PRIMENA SIMETRIJA U REXAVAƫU DIFERENCIJALNIH JEDNAQINA

PRIMENA SIMETRIJA U REXAVAƫU DIFERENCIJALNIH JEDNAQINA

UVOD U ovom radu razmatramo rexavaƭe diferencijalnih jednaqina upotrebom simetrija xto je tema kojom se bavio Sofus Li u drugoj polovini devetnaestog veka. Pojmovi Lijeve grupe i algebre, danas xiroko rasprostraƭeni, duguju svoje postojaƭe upravo ovim Lijevim radovima. PoznavaƬe teorije Lijevih grupa i algebri od koristi je, iako nije neophodno, jer se u prvoj glavi ovi pojmovi uvode u onoj meri u kojoj su potrebni. Ipak, paжʃivi qitalac primeti e da neke stvari nisu do kraja razjaxƭene xto je izraz teжƭe da se izbegne zalaжeƭe u sloжene i apstraktne konstrukcije koje nemaju konkretne veze sa osnovnim tokom rada. U prvoj glavi uvodimo osnovne pojmove u vezi sa simetrijama diferencijalnih jednaqina kao i Lijevim grupama i algebrama. Druga glava bavi se diferencijalnim jednaqinama sa jednom uoqenom simetrijom i pokazuje se kako nam poznavaƭe simetrije omogu ava sniжavaƭe reda diferencijalne jednaqine. U tre oj glavi razmatra se opxti sluqaj kada je algebra simetrija jednaqine vixedimenzionalna i izlaжe se metoda diferencijalnih invarijanata koja omogu ava da se red jednaqine snizi onoliko puta koliko iznosi dimenzija algebre. Najzad, u qetvrtoj glavi uvodi se pojam rexivosti algebre koji je od kʃuqnog znaqaja za uspexnu primenu metode. 1

1 OSNOVNI POJMOVI 1.1 POJAM SIMETRIJE U SAVREMENOJ MATEMA- TICI Po definiciji Feliksa Klajna simetrija je dejstvo koje dati oblik ostavʃa identiqnim. Ovo je veoma opxta definicija primenʃiva u skoro svim oblastima matematike budu i da je simetrija opxti matematiqki pojam. Za elementarne primere posluжi emo se geometrijom koja nam svojom oqiglednox u moжe otkriti xta se u ovoj zamisli krije. Pođimo od kruga koji je najsimetriqniji lik u ravni. Krug e ostati isti ako ga zarotiramo oko centra, ili ga reflektujemo u odnosu na osu koja prolazi kroz centar kruga. Navedena dejstva jesu simetrije ovog lika. Drugi primer je kvadrat. ƫegove simetrije su takođe vezane za centar. To su refleksije u odnosu na dijagonale i na simetrale stranica i rotacije oko centra za umnoжak pravog ugla. Rotacija za 45 o ve nije simetrija jer fugura ne e biti ista. Vratimo se sada definiciji da razmotrimo kʃuqne reqi koje u Ƭoj uqestvuju. Najpre, dejstvo podrazumeva neki qin, uticaj, dinamiku koja meƭa ili bar teжi da nexto promeni. Identiqno znaqi isto (lat. idem-isto), stalno, postojano, tako re i nepromenʃivo. U srpskom jeziku, req istina izvedena je od korena isto, pa se moжe smatrati direktnim prevodom latinske pozajmʃenice identitet. Od istog korena izvodi se i glagol jeste. Req oblik u korenu sadrжi lik, pa se moжemo zapitati kakvo je znaqeƭe izvedenice u odnosu na koren. Iz prethodnog razmatraƭa vidimo da je simetrija neka promena koja ostavʃa istim. Drugim reqima, mi promenu ne vidimo, jer novi lik identifikujemo sa starim i to nazivamo istim oblikom. Oblik je, dakle, neki kalup identiteta koji liku daje spoʃaxƭe određeƭe, dok nam simetrije govore o dinamici koju taj identitet dopuxta. Liku se nexto dexava, ali mi to vidimo kao isti oblik. Jox jedan dobar primer navedenog moжemo na i u geometriji. Req je o relaciji podudarnosti koja uspostavʃa jednakost oblika koji se mogu dobiti jedan od drugog izometrijskim transformacijama. Primer je vrlo slikovit jer pokazuje kako se identitet zadaje simetrijama koje su, u ovom sluqaju, transformacije ravni koje quvaju duжine. PosledƬi primer da emo iz oblasti na koju se rad neposredno 2

odnosi. Neka je data diferencijalna jednaqina i smena promenʃivih y + y 2 1 x 2 = 0 x ax, y 1 a y. Posmatrajmo kako se diferencijalna jednaqina ponaxa pri datoj smeni. Najpre, datom smenom izvod postaje pa e jednaqina postati y = dy dx d( 1 a y) d(ax) = 1 a 2 y, 1 a 2 y + 1 a 2 y2 1 a 2 x 2 = 0, xto posle skra ivaƭa daje y + y 2 1 x 2 = 0. Jednaqina je saquvala oblik, pa ova smena promenʃivih predstavʃa Ƭenu simetriju. Da bismo ovaj pojam bliжe odredili, najpre emo uvesti neke definicije. 2.5 2 1.5 1 0.5 0.4 0.6 0.8-0.5 Slika 1. Na slici je prikazano kako simetrija jednaqine y + y 2 1 x = 0 predstavʃena poʃem strelica prevodi rexeƭa jedno u drugo 2 3-1

