4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : = f + h, y + k f, y < Maksimum funkcije = f + h y + k f y > Minimum funkcije = f + h, y + k f, y = Nepravi ekstrem Nuzni uvjet za ekstrem funkcije z= f( y, ) u nekoj tocki ( y, ), je zadovoljenje uvjeta: = i = Dovoljni uvjet za ekstrem u tocki, y je: = f f f < Maksimum funkcije h hk k + + y y Minimum funkcije = > h = ρcosϕ Uvede li se zamjena: i dobije se: k = ρsinϕ = y= y f f f r = = s t = y ( r s ) ( rt s ) ρ cos + sin + sin ϕ ϕ ϕ r f i Za = r i rt s > Funkcija ima ekstrem u (, y) i = ; = za r > ima minimum za r < ima maksimum Tocke se nazivaju i tocke pozitivne zakrivljenosti, elipticke tocke. Tangentna ravnina dira plohu samo jednoj tocki. f i Za = r i rt s < Funkcija nema ekstrema. Tocke se nazivaju i tocke negativne zakrivljenosti, hiperbolne tocke. Tangentna ravnina dira i sijece plohu koja ima oblik sedla. Funkcije dviju promj.
f i Za = r i rt s = Funkcija nema ekstrema. Tocke se nazivaju i tocke nulte zakrivljenosti, parabolne tocke. Vezani ekstrem, je kada funkcija z = f(, y) ima ekstrem uz unaprijed zadani uvjet ϕ( y, ) =. Tocka ekstrema se odredi tako, sto se uvede nova kunkcija Fy (, ) sa vrijednoscu: F(, y) = f(, y) + λ ϕ(, y) i za nju odrede ekstremi rjesavanjem sistema F f ϕ F jednadzbi: = + λ = f ϕ = + λ = ϕ( y, ) =. Odredi ekstreme funkcije z = y + 4+ y Postavimo uvjete: = ; = = + 4= = T y = z = y+ = y = y (, ) (,) ( 4) f ( ) + + = = = = = = f r s f ( y ) ma (,, ) = (,,) + = = t = Imamo slijedece: r = s = t = : f i Za = r rt s = ( )( ) = 4 > Funkcija ima maksimum i aplikata iznosi: z = z = y + 4 + y = 4 + 8+ = T y z Funkcije dviju promj.
π π. Odredi ekstreme funkcije z = sin + sin y+ cos ( + y), za ; y = cos sin ( + y) = Postavimo uvjete: = ; = : z = cos y sin ( + y) = y cos sin + y = Rjesenje sistema daje: cos = cos y cos y sin + y = cos sin + y = Uvrstimo: = y cos ( sin ) = cos sin = π π π π cos = = ; y = ; = ; y = π π π 5π 5π sin = sin = = ; y = ; 4 = π = ; y4 = 6 6 6 6 6 π π π π π π 5π 5π Promatrane tocke su: T, ; T, ; T, ; T4, 6 6 6 6 f y f f cos sin + y = = sin cos( + y) = r cos sin + y = = cos( + y) = s y cos y sin + y = = sin y cos ( + y) = t r π π π π π i Za T, r = sin cos + = ; Nema ekstrema π π π π π i Za T, r = sin cos + = > ;Funkcija ima minimum π π s = cos + =+ t = r = rt s = = > Funkcija ima minimum π π π π z = zmin = sin + sin y+ cos( + y) = sin + sin + cos + z = min Funkcije dviju promj.
