7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x <... < x n = doijmo (pod)intervle [x, x ], [x, x ],...,[x n, x n ]. Oeležimo s x i dužinu intervl [x i, x i ], odnosno x i = x i x i. Izerimo u svkom otvorenom intervlu (x i, x i ) neku tčku ξ i (x i, x i ). Ako sd, polzeći od vrednosti x i i vrednosti funkcije f(ξ i ) u tčki ξ i formirmo sumu f(ξ i ) x i doićemo integrlnu sumu funkcije f(x) n odsečku [, ] koj odgovr odrnoj podeli intervl. Ako postoji grničn vrednost integrlne sume kd roj podintervl teži eskončnosti, dužin njvećeg od njih teži nuli, odnosno grničn vrednost mx x i f(ξ i ) x i i ko je on končn i jednk z m kkvu podelu intervl [, ] i m kkv izor tčk ξ i ond kžemo d je funkcij f(x) integriln (u Rimnovom smislu) n odsečku [, ], nvedenu grničnu vrednost nzivmo odreženim integrlom (u Rimnovom smislu) funkcije f(x) n odsečku [, ] i oznčvmo s mx x i f(ξ i ) x i Funkcij f(x) je integrnd, odsečk [, ] olst integrcije, je donj grnic je gornj grnic integrl. Svk neprekidn funkcij ili funkcij s končno mnogo prekid I red n intervlu [, ] je integriln. Geometrijski interpretirn, integrln sum predstvlj sumu površin prvougonik čij je jedn strn jednk f(ξ i ), drug x i. Površin svkog od tih prvougonik f(ξ i ) x i je priližno jednk površini krivolinijskog trpez ogrničenog x-osom, krivom f(x) i prvm x = x i i x = x i.
7. Osoine odreženih integrl 64 7. Osoine odreženih integrl ) Pri definiciji odreženog integrl smo pretpostvili d je <. Ako je > ond se uzim po definiciji ) Uzim se po definiciji d je f(x)dx.. 3) Ako je funkcij neprekidn i nenegtivn n [, ] ond je u skldu s geometrijskom intrpretcijom integrlne sume i u skldu s onim što intuitivno podrzumevmo pod površinom krivolinijskog trpez ogrničenog x-osom, krivom f(x) i prvm x = i x =, t površin P = f(x)dx. 7. Osnovn teorem o srednjoj vrednosti integrlnog rčun Ako je funkcij f(x) neprekidn n odsečku [, ] td postoji c [, ] tkvo d je f(c). Dokz 8 Nek je m = min x [,] f(x), M = mx x [,] f(x) td je odnosno p kko je m x i f(ξ i ) x i M x i m x i f(ξ i ) x i M x i x i =
7. Osnovn teorem o srednjoj vrednosti integrlnog rčun65 sledi Prem tome je i m( ) f(ξ i ) x i M( ). m( ) mx x i f(ξ i ) x i M( ) odnosno ili m( ) f(x)dx M( ) m f(x)dx M. Kko je f(x) neprekidn, on uzim sve vrednosti izmežu m i M p prem tome i vrednost f(x)dx odnosno postoji neko c tkvo d je f(c) = f(x)dx. Teorem Ako je funkcij f(x) neprekidn n [, ] td je z svko c [, ] f(x)dx + Dokz 9 Pošto vrednost integrlne sume f(ξ i ) x i c f(x)dx. ne zvisi od podele odsečk [, ], odrćemo tkvu podelu u kojoj je c uvek jedn deon tčk. Td je f(ξ i ) x i = c f(ξ i ) x i + f(ξ i ) x i c p kd prežemo n grnične vrednosti, doijmo (uz uslov mx x i ) f(x)dx + c f(x)dx.
