1 2 sin θp d ( sin θ dp m2 dθ dθ sin 2 θ = 0, (6.4.40 gde smo sada razdvojili promenljive; prvi sabirak je funkcija od r a drugi od θ. Kako im je zbir nula to oni moraju biti konstante. Prvi sabirak je l(l + 1 a drugi l(l + 1. Dakle dobijamo d 2 R l(l + 1 R = 0 (6.4.41 dr2 r 2 1 d ( sin θ dp ] + [l(l + 1 m2 sin θ dθ dθ sin 2 P = 0. (6.4.42 θ Jednačina (6.4.41 je Ojlerova diferencijalna jednačina i njeno rešenje tražićemo u obliku R r k. Zamenom u jednačinu dobijamo k(k 1 l(l + 1 = 0 odakle je k = l + 1, l. Dakle rešenje jednačine (6.4.41 je gde su A i B konstante. Smenom x = cos θ, R = Ar l+1 + B 1 r l, (6.4.43 ( 1 x 1 jednačina (6.4.42 postaje d [ (1 x 2 dp ] ] + [l(l + 1 m2 P = 0. (6.4.44 dx dx 1 x 2 Ovo je tzv. generealisana Ležandrava diferencijalna jednačina.

6.4. REŠAVANJE LAPLASOVE JEDNAČINE METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH101 Razmotrićemo prvo specijalan slučaj kada je m = 0, tj. Q = 1. Ovo znači da potencijal ne zavisi od azimutalnog ugla ϕ. To je kod sistema koji su invarijantni na rotacije oko z ose, tj. koji poseduju azimutalnu simetriju. Jednačina (6.4.44 postaje (1 x 2 d2 P l dx 2 2xdP l dx + l(l + 1P l = 0, (6.4.45 što je Ležandrova jednačina. Rešenja jednačine (6.4.45 su Ležandrovi polinomi P l (x dati sa P l (x = 1 d l 2 l l! dx l (x2 1 l, (6.4.46 što je tzv. Rodrigova formula 1. Da bi Ležandrova diferencijalna jednačina imala konačna rešenja konstanta l mora biti l = 0, 1, 2.... Zadatak 1: Pokažite da (6.4.46 zadovoljava diferencijalnu jednačinu (6.4.45. Prvih nekoliko Ležandrovih polinima su P 0 (x = 1, P 1 (x = x, P 2 (x = 1 2 (3x2 1. (6.4.47 Može se pokazati da važe sledeće rekurentne relacije izmedju Ležandrovih polinoma: (n + 1P n+1 (x (2n + 1xP n (x + np n 1 (x = 0, (6.4.48 (x 2 1P n(x = nxp n (x np n 1 (x, (6.4.49 P n+1(x xp n(x = (n + 1P n (x. (6.4.50 Ležandrovi polinomi su ortogonalni na intervalu 1 x 1 pa proizvoljnu funkciju definisanu na ovom intervalu možemo razviti po njima. Relacije ortogonalnosti su 1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δ nm. (6.4.51 Zadatak 2: Pokažite relacije ortogonalnosti. Pomnožite (6.4.45 sa P n (x i integralite po x na intervalu [ 1, 1]. Za pomoć konsultujte [1]. Zaključak je da je opšte rešenje Laplasove jednačine u slučaju azimutalne simetrije ima oblik Φ(r, θ = 1 Jednačina (6.4.45 se može rešiti predpostavljajući rešenje u obliku reda l=0 ( A l r l + B l r l+1 P l (cos θ. (6.4.52 gde je s konstanta. P l (x = x s n=0 c n x n