1.2 DIFERENCIJALNE JEDNAQINE Definicija 1.2.1 Diferencijalna jednaqina n-tog reda je jednakost oblika F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 gde je F glatka realna funkcija, a x i y promenʃive. Funkciju F nazivamo formom diferencijalne jednaqine. Definicija 1.2.2 Eksplicitno rexeƭe diferencijalne jednaqine je jednakost oblika y = ψ(x) gde je ψ glatka realna funkcija takva da za svako x F(x,ψ(x),ψ (x),...,ψ (n) (x)) = 0. Definicija 1.2.3 Implicitno rexeƭe diferencijalne jednaqine je jednakost oblika φ(x,y) = 0 gde je φ glatka realna funkcija takva da za svaku glatku funkciju ψ takvu da je φ(x,ψ(x)) = 0 za svako x, y = ψ(x) je eksplicitno rexeƭe jednaqine. Definicija 1.2.4 (Konaqno) rexeƭe jednaqine je Ƭeno eksplicitno ili implicitno rexeƭe. Delimiqno rexeƭe jednaqine je diferencijalna jednaqina niжeg reda ekvivalentna polaznoj u smislu da je svako rexeƭe jedne jednaqine, rexeƭe i druge (semantiqka ekvivalencija). Definicija 1.2.5 Rexavati diferencijalnu jednaqinu znaqi na i Ƭeno konaqno ili delimiqno rexeƭe. 1.3 SIMETRIJE DIFERENCIJALNE JEDNAQINE Definicija 1.3.1 Smena promenʃivih u diferencijalnoj jednaqini je preslikavaƭe T : (x,y) (x 1,y 1 ) zadato pravilom x 1 = P(x,y), y 1 = Q(x,y), gde su P i Q glatka invertibilna preslikavaƭa. Ovaj se pojam naziva i taqkasta transformacija (x,y)-ravni budu i da preslikavaƭa P i Q zavise samo od taqke (x,y)-ravni, a ne i od Ƭihove međuzavisnosti (npr. od izvoda y (x)). Da bismo zapisali pravila promene izvoda y,y..., pri smeni promenʃivih T, uvex emo operator totalnog diferenciraƭa D = x + y y + y y +... koji deluje na funkciju daju i Ƭen totalni izvod po promenʃivoj x. Sada je y 1 = dy 1 = DQ dx 1 DP = Q x + y Q y = Q (1) (x,y,y ). P x + y P y 4

Analogno e biti y 1 = dy 1 = DQ(1) dx 1 DP =... = Q(2) (x,y,y,y ) itd. xto nam otvara put slede oj definiciji. Definicija 1.3.2 n-to produжeƭe smene T je preslikavaƭe T (n) : (x,y,...,y (n) ) (x 1,y 1,...,y (n) 1 ) zadato pravilom x 1 = P(x,y), y 1 = Q(x,y), y 1 = DQ DP = Q(1) (x,y,y ), y (k) 1 = DQ(k 1) = Q (k) (x,y,y,...,y (k) ), k = 2,...,n. DP Definicija 1.3.3 Funkciju F(x, y) nazivamo invarijantom smene T : (x, y) (x 1,y 1 ) ako vaжi identitet tj. F = F T. F(x,y) = F(x 1,y 1 ) Definicija 1.3.4 Jednakost F(x, y) = 0 nazivamo invarijantom smene T : (x,y) (x 1,y 1 ) ako vaжi tj. F T F=0 = 0. F(x,y) = 0 F(x 1,y 1 ) = 0, Definicija 1.3.5 Smenu promenʃivih T : (x,y) (x 1,y 1 ) nazivamo simetrijom diferencijalne jednaqine F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 ako je data jednaqina (kao jednakost) invarijanta Ƭenog n-tog produжeƭa T (n). 5

Definicija 1.3.5 (.1) Smenu promenʃivih T : (x,y) (x 1,y 1 ) nazivamo simetrijom diferencijalne jednaqine F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 ako je Ƭena forma F (koa funkcija) invarijanta Ƭenog n-tog produжeƭa T (n). Iako druga definicija izgleda znatno slabije, moжe se pokazati da se svaka jednaqina koja zadovoʃava prvu moжe ekvivalentno zapisati u obliku u kom odgovara drugoj definiciji[1]. Druga definicija je, prema tome, istog znaqeƭa kao prva ako se posmatra u smislu klase ekvivalentnih jednaqina. Mi emo, u ovom radu koristiti po potrebi jednu ili drugu definiciju. Prvu emo koristiti kada traжimo simetrije konkretne jednaqine, dok emo kada rexavamo jednaqinu pretpostavʃati da je dovedena na oblik druge definicije xto obiqno nije texko uraditi. Ovako definisane simetrije nazivaju se jox i taqkaste, jer predstavʃaju taqkastu transformaciju (x,y)-ravni, ali mi emo u ovom radu razmatrati samo taqkaste simetrije diferencijalnih jednaqina, pa to ne emo posebno naglaxavati. 1.4 GRUPA SIMETRIJA JEDNAQINE Iz same definicije nije texko uoqiti da e simetrije diferencijalne jednaqine u odnosu na kompoziciju preslikavaƭa qiniti grupu. Kao xto e se pokazati, grupe simetrija diferencijalnih jednaqina uvek e nam biti opisane sa jednim ili vixe realnih parametara. Drugim reqima, lokalno e postoji preslikavaƭe a = (a 1,...,a k ) T a G koje grupi G daje strukturu glatke mnogostrukosti. Takve grupe nazivaju se Lijeve grupe. Definicija 1.4.1 Neka je data grupa G qiji su elementi taqkaste transformacije (x,y)-ravni. ƫenim n-tim produжeƭem zva emo grupu G (n) = {T (n) T G} qiji su elementi n-ta produжeƭa elemenata iz G. Definicija 1.4.2 Kaжemo da jednaqina F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 dopuxta grupu G ako je jednaqina invarijanta Ƭenog n-tog produжeƭa G (n). Drugim reqima, jednaqina dopuxta grupu G ako je svako T G simetrija jednaqine. 6

