Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak

Transcript

1 Jakintza-arloa: Fisika Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak Egilea: JON URRESTILLA URIZABAL Urtea: 2003 Zuzendaria: Unibertsitatea: ANA ACHUCARRO JIMÉNEZ UPV/EHU ISBN:

2 Hitzaurrea Eremu-Teorietako Objektu Hedatuen Ezaugarri Bitxiak" izenburuko lana urtean amaitutako doktorego tesia da; eta lau urte beranduago hona hemen bere argitalpen digitala. Lana Euskal Herriko Unibertsitateko Fisika Teorikoaren Sailean burutu nuen, eta harrezkero atzerriko goi mailako instituzioetan jarraitu dut tesiko ildoko ideiak jorratzen. Hemen aurkituko duzun testuak, defektu topologikoak izeneko objektuak aztertzen ditu. Nahiz eta Fisikako alor ugaritan agertu, gure jarduera ikuspuntu kosmologiko batetik abiatu zen; hau da, unibertsoaren lehenengo momentuetan gertatutako prozesu Fisikoen ondorioz formatu ziren defektuen ezaugarriak aztertu genituen. Azken lau urte hauetan, esperimentu kosmologikoek datu oso zehatzak lortu dituzte, batez ere WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) izeneko esperimentuak, eta unibertsoari buruzko informazio paregabea eskaini digute. Beste alde batetik, energia altuko teoria Fisiko estandarra oso ongi aztertua izan da, eta partikula gehienak eta beraien arteko elkarrekintzak ezagunak dira. Datozen urteetan bi sail hauek, kosmologia eta energia-altuko Fisika, beste bultzada bat jasoko dute beste bi esperimentu internazionalei esker: Europako ESA-k (European Space Agency) PLANCK sateliteari esker kosmologian eta Suitzan, CERN-en (Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire) eraikitzen ari diren LHC (Large Hadron Collider) esperimentuari esker energia-altuko Fisikan. Unibertsoaren lehenengo momentuetan unibertsoak energi-dentsitate itzela zuenez, enegia-altuko teoria fisikoak erabili behar ditugu Unibertsoa ulertzeko. Baina nahiz eta bai modelo kosmologikoak eta bai energia-altuko fisika ezagunak eta arrakastatsuak izan, modelo kosmologikoen atzean dagoen energia-altuko fisika ezezaguna da; Unibertsoaren lehengo momentuak esplikatzeko behar ditugun energia eskalak laborategian lortutakoak baino askoz handiagoak dira. Alde batetik, unibertsoaren energia gehiena (95/energia ilunaz eta materia ilunaz osatua dago; eta ez dakigu zer diren ez bata eta ez bestea. Beste aldetik, unibertsoaren lehen momentuak esplikatzeko dugun modelo fisiko onenetarikoek, partikula supersimetrikoak aurresaten dituzte, eta esperimentu kosmologikoetan ez dugu partikula supersimetriko horien aztarnarik aurkitu. Bi sail horien arteko zubia dira defektu topologikoak. Unibertso primitiboa ulertzeko erabiltzen diren hainbat modeluek defektu topologikoak aurresaten dituzte, eta defektuen eragina esperimentu kosmologikoetan neur daitezke. Gaur egun, Unibertso primitiboko fisikaren ikerketa gai oso bizia da, eta hemen argitaratutako tesiaren ondorioak puzzlearen pieza txiki bat dira.

3 Euskal Herriko Unibertsitatea Fisika Teorikoaren eta Zientziaren Historiaren Saila Eremu-Teorietako Objektu Hedatuen Ezaugarri Bitxiak Euskal Herriko Unibertsitateko Ana Achúcarro Jiménez irakasleak zuzenduriko lana Jon Urrestilla Urizabal Fisikan Doktore-gradua lortzeko aurkezturiko Txostena

4

5 Zuentzat, ama eta aita Muxu bat, Miren Josu

6

7 Esker Onak Lehendabizi eta batez ere, nire tesi zuzendaria den Ana Achúcarro eskertu nahi dut, tesi honetan eskaini didan laguntza eta babesagatik. Fisika/akademia munduan zeharreko gidari ezin hobea izan da, eta are lagun hobea. Gracias Ana. Koen, Marta eta Teresa Kuijken ere eskertu nahi ditut, elkartu garen guztietan etxean bezala sentiarazi nautelako. Oso gustokoa izan dut Anne-Christine Davis, Julian Borrill, Andrew R. Liddle eta Michael Pickles ikertzaileekin lan egitea; tesi honetan aurkeztutako emaitzak beraiekin egindako elkarlanaren ondorio dira. Nire esker ona Iñigo L. Egusquizarentzat eta Josu M. Igartuarentzat da baita ere; beren laguntzarik gabe tesiaren euskal bertsioa, eta beste hainbat gauza, askoz ere zailagoak suertatu izan bailitzaizkidake. Tanmay Vachaspati ere eskertu nahi nuke, 3.1 soka elektroahulen egonkortasun irudiagatik. Beraiekin lan egiteko aukera eman didatelako, esker mila University of Sussex-eko Centre for Theoretical Physics eta the Astronomy Centre zentroei; Lawrence Berkeley National Laboratory-ko National Energy Research Scientific Computing Center eta University of California at Berkeley-ko Center for Particle Astrophysics zentroei; Rijksuniversiteit Groningen-eko Institute for Theoretical Physics institutuari; eta Universiteit Leiden-eko Lorentz Institute for Theoretical Physics institutuari. Mila esker baita ere Euskal Herriko Unibertsitateko Fisika Teorikoaren Sailari eta Juan Luis Mañesi beren laguntzagatik, eta ikasle baten bizimodua errazteagatik; batez ere gainontzeko bekadunei: Ruth Lazkoz, Itsaso Olasagasti, José María Martínez, Luis Gonzalo, Rodolfo del Moral, Andrés D. Baute eta Alfonso J. García-Parrado. Beste departamentuko pertsona batzuk ere aipatu nahi ditut, benetan merezitako kafetxoak elkarrekin hartzean

8 igarotako uneengatik: Eider Landa, Estibaliz Apiñaniz, Ana García, Arantzazu García eta Elena Rodríguez. Tesi hau burutzeari esker lortu dudan gauzarik garrantzitsuenetarikoa ezagutu ditudan lagunak izan dira. Batzuekin harremanetan nago oraindik, eta beste batzuekin dudan adiskidetasuna ximelduz doa denboraren poderioz; baina, akademikoki edota ez-akademikoki beren laguntza nabari izan dut behar izan dudanean: Sally&Dave Stevens, Claire Eckman, José Ángel Hernando, Felix Busqué, María José Costa, Louise Griffiths, Igor Villareal, Ainhoa Elices, Guillermo Menéndez, Mónica Luna, Manuel Sangüesa, Lide M. Rodríguez, Nicole R. Rauch, Peter H. Nalbach, Eike Zimmermann, Andrew G. MacPhee, Manel Luque, Raquel Serrano, Ara H. Merjian; Beatriz de Carlos, Mark Hindmarsh, Roberto Emparan, Mairi Sakellariadou, Filipe Freire, Nuno Antunes, Luis Bettencourt; Francesca Pozzi, Alberto Calesini, Astrid Wachter, Silvia Pascoli, Neil McNair, María Eugenia Angulo, Jayesh De Silva, Yaiza Schmöhe, Jordan Morton, Kevin Mc Louhlin, Fernando Santoro, Majd Ranjous; Álix Y. Alfonso, Patricia Eguino, Marina Gastesi, Isabel Pastora López, Javier Barrionuevo, Ohiana Molina, Ana Gutiérrez, Oihane Lakar; Olalla Castro, David Ali, Christopher A. Johnson, Miguel Aguado, Lorenzo Cazón, Verónica Sanz, Jonathan Esole, Giuseppe de Risi... Lagun berri horiez gain, betiko lagunak hor izan ditut laguntzeko prest ere, eta nire aldarte-aldaketak pairatu dituzte estoikoki urte hauetan: UEUko fisika saileko kideak, Lurra Dantza Taldea, Maier Rodríguez, Junkal Fernández, Xabier Lizarralde, Txema Tena, Olatz Holgado, Ane Miren Ormazabal, Agurtzane Albisua, Christiane Koch, Kristina Zuza, Fernando Morillo, Silvia Arrese-Igor, Olatz Adarraga, Eba M. Karraskal, Iñigo Arregi, Oier Bikondoa, Aitor Mugarza, Marta Pazos, Vivian L. Mancebo... Azkenik, nire benetako eskerrik beroenak Bakko eta nire familiarentzat. Beren laguntza ez da akademikoki hain lagungarria suertatu; baina, askoz ere beharrezkoa izan da, batez ere momentu txarretan. Eskerrik asko kanpoan nengoenean zuen ondoan egon ezin izana ulertzeagatik. Lan hau ezin izango nukeen burutu eman didazuen indarrarik gabe. Och en kram till min bästis.

9 AURKIBIDE OROKORRA Gainbegirada 5 1 Defektu topologikoak Sarrera Defektuak eremu-teorian Defektuak Kosmologian Higgs eredu trukakorra Nielsen-Olesen zurrunbiloa Nielsen-Olesen zurrunbiloaren egonkortasuna Soka erdilokalak Soka erdilokalen egonkortasuna Monopolo globalak Sarrera Eredua Egonkortasun erradiala Egonkortasun angeluarra r finkoko perturbazioak r finkoko zenbakizko simulazioa

10 Belavin-Polyakov monopoloa r guztietarako simulazioa Energia-langaren kalkulua Perturbazio txikiak Ekuazioen lorpena Ekuazioen analisia Potentzial orokorragoak Ondorioak Dumbbell-ak Sarrera Eredua Soka elektroahulak eta dumbbell-ak Zenbakizko simulazioak Emaitzak Ondorioak Defektuak eredu supersimetrikoetan Sarrera Superaljebra eta (super)multipleteak Superaljebra eta karga topologikoa N =1 Higgs motako eredu supersimetrikoa N =1 kasurako huts-aukeratzearen efektua Huts-aukeratzearen efektua Bogomol nyi-ren bornetik at N =1 Supersimetria-apurketa biguneko masa-gaiak N =2 QED supersimetrikoa Bosoiak

11 N =2 kasurako huts-aukeratzearen efektua N =2 Supersimetria-apurketa bigunerako masa-gaiak N =2 QED supersimetrikoa Fermioiak Modu nulu fermioidarrak Higidura-ekuazio fermioidarrak Ondorioak Bibliografia 137 A Hitzarmenak 143 A.1 Hitzarmenak supersimetrian B Sine-Gordon eredua 147 C Translazio-modu nulua 151 D Eredu elektroahularen higidura-ekuazioen diskretizazioa 153 E Sare-loturaren aldagaien metodoa 159 E.1 Lotura-aldagaien bidezko hamiltondarraren diskretizazioa E.2 Eredu erdilokaleko simulazioak

12

13 Gainbegirada Zenbait eredu fisikoetako defektuen ezaugarriak deskribatu ditugu tesi honetan. Hemen aurkezturiko lana ondoko ikertzaileekin batera burutu dut: nire zuzendari den Ana Achúcarro; eta Julian Borrill, Anne-Christine Davis, Andrew R. Liddle eta Michael Pickles. Berezko simetri-apurketa emango den eremu-teorietan sortuko diren objektuak dira defektuak; hau da, energia-kontzentrazio edota karga-kontzentrazio handiagoa duten espazio- -denborako zonaldeek osatzen dituzten objetu hedatu iraunkorrak. Fisikako alor ugaritan agertuko dira; adibidez, soka-teorian, kosmologian eta materia kondentsatuaren fisikan. Zenbait teoriatan, argudio topologikoek defektu topologikoen eraketa aurresango dute. Horiez gain, defektu ez-topologikoak ager daitezke. Azken horien izatea eta portaera ezin da a priori jakin; eta, dituzten propietateak ezagutzeko, beren dinamika aztertu beharra dago. Zenbait testuingurutako bai defektu topologiko zein ez-topologikoen deskribapena eman dugu sarreran (1. kapitulua). Deskribapena literaturako hainbat artikulu, review eta liburuetan oinarritu dugu. Defektu topologiko mota bat aztertu dugu 2 kapituluan: O(3) monopolo globalak, hain zuzen ere. Ikusiko dugunez, monopolo globalen azterketa garrantzitsua da, propietate harrigarriak aurkituko baititugu. Ondorengo artikuluko emaitzak aurkituko ditugu kapitulu horretan Stability of global monopoles revisited Ana Achúcarro and Jon Urrestilla Phys. Rev. Lett. 85, 2091 (2000); hep-ph/

14 6 Baita soka erdilokaletarako ere garrantzitsua da monopolo globalen dinamika. Soka erdilokalek muturrak izan ditzateke, ez-topologikoak baitira; hain zuzen ere, soka erdilokalen muturretan monopolo globalak daude. Soka erdilokalen deskribapena ondoko erakoa izan daiteke: eredu elektroahuleko limite jakinean murgildutako soka kosmikoak (topologikoak direnak); zehazki, SU(2) gauge-eremuak bananduko diren limitean. Limite horretatik kanpoko sistemaren portaera aztertu dugu 3. kapituluan; eta dummbell-sarearen soka elektroahulen segmentu-sarearen izatea eta iraunkortasuna ikertu dugu. Emaitza horiek, kolaboratzileekin burututako lanean lortu genituen, eta ondoko artikuluan argitaratuta daude: The evolution and persistence of dumbbells Jon Urrestilla, Ana Achúcarro, Julian Borrill and Andrew R. Liddle JHEP 08, 033 (2002); hep-ph/ Soka kosmikoak (eta soka erdilokalak) eredu supersimetrikoetan murgildu daitezke. Defektuen egitura askoz aberatsagoa da eredu horietan. Alde batetik, potentzial eskalarrak norabide laukoa da, orokorrean; eta, beraz, ez dago argi defektuak zein funtsezko egoeratan sortuko diren. Beste alde batetik, fermioiak era naturalean agertuko dira eredu supersimetrikoetan; eta fermioien eragina garrantzitsua izan daiteke sokaren propietateetarako. Teoria supersimetrikoetako objektu hedatuen propietateak aztertu ditugu 4. kapituluan, eta bai soka kosmikoak zein erdilokalak aurkitu ditugu. Kapitulu horretako ikerketa honako hiru artikuluetan aurkitu daiteke Vortices in theories with flat directions Ana Achúcarro, Anne-Christine Davis, Michael Pickles and Jon Urrestilla Phys. Rev. D 66, (2002), hep-th/ Nielsen-Olesen strings in SUSY theories Michael Pickles and Jon Urrestilla JHEP 01, 052 (2003), hep-th/ Fermionic zero modes in a supersymmetric N =2 model Ana Achúcarro, Anne-Christine Davis, Michael Pickles and Jon Urrestilla hep-th/ , submitted to Phys. Rev. D

15 1. KAPITULUA Defektu topologikoak 1.1 Sarrera Gaur egungo fisikaren helburu nagusietako bat da, fisikaren arau guztiak bateratzen dituen teoria lortzea, eskala azpiatomikoetatik eskala kosmologikoetara. Simetria apurtzen duten fase-trantsizioak dituzten teorien bidez indar nuklear ahula eta elektromagnetikoa, eta hein haundi batean, nuklear bortitza, bateratzen badakigu. Hortaz, unibertsoa Big-Bang berotik hasi eta hoztuz doan neurrian, simetria apurtzen duten fase-trantsizioak izan dituela uste dugu. Simetria apurtzen duten fase trantsizioak dituzten teoriek, soluzio ez-barreiakor, klasikoak eduki ditzakete, defektuak deritzenak. Nahiz eta materia kondentsatuko sistemetan defektuak ikusi diren, partikulen fisikan oraindik ez da mota horretako soluziorik neurtu. Partikulen fisikan soluzio klasiko, ez-barreiakorrak daudenentz erantzunik gabeko galdera da oraindik. Sistema batean defekturen bat detektatzeak, sistemari buruzko informazio baliagarria emango liguke. Defektua soluzio ez-perturbagarria denez, teoriaren egitura ez-perturbagarriari buruzko informazio gureganatuko genuke. Defektu topologikoak egoteak, teoriaren topologiari buruzko informazioa emango liguke, baita sakabanaketa-esperimentu perturbagarrien bidez aztertu ezin daitezkeen hainbat propietate ere. Bestalde, defektu ezak, 7

16 8 Defektu topologikoak gaur egungo teoria fisikoen berraztertzea derrigortuko luke. Gainera, defektuak testuinguru fisiko ezberdin askotan agertzen direnez, azeleragailuetako esperimentuen, materia kondentsatuaren eta kosmologiaren arteko lotura izan litezke. Kapitulu honetan, defektuen oinarrizko propietateak aztertuko ditugu bai eremu-teorian bai kosmologian. Ondoren, defektuen bi adibide jorratuko ditugu, Higgs eredu trukakorra eta eredu erdilokala, bidean aurrerago erabiliko ditugun hainbat kontzeptu azalduz Defektuak eremu-teorian Atal honetan defektuak eremu-teorian nola agertzen diren aztertuko dugu. Oinarrizko propietateak ulertzeko, eredu erraz batekin hasiko gara [28, 58, 98]. Demagun L = ( t φ) 2 ( x φ) 2 V (φ) (1.1) lagrangear dentsitateak deskribatzen duen espazio-dimentsio batean eta denbora-dimentsio batean bizi den φ eremu eskalar bakarreko teoria 1, non V (φ) = λ ( φ 2 η 2) 2 (1.2) potentziala den. (1.1) lagrangearrak Z 2 simetria du, φ φ aldaketak lagrangearra berdin uzten duelako. φ eremuaren higidura-ekuazioa δl µ δ( µ φ) + δl φ = 0 tt φ = xx φ 2λφ ( φ 2 η 2) (1.3) da, eta sistemaren energia E = dx [ ( t φ) 2 + ( x φ) 2 + V (φ) ]. (1.4) Energia erdidefinitu positiboa (E 0) da argi eta garbi, eta energia nulua da eremua φ(t, x) = η edo φ(t, x) = η denean. 1 A eranskinean, lan honetan erabilitako hitzarmenak deskribatu ditugu

17 1.1 Sarrera 9 Energia finitudun soluzioak nahi baditugu, infinituan (x = ± ) eremuak potentzialaren minimo batean egon behar duela ikus dezakegu V min = V (φ = η) = V (φ = η) = 0, (1.5) baina ez du minimo berean egon behar. Adibidez, infinituan φ( ) = η, φ( ) = η, edo (1.6) φ( ) = η, φ( ) = η (1.7) balioa duten konfigurazioek energia finitukoak dira baita ere. Higidura-ekuazioak ebatziz, muga baldintza horiek beteko duten konfigurazio estatikoak lor daitezke φ ± (x) = ±ηtanh( ληx), (1.8) non + ikurrak (1.6) kink soluzioari dagokion, eta ikurrak (1.7) anti-kink soluzioari. Bi soluzio horiek energia berekoak dira, hots, E ± = dx [ ( x φ ± ) 2 + V (φ ± ) ] = 3 8 λη 3. (1.9) 1.1 irudia: Kink soluzioa (φ + ) eta dagokion energia λ = η = 1 kasurako. Energia gehienbat x = 0 inguruan dago, kink soluzioaren muinean. kink soluzioaren profila eta dagokion energia dentsitatea adierazi ditugu 1.1 irudian. Kinkak φ( ) = η eta φ( ) = η balioen bitarteko balioak ditu, eta funtzio jarraitua da. Beraz, φ = 0 baliotik pasatzen da eta, ondorioz, energia potentziala bereganatuko du.

18 10 Defektu topologikoak Energia gehiena x = 0 inguruan metaturik dago (E(0) = E max = 2 λη 3 ); ingurune hori defektuaren muina (core) dela esan ohi da. Gure sistema aldaezintasun espazialekoa denez, φ = η baliotik φ = η baliorako aldaketa x aldagaiaren edozein baliotan gerta daiteke (ez bakarrik x = 0 puntuan), baina φ eremua derrigorrean potentzialaren minimoak ez diren balioak hartu behar ditu; hau da, energia- -kontzetrazio handiko ingurunea higi daiteke, baina ezin daiteke barreiatu. Kink soluzioaren existentzia argudio topologikoak erabiliz aurresan genezakeen: demagun M 0 huts-barietatea dela, i. e., V (φ) potentziala minimoa egiten duten φ balioen multzoa M 0 {φ : V (φ) = 0} = { η, η}. (1.10) Gorago esan dugunez, (1.1) lagrangearrak Z 2 simetriakoa da, eta honek, G = Z 2 taldeak definitzen dituen transformazioekiko aldaezina dela esan nahi du. Baina hutsaren simetria ez da Z 2. Sistema batek, hutsak ez dituen simetriak dituenean, simetria berez apurtu dela esan ohi da. Ondorioz, aztertzen ari garen kasuan, simetria Z 2 simetriatik I simetriara berez apurtu da. 1+1 dimentsiodun eredu honetan, S 0 infinitu espazialen multzoak bi puntu ditu baita ere: S 0 = {, + }. Hizkuntza-mota hori erabiliz, (1.6,1.7) energia finitua lortzeko baldintza, S 0 infinitu espazialetatik M 0 huts-barietaterako aplikazioa dela esan dezakegu. Karga topologikoa, n, definituz n = φ( ) φ( ) 2η, (1.11) hiru aukera dago: n = 0 kasua, S 0 multzoko bi elementuak, M 0 barietateko elementu berberarekin erlazionatuta daude n = 1 (1.6) kink konfigurazioari dagokio n = 1 (1.7) anti-kink konfigurazioari dagokio Karga topologikoa kontserbatu egiten da: gure sistema n jakin batekoa bada, energia kantitate infinitua behar da konfigurazioa n desberdineko konfigurazio bihurtzeko. Beste era

19 1.1 Sarrera 11 batera esanda, ezin da karga topologiko jakineko konfigurazioa era jarraituan deformatu beste karga topologikoko konfigurazioa lortzeko. Matematikoki esanda, S 0 -tik M 0 -rako aplikazioa topologikoki ez-tribiala da. Analisi horretatik ondorio interesgarria lortu dugu: defektuak dauden ala ez jakiteko nahikoa da eremuek infinituan duten portaera aztertzea. Konfigurazioak definitzen duen infinitotik huts-barietaterako aplikazioa era jarraituan ezin deformatu badaiteke aplikazio tribialera, defektuak agertuko dira. Orokortu dezagun emaitza hori [28, 80]: σ kurba itxia ondoko eran definitu dezakegu: zenbaki errealen I unitate tartetik, M barietaterako aplikazio jarraitua; σ : I M, non σ(0) = σ(1). Beste era batera esanda, σ : S 1 M, non S 1 unitate zirkunferentzia den. Bi kurba itxi bata bestearekiko homotopikoak direla esango dugu, M barietatearen barruan bata era jarraituan deformatu badaiteke bestea lortzeko. Erlazio hori, baliokidetasun-erlazioa da; beraz, kurbak homotopia-klasetan banatu daitezke. Klase horiek talde baten elementuak dira, M-ren funtsezko taldea edo lehenengo homotopia-taldea, eta π 1 (M) ikurraren bidez adierazten da. Arrazonamendu berdinari jarraituz, M-ren n-garren homotopia-taldea π n (M) n-gainazal itxien σ : S n M homotopia-klaseak definitutakoa izango da. π 0 (M) zerogarren homotopia-taldeak, M huts-barietateak dituen elementu ez-konexuak neurtzen ditu. Beste homotopia-taldeen analogoa da: σ : S 0 M aplikazioak, non S 0 = { 1, 1}, sailkatzen baititu. Hala ere, kasu orokorrean, terminologia ez da zuzena, π 0 ez baitu zertan talde bat osatu. Gure adibidean, energia finitua lortzeko baldintza berridatziz φ : S 0 M 0. (1.12) Dakigunez, huts-barietateak elementu ez-konexuak ditu, hau da, π 0 (M) I, non I aplikazio tribiala den. Ondorioz, eredu horretan, topologikoki ez-tribialak diren soluzioak daude, kink soluzioa adibidez. Beste homotopia-taldeekin berbera gertatuko da: homotopia-talde jakin batzuk ez-tribialak direnean, defektuak ager daitezke.

20 12 Defektu topologikoak Defektu topologikoak sailkatzeko, huts-barietateko homotopia-propietateak erabiltzen dira. Huts-barietateak uzkurtu ezinak diren n-esferak baditu, orduan n+1 espazio-dimentsiotan, eremu eskalarrak esfera horien inguruan biribilkatu daitezke r puntuan. Konfigurazio horiek ez-barreiakorrak dira, eremu eskalarra jarraitua izanik, espazio-denboran puntu batek gutxienez potentzial eskalarra ez-nulua baitu. Adibidez, M ez bada simpleki konexua, hau da, funtsezko taldea tribiala ez bada π 1 (M) I, orduan, huts-barietatearen inguruan biribilkapen ez-tribialak daude. Bi dimentsiotan, φ(r ) e iθ konfigurazioa ezin da era jarraituan deformatu aplikazio tribiala lortu arte, eta beti izango dugu puntu bat non potentzial eskalarra ez-nulua den. Hiru dimentsio espazialetan, puntu-itxurako defektuak, dimentsio bakarrekoak eta bi dimentsiokoak, izen bereziak dituzte, monopoloa, soka kosmikoa, eta domeinu-pareta, hurrenez hurren (ikus 1.1 taula). Baita ere, karga topologiko negatiboko monopoloari antimonopolo deritzo. π 0 (M) I M ez-konexua Domeinu-pareta π 1 (M) I M-n esfera uzkurtezinak Soka kosmikoa π 2 (M) I M-n 2-esfera uzkurtezinak Monopoloa π 3 (M) I M-n 3-esfera uzkurtezinak Testura 1.1 taula: Huts-barietatearen topologiaren arabera gerta daitezken defektu topologikoak. Irudia osatzeko, testurak ere aipatu ditugu, nahiz eta testuren sailkapen topologikoa ezberdina izan. 3 dimentsiotan hain zuzen ere, testurak sektore topologiko batetik beste batera era jarraituan deforma daitezke energia finitua erabiliz, eta hortaz, ez-egonkorrak dira. Sistema simetria lokalekoa denean, i. e., gauge-eremuak dituenean, defektuei defektu lokal deritze; simetria globaleko kasuan, berriz, defektu globalak. Hutsaren topologia eta defektu egonkorren arteko erlazioa nahiko zolia da. Orain arte erakutsi dugu huts-barietateko homotopia ez-tribialak soluzio ez-barreiakorrak aurresaten dituela. Hau ikusteko, demagun e(x, y, z, t) energia dentsitatea definitu positiboa dela, eta nulua dela sistemaren oinarrizko egoerarako. Higidura-ekuazioen soluzio bat ez-barreiakorra da [28] lim max e(x, y, z, t) = 0 (1.13) t x,y,z

21 1.1 Sarrera 13 denean. Baina eremu eskalarrak infinituan biribilkapena badu, eremu eskalarraren jarraitasuna dela eta, (x 0, y 0, z 0 ) espazioko puntu jakin batetan eremu eskalarra nulua izan behar da φ = 0. V (φ = 0) > 0 denez, (x 0, y 0, z 0 ) puntuan e(x 0, y 0, z 0, t) > 0, (1.14) eta ondorioz hau da, soluzioa ez-barreiakorra da. lim max e(x, y, z, t) 0, (1.15) t x,y,z Baina soluzio horiek ez dute zertan estatikoak izan, ezta ere perturbazio txikiekiko egonkorrak. Kasu bakoitzerako egonkortasun-analisia egin behar izango dugu. Are gehiago, tesi honetan ikusiko dugunez (ikus 2. kapitulua), kasu batzuetan nahiz eta sektore topologiko batetik bestera joateko energia infinitua izan, bi konfigurazioen arteko energia-diferentzia finitua suertatu daiteke. Bestalde, hutsaren homotopia ez-tribialak defektuak aurresan arren, homotopia tribiala izateak ez du esan nahi defekturik ez dela egongo; defektu bat beste teoria orokorrago, eta topologikoki tribial, batetan murgiltzeko baldintzak ez dira oso gogorrak eta, ondorioz, murgildutako defektuak ia edozein teoriatan aurkitu genitzazke. Halere, defektu horien egonkortasuna lortzea askoz ere zailagoa da. Kasu topologikoan ziur dakigu potentzial eskalarra gutxienez puntu batean ez-nulua dela. Baina kasu ez-topologikoetarako ezin dugu hori ziurtatu; sistema desbiribilkatu daiteke. Propietate garrantzitsu horretan datza defektu topologiko eta ez-topologikoen arteko desberdintasunetako bat. Defektu ez-topologikoen egonkortasuna ereduaren energiaren araberakoa da, eta gehienetan ez-egonkorrak dira. Defektu ez-topologiko egonkorren adibide ezaguna soka erdilokalak dira, kapitulu honetan, 1.3 atalean, deskribatuko ditugunak. Soka erdilokalak, Higgs eredu trukakorrean (ikus 1.2 atala) gertatzen diren Nielsen-Olesen zurrunbiloak teoria zabalago batean murgiltzean lor ditzakegu.

22 14 Defektu topologikoak Defektuak Kosmologian Aurreko atalean defektu-motako soluzioak aurkitu ditugu zenbait eremu-teoriatan. Atal honetan aldiz, kontestu kosmologikoetan defektuak ere ager daitezkela erakutsiko dugu. Big-Bang delako eredu estandarrean, oinarrizko simetrien berezko simetria-apurketak sortarazten dituzten fase-trantsizioak daude. Temperatura txikiko simetria-apurketak nahiko ongi ezagutzen dira: simetria-apurketa elektroahula T 10 2 GeV eskalan gutxi gorabehera, eta confinement-deconfinement delako fase-trantsizioa T 10 2 MeV eskalan. Oinarrizko elkarrekintzen teoriak beste fase trantsizio batzuk aurresaten ditu, e.g. GUT (Grand Unification Theories) teorien simetria-apurketak T GeV eskalan, eta supersimetria-apurketa eredu supersimetrikoetan. Big-Bang delako eredu estandarraren arabera, unibertsoa oso temperatura handian sortu da, simetria guztiak apurtzeke daude eta Higgs eremuaren oinarrizko egoera φ = 0 da. Unibertsoa hoztuz doan neurrian, T c temperatura kritiko batetara heldu eta simetria apurtu egingo da, Higgs eremuaren balioa potentzialaren minimora jaitsiz (φ 0). φ eremuaren balio berria ez da orokorrean uniformea izango espazioan, ξ korrelazio-distantzia jakina baino urrutiago dauden puntuek ezin baitira korrelaturik egon, kausalitatea dela-eta. Ohiko korrelazio-distantzia ξ < t da, t horizonte kausala izanik. Elkarrengandik oso hurrun dauden zonaldeak korrelaturik ez daudenez, zonalde bakoitzean Higgs eremuak norabide desberdina hautatuko du. Oso norabide ezberdinak dituzten zonaldeak gerturatzean, oso zaila da beren konfigurazioak adostea, eta mugan defektuak sortuko dira. Eskema orokor horri Kibble-ren mekanismo deritzo [63]. ξ korrelazio-distantzia ezagutu beharko genuke defektu-dentsitatea kalkulatzeko. Balio zehatzak lortzea benetan lan zaila da, baina kosmologian erabiltzeko, gutxi gorabeherako balioak ondorio garrantzitsuak eman diezazkiguke. Oso defektu gutxi sortuko diren kasuan ere, efektu kosmologikoa izugarria izan daiteke [98]. Honen adibide domeinu-paretak dira. Domeinu-paretak sortuko dituen fase-trantsizioa eta gero, gutxienez bolumen-horizonteko domeinu-pareta bat sortuko da. Badakigu gaur egungo unibertsoaren energia gehiengoa ez dela domeinu-pareten energia. Domeinu-pareten berezko energia, eta energia hori gaur egongo unibertsoaren gehiengoa ez izatea, ba-

23 1.1 Sarrera 15 tera kontsideratuz, sistema horretarako lotura gogorrak lortuko ditugu. Adibidez, eskala elektroahularen energia-eskalan edo energia-eskala handiagoetan sortuko diren domeinu- -paretak ez dira onargarriak, unibertsoaren energia menperatuko bailukete. Monopolo magnetikoarekin (lokalarekin) antzeko zerbait gertatzen da. Bolumen-horizonte bakoitzean monopolo magnetiko bat gutxienez sortzea espero dugu, eta dentsitate hori nahikoa da GUT monopoloak energia-dentsitatea menperatzeko, eta unibertsoa ixteko. Baina kasu horretan ez ditugu monopolo horiek aurresaten dituzten ereduak baztertuko: elkarrekintza elektroahula eta elkarrekintza nuklear bortitza bateratu nahi dituen edozein GUT teoriak, elkarrekintza horien artean beste elkarrekintza berririk ipini gabe, monopoloak aurresango ditu. Izan ere, barnean U(1) hiperkarga-taldea edukiko duen azpitalde batetara apurtuko da GUT teoria, eta hori nahiko da monopoloak aurresateko. Mekanismo berriren bat behar dugu monopolo-ugaritasunaren problema konpontzeko. Inflazioa oso irtenbide ona dela dirudi. Inflazio-denboraldian espazioa esponentzialki hazten da monopoloak asko diluituz, eta beraz, monopolo-dentsitateak kaltegarri izateari utziko dio. Monopolo globalen kasua desberdina da. Monopolo-antimonopolo bikote baten arteko indarra irismen luzekoa da (2. kapitulua), eta nahikoa da elkar deuseztatzeko. Horrela, monopolo ugaritasunaren problema ez da agertuko monopolo globalen kasuan. Testura globalen kasua berezia da. Defektu horiek ez dira topologikoak (ikus atala), ez dira inoiz huts-barietatik irtengo, eta ez-egonkorrak dira. Ez-egonkortasun hori dela-eta, ezin dute unibertsoaren energia dentsitatea menperatu, eta printzipioz, fase-trantsizio kosmologiko batean suertatu daitezke. Soka kosmikoak ez dira arrisku bat ikuspuntu kosmologikotik ere. GUT eskaletan eratzen diren sokak izan arren, beren energia-dentsitatea oso txikia da dentsitate kritikoarekin alderatuz, eta ez dituzte esperimentuak gezurtatu. Zergatia soken eboluzioan datza. Zenbakizko lanek eta lan analitikoek [18, 97] agertzen dute soka kosmikoek eta monopolo globalek scaling soluzio batera jotzen dutela: eratuak izan eta gero, defektu-sarearen eboluzioaren ondorioz, Hubble bolumen bakoitzean soka infinituen segmentu, edo monopolo, gutxi batzuk daude Hubble-ren denborarekiko. Hau da, sarearen propietate estatistikoak ez dute denborarekiko menpekotasunik Hubble-ren erradioa distantzia-eskalatzat hartuz gero.

24 16 Defektu topologikoak Soka kosmikoen beste propietate interesgarria da, korronte elektromagnetikoaren eramale izan daitezkela [104], eta honek, beren partehartze kosmologikoa alda dezake. Soka kosmiko batek osatutako eraztun itxia bortoia txikitu egingo da desagertu arte. Baina sokak korronte elektromagnetikoa badarama, eraztuna txikituz doan neurrian momentu angeluarra handituz doa, eta momentu angeluarrak txikitzea geldiaraziko du. Orduan, bortoi [34] horiek unibertsoaren energia-dentsitatea menperatuko lukete bortoi ugari baleude, eta honenbestez, arrazoi kosmologikoen bidez, teoria batek aurresan ditzakeen bortoi-kopurua mugatua da [25, 27, 69]. Geroago ikusiko dugunez (4. kapitulua), bortoi hauek kiralak izan daitezke eta ezaugarri interesgarriak izango dituzte [26, 33, 78, 89]. Orain arte, abiapuntu kosmologikotik hasita defektuak sortu ditzaketen partikulen fisikarako zenbait eredu gaitzetsi ditugu. Bestalde, defektuek beste hainbat arazo kosmologikoei buruzko erantzunak eman diezazkigukete, adibidez, bariogenesia [24, 31], energia handiko izpi-kosmikoak [22], gamma izpi eztandak (bursts) [19] eta jatorrizko eremu magnetikoak [94, 96]. Defektu topologikoak, unibertsoaren egitura-eraketan partaide izan direla uste izan da (ikus adibidez [12, 37, 41, 68, 95] eta bertako errefentziak). Duela gutxi, neurketa kosmologiko oso zehatzak egin dira, egitura-eraketari buruzko datu berriak eman dituztenak. Adibidez, Boomerang [20] eta Maxima [53] globo-aerostatikoko esperimentuek CMB-ko (Cosmic Microwave Background edo Mikrouhineko erradiazioaren Hondo-Kosmikoa) [76] tenperatura-fluktuazio oso txikiak neurtu ahal izan dituzte zehaztasun izugarriz. Datu horiek, egitura-eraketarako garrantzi nagusia duen prozesua inflazioak sortua dela erakutsi dute. Dirudienez, egitura-eraketaren arrazoi nagusia inflazioari esker areagotutako haserako fluktuazio kuantikoak dira. Halere, defektuek bigarren mailako efektua izan dezakete egitura-eraketan; eta bai inflazioa bai defektu topologikoak dituzten ereduak ere aintzakotzat hartu izan dira [23, 29]. Are gehiago, inflazio eredu errealista batzuetan, inflazioa eta gero datorren aurre-berotze fasean, soka kosmikoak agertzen dira zuzenean [62, 90]. Ondorioz, kontestu kosmologikoetan oraindik ere defektu topologikoek badute zerresana, eta edozein kasutan, defektu-ugaritasunak edo defektu ezak, fase-trantsizio kosmologikoak esplikatzeko erabiltzen diren partikulen eremu-teoriak mugatzeko erabil daitezke.

