Verovatnoća i Statistika. I deo. Verovatnoća. Beleške Prof. Aleksandra Ivića

Verovatnoća i Statistika I deo. Verovatnoća Beleške Prof. Aleksandra Ivića 0.1 Slučajni doga - daji i osnovni pojmovi verovatnoće Matematička teorija verovatnoće je grana čiste matematike. Teorija verovatnoće se bavi izučavanjem zakonitosti raznih slučajnih procesa i dogadaja. - Kao i u svakoj matematičkoj disciplini i ovde se polazi od skupa nedefinisanih objekata, a zatim se pomoću odredenih - aksioma razvija matematička teorija koja odgovara našem intuitivnom poimanju verovatnoće. Dalje, Teorija verovatnoće je polazna osnova za Matematičku Statistiku, jednu od oblasti matematike sa najviše primena. Matematička Statistika čini drugi deo ovih beleški. Osnovni pojam u teoriji verovatnoće (koji se kao takav ne definiše) je elementaran dogadaj, - a skup mogućih ishoda (realizacija) nekog opita ili pojave nazivamo skup elementarnih dogadaja - i označavamo sa Q. Slučajan dogadaj - A je neki podskup Q i sadrži sve elementarne dogadaje - koji imaju svojstvo kojim se A definiše. Dogadaj - Q je siguran (ili izvestan) dogadaj, - a prazan podskup (u oznaci, tj. skup bez elemenata) je nemoguć dogadaj. - Ako su A 1 i A 2 doga - daji, onda je i A 1 A 2 (unija doga - daja) tako - de doga - daj koji se realizuje kada se realizuje barem jedan od doga - daja A 1, A 2. Tako - de A i = A 1 A 2 A 3 i=1 je dogadaj - ako su A 1, A 2,... dogadaji. - Ako su A 1 i A 2 dogadaji, - onda je A 1 A 2 (presek dogadaja) - takode - dogadaj - koji se realizuje ako se realizuje istovremeno i dogadaj - A 1 i dogadaj - A 2. Dogadaji - A 1 i A 2 su disjunktni ako je A 1 A 2 =, tj. A 1 i A 2 nemaju zajedničkih elemenata. Razlika dva dogadaja - A 1 i A 2 (u oznaci A 1 \A 2 ) je dogadaj - koji se realizuje ako se realizuje dogadaj - A 1, a ne realizuje dogadaj - A 2. Svakom dogadaju - A može da se dodeli suprotan dogadaj - Ā, koji se realizuje ako se A ne realizuje. Primer 1 Kocka čije su strane označene od 1 do 6 baca se jedanput. bacanju kocke. Elementarni dogadaji - ovog eksperimenta su Eksperiment se sastoji u ω 1 = pad jedinice, ω 2 = pad dvojke,..., ω 6 = pad šestice. Skup elementarnih doga - daja Q je Q = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 }. Neka je A = pad parnog broja, B = pad neparnog broja, C = pad broja većeg od 4, tada je A = {ω 2, ω 4, ω 6 }, B = {ω 1, ω 3, ω 5 }, C = {ω 5, ω 6 }, 1

a na osnovu gornjih definicija je Ā = {ω 1, ω 3, ω 5 } = B, B C = {ω 5 }, B C = {ω 1, ω 3, ω 5, ω 6 }, A B = Q. Svakom elementu A iz Q dodeljuje se jedan realan broj koji se označava sa P (A) i zove se verovatnoća slučajnog doga - daja A. Za verovatnoću P (A) uvek važi 0 P (A) 1, pri čemu je P ( ) = 0 i P (Q) = 1, tj. nemoguć i siguran doga - daj imaju verovatnoće 0 odnosno 1, što je uostalom u skladu sa našim intuitivnim predstavama o verovatnoći. Dalja osobina kojom se definiše verovatnoća je P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ), (za A 1 A 2 = ), odakle je P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ), (za A i A j =, 1 i j n). Takode - sledi P (A) P (B), ako je A B, tj. ako je A podskup (sadržano u) B. Važi i P (Ā) = 1 P (A), P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Dokaz prve relacije je: pa je stoga B = B (B\A), A (B\A) =, P (B) = P (A) + P (B\A) P (A). Pored ove (tzv. aksiomatske) definicije verovatnoće, postoji i klasična (tzv. Laplasova) definicija verovatnoće, koja se sastoji u sledećem. Neka je prostor elementarnih doga - daja, vezanih za dati eksperiment, sastavljen od elemenata {ω 1, ω 2,..., ω n } koji imaju istu šansu da se realizuju, odnosno radi se o prostoru jednako verovatnih elementarnih doga - daja. Ako se doga - daj A realizuje ako se realizuje m (bilo kojih) doga - daja ω k, onda je P (A) = m/n, tj. verovatnoća je uprošćeno broj povoljnih ishoda podeljen brojem svih mogućih ishoda. Primer 2.1 Neka je Q skup iz Primera 1. Kako se obično pretpostavlja da se pri bacanju kocke svaki broj pojavljuje sa jednakom šansom, to je P (ω i ) = 1/6 (i = 1, 2,..., 6). Ako se kocka uzastopno baca tri puta onda je verovatnoća da se sva tri puta dobije 6 jednaka 1/216. Naime, broj mogućih (jednako verovatnih) dogadaja - predstavljaju trocifreni brojevi čije su cifre brojevi od 1 do 6 (što odgovara brojevima koji se dobijaju prilikom tri bacanja kocke) kojih ima ukupno 6 3 = 216, a jedini povoljan dogadaj - je broj 666. Primer 2.2 U preduzeću je zaposleno 8 ekonomista i 11 pravnika. Od njih se bira nasumce delegacija od 5 članova. Kolika je verovatnoća da se u delegaciji nalaze 3 ekonomiste i 2 pravnika? 2

