Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju zjednikih to- k esto se svrstv pod prlelnost prvc. Isto se proširuje i n odnose prvc u prostoru. No prvci u prostoru mogu biti u još jednom meusobnom odnosu, oni mogu biti mimoilzni ili mimosmjerni. Dv mimoilzn prvc niti se sijeku niti su prlelni. Nek je zdn kock ABCDEFGH. Prvci AB i EH su mimoilzni prvci. Uzmimo tetredr ABCD. Prvci AB i CD su mimoilzni prvci (pogledj sliku 1). Z svk dv prvc prostor koji se sijeku ili su prlelni postoji rvnin koj ih sdrži. Možemo tkoer reći kko dv prvc prostor koj se sijeku u jednoj toki ili su prleln (li se ne podudrju) jednoznno odreuju rvninu. Ne postoji rvnin koj sdrži dv mimoilzn prvc. Ov posljednj injenic mogl bi poslužiti i ko definicij: Mimoilzni prvci su prvci koji ne leže u istoj rvnini. O mimoilznim se prvcim u nstvi mtemtike govori mlo. Pojvljuju se u nstvi geometrije prostor već u 8. rzredu osnovne škole, potom i u. rzredu srednje škole, mogu se nći i Slik 1. 9
metodik u. rzredu srednje škole u zdcim veznim uz vektore u prostoru. I uvijek uenici imju teškoć pri rješvnju zhtjevnijih zdtk veznih uz ovo grdivo. Zbog tog ćemo u ovom lnku posvetiti mlo više pžnje mimoilznim prvcim i n primjerim prikzti kko se rješvju neki nješći problemi vezni uz njih. Udljenost mimoilznih prvc Udljenost mimoilznih prvc jednk je udljenosti prlelnih rvnin π i ρ. Možemo reći d je udljenost mimoilznih prvc jednk duljini odsjek kojeg ti prvci odsijecju n njihovoj zjednikoj okomici. Slik. Rekli smo d ne postoji rvnin koj sdrži dv mimoilzn prvc, li mimoilzni prvci (slik ) leže u prlelnim rvninm. Z svk dv mimoilzn prvc p i q postoje prlelne rvnine π i ρ, tko d je p π i q ρ. Odberimo po volji toku A p i njome povucimo prvc q prleln s prvcem q (slik ). Rvnin π je odreen prvcim p i q, p π. Tkoer uzmimo bilo koju toku B q i njome povucimo prvc p prleln s prvcem q. Rvnin ρ odreen je prvcim q i p, q ρ. Te su dvije rvnine odreene dvm provim meusobno prlelnih prvc p su i one meusobno prlelne. Slik 4. Kko bismo odredili udljenost dvju mimoilznih prvc nimo prvo prlelne rvnine u kojim leže mimoilzni prvci p i q. To su rvnine π i ρ. Odberimo rvninu σ koj je n njih dvije okomit, prolzi prvcem p. T rvnin sijee prvc q u toki Q, njezin ortogonln projekcij n rvninu π je tok P. PQ je zjednik okomic mimoilznih prvc i njezin duljin PQ jednk je udljenosti d tih prvc (slik 4). Trženu udljenost možemo odrediti i ko udljenost prlelnih rvnin π i ρ tko d bilo gdje n prvcu p odberemo toku T, ztim nemo njezinu ortogonlnu projekciju T n rvninu ρ (slik 4). Tržen udljenost bit će jednk TT. Slik. Kod odreivnj prlelnih rvnin u kojim leže mimoilzni prvci, prvcem p povucimo rvninu π koj je prleln prvcu q, ztim prvcem q rvninu ρ koj je prleln s p ili s već konstruirnom rvninom π. Slik 5. 10 broj 41 / godin 9. / 007.
