Κλάσεις καθολικών και Αμφιμονοσήμαντων Συναρτήσεων

Transcript

1 ΑΝΝΑ ΚΟΥΤΡΟΥΜΠΟΥΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κλάσεις καθολικών και Αμφιμονοσήμαντων Συνατήσεων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επιβλέπουσα: Β Βλάχου, Λέκτοας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ-ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 6

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Κλασσικά θεωήματα και βοηθητικά λήμματα 4 Οισμοί-θεώημα Baire 4 Βοηθητικά τοπολογικά λήμματα 9 3 Ποσεγγιστικά θεωήματα και χήσιμες παατηήσεις 7 Καθολικές σειές Taylor με την έννοια του Β Νεστοίδη Οισμός-πειγαφή της κλάσης Απόδειξη κεντικού θεωήματος 3 Καθολικές συνατήσεις με την έννοια των πααγώγων 5 3 Οισμός -πειγαφή της κλάσης 5 3 Απόδειξη κεντικού θεωήματος 7 4 Αμφιμονοσήμαντες καθολικές συνατήσεις 3 4 Οισμοί και ποκατακτικά λήμματα 3 4 Απόδειξη κυίως αποτελέσματος 37 Βιβλιογαφία 43

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το αντικείμενο αυτής της εγασίας είναι η μελέτη κάποιων κλάσεων καθολικών συνατήσεων Οι κλάσεις αυτές πειέχουν συνατήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, οι οποίες παγματοποιούν εντυπωσιακές ποσεγγίσεις πάνω σε συμπαγή υποσύνολα του μιγαδικού επιπέδου Πιο συγκεκιμένα, θα ασχοληθούμε με δύο κλάσεις καθολικών σειών Taylor, και με μία κλάση καθολικών συνατήσεων ως πος τις πααγώγους Καθολική σειά Taylor, με την έννοια του Β Νεστοίδη, ονομάζουμε μία συνάτηση f, ολόμοφη σε κάποιο ανοιχτό σύνολο Ω, η οποία με τη βοήθεια των μεικών αθοισμάτων του αναπτύγματος Taylor γύω από ένα κέντο ζ Ω, ποσεγγίζει όλα τα πολυώνυμα ομοιόμοφα στα συμπαγή υποσύνολα του Ω, με συνεκτικό συμπλήωμα Αυτή την κλάση συνατήσεων την συμβολίζουμε με U(Ω,ζ) Επιπλέον υπάχει η ασθενέστεη κλάση U(Ω,ζ), των καθολικών σειών Taylor με την έννοια του Luh, η οποία πειέχει συνατήσεις που παγματοποιούν του ίδιου τύπου ποσεγγίσεις, αλλά μόνο σε συμπαγή υποσύνολα του Ω Το πώτο παάδειγμα καθολικής σειάς Taylor κατασκευάστηκε το 94 από τον Fekete (βλ[8]) Συγκεκιμένα απέδειξε την ύπαξη μιας δυναμοσειάς ax, = a, x [,], με την ιδιότητα ότι για κάθε παγματική συνεχή συνάτηση g στο [-,], με g()=, υπάχει ( λ ) ώστε ax gομοιόμοφα στο [-,] = k k κ= λ Το 945, ο Mehoff απέδειξε την ύπαξη τιγωνομετικής σειάς ae i θ, a συνάτηση f στο Τ, να υπάχει, στο μοναδιαίο κύκλο Τ, ώστε για κάθε μιγαδική μετήσιμη λ ikθ λ ae k f σχεδόν κ=-λ ( ) ώστε παντού στο Τ (βλ[5]) Το 95, ο Selezev έδωσε το πώτο παάδειγμα καθολικής σειάς Taylor στο μιγαδικό επίπεδο με μηδενική ακτίνα σύγκλισης Απέδειξε ότι υπάχει = az, ώστε για κάθε συμπαγές Κ στο \{} με συνεκτικό συμπλήωμα και για κάθε ακέαια συνάτηση f, υπάχει k ( λ ) ώστε az f λ k κ= ομοιόμοφα στο Κ (βλ[]) Στις αχές της δεκαετίας του 97, ο WLuh και οι Chui και Pare, απέδειξαν την ύπαξη μιας σειάς Taylor (με την έννοια του Luh) για Ω = {z : z < } και ζ=, που παγματοποιεί ποσεγγίσεις σε συμπαγή σύνολα Κ {z : z > }

4 Το 996, ο Β Νεστοίδης έδωσε νέα ώθηση στο θέμα Αχικά εγάστηκε στο Ω={ z : z < }, όπως και ο Luh, και στη συνέχεια σε γενικότεα χωία Απέδειξε ότι για κάθε απλά συνεκτικό τόπο Ω και για κάθε ζ Ω, η κλάση U(Ω,ζ) είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω) (τον χώο των ολόμοφων συνατήσεων στο Ω), με την τοπολογία της ομοιόμοφης σύγκλισης στα συμπαγή Δηλαδή όχι απλώς μη κενή, αλλά και ιδιαίτεα μεγάλη Η τίτη κλάση που θα μας απασχολήσει, είναι μία κλάση καθολικών συνατήσεων την οποία συμβολίζουμε με U der ( Ω ) και στην οποία ανήκουν συνατήσεις που παγματοποιούν ποσεγγίσεις με τη βοήθεια των πααγώγων τους Ο MaLae, το 95, ήταν ο πώτος ο οποίος απέδειξε την ύπαξη ακέαιας συνάτησης f ώστε το σύνολο των πααγώγων { f : } να είναι πυκνό στο χώο H ( ) των ακέαιων συνατήσεων εφοδιασμένο με την ίδια τοπολογία (βλ[]) Για μια τέτοια συνάτηση λέμε ότι ανήκει στην κλάση U der ( ) Ακόμη, ο Duyo Ruiz απέδειξε ότι το σύνολο των συνατήσεων που ανήκουν στην κλάση U der ( ) είναι reidual στο H ( ) και ιδιαίτεα είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του H ( ) (βλ[6]) Όλα τα πααπάνω αποτελέσματα ισχύουν σε οποιοδήποτε συνεκτικό τόπο Ω Συγκεκιμένα οι Gether και Shapiro (βλ[7]) και Groe-Εrdma (βλ[8]) χησιμοποιώντας το θεώημα Baire απέδειξαν ότι το σύνολο των συνατήσεων της κλάσεως U der ( Ω) είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω) Εμείς στο πώτο κεφάλαιο, παουσιάζουμε κάποια γενικά αποτελέσματα, που είναι ποαπαιτούμενα για ότι θα ακολουθήσει Πιο συγκεκιμένα, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το κλασσικό θεώημα Baire που ισχύει σε πλήεις χώους καθώς και κάποια τοπολογικά λήμματα που ισχύουν στο μιγαδικό επίπεδο Το πώτο λήμμα είναι ένα κλασσικό αποτέλεσμα που μας εξασφαλίζει την ύπαξη εξαντλούσας ακολουθίας συμπαγών συνόλων ενός ανοιχτού υποσυνόλου του, με κατάλληλες ιδιότητες Το δεύτεο λήμμα είναι ένα πιο ειδικό και τεχνικό αποτέλεσμα, οφείλεται στον ΒΝεστοίδη και θεωείται σημαντικό βήμα στην μελέτη των καθολικών σειών Taylor Επίσης, αναφέουμε τα γνωστά ποσεγγιστικά θεωήματα των Ruge και Mergelya με την βοήθεια των οποίων, μποούμε να μελετάμε μόνο τα πολυώνυμα και να έχουμε αποτελέσματα που ισχύουν σε γενικότεες συνατήσεις Στο δεύτεο κεφάλαιο θα παουσιάσουμε την απόδειξη του Β Νεστοίδη, ότι η κλάση U(Ω,ζ) είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω), με την τοπολογία που αναφέαμε πααπάνω Το αποτέλεσμα αυτό είναι ιδιαίτεα εντυπωσιακό, διότι μας αποκαλύπτει ότι με μεικά αθοίσματα αναπτύγματος της ίδιας συνάτησης, μποούμε να ποσεγγίσουμε όλα τα πολυώνυμα πάνω σε μια πολύ μεγάλη κλάση συμπαγών υποσυνόλων Στο κεφάλαιο 3, θα παουσιάσουμε την απόδειξη ότι η κλάση U der ( Ω) είναι G δ και πυκνό υποσύνολο στο Η(Ω) Όπως το πααπάνω αποτέλεσμα, έτσι και αυτό έχει ιδιαίτεο ενδιαφέον, αφού μας εξασφαλίζει την ύπαξη πολλών συνατήσεων στην κλάση U der ( Ω) Το τελευταίο κεφάλαιο αποτελεί το κύιο μέος της παούσας εγασίας Βασικός στόχος μας είναι να αποδείξουμε την ύπαξη - συνατήσεων στην τομή των κλάσεων U (, ) ( ) Ω ζ I U der Ω (βλ[5]) Σημειώνουμε ότι για αυτό το αποτέλεσμα πέπει το Ω να είναι ειδικότεα χωίο Jorda Στην

5 βιβλιογαφία έχει αποδειχτεί ότι η κλάση U(D,) δεν πειέχει - συνατήσεις, και μάλιστα είναι ξένη με την κλάση Nevalia οπότε δεν πειμένουμε από τις συνατήσεις αυτές να έχουν καλές ιδιότητες (βλ[4]) Αντίθετα το αποτέλεσμα που παουσιάζουμε υποδηλώνει ότι το φαινόμενο αυτό δεν εμφανίζεται στις υπόλοιπες δύο κλάσεις καθολικών συνατήσεων και δείχνει πόσο διαφοετική είναι η κλάση U(Ω,ζ) από την κλάση U ( Ω, ζ ) 3