. Odredi ekstreme funkcije z = y 4+ y+ 6 Postavimo uvjete: = ; = = 4= = T y = z = y+ = y = y (, ) (,) ( 4) f ( 4) = = = = = = f r s f y + = = t = Pregledno napisamo, imamo slijedece: r = s = t = : f i Za = r rt s = ( ) = 4 < Funkcija nema ekstrema. 4. Odredi ekstreme funkcije Postavimo uvjete: = ; = z = + y y+ = = = ± T T T T z = y = y = ± y (,; ) (,; ) (, ; ) (, ) ( ) ( ) = = = = y f f r 6 y ( y ) f t = = = 6y i Za T, r = 6 = 6 > Moguc ekstrem = s = rt s = 6 = 7 > Funkcija ima minimum. Funkcije dviju promj. 4
i Za T, r = 6 = 6 < Moguc ekstrem rt 4 4 s = 6 = 7 < Nema ekstrema i Za T, r = 6 = 6 > Moguc ekstrem rt 4 4 4 s = 6 = 7 < Nema ekstrema i Za T, r = 6 = 6 < Moguc ekstrem rt ( 6) ( ) s = = 7 > Funkcija ima maksimum 5. Odredi ekstreme funkcije z = + y + 4y y Postavimo uvjete: = ; = 4 4 = 4 4+ 4y = 4 4+ 4y = z = 4y + 4 4y = 4y + 4 4y = y + y = + y = + y y+ y = = y Rjesenje sistema daje tocke: T, ; T, ; T, f f y ( 4 4 4y) + = = r = ( 4 4 4y) + = = s = 4 y ( 4y 4 4y) 4 f + t = = = y i Za T, r = 4 = 4 < r 4 rt s = 4 4 4 = 6 6 = Funkcija nema ekstrem. i Za T, = 4 = > rt s = 4 4 = 84 > Funkcija ima minimum Funkcije dviju promj. 5
r min i Za T, = 4 = > Funkcija ima ekstrem rt s = 4 4 = 84 > Funkcija ima minimum 4 4 z = + + 4 = 8 = U okolisu tocke T, funkcija nema ekstrem jer je rt s. 6. Odredi dimenzije kvadra volumena 6m tako, da povrsina ploha bude mionimalna. Volumen kvadra iznosi: V = abc = yz = z = y 64 64 Oplosje iznosi: O = y+ yz+ z = y+ y + = y+ + y y y Postavimo uvjete: 64 = y = = ; = = y = 4 T 4, 4 z 64 = = y y f 64 8 f 64 y r y s f t = = = y = = = = = = 64 8 8 i Za T( 4, 4) r = = > 4 rt s = = > Funkcija ima ekstrem, minimum ( r = > ). z = = = Dimenzije kvadra sa minimalnim oplosjem su: 4 4 m y 4 4 7. Odredi ekstreme funkcije z = yln + y Postavimo uvjete: = ; = Funkcije dviju promj. 6
z y ( y ) y y ( y ) = ln + + = + ln + = + y + y y y = ln ( + y ) + y = ln ( y ) y + + = + y + y Iz prve jenadzbe slijedi y = Uvrstimo u drugu jednadzbu: + ln ( + ) ln = ln = + = ; = Iz druge jenadzbe slijedi = Uvrstimo u prvu jednadzbu: y + ( + y ) y y = y y = y = + y Dobili smo dvije tocke: T, ;,. ln ln ln ; y = Za T(,), funkcija je nedefinirana T + y Nastavljamo: y + y + ln ( + y ) = Oduzimanjem dobijemo: + ln ( + y ) = = y y = ± + ln ( + y ) + ln = + y = = =± = =± =± e e Slijedi: ln e y y y Dobili smo tocke: T, ; T4, ; T5, ; e e e e e e + T y y r e e + y f y 6, ln = + ( + ) = = y + y f + y y y + y + y 4 4 = y + ln ( + y ) = s s = + ln ( + y ) Funkcije dviju promj. 7
f y + y ln = + ( + y ) = t = y y y + y + y ( + ) + i Za T, r = = Funkcija nema ekstrem i Za T, r = Funkcija nema ekstrem + e e i Za T, r = = > e e e e + e e s = ; t = rt s = = 4 > Postoji ekstrem Funkcija ima ekstrem i to minimum: r = > zmin = ln + e e e e Istovrijedi za T 4 5 5 5 5 5 5 = ln = e e e + e e i Za T5, r5 = = e e e e + e e r = < s = ; t = rt s = = 4> Funkcija ima ekstrem i to maksimum: r = < z min = ln e e 5 8. Odredi ekstreme funkcije Postavimo uvjete: = ; = = + y = + y = = ; y = z ; y y y + = = = = + = y ( y) z = + y + y + + y = = = = y f f r 6 = s = Funkcije dviju promj. 8
( y ) f + t = = = 6y i Za T, r = 6 = Funkcija nema ekstrem i Za T, r = 6 = 6 < maksimum rt s = 6 6 = 7 > Funkcija ima ekstrem 9. Odredi ekstreme funkcije (,, ) 4 F y z = + y + z + y z = Postavimo uvjete: = ; = F F = = = F z 4 ( ) = = F ( y + ) = y = z y y + = = = F z 4 Izracunajmo aplikate: + y + z + y 4z = z 4 4 = = 6 = z z z z Zakljucujemo, da funkcija predstavlja sferu u prostoru i da ima maksimum u z = 6 i minimum u z = + + + z = Funkcije dviju promj. 9
4. Broj podijeli u tri pozitivna dijela tako, da zbroj umnozaka od po dva uzeta dijela odjednom, bude maksimalan. Oznacimo nase brojeve sa yi, + y ; + y Moramo naci maksimum funkcije: F = y+ + y y Funkcija predstavlja trokut, za koji se moze naci maksimum (vidi sliku): Postavimo uvjete: = ; = F = y+ ( y) ( + y) = y = + y = F y = + ( y) ( + y) + = = y = ma y ( y) Rjesenje sistema daje: = 4; = 4; + = 4 F = y+ + y y = + + = = Ispitajmo granicne tocke trokuta: 4 4 4 4 4 4 48 F i y = : Fy = = ( ) derivirajmo: = = = 6 Odgovarajuci maksimum iznosi: F = 6 6 = 6 < 48 ma ma F i = : F = = y( y) derivirajmo: = y = y = 6 Odgovarajuci maksimum iznosi: F = 6 6 = 6 < 48 ikonacno, za hipotenuzu imamo: y = : ( ) ( ( ))( ( )) ( ) F = + + = F = = = 6 Odgovarajuci maksimum iznosi: F = 6 6 = 6 < 48 ma Znaci apsolutni maksimum je za = y = z = 4 F = 48 ma Funkcije dviju promj.