Mogući slučajevi su svi izbori 5 od ukupno 19 = 8+11 elemenata. Povoljni slučajevi su da se izaberu 3 od 8 ekonomista i 2 od 11 pravnika. Verovatnoća da se u delegaciji nalaze 3 ekonomiste i 2 pravnika zato iznosi ) ( 11 )( 8 3 2 ( 19 ). 5 Primer 2.3 Cifre 0, 1,..., 9 poredane - su na slučajan način u niz. jedinica nisu susedne? Kolika je verovatnoća da nula i Ukupan broj rasporeda je 10!. Neka je A doga - daj da nula i jedinica nisu susedne. Doga - daj Ā se realizuje kao svaka permutacija devet simbola X, 2,..., 9 ili Y, 2,..., 9, gde je X = 01, Y = 10, jer samo tako su 0 i 1 jedno pored drugoga u nizu od 10 cifara. Takvih permutacija ima ukupno 9! + 9!, pa je 2 9! P (Ā) = = 1 10! 5, P (A) = 1 P (Ā) = 4 5. Doga - daji A i B su zavisni ako realizacija doga - daja A utiče na verovatnoću realizacije doga - daja B. Sa P (B A) se označava verovatnoća doga - daja B pod uslovom da se realizovao doga - daj A i ta verovatnoća se definiše kao P (B A) = P (A B), P (A) odakle je P (A B) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B). Doga - daji A i B su nezavisni ako je P (A B) = P (A)P (B). Ako je za doga - daje A 1, A 2,..., A n zadovoljena relacija P (A k1 A k2 A km ) = P (A k1 )P (A k2 )... P (A km ) (1) za svaki skup indeksa {k 1, k 2,..., k m } {1, 2,..., n} (2 m n), onda se za doga - daje A 1, A 2,..., A n kaže da su nezavisni u ukupnosti. Ako je Q = B 1 B 2 B n, a doga - daji B 1,..., B n se me - dusobno isključuju (tj. B i B j = za 1 i j n) onda je Dalje važi P (A) = P (A B 1 ) + P (A B 2 ) + + P (A B n ). A = A Q = A (B 1... B n ) = (A B 1 )... (A B n ) po zakonu distributivnosti za skupove. Kako su skupovi A B 1,..., A B n 3

disjunktni, to se dobija P (A) = P (B 1 )P (A B 1 ) + P (B 2 )P (A B 2 ) + + P (B n )P (A B n ), (2) što se naziva formula totalne verovatnoće. Kako je P (B i A) = P (B i A) P (A) = P (B i)p (A B i ), P (A) onda ako se iskoristi (2), dobija se za i = 1,..., n P (B i A) = P (B i )P (A B i ) P (B 1 )P (A B 1 ) + P (B 2 )P (A B 2 ) + + P (B n )P (A B n ), (3) što je poznato u literaturi kao tzv. Bajesova formula. Primer 3.1 Ako su B 1, B 2 proizvoljni doga - daji i P (A) > 0, pokazati da je P ((B 1 B 2 ) A) = P (B 1 A) + P (B 2 A) P ((B 1 B 2 ) A). Na osnovu definicije uslovne verovatnoće važi P ((B 1 B 2 ) A) = P ((B 1 B 2 ) A) P (A) = P ((B 1 A) (B 2 A)) P (A) = P (B 1 A) + P (B 2 A) P ((B 1 B 2 ) A) P (A) = P (B 1 A) + P (B 2 A) P ((B 1 B 2 ) A). Primer 3.2 Posmatrajmo tri ormana od kojih svaki ima dve fioke. Prvi orman sadrži po zlatan novčić u svakoj fioci, drugi orman u jednoj fioci sadrži srebrni novčić, a u drugoj zlatan, a treći orman u svakoj fioci sadrži po srebrni novčić. Nasumice je odabran orman i otvorena jedna fioka. Ako ta fioka sadrži zlatan novčić, kolika je verovatnoća da i druga fioka istog ormana sadrži tako - de zlatan novčić? Neka su A 1, A 2, A 3 doga - daji koji označavaju izbor prvog, drugog odnosno trećeg ormana, a B doga - daj da je iz fioke izvučen zlatan novčić. Nas ustvari interesuje P (A 1 B), jer samo prvi orman sadrži i u drugoj fioci zlatan novčić. Iz postavke zadatka je P (A 1 ) = P (A 2 ) = P (A 3 ) = 1/3, P (B A 1 ) = 1, P (B A 2 ) = 1/2, P (B A 3 ) = 0, pa (3) daje Primer 4.1 P (A 1 B) = P (A 1 )P (B A 1 ) P (A 1 )P (B A 1 ) + P (A 2 )P (B A 2 ) + P (A 3 )P (B A 3 ) = 2 3. Neka je u preduzeću zaposleno 60% muškaraca i 40% žena, i neka fakultetsko obrazovanje ima 60% muškaraca i 55% žena. Kolika je verovatnoća da je nasumce odabrana osoba, za koju se zna da ima fakultetsko obrazovanje, žena? 4

Neka je F dogadaj - da osoba ima fakultetsko obrazovanje, M da je muškarac, a Z da je žena. Traži se P (Z F ) = P (Z F ) P (F Z)P (Z) = P (F ) P (F M)P (M) + P (F Z)P (Z), jer je M Z = Q, F = F Q = F (M Z) = (F M) (F Z). Kako je P (M) = 3/5, P (Z) = 2/5, P (F M) = 3/5, P (F Z) = 0, 55, to sledi Primer 4.2 P (Z F ) = 11 = 0, 379310.... 29 Neka se stanovništvo grada sastoji od 40% muškaraca i 60% žena. Neka 50% muškaraca i 30% žena puši. Kolika je verovatnoća da je nasumce odabran pušač muškarac? Neka je M doga - daj da je izabrana osoba muškarac, a Z da je žena. Neka P označava pušača, a N nepušača. Date informacije su: Tada je P (P M) = 0, 5, P (P Z) = 0, 3, P (M) = 0, 4, P (Z) = 0.6. P (P ) = P (P M) + P (P Z). Ali P (P Z) = P (Z)P (P Z) = 0, 18, P (M P ) = P (M)P (P M) = 0, 2, tako da je P (P ) = 0, 38 i najzad P (M P ) = P (M P ) P (P ) = 0, 2 = 0, 5263.... 0, 38 0.2 Diskretne slučajne promenljive Diskretna slučajna promenljiva X nad skupom elementarnih doga - daja Q (prostorom verovatnoće) je funkcija koja svakom slučajnom doga - daju A iz Q dodeljuje jedan od brojeva x 1, x 2, x 3,..., pri čemu su x i realni brojevi kojih ima prebrojivo mnogo. Tada je funkcija f definisana nad skupom realnih brojeva pomoću f(x) = P (X = x) ( za x R funkcija gustine diskretne slučajne promenljive X. Očigledno je f(x) = 0 ako x nije jedan od brojeva x 1, x 2, x 3,..., a skup {ω : X(ω) = x} je slučajan doga - daj za x R. Primer 5 Neka novčić pada pismo (P ) sa verovatnoćom p, a glava (G) sa verovatnoćom 1 p. Recimo da za svaki pad P dobijamo dinar, a za svaki pad G plaćamo (gubimo) dinar. Ako je novčić pao tri puta, naš ukupni dobitak je 3, 1, -1 ili -3 dinara, koji možemo označiti sa X. Tabelarno to izgleda ovako: 5