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΛΑΣΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΛΗΜΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό πειέχονται ποαπαιτούμενες γνώσεις για την μελέτη κλάσεων καθολικών συνατήσεων που θα παουσιάσουμε στην συνέχεια Πιο συγκεκιμένα, θα δούμε τόσο κλασσικά αποτελέσματα γενικού χαακτήα, όσο και πιο ειδικά εευνητικά λήμματα, που σχετίζονται με το θέμα ΟΡΙΣΜΟΙ-ΘΕΩΡΗΜΑ BAIRE Οισμός Έστω Χ ένα μη κενό σύνολο και : Χ Χ μία συνάτηση Η ονομάζεται μετική στο Χ αν για τυχόντα x, y, z στο Χ ικανοποιούνται οι τεις επόμενες ιδιότητες: i) (x,y) = x = y ii) (x,y) = (y,x) iii) (x,y) (x,z) + (z,y) Ένα σύνολο X εφοδιασμένο με μία μετική ονομάζεται μετικός χώος και συμβολίζεται (X,) Ένας μετικός χώος (X,) λέγεται πλήης μετικός χώος αν κάθε ακολουθία Cauhy στοιχείων του X συγκλίνει Οισμός Ένα υποσύνολο Α ενός μετικού χώου X είναι κλειστό, αν και μόνο αν, για κάθε ακολουθία (α ) στοιχείων του Α, συγκλίνουσα στον Χ, ισχύει limα Α Οισμός 3 Αν Α είναι ένα υποσύνολο ενός μετικού χώου Χ και l ένα σημείο του Χ τότε: Το l ανήκει στην κλειστότητα του Α,(Α), αν και μόνο αν, υπάχει ακολουθία (α ) στοιχείων του Α με limα = l Επίσης για κάθε x X παακάτω συμβολισμούς: και για κάθε r > θα χησιμοποιούμε τους 4

7 S(x,r) = {y X : (x,y) < r} για την ανοιχτή σφαία με κέντο το x και ακτίνα r και: Β(x,r) = {y X :(x,y) r} για την κλειστή σφαία με κέντο το x και ακτίνα r Οισμός 4 Ένα υποσύνολο Α ενός μετικού χώου Χ είναι ανοιχτό, αν και μόνο αν, για κάθε x Α, υπάχει r > ώστε: S(x,r) Α Οισμός 5 Ένα υποσύνολο Α ενός μετικού χώου X είναι πυκνό υποσύνολο του X, αν και μόνο αν, i) Α = X ή ισοδύναμα ii) Για κάθε μη κενό και ανοιχτό υποσύνολο Β του Χ ισχύει ΑI Β Ως πώτο αποτέλεσμα παουσιάζουμε το γνωστό θεώημα του Baire (βλ επίσης, [9]), το οποίο παίζει κεντικό όλο στις αποδείξεις των κυίως αποτελεσμάτων της εγασίας αυτής Πιν όμως ασχοληθούμε με το θεώημα αυτό, θα θέλαμε να σημειώσουμε το εξής: Σε έναν μετικό χώο ισχύει πάντα: S(x,r) S(x,r) B(x,r) Όμως υπάχουν πειπτώσεις στις οποίες το σύνολο S(x,r) δεν πειέχει όλα τα y που ικανοποιούν την ανίσωση (x,y) r δηλαδή μποεί να συμβεί: S(x,r) B(x,r) και για το λόγο αυτό θα εγαζόμαστε με το σύνολο B(x,r) και όχι με το σύνολοs(x,r) Στο παακάτω παάδειγμα παουσιάζουμε μία τέτοια πείπτωση Παάδειγμα 6 Θωούμε τον εφοδιασμένο με τη διακιτή μετική, η οποία οίζεται ως εξής: (x,y) =, x y, x = y Τότε: και S(,) = {y : (y,) < } = {} S(,) = {y : {x } S(,) : x y} = {} 5

8 Γίνεται, λοιπόν, φανεό ότι: B(,) = {y : (y,) } = S(,) B(,) Θεώημα 7 (Baire) Έστω (X,) με Χ ένας πλήης μετικός χώος και {G } μία ακολουθία ανοιχτών και πυκνών υποσυνόλων του Χ Τότε το σύνολο D= I G είναι πυκνό υποσύνολο του Χ Ξ Παατήηση 8 Το θεώημα Baire δεν ισχύει για σύνολα που είναι μόνο πυκνά Για παάδειγμα τα σύνολα και \ είναι πυκνά στο, αλλά η τομή τους είναι το κενό σύνολο Απόδειξη(θεωήματος) Έστω ότι τα G,G,G 3 είναι πυκνά και ανοιχτά σύνολα στον Χ και έστω W Ή Ζ ένα ανοιχτό σύνολο στον Χ Ακεί να δείξουμε ότι: Παατηούμε ότι: ( IG ) IW = W I G εφόσον το G είναι πυκνό σύνολο στον Χ Αα υπάχει x X τέτοιο ώστε: x W I G Επιπλέον, το σύνολο W I G είναι ανοιχτό ως τομή ανοιχτών συνόλων Μποούμε, λοιπόν, να βούμε μία ανοιχτή σφαία με κέντο το x και ακτίνα ε > ώστε: S(x,ε ) W I G όπου S(x,ε ) = {y X:(x,y) < ε } Επιλέγουμε έναν παγματικό αιθμό δ με: < δ < mi{ε, } Τότε : B(x,δ ) S(x,ε ) W I G () 6

9 δ x ε Επομένως, για κάθε ανοιχτή σφαία στον Χ, υπάχει κλειστή σφαία ίδιου κέντου, η οποία να πειέχεται στην ανοιχτή Στη συνέχεια εφαμόζουμε το ίδιο επιχείημα για το πυκνό σύνολο G και έχουμε: Συνεπώς υπάχει x To S(x,δ ) I G X ώστε: x S(x,δ ) I G S(x,δ ) I G είναι ένα ανοιχτό σύνολο ως τομή ανοιχτών συνόλων Επομένως υπάχει ανοιχτή σφαία S(x,ε ) S(x,δ ) I G W I(GI G ), με ε > δ G x x ε Όπως είδαμε και ποηγουμένως, μποούμε να επιλέξουμε παγματικό αιθμό δ με: < δ < mi{ε, } ώστε: B(x,δ ) W I(GIG ) () Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία κατασκευάζουμε επαγωγικά μια ακολουθία στοιχείων x,x,,x,του Χ καθώς και μία ακολουθία παγματικών αιθμών δ,δ τέτοιες ώστε: B(x,δ ) W I(GIG I I G ) δηλαδή x W I(GIG I G ) 7

10 και < δ < mi{ε, } Η κατασκευή δείχνει ότι: x B(x,δ ) =,3, Θα δείξουμε ότι η ακολουθία {x } είναι ακολουθία Cauhy στον Χ Για κάθε επιλογή i, j Ξ με i>j η τιγωνική ιδιότητα μας δίνει ότι: (x,x ) (x,x ) + (x,x ) + + (x,x ) i j i i i i j+ j Τα x B(x,δ ) οπότε για την απόσταση δύο διαδοχικών όων της ακολουθίας θα έχουμε: (x,x ) δ < Άα: (x i,x j) < < i i j j + j + + i + + = ( ) = = j j j Έστω ένα ε > Εφόσον η ακολουθία, όταν το, θα υπάχει τέτοιο ώστε: ε j Για i> j έχουμε : < j (x,x ) i j < ε {x } είναι ακολουθία Cauhy στον Χ {x } είναι συγκλίνουσα {x } είναι συγκλίνουσα ακολουθία στον Χ, θα υπάχει Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι η ακολουθία Αλλά ο Χ είναι πλήης χώος και επομένως η στον Χ Εφόσον η x X τέτοιο ώστε: Έστω Θα δείξουμε ότι: lim x = x Για i>, ο όος x i της ακολουθίας ανήκει στο σύνολο ένα κλειστό σύνολο Έτσι και το x ανήκει επίσης στο B(x,δ ) Αλλά: B(x,δ ) W I(GIG I I G ) Τελικά: x W I(GIG I I G ) B(x,δ ), που είναι 8

11 x W I(GIG I I G ) Δηλαδή αποδείξαμε ότι για κάθε, x W I(G IG I I G ) που σημαίνει ότι και έτσι έχουμε το ζητούμενο x W I D ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ ΛΗΜΜΑΤΑ Μετά το τοπολογικό θεώημα του Baire, ακολουθεί ένα θεώημα που σχετίζεται με την τοπολογία του, του χώου στον οποίο δουλεύουμε στην εγασία αυτή Πιο συγκεκιμένα, θα δούμε τον τόπο με τον οποίο μποούμε να κατασκευάσουμε μία εξαντλούσα ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων ενός ανοιχτού συνόλου Ω (βλ [9]) Θεώημα 9 Έστω Ω ανοιχτό υποσύνολο του Τότε υπάχει {L } ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων του Ω, =,, τέτοια ώστε : i) L L +, =,, o ii) Αν L συμπαγές υποσύνολο του Ω τότε L iii) Αν το Ω είναι απλά συνεκτικός τόπος, τότε: Το \L είναι συνεκτικό Απόδειξη Θέτουμε : όπου L = {z : z και L, για κάποιο (z, \ Ω) } (z, \ Ω) = if{ z-w :w \Ω} Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η συνάτηση :z (z, \ Ω) είναι ομοιόμοφα συνεχής στο άα και συνεχής στο Πιο συγκεκιμένα, θεωούμε ένα ε> και θα αποδείξουμε ότι υπάχει δ> τέτοιο ώστε: να ισχύει ότι: Πάγματι, για κάθε ζ άα, και λόγω συμμετίας ισχύει τελικά: αν z,w Ξ και z w < δ (z, \ Ω) (w, \ Ω) < ε \ Ω ισχύει ότι: (z, \ Ω) z ζ z w + w ζ (z, \ Ω)-(w, \ Ω) z w (z, \ Ω) -(w, \ Ω) z w () Οπότε, αν επιλέξουμε δ=ε θα έχουμε: 9