Tkoer možemo postupiti i ovko: nimo rvninu σ koj je okomit n prvc p i ztim odredimo ortogonlne projekcije prvc p i q n tu rvninu. Projekcij prvc p je tok P, prvc q je prvc q. Udljenost d mimoilznih prvc jednk je udljenosti toke P od prvc q (slik 5). Ov metod je prktin kod mimoilznih prvc koji su meusobno okomiti. Primjer 1. Ncrtj prvilnu etverostrnu pirmidu s osnovkom ABCD i vrhom V. Odredi udljenost prvc VV i BC, ko je duljin osnovnog brid pirmide 4 cm, bonog 0 cm. sti tih strn kocke i jednk je duljini brid kocke, dkle iznosi. Primjer. Odredi udljenost prostorne dijgonle BD 1 kocke ABCDA1B 1C1D 1 i dijgonle AC osnovke kocke, ko je duljin brid kocke jednk. Rješenje: I opet je prktino nći rvninu DBB 1 D 1 koj je okomit n prvc AC (prvc je okomit n rvninu ko je okomit n dv prvc koj joj pripdju ovdje su to prvci BD i SO) kojoj pripd dijgonl BD 1. Tržen udljenost jednk je udljenosti toke S (ortogonln projekcij prvc AC n rvinu DBB 1 D 1 ) od BD 1 (slik 8). Udljenost MS možemo izrunti iz slinosti trokut SMB i DD 1 B. Kko je SB d 6 =, td je d = DD 1 6. Slik 6. Rješenje: Rvnin osnovke ABCD okomit je n prvc VV. Ortogonln projekcij prvc VV je tok V (središte osnovke), prvc BC već pripd toj rvnini. Tržen udljenost d jednk je udljenosti toke V od prvc BC, tj. jednk je duljini polovine brid osnovke (slik 6) i iznosi 1. Primjer. Kolik je udljenost mimosmjernih bridov prvilnog tetredr ko mu je duljin brid? Rješenje: Zdtk ćemo njbrže riješiti ko tetredr smjestimo u kocku tko d mu bridovi leže n dijgonlm strn kocke (slik 7). Td je duljin brid kocke. ED i BG Slik 7. su mimoilzni bridovi tetredr. Oni leže n prlelnim strnm ADHE i BCGF kocke, p je udljenost mimoilznih bridov jednk udljeno- Slik 8. Primjer 4. Kolik je udljenost prvc kojim pripdju mimoilzne plošne dijgonle kocke BC 1 i DB 1 1? Rješenje: Konstruirjmo prlelne rvnine AB 1 D 1 i DBC 1 (rvnine su prlelne jer je AB1 DC1 i AD1 BC1) koje sdrže dijgonlu DB 1 1 odnosno BC 1. Povucimo prvc koji je okomit n te dvije rvnine i probd ih u tokm E, odnosno F to je prvc kojem pripd prostorn dijgonl AC 1 (AC 1 AE, AC 1 BD 1 1 tkoer AC 1 CF, AC 1 BD). Tržen udljenost jednk je duljini dužine EF. Iz slike 9 lko uoimo (slinost i sukldnost trokut): AE EF FC 1 = = =. 11
metodik Primjer 5. Odredi udljenost izmeu mimoilznih plošnih visin prvilnog tetredr duljine strnice. Rješenje: 1. Odredimo prvo udljenost visin CD i SE (slik 10). Kroz toku E povucimo prlelu EF s CD. CD je prleln s rvninom SFE. Tržen udljenost jednk je udljenosti toke O (koj pripd visini CD ) od rvnine SFE. Zto povucimo OK EF i spojimo vrh pirmide S s tokom K. Rvnine SFE i SOK su okomite ( EF OK i EF SK). Okomic iz O n rvninu SEF leži u rvnini SOK, probd SFE u toki P. Slik 9. Slik 10. Duljin dužine OP je tržen udljenost dviju mimoilznih visin CD i SE. Iz slinosti trokut SO OK SOK i OPK izlzi OP =. SK Kko je SO = 6, OK DF = = i SK = 4 105 SO + OK =, tržen udljenost je 1 70 OP = 5.. Slino možemo nći udljenost izmeu plošnih visin CD i BN (slik 11). Povucimo prvc BF prleln visini CD. Rvnin NBF je prleln s CD. Konstruirmo rvninu NO1 G NBF. Spustimo okomicu iz O 1 n NG i ko presjek dobijemo toku P. Tržen udljenost je OP 1. Ponovo iz slinosti trokut i pripdnih element nemo OP 1 =. 10 10 Slik 11. Ponekd nm u rješvnju ovkvih problem može pomoći i vektorski run. Znmo d je psolutn vrijednost vektorskog umnoš- Slik 1. k jednk iznosu površine prlelogrm kojeg rzpinju t dv vektor, tj. P = b = bsinϕ (slik 1). Tkoer je psolutn vrijednost mješovitog umnošk triju vektor, b, c jednk obujmu prlelepiped kojeg rzpinju ti vektori tj. V = ( b) c = b c cosψ. Slik 1. 1 broj 41 / godin 9. / 007.