7.3 Izvod integrl po gornjoj grnici 66 Rezultt vži i z ilo koji rspored tčk, i c, n primer < < c. Nime, u tom slučju, ko što smo videli, vži p je kko je to je, končno f(x)dx + f(x)dx f(x)dx c f(x)dx + c f(x)dx f(x)dx f(x)dx. 7.3 Izvod integrl po gornjoj grnici Nek je f(x) neprekidn funkcij n [, ]. Sd ćemo, koristeći ovu funkciju, z x [, ] definisti novu funkciju Φ(x) = x f(t)dt tko d je nezvisno promenljiv x gornj grnic integrl. Pokzćemo d Φ(x) predstvlj primitivnu funkciju funkcije f(x) n [, ], odnosno d z svko x [, ] vži Φ (x) = f(x). Dokz Potržimo Φ(x) x x Φ = Φ(x + x) Φ(x) = x f(t)dt + x+ x x f(t)dt x+ x x x+ x f(t)dt f(t)dt = x x+ x x f(t)dt = f(t)dt Φ(x) = f(t)dt. x x x N osnovu osnovne teoreme o srednjoj vrednosti integrlnog rčun vži d je x+ x f(t)dt = f(c) x x
7.4 Njutn-Ljnicov formul 67 gde je c [x, x + x], p je, imjući u vidu neprekidnost funkcije f(x) Φ(x) x x odnosno, prem definiciji izvod funkcije, = f(c) = f( c) = f(x) x x Φ (x) = f(x). 7.4 Njutn-Ljnicov formul Ako je F (x) ilo koj primitivn funkcij neprekidne funkcije f(x) n [, ] td je F () F (). Dokz N osnovu prethodnog stv Φ(x) = x f(t)dt je primitivn funkcij funkcije f(x) p kko se sve primitivne funkcije jedne funkcije rzlikuju z konstntu to z svku primitivnu funkciju funkcije f(x) vži x F (x) + C = f(t)dt. Ako sd izeremo d je x = doijmo F () + C = odkle je C = F (), p je x f(t)dt = f(t)dt = F (x) F (). Ako, dlje, izeremo d je x = doijmo f(t)dt = F () F () što nm, kd zmenimo promenljivu t s x, dje Njutn-Ljnicovu formulu.
7.5 Još neke osoine odreženog integrl 68 Prem tome, odreženi integrl funkcije f(x) u intervlu [, ] može d se izrčun tko što se nže njen primitivn funkcij F (x), odnosno neodreženi integrl, i ond izrčun rzlik funkcije F (x) u krjnjim tčkm intervl integrcije. Uoičjeno je d se uvede oznk tko d je F () F () = F (x) F (x) = F () F (). Primer 6 cxdx = c x ( = c ) = c e x dx = e x dx + x = rctgx = e e = rctg rctg = π 4 7.5 Još neke osoine odreženog integrl ) Ako su f(x) i g(x) neprekidne funkcije n [, ] ond je [c f(x) + c g(x)]dx = c f(x)dx + c g(x)dx. Dokz Nek su F (x) i G(x) primitivne funkcije redom funkcij f(x) i g(x). Td je H(x) = c F (x) + c G(x) primitivn funkcij funkcije c f(x) + c g(x) jer je Stog je H (x) = [c F (x) + c G(x)] = c F (x) + c G (x) = c f(x) + c g(x). [c f(x) + c g(x)]dx = H(x) = H() H() = c F () + c G() c F () c G() = c (F () F ()) + c (G() G()) = c f(x)dx + c g(x)dx.