25 1.2 Higgs eredu trukakorra Higgs eredu trukakorra Φ eremu eskalar komplexuak eta Y µ U(1) gauge-eremu batek osatzen dute, d = dimentsiotan bizi den Higgs eredu trukakorra. Ereduari dagokion lagrangearra ondokoa da L = D µ Φ Y µνy µν λ ) 2 (Φ Φ η2, (1.16) 2 non D µ Φ = ( µ iqy µ )Φ, eta Y µν = µ Y ν ν Y µ magnitudea U(1) eremu intentsitatea den. Teoria U(1) gauge-aldaketekiko aldaezina da; hots, ondoko transformazioek Φ(x) e iqχ(x) Φ(x), Y µ (x) Y µ (x) + µ χ(x), (1.17) ez dute (1.16) lagrangearra aldatuko. 1.2 irudia: Mexikar Kapela itxurako potentzialaren adierazpen grafikoa. Φ 2 = η 2 betetzen duten puntu guztiak, potentzialaren minimo dira. Sistemaren potentzialak Mexikar Kapela itxurakoa da (1.2 irudia); potentzial horrek maximo lokal bakarra du, Φ = 0, eta minimo-multzo bat, Φ = η. Huts-barietatea (i. e. potentzialaren minimoek osatzen duten barietatea) M = { Φ C Φ = η 2 } = S 1 (1.18) da eta sistemaren simetria berez apurtuko da U(1) taldetik I unitatera. Simetria-apurketa horrek masa emango die bai eremu eskalarrari bai Y µ eremuari ere. Gauge-transformazioak direla-eta, potentzialaren minimo guztiak baliokideak dira; hortaz, minimoetako bat aukeratu dezakegu simetria apurtuaren hutsa aztertzeko. Gauzak errazteko, Φ erreala den

26 18 Defektu Topologikoak kasua aukeratuko dugu, hots, Φ 0 = η/ 2 izango da aukeratutako minimoa. Minimo horren inguruan Φ eremua Φ = Φ 0 + α eran garatuz, ondoko adierazpena lortuko dugu L = 1 4 Y µνy µν + ( µ α) 2 + 2λη 2 α q2 η 2 (Y µ ) 2 + L int, (1.19) non L int eremu ezberdinen arteko elkarrekintzei dagozkio. Argi ikus daiteke α eremu eskalarrak masa irabazi duela (m s = 2λη 2 = l 1 s ) eta baita Y µ eremu bektorialak ere (m v = qη = l 1 v ). Egin dezagun ondorengo aldagai-aldaketa, problemaren berezko eskalak erabiltzearren: Φ(x) η 2 Φ(x), x 2 qη x = 2l v x, qy µ qη 2 Y µ = Y µ 2lv. (1.20) Luzera fisikoa l v da orain, eta η energia-unitatea (zenbakizko faktore batzuk gorabehera). Lagrangearra unitate berri horietan ondokoa da L = D µ Φ 2 1Y 4 µνy µν β ( Φ Φ 1 ) 2, (1.21) 2 = 2λ q 2. Aldaketa egindakoan, sistemaren para- eta orain D µ Φ = ( µ iy µ )Φ eta β = m2 s m 2 v metro bakarra β da. Lagrangian horretatik lortuko ditugun higudura-ekuazioak D µ D µ Φ + β(φ Φ 1)Φ = 0 ; µ Y µν + i [ Φ D ν Φ (D ν Φ) Φ ] = 0 (1.22) dira, eta sistemaren energia [ E = d 3 x D 0 Φ 2 + D i Φ 2 + β ] ( Φ 2 1 ) E B2, (1.23) non Y 0i = E i eta Y ij = ǫ ijk B j diren, eremu elektrikoa eta magnetikoa, hurrenez hurren Nielsen-Olesen zurrunbiloa Gure sistemaren huts-barietatea S 1 dela ikusi dugu, eta π 1 (S 1 ) = Z denez, eredu horrek soka topologiko motako soluzioak eduki ditzake (ikus atala). Ardatz-simetriadun konfigurazio estatikoak bilatzen ari gara, d = dimentsiotan; hots, z ardatzaren

27 1.2 Higgs eredu trukakorra 19 norabideko soka zuzen infinitua. (t, ρ, ϕ, z) koordenatu zilindrikoak erabiliko ditugu, eta n biribilkapen-zenbakiko sokarako (Abrikosov)Nielsen-Olesen [1, 74] fisikariek proposaturiko ansatz-a: Φ = f(ρ)e inϕ, Y ϕ = nv(ρ), Y t = Y ρ = Y z = 0. (1.24) (1.22) higidura-ekuazioetan aurreko ansatz-a ordezkatzerakoan bi ekuazio mihiztatu lortuko dira f (ρ) + f (ρ) ρ v (ρ) v (ρ) ρ n2 f(ρ) ( ) 2+β ) 1 v(ρ) (1 f(ρ) 2 f(ρ) = 0 ; ρ 2 ( ) + 2f 2 (ρ) 1 v(ρ) non primatuak ρ-rekiko deribatuei dagozkien. = 0, (1.25) Ekuazio diferentzial pare hori aztertuz, eta (1.24) definizioa erabiliz, ρ = 0 denean f(0) = v(0) = 0 izan behar dela ondorioztatuko dugu. Baldintza horrek ρ = 0 puntuan funtzioen erregulartasuna ziurtatuko du, eta egoera simetrikoa eta ez-simetrikoa leunki lotaraziko ditu. Energia finitua izatea eskatuz, muga-baldintza gehiago lortuko ditugu. (1.23) ekuazioak ondokoa erakutsiko digu: ρ denean D i Φ eta Y µν adierazpenek 1/ρ baina azkarrago joan behar dute zerorantz; eta, limite horretan, eremu eskalarraren balioak energia potentzialaren minimo izan behar du. Hortaz, f(ρ ) 1 eta D i φ(ρ ) = 0 ( ϕ iy ϕ )e inϕ v(ρ ) = 1. (1.26) Beraz, (1.25) ekuazioen mugalde baldintzak f(0) = v(0) = 0 eta f( ) = v( ) = 1 dira. (1.22) ekuazioen soluzio analitikoa ezezaguna da n orokorrerako. Hala eta guztiz ere, higidura-ekuazioen analisiak informazio partziala eman diezaguke. ρ txikia denan, f ρ n eta v ρ 2 ; eta ρ handirako, funtzioek hutseko baliorantz doaz esponentzialki. Erdialdea zenbakizko metodoak erabiliz aztertu behar da, eta 1.3 irudian f NO eta v NO funtzioen ohiko profila ikus daiteke; NO azpi-indizeak Nielsen-Olesen higidura-ekuazioen (1.25) soluzio direla gogoraraziko digu. Irudiaren arabera, f eta v funtzioak m 1 s eta m 1 v neurriko ingurunetan, hurrenez hurren, beren hutseko baliotik hurrun daude. Zonalde hori defektuaren muina da, eta energia muin horren barruan metaturik dago. 1.2 taulan β parametroaren

28 20 Defektu Topologikoak 1.3 irudia: f NO eta v NO funtzioen profilak n = 1, λ = 0.6 kasurako, (1.25) ekuazioak zenbakizko metodoen bidez ebatziz lortuak. balio ezberdinetarako zenbakizko kalkuluen bidez lorturiko muinaren erradioaren balioa eta B eremuaren balio maximoa adierazi ditugu, n = 1 kasurako. Erradioa honela definitu dugu: eremu magnetikoaren balioa, B max balio maximoaren %25 deneko puntutik jatorriraino dagoen distantzia. Ohar zaitezte fluxu magnetikoa kuantizaturik dagoela. Gure ansatz-aren arabera Y t = Y z = 0 direnez eta beste gauge-eremu guztiek ez dutenez z eta t aldagaieiko menpekotasunik, ondokoa ondorioztatuko dugu: E eremu elektrikoa nulua da; eta, B eremu magnetikoaren osagai bakarra z norabidean dago. xy planuan zeharreko fluxu magnetikoa hau da d 2 xb = Y ϕ dl. (1.27) Baina lehenago, energia finitoa izatea eskatzerakoan, D ϕ Φ( ) = 0 erlazioa lortu dugu. ρ= Ereduaren parametro guztiak berrezarriz eskala aldatu baino lehenagoko unitateak erabiliz eta eremu eskalarraren balioa infinitoan honela idatziz ondoko hau lortuko dugu: Ondorioz, fluxu magnetikoa hau da d 2 xb = Φ( ) = f( )e iqχ(ϕ) = η 2 e iqχ(ϕ), (1.28) D ϕ Φ( ) = iqη 2 e iqχ(ϕ) ( ϕ χ(ϕ) Y ϕ ) = 0. (1.29) 2π 0 ϕ χ dl = χ(2π) χ(0). (1.30)

29 1.2 Higgs eredu trukakorra 21 β 1 2 B2 max B max r max πr 2 max taula: Eremu magnetikoaren balio maximoak, eta sokaren erradioa, β parametroaren balio ezberdinetarako, n = 1 deneko kasuan. χ(2π) χ(0) = 2πn/q da Φ eremua balio-bakarrekoa izatea nahi dugulako; eta fluxu magnetikoaren kuantizazioa lortu dugu: dx 2 B = 2πn. (1.31) q Nielsen-Olesen zurrunbiloaren egonkortasuna Higidura-ekuazioen soluzio klasiko bat lortu dugu. Ikertu beharreko hurrengo propietateak, orduan, soluzio horren egonkortasun propietateak dira. Soluzio hori infinitesimalki perturbatzean datza ikerketa hori burutzeko modu bat: energia jaitsiko duen perturbaziorik ez dagoela frogatuz gero, soluzioa egonkorra da; ez-egonkortasunak aurkituz gero,

30 22 Defektu Topologikoak aldiz, soluzioa ez-egonkorra da. Monopolo globalaren egonkortasuna aztertzerakoan erabiliko dugu metodo hori, 2.5 atalean. Beste era bat, Bogomol nyi fisikariak [21] proposatu zuen. Energiaren behe-borne bat aurkitu behar dugu. Soluzioak borne hori aseko duela frogatuz gero, egonkortasuna automatikoa da; baina modo nuluak egon daitezke. Metodo hau jarraituko dugu Nielsen-Olesen zurrunbiloen kasuan. Gradienteak ondoko eran konbinatuko ditugu Nielsen-Olesen zurrunbiloen luzera-unitateko energia (1.23) berridazteko (D 1 Φ) (D 1 Φ) ± (D 2 Φ) (D 2 Φ) = (D 1 ± id 2 )Φ 2 i [ (D 1 Φ) D 2 Φ (D 2 Φ) D 1 Φ ] = (D 1 ± id 2 )Φ 2 ± Φ [D 1, D 2 ]Φ i [ 1 (Φ D 2 Φ) 2 (Φ D 1 Φ) ]. (1.32) J i = iφ D i Φ korrentearen errotazionala da azken gaia. ρ kasuan, J d l 0 izan behar da, D i Φ magnitudea 1/ρ baina azkarrago zerorantz joan behar denez. Deribatuen arteko erlazio hau erabiliz [D 1, D 2 ]Φ = i( 1 Y 2 2 Y 1 )Φ = ibφ, (1.33) luzera-unitateko energia honela berridatzi dezakegu: [ E = d 2 x (D 1 ± D 2 )Φ 2 ± B Φ B2 + β ( Φ 2 1 ) ] 2 = 2 [ { ( d 2 x (D 1 ± id 2 )Φ B ± Φ 2 1 )}2 + 1 (β 1)( Φ 2 1 ) ] 2 2 ± d 2 xb. (1.34) Azken integrala fluxu totala da (1.31). Integrala positiboa izan dadin aukeratuko dugu plus/minus zeinua. Notazioa erraztearren, demagun n > 0 dela; orduan, fluxu magnetikoa positiboa egiteko zeinu positiboa behar dugu. Ondorioz, energia honela idatziko dugu [ { ( E = 2πn+ d 2 x (D 1 + id 2 )Φ B + Φ 2 1 )} (β 1) ( Φ 2 1 ) ] 2. (1.35) 2 Erlazio honek argi erakusten digu energia behetik bornaturik dagoela: E 2πn, β 1 kasurako. β = 1 kasu berezia da: m s = m v, eta Higgs eredu trukakorra supersimetriko

31 1.2 Higgs eredu trukakorra 23 bihurtu dezakegu (ikus 4. kapitulua). Energiaren espresioko azken gaia nulua da; eta β = 1 kasurako, Bogomol nyi-ren bornea aseko duten soluzioek hau beteko dute: (D 1 + id 2 )Φ = 0, B + Φ 2 1 = 0. (1.36) f eta v funtzioak erabiliz ondoko adierazpenak lortuko ditugu f nf(ρ) (v(ρ) 1) (ρ) + = 0 ; ρ nv (ρ) + ρ ( f(ρ) 2 1 ) = 0. (1.37) Azken ekuazioak beteko dituzten soluzioak energiaren minimo dira; eta ondorioz, egonkorrak. β > 1 kasurako ez dago Bogomol nyi-ren bornea aseko duen soluziorik. Bi ekuazio hauek B + Φ 2 1 = 0, Φ 2 1 = 0 (1.38) bete beharrak, B = 0 izatea ondorioztatzera garamatza; eta hau ezinezkoa da (1.31) fluxuaren kuantizazioa dela-eta. Baina honek ez du esan nahi β > 1 kasurako soka-motako soluziorik ez dagoenik: Eremu eskalarrak infinitoan biribilkapen ez-tribiala badu, topologiak soluzio ez-barreiakor bat dagoela ziurtatuko du. Ekarpen honek ez du β-rekiko menpekotasunik. Ondorioz, edozein β-rako soluzio ez-barreiakor bat dago topologiaren arabera. Halere, soluzio ez- -barreiakorren egonkortasuna ez da derrigorrezkoa. Adibidez: n = 1 eta β = 1 kasurako, zurrunbiloak egonkorrak dira; (1.35) energiaren beheko bornea asetuko dutelako. n = 1 eta edozein β-rako, zurrunbiloak egonkorrak dira baita ere. Energia potentzial eta magnetikoaren arteko lehiak sokaren erradioa definituko du. Ez-egonkortasun angeluarrak ez ditugu kontuan hartu analisi honetan; baina [49] lanaren idazleen arabera, kasu honetarako ez-egonkorasun angeluarrik ez dagoela frogatu zuten. n > 1 eta β > 1 kasuan aldiz zurrunbiloak ez dira egonkorrak. Zurrunbilo hauek n = 1 biribilkapeneko n zurrunbilo bihurtzeko joera dute. Zenbakizko simulazioen bidez lorturiko Nielsen-Olesen zurrunbilo-sarea ikus daiteke 1.5 irudian. Soka hauek ez dira inon amaituko: kurba itxiak osatuko dituzte; edo infinitoak

32 24 Defektu topologikoak dira ( infinitoak muga baldintza periodikoak erabili baititugu simulazioan). Honen arrazoia defektuen jatorri topologikoan datza: eremuen zeroak continuum-a osatu arazten ditu topologiak; eta honela, sokek ezin dute muturrik izan. 1.3 Soka erdilokalak Zabal dezagun Higgs eredu trukakorra: ordezka dezagun aurreko ataleko eremu eskalar konplexua Φ T = (φ 1, φ 2 ) SU(2) bikoteaz, non φ 1, φ 2 C [92]. Sistema berriaren lagrangearra hau da [ L = ( µ iqy µ )Φ Y µνy µν λ ) ] 2 (Φ Φ η2. (1.39) 2 Higgs trukakorraren kasuan bezala, Y µ eremua U(1) gauge-potentziala da, eta Y µν eremu- -intentsitatea. Honako U(1) lokal gauge-aldaketarekiko aldaezina da eredua eta baita ere SU(2) global gauge-aldaketarekiko Φ e iqγ(x) Φ, Y µ Y µ + µ γ(x), (1.40) non τ a Pauli-matrizeak diren (ikus A eranskina). Φ e iαaτa Φ, Y µ Y µ, (1.41) Ohar zaitezte (α, γ) transformazioa eta (α + 2π, γ + π ) transformazio berbera direla, q non α = α1 2 + α2 2 + α2 3 [0, 4π) den. Beraz, (SU(2) globala U(1) lokala ) /Z 2 da ereduaren benetako simetria; eta bai simetria lokala bai globala dituenez, eredu erdilokala izendatu zuten [92]. Higgs mekanismoaren bidez Φ eremuak hutsean esperotako balio (v.e.v.) ez-nulua lortuko du. Beraz, simetria berez apurtuko da: (SU(2) globala U(1) lokala )/Z 2 simetriatik U(1) globala simetriara [6]. Ereduak dituen partikulak hauek dira: Goldstone-bosoi bi, m s = 2λη2 = ls 1 masako bosoi eskalarra eta m v = qη = lv 1 masako bosoi bektoriala. β parametroa Higgs eredu trukakorrean bezela definituko dugu: β = m2 s m 2 v = 2λ q 2. Kasu honetan,

33 1.3 Soka erdilokalak 25 ereduko parametro bakarra da. Hau ikusteko, Higgs eredu trukakorrean egindako eskala- -aldaketa egin dezakegu, eta lagrangearra ondoko ean idatziko dugu L = ( µ iy µ )Φ 2 1Y 4 µνy µν β 2 (Φ Φ 1) 2. (1.42) Energiak berriz honako formakoa da E = d 3 x [ D 0 Φ 2 + D i Φ B E2 + β2 ] (Φ Φ 1) 2, (1.43) non F 0i = E i eta F ij = ǫ ijk B k diren, aurrerago ikusi dugunez. Sistemaren huts-barietatea hau da M = { Φ C 2 Φ Φ = 1 } = S 3, (1.44) π 1 (S 3 ) = I denez, ez ditu onartuko soka topologikoko motako soluzioak. Baina higidura-ekuazioak idatziz gero; hots D µ D µ Φ + β( Φ 2 1) = 0, µ Y µν = iφ DνΦ, (1.45) konturatuko gara horiek eta Nielsen-Olesen zurrunbilorako lortu ditugun ekuazioak berdinak direla. Desberdintasun bakarra hau da: eremu eskalarra SU(2) bikoteaz ordezkatu dugu; eta, komplexu konjokatuak, Φ-ren konjokatu hermitikoen bidez. (1.24) Nielsen-Olesen zurrunbiloa eredu hontan murgiltzen saiatu gaitezke, ondoko moduan [92]: Φ = f NO (ρ)e inϕ Φ 0, Y φ = nv NO (ρ), (1.46) non Φ 0 eremua SU(2) bikotea den, eta Φ 0 Φ 0 = 1. Azken ansatz hori, (1.45) higidura-ekuazioetan ordezkatzerakoan honako ondoriora iristsiko gara: Nielsen-Olesen ereduaren soluzioak badira f NO eta v NO funtzioak (ikus 1.3 irudia), orduan n biribilkapen-zenbakidun eredu erdilokalaren soluzioak dira. n biribilkapen-zenbakia ez da topologikoki kontserbatuko den magnitudea aurreko atalean ikusitako zentzuan, π 1 (S 3 ) = I baita. Izan ere, edozein zirkulu maximala puntu bat izateraino uzkur daiteke jarraiki S 3 esferan. Baina energia finitoko konfigurazioak sailkatuko dituen espazioa ez da huts-barietatea. Aldiz, Φ 0 M edozein erreferentzia punturi dagokion gauge-orbitak sailkatuko ditu energia finituko konfigurazioak; eta espazio hau

34 26 Defektu topologikoak ez da sinpleki konexua: π 1 (G lokala /H lokala ) = Z da. Zirkulu maximala S 3 esferan puntu bat izatera jarraiki uzkurtzerarte, erdian dauden konfigurazio guztiek energia infinitua dute. Biribilkapen-zenbakia kontserbatu egiten da beraz, biribilkapen-zenbaki ezberdina duten edozein bi konfigurazioen arteko energia-langa infinitua delako. Baina honek ez du esan nahi biribilkapena duten konfigurazioek ez-barreiakorrak direnik: Higgs eredu trukakorrean ez bezala, topologiak ez du ziurtatuko eremu eskalarra puntu batetan gutxienez zero izan behar duenik. Infinituan biribilkapena duen edozein konfigurazio barrurantz jarraitu daiteke huts-barietatik atera gabe. Hurrengo atalean soka erdilokalen egonkortasun propietateak berrikusiko ditugu; eta, sistemaren parametroaren balio batzuetarako, egonkorrak direla erakutsiko dugu. Sistemaren energia-propietateen menpekoak izango dira egonkortasuna emango duten parametroaren balioak Soka erdilokalen egonkortasuna Nielsen-Olesen ereduaren kasuan (ikus atala) erabili dugun bide berdina jarraituko dugu soka erdilokalen egonkortasuna aztertzeko: Bogomol nyi-ren metodoa erabiliko dugu [6]. Higgs eredu trukakorreko eremu eskalarra SU(2) bikoteaz ordezkatuz, eta n > 0 suposatuz, honela idatziko dugu energia E = 2πn + d 2 x [ (D 1 + id 2 ) Φ (B + ( Φ 2 1))2 + 1 (β 1) ( Φ 2 1 )]. (1.47) 2 Argi dago, β = 1 kasurako gutxienez, Bogomol nyi-ren ekuazioak, hots, (D 1 + id 2 )Φ = 0, B + ( Φ 2 1 ) = 0, (1.48) beteko dituzten konfigurazioak energiaren minimo lokalak direla; eta ondorioz, konfigurazio horiek egonkorrak dira klasikoki. Baina eredu honetako Bogomol nyi-ren ekuazioak eta (1.36) Higgs eredu trukakorrekoak berdinak dira Ondorioz, (1.46) ekuazioek definituko dituzten soka erdilokalak klasikoki egonkorrak dira β = 1 kasurako, edozein Φ 0 emanik. ρ = puntuetan konfigurazioak biribilkapena badu, infinitutik barrurantz hedatuko den heinean, posibilitate bi ditu: konfigurazioa desbiribilkatu daiteke (gradiente-energia

35 1.3 Soka erdilokalak 27 irabaziz) ala soka erdilokala eratu (potentzial energia irabaziz). Bietatik zein gertatuko den, energia-integralean gai bakoitzaren garrantziaren araberakoa izango da; eta hau β parametroaren araberakoa izango da. β handia denean, energia potentzialaren garrantzia gradiente-energiarena baina handiagoa da: sistema desbiribilkatuko da, energetikoki errexago baita. Bestalde, β txikia den kasuan, soka erdilokalak eratuko dira, energia potentzialaren irabazia gradiente-energiarena baino txikiagoa delako. Hindmarsh-ek [55] (1.46) soka erdilokala ez-egonkorra zela erakutsi zuen β > 1 kasurako: Φ 0 -rekiko ortogonalak diren perturbazioek soka erdilokala ez-egonkortzen dute. Perturbazio hauek fluxu magnetikoa infinitoraino hedatzen dute, nahiz eta, harrigarria badirudi ere, fluxua kuantizaturik dirauen [81]. Demagun ondorengo ardatz-simetriako ansatz-a dugula Φ = f(ρ)e iϕ Φ 0 + g(ρ)e i Φ, Y ϕ = v, (1.49) non konstantea den; Φ 0Φ = 0 eta Φ 0 = Φ = 1 dira. Energia finitua izatea eskatuz gero, f(0) = g (0) = v(0) = 0 behar dugu, baita ere f( ) = v( ) = 1, g( ) = 0. Nielsen-Olesen eredua berreskuratuko dugu g = 0 kasuan. Baina Hindmarsh-ek [55], g(0) 0 kasuak energia jaitsiko duela erakutsi zuen; hortaz, (1.46) soka erdilokalen ez- -egonkortasuna frogatu zuen. Bestalde, β < 1 kasurako, zenbakizko simulazioen arabera [55], energia jaitsiko duen perturbaziorik ez dago (perturbazio angeluarrak barne). Soluzioak simulatzeko erabilitako zenbakizko kalkuluek erakutsi zuten egonkorrak direla z aldagaiaren menpekotasunik ez duten perturbazioekiko [2, 3]. β = 1 kasua, bi jokaera horien muga da. (1.49) ansatz-a Bogomol nyi-ren ekuazioetan ordezkatuz ondoko adierazpenak lortuko ditugu f (ρ) + v(ρ) 1 ρ f(ρ) = 0 ; g (ρ) + v(ρ) ρ g(ρ) = 0 ; v (ρ) + ρ [ f 2 (ρ) + g 2 (ρ) 1 ] = 0. (1.50)

36 28 Defektu topologikoak Bogomol nyi-ren bornea dela-eta, badakigu (1.46) ansatz-a edo g = 0 kasua (1.50) ekuazioetan egonkorrak direla. Halere, modu nuluak egon daitezke; hau da, soka erdilokalen energia berebereko soluzio beriak. (1.50) ekuazioak ez dira independenteak: espresioa bigarren ekuazioaren soluzio baita, g + v ρ g = q 0 ρ g(ρ)=q 0 f(ρ)/ρ (1.51) [ f + v 1 ] ρ f = 0. (1.52) q 0 hautazko konstantea da (ikus 1.4 irudia). Beraz, honako hau ondorioztatu dezakegu: parametro bakarraren menpekotasuna duten soka konfigurazio multzoa dago. Soka guztiak Bogomol nyi-ren bornea aseko dute; eta beraz, denak energia endekatua dute. q 0 zenbakiak, sokaren erradioaren neurria ematen digu: q 0 =0 baliotik (Nielsen-Olesen soka) hasi eta q 0 balioraino hel daiteke. q 0 kasuan, sokaren muina hedatu egingo da; eta soluzioa hutsetik nahi bezain gertu egon daiteke espazio osoan zehar. g funtzioak ez du biribilkapenik; eta muinean kondentsatu eskalarra sortuko da q 0 0 kasurako. Baina edozein q 0 baliorako, fluxua kuantizatua egongo da soluzio guztietarako g (ρ) ρ irudia: g(ρ) funtzioaren profila q 0 konstantearen balio desberdinetarako. Halere, sistemak q 0 kausa aukeratuko du posibilitate guztien artetik [66]; hots, fluxua ez dago konfinatuta; eta, erradio geroz eta handiagoko fluxu-hodietara hedatuko da, soka hutseraino iritsiko den arte.

37 1.3 Soka erdilokalak irudia: Nielsen-Olesen soken sarearen (ezkerrean), eta soka erdilokalen sarearen (eskubian) arteko konparaketa. Higgs eredu trukakorraren kasuan, soka itxiak edo soka infinituak eratuko dira (soka infinituak, muga baldintza periodikoak direla-eta). Baina soka-segmentu finituak aurki daitezke eredu erdilokalaren kasuan. Nielsen-Olesen zurrunbiloen kasuan ez bezela, soka erdilokalak ez dute zertan infinituak edo itxiak izan; beraien jatorria ez baita topologikoa. Hortaz, soka erdilokaleko segmentuak aurki ditzakegu; eta sokak, monopolo/antimonopolo globalen antzeko energia-lainoetan bukatuko dira (ikus 2 kapitulua). 1.5 irudian Nielsen-Olesen soken eta soka erdilokalen simulazioen arteko alderaketa ikus daiteke. Zenbakizko simulazioak sare kubikoan egin ditugu, muga baldintza periodikoak erabiliz. Argi ikus daiteke Nielsen-Olesen kasuan sokek muturrik ez dutela; soka erdilokalen sarea, aldiz, soka-segmentuez osatuta dago gehienbat. Soka erdilokalen segmentuak beren tentsioaren ondorioz txikitu egingo dira. Baina soka muturretan dauden monopolo/antimonopolo globalek luzera handiko elkarrekintzak dituzte elkarren artean; eta inguruko monopolo/antimonopoloak nabarituko dituzte, elkar deuseztatuko dutelarik. Deuseztatu diren monopolo/antimonopolo parea soka segmentu biri badagozkio, segmentu bi horiek bat egingo dute segmentu luzeagoa eratuz. Monopolo/antimonopolo parea soke segmentu berberan badaude, soka itxi bat eratuko dute [5]. Soken muturren jokaera hori dela-eta, Nielsen-Olesen soken dinamika baino askoz korapilatsuagoa da soka erdilokalen dinamika. Hala eta guztiz ere, denborak aurrera egiten duen heinean, segmentuak desegingo dira; edo elkar lotuko dira soka itxiak edo soka infinituak eratzeko: Nielsen-Olesen soka-sarearen itxura hartuko du soka erdilokalen sareak.

38 30 Defektu topologikoak Soka erdilokalen sarea eta soka elektroahulen sarea aldaratzea interesgarria da (ikus 3. kapitulua). Eredu elektroahulean, (anti)monopolo magnetikoak daude soka muturretan; eta, monopolo magnetikoen arteko elkarrekintza ez da monopolo globalen elkarrekintza bezain eraginkorra. Hala ere, ikusiko dugunez, soka-segmentuak elkar lotuko dute parametro-espazioko zenbait eremuetan [91].

39 2. KAPITULUA Monopolo globalak 2.1 Sarrera Aurreko kapituluan deskribatu ditugun defektu topologietako bat, O(3) monopolo globala da. O(3) simetria globalak berez apurtzerakoan [16] agertuko zaizkigu defektu horiek, geroxeago azterteku dugun legez. Sistemaren huts-barietata S 2 esfera da, eta Π 2 (S 2 ) I denez, monopolo topologikoak espero ditugu. Are gehiago, sistemak simetria globala duenez (eta ez gauge-simetria), lortutako defektua globala izango da. Denbora luzez aztertu izan da monopolo globala, unibertsoko egitura-eraketaren hazi izan litezkeelako [68, 98]. Baina azken datu kosmologikoen arabera, defektuak ezin dira izan egitura-eraketara azalpen bakarra [12, 37, 41]. Halere, defektuak inflazioarekin batera emango dira eredu batzuen arabera. Gainera, materia kondentsatuan eta beste sistema batzuetan monopolo globalak daudenez, eta dituzten berezko propietate bereziengatik, defektu horien azterketa oso interesgarria da. Monopolo isolatuaren energia dibergentea da, eremuaren gradiente angeluarrak zerorantz polikiegi doazelako; baina egoera fisikoetan dibergentzia moztuko da, gertuen dagoen defektuarekiko R distantzia, cut-off delakoa, erabiliz. Ondorio garrantzitsua ondorioztatu dezakegu: monopolo globalen sarearen bilakaera eta monopolo magnetikoen sarearena oso desberdinak dira. Monopolo globalen arteko elkarrekintza luzera handikoa izanik, monopolo globalak behar beste deuseztatuko dute elkar, eta monopolo ugaritasuneran 31

40 32 Monopolo globalak problema saiestuko dute [98] (ikus atala). Bestalde, grabitate-propietate bereziak dituzte; adibidez, angelu-solido mentsa (deficit) [16]. Hurrengo atalean, monopolo globalak agertzen diren eredua aurkeztuko dugu, eta monopolo globalaren zenbait propietate aztertuko dugu. 2.3 ataletik 2.5 ataleraino, O(3) monopolo globalen egonkortasuna aztertuko dugu, literaturan eztabaidak sortu izan dituena [47, 77, 83]. Eztabaida argitzen saiatuko gara; horretarako: Perturbazio erradialekiko monopoloa egonkorra dela erakutsiko dugu [77] (2.3 atala). Monopolo esferikoaren egonkortasuna aztertuko dugu ardatz-simetriako deformazio finituekiko (2.4 atala). Monopoloa eta hutsaren arteko energia-diferentzia finitua dela erakutsiko dugu; hau da, monopolo esferikotik hasita, hutsera ebainduko den konfigurazioa lortzeko behar den energia, finitua da. Lehenengo, erradio finkodun geruza esferikoaren egonkortasuna aztertuko dugu, Belavin-Polyakov monopolora [17] eramango gaituena; eta, orduan, erradioa aldatu daitekeen kasua landuko dugu. Azkenik, purturbatu gabeko monopolotik hutsera ebainduko den monopolo-konfigurazioa lortzeko beharrezkoa den energia kalkulatuko dugu. Harrigarria da karga topologiko ezberdineko sektoreak energia finituko langaren bidez banandurik egotea. Kasu honetan, r konstanteko bi-dimentsioko gainazaletan gradiente-energiaren eskala-aldaezintasunaren ondorio da. Ardatz-simetriako perturbazio-ekuazioak aztertuko ditugu, R cut-off parametroa infinitura doan limitean (2.5 atala). Frogatuko dugu ardatz-simetriako perturbazio infinitesimalekiko egonkorra dela O(3) monopolo globala. Emaitza horiek orokortuko ditugu 2.6 atalean, monopoloaren egonkortasunerako potentzial eskalarraren xehetasunak garrantzitsuak ez direla erakutsiz. Azkenik, 2.7 atalean kapitulu honetako emaitza garrantzitsuenak laburbilduko ditugu.

41 2.2 Eredua Eredua O(3) monopolo globalak ager daitezkeen eredurik simpleena ondorengo lagrangearrak deskribaturikoa da L = 1 2 µφ a µ Φ a 1 4 λ( Φ 2 η 2 ) 2, (2.1) non Φ a, a = 1, 2, 3 hirukote eskalarra den, Φ eremuaren modulua ( Φ Φ a Φ a ), eta µ = 0, 1, 2, 3 indize espazio-denboralak. Eredu horrek O(3) simetria du, berez O(2) simetriara apurtuko dena. Sistemaren (2.1) lagrangearraren energia potentzialak Mexikar Kapela - ren itxurakoa da (1.2 irudia); eta, honenbestez, hutsaren endekapena gertatuko da, i. e., Φ = η betetzen duten eremuen konfigurazio guztiak izango dira sistemaren oinarrizko egoerak. Oinarrizko egoera guztiak baliokideak dira; bada, horietako bat aukera dezakegu, adibidez Φ = (0, 0, η), teoriaren benetako espektroa lortzearren. Beraz, argi dago hutseko egoerek O(2) simetria dutela (eginiko aukerarako, O(2) simetria goiki bi gaien errotazioei dagokie); horregatik diogu simetria berez apurtu dela. Φ a eremuak, (0, 0, η) oinarrizko egoeraren (α, β, ν) perturbazio moduan idatziko ditugu: Φ = eta (2.1) lagrangearra garatuko dugu: α β (η + ν), (2.2) L = 1 2 ( µα µ α + µ β µ β + µ ν µ ν) λη 2 ν 2 + L int, (2.3) non L int eremuen arteko elkarrekintzak deskribatuko dituen. Lagrangearra aurreko (2.3) moduan idatzita dagoela, zenbat partikula dugun irakur dezakegu: Goldstone-ren 2 bosoi (α eta β eremuei dagozkienak), eta m s = 2λη 2 masadun eremu eskalarra (ν eremuari dagokiona). Hasierako (2.1) lagrangearrean dauden λ eta η parametroak desagertarazi ditzakegu, bai eremuak bai koordenatuak ondoko eran berdefinituz: Φ a Φ a = Φa η ; x µ x µ = λη 2 x µ. (2.4)

42 34 Monopolo globalak Ondokoa da benetan egin duguna: η energia-unitatetzat hartu, eta m 1 s eremu eskalarraren masaren alderantzizkoa luzera-unitatetzat, zenbakizko zenbait faktore gora-behera. Eskala-aldaketa hori egin eta gero, lagrangearra L = 1 2 µφ a µ Φ a 1 4 ( Φ 2 1) 2 (2.5) moduan idatz daiteke, tildeak kendu eta gero. Sistemaren higidura-ekuazioak Φ a + ( Φ 2 1)Φ a = 0 (2.6) dira, eta sistemaren energia E = d 3 x [ 1 2 µφ a µ Φ a ( Φ 2 1) 2]. (2.7) Huts-barietatea S 2 denez, π 2 (S 2 ) = Z da, eta karga topologiko ez-tribialeko konfigurazioak eduki ditzakegu. Horietako soluzio bat, simetria esferikoa eta unitate biribilkapen-zenbakia duena da; hots, Φ a = f(r) xa r, (2.8) non r koordenatu esferikoetako koordenatu erradiala den, eta muga-baldintzak f(0) = 0 eta f(r ) = irudia: f(r) funtzioaren profila, (2.10) energia zenbakizko metodoen bidez minimizatuz lortua. Sistemaren energia (2.8) ansatz-a erabiliz ondokoa da E = 2π 0 dϕ π 0 dθ 0 dr [ 1 2 r2 ( r f) 2 + f r2 (f 2 1) 2]. (2.9)

43 2.2 Eredua 35 Esan beharra dago sistemaren energia erradioarekiko linealki dibergentea dela, gradiente angularrak ez direlako behar bezain azkar deuseztatzen. Baina, egoera fisikoetan, integrala ez da infinituraino hedatuko; baizik eta gertuen duen defekturaino bakarrik. Gertuen dagoen defektua r = R (cut-off) distantziara dagoela emanik, energia finitoa da; hau da, E R = 2π 0 dϕ π 0 R dθ dr [ 1 2 r2 ( r f) 2 + f r2 (f 2 1) 2]. (2.10) 0 η eta λ parametroak ez bezala, R parametroa garrantzitsua da, eta topologia ez-tribialeko soluzioen dinamika alda dezake. (2.8) ansatz-a erabiliz, (2.6) Euler-Lagrangeren ekuazioak f rr (r) + 2 r f r(r) 2 r 2 f(r) f(r)(f(r)2 1) = 0 (2.11) moduan idatziko ditugu, non f r = r f...ekuazio horren ebazpen analitikorik ez da ezagutzen; baina f(r) funtzioaren hurbilketa lor daiteke zenbakizko kalkuluaren bidez (2.1 irudia). f(r) funtzioaren jokaera aztertzeko r ingurunean, (2.11) ekuazioan t = 1 aldagai- r -aldaketa egingo dugu: t 4 f tt (t) 2t 2 f(t) f(t)(f(t) 2 1) = 0. (2.12) f t (0) 0 izan behar duela ikus dezakegu t 0 limitean. f(t) funtzioa Taylor-en seriearen bidez garatuz, eta t = 1 r deseginez, ondokoa izango dugu f(r ) 1 1 r r... (2.13) irudiaren arabera, f(r = 0) 1 r da; eta r = 0 inguruan, eremuaren balioa ez dago 2 potentzialaren minimoan; beraz, energia potentziala zonalde hortan, muinean hain zuzen ere, metaturik dago. Muinetik hurrun, f(r) 1 denez, eremu eskalarraren dinamika ikertzearren sistemaren gain beste lotura bat imposatu ohi da: Φ a hirukotea Φ a Φ a = 1 esferan egon behar duela da lotura berria. Hau da, monopolo globalak muinik izango ez balu bezela ikertu izan da askotan (σ eredu ez-lineala). Kapitulu honetan, O(3) monopolo globalen dinamika eta egonkortasuna aztertuko ditugu, askatasun-gradu guztiak erabiliz.

44 36 Monopolo globalak 2.3 Egonkortasun erradiala Monopolo globalaren egonkortasun erradiala aztertzearren, lehen pausoa Derrick-en teorema [36] erabiltzea da: Demagun Ψ eremu eskalarra dugula denbora dimentsio bakarrean eta D dimentsio espazialetan, eta bere lagrangearra ondokoa dela L = 1 2 µψ µ Ψ U(Ψ). (2.14) U(Ψ) erdi-definitu positiboa da, eta teoriaren oinarrizko egoeretarako nulua. Derrick-ek, D 2 dimentsioetarako, energia finitodun eta denborarekiko independentea diren soluzio ez-singular bakarrak oinarrizko egoerak direla frogatu zuen: Lehenik eta behin, Ṽ1 eta Ṽ2 magnitudeak definituko ditugu Ṽ 1 [Ψ] = d D x 1 2 ( Ψ)2 ; Ṽ 2 [Ψ] = d D xu(ψ), (2.15) non Ṽ1 eta Ṽ2 erdi-definitu positiboak diren; eta oinarrizko egoeretarako bakarrik biak batera nuluak dira. Demagun Ψ(x) denborarekiko menpekotasunik ez duen soluzioa dela. Izan bedi Ψ α (x) Ψ(αx) (2.16) eremuaren parametro-bakarreko familia, non α zenbaki positiboa den. Familia horren energia honako hau da E[Ψ α ] = Ṽ1(Ψ α ) + Ṽ2(Ψ α ) = α 2 D Ṽ 1 (Ψ) + α D Ṽ 2 (Ψ). (2.17) α parametroarekiko energiaren aldakuntza eginez, ondokoa lortuko dugu eta α = 1 finkatuz beste hau δe δα = (2 D)Ṽ1(Ψ)α 1 D Dα (D+1) Ṽ 2 (Ψ) = 0, (2.18) (D 2)Ṽ1(Ψ) + DṼ2(Ψ) = 0. (2.19)

45 2.3 Egonkortasun erradiala 37 D 2 kasurako, bi funtzioek nuluak izan behar dute; eta, ondorioz, teorema frogatu dugu (D = 2, Ṽ 2 0 kasu berezia neutroki egonkorra da; beranduago erabiliko dugu atalean). Monopolo globalaren energia ez da finitua; eta, ondorioz, Derrick-en teorema ezin da aplikatu. Horrek ez du zuzenean esan nahi monopoloa eskala-aldaketekiko egonkorra denik; baizik eta Derrick-en teorema nolabait aldatu behar dugula kasu honetarako: [77] lanean eginikoaren arabera, monopolo globalaren (2.10) energian x αx aldagai- -aldaketa eginez idatziko dugu E α = 1 α non I 1, I 2 eta I 3 honela definiturik dauden: ( I 1 (αr) + I 2 (αr) + 1 ) 4α 2I 3(αR), (2.20) I 1 (αr) = I 2 (αr) = I 3 (αr) = αr 0 αr 0 αr 0 dr 1 2 r2 ( r f(r)) 2 ; drf(r) 2 ; drr 2 (f(r) 2 1) 2. (2.21) Sistema egonkorra bada, f(αr) eremuaren energiak α parametroarekiko minimoa izan behar du; hau da, (2.22) ekuaziotik δe α δα δ 2 E α δα 2 = 0 ; (2.22) α=1 0. (2.23) α=1 I 1 (R) + I 2 (R) I 3(R) = 1 4 R3 (f(r) 2 1) 2 + Rf(R) R3 f r (R) 2 (2.24) erlazioa ondorioztatu dezakegu, eta f(r) funtzioaren (2.13) eite asintotikoa erabiliz ondokoa lortuko dugu I 1 (R) + I 2 (R) I 3(R) = R, (2.25) O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz. Ekuazio hori birialen teorema da, monopoloaren gradiente-energia eta energia potentziala erlazionatzen baititu.

