Izvod po pavcu i vekto gadijenta Seminaski ad A M71 Student Mijana Eić 398/10 Mento d Jelena Aleksić Novi Sad, 011/01
Sadžaj 1Uvod 1 Izvod po pavcu 3Vekto gadijenta 7 31 Osobine gadijenta 9 3 Vekto gadijenta kao nomala na povš 11 33 Gadijent u kivolinijskim koodinatama 14 4Pimei 17 5Zaključak 3 6Dodatak 4 Liteatua 5
0
1 Uvod U ovom adu govoimo o izvodu po pavcu i vektou gadijenta U pvom delu ada govoimo o izvodu po pavcu, veličini koja odeđuje bzinu pomene funkcije u nekom pavcu U dugom delu ada govoimo o gadijentu skalane funkcije i osobinama gadijenta U paksi je često potebno tačkama todimenzionalnog postoa pidužiti neku bojnu vednost To piduživanje ne teba da zavisi od izboa koodinatnog sistema ili načina zadavanja (opisivanja) objekata Peslikavanje koje tačkama postoa pidužuje tempeatue u datoj tački je pime za tu vstu peslikavanja Tada, u svakoj tački u sobi, gadijent u toj tački pokazaće sme u kojem tempeatua aste najbže Intenzitet gadijenta će odediti koliko se bzo tempeatua povećava u tom pavcu Za pethodno peslikavanje se umesto temina skalana funkcija postonih tačaka koisti temin "skalano polje Nakon toga, navedeni su azni pimei 1
Izvod po pavcu Definicija pacijalnog izvoda po x u tački ( x0, y 0) funkcije f = f ( x, y) je: f ( x0 + h, y0) f ( x0, y0) xf ( x0, y0) = lim h 0 h To možemo zapisati na sledeći način: lim h 0 f x y hi f x y h (( 0, 0) + ) ( 0, 0) Zbog ovog poslednjeg zapisa, pacijalni izvod po x u tački ( x0, y 0) možemo zvati i izvod po pavcu vektoa i u tački ( x0, y 0) Geometijska intepetacija pacijalnog izvoda po x Pacijalni izvod po x odeđuje nagib tangente na kivu u peseku gafika funkcije f i avni y y0 = (Slika 1) Slika 1: Geometijska intepetacija pacijalnog izvoda po x Ravan y = y0 seče (x,y)-avan po pavoj y = y0 (u (x,y)- avni )
Ta pava koja je paalelna vektou i, a polazi koz ( x0, y 0) ima paametizaciju: p : h ( x0, y0) + hi, p i, ( x0, y0) p x = x0 + h, h y = y0 Ako istu ideju umesto na vekto u i pimenimo na poizvoljan, nenula vekto m = ( a, b), dobijemo pavu u (x,y)-avni paalelnu vektou m u (Slika ) Slika : Pava paalelna vektou m u koja sadži tačku ( x0, y 0) Svaki vekto je odeđen pavcem, smeom i intenzitetom Vidimo da je bitan samo pavac vektoa m u Neka je f : A R funkcija definisana na otvoenom podskupu postoa f njen pacijalni izvod ( a) u nekoj tački a A m R Kao što znamo, (ako postoji) odeđuje bzinu pomene te xi funkcije duž pave paalelne i-toj koodinatnoj osi Uvešćemo sada veličinu koja će odeđivati bzinu pomene te funkcije u nekom pavcu koji ne moa biti paalelan nijednoj koodinatnoj osi 3
Definicija 1 Neka je u vekto dužine 1, u = 1 Tada je uu uu uu f ( x0 + hu) f ( x0) d u f ( x0) = lim za f : h 0 h Slika 3: Izvod po x u pavcu vektoa u Paametaski zapis pave u (x,y)- avni: u = ( a, b) x = x0 + ha, y = y0 + hb h = a x x0 b y y x x a = 0 + ( 0) 3 b U y = y0 + ( x x0) pedstavlja jednačinu avni koz pavu p paalelnu z osi a Ta avan na gafiku funkcije iseca kivu C kojoj pipada tačka P( x0, y0, z 0), z0 = f ( x0, y0) Koeficijent nagiba tangente u tački P na tu kivu zove se izvod po pavcu vektoa u u tački ( x0, y 0) Koeficijent nagiba tangente je ustvai tangens ugla između tangente i pave u postou p ' Pava p ' je paalelna pavoj p i leži u avni z = z0 (Slika 3) 4
