II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim koodiatama. T (,, ) ñ T i + j + k {,, }
dvije točke: T (,, ), T (,, ) Udaljeost točaka T i T ( To je apavo duljia dužie T T, od. duljia vektoa T T. ) T T {,, } d (T,T ) T T ) + ( ) + ( ) ( polovište dužie T T T (,, ) o koodiata polovišta dolaimo peko vektoske jedakosti: T T T {,, } { ( ), ( ), ( ) } T (,, ) + +,, + + + +,, 3 Ravia u postou alitički je ajjedostavije aviu opisati pomoću jede točke i jedog vektoa koji je okomit a tu aviu (tv. omala avie). Neka je: M (,, ) adaa točka postoa i + j + k ( ) vekto omale ( {,, } ) Zadaom točkom postoa polai samo avia koja je okomita a adau omalu. - avia T (,,) - poivolja točka avie M T Jedadžba avie se može apisati i kao :. M T {,, } Vijedi: ^ M T M T vekto koji leži u Jedadžba avie (u vektoskom obliku) ( )+ ( ) + ( ) Jedadžba avie (u algebaskom obliku) + + + ĆI LIK JENŽE RVNINE, gdje je -( + + ). 4
Ravia u postou (astavak) Jedadžba avie : (*) + + + omožimo li goju jedadžbu ekim bojem λ, dobijemo jedadžbu: (* *) + + + koja pedstavlja istu aviu u postou. î vije jedadžbe (* ) i (* *) su jedadžbe iste avie u postou, ako je ( λ ), a,,,. ko je eki od aivika jedak, oda je i bojik tog alomka jedak. 5 Ravia u postou (astavak) omotimo opći oblik jedadžbe avie : + + + - ko je, oda avia polai ishodištem (,,). - ko je, oda jedadžbu avie možemo podijeliti s -, pa imamo: + + - / : (-) tj. a + b + c SEGMENTNI LIK JENŽE RVNINE c a b gdje su: a, b, c duljie segmeata a koodiatim osima. 6 3
sobiti slučajevi jedadžbe avie: + + + + + avia ko ishodište + + + + + + avia paalela s osi avia paalela s osi avia paalela s osi + + + avia ko ishodište i paalela s osi, tj. sadži os avia ko ishodište i paalela s osi, tj. sadži os avia ko ishodište i paalela s osi, tj. sadži os + + + avia paalela s osi i, tj. paalela s aviom avia paalela s osi i, tj. paalela s aviom avia paalela s osi i, tj. paalela s aviom avia avia avia 7 deñivaje jedadžbe avie koja polai ko ti adae točke Neka su adae ti točke T,T,T 3 (ekolieae, tj. e leže a istom pavcu). Te ti točke odeñuju jedu aviu, oačimo je sa. Neka je T (,,) poivolja točka avie.. ači vektoi T T, T T i T T 3 leže u istoj avii, tj. komplaai su. jihov mješoviti podukt iosi. tj. ( T T â T T ) T T 3 odoso, koodiato: - - - - - - 3-3 - 3-8 4
deñivaje jedadžbe avie koja polai ko ti adae točke T,T,T 3 - adae ekolieae točke T (,,) poivolja točka avie. ači pća jedadžba avie glasi: i ju adovoljavaju sve točke avie, pa tako i : T, T, T, T 3 + + + Homoge sustav ko je jegova detemiata jedaka, oda o ima etivijala ješeja. (tj. postoje takvi,,, a koje sustav vijedi, a da isu svi istovemeo jedaki ) akle: + + + + + + 3 + 3 + 3 + 3 3 3 + + + Možejem.etka s -, te dodavajem. 3. i 4. etku, a atim avojem detemiate po 4.stupcu, dobivamo istu detemiatu kao u. ačiu. 9 Kut imeñu dviju avia... + + +... + + + Kut ϕimeñu avia i se defiia kao kut što ga meñusobo atvaaju vektoi omala {,, } i {,, }. (uima se maji od dva suplemeta kuta) cos ϕ + + + + + + ( ϕ 9 ) paalele avie ϕ (, ) vektoi omala su paaleli, od. kolieai λ tj. okomite avie λ ϕ (, ) 9 vektoi omala su okomiti tj. + + (λ ) 5
Nomali oblik jedadžbe avie... + + + jedadžba avie (opći oblik) Vekto omale: {,, } Jediiči vekto u smjeu vektoa omale: p j. T {,, } + + ačimo: p d (, ) Neka je: T (,,) - poivolja točka avie T - adij-vekto točke T { cosα,cos β, cosγ } ( ) ojekcija vektoa a je p. p poj cos ϕ cosα + cosβ + cosγ α cos + cos + cos p β NRMLNI LIK JENŽE RVNINE γ Vea imeñu općeg i omalog oblika jedadžbe avie: omali oblik: cos α + cos β + cosγ p λ cos α + λ cos β + λ cosγ + ( λp) + + + opći oblik / l (l ) ko opći oblik podijelimo s odgovaajućim bojem l (l ), oda dobijemo omali oblik. + + λ cos α + cos β + cos γ λ oj l odedimo i jedakosti: ( ) tj. λ ± + + edak + ili se bia pema pedaku od, tako da udaljeost p bude poitiva. ( lp) λ sig + + + + + sig + + NRMLNI LIK JENŽE RVNINE 6
Udaljeost točke od avie p d. T (,, ). T Neka je T (,, ) eka točka u postou. d (T, ) d (T, T ) ( T je pojekcija točke T a ) ojekcija T a jediiči vekto je: poj p + d, ako su i T s aličitih staa avie p - d, ako su i T s iste stae avie d poj p cosα + cosβ + cosγ p pi čemu je d d (T, ) od. + + + d sig + + akle, udaljeost točke T od avie se dobije tako da se u omali oblik jedadžbe avie uvste koodiate točke T. edak ovako dobivee udaljeosti: d >, ako su i T s aličitih staa avie d <, ako su i T s iste stae avie 3 7