ω X(ω) P (ω) P P P 3 p 3 P P G 1 p 2 (1 p) P GP 1 p 2 (1 p) GP P 1 p 2 (1 p) P GG -1 p(1 p) 2 GP G -1 p(1 p) 2 GGP -1 p(1 p) 2 GGG -3 (1 p) 3 Jasno je da je X diskretna slučajna promenljiva sa funkcijom gustine f(x) za koju je p 3, x = 3 3p 2 (1 p), x = 1 f(x) = 3p(1 p) 2, x = 1 (1 p) 3, x = 3 0, za ostale x. Najčešće funkcije gustine diskretnih slučajnih su sledeće: 1. Binomna respodela. Funkcija gustine (koja poopštava funkciju iz Primera 5) je ( n ) x p x (1 p) n x, x = 0, 1, 2,..., n, f(x) = 0, za ostale x, (4) gde je n 1 prirodan broj, 0 p 1. Broj p je parametar binomne raspodele. Raspodela (4) nastaje npr. prilikom bacanja novčića sa verovatnoćom p da padne pismo. Ako f(x) označava verovatnoću da je, prilikom bacanja novčića n puta, x (x = 0,..., n) puta palo pismo, onda se lako vidi da je f(x) dato baš preko formule (4) za binomnu raspodelu. 2. Hipergeometrijska raspodela. Funkcija gustine je f(x) = ( r1x )( r r1 ) n x ( r, n) x = 0, 1, 2,..., n, 0, za ostale x, (5) gde su n r, r 1 r dati prirodni brojevi. Pretpostavimo da imamo populaciju of r predmeta, od kojih je r 1 prve, a r 2 = r r 1 druge vrste. Recimo da je iz populacije izvučen uzorak od n ( r) predmeta. Neka je X broj objekata prve vrste u uzorku. Tada je X diskretna slučajna promenljiva koja uzima vrednosti 0, 1,..., n. Ukupan broj načina (povoljni slučajevi) izbora n od r predmeta je ( r n). Ako se traži P (X = x), onda imamo ( r 1x ) ( načina da izaberemo x predmeta prve vrste, i još r r1 ) n x načina da izaberemo da presotalih n x predmeta bude druge vrste. Sledi da je gustina X hipergeometrijska raspodela (5). 6

3. Geometrijska raspodela. Funkcija gustine je f(x) = { p(1 p) x, x = 0, 1, 2,..., 0, za ostale x, (6) gde je 0 < p < 1 dati parametar raspodele. 4. Uniforma raspodela. Funkcija gustine je f(x) = { 1 n+1, x = 0, 1, 2,..., n, 0, za ostale x, (7) gde je n dati prirodni broj. 5. Puasonova raspodela. Funkcija gustine je f(x) = { λ x e λ x!, x = 0, 1, 2, 3,..., 0, za ostale x, (8) gde je λ > 0 dati parametar raspodele. 6. Konstanta slučajna promenljiva Neka je c realan broj. Tada je funkcija X(ω) = c diskretna slučajna promenljiva, sa gustinom f(c) = 1 i f(x) = 0 za x c. Ovakva slučajna promenljiva se zove konstantna slučajna promenljiva. Sa ove tačke gledišta numerička konstanta može da se posmatra kao slučajna promenljiva. Osobine koje karakterišu gustinu f(x) neke diskretne slučajne promenljive su: a) f(x) 0 za svako x R, b) Skup {x f(x) 0} je konačan ili prebrojiv podskup R. Ako je taj podskup x 1, x 2, x 3,..., tada je c) f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) + = 1. Osobine a) i b) su očigledne iz definicije diskretne funkcije gustine X. Da se vidi da c) važi, primetimo da su dogadaji - { ω X(ω = x i } uzajamno disjunknti, i da je njihova unija ceo prostor verovatnoće Ω. Stoga je f(x i ) = ( ) P (X = x i ) = P [X = x i ] = P (Ω) = 1. i i Ostavlja se čitaocu da proveri da je za primere 1-6 osobina c) ispunjena. Obrnuto, ako neka funkcija f(x) zadovoljava osobine a) c), onda postoji slučajna promenljiva X i prostor verovatnoće Ω čija je gustina upravo f(x). i 7

U slučaju da je dato n diskretnih slučajnih promenljivih X 1, X 2, X 3,..., X n nad istim prostorom verovatnoće Q može se govoriti o diskretnom slučajnom vektoru X, gde je X(ω) = (X 1 (ω), X 2 (ω),..., X n (ω)) ili kraće X = (X 1, X 2,..., X n ), tj. X dodeljuje svakom ω jednu n-torku brojeva po navedenom pravilu. n dimenzionalna gustina f(x 1, x 2,..., x n ) diskretnog vektora X definiše se kao f(x 1, x 2,..., x n ) = P (X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n ). (9) Ako su X 1, X 2,..., X n diskretne slučajne promenljive sa gustinama f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 ),..., f n (x n ), onda se kaže da su te promenljive nezavisne ako je f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 )... f n (x n ), (10) a u protivnom su zavisne. U posebno slučaju n = 2 sledi da su X i Y nezavisne slučajne promenljive ako je f(x, y) = P (X = x)p (Y = y). Zajedno sa diskretnim slučajnim promenljivama X i Y može se posmatrati i diskretna slučajna promenljiva Z = X + Y, koja je zbir promenljivih X i Y. Ako su f X, f Y, f Z gustine X, Y odnosno Z, tada je f Z (z) = f X+Y (z) = x f(x, z x), no ako su X i Y nazavisne onda (10) daje f X+Y (z) = x f X (x)f Y (z x). (11) 0.3 Matematičko očekivanje diskretnih slučajnih promenljivih Neka je X diskretna slučajna promenljiva gustine f koja uzima vrednosti x 1, x 2,... Ako je suma x 1 f(x 1 ) + x 2 f(x 2 ) + x 3 f(x 3 ) +... ograničena, kaže se da X ima konačno matematičko očekivanje (srednju vrednost) EX koje se definiše kao EX = x 1 f(x 1 ) + x 2 f(x 2 ) + x 3 f(x 3 ) + = x i x i f(x i ). (12) Ukoliko suma i x i f(x i ) nije ograničena kaže se da X ne poseduje konačno matematičko očekivanje, i onda je EX nedefinisano. Ako su X i Y dve diskretne slučajne promenljive sa konačnim očekivanjem onda važi: 1. Ako je c konstantna i P (X = c) = 1, tada je EX = c. 2. Ako je c konstantna onda je E(cX) = cex. 8

