Teorija elementarnih čestica

Teorija elementarnih čestica Voja Radovanović Beograd, 013. Contents 1 Simetrija prostor-vremena 4 1.1 Lorencova grupa.................................... 4 1. Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove transformacije............ 11 1.3 Vignerov metod.................................... 15 Unutrašnje simetrije; kvark model 0.1 Klasifikacija interakcija i čestica........................... 0. Simetrija........................................ 1.3 SU() i izospin.................................... 3.4 Stranost, hipernaboji,...; zakoni održanja...................... 8.5 Osmostruko svrstavanje hadrona.......................... 9.6 SU(3)......................................... 30.7 SU(n) tenzori i Jungove šeme............................ 31.8 SU(3) kvark model.................................. 38.8.1 ω φ mešanje................................. 44.9 Šest kvarkova i veća simetrija............................ 45.10 Dopunski kvanatni broj: boja............................ 47.11 Šta su elementarne čestice.............................. 49 3 Klasična teorija polja 50 3.1 Ojler-Lagranževe jednačine kretanja......................... 50 3. Hamiltonova formulacija............................... 54 3.3 Neterina teorema................................... 56 3.4 Fazna invarijantnost................................. 59 3.5 Translaciona invarijantnost i tenzor energije impulsa................ 60 3.6 Lorencova simetrija i uglovni moment........................ 61 3.7 Neterina teorema u analitičkoj mehanici...................... 6 4 Kalibraciona (gradijentna, gauge) simetrija 66 4.1 Čestica u elektromagnetnom polju, lokalna simetrija................ 66 4. Neabelova kalibraciona simetrija........................... 69 1

5 Spontano narušenje simetrije 74 5.1 Spontano narušenje diskretne simetrije....................... 76 5. Spontano narušenje abelova simetrija........................ 78 5.3 Goldstonova teorema................................. 79 5.4 Higsov mehanizam.................................. 80 6 Slabe interakcije 83 6.1 Uvod.......................................... 83 6. Vajlove jednačine................................... 85 6.3 Maseno vektorsko polje................................ 89 7 Standardni model elektroslabih interakcija 90 7.1 Leptonski sektor................................... 90 7. Higsov mehanizam.................................. 9 7.3 Interakcija leptona sa gauge poljima......................... 96 7.4 Mase leptona..................................... 99 7.5 Rezime......................................... 100 8 Elektroslaba interakcija kvarkova 101 8.1 Mase kvarkova.................................... 10 8. Naelektrisana kvark struja.............................. 104 8.3 Neutralna i elektromagnetna kvark struja...................... 106 8.4 Lagranžijan standardnog modela-rezime...................... 108 9 Raspadi i neki procesi u standardnom modelu 108 10 Kvantna hromodinamika 111

Literatura: 1. S Weinberg, Quantum Field Theory (vol I), CUP (005). D. B. Lichtenberg, Unitary Symmetry and elementary particles, Academic Press (1978) 3. H. F. Jones, Groups, Representations and Physics, (-nd ed.), IoP (1998) 4. Greiners, Muller, Quantum Mechanics, Symmetries, Springer (001) 5. T. Cheng, L. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford UP (1998) 6. C. Burgess and G. Moore, The Standard Model: A Primer, CUP (006) 7. M. Peskin and D. Schroeder, Quantum Field Theory, Addison Wesley (1995) 8. V. Radovanović, Problem Book in Quantum Field Theory, Springer (008) 3

1 Simetrija prostor-vremena 1.1 Lorencova grupa Prostor Minkovskog je realan četvorodimenzionalan prostor u kome je definisana metrika. Vektori položaja u prostoru Minkovskog su x 0 ct x = x µ e µ = x 1 x = x y, x 3 z gde su x µ kontravarijantne komponente vektora x u bazi 1 0 0 0 e 0 = 0 0, e 1 = 1 0, e = 0 1, e 3 = 0 0. 0 0 0 1 Metrika prostora Minkovskog je 1 0 0 0 g µν = 0 1 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 Ona služi za odredjivanje dužine vektora x = x T gx. Lorencove transformacije x µ = Λ µ νx ν ostavljaju kvadrat četvorovektora x = x µ e µ nepromenjen, tj. x = x odakle sledi Λ T gλ = g. (1.1) Lorencove transformacije čine grupu O(1, 3, R). Da bi ovo pokazali potrebno ja da proverimo da su svi aksiomi grupe zadovoljeni: 1. Neka su Λ 1 i Λ Lorencove transformacije. Primenimo prvo transformaciju Λ 1 a zatim Λ. Vektor koordinate x posle prve Lorencove transformacije prelazi u x = Λ 1 x. Ako sada primenimo transformaciju Λ dobićemo x = Λ x = Λ Λ 1 x. Sada ćemo pokazati da je Λ Λ 1 Lorencova transformacija. To se vidi direktno: (Λ Λ 1 ) T g(λ Λ 1 ) = Λ T 1 (Λ T gλ )Λ 1 = Λ T 1 gλ 1 = g. Ovim smo pokazali zatvorenostost.. Jedinični element grupe je jedinična matrica. 3. Množenje matrica je asocijativno, pa asocijativnost važi i za Lorencove transformacije. 4. Iz (1.1) sledi da je inverzni element Λ 1 = g 1 Λ T g. On je takodje Lorencova transformacija jer je (Λ 1 ) T gλ 1 = g. 4

Time smo pokazali da Lorencove transformacije čine grupu. Uslov (1.1) u komponentnoj notaciji ima oblik Za ρ = σ = 0 iz ove jednačine sledi odnosno Odavde je (Λ 0 0) 1, odnosno Λ µ ρg µν Λ ν σ = g ρσ. (1.) Λ µ 0g µν Λ ν 0 = 1, (1.3) ( ) Λ 0 3 ( ) 0 Λ i 0 = 1. (1.4) i=1 Λ 0 0 1 ili Λ 0 0 1. (1.5) Ukoliko je Λ 0 0 1 ovakve Lorencove transformacije ne menjaju smer vremena i nazivaju se ortohronim Lorencovim transformacijama. Transformacije za koje je Λ 0 0 1 menjaju smer vremena. Uzimanjem determinante od Λ T gλ = g dobijamo det Λ = ±1. (1.6) Zanimljivo, determinanta Lorencovih transformacija je ili 1 (prave Lorencove transformacije) ili 1. Pod relativističkom kovarijantnošću neke teorije podrazumeva se njena kovarijantnost ne na celu Lorencovu grupu, već samo na prave ortohrone Lorencove transformacijame, za koje važi: det Λ = 1, Λ 0 0 1. (1.7) Bustovi i rotacije zadovoljavaju ovaj uslov i ove transformacije su podgrupa cele Lorencove grupe. Vidimo da se Lorencova grupa sastoji iz četiri dela kako je prikazano u sledećoj tabeli: det Λ Λ 0 0 Oznaka Naziv +1 1 L + Prave ortohrone +1 1 L + PT koset 1 1 L P koset 1 1 L T koset Lorencova grupa je nepovezana, sastoji se od četiri disjunktna podskupa saglasno det Λ = ±1 i vrednosti Λ 0 0. Nije moguće neprekidnom transformacijom preći iz jedne komponente u drugu. Transformacije za koje je det Λ = 1 čine podgrupu SO(1, 3, R). Prave ortohrone Lorencove transformacije, L + takodje čine podgrupu. Ona je invarijantna podgrupa 1, dok su druge komponente koseti. 1 Za podgrupu H grupe G kaže se da je invarijantna ako ( g G) ghg 1 = H. Ako grupa sem trivijalnih (same sebe i jediničnog elementa) ne sadrži druge invarijantne podgrupe ona se naziva prostom. Ukoliko ni jedna invarijantna podgrupa nije Abelova grupa je poluprosta. 5

Prave orthorone Lorencove transformacije L + se sastoji od rotacija i bustova. Rotacije su ( ) 1 0 Λ =, R 0 R n (ϕ) n (ϕ) SO(3). (1.8) Rotacije su podgrupa Lorencove grupe. Matrica busta duž x ose je γ βγ 0 0 Λ µ ν = βγ γ 0 0 0 0 1 0. (1.9) 0 0 0 1 Neke osobine Lorencove grupe: Elementi iz L + u okolini jedinice su Λ µ ν = δ µ ν + ω µ ν L +. Iz Λ T gλ = g sledi ω µν = ω νµ (Problem Book...,problem 1.). L + je šestoparametarska podgrupa. Može se pokazati da je ona Lijeva grupa. L + je nekompaktna grupa (prostor parametara bustova je nekompaktan 0 v < c, ne sadrži limes v c). L + je dvostruko povezana. Grupu rotacija, SO(3) čine 3 3 matrice R koje zadovoljavaju uslove R T R = 1 i det R = +1. SO(3) je podgrupa Lorencove grupe. Proizvoljna rotacija R ij (ϕ, n) = cos ϕδ ij + (1 cos ϕ)n i n j sin ϕɛ ijk n k (1.10) je zadata sa uglom rotacije ϕ, 0 ϕ π i ortom n oko koga je izvršena rotacija. Rotaciona grupa je troparametarska. Prostor parametara SO(3) grupe π kugla tj. kugla poluprečnika π kod koje su antipodi identifikovani. Ova identifikacija je zbog R(π, n) = R(π, n). 6