46 38 Monopolo globalak 2.2 irudia: (2.25) birialen teoremaren zenbakizko simulazioa Perivolaropoulos-en arabera [77]. (2.25) ekuazioaren ezkerraldeko integralen zenbakizko hurbilketei dagozkie puntuak, eta (2.25) ekuazioak aurresaten duen unitate maldari dagokio lerro zuzena. Era berean, (2.23) ekuaziotik abiatuta I 1 (R) + I 2 (R) I 3(R) R 0 (2.26) lor dezakegu (2.13) ekuazioa erabiliz; eta, (2.25) kontuan hartuz ondoko hau ere bai 3 4 I 3(R) 0. (2.27) I 3 integralaren integrakizuna positiboa denez, azken inekuazioa egia da. Aurreko atalean lortutako f(r) funtzioa erabiliz (ikus 2.1 irudia), monopolo globalen birialen teorema bete egiten da, 2.2 irudian ikus daitekeenez, Ondorioz, monopolo globalak eskala-aldaketekiko egonkorrak dira. 2.4 Egonkortasun angeluarra r finkoko perturbazioak Ardatz-simetriako perturbazio angeluarrei dagokienez, hainbat desadostasun egon da literaturan [47, 77, 83]; eta, lan honen bidez, perturbazio horiekiko monopolo globalaren

47 2.4 Egonkortasun angeluarra 39 egonkortasuna argitzen saiatuko gara [7]. Perturbazio angeluarren eragina argitzeko, ondorengo ardatz-simetriako ansatz-a plazaratu zuen Goldhaber-ek [47] Φ 1 = F(r, θ) sin θ(r, θ) cosϕ; Φ 2 = F(r, θ) sin θ(r, θ) sin ϕ ; Φ 3 = F(r, θ) cos θ(r, θ). (2.28) y = ln ( tan( θ 2 )) aldagai-aldaketa eginez, monopoloaren energia ondoko eran idatz daiteke non E = 2π R dϕ dy dr ( ρ1 + r 2 sech 2 yρ 2 ), (2.29) ρ 1 = ( y F) 2 + F 2 ( sin 2 θ + ( y θ) 2 ) ; (2.30) ρ 2 = ( r F) 2 + F 2 ( r θ) (F 2 1) 2 (2.31) diren. (2.30) ekuazioan parentesi artean dagoen batugaiak sine-gordon solitoiaren energia berbera du (ikus B eranskina). Ondorioz, F(r, y) = f(r) ; ) tan( θ = e ξ+y = tan ( θ 2 2) e ξ, ξ = const, (2.32) moduko konfigurazioak, (2.8) konfigurazioaren energia berbera du, sine-gordon ereduaren soluzio estatikoa dela-eta. ξ konstantea hautazkoa da, sine-gordon ereduaren aldaezintasun translazionalaren konstantearen analogoa. ξ 1 egitean, sistemaren gradiente-energia nahi bezain txikia den ipar poloaren ingurune batean meta dezakegu, energiarik erabili gabe! (ikus 2.3 irudia). Gradiente-energia nahi bezain txikia den ingurune batean meta ahal izateak ondokoa esan nahi du: sistemak energia-dentsitate altuak lor ditzakeela. Eta energia-dentsitatea behar bezain handia denean, sistemak eremuaren modulua jaitsi nahi izango du, potentzial-langaren gainetik salto eginez, eta biribilkapena deseginez. Beste era batera esanda, gradiente-energiaren kontzentrazio handia dagoenez, energia potentzial bihurtuko da gradiente-energia, eta biribilkapen-zenbaki nuluko hutsera ebainduko da.

48 40 Monopolo globalak 2.3 irudia: Φ eremua ϕ = 0,π planoan r finkorako; a) ξ = 0, b) ξ = 0.7, c) ξ = 1.4. Bektore horizontala (Φ 3 = 0) azpimarratuta dago gradiente-kontzentrazioa hobeto ikus ahal izateko. Monopolo globalaren propietate horrek sortu du literaturan dagoen eztabaida. 2.4 a) irudian perturbatu gabeko monopolo global esferikoa ikus daiteke; eta, 2.4 b) irudian, aldiz, ξ konstanteko monopolo globala. 2.4 b) itxurako konfigurazioko monopoloak potentzial- -langa salto egin lezakela arrazoitu zuen Goldhaber-ek [47]; horrela hutsera ebainduz. Beste alde batetik, konfigurazio hori duten monopoloak goranzko bultzada nabarituko dela diote [83] artikuluan; eta, hortaz, monopoloa gorantz higituko dela. Hirugarren ikuspuntu bat ere badago [77], aurreko bi fenomenoak gertatu daitezkeela argudiatzen duena: monopoloa potenzial-langaren gainetik salto egingo du, baina, aldi berean, gorantz higituko da. 2.4 b) irudiaren arabera, θ konstanteko kono batean metatuko ditu gradienteak ξ =konstanteko (2.32) konfigurazioak. Muinetik gertu gradiente-dentsitatea handiagoa denez, barruko geruzetan gertatuko da gradiente-energiaren transformazioa energia potentzialera; eta, gero, konpoaldera joango da. Horrela, bada, monopoloaren translazioa eta desbiribilkapena gauza berbera dira. Sistemak biribilkapena deuseztatzeko behar duen gradiente-energiaren estimazioa egiteko asmoz, kalkulu semianalitikoa egin dezakegu. Sistemak simetria berrezartzeko behar duen azalera-unitateko energia potentziala honako hau da E pot A η4 λ 4. (2.33) Eskala aldatu gabe erabili ditugu eremu eta koordenatuak, λ eta η parametroak esplizituki

49 2.4 Egonkortasun angeluarra irudia: Monopolo globalaren adierazpide eskematikoa kasu ezberdinetarako: a) ξ = 0, b) ξ =konst, c) ξ = konst + ln(r). ager daitezen nahi baitugu. Ipar poloaren inguruko geruza esferikoak (ikus 2.5 irudia) energia potentzialaren maximora igotzeko behar duen energia (θ txikia denean) ondokoa da: A πr 2 θ 2, E pot η4 λ 4 πr2 θ 2, (2.34) r eta θ koordenatuak, jatorria monopoloaren muinean duten ohizko koordenatu esferikoak izanik. r erradioko esferaren energia osoa ondokoa izango da E grad 4πη 2, (2.35) eta energia horren zati bat, ipar poloaren inguruan dugun geruza esferikoan egongo da metaturik. Orduan, r jakin baterako, badakigu zein θ 0 angeluaren barruan egon behar duten gradienteek metaturik (2.5 irudia) γ4πη 2 η4 λ 4 πr2 θ 2 0 θ γ r 2 η 2 λ, (2.36) non γ parametroa geruza esferikoan dagoen gradiente-energiaren proportzioa den (γ 1 2 ). Φ 3 (θ 0 ) = 0 dela badakigu, θ 0 angeluaren definizioagatik; eta, hortaz, (2.32) konfigurazioa

50 42 Monopolo globalak 2.5 irudia: Bektore horizontalaren Φ 3 = 0 (ikus 2.3 irudia) aplikazio puntua θ 0 angelua osatzen du z ardatzarekiko. Angelua behar bezain txikia bada, ipar poloaren inguruko gradiente-kontzentrazioa nahikoa izango da biribilkapena desegiteko. Gradienteak A πx 2 0 πr2 θ 2 azaleran egongo dira metaturik. erabiliz ondokoa lortuko dugu Φ 3 (θ 0 ) = cos θ 0 = 0 θ0 = π 2 ) tan( θ0 = tan ( ) θ 02 2 e ξ = 1 θ 0 2e ξ. (2.37) Emaitza hori eta (2.36) ekuazioa erabiliz, ξ parametroa monopoloa desegiteko sistemak behar duen gradiente-kontzentrazioa kalkulatu dezakegu; honela: ( ) η ξ 1 2 ln λ + ln(r) ξ const + ln(r). (2.38) 2 4γ 2.4 c) irudian horrelako konfigurazioaren adierazpidea ikus daiteke r finkoko zenbakizko simulazioa Aurreko ataleko kalkulu semianalitikoa egiaztatzearren, zenbait zenbakizko simulazio egingo dugu. Orain arte, monopolo globalaren egonkortasuna aztertu dugu; baina, r finkoa denean; hots, geruza ezberdinen arteko elkarrekintza arbuiatuz. Honenbestez, r finkoko kasuan, eta deribatu erradialak kontuan hartu gabe, (2.5) lagrangearraren aldakuntza eginez lorturiko ekuazioen analisia burutuko dugu zenbakizko metodoak erabiliz: Φ a = 1 r 2 sin θ θ(sin θφ a 1 θ) + r 2 sin 2 θ Φa ϕϕ Φ a ( Φ 2 1). (2.39)

51 2.4 Egonkortasun angeluarra 43 Ardatz-simetriako sistemak soilik kontuan hartu ditugunez, ondorengo ansatz-a erabiliko dugu: Φ 1 = h(r, θ, t)cos ϕ ; Φ 2 = h(r, θ, t)sin ϕ ; Φ 3 = g(r, θ, t), (2.40) non r aldagai dinamikoa ez den; baizik eta parametroa. Bada, h eta g funtzioek beteko dituzten ḧ = 1 r 2 ( h θθ + 1 g = 1 r 2 ( g θθ tanθ h θ h ) sin 2 h(h 2 + g 2 1) θ βḣ; ) g(h 2 + g 2 1) βġ (2.41) g sin 2 θ ekuazioen denbora-eboluzioaren kalkuluan datza gure problema; zenbakizko simulazioak erabiliz. β biskositate-gaia sartu dugu ekuazioetan, zenbakizko integrazioa azkartzeko. Zenbait simulazio egin dugu β desberdinetarako: β = 0 baliotik β = 0.5 balioraino. Ez da aldaketa nabarmenenik ageri β desberdinetarako; diferentzia bakarra izanik simulazioak behar duen denbora sistemaren bilakaerarako. Atal honetako simulazioetan β = 0.1 erabili dugu; balio horrekin sistemaren dinamika ez da ez azkarregia ez motelegia. Kontuan hartu behar da θ = 0 eta θ = π puntuetan, ekuazioak ez daudela ongi definituta: h θθ + h θ ( ) h tanθ sin 2 θ θ 0 = h(0) + h(0) + 3h θ θθ(0) + O(θ) ; h θθ + h θ ( ) h tanθ sin 2 θ θ π = h(π) + h(π) + 3h (θ π) θθ(π) + O(θ π) ; g θθ + g θ tanθ θ 0 = g θ(0) + 2g θ θθ (0) + O(θ) ; g θθ + g θ tanθ θ π = g θ(π) + 2g (θ π) θθ(π) + O(θ π), (2.42) non h θ = θ h...ekuazioak ongi definituak egon daitezen, h(θ = 0) = h(θ = π) = 0 eta g θ (θ = 0) = g θ (θ = π) = 0 muga-baldintzak erabiliko ditugu. Ohar zaitezte h funtzioaren muga-baldintza lehenago ere behar genuela, (2.40) ansatz-a ongi definitua egon zedin. (2.41) ekuazioak ebatziko ditugu, ondoko ekuazio-sorta h = f(r) sin θ ; g = f(r) cos θ ; tan θ = tan θ e ξ 0, (2.43)

52 44 Monopolo globalak hasierako konfigurazio gisa erabiliz, r eta ξ 0 parametroen balioa finkatu ostean. Horretarako, pauso-anitzeko Runge-Kutta metodoa erabili dugu irudia: (2.43) konfigurazioa hasierako baldintza erabiliz (2.41) ekuazioen zenbakizko simulazioen irudia, denbora desberdinetarako: a) ξ 0 = 0.2 denenan, b) ξ 0 = 1 denean. Bi kasuetan bektore horizontala azpimarratu dugu, irudien arteko ezberdintasuna argiago ikusteko. r eta ξ 0 parametroen balio batzuetarako biribilkapena desegin daitekeela erakutsi dute simulazioek. 2.6 irudian, denbora ezberdinetarako simulazioen emaitzak ikus daitezke, non r = 8, β = 0.1 diren. a) irudian, ξ 0 = 0.2 kasua adierazi dugu; eta b) irudian, aldiz, ξ 0 = 1.0 kasua. Monopoloak ipar poloaren inguruan astiro kontzentratzen dituela gradienteak ikus daiteke a) irudian. b) irudian, aldiz, gradienteen kontzentrazioa oso argi dakusagu; eta, gainera, t = 23.6 aldiunean, monopoloaren biribilkapena deuseztatu egin da. Hurrengo urratsa izango da edozein r-ren baliotarako biribilkapena deuseztatzeko behar den ξ 0 minimoa kalkulatzen duen programa erabiltzea. r finkoko prozesua, behin eta berriz errepikatu dugu r parametroaren balio ezberdinetarako; eta, balio bakoitzerako, 1 Dormand&Price-en [52] dopri5 kodean oinarritu dugu gure kodea.

53 2.4 Egonkortasun angeluarra 45 ξ 0 aldatuz joan gara, biribilkapena deuseztatu dezakeen ξ 0 minimoa lortu arte. Sistema hutsera noiz ebaindu den programak jakin dezan, irizpide bat aukeratu behar dugu: 2.6 irudian ikus daitekeenez, hutsean ez dauden konfigurazioetan bektore horizontala dago; eta hutsean daudenetan, ez. Bektore horizontalik ez egotea eta g funtzioak inon nulua ez izatea, gauza berbera da. Ondorioz, g funtzioak zerorik ez duenean, konfigurazioa hutsean dagoela erabakiko du programak. Hori egin eta gero, adierazpen analitiko bakuneko kurba baten bidez hurbildu ditugu lorturiko datuak. 2.7 irudian ikus daitekeenez, ξ 0 (r) = a 0 + b 0 lnr, funtzioaren bidez, oso hurbilketa ona lortu dugu. a 0 = 1.12 b 0 = 1.07 (2.44) 2.7 irudia: Puntuak, zenbakizko kalkuluaren bidez lorturiko balioak dira, eta lerro jarraitua, (2.44) ekuazioaren adierazpide-grafikoa da. Kalkulu semianalitikoen bidez lorturiko (2.38) ekuazioarekin bat dator (2.44) ekuazioaren forma funtzionala. Ondorioz, ξ-ren ξ 0 balio kritiko batetik aurrera desbiribilkapena gertatuko dela uste dugu; eta, gainera, ξ-ren r-rekiko menpekotasuna logaritmikoa da (ξ ln r+konst). Kontuan hartu behar da, halere, zenbakizko simulazio horiek ez direla gai monopoloaren muinaren translazioa eta monopoloaren desbiribilkapena desberdintzeko; eta, ondorioz, ezin izango dute literaturan dagoen eztabaida argitu [47, 77, 83].

54 46 Monopolo globalak Belavin-Polyakov monopoloa Elkarrekintza erradialak arbuiatuz, biribilkapenaren desegitea ulertzeko, r konstanteko esferak aztertzeaz gain, z konstanteko planoak azter genitzake. Ikuspuntu honek Belavin- Polyakov monopolora [17] garamatza. Belavin-Polyakov monopoloaren eredua da, unitate moduluko hiru osagaiko eremu-teoria, bi dimentsiotan. Ereduaren lagrangearra honako hau da L = 1 2 µφ a µ Φ a, (2.45) non Φ 2 = 1 den. Φ a eremuaren muga-baldintzak ondoko hauek dira (ikus 2.8 irudia) Φ a (r = 0) = (0, 0, 1) ; Φ a (r ) = (0, 0, 1). (2.46) Azken propietate horrengatik, z konstanteko planoa eta S 2 esfera topologikoki baliokideak dira; r puntua eta S 2 esferaren hego poloa identifikatuz gero. Hortaz, Φ a eremua S 2 S 2 aplikazioa da, eta topologikoki baliokide ez diren konfigurazioak eduki ditzakegu. Gure kasuan (ikus 2.8 irudia) karga topologikoa unitatea izango da. Bi dimentsiotan dagoen testura da Belavin-Polyakov monopoloa. Aurreko kapituluan ikusi degunez (1.1.1 atalean), testuren sailkapen eta beste defektu topologikoena ez da berdina. Topologiak ez du ziurtatuko espazioko punturen bat huts-barietatik kanpo egongo denik; eta karga topologiko ezberdineko konfigurazioen artean ez dago energia infinituko langarik. y = ln(r) aldagai-aldaketa eginez, eta Φ 1 = sin θ(y) cosϕ ; Φ 2 = sin θ(y) sinϕ; Φ 3 = cos θ(y), (2.47) ansatz-a erabiliz, lagrangearra honela idatz dezakegu: L = 1 2 e 2y ( θ2 y + sin 2 θ). (2.48)

55 2.4 Egonkortasun angeluarra irudia: Belavin-Polyakov monopoloaren Φ eremuaren adierazpide-grafikoa. (2.32) konfigurazioak z konstanteko ebakidura plano batetan duen itxurarekin antz handia du (ikus 2.4 irudia). Bektoreak goranzko norantza du r = 0 puntuan, eta beheranzkoa r denean. Ikus daitekeenez, sine-gordon ereduarekin egin dugu topo berriro ere (ikus B eranskina); bada, badakigu problemaren ebazpena ondokoa dela: tan ( ) θ = e y y 0. (2.49) 2 Arestian ikusi dugunez, horrelako sistema baten egonkortasun erradiala Derrick-en teoremaren bidez azter daiteke. Derrick-en teoremaren D = 2 eta Ṽ2 = 0 kasu bereziari dagokio Belavin-Polyakov eredua, eta eskala-aldaketekiko egonkorra da. Baina monopolo globalaren z konstanteko planoaren bidezko ebakidura ez da Belavin- Polyakov monopoloaren guztiz baliokide: monopolo globalaren moduluak ez du unitatea izan behar (ez gaude σ eredu ez-linealean); eta, gainera, energia potentziala du. Planoan dugun lagrangearra ondokoa da L = 1 2 µφ a µ Φ a 1 4 ( Φ 2 1) 2. (2.50) Kasu horretan, Derrick-en teoremaren arabera, konfigurazio hori ez-egonkorra da eskala- -aldaketekiko. Egiaztatu dezagun, sistemaren dinamikaren zenbakizko simulazioa eginez. Simetria erradiala denez (bi dimentsiotan), ondorengo ansatz-a erabil dezakegu Φ 1 = ψ 1 (r, t)cos ϕ ; Φ 2 = ψ 1 (r, t)sin ϕ ; Φ 3 = ψ 2 (r, t), (2.51)

56 48 Monopolo globalak eta Belavin-Polyakov monopoloaren soluzioa izango da hasierako konfigurazioa. y = ln(r) aldagai-aldaketa deseginez eta α = e y 0 definituz, ondokoa idatzi ahal izango dugu: ψ 1 = 2 r α 1 + r 2 α 2 ; ψ 2 = 1 r2 α r 2 α 2. (2.52) Zenbakizko metodoen bidez ebatzi ditugun ekuazioak honako hauek dira ψ 1 tt ψ 1 rr ψ1 r r + ψ1 r 2 + ψ 1 ( ψ 2 1) = 0 ; ψ 2 tt ψ2 rr ψ2 r r + ψ 2 ( ψ 2 1) = 0. (2.53) r = 0 puntuko dibergentziak desagertarazteko, ψ 1 (0) = 0 eta ψ 2 r(0) = 0 erabiliko dugu, arestian egin dugun moduan (2.42). Aurreko kasuan erabili dugun zenbakizko metodoa erabili dugu kasu honetan ere. Simulazioetan ikus daiteke sistema ez dela eskala-aldaketekiko egonkorra (ikus 2.9, 2.10, 2.11 irudiak); eta sistemaren dinamikak berez desegingo duela biribilkapena. α = 1 kasuko simulazioaren adierazpide-grafikoa 2.9 irudian ikus daiteke. Monopoloa desbiribilkatu dela dakusagu, uzkurtzeko denborarik eduki gabe. Orduan, energia igorriko du hutsera iritsiko den arte eta 2.11 irudietan, α = 0.5 eta α = 0.2 kasuetako emaitzak ikus daitezke, hurrenez hurren. Kasu horietan, desbiribilkapena gertatu baino lehen, monopoloaren uzkurketa dakusagu. Eremua puntu guztietan beheranzko noranzkoa denean, sistemak energia igorriko du hutsera helduko den arte (ez dugu igorpena irudietan adierazi, 2.9 irudiaren azken irudien berdina baita prozesua). Ondorioz, nahiz eta Belavin-Polyakov monopoloa egonkorra den Φ 2 = 1 loturarekin (σ eredu ez-lineala), ez da sistema osoaren zela-puntua ere. Are gehiago, ikuspuntu hori harturik, monopolo globala sistemaren hutsera ebaindu edo muina higituko dela ikusi dugu, deribatu erradialak arbuiatuz gero r guztietarako simulazioa Ikusi dugunez, r bakoitzari dagokion ξ konstantea aukeratuz, monopoloaren biribilkapena deuseztatu daiteke. (2.28) ansatz-a orokortzeko bidea, ξ parametroa funtzio bihurtzea da;

57 2.4 Egonkortasun angeluarra irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 1 kasurako. Φ a eremua dago adierazita aldiuna desberdinetan, bektoreen osagaiak (ψ 1,ψ 2 ) izanik, hau da, z=konstanteko planoa dago adierazita ϕ = 0 eginez. Ordenatuetan simulazioari dagokion aldiunea irakur daiteke. t = 0.8 denean, monopoloaren biribilkapena deuseztatu egin da, eta ondoren, hutseko konfiguraziora heldu gara.

58 50 Monopolo globalak 2.10 irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 0.5 kasurako. Φ a eremua dago adierazita, 2.9 irudian bezala. Monopoloa uzkurtu egin da t = 1.5 aldiunerarte. Orduan, desbiribilkatu egin da eta energia igorri du hutsera heltzeraino, α = 1 kasuan bezala.

59 2.4 Egonkortasun angeluarra irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 0.2 kasurako. Adierazpide hau, α = 1 eta α = 0.5 kasuen analogoa da (ikus 2.9, 2.10 irudiak). Kasu honetan, sistemak denbora gehiago behar du uzkurtzeko, baina azkenean, t = 3.9 aldiunean, desegin egin da monopoloa eta hutsera ebaindu da energia igorriz.

60 52 Monopolo globalak r aldagaiarekiko menpekotasuna duen funtzio hain zuzen ere, hots, ξ = ξ(r): tan ( ) θ = tan 2 ( ) θ e ξ(r). (2.54) 2 Berori ansatz orokortzat erabiliz, ξ(r) > ξ 0 (r) kasuetarako biribilkapena deuseztatzea espero dugu; non r bakoitzerako ξ 0 balioa (2.44) ekuazioak emanikoa da. Arestian ikusi dugunez, muinaren translazioaren ondorio izan daiteke monopoloaren itxurazko desbiribilkapena. Problema horri aurre egiteko, konfigurazio nahasi bat erabiliko dugu: perturbatu gabeko monopoloa r < r 1 zonaldean (ikus 2.4 a) irudia); soka motako konfigurazioa r < r 2 zonaldean (2.4 b) irudia); eta, interpolazio jarraitua bi zonaldeen artean: ˆF(r, y) = f(r) ; 0 r < r 1 ˆξ(r) = c ( ) 1 r 1 r r 1 < r < r 2 a + b ln(r) r 2 < r, (2.55) non a, b eta c aukeratuko ditugun ˆξ(r) funtzioa jarraitua izan dadin (hasierako konfigurazioaren adierazpide da, adibidez, irudiko t = 0.0 aldiunea). Konfigurazio horretatik abiatuz, zenbakizko simulazioak egin ditugu ondoko higidura-ekuazioak askatzeko Φ a + Φ a ( Φ 2 1) β Φ a = 0. (2.56) Integrazioa azkarrago gerta dadin, biskositate-gaia batu dugu. 2.4 atalean bezala, β parametroaren balio ezberdinetarako eginiko simulazioen arabera ez ditugu aldaketa nabarmenak ikusi, sistemaren bilakaerarako behar den denbora izan ezik. Gure sistemak ardatz-simetria duenez, eremuaren Φ 1 osagaiaren ekuazioa eta Φ 2 osagaiaren ekuazioa, ekuazio berbera da. Koordenatu zilindrikoak (ρ,ϕ,z) erabiliz, eremuaren ϕ aldagaiarekiko menpekotasuna ezaguna da simetriagatik. Ondorioz, askatu behar ditugun ekuazioak Φ 1 eta Φ 3 osagaien ekuazioak dira (adibidez); eta eremuaren osagai bakoitzak ρ eta z aldagaiekiko menpekotasuna izango du. Aurreko metodo bera erabili dugu ekuazioak askatzeko: pauso anitzeko Runge-Kutta metodoa.

61 2.4 Egonkortasun angeluarra irudia: Zenbakizko simulazioak egiteko erabili ditugun (2.55) hasierako konfigurazio desberdinen ξ funtzioaak eta (2.44) kurba (lerro jarraitua), r > r 2 puntuetarako. Zenbakizko simulazioen emaitzak irudietan ikus daitezke. (2.55) hasierako konfigurazioaren zenbait parametroren balio ezberdineko simulazioak adierazi ditugu. Guztietan, b = 1, r 1 = 3, r 2 = 6 eta β = 0.5 dira; baina a, aldatu egin dugu guztietan (eta ondorioz c ere bai, konfigurazioaren jarraitasuna mantentzeko). Lehengo a = 1.3 kasua simulatu dugu (ikus 2.13 irudia); gero, a = 0.54 kasua (2.14,2.15 irudiak); eta azkenik, a = 0.9 kasua (2.16,2.17 irudiak) irudian, hasierako konfigurazio horiek eta aurreko atalean lortutako (2.44) kurbaren arteko alderaketa ikus daiteke. Kasu guztietan, ϕ = 0, π planoan adierazi ditugu bektoreak; eta, ondoan, energia potentziala puntu grisen bidez; puntua geroz eta argiagoa izan orduan eta handiagoa izango da energia potentziala. Monopolo global esferikoaren deformazio angeluarra baino ez da hasierako konfigurazioa; eta beraz, monopolo esferiko perturbatu gabearen berdina da hasierako konfigurazioen energia potentziala (ikus t = 0 aldiunea irudietan). t aldiune desberdinei dagozkie ondorengo irudiak, irudi bakoitzaren beheko aldean irakur daitekeenez. Lehenengo kasuan (a = 1.3; 2.13 irudia), biribilkapena deuseztatzeko beharrezko direla aurresan ditugunak baino txikiagoak dira deformazio parametroak (ikus 2.12 irudia). z ardatzean zehar metaturik dagoen gradiente-energiak monopoloaren muina gorantz bultzatzen du, monopoloa higiaraziz. Beste bi kasuetan, ξ funtzioaren balioak monopoloaren biribilkapena deuseztatzeko haina handiak dira, printzipioz. Muinaren iparraldean gradiente-metaketa dagoela ikus dezake-

62 54 Monopolo globalak 2.13 irudia: Aldiune desberdinetarako eremuen eta energia potentzialaren adierazpide-grafikoa; non a = 1.3, b = 1, c = 1, r 1 = 3, r 2 = 6, β = 0.5 diren.

63 2.4 Egonkortasun angeluarra irudia: Aldiune desberdinetarako eremuen eta energia potentzialaren adierazpide-grafikoa; non a = 0.54, b = 1., c = 2.51, r 1 = 3, r 2 = 6, β = 0.5 diren.

64 56 Monopolo globalak 2.15 irudia: 2.14 irudiaren jarraipena.

65 2.4 Egonkortasun angeluarra irudia: Aldiune desberdinetarako eremuen eta energia potentzialaren adierazpide-grafikoa; non a = 0.9, b = 1, c = 5.38, r 1 = 3, r 2 = 6, β = 0.5 diren.

66 58 Monopolo globalak 2.17 irudia: 2.16 irudiaren jarraipena.

67 2.4 Egonkortasun angeluarra 59 gu; eta gradiente-energiaren dentsitatea behar bezain handia bada, infiniturainoko (edo R-rainoko) soka bat sortuko dela ikus dezakegu 2.14 t = 1.5 eta 2.16 t = 0.7 irudietan. Hori ez da hain harrigarria; z konstanteko plano bakoitzean, Belavin-Polyakov monopoloaren baliokidea den sistema baitugu, eta biribilkapena berez desegingo baituelako sistema horrek, energia potentziala duen kasuan. Nahiz eta b) eta c) kasuetan monopoloek biribilkapena desegitea espero genezakeen, jokamolde ezberdinak dituzte. r 2 -ren barnean dagoen masaren arabera, bi bilakaera desberdin ikusi ditugu. Sortu den sokak masa horretatik tira egin behar du. Sokak muina higiarazi dezake masa hori behar bezain handia ez bada (a = 0.54) ; eta, monopoloa higituz doan heinean biribilkapena desegingo da. Ezin dugu biribilkapenaren deuseztatzea eta translazioa distingitu (2.14, 2.15 irudiak, t = 3.0 aldiunetik aurrera). Baina masa behar bezain handia bada (a = 0.9), monopoloaren muina ez da higituko (2.16, 2.17 irudiak). Kasu horretan, soka desegingo da, monopolo/antimonopolo bikote bat sortuz: antimonopoloa, r r 2 puntuan (2.16 irudia, t = 1.4 aldiunean); eta monopoloa, infinituan (edo r = R puntuan). Antimonopoloa monopolorantz doa (2.16 irudia, t = 2.1 aldiunean); eta elkar deuseztatuko dute, (2.17 irudia, t = 2.8 aldiunean). Deuseztatu ondoren, askatutako energia igorri egingo du sistemak (2.17 irudia, t = 3.5 eta t = 4.1 aldiunetan), hutsera ebaindu arte (2.17 irudia, t = 4.8 aldiunean). Bada, parametroen balio desberdinetarako, jokamolde ezberdinak ditugu: a = 1.3 denean, translazio soila; a = 0.54 denenan, monopoloa higiarazi duen sokaren sorrera; eta a = 0.9 denean, berez hutsera ebainduko den konfigurazioa, nahiz eta, printzipioz, karga topologikoa kontserbatu behar den Energia-langaren kalkulua Aurreko atalean, (2.55) hasierako konfiguraziotik hasita, monopoloa hutsera ebainduko dela ikusi dugu. Propietate hori are harrigarriagoa da oraindik ere: (2.8) monopolo esferikotik (2.55) konfiguraziora heltzeko behar den energia finitua dela froga baitaiteke; baita R kasuan ere.

68 60 Monopolo globalak (2.55) konfigurazioaren energia ondokoa da E[ξ] = 2π dϕ dy dr [ f 2 ( sin 2 θ + θ2 y ) + r 2 sech 2 y ( f 2 r + f 2 θ2 r (f2 1) 2)], (2.57) eta (2.54) konfigurazioa erabiliz honako hau idatz daiteke E[ξ] = 4π 2π R 0 dr ( 1 2 r2 fr 2 + f (f2 1) 2) + dy R 0 dr r2 2 f2 ( r ξ(r)) 2 sech 2 (y) sech 2 (y + ξ(r)). (2.58) 2.18 irudia: Zenbakizko metodoen bidez kalkulatutako (2.60) ekuazioko I(ξ) funtzioaren profila: I(0) = 4 3 eta I(ξ 5) 0. Perturbatu gabeko monopolo globalaren (2.10) energia da lehenengo integrala; hortaz, E[ξ] E[0] = 2π R 0 dr r2 2 f2 (r)( r ξ(r)) 2 I[ξ], (2.59) non I(ξ) = + dy sech 2 (y) sech 2 (y + ξ(r)) (2.60) den. I(ξ) integrala alderantzizko kanpaiaren itxurakoa da (ikus 2.18 irudia): I(0) = 4/3 puntuan hasi eta zerorantz doa, oso azkar: I(ξ) 16 ( ξ 1) e 2 ξ ξ > ξ 5 denean. (2.61)

69 2.5 Perturbazio txikiak 61 Bana dezagun integrala bi zatitan propietate hau erabiltzearren [ r R ] ] E[ξ] E[0] = 2π [dr r2 2 f2 ξr 2 I(ξ), (2.62) r 1 + non r balioa, ξ(r ) = ξ betetzen duen erradioa den (r = 0 eta r = r 1 tarteko integrala nulua da, ξ(r) = 0 baita tarte horretan). Lehenengo integrala finitua da, argi ikus daitekeenez. Bigarren integralaren balioa I(ξ) funtzioaren (2.61) forma asintotikoa erabiliz hurbildu daiteke; eta, ξ = a + ln(r) formako funtzioetarako arbuigarria dela ikus daiteke. R kasuan, integralaren balioa arbuiagarria da baita ere; integralaren balioa e a ξ e ξ baita. Are gehiago, konfigurazio-espazioan (2.8) konfigurazioa eta (2.55) konfigurazioa lotu daitezke, E[ξ] E[0] energia-diferentzia finitua mantenduz: lehenengo, ξ funtzioaren balioa handitu behar dugu, r > r kanpoko geruzetan (ξ r = 0) Goldhaber-en deformazioa erabiliz, ξ funtzioak ξ balioa lortuko duen arte. Orduan, menpekotasun erradiala doitu (2.55) konfigurazioarekin bat egin arte. Ondorioz, (2.54) konfiguraziotik abiatuta, monopoloak potentzial langa gainditu eta hutsera ebaintzeko behar duen energia, finitua da; gainera, E[ξ] E[0] E[0] r 0 R denean. (2.63) R handituz doan heinean, monopolo globalaren E[0] ohiko energiaren zatiki geroz eta txikiago da energia-diferentzia. 2.5 Perturbazio txikiak Ekuazioen lorpena Monopolo globalaren ardatz-simetriako perturbazioak ikertuko ditugu atal honetan. Goldhaber-ek plazaratutako (2.28) eran idatziko dugu Φ a eremua; eta perturbazioak ondorengo eran parametrizatuko ditugu: F(t, r, y) = f(r) + δ(t, r, y) ; (2.64) ( ) θ tan = (1 + ξ(t, r, y))e y, (2.65) 2

70 62 Monopolo globalak non f(r) funtzioa (2.8) ekuaziokoa den, eta e y = tan(θ/2). Perturbazio txikiak soilik kontuan hartuko ditugunez, δ eta ξ funtzioen atal linealak soilik kontuan hartuko ditugu. Orduan, sin θ eta cos θ adierazpenak ondoko moduan idatzi ahal izango ditugu ( ) sin θ 2tan θ 2 = ( ) sin θ(1 + ξ cosθ) + O(ξ 2 ) ; (2.66) 1 + tan 2 θ 2 ( ( )) 2 cos θ 1 tan 2 θ 2 = ( ( )) 2 cos θ ξ sin 2 θ + O(ξ 2 ), (2.67) 1 + tan 2 θ 2 eta Φ a eremuaren osagaiak, berriz, ondoko era honetan Φ 1 (f + δ + f ξ cosθ)sin θ cos ϕ ; Φ 2 (f + δ + f ξ cosθ)sin θ sin ϕ ; Φ 3 (fcosθ + δ cos θ f ξ sin 2 θ). (2.68) Horregatik, sinθ(δ +f ξcosθ) espresioa z ardatzean nulua izatea da muga-baldintza zuzena. δ(θ = 0) eta ξ(θ = 0) finituak izan behar dira; ez dute zertan nuluak izan. Perturbazioen higidura-ekuazioak lortzeko, (2.5) lagrangearraren F eta θ-rekiko aldakuntza egin behar dugu; horretarako, ondorengo deribatuak beharko ditugu: ( ) θ y tan 2 = ( ) θ t tan 2 = ( ) θ r tan 2 = 1 ( ) θy = e y (1 + ξ + ξ y ) ; 2 cos 2 θ 2 1 ( ) θt = e y ξ t ; 2 cos 2 θ 2 1 ( ) θr = e y ξ r. (2.69) 2 cos 2 θ 2 Aldagaiak bananduz ( ) θ y = sin θ 1 + ξy ; 1 + ξ ( ) θ t = sin θ ξt ; 1 + ξ ( ) θ r = sin θ ξr 1 + ξ (2.70)

71 2.5 Perturbazio txikiak 63 espresioak lortuko ditugu. Berriro deribatuz, eta batugai linealak soilik kontuan hartuz, ondoko espresioak lortuko ditugu θ yy sin θ(cosθ + ξ cos(2θ) + ξ y sin θ + 2ξ y cosθξ yy + O(ξ 2 ) ; θ tt sin θ ξ tt + O(ξ 2 ) ; θ rr sin θ ξ rr + O(ξ 2 ). (2.71) Orain, lagrangearraren aldakuntza egin dezakegu zuzenean. ξ funtzioa ondoko eran berdefinituz X = fξ, (2.72) lortutako ekuazioak hauek dira: 0 = r 2 δ + 2δ + r 2 (3f 2 1)δ + 2X y 4Xtanhy ; 0 = r 2 sech 2 y X + sech 2 y ( r 2 (f 2 1) + 2 ) X + 2tanhyX y 2δ y. (2.73) δ = e iωtˆδ(r, y) eta X = e iωt ˆX(r, y) eran idatziz gero, (2.73) ekuazioak ω 2 balio propioen sistema bilakatu daitezke. ˆδ eta ˆX funtzio propioei dagokien ω 2 negatiboa denean, ez- -egonkortasunak daude. Txapel-ikurra kenduz, eta u = tanhy aldagai-aldaketa eginez, ondoko ekuazioak lortuko ditugu r 2 ω 2 δ = r (r 2 δ r ) (1 u 2 )δ uu + 2uδ u + (2 + r 2 (3f 2 1))δ + 2(1 u 2 )X u 4u X ; r 2 ω 2 X = r (r 2 X r ) (1 u 2 )X uu + 4uX u + (2 + r 2 (f 2 1))X 2δ u. (2.74) Gaiak berridatziz, adierazpen horiek ondoko eran idatzi daitezke R 1 δ + u [(u 2 1)δ u ] 2 u [(u 2 1)X] = ω 2 r 2 δ ; (2.75) R 2 X + u 2[(u2 1)X] 2δ u = ω 2 r 2 X (2.76) non R i = r (r 2 r ) + V i (r), i = 1, 2 ; V 1 (r) = r 2 (3f 2 (r) 1) + 2 ; V 2 (r) = r 2 (f 2 (r) 1) (2.77)

72 64 Monopolo globalak 2.19 irudia: a) V 1 (r) potentziala r = 0 eta r = 8 balioen artean. b) V 1 (r) potentziala r = 0 eta r = 1.5 balioen artean. Minimoa r min 0.9 puntuan dago, eta V 1 (r min ) irudia: V 2 (r) potentziala. Minimoa r min 3.52 puntuan dago, eta V 2 (r min ) diren (2.19, 2.20 irudietan V 1 eta V 2 funtzioen profila adierazi da). Ekuazio horiei begiratuz, ondorengo aldagai-aldaketa egitea otu dakiguke χ u [(1 u 2 )X], (2.78) eta funtzioak P l (u) Legendre-ren polinomioen oinarrian idatziz: χ = χ l (r)p l (u) ; δ = δ l (r)p l (u). (2.79) Aldaketa horien ondoren, (2.75) ekuazioa ondoko hau bilakatuko da R 1 δ l (r)p l (u) + u [(u 2 1) u P l (u)]δ l (r) + 2χ l (r)p l (u) = ω 2 r 2 δ l (r)p l (u), (2.80)

73 2.5 Perturbazio txikiak 65 eta Legendre-ren polinomioak betetzen duten propietatea erabiliz u [(1 u 2 ) u P l (u)] + l(l + 1)P l (u) = 0, (2.81) (2.75) ekuazioa P l (u) desberdineko zatitan banatu dezakegu, ondoko eran: R 1 δ l + l(l + 1)δ l + 2χ l = ω 2 r 2 δ l. (2.82) (2.76) ekuazioa, P l (u) desberdina duten zatitan banatu ahal izateko, (1 u 2 ) binomioaz biderkatu behar da; eta gero, u-rekiko deribatu. Eragiketa horien ondoren, (2.76) ekuazioa ondokoa bilakatuko da ω 2 r 2 χ l (r)p l (u) = R 2 χ l (r) P l (u) + u [(1 u 2 ) u P l (u)] χ l (r) 2 u [(1 u 2 ) u P l (u)] δ l (r), (2.83) eta (2.81) propietatea berriro erabili eta gero, ekuazioa ondorengo eran idatz daiteke R 2 χ l (r) + l(l + 1)χ l (r) + 2l(l + 1)δ l (r) = r 2 ω 2 χ l (r). (2.84) Azken notazio-aldaketa eginez, x = l(l + 1) eta l = xδ l, l bakoitzerako perturbazioen ekuazioak era errazagoan idatziko ditugu: R 1 l + x 2 l + 2xχ l = ω 2 r 2 l ; (2.85) R 2 χ l + x 2 χ l + 2x l = ω 2 r 2 χ l. (2.86) (2.86) ekuazioa lortu ahal izateko, u-rekiko deribatu behar izan dugunez, (2.85,2.86) sistemak jatorrizko problemaren ebazpen ez diren soluzioak izan ditzake. Adibidez, l = 0 kasua z ardatzean singularrak diren perturbazioei dagokie; eta fisikoak ez direnez, ez ditugu kontuan hartuko. Aldiz, ekuazio horiek ez badute ω 2 < 0 baldintza beteko duen ebazpenik, jatorrizko problemak ere ez ditu edukiko. (2.85, 2.86) ekuazioak, ondorengo funtzionalaren aldakuntza eginez lor daitezkeela ikus daiteke E l dr[r 2 ( 2 r + χ 2 r) + (V 1 + x 2 ) 2 + (V 2 + x 2 )χ 2 + 4x χ] = ω 2 r 2 [ 2 + χ 2 ], (2.87)

74 66 Monopolo globalak non r 2 r 0 eta r 2 χ χ r 0 muga-gaiak arbuiatu ditugun. Bada, infinituan 1/ r baino azkarrago doazen soluzioak soilik onartuko ditugu. eta χ funtzio guztiekiko alde batetik, eta bestetik l 1 balioetarako, E l funtzionala minimizatuz, ω 2 balio propioaren balio minimoa lortuko dugu Ekuazioen analisia Aurreko atalean, perturbazioen ekuazioak lortu ditugu; eta baita ere ez-egonkortasun klasikoak lortu ahal izateko minimizatu beharreko funtzionala. Lehenik, l = 1 sektorea energia minimokoa dela erakutsiko dugu. eta χ jakinen kasurako, E l E 1 enegia-diferentzia ondoko moduan idatz daiteke E l E 1 = dr[x 2 ( 2 + χ 2 ) + 4x χ 2( 2 + χ 2 ) 4 2 χ] = dr[a l,+ ( + χ) 2 + A l, ( χ) 2 ], (2.88) non A l,± [x 2 2 ± 2(x 2)]/2 den. l > 1 (x > 2) kasurako, A l,± > 0 izango da; eta orduan, funtzionalaren minimoa l = 1 sektorean dagoela frogatu dugu. Are gehiago, l > 1 kasuetarako funtzionala positiboa dela frogatu dezakegu funtzionalaren gai guztiak behetik bornatuz irudian ikus daitekeenez, V 1 (r) potentziala positibo definitua da; eta behetik zenbaki positibo batez bornatua (V 1 (r) > v 1 = 1.5). Bestalde, V 2 (r) potentziala tarte batean negatiboa da (2.20 irudian ikus daiteke); baina, azpitik bornatua dago, V 2 (r) > v 2 = 2.17 baita r guztietarako. (2.87) ekuazioko χ gai gurutzatua bornatu daiteke baita ere, ondoko garapenaren bidez: [ ( ) ] 2 (r)χ(r) = 1 (r) + χ(r)k(r) 2 K(r) (r) 2 χ(r) 2 K(r) 2 (2.89) K(r) 2 [ ] (r)χ(r) 1 (r) 2 + χ(r) 2 K(r) 2 2 K(r) 2 [ ] dr (r)χ(r) 1 2 dr (r) 2 + χ(r) 2 K(r) 2, (2.90) K(r) 2 non K(r) zerorik gabeko funtzioa den. Deribatuak dituzten gaiak bornatzeko, Hardy-ren desberdintza [54] 0 dr r 2 h 2 r (r) dr h 2 (r) (2.91)

75 2.5 Perturbazio txikiak 67 erabil daiteke. Hardy-ren desberdintza ondoko arrazonamenduari jarraituz lor dezakegu: 0 dr ( rh r h)2 = 0 dr [ r 2 h 2 r + rhh r h2] 0, (2.92) eta gai gurutzatua zatika integratuz, ondoko adierazpena lortuko dugu 0 dr [ r 2 h 2 r 1h2] + 1rh2 0 dr r 2 h r dr h 2. (2.93) Lortu ditugun adierazpenak (2.87) ekuazioan ordezkatuz, funtzionala ondoko eran berridatziko dugu E l [( 1 dr + v x 2 2x ) 2 + ( ] 1 K + v x 2 2 xk 2) χ 2. (2.94) χ 2 funtzioaren koefizientea zero izan dadin aukeratuko dugu K 2 funtzioa; hots, K 2 (r) = 1 + v x 2. (2.95) 2x K 2 konstante positiboa da x 2 kasurako: x2 > v 2 = 2.17 baita. K 2 horretarako, 2 funtzioaren koefizientea positiboa da; hau da, 1 + v x 2 4x v x, (2.96) 2 adierazpena positiboa dela dakusagu x > 2.21 kasurako; honenbestez, l > 1 denean, (2.87) funtzionala positiboa da. Ondorioz, funtzionalaren minimoa l = 1 sektorean dago; eta gainera, ez-egonkortasuna egotekotan, l = 1 sektorean baino ezin daiteke egon. (2.85, 2.86) perturbazio-ekuazioen soluzio bat ezaguna da l = 1 sektorean eta ω 2 = 0 duena: translazio-modu nulua (ikus C eranskina). 1 = 2f r (r) ; χ 1 = 2f(r)/r. (2.97) Funtzio horien profilaren adierazpide-grafikoa da 2.21 irudia. Higidura-ekuazioen soluzioa denez, (2.87) funtzionalaren ordezkatzean, integrakizuna nulua da puntu guztietan; eta ω 2 = 0 da edozein R-tarako.