7.5 Još neke osoine odreženog integrl 69 ) Ako su u = u(x) i v = v(x) diferencijilne funkcije n odsečku [, ] td je udv = u v vdu. Dokz 3 Sem tog p je odnosno (uv) dx = uv u vdx + uv dx = (uv) dx = uv = udv = uv vdu + udv vdu. vdu + Primer 6 x rcsin xdx = x rcsin x dx = π x + x = π 3) Nek funkcij ϕ(t) im neprekidn izvod n [α, β] i nek je = ϕ(α) i = ϕ(β). Nek je f(x) neprekidn funkcij n [, ]. Td vži β α f[ϕ(t)] ϕ (t)dt. udv Dokz 4 Nek je F (x) primitivn funkcij funkcije f(x) n [, ] i nek je G(t) primitivn funkcij funkcije f[ϕ(t)] ϕ (t) n [α, β]. Kko je izvod funkcije F [ϕ(t)], ko složene funkcije, jednk f[ϕ(t)] ϕ (t), to je i F [ϕ(t)] primitivn funkcij funkcije f[ϕ(t)] p je F [ϕ(t)] = G(t) + C. Odvde sledi F () F () = F [ϕ(β)] F [ϕ(α)] = G(β) G(α) = β α f[ϕ(t)] ϕ (t)dt.
7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7 Primer 63 Izrčunćemo r r x dx tko što ćemo uvesti smenu x = r cos t, odkle je dx = r sin tdt. Nove grnice su x = r cos t = cos t = t = π, i x = r r cos t = r r cos t = t =, tko d doijmo r r x dx = r r π π r r cos t sin tdt = r π [ cos t t dt = r ] π sin t 4 = r π 4. sin tdt = Npomen: Ovj integrl predstvlj površinu četvrtine krug x + y = r. 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7.6. Izrčunvnje površine rvnih likov Ako je f(x) neprekidn, nenegtivn funkcij n odsečku [, ] td je, ko što smo videli, površin krivolinijskog trpez ogrničenog odozdo odsečkom [, ], odozgo lukom krive f(x) s strne prvm x = i x = jednk P = f(x)dx. Ov formul se može prilgoditi i drugim slučjevim, kd je f(x) negtivn funkcij n odsečku [, ], p je krivolinijski trpez ispod x-ose. Td je površin ovog trpez P = f(x)dx. Končno pomoću odreženog integrl može se doiti i površin izmežu dv grfik y = f(x) i y = g(x), koji se seku u tčkm z koje je x =, odnosno x =. T je površin, nime, jednk P = f(x)dx g(x)dx. Primer 64 Izrčunćemo površinu figure koju ogrničv elips x + y =. S ozirom n to d je ov elips simetričn u odnosu n koordintne ose dovoljno je izrčunti površinu u I kvdrntu i pomnožiti je s 4. Iz jednčine
7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7 elipse se z I kvdrnt doij y = x, dok su grnice integrcije od x = do x = p je P = 4 ydx = 4 x dx = 4 π 4 = π. Primer 65 Sd ćemo pokzti kko se mož nći površin koju formir jedn prmetrski zdt kriv. Ko primer ćemo koristiti cikloidu, koj je zdt prmetrskim jednčinm x = (t sin t), y = ( cos t) i to njen prvi svod iznd x-ose, od tčke x = to tčke x = π. Odgovrjuće vrednosti z prmetr t iće t = i t = π, p je, imjući u vidu d je dx = ( cos t)dt, P = π π ( cos t)( cos t)dt = ( cos t + cos t)dt = π ( cos t + ( t sin t + t + sin t 4 ) + cos t dt = ) π = 3 3π. I u polrnom koordintnom sistemu odreženi integrl se može koristiti z izrčunvnje površine rvnih likov. Ako je luk ÂB definisn neprekidnom funkcijom ρ = f(θ) n [α, β] tko d nezvisno promenljivoj ρ = α odgovr tčk A nezvisno promenljivoj ρ = β tčk B, td je površin krivolinijskog trougl OAB orgrničenog lukom ÂB i poluprvm ρ = α i ρ = β dt s β P = [f(θ)] dθ. α D ismo to pokzli, podeo nvedeni krivolinijski trougo n n delov poluprvm θ = θ = α, θ = θ,...,θ = θ n = β. Površin kružnog isečk s centrlnim uglom θ k = θ k+ θ k čiji je poluprečnik ρ k = f(θ k ) gde je θ k (θ k, θ k+ ) je P k = ρ k θ k i on je jednk priližnoj vrednosti krivolinijskog troulg ogrničenog poluprvm θ = θ k i θ = θ k+. Stog je površin celog trougl priližno jednk P = P k = k= k= f (θ k ) θ k.