SO(3) je povezana i to dvostruko. Postoje dve klase puteva: O slika 1 slika Put prikazan na slici 1 može biti kontrakovan u tačku neprekidnom transformacijom, dok put prikazan na slici ne može. Dakle, prva fundamentalna grupa SO(3) grupe je π 1 (SO(3)) = Z. Elementi Z su {g, g = e}, gde je e jedinični element grupe. Univerzalna natkrivajuća grupa za grupu SO(3) je SU(), tj. SO(3) = SU(). Može biti pokazano da za svaku višestruko povezanu grupu G postoji jedna grupa Ḡ koja je prosto povezana, homomorfna sa G i ne sadrži nijednu podgrupu koja je homomorfna sa G. Ona se naziva univerzalno natkrivajućom grupom. Grupe SU() i SO(3) su homomorfne. Prostor parametara grupe SU() je trosfera, S 3. Ireducibilne reprezentacije univerzalno natkrivajuće grupe su jednoznačne, dok su ireducibilne reprezentacije SO(3) dvoznačne ili jednoznačne. Veza izmedju SL(, C) i L + Četvorovektoru x µ pridružićemo hermitsku matricu X = x µ σ µ gde je σ µ = (1, σ). σ = (σ 1, σ, σ 3 ) su Paulijeve matrice. Uvešćemo i σ µ = (1, σ). Matrice σ µ su normalizovane prema Tr( σ µ σ ν ) = g µν. Matrica X je ( ) X = X x0 + x = 3 x 1 ix. (1.11) x 1 + ix x 0 x 3 Množeći X = x µ σ µ sa σ ν i uzimanjem traga dobijamo Lako se vidi da je det X = x. Transformacije oblika x µ = 1 Tr(X σµ ). (1.1) X X = SXS gde je S SL(, C) ne menjaju dužinu četvorovektora det X = det X x = x. Dve grupe G i G su homomorfne ako postoji preslikavanje svakog elementa grupe G u element iz G koje čuva množenje u grupi. 7

Iz X = x µσ µ sledi x µ = 1 Tr( σµ X ) = 1 Tr ( σ µ Sσ ν S ) x ν = Λ µ νx ν, (1.13) tj. Λ µ ν = 1 Tr ( σ µ Sσ ν S ). (1.14) Ovo je veza izmedju grupa SL(, C) i L +. Lako se pokazuje da je S(Λ 1 )S(Λ ) = S(Λ 1 Λ ), (1.15) ali je ovo preslikavanje 1; Lorencovoj transformaciji Λ odgovaraju dve matrice ±S is SL(, C). Grupe L + i SL(, C) su homomorfne, L + = SL(, C)/Z. Grupa SL(, C) je natrkrivajuća za L +. Zadatak: Proizvoljnu matricu S SL(, C) možemo napisana kao proizvod jedne unitarne i jedne hermitske matrice, S = UH. Neka je ( ) e S = e iθσ3 / iθ/ 0 = 0 e iθ/ (1.16) unitarna matrica. Pokazati da je odgovarajuća matrica Lorencove transformacije rotacija oko z ose. Slično, ako je S čisto hermitska matrica S = e ϕσ3 / naći odgovarajuću matricu Λ. Grupa L + je prosta. Zanima nas da klasifikujemo ireducibilne reprezentacije L + grupe, tj. njene univerzalno natkrivajuće grupe SL(, C). Prvo ćemo naći algebru Lorencove grupe i to na dva načina. Prvi je u reprezentaciji klasičnog skalarnog polja. Klasično sklarno polje se (V. Radovanović, Problem Book in Quantum Field Theory, Springer, 006 zadatak 1.13) pri Lorencovim transformacijama transformiše na sledeći način ϕ (x = x + δx) = ϕ(x). 8

Varijacija forme polja je δ 0 ϕ(x) = ϕ (x) ϕ(x) = ϕ(x δx) ϕ(x) = δx µ µ ϕ odnosno δ 0 ϕ(x) = ω µν x ν µ ϕ = 1 ωµν (x ν µ x µ ν )ϕ. Sa druge strane je odakle je δ 0 ϕ(x) = i ωµν M µν ϕ M µν = i(x µ ν x ν µ ). (1.17) Ovo su generatori Lorencove grupe u prostoru klasičnog skalarnog polja. Reprezentovali smo ih diferencijalnim operatorima. Izračunajmo komutator izmedju dva generatora: Lako se vidi da je pa je [M µν, M ρσ ] = i [x µ ν x ν µ, x ρ σ x σ ρ ]. (1.18) [x µ ν, x ρ σ ] = g νρ x µ σ g σµ x ρ ν, (1.19) [M µν, M ρσ ] = i (g σµ M νρ + g ρν M µσ g ρµ M νσ g σν M µρ ). (1.0) Dobili smo komutacione relacije Lorencove algebre. Drugi način Komutator izmedju dva generator Lorencove grupe smo našli u konkretnoj reprezentaciji. Izračunajmo ga sada u proizvoljnoj reprezentaciji. Element iz L + ima oblik U(Λ) = e i Mµνωµν, gde su U(Λ), odnosno M µν element Lorencove grupe,odnosno generatori u nekoj reprezentaciji. Kako se radi o reprezentaciji to mora važiti U 1 (Λ)U(Λ )U(Λ) = U(Λ 1 Λ Λ). Uzmimo da je transformacijia infinitezimalna. Lako se vidi da je Λ = I + ω (Λ 1 Λ Λ) µ ν = (Λ 1 ) µ ρ (δ ρ σ + ω ρ σ) Λ σ ν = δ µ ν + (Λ 1 ) µ ρλ σ νω ρ σ (1.1) pa imamo ( U 1 (Λ) 1 i ) M ρσ ω ρσ U(Λ) = 1 i (Λ 1 ) µ ρλ σ νω ρ ν σm µ U 1 (Λ)M ρσ U(Λ) = (Λ 1 ) µρ Λ σ ν νm µ = (Λ 1 ) ρ µ Λ σ νm µν = Λ ρ µλ σ νm µν. (1.) 9

Vidi se da je operator M ρσ tenzor drugog reda. Sada ćemo uzeti da je transformacija Λ infinitezimalna (1 + i ω µνm µν ) M ρσ (1 i ω µνm µν ) = Λ ρ µλ σ νm µν = (δ ρ µ + ω ρ µ) (δ σ ν + ω σ ν) M µν = M ρσ + ω σ νm ρν + ω ρ µm µσ, pa je i ω µν [M µν, M ρσ ] = ω µν M ρν g σµ + ω µν M νσ g ρµ = 1 (M ρν g σµ + M νσ g ρµ M ρµ g σν M µσ g ρν ) ω µν. Dakle: [M µν, M ρσ ] = i (g σµ M νρ + g ρν M µσ g ρµ M νσ g σν M µρ ), (1.3) dobili smo komutacione relacije Lorencove algebre. Definišimo nove generatore J i = 1 ε ijkm jk, K i = M 0i ; (1.4) J i su generatori rotacija, a K i bustova. Ako dalje definišemo operatore komutacione relacije (1.3) postaju M i = 1 (J i + ik i ), N i = 1 (J i ik i ) (1.5) [M i, M j ] = iε ijk M k [N i, N j ] = iε ijk N k [M i, N j ] = 0. (1.6) Dobili smo (pomalo nelegalno jer smo napravili kompleksne kombinacije generatora, tj. kompleksifikovali smo algebru) dve su() algebre tj. so(1, 3) C = su() su(). Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe klasifikovaćemo preko Kazimirovih operatora M = N = 3 (M i ), i=1 3 (N i ). (1.7) i=1 koji potiču od ove dve SU() grupe. One daju kvantne brojeve j 1, j, tj. Kazimirovi operatori se svode na brojeve: M j 1 (j 1 + 1) N j (j + 1). (1.8) 10

Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe indeksiramo sa (j 1, j ). Pri Lorensovim transformacijama klasična polja ϕ r (x) transformišu se prema ϕ r(x = Λx) = S rs ϕ s (x). (1.9) Njihovi pandani, kvantna polja φ r (x) se pri Lorentz-ovim transformacijama transformišu prema U(Λ)φ r (x)u 1 (Λ) = S 1 rs (Λ)φ s (Λx). Za skalarno polje S = I, za Dirakovo S(Λ) = e iωµνσµν /4, dok je za vektorsko S = Λ µ ν. Polja se transformišu po reprezentacijama Lorencove grupe: (0, 0) skalarno polje ( 1, 0) (0, 1 ) Dirakovo polje ( 1, 1 ) elektromagnetno polje ( 1, 0) levo Vajlovo polje (0, 1 ) desno Vajlovo polje. Ireducibilne rerezentacije za koje je j 1 + j ceo broj su jednoznačne, dok su one za koje je to poluceo broj dvoznačne. Stanja unutar ireducibilne reprezentacije (j 1, j ) klasifikujemo preko (j 1 ) 3 = j 1, j 1 1,..., j 1 i (j ) 3 = j, j 1,..., j. Dimenzija reprezentacije (j 1, j ) je (j 1 + 1)(j + 1); ove reprezentacije nisu unitarne jer je, L + nekompaktna grupa. Zadatak: Pokazati da je definiciona reprezentacija Lorencove grupe ( 1, 1) reprezentacija. Iz (1.6) se vidi da je maksimalan broj komutirajućih generatora te je rang Lorencove algebre. Zadatak: Pokazati da su 1M 4 µνm µν i 1 8 ɛµνρσ M µν M ρσ Kazimirovi operatori Lorencove grupe. 1. Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove transformacije Poenkareove transformacije su izometrije prostora Minkovskog i sastoje se od Lorencovih transformacija i translacija x µ = (Λ, a)x µ = Λ µ νx ν + a µ, tako da je (Λ, a) P. Lako se vidi da je (Λ, a) = (I, a)(λ, 0), gde je (I, a) translacija a (Λ, 0) Lorencova transformacija. Poenkareova grupa P je desetoparametarska Lijeva grupa. Lorencove transformacije (Λ, 0) su podgrupa Poenkareove grupe. Translacije T 4 (tj. (1, a)) su invarijantna Abelova podgrupa, pa je Poenkareova grupa semidirektni proizvod P = T 4 O(1, 3, R). Poenkareova grupa kao i Lorencova se sastoji od četiri disjunkntne komponente P +, P +, P, P. Topološke osobine P +: 11

1. nekompaktna jer su L + i T 4 nekompaktne;. dvostruko povezana; 3. niti prosta niti poluprosta. Pri infinitezimalnim Poenkareovim transformacijama koordinate se transformišu prema x µ = x µ + δx µ = x µ + ω µ νx ν + ɛ µ, (1.1) gde su ω µν parametri Lorencovih transformacija, a ɛ µ parametri translacija. Proizvoljan element iz P + je U(ω, ɛ) = e iɛµp µ i Mµνωµν. Generator translacija je četvoroimpuls P µ, a Lorencovih transformacija M µν. Nadjimo sada komutacione relacije u Poenkareovoj algebri. Odredimo generatore translacija u reprezentaciji klasičnog skalarnog polja. Varijacija forme klasičnog skalarnog polja pri translaciji je Dakle, četvoroimpuls je δ 0 φ = δx µ µ φ (1.) = ɛ µ µ φ (1.3) = iɛ µ P µ φ (1.4) P µ = i µ = (i t, i ). Koristeći (1.17) lako se nalazi algebra Poenkareove grupe: [P µ, P ν ] = 0 [M ρσ, P µ ] = [i(x ρ σ x σ ρ ), i µ ] = i (g µσ P ρ g µρ P σ ) [M µν, M ρσ ] = i (g σµ M νρ + g ρν M µσ g ρµ M νσ g σν M µρ ). (1.5) Zadatak: Prepisati Poenkareovu algebru koristeći spin J i, impuls P i, hamiltonijan H, generatore bustova K i. Primetite da sa hamiltonijanom komutiraju komponente spina i impulsa. Oni su konstante kretanja. Da bi klasifikovali unitarne ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe moramo naći Kazimirove operatore. Ove reprezentacije Poenkareove grupe su beskonačno dimenzione, jer je grupa nekompaktna. Definišimo vektor Pauli-Lubanskog W µ = 1 εµνρσ M νρ P σ. (1.6) Može se pokazati da važi (zadatak 1.14) [ P, M µν ] = [ P, P µ ] = 0 [ W, M µν ] = [ W, P µ ] = 0, (1.7) 1

gde je P = P µ P µ = m. Iz relacija (1.7) sledi da su P i W Kazimirovi operatori grupe P + i oni klasifikuju njene ireducibilne reprezentacije. Po Šurovoj lema oni se svode na brojeve u datoj ireducibilnoj reprezentaciji. Ti brojevi klasifikuju reprezentaciju. Jednočestična stanja se transformišu po reprezentacijama Poenkareove grupe. Da bi klasifikovali vektore unutar jedne ireducibilne reprezentacije moramo da odredimo skup komutirajućih operatora, tj. treba da Kazimirove operatore P, W dopunimo medjusobno komutirajućim operatorima. Operatori impulsa komutiraju medjusobno [P µ, P ν ] = 0, što znači da ih možemo meriti simultano. Vektori stanja čestice su p, σ, gde je p četvoroimpuls (koji zadovoljava p = m ), a σ je skup dopunskih kvantnih brojeva. Vektori stanja su svojstveni vektori operatora impulsa P µ p, σ = p µ p, σ. Razmatrajmo sada masene čestice. U sistemu mirovanja impuls je dok su komponente vektora Pauli-Lubanskog W 0 p, σ = 0 p µ = (m, 0, 0, 0), (1.8) W i p, σ = 1 εijk0 M jk m p, σ = 1 εijk M jk m p, σ = mj i p, σ. Operatori J i = 1 ε ijkm jk su generatori rotacija i zadovoljavaju komutacione relacije su() algebre [J i, J j ] = iε ijk J k. Dakle, J je spin čestice. U sistemu mirovanja masene čestice komponente vektora Pauli-Lubanskog su W µ = (0, mj) (1.9) pa je kvadrat vektora Pauli-Lubanskog W = m J. Kazimirovi operatori P i W se svode na brojeve P p, σ = m p, σ W p, σ = m J p, σ = m s(s + 1) p, σ. (1.10) Ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe su dakle klasifikovane masom i spinom, (m, j). Translacije deluju na stanja prema U(I, a) p, σ = e ip µ a µ p, σ = e ipµ a µ p, σ, dok Lorencove transformacije na stanja deluju prema U(Λ, 0) p, σ = σ Q σ σ p, σ, 13

gde je p µ = Λ µ νp ν, dok je Q unitarna matrica. Pokažimo da je p impuls stanja U(Λ) p, σ : P µ U(Λ) p, σ = U(Λ)U 1 (Λ)P µ U(Λ) p, σ = U(Λ)Λ µ ρp ρ p, σ = Λ µ ρp ρ U(Λ) p, σ. (1.11) Kako je p = p = m to Lorencove transformacije ne izbacuju impuls iz potprostora sa fiksnom vrednošću p. Potprostor stanja { p, σ ; p = m, p 0 > 0} je invarijantan pod dejstvom Poenkareovih transformacija P +, ali je on reducibilan. Da bi ga razbili na ireducibilne komonente moramo da uzmemo drugi Kazimirov operator, W. Iz [ W, W µ ] = 0 i [Wµ, W ν ] 0 sledi da W i jedna komponenta vektora Pauli-Lubanskog mogu biti simultano dijagonalizovane. Uzećemo treću komponentu vektora Pauli-Lubanskog W 3. Rezimirajmo: Skup komutirajućih operatora je P, W, P µ, W 3, p 0 / p 0. Masa i spin klasifikuju ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe. Jednočestična stanja se klasifikuju impulsom p i projekcijom spina na z osu; W 3 = ms 3. Jednočestični vektori stanja su m, s; p, s 3 U sistemu mirovanja stanja zadovoljavaju W 3 p, s 3 = ms 3 p, s 3 gde je p = (m, 0) impuls čestice u sistemu mirovanja. W p, s 3 = m s(s + 1) p, s 3, (1.1) 14