Definicija 1.4.2 (.1) Kaжemo da jednaqina F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 dopuxta grupu G ako je Ƭena forma F invarijanta Ƭenog n-tog produжeƭa G (n). Drugim reqima, jednaqina dopuxta grupu G ako je svako T G simetrija jednaqine. Posmatrajmo jednoparametrasku grupu taqkastih transformacija G = {T a : (x,y) (x 1,y 1 ) x 1 = P a (x,y), y 1 = Q a (x,y)}. Pri tome emo od parametrizacije zahtevati da bude homomorfizam tj. T 0 = I, T a T b = T a+b, Ta 1 = T a. Razvivxi funkcije P a i Q a u Tejlorov red u okolini taqke a = 0, dobijamo x 1 x + ξ(x,y)a, y 1 y + η(x,y)a gde je ξ(x,y) = P a a a=0, Operator X = ξ(x,y) x + η(x,y) poʃem grupe G u taqki a = 0. y η(x,y) = Q a a a=0. naziva se tangentnim vektorskim Algebarska struktura jednoparametarske grupe u potpunosti je određena tangentnim poʃem, pa emo umesto da govorimo o grupi simetrija radije govoriti o simetriji zadatoj poʃem X. Ovaj se pristup uspexno moжe uopxtiti i na vixeparametarske grupe kao xto emo kasnije videti. Teorema 1.4.1 Funkcija F(x,y) bi e invarijanta jednoparametarske grupe G ako i samo ako XF = 0 gde je X tangentno vektorsko poʃe grupe. Dokaz: Da bi funkcija bila invarijanta grupe G, F(P a (x,y),q a (x,y)) = F(T a (x,y)) mora biti nezavisno od a. Ako izraz diferenciramo pa a, dobi emo F P a x a + F Q a y a = 0 xto za a = 0 daje XF = 0. S druge strane, iz XF = 0 sledi a F(T a(x,y)) a=0 = 0 za svako x i y. Međutim, za neko t 0 vaжi e a F(T a(x,y)) a=t = a F(T a+t(x,y)) a=0 = a F(T a F t (x,y)) a=0 = = a F(T a(x 1,y 1 )) a=0 = 0. 7

Prema tome, F(P a (x,y),q a (x,y)) = F(T a (x,y)) je konstantna po a, pa je F invarijanta grupe G. Teorema 1.4.2 Jednaqina F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 dopuxta jednoparametarsku grupu G ako je X (n) F F=0 = 0 gde je X (n) n-to produжeƭe Ƭenog tangentnog vektorskog poʃa X. Teorema 1.4.2 (.1) Jednaqina F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 dopuxta jednoparametarsku grupu G ako je X (n) F = 0 gde je X (n) n-to produжeƭe Ƭenog tangentnog vektorskog poʃa X. Dokaz ove teoreme je uglavnom sliqan dokazu Teoreme 1.4.1, ali najpre moramo definisati produжeƭe poʃa. Polaze i od Tejlorovog razvoja, dobijamo y 1 = dy 1 d(y + ηa) y + Dηa = dx 1 d(x + ξa) 1 + Dξa y + (Dη y Dξ)a = y + η(1) (x,y,y )a i analogno y (k) 1 y (k) + (Dη (k 1) + y (k 1) Dξ) = y (k) + η (k) (x,y,...,y (k) ). Definicija 1.4.3 Neka je dato vektorsko poʃe X = ξ(x,y) x + η(x,y) y. ƫegovim n-tim produжeƭem nazivamo poʃe X (n) = ξ x + η y + η (1) y +... + η (n) y (n) gde je η (1) = Dη y Dξ, η (k) = Dη (k 1) y (k) Dξ, k = 2,...,n. 1.5 ALGEBRA SIMETRIJA JEDNAQINE Prethodna razmatraƭa mogu se uopxtiti na vixeparametraske grupe s tom razlikom xto e se u Tejlorovom razvoju javiti k qlanova gde je k broj parametara grupe. Tangentna vektorska poʃa u nuli X 1,...,X k razapiƭa e k-dimenzioni vektorski prostor T =< X 1,...,X k > koji emo zvati tangentnim prostorom u nuli grupe G. Da bismo na tangentni prostor preneli algebarsku strukturu grupe, uvex emo slede u operaciju. 8