12 z w < ε και άα από τη σχέση () ποκύπτει ότι: Έτσι έχουμε το ζητούμενο (z, \ Ω) (w, \ Ω) < ε Συνεχίζοντας την απόδειξη, παατηούμε ότι το σύνολο L είναι φαγμένο, αφού, z, " zξ L Για να αποδείξουμε ότι το σύνολο L είναι συμπαγές ακεί να αποδείξουμε ότι είναι κλειστό, κάτι που ισχύει αφού το L είναι τομή δύο κλειστών συνόλων Η κλειστότητα του πώτου συνόλου είναι ποφανής, ενώ η κλειστότητα του δεύτεου έπεται από την συνέχεια της (z, \ Ω) i) Θα αποδείξουμε ότι Έστω z L Τότε: L L + o άα υπάχει δ >, ώστε: Επιπλέον: z < + (z, \ Ω) > + άα υπάχει δ >, ώστε: (z, \ Ω) - δ > + θέτουμε: z + δ < + (3) U(z) = {w : w z < mi{δ,δ }} Το σύνολο αυτό είναι ένας ανοιχτός δίσκος κέντου z, άα ανοιχτή πειοχή του z Θα δείξουμε ότι: Έστω ένα w Τότε: U(z) U(z) L + w z < δ Οπότε, με τη βοήθεια της (3), βίσκουμε ότι: Από την άλλη πλευά, έχουμε: Και αφού ισχύει η ανίσωση : w w z + z < δ + z < + (5) w z δ < (z, \ Ω)-(w, \ Ω) w z < δ, καταλήγουμε, μέσω της σχέσης (4), στο συμπέασμα ότι: (4)

13 (w, \ Ω) (z, \ Ω) δ > (6) + Από τις σχέσεις (5) και (6) έπεται ότι w L +, δηλαδή U(z) L + ii) Έστω L συμπαγές υποσύνολο του Ω Τότε το L είναι φαγμένο και άα υπάχει > τέτοιο ώστε: z, για κάθε στοιχείο z L Επιπλέον το σύνολο L είναι συμπαγές και το συμπλήωμα ανοιχτού, οπότε (L, \ Ω) > Θεωούμε φυσικό αιθμό τέτοιο ώστε: και Τότε, για κάθε z L ισχύει: και z (L, \ Ω) ³ z Άα Ξ και επομένως iii) Το \ Ω είναι το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο \ Ω είναι κλειστό ως (z, \ Ω) (L, \ Ω) L L L είναι ένα άφαχτο συνεκτικό σύνολο, όπου = U{ } Ω Εφόσον, L Ω θα ισχύει ότι: \ Ω \L Η τελευταία σχέση δείχνει ότι κάθε συνεκτική συνιστώσα του πειέχεται σε συνεκτική συνιστώσα του \ L Αυτό που θέλουμε να δείξουμε είναι ότι το σύνολο \ L είναι συνεκτικό \ Ω

14 Σημειώνουμε ότι το σύνολο L είναι συμπαγές και έτσι δεν παίζει όλο αν θα εξετάσουμε το συμλήωμά του στο ή στο Για το λόγο αυτό ακεί να δείξουμε ότι το L είναι συνεκτικό σύνολο, όπου: L = {z Ξ : z > } U{z Ξ : (z, \ Ω) < } Το σύνολο {z Ξ : z > } είναι ανοιχτό σύνολο ως συμπλήωμα κλειστού Το σύνολο {z Ξ : (z, \ Ω) < } είναι επίσης ένα ανοιχτό σύνολο ως συμπλήωμα κλειστού Ακόμη, και τα δύο σύνολα είναι συνεκτικά ( Η συνεκτικότητα του δεύτεου συνόλου ποκύπτει από την συνεκτικότητα του \ Ω ) Τέλος, επειδή το \ Ω είναι μη φαγμένο, υπάχει z \Ω τέτοιο ώστε: z > Αποδείξαμε, λοιπόν ότι το L είναι ένωση ανοιχτών και συνεκτικών συνόλων με μη κενή τομή, δηλαδή ότι είναι συνεκτικό Σε αυτό το σημείο, θα πέπει να αναφέουμε ότι για κάθε ανοιχτό σύνολο Ω Μ, θα συμβολίζουμε με Η(Ω) το σύνολο όλων των ολόμοφων συνατήσεων στο Ω Με τη βοήθεια του ποηγούμενου αποτελέσματος, θα εφοδιάσουμε τον χώο αυτό με μια τοπολογία Πιο συγκεκιμένα, για δύο συνατήσεις f,g Η(Ω), οίζουμε την μετική στο σύνολο Η(Ω), ως εξής: f g L (f,g) = = + f g L όπου, h L = up{h(z) : z L } Η τοπολογία που επάγεται από τη μετική αυτή ονομάζεται τοπολογία της ομοιόμοφης σύγκλισης σε συμπαγή σύνολα Δηλαδή μία ακολουθία συνατήσεων {f } του Η(Ω) συγκλίνει σε μία συνάτηση f, αν για κάθε L συμπαγές υποσύνολο του Ω ισχύει: f - f Τα βασικά ανοιχτά σύνολα αυτής της τοπολογίας είναι της μοφής: V = {gξ Η(Ω) : up f(z) - g(z) < ε}, f zξl όταν τα f Η(Ω), ε >, L Ω είναι σταθεοποιημένα Ένα τέτοιο σύνολο αποτελεί μία γειτονιά της f στο Η(Ω) L Το λήμμα που ακολουθεί είναι ένα πιο ειδικό αποτέλεσμα και έδωσε ώθηση στην θεωία των καθολικών σειών Taylor (βλ[6]) Οφείλεται στον Β

15 Νεστοίδη, ο οποίος κατάφεε να αποδείξει την ύπαξη καθολικών συνατήσεων οι οποίες επιτυγχάνουν ποσεγγίσεις με μεικά αθοίσματα και πάνω στο σύνοο του πεδίου οισμού τους Πεισσότεες, όμως, πληοφοίες για τέτοιου είδους ποσεγγίσεις, θα δώσουμε στο επόμενο κεφάλαιο στο οποίο μελετάμε την κλάση στην οποία ανήκουν οι πααπάνω συνατήσεις Λήμμα Έστω Ω ένας απλά συνεκτικός τόπος Τότε: Υπάχει ακολουθία συμπαγών συνόλων {Κ } με Κ Ω και Κ συνεκτικό, ώστε για κάθε συμπαγές Κ Ω με Κ συνεκτικό να υπάχει με Κ Κ Απόδειξη Σταθεοποιούμε ένα ζ Ω Έστω ένα συμπαγές σύνολο Κ με Κ Ω και Κ συνεκτικό Εφόσον το Κ είναι συμπαγές, θα υπάχει ώστε: Κ {z : z } Τα σημεία ζ, + Κ Το Κ είναι ανοιχτό σύνολο, ως συμπλήωμα κλειστού, αλλά και συνεκτικό Επομένως είναι και κατά τόξα συνεκτικό Άα θα υπάχει πολυγωνική γαμμή Γ Κ με ενδιάμεσες κουφές σημεία με ητές συντεταγμένες, που έχει αχικό σημείο το ζ και τελικό το + Για κάθε φυσικό αιθμό, κατασκευάζουμε μία αιθμήσιμη οικογένεια συμπαγών συνόλων Πιο συγκεκιμένα, για κάθε και για κάθε πολυγωνική γαμμή Γ, θέτουμε: L(,Γ,) = {z : z,(z,γ),z Ω } Η απόσταση της Γ από το σύνολο Κ,(Γ,Κ) είναι θετική ως απόσταση συμπαγούς από κλειστό Εφόσον η απόσταση (Γ,Κ)>, θα υπάχει μία ελάχιστη τιμή Έτσι θεωούμε * ώστε >, όπου =(Γ,Κ) Θα δείξουμε ότι το σύνολο L(,Γ,) είναι συμπαγές, με L(,Γ,) συνεκτικό Ακόμη θα δείξουμε ότι Κ L(,Γ,) Ονομάζουμε Α,Α,Α3τα σύνολα: {z : z }, {z : (z,γ) }, {z : z Ω } αντίστοιχα Παατηούμε ότι: L(,Γ,) = ΑIΑ I Α3 οπότε το σύνολο L(,Γ,) είναι κλειστό ως τομή κλειστών συνόλων Ακόμη εχουμε: 3