76 68 Monopolo globalak 2.21 irudia: Zero modu translazionalean agertzen diren 1 eta χ 1 funtzioan profilak. Problemak funtzio bakar baten menpekotasuna balu, problema ebatzita legoke, Sturm- Liouville problema bat izango bailitzateke. Sturm-Liouville teorian, oinarrizko egoerak zerorik ez duela ezaguna da [101]. 1 eta χ 1 funtzioek zerorik ez dutenez, oinarrizko egoera izango lirateke; eta, ω 2 = 0 balioari dagozkionez, monopoloa egonkorra izango litzateke. Baina Sturm-Liouville teoriaren emaitza hori ezin da dimentsio bat baino gehiagorako orokortu; kontradibideak ere badaude. Ondorioz, funtzionalaren analisi matematiko zehatzagoa egin behar da. Horretarako, Hardy-ren desberdintza orokortuko dugu, G(r) hautazko funtzioaren bidez: 0 0 ( dr rh r + G ) 2 r h = 0 Gai gurutzatua integratuz ondoko hau izango dugu ] dr [r 2 2r G2 h + 0 r 2 h2 G r h 2 + Gh 2 = 0 0 [ ( dr r 2 h 2 r = dr rh r + G r h 0 ] dr [r 2 h 2r + 2Ghh r + G2 r 2 h2. (2.98) ( dr rh r + G ) 2 r h ) 2 + h 2 (G r G2 r 2 ) ] Gh 2 0. (2.99) Erlazio hori eta (2.89) erabiliz, (2.87) funtzionala berridatziko dugu: [ ( E 1 [ 1, χ 1 ] = dr r r 1 + G ) 2 ( 0 r 1 + r r χ 1 + H 2 1) r χ + 2 ( ) K + Kχ 1 + ( ) V K + G 2 r G2 2 r (V ) ] 2K 2 + H r H2 χ 2 r 2 1

77 2.5 Perturbazio txikiak irudia: G, H eta K2 funtzioen adierazpen grafikoa. ( G Hχ (2.100) Hautatu ditzagun G(r), H(r) eta K(r) funtzioak ondoko eran G(r) = r 2 r 1 1 H(r) = r 2 r χ 1 χ 1 = r 2f rr(r) f r (r) ; = r f(r) rf r(r) f(r) K 2 (r) = 1 χ 1 = 1 2 rf r (r) f(r), (2.101) non 1 eta χ 1 funtzioak, (2.97) translazio-modu nulua diren. G, H eta K2 funtzioak r [0, ) tartean portaera onekoak direla ikus daiteke 2.22 irudian. Ez-egonkortasunak sor ditzaketen gai bakarrak hauek dira: funtzionalean zuzenean positibo ez diren gaiak; hau da, 2 1 eta χ 2 1 funtzioei dagozkien gaiak. Azter ditzagun gai horiek, aukeratu ditugun G, H eta K funtzioak erabiliz: χ 2 1 funtzioaren koefizientea nulua dela ikus daiteke, ondoko eran V K 2 + H r H 2 r = 2 r2 f [ f r r + 2f r r 2f ] r 2 f(f2 1) giltza artean dagoen adierazpena f funtzioaren (2.11) higidura-ekuazioa baita. Bestalde, 2 1 funtzioaren koefizientea hau da: V K 2 + G r G 2 r 2 = r2 f r [ f rrr + 2f rr r ; = 0, (2.102) 4f r r + 4f ] 2 r 3 (3f2 1)f r. (2.103)

78 70 Monopolo globalak f funtzioaren (2.11) higidura-ekuazioaren deribatua erabiltzera garamatza f rrr gaiak. Higidura-ekuazioa deribatuz ondoko adierazpena lortuko dugu: f rrr + 2f rr r 4f r r 2 + 4f r 3 (3f2 1)f r = 0, (2.104) hots, (2.103) ekuazioan giltza artean dagoenaren berdina. Hortaz, (2.100) funtzionala honako era honetan idatz daiteke E 1 [ 1, χ 1 ] = ( r r 1 + G ) 2 ( 0 r 1 + r r χ 1 + H ) 2 r χ ( ) K + Kχ 1 ( G Hχ 2 1. (2.105) 0 Bai H funtzioak zein G funtzioak r aldagaiarekiko menpekotasun lineala dute infinitoan; ondorioz, funtzionala erdi-definitu positiboa da, infinituan 1/ r baino azkarrago doazen edozein 1 eta χ 1 funtziotarako, muga-gaiak zero baitira. Goldhaber-en modua (χ 1 = f(r)) analisi horretatik kanpo dago, infinituan konstanterantz baitoa. Nahiz eta modu hori arbuiatu egin dugun normalizagarria ez delako, perturbazio- -ekuazioetan zer gertatuko den ikus dezakegu. Demagun 1 = c 1 r m ; χ 1 = c 2 (2.106) direla. f(r) funtzioaren (2.13) forma asintotikoa eta (2.85,2.86) ekuazioak erabiliz, ondokoa lortuko dugu: c 1 ω 2 r m+2 = c 1 m(m + 1) r m + c 1 2 r m+2 + c 2 2 2; c 2 ω 2 r 2 = c 2 2 r 2 + c 1 2 2r m. (2.107) Ekuazio horiek bateraezinak dira ω 2 0 kasurako; eta Goldhaber-en modua ez da ez-egonkortasun posibleetako bat. Edozein kasutan, modu nulu posibletako bat izan zitekeen. Horrekin guztiarekin monopolo globalaren egonkortasun klasikoaren analisia amaitu dugu, monopoloa ardatz-simetriako perturbazioekiko egonkorra dela erakutsiz.

79 2.6 Potentzial orokorragoak Potentzial orokorragoak Arestian, V (Φ) = 1 4 ( Φ 2 1) 2 (2.108) mexikar kapela motako potentzialeko sistemaren propietateak aztertu ditugu; baina ondorioak potentzial orokorragoetara hedatu ditzakegu, potentzialaren zehaztasunak garrantzitsuak ez direla erakutsiz. Lagrangear orokorra ondokoa da L = 1 2 µφ a µ Φ a Ṽ ( Φ ), (2.109) non Ṽ O(3) simetriako hautazko potentziala den. Potentzial hori maximoa da Φ = 0 puntuan; eta minimo bakarra Φ min punturen batetan. Orokortasuna galdu gabe minimoa Φ min = 1 puntuan aukeratuko dugu. Φ balio guztietarako potentziala positiboa dela (Ṽ ( Φ ) > 0) suposatuko dugu; potentzialari konstante bat batuz beti lor daiteke potentziala positiboa izatea. Ardatz-simetriako soluzioa idatzi dezakegu ((2.8) ekuazioaren analogoa) Φ a = f(r) xa r. (2.110) f funtzioaren higidura-ekuazioak ondokoak dira: f rr + 2 r f r 2 r 2 f Ṽ ( f) = 0, (2.111) eta f(0) = 0 da, (2.110) konfigurazioa ongi definituta egotea nahi badugu. (2.111) ekuazioa aztertuz erlazio bera lor daiteke. Kontuan hartu behar da f r (0) 0 (2.112) izan behar dela, bestela f(r) = 0 izango litzateke. Energia berria honela idatzi dezakegu: E = 2π 0 dϕ π 0 dθ eta hortik, energia finitua izatea eskatuz, 0 dr [ 1 2 r2 f2 r + f 2 + r 2 Ṽ ( f) ], (2.113) Ṽ ( f) 0, r denean (2.114)

80 72 Monopolo globalak erlazioa lor daiteke. Beraz, f(r ) = 1 da. r aldagaiaren balio handietarako f funtzioaren portaerari buruzko informazioa lortzearren, r = 1 aldagai-aldaketa erabiliko dugu s (2.111) ekuazioan: s 4 fss 2s 2 fs Ṽ ( f) = 0. (2.115) f(r ) potentzialaren minimoa denez, Ṽ ( f(r )) 0 izango da; eta ondorioz, f (r ) 0. Kasu horretan, energia R-rekiko dibergentea da baita ere era linealean. Baina 2.3 atalean lortutako emaitzak errez orokortu daitezke kasu honetarako. Aldaketa bakarra hau da: r αr eskala aldatzean, I 3 integrala aldatu egingo da ondoko eran: I 3 (αr) = αr 0 dr r 2 Ṽ ( f), (2.116) eta beste integraletan, f(αr) funtzioaren ordez f(αr) funtzioa agertuko da. 2.3 atalean erabilitako arrazonamendu berberari jarraituz, eta (2.111) higidura-ekuazio erabiliz, birialen teorema berdina lortuko dugu. Kasu honetan egonkortasun-baldintzak aurreko kasuko berberak dira: δe α δ 2 E α δα = 0, α=1 δα 2 0. (2.117) α=1 Lehen ekuazioa garatuz, I 1 (R) + I 2 (R) I 3(R) = R, (2.118) erlazioa lortuko dugu, O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz. Bigarren ekuazioa garatuz, berriz, 3 4 I 3(R) 0 (2.119) erlazioa. fr (R) 0 erlazioa erabiliz eta O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz, hautazko potentzialaren kasurako egonkortasun erradiala frogatu daiteke. Ezin dugu monopolo orokortu horretarako zenbakizko analisirik egin; dinamikoki monopolora hutsera ebainduko den ala ez aztertzeko, potentzialaren xehetasunak behar genituzkeelako. Halere, monopoloa hutsera ebaindu daitekeela espero genezake (2.28) ekuazioko ξ(r) funtzioa lehen bezela aukeratuz gero, honela: muinaren inguruan monopoloa perturbatu gabe uzten badugu, eta muinetik hurrun, gradienteak m 1 s masa eskalarren

81 2.6 Potentzial orokorragoak 73 alderantzizkoa baino txikiagoa den zonalde batean metatutzen baditugu (masa eskalarra kasu honetan m s = Ṽ (1) da). Hala eta guztiz ere, kasu orokorrerako E[ξ(r)] E[ξ(r) = 0] energia-diferentzia kalkulatu dezakegu; hau da, monopolo deformatuaren eta monopolo deformatu gabearen arteko energia-diferentzia: E[ξ(r)] E[ξ(r) = 0] = 2π dr r2 0 2 f 2 (r) ( r ξ(r)) 2 I[ξ], (2.120) non I[ξ] funtzionala 2.18 irudian adierazitakoa den. Energia-diferentzia horrek ez du potentzialarekiko menpekotasunik; eta hortaz, energia- -diferentzia finitua dela ziurta dezakegu potentzial orokorrerako. Are gehiago, ardatz-simetriako perturbazio txikietarako egonkortasun angeluarra azter dezakegu potentzial orokorrerako, Goldhaber-en (2.28) ansatz-a erabiliz. Ardatz-simetriako perturbazio txikiak, lehengo moduan idatziko ditugu ( ) ( ) θ F(t, r, θ) = f(r) θ + δ(t, r, θ), tan = tan (1 + ξ(t, r, θ)), (2.121) 2 2 eta 2.5 atalean eginiko analisiari zehazki jarraituz, banandutako ekuazio-bikote honako hau lortuko dugu: non R 1 l + x 2 l + 2xχ l = ω 2 r 2 l ; R 2 χ l + x 2 χ l + 2x l = ω 2 r 2 χ l, (2.122) R i = r (r 2 r ) + Ṽi(r), i = 1, 2 ; Ṽ 1 (r) = r 2 Ṽ ( f) + 2 ; Ṽ 2 (r) = r2 Ṽ ( f) f. (2.123) Ṽ 2 funtzioa ez da infinitua r = 0 puntuan, fr (0) 0 baita (ikus 2.112). (2.122) ekuazioak funtzional baten aldakuntza egitetik datozela suposatu dezakegu kasu honetan ere; aipatutako funtzionala ondokoa izanik: [ ] E l dr r 2 ( 2 r + χ2 r ) + (Ṽ1 + x 2 ) 2 + (Ṽ2 + x 2 )χ 2 + 4x χ = ω 2 dr r [ χ 2]. 0 0 (2.124)

82 74 Monopolo globalak Kasu orokorrean ere ondorioztatu dezakegu l = 1 sektorean egongo direla bai funtzionalaren minimoa zein ez-egonkortasun klasikoak lortzeko aukera bakarra. Lehen bezela G(r), H(r) eta K(r) funtzioak erabiliz berridatziko dugu funtzionala [ ( E = dr r r + G ) 2 ( 0 r + rχ r + H ) 2 r χ + 2 ( ) 2 2 K + Kχ ( ) + Ṽ K + G 2 r G2 2 + (Ṽ r ] 2K 2 + H r )χ H2 2 r 2 ( G(r) (r) 2 0 ( H(r)χ 2 (r) 0. (2.125) Translazio-modu nulua, kasu horretan, 1 = 2 f r, χ 1 = aukeratzeko erabil dezakegu: 2 f r da; eta G, H, K funtzioak G(r) = r2 r 1 1, H(r) = r 2 r χ 1 χ 1, K2 (r) = 1 χ 1. (2.126) Aukeratu ditugun G, H, K funtzioak erabiliz, 2 1 eta χ2 1 direla ikus daiteke: Ṽ K 2 + H r H 2 r = r2 f 2 [ Ṽ K 2 + G r G 2 r 2 = r2 f r [ funtzioen koefizienteak nuluak f rr + 2 f r r 2 f ] r Ṽ = 0 ; (2.127) 2 ] f rrr + 2 f rr r 4 f r r 2 4 f r 2 Ṽ fr = 0, giltzen arteko adierazpenak (2.111) higidura-ekuazioa eta berorren deribatua baitira. Aztertzeko dagoen gai bakarra muga-gaia da: G eta H funtzioak infinituan r aldagaiarekiko linealak direla ikus daiteke. Hortaz, O(3) monopolo globalak egonkorrak direla ondorioztatuko dugu; infinituan 1 r baino azkarrago doazen ardatz-simetriako perturbazio txikiekiko eta sistemaren potentzialaren eite orokorturako. 2.7 Ondorioak Kapitulu honetan O(3) monopolo globalen egonkortasuna aztertu dugu. Horiek objektu interesgarriak dira: berezko propietateez gain, testuinguru kosmologikoetarako eta materia kondentsaturako.

83 2.7 Ondorioak 75 Literaturan zegoen sistemaren ez-egonkortasun posibleei buruzko eztabaida argitzen lagundu dute lortu ditugun emaitzek. Alde batetik, gure analisian ardatz-simetriako perturbazio infinitsimalen ekuazioak lortu ditugu; eta perturbazio horiekiko O(3) monopolo globala egonkorra dela ondioroztatu dugu, cut-off delakoa infinitura doan limiterako. Emaitza horrek ez du potentzialaren xehetasunekiko menpekotasunik. Beste alde batetik, monopolo esferikoaren deformazio bat dinamikoki hutsera ebainduko dela erakutsi dugu. Hasierako konfigurazioan parametroak aldatuz, bilakaera desberdinak ikusi ditugu: Muinaren translazioa Eremua potentzialaren minimotik at dagoen soka itxurako objektuaren sorrera. Soka horrek monopoloaren muinetik tira egiten du, muina trasladatuz Soka baten sorrera, hutsera ebaindu ondoren antimonopolo bat sortuz (eta monopolo bat infinituan). Antimonopolo berri horren eta genuen monopoloaren arteko elkarrekintzaren bidez, monopoloa hutsera ebainduko da Azken kasu hori egoera berezia da: sektore topologiko batetik beste batera doa sistema, nahiz eta karga kontserbatu bat eduki. Are harrigarriagoa da egoera hau, monopolo esferikoaren eta monopolo deformatuaren arteko energia-diferentzia finitua baita; cut-off delakoa infinitura doanean ere bai. Energia-diferentzia finitua izanik, badirudi temperatura dugun egoeretan monopoloa hutsera ebaintzeko bide berri bat dagoela; K T E[ξ] E[0] betetzen duten temperaturaren balioetarako. Are gehiago, monopolo-antimonopolo bikotea lotu dituen zuzenarekiko plano perpendikularra hartuz gero, Belavin-Polyakov monopoloaren egoeraren berdintsua dugu. Eskala-aldaezintasuna duen soluzioa aurresaten du eredu horren σ ereduaren bidezko hurbilketak. Aldiz, eremu-teoria osoa kontuan hartuz, σ ereduaren bidez lorturiko soluzioa ez da ereduaren zela-puntua ere; eta sektore topologiko berri batera ebainduko da sistema. Azken urteotan O(3) monopolo globalak egitura-eraketaren hazi bakarrak ez direla erakutsi du CMB-aren analisiak [12, 37, 41, 68]. Orokorrean, defektu topologikoak ez dira egitura-eraketaren oinarrizko iturria; nahiz eta, agian, bigarren mailako garrantzia eduki dezaketen. Emaitza hauek lortzeko, defektu topologikoen simulazioak egin dira kontestu

84 76 Monopolo globalak kosmologikoetan, σ eredu ez-linealak erabiliz. Adibidez, lan honetan lorturiko ebaintze- -bide berria ezin da simulazio horietan gertatu. Horregatik, simulazioen baliotasuna zalantzan jarri genezake; eta, eremu-teoria osoa erabiliz, emaitzak aldatuko ote diren ikertu beharko litzateke. Eredu kosmologikoetan erabili ohi den beste hurbilketa da, tenperatura efektuak kontuan ez hartzea. [13] laneko autoreek, tenperatura erabiliz lortutako emaitzak koalitatiboki desberdinak direla erakutsi dute. Lan honek, tenperaturea-efektuak kontutan hartu behar direla bermatu du.

85 3. KAPITULUA Dumbbell-ak 3.1 Sarrera Simetria apurtuaren huts-barietatean orden txikiko homotopia-talde ez-tribialen menpe dago defektu topologikoen eraketa [63, 98] (ikus atala). Hala ere, homotopia-talde ez- -tribialak egon ez arren, dinamikoki egonkorrak diren defektu ez-topologikoak sor daitezke batzuetan; baina orokorrean, egonkortasuna ahulegia dela suposatu ohi da defektu-sarea veratzeko. Eredu erdilokala (ikus 1.3 atala) salbuespena da, espazio osoan hedaturik dagoen soka-sarea sor baitaiteke: fase-trantsizioan agertutako soka-segmentu motzak hazi eta elkar lotzean. Soka elektroahulen kasu berezia dira [6, 72, 93] soka erdilokalak. Soka elektroahulen egonkortasuna Glashow-Salam-Weinberg (GSW) eredurako [46, 84, 99] aztertu izan da. Hurrengo atalean, fermioiak arbuiatuz gero, bi parametroen menpeko teoria dela ikusiko dugu (eskala-aldaketak salbu): θ W weak-mixing 1 angelua eta β parametroa, hots, Higgs eta Z-bosoiaren masen arteko zatiduraren karratua. Benetako teoria elektroahulean neurtutako θ W parametroaren balioa sin 2 θ W 0.23 da. β parametroaren balio zehatza ez da ezaguna zehazki; baina, ziurrenik, unitatea baino handiagoa da. Eskuartean dugun kasurako, huts-barietatearen topologia S 3 esfera da; eta, ondorioz, ez ditugu defektu topologikoak espero 3+1 dimentsioko ezpazio-denboran. Baina defektu 1 elkarrekintza elektroahularen teorian parikula desberdinen arteko nahastea azaltzen duen angelua 77

86 78 Dumbbell-ak ez-topologikoak egongo direla susma dezakegu. θ W = π/2 limitean, eredu erdilokala berreskuratuko dugu. Eredu hori 1.3 atalean aurkeztu dugu; eta, nahiz eta eredu honen huts-barietatea S 3 den baita ere, soka ez-topologiko egonkorrak onar ditzakeela ikusi dugu, bai lan analitiko zein zenbakizko simulazioak erabiliz. Soka erdilokal zuzen infinitua beste era batera deskribatu dezakegu: hain zuzen ere, SU(2) global U(1) lokal simetria-talde zabalago bateko teorian murgildutako Nielsen-Olesen U(1) zurrunbiloa. Hala ere, soka erdilokalaren kasurako biribilkapen-zenbakia definitu genuen; eta, nahiz eta ohiko zentzuan aldaezin topologikoa ez izan, nolabait topologikoki kontserbatuko da. Teoria elektroahuleko SU(2) L U(1) Y simetria-talde osoan Nielsen-Olesen zurrunbiloak murgilduz, Z-sokak eta W-sokak lortuko ditugu (ikus [6] erreferentzia). W-sokak ez-egonkorrak dira [64]. Baina, [61, 93] lanen arabera, parametroen balioen tarte batean ardatz- -simetriako Z-soka infinituak perturbazioekiko egonkorrak dira. Z-sokak defektu erabat ez-topologikoak dira; ez dago topologikoki kontserbatutako magnituderik. Kapitulu honetan, defektu erabat ez-topologiko horien bilakera eta iraunkortasuna zenbakizko metodoen bidez aztertuko dugu GSW modelu orokortuan; β eta θ W parametroen balio guztiak kontuan hartuz. Ardatz-simetriako Z-soka infinitu isolatuko konfigurazioak ez dira sortuko benetako sistema batean. Eratuko den ohiko konfigurazioa Z-soken segmentu-sarea izango da; eta, soka erdilokal sarearen antzekoa izango da (ikus 1.5 irudia). Segmentu horien muturretan monopolo-antimonopolo bikoteak egongo dira, eta Nambu-k [72] dumbbell 2 izena eman zien. Sokaren tentsioa dela-eta, dumbbell isolatuak uzkurtzeko joera izango dute; eremu magnetikoak, errotazioa eta jittering 3 arbuiatzean gutxienez [44, 72, 85]. Parametro-espazioko tarteren batean dumbbell-dentsitatea handia denentz aztertzea interesgarria izan daiteke. Horrela bada, dumbbell-en muturretako monopoloen arteko elkarrekintzaren bidez dumbbell-ek bat egingo dute; eta soka-sare iraunkor bat osatu, hain zuzen ere, kasu erdilokalaren antzera [5]. Hala ere, soka erdilokaleko muturretan monopolo globalak daude, eta Z-soken kasuan monopolo magnetikoak. Eta monopolo magnetikoak ez dira globalak bezain eraginkorrak inguruneko monopoloak nabaritu eta elkar deuseztatzeko. Segmentuen arteko bat egiteak gertatzekotan, θ W eta β parametroen balio-tarteren ba- 2 halterofilian erabiltzen diren pisuen antza dutela-eta deitzen dira dumbbell 3 Ingelerako jittering hitza dardara esan nahi du, gutxi gora behera

87 3.2 Eredua 79 terako baino ez litzateke emango; eta tarte hori, neurturiko balioetatik hurrun egongo da. Baina tarte hori balego (eta ikusiko dugunez, egon badago), oso harrigarria izango litzateke. Erakutsiko dugunez, eredu fisikoetatik gertu dauden ereduetan, defektu erabat ez-topologikoen sareak eratu daitezke; eta iraun. Hortaz, defektu ez-topologikoak ezin dira zuzenean arbuiatu ondoko egoeratan: (i) GSW ereduaren hedaduretan (simetria-talde zabalagoetara edo eremu gehiagoko teorietara); (ii) hondoan eremu-magnetikoa duten ereduetan [44]; (iii) limiteren batean soka topologikoak (edo erdilokalak) ager daitezkeen ereduetan. Are gehiago, unibertso gaztearen beste ezaugarri batzuk ulertzeko erabil daiteke dumbbellen dinamikaren azterketa, adibidez, jatorrizko eremu magnetikoaren helizitatearen azterketan [94, 96]. 3.2 Eredua Kapitulu honetan, GSW eredu elektroahularen sektore bosonikoa soilik erabiliko dugu. Sektore bosonikoan Φ eremua daukagu, SU(2) L taldeko oinarrizko errepresentazioan; eta teoriak SU(2) L U(1) Y aldaezintasuna du: L = D µ Φ W a µν W aµν 1 4 Y µνy µν λ Deribatu kobariantea honela definitu dugu: ) 2 (ΦΦ η2. (3.1) 2 D µ µ ig W 2 τa W a µ ig Y 2 Y µ, a = 1, 2, 3, (3.2) non Φ eremua bikote konplexua den, τ a matrizeak Pauli-matrizeak (A.1), W a µ eremua SU(2) gauge-eremua eta Y µ eremua U(1) gauge-eremua. Gauge-eremu hauei dagozkien eremu-intentsirateak W a µν = µ W a ν ν W a µ + g W ǫ abc W b µw c ν ; Y µν = µ Y ν ν Y µ, (3.3) dira, hurrenez hurren; eta ez dago goiko eta beheko talde-indizeen arteko desberdintasunik (ǫ 123 = 1).

88 80 Dumbbell-ak Potentzialaren minimo multzoak ez du SU(2) U(1) simetria; baizik eta U(1) simetria. Hortaz, SU(2) L U(1) Y simetriatik U(1) e.m. simetriarako berezko simetria-apurketa dago. Teoria horren benetako espektroa lortzearren, potentzialaren minimoetako bat aukeratu dezakegu; esaterako Φ = (0, 1); eta beraren inguruan garatu. Honela, m H = 2λη masako eremu-eskalarra, A µ masagabeko fotoi neutrala, m z = g z η/2 l 1 v masako Z-bosoi neutrala (Z µ ) eta m W = g W η/2 masako bi W-bosoi kargatuak (W ± µ ) lortuko ditugu, non g z = g 2 Y + g2 W den. Lagrangear honi dagozkion higidura-ekuazioak ondoko hauek dira: D µ D µ Φ + 2λ ( Φ Φ η 2) Φ = 0 ; ν W µνa + g W ǫ abc Wν b W µνc = i [ ] 2 g W Φ τ a D µ Φ (D µ Φ) τ a Φ ; ν Y µν = i [ ] 2 g Y Φ D µ Φ (D µ Φ) Φ. (3.4) Partikulen fisikan, ohikoa da gauge unitarioa erabiltzea, Higgs eremuaren hutseko itxarotako balioa (v.e.v) < Φ >= (0, 1) aukeratzea eta Z-eremua eta A-eremua honela definitzea: Z µ cosθ W W 3 µ sin θ WY µ, A µ sin θ W W 3 µ + cosθ WY µ, (3.5) non θ W mixing-angelua, tan θ W g Y /g z den. Baina, gauge unitarioa ez da egokiena defektuekin gabiltzanean. Gauge horren ordez, Φ 1 betetzen duten espazio-denborako puntuak daudenean, A-eremuaren eta Z-eremuaren definizio orokorrago bat erabiliko dugu, puntu bakoitzen Higgs eremuaren menpekoan dena [72]: Z µ cos θ W n a (x) W a µ sin θ W Y µ ; A µ sin θ W n a (x) W a µ + cosθ WY µ. (3.6) Fierz-en identitatea, hots, a ( Φ τ a Φ )2 = ( Φ Φ )2, erabiliz, honako espresioa n a (x) Φ (x)τ a Φ(x) Φ (x)φ(x) (3.7) unitate bektorea da. Eremu intentsitatea definitzeko aukera desberdinak daude (ikus adibidez [57] erreferentziako puntu horren inguruko eztabaida); gure simulazioetarako ondokoa da egin dugun aukera: Z µν = cos θ W n a (x) W a µν sin θ W Y µν ; A µν = sin θ W n a (x) W a µν + cosθ W Y µν. (3.8)

89 3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak 81 Ohar zaitezte defektuen muinetik kanpo ( ) ekuazioak ohiko definizioarekin bat datozela. Eskala aldatuko dugu (1.20) Nielsen-Olesen kasuan bezala: Φ η 2 Φ, x µ 2 g z η x µ, g Y Y µ g zη 2 Y µ, g W W a µ g zη 2 W a µ, (3.9) eta, era honetan, η-rekiko menpekotasuna desagertarazi. l v luzera-unitate, η energia-unitate eta eskalar eremuaren Z-karga (g z ) karga-unitatea aukeratzea baino ez da eskala-aldaketa hau (zenbakizko faktoreak gora behera). Eskala-aldaketa hori egin eta gero, eremuen ekuazio-klasikoak honela berridatz ditzakegu: D µ D µ Φ + 2λ ( Φ Φ 1 ) Φ = 0 ; gz 2 ν W µνa + ǫ abc Wν b W µνc = i ] 2 cos2 θ W [Φ τ a D µ Φ (D µ Φ) τ a Φ ; ν Y µν = i ] 2 sin2 θ W [Φ D µ Φ (D µ Φ) Φ, (3.10) eta, orain, g W eta g Y kargekiko menpekotasuna desagertarazi dugu: W a µν µ W a ν νw a µ + ǫabc W b µ W c ν ; D µ µ i 2 τa W a µ i 2 Y µ. (3.11) Ekuazio horiek aztertuz, modeloak bi parametroen menpekotasuna baino ez duela ikus daiteke (θ W mixing-angelua eta β = 2λ/gz 2 = m2 H /m2 z ); parametro bakarrarekiko menpekotasuna duten Nielesen-Olesen eredua eta eredu erdilokalean ez bezela. 3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak Sistemaren huts-barietatea S 3 esfera da, simpleki konexua dena (π 1 (S 3 ) = I). Hortaz, ez dago soka topologiko soluziorik (ikus atala). Edozein kasutan, Nielsen-Olesen zurrunbiloak teoria honetan murgiltzen saia gaitezke, eredu erdilokalean egin dugun legez (1.3 atalean).

90 82 Dumbbell-ak (t, ρ, ϕ, z) koordinatu zilindrikoak erabiliz, ondoko era honetan idatz ditzakegu eremuak ( ) 0 Φ = f(ρ)e iϕ ; 1 Z = 2 g z v(ρ)dϕ ; A µ = W ± µ = 0. (3.12) z ardatzean zeharreko Z-soka zuzen infinitua deskribatuko digu horrek [93]. Soluzio hori biribilkapen-zenbakiko unitateari dagokion arren, biribilkapen-zenbaki handietarako orokortzea zuzena da. Hala eta guztiz ere, kasu honetan biribilkapen-zenbakiak ez du esanahi topologikorik: sokak desbiribilkatu daitezke eta hutsera ebaindu. Eredu erdilokalean ez bezela, biribilkapen-zenbakia ez da Z-soka elektroahul batentzat kontserbatuko (ikus 1.3 atala). Kasu elektroahulean, gauge-orbita simpleki-konexua da baita ere π 1 (G lokal /H lokal ) = I. Honenbestez, soka elektroahulak objektu erabat ez-topologikoak dira. (3.12) ansatz-a (3.10) ekuazioan ordezkatuz lortuko ditugun f(ρ) eta v(ρ) funtzioen higidura-ekuazioak, (1.25) Nielsen-Olesen ekuazioak dira. Hortaz, gure ansatz-a honela berridatz dezakegu ( ) 0 Φ = f NO (ρ)e iϕ ; 1 Z = 2 g z v NO (ρ)dϕ ; A µ = W ± µ = 0. (3.13) Egiaztatu daiteke baita ere (3.12) ansatz-a energiaren minimo dela [93]. Era berean, W ± eremuetarako soka motako soluzioak aurkitu ditzakegu; baina, soka horiek ez-egonkorrak dira [64], eta ez ditugu aurrerantzean kontuan hartuko. Bestalde, Z-sokek egonkortasun propietate harrigarriak dituzte. θ W π/2 denean eredu erdilokala berreskuratuko dugu; eta Z-soka, soka erdilokal bihurtuko da (1.3.1 atalean ikusi dugun bezela, β < 1 balioetarako egonkorra dena). Hortaz, jarraitasuna dela-eta, eredu erdilokaletik gertu eta β < 1 balioetarako, Z-soka egonkorra izatea espero dugu.

