SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive Promenljiv veličin koj te brojne vrednosti uzim s određenim verovtnoćm nziv se slučjn promenljiv N primer, u eksperimentu bcnj novčić pišemo 0 ko pdne grb, ko pdne pismo, td se ovj eksperiment može zmisliti ko izbor nule i jedinice s verovtnoćom To nm omogućv jedn pstrktn model koji može d opiše i druge eksperimente gde immo dv podjednko verovtn ishod Definicij: Funkcij X koj svkom slučjnom dogđju ω Ω dodeljuje relni broj X ( ω ) zove se slučjn promenljiv Slučjne promenljive obeležvmo velikim slovim X,Y,Z Znči, slučjn promenljiv je preslikvnje skup Ω u skup relnih brojev, z rzliku od verovtnoće, koj je preslikvnje skup Ω u skup [ 0, ] Primer: Novčić se bc dv put Nek je slu;jn promenljiv X broj registrovnih pism Kko je PP, PG, GP, GG X PP =, X GP =, X PG =, X GG = 0 Znči slučjn Ω= { }, ond je ( ) ( ) ( ) ( ) promenljiv uzim 3 moguće vrednosti 0,, Rzlikujemo dv osnovn tip slučjnih promenljivih, diskretne i neprekidne slučjne promenljive Podel se vrši u zvisnosti d li slučjn promenljiv uzim vrednosti u končnom, odnosno prebrojivom ili neprebrojivom skupu vrednosti DISKRETNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Definicij: Nek slučjn promenljiv X može d uzme vrednosti,,, n, s verovtnoćm p, p,, pn, ( i i i ) pri čemu je p+ p + + p n =, p = P X =, i=,,, n ili npisno p( ) p( ) čine zkon rspodele verovtnoć slučjne promenljive X Skup prov { }

Zkon rspodel verovtnoć slučjne promenljive je prvilo po kome svkoj vrednosti slučjne promenljive X pridružujemo odgovrjuću verovtnoću p Zkonom rspodele, ukupn verovtnoć, koj je jednk, rspodeljen je n pojedine vrednosti slučjne promenljive 0 Dkle u predhodnom primeru zkon rspodele je 4 4 Rspodel verovtnoć ko potpun krkteristik vži smo z diskretnu slučjnu promenljivu Dve njvžnije diskretne rspodele su binomn rspodel i njen generlizcij Pusonov rspodel Rspodel slučjne promenljive z Bernulijeve eksperimente zove se Binomn rspodel Primer: Verovtnoć d je jedn proizvod defektn je 0,0 Iz skldišt se uzim 00 proizvod Kolik je verovtnoć d ) bude tčno 5 defektnih b) broj defektnih nije veći od 0 Nek je A dogđj d je proizvod defektn P( A) = p= 0,0 Ko se eksperiment obvlj 00 put immo Slučjn promenljiv X je broj defektnih proizvod 00 5 95 ) P( X = 5) = 0,0 0,99 5 b) ( X = 0) + ( X = ) + + ( X = 0 ), 0 0 00 5 95 P= P ( X = k) = 0,0 0,99 k= 0 k= 0 0 Ovj primer pokzuje d efektno izrčunvnje verovtnoć kd je n dovoljno veliko, složen rčunski poso U tkvim slučjevim koristimo se rznim proksimcijm izrz z verovtnoće, odnosno koristimo Pusonovu rspodelu FUNKCIJA RASPODELE Do potpune krkteristik z slučjnu promenljivu dolzimo ko posmtrmo dogđje X<, ne X= Verovtnoć dogđj X<, zvisi od, odnosno je funkcij od Nziv se funkcij rspodele verovtnoć ili funkcijom rspodele Funkcij rspodele je sttističk krkteristik slučjne promenljive koj omogućv d se izrčun verovtnoć, d slučjn promenljiv uzme vrednost n nekom intervlu n osi Npomen: Slučjn promenljiv nem određenu vrednost, već se smo može govoriti o verovtnoćm d uzme neku vrednost