16 L(,Γ,) {z : z } οπότε το σύνολο L(,Γ,) είναι συμπαγές ως κλειστό υποσύνολο συμπαγούς Ισχυισμός Το L(,Γ,) είναι συνεκτικό Απόδειξη Ονομάζουμε Β,Β,Β 3 τα σύνολα: {z : z > }, {z : (z,γ) < }, {z : z Ω} αντίστοιχα Το σύνολο L(,Γ,) είναι η ένωση των Β,Β,Β 3 τα οποία είναι ανοιχτά και συνεκτικά, δηλαδή και κατά τόξα συνεκτικά Ξέουμε ότι : + Β Ακόμη + Β γιατί: + Γ, άα ( +,Γ) = < δηλαδή, ΒI Β Επίσης, το ζ Γ άα: (ζ,γ) = < δηλαδή ζ Β Αλλά το ζ Ω οπότε ζ Β3 και άα: Β I Β3 Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι το L(,Γ,) είναι ένωση ανοιχτών και συνεκτικών συνόλων που τέμνονται μεταξύ τους, άα είναι συνεκτικό Ακόμα πέπει να δείξουμε ότι Κ L(,Γ,) Έστω z K Έχουμε ότι: Κ {z : z } και άα: z Εφόσον z K και το K είναι υποσύνολο του z Ω Ακόμη, (z,γ) γιατί: (K,Γ) = if{(z,γ):z K} και άα Από τις πααπάνω σχέσεις ποκύπτει ότι: Ω, θα έχουμε ότι: (z,γ) (K,Γ) > 4

17 z L(,Γ,) Καταλήγουμε, λοιπόν, στο συμπέασμα ότι τα σύνολα L(,Γ,)(βλσχήμα) απατίζουν την ζητούμενη ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων του Ω Ω / + ζ / L(,Γ,S) Το επόμενο λήμμα σχετίζεται με την κλάση που μελέτησε ο Luh (βλ[], []) Στην απόδειξη που θα παουσιάσουμε, επαναλαμβάνουμε τα βήματα της απόδειξης του Β Νεστοίδη που είδαμε στο ποηγούμενο λήμμα Λήμμα Έστω Ω ένας απλά συνεκτικός τόπος Τότε: Υπάχει ακολουθία συμπαγών συνόλων {K } με K Ω και K συνεκτικό, ώστε για κάθε συμπαγές K Ω με K συνεκτικό να υπάχει με K K (βλ []) Απόδειξη Σταθεοποιούμε ένα σημείο ζ Ω Έστω K Ω συμπαγές με K συνεκτικό Το Κ είναι συμπαγές άα ώστε: K {z : z } Τα ζ, + K Για τους λόγους που αναφέαμε και στο ποηγούμενο λήμμα, υπάχει πολυγωνική γαμμή Γ K, με ενδιάμεσες κουφές σημεία με ητές συντεταγμένες, που έχει αχικό σημείο το ζ και τελικό το + Η απόσταση της Γ από το σύνολο Κ, (Γ, Κ), είναι θετική ως απόσταση συμπαγούς από κλειστό Οπότε θα έχει μια ελάχιστη τιμή * Επιλέγουμε ώστε: (Γ,Κ) > και (Ω,Κ) > () Για, και Γ πολυγωνική γαμμή οίζουμε το σύνολο: L(,Γ,) = {z : z, (z,γ), ( z, Ω) } 5

18 Θα αποδείξουμε ότι το σύνολο αυτό είναι συμπαγές με L(,Γ,) συνεκτικό και Κ L(,Γ,) Χησιμοποιώντας παόμοιες σκέψεις με εκείνες του ποηγούμενου λήμματος, διαπιστώνουμε εύκολα ότι το σύνολο L(,Γ,) είναι κλειστό και συμπαγές Ισχυισμός Το L(,Γ,) είναι συνεκτικό Β,Β,Β τα σύνολα: {z : z > }, {z : (z,γ) < }, Απόδειξη Ονομάζουμε 3 αντίστοιχα Το σύνολο L(,Γ,) = B B B 3 και κατά τόξα συνεκτικά Το + B και + B γιατί : + Γ οπότε, Άα: Ακόμη έχουμε ότι: To ζ Ω, άα: δηλαδή, Επίσης, το ζ δηλαδή, Γ άα: {z : (z,ω) < } U U τα οποία είναι ανοιχτά και συνεκτικά άα ( +,Γ) = B I B (ζ,ω) = < ζ Β 3 (ζ,γ) = < ζ Β < Έτσι ποκύπτει ότι: B I B3 Το σύνολο L(,Γ,) είναι ένωση ανοιχτών και συνεκτικών συνόλων που τέμνονται μεταξύ τους άα είναι συνεκτικό Επίσης, αποδεικνύουμε ότι K L(,Γ,) Έστω ότι z K Επειδή, θα ισχύει ότι: K {z : z } z 6

19 Ακόμη έχουμε: (K,Γ) = if{(z,γ):z K} άα, χησιμοποιώντας και τη σχέση (), θα έχουμε: (z,γ) (Κ,Γ)> Τέλος, έχουμε: (Κ,Ω) = if{(z,ω):z Κ} Επομένως, πάλι με τη βοήθεια της σχέσης (), ποκύπτει ότι: (z,ω) (Κ,Ω) > Από τις πααπάνω σχέσεις βγαίνει το συμπέασμα ότι: z L(,Γ,) Αν πάουμε την αιθμήσιμη ένωση των L(,Γ,) θα έχουμε μία ακολουθία συμπαγών συνόλων του Ω με τις ιδιότητες που θέλουμε 3 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην αχή αυτής της πααγάφου θα αναφέουμε και θα αποδείξουμε ένα απλό λήμμα το οποίο αφοά συγκεκιμένες παάγουσες πολυωνύμου Η απόδειξη που παουσιάζουμε βίσκεται στο [5], αλλά το αποτέλεσμα είναι ευέως γνωστό Λήμμα Έστω φ ένα πολυώνυμο Τότε υπάχει ακολουθία πολυωνύμων {P } τέτοια ώστε : () P (z) = φ(z) και P στα συμπαγή του Απόδειξη Έστω, N k φ(z) = αkz k= πολυώνυμο Οίζουμε την ακολουθία πολυωνύμων N + k αkz P(z) = =,,, k= (k + )(k + ) Εύκολα βλέπει κανείς ότι: () P (z) = φ(z) Για παάδειγμα: N k+ N k αkz ' (k + )α kz k= k+ k= k+ P (z) =, P (z) = = φ(z) Δίνουμε ακόμη ένα παάδειγμα 3 Εάν φ(z) = z τότε : 7

20 4 z () P(z) = ώστε P (z) = φ(z) z () 5z z P(z) = ώστε P (z) = = 4 και () 3 P (z) = z = φ(z) 6 z (3) P(z) 3 = ώστε P 3 (z) = φ(z) 6 Επιστέφοντας στην απόδειξη θεωούμε: L συμπαγές και M= up z Τότε : α z α z N + k N + k k k up P (z) = up up k= (k + )(k + ) k= (k + )(k + ) N + k αkz z L k =! up M up α M = α M N N + k k k k z L! k=! k= Στη συνέχεια, θα αναφέουμε τα πολύ γνωστά θεωήματα των Ruge και Mergelya (βλ [9]) με τα οποία πετυχαίνουμε ποσεγγίσεις συνατήσεων από πολυώνυμα, σε συμπαγή σύνολα Γενικά, η ποσέγγιση συνατήσεων από πολυώνυμα, αποτελεί μία πολύ χήσιμη τεχνική στη μελέτη συνατήσεων στην ανάλυση Εφόσον σε αυτή την εγασία ασχολούμαστε με κλάσεις συνατήσεων που παγματοποιούν ποσεγγίσεις με μεικά αθοίσματα αλλά και με πααγώγους, η χησιμότητα των δύο αυτών θεωημάτων είναι πολύ μεγάλη Θεώημα 3 (Ruge) Έστω Ω ένα ανοιχτό υποσύνολο του και έστω μία ολόμοφη συνάτηση f:ω Αν L Ω συμπαγές με L συνεκτικό, τότε υπάχει ακολουθία πολυωνύμων {p } τέτοια ώστε: up p (z) f(z), 8

21 Κ συνεκτικό και o Θεώημα 4 (Mergelya) Έστω Κ συμπαγές με έστω μία συνάτηση f:κ συνεχής στο Κ και ολόμοφη στο Κ Τότε υπάχει ακολουθία πολυωνύμων {p } τέτοια ώστε: up p (z) f(z), z Κ Παατήηση 5 Γνωίζοντας ότι το σύνολο των ητών είναι πυκνό στο σύνολο των παγματικών, δηλαδή =, μποούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο + i είναι πυκνό στο Θα μποούμε, λοιπόν, χωίς βλάβη της γενικότητας, να υποθέτουμε στα πααπάνω αποτελέσματα ότι οι συντελεστές των πολυωνύμων p ανήκουν στο + i Επίσης, θεωούμε {f j} j Ξ, μία αίθμηση όλων των πολυωνύμων με συντελεστές στο + i 9