102 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU Konstante A l i B l odredjuju se iz graničnih uslova. Generatrisa Ležandrovih polinoma je funkcija (1 2tx + t 2 1 2, jer su oni koeficijenti u stepenom razvoju ove funkcije po t. Naime, Izraz 1 = t l P l (x, t < 1. (6.4.53 1 2tx + t 2 l=0 1 r r koji često srećemo u ovom kursu možemo razviti po Ležandrovim polinomima 1 r r = 1 r2 2rr cos γ + r = 2 l=0 r< l r> l+1 P l (cos γ, (6.4.54 gde je γ ugao izmedju vektora r i r, a r < i r > su manja odnosno veća vrednost promenljivih r i r. Ova formula se lako pokazuje. Uzmimo da je r = r e 3, tada je ugao γ sferni ugao θ. Dalje je 1 r r = 1. (6.4.55 r2 2rr cos θ + r 2 Gornji izraza je funkcija ugla θ i možemo ga razviti u red po Ležandrovim polinomima 1 r2 2rr cos θ + r = C l P l (cos θ, (6.4.56 2 gde su C l koeficijenti. Ove koeficijente odredjujemo uzimanjem θ = 0. Iz razvoja l=0 1 r r = r< l r> l+1 l=0 (6.4.57 i P l (1 = 1 sledi 1 r2 2rr cos θ + r = 2 l=0 r< l r> l+1 P l (cos θ. (6.4.58 Vratimo se sada opštem slučaju, tj. situaciji kada je m proizvoljno. Da bi jednačina (6.4.44 imala konačna rešenja potrebno je i dovoljno da l = 0, 1, 2, 3,... i m = l, l + 1,..., l 1, l. Rešenja su tzv. asocirani Ležandrovi polinomi dati sa Pl m (x = ( 1 m (1 x 2 m/2 dm dx P l(x. (6.4.59 m Ova formula važi i za negativne vrednosti m. Može se pokazati da je P m m (l m! l (x = ( 1 (l + m! P l m (x. (6.4.60

6.4. REŠAVANJE LAPLASOVE JEDNAČINE METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH103 Sferni harmonici su Y lm (θ, ϕ = 2l + 1 (l m! 4π (l + m! P l m (cos θe imϕ. (6.4.61 Oni čine skup ortonormiranih funkcija na intervalu 0 ϕ 2π, 0 θ π 2π 0 dϕ π Sferni harmonici zadovoljavaju sledeće relacije kompletnosti l l=0 m= l Prvih nekoliko sfernih harmonika su Dakle opšte rešenje Laplasove jednačine je 0 sin θdθy lm(θ, ϕy l m (θ, ϕ = δ ll δ mm. (6.4.62 Y lm(θ, ϕ Y lm (θ, ϕ = δ(ϕ ϕ δ(cos θ cos θ. (6.4.63 Φ(r, θ, ϕ = Y 00 = 1 4π 3 Y 11 = sin θeiϕ 8π 3 Y 10 = cos θ. (6.4.64 4π m l=0 m= l ( A lm r l + B lm Y r l+1 lm (θ, ϕ, (6.4.65 gde se konstante A lm i B lm odredjuju iz graničnih uslova. Primer: Dielektrična kugla poluprečnika R napravljena je od materijala sa stalnom polarizacijom P. Naći električno polje u svakoj tački prostora. Rešenje: Uzećemo da je polarizacija usmerena duž z ose, tj. P = P e 3 kao na slici 6.3. Unutar kugle potencijal je Φ 1 = A l r l P l (cos θ (6.4.66 a van kugle Neprekidnost potencijala Φ 2 = l=0 l=0 B l r l+1 P l(cos θ. (6.4.67 Φ 1 (r = R = Φ 2 (R (6.4.68 daje B l = A l R 2l+1. Iz P 2n P 1n = P cos θ i D 2n D 1n = 0 sledi Φ 2 Φ 1 ɛ 0 + ɛ 0 = P cos θ. (6.4.69 r r=r r r=r