Sada ćemo razmotriti reprezentacije Poencareove grupe u slučaju bezmasenih čestica, p = 0. Uzećemo da je 3 W = 0. Kako je W µ P µ = 0 to mora biti W µ = λp µ. Lako se vidi da je λ = W 0 P 0 = J p p 0 = J p p helicitet. Helicitet je dobar kvantni broj za bezmasene čestice jer je invarijantan na Lorencove transformacije. Za masene čestice on nije invarijantno definisan. Npr. neka elektron impulsa p ima helicitet +1/. Lorencovim bustom možemo preći u sistem u kojem je impuls ovog elektrona p pa mu je helicitet 1/. Stanja bezmasenih čestica su p, λ. Vektor Pauli-Lubanskog W µ je generalizacija spina i često se naziva kovarijantni spin. Do sada smo razmatrali dve klase IR Poencareove grupe: 1. p = m p > 0, 0 = +1 p 0 U sistemu mirovanja bazu p, s 3 čini (s + 1) vektor.. p = 0, p µ 0, W = 0 Postoji jedno helicitetno stanje p, λ. Ako je teorija invarijantna na parnost onda postoje dva nezavisna helicitetna stanja. Npr. za foton λ = ±1. Pored ove dve klase postoji još četiri moguće reprezentacije od P + koje su nefizičke: 1. p = m > 0, p 0 p 0 = 1, negativno-energetske masena stanja.. p = 0, p 0 < 0, negativno-energetske bezmasena stanja.. 3. p µ = 0, vakuum. 4. p < 0, tzv. tahionska stanja (stanja imaginarne mase) koja su nefizička. 1.3 Vignerov metod Pomoću Vignerovog metoda nalaze se ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe. Neka je p fiksni četvoroimpuls (tzv. standardni impuls). Proizvoljan impuls p se dobija iz p transformacijom L p p p = L p p p. Ova Lorencova transformacija nije jednoznačno definisana jer transformacija L p p l takodje zadovoljava gornji uslov ukoliko je l p = p rotacija oko p. Ukoliko zahtevamo da se dopunski kvantni broj σ ne menjaja U(L p p ) p, σ = p, σ (1.13) 3 Kasnije ćemo videti da ako bi W < 0 spin bi bio neprekidan što je fizički neprihvatljivo. 15

gornja transformacija je fiksirana i naziva se Vignerovim bustom. Lako se vidi da je U(Λ) p, σ = U(Λ)U(L p p ) p, σ gde je R = L 1 p p ΛL p p tzv. Vignerova rotacija i p µ = Λ µ νp ν. = U(L p p)u(l 1 p p )U(Λ)U(L p p) p, σ = U(L p p)u(l 1 p p ΛL p p) p, σ = U(L p p)u(r) p, σ, (1.14) Transformacije R ostavljaju standardni impuls p invarijantnim i one čine podgrupu Poenkareove grupe. Ova podgrupa se naziva mala grupa. Zadatak: Pokazati da Wignerove rotacije čine grupu. Mala grupa je relevantni deo Poenkareove grupe za klasifikaciju ireducibilnih reprezentacija. Iz (1.14) sledi U(Λ) p, σ = U(L p p) σ D σ σ(r) p, σ = σ D σ σ(r) p, σ, odnosno U(a, Λ) p, σ = e ip a σ D σ σ(r) p, σ, (1.15) gde je D σ σ(r) matrični element reprezentacije male grupe. Unitarne ireducibilne reprezentacije P + su dobijene preko unitarnih ireducibilnih reprezentacija male grupe. Ove transformacije indukuju reprezentacije cele Poenkareove grupe. Dalje ćemo posebno razmatrati masene i bezmasene čestice: Masene čestice Kao što smo rekli za standardni impuls uzećemo p µ = (m, 0, 0, 0). Mala grupa je SO(3) 16

(zbirka) m 0 0 0 = ( 1 0 0 R ) m 0 0 0, (1.16) gde R SO(3). Vignerov bust L p p je čist bust iz sistema mirovanja u sistem gde čestica ima impuls p. D (s) (R) je (s + 1) dimenziona reprezentacija SO(3) (tj. njene univerzalno natkrivajuće grupe SU()). Slučaj bezmasenih čestica p = 0 i p 0 > 0 je različit od masenog jer ne možemo preći u sistem mirovanja. Za standardni impuls uzećemo p = (k, 0, 0, k), što odgovara bezmasenoj čestici koja se sa impulsom k kreće duz z ose. Malu grupu čine one transformacije koje ne menjaju standardni impuls; dakle tj. ω ν µ p ν = 0 0 ω 01 ω 0 ω 03 k 0 ω 01 0 ω 1 ω 13 0 ω 0 ω 1 0 ω 3 0 = 0 0, ω 03 ω 13 ω 3 0 k 0 odakle dobijamo ω 03 = 0, ω 01 = ω 13, ω 0 = ω 3 dok je ω 1 proizvoljno. Ovi uslovi šest generatora Lorencovih transformacija redukuju na tri: 1 ω µνm µν = ω 01 (M 01 + M 13 ) + ω 0 (M 0 + M 3 ) + ω 1 M 1. (1.17) Generator M 1 je generator rotacije oko z ose. Iz prethodnih uslova sledi da postoji još dva generatora: M 01 + M 13 i M 0 + M 3. Primetimo da je W 1 = (M 0 + M 3 )k, W = (M 01 + M 13 )k i W 0 = M 1 k. Lako se pokazuje da važi odnosno [W 1, W ] = 0, [W 0 /k, W 1 ] = iw, [W 0 /k, W ] = iw 1, [M 0 + M 3, M 01 + M 13 ] = 0, [J 3, M 0 + M 3 ] = i(m 01 + M 13 ), [J 3, M 01 + M 13 ] = i(m 0 + M 3 ). (1.18) Ove komutacione relacije definišu E() algebru. E() je euklidska grupa; sastoji se od rotacije oko z ose i translacije u xy ravni (zbirka, zadatak 1.18). Komutacione relacije E grupe su [E 1, E ] = 0 [J 3, E 1 ] = ie [J 3, E ] = ie 1 (1.19) 17

Vidi se da je J 3 = W 0 /k = M 1, E 1 = W /k = M 01 + M 13, E = W 1 /k = M 0 + M 3. Zadatak: Pokazati da su P 1 = i x, P = i ( y, L z = i y x x ) (1.0) y generatori E() grupe. Pokazati takodje da je P1 + P Proizvoljan element iz E() grupe je oblika Kazimirov operator. e iθj 3 e i(α 1E 1 +α E ), (1.1) gde si θ, α 1 i α parametri. Reprezentacije klasifikujemo sa E 1 + E i J 3. Operatori E 1 i E komutiraju i mogu biti simultano dijagonalizovani E 1 a 1, a = a 1 a 1, a svojstvene vrednosti ovih operatora klasifikuju vektore. Iz sledi da postoji kontinum svojstvenih stanja za proizvoljno θ koji zadovoljavaju gde je E a 1, a = a a 1, a. (1.) e iθj 3 E 1 e iθj 3 = E 1 cos θ E sin θ e iθj 3 E e iθj 3 = E 1 sin θ + E cos θ (1.3) θ; a 1, a, (1.4) E 1 θ; a 1, a = (a 1 cos θ a sin θ) θ; a 1, a E θ; a 1, a = (a 1 sin θ + a cos θ) θ; a 1, a, (1.5) θ; a 1, a = e iθj 3 a 1, a (1.6) Kako za bezmasene čestice niko nije observirao kontinualni stepen slobode θ mora biti a 1 = a = 0. Stanja su onda klasifikovana sa svojstvenom vrednošću generatora rotacije oko z ose, J 3 J 3 λ = λ λ. (1.7) Ove reprezentacije su jednodimenzione e iθj 3 λ = e iλθ λ. (1.8) Ovde je θ ugao rotacije oko z ose; λ je ceo ili poluceo broj da bi rotacija za π bila ±1. 18