3. X + Y ima konačno očekivanje i E(X + Y ) = EX + EY. 4. Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, onda XY ima konačno očekivanje i E(XY ) = EX EY. 5. Ako je P (X Y ) = 1 onda je EX EY, a ako je EX = EY onda je P (X = Y ) = 1. 6. EX E X. Ove osobine se lako pokazuju koristeći definiciju EX. Naprimer, osobina 3 sledi jer je E(cX) = i cx i f(x i ) = c i x i f(x i ) = cex, a 6. sledi jer je EX = x i f(x i ) x i f(x i ) i i = x i f(x i ) = E X. i Važan pojam verovatnoće su tzv. momenti slučajnih promenljivih. Ako je r 0 ceo broj, a X diskretna slučajna promenljiva kaže se da X poseduje momenat reda r, ako X r ima konačno matematičko očekivanje. Centralni momenat reda r je momenat reda r za X µ, gde je µ = EX česta oznaka u teoriji verovatnoće. Za te momente važe formule EX r = x x r f(x), (13) odnosno, E(X µ) r = E(X EX) r = x (x µ) r f(x). (14) Posebno značajan je drugi centralni momenat X, koji se naziva varijansa X i označava sa Var X = σ 2. Važi σ 2 = Var X = E(X EX) 2 = E(X 2 ) (EX) 2. (15) Varijansa predstavlja meru odstupanja promenljive X od svoje očekivane vrednosti EX, i kao takva ima veliki značaj. Očevidno Var X 0 za svaku slučajnu promenljivu X. Osim toga, Var X = 0 ako i samo ako je X = const. sa verovatnoćom 1. Zaista, ako važi relacija P {X = c} = 1, onda je EX = 1 c = c, pa je Var X = (c EX) 2 = (c c) 2 = 0. Obrnuto, neka promenljiva X uzima bar dve vrednosti x 1 i x 2 sa verovatnoćama p 1 i p 2. Tada ili EX x 1 ili EX x 2, pa sledi da je Tako - de važi i osobina (A, B su konstante) Var X (x 1 EX) 2 p 1 + (x 2 EX) 2 p 2 > 0. ( 2 Var (AX + B) = E(AX + B AEX B) 2 = E A(X EX)) = A 2 Var X. 9

Ako imamo dve slučajne promenljive X i Y sa konačnim drugim momentom, onda je Var (X + Y ) = Var X + Var Y + 2Cov (X, Y ), (16) gde se Cov (X, Y ) zove kovarijansa X i Y i računa po formuli Cov(X, Y ) = E(XY ) EX EY, (17) tako da je Cov(X, Y ) = 0 ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, kada je Var(X +Y ) = VarX + VarY. Opštije, ako su X 1, X 2,..., X n nezavisne slučajne promenljive, tada je Var (X 1 + X 2 + + X n ) = Var X 1 + Var X 2 + + Var X n. (18) Važi i nejednakost [E(XY ) 2 ] (EX 2 )(EY 2 ) (19) ako X i Y imaju konačan drugi momenat, što je u literaturi poznato kao nejednakost Koši Švarca. Dokaz sledi iz činjenice da je, za realno α, 0 E[(X αy ) 2 ] = E(X 2 ) 2αE(XY ) + α 2 E(Y 2 ). Ovo je kvadratna funkcija po α, čiji je minimum za Sledi da je α = α 0 = E(XY ) E(Y 2 ). 0 E[(X α 0 Y ) 2 ] = E(X 2 ) E(XY ) E(Y 2 ), a to daje (19). Ovde se pretpostavilo da E(Y 2 ) 0, jer je u protivnom tvr - denje trivijalno. Neka je X nenegativna slučajna promenljiva sa konačnim očekivanjem, a t realan broj. Neka je Y = 0 ako je X < t i Y = t ako je X t. Tada je Y diskretna slučajna promenljiva koja uzima vrednosti 0 i t sa verovatnoćom P (Y = 0) = P (X < t) i P (Y = t) = P (X t). Onda je EY = tp (Y = t) + 0 P (Y = 0) = tp (X t). Jasno je da je X Y, pa je i EX EY. Stoga je EX tp (X t), odnosno P (X t) EX t (t > 0), (20) tj. u ekvivalentnom obliku P (X < t) 1 EX t (t > 0). Iz (20) se mogu izvesti dalje relacije, izme - du kojih se izdvaja tzv. nejednakost Čebiševa P ( X µ t) σ2 t 2 (t > 0), (21) 10

ako je X slučajna promenljiva sa EX = µ i VarX = σ 2. Da se dobije (21), primenjuje se (20) na promenljivu (X µ) 2 i t 2, pa je P ( X µ 2 t 2 ) E X µ 2 t 2 = σ2 t 2. Kako je X µ 2 t 2 ako i samo ako je X µ t, to (21) sledi. Na kraju dajemo matematičko očekivanje i varijansu za diskretne slučajne promenljive iz odeljka 3.1.2 u sledećoj tabeli. Matematičko Raspodela Gustina očekivanje Varijansa EX Var X Binomna (4) np npq Geometrijska (6) (1 p)/p (1 p)/p 2 Uniformna (7) n/2 n(n + 2)/12 Puasonova (8) λ λ Recimo za binomnu raspodelu (4) važi ( ) n n EX = j p j (1 p) n j. j j=0 Me - dutim ( ) n j = j n! ( ) j j!(n j)! = n (n 1)! n 1 (j 1)![(n 1) (j 1)]! = n, j 1 Ako se sad uvede smena i = j 1 i iskoristi binomna teorema ( ) m m (a + b) m = a j b m j, j j=0 onda se dobija ( ) n n 1 EX = n p j (1 p) n j j 1 j=1 ( ) n 1 n 1 = np p i (1 p) n i 1 i i=0 = np [p + (1 p)] n 1 = np. 0.4 Neprekidne slučajne promenljive U mnogim slučajevima primene dešava se da slučajna promenljiva nije diskretna već neprekidna u smislu da kao vrednosti ima sve tačke nekog (konačnog ili beskonačnog) intervala. Tada mora biti P ({ω X(ω) = x}) = 0 ( < x < ), (22) 11