uu U opštem slučaju, postojanje pacijalnih izvoda funkcije f u nekoj tački x0 po svakoj od pomenljivih nije dovoljno za postojanje njenog izvoda u poizvoljnom pavcu Naedna teoema daje dovoljan uslov za to Teoema 1 uu uu Ako je funkcija f difeencijabilna u tački x0 onda postoji u f ( x 0 ), po svim pavcima Pi tom je f uu x f uu x a f uu x b f uu x u, u = ( a, b ), u ( 0) = x ( 0) + y ( 0) = ( 0) a + b = 1 Napomena U fomulaciji teoeme f : d Teoema važi i u opštem slučaju f :, d u = ( u1, u,, un), uu x0 = x0 1, x0,, x0n, ( ) d u f ( x0) f ( x0) u xi( x0) ui uu uu uu = = i= 1 Dokaz Fiksiajmo 0 x, 0 y, a i b i posmatajmo funkciju jedne pomenljive g( h) = f (( x0, y0) + h( a, b)) Izačunajmo izvod funkcije g u tački 0, g + = = = h h g( h) g(0) f (( x0, y0) h( a, b)) f ( x0 y0) '(0) lim lim u f ( x0) h 0 h 0 Sa duge stane, funkciju g možemo posmatati kao kompoziciju g = f o ( x, y), gde je = = +, y = y( h) = y0 + ha x x( h) x0 ha g( h) = ( f o ( x, y))( h) = f ( x( h), y( h)) Pimenimo pavilo o izvodu složene funkcije ( chain ule ) 5
dg f dx f dy = + = dh x dh y dx = fx( x0 + ha, y0 + hb) a + fy( x0 + ha, y0 + hb) b, odakle za h = 0 dobijamo = + g '(0) fx( x0 y0) a fy( x0, y0) b Pimetimo da, ako je u = a b u = a + b = (, ), 1, onda je + u = (cos θ,sin θ ), θ = ( x, u), pa je u f ( x, y) = fx( x, y) cos θ + fy( x, y)sinθ 6
3 Vekto gadijenta U pethodnom odeljku smo videli da izvod po pavcu geometijski pedstavlja nagib neke tangente, pa u skladu sa geometijskom intepetacijom možemo eći da izvod po pavcu govoi koliko se bzo funkcija menja u datoj tački po datom pavcu Ako su u i v poizvoljna dva azličita nenula vektoa i ako je uu u f x > uu ( 0) v f ( x0) tgθ 1 tgθ >, θ 1 > θ π π θ 1, θ, nagib pve tangente je veći i kažemo da se funkcija f bže menja po pavcu vektoa u Definicija uu d Za poizvoljnu difeencijabilnu skalanu funkciju f : gadijent u tački x0 je vekto uu uu uu f x = f x f x ( x1 xd ) ( 0) ( 0),, ( 0) Dakle, gadijent peslikava skalano polje (funkciju f : d d ( f : ) d ) u vektosko polje Ako posmatamo skup D svih tačaka x u kojima postoji gadijent funkcije f, na tom skupu možemo definisati vektosku funkciju d f : D uu Pavac vektoa gadijenta u tački x0 je uu uu f ( x0) u0 : = uu, f ( x0) i to je pavac po kome se funkcija najbže menja O tome govoi sledeća teoema 7
Teoema uu Neka je f difeencijabilna u tački x0 Tada je uu uu max u f ( x0) = f ( x0) {, 1} u u = i maksimum se dostiže u vektou uu uu f ( x0) u0 : = uu f ( x0) Dokaz Iz u( f ( x0)) = f ( x0) u = f ( x0) u cos α = f cos α gde je α ugao između f i u, vidimo da će u f biti najveći za cosα = 1 tj za α = 0 (je je cosα 1), dakle kada su f i u paalelni max u f ( x0) = f ( x0) cos 0 = f ( x0) Napomena Gadijent se, takođe, može koistiti da se izmei kako se skalano polje menja u dugim smeovima (a ne samo u pavcu najveće pomene) koišćenjem skalanog poizvoda vektoa Zamislimo bdo sa najvećim nagibom od 40% Ako put ide avno uzbdo, tada je najstmiji nagib, takođe, 40% Ako, međutim, put ide oko bda sa uglom u smeu uspona (vekto gadijenta), tada će imati manji nagib Na pime, ako je ugao između puta u pavcu uspona, pojektovan na hoizontalnu avan, 60, tada će najstmiji nagib, koji se poteže duž puta, biti 0%, što se dobilo iz poizvoda 40% puta kosinus od 60 Slika 4: Skalano polje pikazano je cnim i belim podučjem, s tim da cna odgovaa njegovim većim vednostima, a njegov odgovaajući gadijent je pedstavljen plavim stelicama 8
31 Osobine gadijenta Navodimo sledeće osobine koje pokazuju kako se može izačunati gadijent skalanog polja koje je jednako: lineanoj kombinaciji, poizvodu i količniku skalanih polja, kao i polja koje je dato kao funkcija (ili složena funkcija) nekog dugog polja Dakle ako su u( x, y, z ) i v( x, y, z) skalana polja onda važi: 1 gad c = 0, gde je c konstantno polje gad c u + c v = c gad u + c gad v ( 1 ) 1 3 gad ( u v) = u gad v + v gad u u v gad v u gad v 4 gad = v v 5 gad( f ( u)) = f '( u) gad u F F 6 gad F( u, v) = gad u + gad v u v Dokazi pethodnih jednakosti slede diektno iz definicje gadijenta i pavila za nalaženje izvoda Posmatajmo, već dokazanu, jednakost f ( x, y, z) = gad f u u Možemo izvesti sledeće zaključke: - Bzina pomene skalanog polja je najveća u pavcu njegovog gadijenta i tada je jednaka upavo intenzitetu gadijenta Naavno, u tačkama u kojima je gadijent jednak nuli i vednost izvoda u svim pavcima je jednaka nuli - Lako se zaključuje da u slučaju kada je u = ± gad f gad f nejednakost 9
f 0 < ( x, y, z) u zadovoljena ako gad f i u imaju isti sme Odnosno, gadijent ima sme u kome vednost polja aste - Neka je ekviskalana povš polja f ( x, y, z) odedjena vednošću polja u tački ( x0, y0, z 0) Ako kiva {( x( t), y( t), z( t) t [ a, b] } ( x0, y0, z 0) onda je ( za svako t [ a, b] ) leži u toj ekviskalanoj povši i polazi koz tačku f (( x( t), y( t), z( t)) = u( x0, y0, z0), pa zbog toga df f dx f dy f dz f f f dx dy dz 0 = = + + =,,,, dt x dt y dt z dt x y z dt dt dt To znači da je gadijent nomalan na vekto tangente svake kive koja leži u ekviskalanoj povši u( x, y, z) = u( x0, y0, z 0) i polazi koz tačku ( x0, y0, z 0) Dugim ečima, gadijent u datoj tački je nomalan na tangentnu avan (u toj tački) ekviskalane povši koja polazi koz tu tačku 10
3 Vekto gadijenta kao nomala na povš Neka je S: F( x, y, z) = k jednačina povši S (Slika 5a) Uocimo kivu C koja leži na povši S i na kivoj tačku P( x0, y0, z 0) Neka je data paametizacija kive C, ( t) = ( x( t), y( t), z( t)), t, ( x0, y0, z0) = ( t 0) Kako je C S, imamo da važi F( x( t), y( t), z( t)) = k, t Pod petpostavkom da su sve funkcije difeencijabilne dobijamo da je Fx(( x( t), y( t), z( t)) x '( t) + Fy(( x( t), y( t), z( t)) y '( t) + Fz(( x( t), y( t), z( t)) z '( t) = 0, F( x( t), y( t), z( t)) '( t) = 0, odakle vidimo da je vekto gadijenta funkcije nomalan na tangentni vekto na kivu C S, u ' Slika 5a: Vekto gadijenta kao nomala na kivu C koja leži na povši S 11
