M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017.

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017. Konzervativne sile i potencijalna energija 1 Konzervativne sile Definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako rad te sile pri kretanju tela na koga ona deluje ne zavisi od putanje po kojoj se telo kreće, već samo od početnog i krajnjeg položaja tela. Posmatrajmo materijalnu tačku na koju deluje sila F i dve putanje, označene sa (a) i (b), po kojima se telo kreće između tačaka M 1 i M 2, respektivno (videti sliku 1). Slika 1: Uz definiciju konzervativne sile. Matematički zapis uslova konzervativnosti sile je: A M1,M 2(a) = A M1,M 2(b), (1) gde su A M1,M 2(a) i A M1,M 2(b) radovi sile F između tačaka M 1 i M 2 po putanjama (a) i (b), respektivno. Koristeći definicioni izraz za mehanički rad, uslov konzervativnosti je: r 2 F d r = r 2 F d r. (2) r 1(a) r 1(b) Odavde je: r 2 F d r r 2 F d r = 0, (3) r 1(a) r 1(b) odnosno: r 2 F d r+ r 1 F d r = 0. (4) r 1(a) r 2(b) Zbir dva integrala u prethodnom izrazu je integral po zatvorenoj putanji l koja se sastoji od delova (a) i (b): F d r = 0. (5) l 1

Ovaj izraz je alternativni uslov za konzervativnost sile. Alternativna definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako je izvršeni rad te sile pri kretanju tela na koga deluje po proizvoljnoj zatvorenoj putanji jednak nuli. Napomenimo da obe definicije podrazumevaju proizvoljne putanje i odnose se na proizvoljne krajnje tačke putanje. 1 Slika 2: Uz dokaz konzervativnosti sile Zemljine teže. Primer 1. Sila Zemljine teže. Posmatrajmo telo koje se kreće po dejstvom sile Zemljine teže na malim visinama (visina h mnogo manja od poluprečnika Zemlje, h R Z ) od površine Zemlje, kao što je prikazano na slici 2. Sila Zemljine teže je: F g Q = m g = const. (6) Izaberimo putanje (a) i (b) kao na slici 2. Elementarni rad sile Zemljine teže je: da = m g d r = mg k (dx i+dy j +dz k) = mgdz. (7) Mehanički rad sile Zemljine teže po putanji (a) od M 1 do M 2 je: Mehanički rad sile Zemljine teže po putanji (b), od M 2 do M 1 je: h A 12(a) = ( mg)dz = mgz h 0 = mgh. (8) 0 0 A 12(a) = ( mg)dz = mgz 0 h = +mgh. (9) h Očigledno je: A 12(a) +A 21(b) = 0, (10) što znači da je sila Semljine teže konzervativna. 1 U drugoj definiciji je, naravno, krajnja tačka se poklapa sa početnom tačkom. 2

Slika 3: Uz dokaz konzervativnosti elastične sile. Primer 2. Elastična sila opruge. Pokažimo da je elastična sila opruge konzervativna na primeru jednodimenzionog kretanja tela po horizontalnoj idealno glatkoj podlozi. Telo je zakačeno za oprugu koeficijenta krutosti k, kao što je prikazano na slici 3. Samo elastična sila ima pravac x ose duž koje se kreće telo, dok su sila Zemljine teže i normalna sila normalne na podlogu. Prema tome, samo elastična sila, čija je algebarska vrednost vrši rad. Elementarni rad ove sile pri kretanju tela od x do x+dx je: F el = kx, (11) da = kxdx. (12) Da bismo pokazali da je elastična sila konzervativna izaberimo dve putanje tela: putanja (a) je između tačaka x 1 i x 2, dok je putanja (b) od x 1 do x 0, pa zatim do x 2. Rad elastične sile pri kretanju tela po putanji (a) je: Rad elastične sile po putanji (b) je x 2 kx 2 x 2 A 12(a) = ( kx)dx = 2 = k x 1 2 x 1 ( x 2 2 x 2 ) 1. (13) Očigledno je: x 0 x 2 k A 12(b) = ( kx)dx+ ( kx)dx = 2 x 1 x 0 ( x 2 0 x 2 k ( 1) x 2 2 2 x 2 k ( 0) = x 2 2 2 x 2 ) 1. (14) A 12(a) = A 12(b), (15) što znači da je elastična sila konzervativna. Primer 3. Sila trenja. Da bismo dokazali da je sila trenja nekonzervativna, razmotrimo blok koji se kreće po kružnici kako je prikazano na slici 4. Smatramo da je blok materijalna tačka na koju deluje sila trenja suprotno kretanju. Uočimo dve putanje između tačaka M 1 i M 2 : (a), kada se tačka zarotira za ugao π/2 rad i (b), kada se tačka zarotira za 3π/2 rad. Rad sile trenja pri kretanju tela po putanji (a) je: dok je rad sile trenja po putanji (b): A 12(a) = A(ϕ = π 2 ) = µmgπr 2, (16) A 12(b) = A(ϕ = 3π 2 ) = µmg3πr 2. (17) 3