ili drugim rečima verovatnoća da slučajna promenljiva X ima za vrednost neko dato x je uvek nula. Stoga ima više smisla posmatrati verovatnoću F (x) = P (X x) ( < x < ), (23) koja je funkcija od x i naziva se funkcija raspodele promenljive X. Naravno, ta funkcija je definisana i ima smisla i za diskretne slučajne promenljive, ali je od posebnog značaja za neprekidne slučajne promenljive, koje zadovoljavaju (22). Osnovne osobine svake funkcije raspodele neprekidne slučajne promenljive su: 1. 0 F (x) 1, 2. F () = 0, F ( ) = 1, 3. F (x 1 ) F (x 2 ) za x 1 x 2, 4. P (a < X b) = F (b) F (a), 5. lim 0). x x 0 + (24) Primer 6 Posmatrajmo eksperiment slučajnog biranja tačke iz kruga poluprečnika R sa centrom u koordinatnom početku. Neka je X slučajna promenljiva koja označava rastojanje izabrane tačke od koordinatnog početka. Ako je 0 x R, dogadaj - {ω X(ω) = x} je krug poluprečnika x sa centrom u koordinatnom početku, čija je površina π x 2. Po klasičnoj definiciji verovatnoće važi P (X(ω) x) = π x2 π R 2 = x2 R 2, 0 x R. X je očevidno neprekidna slučajna promenljiva sa funkcijom raspodele 0, x < 0, F (x) = x 2, 0 x R, R 2 1, x > R. Gustina raspodela neprekidne slučajne promenljive je nenegativna funkcija f(x) za koju je f(x) dx = 1 i Stoga je F (x) = x P (a X b) = a u tačkama u kojima je f(x) neprekidno važi f(y) dy. (25) b a f(x) dx, (26) df (x) dx tj. F (x) je primitivna funkcija za f(x). = F (x) = f(x), (27) 12

Kao i u slučaju diskretnih slučajnih promenljivih, i kod neprekidnih slučajnih promenljivih se definiše matematičko očekivanje µ = EX, varijansa Var X = σ 2 i centralni momenti. Neka je X neprekidna slučajna promenljiva sa gustinom f(x). Ako je x f(x) dx konačno, onda se kaže da X ima konačno matematičko očekivanje EX koje se definiše kao EX = Tako - de se definiše r-ti moment EX r kao EX r = odnosno centralni r-ti moment kao (µ = EX) E(X EX) r = E(X µ) r = x f(x) dx. (28) x r f(x) dx, (29) (x µ) r f(x) dx. (30) Isto kao kod diskretnih promenljivih varijansa se definiše kao drugi centralni moment, tj. σ 2 = Var X = (x EX) 2 f(x) dx = (x µ) 2 f(x) dx. (31) Na kraju odeljka dajemo nekoliko najčešćih gustina neprekidnih slučajnih promenljivih. U poglavlju o Statistici biće date još neke osnovne gustine vezane za raspodele iz Statistike (log-normalna, Studentova, itd.). 1. Uniformna raspodela. Funkcija gustine je f(x) = 1 b a, a x b (a < b) 0, za x < a ili x > b. (32) Slučajna promenljiva X sa gustinom f(x) ima uniformnu raspodelu nad intervalom [a, b], gde je µ = EX = (a + b)/2, a σ 2 = Var X = (b a) 2 /12. 2. Normalna raspodela. Funkcija gustine je f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 ( < x < ), (33) gde su µ i σ dati parametri normalne raspodele, gde je upravo EX = σ, Var X = σ 2 za dato µ i σ 2, te se stoga često i koriste oznake µ i σ 2 za očekivanje, odnosno varijansu, jer su te 13

vrednosti upravo one koje se i dobijaju kod normalne raspodele. Ove relacije se dokazuju uz pomoć klasičnog integrala e x2 dx = π. Da se ovo pokaže, ako se integral označi sa I, onda se prelaskom na polarne koordinate x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, I 2 = 4 e x2 dx e y2 dy = 4 0 0 π/2 0 0 π/2 ( e r2 r dϕ dr = 2 dϕ d e r2) = π. 0 0 Grafik krive normalne raspodele je zvonastog oblika, simetričan u odnosu na pravu x = µ i sa maksimumom 1/ 2πσ za x = µ. Levo, odnosno desno od x = µ funkcija veoma brzo opada i teži nuli. Značaj normalne raspodele ogleda se i u sledećem tvr - denju, koje se u teoriji verovatnoće naziva centralna granična teorema: Neka su X 1, X 2, X 3,... slučajne promenljive (diskretne ili neprekidne) koje su nezavisne (v. (51)) i imaju istu raspodelu sa konačnim matematičkim očekivanjem µ i varijansom σ 2. Ako je S n = X 1 + X 2 + X 3 + + X n, tada je ( ) lim P Sn µn n σ n x = x 1 2π e y2 2 dy. (34) Jednačina (36) kazuje ustvari da raspodela slučajne veličine (S n µn)/(σ n) teži ustvari normalnoj raspodeli sa parametrima µ = 0 i σ = 1. Funkcija Φ(x) = 1 2π x e y2 2 dy, (35) koja se pojavljuje u (36) je izračunata za razne vrednosti x i njene vrednosti se nalaze u posebnim tablicama. Valja napomenuti da (36) obuhvata i diskretne i neprekidne slučajne promenljive. Osim centralne granične teoreme, postoji još puno rezultata sličnog tipa iz Teorije verovatnoće koji su od velikog teorijskog kao i praktičnog značaja. Ovde izdvajamo samo dva takva rezultata, koja kao i (36) dajemo bez dokaza, koji važe i za diskretne i za neprekidne slučajne promenljive. Teorema Hinčina. Neka je {X k } n k=1 niz nezavisnih slučajnih promenljivih sa uniformnim ograničenim disperzijama i istim matematičkim očekivanjem µ. Tada za svako ε > 0 važi { } lim P 1 n X n k µ n < ε = 1. k=1 Bernulijeva Teorema. Neka slučajna promenljiva X ima binomnu raspodelu sa parametrima n i p. Tada za svako ε > 0 važi { } lim P X n n p < ε = 1. 14