4. Izracunaj najkracu udaljenost hiperbole + 8y+ 7y = 5; z = i ishodista Moramo znaci izracunati minimalnu udaljenost bilo koje tocje u y, sto iznosi + y, od ishodista uz uvjet da je + 8y+ 7y = 5. Uvjetovani ekstrem rjesava se koristenjem Lagrange-ovog multiplikatora: F = + 8y+ 7 y 5 + λ + y = Postavimo poznati uvjet: F = + 8y+ λ = ( λ + ) + 4y = Rjesenje sistema: F 4+ ( λ + 7) y = = 4y+ 8+ λ y = y λ + 4 = ( λ + )( λ + ) = λ + λ = λ = λ = 4 λ + 7 7 6 8 9 ; 9 i Za λ = imamo: + + 4y = = y Zamjenom u jednadzbi daje: + 8y+ 7y = 5 y + 8 y y+ 7 y = 5 5y = 5 Nema realnih rjesenja: y = i 45 i Za λ = 9 imamo: 9 + + 4y = y = Zamjenom u jednadzbi daje: + 8y+ 7 y = 5 + 8 + 7 = 5 45 = 5 = 5; y = 4 = + y = 5 + = 5 + y = 5 4. Izracunaj tocku plohe y+ z = 6 koja je najbliza ishodistu. Moramo znaci izracunati minimalnu udaljenost D = + y + z T(, y, z) od ishodista, uz uvjet da je y+ z = 6. y z 6 y bilo koje tocke + = = 6 ( 6) Postavimo poznati uvjet: + z D = + y + z = + + z + z D = + 4( + z 6) = 5+ 4z = = z = D 4+ 5z = 9 = 4( + z 6) + z = 6 6 y = + z 6 = + 6 = Trazena tocka je T,, 9 9 9 9 9 9 Funkcije dviju promj.
4. Izracunaj koordinate z, presjeka povrsine i valjka 5 z = + y + y = F = + y+ λ + y 5 = Postavimo poznati uvjet: F λ + λ = = + = Rijesimo sistem jednadzbi: yλ F + = = + yλ = + y = 5 = λ λ = ± y = λ i Za λ = imamo: + = = ; + y = y = F ( + λ) F ( + λ) r = = = λ = = s = min ( yλ ) F + = = t = λ Za λ = r = λ = = > Postoji minimum rt s = = > Funkcija ima minimum z = + y + = 5 T (, 5) i Za λ = imamo: + = = ; + y = y = Za λ = r = λ = = < Postoji maksimum rt s = = < Funkcija ima maksimum z = + y + = 5 T (,5) ma () ma min 44. Izracunaj volumen najveceg pravokutnog paralelopipeda koji se moze upisati u y z y z elipsoid + + = + + =. a b c 5 6 4 Oznacimo vrh kvadra u prvom oktantu sa Pyz (,, ). Volumen kvadra je tada V = 8yz. Postavimo poznati uvjet i derivirajmo implicitno: Funkcije dviju promj.