Slika 4: Uz dokaz nekonzervativnosti sile trenja. Očigledno je: A 12(a) A 12(b), (18) što dokazuje da je sila trenja nekonzervativna. 2 Potencijalna energija Pored kinetičke energije postoji još jedna forma energije materijalne tačke koja se definiše u mehanici. To je energija pridružena položaju koja se naziva potencijalna energija. Podsetimo se da je rešenje određenog integrala jednako razlici odgovarajuće primitivne funkcije u gornjoj i donjoj granici: Prema definiciji konzervativne sile: b a f(x)dx = g(x) b a = g(a) g(b). (19) r 2 F d r = g( r2 ) g( r 1 ), (20) r 1 gde je g( r) skalarna funkcija koja je rešenje neodređenog integrala. Ako ovu funkciju označimo sa E p, g E p, tada je: r 2 r 1 F d r = Ep ( r 1 ) E p ( r 2 ) = E p. (21) I definicija potencijalne energije. Rad sile koja deluje na materijalnu tačku jednak je negativnoj promeni potencijalne energije materijalne tačke pridružene toj sili. 4

Dakle, E p = A. (22) Potencijalna energija se definiše samo za konzervativne sile. Uočimo i da je samo promena potencijalne energije relevantna tokom kretanja objekta, pa se potencijalna energija E p može odrediti do na aditivnu konstantu. Praktični postupak je da se usvoji da je potencijalna energija u nekoj tački prostora jednaka nuli. Ta tačka je referentna tačka za računanje potencijalne energije i određivanje energetskog balansa. Ako je, na primer, tačka M 0 referentna tačka, na osnovu I definicije potencijalne energije, promena potencijalne energije pri kretanju materijalne tačke od proizvoljne tačke M u tačku M 0 je: E p = E p (M 0 ) E p (M) = S obzirom da je E p (M 0 ) = 0, potencijalna energija tela u tački M je: E p (M) = A M,M0 = M 0 M M 0 M F d r. (23) F d r. (24) II definicija potencijalne energije. Potencijalna energija materijalne tačke u nekoj tački prostora jednaka je radu sile koja deluje na materijalnu tačku pri njenom kretanju iz date tačke u referentnu tačku. Koristeći teoremu o promeni kinetičke energije, A = E k, (25) i (22) sledi: E k + E p (E p +E k ) = 0. (26) Poslednji rezultat predstavlja zakon o održanju mehaničke energije: E = E k +E p = const, (27) gde je E ukupna mehanička energija (ili kratko: mehanička energija) tela. Za konzervativne sile važi: rad konzervativne sile ne zavisi od putanje po kojoj se telo kreće, već samo od položaja krajnjih tačaka putanje; rad konzervativne sile jednak je negativnoj promeni potencijalne energije; ukupna mehanička energija je konstantna; tokom kretanja postoji dvosmerna konverzije energije, kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto. Primer 1. Potencijalna energija materijalne tačke u gravitacionom polju Zemlje. 5

Slika 5: Uz izvođenje izraza za potencijalnu energiju materijalne tačke u gravitacionom polju Zemlje. Posmatrajmo malo telo koje se nalazi u Zemljinom gravitacionom polju u tački M na visini h iznad Zemljine površine, kao što je prikazano na slici 5. Pretpostavimo da je visina h mnogo manja od poluprečnika Zemlje, h R Z. Prema definiciji potencijalna energija ovog tela je: E pm = r M0 r M m g d r = r M0 r M mgdz k (dx i+dy j +dz k) = 0 h ( mg)dz = mgz 0 h = mgh. (28) Ovo je izraz za potencijalnu energiju tela na koje deluje sila Zemljine teže na maloj visini od površine Zemlje. Slika 6: Uz izvođenje izraza za elastičnu potencijalnu energiju. Primer 2. Elastična apotencijalna energija. Posmatrajmo sada telo mase m koje zakačeno za oprugu koeficijenta krutosti k (videti sliku 6). Ako je referentna tačka u položaju kada je opruga nenapregnuta (x = 0), potencijalna energija tela koje je prikačeno za deformisanu oprugu je: E p (x) = Na osnovu ovog izraza promena E p pri kretanju materijalne tačke od x 1 do x 2 je: Na osnovu ovoga i A = E p sledi: do čega se može doći direktnom integracijom. x 0 ( kx)dx = kx2 2. (29) E p = kx2 2 2 kx2 1 2. (30) A = E p = kx2 1 2 kx2 2 2, (31) 6