104 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU Figure 6.3: Polarizovana kugla radijusa R i stalne polarizacije P. Iz gornjih jednačina uz cos θ = P 1 (cos θ dobijamo Električno polje se lako dobija Φ = { P 3ɛ 0 r cos θ za r < R P R 3 3ɛ 0 cos θ za r > R. (6.4.70 r 2 { E = P 3ɛ 0 za r < R P R 3 3ɛ 0 (2 cos θe r 3 r + sin θe θ za r > R. (6.4.71 6.4.3 Rešavanje Laplasove jednačine u cilindričnim koordinatama Laplasovu jednačinu u cilindričnim koordinatama 2 Φ ρ + 1 Φ 2 ρ ρ + 1 2 Φ ρ 2 ϕ + 2 Φ 2 z = 0 (6.4.72 2 rešićemo metodom razdvajanja promenljivih. Njeno partikularno rešenje ćemo pretpostaviti u obliku proizvoda tri funkcije Φ = R(ρQ(ϕZ(z. Zamenom u Laplasovu jednačinu dobijamo 1 d 2 R R dρ + 1 dr 2 ρr dρ + 1 d 2 Q ρ 2 Q dϕ + 1 d 2 Z 2 Z dz = 0. (6.4.73 2

6.4. REŠAVANJE LAPLASOVE JEDNAČINE METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH105 Zadnji term je funkcija promenljive z, a prva dva su funkcije druge dve promenljive, ρ i ϕ. Dakle, mora važiti d 2 Z dz 2 k2 Z = 0 (6.4.74 ρ d 2 R R dρ + ρ dr 2 R dρ + k2 ρ 2 + 1 d 2 Q Q dϕ = 0, 2 (6.4.75 gde je k konstanta. Jednačina (6.4.75 razdvaja promenljive pa dobijamo d 2 Q dϕ + 2 ν2 Q = 0 (6.4.76 d 2 R dρ + 1 dr ( 2 ρ dρ + k 2 ν2 R = 0. ρ 2 (6.4.77 Rešenja jednačine (6.4.74, za fiksno k, su Z k e ±kz. Već smo ranije rekli da konstanta ν mora biti ceo broj da bi potencijal bio periodičan sa periodom 2π po azimutalnom uglu. Rešenja za funkciju Q(ϕ su Q ν = A cos(νϕ+b sin(νϕ, gde su A i B konstante. Konstanta k je realna i pozitivna, pa ćemo u jednačini (6.4.77 napraviti smenu x = kρ. Diferencijalna jednačina (6.4.77 postaje d 2 R dx + 1 dr 2 x dx + (1 ν2 x 2 R = 0. (6.4.78 Ona je Beselova diferencijalna jednačinom. Njena partikularna rešenja su Beselove funkcije reda ±ν: J ν (x = J ν (x = ( x 2 ν j=0 ( x 2 ν j=0 ( 1 j ( x 2j (6.4.79 j!(j + ν! 2 ( 1 j ( x 2j. (6.4.80 j!(j ν! 2 Rešenja (6.4.79 i (6.4.80 su data u obliku stepenog reda. Ova rešenja se nazivaju Beselovim funkcijama prve vrste reda ±ν. Ako je ν ceo broj tada je J ν (x = ( 1 ν J ν (x, tj. one su linearno zavisne. Ako ν nije ceo broj J ν i J ν su linearno nezavisne funkcije. Dakle, kada ν Z treba naći drugo linearno nezavisno rešenje jednačine (6.4.78. Nojmanova funkcija N ν (x (ili Beselova funkcija druge vrste takodje je rešenje jednačine (6.4.78 N ν (x = J ν cos(νπ J ν (x. (6.4.81 sin νπ Ako ν nije ceo broj onda su J ν i N ν linearno nezavisna rešenja jednačine (6.4.78. U limesu ν m Z Beselove funkcije prve i druge vrste su i dalje linearno nezavisne. Beselove funkcije treće vrste ili Hankelove funkcije definisane su kao: H ν (1 (x = J ν (x + in ν (x, (6.4.82 H ν (2 (x = J ν (x in ν (x. (6.4.83

