Curs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare

Σχετικά έγγραφα
ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

METODE NUMERICE APLICAŢII

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)

METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

CURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I

IV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare

4. Interpolarea funcţiilor

INTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

Tema: şiruri de funcţii

METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE. VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

6. VARIABILE ALEATOARE

2. Functii de mai multe variabile reale

METODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA

MULTIMEA NUMERELOR REALE

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

CURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:

I. REGRESIA Clasificări. Metode corelationale Regresia si Corelatia. Stud. Master - AMP

mărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ) numita stabilitate internă sistem liniar este stabi mărime de intrare u(t),

4. Metoda Keller Box Preliminarii

2. Metoda celor mai mici pătrate

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL

x x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:

ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,

Curs 3. Spaţii vectoriale

3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire

cele mai ok referate

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

CUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale

INTRODUCERE. Capitolele îndrumătorului corespund materiei predate şi abordate la seminar pentru Statică, prima diviziune a disciplinei Mecanică.

INTRODUCERE. 1. Erori în procesul de masura

ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGRESIE OPTIME

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,

6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Lucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel

2. Sisteme de ecuaţii neliniare

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu

OperaŃii cu numere naturale

sin d = 8 2π 2 = 32 π

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

aşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

4. Integrale improprii cu parametru real

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.

Cuprins. Prefaţă Metoda eliminării complete (Gauss Jordan) Spaţii vectoriale Noţiunea de spaţiu vectorial...

λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0

INTEGRAREA NUMERICĂ. 1. APROXIMAREA FUNCłIILOR 1. CALCUL NUMERIC. Integrarea numerică 1

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

Sisteme de ecuatii liniare

4. Serii de numere reale

METODE NUMERICE Obiective curs Conţinut curs

IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice

Integrale generalizate (improprii)

9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:

Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic

CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE

UNIVERSITATEA AL.I.CUZA IAŞI FACULTATEA de INFORMATICĂ CALCUL NUMERIC. Anca Ignat

Sub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:

Formula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Din această definiţie a probabilităţilor rezultă următoarele proprietăţi ale acestora:

Analiza bivariata a datelor

Integrale cu parametru

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.

DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA

Şiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE. SpaŃii vectoriale. Organizarea spańiilor economice ca spańii vectoriale

5. POZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELOR GEOMETRICE

CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

Transcript:

Curs 4 Metode Numerce de Rezolvre Sstemelor de Ecuţ Lre As. Dr. g. Levete CZUMBIL Lortorul de Cercetre î Metode Numerce Deprtmetul de Electrotehcă, Igere Electrcă E-ml: Levete.Czuml@ethm.utcluj.ro

Notţ mtrcelă coduce l o formulre smplă ş cocsă uor plcţ deoset de complee, m les î stuţle î cre modelul mtemtc coţe ssteme de ecuţ lre de dmesu mr. A A Î uele czur, sstemele de ecuţ lgerce lre pr î mod turl, d îsăş formulre proleme. Î multe lte czur, îsă, sstemele de ecuţ lre rezultă c urmre plcăr uor metode umerce de rezolvre proleme ţle.

Î plcţle d ger electrcă vlorle coefceţlor ş termelor ler pot f fectte de eror determăr epermetle, clcule "promtve, poteze smplfctore, etc.. Măsur î cre ele flueţeză soluţle sstemelor de ecuţ lre determă: Ssteme omogee Ssteme eomogee Ssteme e codţote Ssteme rău codţote Se pote spue că rezolvre sstemelor de ecuţ lre jocă u rol cetrl î cdrul metodelor umerce. Estă ctegor de metode de rezolvre sstemelor de ecuţ lre de form A : metode drecte su ecte ; metode drecte su tertve.

soluţ sstemulu rezultă prtr-o sere de operţ cre se eecută o sgură dtă, umărul totl de operţ rtmetce elemetre fd ft, depzâd î mod drect de dmesue sstemulu, fd cuoscut de l îceput. rezulttul furzt de metodele drecte este fectt dor de erorle de rotujre ş cest vtj fce c ele să fe preferte or de câte or dmesue ş prtculrtăţle sstemulu păstreză umărul de operţ î lmte cceptle. Eemple de metode drecte se pot mt: metod versăr mtrcle; metod lu Crmer ztă pe clculul determţlor; metod de elmre lu Guss; metod fctorzăr drecte LU Lower-Upper. Metod lu Crmer deş î eseţă forte smplă, u corespude cerţelor prctce câd umărul de ecuţ este m mre c ş câd determtul corespuzător mtrc sstemulu este zero e fd î geerl emplemetlă.

soluţ se oţe prtr-o sere proces de promţ succesve, fecre secveţă de operţ rtmetce elemetre m mc decât l metodele drecte este prcursă de m multe or, oțâdu-se promţ d ce î ce m ue le soluţe pâă l tgere ue precz fte dte precze dortă. Aceste metode permt oţere soluţe umerce uu sstem de ecuţ pr geerre uu şr cre tde l soluţ ectă. prctc se pote efectu um u umăr ft de terţ, erorle de rotujre sut îsoţte î czul metodelor tertve ş de eror de truchere. Avtj l metodelor tertve: smpltte ş efceţ mplemetăr lor î progrme, î czurle î cre u sut rezolvle pr metode drecte. Eemple de metode tertve: metod lu Jco; metod Guss-Sedel - Mster metod relăr - Mster

