Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n n = lim ( ξ ) + ( ξ ) + ( ξ ) +... + ( ξ ) = ( ) ( ξ) f d f f f f f gdje je donj grnic gornj grnic integrcije rijednost integrl jednk je povrsini lik omedjenog grnicm integrcije i funkcije f S = f d [ ] Povrsin omedjen krivuljm f i g te grnicm intervl, doije se po izrzu: S = f g d = f d g d Odredjeni integrl se rcun n slijedeci ncin:. Nj prije se izrcun neodredjeni integrl funkcije ispod znk integrcije. U rezulttu se zmijeni nezvisn promijenjiv s gornjom i potom s donjom grnicom integrcije.. Oduzme se vrijednost rezultt donje grnice od rezultt gornje grnice. S = f d = F = F F Prvil integrirnj : Ako se grnice zmijene, integrl poprim suprotnu vrijednost Integrl zroj i rzlike: Umnozk konstnte i integrnd: ± = ± f f d f d f d k f d = k f d = Integrl se moze podijeliti n vise integrl: f d = f d + f d c, c f d f d [ ] c Rcunnje povrsin : Funkcij je zdn u eksplicitnom oliku: = f S = f d = d Odredjeni integrli
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike Funkcij je zdn u polrnim koordintm: Funkcij je zdn u prmetrskom oliku: () () t t ϕ = r( ϕ) S = r( ϕ) dϕ = t = t ϕ ' () () S = t t dt Rcunnje sttickog moment likov, kd su poznte koordinte tezist T i povrsin lik S: Z M = ds M = ds S = f i ds = d M = d M d = S (,) ϕ ϕ ϕ ϕ Z = r( ϕ) i ds = r dϕ M = r sinϕdϕ M = r cosϕdϕ Rcunnje momentr inercije rvnih likov: Moment tromosti mterijlne tocke jednks je umnosku mse i kvdrt udljenosti te tocke od osi vrtnje: Aksijlni moment tromosti: Polrni moment tromosti: I = m I = m I = ds I = ds p S S I = m r I = r ds p Guldinov prvil z povrsinu i volumen rotcionog tijel: Povrsin rotcione plohe S jednk je umnosku duzine lik s koji rotir i duzine put tezist luk s: S = s S T olumen rotcionog tijel jednk je umnosku povrsine lik koji rotir i duzine put tezist lik: = ds 8. Rzni zdci d d. Izrcunj Rijesimo nj prije neodredjeni integrl = - ( + )( ) ( + )( ) d d d d = = = ( ) 6 6 ( ) + + 6 + d 5 d Izvrsimo zmjenu = u doijemo: ( + )( ) Odredjeni integrli
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike du du rjesenje je tipicni integrl: = = + C 5 u u u sin sin 5 Uvrstimo grnice integrcije i rijesimo: - - d = = = sin sin s sin in sin 5 5 5 5 5 ( + )( ) () d ( + )( ) sin. sin.6 = +. Izrcunj povrsinu omedjenu krivuljom = i osi od = - do = d Postvimo integrl: S = Nj prije rijesimo neodredjeni integrl - d= + C S= d = = = -. Izrcunj povrsinu omedjenu krivuljom i prvcem u intervlu od i osi = os = = + = S = f g d = + d Postvimo integrl: Rijesimo neodredjeni integrl: + d = + + C Odredjeni integrli
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike + d ( ) = + = + + =. Izrcunj sin Rijesimo neodredjeni integrl: u ( ) sin d = d sin u = sin d du = d ( sin ) = d = d = du Uvrstimo u integrl : I u sin d= = sin d = = + du udu u C Uvedimo grnice integr.: d = u = = sin ( sin ) sin ( sin ) 5. Izrcunj povrsinu omedjenu krivuljom = i prvcem = u intervlu koje cine tocke presjek tih dviju krivulj. S = f g d = d Postvimo integrl: = Odredimo presjecist: = = = ± = ;, Postoje dvije povrsine s grnicom integrcije od = do = ± Rijesimo neodredjeni integrl: ( ) d = + C Odredjeni integrli
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike Uvedimo grnice integrcije z dvije povrsine S= S = = + = d 6. Izrcunj povrsinu omedjenu krivuljm = cos i = sin u intervlu od = do = [ ] Postvimo integrl: S = f g d = cos sin d [ ] Rijesimo neodredjeni integrl: cos sin d = sin + cos + C S = [ cos sin ] sin cos d = + = sin + cos sin cos S = + = 6. Izrcunj povrsinu omedjenu krivuljm = cos i = sin u intervlu od = do = [ ] Postvimo integrl: S = f g d = cos sin d [ ] Rijesimo neodredjeni integrl: cos sin d = sin + cos + C S = [ cos sin ] sin cos d = + = sin + cos sin cos = S = + = Odredjeni integrli 5