Definicija 1.5.1 Neka su data tangentna vektorska poʃa X, Y T grupe G u nuli. Operaciju [X,Y ] = XY Y X nazivamo komutatorom, gde se pod operacijom mnoжeƭa poʃa podrazumeva kompozicija preslikavaƭa, a oduzimaƭe se vrxi u prostoru funkcija taqka po taqka. Strukturu L = (T,[]) tangentnog prostora sa komutatorom zovemo Lijevom algebrom date Lijeve grupe G. Moжe se pokazati da je tangentni prostor zatvoren za operaciju komutiraƭa [1] xto mi ovde ne emo qiniti. Primetimo samo da to znaqi da za svaki par baznih vektora X i,x j vaжi [X i,x j ] = c k ijx k, gde podrazumevamo sumiraƭe po ponovʃenom indeksu k. Realne konstante c k ij nazivamo strukturnim koeficijentima algebre L u datoj bazi. Lijeva algebra je jednostavnija za posmatraƭe od same grupe jer ima strukturu vektorskog prostora, a s druge strane, u potpunosti određuje algebrasku strukturu grupe. Stoga se umesto grupe radije posmatra Ƭena algebra, xto emo i mi qiniti u ostatku rada. Umesto Lijeve grupe koju dopuxta diferencijalna jednaqina, posmatra emo Ƭoj pridruжenu algebru. 1.6 PRIMER Nađimo simetrije diferencijalne jednaqine y + 1 x y ey = 0. Da bi data jednaqina dopuxtala poʃe X = ξ x + η y, mora biti X (2) F F=0 = 0 gde je Pri tom je X (2) = ξ x + η y + η (1) y + η (2) y. η (1) = Dη y Dξ = (η x + y η y ) y (ξ x + y ξ y ) = η x + y (η y ξ x ) y 2 ξ y, η (2) = Dη (1) y Dξ =... = = η xx + (2η xy ξ xx )y + (η yy 2ξ xy )y 2 ξ yy y 3 + (η y 2ξ x 3ξ y y )y. 9

X (2) F F=0 = ( ξ y x 2 ηey + η (1) 1 x + η(2) ) y =ey y x 2 = 0 η xx + (2η xy ξ xx )y + (η yy 2ξ xy )y 2 ξ yy y 3 + +(η y 2ξ x 3y ξ y )(e y y x + 1 x )(η x + (η y ξ x )y y 2 ) ξ y x 2 ηey = 0. Dobijena jednaqina naziva se determinaciona jednaqina i Ƭenim rexavaƭem dobijamo funkcije ξ i η. Najpre, leva strana jednaqine je polinom tre eg stepena po promenʃivi y, pa da bi bio jednak nuli moraju qlanovi uz svaki stepen biti jednaki nuli. Tako dobijamo sistem od qetiri parcijalne jednaqine drugog reda. Bez dubʃeg ulaska u rexavaƭe sistema, da emo samo krajƭe rexeƭe ξ = C 1 x lnx + C 2 x, η = 2[C 1 (1 + lnx) + C 2 ]. Prema tome jednaqina dopuxta dva linearno nezavisna poʃa X 1 = x lnx x 2(1 + lnx) y, X 2 = x x 2 y, pa je Lijeva algebra simetrija dvodimenzionalna, generisana ovim vektorima. 10

2 JEDNAQINE SA JEDNODIMENZIONALNOM ALGEBROM SIMETRIJA 2.1 KANONSKE KOORDINATE U ovoj glavi razmatra emo rexavaƭe diferencijalne jednaqine sa jednom uoqenom simetrijom izraжenom vektorskim poʃem X. Pokaza emo da postoji smena promenʃivih (definisana u okolini svake regularne taqke datog poʃa) u kojima se posmatrana simetrija vidi kao translacija duж jedne od koordinatnih osa. Novi oblik jednaqine nastao ovom smenom zva emo kanonskom formom, a nove promenʃive kanonskim koordinatama. Translatorna simetrija novodobijene jednaqine omogu i e nam Ƭeno rexavaƭe. Teorema 2.1.1 Neka je data diferencijalna jednaqina F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 koja dopuxta simetriju X. Tada postoji smena promenʃivih (x,y) (r,s) definisana u svakoj regularnoj taqki poʃa X takva da se X u novim koordinatama vidi kao translacija duж s. Lema 2.1.1.1 Vektorsko poʃe X = ξ(x,y) x +η(x,y) y smenom promenʃivih (x,y) (r,s) prelazi u oblik X = Xr(x,y) r + Xs(x,y) s gde se pod r(x,y) i s(x,y) podrazumevaju funkcije koje zadaju smenu. Dokaz: Neka je F(r, s) proizvoʃna glatka funkcija. Tada XF = ξ F x + η F y = ξ( F r r x + F s s x ) + η( F r r y + F s s y ) = = (ξ r x + η r y ) F r Sledi X = Xr r + Xs s s + (ξ x + η s y ) F s = Xr F r + Xs F s xto je trebalo dokazati. Dokaz Teoreme 2.1.1: Translacija duж s je poʃe oblika X = s, pa je, shodno prethodnoj lemi, potrebno na i funkcije r i s takve da bude Xr = ξ r x + η r y = 0, Xs = ξ s x + η s y = 1. Najpre, jasno je da druga jednaqina ne moжe biti zadovoʃena za ξ(x,y) = η(x,y) = 0, tj. tamo gde je X = 0, pa u tim taqkama funkcije r i s nisu definisane. 11

Kanonske koordinate mogu se na i korix eƭem metoda karakteristika. Karakteristiqne jednaqine glase dx ξ(x,y) = dy η(x,y), dx ξ(x,y) = dy η(x,y) = ds. Pod pretpostavkom ξ(x,y) 0 (a bez umaƭeƭa opxtosti), iz prve jednaqine imamo dy dx = η(x,y) ξ(x,y). RexeƬe ove jednaqine je oblika φ(x,y) = c gde je c konstanta. DiferenciraƬem jednakosti po x dobijamo φ x + φ dy y dx = 0 xto uz karakteristiqnu jednaqinu daje ξ(x,y) φ x + η(x,y) φ y = 0. Ako ovo uporedimo sa polaznom jednaqinom po r, vidimo da je r = φ(x,y) Ƭeno rexeƭe, qime je jedna kanonska koordinata nađena rexavaƭem prve karakteristiqne jednaqine. Jednakost r = φ(x,y) najqex e se (barem lokalno) moжe rexiti po y, drugim reqima moжe se zapisati u obliku y = ψ(r,x). Sada se s moжe dobiti iz druge karakteristiqne jednaqine u obliku ( s(x,y) = ) dx r=φ(x,y) ξ(x, ψ(r, x)) gde se r u integralu posmatra kao konstanta. Nije texko uoqiti da kanonske koordinate nisu jedinstvaeno definisane. Naime, ako r i s zadovoʃavaju kanonski uslov, isto e da vaжi i za r 1 = F(r), s 1 = s + G(r) gde su F i G proizvoʃne glatke funkcije, uz uslov nedegenerisanosti smene F (r) 0. 12