os Ω X ( ) ω < ω Definicij: Nek je X slučjn promenljiv Reln funkcij F definisn ko P { ω ( ω) } ω ( ω) { } ( ) Ω X P Ω X = F nziv se funkcijom rspodele slučjne promenljive X Definicij: Slučjn promenljiv je diskretn ko je funkciju rspodele F( ) P( X ) kumultivn funkcij Olik je: 0, p < F( ) = p + p, <, > n, 3 = < i se zove F ( ) p + p p n 3

Primer: U bcnju 3 dinr broj grbov koji se može pojviti n gornjim strnm dinr je 0,,, ili 3 Rešenje: Eldog GGG GGP GPG PGG GPP PGP PPG PPP Broj grbov 3 0 Verovtnoće /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 0 3 Rspodel verovtnoć broj grbov je: X : 3 3 8 8 8 8 Predhodn tbel sstvljen je od prov brojev ( i, p i) i pokzuje kko se broj grbov menj slučjno Broj grbov je slučjn promenljiv i verovtnoće su 3 3 P( X = 0 ) =, P( X = ) =, P( X = ) =, P( X = 3) = 8 8 8 8 Funkcij rspodele glsi 0, 0 0< 8 F( ) = 4, < 8 7, < 3 8, > 3 OSOBINE FUNKCIJE RASPODELE Nek je F funkcij rspodele slučjne promenljive X Td je: 0 F, R, ( ) F( ) F( ) F( ) F( ) = lim = 0, + = lim =, + 3 F je monotono ne opdjuć funkcij, F( ) F( ) 4 F je neprekidn s lev u tčkm prekid, F( ) = F( 0) 5 P( X < b) = F( b) F( ) Zto što je P( X < b) = P( X < b) P( < ) NEPREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Definicij: Slučjn promenljiv je neprekidn, ko z svki relni broj je određen neopdjuć i neprekidn F P X F = 0, F + = funkcij ( ) = ( < ), koj ispunjv uslove ( ) ( ) 4

F ( ) Vži: P < X < b = F b F ) ( ) ( ) ( ) P( X = b) = 0 Npomen: Funkcij rspodele određuje sve bitne osobine slučjne promenljive Vrednost slučjne promenljive ne može se predvideti pre obvljenog eksperiment, li funkcij rspodele se zn On je njen potpuno poznt mtemtičk funkcij i jer je X je slučjn broj, je reln broj U svkom pojedinčnom eksperimentu slučjn promenljiv X je slučjn vrednost i zto se proučvnje svodi n njeno ponšnje u puno ponvljnj ekperiment, odnosno n verovrnoću Iz ovih rzlog predmet proučvnj teorije verovtnoće nisu slučne promenljive, već njihove rspodele i funkcije rspodel Kod neprekidne funkcije, nemoguće je svkom elementu iz intervl (,b) dodeliti pozitivnu verovtnoću, jer bi njihov zbir bio beskončn, zbir verovtnoć skup vrednosti promenljive X mor biti jednk Zto se uzim d je P( X = ) = 0 Prividno ovo je prdoks Međutim, ovkvi prdoksi postoje u nuci U geometriji duž im pozitivnu dužinu, dužin svke tčke je 0 U mehnici, telo čij ms postoji, ms svkog pojedinog del je nul Jednkost P( X = ) = 0 ne znči d će d se u prksi dogđj X = nikd neće ostvriti, već smo d je ml, veom ml verovtnoć d će se on ostvriti To je prihvtljivo, jer slučjn promenljiv X može d uzme bilo koju vrednost s intervl (,b), njih je neprebrojivo mnogo, p su mli izgledi d d uzme bš vrednost FUNKCIJA GUSTINE Nek je X slučjn promenljiv i F njen funkcij rspodele Definicij: Kko je funkcij rspodele slučjne veličine neprekidn i neopdjuć funkcij ond postoji funkcij f, f = F, i nziv se funkcijom gustine tkv d je ( ) ( ) Funkcij gustine verovtnoće omogućv ko i funkcij rspodele, d se izrčun verovtnoću d se relizcij slučjne veličine nđe u nekom intervlu T verovtnoć je jednk površini koj je ogrničen funkcikom gustine i grnicm dtog intervl 5