Pri tome je ψ kut kojeg ztvrju vektori b i c (slik 1). Tko zdtk iz primjer 5. pod 1. možemo riješiti n sljedeći nin: Dovoljno je konstruirti rvninu SFE prlelnu visini CD. Smjestimo tetredr u koordintni sustv ko n slici 14 tko d je ishodište u toki O, strnic BC y, AE pripd osi x. Vrh pirmide S pripd osi z. Sd odredimo koordinte tokm, p vrijedi: A B C, 00,, 6,, 0, 6,, 0 D E F 1, 4, 0, 00 6,,, 4, 8, 0 (D je polovište od AB, F polovište od DB), 6 S 00,,. Trženu udljenost OP možemo izrunti iz volumen pirmide FEOS. S jedne strne volumen pirmide izrunmo ovko: 1 1 V = OF OE SO 0 = OF OE 6 cos i 6 = 9 4 6 j 8 S druge strne možemo g izrunti n ovj n- in: k 6 = k =. () 1 9 16 48 0 0 0 Slik 14. 1 1 V = SF SE OP cos0 = SF SE OP i j k 1 6 = OP 4 8 6 0 6 OP 1 6 = i + j + k 8 4 16 OP 1 5 =. ( ) 16 70 Iz jednkosti (1) i () izlzi OP = 5. Ako se ne želimo igrti koordintm tok i konstrukcijom rvnine prlelne prvcu CD možemo krenuti i drukijim putem. Nije nimlo lkši (u ovom primjeru) li je prktin u sluju ko su mimoilzni prvci u prostoru zdni koordintm toke i vektorom smjer (ili koordintm dviju to- k što se svodi n isto). Idej je sljedeć: Nek je PQ zjednik okomic prvc CD i SE (vidi sliku 15). Vrijedi: PQ = PO + OS + SQ. Odredimo vektorsku bzu trim linerno nezvisnim vektorim nek je = CB, b = CA i z treći vektor uzmimo c = OS koji je okomit n prethodn dv vektor. Td možemo pisti 1 1 CD = + b, SE 1 1 b c =. 6 1
metodik još jedino izrunti PQ. 8 8 1 PQ = b + c b c = ( 8 8 + ) 5 5 5 5 = 64 + 64 + 9 8 8 1 = 5 5 70. Zdci z vježbu PQ = αpo + OS + βse 1 1 1 1 = α + b c + + β b c 6 α β = + b c + α β + ( 1 β). 6 Iz uvjet okomitosti (sklrni produkt okomitih vektor je 0) dobivmo: α β PQ CD = + b c + α β + ( 1 β) 6 1 1 + b = 0, ( ) α β PQ SE = + b c + α β + ( 1 β) 6 1 1 b c 6 = 0. ( 4) Iz () slijedi β = 6α (vidi tblicu).. b c 1 0 b 1 0 c 0 0 Slik 15. Iz (4) i koristeći β = 6α dobivmo α= 16 105, β= 96 8 8. Td je PQ = b + c. Ostlo je 105 5 5 5 1. Tok P je polovište brid BC kocke ABCDA1B 1C1D 1. Odredi udljenost prvc BD i BP 1 ko je duljin brid kocke jednk.. Osnovk trostrne prizme ABCA B C 1 1 1 jednkostrnin je trokut ABC strnice. Boni brid AA 1 ztvr s bridovim AB i AC jednke kutove veliine α. Kolik je udljenost bridov AA 1 i BC?. U prostoru su dne toke A( 1,,, ) B( 15,,, ) C( 1,,,) D( 0,, ). Ni udljenost mimoilznih prvc AB i CD. 4. U trostrnoj pirmidi nsuprotni mimoilzni bridovi su meusobno jednki i njihove duljine iznose, b i c. Ni udljenost izmeu svkog pr mimoilznih bridov. 5. Polumjer osnovke jednkostrninog (v=r) usprvnog vljk je R. Tok n kružnici gornje osnovke spojen je s tokom kružnice donje osnovke tko d t spojnic s rvninom osnovke ztvr kut α (α 45 ). Kolik je njkrć udljenost spojnice ovih dviju tok od osi vljk? LITERATURA 1/ B. Dkić, N. Elezović, Mtemtik Anlitik Geometrij, Element, Zgreb, 1999. / M. L. Krjzmn, Udljenost izmeu mimoilznih prvc, Kvnt, 197, br. 11 / N. Elezović, Mtemtik udžbenik z. rzred gimnzije, Element, Zgreb, 1996. 4/ B. Dkić, Mtemtik zbirk zdtk z. rzred gimnzije, Element, Zgreb, 1996. 14 broj 41 / godin 9. / 007.