8 yz + y = 5z y z = = = Uvrstimo u jednadzbu elipsoida: 8y 5 6 4 8 z + y = z + y + z = + + = = 5 6 4 5 5 5 5 5 5 6 4 = = slicno tome dobijemo: y = z = 5 6 4 8 Trazeni volumen iznosi: V = 8yz = 8 = 5 6 4 9 8 ili opcenito: V = abc 9 F = + y + z y z 4 5 5 z = + y. Obrazlozi rezultate. Uvjetovani ekstrem rjesava se koristenjem Lagrange-ovog multiplikatora: 45. Izracunaj ekstreme funkcije uz slijedece uvjete: + + = i y z F = + y + z P + + = Q + y z = 4 5 5 y z G = F + λp+ λq = + y + z + λ + + + λ( + y z) = 4 5 5 Postavimo poznati uvjet: G λ = + + = G = + + = + + = + + G = + + = = λ λ λ + 4 4+ λ+ λ = yλ 5λ y λ y yλ 5λ y = 5 λ + 5z zλ 5λ = zλ 5λ z λ z = 5 λ + 5 λ 5λ 5λ Q + y z = + = :( λ ) λ + 4 λ + λ + 5 5 5 Rijesimo sistem: + + = λ + 4 λ + λ + 5 λ + 4 λ + λ + 5 75 7λ + 45λ + 75 = λ = ; λ = 7 Funkcije dviju promj.
λ λ λ λ 5λ i Za λ = : = = = ; y = ; z = λ + 4 + 4 6 λ λ 5λ y z 6 P + + = + + = 4 5 5 4 5 5 λ λ 5λ 8 5 + + = λ = λ = ± 6 Kriticne tocke su: 6 6 5 9 9 5 5 5 5 5 5 = ; y = ; z = 5 = ; y = ; z = 5 9 9 9 9 9 9 F y z 5 5 5 9 9 9 λ 75 λ λ 4 λ 7 λ 7 λ + 4 7 Trazeni ekstrem iznosi: = + + = + + 5 = i Za = : = = = ; y = ; z = 7 λ 75 + 4 7 4 8 4 7 7 y z λ λ λ 7 4 8 P + + = + + = 4 5 5 4 5 5 4 λ 7 λ 7 λ 4 + + = λ = ± Kriticne tocke su: 49 4 6 5 8 5 7 647 4 5 5 4 5 5 = ; y = ; z = = ; y = ; z = 647 647 647 647 647 647 = + + = + + 4 5 5 Trazeni ekstrem iznosi: F y z = 647 647 647 Funkcija F predstavlja udaljenost plohe nastale presjekom elipsoida P i ravnine Q, od ishodista. Ekstrem prikazuje naj vecu i naj manju udaljenost te ravnine od ishodista. Presjeciste je elipsa, pa su a = i b =,poluosi elipse. 7 75 75 7 4.4 Ovojnice porodice krivulja u rasnini 46. Odredi ovojnicu porodice krivulja zadanih sa sinϕ + ycosϕ = Postavimo uvjete: φ y,, ϕ = sinϕ + ycosϕ = φ( y,, ϕ) = cosϕ ysinϕ = ϕ sinϕ + ycosϕ = = sin ϕ; y = cosϕ cosϕ ysinϕ = Funkcije dviju promj. 4
Zamijenimo dobijena rjesenja: sinϕ + ycosϕ = + y y = + y = Ovojnica krivulja je kruznica + y = ϕ 47. Odredi ovojnicu porodice pravaca y = ϕ + ϕ Postavimo uvjete: φ( y,, ϕ) = y ϕ+ = ϕ φ( y,, ϕ) = + = = ϕ ϕ ϕ Zamijenimo dobijena rjesenja: y = ϕ + = + = Ovojnica krivulja je parabola y = z y 48. Odredi ovojnicu porodice povrsina zadanih sa = ϕ ϕ Postavimo uvjete: φ,, ϕ = ϕ ϕ = z ϕ ϕ y = z y = z = = zy y y y Ovojnica povrsina je krivulja y z y φ( y,, ϕ) = ϕy= ϕ = ϕ y Zamijenimo dobijeno rjesenje: = zy 49. Odredi ovojnicu porodice parabola y = ϕ ( + ϕ ) c Postavimo uvjete: φ( y,, ϕ) = y ϕ ( + ϕ ) = c ϕ c φ( y,, ϕ) = = ϕ = ϕ c c c c Zamijenimo dobijena rjesenja: y = + = c c Ovojnica krivulja je parabola c y = c Funkcije dviju promj. 5
5. Odredi ovojnicu porodice zadane sa dva parametra: z = α+ βy α β y z y Postavimo uvjete: φ,, α, β = α + β α β = φ( y,, α, β) = α = α = α y φ( y,, α, β) = y β = β = β y y Zamijenimo dobijena rjesenja: z = α+ βy α β = + y y Ovojnica krivulja je z = + 4z = + y 4 4 Funkcije dviju promj. 6