Slika 7: Uz izvođenje izraza za gravitacionu potencijalnu energiju. Primer 3. Gravitaciona potencijalna energija dve materijalne tačke. U ovom slučaju dve materijalne tačke masa m 1 i m 2 nalaze se na međusobnom rastojanju r = r, kao što je prikazano na slici 7. Prema Njutnovom zakonu gravitacije, sila kojom prva materijalna tačka deluje na drugu je: F 12 = γm 1m 2 r 2 e r, (32) Potencijalna energija materijalne tačke mase m 2 u gravitacionom polju materijalne tačke mase m 1, za referentnu tačku r 0, je: E p (r) = r ( γ m ) 1m 2 r 2 e r dr e r, (33) gde je, jednostavnosti radi, izabrana pravolinijska putanja čiji pravac prolazi kroz centar od r do r. Odavde: Konačno je: E p (r) = γm 1 m 2 r dr r 2 = γm 1m 2 E p (r) = γm 1m 2 r ( 1 ). (34) r r. (35) Primetimo da je potencijalna energija jednaka radu koji izvrši gravitaciona sila pri udaljavanju dve materijalne tačke ka. Ovo znači da je izvedeni izraz za E p (r) istovremeno potencijalna energija čestice mase m 1 u gravitacionom polju čestice mase m 2, tj. izvedeni izraz za E p je karakteristika para materijalnih tačaka. Ako se izabere proizvoljna putanja, kada je elementarni vektor pomeraja u sfernom koordinatnom sistemu d r = dr e r +rdθ e θ +rsinθdϕ e ϕ, moguće je jednostavno pokazati da se dobije isti izraz za potencijalnu energiju kao (35). 7

Slično je za sistem od n materijalnih tačaka: n 1 E p = n i=1 j>i gde je r ij rastojanje između materijalnih tačaka masa m i i m j. γ m im j r ij, (36) 3 Veza između konzervativne sile i potencijalne energije Slika 8: Uz izvođenje veze između konzervativne sile i potencijalne energije. Smatramo da je poznata funkcija potencijalne energije: koja u opštem slučaju zavisi od sve tri Dekartove koordinate. E p = E p (x,y,z), (37) Najpre posmatrajmo kretanje materijalne tačke duž x ose, tako da na materijalnu tačku deluje proizvoljno orijentisana sila F (ne mora biti rezultujuća), kako je prikazano na slici 8. Elementarni pomeraj je: a, koristeći da = de p, elementarni rad je dat izrazom: Odavde seledi: d r = dx i, (38) da = F d r = F x dx = de p. (39) F x = de p dx. (40) Promena potencijalne energije duž x pravca očigledno ne zavisi od F y i F z, jer su obe ove sile upravne na x osu, te stoga ne vrše rad. Da bi se označilo da se radi o izvodu funkcije više promenljivih, umesto oznake za običan izvod (d) treba koristiti oznaku za parcijalni izvod ( : delta): F x = E p x. (41) 8

Ukoliko se na sličan način posmatra kretanje duž y i z ose, dobije se: F y = E p y, (42) Prema tome, vektor sile je: odnosno jednostavnije: F z = E p z. (43) Ep F = ( x i+ E p y j + E ) p y k, (44) F = E p, (45) gde je = x i+ y j + z k (46) operator koji se naziva nabla. Ako nabla deluje na skalarnu funkciju naziva se gradijent, u oznaci grad. Prema tome, vektor sile je: Interesantan primer je funkcija potencijalne energije F = grade p. (47) E p (x,y,z) = k 2 (x2 +y 2 +z 2 ). (48) Prvi parcijalni izvodi su: E p x E p y = kx, (49) = ky, (50) Vektor sile je, prema tome: E p z = kz. (51) F = kx i ky j kz k = k r. (52) Ova sila je centralna, usmerena ka koordinatnom početku i linearno zavisna od vektora položaja. Ona predstavlja sistem koji se naziva trodimenzioni izotropni linearni harmonijski oscilator, koji je vrlo koristan model u fizici. Sila F(x,y,z) ne mora biti konzervativna sila, odnosno proizvoljna zavisnost sile od Dekartovih koordinata ne predstavlja u opštem slučaju konzervativnu silu. Konzervativne sile zadovoljavaju poseban uslov, koji ćemo sada izvesti. Uočimo: F x y = ( E p y x F y x = x ( E p y Mešoviti parcijalni izvod ne zavisi od redosleda diferenciranja, tj. važi: ) ) = 2 E p x y, (53) = 2 E p y x. (54) 2 E p x y = 2 E p y x. (55) Na osnovu poslednje tri jednakosti sledi: F x y F y x = 0. (56) 9