Kako je C bila poizvoljna kiva povši S, možemo da zaključimo da je vekto gadijenta nomalan na svaku kivu koja leži na povši S (slika 5a) i polazi koz tačku P, odnosno na tangentnu avan u tački P (slika 5b) n = ( Fx, Fy, Fz) - nomala u tački P na povš S uu n F n0 = = - jedinična nomala n F Slika 5b: Vekto gadijenta kao nomala na tangentnu avan Slika 5c: Vekto gadijenta kao nomala na povš 1
33 Gadijent u kivolinijskim koodinatama Dva najčešće koištena koodinatna sistema poed Dekatovog su cilindični i sfeni koodinatni sistem To su kivolinijski koodinatni sistemi, je je ba jedna od koodinatnih linija (duž neke koodinatne linije menja se samo jedna od ti koodinate) kiva linija Podsetimo da se koodinatne linije dobijaju u peseku koodinatnih povši po kojima se dve koodinate menjaju, a jedna je konstantna Koodinatne linije i povši u cilindičnom koodinatnom sistemu Koodinatna linija: hoizontalna pava se dobija u peseku koodinatnih povši: ϕ = const vetikalna avan z = const hoizontalna avan ϕ hoizontalna kužnica = const vetikalna cilindična povš z = const hoizontalna avan z vetikalna pava = const vetikalna cilindična povš ϕ = const vetikalna avan Koodinatne linije i povši u sfenom koodinatnom sistemu Koodinatna linija: pava linija se dobija u peseku koodinatnih povši: ϕ = const vetikalna avan θ = const konusna povš θ vetikalna kužnica = const sfena povš ϕ = const vetikalna avan ϕ hoizontalna kužnica = const sfena povš θ = const konusna povš Tako u cilindičnom koodinatnom sistemu koodinatne linije i z su pave, ali ϕ koodinatna linija pedstavlja kužnicu paalelnu (x,y)- avni sa centom koji leži na z osi (Slika 6a) Dok je -linija sfenog koodinatnog sistema pava, ϕ i θ -linije su kužnice (Slika 6b) U svakoj tački se mogu zamisliti jedinični vektoi-otovi koodinatnih linija koji imaju pavac tangente na liniju, a sme im ukazuje na sme u kome koodinata aste Za sva ti 13
koodinatna sistema je zajedničko da su otovi međusobno otogonalni i da fomiaju tijeda desne oijentacije Ako jedinične vektoe koodinatnih linija u cilindičnom sistemu označimo sa e u uu, eϕ i e u z (Slika 6a) a u sfenom sa e u u uu, eθ i eϕ (Slika 6b), gadu u kivolinijskim koodinatama je: Cilindične koodinate: U u 1 U uu U u gad U = e + eϕ + ez φ z Sfene koodinate: U u 1 U u 1 U uu gad U = e + eθ + e θ sinθ ϕ ϕ Slika 6a: Cilindične koodinate 14
Slika 6b: Sfene koodinate 15
4 Pimei Pime 1 f f Ako je ( a) = ( a) i e i = (0,,1,,0) jedinični vekto i -te ose, jasno je da je ei xi f f ( a) = ( a), tj, izvod u pavcu vektoa e i je jednostavno pacijalni izvod te funkcije u tački ei xi a po i -toj pomenljivoj Pime Neka je z f x y x y (1,1) = (, ) = 9 Ponađimo izvod u pavcu vektoa v = (1,1) i z ose u tački Moamo izačunati jedinični veko pavca, to se jednostavno postiže deljenjem vektoa v njegovim intenzitetom v (1,1) u = = =, v Sada petpostavimo da smo oganičili x i y na tačke na pavoj koz tačku (1,1) u pavcu vektoa u Paametaske jednačine ove pave je lako naći Neka je X ( x, y ) poizvoljna tačka na toj pavoj Jednačina pave je uuu PX = t u, ekvivalentno, ( x 1, y 1) = t,, tako da je paametaski zapis pave x = 1+ t, y = 1+ t 16