91 3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak 83 [61] erreferentzian eginiko analisi luze eta korapilatsuaren arabera, Z-sokak parametro- -espazioko tarte (estu xamar) batean klasikoki egonkorrak dira (ikus 3.1 irudia 4 ). m H / m Z Experiment Scaling instability 1 Stable Semilocal sin 2 θ w 3.1 irudia: Z-soka egonkorra da, marraztutako hiruki itxurako parametro-espazioko tartean, [6] lanaren arabera. Parametroen balio esperimentalak tarte honetatik kanpo daude. sinθ W = 0.5 puntuan, sokak eskala-aldaketekiko ez-egonkorra da. Z-sokek ez dira arrazoi topologikoetan oinarritzen, eta muturrak eduki ditzakete [6] lanean diotenez. Y eta W eremuen arteko konbinazio da Z-eremua; bada, sokaren barnean bi eremu horien fluxua dago. Y eremuaren dibergentzia nulua denez ezin da inon bukatu; eta sokaren muturra eta gero, nolabait jarraitu beharko du. Baina eremu eskalarra masaduna da sokatik kanpo, eta baita Y eremua ere. Beraz, Y eremua infinitoraino iristeak energia infinitua eskatuko luke. Alabaina, W eta Y eremuek, A eremu masagabea eratuko dute; eta A eremuaren bidez Y eremuak jarraitzeko aukera lortuko du. Ondorioz, Z-sokaren muturra A eremuaren iturri da, i. e., eremu elektromagnetikoaren iturri; (anti)monopoloa, hain zuzen. Eta honela, dumbbell-ak lortu ditugu; hau da, monopolo/antimonopolo bikotea, Z-soka segmentu batez loturik. Objektu horiek Nambu-k [72] aztertu zituen lehendabiziko aldiz: GSW ereduan era horretako objektuak egon zitezkeela aurresan zuen. Eredu elektroahulean soka infinituak ez dira agertuko; baina, dumbbell-sarea eratuko da. Dumbbell isolatuak uzkurtu eta desagertuko diren arren, sare batean denbora gehiago iraun dezakete, dumbbell-en muturretako (anti)monopoloen arteko elkarrekintza dela-eta. 4 Irudia, [6] artikulutik hartu dugu

92 84 Dumbbell-ak 3.4 Zenbakizko simulazioak Espazio lauean egingo dugu lan; eta gauge denborala aukeratuko dugu (W0 a = Y 0 eremuak nuluak dira a = 1, 2, 3 balioetarako); hortaz, D 0 Φ = 0 Φ. (3.10) higidura-ekuazioak sare kubikoan diskretizatuko ditugu, muga-baldintza periodikoak erabiliz. Bai eremu eskalarrak eta baita guage eremuak sareko puntuei dagozkie. Denbora diskretizatu dugu staggered leapfrog delako ereduaren bidez; hau da, eremuak denbora-pauso osoetan kalkulatuko ditugu; eta eremuen deribatuak denbora-pauso erdietan (ikus D eranskina). Aukeratu dugun prozedura honek, [5] artikuluan aurkeztutako soka erdilokalen emaitzekiko konparaketa erreztuko digu; eta interesgarri suerta dakizkigun eskaletarako doitasun ona espero dugu. Lotura-aldagaiak (link variables) erabiliz, diskretizazioa egiteko beste prozedura lor daiteke [65, 70]. (3.10) ekuazioak eredu erdilokalaren kasurako (θ W = π/2) aztertu dugu prozedura biak erabiliz, eta errorea baino txikiagoak dira emaitzen arteko desberdintasunak; E eranskinean prozeduren arteko alderaketa deskribatu dugu. Simulazioetan, denbora-pausoa 0.2 aldiz espazio-pausoa izatea aukeratu dugu; hots, t = 0.2 x (c = 1, x = 1). Biskositate numerikoa gehitu dugu ad hoc ekuazio bakoitzean (γ Φ, γ Ẏ eta γ Ẇ a, hurrenez hurren) sistemaren indargetze-denbora txikitzeko. Unibertsoaren espantsio-tasa magnitudea da biskositate numerikoaren aitzindari; baina espantsioaren kasuan γ(t) denboraren menpekoa izango da; orokorrean 1/t dependentzia du. Simulazioen arabera γ desberdinetarako jokamoldea antzekoa da. Lan honetan, γ = 0.5 balioa aukeratuko dugu. Prozedura honetan Gauss-en legea ez da automatikoki beteko, lotura-aldagaien prozeduraren kasuan ez bezela (ikus E eranskina). Hori dela eta, Gauss-en legea kodearen egonkortasuna frogatzeko erabiliko dugu. Honela idatz daiteke Gauss-en legea: j ( 0 Y j ) = i 2 sin2 θ W [ Φ 0 Φ ( 0 Φ) Φ ] ; j ( 0 W a j ) ǫabc W b j 0W c j = i 2 cos2 θ W [ Φ τ a 0 Φ ( 0 Φ) τ a Φ ], (3.14) non j = 1, 2, 3 den. Hasierako baldintzak aukeratzeko bi estrategia desberdin erabili ditugu:

93 3.4 Zenbakizko simulazioak 85 a/ Eremu guztien abiadurei zero balioa atxeki ( φ = Ẇ a i = Ẏi = 0), eta sareko puntu bakoitzeko eremu eskalarrei zorizko balio esleitu. Orduan, puntu bakoitzeko eremuaren eta inguruko 6 puntuetako eremuen batazbesteko normalizatua egingo dugu, iteratiboki (50 aldiz), konfigurazio leuna lortzearren. Eremu eskalarraren balio horiek erabiliz, gauge-eremuen balioak honela aukeratuko ditugu: Y µ = 0 Wµ 1 = 2 (ψ 1 j ψ 4 ψ 4 j ψ 1 + ψ 3 j ψ 2 ψ 2 j ψ 3 ) Wµ 2 = 2 (ψ 3 j ψ 1 ψ 1 j ψ 3 + ψ 4 j ψ 2 ψ 2 j ψ 4 ) Wµ 3 = 2 (ψ 1 j ψ 2 ψ 2 j ψ 1 + ψ 4 j ψ 3 ψ 3 j ψ 4 ) (3.15) non Φ T = (ψ 1 + i ψ 2, ψ 3 + i ψ 4 ) den. Gauge-eremu aukeraketa horren bidez energia pseudo-minimizatuko dugu, [3] erreferentzian bezala: Sistemaren energia-dentsitatea (gauge denboralean) hau da: E = Φ Ẇ a i Ẏi 2 + D i Φ W a ijw aij Y ijy ij + λ ( ΦΦ 1 ) 2. (3.16) Deskribatutako hasierako-baldintzak erabiliz ( Φ = 1, φ = Ẇ a i = Ẏi = 0 eta (3.15) ekuazioak), honela geldituko da energia-dentsitatea E = 1 4 W a ij W aij. (3.17) b/ Eremu guztiei zero balioa atxeki, eta baita ere gauge-eremuen abiadurei (Φ = Wµ a = Ẇµ a = Y µ = Ẏµ = 0). Orduan, eremu eskalarrei zorizko hasierako abiadura esleitu ( Φ 0), eta iteratiboki leundu, aurreko kasuan bezela. Hasierako baldintza horiekin, energia honela idatziko dugu E = Φ 2. (3.18) Gure simulazioen emaitzen arabera, bi kasu horien artean ez dago desberdintasun nabarmenik. Gainera, lehen kasuan, energiaren pseudo-minimizazio oso eraginkorra ez dela-eta, eremu eskalarra energia potentzialaren maximora igo daiteke simulazioaren lehen pausoetan, fase simetrikoa berreskuratuz; eta, beranduago, potentzialaren minimoetara berriro jaitsiz. Baita ere, soka erdilokalekin eginiko simulazioen emaitzek, hasierako baldintzekiko

94 86 Dumbbell-ak menpekotasun txikia dutela erakutsi zuten [5]. Gure azterketarako (b) motako hasierako baldintzak aukeratuko ditugu. U(1) soka kosmikoen kasuan baino zailzagoa da soka elektorahuleko simulazioen emaitzen azterketa. Soka elektroahulak ez-topologikoak dira; eta ez dago biribilkapen-zenbakia definitzerik. Horregatik, sokak identifikatzea ez da zuzena. [3] artikuluan proposatutako bidea erabiliko dugu soken eraketa aztertzeko. Sistemaren bilakaera simulatuko dugu eta gauge-aldaezinak diren magnitudeak kalkulatuko ditugu denbora-pauso bakoitzean: Z- 1 eremuaren eta A-eremuaren intentsitateak eta Φ eremu eskalarren modulua. Z 2 ijz ij Z-eremuaren intentsitatea eta eremu eskalarren moduluaren sestra-gainazalak marraztuko ditugu soken eraketa ikuste arren. Arestian esan dugunez, gure ereduaren parametro aske bakarrak β eta θ W dira; eta soka elektroahulak iraun dezaten parametro-balioen tartea aurresan dezakegu. Lehenik, θ W = π/2 eta β < 1 direnean, soka erdilokalak egonkor diren tartean gaude, eta soka-segmentuek bat egingo dute segmentu luzeagoak osatuz. Baita ere, sin 2 θ W < 1 eta β < 1 direnean, soka infinituak perturbazioekiko egonkor diren tartean gaude [61, 93]. Emaitza horiek kontuan hartuz, simulazioen bidez aztertuko ditugun parametro-tarteak 0.9 sin 2 θ W 1 eta 0.05 β 1.5 dira. Simulazioak eta adierazpide grafikoak 64 3, eta dimentsioko sareetan egingo ditugu, nahiz eta kapitulu honetan deskribaturiko emaitza gehienak dimentsiotako kuboan lorturikoak izan. 3.5 Emaitzak Lehenik eta behin, kodearen egonkortasuna egiaztatuko dugu. Arestian esan dugunez, sin 2 θ W = 1 kasua eredu erdilokalari dagokio, non guztiz egonkorrak diren defektuak dauden (ikus 1.3 atala). Gainera, Higgs eremu-bikote bati nulua balioa atxekiz, Higgs-en eredu trukakorra lortuko dugu (ikus 1.2 atala). Bi sistema horiei buruz dakiguna erabiliz, gure kodearen egokitasuna frogatu dezakegu. Ardatz-simetriako Z-soka infinituak erabil ditzakegu baita ere (soka infinituak lor ditzakegu muga-baldintza periodikoak baititugu: soka-bikoteak erabiliko ditugu, fluxu neto totala zero izaten jarraitu dezan). Parametro- -espazioko hainbat puntutan behatu ditugu Z-sokak: tarte egonkor eta ez-egonkorrean;

95 3.5 Emaitzak 87 eta tarte ez-egonkorrean Z-soken desagerketa egiaztatu dugu. Kodea egiaztatu ondoren, θ W eta β parametroen zenbait baliotarako exekutatu dugu simulazioa, parametro-balio bakoitzerako hasierako konfigurazio berbera erabiliz. Simulazio txiki asko egin beharrean, simulazio handi bakarra egitea aukeratu dugu, bilakaera dinamiko aberatsagoa behatzeko asmoz. Simulazioetan (3.14) Gauss-en legea konprobatu dugu, kodearen egonkortasuna berriro ere egiaztatzeko. Espero genuenez, erantzun iragankorraren ondoren, dumbbell-ak dira ohiko konfigurazioa;, hots, monopolo/antimponopolo bikotean bukatuko den soka-segmentua. Soka erdilokalak egonkorrak diren tartearen inguruko parametroen balioetarako, Z-soken muturreko monopoloen arteko elkarrekintzak sokak bat eginaraziko dituela espero dugu, jarraitasuna dela-eta. Simulazioetan ikus daitekeenez, Z-soka segmentuek bat egiten dute, espero bezela. Halere, eredu erdilokalean baino elkar-lotze gutxiago ikus ditzakegu; eta, are gutxiago sin 2 θ W parametroaren balioa jaitsitakoan edo β parametroarena hazitakoan. Honenbestez, eredu erdilokalean bat egingo luketen segmentuak uzkurtu eta desagertu dira eredu elektroahulean, sokaren tentsioagatik. Hori ez da harrigarria: eredu erdilokalean, soken muturretan monopolo globalak daude (ikus 2. kapitulua) gradiente-energia dibergentekoak eta horiek, inguruko monopoloak bilatzen oso eraginkor dira. Kasu elektroahulean, aldiz, soken muturretan monopolo magnetikoak daude; eta gauge-eremuek gradiente eskalarrak ezeztatu ditzakete. sin 2 θ W 1 denean, monopoloaren muina handiagoa da, eta segmentuek bat egingo dute monopoloek elkar estaliko dutenean. Baina eredu erdilokaletik hurrun, muinak txikiagoak dira; eta sokek bat egitea zailagoa dute. Ohiko bi simulazioren emaitza adierazi dugu 3.2 irudian; eta A-eremuaren eta Z-eremuaren intentsitateei kolore desberdinak dagozkie. Z-eremuak soka itxurako eitea du; eta, aldiz, soken muturreko A-eremuak (monopolo magnetikoei dagokiena) eite esferikoa. A-eremuaren morfologia hodi-eitekoa izan daiteke baita ere, aztertzen ari garen dinamikaren zailtasunaren seinale. Sokaren tentsioaren eta monopolo-antimonopolo elkarrekintzaren arteko lehia dago; bada, soka batzuk uzkurtu eta desagertuko dira; bete batzuek bat egingo dute eta soka luzeagoak eratuko. Hasierako denbora-pausoetan, simulazioetako konfigurazioak berdintsuak dira. Simetria-

96 88 Dumbbell-ak 3.2 irudia: Z-eremuaren (horia) eta A-eremuaren (urdina) intentsitatearen sestra-gainazalak bi simulazio desberdinetarako. Goiko lerroan simulazioaren lehen denbora-pausoak adierazi ditugu (t = 50), eta behekoan simulazioaren bukaerako egoera (t = 200). Ezker zutabean β = 0.1, sin 2 θ W = kasua adierazi dugu (kasu iraunkorra), eta eskubikoen β = 0.5, sin 2 θ W = (kasu ez-iraunkorra). Lehen kasuan, simulazioaren bukaeran zenbait soka luze daude eta dumbbell-en arteko bat egiteak gerta daitezke oraindik. Bigarrenean, defektu guztiak desagertzear daude.

97 3.5 Emaitzak 89 -apurketa gertatu den fase irangankorrean (lehenengo denbora-pausoak) ez dago defekturik. Eremu eskalarrak balio ez-nulua izaten hasten denez, soka oso motz ugari sortuko da; eta gero, soken muturretan monopoloak agertuko dira, inguruko A fluxu magnetikoa metatutakoan. 3.2 adierazpide grafikoko goiko irudietan t = 50 aldiuneko Z-eremu magnetikoa eta A-eremu magnetikoa ikus ditzakegu, bi simulaziorako. Lehen denbora pauso horietan konfigurazioak berdintsuak dira, eta hasierako baldintza desberdinak erabiltzean emaitza berdintsuak lortu ditugu. Beraz, hasierako baldintzak baino, beranduagoko eremu eskalar eta gauge-eremuen arteko elkarrekintza garrantziatsuagoa dela ondoriozta dezakegu. Sistema aurrera doan neurrian, adierazitako bi kasuetatik batean bakarrik ikus ditzakegu segmentu txikiak hazten eta inguruko defektuekin bat egiten, defektu-sarea mantenduz. Beheko irudietan t = 200 aldiuneko konfigurazioa adierazi dugu. Ezkerrekoan soka luzeak daude; eta bat egiteak gerta daitezke oraindik. Bestean, defektu guztiak desagertzear daude. Zehaztu nahi duguna hau da: parametro-espazioko zein balioetarako izango diren defektuak iraunkorrak. Parametroen balio berbereko Z-soka infinitua egonkorra izatea da iraunkortasunerako beharrezko baldintzetako bat. Baina ez da baldintza nahikoa; soka infinitua eratu lezaketen soka segmentuak ez baitira agian bat egiteko gai izango. Ondorioz, iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen barruan egongo da. Z-sokak iraunkorrak diren ala ez neurtzeko, irizpideren bat aukeratu behar dugu. Ez dago irizpidea aukeratzeko era bakarra; eta, parametroen balio ezberdinetarako eginiko simulazioak behatuz, ondoko irizpidea aukeratu genuen [91] artikulan: simetria hedatuagoko teoria batean murgildutako Nielsen-Olesen zurrunbilotzat kontsidera ditzakegu Z-sokak. Horregatik, parametro-espazioan iraunkortasun-zonaldea definitzeko irizpidea hautatzeko Nielsen-Olesen soken propietateak erabiliko ditugu. β jakinari dagokion Nielsen-Olesen sokaren B NO eremu magnetiko maximoa kalkulatu dugu (ikus 1.2 taula) kuboetan simulatu dugu sistema, muga-baldintza periodikoak erabiliz. Z-eremu magnetikoa B NO balioaren laurdena baino handiagoa duten sareko puntuak 1000 baino gehiago badira t = 200 aldiunean, sistema iraunkorra dela esango dugu. Adibidez: irizpide honen arabera, β = 0.3 kasurako, sistema iraunkorra izango da sin 2 θ W > denean; 3.3 irudian ikus dezakegunez. Bai sin 2 θ W txikiagotzean, bai β haztean, Z-eremu magnetiko altua duten

98 90 Dumbbell-ak puntu-kopurua 1e β= denbora irudia: ( 2 Z ijz ij ) Z-eremuaren intentsitatea, B NO maximoaren %25-a baino handiago duten sareko puntu kopurua; non B NO, Nielsen-Olensen kasuko muineko eremu intentsitatea den. Simulazioak sarean egin ditugu, β = 0.3 baliora Lerro desberdinak θ W parametroaren balio desberdinei dagozkio (adierazi ditugun balioak sin 2 θ W dira). β parametroaren balio honetarako, testuan aukeratutako iraunkortsun-irizpidearen arabera, sin 2 θ W > baliorako dira iraunkor defektuak. sare-puntuen kopurua txikiagoa da. Erraz automatizatu daitekeen iraunkortasuna neurtzeko beste irizpidea honako hau da: β parametroaren balio jakin baterako, Nielsen-Olesen zurrunbiloaren B NO eremu magnetikoa kalkulatuko dugu (ikus 1.2 taula). Nielsen-Olesen zurrunbiloaren r NO erradioa kalkulatuko dugu baita ere; zentrotik eremu magnetiko maximoaren %25 den punturako distantzia hartuko dugu erradiotzat. Z-soka bakoitzaren bolumena neurtuko dugu, Z-eremu magnetikoa B NO balioaren %25 baino handiagoa duten puntu konexuak zenbatuz. Gero, bolumena zatituko dugu Nielsen-Olesen zurrunbiloaren zeharkako sekzioaren gainazalaren balioaz (πrno 2 ). Azkenik, Nielsen-Olesen zurrunbiloaren diametroaren balioa (2r NO ) erabiliko dugu, zabalera-unitateko luzera lortzeko. Simulazioaren bukaeraldera beren zabalerarekiko luzeak diren sokak badaude, konfigurazioa iraunkortzat hartuko dugu. Aukeratu dugun irizpide zehatza hau da: konfigurazioa orokorra da, zabalera baino bost aldiz luzeago diren sokak badaude t = 200 aldiunean. 3.4 irudian bi kasu ezberdin ikus ditzakegu. Goiko irudietan, x ardatza soka-luzerari dago-

99 3.5 Emaitzak β=0.1 sin 2 θ w = β=0.5 sin 2 θ w = Luzera Luzera β=0.1 sin 2 θ w = β=0.5 sin 2 θ w = "Energia" "Energia" irudia: Denbora pauso desberdinetarako, luzera desberdinetako sokak adierazten duten histogramak. Ezkerreko irudietan β = 0.1, sin 2 θ W = parametroei dagozkien irudiak daude, eta eskubikoetan β = 0.5, sin 2 θ W = parametroei dagozkienak. Lau irudietan bi aldiune desberdin aukeratu ditugu, hots, t = 50 (lauki txuriak) eta t = 200 (lauki beltzak). Goiko irudietan soken luzera totala (zabalera unitateko) ikus daiteke, eta behekoetan soka luzera desberdinetarako energia (ikus testua). kio (2r NO unitatetan); eta y ardatza x balio horretako soka-luzeraren baturari. Adibidez: x = 10 kasurako, 10 eta 11 aldiz zabalagoak baino luzeagoak diren soka guztien luzera batu egin dugu, eta hori da y balioari dagokiona. Goiko ezkerreko irudian (β = 0.1, sin 2 θ W = 0.994) t = 200 aldiunean oraindik soka luzeak daude (bereziki, x = 40 puntuan). Eskuinaldekoan, aldiz, (β = 0.5, sin 2 θ W = 0.995) ikusi ditzakegun estrukturak, beraien zabalera baino bost aldiz luzeagoak dira, asko jota. Beheko bi irudietan, soken artean banandutako energia adierazi nahi izan dugu. Energia hitzaz, energia magnetikoari buruz soilik ari gara: soketan metaturiko energia magnetiko guztia kalkulatu dugu,

100 92 Dumbbell-ak eta energia hori soken artean nola dagoen antolatuta marraztu dugu. Beheko ezkerreko irudian, soka luzeek energiaren zati haundia dutela ikus daiteke; beheko eskubiko irudia behatuz, aldiz, parametro-espazioko puntu horretan soka luze eza azpimarra daiteke. Irizpide biak erabiliz, iraunkortasun-limitea lortu dugu simulazioen bidez, 3.5 irudian adierazi duguna. Espero genuenez, iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen zatikia baino ez da; eta sin 2 θ W balioa unitatetik oso gertu dagoenean bakarrik lor dezake iraunkortasuna sistemak. Irizpide bietatik abiatuz, antzerako kurbak lortu ditugu. β θ w 2/π 3.5 irudia: Lerro jarraitua, ardatz-simetriadun Z-soka infinituen egonkortasun-zonaldeari [61] dagokio, eta puntuak, testuan deskribituriko bi irizpideak erabiliz lortu dugun iraunkortasun- -zonaldearen mugari. Espero genuenez, iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen zatikia baino ez da. Karratuak, t = 200 aldiunean eremu magnetikoaren 25% baino altuagoa duten puntu kopurua 1000 deneko irizpidea erabiliz lortu ditugu; hirukiak, t = 200 aldiunean, beraien zabalera baino bost aldiz luzeago diren sokak daudeneko irizpidearen bidez. 3.6 Ondorioak Fase-trantsizio elektroahul baterako, GSW eredu orokorrean, defektu ez-topologikoko sarea sor daitekeela erakutsi dute kapitulu honetan deskribatutako zenbakizko simulazioek. Sarearen dinamika oso korapilatsua da: soka-segmentu batzuek uzkurtu, eta beste batzuek ingurukoekin bat egiten dute. Bi parametroekiko (θ W eta β) menpekotasun handia du ereduak. Ondokoa da lan honen ondorio nagusia: parametro-espazioko zonalde batean,

101 3.6 Ondorioak 93 iraunkorrak diren defektu erabat ez-topologikoen sarea ager daiteke. Hautatutako iraunkortasun-kriterioaren menpekoa da lorturiko zonaldea; baina, nahiz eta koantitatiboki eztabaidagarria izan, koalitatiboki zonaldea egon badagoela argi dago. Nahiz eta gure unibertsoko benetazko teoria elektroahula parametro-zonalde horretatik kanpo egon, emaitza horien arabera hau ondorioztatu dezakegu: limiteren batetan defektu topologikoak edo erdilokalak posible diren ereduetarako, defektu ez-topologikoen sareak sor daitezke limite horretatik gertu. Literaturan aurkitu daitezkeenez [14, 61, 93], defektu topologikoak (edo erdilokalak) dauzkaten ereduetan, defektu ez-topologikoak egonkorrak diren zonaldeak daude. Gure lanaren bidez emaitza hori bermatu dugu; eta, zonalde estuago batean bada ere, fase-trantsizio horietan nahikoa iraunkorra den defektu-sarea ager daitekeela erakutsi dugu. Soka-segmentuen sorrera guztiz dinamikoa da, eta ezin da hasierako baldintzei buruzko analisien bidez aztertu. Zehazkiago, gure emaitzak eta [73] laneko emaitzak bateragarriak dira. Hemen, sare baten eboluzio tenporala kontuan hartu dugu, eta ez bakarrik hasierako baldintza. Gainera, fase-trantsizio bati baino, tarte-iragankor bati dagozkio hasierako baldintzak gure simulazioetan. Tarte-iragankorraren ondoren, fisikoki arrazonagarriak diren hasierako baldintzak sortuko ditu sistemak berak. Tarte-iragankorra pasa eta gero har dezakegu aintzakotzat eboluzioa; tartea pasa ondoren lortutako konfigurazioa da defektuak iraun edo desagertu diren erabakiko duena. Defektuen eraketan gauge-eremuak garrantzitsuak dira, beraz, eta lortutako ondorioak beste eredu ez-topologikoetara orokor daitezkeen jakitea interesgarria da. Adibidez: bi-higgs eremuko eredu estandarra [14, 38]. Kapitulu honetan erabili dugun diskretizazio-metodoa, lotura-aldagaiak erabiltzen dituen metodoarekin alderatu dugu E eranskinean. Erabilitako diskretizazioa ez bezela, lotura-aldagaiak erabiltzean gauge-aldaezintasuna ziurtatuta dago. Eredu erdilokalaren kasurako, bi diskretizazio metodoak erabiliz lortutako eboluzioak puntuz-puntu bateragarriak dira; lotura-aldagaien kasuan noizbehinka soka luzexeagoak lortu arren. Hala eta guztiz ere, emaitza estatistikoen ziurgabetasuna, errore estatistikoa baino txikiagoa da. Azterketa horretan soka erdilokalak baino ez ditugu simulatu, ez eredu elektroahul osoa; baina lotura-aldagaiak erabiliz lan honetako emaitzak nabarmen aldatuko ez direla ziur gaude.

102

103 4. KAPITULUA Defektuak eredu supersimetrikoetan 4.1 Sarrera Arestian, gauge-simetriadun teorietan ager daitezkeen defektuak deskribatu ditugu. Gauge-teorien ezaugarri garrantzitsua ondokoa da: elkarrekintza desberdinak teoria bakun eta naturalaren bidez argitu ditzakete. Adibidez: elkarrekintza elektromagnetiko eta nuklear ahula batera azaldu daitezke, SU(2) U(1) gauge-simetriaren bidez; eta nuklear bortitza, bestalde, SU(3) simetriako teoria baten bidez azaldu daiteke. Hiru elkarrekintza horiek gauge-teorien bidez deskribatu daitekeenez, hirurak teoria bakar baten bidez bateratzeko ahaleginak izan dira: GUT (Grand Unification Theory) teoria. Baina, elkarrekintza grabitatorioa ez da modu horretakoa. Elkarrekintza grabitatorioa beste elkarrekintzekin bateratzeko aukeretako bat supersimetriak emango digu. Supersimetria (ikus [15, 88, 102] adibidez) fermioien eta bosoien arteko simetria da. Gauge-simetria, aldiz, bosoiak bosoiekin erlazionatzen ditu; eta fermioiak fermioiekin. Supersimetriari tokian tokiko simetria izaten utziz gero, translazioak espazio-denborako puntuz puntu aldatuko dira; eta, ondorioz, grabitatea teoriaren osagaietako bat da. Eredu horiei deritze eredu supergrabitatorio. Zientzia fisikoetan, esperimentuek esan beharko digute teoria bat baztertu behar denentz. Supersimetriaren arabera, fermioiek (bosoiek) masa berbereko eta kontrako estatistikako 95

104 96 Defektuak eredu supersimetrikoetan bosoi (fermioi) superkide bana dute. Oraindik kide supersimetrikorik ez da aurkitu esperimentalki; eta, beraz, supersimetria egotekotan, gaur egungo azeleragailuak lor ditzaketen energia ( 10 3 GeV) baino energia handiagoetara apurtuta dago. Nahiz eta supersimetriaren ebidentzia esperimentalik egon ez, oso ideia interesgarria da. Arestian esan bezala, elkarrekintza grabitatorioa beste elkarrekintzekin bateratzeko aukera ona da. Bestalde, grabitate kuantikoaren ez-errenormalizazio arazoa konpondu dezake. Hain zuzen ere, teoria supersimetrikoek dibergentzia kuantiko koadratikoekiko jokaera ona dute; ekarpen desberdinen arteko doitze-zehatz fine-tuning lortzen baitute gai dibergenteak ezetatuz. Teoria supersimetrikoek dibergentziekiko duten portaera dela eta, technical hierarchy problem delako problema konpondu dezakete: (10 16 GeV) ohiko GUT masaren eta (10 2 GeV) W bosoiaren masaren arteko aldea izugarria da. Garapen perturbatiboekiko ezengonkorra da orokorrean alde hori, doitze-zehatza eman ezean behintzat. Baina doitze-zehatza berez emango da teoria supersimetrikoetan. Eredu supersimetrikoetan ager daitezkeen zenbait defektu aztertuko ditugu kapitulu honetan. Hurrengo atalean supersimetria ezagutaraziko dugu; eta defektu horiek aztertzeko beharrezko diren zenbait kontzeptu azalduko dugu. Testuingurua finkatu eta gero, horietako zenbait eredutan sokak ager daitezkeela ikusiko dugu. Hain zuzen ere, Fayet-Iliopoulos D-gaidun eredu simetrikoen ohiko ondorioa sokak eratzea da [32, 75]. Halere, soka-soluzio hauek ohiko Nielsen-Olesen zurrunbiloa [1, 74] baino aberatsagoak dira. Horretarako bi arrazio nagusi dago: Lehenik, eredu supersimetrikoetako klase zabal batek norabide lauak ditu potentzial eskalarrean zehar. Horregatik, huts endekatuen modulua dugu; eta ezin dugu zuzenean jakin zein huts-egoerak sortu ditzakeen soka-erako soluzioak. Azken urteetan, norabide lauen inguruan asko ikertu da; batez ere, gauge-eredu ez-trukakor supersimetrikoen akzio efektibo eta konfinamendua aztertu direnean (ikus adibidez [11, 35, 40, 86, 87, 105, 106]). Bigarrenik, supersimetria dagoenez, sokaren muinean modu nulu fermioidarrak agertuko zaizkigu era naturalean [32]; eta horrek, supereroale bihurtuko du soka. Orokorrean, soka- -begizta supereroaleak bortoiak agertuko dira. Bortoiak sortuko dira barneko korronteak

105 4.1 Sarrera 97 soka-begiztaren uzkurketa galeraztean. Zenbait eredu supersimetrikotan begizten zeharreko korrontea kirala izango da; eta honela, bortoiek propietate berri interesgarriak edukiko dituzte [26, 33, 78, 89]. Bortoien edukiko lituzketen behaketa propietateek, partikulen fisikarako ereduak lotu ditzakete; eta, batzuetan, ereduak baztertu ditzakete [25, 27, 69]. [75] erreferentzian, N =1 eredu supersimetriko baten sektore bosoidarrean ager zitezkeen soka topologikoak aztertu zituzten [75] erreferentzian ; nahiz eta modulu-eremuak hutsa aukera dezakeen huts-multzo uniparametrikoaren artean, aukera zehatz batek soilik eman ditzake soka topologikoak. Emaitza hori modulu-eremuak zurrunbiloaren muinetik hurrun duen jokaeran datza. Huts-aukeratzearen efektu hori orokorra da norabide lauak dituzten teoria trukakorretarako; zeren eta, ikusiko dugunez, zurrunbiloaren muinean bektorearen masa minimizatzearren gertatuko da [8]. Bada, bai soka topologikoetan bai ez-topologikoetan ere gertatzea espero dugu; eta, agian, beren egonkortasuna hobetu lezakete atalean, lortu dugun soka kosmikoak Bogomol nyi-ren bornea beteko duela erakutsiko dugu era esplizituan (hau da, BPS-soka izango da); ondorioz, guztiz egonkorra da. Baita ere azalduko dugu zergaitik aukeratutako hutsak bektorearen masa minimizatuko duen. Horrela, zein huts aukeratuko diren jakiteko irizpidea eraikiko dugu teoria jakin batetarako; karga guztiak berberak direnean balio absolutoan. Gero, Bogomol nyi-ren bornetik kanpoko huts-aukeratzearen efektua aztertuko dugu atalean. Zenbakizko analisia derrigorrezkoa izango da kasu horretan. Soka ez-bps horietarako huts-aukeratzearen efektua aldatuko ez dela ikusiko dugu. 4.3 atala amaitzeko, supersimetria apurtuko dugu masa-gai bigunen bidez, eta defetuen gaineko ondorioa aztertuko dugu ( atala). Aurreko N = 1 eredua mailaz igoko dugu, kontrako kargako hipermultiplete bi dituen N = 2 QED eremu supersimetrikora (4.4 atala). Eredu hori II motako supersoken Calabi Yau kompaktifikazioaren energia-txikietarako akzio efektiboa ikertzeko erabili zuten [50] erreferentzian, non karga magnetikoen konfinamenduarekin erlazionatu zituzten zurrunbiloak. Frogatuko dugunez, huts-aukeratzearen efektua dela-eta, BPS zurrunbiloen egitura soka erdilokalen egitura berbera izango da [92] (1.3 atala). Garrantzi fisikoaz gain, eredu horrek abaintaila bat du: kalkulu guztiak era esplizituan egin daitezke. Eta oso garrantzi handikoa da kalkuluak era esplizituan egin ahal izatea, soka erdilokalen egonkortasuna intuizoaren kontrakoa baita. Huts-barietatea sinpleki-konexua

106 98 Defektuak eredu supersimetrikoetan izan arren ondokoa azpimarragarria da: gauge-bosoia masaduna da; eta, fluxu magnetikoa topologikoki kuantizatuta dago eta kontserbatuko da. Fluxu magnetiko unitatea daramaten zinezko BPS egoerak dira aztertu ditugun sokak. Eta hala eta guztiz ere, praktikan, ez dago zurrunbilo egonkorrik eredu horretan; zehatzago esatearren: zurrunbiloak egonkortasun neutrokoak dira soilik (BPS baldintzarekin bateragarria dena); eta nahi bezain zabalak diren BPS fluxu-hodi magnetiko familia oso batekin endekatuak dira [6, 55]. Perturbaziorik txikienak ere modu nulua kitzikatuko du; eta zurrunbiloa hedatu egingo da [66]. huts-aukeratzearen efektuak ez du (estuena den) Nielsen-Olesen zurrunbiloa aukeratuko beste BPS fluxu-hodi lodiagoen artean. Horrek bortoi sorrera ezabatuko du testuinguru kosmologikoan. Supersoken konpaktifikazioaren testuinguruan, aldiz, [50] erreferentzian proposaturiko karga-magnetikoa konfinatzeko mekanismoa zalantzan jarriko du huts-aukeratzearen efektuak. Ondoren, atalean, supersimetria apurtuko duten masa-gaiak gehituko ditugu, N = 1 kasuan bezela. Masa-gai horiek potentzialaren endekapena desegingo dute; eta benetako Nielsen-Olesen sokak eratuko zaizkigu. 4.4 atala modu nulu fermioidar posibleen azterketarekin amaituko dugu; huts-aukeratzearen efektua areagotu eta soka egonkortu al dezaketen ikertzeko. Horrela izango balitz, soka erdilokalak soka kiral bihurtuko lirateke [26]. Hau da, fermioiak noranzko bakarrean higitzen diren bortoi bihurtuko lirateke. Baina, ikusiko dugunez, ez da hori gertatuko; bi arrazoi dela medio: lehena, fermioiek beteko duten huts-aukeratzea bosoiek beteko dutenaren berbera da; eta beraz, sokak erdilokal izaten jarraituko dute. Bestea, fermioiak bi noranzkotan higituko direla sokan zehar. Hainbat testuingurutan, hondoko sokaren egonkortasuna aldatu egiten da fermioien erreakzioaren ondorioz [71, 67, 51]. Eskuartean dugun testuinguruan hori ez da gertatuko [9], ondoko arrazoiengatik: [71, 67, 51] lanetan ikertutako sistemetan ez bezela, apurtu gabeko supersimetriak Bogomol nyi-ren bornean babestuko du. Karga topologikoa berbera da familiako zurrunbilo guztietarako; eta, ez da familiako kide bereziren bat aukeratuko fermioien erreakzioaren ondorioz. Halere, soka erdilokalaren modu nulu bosoidarra dela-eta, zenbait fermioi sokaren muinean nulua ez den eremuarekin mihiztatuta dagoela aurkituko dugu; eta literaturan esan izan denaren arabera, ez genukeen horrelakorik espero behar izango. Gure ustez, eremu eskalar

107 4.1 Sarrera 99 kargatu eta biribilkapen gabeak modu nulu fermioidarretan duten efektua ikertu den lehen aldia da. Aztertutako eredua, hondoan zurrunbilodun eskalarrez eta fermioiez osatutako sistemei buruzko zenbait indize-teoremetik at dagoela azpimarratu nahiko genuke [30, 42]. Bukatzeko, kapitulu honen konklusioen laburpena eskainiko dugu. 4.2 Superaljebra eta (super)multipleteak Atal honetan, aurrerago behar izango ditugun supersimetriaren ezaugarri orokorrak aurkeztuko ditugu. Azalpen zehatzagoak aurkitu daitezke [15, 88, 102] erreferentzietan. Talde-teoriaren ikuspuntutik supersimetria Poincaré taldearen zabalkuntza da, Lie aljebra graduatua erabiliz; zenbait sortzaile, Q α supersimetriaren sortzaileak, fermioidarrak direlarik. Beraz, supersimetriak erdiaz aldatuko du egoera baten espina; fermioiak bosoi bihurtuz, eta alderantziz. Fermioi baten superkidea sfermioi deitu ohi da, eta bosoiarena bosino. Sortzaile independente bat baino gehiago egon daiteke: Q iα (i = 1,...N) eta N zenbakiaren balio bakoitzerako teoria desberdina dugu. Kapitulu honetan N = 1 eta N = 2 kasuen inguruan arituko gara. Aljebra supersimetrikoaren sortzaile bosoidarrek Poincaré taldearen aljebra beteko dute; sortzaile fermiodarrek ostera (ikus A eranskina hitzarmenak ezagutzeko): [Q αi, P µ ] = [ Q i α, P µ] = 0 ; [Q αi, M µν ] = 1 2 (σ µν) β α Q βi ; [ Q i α, M µν ] = 1 2 Q i β( σ µν ) β α ; {Q αi, Q j β} = 2δ j i (σµ ) α βp µ ; {Q αi, Q βj } = 2ε αβ Z ij ; { Q i α, Q j β} = 2ε α βz ij, (4.1) non P µ eta M µν espazio-denborako translazioak eta Lorentz transformazioak diren hurrenez hurren; eta Z ij karga zentralak dira (Z ij = Z ji ). Transformazio supersimetriko infinitesimalaren parametroak ǫ α eta ǫ α Grassman-en zenbakiak dira. Parametro horien laguntzaz, φ eremuaren transformazio supersimetriko infi-

108 100 Defektuak eredu supersimetrikoetan nitesimala definituko dugu: δφ i[φ, ǫq + Q ǫ]. (4.2) Teoria supersimetrikoetan, Lie aljebra graduatuaren errepresentazio jakin bateko eremuedo egoera- multzoak agertuko dira. Errepresentazio laburtezinen, hots, (super)multipleteen, zenbait ezaugarri orokor lortu daitezke aljebra bera aztertuz: supersimetriadun teorietako energia ez da negatiboa multiplete bakoitzean, gutxienez bosoi bat eta fermioi bat dago, beren espin-diferentzia 1 izanik 2 multiplete baten egoera guztiek masa berekoak dira multiplete batean fermioi- eta bosoi-kopuru bera dago supersimetria berez apurtuko da baldin eta soilik baldin hutseko energia zehazki nulua ez bada Supersimetriaren arabera, multiplete bakoitzean masa berberko bosoi/fermioi bikoteak daude. Ondorioz, apurtu gabeko supersimetriaren espektroa ez da errealista; naturan ez dago bosoien eta fermioien arteko masa endekapenik. Hotaz, supersimetriak apurtuta egon behar du; baina, ez dugu edonola apurtu nahi: teoriaren dibergentzia koadratikoekiko portaera ona mantendu nahi dugu. Poertaera ona mantenduko duten gaiak dira gai bigunak. N = 1 eta N = 2 teoria supersimetrikoetan gai bigun mota bat eskalarren masa-gaiak gehitzean gertatutako zenbait ezaugarri ikertuko dugu eta ataletan. Kapitulu honetan dimentsiotako ereduak ikertuko ditugu; eta, honako multiplete hauek erabiliko ditugu: 1. Multiplete kirala φ eremu eskalar konplexuak eta ψ Weyl-espinoreak osatuko dute Φ (N =1) multiplete kirala. Transformazio supersimetrikoa egitean, eremu horiek beren higidura- -ekuazioa betetzea beharrezkoa da superaljebra ixteko. Baina aljebra ixteko beste

109 4.1 Sarrera 101 aukera bat F eremu laguntzaile konplexua gehitzea da. Eremu hori ez da fisikoa; eta, bere higidura-ekuazio (aljebraikoa) erabiliz, eliminatu ahal izango dugu. Φ(φ, ψ, F) multiplete kiralaren lagrangearra ondoko hau da L = µ φ µ φ + iψσ µ µ ψ + F F, (4.3) eta honako eremuen transformazio supersimetriko hauekiko aldaezina da: δφ = 2ǫψ ; δψ = ǫf i µ φσ µ ǫ ; δf = 2i µ ψσ µ ǫ. (4.4) Transformazio horiek behatuz ondokoa egiaztatu dezakegu: Bosoiak fermioi bihurtu dira, eta fermioiak bosoi (bosoien deribatuak). Eremu laguntzailea deribatu oso bihurtu da. F eremu laguntzailearen higidura-ekuazioa tribiala da lagrangear aske horren kasurako (F = 0); eta, dinakimatik at geratuko da. Baina elkarrekintza dagoen teorietan, eremu laguntzaileen higidura-ekuazioak aljebraikoak izango dira baita ere; eta, higidura-ekuazio horiek erabiliz, eremu laguntzaileak desagertaraziko ditugu. Era berean, Φ multiplete antikirala definitu dezakegu. Φ multipletearen konjokatu hermitikoa erabiliz lortu dezakegu Φ = (φ, ψ, F ) multiplete antikirala; eta, multipleteare osagaien transformazio supersimetrikoak honako hauek dira: δφ = 2 ψ ǫ ; δ ψ = F ǫ + iǫσ µ µ φ ; δf = 2iǫσ µ µ ψ. (4.5) 2. N = 1 mutiplete bektorial trukakorra Wess-Zumino gauge-a erabiliz, ondoko eremuek osatuko dute multipletea: A µ gauge-eremu trukakorra, λ Weyl-espinorea eta D eremu laguntzailea. V (A µ, λ, D) multipletearen lagrangearra honako hau da L = 1F µν F 4 µν + 2 λσ i µ µ λ D2 + κd. (4.6)

110 102 Defektuak eredu supersimetrikoetan Azkeneko gaiari κd Fayet-Iliopoulos gaia deritzo. Gai hori gauge-teoria trukakorretan bakarrik gehitu daiteke; U(1) taldearekiko aldaezina baita eta transformzio supersimetrikoekiko deribatu oso bihurtuko baita. Fayet-Iliopoulos gaia izango da aztertuko ditugun ereduetan berezko simetria-apurketaren arrazoia. 3. Hipermultipletea Hipermultipleteak N = 2 supersimetriako materia-multipleteak dira. Multiplete kiral bate eta multiplete antikiral baten gainezarmen bezala uler daitezke. Hipermultipletean h 1 eremu eskalar konplexu bi, ψ Dirac-fermioia eta F i eremu konplexu laguntzaile bi daude, non i = 1, atalean h i = h i izango da. 4. N = 2 multiplete bektorial trukakorra Multiplete kiral baten eta N = 1 multiplete bektorial trukakor baten gainezarmena da N = 2 multiplete bektorial trukakorra. Ondoko eremuek osatzen dute: M eta N eremu eskalarrek, Weyl-fermioi bi (N =1 mutiplete bektorial trukakorreko λ eta multiplete kiraleko ψ), A µ gauge-eremu trukakorrak, eta hiru eremu laguntzailek ( D 3-bektorearea erabiliz adieraziko ditugunak). 4.5 atalean, multiplete horretako fermioiak beste era batera idatziko ditugu, espinore SU(2)-kobarianteak erabiliz: Majorana-espinore simplektikoak hain zuzen ere (ikus A eranskina). Ohartu zaitezte multiplete honi dagokion Lagrangearreari Fayet-Iliopoulos gaia gehitu diezaiokegula baita ere Superaljebra eta karga topologikoa Aljebra supersimetrikoa aldatu egingo da gure sisteman defektuak daudenean. Aljebra supersimetrikoaren zabalkuntza zentralarekin erlazionatuta dago soluzioen karga topologikoa. Defeftu motako soluzioa BPS egoera bada, supersimetriaren erdia babestuta dago; eta, soluzioa, 1 -BPS asetua dagoela esan ohi da. Kink-aren kasurako (ikus atala) 2 frogatu zen erlazio hori [103]:

111 4.1 Sarrera dimentsioko sistema honetan, supersimetriaren sortzaileak Q ± osagai kiralak erabiliz idatzi zituzten [103] laneko ikertzaileek. Notazio hori erabiliz, kink-arik gabeko aljebra supersimetrikoa honako era honetan idatzi daiteke Q 2 ± = P ±, {Q +, Q } = 0, (4.7) non P ± 1(P 2 0 ± P 1 ). Beraz (Q + + Q ) 2 = (Q + Q ) 2 = H da. Hamiltondarraren edozein χ > egoera propioak ondoko erlazioa beteko du H χ >= E χ >= (Q + Q ) 2 χ >= (Q + Q ) 2 χ >. (4.8) Egoerak aldaezinak dira supersimetria guztiekiko (eta beraz E = 0 energia nulua dute), edo ez dira aldaezinak edozein supersimetriarekiko. Supersimetria guztiz apurtuta edo apurtu gabe egongo da. Baina kink-a dugunean, (4.7) erlazioak aldatu egingo dira. Hain zuzen ere, [103] lanean frogatu zutenez, kink-aren karga topologikoa aljebra supersimetrikoaren karga zentrala da; eta, beraz, ondokoa beteko da Q 2 ± = P ±, {Q +, Q } = T, (4.9) non T karga topologikoa den. Ekuazio horiek ondorio garrantzitsua dute: (Q + + Q ) 2 = H + T, (Q + Q ) 2 = H T. (4.10) χ > BPS egoera badugu, i.e., E = T baldintza betetzen badu χ > egoerak, orduan honako hau dugu (H T) χ >= 0, (H + T) χ > 0, (4.11) eta (4.10) ekuazioa erabiliz (Q + Q ) χ >= 0, (Q + + Q ) χ > 0. (4.12) Ondorioz, Q + + Q apurtu egin da eta modu nulu fermioidarrak sortuko ditu; bestalde, Q + Q ez da apurtu. Sortzaile supersimetrikoen erdia bakarrik apurtu da; eta, beste ez-bps egoeretan sortuko diren modu nulu fermioidarren erdia sortuko da. Egoeraren energia korrekzio kuantikoetatik babestu egingo du apurtzeke geratu den supersimetriak.