3. Gama raspodela. Funkcija gustine je f(x) = a n Γ(n) xn 1 e ax, 0 x, 0, x < 0, (36) gde su a, n > 0 parametri raspodele, a gama-funkcija Γ(n) je za u > 0 definisana kao Γ(u) = 0 x u 1 e x dx, i zadovoljava funkcionalnu jednačinu Γ(u + 1) = uγ(u). U slučaju da je n 1 prirodan broj, Γ(n) = (n 1)! = 1 2... (n 1), a 0! = 1 po definiciji. Tako - de je, smenom x = y 2, i Γ( 1 2 ) = odakle je matematičkom indukcijom 0 x 1/2 e x dx = 2 e y2 dy = π, 0 ( ) Γ n + 1 1 3 5 (2n 1) 2 = π (n N). 2 n Za gama raspodelu važi EX = n/a, Var X = n/a 2. 4. Eksponencijalna raspodela. Funkcija gustine je f(x) = { a e ax, 0 x, 0, x < 0. (37) gde je a > 0 parametar raspodele. U ovom slučaju je EX = 1/a, Var X = 1/a 2. 5. Beta raspodela. Funkcija gustine je f(x) = Γ(n+m) Γ(n)Γ(m) xn 1 (1 x) m 1, 0 x 1, 0, x > 1 ili x < 0, (38) gde su m, n > 0 parametri raspodele. Ovde je EX = n/(n + m). 6. Košijeva raspodela. Funkcija gustine je Funkcija raspodele ovde je f(x) = 1 π(1 + x 2 ) F (x) = 1 2 + 1 arc tg x π ( < x < ). ( < x < ). 15

Ukoliko se zna da slučajna promenljiva X ima konačno očekivanje EX = µ i varijansu Var X = σ 2, onda važi nejednakost (21), tj. P ( X µ > t) σ2 t 2 za svako t > 0. Ovo je tzv. nejednakost Čebiševa, koja kazuje koliko X odstupa od svakog matematičkog očekivanja µ. Mada je dosta gruba, ova nejednakost ima tu prednost da se lako primenjuje. Dokaz koji je dat za diskretne slučajne promenljive (kao i za (20)) važi i u slučaju neprekidnih promenljivih. U ovom slučaju može se nejednakost izvesti i na sledeći direktan način: P ( X µ > t) = x µ >t f(x) dx x µ >t x µ 2 t 2 f(x) dx Var X t 2 = σ2 t 2. Ako je X neprekidna slučajna promenljiva sa gustinom f(x), onda se gustina slučajne promenljive Y = X 2 može naći pomoću tzv. metode smene, koja će na sledećem primeru biti prikazana. Naime neka su F, G funkcije raspodele X tj. Y. Tada je G(y) = 0 za y 0. Za y > 0 G(y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = F ( y) F ( y). Diferenciranje daje g(y) = G (y) = 1 ( 2 f( y ) + f( ) y ), y čime je odredena - gustina g(y) od Y, pod uslovom da je G(y) diferencijabilno. Ako to nije slučaj, gornja formula opet važi, što sledi smenom promenljivih, direktnom proverom (x > 0): x Smenom z = y dobija se x g(y) dy = x x 0 1 ( 2 f( y) + f( ) y) dy. y f(z)dz = F ( x) F ( x) = G(x). 0.5 Raspodela dvodimenzionalnih slučajnih promenljivih Neka su X i Y slučajne promenljive nad istim prostorom verovatnoće. zajednička funkcija raspodele F (x, y) definiše kao Tada se njihova F (x, y) = P (X x, Y y), ( < x, y < ) (39) tj. kao verovatnoća da istovremeno X nije veće od x i Y nije veće od y. Iz ove definicije neposredno sledi P (a < X b, c < Y d) = F (b, d) + F (a, c) F (a, d) F (b, c) za a < b, c < d. Jednodimenzionalne raspodele F X i F Y se kao promenljivih X odnosno Y definišu F X (x) = P (X x) odnosno F Y (y) = P (Y y) (40) 16

i nazivaju marginalne funkcije raspodele za X i Y. Važi F X (x) = lim F (x, y), F y Y (y) = lim F (x, y). (41) x Ako su X i Y diskretne slučajne promenljive, dvodimenzionalna gustina od X i Y je pri čemu je P (X = x, Y = y) := f(x, y), f(x, y) 0, x i,y i f(x i, y i ) = 1, gde su x i tačke u kojima P (X = x i ) 0, a y i tačke u kojima P (Y = y i ) 0. U slučaju da su X i Y neprekidne slučajne promenljive, razmatranje je sledeće. Ako postoji nenegativna funkcija f(u, v) od dve promenljive u i v tako da je x ( y ) F (x, y) = f(u, v) dv du, ( < x, y < y) (42) tada je f(u, v) funkcija gustine za par neprekidnih slučajnih promenljivih X i Y, pri čemu se podrazumeva postojanje integrala u (42). Ako F poseduje gustinu f, onda je: ( b ) d P (a < X b, c < Y d) = f(x, y) dy dx, (43) f X (x) = f(x, y) dy, f Y (y) = a c f(x, y) dx, (44) gde su f X (x) odnosno f Y (y) (obične) gustine slučajnih promenljivih X i Y. U tačkama u kojima je dvodimenzionalna gustina f(x, y) neprekidna važi f(x, y) = 2 F (x, y), (45) x y tj. gustina je drugi mešoviti izvod funkcije raspodele. Ako su X i Y neprekidne slučajne promenljive sa zajedničkom gustinom f(x, y), onda se uslovna gustina f Y X definiše kao f(x,y) f X (x), 0 < f X(x) <, f Y X (y x) = 0, f X (x) = 0, a uslovna verovatnoća P (a Y b X = x) kao P (a Y b X = x) = b a f Y X (y x) dy, (a < b) što predstavlja verovatnoću da je Y izme - du a i b, ako se zna da je X = x. Važi f Y X (x, y) = (46) f X (x)f Y X (y x), (47) f X (x)f Y X (y x) dx 17