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 7. Izrcunj povrsinu omedjenu prolm = 6 i = = 6 Presjecist su: 6 = = = = = S = f g d = ( 6 ) ( ) = = 8 d 6 S = ( 6 ) ( ) d = ( 8 ) d = 8 = = t sin t 8. Izrcunj povrsinu cikloide zdne u prmetrskom oliku t = cost t t ' () () S = t t dt d dt () ' t = t t = t sin cos Uvrstimo u integrl: S = cost cost dt = cost dt = dt costdt + cos tdt sint dt = t costdt = sin t = cos tdt = + C tipicn integrl Odredjeni integrli 6
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike Izrcunj duzinu luk lncnice = f = e + e u intervlu od = do = ' L f d Duzin lncnice se doije iz: = + ' ' f = e + e = e + e = e + e L = + f ' = = + + d L e e d L = + e e e + e d = + e + e d L = + e + e d = e e d e e d + = + L = e + e = e e = e e. Izrcunj povrsinu prvog zvoj Arhimedove spirle zdne s = ϕ ϕ Povrsin iznosi : S = d ; Grnice integrcije su ; = = ϕ ϕ 6 S= ( ϕ) dϕ ϕ dϕ = = = = ϕ ϕ ϕ ϕ =. Prol 8 rotir oko osi. Izrcunj volumen nstlog tijel, od vrh do rvnine polozene kroz tocku = okomito n os. olumen nstlog tijel, prem Disk Formuli jednk je: = f d Odredjeni integrli 7
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike = 6 = f d = d = 8d = 8. Prol rotir oko osi. Izrcunj volumen nstlog tijel omedjenog krivuljom, = ishodistem i rvninom prlelnom s osi, = 6. olumen, prem Disk Formuli jednk je: = f d U ovom slucju integrirmo po osi od do 6: = = 6 6 = [ ] d = d = = ( 6 ) = 8. Promtrjmo istu prolu = koj rotir oko osi. Izrcunjmo volumen tijel = = kome je gornj grnic rvnin f 6 donj, ns prol g. olumen se moze nci primjenom "wsher" (podlosk) formule. Ime je doil po oliku nstlog tijel, koje lici n podlosku koj se koristi uz mticu i vijk. { } olumen, prem Wsher Formuli jednk je: = f g d U ovom slucju integrirmo po osi od do : Grnicu = doili smo iz presjecne tocke dviju krivulj. Odredjeni integrli 8
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike { } [ ] { 6 } { 6 6 } = f g d = d = d 5 5 6 8 = 56 6 = 56 = 5 5 5 ( ). Izrcunj volumen tijel nstlog rotcijom oko osi, povrsine omedjene s = i prvcim = i = 6. Rjesenje je dno formulom "Shells": = f g d idimo, grnic integrcije je od do. Tock T,6, je presjeciste zdnih krivulj. { } { } [ ] = f g d = 6 d = = 6 + 8 d = 6 + 8 d = = 8 8 8 + = ( 7 8+ 7 8) 8 + = = Odredjeni integrli 9
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 5. Izrcunj volumen rotcionog tijel nstlog rotcijom oko osi, povrsine u prvom kvdrntu, omedjene s kruznicom 9 i prvcim i. + = = = Rjesenje doijemo disk formulom: = d = 9 = d = d = ( 9 ) d = 9 = 8 = 9 9 = = d 6. Izrcunj koordinte tezist proloid nstlog rotciom prole = oko osi u intervlu od = do =. d Rjesenje je dno s izrzom: T = = d d = d d ( ) T = = = 5 d 6 ( ) d 6 5 5 5 = = = = 6 6 d 5 7. Izrcunj koordinte tezist gornjeg zdtk smo sd oko osi. Ozirom d se rotcij = = = = vrsi oko druge osi, intervl integrcije se od do 9, tj.. Odredjeni integrli
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike Rjesenje je dno s izrzom: T = = d d = T 9 9 9 9 9 9 d d d d = = = = = = 9= 6 d ( ) d 8. Izrcunj povrsinu i moment inercije lik nstlog rotcijom prole = oko osi, od vrh do osi. S = d d Grnice integrcije su od = do = 8 S = ( ) d = = ( ) = Moment inercije ozirom n os : I = f d = d = 5 5 5 I = ( ) d = = ( ) ( ) 5 5 5 I = 8 5 Odredjeni integrli
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 9. Izrcunj povrsinu i moment inercije lik nstlog rotcijom funkcije = sin oko osi. Uzmi u ozir smo pozitivni dio sinusoide z S = d sin d Grnice integrcije su od S = sin d = cos = cos + cos = Moment inercije ozirom n os : I = f d = sin d Integrl rijesimo prcijlnom integrcjom: u = du = d I = sin d = u dv dv = sin d v = sin d = cos I = sin d = ( cos ) ( cos ) d = cos + cos d I { } u = du = d I = cosd = dv = cos d v = cos d = sin I = sin sin d = sin cos I = sin d = I + I = cos + sin cos = I = sin cos cos = Odredjeni integrli