Slično se za preostale dve kombinacije pravaca dobija: F y z F z y = 0, (57) F z x F x = 0. (58) z U vektorskoj analizi se definiše rotor vektora u oznaci rot. Za vektor sile F: i j k ( rotf = Fz x y z = y F ) y i+( Fx z z F ) z Fy j +( x x F ) x k. (59) y F x F y F z Na osnovu (56), (57) i (58) sledi uslov konzervativnosti sile F: rot F = 0. (60) 4 Kretanje u polju centralnih sila Centralne sile su sile čija napadna linija (nosač vektora sile) prolazi kroz jednu nepokretnu tačku koja se naziva centar sile, a intenzitet sile zavisi od rastojanja od centra. Fizička polja ovakvih sila su stacionarna. Sila, dakle, ima oblik: F = F(r) e r, (61) gde je e r jedinični vektor radijalne ose sfernog koordinatnog sistema. Slika 9: Uz dokaz konzervativnosti centralnih sila. Pokazaćemo da je fizičko polje centralne sile konzervativno. Posmatrajmo dve ekvipotencijalne površi 2 ovakvog polja razdvojene za dr (videti sliku 9). Centar ekvipotencijalne povrči (tačka SO naziva se centar sile). 2 Ekvipotencijalna površ je geometrijsko mesto tačaka istog potencijala, pri čemu se potencijal definiše kao ϕ = E p/s, gde je s svojstvo malog (probnog) tela koje se nalazi u datom fizičkom polju. s je masa za gravitaciono polje, a naelektrisanje za električno polje. 10

Elementarni radovi pri elementarnim pomerajima d r 1 i d r 2 između tačaka na udaljenju r i r+dr od centra sile su: da 1 = F 1 d r 1 = F 1 d r 1 cosθ 1, (62) da 1 = F 2 d r 2 = F 2 d r 2 cosθ 2. (63) Sa slike 9 se lako ustanovi da važi: Pored toga: d r 1 cosθ 1 = d r 2 cosθ 2 = dr. (64) F 1 = F 2 = F, (65) jer se tačke C i D nalaze na istom rastojanju od centra sile. Prema tome za svaki par susednih ekvipotencijalnih linija, razdvojenih za dr, važi: F 1 d r 1 = F 2 d r 2. (66) Odavde direktno sledi: 2 F d r = 2 F d r, (67) 1(a) 1(b) što znači da je polje centralnih linija konzervativno. 5 Stabilnost kretanja Posmatrajmo sistem koji se sastoji od lake elastične opruge koeficijenta krutosti k i tela mase m (videti sliku 10). Slika 10: Sistem tela mase m i elastične opruge koeficijenta krutosti k. Potencijalna energija tela zakačenog za oprugu je: E p (x) = kx2 2. (68) Ova zavisnost je prikazana na slici 11. Potencijalna energija ne može biti veća od ukupne energije. Naime, ako bi bilo E p > E (69) tada bi važilo: odakle sledi: E k +E p > E k +E, (70) E k < 0. (71) 11

Ovo je fizički nemoguće, jer m 0 i v 0. Sila koja deluje na česticu je: F x = F x i, (72) gde je F x = de p dx = kx. (73) Elastična sila je uvek usmerena ka centru, tj. deluje tako da se telo vraća u položaj ravnoteže (restituciona sila). Kretanje tela je u ovom slučaju oscilatorno, a tačka oko koje telo osciluje predstavlja položaj stabilne ravnoteže datog tela. Svaki minimum potencijalne energije je tačka stabilne ravnoteže: Slika 11: Potencijalna energija tela zakačenog za oprugu. Posmatrajmo funkciju potencijalne energije prikazanu na slici 12. Kretanje nije moguće u oblastima 0 x < x 1 i x 2 < x < x 3. Ukoliko je brzina čestice u položaju stabilne ravnoteže veća od nule, tada čestica osciluje oko te tačke. Tačka x 01 je položaj stabilne ravnoteže, dok je tačka x 02 položaj labilne ravnoteže. Kretanje tačke u položaju stabilne ravnoteže zavisi od ukupne energije. Ako je E = E p (x 02 ), materijalna tačka miruje u položaju labilne ravnoteže. Slika 12: Primer funkcije potencijalne energije sa tačkama stabilne i labilne ravnoteže. 12