b ( ) ( ) P X b f d < < = f ( ) b Definicij: Nek je F funkcij rspodele slučjne promenljive X Ako postoji nenegtivn funkcije f definisn n R tkve d je ( ) ( ) ( ) ( ) F = P X < = P < X < = f t dt Geometrijski, funkcij rspodele F je površin ispod krive gustine, levo od tčke f ( ) F( ) = P( X < ) F ( ) F( ) = P( X < ) OSOBINE FUNKCIJE GUSTINE: Ko izvod neopdjuće funkcije rspodele f ( ) 0 Z svko relno P( X = ) = 0 + f d= 3 ( ) Primer: Odrediti konstntu tko d funkcij f ( ), 0 =, 0, < 0, > 6

bude gustin rspodel verovtnoć Ztim nći funkciju rspodel i izrčunti P( 0 X ) Kko je d 3 = = 8 0 < < 3, 0 Funkcij gustine glsi f ( ) = 8 0, < 0, > Ov funkcij je definisn z svko R, pozitivn, i neprekidn svud osim u tčki =, p može d bude funkcij gustine 0, 0 3 3 Funkcij rspodele je prem formuli F( ) = d=,0< 8 8 0, > 3 3 3 Tržen verovtnoć P( 0< X < ) = d= F() F( 0) = 8 8 0 ZADACI Eksperiment se sstoji u trostrukom bcnju dinr Ako je u svkom bcnju verovtnoć pojve grb 0,5 i X oznčv verovtnoću pojve grb, nći rspodelu verovtnoć i funkciju rspodel Rešenje: 0 3 i p O,5 0,375 0,375 0,5 i ( ) F 0, 0 0,5, 0 = 0,500, 0,875, 3, > 3 Iz prtije od 00 proizvod, od kojih je 0 škrt, izbrn je n slučjn nčin uzork od 5 proizvod Ako je X broj škrtov u uzorku, nći funkciju rspodel Rešenje: 0 90 k 5 k F( ) = P( X = k ) = 00 5 3 Rvnomern rspodel je definisn svojom gustinom Nći funkciju rspodele 7

, < < b f ( ) = b, > b Rešenje: 0, < d F( ) = =, < < b b b, > b f ( ) b F ( ) b b Dkle, verovtnoć d X pripd nekom intervlu unutr [ b, ] proporcionln je dužini tog intervl Zto se ov rspodel koristi z izbor slučjnog broj u intervlu [ b, ] PRIMERI ZA VEŽBU Kontrolor proverv proizvod jedne prtije koj sdrži 0% škrt i obustvlj proveru kd niđe n škrt Ako je X broj preglednih proizvod, nći rspodelu verovtnoć slučjne promenljive X Cilj se gđ s četiri metk Nci rspodelu verovtnoć i funkciju rspodele slučjne promenljive X, ko je u svkom gđnju verovtnoć pogotk cilj o,5 i X oznčv broj pogodk 3 Nek je X neprekidn slučjn promenljiv s gustinom C( 4 ), 0< < f ( ) = 0, >, < 0 Odrediti C, i nći P( X > ) 4 Košijev rspodel: Nek je X neprekidn slučjn promenljiv s gustinom f ( ) = π + ( ) Ncrtti krivu gustine i nći P( X ) < < 8

0, 5 Funkcij rspodele im oblik F( ) = A+ Brcsin, < <, Nći: ) Z koje vrednosti A i B je funkcij rspodele neprekidn, b) P < X <, c) Gustinu rspodele 9