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ Β ΝΕΣΤΟΡΙΔΗ Στο κεφάλαιο αυτό ξεκινάμε την μελέτη αποτελεσμάτων που αποτελούν το βασικό αντικείμενο αυτής της εγασίας Πιο συγκεκιμένα, θα ασχοληθούμε με την κλάση καθολικών σειών Taylor, με την έννοια του Β Νεστοίδη, που συνδέεται με τα μεικά αθοίσματα του αναπτύγματος Taylor και συμβολίζεται με U(Ω,ζ), όπου ο Ω είναι ένας απλά συνεκτικός τόπος και το ζ ένα σημείο στο Ω Σημειώνουμε ότι, αν η f είναι μία συνάτηση στο Η(Ω), τότε συμβολίζουμε με f (ζ) S(f,ζ)(z) = (z ζ) N N () το Ν- οστό άθοισμα των =! μεικών αθοισμάτων του αναπτύγματος Taylor της f κέντου ζ Στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι η κλάση U(Ω,ζ) είναι ένα G δ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω), όπου Η(Ω) είναι το σύνολο των ολόμοφων συνατήσεων, εφοδιασμένο με την τοπολογία της ομοιόμοφης σύγκλισης στα συμπαγή ΟΡΙΣΜΟΣ- ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΛΑΣΗΣ Οισμός Μία συνάτηση f Η(Ω) ανήκει στην κλάση U(Ω,ζ) εάν για κάθε συμπαγές Κ Ω με Κ συνεκτικό και για κάθε συνάτηση o φ : Κ, συνεχής στο Κ και ολόμοφη στο Κ, υπάχει ακολουθία {λ } φυσικών αιθμών τέτοια ώστε: up S (f,ζ)(z) φ(z) z Κ λ Για,j, Ξ \ και Ξ, θεωούμε το σύνολο: Ε(Ω,,j,,) = {g Η(Ω):up S (g,ζ)(z) f(z) j < } z K όπου {Κ } Ξ είναι μία ακολουθία συμπαγών συνόλων με τις ιδιότητες του λήμματος Όπως ποαναφέαμε, σε αυτό το κεφάλαιο θα ποσπαθήσουμε να δείξουμε ότι το σύνολο των συνατήσεων που ανήκουν στην κλάση U(Ω,ζ)

23 είναι G και πυκνό (βλ [6],[7]) Σε πώτη φάση, αποδεικνύουμε ότι η δ κλάση U(Ω,ζ) είναι ίση με το σύνολο IIIUΕ(Ω,,j,,) = j= = = Λήμμα Αποδεικνύουμε την παακάτω ισότητα : U(Ω,ζ) = IIIU Ε(Ω,,j,,) = j= = = Απόδειξη Έστω μία συνάτηση f IIIU Ε(Ω,,j,,) και έστω = j= = = Κ Ω συμπαγές, με Κ συνεκτικό Ακόμη θεωούμε μία συνάτηση o φ : Κ, η οποία είναι συνεχής στο Κ και ολόμοφη στο Κ Θα δείξουμε ότι f U(Ω,ζ), δηλαδή, ότι: Υπάχει ακολουθία {λ } φυσικών αιθμών ώστε: z Κ λ up S (f,ζ)(z) φ(z) () Έστω ε> Ποκειμένου να ισχύει η σχέση () ακεί να αποδείξουμε ότι υπάχει τέτοιο ώστε: up S (f,ζ)(z) φ(z) < ε () z Κ λ Παατηώντας ότι η συνάτηση φ(z) ικανοποιεί τις ποϋποθέσεις του θεωήματος Mergelya, βίσκουμε πολυώνυμο p(z) τέτοιο ώστε: ε up p(z) φ(z) < (3) z K Λαμβάνοντας υπόψη την παατήηση 5, μποούμε να υποθέσουμε ότι το πολυώνυμο p(z) έχει συντελεστές στο + i, οπότε: p(z) = f (z) για κάποιο j και από τη σχέση (3) ποκύπτει ότι: ε up f j(z) φ(z) < z K (4) Σταθεοποιώντας τα, ώστε: ε <, (5) Κ Κ και χησιμοποιούμε την υπόθεση για να βούμε συγκεκιμένο N ώστε: up S N(f,ζ)(z) f j(z) < (6) z K Έτσι, από τις σχέσεις (4), (5), (6) ποκύπτει ότι: up S N(f,ζ)(z) φ(z) up S N(f,ζ)(z) f(z) j z Κ z Κ j + up j z Κ f(z) φ(z) <

24 ε ε up S N(f,ζ)(z) f j(z) + up f j(z) φ(z) < + = ε z Κ z Κ Επομένως καταλήξαμε στην ζητούμενη σχέση Αντίστοφα Έστω ότι f U(Ω,ζ) Θα αποδείξουμε ότι για σταθεοποιημένα,,j, υπάχει ώστε: up S (f,ζ)(z) f j(z) < z K Από την υπόθεση γνωίζουμε ότι υπάχει ακολουθία {λ } ώστε: up S (f,ζ)(z) f (z) z Κ λ Από την πααπάνω σύγκλιση το αποτέλεσμα έπεται άμεσα ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Λήμμα 3 Το σύνολο Ε(Ω,,j,,) είναι ανοιχτό στο Η(Ω) για κάθε,j, \ και Απόδειξη Έστω μία συνάτηση f με f Ε(Ω,,j,,) Στόχος μας είναι να βούμε μία γειτονια της f, V f, όπου: V = {g H(Ω) : up f(z) g(z) < ε}, f για κατάλληλη επιλογή συμπαγούς συνόλου L και θετικού αιθμού ε> και τέτοια ώστε: Vf Ε(Ω,,j,,) Το ζ Ω και το Ω είναι ένα ανοιχτό σύνολο Επομένως υπάχει δίσκος D(ζ,r) ώστε: Θέτουμε: Ακόμη, επιλέγουμε: D(ζ,r) L j Ω = D(ζ,r) up S (f,ζ)(z) f j (z) z Κ ε = > k z ζ up k z Κ k = r Έστω g Vf Θα δείξουμε ότι η g ανήκει στο σύνολο Ε(Ω,,j,,), δηλαδή ότι: up S (g,ζ)(z) f j(z) < z K Έχουμε:

25 up S (g,ζ)(z) f (z) up S (g,ζ)(z) z K j f(z) z K j z K S (f,ζ)(z) + S(f,ζ)(z) - up S (g,ζ)(z) S (f,ζ)(z) + up S (f,ζ)(z) f (z) Επίσης, η διαφοά των g, f είναι μία αναλυτική συνάτηση στον D(ζ,r) Αν, λοιπόν, z Κ Μ(ζ,r) = max{ g(z) f(z) : z ζ r} () j δίσκο τότε από τις Εκτιμήσεις Cauhy ποκύπτει ότι: (k) (k) k! g (ζ) f (ζ) Μ(ζ,r) () k r Αλλά, (k) (k) up S (g,ζ)(z) S (f,ζ)(z) = g (ζ) k up (z ζ) z K z Κ k= k! f (ζ) k= k! (k) (k) k g (ζ) f (ζ) k (z ζ) up z ζ (3) z Κ k = k! Έτσι, από την πααπάνω σχέση και με τη βοήθεια της (), θα έχουμε: Μ(ζ,r) k up S (g,ζ)(z) S (f,ζ)(z) up z ζ (4) k z K z Κ k = r Αλλά από τον οισμό της V f το Μ(ζ,r) < ε Άα από την σχέση (4) ποκύπτει ότι: k ε k z ζ up S (g,ζ)(z) S (f,ζ)(z) up z ζ = ε up k k z K z Κ k = (5) r z Κ k= r Έτσι επιστέφοντας στη σχέση (), χησιμοποιώντας τη σχέση (5) και αντικαθιστώντας το ε θα έχουμε: up S (g,ζ)(z) f j(z) up S (f,ζ)(z) f j(z) + z K z K up S (f,ζ)(z) f j(z) = z K Άα g Ε(Ω,,j,,) Λήμμα 4 Για κάθε,j, \{} και το σύνολο είναι πυκνό στο Η(Ω) ΑπόδειξηΈστω f Η(Ω), ε> και L Ω συμπαγές U Ε(Ω,,j,,) Στόχος μας είναι να βούμε μία συνάτηση g με g U Ε(Ω,,j,,) δηλαδή: = = 3

26 up S (g,ζ)(z) f (z) z K για την οποία ισχύει ότι: Θέτουμε: j <, up g(z) f(z) < ε f(z), w(z) = { f(z), z Κ j Η w(z) ικανοποιεί τις ποϋποθέσεις του θεωήματος Mergelya και άα μποούμε να υποθέσουμε ότι υπάχει ένα πολυώνυμο p ώστε: up p(z) f(z) < ε () up p(z) - f j(z) < () zξκ Αν επιλέξουμε ως g(z) το πολυώνυμο p(z) και το αντικαταστήσουμε στη σχέση () ποκύπτει άμεσα ότι: up g(z) f(z) < ε Εύκολα μποούμε να αποδείξουμε ότι g Ε(Ω,,j,,) αν απλά παατηήσουμε ότι το μεικό άθοισμα της g για κάποιο ταυτίζεται με τον εαυτό της Έτσι, χησιμοποιώντας και τη σχέση (), βίσκουμε ότι: z K U = up S (g,ζ)(z) f j(z) = up p(z) f j(z) < z K Θεώημα 5 Η κλάση U(Ω,ζ) είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω) Απόδειξη Στα λήμματα που ποηγήθηκαν, αποδείξαμε ότι η κλάση U(Ω,ζ) είναι αιθμήσιμη τομή ανοιχτών και πυκνών υποσυνόλων του Η(Ω) Επειδή ο χώος Η(Ω) εφοδιασμένος με την τοπολογία της ομοιόμοφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολά του είναι πλήης, ισχύει το θεώημα Baire Έτσι, η κλάση U(Ω,ζ) είναι πυκνό υποσύνολο του Η(Ω) και φυσικά G δ ως αιθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων 4