Se cosderă sstemul lr de ecuţ cu ecuoscute deft de relţ mtrclă A. Dcă mtrce A este esgulră, tuc cestă relţe se pote îmulţ l stâg cu mtrce versă A - rezultâd: A - relţe cre evdeţză clr cele două fze le ceste metode: versre mtrce A ş efecture produsulu mtrcel A -. Metod versăr mtrcele ecestă u tmp de clcul reltv rdct dtortă umărulu mre de operţ elemetre, plcre e fd justfctă um î stuţle î cre este ecesră soluţore repettă sstemulu de form A, petru dferte vlor le termelor ler petru că versre mtrc A se fce o sgur dtă, l prm rezolvre, l soluţoărle următore fd ecesră um efecture îmulţr mtrcele A -.

Îtr-u cz prctc se pote juge l ssteme de form: A după plcre uor metode specfce de rezolvre supr uor crcute electrce de curet cotuu, jugâdu-se l sstemul scrs mtrcl: E R I E I R R - mtrce pătrtcă rezsteţelor d crcut E - vectorul coloă tesulor electromotore le surselor d crcut I - vectorul coloă cureţlor ecuoscuţ, A

Idee de ză metode costă î ducere sstemulu de ecuţ pr trsformăr elemetre l o formă echvletă, vâd mtrce superor su feror trughulră, urmtă de rezolvre sstemulu rezultt pr procedee recurete specfce, forte efcete. Trsformre sstemulu ţl îtr-u sstem de formă trughulră se relzeză cu jutorul tre operţ elemetre su de ză:. Iterschmre două ecuţ ître ele;. Îmulţre ue ecuţ cu o costtă eulă;. Scădere ue ecuţ d lt ş îlocure cele de- dou ecuţe cu rezulttul scăder. Trsformre sstemulu este echvletă cu elmre succesvă ecuoscutelor d ecuţ ş se umeşte fz elmăr. Rezolvre sstemulu cu mtrce trughulră costă î determre ecuoscutelor ş susttuţ lor î ecuţle sstemulu î orde versă, fd deumtă d cest motv fz susttuţe verse.

Etp elmăr... Se elmă d tote ecuţle cu ecepţ prme dcă de eemplu l ecuţ : / / / /. j j j j j,,,,,;, j,,,, j, Oţem stfel sstemul:

Mtrcel, prmul ps l metode elmăr lu Guss coduce l Mtrcel, l u ps orecre se oțe sstemul: j j j j,,,; j

.,,,, Fz elmăr se îchee, împărţd ce de - ecuţe l elemetul pvot cre, petru u sstem cu mtrce esgulră, treue să fe dfert de zero. Rezultă după cest ps sstemul: su mtrcel, A.

D cele oţute, oservăm mtrce A este superor trughulră, r sstemul este echvlet cu cel ţl A, dcă re soluţ,,,,. Fz susttuţe verse mersul îpo presupue prcurgere î ses vers ecuţlor sstemulu cu mtrce trughulră, rezultt î fz elmăr, ş stlre soluţe sstemulu potrvt uu clcul recursv pr susttuţe regresvă îcepâd cu d ultm ecuţe cotuâd cu - ş termâd cu d prm ecuţe:.. j j j

După cum se oservă, determre compoetelor soluţe re loc de l dc mr spre dc mc, fecre ouă compoetă depzâd î mod eplct um de compoetele determte l psul teror. Oservţe. Metod de elmre Guss permte ş clculre determtulu mtrc sstemulu. Se oservă că, mtrce A sstemulu fl fd trughulră, re determtul egl cu produsul elemetelor dgole, dcă: det A det det A A det A

Algortmul petru ulre elemetelor de su dgol prcplă trgulrzre.

Î plcţle prctce î cre de oce mtrce coefceţlor sstemulu A este de dmesu mr ş umărul elemetelor dferte de zero le ceste mtrc este forte mc tuc metod elmăr lu Guss u este ce m dctă metodă de rezolvre sstemulu. Î ceste czur tehcle de elmre vor f îcette mult dtortă spţulu mre de memore ecesr petru pute lucr cu ceste mtrc de mr dmesu dr ş fptul că elemetele zero d mtrce ţlă r f trsformte î elemete dferte de zero după trgulrzre. Dec ceste ssteme mr se vor rezolv cu metode tertve.

, A A A det j. β β β β ḃ.. β

Se lege vectorul promţlor ţle le soluţlor [ ] T cre se oţe pr măsurător epermetle su se lege de oce î plcţle prctce c fd egl cu vectorul termelor ler. β Metod lu Jco presupueclculul uu şr de promţ succesve cu jutorul formule de terre îtr-u ps cre se demostreză pr ducţe: Vectorul soluţe după prm terţe este: β β,, Dcă şrul vectorlor soluţ l terţ, cre este u şr de soluţ promtve, coverge, tuc lmt lu este soluţe sstemulu A : lm lm,,,

Demostrt Covergeț metode lu Jco - pe tlă Demostrt Cevlure eror î metod promțlor succesve Jco - pe tlă er β