Do istog zaključka možemo doći jezikom komponenti vektora Paula Lubanskog imajući na umu vezu komponenti W 1 i W sa generatorima E 1, E. Iz 4 w µ p µ = 0 sledi (w 0 w 3 )k = 0 tj. w 0 = w 3. Imamo dve mogućnosti w µ = (w 0, w 1 0, w 0, w 0 ) ili w µ = (w 0, 0, 0, w 0 ). U prvom slučaju w = (w 1 ) (w ) < 0 vektori u reprezentaciji su neprekidni 5. To bi značilo da postoji kontinum bezmasenih štanja. Ovu mogućnost odbacujemo kao nefizičku. Dakle, mora biti w µ = (w 0, 0, 0, w 0 ). Helicitet je odredjen sa w 0 p 0 = λ. Malu grupu redukujemo na rotacije oko z ose tj. na SO() U(1). Ireducibilne reprezentacije su jednodimenzione e iλθ, λ = 0, ±1, ± 1,... Zaključak: Reprezentacije grupe male grupe E su: a) beskonačno dimenzione w 1, w 0; ovo odbacujemo b) konačno dimenzione u slučaju w = 0. One su unitarne i jednodimenzionalne. Dakle, za bezmasene čestice je W 0 p, λ = λk p, λ W 1 p, λ = W p, λ = 0 Lorencova transformacija Λ deluje na stanje p, λ prema W 3 p, λ = λk p, λ (1.9) U(Λ) p, λ = e iθ(p,λ)λ Λp, λ. (1.30) Vidimo da nema promene heliciteta čestice. U slučaju masene čestica spina s pojavljuje s + 1 stanje odredjeno sa kvantnim brojem s 3. Za masene čestice može da se koristi i helicitetni bazis; helicitet takodje uzima vrednosti λ, λ + 1,..., λ. Kod bezmasenih čestica situacija je drugačija. Bezmasena čestica može biti samo u jednom helicitetnom stanju λ. Apsolutna vrednost heliciteta se naziva spinom čestice s = λ. Parnost operator impulsa prebacuje u P, tj. menja mu znak, a operator spina se ne menja. Ovo znači da parnost menja helicitet čestice λ λ. Iz ovog razloga ukoliko je teorija invarijantna na parnost za četicu spina s imaćemo dva helicitetna stanja p, λ = ±s. To se dešava u elektrodinamici, gde su stanja fotona p, ±1. 4 Opet pišemo na stanjima. 5 (W 1 ) + (W ) je Kazimirov operator u E() algebri. 19

Unutrašnje simetrije; kvark model.1 Klasifikacija interakcija i čestica Čestice možemo podeliti u leptone i hadrone kao i čestice koje prenose interakciju tzv. gauge (kalibracione) bozone. Leptoni su čestice bez strukture koje učestvuju u slabim, a ne učestvuju u jakim interakcijama. Njihov spin je 1/. Postoji šest leptona: elektron, elektronski neutrino, mion, mionski neutrino, taon i taonski neutrino. čestica masa spin e 1 0, 51 MeV ν e < 10eV 1 µ 105 MeV 1 ν µ < 0, 16MeV 1 τ 1, 8 GeV 1 ν τ < 18MeV 1 Dugo se verovalo da su neutrini bezmasene čestice. Po novijim rezultatitam oni ipak imaju malu ali nenultu masu: m e < 10eV, m νµ < 0, 16 MeV, m ντ < 18 MeV. Mion i taon su čestice vrlo slične elektronu, samo veće mase. Oni su nestabilni; mion se raspada na elektron prema µ e + ν e +ν µ. Svaki lepton ima i svoju antičesticu. Antičestica elektronu je pozitron, e +. Takodje µ + je antičestica od µ, a τ + od τ. Ove antičestice imaju sve kvantne brojeve iste kao i čestice, sem što imaju naelektrisanje suprotnog znaka i suprotan leptonski broj. Za razliku od njih antineutrini i neutrini se razlikuju po znaku heliciteta. Leptoni obrazuju tri familije: elektron i njegov neutrino su prva familja, mion i minoski neutrino čine drugu familiju a taon i taonski neutrino su treća familija. Hadroni su mezoni i barioni i učestvuju i u jakim i u slabim interakcijama. Hadrona ima puno, oko 00 300, pa ne mogu biti fundamentalne čestice. Videćemo kasnije da su oni vezana stanja kvarkova; preciznije mezoni su kvark-antikvark stanje a barioni su sastavljeni od tri kvarka. U tablici je dato nekoliko mezona i bariona. Mezoni su bozoni dok su barioni fermioni. U sledećoj tabeli dato je nekoliko mezona Mezoni čestica masa spin π ±, π 0 138 MeV 0 K +, K, K 0, K0 439 MeV 0 η 0 500 MeV 0 ρ ±, ρ 0 770 MeV 1 ω 1 π + i π mezoni su jedno drugom antičestice; razlikuju se po znaku naelektrisanja. Neutralni π 0 mezon je sam sebi antičestica. Antičestica od K + mezona je K mezon. U narednoj tabeli je dato nekoliko bariona: Barioni 0

čestica masa spin 1 p 938 MeV n 939 MeV 1 Λ 0 1100 MeV 1 Σ ±, Σ 0 1180 MeV 1 Ξ 0, Ξ 1190 MeV 1 Ω 1600 MeV 3 ++, +, 0, 136 MeV 3 Antičestica protona je antiproton, p ; razlikuju se po znaku naelektrisanja. Antineutron je neutralan kao i neutron; oni se razlikuju po znaku magnetnog dipolnog momenta. Magnetni dipolni moment neutrona je µ = 1, 913 e m pc. To što neutralna čestica ima magnetni moment sugeriše da je sastavljena od naelektrisanih čestica. Zanimljivo je da Σ nije antičestica od Σ +. Pored leptona i hadrona postoje čestice koje su prenosnici interakcija. Foton je prenosilac elektromagnetne interakcije; W ± i Z 0 gauge bozoni prenose slabu interakciju. Jaku interakciju prenose gluoni. U narednim lekcijama ćemo korak po korak videti da leptoni, kvarkovi i gauge bosoni elementarne čestice. Leptona i kvarkova ima po šest; oni su fermioni spina 1/. Kvarkovi su: up (gornji), down (donji), strange (čudni), charmed (šarmirani), top (vrh) and boottom (dno). Hadroni su vezana stanja kvarkova; npr. proton se sastoji od dva u kvarka i jednog d kvarka. U prirodi postoji četiri tipa interakcija: gravitaciona, elektromagnetna, jaka i slaba. Njihove osobine su sumirane u tablici: vrsta domet intenzitet dejstvo prenosnik gravitacione 10 39 sve čestice graviton 1 elektromagnetne naelektrisane čestice foton 137 jake 10 15 m 1 hadroni gluoni slabe 10 15 m 10 5 hadroni i leptoni W ±, Z Jaka interakcija drži kvarkove unutar hadrona i dominantna je u sudarima u kojima učestvuju samo hadroni. Slaba interakcija se javlja izmedju kvarkova ali i izmedju leptona. Procesi koji uključuju neutrina su uvek slabi procesi. Vektorski bozoni W ±, Z prenose slabu interakciju. Za jake interakcije pre bi se moglo reći da su brze a slabe spore jer je srednje vreme života čestica koje se raspadaju po jakoj interakciji τ (10 10 3 )s a po slaboj τ (10 7 10 13 )s. Elektromagnetna interakcija je interakcija izmedju naelektrisanih čestica. Prenosnik interakcije je foton. Spin gauge bozona je 1; to su vektorske čestice.. Simetrija Grupa simetrije u relativističkoj kvantnoj fizici je direktni proizvod Poenkareove i neke unutrašnje simetrije, P G. Invarijantnost na Poenkareove transformacije P + daje masu i spin čestica. Unutrašnja grupa simetrije G je kompaktna Lijeva grupa. Proizvoljan element iz G je U = e it a θ a 1

gde su T a genetarori u odgovarajućoj reprezentaciji, a θ a realni parametri. Komutacione relacije izmedju generatora su [T a, T b ] = if ab ct c, gde su f ab c strukturne konstante; one ne zavise od reprezentacije. Pri transformaciji U stanja fizičkih sistema se transformišu prema ψ U ψ ψ. Da bi se pri transformacijama očuvale verovatnoće prelaza ψ ψ = ψ ψ (.1) operatori U su ili unitarni ili antiunitarni 6. Ovo je Vignerov teorem. Stanje ψ zadovoljava Šredingerovu jednačinu i ψ t Da bi i transformisano stanje zadovoljavalo jednačinu istog oblika mora važiti = Hψ. (.) i ψ t = Hψ (.3) H = U 1 HU. (.4) Pretpostavili smo da je U = 0. Kažemo da je transformacija U simetrija sistema. Iz (.4) sledi t (uzimamo da su parametri infinitezimalni) (1 it a θ a ) H (1 + iθ a T a ) = H [T a, H] = 0, (.5) tj. generatori simetrije komutiraju sa Hamiltonijanom. Ako je n svojstveno stanje Hamiltonijana sa energijom E n tj. H n = E n n onda je U n takodje svojstveno stanje sa istom energijom H(U n ) = E n (U n ). Grupa simetrije dakle pravi degeneraciju stanja tj. multiplete. Kako je grupa simetrije P G to [T a, P µ ] = 0 [T a, M µν ] = 0. Zaključujemo da čestice u multipletima imaju istu masu i spin. 6 Ovo znači da su generatori hermitski operatori.