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Η τίτη κλάση των καθολικών συνατήσεων είναι το αντικείμενο που θα μας απασχολήσει σε αυτό το κεφάλαιο Πόκειται για συνατήσεις που παγματοποιούν ποσεγγίσεις με τη βοήθεια των πααγώγων τους, δηλαδή συνατήσεις που ανήκουν στην κλάση U der(ω), όπου Ω είναι ένας απλά συνεκτικός τόπος Βασικός μας στόχος, είναι να δείξουμε ότι η κλάση αυτή είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του χώου Η(Ω) των ολόμοφων συνατήσεων, εφοδιασμένο με την τοπολογία της ομοιόμοφης σύγκλισης στα συμπαγή Για το λόγο αυτό, θα επικεντώσουμε το ενδιαφέον μας σε κάποια λήμματα που θα οδηγήσουν στην επίτευξη αυτού του στόχου 3 ΟΡΙΣΜΟΣ-ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΛΑΣΗΣ Οισμός 3 Μία συνάτηση f Η(Ω) ανήκει στην κλάση U der(ω) εάν για κάθε συμπαγές L Ω με L συνεκτικό και για κάθε συνάτηση h:l, o συνεχής στο L και ολόμοφη στο L, υπάχει ακολουθία {λ } φυσικών αιθμών, τέτοια ώστε: (λ ) up f (z) h(z) Αν θεωήσουμε {L m} m μία εξαντλούσα ακολουθία υποσυνόλων του Ω με τις ιδιότητες που είδαμε στο θεώημα 9, τότε για m, j,, \,, οίζουμε το παακάτω σύνολο: = < () Ε(Ω,m,j,,) {g Η(Ω) : up g (z) f j(z) } m Όπως στο ποηγούμενο κεφάλαιο, έτσι και σε αυτό θα ακολουθήσουμε μία παόμοια διαδικασία για να αποδείξουμε ότι η κλάση U der(ω) είναι ένα G δ και πυκνό σύνολο στο Η(Ω) (βλ [8], [3]) Αχικά, αποδεικνύουμε την ισότητα μεταξύ της κλάσης U der(ω) και του συνόλου IIIUΕ(Ω,m,j,,) m= j= = = και στη συνέχεια δείχνουμε ότι το σύνολο Ε(Ω,m,j,,) είναι ανοιχτό και πυκνό στο Η(Ω) 5

28 Λήμμα 3 Η ακόλουθη ισότητα είναι αληθής U der(ω) = IIIU Ε(Ω,m,j,,) m= j= = = Απόδειξη Έστω μία συνάτηση f στο δεύτεο μέλος της ισότητας, δηλαδή f IIIU Ε(Ω,m,j,,) και έστω συμπαγές L Ω με L συνεκτικό m= j= = = o και συνάτηση h:l, συνεχής στο L και ολόμοφη στο L Θα αποδείξουμε ότι υπάχει ακολουθία {λ } φυσικών αιθμών, τέτοια ώστε: (λ ) up f (z) h(z) Έστω ε> Ακεί να αποδείξουμε ότι υπάχει φυσικός αιθμός ώστε: (λ ) up f (z) h(z) ε Σταθεοποιώντας m, ώστε: < ε L L m και < και χησιμοποιώντας το θεώημα Mergelya καταλήγουμε στο συμπέασμα ότι υπάχει πολυώνυμο p(z) ώστε: ε up p(z) h(z) < Αλλά μποούμε να υποθέσουμε ότι υπάχει κάποιο j ώστε p(z) = f (z) (παατήηση 5) και άα: j Από την υπόθεση θα υπάχει ε up f j (z) h(z) < () ώστε: ( ) ε up f (z) f j (z) < () m Αν, λοιπόν, χησιμοποιήσουμε τις σχέσεις () και (), οδηγούμαστε στο εξής συμπέασμα: ( ) ( ) + up f (z) h(z) up f (z) h(z) up f (z) f (z) ( ) ε ε up f (z) f j (z) + up f j (z) h(z) < + = ε m Άα f U der(ω) Αντίστοφα Έστω f U der(ω) Έστω, επιπλέον, m, j, Θα αποδείξουμε ότι υπάχει ώστε: j j 6

29 ( ) up f (z) f j(z) < m Με βάση τον οισμό της κλάσης U der(ω), θα υπάχει ακολουθία {λ } Ξ ώστε η συνάτηση f(z):l j m να ικανοποιεί την εξής συνθήκη: Επομένως, υπάχει ώστε: (λ ) up f (z) f j(z) m ( ) up f (z) f (z) < Οπότε ολοκληώθηκε η απόδειξη του λήμματος 3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Λήμμα 33 Για κάθε m,j, \ {} και το σύνολο Ε(Ω,m,j,,) είναι ανοιχτό στο Η(Ω) Απόδειξη Θεωούμε μία συνάτηση f με f Ε(Ω,m,j,,) Θα δείξουμε ότι υπάχει γειτονιά της f,v, που να πειέχεται στο Ε(Ω,m,j,,) Θέτουμε: V = {g Η(Ω) : up f(z) g(z) < ε}, f m+ όπου, () d m( up f (z) f j(z) ) m ε = >, με dm = dit(lm, L m+ )! Το ε είναι θετικό γιατί f Ε(Ω,m,j,,) και άα έχουμε: () up f (z) f j(z) < m Πέπει να δείξουμε ότι: Vf Ε(Ω,m,j,,) Για τον λόγο αυτό, θεωούμε g Vf και θα δείξουμε ότι g Ε(Ω,m,j,,) Έχουμε: () () () () up g (z) f (z) up g (z) f (z) + up f (z) f (z) () j m m m H L m είναι εξαντλούσα ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων του Ω άα θα έχουμε: οπότε: L L + o m m L U D(z,d ) L + m m m m j f j 7

30 όπου D(z,d m) = {w : z w < d m} D(z,d m) για την f-g έχουμε: up f(z) - g(z) () () zξl m ε + f (z)- g (z)! <! d d Εφαμόζοντας εκτιμήσεις Cauhy στον δίσκο Αντικαθιστώντας το ε θα έχουμε ότι: () () () up f (z) g (z) up f (z) f j(z) zξl zξl m Έτσι από τη σχέση () ποκύπτει ότι: δηλαδή g Ε(Ω,m,j,,) m - < - - () up g (z) f j(z) m m < m Λήμμα 34 Για κάθε m, j, \ {} και το σύνολο U Ε(Ω,m,j,,) είναι πυκνό στο Η(Ω) = Απόδειξη Έστω μία συνάτηση f στο Η(Ω), έστω L ε> Θα βούμε μία συνάτηση g Ε(Ω,m,j,,) δηλαδή: και επιπλέον: < () up g (z) f j(z) m up f(z) g(z) < ε Χησιμοποιώντας το θεώημα Mergelya θα έχουμε: Μ Ω συμπαγές και έστω ε up f(z) p(z) < () Αλλά από το λήμμα γνωίζουμε ότι υπάχει ακολουθία πολυωνύμων {h } τέτοια ώστε: () j h (z) = f(z) και h στο L Τότε, για ακετά μεγάλο, με > degp, θα έχουμε: ε up h (z) < () Θέτουμε: g(z) h (z) p(z) = + (3) Με την αντικατάσταση της συνάτησης g(z) από την σχέση (3) και με την βοήθεια των σχέσεων () και (), ποκύπτει εύκολα ότι: 8

31 ε ε up f(z) g(z) up f(z) p(z) + up h (z) < + = ε degp Επιπλέον, αφού > έχουμε: ( g ) (z) f j(z) = Η πααπάνω σχέση απλοποιεί τα πάγματα και οδηγεί στο συμπέασμα ότι: ( ) up g (z) f j(z) = < m Στο θεώημα 35, με το οποίο κλείνουμε το τίτο κεφάλαιο, συγκεντώνουμε όλες τις πααπάνω πληοφοίες και επιβεβαιώνουμε τον αχικό μας ισχυισμό Θεώημα 35 Η κλάση U der(ω) είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω) Απόδειξη Στις ποτάσεις που ποηγήθηκαν, αποδείξαμε ότι η κλάση U der(ω) είναι αιθμήσιμη τομή ανοιχτών και πυκνών συνόλων Εφόσον το Η(Ω) αποτελεί ένα πλήη χώο, το θεώημα Baire μας εξασφαλίζει ότι η κλάση U der(ω) είναι πυκνό υποσύνολο του Η(Ω) Τελικά, η κλάση U der(ω) είναι ένα G και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω) δ 9