Pogledajmo šta se dešava kada biamo tačke na povši sa vednostima x i y sa ove pave (estikcija funkcije f ) Pvo, dodaćemo pavu sa goe navedenim paametaskim jednacinama u (x,y)- avan Na slici 5a je x, tako da je 1+ t koja ima ešenje 6 t Sada, šta se dešava kada izačunamo tačke na povši, čije vednosti x i y su oganičene na datu pavu? Imaju iste vednosti za x i y kao u pethodnom ačunu, a vednosti za z izačunamo iz = 9 z x y Tako dobijamo kivu na povši pikaznu na slici 7a Slika 7a: Tačke na povši za estikciju na pavu koz tačku (1,1) u pavcu vektoa u =, 17
Izgleda kao da će izvod u pavcu vektoa u u tački (1,1) dati nagib tangente na kivu na povši u tački (1,1) Ali kako izačunati izvod? z = f ( x, y), a x i y su funkcije od t Ako zamenimo izaz za x i y dobijemo z kao funkciju jedne pomenljive, t z To znači da je jedini izvod koji ima smisla t Na osnovu pavila za izvod složene funkcije z f x f y = + t x t y t Izačunajmo izvod u tački (1,1): z = = t Dakle, za svaku jedinicu za koju se pomeamo u pavcu jediničnog vektoa u postoji pad u pavcu z-ose za Sada dodajmo tangentu na kivu Mi želimo da nactamo tangentu u tački ( x, y ) = (1,1) To znači da će pava biti tangenta na povš u tački P(1,1, f (1,1)), ili ekvivalentno u tački P (1,1,7) Da bi našli jednačinu tangente, teba nam vekto u pavcu tangentne linije Imajmo na umu, da ako se pomeamo za jedinicu duž linije u (x,y)- avni, pad vednosti funkcije z z = f ( x, y) je dat sa = Dakle vekto usmeen u pavcu tangente je t u w = (,, ) Neka je X ( x, y, z ) poizvoljna tačka na tangenti Tada je jednačina tangente data sa uuu u PX = λw, ili ekvivalentno ( x 1, y 1, z 7) =,, 18
Paametaske jednačine tangente su: x = 1+ λ y = 1+ λ z = 7 λ Dodajmo tangentu na ctež Kajnji ezultat je pikazan na naednoj slici (Slika 7b) Slika 7b: Tangenta na kivu na povši Napomena Pethodni postupak nam pomaže da bolje shvatimo šta geometijski pedstavlja izvod po pavcu Zadatak smo mogli ešiti na jednostavniji način, koisteći teoemu f = ( x, y), f (1,1) = (, ), (1,1) u = =,, u f (1,1) = (, ), = = 19
Pime 3 Analiziajmo ponašanje funkcije f ( x, y) y x =, u okolini tačke (1,1) Pošto je xf ( x, y) = x i yf ( x, y) = y, važi f (1,1) = (, ) i f (1,1) = R Vekto γ 1 = f (1,1) je pod uglom 135 o u odnosu na x osu U pavcu tog vektoa funkcija najbže aste U pavcu γ otogonalnom γ 1 je γ 1 f (1,1) = 0 i na tom pavcu je f ( x, y) konstantna funkcija Pime 4 Neka je f (0,0) : xy, x 0 4 f ( x, y) = x + y, ponaći iyvode po svim pavcima u tački 0, x = 0 Ova funkcija ima izvode po svim pavcima u tački (0,0) Ako je ( a, b ) poizvoljan vekto u tada je, f ( ha, hb) f (0,0) ab = h a + h b pa je 4 b ( a, b) f (0,0) = a =, a 0 0, a 0 Pimetimo da ova funkcija iako ima izvode po svim pavcima u tački (0,0) ipak nije nepekidna u toj tacki, je je 1 1 1 lim, f (0,0) n = n n 0