112 104 Defektuak eredu supersimetrikoetan Beste defektuetara zabaldu daiteke idea hori [10]; eta, ondorioak analogoak dira: defektu batek Bogomol nyi-ren bornea beteko badu, supersimetria erdi-apurtuta egongo da. Apurtutako sortzaile supersimetrikoek modu nulu fermiodarrak sortuko dituzte; eta multipleteak sortuko dituzte apurtu gabeko sortzaileek. Apurtzeke dagoen supersimetria horrek masaren balioa babestuko du; eta, beraz, BPS baldintza. 4.3 N =1 Higgs motako eredu supersimetrikoa Atal honetan V (A µ, λ, D) multiplete bektorial trukakorrak eta berarekin mihiztatutako bi Φ ± (φ ±, ψ ±, F ± ) N =1 multiplete kiralek osatuko duten 4-dimentsioko eredua aztertuko dugu. Multiplete kiralek elkarren kontrako karga dute. Simetria berez apurtuko den kasua ikertu nahi dugunez, κ D Fayet-Iliopoulos D-gaia gehituko dugu, aurreko atalean esan dugun eran. Gure ereduari dagokion lagrangearra ondokoa da L = L gauge + L matter + L interaction, (4.13) non L gauge = 1 4 F µνf µν + i 2 λσ µ µ λ + κd D2 ; (4.14) L matter = D µ φ D µ φ 2 + i ψ + σ µ D µ ψ + + i ψ σ µ D µ ψ + F F 2 ; L interaction = i 2q λ(φ +ψ + φ ψ ) + i 2q(φ ψ φ + ψ+ )λ + q( φ + 2 φ 2 )D. φ ± eremu eskalarrak ±q aurkako karga dute, eta baita F ± eremu laguntzaileek ere. D eremu laguntzailea erreala da; eta, A µ eremua U(1) gauge-eremua da. Deribatu kobarianteak honela definitu ditugu: D µ φ ± = ( µ ± iqa µ )φ ±. Gainera, F µν = µ A ν ν A µ da. Fermio guztiak Weyl-fermioiak dira. Eremu laguntzaileak, beren higidura-ekuazioak erabiliz desagertarazi ditzakegu (ikus 4.2 atala) F + = F = 0, D + κ + q( φ + 2 φ 2 ) = 0. (4.15)

113 4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 105 D eremu laguntzailea duten gaiak, honela idatz ditzakegu 1 2 D2 + κd + q ( φ + 2 φ 2) D = κ2 2 κq ( φ + 2 φ 2) ( 1 2 q2 φ + 2 φ 2) 2 ( = 1 q φ+ 2 q φ κ ) 2 (4.16) eta ondoko lagrangearra lortu L = D µ φ D µ φ F µνf µν + iλσ µ µ λ + iψ+ σ µ D µ ψ+ + iψ σ µ D µ ψ +i 2q(φ +ψ + φ ψ )λ + i 2q(φ ψ φ + ψ+ ) λ ( q φ+ 2 q φ 2 + κ ) 2. (4.17) 1 2 Lagrangear honen sektore bosoidarra izango da datozen bi atalen abiapuntua. Bertan huts-aukeratzearen efektua ikertuko dugu; eta, baita ere supersimetria masa-gai bigunen bidez apurtzean sortutako zenbait ezaugarri N = 1 kasurako huts-aukeratzearen efektua Ondorengo lagrangearra erabiliko dugu atal honetan L = D µ φ D µ φ F µνf µν V (φ +, φ ) V (φ +, φ ) = β 2 ( φ + 2 φ 2 η 2 ) 2. (4.18) Lagrangear hori (4.17) lagrangearraren orokorpena da, β = q 2 limitea aukeratuz gero; hots, Bogomol nyi-ren limitea. (4.17) berreskuratuko dugu κ qη 2 kasurako. κ parametroaren zeinu-hautaketa orokorra da; kontrako zeinua aukeratuko bagenu emaitza berbera lortuko genuke baina φ + eta φ eremuen zeregina trukatuta. Huts-barietatea ondokoa da φ + 2 φ 2 η 2 = 0, (4.19) eta horren soluzioak φ + = ηcoshu v +, φ = η sinh u v, (4.20)

114 106 Defektuak eredu supersimetrikoetan non u parametroak modulu-espazioa (baliokide ez diren huts-espazioa) parametrizatuko duen. Potentzial horrek norabide lauak ditu; hau da, u norabidean zehar higitu gaitezke energia potentzialeko kosturik gabe. D-gaia gehitzean simetria berez apurtuko da; eta defektuak eratu daitezke. Are gehiago: printzipioz, u guztietarako lor genitzazke defektuak. Simetria apurtu eta gero, espektro fisikoa ondokoa da: masa gabeko bi eremu eskalar (Goldstone-n bosoia eta modulu-eremua), m 2 s = 2 βη 2 cosh2u masadun partikula eskalarra eta m 2 v = 2q2 η 2 cosh2u masadun partikula bektoriala. m s eta m v balioen minimoa u = 0 balioari dagokio; hau da, φ = 0 kasuari. Kasu horretan Higgs eredu trukakorra berreskuratuko dugu. Arestian ikusi dugunez, eredu horrek zurunbilo estatikoak eduki ditzake (ikus atala): Nielsen-Olesen zurrunbiloak [74] hain zuzen ere. Soka zuzen estatiko infinitoak nahi ditugu z-norabidean; bada, t-rekiko eta z-rekiko menpekotasuna kenduko dugu; eta A t = A z = 0 ipini. Eskalak aldatuz zenbait parametro desagertarazi ditzakegu (4.18) lagrangearrean φ ± ηφ ±, x µ x µ ηq, A µ ηa µ, (4.21) eta B = 1 A 2 2 A 1 dela emanik, energia honela idatziko dugu Ẽ = [ d 2 x ( µ + ia µ ) φ ( µ ia µ )φ B2 + β ( φ+ 2 φ 2 1 )] 2 2 (4.22) non Ẽ = E/η2 den. Masa eskalarraren eta masa bektorialen karratuen zatidura da β parametroa: β = m 2 s/m 2 v = β/q 2. Energia finitua izan dadin, D µ φ ± 0, B 0 izan behar dute 1/r baino azkarrago, r denean. Energia potentzialetik behatuz, φ ± eremuek huts-barietaterantz jo behar dutela ikus dezakegu, r denean: φ ± v ± e in ±θ. (4.23) Baldintza hori gradienteetan ordezkatuz ondokoa lortuko dugu D θ φ + 0 in + + ia θ 0 A θ n + D θ φ 0 in ia θ 0 A θ n n + = n = n. (4.24)

115 4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 107 q a kargadun eremuek e inqaθ moduan biribilkatu behar direla ondorioztatuko dugu. Gauge-eremua balio konstante baterantz doanez, eremu magnetikoaren (1.31) kuantizazioa berreskuratu dugu: d 2 xb = A θ dl = 2πn. (4.25) ρ= Printzipioz, r puntuan edozein (4.20) huts-barietatearen baliorantz doazen zurrunbiloak sortzea esperoko genuke. Halere, [75] erreferentzian erakutsi zutenez, β = 1 limitean, i. e. Bogomol nyi-ren limitean, u = 0 baliorako bakarrik lor daitezke soluzio estatikoak. Beste edozein muga-baldintzek sortutako zurrunbiloak ez-egonkorrak dira, eta u = 0 kasuko zurrunbilorako joera dute. Egonkortasuna oso makala da, eta geratuko den zurrunbiloa Nielsen-Olesen zurrunbiloa izango da. Frogatu dezagun Soka egonkorra dela. Datorren guztirako, ardatz-simetriako konfigurazioak erabiliko ditugu, n = 1 kasurako: φ + = f + (r)e iθ ; φ = f (r)e iθ e i ; A θ dθ = a(r)dθ. (4.26) f ± (r) funtzio errealak dira; gainera, f + (0) = f (0) = a(0) = 0 eta f ± ( ) = v ±, a( ) = 1 dira. φ ± funtzioek r-rekiko menpekotasuna duten e iψ ±(r) faseak eduki ditzakete. Baina, energia minimorako r ψ ± = 0 bete behar da; beraz, ez ditugu kontuan hartuko. konstante erreala da. Egonkortasuna frogatzearren, (1.35) Bogomol nyi-ren erako argudioa erabiliko dugu. (4.22) energia ondoko eran idatziko dugu [ Ẽ = d 2 x (D 1 ± id 2 ) φ (D 1 ± id 2 ) φ 2 [ ( B φ+ 2 φ 2 1 )] 2 + β 1 ( φ+ 2 φ 2 1 ) ] 2 d 2 xb, (4.27) 2 zenbait gainazal-gai gorabehera (energia finituko konfigurazioetarako nuluak direnak). Erabili ditugun (4.26) konfigurazioetarako, goiko zeinuak hautatu behar ditugu; eta (4.25) erabiliz, Ẽ 2π dela ikusiko dugu β = 1 Bogomol nyi-ren limitean. Atal honetan, Bogomol nyi-ren limitean lan egingo dugu soilik.

116 108 Defektuak eredu supersimetrikoetan Ẽ energiaren minimoak Bogomol nyi-ren ekuazioak bete behar ditu hau da, (D 1 + id 2 )φ ± = 0, B ( φ + 2 φ 2 1) = 0, (4.28) f + a+1 r f + = 0 ; f + a+1 r f = 0 ; a r (f2 + f2 1) = 0. (4.29) f (r) = 0 bada, (4.29) ekuazioak Higgs eredu trukakorraren ohiko (1.36) Bogomol nyi-ren ekuazioak dira. Muineko muga-baldintza bete dezakeen f funtzioaren soluzio bakarra f (r) = 0 dela ikus daiteke; honenbestez, Nielsen-Olesen soluzioak Bogomol nyi-ren bornea beteko du automatikoki. Horrela, zurrunbiloa egonkorra dela frogatu dugu; energiaren minimo globala baita, eta ez dago ardatz-simetriako modu nuluak agertzeko aukerarik. Hain zuzen ere, ez dugu zertan ardatz-simetriara murriztu [10]: φ φ + biderkadura azter dezagun. (4.29) ekuazioen arabera, ondokoa beteko du biderkardura horrek ( 1 + i 2 )(φ + φ ) = 0, (4.30) edo, z = x + iy eta z = x iy aldagai konplexuak erabiliz ondokoa z (φ + φ ) = 0. (4.31) Beraz, φ + φ biderkadura z aldagaiaren hautazko funtzioa da. φ + eta φ funtzioek ez dute singularitaterak planoan, eta bornaturik daude. Ondorioz, φ + φ analitikoa da; eta bornaturik dago. Hortaz, φ + φ =konst. da. Baina φ + (r 0) = 0 denez, konstanteak zero izan behar du; eta φ 0 ondorioztatuko dugu. Geratuko zaizkigun ekuazioak Nielsen- Olesen zurrunbiloen ekuazio berberak dira. [75] erreferentzian azaldu den bezela, huts-aukeratzearen efektua ulertzeko gakoa ondoko hau da: muin magnetikoaren barneko dinamika eta muinaren kanpoko modulu-eremuaren dinamika bananduta daude. Eremu magnetikoa nulua da muinetik hurrun; eremu eskalarrak huts-barietatean daudenez ez dago energia potentzialik; eta (behar bezala normalizatutako) modulu-eremua masagabea da. Ekuazio aske masagabeen soluzioa r aldagaiarekiko logaritmikoki hazten da bi dimentsiotan; ondorioz, modulu-eremua infinitoraino

117 4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 109 haziz joango da, bere huts-balioarantz jo ordez. Joera hori gertatuko ez den kasu berezia u = 0 kasua da. Beraz, u = 0 balioa aukeratua izango da. Emaitza hori zurrunbiloetarako bakarrik beteko da, masagabeko eremuen propietatea baita; baina, bi dimentsiotan soilik; hots, zurrunbiloaren zeharkako dimentsioetan. Beste ere batera ikus dezakegu emaitza hori: muinaren kanpoan eremu eskalarrak modulu- -espazioan zehar higi daitezke, u = 0 baliotik beste edozein balio asintotikorantz, energia- -koste hautemangarririk gabe. Izan ere, muinetik kanpo eremu magnetikoa oso txikia da; eta eremu eskalarrak huts-barietatean daude. Orduna, energia ondoko hau da, gutxi gorabehera E d 2 x (D µ φ + ) 2 + (D µ φ ) 2 2π dr r( r u) 2 cosh2u. (4.32) Kalkulatu dezagun bi huts desberdinen artean interpolatuko duen energia minimoko u(r) konfigurazioa. Demagun u(r 1 ) = u 1 eta u(r 2 ) = u 2 direla, R 1, R 2 >> r muina balioetarako. Ondoko aldagai-aldaketa eginez (4.32) energia honako era honetan idatziko duu z (r) = u (r) cosh(2u(r)) (4.33) R2 2π dr r( r u) 2 cosh2u = 2π dr r ( r z(r)) 2, (4.34) R 1 eta funtzional horren muturra ondokoa da 0 = [2rz (r)] z (r) = z 0 r. (4.35) z 0 zehaztu behar dugun konstantea da. (4.33) ekuazioa integratuz u2 u 1 du cosh(2u) = lortuko dugu, eta hemendik z 0 : R2 R 1 dr z 0 r = z 0 (lnr 2 lnr 1 ) (4.36) z 0 = u2 u 1 du cosh(2u) lnr 2 lnr 1. (4.37) Hortaz, (4.32) energiaren minimoa R2 E 2π dr r z2 0 R 1 r = 2π 2 z2 0 (lnr 2 lnr 1 ) E I(u 1, u 2 ) (4.38) lnr 2 lnr 1

118 110 Defektuak eredu supersimetrikoetan da, non I(u 1, u 2 ) [ u2 2π = u 1 du ] 2 (4.39) cosh2u den. Ẽ energia nahi bezain txikia izan daiteke R 2 eginez. Beraz, muineko dinamikak ez du zerikusirik modulu-eremuen portaerarekin; zurrunbiloaren muinak berak energia txikitzeko behar duen muga-baldintza aukera dezake. Muinean, eremu magnetikoa nulua ez den zonaldean, φ eremua nulua da; eta muina Nielsen-Olesen zurrunbiloaren muinoaren berbera da. Baina, aurreko argudioaren arabera, energiaren minimoa ezin da lortu I = 0 (u 1 = u 2 ) izan ezean. Ondorioz, huts-aukeratzearen efektua muinean gertatuko da. φ = 0 aukeratzeko arrazoia gauge-eremuaren masa minimizazioan datza (gogora dezagun m 2 v = 2cosh 2u dela eskala-aldatutako unitateak erabiliz). Zurrunbiloaren muinean eremu magnetikoa dago, m 1 v mailako zonaldean metatuta. Eremu magnetikoko lerroek elkar aldaratzen dute; beraz, m v balio txikiak muin magnetiko zabalagoa sorraraziko du. Ondorioz, fluxu magnetiko osoa kuantizaturik dagoenez, huts-aukeraketa horrek muinaren energia txikituko du Huts-aukeratzearen efektua Bogomol nyi-ren bornetik at Orain arte, Bogomol nyi-ren limitean egin dugu analisia; baina, huts-aukeratzearen efektua β parametroaren beste balioetarako emango den galdetu genezake. Bogomol nyi-ren bornetik kanpo ezin dugu ikuspuntu analitikoa erabili; horregatik, eremuen zenbakizko simulazioak egin ditugu huts-aukeratzearen aztarnik dagoen ikusteko [79]. Izan ere, arestian esan bezala, muin magnetikoaren dinamika eta eremu eskalarren dinamika muinetik kanpo banandurik daude. Muinetik hurrun, eremu magnetikoa oso txikia da eta eremu eskalarrak huts-barietatean daude. Hortaz, eremu eskalarrak mudulu-espazioan zehar higi daitezke energiarik erabili gabe; orduan, φ eremuaren konkorrak agertzea espero genezake sokaren muinetik hurrun, eta horrek ondorio kosmologikoak izan litzake. Baina simulazioen arabera, erabili ditugun parametro-tartean behintzat, norabide laueko minimo posible guztietatik bakarra aukeratuko du sistemak; eta Nielsen-Olesen sokak eratu. Abiapuntua, aurreko ataleko berbera izango da: (4.18) Lagrangearra; baina, orain, β parametroak ez du zertan β = 1 izan. Sistemaren huts-barietatea bera da oraindik, (4.20)

119 4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 111 emandakoa; bada, sistemak norabide lauak ditu. Sistema zenbakizko metodoen bidez simulatzeko, (4.18) lagrangearraren bertsio diskretizatua erabili dugu. Lehenengo, eremuetan eta koordenatu espazio-denboraletan (4.21) eskala-aldaketa erabiliz, η = q = 1 kasura helduko gara. Orduan, sarean definituriko hamiltondar gauge-teorietako zenbait teknika (ikus E eranskina) erabiliko ditugu simulazioak egiteko. Sare-loturako eta plaquette eragileak U i (x) = e ila i(x) ; (4.40) Q ij = U j (x)u i (x + x j )U j (x + x i)u i (x) (4.41) dira, hurrenez hurren. l sare-tartea da; hiru dimentsio espazialei dagokion indizea i da (1, 2, 3 balioak hartuko dituena); eta A i gauge-eremuak dira. x + x i espresioa, x puntutik abiatuta i norabidean dagoen hurrengo puntuari dagokio. Plaquette eragileak gauge-eremuen balioei dagokie. Aldez, sare-loturako eragilea, aldiz, deribatu kobariante diskretuak definitzeko erabiliko dugu: D i φ + (x) = 1 l ( ) U i (x)φ +(x + x i ) φ + (x) ; D i φ (x) = 1 l (U i(x)φ (x + x i ) φ (x)). (4.42) Ondokoa da (4.18) lagrangearrari dagokion dentsitate hamiltondarra H = Π Π 2 + 1E 2 ie i + β ( φ+ 2 φ 2 1 ) D i φ D i φ (1 Re(Q 2l 4 ij )), (4.43) non φ ± eta A i eremuen momentu konjokatuak Π ± eta E i diren, hurrenez hurren. l 0 doan limitean, continuum-eko hamiltondarra berreskuratuko dugu. Gauge-aldaezina da (4.43) hamiltondarra: Λ(x) funtzioak emaniko U(1) transformazio orokor baten ondorioz, honela aldatuko dira eremuak φ + (x) Λ(x) φ + (x) ; φ (x) Λ(x)φ (x) ; U i (x) Λ(x)U i (x)λ (x + x i ), (4.44) i j

120 112 Defektuak eredu supersimetrikoetan eta hamiltondarra aldaketa horiekiko aldaezina da. Gauge-aukeraketa bat egin dugu (4.43) moduko hamiltondarra lortzeko, hots, A 0 = 0. Ondoko hau da A 0 eremuari dagokion higidura-ekuazioa φ +(x)π + Π +φ + (x)+π (x)φ (x) φ (x)π (x) = i (E k (x) E k (x x k )), (4.45) l eta Gauss-en legearen baliokide da testuinguru horretan. Sistemak Gauss-en legea bete behar du derrigorrean, arrazoi geometrikoak direla-eta; hasierako baldintzak (4.45) erlazioa beteko badute, (4.43) ekuazioen bidezko eboluzioak (4.45) erlazioa beteko ditu baita ere. φ ± eta A i eremuei dagozkien higidura-ekuazio hamiltondarretan, γπ ± eta γe i gai barreiakor gauge-aldaezinak gehitu ditugu, hurrenez hurren. Gai berri horiek Gauss-en legea betetzen dutenez, sistema osoak Gauss-en legea betetzen darrai. γ parametroa ereduaren parametro askea da; baina, simulazioetan γ parametroaren balio desberdinak erabiliz, bilakaera koalitatiboki berdina lortu dugu. (4.43) hamiltondarretik lortutako higidura-ekuazioak 64 3 neurriko sarean simulatu genituen. Sistemaren dinamikak φ eremuarekiko duen menpekotasuna aztertu nahi dugu, ez fase-trantsizio beraren xehetasunetan. Are gehiago, defektuei buruz zenbakizko simulazioetan [3, 91] erreferentzietan ikusi zutenez (eta baita 3.4 atalean), defektuen eraketa eremu eskalarren eta gauge-eremuen arteko elkarrekintzaren menpekoa da; eta ez du erabilitako hasierako baldintzaren menpekotasun haundirik. Halere, lortutako emaitzak sistemaren hasierako baldintzaren menpekoa ez zirela ikusteko, zenbait hasierako baldintza desberdin erabili genituen; eta emaitza koalitatibo berdinak lor genituen erabilitako baldintza guztiekin. Lehenengo denbora-tarteak erantzun irangankorra dira; sistemak energia oso azkar galduko du. Orduan, gauge-eremu eta eremu eskalarren arteko elkarrekintzak defektuak eratuko ditu. Atal honetan adierazitako emaitza guztiak ondoko hasierako baldintzak erabiliz lortu ditugu: φ ± = 0, A µ = 0 eta Ėi = 0; eta eremu eskalarrek zorizko abiadura dute. Aukera horrek Gauss-en legea betetzen du; eta simulazioan Gauss-en legea beteko dela ziurtatu dugu. Hasierako baldintza ezberdinei dagozkien eboluzioetarako Gauss-en legea behatuz, kodearen egonkortasuna bermatuko dugu. k

121 4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa irudia: β = 0.3 eta γ = 0.5 erabiliz, 64 3 neurritako kubo batean eginiko simulazioaren adierazpide grafikoa. a) irudian, φ + < 0.75 eta φ > 0.1 duten sare-puntuen kopurua adierazi ditugu, lerro marradun eta jarraituaren bidez, hurrenez hurren. b) irudian aldiz, sare-puntu bakoitzean eremu bakoitzaren moduluaren batura adierazi dugu, sare-puntu kopuru totalarekiko: x φ + (marradun lerroa), x φ (lerro jarraitua). Baitaere, 1 x V (x)/v max espresioaren balioak adierazi ditugu (puntudun lerroa), non V (x) energia potentziala den. 4.1 irudian simulazioen emaitzak adierazi ditugu. Hasierako denbora-tarteetan erantzun iragankorra dagoela ikus daiteke; sistemak energia barreiatuko du. Eremu eskalar biek balio ez-nuluak dituzte; zehazki, φ 0. Hasierako energia kinetikoaren zati bat energia potentzial bihurtu da; baina, ez da inolako egiturarik ikusi. Tarte iragankorra amaitutakoan, φ txikituz doa, oso azkar, φ 0 izan arte. Ikus daitekeenez, a) irudian, φ + < 0.75 eta φ > 0.1 betetzen duten sare-puntuen kopurua adierazi dugu, sare-puntu osoarekiko. Tarte iragankorra eta gero (t 15), ez dago punturik sarean φ > 0.1 betetzen duenik; bestalde, φ + eremuaren modulua 0.75 balioa baino handiagoa da ia edonon. Eremu eskalarrek energia potentziala minimizatzen saiatu beharko luteke, eta emaitza horren arabera, φ + eremua da minimizazioa lortzen saiatzen den bakarra. Honela, dirudienez, sistemak u = 0 balioa aukeratu du (4.20) norabide lauetako balio guztien artean. Aldiz, 4.1 b) irudian, 1 V (x) x V max espresioaren balioa adierazi dugu, non V (x) funtzioa x puntuko energia potentziala adierazi duen; eta V max balioa hau da: puntu guztietan φ ± = 0 dela emanik lortutako energia potentzialaren balioa. x φ +(x) eta x φ (x) adierazi ditugu baita ere, sare-puntuen kopuru totalarekiko. a) irudian ezezik, irudi horretan ere

122 114 Defektuak eredu supersimetrikoetan ikus daiteke tarte iragankorra eta gero φ zerorantz oso azkar doala; eta φ + 1 da ia edonon. Energia potentzialak φ + eremuaren jokaera jarraituko du zehatz mehatz; eta ez du φ funtziaren jokaerarekiko menpekotasunik. Horren arabera, energia potentzialaren minimizazioa φ + eremuak bakarrik lortuko du. 4.2 irudia: β = 0.3 eta γ = 0.5 balioetarako 64 3 neurriko simulazioaren emaitza t = 40 aldiunean. Ezkerreko irudian φ + eremuaren moduluaren sestra gainazalak adierazi ditugu, φ baliorako. Eskubian aldiz, 2 F ijf ij eremu magnetikoa adierazi dugu, neurtutako maximoaren %25 balioari dagokion sestra gainazalen bidez. Sistema ez dago puntu guztietan potentzialaren minimoan, sarean φ + < 0.75 betetzen duten puntuak baitaude. Horren arabera, φ + = φ = 0 duten puntuak daude; eta, agian, sokak eratuko zaizkigu sisteman. 4.2 irudian, φ + eremuaren moduluaren eta eremu magnetikoaren adierazpide grafikoak ikus daitezke, t = 40 aldiunerako, tarte iragankorra eta gero. Argi dago, φ + < 0.75 duten puntuek egiturak eratzen dituztela; sokak, hain zuzen ere. Eremu magnetikoaren metatzeak eremu eskalarren moduluaren jokaerari jarriatu dio zehatz-mehatz. φ erabiliz lortutako irudiak puntu guztietan φ 0 dela erakutsiko luke. Eremu magnetikoaren eta φ + moduluaren arteko adostasuna kodearen egonkortasunaren seinale da. β parametroaren zenbait baliotarako eginiko simulazioek (β = 0.1 baliotik β = 2.0 balioara) jokaera berbera erakutsi dute. Emaitza horien arabera, hasierako tarte iragankorraren ondoren, eremu eskalar bakarra da dinamikoa ((φ + ) eremua); eta bestea ((φ ) eremua) zerorantz doa oso azkar, puntu guztietan. Beraz, β = 1 baliorako lortutako emaitza analitikoa β 1 kasuetarako beteko dela ikusi dugu. Kasu guztietarako, sitemak u = 0 hutsa aukeratuko du. Dinamikatik

123 4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 115 at geratuko da φ eremua; eta funtsean, Higgs eremu trukakorra dugu. Beraz, sistemak Nielsen-Olesen zurrunbiloak eduki ditzake, gauge-eremua eta φ + eremuaren arteko elkarrekintzaren ondorioz sortuak N = 1 Supersimetria-apurketa biguneko masa-gaiak 4.2 atalean esan dugunez, supersimetria apurtuta egon behar da eskalaren batean, energia txikietan supersimetriarik ez baitago. Supersimetria apurtzeko aukeretako bat lagrangearrari supersimetria-apurketako masa-gai bigunak gehitzea da. Aukera hori komenigarria da, simetria-apurketa nola gertatuko den zehaztasunak behar ez ditugulako. Higgs eremuak masa hartuko du esplizituki; bestalde, higgsinoek masagabe izaten jarraituko dute. Horrela, supersimetria apurtuko dugu: multiplete bereko bi kideek masa desberdina baitute. Arestian jorratutako N =1 ereduan sortutako Nielsen-Olesen zurrunbiloei masa-gai berri horien eraginez gertatukoa aztertuko dugu. Ondoko Lagrangearra lortuko dugu (4.18) lagrangerarrari gai berriak gehituz: L = D µ φ D µ φ 2 1F 4 µνf µν λ ( φ+ 2 φ 2 η 2) 2 m φ + 2 m 2 φ 2. (4.46) Orain, sistemaren potentziala honako hau da V = λ 2 eta potentzialaren bi muturrak eta ( φ+ 2 φ 2 η 2)2 + m 2 + φ m 2 φ 2, (4.47) φ + = 0, φ = 0 (4.48) φ + 2 = η 2 m2 + λ, φ = 0 (4.49) puntuetan gertatuko dira. λη 2 < m 2 + denean, bigarren soluzioa ezin da gertatu; eta φ + = φ = 0 aukera bakarrik dugu. Berorie da kasu horretan sistemaren minimo bakarra. Ez dago berezko simetria-apurketarik, eta ez dira sokak eratuko. Oraingo honetan aurreko ataleko Nielsen-Olesen zurrunbiloa ez da aukeretako bat. Emaitza hori naturala da: Higgs eremua oso astuna bada, energiaren ikuspuntutik hobea baita Higgs eremu guztiak zero izatea.

124 116 Defektuak eredu supersimetrikoetan Beste alde batetik, λη 2 > m 2 + horretan: kasurako egoera desberdina da. Bi mutur ditugu kasu V (φ + = 0, φ = 0) = 1 2 η4 λ ; V ( φ + = η 2 m2 + λ, φ = 0) = m 2 + ( η m 2 ) +. (4.50) λ Potentzialaren bigarren deribatuak {φ + = 0, φ = 0} puntuan ondokoak dira: V ++ = 2(m 2 + η 2 λ) < 0, V + = 0, V = 2(η 2 λ + m 2 ) > 0, (4.51) non ± azpi-indizeek φ ± aldagaiekiko deribatuei dagozkien, hurrenez hurren. Bestalde, { φ + = η 2 m2 +, φ λ = 0} puntuan honako hau lortuko dugu V ++ = 4(η 2 λ m 2 + ) > 0, V + = 0, V = 2(m m2 ) > 0. (4.52) Beraz, potentzialaren minimoa { φ + = η 2 m2 + λ = 0} puntuan dago. Potentzialaren minimoen endekapena desagertu egin da: ez dugu norabide lauik, eta sokak φ + eremuan bakarrik agertu daitezke. Sistema eraldatu horrek u = 0 balioa aukeratuko du baita ere (4.20) huts-balio guztien artean; eta benetako Nielsen-Olesen zurrunbiloa dugu. Aurreko kasuan bezela, eremuak ez du zeresanik defektuak eratzerako orduan, eta m masaren balioa hutsala da sokarik eratuko den jakiteko. 4.4 N =2 QED supersimetrikoa Bosoiak 4.3 atalean deskribaturiko N = 1 eredua, mailaz igoko dugu N = 2 QED (Quantum ElectroDynamics) eredu supersimetrokora. N = 2 multiplete bektorial trukakorrari lotutako hipermultiplete bik osatuko dute eredu hori (ikus 4.2 atala). Greene, Morrison eta Vafa ikertzaileak aztertu zuten eredu hau [50]: II motako supersoken Calabi Yau kompaktifikazioaren energia-txikietarako akzio efektiborako eredu erraztzat hartu zuten. Konfigurazio magnetikoak aurkitu zituzten, zikloetan bildutako D branei esker. Energia txikirako teorian, zurrunbilo-magnetiko ez-topologiko baten bidez lotutako monopolo/antimonopolo bikote itxura hartuko dute konfigurazio magnetiko horiek; honela, konfinamendu magnetikoa lortuz.

125 4.4 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Bosoidarra 117 Baina [4] erreferentzian erakutsi zutenez, Fayet-Iliopoulos gairik gabe zurrunbilo horiek ez dira egonkorrak; eta, beraz, ezin dute konfinatu. Zurrunbiloak egonkortzeko nahian, Fayet- Iliopoulos D-gaia gehituko diogu sistemari. Akzio efektiboaren N = 2 supersimetriarekin bateragarri den aldaketa bakarra da hori. Frogatuko dugunez, ez-egonkortasuna modu nulu bihurtuko da kasu honetan, baina ez da nahikoa izango konfinamendua lortzeko. Wess-Zumino gaugean, eredu honen lagrangearra ondokoa da [88] non L = L gauge + L matter + L interaction, (4.53) L gauge = 1 2 ( µm) ( µn) 2 + i 2 λ i γ µ µ λ i 1 4 F µν F µν D 2 ; L matter L interaction = 1 2 Dµ h i a D µh ai + i ψ a γ µ D µ ψ a + F i a F ai ; = i q a ha i λ i ψ a i q a ψa λ i h ai q a ψa (M γ 5 N) ψ a 1 2 h a i (M2 + N 2 ) h ai q a ha i τ j i D h aj. (4.54) Hipermultiplete ezberdinak izendatu ditu a indizeak; eta q a dagozkien kargak dira (q a = +q, q). ha i = h ai moduan definitu dugu. Deribatu kobarianteak honako hauek dira: D µ h ai = ( µ + i q a A µ ) h ai. (4.55) Eredua aldaezina da multiplete bakoitzean h ia eremu eskalarrak bata bestean biratuko dituen SU(2) simetria globalarekiko. (4.54) lagrangearrean Fayet-Iliopoulos D-gai hirukotea gehitu dugu baita ere, hots, k D. Orokortasuna galdu gabe, k = (0, 0, 1 2 q ω2 ) aukeratu dezakegu: horrek SU(2) simetria apurtuko du. Halere, beste SU(2) simetria dago sisteman, (h 11 eta h 22 ) eta (h 12 eta h 21 ) bikoteen artekoa; eta D-gaia gehitutakon simetria hori ez da apurtuko. Eremu laguntzaileak ordezkatu ondoren, eta hutsean itxarotako balioa nulua duten eremuak arbuiatu ondoren, eredua nahiko samurtuko dugu. Eremuen eta aldagaien eskala aldatuz, hau da, h ij ωh ij, x µ x µ /ωq eta A µ ωa µ definituz, (4.54) lagrangearra ondoko eran idatzi dezakegu: L = 1 2 Dµ h i ad µ h ai + i ψ a γ µ D µ ψ a + i 2 λ i γ µ µ λ i 1F µν F 4 µν + iˆq a ha λ i i ψ a iˆq a ψa λ i h ai ( 1 2 H 1 1 H ) 1 2 ( ) 1 2 H 1 2 H ( ) ih 1 2 ih1 2 2 (4.56)

126 118 Defektuak eredu supersimetrikoetan non ˆq a = q a /q, D µ = µ + iˆq a A µ eta H i j = (ˆq a/2)h i a h aj N = 2 kasurako huts-aukeratzearen efektua Atal honetan, (4.56) ereduko zurrunbiloen huts-aukeratzearen efektua aztertuko dugu. Zurrunbilo zuzen eta estatikoaren energia ondoko hau da [ 2E ω = Ẽ = d 2 x D 2 µ h D µ h D µ h D µ h B2 +(H 1 1 H /2) 2 + (H H 2 1 ) 2 + (i H 1 2 i H 2 1 ) 2]. (4.57) r denean energia finitua izan dadin, D µ h ai = 0 izan behar dela ikusiko dugu. Horrek espazioko infinituan multipleteen faseak korrelazioan jarriko ditu; hau da, h a e inqaθ erlazioa bete beharko da. Gainera, A θ dθ ndθ (4.58) erlaziotik eremu magnetikoaren fluxuaren kuantizazioa lortuko dugu. Kontuan hartu gure konfigurazioaren kasuan, B < 0 dugula n = 1 denean. Energia finitu izatearen baldintza erabiliz, eskalarrak huts-barietatean egon behar direla ikusiko dugu baita ere; hau da, H 1 2 = H 2 1 = 0 eta H 2 2 H 1 1 = 1 2. Eremu eskalarrak h ai = r ai e i χ ai eran idatziz gero, moduan idatziko dugu lagrangearra. χ 11 χ 12 = χ 21 χ mπ, (4.59) r 11 r 12 r 21 r 22 = 0, (4.60) (r 11 ) 2 + (r 22 ) 2 (r 12 ) 2 (r 21 ) 2 = 1 (4.61) Gauge-eremuaren masa r r r r2 22 da. huts-aukeratzearen efektua kasu honetan ere gertatzen bada, orduan, (4.60,4.61) ekuazioak kontutan hartuz, masa horren minimizazioak h 12 = h 21 = 0 emaitza aurresango du. Berau benetan gertatuko dela frogatzeko, berridatzi dezagun energia ondoko eran [ [B E = d 2 x + (H 1 1 H )]2 + (H2 1 + H 1 2 )2 + (i H2 1 i H 1 2 )2 +

127 4.4 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Bosoidarra 119 (D 1 + id 2 )h (D 1 id 2 )h (D 1 + id 2 )h (D 1 id 2 )h 22 2] d 2 xb, (4.62) 1 2 eta lortu ditzagun hortik Bogomol nyi-ren ekuazioak: (D 1 + id 2 )h 11 = 0, (D 1 id 2 )h 22 = 0 ; (4.63) (D 1 id 2 )h 12 = 0, (D 1 + id 2 )h 21 = 0 ; (4.64) H 2 1 = H 1 2 = 0 ; (4.65) B + [H 1 1 H /2] = 0. (4.66) Oharra: H 2 1 = 0 dela kontuan hartuz, D + H 2 1 = 0 izan behar da; eta hori betetzeko, D + h 11 = D + h 12 = D +h 21 = D + h 22 zeinuen aukera ez da hautazkoa. = 0 gertatu behar da; beraz, gradiente-gaietako ± Hipermultiplete eskalarren ardatz-simetriako konfigurazio orokorrena ondokoa da [4] ( ) h11 (r) h 1 e iθ, h 12 (r) ( ) h21 (r) h 2 e i e iθ ; h 22 (r) A θ = a(r), A r = 0. (4.67) Bogomol nyi-ren ekuazioen analisia egiteko, (h 11, h 21 ) eta (h 22, h 12 ) bikoteak aurreko ataleko N =1 ereduko (h 11, h 21 ) eremu bikoteen joera berbera dutela konturatzearekin nahikoa da: beren karga ±1 da, eta (4.66) ekuazioko kortxetean +1, -1 zeinuarekin daude. Beraz, (4.64) betetzeko aukera bakarra honako hau da h 12 = h 21 = 0. (4.68) Emaitza honek (4.65) ekuazioa zuzenean beteteko du. Konfigurazio horiek bektorearen masa minimizatuko dute; eta, kasu horretan, huts-aukeratzea gertatuko dela ondorioztatuko dugu (ohar gaitezen bigarren hipermultipletea kenduz gero, huts-aukeratzearen efektuak zurrunbilo topologikoa emango duela h 11 eremuan [39, 43, 59]). Horrela, (4.63), (4.66) ekuazioak geratuko zaizkigu, eta horiek eredu erdilokalaren Bogomol nyi-ren ekuazioak dira [92] hain zuzen ere, (h 11, h 22 ) eremu-bikoterako. Soka horiek

128 120 Defektuak eredu supersimetrikoetan [45, 49, 55] lanetan aztertu dituzte; eta 1.3 atalean deskribatu ditugunez, hemen emaitzak baino ez ditugu aipatuko. n = 1 kasurako, (4.67) ansatz-aren osagai ez-nulu bakarrak ( h11 h 22 ) ( ) f(r)e iθ = g(r)e i (4.69) dira (SU(2) biraketak salbu), non, f(r) eta g(r) funtzio errealak diren: f(0) = 0, f( ) = 1 eta g(0) 0, g( ) = 0 muga baldintzak beteko dituztenak. Funtzio hauek atalean lortutako eredu erdilokaleko profilak dituzte. Bi funtzioak erlazionatuta daudela ikus genuen atal horretan: g(r) = q 0 f(r) r, (4.70) non q 0 soluzio ezberdinak izendatuko dituen parametroa den. q 0 bakoitzerako, a(r) gauge- -eremua (D 1 + id 2 )h 11 = 0 baldintzatik askatuz lor daiteke. g funtzioak biribilkapenik ez duenez, muinean kondentsatu eskalarra dugu; hots, g(0) 0. Ohartu gaitezen baita ere h 11 eta h 22 eremuen arteko SU(2) transformazioak ez direla N = 2 supersimetriak emandakoak, hipermultiplete desberdineko osagaiak erlazionatuko baititu. Modu nuluak ez du simetria global bi horiekiko menpekotasunik, infinituko muga- -baldintzak ez baititu aldatuko atalean ikusi dugunez, zabalera desberdineko zurrunbilo magnetikoko multzo uniparametrikoa dago: Nielsen-Olesen zurrunbilotik hasi (q 0 = 0 kasua) eta zurrunbiloaren muinaren zabalkuntza mugagabea izateraino (q 0 kasua). Azkenik, potentzialaren norabide lau bati dagokio modu nulua: bektorearen masa beti minimoa den norabideari. Hortaz, huts-aukeratzearen efektuak ez du Nielsen-Olesen soluzioa aukeratuko beste zurrunbilo zabalagoen artean. Izan ere, erradio geroz eta handiagoko fluxu-hodietarantz joko du sistemak [66]. Ondorioz, eredu horretan fluxu magnetikoa ez da konfinatuko neurri zehatzeko hodietan. Ikuspuntu kosmologikorako, zabalera infinituko hodiranzko erlajazioaren denbora-eskala oso garrantzitsua da, baina lan honetatik kanpo dago analisi hori; halere, argi dago bortoien eraketa ez dela emango.