7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7 Ako sd i mx θ k ond je površin krivolinijskog trougl P = mx θ k k= P k = mx θ k n f (θ k ) θ k = β [f(θ)] dθ. k= α Primer 66 Nći ćemo površinu figure ogrničene lemnisktom, krivom zdtom polrnom jednčinom ρ = cos θ. Kko je lemniskt simetričn u odnosu n oe koordintne ose dovoljno je izrčunti jednu četvrtinu (z θ [, π 4 ]) P = 4 π 4 cos θdθ = sin θ π 4 =. 7.6. Dužin luk krive Posmtrćemo njpre krivu zdtu prmetrskim jednčinm. Nek je C kriv definisn funkcijm x = ϕ(t) i y = ψ(t), gde su ϕ(t) i ψ(t) neprekidne funkcije n odsečku [α, β]. N toj krivoj uočićemo jedn luk l = ÂB, z t [α, β], ztim ćemo g podeliti n n delov tčkm M, M, M,..., M n, koje odgovrju vrednostim prmetr t: α = t < t < t <... < t n = β. Ako s p k oznčimo dužinu duži M k M k+, ond je p k = (x k+ x k ) + (y k+ y k ) odkle je dužin cele poligonlne linije M M... M n jednk p = k= k= p k = k= (x k+ x k ) + (y k+ y k ) = [ϕ(t k+ ) ϕ(t k )] + [ψ(t k+ ) ψ(t k )]. Ako su funkcije ϕ (t) i ψ (t) neprekidne ond je n osnovu Lgrnžove teoreme ϕ(t k+ ) ϕ(t k ) = (t k+ t k ) ϕ (τ k ), τ k (t k, t k+ ) Sledi d je ψ(t k+ ) ψ(t k ) = (t k+ t k ) ψ (τ k ), τ k (t k, t k+ ). p = (t k+ t k ) [ϕ (τ k )] + [ψ (τ k )]. k=
7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 73 Ako sd uvedemo funkciju f(t) = [ϕ (t)] + [ψ(t)] n [α, β], i oznku t k = t k+ t k, ond je, po definiciji odreženog integrl mx t k k= f(τ k ) t k = β α f(t)dt = β α [ϕ (t)] + [ψ(t)] dt. S druge strne kd i mx t k, dužin poligonlne linije teži dužini luk, p je stog dužin luk dt s s = mx t k mx t k k= k= f(τ k ) t k = [ϕ (τ k )] + [ψ (τ k )] = β α [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt. Primer 67 Nći dužinu luk krive x = t6, y = t4 izmežu presečnih 6 4 tčk s koordintnim osm x = t = i y = t = 4 8. s = 4 8 (t 5 ) + (t 3 ) dt = 4 8 t 3 t 4 + dt = 4 6 (t4 + ) 3 8 = 6 (9 3 3 ) = 6 = 6 3. Posmtrjmo sd krivu C definisnu jednčinom y = f(x) gde su f(x) i f (x) neprekidne funkcije. Dužinu luk z x [, ] izrčunćemo tko što ćemo iskoristiti prethodno doijeni rezultt z prmetrski zdtu krivu. Nime, ko uzmemo d je x = t y = f(x) = f(t), ond se, n osnovu prethodnog rezultt može doiti s = + [f (x)] dx. β Ako je kriv definisn polrnom jednčinom ρ = f(θ), gde je f (θ) neprekidn funkcij, ond je dužin luk z θ [α, β] jednk α α s = ρ + ρ dθ = [f(θ)] + [f (θ)] dθ Ovu formulu ovde nećemo dokzivti. β Primer 68 Izrčunti dužinu kružnog luk poluprečnik r s centrlnim uglom ϕ. Ako u jednčini krug ρ = f(θ) = r uzmemo α = i β = ϕ doijmo ϕ ϕ ϕ s = ρ + ρ dθ = r + dθ = r dθ = rϕ. Specijlno, z ϕ = π doijmo oim krug O = r π.