Pime 5 y Posmatajmo funkciju f ( x, y) = xe, ( y y f = e, xe ) i tačku P 0(,0), f (, 0) =, f (,0) = (1, ) Fomiajmo pavu u ( x, y) -avni koz tačku (,0) paalelnu vektou (1, ) h (,0) + h(1,) = ( + h, h) odnosno y = x 4 Kako je f (,0) = 5, to je vekto pavca gadijenta uu 1 u0 =, 5 5 Dakle, 1 u(, 0) = (1, ), = 5 = f (, 0) 5 5 Slika 8: Na pvoj slici je gafik funkcije f, na dugoj možemo uočiti pesek gafika funkcije f i ti avni x =, y = 0, y = x 4, dok na tećoj možemo videti kivu u peseku gafika funkcije f i avni y = x 4 u uu 0 f (, 0) je koeficijent pavca tangente na pomenutu kivu Pime 6 Naći jediničnu nomalu na povš 3 x y z xy + + = 9 u tački (0,0,3) F = ( x y,3 y x, z), 1
F(0,0,3) = (0,0,6) = n, uu n = 6, uu F n0 = = (0, 0,1) F uu n0 = k tangenta (x,y)-avni
5 Zaključak U vektoskoj analizi, gadijent skalanog polja je vektosko polje koje pokazuje pavac najvećeg asta skalanog polja, te čiji je intenzitet najveća pomena u polju Jako puno se koisti u fizici i inženjestvu, posebno u opisivanju elektomagnetnih polja, gavitacionih polja i stujanja fluida Fundamentalna teoema matematičke analize za kivolinijske integale, kaže da se kivolinijski integal koz gadijentno polje (bilo koje konzevativno vektosko polje može se izaziti kao gadijent) može izačunati izačunavanjem oiginalnog skalanog polja na kajevima kive linije: φ( q) φ( p) = φd L Fundamentalna teoema implicia da su kivolinijski integali koz konzevativno vektosko polje nezavisni U fizici ova teoema je jedan od načina za definisanje "konzevativne" sile Stavljajući φ kao potencijal, φ je konzevativna sila Rad konzevativne sile ne zavisi od peđenog puta tela, nego samo od kajnjih tačaka, kako to gonja jednačina i pokazuje 3
6 Dodatak Hamiltonov nabla opeato U liteatui se gadijent najčešće zapisuje pimenom takozvanog nabla opeatoa Nabla opeato se zapisuje kao = i + j + k, x y z odnosno =,, x y z, a pimena opeatoa na skalano polje u( x, y, z ) se definiše kao u u u u u u u = i + j + k = + + x y z x y z Tako da se gadijent polja u zapisuje kao gad u = u Pethodnom jednakošću je definisana pimena opeatoa na skalanu funkciju (polje) Pojam ekviskalane povši Definicja Skup svih tačaka u kojima dato skalano polje uzima istu vednost zove se ekviskalana povš Ekviskalana povš skalanog polja df f dx f dy f dz f f f dx dy dz 0 = = + + =,,,, u( x, y, z ) dt x dt y dt z dt x y z dt dt dt je data jednačinom u( x, y, z) = c gde je c neka konstanta 4
Liteatua [1] Peišić, D, Pilipović, S, Stojanović, M, Funkcije više pomenljivih, difeencijalni i integalni ačun, Edicija Univezitetski udžbenik, Novi Sad, 1997 [] Gajić Lj, Pedavanja iz analize I, Novi Sad, PMF, Depatman za matematiku, 006 [3] d Dušan Anđelović, d Zoan Kadelbug, Matematička analiza II, zavod za udžbenike i nastavna sedstva Beogad, 1991 [4] Stewat J Calculus [5] Nevenka Adžic, Joviša Žunić, Višestuki integali i teoija polja Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad, 1998 [6] Mateijal sa pedavanja iz Analize, na PMF-u u Novom Sadu, kod pofesoice d Jelene Aleksić, 011/01 [7] http://mathwoldwolfamcom 5