32 3

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΜΦΙΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΕΣ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το κεφάλαιο 4 αποτελεί τo τελευταίο και πιο σημαντικό μέος αυτής της εγασίας Σε πώτη φάση θα αποδείξουμε δύο λήμματα (βλ [5]) τα οποία θα χησιμοποιήσουμε σε κάποιες από τις επόμενες πααγάφους Στο σημείο αυτό, θα ήταν παάλειψη να μην πούμε ότι το σύνολο Ω στο οποίο θα αναφεόμαστε, είναι ένα χωίο Jorda Υπενθυμίζουμε, ότι μία καμπύλη Jorda οίζεται ως η εικόνα της πειφέειας του μοναδιαίου δίσκου μέσω μίας - και συνεχούς συνάτησης Επιπλέον, συμβολίζουμε με Α(Ω) το σύνολο όλων των συνατήσεων f Ξ H(Ω) οι οποίες είναι συνεχείς στο σύνολο Ω, εφοδιασμένο με την τοπολογία της ομοιόμοφης σύγκλισης στο Ω Βασικά, θα αποδείξουμε ότι, υπάχουν συνατήσεις f Ξ A(Ω) οι οποίες είναι - στο Ω, και ανήκουν στην τομή των κλάσεων U(Ω,ζ) και U der(ω), όπου ζ είναι ένα σημείο του Ω Τον οισμό της κλάσεως U(Ω,ζ) θα τον αναφέουμε παακάτω, ενώ ο οισμός της κλάσεως U der(ω) είναι ίδιος με εκείνον που αναφέουμε στο τίτο κεφάλαιο, με τη διαφοά ότι το Ω είναι ένα χωίο Jorda Για ιστοικούς λόγους αναφέουμε ότι το πώτο παάδειγμα καθολικών και - συνατήσεων, δόθηκε από τον I Sheider (βλ []) Από την άλλη, στο [4] αποδείχτηκε ότι μία άλλη κλάση καθολικών συνατήσεων ως πος την υπεσύγκλιση στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο D, η U(D,), δεν πειέχει - συνατήσεις Είχε, λοιπόν, μεγάλο ενδιαφέον να μελετήσει κανείς τι γίνεται και σε άλλες κλάσεις καθολικών συνατήσεων Το αποτέλεσμα που παουσιάζουμε δίνει πληοφοίες γι' αυτές τις κλάσειςτέλος, τονίζουμε ότι με W θα συμβολίζουμε ένα υποσύνολο της τομής των κλάσεων U(Ω,ζ) και U der(ω) και με Β το σύνολο των συνατήσεων στο Α(Ω) οι οποίες είναι είτε - είτε σταθεές Αναλυτικούς οισμούς θα δώσουμε αμέσως μετά Πακτικά, αυτό που θα δείξουμε είναι ότι το σύνολο W I Β είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του Β 4 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΛΗΜΜΑΤΑ Οισμός 4 Μία συνάτηση f Κ Ω Η(Ω) ανήκει στην κλάση U(Ω,ζ) εάν για κάθε συμπαγές σύνολο με Κ συνεκτικό και για κάθε συνάτηση o φ : Κ συνεχής στο Κ και ολόμοφη στο Κ υπάχει ακολουθία {λ } φυσικών αιθμών τέτοια ώστε: up S (f,ζ)(z) φ(z) z Κ λ 3

34 Οισμός 4 Μία συνάτηση f Η(Ω) ανήκει στην κλάση W αν για κάθε επιλογή συμπαγών συνόλων L Ω και Κ Ω με L και Κ συνεκτικά και για κάθε επιλογή συνατήσεων φ, h με: o i) φ : Κ συνεχής στο Κ και ολόμοφη στο Κ o ii) h:l συνεχής στο L και ολόμοφη στο L να υπάχει ακολουθία {λ } φυσικών αιθμών τέτοια ώστε: και z Κ λ up S (f,ζ)(z) φ(z) (λ ) up f (z) h(z) Όπως αναφέαμε και πιο πάνω, θα συμβολίζουμε με Β το υποσύνολο του Α(Ω) το οποίο θα πειέχει όλες τις συνατήσεις f Α(Ω) οι οποίες είναι είτε - είτε σταθεές στο Ω Το σύνολο αυτό είναι κλειστό αφού ένα κλασσικό θεώημα του Hurwitz λέει ότι το όιο μίας ακολουθίας - συνατήσεων, είναι είτε - είτε σταθεή συνάτηση Για το λόγο αυτό, το Β εφοδιασμένο με την τοπολογία του Α(Ω) είναι ένας πλήης χώος Είναι φανεό ότι η κλάση W είναι ένα υποσύνολο της τομής των κλάσεων U(Ω,ζ) και U der(ω) Λήμμα 43 Έστω Ω ένα χωίο Jorda και f H(Ω) με f - Ακόμη, θεωούμε f Η(Ω) =,,, μία ακολουθία συνατήσεων με f f ομοιόμοφα στα συμπαγή του Ω Τότε για κάθε συμπαγές L Ω o τέτοιο ώστε o η f να είναι - στο L Απόδειξη Έστω L συμπαγές υποσύνολο του Ω Χωίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι το L είναι συνεκτικό Έστω γ απλή καμπύλη του Ω τέτοια ώστε L (γ) όπου (γ) είναι η φαγμένη συνιστώσα του συνόλου \ γ L Ω γ H ύπαξη της καμπύλης γ είναι γνωστή από την τοπολογία επιπέδου Έστω 3

35 α = if f(z) - f(w) z γ w L Παατηούμε ότι α, διότι η f είναι μία -συνάτηση Από την υπόθεση, γνωίζουμε ότι η ακολουθία f συγκλίνει ομοιόμοφα στην f στα συμπαγή του Ω Αν επιλέξουμε ως συμπαγές το σύνολο L U {γ} α και θεωήσουμε ε = >, τότε από τον οισμό της ομοιόμοφης σύγκλισης, θα υπάχει ώστε: α up f (z) - f(z) <, > () U{γ} Έστω zo L Θέτουμε: F(z) = f(z) - f(z ) και F (z) = f (z) - f(z) o Η f είναι - και άα για κάθε z Ω, z z o θα έχουμε ότι f(z) f(z ), δηλαδή, F(z) στο γ Από τα πααπάνω ποκύπτει η εξής ανισότητα: F(z)- F(z) = f (z) - f(z)- o f(z) + f(z o) f (z) - f(z) + f(z ) - α α f(z) o < + = α < F(z) z γ και o () Επειδή, λοιπόν, η συνάτηση F(z) δεν μηδενίζεται στην γ και οι F(z) και F(z) ικανοποιούν τη σχέση (), από το θεώημα Rouhe έπεται ότι οι F(z) και F(z) έχουν το ίδιο αιθμό ιζών στο εσωτεικό της γ, άα και στο L Η F(z) έχει μία και μοναδική ίζα στο εσωτεικό της γ Έτσι, το ίδιο ισχύει και γα την F(z) Ποφανώς, όμως F(z o) =, άα το z είναι μοναδική ίζα της F(z) στο L, πάγμα που σημαίνει ότι η f(z) είναι - στο L Λήμμα 44 Έστω Ω ένα χωίο Jorda και F B Τότε η F ποσεγγίζεται ομοιόμοφα στο Ω από πολυώνυμα που είναι - σε μια γειτονιά του Ω Απόδειξη Η F είναι μία συνάτηση που ανήκει στο Β άα είναι ολόμοφη στο Ω, συνεχής στο Ω και είτε είναι - είτε σταθεή στο Ω Έτσι, διακίνουμε δύο πειπτώσεις: i) Η F είναι σταθεή στο Ω δηλαδή F(z) = z Ω Θεωούμε τα πολυώνυμα με γενικό τύπο : z P (z) = +, =, 3

36 Οπότε θα έχουμε: P(z) = + z,z z P(z) = +,z z P(z) 3 = +,z 3 τα οποία είναι - γιατί είναι πώτου βαθμού Έχουμε, λοιπόν, ότι: up P (z) z Ω Αλλά το Ω είναι φαγμένο άα: οπότε από τη σχέση () ποκύπτει ότι: - z z F(z) = up + - up z Ω z Ω z M z Ω z M up z Ω = () ii) Η F είναι - στο Ω Έστω Γ= Ω Επειδή η Γ είναι μία καμπύλη Jorda, μποούμε να θεωήσουμε μία - και συνεχή απεικόνιση γ : C(,) Γ γ Ω Χωίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι το ανήκει στο Ω Η γ επεκτείνεται σε ομοιομοφισμό του D και του Ω Ω οπότε η επέκταση της γ παίνει σημεία της πειφέειας του δίσκου και τα αντιστοιχεί στη Γ αλλά και σημεία έξω από το δίσκο και τα αντιστοιχεί έξω από τη Γ 33

37 Έτσι, αν παίνει σημεία από την πειφέεια καμπύλες Γ οι οποίες πλησιάζουν τη Γ δηλαδή : ομοιόμοφα στο C(, ) γ(c(, + )) = Γ με Γ-Γ και +, ποκύπτουν (Γ) (Γ + ) Γ Οι Γ είναι και αυτές καμπύλες Jorda γιατί η γ είναι - και συνεχής συνάτηση από την C(, + ) στο Γ Χησιμοποιώντας το θεώημα σύμμοφης απεικόνισης του Riema, θεωούμε συνατήσεις f που είναι - και ολόμοφες με f : D(,) Γ και Την επέκτασή τους σε ομοιομοφισμό από D f f() =, f() > ' (Γ ) την καλούμε επίσης f Γ Τότε η οικογένεια {f } είναι ομοιόμοφα ισοσυνεχής στο D δηλαδή αν θεωήσουμε ένα ε> θα υπάχει ένα δ>, ώστε αν z z < δ, z,z D να ισχύει ότι: (βλ λήμμα 93 []) Ακόμη γνωίζουμε ότι οι f (z)- f(z) < ε f συγκλίνουν ομοιόμοφα στην f στο D, την ' σύμμοφη απεικόνιση f από το D στο Ω, με f() =,f () > Η F:Ω είναι συνεχής στο Ω το οποίο είναι συμπαγές άα η F είναι ομοιόμοφα συνεχής, οπότε η Fof : D θα είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών Η F είναι ομοιόμοφα συνεχής στο Ω Έστω ε > 34