.3 SU() i izospin Jake interakcije su približno nezavisne od nalektrisanja nukleona. Preciznije hamiltonijan H s jakih interakcija je invarijantan na izospinske odnosno SU() transformacije tj. [H s, I a ] = 0, (.6) gde su I a generatori SU() grupe. Izospin i spin nemaju nikakve veze, sem istu matematiku sadržanu u SU() grupi. Generatori SU() grupe u fundamentalnoj reprezentaciji su I a = σ a / gde su σ a Paulijeve matrice σ 1 = ( 0 1 1 0 ) σ = ( 0 i i 0 Lako se vidi da su strukturne konstante simbol Levi-Čivita Kazimirov operator je I = a (I a) tj. ) [I a, I b ] = iε abc I c. [ I, I a] = 0 σ 3 = ( 1 0 0 1 ). (.7) tako da njegove svojstvene vrednosti klasifikuju ireducibilne reprezentacije grupe SU(). Rang su() algebre je 1 što znači da se skup medjusobno komutirajućih generatora sastoji samo od jednog elementa. Najčešće se uzima da je to I 3. Iz sledi da postoji zajednički svojstveni bazis ova dva operatora: [I, I 3 ] = 0 (.8) I I, I 3 = I(I + 1) I, I 3 I 3 I, I 3 = I 3 I, I 3, gde je I = 0, 1/, 1, 3/,... ; I 3 = I, I + 1,..., I. Kvantni broj I klasifikuje ireducibilne reprezentacije a I 3 vektore stanja unutar jedne ireducibilne reprezentacije. Dimenzija ireducibilne reprezentacije (I) je dim ( D (I)) = I + 1. U dvodimenzionalnoj reprezentaciji, I = 1/ bazisni vektori su: 1, 1 ( ) 1 1 ( 0 = p = 0, 1 = n = 1 Mi smo ih identifikovali sa protonom i neutronom. Dakle, nukleoni imaju izospin 7 1/ dok je projekcija izospina na z osu, I 3 za proton +1/ a za neutron 1/. Proton i neutron su izospinska stanja jedne čestice-nukleona. Proizvoljan vektor u dvodimenzionoj reprezentaciji ( ) ξ1 ξ i = (.10) 7 Koncept izospina uveo je Hajzenberg. ξ ) (.9) 3

pri SU() transformacijama se transfomiše po ξ ξ = e i σ θ ξ. (.11) Koncept izospina može biti proširen na druge hadrone. Triplet π mezona je bazis trodimenzione reprezentacije 1, +1 = π + 1, 1 = π 1, 0 = π 0. Slično je i za triplet (ρ, ρ 0, ρ + ) i (Σ, Σ 0, Σ + ). rezonace su kvartet SU() grupe 3, +3 = ++ 3, 1 = + 3, 1 = 0 3, 3 =. Proizvod dve ireducibilne reprezentacije je reducibilna reprezentacija i ona može biti razložena na ireducibilne komponente D (I) D (I ) = D (I+I ) D ( I I ). Svojstvena stanja od J = (I + I ) i J 3 = I 3 + I 3 nisu I, I 3 I, I 3 već J, J 3 = I 3,I 3 I, I 3, I, I 3 J, J 3 I, I 3 I, I 3, (.1) gde su I, I 3, I, I 3 J, J 3 Klebš- Gordanovi koeficijenti. Izospin stanja dve čestice izospina 1/ je 1 ili 0. Drugim rečima proizvod dve dvodimenzione reprezentacije je direktni zbir trodimenzione i singletne reprezentacije. I : 1 1 = 1 0 dim : = 3 + 1 Bazisni vektori trodimenzione reprezentacije su simetrični: 1, +1 = pp 1, 0 = 1 (pn + np) 1, 1 = nn, dok je jednodimenziona reprezentacija antisimetrična 0, 0 = 1 (pn np). Posmatrajmo proizvod dvodimenzione i trodimenzione ireducibilne reprezentacije. Gordanove koeficijente ćemo odrediti primenom operatora J ± = J x ± ij y na I, I 3 Klebš- J ± I, I 3 = I(I + 1) I 3 (I 3 ± 1) I, I 3 ± 1. (.13) Vektor maksimalne težine u reprezentaciji 3/ je 3, 3 = 1, 1 1, 1. (.14) 4

Delovanjem sa J na njega dobijamo 3, 1 = (J 1 1 + 1 J ) 1, 1 1, 1 (.15) = 3 1, 1 1 1, 0 + 3 1, 1 1, 1. (.16) Ponavljajući ovaj postupak dobijamo: 3 1, 1 = 3 1, 1 1, 1 + 3 1, 1 1, 0, (.17) 3, 3 = 1, 1 1, 1. (.18) Vektor 1, 1 nalazimo iz uslova ortogonalnosti na 3, 1. Rezultat je Operator spuštanja onda daje 1, 1 1 = 3 1, 1 1, 0 3 1, 1 1, 1. (.19) 1, 1 = 3 1, 1 1 1, 1 3 1, 1 1, 0. (.0) Sada ćemo se ukratko potsetiti Vigner-Ekartovog teorema. Ireducibilni tenzorski operatori 8, T (j) m = j, j + 1,..., j su definisani zakonom transformacije pri SU() transformacijama m, (T (j) m ) = U(R)T (j) m U 1 (R) = m D (j) (j) m m (R)T m. (.1) Na osnovu gornje definicije može se pokazati da ireducibilni tenzorski operatori zadovoljavaju sledeće relacije: [J 3, T m (j) ] = mt m (j) [J ±, T m (j) ] = j(j + 1) m(m ± 1)T (j) m±1. (.) Zadatak: Ako je V vektorski operator 9 pokazati da su T (1) 1 = V x + iv y, T (1) 0 = V z, T (1) 1 = V x iv y (.3) 8 Koristimo oznake: j za ireducibilnu reprezentaciju SU() a m za klasifikaciju vektora. 9 Pri rotacijama se transformiše na sledći način V = V + V ɛ n. 5

ireducibilni vektorski operatori. Matrični element ireducibilnog tenzorskog operatora izmedju izospinskih stanja je I, I 3 T (J) M I, I 3 = II 3 ; JM I I 3 I T J I (.4) tj. proizvod redukovanog matričnog elementa I T J I i Clebsh-Gordan-ovog koeficijenta. Ovo je tzv. Vigner-Ekartov teorem. Posmatrajmo sada raspad čestice u dve čestice: a c + d. Matrični element prelaza je cd S a = I c I d ; I 3c I 3d S I a I 3a = I I c I d ; I 3c I 3d I I 3 I I 3 S I a I 3a, gde smo koristili relacije komletnosti. Hamiltonijan komutira sa izospinom pa su izospin i njegova treća komponenta održani u jakim interakcijama. S matrični element je 10 Dalje je II 3 S I I 3 = δ II δ I3 I 3 A(I). (.5) cd S a = I c I d ; I 3c I 3d I a I 3a A Ia. (.6) Rezultat je izražen preko nezavisnih amplituda A(I a ). Razmatrajmo sada proizvod dvodimenzione i trodimenzione reprezentacije. Iz (.17) i (.6) sledi I : 1 1 = 1 3 dim : }{{} }{{} 3 (p, n) (π +, π, π 0 ) π + n S + = 1 3 A 3/, (.7) π 0 p S + = Širina raspada je odredjena sa S Γ = T 1 E i 3 A 3/. (.8) f V dp f (π) 3. (.9) Ona je verovatnoća raspada u jedinici vremena pomnožena sa faznim prostorom finalnih čestica. U gornjem primeru raspada + rezonance fazni prostor je isti za oba kanala pa je odnos širina raspada ( Γ ( + p, π 0 ) Γ ( + n, π + ) = ( ) 3 1 3 ) =. 10 Ova relacija je specijalni slučaj Vigner-Ekartove teoreme, gde je S skalarni ireducibilni operator. 6

Ovaj rezultat je u skladu sa eksperimentom. Dakle, u eksperimentu se vidi SU() simetrija, tj. CG koeficijenti. Razmatrajmo dalje rasejanje dve čestice u dve čestice Primenom relacija kompletnosti imamo a + b c + d. cd S ab = II I c I d ; I 3c I 3d II 3 II 3 S I I 3 I I 3 I a I b I 3a I 3b (.30) Kako je to na kraju dobijamo cd S ab = I II 3 S I I 3 = A I δ II δ I3 I 3 (.31) I c I d ; I 3c I 3d II 3 II 3 I a I b I 3a I 3b A I. (.3) Izrazi (.14)-(.0) daju Lako se onda primenom (.3) dobija 3, 3 = pπ+ 3, 1 = 3 pπ0 + 3 1, 1 = 3 pπ + 3, 3 = nπ 1, 1 = 1 3 pπ0 1, 1 = 3 pπ π + p S π + p = A 3/ 1 3 nπ+ 3 nπ0 3 nπ+ 1 3 nπ0. (.33) π p S π p = 1 3 A 3/ + 3 A 1/ π p S π 0 n = 3 A 3/ 3 A 1/. (.34) Eksperimentalni rezultat daje A 3/ A 1/ pa se dobija σ(π + p π + p) : σ(π p π p) : σ(π 0 n π p) = 9 : 1 :. (.35) Mase čestica u SU() multipletima nisu iste. Zbog toga je SU() simetrija približna simetrija. Mera narušenja ove simetrije je npr. m n m p m n + m p 0, 7 10 3. 7