što je ustvari formula analogna Bajesovom pravilu (3) za uslovnu verovatnoću kod diskretnih promenljivih. Slično kao kod jednodimenzionalne slučajne promenljive možemo definisati matematičko očekivanje E[g(X, Y )] funkcije g(x, Y ) od slučajnih promenljivih X i Y kao E[g(X, Y )] = g(x, y) f(x, y) dx dy, (48) pod uslovom da dvostruki integral u (48) apsolutno konvergira. Promenljive X i Y su nezavisne ako je odnosno ako je F (x, y) = F X (x) F Y (y), (49) f(x, y) = f X (x) f Y (y), te se u slučaju nezavisnih promenljivih integral u (48) obično znatno uprošćava. U statistici je od značaja kovarijansa X i Y koja se definiše kao (videti (16) i (17)) Izraz Cov(X, Y ) = E[(X E(X))(Y E(Y ))] = E(XY ) EX EY (50) = (x E(X))(y E(Y )) f(x, y) dx dy. ϱ = Cov(X, Y ) VarX VarY (51) naziva se koeficijent korelacije i koristi se u slučaju i diskretnih i neprekidnih slučajnih promenljivih. Važi 1 ϱ 1, ϱ = 0 ako su X i Y nezavisne promenljive, ϱ = ±1 ako je Y = ax + b za neke konstante a, b (ovo će biti dokazano u poglavlju o Statistici). Gustina ) 1 f(x, y) = (2πσ x σ y 1 ϱ 2 e Q 2, ( < x, y < ), (52) Q = 1 1 ϱ 2 ( x µx σ x ) ( ) 2 2 ( ) ( ) y µy x µx y µ y + 2ϱ (53) se zove gustina normalne raspodele dvodimenzionalne slučajne promenljive. Ovde su σ y µ x, µ y, σ x, σ y, ϱ dati parametri, pri čemu je upravo EX = µ x, EY = µ y, Var X = σ 2 x, Var Y = σ 2 y, a koeficijent korelacije X i Y je ϱ. Ako je Z = X + Y, tada je gustina f Z (z) promenljive Z data pomoću f Z (z) = f X,Y (z) = σ x f(x, z x) dx, ( < z < ), (54) σ y 18

gde je f(x, y) gustina raspodele od X i Y. Primer 1 Neka se uniformno bira tačka iz kruga poluprečnika R, sa centrom u O. Ako neprekidne slučajne promenljive X, Y označavaju koordinate tako izabrane tačke (x, y), onda uslov uniformnosti kazuje da je f(x, y) = 1 πr 2, x 2 + y 2 R 2, 0, za ostale x, y. Onda je, ako je A oblast koja leži u krugu, P ((X, Y ) A) = f(x, y) dx dy = površina A A πr 2 = površina A površina kruga, što je saglasno i sa pojmom uniformnosti i sa pojmom geometrijske verovatnoće. Marginalna gustina f X (x) = f(x, y)dy = 2 R 2 x 2 πr 2 ( R < x < R), a za ostale x važi f X (x) = 0. Slična formula važi i za f Y (y), pa se dobija f X (x)f Y (y) = 4 R 2 x 2 R 2 y 2 π 2 R 4 1 = f(x, y), πr2 što znači da X i Y nisu nezavisne slučajne promenljive. Primer 2. Data je funkcija f(x, y) = c exp ( 1 ) 2 (x2 xy + y 2 ) ( < x, y < ). Da bi f(x, y) bila dvodimenzionalna gustina, potrebno je i dovoljno da je f(x, y)dx dy = 1. Uz pomoć integrala izračunava se da je c = 3/(4π). e x2 dx = π Najzad, ako su X 1, X 2,..., X n slučajne promenljive nad istim prostorom verovatnoće, onda je zajednička funkcija raspodele F definisana kao (55) F (x 1, x 2,..., x n ) = P (X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ), (56) < x 1, x 2,..., x n <, a marginalne funkcije distribucije F Xm (m = 1, 2,..., n) kao F Xm (x m ) = P (X m x m ) ( < x m < ). (57) 19

Nenegativna funkcija f od n promenljivih je gustina n-dimenzionalne raspodele F ako je F (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x 2 što je očigledno poopštenje već izučavanog slučaja kada je n = 2. x n f(u 1, u 2,..., u n )du 1 du 2... du n, (58) 0.6 Karakteristične funkcije i funkcije generatrisa momenta Metod karakterističnih funkcija, tj. metode Furijeove transformacije funkcije raspodele je jedan od osnovnih metoda u teoriji verovatnoće. Ako je X slučajna promenljiva, tada je ϕ X (t) = E e itx = e itx df (x) (59) njena karakteristična funkcija, gde je F (x) funkcija raspodele slučajne promenljive X, t realan broj i i = 1. Kompleksnu slučajnu promenljivu Z = X + iy možemo shvatiti kao ure - den par slučajnih promenljivih (X, Y ) koji prostor verovatnoće preslikava u kompleksnu ravan. Tada se definiše EZ = EX + iey, i u opštem slučaju EZ r = E(X + iy ) r (r > 0). Eksponencijalna funkcija se definiše kao Poznata relacija e z = n=0 z n n! e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 ( z C). ostaje u važnosti za sve kompleksne brojeve z 1, z 2. Lako se dobijaju i tzv. Ojlerove formula e it = cos t + i sin t, cos t = 1 2 (eit + e it ), sin t = 1 2i (eit e it ), koje su prvobitno dokazane za realno t, ali važe i za svako kompleksno t, te često služe u komplesknoj analizi za definiciju trigonometrijskih funkcija. Gornja definicija ϕ X (t) važi i za diskretne i za neprekidne promenljive, te ako X ima gustinu f onda je u tačkama neprekidnosti ϕ X (t) = x i e itx i f(x i ), (60) ako je X diskretna promenljiva, koja uzima vrednosti x i, odnosno ϕ X (t) = e itx f(x) dx, (61) u slučaju neprekidne promenljive X, jer je tada df (x) = f (x). Ako postoji n ti momenat slučajne promenljive X, onda je ϕ (n) X (0) = in EX n, (62) 20

tj. momenti se jednostavno izračunavaju preko izvoda karakteristične funkcije. Za svaku karakterističnu funkciju ϕ X (t) važi ϕ X (0) = 1, ϕ X (t) 1, ϕ X ( t) = ϕ X (t), (63) gde je z = x iy konjugovana vrednost kompleksnog broja z = x + iy. Ako je Y = c 1 X + c 2 za neke konstante c 1, c 2, onda je ϕ Y (t) = Ee ity = Ee it(c 1X+c 2 ) = Ee itc 1X Ee itc 2 = e itc 2 ϕ X (c 1 t), te je za odre - divanje karakteristične funkcije c 1 X + c 2 dovoljno znati samo karakterističnu funkciju X. U opštem slučaju, Furijeova transformacija f(α) F (α) (ovde F ne označava više funkciju raspodele) funkcije f(x) se definiše kao F (α) = f(α) = f(x) e iαx dx (α R), naravno pod pretpostavkon da integral na desnoj strani postoji. Pod odredenim - uslovima iz gornje relacije važi tzv. formula inverzije za Furijeove transformacije f(x) = 1 2π F (t)e itx dt. Funkcija f(α) je neprekidna za svako realno α, predstavlja linearan operator (H je linearan operator ako je H(α 1 u + α 2 v) = α 1 H(u) + α 2 H(v) za skalare (brojeve) α 1, α 2 i vektore (funkcije itd.) u, v). Ako je f parno, onda je ˆf parno, a ako je f neparno, onda je i ˆf takode - neparno. Ako se konvolucija dveju funkcija f i g definiše kao (f g)(x) = f(x y)g(y)dy (x R), onda je operacija konvolucije (f g)(x) komutativna, asocijativna i distributivna u odnosu na obično sabiranje funkcija. Tako - de važi i teorema o konvoluciji f g = f ĝ, koja ima veliki značaj u primenama, a važi za široku klasu funkcija f, g. x y = u sledi f g(α) = = = e iαx f(x y)g(y) dy dx g(y) = f(α) ĝ(α). e iαx f(x y) dx dy g(y)e iαy e iαu f(u) dy du Naime smenom Na kraju ove kratke diskusije o Furijeovim transformacijama, valja pomenuti i tzv. Parsevalovu (ili Planšarelovu) formulu: 21