2.2 REXAVAƫE JEDNAQINE METODOM KANONSKIH KOORDINATA U prethodnom poglavʃu razmatrali smo kako se za jednaqinu sa jednom simetrijom X mogu na i kanonske koordinate u kojima se data simetrija vidi kao translacija. U ovom poglavʃu pokaza emo da nam kanonska forma jednaqine zapravo otvara mogu nost da red jednaqine spustimo za jedan. Polazimo od pretpostavke da imamo jednaqinu u obliku F(r,s,s,...,s (n) ) = 0 koja dopuxta simetriju X = s. Simetrija X govori nam da je zadovoʃen uslov X (n) F = 0, gde je X (n) n-to produжeƭe poʃa X. Pokazuje se da iz X = s sledi i X (n) = s. Ovo se moжe lako izvesti iz formula produжeƭa, a u osnovi znaqi da translacija duж koordinatnih osa ostavʃa izvode invarijantnim. Sada X (n) F = 0 znaqi F s = 0, drugim reqima F je konstantno po s, pa ga u jednaqini moжemo zameniti proizvoʃnom vrednox u s 0 koju uzima ova koordinata. Tako dobijamo gde je F 1 (...) = F(...,s 0,...). F 1 (r,s,...,s (n) ) = 0, Novi oblik jednaqine dozvoʃava nam da smenom v = s dobijemo jednaqinu F 1 (r,v,v,...,v (n 1) ) = 0 koja je za red niжa od polazne, a qije rexavaƭe vodi rexeƭu polazne jednaqine. Ovim je metoda ukratko izloжena, a u slede em poglavʃu ovo e biti potkrepʃeno jednim konkretnim primerom. 2.3 PRIMER Neka je data jednaqina y = ( ) 3 x 2x y + 4y. Jednaqina dopuxta simetriju X = y y. Kanonske koordinate nalazimo rexavaju i sistem Xr = y r y = 0, Xs = y s y = 1. Najjednostavnije kanonske koordinate su oblika r = x, s = ln y. 13

ds dr = y y, d 2 s dr 2 = y y y 2 y 2. Polazna jednaqina se moжe zapisati u obliku ( ) y 3 y y = x 2x y + 4 xto u kanonskim koordinatama glasi ( ) dv 3 dr = r 2r v + 4 v 2, v = ds dr = y y. Ovo je Rikatijeva jednaqina i moжe se rexiti zahvaʃuju i poznavaƭu jednog partikularnog rexeƭa v = 2r. RexeƬe emo pretpostaviti u obliku v = 2r + 1 w. Pri tome, w mora zadovoʃavati linearnu jednaqinu ( ) dw 3 dr = 1 r + 2r w qijim rexavaƭem dobijamo DaƩe je Vra aju i smenu dobijamo w = c 1 2 r 3 e r + 1 2r 1 2r 3. ds dr = v = 2r + 2r 3 2C 1 e r2 + r 2 1, s = r 2 2r 3 dr + 2C 1 e r 2 + r 2 1 + C 2. ln y = x 2 + xto je rexeƭe u kvadraturama. r = x, s = ln y 2x 3 dx 2C 1 e x2 + x 2 1 + C 2 14

3 JEDNAQINE SA VIXEDIMENZIONALNOM ALGEBROM SIMETRIJA 3.1 DIFERENCIJALNE INVARIJANTE ALGEBRE Neka je data diferencijalna jednaqina F(x,y,y,...,y (n) ) = 0 sa simetrijom zadatom poʃem X. U kanonskim koordinatama (r, s) jednaqina postaje F 1 (r,v,v,...,v (n 1) ) = 0, v = s, a poʃe je zapisano u obliku X = s, dok uslov simetrije glasi X (n) F = 0. Definicija 3.1.1 Nekonstantna funkcija I = I(x,y,y,...,y (k) ) naziva se diferencijalnom invarijantom k-tog reda poʃa X ako je X (k) I = 0 gde je X (k) produжeƭe poʃa X. Uslov invarijantnosti X (k) I = 0 zapravo znaqi da diferencijalna jednaqina I(x,y,y,...,y (k) ) = 0 dopuxta simetriju zadatu poʃem X. Zapisana u kanonskim koordinatama, jednaqina dobija oblik pa se I moжe zapisati u obliku F(r,v,v,...,v (k 1) ) = 0, I = F(r,v,...,v (k 1) ). Jedina diferencijalna invarijata nultog reda je r(x, y) (do na funkcionalnu zavisnost). Sve diferencijalne invarijante prvog reda su funkcije od r(x,y) i v(x,y,y ), pri qemu se za v moжe uzeti proizvoʃna invarijanta nezavisna od r, tj. koja sadrжi y. Invarijante r i v nazivaju se fundamentalne diferencijalne invarijante poʃa X. Prethodno razmatraƭe vodi nas slede em tvrđeƭu koje smo u ovom pasusu ve dokazali. Teorema 3.1.1 Sve diferencijalne invarijante k-tog reda poʃa X su funkcije fundamentalnih invarijanti r,v i izvoda v po r do reda k 1. 15