.4 Stranost, hipernaboji,...; zakoni održanja 1940 1950 otkrivene su čestice koje se proizvode brzo, a raspadaju se sporo. Npr. Λ 0 i K 0 čestice se stvaraju u procesu π + p K 0 + Λ 0 preko jake interakcije. Srednje vreme života K 0 L mezona je τ(k0 L ) 10 8 s što znači da se on raspada po slaboj interakciji. Slično je i za Λ 0 česticu: Λ 0 π + p K 0 π + π. (.36) Dakle ove čestice se stvaraju u jakoj a raspadaju po slaboj interakciji. Ova osobina je bila čudna kad su ove čestice otkrivene i zato se uvodi novi kvantni broj stranost. Stranost je aditivni kvantni broj i održava se u jakim interakcijama. Stranost hadrona iz gornjeg procesa je Za jak proces S(n) = S(π) = 0 S(Λ 0 ) = 1 S(K 0 ) = +1. vidimo da je stranost očuvana. Za slab proces π + p Λ 0 + K 0 S : 0 + 0 = 1 + 1 (.37) Λ 0 π + p slaba interakcija S : 1 0 + 0 stranost nije očuvana. Videćemo kasnije da strane čestice sadrže s kvark. Barionski kvantni broj bariona je 1 antibariona 1, dok ostale čestice imaju barionski broj nula. B(barioni) = 1 B(antibarioni) = 1 B(mezoni, leptoni) = 0. Barionski broj se održava u svim interakcijama. Zbir barionskog broja i stranosti čestice je hipernaboj Y = B + S. Naelektrisanje Q je održano u svim interakcijama. Veza izmedju naelektrisanja hipernaboja i treće komponente izospina čestica je tzv. Gell-Mann-Nishijima relacija Q = I 3 + Y. (.38) Otkriće još jednog kvantnog broja koji se održava u jakim interakcijama zahteva da se izospinska simetrija proširi do neke grupe ranga. 8

Postoje tri vrste leptonskog broja: leptonski elektronski L e, mionski L µ i taonski L τ. Za elektron i elektronski neutrino L e = 1, pozitron i antineutrino imaju L e = 1 dok je za sve ove čestice leptonski mionski i taonski kvantni broj jednak nuli. Slično L µ (µ ) = 1 itd. Proverimo održanje leptonskoh brojeva u slabom procesu raspada miona µ + µ + e + + ν µ + ν e L µ : 1 = 0 + ( 1) + 0 L e : 0 = 1 + 1. U procesu µ + µ e + e nema mešanja izmedju mionske i elektronske linije..5 Osmostruko svrstavanje hadrona Gell-Mann i Ne eman (1961.) su grupisali mezone i barione istog spina i parnosti u (I 3, Y ) dijagram. Ovo je poznato kao osmostruko svrstavanje. Mezoni 0 9

Mezoni 1 Barioni 1 + Barioni 3 + Čestice sa istom vrednošću hipernaboja su multipleti izospinske grupe SU(); p i n su dublet, pioni su triplet itd. U vreme kad su Gell-Mann i Ne eman grupisali čestice na gornji način Ω čestica nije bila otkrivena. Otkrivena je 1964. godine. Njeni kvantni brojevi su I 3 (Ω ) = 0 Y (Ω ) = = B + S S(Ω ) = 3. Videćemo kasnije da su dijagrami u kojima se nalaze mezoni i barioni težinski dijagrami jednodimenzione, osmodimenzione i desetodimenzione reprezentacije SU(3) grupe. SU(3) simetrija je više narušena od SU() simetrije jer se mase čestica u SU(3) multipletima više razlikuju nego unutrar SU() multipleta. Mera narušenja je.6 SU(3) m Σ m n m Σ + m n 0, 1. SU(3) grupu čine 3 3 unitarne matrice jedinične determinante. Elemente ove grupe možemo napisati u obliku U = e iεa λa, gde su ε a realni parametri, a λ a Gell-Mann-ove matrice: 30

λ 1 = λ 4 = λ 6 = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 λ = λ 5 = λ 7 = 0 i 0 i 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 i 0 i 0 λ 3 = λ 8 = 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Gell-Mann-ove matrice su normalizovane prema Tr (λ a λ b ) = δ ab. (.39) Rang grupe SU(3) je, tj. maksimalan skup komutirajućih generatora je dva 11 ; [λ 3, λ 8 ] = 0. Zadatak: Naći strukturne konstante fc ab i Kartanov tenzor za SU(3) grupu..7 SU(n) tenzori i Jungove šeme Elementi SU(n) grupe (u definicionoj reprezentaciji) su n n unitarne matrice jedinične determinante: UU = U U = I det U = 1. (.40) Možemo ih zapisati u obliku U = e ih, gde je H hermitska matrica nultog traga. Hermitska matrica ima n realnih dijagonalnih elemenata; vandijagonalni elementi zadovoljavaju (H ij ) = H ji pa su odredjeni sa n(n 1) realnih parametara. Zbog TrH = 0 sledi da je broj nezavisnih partametara matrice H jednak n 1, što znači da je SU(n) grupa ima n 1 generatora. Rang algebre predstavlja maksimalan broj njenih komutirajućih generatora. Ovi generatori čine tzv. Kartanovu podalgebru. Može se pokazati da je rang su(n) algebre r = n 1. Vektor ψ i = (ψ 1, ψ,..., ψ n ) C n se pri SU(n) transformacijama transformišu po ψ i ψ i = U ij ψ j, (.41) gde je U SU(n) matrica. Lako se vidi da je i U takodje SU(n) matrica. Konjugovanjem (.41) dobijamo ψi ψi = Uijψ j = ψj U ji. (.4) Dakle ψi se transformiše po konjugovanoj reprezentaciji. Dalje ćemo uvesti sledeću notaciju (konjugacija podiže indeks) 11 Ovo fizički znači da imamo dva aditivna kvantna broja. ψ i ψ i U i j U ij U i j = U ij. (.43) 31

Relacije (.41) i (.4) postaju ψ i ψ i = U j i ψ j ψ i ψ i = U i jψ j. Veličina ψ i ξ i je invarijanta tj. transformiše se po singletnoj (jediničnoj) reprezentaciji SU(n) grupe. Tenzori višeg ranga se pri SU(n) transformacijama transformišu po ψ i 1i...i p j 1 j...j q = (U i 1 k1... )(U j1 l 1... )ψ k 1...k p l 1...l q. Lako se vidi da je Kronekerov simbol invarijantan tenzor Pored njega simbol Levi-Čivita, εi 1i...i n ε i 1...i n = U j 1 i 1 δ i k = U i ju l k δ j l. je takodje invarijantan tenzor... U jn i n ɛ j1...j n = detu ε i1...i n = ε i1...i n. Kontrakcija proizvodi tenzore nižeg reda. Zadatak: Pokazati da je ε i1 i...i n ψ i 1i...i n skalar. Proizvoljan tenzor višeg reda je najčešće reducibilan, tj. on se transformiše po nekoj reducibilnoj reprezentaciji SU(n) grupe. Mi ćemo da dekomponujemo ovaj reducibilaan tenzor u ireducibilne komponente. Transformacije ireducibilne tenzore prebacuju ponovo u te ireducibilne tenzore. Invarijantni tenzori se koriste za dobijanje ireducibilnih komponenti reducibilnih tenzora. Npr. neka je T i j tenzor drugog reda. Množenjem ovog tenzora sa δ j i dobijamo T = δ j it i j = TrT. (.44) T je skalar. Polazni tenzor T i j možemo da razložimo u dva tenzora prema T i j = (T i j 1 n T δi j) + 1 n T δi j. (.45) Prvi sabirak je tenzor nultog traga a drugi je sam trag. Pri SU(n) transformacijama tenzor nultog traga prelazi u tenzor nultog traga a trag prelazi u trag. Oni su ireducibilni tenzori. Tenzor T i j smo dekomponovali u ireducibilne komponente. Posmatraćemo tenzore samo sa gornjim indeksima. Zakon transformacije tenzora drugog reda je ψ ij = U i ku j lψ kl (.46) Zamenom indeksa i i j dobijamo ψ ji = U j lu i kψ lk = U i ku j lψ lk. (.47) Permutacija indeksa je definisana sa P 1 ψ ij = ψ ji. Lako se vidi da se ψ kl i ψ lk transformišu na isti način, tj. permutacija indeksa ne menja transformacioni zakon. Definišimo simetričan i antisimetričan deo tenzora ψ ij S ij = 1 ( ψ ij + ψ ji) A ij = 1 ( ψ ij ψ ji) (.48) 3