129 4.4 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Bosoidarra N = 2 Supersimetria-apurketa bigunerako masa-gaiak Atal honetan, aurreko atalean ikertutako ereduaren Higgs eskalarrei supersimetria apurtzen duten masa-gai bigunak gehituko dizkiegu, eta lortutako zurrunbiloak aztertu (ikus atala). Sistemaren energia (eskala aldaketarik gabe) ondoko hau da [ E = d 2 x 1 D 2 µ h D µ h D µ h D µ h B2 +(H1 1 H2 2 + η2 2 )2 + (H2 1 + H1 2 ) 2 + (i H2 1 i H 2 1 ) 2 +m 2 11 h m 2 12 h m 2 21 h m 2 22 h 22 2, (4.71) non, (4.56) lagrangearraren moduan, D µ = µ + i(q a )A µ den ( q a = +q, q) eta H i j = (q a /2) h ai h aj. Notazioa erraztearren η 2 = q ω 2 definitu dugu. Jatorrizko ereduak, SU(2) simetria du U(1) gauge-simetriaz gain, (h 11 eta h 22 ) eta (h 12 eta h 21 ) beren artean erlazionatuko dituena. Soka erdilokalak lortzearen arrazoia zen simetria hori. Beraz, m 11 m 22 masa desberdinak gehitzean Nielsen-Olesen zurrunbiloak lortzea espero dugu, masa desberdinek SU(2) simetria apurtuko baitute. Eremu eskalarrak h ai = r ai e iχ ai moduan idatziz, potentziala honela idatzi daiteke V = 1 ( ( r r r2 12 r η2)2 + 4r11 2 r r2 21 r (r 11 r 12 r 21 r 22 cos(χ 11 + χ 22 χ 12 χ 21 ) ) ) ( m 2 11 r m2 12 r m2 21 r ) m2 22 r2 22. (4.72) Potentzialaren minimoa lortzeko, cos(χ 11 +χ 22 χ 12 χ 21 ) maximizatu behar dugu; bada, χ 11 +χ 22 χ 12 χ 21 = 0 mod 2π izan behar da. Huts-barietatea kalkulatzeko, (4.72) V -ren δv bariazioa egin behar dugu eremu guztiekiko; hau da, δr ai lortuko ditugu: = 0, eta ondoko mutur hauek r 2 11 = η2 2m 2 11, r 12 = r 21 = r 22 = 0 ; (4.73) r 2 12 = η2 2m 2 12, r 11 = r 21 = r 22 = 0 ; (4.74)

130 122 Defektuak eredu supersimetrikoetan r 2 21 = η2 2m 2 21, r 11 = r 12 = r 22 = 0 ; (4.75) r 2 22 = η2 2m 2 22, r 11 = r 12 = r 21 = 0 ; (4.76) r 11 = r 12 = r 21 = r 22 = 0, (4.77) masa guztiak desberdinak direnean. r 12 0 eta r 21 0 dituzten soluzioek balio ez dutela ikus dezakegu; hortaz, bakarrik hiru minimo izan ditzakegu. Potentzialaren bigarren deribatuak aztertuz, minimoa gertatu daitekeen hiru egoera aurkituko ditugu: Eremuen masak η 2 baino handiagoak badira (η 2 < 2m 2 11, 2m2 22 ), potentzialaren minimoa r ij = 0 puntuan emango da; eta, beraz, ez dugu zurrunbilo posiblerik izango. Beste bi minimoak r 11 edo r 22 eremuetarako Nielsen-Olesen zurrunbiloei dagozkie; eta, m 11 eta m 12 masen balioen arabera, batean ala bestean eratuko dira. m 2 11 < m2 22, η2 2 kasurako Nielsen-Olesen zurrunbiloa h 11 eremuan eratuko da. Bestalde, m 2 22 < m2 11, η2 2 kasuan, h 22 eremuan. m 11 = m 22 < η 2 /2 kasu berezia da, h 11 eta h 22 eremuen arteko SU(2) simetria ez baita apurtu, eta aurreko ataleko soka erdilokalak berreskuratuko ditugu. Kasu horretan, minimoak r r 2 22 = η 2 2m 2 11 (4.78) dira, soluzio-familia osoa dugu [55]; horietako bat Nielsen-Olesen soka da. Hortaz, m 11 m 22 masen balioen arabera kasu desberdinak ditugula ondoriozta dezakegu: sokarik eratuko ez direla; soka erdilokalak eratuko direla; eta sistemak h 11 edo h 22 eremuetan Nielsen-Olesen zurrunbilo egonkorrak eratu ditzakela. 4.5 N =2 QED supersimetrikoa Fermioiak atalean aztertutako N = 2 QED eredu supersimetrikoari dagozkion modu nulu fermioidar erako soluzioak ikertuko ditugu. Ikusi dugunez, sektore bosoidarrean, huts-aukeratzearen efektuaren bidez zenbait huts aukeratuko dira huts poible guztien artean; baina, efektua ez da nahikoa konfinamendu magnetikoa lortzeko. Sektore fermioidarrak

131 4.5 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Fermioidarra 123 huts-aukeratzea aldatu dezakeen ikusi nahi dugu; eta, agian, konfinamendua lortu. Soluzio horiek higidura-ekuazio fermioidarrak askatzen lor daitezke; orokorrean, zailtasun handiko lana dena. Baina gure eredua supersimetrikoa denez, soluzio bosoidarren transformazio supersimetrikoak emango dizkigu hainbat modu nulu fermiodar zuzenean [32]. Prozedura honek sokaren zeharreko planoan estatiko diren soluzioak emango dizkigu, eta gero t eta z aldagaiekiko menpekotasuna ezarriko dugu. Modu nulu erako soluzioei buruz hitz egitean zera esan nahi dugu: akzioa aldaezin utziko duten soluzioak edo konfigurazio estatikoetan, energia aldaezin utziko dutenak, gauza berbera baita eta beren higidura-ekuazioak beteko dituztenak. Konfigurazio jakin baten transformazio supersimetrikoak energia aldaezin utziko du. Are gehiago, transformatuko dugun konfigurazioa higidura-ekuazio bosoidarren soluzio da; eta, beraz, transformazio horren bidez lortutako fermioiek beren higidura-ekuazioak automatiokoki beteko dituzte. Hortaz, higidura-ekuazio bosoidarrak betetzen dituzten konfigurazio bosoidar estatikoen supersimetria-transformazioen bidezko modu-fermiodarrak modu nulua dira zuzenean. Hurrengo atalean, arestian aipatutako transformazio-supersimetrikoa erabiliko dugu modu nulu fermioidarrak esplizituki lortzearren. Huts-aukeratzearen efektua ez dutela aldatuko ikusiko dugu; baina, halere, defektuaren muinean nuluak ez diren eskalar eremuei lotutako fermioiak lortuko ditugu, harrigarria dena atalean modu nulu fermioidarrei dagozkien higidura-ekuazioak aztertuko ditugu, eta kondentsatu eskalarrei lotutako moduak ulertzen saiatuko gara Modu nulu fermioidarrak Gure sistemaren fermioi-edukia 1 honako hau da: hipermultipleteetatik datozen bi higgsino (ψ 1 eta ψ 2 bi Dirac-fermioi), eta multiplete bektorialetik datozen bi gaugino (λ 1 eta λ 2 bi Majorana-fermioi sinplektikoak). N =1 supersimetriaren hizkuntza erabiliz, ondoko hauek dira gauginoak: N =1 multiplete bektorialaren gauginoa eta multiplete kiral neutroaren higgsinoa (neutroa multiplete bektorialarekiko). Supersimetria-sortazile biak (ξ α(1), ξ α(2) ) nahastatu egingo ditugu ǫ 1, ǫ 2 1 Ikus A eranskina hitzarmenak jakiteko.

132 124 Defektuak eredu supersimetrikoetan Majorana-fermioi sinplektikoak lortzeko: ( ) ( ) i ξα(2) i ξα(1) ǫ 1 =, ǫ 2 =. (4.79) ξ α(1) ξ α(2) Aztertu nahi dugun ereduaren lagrangearra (4.56) ekuazioak emandakoa da, ondoko supersimetria-transformazioekiko aldaezina dena [4, 88] δh ai = 2 ǫ i ψ a ; δψ a = i ǫ i F ai (i γ µ D µ + M + γ 5 N) ǫ i h ai ; δf ai = 2 ǫ i (γ µ D µ + i M i γ 5 N)ψ a 2 ǫ j λ j h ai ; δa µ = i ǫ i γ µ λ i ; δm = i ǫ i λ i ; δn = i ǫ i γ 5 λ i ; δλ i = i 2 σµν ǫ i F µν γ µ µ (M + γ 5 N) ǫ i i ǫ j τ i j δ D = ǫ i τ i j γ µ µ λ j. (4.80) D ; Erabil ditzagun (4.80) ekuazioak hondoan ataleko soka bosoidar erdilokala duen sistemaren transformazio supersimetrikoa kalkulatzeko. Transformazio ez-nulua duten eremu bakarrak fermioiak dira, bosoiak fermioi bihurtuko baitira; eta horiek, nuluak dira hondoko konfigurazioan. Gure hitzarmenen arabera (A eranskina) ( 0 ) σ µ γ µ = σ µ 0, (4.81) non σ µ = (1, σ), σ µ = (1, σ) eta σ i Pauli-matrizeak diren. Higgisnoak eta gauginoak era esplizituagoan idatz daitezke, honela hain zuzen: δψ (1) = i [ ( (D1 id 2 )h 11 γ 1 + iγ 2) ( ǫ (1) + (D 1 + id 2 ) h 12 γ 1 iγ 2) ǫ (2)] ; 2 δψ (2) = i [ ( (D1 + id 2 ) h 22 γ 1 iγ 2) ( ǫ (2) + (D 1 id 2 )h 21 γ 1 + iγ 2) ǫ (1)] ; 2 δλ (1) = γ 1 γ 2 ǫ (1) B i ( H 1 1 H ) ǫ (1) ; δλ (2) = γ 1 γ 2 ǫ (2) B + i ( H 1 1 H ) ǫ (2), (4.82)

133 4.5 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Fermioidarra 125 non (4.63,4.64,4.65,4.66) Bogomol nyi-ren ekuazioak erabili ditugun; hau da, (D 1 + id 2 )h 11 = 0, (D 1 id 2 )h 22 = 0 ; (D 1 id 2 )h 12 = 0, (D 1 + id 2 )h 21 = 0 ; H 2 1 = H 1 2 = 0 ; B + [H 1 1 H /2] = 0. (4.83) Ondoko ekuazioen arabera definitu ditugu D i eragileak: D j = j + ia j on h 11, h 12 ; D j = j ia j on h 21, h 22. (4.84) Sokak 1 -BPS asetuak izatea espero dugu [103] (ikus atala); beraz, saia gaitezen 2 supersimetria-transformazioaren zati apurtua eta ez-apurtua lortzen, i.e., lor ditzagun modu nulu fermioidarrak. Ondoko proiektoreak erabili ditzakegu horretarako ( P ± ± iγ 1 γ 2), (4.85) eta gure hitzarmenen arabera, P + diag(1, 0, 1, 0), P diag(0, 1, 0, 1). (4.86) Proiektore horiek, P 2 ± = P ± = P ± eta P ± P = 0 propietateak betetzeaz gain, ondoko propietateak beteko dituzte: γ 1 P ± = P γ 1 ; γ 2 P ± = P γ 2 ; P ± γ 1 = ±ip ± γ 2. (4.87) Funtsean, γ 5 matrizearen bertsio bi-dimentsionala da iγ 1 γ 2 konbinazioa,, sokaren zeharkako planoan jardungo duena. Fermioiei proiektore horien bidez eraginez ondoko adierazpenak lortuko ditugu: P + δψ (1) δψ (1)+ = i (D 1 id 2 ) h 11 γ 1 P ǫ (1) = 2iD 1 h 11 γ 1 P ǫ (1) ; P δψ (1) δψ (1) = i (D 1 + id 2 )h 12 γ 1 P + ǫ (2) = 0 ; P + δψ (2) δψ (2)+ = i (D 1 id 2 ) h 21 γ 1 P ǫ (1) = 0 ; P δψ (2) δψ (2) = i (D 1 + id 2 )h 22 γ 1 P + ǫ (2) = 2iD 1 h 22 γ 1 P + ǫ (2), (4.88)

134 126 Defektuak eredu supersimetrikoetan eta P + δλ (1) δλ (1) + = i ( B + H 1 1 H ) P + ǫ (1) = 0 ; P δλ (1) δλ (1) = i ( B H H 2 2 1) P ǫ (1) = 2iBP ǫ (1) ; P + δλ (2) δλ (2) + = i ( B H H 2 2 1) P + ǫ (2) = 2iBP + ǫ (2) ; P δλ (2) δλ (2) = i ( B + H 1 1 H ) P ǫ (2) = 0. (4.89) δψ (1) eta δψ (2)+ fermioiak BPS egoeretarako nuluak izatearen arrazoia, (4.68) huts-aukeratzearen efektuan datza. h 12 = h 21 = 0. (4.90) Argi ikus daitekeenez, P ǫ (1) eta P + ǫ (2) sortzaileek modu nulu fermioidarrak sortuko dituzte; bestalde P + ǫ (1) eta P ǫ (2) apurtu gabeko supersimetrien sortzaile dira. Ohartu gaitezen bi kiralitateko modu nulu fermioidarrak ditugula, N =2 supersimetria ez-kirala baita Higidura-ekuazio fermioidarrak Atal honetan, modu nulu fermioidarren egitura aztertuko dugu, beren higidura-ekuazioak zuzenean aztertuz, supersimetriarik erabili gabe. Bi-espinore notazioa erabiliko dugu: ) ) ) ) δψ (1) ( φα(1) χ α (1), δψ (2) ( φα(2) χ α (2), δλ (1) ( iλα(2) Λ α(1), δλ (2) ( iλα(1) Λ α(2) (4.91) Ondoko eran definitu daitezke proiektoreak i-espinore notazioan ( ) ( ) σ + =, σ =. (4.92) Notazio horretan, arestian aurkitutako modu nuluak ondoko hauek dira φ α(1) = 2iD 1 h 11 σ 1 σ ξ α(1) ; χ α(1) = 2D 1 h 11 σ 1 σ ξ α(2) ; φ α(2) = 2iD 1 h 22 σ 1 σ + ξ α(2) ; χ α(2) = 2D 1 h 22 σ 1 σ + ξ α(1) ; Λ α(1) = 2iBσ + ξ α(1) ; Λ α(2) = 2iBσ ξ α(2), (4.93).

135 4.5 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Fermioidarra 127 non h 11, h 22 eta B eremuek (4.83) ekuazioak beteko dituzten. Egin dezagun (4.56) lagrangearraren bariazioa higidura-ekuazio fermioidarrak lortzeko, zurrunbilo bosoidarraren hondoa erabiliz. Gogoratu hondoko zurrunbilorako Bogomol nyiren ekuazioak (4.83) direla; eta huts-aukeratzearen efektuak h 12 = h 21 = 0 aukertu duela. Eremu bosoidar guztiek ez dute t edo z aldagaiekiko menpekotasunik. Orduan, higidura-ekuazio fermioidarrak ondoko hauek dira: ( σ µ ) D µ φ (1) Λ (1) h 11 = 0 ; (σ µ ) D µ χ (1) + iλ (2) h 11 = 0 ; ( σ µ )D µ φ (2) + Λ (2) h 22 = 0 ; (σ µ ) D µ χ (2) + iλ (1) h 22 = 0 ; (σ µ ) µ Λ(1) + h 11 φ (1) + iχ (2) h 22 = 0 ; (σ µ ) µ Λ(2) h 22φ (2) + iχ (1) h 11 = 0. (4.94) z aldagaiarekiko menpekotasunik ez duten (4.93) konfigurazio estatikoek ekuazio horiek betetzen dituztela froga daiteke. Aztertu dezagun φ (1) eremuaren (4.94) higidura-ekuazioa α = 1 kasurako (t, z) aldagaiekiko menpekotasuna lortzeko asmoz: ( σ µ ) 1α D µ φ α(1) Λ 1(1) h 11 = 0 ( σ µ ) 1α D µ φ α(1) = 0 ( σ 0 ) 11 D 0 φ 1(1) + ( σ 3 ) 11 D 3 φ 1(1) = ( 0 3 )φ 1(1) = 0 φ (1) t + z. (4.95) Gainontzeko (4.94) ekuazioen analisia burutuz, hiru fermioi (t z) konbinazioaren funtzio direla ikusiko dugu; eta horrenbestez, z norabide positiboan higituko dira. Beste hirurak z norabide negatiboan higituko dira, (t + z) konbinazioaren funtzio baitira: φ α(1), χ α(2), Λ α(1) t + z ; φ α(2), χ α(1), Λ α(2) t z. (4.96) Fermioiak aurkako norazkotan higitzea ez da harrigarria, N = 2 supersimetria berez ez- -kirala baita; eta eredu honetan ez baitugu apurtu. Izan ere, t + z menpekotasuna duten fermioiak ξ (1) sortzailearekiko proportzionalak dira; eta besteak ξ (2) sortzailearekiko.

136 128 Defektuak eredu supersimetrikoetan (t, z) aldagaiekiko menpekotasuna dakigunez, modu nuluen (r, θ) menpekotasuna kalkulatu behar dugu. Hondoko soka konfigurazioak, (4.69) familiak osatutakoa da; hots, ( ) ( ) h11 f(r)e iθ =, (4.97) g(r)e i h 22 eta g(r) = q 0 f(r) r. (4.98) Familia osoaren artean Nielsen-Olesen soka aukera dezakegu h 22 =0 eginez; horrek, (4.94) ekuazioetako sei Weyl-fermioietatik bi ezereztatuko ditu: φ (2) = χ (2) =0. Egoera hori [59] erreferentzian aztertu zuten, eta guk emaitza berdinak lortu ditugu. Are gehiago, supersimetria-sortzaile bietatik bat kenduz gero, Nielsen-Olesen soka berreskuratuko dugu, baina fermioiak kiralak izango dira; eta noranzko batean bakarrik higituko dira [32]. Horiek gure emaitzen egiaztapenak dira. Egoera aldatu egingo da h 22 0 denean. φ (2) eta χ (2) fermioiak h 22 eremuari lotuta daude; eta h 22 eremua ez da nulua r = 0 puntuan (gogora dezagun orokorrean g ez dela nulua izango sokaren muinean). Hori harrigarria iruditu dakiguke: askotan esan ohi denez, soken muineko modu nulu fermioidarren zergatia da fermioiei dagozkien bosoiak muinean nuluak direla. (4.97) ansatz-a erabili nahi dugu fermioi horiek idazterakoan. Koordenatu polarrak erabili ditugunez, σ 1 eta σ 2 matrizeen eginkizuna σ r eta σ θ matrizeek beteko dute (ikus A eranskina): ( ) 0 φ (2) = 2i r g(r) e iθ ; ξ 1(2) ( ) ξ 2(1) χ (2) = 2 r g(r) e iθ, (4.99) 0 non = 0 aukeratu dugun. 4.3 irudian ikus daitekeenez, biak zerorantz doaz r = 0 puntuan. Bi fermioi hauek biribilkapena duten bakarrak dira, beste higssinoak honela idatziko baititugu: φ α(1) = 2i r f(r) ( ǫ 2(1) 0 ) ;

137 4.5 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Fermioidarra 129 χ α(1) = 2 r f(r) ( ǫ2(2) ) 0. (4.100) f (r) r g (r) r 4.3 irudia: (4.97) eta (4.98) ekuazioek emaniko f(r) eta g(r) funtzioen deribatuen profilak, q 0 parametroaren balio ezberdinetarako. Higidura-ekuazio fermioidarrak aztertzearren; eta kondentsatu eskalarraren eta fermioien arteko lotura ulertzearren, (4.94) Dirac-en ekuazioak bigarren ordenako ekuazio bihurtuko ditugu. Horretarako σ D eta σ D eragileak erabiliko ditugu, non σ D = σ 1 D 1 + σ 2 D 2 eta σ 1,2 = σ 1,2 diren, ondokoa ekuazioak lortuz: ( + σ 3 B + h 11 2 )φ (1) + ih 11 h 22 χ (2) (σ D)h 11 Λ(1) = 0 ; ( + σ 3 B + h 22 2 )χ (2) ih 11 h 22 φ (1) + i(σ D)h 22 Λ (1) = 0 ; ( + h h 22 2 ) Λ (1) + ( σ D)h 11 φ (1) + i( σ D)h 22 χ (2) = 0 ; ( σ 3 B + h 22 2 )φ (2) ih 11 h 22 χ (1) + (σ D)h 22 Λ(2) = 0 ; ( σ 3 B + h 11 2 )χ (1) + ih 11 h 22 φ (2) + i(σ D)h 11 Λ (2) = 0 ; ( + h h 22 2 ) Λ (2) ( σ D)h 22φ (2) + i( σ D)h 11 χ (1) = 0. (4.101) Lau-fermioi notzioan bezela (4.5.1 atala), bi-proiekzio eragileak erabiliko ditugu kasu honetan. Edozein Ψ bi-espinoretarako, Ψ ± proiektatutako bi-espinoreak Ψ ± σ ± Ψ moduan definituko ditugu, non σ ± (4.92) ekuazioan definitu ditugun. Apurtu gabeko supersimetriari dagozkion fermioiak dira (4.101) ekuazioen erdia; hots, ondoko hauek: ( B + h 11 2 )φ (1) + ih 11 h 22 χ (2) = 0 ;

138 130 Defektuak eredu supersimetrikoetan ( B + h 22 2 )χ (2) ih 11 h 22 φ (1) = 0 ; ( + h h 22 2 ) Λ (1) + = 0 ; ( B + h 22 2 )φ (2)+ ih 11 h 22 χ (1)+ = 0 ; ( B + h 11 2 )χ (1)+ + ih 11 h 22 φ (2)+ = 0 ; ( + h h 22 2 ) Λ (2) = 0. (4.102) Ekuazio horiek modu honetara uler ditzakegu: fermioiek posizioaren menpekotasuna duten masa (karratua) dute; zeren eta diagonalizatu eta gero, sei ekuazio horiek Ψ+M 2 Ψ = 0 eran idatziko ditugu, non M 2 = diag( B + h 2, B, h 2, B + h 2, B, h 2 ), (4.103) eta h 2 = h h 22 2 diren. Ohar gaitezen M 2 matrizea ez dela fermioien masa-matrizearen karratuaren berdina, deribatuak dituzten gaiak daudelako (bereziki, M 2 matrizean eremu magnetikoa agertuko zaigu; eta gauge-aldaezina da). Matrize biak berbera dira, noski, hondo bosoidar konstantetarako. Egiaztapen gisa, muinetik hurrun fermioien masak berreskuratuko ditugu. Hain zuzen ere, B 0, h 11 1 eta h 22 0 dira r doanean; eta diagonaleko gaiak (1, 0, 1, 1, 0, 1) izango dira, kiralitate bakoitzeko higgsinoari, goldstinoari eta gauginoari dagozkienez. Gogra dezagun erabiltzen ari garen signatura (+,,, ) dela. Sokaren zeharreko planoko laplacearra = 2 da. Beraz, denborarekiko independente diren Schrödinger-en ekuazio dira (4.102) ekuazioak, (r, θ) aldagaietan; eta, enegia nuluko egoeren bila gabiltza. Nabaria denez, potentziala positiboa bada puntu guztietarako, ez dago energia nuluko egoera propiorik. (4.103) ekuazioetako M 2 funtzioak positiboak dira puntu guztietarako; eta, beraz, ez dago (4.102) ekuazioen soluzio normalizagarririk. Ekuazio horiek Ψ eremuaz biderkatuz eta zatikako integrazioa eginez ikusiko dugu: [ Ψ 2 Ψ + M 2 Ψ Ψ ] [( Ψ) = M 2 Ψ 2] = 0. (4.104) Beraz, fermioien osagai horiek guztiak zuzenean nuluak dira beren higidura-ekuazioak direla eta. Emaitza hori supersimetria-transformazioak erabiliz lortutako (4.94) soluzioekin bat dator.

139 4.5 N =2 QED supersimetrikoa Sektore Fermioidarra 131 Ekuazioen beste erdia ondoko hauek dira: ( + B + h 11 2 )φ (1)+ + ih 11 h 22 χ (2)+ 2σ 2 Λ(1) D 2 h 11 = 0 ; ( + B + h 22 2 )χ (2)+ ih 11h 22φ (1)+ + 2iσ 2 Λ(1) D 2 h 22 = 0 ; ( + h h 22 2 )σ 2 Λ(1) 2φ (1)+ D 2 h 11 2iχ (2)+D 2 h 22 = 0 ; ( + B + h 22 2 )φ (2) ih 11 h 22 χ (1) + 2σ 2 Λ(2) + D 2 h 22 = 0 ; ( + B + h 11 2 )χ (1) + ih 11 h 22 φ (2) + 2iσ 2 Λ(2) + D 2 h 11 = 0 ; ( + h h 22 2 )σ 2 Λ(2) + + 2φ (2) D 2 h 22 2iχ (1) D 2 h 11 = 0, (4.105) non, berriro ere, (4.83) Bogomol nyi-ren ekuazioak erabili ditugun. Ekuazio horiek mihiztatutako hiru ekuazioz osotutako multzo bi dira 2 ; eta lortutako masa- -matrizeak diagonalizatu nahi ditugu: φ (1)+ B + h 11 2 ih 11 h 22 2D 2 h 11 χ (2)+ + ih 11h 22 B + h iD 2 h 22 σ 2 Λ(1) φ (2) χ (1) σ 2 Λ(2) + + 2D 2 h 11 2iD 2 h 22 h h 22 2 B + h 22 2 ih 11 h 22 2D 2 h 22 ih 11h 22 B + h iD 2 h 11 2D 2 h 22 2iD 2 h 11 h h 22 2 φ (1)+ χ (2)+ σ 2 Λ(1) φ (2) χ (1) σ 2 Λ(2) + = 0 (4.106) = 0 (4.107) Kalkulua errazteko, lehenengo multzoa soilik aztertuko dugu. Ekuazioen analisi osoa korapilatsua da; eta lehenengo, familia erdilokalaren kide bat, Nielsen-Olesen soka, ikertuko dugu. Kasu honetan q 0 = 0 da; beraz, h 22 = 0. χ (2)+ eta φ (2) espinoreak ez daude beste espinoreekin lotuta; eta beren masa karratua B da, sokaren muinean negatiboa dena eta infinituan nulua. Hortaz, h 22 eremuarekin lotuta dagoen fermioia ez du masa nulua muinean, baizik eta masa negatiboa. Diagonalizatu eta gero, beste masa (karratu) gaiak hauek dira: ( s ± = 1 B + 2 h ± ) B D 2 h 11 D 2 h 11, (4.108) eta φ (1)+ eta σ 2 Λ(1) eremuen konbinaketa linealei dagozkie. r = 0 puntuan, masa horienn zeinuak +, dira, hurrenez hurren. Infinitoan, masak 1, 1 dira; eta masa egoera-propioak 2 Ohar gaitezen ekuazio-multzo bakoitza kiralitate jakin bateko eta supersimetria-sortziale bakarrak emandako fermioiei dagozkiola.

140 132 Defektuak eredu supersimetrikoetan espinore hutsak dira (elkarrekin konbinatu gabekoak). Hortaz, hiru balio-propioen zeinuak honela adieraz ditzakegu: zeinua r 0 r B 0 (4.109) s s 0 Aurreko argudio berbera erabiliz, (s + ) balioari dagokion fermioi-konbinaketa nulua da puntu guztietarako, bere masa karratua positiboa baita puntu guztietan. Beraz, bi fermioi ditugu soilik: bata h 22 eremuari lotuta dagoen higgsinoa; eta, bestea, higgsinoaren eta gauginoaren konbinaketa. q 0 0 kasu orokorrerako, 3 3 matrize bi diagonalizatu behar ditugu. M 2 matrizeen (s 1, s 2, s 3 ) balio-propioen zeinuak +,, dira, r = 0 puntuan; eta +, 0, + infinitoan. Bektore-propioak hiru fermioien konbinaketa dira. zeinua r 0 r s s 2 0 s 3 + (4.110) Berriro ere, nulua da masa-karratua edonon positiboa duen bektore-propioa ; eta, horrenbestez, bektore-propio ez-nulu bi soilik dago. Kasu guztietarako, fermioien masak infinitoan 1, 0, 1, 1, 0, 1 dira; eta hori, h 11, h 12, A µ, h 22, h 21, M + in eremuen masekin bat dator. Horrela izan beharko litzateke, supersimetria ez baitago apurtuta infinituan. 4.6 Ondorioak Kapitulu honetan, norabide lauak dituzten QED eredu supersimetrikoetako soka kosmologikoak aztertu ditugu, U(1) gauge-simetria Fayet-Iliopoulos D-gaiaren bidez apurtuta dagoenean. Materia-eremu guztiek karga-balio absolutu berbera duten kasuan, huts-aukeratzearen efektuak bosoi bektorialaren masa minimizatuko duela frogatu dugu. Eredu hauen artean, honako hauek aurkitu ditzakegu: [75] erreferentzian aztertutako eredua, aurkako kargadun eremu kiral bi dituen N =1 QED eredu supersimetrikoa, eta horren N =2

141 4.6 Ondorioak 133 supersimetriarako luzapen zuzena den hipermultiplete bakarreko eredua ([59] erreferentzian ikertutakoa). Kasu horietan, huts-aukeratzearen efektuak zurrunbilo topologikoak emango dizkigu; soluzio horiek Bogomol nyi-ren bornea beteko dutela frogatu dugu, eta ondorioz egonkorrak dira. Potentzialean norabide lauak dituzten eremu eskalarreko zenbait klase orokorragoetan, i.e., Bogomol nyi-ren bornetik at dauden zenbait kasutan, huts-aukeratzearen efektua gertatuko dela ikusi dugu. Are gehiago, aukeratutako hutsaren balioa sistemaren Bogomol nyiren limiteko huts berbera da, parametroaren edozein baliotarako. Gauge-simetria apurtuta dagoenez, simulazioetan soka kosmikoak eratuko direla ikusi dugu, eremu bakarrean sortuko diren Nielsen-Olesen sokak direnak. Beste eremua sistemaren dinamikatik kanpo geratuko da, huts-aukeratzearen efektua dela eta. Bestalde, norabide lauak dituzten N = 1 eredu supersimetrikoei supersimetria-apurketarako masa-gaiak gehituz gero, Nielsen-Olesen sokak eratuko dira baita ere, huts-aukeratzearen efektuak aukeratutako huts-balio berbera aukeratuz. Ondoren, q a karga berdineko hipermultiplete batzuk dituzten N =2 QED eredu supersimetrikorako hedapena ikertu dugu. Kontrako karga duten hipermultiplete biren kasua era esplizituan ebatzi dugu; eta huts-aukeratzearen efektua emango dela ikusi dugu. Baina kasu horretan soka erdilokalak sortuko dira. Berriro ere, soka-soluzioak Bogomol nyi-ren bornea beteko du, baina modu nulu bat dagoenez (SU(2) errotazioa ez dena), egonkortasun neutrokoa izango da soilik. Barneko askatasun gradu bat edo batzuek parametrizatuko dute Bogomol nyi-ren bornea aseko duten soluzio hauek, eta soka-soluzioaren ezberdinak dira; bereziki, muinaren zabalera nahi bezain handiak izan daiteke. N = 2 kasuarako lortutako emaitzak M hipermultipletedun teoria trukakorretara orokortu daitezke, hipermultipleteek q a karga berbera badute. Soka erdilokalak agertuko dira berriro ere; baina, barne-simetria SU(M) izango da SU(2) izan beharrean [56]. Fluxu magnetiko kuantizatuta egongo da oraindik ere. Zenbait gauge-eremu dauden kasuan ere aplikatu daitezke emaitza horiek. Adibidez, II motako supersokak Calabi Yau barietatean konpaktifatuko den kasuan, non kapitulu honetan aztertutako ereduaren 15 kopia agertuko diren [50]. Karga desberdina duten hipermultipleteak kontuan hartuz gero, egoera aldatu egingo

142 134 Defektuak eredu supersimetrikoetan da. Kasu horretan huts-aukeratzearen efektua zapuztu daiteke; eta aukeratutako huts- -balioa edo balioak ez dira izango bektorearen masa minimizatuko dutenak. Agertuko diren zurrunbiloen egitura eta hemen deskribatuak guztiz ezberdinak izan daitezke; muin bitar edo muin anitzak eta hainbat efektu bitxi ager daitezke; eta oraindik erantzunik gabeko galdera interesgarri da. Nahiz eta apurtzeke dagoen teorian soka egonkorrak ager ezin daitezkeen, deskribatutako N = 2 ereduari masa-gaiak gehitutakoan, sistemak Nielsen-Olesen soka egonkorra aukeratuko du, masa-gai gabeko ereduko soluzio guztien artetik. Supersimetria dela-eta, sokaren muinean modu nulu fermioidarrak agertuko dira. Supersimetria-transformazioak erabiliz, modu nuluak aurkitu ditugu era esplizituan. N = 1 ereduetan bortoiak agertzen diren arren [32], ikertutako N = 2 ereduan bortoiak ez dira agertuko. Modu nulu fermioidarrak ez dute zurrunbiloen egonkortasuna hobetuko; zurrunbiloak ez dira bortoi kiralak bihurtuko. Arrazoia ondokoa da: fermioiek beteko duten huts-aukeratzearen efektua eta bosoiek beteko dutena, efektu berebera dira. Bestalde, N = 2 ez-kirala izanik, korronte fermioidarra ez da kirala izango, ez da noranzko bakarrean higituko, eta fermioiak bata bestearekin nahastatuko dira. Egonkortasuna ez da aldatuko fermioien erreakzioaren ondorioz: familiako zurrunbilo guztiek karga topologiko berbera dute; eta, denek beteko dute Bogomol nyi-ren bornea. Beraz, familiako kide guztietarako egongo da supersimetria erdi apurtua. Kasu guztietarako babestuko du Bogomol nyi-ren bornea apurtu gabeko supersimetriak; multipleteak laburtu egingo baitira (kink supersimetrikoen zuzenketa kuantikoen inguruko analisi zehatzak erakutsi zuen Bogomol nyi-ren bornea babesturik dagoela [48, 82]). Beraz, BPS baldintza familiako kide guztietarako mantenduko da; eta kide guztiek karga topologiko berbera dutenez, guztien energia berbera izango da. Ondorioz, fermioien erreakzioaren ondorioz ez da familiako kiderik aukeratuko. Sistema honetako zenbait fermioi beste arrazoi bategatik dira interesgarriak baita ere: zurrunbiloaren muinean ez-nuluak diren eremu eskalarrei lotuta daude. Zurrunbiloak muinean modu nulu fermioidarrak izatearen arrazoia hau dela aipatu izan da hainbatetan literaturan: fermioien masak (eskalarrarekin dituzten loturarengatik sortuak) muinean nuluak dira. Argudio heuristiko hori oker dagoela erakutsi dugu, muinean nulua ez den

143 4.6 Ondorioak 135 eremu eskalarrarekin, hau da, muinean nulua ez den eremuarekin (h 22, soka h 11 eremuan eratu bada) lotutako modu-zeroak era esplizituan kalkulatuz. Supersimetria erabiliz lorturiko modu nuluak eta higidura-ekuazioen bidez lorturikoak erlazionatzea interesgarria da. Supersimetriaren bidez lorturiko modu nuluak, sektore bosoidarreko modu nulu translazionalekin erlazionaturik daude. Bigarren ordenako higidura-ekuazioak erabiliz, beste bi modu nulu fermioidar daudela ikus daiteke: sektore bosoidarrean, soka erdilokalaren muina hedatuko duen q 0 parametroaren aldaketei dagozkien modu nuluak daude. Modu nulu bosoidar hori muinean masa negatiboa eta infinituan masagabeak diren modu nulu fermioidarrei dagozkie. Horrela dela ikusteko era bat (h i, ψ, F i ) mutiplete bakarra dagoen kasua ikertzea da. Kasu horretan, Nielsen-Olesen soka arrunta eratuko da; eta ez du modu nulu bosoidarrik edukiko. Are gehiago, φ 2 eta χ 2 espinoreak ez dira agertuko. Geratuko diren egoera propioen masen karratuak +,, +, zeinuak edukiko dituzte r = 0 puntuan; eta +, +, +, + infinitoan. Hortaz, bi egoera propio bakarrik izango dira ez nuluak. Bigarren hipermultipletea berrezartzerakoan, modu nulu fermioidar berria agertuko da; h 22 eremuari dagokion modu nulu bosoidarrarekin erlazionaturik agoena. Modu nulu bosoidarraren supersimetria-transformazioa egin genezake baita ere modu nulu fermioidarra lortzearren. h 22 perturbatuko dugu; eta beste eremuak adostu (4.83) Bogomol nyi-ren ekuazioak bete ditzaten. Honela, energia berdin mantenduko dugu. q 0 = 0 den limitean soka erdilokalak h 22 = 0 beteko du; eta h 22 ermeuaren perturbazio txiki batek (δh 22 = q 0 h 11(hondo) /r erakoak) ez ditu beste eremuak aldatuko. Horrenbestez, modu nulu horren transformazio-supersimetrikoaren bidez lorturiko modu nulua φ (2) eta χ (2) espinoreak bakarrik erabiliko ditu. Infinituan, sokaren zabalera aldatuko duen modu nulua Goldstone-en bosoia da, eta hori higidura-ekuazio fermioidarren azterketa eginez jabetutakoarekin bat dator: infinituan masagabeak diren egoera propioak φ (2) edo χ (2) dira, q 0 = 0 kasurako. Soka erdilokal orokorraren kasuan (q 0 0 kasuan) eremu bosoidar guztiak aldatuko ditu sokaren zabalera aldatuko duen perturbazioak; orduan, horiei dagozkien modu nulu fermioidarrak multzo bakoitzeko hiru espinoreen konbinaketa dira. Davis, Davis eta Perkins [30] ikertzaileak plazaratutako modu nuluak zenbatzen dituen

144 136 Defektuak eredu supersimetrikoetan teorema ez da aplikagarria soka erdilokalen kasuan: eremuetako batek biribilkapenik ez du muinean; eta teorema eraikitzerakoan hipotesi hori erabili zuten. Hori dela-eta, ezin dugu teorema erabili kasu honetan lortutako modu nulu fermioidar kopurua jakiteko. Teorema aplikagarria den kasuan (Nielsen-Olesen sokaren kasuan, i.e., hipermultiplete bakarra), gure emaitzak teoremarekin bat datoz. Soka erdilokalaren kasuan beste modu nulu bi dago, sokaren zabaleraren aldaketei dagozkienak: modu nulu fermioidarrak modu nulu bosoidarrei dagozkienak dira. Soka erdilokalaren Nielsen-Olesen limiterako era esplizituan lortu ditugu modu nulu horiek. Eredua, Ganoulis eta Lazarides [42] ikerltzaileen modu nuluak zenbatzen dituen teorematik kanpo geratuko da baita ere: h 22 eremua U(1) taldearekiko karga eduki arren, infinituan zerorantz baitoa. Gure emaitzak Weiberg-en indize-teoremarekin bat datoz [100] (ikus baita ere [60]): modu nulu berriek kontrako kiralitatekoak direnez, modu nulu fermioidarren zenbaketa netoan (ezkerrerantz doazen fermioiak ken eskuinera doazenak) ez dute eraginik izango. Adostasun hori, infinituan neurturiko fluxu magnetikoa soka erdilokal guztietarako (Nielsen-Olesen soka barne) berbera izatearekin bat dator.