Fundamentalne diferencijalne invarijante dobijaju se kao rexeƭa parcijalne jednaqine ξi x + ηi y + η (1) I y = 0, pri qemu je r(x,y) ono rexeƭe koje ne zavisi od y. Analogno se mogu definisati invarijante vixedimenzionalne algebre. Definicija 3.1.2 Re i emo da je I diferencijalna invarijanta algebre L ako je invarijanta svakog poʃa te algebre. Naravno, zbog linearnosti, dovoʃno je invarijantnost ispitati na generatorima algebre. Fundamentalne invarijante algebre L =< X 1,...,X R > su rexeƭa sistema ξ 1 η 1 η (1) 1... η (R) 1 ξ 2 η 2 η (1) 2... η (R) 2.... ξ R η R η (1) R... η (R) R I x I y I y. I y (R) = Sistem ima dva funkcionalno nezavisna rexeƭa pod uslovom da je matrica na levoj strani maksimalnog ranga. Oni se mogu na i korix eƭem Gausove eliminacione metode i metode karakteristika. Jedno rexeƭe ne zavisi od y (R) i oznaqi emo ga sa r R. Sa v R oznaqi emo ono rexeƭe koje netrivijalno zavisi od y (R). Sve diferencijalne invarijante vixeg reda algebre L bi e funkcije fundamentalnih invarijanti r R, v R i izvoda v R po r R do odgovaraju eg reda. 0 0. 0. 3.2 PRIMER Na i diferencijalnu jednaqinu qije su simetrije X 1 = x, X 2 = y, X 3 = x x + y y. Neka je L algebra zadata baznim vektorima X 1, X 2 i X 3. Znaju i da je X (3) 1 = x,x (3) 2 = y i X (3) 3 = x x +y y + y y 2y y, fundamentalne diferencijalne invarijante dobi emo kao rexeƭe sistema I x 1 0 0 0 0 I y 0 0 1 0 0 0 I y x y 0 y 2y I y = 0. 0 I y Sistem je ekvivalentan sa I x = 0, 16

I y = 0, y I y 2y I y = 0. Prve dve jednaqine govore da I ne zavisi od x i y, a tre a, primenom metode karakteristika postaje dy 0 = dy y = dy 2y. Tako dobijamo dva nezavisna integrala r 3 = y i v 3 = y y 2 koji su fundamentalne invarijante algebre. Odgovor na postavʃeno pitaƭe razlikova e se zavisno od reda diferencijalne jednaqine koju traжimo. Ako je traжena jednaqina tre eg reda, tada e Ƭena forma, po definiciji simetriqnosti, biti invarijanta tre eg reda algebre L. Svaka invarijanta tre eg reda je, međutim, funkcija fundamentalnih invarijanata, pa je traжena jednaqina F(r 3,v 3 ) = 0, tj. F(y, y y 2 ) = 0, gde je F proizvoʃna glatka funkcija. Ako traжimo jednaqinu qetvrtog reda, Ƭena forma e biti funkcija r 3,v 3 i dv3 dr 3 = yiv y 2y 2 y. Stoga e 4 jednaqina biti oblika F(y, y y 2, yiv y 2y 2 y 4 ) = 0 s tim xto F mora netrivijalno zavisiti od tre eg qlana. 3.3 PRIMER Rexiti jednaqinu tre eg reda y = y 2 y (1 + y ) znaju i da su joj simetrije X 1 = x, X 2 = y i X 3 = x x + y y. Oznaqimo algebre L 1 =< X 1 >, L 2 =< X 1,X 2 >, L 3 =< X 1,X 2,X 3 >. Fundamentalne diferencijalne invarijante ovih algebri su r 1 = y, r 2 = y, r 3 = y, v 1 = y, v 2 = y, v 3 = y y 2. 17

Forma zadate jednaqine je diferencijalna invarijanta tre eg reda algebre L 3, pa se moжe zapisati kao algebarska jednaqina saqiƭena od fundamentalnih diferencijalnih invarijanata koje su i same tre eg reda. Moжe se videti da je jednaqina ekvivalentna sa v 3 = 1 r 3 (1 + r 3 ). Pod restrikcijom operatora X 3 na diferencijalne invarijante algebre L 2 smatra emo operator X 3 = X (1) 3 r 2 r2 + X (2) 3 v 2 v2 gde umesto operatora X 3 na r 2 i v 2 deluju odgovaraju a produжeƭa. Tako dobijamo X 3 = v 2 v2, a smenom s 3 = ln v 2 = ln y dobijamo kanonsku formu poʃa X 3 = 33. Sada je pa je ds 3 1 = v 3 = dr 3 r 3 (1 + r 3 ), r 3 s 3 = ln v 2 = ln + C. 1 + r 3 Poxto je r 3 funkcija od r 2 i v 2, ovo e biti v 2 = C 1r 2 1 + r 2. Dobili smo algebarsku jednaqinu u terminima diferencijalnih invarijanti algebre L 2 i postupak daʃe nastavʃamo na isti naqin. DaƩe, traжe i restrikciju X 2 na promenʃive (r 1,v 1 ) dobijamo X 2 = X 2 r 1 r1 + X 1 2V! v1 = r1 = s2. Relacija s 2 = r 1 daje kanonske koordinate (s 2,r 2 ), pa u novim koordinatama algebarska jednaqina postaje qijim se rexavaƭem dobija ds 2 dr 2 = y y = r 2 v 2 = 1 C 1 (1 + r 2 ) s 2 = C 2 + 1 2C 1 (1 + r 2 ) 2, 18