Lako se vidi da P 1 S ij = S ij P 1 A ij = A ij. (.49) Takodje S ij = U i ku j ls kl A ij = U i ku j la kl. (.50) Dakle, pri SU(n) transformacijama simetričan (antisimetričan) tenzor se transformišu u simetričan (antisimetričan) tenzor. Tenzor ψ ij smo dekomponovali ψ ij = S ij + A ij (.51) u ireducibilne komponente. Simetričan i antisimetričan tenzor ne mogu se dalje dekomponovati. Ovo se može generalisati na tenzore višeg ranga (koji ima ili samo gornje ili samo donje indekse). Bazisni vektori (tenzori) ireducibilnih reprezentacija SU(n) grupe su tenzori definisane permutacione simetrije izmedju indeksa. Npr. tenzor trećeg reda ξ ijk se dekomponuje na sledeći način ξ ijk = 1 6 (ξ{ijk} + (ξ {j[i}k] + ξ {i[j}k] ) + (ξ [i{j]k} + ξ [j{i]k} ) + ξ [ijk] ). (.5) Prvi sabirak u (.5) je totalno simetričan ξ {ijk} = S 13 ξ ijk Zadnji sabirak je totalno antisimetričan = (1 + P 1 + P 13 + P 3 + P 13 P 1 + P 1 P 13 )ξ ijk = ξ ijk + ξ jik + ξ kji + ξ ikj + ξ kij + ξ jki. (.53) ξ [ijk] = A 13 ξ ijk = (1 P 1 P 13 P 3 + P 13 P 1 + P 1 P 13 )ξ ijk = ξ ijk ξ jik ξ kji ξ ikj + ξ kij + ξ jki. (.54) Ostali sabirci u (.5) su tenzori mešane simetrije. Tenzor ξ {j[i}k] je simetričan po prvom i drugom indeksu: ξ {j[i}k] = S 1 A 13 ξ ijk = (1 + P 1 )(1 P 13 )ξ ijk = ξ ijk + ξ jik ξ jki ξ kji. (.55) Prvo smo izvršili antisimetrizaciju po prvom i trećem indeksu pa zatim simetrizaciju po prvom i drugom. Dobijeni tenzor nije antisimetričan po prvom i trećem indeksu. Postoji još jedan tenzor simetričan po prvom i drugom indeksu, ξ {i[j}k] On je ξ {i[j}k] = S 1 A 3 ξ ijk = (1 + P 1 )(1 P 3 )ξ ijk = ξ ijk + ξ jik ξ ikj ξ kij. (.56) 33

Tenzor ξ {i[j}k] ne sadrži nova bazisna stanja u odnosu na tenzor ξ {j[i}k]. Preostala dva tenzora mešane simetrije su antisimetrična po prvom i drugom indeksu: ξ [i{j]k} = A 1 S 3 ξ ijk = (1 P 1 )(1 + P 3 )ξ ijk = ξ ijk + ξ ikj ξ jik ξ kij (.57) ξ [j{i]k} = A 1 S 13 ξ ijk = (1 P 1 )(1 + P 13 )ξ ijk = ξ ijk + ξ kji ξ jik ξ jki. (.58) Ireducibilne komponente permutacione grupe nalaze se pomoću Jungovih šema. One za slučaj SU(n) grupe izgledaju kao na slici Sastoje se od najviše n vrsta i svaki sledeći red sadrži isto ili manje kockica nego prethodni. Fundamentalni teorem: Ako je ν čestično stanje ireducibilan tenzor permutacione grupe S ν i ako je ono konstruisano od jednočestičnih stanja koja su bazisni vektori ireducibilne n dimenzione reprezentacije od SU(n) onda je to stanje ireducibilan tenzor SU(n) grupe. Kompaktna poluprosta Lijeva algebra ranga l ima l dijagonalnih operatora H i (i = 1,,..., l). Njihov zajednički svojstveni problem je H i ψ (j) m = m i ψ (j) m (.59) gde (j) označava reprezentaciju, dok indeks m klasifikuje vektore. Uvedimo vektore tada (.59) postaje m = (m 1, m,..., m l ) H = (H 1, H,..., H l ) (.60) Hψ (j) m gde su m težine. Standardna forma su() algebre je Bazisni vektori ove reprezentacije su = mψ (j) m, (.61) H 1 = 1 σ 3, E 1 = σ 1 + iσ, E 1 = σ 1 iσ. ψ (1/) 1/ = ( 1 0 ) = u 1 ψ (1/) 1/ = ( 0 1 H 1 u 1 = 1 u 1 m(1) = + 1 H 1 u = 1 u m() = 1. 34 ) = u

U kvantnoj mehanici u 1, u su bazisna spinska stanja, dok na ovom kursu u 1, u su bazisna izospinska stanja (p, n). Težine su ± 1. To je z projekcija (izo)spina. Svojstvene vektore označavaćemo kao na slici Dakle, jedna kockica predstavlja dvodimenzionu ireducibilnu reprezentaciju SU() grupe. Proizvod dve dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe SU() je reducibilna reprezentacija koja je direktni zbir singletne i trodimenzione reprezentacije 1 1 1 0. Vektori trodimenzione reprezentacije su simetrični a jednodimenzione antisimetrični 1 Dve kockice u vrsti (koloni) označavaju simetrično (antisimetrično) stanje. Možemo dalje analizirati tročestično stanje. Ireducibilne reprezentacije su Jungove šeme SU() grupe koje se sastoje od tri kockice. Jungova šema sa tri kockice u vrsti označava simetrična stanja. Pored njih postoji i stanje mešane simetrije. Očigledno je da ne postoji tročestično totalno antisimetrično stanje. Zato Jungova šema za SU() grupu može imati najviše dve vrste. Jasno je da su bazisni tenzori simetrične reprezentacije: u 1 u 1 u 1, 1 3 (u u 1 u 1 + u 1 u u 1 + u 1 u 1 u ), 1 3 (u u u 1 + u u 1 u + u 1 u u ), u u u. (.6) 1 ψ i ψ j = 1 (ψ iψ j + ψ j ψ i ) + 1 (ψ iψ j ψ j ψ i ) 35

Kod dva stanja mešane simetrije možemo ukloniti prve kolone jer se taj deo tezora transformiše po singletnoj (jednodimenzionoj) reprezentaciji. Do sada smo razmatrali SU() grupu. Ovo se može generalisati. Simetričan tenzor S ij reprezentujemo Jungovom šemom od dve kockice u vrsti (prva Jungova šema na slici) a antisimetričan sa dve kockice u koloni (druga šema). Treća Jungova šema na slici je totalno simetričan tenzor trećeg reda, dok je zadnji tenzor mešane simetrije. Standardno uredjenje Razmotrićemo tenzor mešane simetrije grupe SU(3) Postoji osam nezavisnih tzv. standardno uredjenih Jungovih šema. Nestandardne šeme su ili nula ili se mogu napisati kao linearna kombinacija standardnih. Da bi dobili standardno uredjenje Jungove šeme SU(n) grupe potrebno je da brojeve 1,..., n upisujemo u kockice šeme ali tako da oni ne opadaju u vrsti, a rastu kad se gleda po kolonama. To je uradjeno na prethodnoj slici za SU(3) simetriju. Pošto postoji osam standardno uredjenih Jungovih šema ireducibilna reprezentacija je osmodimenziona. Računanje dimenzije ireducibilne reprezentacije SU(n) grupe Dimenzija ireducibilne reprezentacije je količnik D 1 /D. U svaku kockici Jungove šeme upišemo po jedan broj na sledeći način. U prvu kockici stavimo broj n, narednu u prvoj vrsti broj n + 1 itd. U narednoj vrsti startujemo sa brojem n 1, zatim doilazi n itd. Proizvod svih ovih brojeva je D 1. Broj D je takodje proizvod brojeva pridruženih svakoj kockici šeme. Taj 36