106 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU One su takodje linearno nezavisna rešenja Beselove diferencijalne jednačine (6.4.78. Beselove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurentne veze: Ω ν 1 + Ω ν+1 = 2ν x Ω ν, (6.4.84 Ω ν 1 Ω ν+1 = 2 dω ν dx, (6.4.85 dω 0 (x dx = Ω 1 (x, (6.4.86 x 0 zω 0 (zdz = xω 1 (x. (6.4.87 gde je Ω ν = {J ν, N ν, H ν }. Ove funkcije se jednim imenom nazivaju cilindričnim funkcijama. Kada je argument funkcije x 1 vodeći članovi u razvoju Beselovih funkcija su: J ν (x 1 ( x ν, (6.4.88 Γ(ν + 1 2 { 2 ( N ν (x π ln x + 0, 5772 +..., ν = 0 2 ( 2 ν (6.4.89 x, ν 0. Γ(ν π Sa druge strane za veliku vrednost argumenta x 1 imamo: 2 J ν (x πx cos(x νπ 2 π, (6.4.90 4 2 N ν (x πx sin(x νπ 2 π. (6.4.91 4 Već iz (6.4.90-6.4.91 je jasno da Beselove funkcije imaju beskonačno puno nula. Nule Beselove funkcije ν-tog reda obeležićemo sa x νn, n = 1, 2.... Beselove funkcije J ν ( xνnρ, za fiksno a ν, čine ortogonalan skup funkcija na intervalu 0 ρ a, gde je a 0 dρρj ν ( x νnρ a J ν( x νn ρ a = a2 2 [J ν+1(x νn ] 2 δ nn. (6.4.92 Proizvoljnu funkciju f(ρ (0 ρ a možemo razviti u Furije-Beselov red: A νn = f(ρ = ( ρ A νn J ν x νn, (6.4.93 a n=1 2 a 2 J 2 ν+1(x νn a 0 ( ρ dρρf(ρj ν x νn. (6.4.94 a Funkciju f(ρ, neprekidnu na intervalu 0 < ρ < možemo razložiti u Furije-Beselov integral f(ρ = 0 c λ J ν (λρλdλ, (6.4.95

6.4. REŠAVANJE LAPLASOVE JEDNAČINE METODOM RAZDVAJANJA PROMENLJIVIH107 gde je ν proizvoljan ceo broj. Koeficijente c λ odredjujemo koristeći relacije ortogonalnosti Diferencijalna jednačina 0 J ν (λρj ν (λ ρρdρ = 1 λ δ(λ λ. (6.4.96 d 2 R dx + 1 dr 2 x dx (1 + ν2 x 2 R = 0, (6.4.97 naziva se modifikovanom Beselovom jednačinom. Njena rešenja su modifikovane Beselove funkcije I ν (x = i ν J ν (ix i K ν (x = π 2 iν+1 H ν (1 (ix. One su linearno nezavisna rešenja jednačine (6.4.97. Razmatrajmo jedan primer. Potrebno je da nadjemo potencijal u unutrašnjosti cilindra radijusa a i visine L ako su donja osnova cilindra i njegov omotač na nultom potencijalu, a gornja osnova je na konstantnom potencijalu V. U unutrašnjosti cilindra nema naelektrisanja. Postavimo koordinatni sistem tako da mu je početak u centru donje osnove, a z osa je duž ose simetrije cilindra usmerena ka gornjoj osnovi. Rešenja za funkcije Q(ϕ, Z(z i R(ρ su Q(ϕ = A cos(mϕ + B sin(mϕ Z(z = C 1 e kz + C 2 e kz R(ρ = CJ m (kρ + DN m (kρ. (6.4.98 Nojmanova funkcija N m (kρ divergira za ρ = 0 pa moramo uzeti D = 0. Potencijal donje osnove cilindra, z = 0, 0 < ρ < a je nula, što daje uslov Z(0 = 0 odakle je C 2 = C 1, pa je Z sinh(kz. Za ρ = a potencilal je nula što daje J 0 (ka = 0 odakle je ka = x mn, n = 1, 2,.... Prema tome opšte rešenje je superpozicija partikularnih rešenja Φ = m=0 n=1 (A mn sin(mϕ + B mn cos(mϕ sinh(kzj m ( xmn ρ a gde su A mn i B mn konstante. Iz graničnog uslova Φ(ρ, ϕ, z = L = V sledi V = m=0 n=1 (A mn sin(mϕ + B mn cos(mϕj m ( xmn ρ a, (6.4.99, (6.4.100 gde smo uveli nove konstante A mn = A mn sinh(kl, B mn = B mn sinh(kl. Primenom relacija ortogonalnosti 2π 0 2π dϕ sin(mϕ sin(nϕ = πδ mn 0 2π 0 dϕ cos(mϕ cos(nϕ = πδ mn dϕ sin(mϕ cos(nϕ = 0 (6.4.101