7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 74 7.6.3 Površin rotcione površi Nek je dt nek kriv funkcijom y = f(x) koj je neprekidn, zjedno s svojim izvodom, n odsečku [, ]. Ako luk koji ov kriv formir nd odsečkom [, ] rotir oko x-ose, ond će on opisivti jednu (rotcionu) površ. Površinu P ove površi ćemo sd odrediti pomoću odreženog integrl. Podeo njpre luk ÂB krive, gde je A(, f()), B(, f()) n n delov tčkm A = M, M,..., M k, M k+..., M n = B. Ako se ove tčke sd povežu dužim M k M k+ doiće se jedn poligonln linij AM M... M n B, koj im n zjedničkih tčk s lukom ÂB. Oznčićemo dužinu duži M km k+ s s k, (k =,,..., n ). Svk od ovih duži M k M k+ pri rotciji oko x-ose opisuje omotč jedne zruljene kupe čij je površin P k. Ako s x k oznčimo pscise s y k = f(x k ) ordinte tčk M k z (k =,,..., n), ond su y k i y k+ poluprečnici osnov kupe koj nstje rotcijom duži M k M k+, dok je ov duž njen izvodnic. Kko je površin omotč zruljene kupe čiji je poluprečnik mnje osnove r poluprečnik veće osnove R i čij je izvodnic s jednk P = s π(r + R) to je P k = s k π(y k + y k+ ). Nek je x k = x k+ x k, y k = y k+ y k. Kko je s k = i kko je, po Lgrnžovoj teoremi y k x k ( x k ) + ( y k ) = x k + ( y k x k ) = f (t k ), t k (x k, x k+ ) to je P k = π[f(x k ) + f(x k+ )] + [f (t k )] x k Cel površin koju opisuje poligonln linij AM M... M n B iće, prem tome, P n = k= P k = π k= [f(x k ) + f(x k+ )] + [f (t k )] x k. Kko roj deonih tčk luk ÂB time i tčk n poligonlnoj liniji AM M... M n B rste, njihovo njveće mežusono rstojnje mx s k time i mksimlno rstojnje izmežu njihovih pscis mx x k se smnjuje, to će se smnjivti i rzlik izmežu površine P površi koju opisuje luk
7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 75 i površine P n koju opisuje poligonln linij. Drugim rečim, P predstvlj grničnu vrednost površine P n kd mx x k. P = mx x k P n = π mx x k k= [f(x k ) + f(x k+ )] + [f (t k )] x k. Kko x k t k i x k+ t k kd to se ove dve vrednosti u grničnom procesu mogu zmeniti s t k p gornj grničn vrednost postje P = π mx x k k= f(t k ) + [f (t k )] x k = π f(x) + [f (x)] dx. Primer 69 Dt je sfer poluprečnik r. Nći površinu sferne klote čij je visin h. Ako zmiso d je sfer nstl rotcijom gornje polovine krug x + y = r od tčke A( r, ) do tčke B(r, ) oko x-ose, ond je klot nstl rotcijom kružnog luk ĈB koji pripd ovoj polovini krug oko x-ose, tkvog d je C (r h, ) projekcij tčke C n x-osu, odnosno dužin C B je jednk h. Jednčin luk je y = r x odkle je y = x r p je površin x klote r P = π r x + x r r h r x dx = πr r h Specijlno, z h = r doijmo površinu sfere P = 4πr. 7.6.4 Zpremin rotcionog tel dx = πrx r r h = πrh. Posmtrćemo njpre neko telo V koje se nlzi izmežu dve rvni x = i x = normlne n x-osu. Površinu presek tog tel i ilo koje rvni normlne n x-osu izmežu rvni x = i x = oznčićemo s Q = Q(x). N ovj nčin definisli smo jednu funkciju Q(x) z x [, ]. Pretpostvićemo d je telo tkvo d je funkcij Q(x) neprekidn z x [, ]. Ztim ćemo telo V preseći s n rvni normlnih n x-osu x = x =, x = x,..., x = x n =, x k < x k+. N tj nčin telo je rzijeno n n neprvilnih zruljenih kup. Izrčunjmo zpremine ovih kup V k. Z svku zruljenu kupu, izmežu rvni x = x k i x = x k+ moguće je izrti tčku t k (x k, x k+ ) tko d zpremin V k ude jednk zpremini cilindr čij je osnov presek tel V s rvni x = t k čij je visin x k = x k+ x k. Stog je V k = Q(t k ) x k
7.7 Nesvojstveni integrli 76 dok je ukupn zpremin svih cilindr jednk V n = k= Q(t k ) x k. Kko roj presek tel V i rvni prlelnih x-osi rste, njveće rstojnje izmežu rvni x k se smnjuje, to ukupn zpremin cilindr V n teži zpremini tel V odnosno V = mx x k V n = mx x k Q(t k ) x k = Q(x)dx. k= Poseno, ko se rdi o telu nstlom rotcijom luk ÂB krive f(x) oko x-ose i ko je t kriv neprekidn n [, ], ond poprečni presek tel s rvnim prlelnim x-osi predstvlj krugove poluprečnik f(x) koji imju površinu Q(x) = πf (x). Sledi d je zpremin rotcionog tel V = π f (x)dx. Primer 7 Izrčunti zpreminu lopte poluprečnik r. Lopt nstje rotcijom polovine krug x + y = r tko d je y = r x. r V = π ( r r x ) dx = π (r x )dx = πr r x r r r π x3 3 r = r πr r π 3 (r3 + r 3 ) = πr 3 3 πr3 = 4 3 πr3 7.7 Nesvojstveni integrli Do sd je ilo reči o odreženim integr funkcij koj su neprekidne i ogrničene n končnom segmentu [, ]. No može se definisti i integrl kd funkcij nije definisn n segmentu, nego n poluodsečku [, ) ili (, ], ili n intervlu (, ), pri čemu krjnj tčk intervl u kojoj funkcij nije definisn može iti eskončn, sm funkcij u okolini te tčke neogrničen. Ako je funkcij f(x) integriln n svkom odsečku [, B], gde je B < +, i ko postoji končni B f(x)dx B
7.7 Nesvojstveni integrli 77 ond se t grničn vrednost nziv nesvojstvenim ili neprvim integrlom funkcije f(x) n poluodsečku [, ) oznčv se s f(x)dx gde može iti jednko i +. Dkle Φ(B) = B B B f(x)dx. Ako funkcij Φ(B) odreženo divergir k + ( ) kžemo d i integrl divergir k + ( ). Ako grničn vrednost uopšte ne postoji, kžemo jednostvno d integrl divergir. Anlogno se definiše integrl n (, ] A A > A f(x)dx z funkciju koj je integriln z svki odsečk [A, ] (, ]. Končno, ko žeo d definišemo integrl funkcije n otvorenom intervlu (, ), pri čemu je funkcij integriln z [A, B] (, ), td oderemo neku tčku c tkvu d je A < c < B p je f(x) = A A > f(x) + I z nesvojstvene integrle vži d je [c f (x) + c f (x)]dx = c B B < f(x). f (x)dx + c f (x)]dx. Primer 7 dx = dx = x x A + A x = ( A) = A + A A + + B e x dx = e x B dx = B + B + e x = ( B + e B ) = + + x dx = + + x dx + + x dx = B dx+ dx = A A + x B + + x rctgx + rctgx B = A A B + A dx = x A + ( rctga) + A rctgb = π B + + π = π dx = x ln x = ( ln A) = + A + A A +