Opšte teoreme dinamike mehaničkih sistema Mehanički sistem je skup materijalnih tačaka ili tela u kome položaj i kretanje svake materijalne tačke ili tela zavisi od pozicije i kretanja ostalih materijalnih tačaka ili tela. Bitna karakteristika mehaničkog sistema je postojanje interakcije između pojedinih čestica ili tela. Ako između tela ne postoji interakcija, ona ne čine mehanički sistem. Svako telo se može predstaviti sistemom materijalnih tačaka, pa se shodno tome svaki mehanički sistem može predstaviti sistemom materijalnih tačaka. Kretanje svake materijalne tačke ćemo analizirati u inercijalnom referentnom sistemu. Prema tome, rezultati koje ćemo dobiti (teoreme i zakoni) važe samo u inercijalnim sistemima reference. Primeri mehaničkih sistema su: kruto telo; telo okačeno o oprugu; Sunčev sistem. 6 Teorema o promeni količine kretanja mehaničkog sistema Posmatrajmo sistem materijalnih tačaka koje međusobno interaguju prikazan na slici 13. Na svaku materijalnu tačku deluje spoljašnja (eksterna) sila F (ext) k. Ova sila predstavlja rezultantnu svih spoljašnjih sila koje deluju na k-tu materijalnu tačku. Rezultantna unutrašnja (interna) sila na k-tu materijalnu tačku je mera međusobnog delovanja ostalih materijalnih tačaka u sistemu na k-tu materijalnu tačku: 3 F (int) k = n i=1 (i k) F ik. (74) Jednačina kretanja k-te čestice je: Slika 13: Sistem materijalnih tačaka. 3 Samointerakcij, interakcija tačke sa samom sobom, ne postoji. d p k dt = F (ext) k + F (int) k. (75) 13

Napišimo sada jednačine kretanja svih materijalnih tačaka u sistemu u razvijenoj formi: d p 1 dt d p 2 dt d p n dt = F 21 + F 31 +...+ F n1 + F (ext) 1, (76) = F 12 + F 32 +...+ F n2 + F (ext) 2, (77).. (78) = F 2n + F 3n +...+ F n 1,n + F (ext) n. (79) Ako saberemo ove jednačine, primenjujući III Njutnov zakon na unutrašnje sile, lako se dobije: d P dt = F (ext) rez. (80) Ovo je matematički zapis teoreme o promeni količine kretanja mehaničkog sistema (TKK(ms)). Ovde je P ukupna količina kretanja mehaničkog sistema, a F (ext) rez je rezultantna spoljašnja sila koja deluje na sistem. 4 P = n p k, (81) k=1 = k F (ext) k (82) TKK(ms). Brzina promene ukupne količine kretanja mehaničkog sistema jednaka je sumi svih spoljašnjih sila koje deluju na sistem. Slika 14: Trougao vektora količine kretanja pri raspadu jezgra na 3 manja jezgra. Jednačina (80) može se napisati i u formi: n k=1 m k a k = F (ext) rez = n k=1 F (ext) k. (83) Na osnovu TKK(ms): F (ext) rez = 0 P = k p k = const. (84) 4 Treba primetiti da komponente rezultantne spoljašnje sile na mehanički sistem nemaju istu napadnu tačku. 14

Ovaj rezultat je matematički zapis zakona o održanju količine kretanja mehaničkog sistema. ZKK(ms). Ako je vektorska suma spoljašnjih sila koje deluju na mehanički sistem jednaka nuli, ukupna količina kretanja sistema je konstantna. Poseban slučaj mehaničkog sistema je izolovan mehanički sistem (ims). To je mehanički sistem na koji ne deluju spoljašnje sile. ZKK(ims). Ukupna količina kretanja izolovanog mehaničkog sistema je konstantna. Primer primene zakona o održanju količine kretanja je raspad nepokretnog izolovanog jezgra koje miruje (videti sliku 14). Pretpostavimo da se jezgro raspadne na 3 fragmenta masa m 1, m 2 i m 3. Količina kretanja jezgra pre raspada jednaka je nuli, jer se jezgro ne kreće. Prema tome, važi: 0 = m 1 v 1 +m 2 v 2 +m 3 v 3, (85) gde su v 1, v 2 i v 3 brzine fragmenata posle raspada. Na osnovu ove jednačine sledi da se vektori količina kretanja tri fragmenta nalaze u jednoj ravni. 15