Naime, primenom formule inverzije važi = f(x) 2 dx = ( F (t) f(x)e itx dx f(x) 2 dx = 1 2π f(α) 2 dα. f(x)f(x) dx = 1 2π ) dt = ( ) f(x) F (t)e itx dt dx F (t) 2 dt = 1 2π f(α) 2 dα. Primer 7 Neka X ima uniformnu raspodelu (31). Tada je za t 0 Primer 8 ϕ X (t) = b a e itx b a dx = eibt e iat it(b a). (64) Neka X ima eksponencijalnu raspodelu sa gustinom (37). Tada je ϕ X (t) = 0 ϕ X (t) = dϕ X (t) dt e itx ae ax dx = = a a it, (65) ia (a it) 2, ϕ X (0) = i a, pa je po formuli (61) EX = 1/a, a slično se nalazi i Var X = 1/a 2. Kako je to Parsevalova formula daje f(α) 2 dα = f(x) 2 dx = a 2 e 2ax dx = a 2, 0 a 2 dα dα = a2 a iα 2 a 2 + α 2, dt a 2 + t 2 = π a (a > 0), što se može lako i neposredno proveriti. Primer 9 Neka je X slučajna promenljiva normalne raspodele sa gustinom (33). Tada je ϕ X (t) = 1 2πσ (x µ)2 itx e 2σ 2 dx = e 1 2 σ2 t 2 +iµt, (66) 22

što sledi primenom klasičnog integrala e x2 dx = π. Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive (nad istim prostorom verovatnoće), tada su e itx i e ity takode - nezavisne promenljive, pa važi ( ϕ X+Y (t) = E e it(x+y )) ( ) = E e itx e ity, tj. ϕ X+Y (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t) ( < t < ), (67) dakle karakteristična funkcija zbira je proizvod karakterističnih funkcija. Ovo jednostavno pravilo lako se prenosi i na slučaj zbira n nezavisnih slučajnih promenljivih: ako su X 1,..., X n nezavisne slučajne promenljive, onda je karakteristična funkcija njihovog zbira proizvod njihovih karakterističnih funkcija ϕ X1 (t),..., ϕ Xn (t). Karakteristična funkcija je po definiciji (58) odre - dena funkcijom raspodele, ali je i obrnuto, funkcija raspodele odre - dena karakterističnom funkcijom. Ako su a i b (a < b) tačke neprekidnosti funkcije raspodele F (x) slučajne promenljive X sa karakterističnom funkcijom ϕ X (t), onda je F (b) F (a) = lim T 1 2π T T e itb e ita ϕ it X (t) dt, (68) što je poznato u literaturi kao Teorema inverzije Levija. Tako - de važi i relacija P (X = x) = lim T 1 2T T T e itx ϕ X (t) dt, (69) što je interesantno u slučaju diskretnih promenljivih. Takode - važi stav: ako dve slučajne promenljive imaju istu karakterističnu funkciju, onda one imaju i istu funkciju raspodele. Mogu se definisati i višedimenzionalne karakteristične funkcije. Naprimer, neka je F (x, y) funkcija raspodele za dvodimenzionalnu sluǎjnu promenljivu (X, Y ). U tom slučaju (t, s Re) karakteristična funkcija je ukoliko integral konvergira. ϕ(s, t) = E(e isx+ity ) = e isx+ity d 2 F (x, y), Druga funkcija od značaja u teoriji verovatnoće je funkcija generatrisa momenta M X (t). Ova funkcija se za realno t i slučajnu promenljivu X definiše kao pa važi M X (t) = Ee tx = e tx df (x), (70) M X (it) = ϕ X (t), (71) 23

gde je ϕ X (t) karakteristična funkcija X. Teškoća sa M X (t) je što integral u (70) vrlo često ne postoji, dok ϕ X (t) uvek postoj. Kada M X (t) postoji, onda iz (70) zbog linearnosti matematičkog očekivanja sledi EX n M X (t) = t n, (72) n! pa je onda n=0 EX n = dn dt n M (t) X, (73) t=0 a relacija (72) jasno kazuje zašto se M X (t) zove funkcija generatrisa momenta. Primer 10 Neka X ima gama raspodelu sa funkcijom gustine (36). Onda je M X (t) = 0 e tx an Γ(n) xn 1 e ax dx = ( ) a n, a t za < t < a. Stoga je M X (t) = nan (a t) n 1, pa je po formuli (72) EX = M X(0) = n a, a slično se nalazi da je Var X = E(X EX) 2 = n a 2. Primer 11 Neka X ima normalnu raspodelu sa parametrima µ i σ 2. Onda je Ali kako je to je M X (t) = Ee tx = M X (t) = e µt e σ2 t 2 /2 = e tx 1 σ 2π exp( (x µ)2 /(2σ 2 ))dx (74) e t(y+µ) 1 σ 2π e y2 /(2σ 2) dy = e µt ty y2 2σ 2 = (y σ2 t) 2 2σ 2 + 1 2 σ2 t 2, 1 σ 2π ety y2 /(2σ 2) dy. 1 σ ( ) 2π exp (y σ 2 t 2 ) 2 /(2σ 2 ) dy = e µt e σ2 t 2 /2 ( t Re), jer je gornji integral upravo integral gustine od normalne raspodele (sa parametrima σ 2 t, σ 2 ). Primer 12 Pokazati da, ako X ima binomnu raspodelu sa parametrima n, p, onda je Primer 13 M X (t) = (p e t + 1 p) n. Pokazati da, ako X ima Poasonovu raspodelu sa parametrom λ, onda je ( ) M X (t) = exp λ(e t 1). (75) 24