145 BIBLIOGRAFIA [1] A.A. Abrikosov, Sov. Phys. JETP 5, 1174 (1957) [2] A. Achúcarro, K. Kuijken, L. Perivolaropoulos, T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 72, 3646 (1994) [3] A. Achúcarro, J. Borrill, A.R. Liddle, Phys. Rev. D 57, 3742 (1998) [4] A. Achúcarro, M. de Roo, L. Huiszoon, Phys. Lett. B 424, 288 (1998) [5] A. Achúcarro, J. Borrill, A. R. Liddle, Phys. Rev. Lett. 82, 3742 (1999) [6] A. Achúcarro, T. Vachaspati, Phys. Rep. 327, 347 (2000) [7] A. Achúcarro, J. Urrestilla, Phys. Rev. Lett. 85, 3091 (2000) [8] A. Achúcarro, A.C. Davis, M. Pickles, J. Urrestilla, Phys. Rev. D 66, (2002) [9] A. Achúcarro, A.C. Davis, M. Pickles, J. Urrestilla, hep-th/ [10] A. Achúcarro, ondoko liburuan agertuko da: Patterns of symmetry breaking, NATO- ASI, Ed. J. Dziarmaga, Kluwer Scientific [11] O. Aharony, A. Hanany, K.A. Intriligator, N. Seiberg, M.J. Strassler, Nucl. Phys. B499, 67 (1997) [12] A. Albrecht, ondoko liburuan: Proceedings of 35th Rencontres de Moriond: Energy Densities in the Universe, Les Arcs, Savoie, France (2000); astrp-ph/ [13] N.D. Antunes, L.M.A. Bettencourt, A. Yates, Phys. Rev. D 64, (2001) 137

146 138 Bibliografia [14] C. Bachas, B. Rai, T.N. Tomaras, Phys. Rev. Lett. 82, 2443 (1999) [15] D. Bailin, A. Love, Supersymmetric gauge field theory and string theory, Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia (1994) [16] M. Barriola, A. Vilenkin, Phys. Rev. Lett. 63, 341 (1989) [17] A.A. Belavin, A.M. Polyakov, JETP Lett. 22, 245 (1975) [18] D.P. Bennet, S.H. Rhie, Phys. Rev. Lett. 65, 1709 (1990) [19] V. Berezinsky, B. Hnatyk, A. Vilenkin, Phys. Rev. D 64, (2001) [20] P. de Bernardis et al, Nature 404, 955 (2000) [21] E.B. Bogomol nyi, Sov. J. Nucl. Phys. 24, 449 (1976) [22] S. Bonazzola, P. Peter, Astroparticle Phys. 7, 161 (1997) [23] F.R. Bouchet, P. Peter, A. Riazuelo, M. Sakellariodou, Phys. Rev. D 65, (R) (2001) [24] R. Brandenberger, A.C. Davis, M. Hindmarsh, Phys. Lett. B 263, 239 (1991) [25] R. Brandenberger, B. Carter, A.C. Davis, M. Trodden, Phys. Rev. D 54, 6059 (1996) [26] B. Carter, P. Peter, Phys. Lett. B 466, 41 (1999) [27] B. Carter, A.C. Davis, Phys. Rev. D 61, (2000) [28] S. Coleman, Aspects of Symmetry, Selected Erice Lectures, Cambridge University Press (1985) [29] C. Contaldi, M. Hindmarsh, J. Magueijo, Phys. Rev. Lett. 82, 2034 (1999) [30] S.C. Davis, A.C. Davis, W.B. Perkins, Phys. Lett. B 408, 81 (1997) [31] A.C. Davis, W.B. Perkins, Phys. Lett. B 393, 46 (1997) [32] S.C. Davis, A.C. Davis, M. Trodden, Phys. Lett. B 405, 257 (1997)

147 4.6 Bibliografia 139 [33] A.C. Davis, T.W.B. Kibble, M. Pickles, D.A. Steer, Phys. Rev. D 62, (2000) [34] R.L. Davis, E.P.S. Shellard, Nucl. Phys. B323, 209 (1989) [35] M.R. Douglas, S.H. Shenker, Nucl. Phys. B447, 271 (1995) [36] G.H. Derrick, J. Math. Phys. 5, 1252 (1964) [37] R. Durrer, M. Kunz, A. Melchiorri, Phys. Rept. 364, 1 (2002) [38] M.A. Earnshaw, M. James, Phys. Rev. D 48, 5818 (1993) [39] J. D. Edelstein, C. Nuñez, F. Schaposnik, Phys. Lett. B 329, 39 (1994) [40] J.D. Edelstein, W. García Fuertes, J. Mas, J. Mateos Guilarte, Phys. Rev. D 62, (2000) [41] A. Gangui, astro-ph/ [42] N. Ganoulis, G. Lazarides, Phys. Rev. D 38, 547 (1988) [43] W. García Fuertes, J. Mateos Guilarte, Phys. Lett. B 437, 82 (1998) [44] J. Garriga, X.Montes, Phys. Rev. Lett. 75, 2268 (1995) [45] G.W. Gibbons, M.E. Ortiz, F. Ruiz-Ruiz, T.M. Samols, Nucl. Phys. B385, 127 (1992) [46] G. Glashow, Nucl. Phys 22, 579 (1961) [47] A.S. Goldhaber, Phys. Rev. Lett. 63, 2158 (1989) [48] A.S. Goldhaber, A. Rebham, P. van Nieuwenhuizen, R. Wimmer hep-th/ [49] M. Goodband, M. Hindmarsh, Phys. Rev. D 52, 4621 (1995) [50] B. R. Greene, D. R. Morrison, C. Vafa, Nucl. Phys. B481, 513 (1996) [51] M. Grooves, W.B. Perkins, Nucl. Phys. B573, 449 (2000) [52] E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, nonstiff problems, Springer Series in Computational Mathematics, Springer-Verlag (1993)

148 140 Bibliografia [53] S. Hanany et al., Astrophys. J. 545, L5 (2000) [54] G. Hardy, J.E. Littlewood, G.Pólya, Inequalities, 2 nd edition, Cambridge University Press (1973) [55] M. Hindmarsh, Phys. Rev. Lett.68, 1263 (1992) [56] M. Hindmarsh, Nucl. Phys. B392, 461 (1993) [57] M. Hindmarsh, ondoko liburuan: Proceedings of the NATO Workshop on Electroweak Physics and the Early Universe, eds. J. C. Romão, F. Freire, Sintra, Portugal, 1994; Series B: Physics Vol. 338, Plenum Press, New York, (1994) [58] M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble, Rept. Prog. Phys. 58, 477 (1995) [59] X. Hou, Phys. Rev. D 63, (2001) [60] R. Jackiw, P. Rossi, Nucl. Phys B190, 681 (1981) [61] M. James, L. Perivolaropoulos, T. Vachaspati, Nucl. Phys. B395, 534 (1993) [62] S. Kasuya, M. Kawasaki, Phys. Rev. D 58, (1998) [63] T.W.B. Kibble, J. Phys. A9, 1387 (1976) [64] F.R. Klinkhamer, P. Olesen, Nucl. Phys. B422, 227 (1994) [65] J. Kogut, L. Susskind, Phys. Rev. D 11, 395 (1975) [66] R.A. Leese, Phys. Rev. D 46, 4677 (1992) [67] H. Liu, T. Vachaspati, Nucl. Phys. B470, 176 (1996) [68] J. Magueijo, R.H. Brandenberger, ondoko liburuan: Large Scale Structure Formation, Kluwer, Dordrecht (2000); astro-ph/ [69] C.J.A.P. Martins, E.P.S. Shellard, Phys. Lett. B 445, 43 (1998) [70] K.J.M. Moriarty, E. Myers, C. Rebbi, Phys. Lett. B 207, 411 (1988) [71] S.G. Naculich, Phys. Rev. Lett. 75, 998 (1995)

149 4.6 Bibliografia 141 [72] Y. Nambu, Nucl. Phys. B130, 505 (1977) [73] M. Nagasawa, J. Yokoyama, Phys. Rev. Lett. 77, 2166 (1996) [74] H. B. Nielsen, P. Olesen, Nucl. Phys. B61, 45 (1973) [75] A.A. Penin, V.A. Rubakov, P.G. Tinyakov, S.V. Troitsky, Phys. Lett. B 389, 13 (1996) [76] A.A. Penzias, R.W. Wilson, Astrophys. J. 142, 419 (1965) [77] L. Perivolaropoulos, Nucl. Phys. B375, 664 (1992) [78] M. Pickles, A.C. Davis, Phys. Lett. B 520, 345 (2001) [79] M. Pickles, J. Urrestilla, JHEP 0301, 052 (2003) [80] J. Preskill, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 34, 461 (1984) [81] J. Preskill, Phys. Rev. D 46, 4218 (1992) [82] A. Rebham, P. van Nieuwenhuizen, R. Wimmer, Nucl. Phys. B648, 174 (2003) [83] S.H. Rhie, D.P. Bennett, Phys. Rev. Lett. 67, 1173 (1991) [84] A. Salam, Elementary particle physics (Nobel Symp. no. 8), ed. N. Svartholm, Almqvist y Wilsell, Stocholm (1968) [85] M. Salem, T. Vachaspati, Phys. Rev. D 66, (2002) [86] N. Seiberg, E. Witten, Nucl. Phys. B431, 484 (1994) [87] M. Shifman, A. Yung, Phys. Rev. D 66, (2002) [88] M.F. Sohnius, Phys. Rept. 128, 39 (1985) [89] D.A. Steer, Phys. Rev. D 61, (2000) [90] I. Tkachev, S. Khlebnikov, L. Kofman, A. Linde, Phys. Lett. B 440, 262 (1998) [91] J. Urrestilla, A. Achúcarro, J. Borrill, A.R. Liddle, JHEP 08, 033 (2002)

150 142 Bibliografia [92] T. Vachaspati, A. Achúcarro, Phys. Rev. D 44, 3067 (1991) [93] T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 68, 1977 (1992); erratum 69, 216 (1992) [94] T. Vachaspati, G.B. Field, Phys. Rev. Lett. 73, 373 (1994); erratum 74, 1258 (1995) [95] T. Vachaspati, ondoko liburuan: Topological defects and the non-equilibrium dynamics of symmetry breaking phase transitions, Les Houches (1999); astro-ph/ [96] T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 87, (2001) [97] A. Vilenkin, Phys. Rep. 121, 263 (1985) [98] A. Vilenkin, E.P.S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge University Press, Cambridge (1994) [99] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967) [100] E.J. Weinberg, Phys. Rev. D 24, 2669 (1981) [101] H.F. Weinberger, A first course in Partial Differential Equations with Complex Variables and Transform Methods, Blaisdell (1965) [102] J. Wess, J. Bagger, Supersymmetry and supergravity, Princeton University Press (1992) [103] E. Witten, D.I. Olive, Phys. Lett. B405, 256 (1997) [104] E. Witten, Nucl. Phys. B405, 257 (1997) [105] E. Witten, Nucl. Phys. B403, 159 (1993) [106] A. Yung, Nucl. Phys. B562, 191 (1999)

151 A ERANSKINA Hitzarmenak Eranskin honek lan honen zehar erabilitako hitzermenen laburpena dakarkigu, testuan kontrakoa esan ezean. Erabilitako unitateak c = = k Boltzmann = 1 dira; eta oinarrizko unitatea energia edo luzera. Ondokoa da hautatu dugun metrikaren signatura: (+,,, ). Espazio-denboraren osagaiak µ, ν,... indize grekoen bidez adierazi ditugu; orokorrean, beren balioa 0 3 tartekoa izango da. 3 dimentsioko espazioaren osagaien indizeak, latindar alfabetoko erdialdeko hizkien bidez adierazi ditugu; hots, i, j,..., eta latindar alfabetoko haserako hizkiak, a, b,..., barne-taldeko indizeei dagozkie. Erabilitako Pauli-matrizeen adierazpena ondoko hau da ( ) ( ) ( ) i 1 0 τ 1 =, τ 2 =, τ 3 =. (A.1) 1 0 i A.1 Hitzarmenak supersimetrian Kortxeteen bidez trukatzaileak adierazi ditugu [A, B] = AB BA, (A.2) eta giltzen bidez antitrukatzaileak {A, B} = AB + BA. (A.3) 143

152 144 A eranskina Espinorei dagozkien hitzermenak [88] erreferentzian emandakoak dira: 1. bi-espinoreren idazkera Espinoreen beheratzea tentsore antisimetrikoen bidez egin dugu ψ α ε αβ ψ β, ψ α ψ βε β α, (A.4) non tentsore antisimetrikoak ondoko eran normalizatu ditugun ε 12 = ε 12 = ε 1 2 = ε 1 2 = +1. (A.5) Espinoreak uzkurtzeko bidea ondoko hau da ξψ ξ α ψ α = ξ α ψ α = ψ α ξ α ψξ ψ ξ ψ α ξ α = ψ α ξ α = ξ α ψ α ξ ψ. (A.6) Espinoreen ordena aldaketa kontuan har dezan definitu dugu konplexu-konjokatua (ξψ) = (ξ α ψ α ) = (ψ α ) (ξ α ) = ψ α ξ α = ψ ξ. (A.7) Erabilitako σ matrizeak ondoko hauek dira σ µ = (I, σ), σ µ = (I, σ), (A.8) non σ i (A.1) Pauli-matrizeak diren. Baita ere σ r eta σ θ matrizeak erabili ditugu ( 0 ) e iθ ( 0 ) ie iθ σ r = e iθ 0, σ θ = ie iθ 0. (A.9) Horiek, σ 1 eta σ 2 matrizeen lana beteko dute koordenatu polarretan. 2. lau-espinore idazkera Dirac-matrizeak 2 2 bloketan agertuko diren adierazpena aukeratu dugu ( 0 ) σ µ γ µ σ µ 0. (A.10)

153 1.0 Hitzarmenak 145 γ 5 matrizea honela definituko dugu ( ) i 0 γ 5 γ 0 γ 1 γ 2 γ 3, γ 5 = 0 i, (A.11) eta beraz (γ 5 ) 2 = 1. (A.12) Oinarri honetan, lau osagaieko ψ Dirac-espinorea ondoko elementuak erabiliz idatziko dugu: bi-osagaieko objektu konplexu anti-trukakor bi, χ α and φ α, non α = 1, 2 den eta α = 1, 2. Dirac-matrizeak ondoko eran adieraziko dira: ) ψ ( χα φ α, ψ (φ α, χ α ). (A.13) χ eremua Weyl-espinore kirala da, eta φ Weyl-espinore anti-kiral. ψ Dirac espinorearen χ α eta φ α espinoreak proiektatu ditzakegu 1 (I ± γ 2 5) proiektorea erabiliz: (I + γ 5 )ψ = χ, (I γ 5 )ψ = φ. (A.14) Orokorrean Dirac-espinorearen bi osagai kiralak ez daude erlazionaturik, baina Majorana baldintza beteko badute, hots, φ α = (χ α ) (A.15) beteko bada, orduan Majorana-espinoreak izango ditugu eskuartean: ) ψ = ( χα χ α. (A.16) Bi-espinoreen bidez (λ αi, λ i α ) definituriko lau-espinore SU(2)-kobarianteak dira Majorana-espinore sinplektikoak: ( ) iε ij λ λ i αj ; λi = ( λ α i, iε ij λ j α), (A.17) λ αi non λ i α (λ αi ). (A.18)

154

155 B ERANSKINA Sine-Gordon eredua Sine-Gordon eredua, ondoko lagrangearrak deskribaturikoa da [28]: L = 1( 2 µφ)( µ Φ) α [1 cosβ Φ], β (B.1) 2 eta eredu honen energia honako hau da ( 1 E = dt dx ( 2 tφ) 2 + 1( 2 xφ) 2 + α ) β 2(1 cosβ Φ) (B.2) B.1 a) irudiak potentzialaren profilaren adierazpide grafikoa da. Sistemaren oinarrizko egoerak Φ 2 π/β betetzen dutenak dira, ( 1 cos β 2 π n ) = 0 (B.3) β baita. Minimo hauetako baten inguruan (adibidez Φ = 0 minimoaren inguruan) garatuz, honela berridatzi dezakegu lagrangearra L = 1 2 µφ µ Φ + α 2 Φ2 α β2 Φ ! (B.4) edo parametroak α λ η 2 eta α β 2 λ eran berdefinituz L = 1 2 µφ µ Φ + λ η2 2 Φ2 λ 4 Φ (B.5) α = β = 1 aukeratuko ditugu, monopolo globala aztertzean lortutako lagrangearrekin aldaratzeko. 147

156 148 B eranskina B.1 irudia: a) Sine-Gordon ereduaren potentziala (1 cos(φ)). b) Sine-Gordon ereduaren soluzioetako bat (Φ = 2tan 1 e x 2 ). Energia finitua izatea eskatzean, x ± puntuetan eremua potentzialaren zero batera joan behar dela ondoriozta dezakegu. Propietate hau betetzen duen egoera tribiala badago: eremua potentzialaren minimo batean dago, eta bertan jarraituko du. Baina badaude kasu korapilatsuagoak; adibidez, eremua x puntuan minimo batean dagoenean, eta x puntuan aldameneko beste minimo ezberdin batean. Honelako soluzio estatikoak lortzeko, energia berridatzi behar dugu, ondorengo erlazio trigonometrikoa erabiliz cosφ = 1 2sin 2Φ 2. Φ = 2 Φ aldagai aldaketa eginez, energia honela idatzi daiteke: E = (B.6) ( dx 2 ( x Φ) 2 + sin 2 Φ ). (B.7) Berridazketa honen bidez lortutako energia, (2.30) ekuazioan parentesi artean dagoenaren berbera da. Berriro ere energia berridatziz: E = [ dx 2 ( Φ x ± sin Φ) 2 2 Φ ] x sin Φ, (B.8) eta zatikako integrazioa eginez E = ] dx 2 [( Φ x ± sin Φ) 2 ± 4cos Φ. (B.9)

157 2.0 Sine-Gordon eredua 149 Muga-gaia karga topologikoa da, eta x ± puntuetan eremuak aukeratu duen minimoaren araberakoa da. Karga topologiko bakoitzerako, energia minimodun soluzioek ondoko erlazioa bete behar dute: eta ebazpena hauxe da: tan Φ x = sin Φ, (B.10) ( ) Φ = e x x 0, (B.11) 2 non x 0 integrazio-konstantea den, problemaren espazio-aldaezintasunari dagokiona. B.1 irudian soluzio hauetako baten adierazpide grafikoa ikus daiteke.

158

159 C ERANSKINA Translazio-modu nulua O(3) monopoloaren zero modu translazionala lortzearren, simetria esferikoa erabiliz idatziko ditugu eremuak: Φ 1 (r, θ, ϕ) = f(r) sinθ cosϕ; Φ 2 (r, θ, ϕ) = f(r) sinθ sin ϕ ; Φ 3 (r, θ, ϕ) = f(r) cosθ, (C.1) eta z ardatzean zehar transladatuz Φ a (z z 0 ) = Φ a z 0 z Φ a z +... (C.2) koordenatu esferikoetan idatziko dugu z deribatua ekuazioak ondoko eran idatz ahal izateko Φ 1 (z z 0 ) = Φ 2 (z z 0 ) = z = cos θ r sin θ r θ, ( f z 0 f r cosθ + z ) 0 f r cos θ sin θ cosϕ; ( f z 0 f r cosθ + z ) 0 f r cos θ sin θ sin ϕ ; Φ 1 (z z 0 ) = f cosθ z 0 f r cos 2 θ z 0 f r sin2 θ. (C.3) (C.4) 151

160 152 C eranskina Ardatz-simetriadun perturbazioak (2.65) ekuazioa erabiliz idazterakoan, (2.28) Goldhaberen ansatz-ak ondoko itxura hartuko du: Φ 1 (f + δ + f ξ cosθ)sin θ sin ϕ ; Φ 2 (f + δ + f ξ cosθ)sin θ cos ϕ ; Φ 3 (fcosθ + δ cos θ f ξ sin 2 θ). (C.5) hau da, (2.68) ekuazioak. Bi azken ekarpenak alderatuz, δ = z 0 f r cosθ ; ξ = z 0 r (C.6) erlazioak lortuko genituzke. 2.5 atalean, perturbazioen ekuazioak aztertzean, aldagaien berdefinizio anitz erabili ditugu: e y tan ( ) θ 2 eta baita ere δ eta ξ funtzioak berdefinitu ditugu: u tanh y, (C.7) δ l δ l (r) P l (u) l l(l + 1)δ l ; ξ X f χ u [ (1 u 2 )X ] χ l χ l (r) P l (u). (C.8) Lortu dugun modu nuluan aldaketa hauek ordezkatuz, eta z 0 = 1 aukeratuz ondokoa lortuko dugu: 1 = 2 f r (r) ; χ 1 = 2 f(r), r (C.9) non tiletak, eta χ funtzioak translazio-modu nuluak direlako erabili ditugun irudian funtzio hauen profilak ikus daitezke.

161 D ERANSKINA Eredu elektroahularen higidura-ekuazioen diskretizazioa 3. kapituluan ikusi dugunez, ondokoak dira teoria elektroahularen (3.4) higidura-ekuazioak D µ D µ Φ + 2λ ( Φ Φ η 2) Φ = 0 ; ν W µνa + g W ǫ abc Wν b W µνc = i [ ] 2 g W Φ τ a D µ Φ (D µ Φ) τ a Φ ; ν Y µν = i [ ] 2 g Y Φ D µ Φ (D µ Φ) Φ. (D.1) l sare-tarteko eta mugalde-baldintza periodikoko sare kubikoan diskretizatuko ditugu. Aukeratu dugun diskretizazio-metodoaren arabera, eremu eskalar eta gauge-eremuen balioak sare-puntuei dagozkie. Jakina da metodo horrek ez duela gauge-aldaezintasuna ziurtatuko. Hala eta guztiz ere, gure ekuazioak jokaera oneko higidura-ekuazio klasikoak dira, gauge jakin batean; eta gauge-aldaezintasuna ez ziurtatzeak ez luke garrantzitsua izan behar. Gainera, Gauss-en legea automatikoki beteko ez denez, eboluzioan zehar behatuko dugu lege hori, diskretizazioa behar bezain zehatza dela egiaztatzeko. Diskretizazio-metodo honek, aurreko lanetan [3] lortutako emaitzekiko aldaraketa erreztuko digu. Sare-loturaren aldagaiak erabiliko dituen beste metodo bat deskribatuko dugu E eranskinean; bi diskretizazioen arteko alderaketarekin batera. Diskretizatutako higidura-ekuazioak lortzeko lehen pausoa, ψ α lau eremu eskalar definitzea da, non α = 1, 2, 3, 4; beren balioa sare-puntuetan egongo da. Eremu eskalar horiek SU(2) 153

162 154 D eranskina bikote konplexuarekin duten erlazioa ondoko hau da: Φ T = (ψ 1 + iψ 2, ψ 3 + iψ 4 ). Gauge- -eremuek ere sare-puntuetan hartuko dituzte balioak. Gauge denborala aukeratu dugunez; hots, Y 0 = 0 eta W a 0 = 0 a = 1, 2, 3 balioetarako, 12 zenbaki gorde behar ditugu gauge- -eremuetarako: Y i eta W a i, non i = 1, 2, 3 espazio-norabideak diren, eta a = 1, 2, 3 SU(2) gauge-taldeko indizea. Zenbakizko ebazpena burutuko duen kodea lortzeko onuragarria da (D.1) ekuazioak modu zehatzago batean idaztea: W 0 i Y i definituko dugu, eta baita ondorengo matrizeak ere (indizeek 0-tik 3-rako balioa hartuko dute) s i j , ci j , gi Horiek erabiliz, eremu eskalarren higidura-ekuazioak honela idatz daitezke: g Y g W g W g W. (D.2) 2 0 ψ α = 3 3 i=1 n= i=0 [ i i ψ α + s n α gn W n i iψ c n α sn α gn i W n i ψ c n α 1 4 gn W n i g n W n i ψ α] ( g 0 Wi 0 g 1 Wi 1 ψ c 2 + α s3 α g2 Wi 2 ψ c 1 α s2 α g3 Wi 3 ψ ) α ( 4 ) β (ψ n ψ n ) 1 ψ α. n=1 (D.3) Bestalde, gauge-eremuetarako ekuazioak hauek dira: 2 0 Y j = 2 0 W 1 j = 3 [ i i Y j j i Y i ] + g Y (ψ 1 j ψ 2 ψ 2 j ψ 1 + ψ 3 j ψ 4 ψ 4 j ψ 3 ) i=1 ( g W g Y W 1 j (ψ 1 ψ 3 + ψ 2 ψ 4 ) + Wj 2 (ψ 1ψ 4 ψ 2 ψ 3 ) + 1W 3 2 j g2y Y j ψ n ψ n ; g 2 W 3 i=1 n=1 [ i i W 1 j j i W 1 i ( W 2 i Wi 2 W j 1 + W i 3 W i 3 W j 1 W i 1 W i 2 W j 2 W i 1 W i 3 W ) j 3 ( ψ ψ 2 2 ψ2 3 ψ2 4))

163 4.0 Eredu elektroahularen higidura-ekuazioak diskretizatzen W 2 j = ( g W W 2 j i Wi 3 Wj 3 iwi 2 Wi 2 iwj 3 + W i 3 iwj 2 + W i 2 jwi 3 Wi 3 )] jwi 2 +g W (ψ 1 j ψ 4 ψ 4 j ψ 1 + ψ 3 j ψ 2 ψ 2 j ψ 3 ) g W g Y (ψ 1 ψ 3 + ψ 2 ψ 4 )Y j g2 WWj 1 ψ n ψ n ; g 2 W 2 0 W 3 j = 3 i=1 n=1 [ i i W 2 j j i W 2 i ( W 3 i W 3 i W 2 j + W 1 i W 1 i W 2 j W 2 i W 3 i W 3 j W 2 i W 1 i W 1 j ( g W W 3 j i Wi 1 Wj 1 iwi 3 Wi 3 iwj 1 + W i 1 iwj 3 + W i 3 jwi 1 Wi 1 jwi 3 +g W (ψ 3 j ψ 1 ψ 1 j ψ 3 + ψ 4 j ψ 2 ψ 2 j ψ 4 ) g W g Y (ψ 1 ψ 4 ψ 2 ψ 3 ) Y j g2 W 2 W j ψ n ψ n ; g 2 W 3 i=1 n=1 [ i i W 3 j j i W 3 i ( W 1 i W 1 i W 3 j + W 2 i W 2 i W 3 j W 3 i W 1 i W 1 j W 3 i W 2 i W 2 j ( g W W 1 j i Wi 2 Wj 2 iwi 1 Wi 1 iwj 2 + W i 2 iwj 1 + W i 1 jwi 2 Wi 2 jwi 1 +g W (ψ 1 j ψ 2 ψ 2 j ψ 1 + ψ 4 j ψ 3 ψ 3 j ψ 4 ) 1 g ( 4 2 Wg Y ψ ψ2 2 ψ3 2 ψ4) 2 Yj 1 2 g2 WWj 3 ψ n ψ n. n=1 ) ) )] )] (D.4) (D.3, D.4) higidura-ekuazioetako deribatu espazial desberdinak diskretizatu behar ditugu. Edozein f emanik, non f funtzioa ψ α, Y i edo W a i eremua izan daitekeen, i f(x) 1 2l (f(x + x i) f(x x i )), (D.5) eta i i f(x) 1 l 2 (f(x + x i) 2f(x) + 2f(x x i )), (D.6) non x k = lˆk, eta ˆk espazio-norabideei dagokion. Diskretizatzeke dagoen adierazpen bakarra, j i Y i, honela garatuko dugu j i Y i 1 2l j [Y i (x + x i ) Y i (x x i )] 1 4l 2 [Y i(x + x i + x j ) Y i (x + x i x j ) Y i (x x i + x j ) + Y i (x x i x j )]. (D.7)

164 156 D eranskina Ohiko staggered leapfrog delako metodoa erabiliz diskretizatu dugu denbora. Hots, eremu eskalarra eta gauge-eremua denbora-tarte osoetan bizi dira, eta eremuen denbora-deribatuak denbora-tarte erdietan: f(t δt) = 1 (f(t + δt) f(t)) ; δt f(t + δt) = 1 ( f(t + 3 δt 2 δt) f(t + 1 ) 2 δt), (D.8) non δt denbora-tartea den. Eguneratze-prozedura honela geratuko zaigu: f(t + δt) = f(t) + δt f(t δt) ; (D.9) f(t δt) = f(t + 1 δt) + δt [esk], 2 (D.10) non esk (D.3, D.4) ekuazioaren eskuineko atalari dagokion. Honela, f(0) eta f( 1 δt) ezagunak bazaizkigu, (D.9) ekuazioa erabiliz f funtzioa eguneratu 2 dezakegu, f(δt) lortuz. Orduan, f( 1 δt) eta f(δt) ezagunak direnez, eta esk kalkulatzeko 2 bi balio horiek baino behar ez ditugunez, f eguneratu dezakegu, eta f(t + 3 δt) kalkulatu. 2 Prozedura honi jarraituz, sistemaren bilakaera kalkulatu dezakegu. 3.4 atalean esan dugunez, γ f(t) erako gai barreiakorrak gehitu ditugu. Erabilitako diskretizazioan denbora-deribatuak denbora-tarte erdietan bizi direnez, gai disipakorra ondoko moduan berridatziko dugu γ 2 ( f(t δt) + f(t δt), eta f funtzioaren eguneraketa aldatu egingo da: f(t δt) = f(t δt) + γ [ 2 f(t δt) + f(t δt) ] + δt [rhs] (D.11) f(t δt) = (Γ ) [Γ 1 + f(t + 1 ] 2 δt) + δt [rhs], (D.12) non Γ = 1 γ 2, Γ + = 1 + γ 2, (D.13) diren. Gauss-en legearen jokaera jarraitu dugu eboluzioan zehar, kodearen egonkortasuna bermatzeko. (3.14) Gauss-en legea era esplizituan honela idatzi dezakegu 3 ] ) [ i Ẏ i = g Y (ψ 1 ψ 2 ψ 2 ψ 1 + ψ 3 ψ 4 ψ 4 ψ 3 ; (D.14) i=1

165 4.0 Eredu elektroahularen higidura-ekuazioak diskretizatzen i=1 3 i=1 i=1 [ ( )] ) i Ẇi 1 + g W Wi 2 Ẇi 3 Wi 3 Ẇi 2 = g W (ψ 1 ψ 4 ψ 4 ψ 1 + ψ 3 ψ 2 ψ 2 ψ 3 ; [ ( )] ) i Ẇi 2 + g W Wi 3 Ẇ i 1 Wi 1 Ẇ i 3 = g W (ψ 3 ψ 1 ψ 1 ψ 3 + ψ 4 ψ 2 ψ 2 ψ 4 ; 3 [ ( )] ) i Ẇi 3 + g W Wi 1 Ẇ i 2 Wi 2 Ẇ i 1 = g W (ψ 1 ψ 2 ψ 2 ψ 1 + ψ 4 ψ 3 ψ 3 ψ 4 (D.15). Puntudun eremuak denbora-tarte erdietan bizi dira, eta punturik gabekoak denbora-tarte osoetan. Ekuazio horiek denbora-tarte berdinetan idaztearren, f funtzioak denbora-tarte erdian hartuko duen balioa interpolatu egingo dugu ondoko moduan f(t δt) = 2 (f(t + 12 ) δt δt) f(t) f(t δt) = f(t) δt f(t δt). (D.15) ekuazioan puntudun eremuen balioa (D.16) balioarekin ordezkatuko dugu. (D.16)

166

167 E ERANSKINA Sare-loturaren aldagaien metodoa E.1 Lotura-aldagaien bidezko hamiltondarraren diskretizazioa 3. kapituluan (3.10) higidura-ekuazioak diskretizatzeko aukeratutako metodoaren arabera, eremu guztiak sare-puntuetan dituzte balioak; hots, eremu eskalarren eta gauge-eremuen balioak sare-puntuetan daude (ikus D eranskina). Honek ez du gauge-aldaezintasuna ziurtatuko. Badago beste metodo bat ekuazioak diskretizatzeko: sare-loturaren aldagaien (Lattice Link variables) metodoa [65, 70]. Metodo horrek gauge-aldaezintasuna ziurtatuko du; eta sare- -tartea zerorantz doanean, jatorrizko higidura-ekuazioak berreskuratuko ditu. Sare-loturaren aldagaiak erabiliz, soka erdilokaletarako simulazio multzoa egingo dugu, 3. kapituluko ondorioak bermatzearren. Sare-loturaren aldagaien metodoak sistemaren formulazio hamiltondarra behar du; ondorioz, soka erdilokalen (ikus 1.3 atala) dentsitate hamiltondarra kalkulatuko dugu H = Π Π Ei E i + 1Y 4 ijy ij + (D i Φ) (D i Φ) + β ( Φ Φ 1 ) 2 ( + E i ( i Y 0 ) + iy 0 Π Φ Φ Π ), (E.1) 2 159

168 160 E eranskina non momentu-konjokatuak honela definitu ditugun Π = E i = L ( 0 Φ ) = D 0Φ ; L ( 0 Y i ) = Y 0i. (E.2) Hamiltondar horretatik higidura-ekuazioak lortu eta ondoren diskretizatu beharren, alderantzizkoa egingo dugu prozedura honetan: (E.1) hamiltondarra diskretizatu; eta bertatik higidura-ekuazioak lortu. Hamiltondarra l sare-tarteko sare kubikoan definitzearren, sare-loturaren eragilea definituko dugu: U k (x) = e ily k(x). (E.3) Eragile horrek gauge-eremuaren lana beteko du; baina, gauge-eremua konexio afina dela literalki onartuz; hots, eremu eskalarraren garraio paraleloaren egilea (parallel transporter) da gauge-eremua. Eremu eskalarren balioak sare-puntuetan egongo dira; eta sare-loturaren eragileenak sare-loturetan. Horrela, deribatu kobariante (berri) honen bidez puntu desberdinetako eremu eskalarrak erlazionatuko ditugu: D k Φ = U k(x)φ(x + x k ) Φ(x) l non x k = lˆk, eta ˆk espazio-norabideei dagokion. (E.4) Definizio horrek bi propietate garrantzitsu ditu: alde batetik, l 0 limitean continuumeko deribatu kobariantea da 1 [ (1 lim D k Φ = lim ilyk (x) + O(l 2 ) ) Φ(x + lî) Φ(x)] l 0 l 0 l k Φ(x) iy k (x)φ(x) = (D k Φ(x)) continuum. (E.5) Bestetik, hamiltondarraren ( D k Φ(x) 2 ) gradienteen gaia, ondorengo aldaketekiko gauge- -aldaezina da hain zuzen ere, Φ A(x)Φ(x), U k (x) A(x)U k (x)a (x + x k ), (E.6) (D k Φ(x)) D k Φ(x) 1 l 2 ( A(x)Uk (x)a (x + x k )A(x + x k )Φ(x + x k ) A(x)Φ(x) ) = (D k Φ(x)) A (x)a(x)d k Φ(x) = (D k Φ(x)) D k Φ(x). (E.7)

169 5.0 Sare-loturaren aldagaien metodoa 161 Sare-loturaren eragile horiek beste ezaugarri garrantzitsua dutela ikus daiteke plaquette eragilea definitzean Q ij (x) U j (x)u i (x + x j )U j (x + x i)u i (x). (E.8) Horiek ere gauge-aldaezinak dira Q ij (x) A(x)U j (x)a (x + x j ) A(x + x j )U i (x + x j )A i (x + x j + x i ) A(x + x j + x i )U j (x + x i)a (x + x i ) A(x + x i )U i (x)a (x) = A(x)Q ij (x)a (x) = Q ij (x), (E.9) matrize horiek trukakorrak baitira. Plaquette eragilea l sare-tarte txikietarako garatuz ondokoa lortuko dugu ReQ ij (x) = cos [ l (Y j (x) + Y i (x + x j ) Y j (x + x i ) Y i (x))] 1 l2 2 (Y j(x + x i ) Y j (x) Y i (x + x j ) Y i (x)) 2 + O(l 4 ). (E.10) Adierazpen hori Y ij Y ij gaiarekin erlazionatu dezakegu, zeren eta Y ij = i Y j (x) j Y i (x) 1 l [Y j(x + x i ) Y j (x) (Y i (x + x j ) Y i (x))] (E.11) da; eta, ondorioz, Y ij Y ij 2 l 4 (1 ReQ ij(x)). (E.12) Orain dentsitate hamiltondarra diskretizatu dezakegu. Oraingoz, denbora diskretizatzeke utziko dugu; baina, geroago, δt l denbora-tartea erabiliz diskretizatuko dugu. Diskretizatutako hamiltondarra ondoko hau da H = Π Π Ei E i + β ( Φ Φ 1 ) (D i Φ) (D i Φ) + 1 (1 ReQ 2l 4 ij ) i j +iy 0 ( Π Φ Φ Π ) + E i ( i Y 0 ). (E.13) Gure gauge-aukeraketa Y 0 = 0 da; eta, ondorioz, eremu honi dagokion higidura-ekuazioa eboluzioaren lotura bat izango da: Π(x) Φ(x) Φ (x)π(x) = i k E k = i l ( E k (x) E k (x x k ) ). (E.14) k

170 162 E eranskina Ekuazio hori, sarean eginiko Gauss-en legearen itzulpena da. Hasierako konfigurazioak (E.14) ekuazioa beteko badu, baita ere (E.15) ekuazioen bidezko sistemaren garapenak. Eremu dinamikoetarako higidura-ekuazioak ondoko hauek dira: Φ(x) = Π(x) Π(x) = β ( Φ (x)φ(x) 1 ) Φ(x) 6 [ l 2Φ(s) ] + 1 U l 2 j (x)φ(x + x j ) + U j (x x j)φ(x x j ) j Ẏ i (x) = E i (x) Ė i (x) = i ) (Φ (x)u i (x)φ(x + x i ) Φ (x + x i )U i l (x)φ(x) 1 (ImQ l 3 ij (x) ImQ ij (x x j )). j i (E.15) Staggered leapfrog delako metodoaren bidez diskretizatu dugu denbora (ikus (D.8) ekuazioa). Eremuak denbora-tarte osoetan bizi dira; eta, momentuak, denbora-tarte erdietan. Higidura-ekuazioak ondoko eran idatziko ditugu Φ(x, t + δt) = Φ(x, t) + δt Π(x, t + δt) Y i (x, t + δt) = Y i (x, t) + δt E i (x, t δt) Π(x δt) = (Γ ) 1 Γ + Π(x, 1 { 2 δt) + (Γ ) 1 δt β ( Φ (x)φ(x) 1 ) Φ(x) 6 l ]} 2Φ(x) [ + 1 U l 2 j (x)φ(x + x j ) + U j (x x j)φ(x x j ) j { E i (x, 3 2 δt) = (Γ ) 1 Γ + E i (x, 1 2 δt) + (Γ ) 1 1 δt (ImQ l 3 ij (x) ImQ ij (x x j )) j i i ( ) } Φ (x)u i (x)φ(x + x i ) Φ (x + x i )U i l (x)φ(x), (E.16) gauge-aldaezin diren γπ(x) eta γe i (x) gai barreiakorrak gehitu ondoren. Γ + eta Γ faktoreak (D.13) ekuazioan definitutakoak dira; eta gai barreiakorrei dagozkie. Batutako gai barreiakorrak gauge-aldaezinak direnez, Gauss-en legea automatikoki beteko dela ziur dakigu oraindik ere.

171 5.0 Sare-loturaren aldagaien metodoa 163 E.1 irudia: Eredu erdilokaleko eremu magnetikoaren balioa; t = 40 aldiunean (goiko irudiak) eta t = 56 aldiunean (beheko irudiak). Hasierako baldintza berbera izanik, 3. kapituluko diskretizazioa erabiliz lortutako eboluzioa adierazi dugu ezkerreko irudietan; eskuinekoetan, aldiz, sare-loturaren aldagaien bidezko diskretizazioaren araberako eboluzioa, eranskinean deskribatu dugunez. Bi simulazioek antzeko erantzuna jalgi zuten, sare-loturaren aldagaien kasuan soka zertxobait luzeagoak lortu arren. E.2 Eredu erdilokaleko simulazioak Sare-loturaren aldagaiak erabiliz 3. kapituluan lortutako emaitzak egia izaten jarraituko duten ikustearren, eredu erdilokalerako simulazio multzoa egingo dugu; eta eboluzioa bateragarria den ikusi. Hasierako baldintza berberetik abiatuz, bi diskretizazio metodoak erabiliz (D eranskineko metodo naïve-a eta sare-loturaren aldagaien metodoa) sistemaren bilakaera eragingo dugu. Simulazioetan ikusi dugunez, metodo bien emaitzak oso antzekoak dira puntuz puntu, E.1 irudian adierazi dugunez. Halere, ezberdinatasun xumeak ageri dira: soka zertxobait luzeagoak daude sare-loturaren aldagaien kasuan; eta soken arteko lotura berriak gertatu daitezke aldizka. Desberdintasun txiki horiek zenbaitetarainoko garrantzia duten ikusteko, eta gure emaitza estatistikoak aldatuko ote diren jakiteko, beste 120 simulazio burutuko ditugu metodo biak