a u terminima diferencijalnih invarijanti prvog reda ovo e biti r 1 = C 2 + 1 2C 1 (1 + v 1 ) 2. Najzad s 1 = x je kanonska koordinata simetrije X 1, pa dobijamo ds 1 = 1 1 = dr 1 v 1 1 ± 2C 1 (r 1 C 2 ). Posle integracije i zamene s 1 = x,r 1 = y dobijamo x = C 3 + 1 (ln 1 ± 2C 1 (y C 2 ) ± ) 2C 1 (y C 2 ). C 1 Napomena 3.3.1 U prethodnom primeru, za kanonsku bazu algebre mogli smo izabrati i X 1 = x,x 2 = y,x 3 = x x + y y. Invarijante algebri su neizmeƭene kao i postupak rexavaƭa, s tim xto e nam se javiti jednaqina r 1 = C 2 + 1 C 1 (ln v 1 + v 1 ) koja nam predstavʃa problem jer je ne moжemo rexiti po v 1. I premda izbor kanonske baze nije od suxtinske vaжnosti, ipak e u praksi neki izbori naqiniti rexavaƭe nepotrebno texkim. Izgleda da je jedini naqin da se ovo prevaziđe probaƭe sa vixe kanonskih baza xto se odnosi ne samo na izbor vektora ve i na Ƭihov redosled. 3.4 REXAVAƫE JEDNAQINE METODOM DIFERE- NCIJALNIH INVARIJANATA U prethodnom poglavʃu pokazali smo na primeru upotrebu ove metode. Ovde emo dati Ƭen potpuni opis. Pretpostavi emo da je jednaqina data u eksplicitnom obliku y (n) = f(x,y,...,y (n 1) ) sa simetrijama X 1,...,X R koje razapiƭu algebru L. U terminima fundamentalnih diferencijalnih invarijanata ove algebre, jednaqina se moжe zapisati v R = F(r R ). 19

Neka generatori X 1,...,X R 1 razapiƭu podalgebru L R 1 qije su fundamentalne invarijante (r R 1,v R 1 ). Ako posmatramo restrikciju X R na (r R 1,v R 1 ), postoja e kanonske koordinate (r R,s R ) = (r R (r R 1 v R 1 ),s R (r R 1,v R 1 )) u svakoj regularnoj taqki takve da X R = sr. v R kao diferencijalna invarijanta algebre L R 1 reda R bi e funkcija r R,s R i s R = dsr dr R (jer su r R i s R i same fundamentalne invarijante algebre L R 1 ), pa se polazna jednaqina moжe zapisati kao γ(r R,s R,s R ) = F(r R ). Međutim, ova jednaqina dopuxta simetriju X R = sr xto znaqi da s R u Ƭoj ne uqestvuje, a jednaqina se (u principu) moжe rexiti po s R qime dobijamo s R = G(r R ). Integracijom dobijamo s R (r R 1,v R 1 ) = G(r R )dr R rr=r R(r R 1,v R 1) + C R Time smo red jednaqine smaƭili za jedan. Ako se jednaqina moжe rexiti po v R 1, ponovo imamo polazni problem ali sa algebrom L R 1 dimenzije za jedan maƭe. 20

4 PITAƫE REXIVOSTI ALGEBRE SIMETRIJA 4.1 PRIMER Reximo linearnu jednaqinu y + y y x = 0. Jednaqina ima rexeƭe y = x, pa zbog principa superpozicije dozvo- Ʃava grupu transformacija y 1 = y + ax kojoj odgovara poʃe X 1 = x y. DaƩe, jednaqina je homogena, pa dozvoʃava i smene y 1 = (a+1)y kojima odgovara poʃe X 2 = y y. ƫihov komutator je [X 1,X 2 ] = X 1, pa je L 2 =< X 1,X 2 > dvodimenzionalna Lijeva algebra. Prvo produжeƭe operatora X 1 je X (1) 1 = x y + y, a Ƭegove invarijante su r = x,v = y y x. Izvod v po r je odakle dobijamo y = dv polazna jednaqina glasi dv y = y du x + y x 2 = y v u, dr + v r. U terminima diferencijalnih invarijanti, dv dr + (1 + 1 )v = 0. r Pogledajmo sada kako operator X 2 deluje na (r,v) ravni. Najpre, prvo produжeƭe glasi X (1) 2 = y y + y y. Restrikcija operatora na (r,v) bi e X 2 = X 2 r r + X (1) 2 v v = v r. PoƩe X 2 je dopuxtena simetrija jednaqine prvog reda po diferencijalnim invarijantama, xto nam omogu ava Ƭeno rexavaƭe. Zapravo, pomenuta jednaqina moжe se rexiti prostim razdvajaƭem promenʃivih, qime se dobija v = C 1 r 1 e r. Zamenom r = x,v = y y x dobijamo jednaqinu y = y x + C 1x 1 e x 21