108 CHAPTER 6. ELEKTROSTATIČKO POLJE U VAKUUMU Figure 6.4: dobijamo da je A mn = B mn = 0 za m 0. Prema tome potencijal je Φ = π B 0n sinh( x ( 0nz a J x0n ρ 0. (6.4.102 a n=1 Potencijal ne zavisi od azimutalnog ugla, ϕ, što smo i na samom početku mogli da pretpostavimo. Množenjem (6.4.102 sa J 0 (x ol ρ/aρdρ i integracijom po ρ od 0 do a dobijamo B 0n = Konačno rešenje za potencijal je dato sa Φ = 4V x 0n J 1 (x 0n n=1 4V x 0n J 1 (x 0n sinh( x 0nL a. (6.4.103 sinh( x 0nz a sinh( x 0nL a J 0 6.5 Elektrostatičko polje provodnika ( x0n ρ. (6.4.104 a Kada se provodnik unese u elektrostatičko polje onda tanak sloj slobodnih elektrona na površini provodnika generiše polje koje unutar provodnika u potpunosti poništava spoljnje polje. Ukupno polje unutar provodnika jednako je nuli. Na slici 6.4 prikazali smo linije elektrostatičkog polja provodnika koji se nalazi u pločastom kondenzatoru. Iz graničnih uslova sledi da elekrično polje na površini provodnika ima samo normalnu komponentu E = σ ɛ 0 n, (6.5.105 gde je n ort normale, a σ gustina površinskog naelektrisanja na površini provodnika (slika 6.5. Površina provodnika je ekvipotencijalna površina; potencijal provodnika je ϕ. Ako u prostora

6.5. ELEKTROSTATIČKO POLJE PROVODNIKA 109 Figure 6.5: Polje u provodniku je nula, a njegova površina je ekvipotecijalna. Figure 6.6: Sistem nekoliko provodnika. izmedju provodnika nema naelektrisanja onda elektrostatičko polje zadovoljava jednačine dive = 0, rote = 0 odakle sledi da potencijal zadovoljava Laplasovu jednačinu 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 + 2 ϕ z 2 = 0. Izvodi 2 ϕ, 2 ϕ, 2 ϕ moraju biti različitog znaka pa potencijal u oblasti prostora izmedju provodnika ne može imati maksimum ili minimum. To znači da naelektrisana čestica ne može biti u x 2 y 2 z 2 stabilnoj ravnoteži u tom polju jer potencijalna energija interakcije W = qϕ nema minimum. Ovo je tzv. Irnšouova teorema. Razmotrimo sistem od n provodnika prikazan na slici 6.6. Neka je naelektrisanje i tog provodnika q i, (i = 1,..., n, a njegov potencijal ϕ i. Zamislimo sada da su provodnici naelektrisani nekim drugim naelektrisanjima q i i da su njihovi potencijali ϕ i. Potencijal elektrostatičkog polja u prvoj situaciji obeležićemo sa ϕ(r, a u drugoj sa ϕ (r. Zapremina V je ceo prostor izuzimajući prostor koji zauzimaju sami provodnici. Spoljnja granica ove oblasti V je u beskonačnosti, ali površine provodnika su takodje granica ove oblasti. Primenom drugog Grinovog identiteta imamo n d 3 r(ϕ ϕ ϕ ϕ = (ϕ ϕ ϕ ϕds (ϕ i ϕ ϕ i ϕds. (6.5.106 V V S i Površina i tog provodnika je S i. Oba potencijala ϕ i ϕ zadovoljavaju Laplasovu jednačinu; i=1