koja zadrжava simetriju X 1 xto omogu ava Ƭeno daʃe rexavaƭe. Dakle, zahvaʃuju i restrikciji operatora X 2, uspeli smo da spustimo red diferencijalne jednaqine. Dopustimo sada sebi da sniжavaƭe reda uqinimo prvim operatorom. Najpre emo na i diferencijalne invarijante operatora X 2 koje su r = x, v = y y, dv dr = y y y 2 y 2. U terminima diferencijalnih invarijanti, jednaqina dobija oblik dv dr + v2 + v 1 r = 0. Međutim, ovo je Rikatijeva jednaqina za koju nam je poznato da se ne moжe rexiti, drugim reqima ne postoji simetrija koja bi omogu ila Ƭeno rexavaƭe. Da bismo videli zaxto je to tako, pogledajmo xta se dexava sa simetrijom X 1 kada se restrihuje na (r,v). ( 1 X 1 = y xy ) y 2 v = 1 y (1 rv) v. Poxto je y = e vdr, dobijeni operator moжe se napisati u obliku X 1 = e vdr (1 rv) v Ovo nije operator taqkaste simetrije jednaqine (onako kako smo ga definisali), ve nexto xto bi se moglo nazvati operatorom nelokalne simetrije. Ovo nam govori da nam restrikcija operatora X 1 ne moжe pomo i da spustimo red jednaqine, pa ideja da zapoqnemo rexavaƭe operatorom X 2 nije bila dobra. PitaƬe zaxto nam se ovo desilo vodi e nas do odgovora koji e nam otkriti pod kojim uslovom na strukturu Lijeve algebre simetrija moжemo primeniti postupak rexavaƭa opisan u prethodnoj glavi. 4.2 DOPUNA METODE DIFERENCIJALNIH INVA- RIJANATA Ovo poglavʃe nadovezuje se na opis metode diferencijalnih invarijanata dato u 3.4. Potraжi emo odgovor na pitaƭe kada e u postupku rexavaƭa opisanom metodom restrikcija simetrije na algebru niжeg reda dati odgovaraju i operator taqkaste simetrije. 22

Simetrija X R e delovati na diferencijalne invarijante (r R 1,v R 1 ) kao generator taqkastih transformacija ako je restrikcija oblika Ovo zapravo znaqi X R = α(r R 1,v R 1 ) rr 1 + β(r R 1,v R 1 ) vr 1. X R r R 1 = α(r R 1,v R 1 ), X R v R 1 = β(r R 1,v R 1 ). Diferencijalne invarijante r R 1,v R 1 zadovoʃavaju te prema tome Ovo se moжe napisati xto vodi uslovu X i r R 1 = 0, X i v R 1 = 0, i = 1,...,R 1 Analognim rasuđivaƭem dobijamo [X i,x R ]r R 1 = X i α(r R 1,v R 1 ) = 0. c k irx k r R 1 = 0, i = 1,...,R 1, c R irα(r R 1,v R 1 ) = 0, i = 1,...R 1. c R irβ(r R 1,v R 1 ) = 0, i = 1,...R 1. Poxto je bar jedan od α,β nenula, c R ir = 0, i = 1,...R 1. DaƩe, L R 1 =< X 1,...,X R 1 > je podalgebra ako c R ij = 0, 1 i j R 1, pa e X R delovati na (r R 1,v R 1 ) kao taqkasta simetrija ako i samo ako c R ij = 0, 1 i j R, Ovaj uslov nam omogu ava da snizimo red jednaqine za jedan. Sliqno, drugo spuxtaƭe reda mogu e je ako c R 1 ij = 0, 1 i j R 1. NastavƩaju i na isti naqin, svaki operator X k moжe biti upotrebʃen da donese po jednu integraciju ako c k ij = 0, 1 i j k. Ovaj nas uslov vodi pojmu rexivosti algebre koji e biti opisan u narednom poglavʃu. 23

4.3 REXIVE ALGEBRE Definicija 4.3.1 Za datu algebru L, algebru L =< [X,Y ] X,Y L > generisanu komutatorima nazivamo izvodom algebre L. Definicija 4.3.2 Niz algebri L = L n... L 1 zva emo izvodnim nizom ako je izvod svake prethodne algebre u nizu sadrжan u slede oj. Pri tome emo iste algebre u nizu identifikovati, pa emo smatrati da je inkluzija algebri stroga. Definicija 4.3.3 Izvodni niz algebre L nazivamo rexivim nizom ako se zavrxava trivijalnom {0} algebrom. Za algebru L koja ima rexivi niz kaжemo da je rexiva. Definicija 4.3.4 Neka je data baza X 1,...,X n rexive algebre L takva da podalgebre L k =< X 1,...,X k > formiraju rexivi niz L = L n... L 1 {0}. Tada X 1,...,X n nazivamo kanonskom bazom algebre L. Teorema 4.3.1 Neka je data algebra L =< X 1,...,X n >. Tada je uslov c k ij = 0, 1 i j k ekvivalentan tvrdƭi da je algebra L rexiva i da X 1,...,X n formiraju kanonsku bazu algebre. Dokaz: Dokaz izvodimo direktno po definiciji kanonske baze i simbola c k ij. Naime, neka je baza kanonska. Tada je za svako k, L k L k 1. Ovo znaqi da za 1 i j k vaжi [X i,x j ] L k 1, pa je c k ij = 0. Ni obrnut smer dokaza ne predstavʃa problem ako imamo u vidu da je izvodna algebra generisana komutatorima baznih vektora. Teorema 4.3.2 Neka je zadata diferencijalna jednaqina reda R koja dopuxta simetrije X 1,...,X R. Na ovu jednaqinu je mogu e primeniti metodu diferencijalnih invarijanti ako i smo ako navedene simetrije predstavʃaju kanonsku bazu rexive algebre L =< X 1,...,X R >. Dokaz sledi iz Teoreme 4.3.1 i razmatraƭa datog u prethodnom poglavʃu. 24

5 LITERATURA 25