38 Θα υπάχει δ >, ώστε αν: f(z )-f(z ) < δ, z,z D τότε δ F(f(z )) F(f(z )) < ε () Επιλέγουμε ε = Τότε από την ισοσυνέχεια της {f } και επειδή ώστε αν: z z < δ, z,z D τότε: δ f (z) f (z ) < και επομένως, δ f(z) f(z ) < δ f, υπάχει δ > Από τα πααπάνω, λοιπόν, και με τη βοήθεια της σχέσης (), καταλήγουμε στο συμπέασμα ότι υπάχει δ > ώστε αν: z z < δ, z,z D τότε: Η F(f(z )) F(f(z )) < ε () f είναι συνεχής στο Ω άα υπάχει η > ώστε αν, w- w < η, w,w Ω τότε: f (w ) - f (w ) < δ (3) Επιπλέον f f ομοιόμοφα στο D δηλαδή για το ίδιο η >, θα υπάχει, ώστε: o f (z)- f(z) η, z D, < 'Ετσι, συνδυάζοντας την πααπάνω σχέση και την σχέση (3) βίσκουμε ότι: f (f (z))- f (f(z)) < δ ή f (f (z))-z < δ z D, (4) Για κάθε και για κάθε z D έχουμε: F of of (f (z)) F o f(z) < ε ή F(w) Fof of (w) < ε w Ω 35

39 Θέτουμε G = (Γ ) Η Fof o f : G, ολόμοφη με Ω G και Ω συμπαγές Από το θεώημα Ruge γνωίζουμε ότι υπάχει ακολουθία πολυωνύμων {p κ} κ τέτοια ώστε : up p κ(z) - Fof of (z) < ε z Ω Τότε για κάθε κ έχουμε: up p (z) F(z) up p (z) F of o f (z) + z Ω z Ω κ κ z Ω o o ε up F f f (z) F(z) < o Ω L L G Έστω L συμπαγές σύνολο τέτοιο ώστε: Η συνάτηση Fof o f είναι - στο G ως σύνθεση - συνατήσεων Άα, από το ποηγούμενο λήμμα υπάχει πολυώνυμο p, από την ακολουθία {p κ} κ, το οποίο είναι - στο σύνολο L Όπως φαίνεται και στο παακάτω σχήμα, το σύνολο L αποτελεί μία γειτονιά του Ω, αφού Ω L G Ω L Τελικά: up p(z) F(z) < ε z Ω όπου το πολυώνυμο p είναι - σε μία γειτονιά του Ω, όπως θέλαμε Στο σημείο αυτό, για,m,j, \ και, οίζουμε το σύνολο Ο(Ω,,m,j,,) ως εξής: Ο(Ω,,m,j,,) = {g Η(Ω):up S (g,ζ)(z) f j(z) < z Κ () και up g (z) f j(z) < } m όπου, Κ είναι η ακολουθία συμπαγών συνόλων του Ω, όπως πειγάφεται στο λήμμα, L m η εξαντλούσα ακολουθία συμπαγών συνόλων του Ω, όπως πειγάφεται στο λήμμα 9 και f(z) j η αίθμηση όλων των πολυωνύμων με συντελεστές στο + i 36

40 4 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΥΡΙΩΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΟΣ Η ποσοχή μας, τώα, θα σταφεί σε πιο βασικά λήμματα τα οποία θα οδηγήσουν στην απόδειξη του κυίως αποτελέσματος αυτού του κεφαλαίου που δεν είναι άλλο από το να δείξουμε ότι το σύνολο των συνατήσεων που ανήκουν στην κλάση W και επιπλέον είναι -, είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του Β Σε πώτο στάδιο αποδεικνύουμε ότι το συγκεκιμένο σύνολο συνατήσεων, είναι ίσο με το σύνολο IIIIU[O(Ω,,m,j,,) I B] = m= j= = = Λήμμα 45 Αποδεικνύεται η ακόλουθη ισότητα : W IΒ = I I I I U[O(Ω,,m,j,,) I B] = m= j= = = Απόδειξη Έστω μία συνάτηση f που ανήκει στο δεύτεο μέλος της ισότητας Στην απόδειξη αυτή χησιμοποιούμε παόμοιες ιδέες με εκείνες της πότασης 4 (βλ []) και του λήμματος (βλ [7]) Θα δείξουμε ότι η f W, δηλαδή ότι για κάθε L Ω και K Ω συμπαγή με K,L συνεκτικά και για κάθε συνάτηση φ με φ:k συνεχής στο Κ o και ολόμοφη στο K, και h με h:l συνεχής στο L και ολόμοφη στο o L, υπάχει ακολουθία {λ } φυσικών αιθμών, τέτοια ώστε : και up S (f,ζ)(z) φ(z) z K λ up f (λ ) (z) -h(z) Αν ε>, ακεί να δείξουμε ότι υπάχει o, ώστε: ( ) up S (f,ζ)(z) φ(z) < ε και up f (z) h(z) < ε () z K Θεωούμε τη συνάτηση F(z) με F(z)=φ(z) όταν z K και F(z)=h(z) όταν z L Τα K,L είναι συμπαγή χωίς τύπες που σημαίνει ότι κάθε κλειστή καμπύλη, στα σύνολα αυτά, συικνώνεται σε σημείο Με εύκολο τόπο, μποεί κανείς να αποδείξει ότι και το σύνολο KU L είναι συμπαγές, χωίς τύπες Η ο συνάτηση F(z) είναι συνεχής στοku L και ολόμοφη στο (K U L) Εφόσον ικανοποιούνται οι ποϋποθέσεις του θεωήματος Mergelya, θα υπάχει πολυώνυμο p(z) τέτοιο ώστε: 37

41 up p(z) -F(z) < ε z KU L δηλαδή, ε ε up p(z) -φ(z) < και up p(z) -h(z) < () z Κ Σύμφωνα με την παατήηση 5 θα υπάχει κάποιο j, ώστε: p(z) = f (z) Η = m= j= = = j f IIIIU[O(Ω,,m,j,,) I B] και άα, σταθεοποιώντας,,m με ε,k K,L L m, θα υπάχει κάποιο τέτοιο ώστε: ε up S (f,ζ)(z) - f j (z) < z K p (3) ( ) ε up f (z) - f j (z) < m o Εφαμόζοντας την τιγωνική ανισότητα και αξιοποιώντας τις σχέσεις () και (3) θα έχουμε ότι: up S (f,ζ)(z) -φ(z) up S (f,ζ)(z)-p(z) + up p(z) φ(z) z K Ακόμη, up f ( ) m o (z) up f z K p - ε ε + = ε ( ) h(z) up f (z) ( ) (z) z K -p(z) + up p(z) h(z) -p(z) + up p(z) - Αντίστοφα Έστω ότι η f W I B Θα αποδείξουμε ότι η = m= j= = = ε ε h(z) + = ε f IIIIU[O(Ω,,m,j,,) I B] δηλαδή ότι για σταθεοποιημένα p,m,j, υπάχει ώστε: {f H(Ω):up S (f,ζ)(z) - f(z) o j < z K (λ ) και up f (z) f j(z) < } m Η f W οπότε αν επιλέξουμε ως φ,h την f(z) j (H f(z) j είναι πολυώνυμο, οπότε οίζεται στα K,L m) θα υπάχει ακολουθία {λ } ώστε: 38

42 Έστω, ε = > up S (f,ζ)(z) - f(z) z K m λ up f (λ ) (z) - j j f(z) Από τον οισμό της σύγκλισης, θα υπάχει και up S (f,ζ)(z) z K up f m ( ) (z) ώστε: f(z) - j < f(z) - j < Σε ένα δεύτεο στάδιο, θα αποδείξουμε ότι το σύνολο W I Β είναι τομή ανοιχτών συνόλων καθώς και ότι είναι πυκνό υποσύνολο του Β Με τα δύο λήμματα, που ακολουθούν, ολοκληώνουμε την μελέτη μας γύω από το σύνολο W I Β, φτάνοντας στον τελικό μας στόχο Λήμμα 46 Το σύνολο O(Ω,,m,j,,) Απόδειξη Έστω, και z K I Β είναι ανοιχτό στο Β Γ = {g H(Ω):up S (g,ζ)(z) f j(z) < } = - f(z) j < } Δ {g () H(Ω):up g (z) m Στο λήμμα 3 είδαμε ότι το σύνολο Γ είναι ανοιχτό υποσύνολο του Η(Ω) Όμοια, στο λήμμα 33, είδαμε ότι το ίδιο ισχύει και για το σύνολο Δ Άα το σύνολο Γ I Δ είναι ανοιχτό υποσύνολο στο Η(Ω) και έτσι το σύνολο Γ IΔI Β είναι ανοιχτό στο Β, δηλαδή, το σύνολο O(Ω,,m,j,,) I Β είναι ανοιχτό στο Β Λήμμα 47 Για κάθε,m,j, και το σύνολο U[O(Ω,p,m,j,,) I B] είναι πυκνό στο Β = Απόδειξη Θεωούμε συνάτηση g B και ε> Στόχος μας είναι να βεθεί μία συνάτηση f [O(Ω,p,m,j,,) B] I δηλαδή: 39

43 up S (f,ζ)(z) z K m up f () (z) - f(z) < j - f(z) < j για κάποιο και επιπλέον να βίσκεται κοντά στη g, δηλαδή: up f(z) g(z) < ε z Ω Η g B οπότε από το λήμμα 44 μποούμε να βούμε ένα πολυώνυμο p που είναι - σε μια γειτονιά Ĝ του Ω τέτοιο ώστε: ε up p(z) g(z) < () z Ω Go G E Ω Kp Επιλέγουμε δύο απλά συνεκτικά σύνολα G,Ε με Ω G Ĝ, K E ( K συμπαγές) και GI E = Παατηούμε ότι το πολυώνυμο p είναι - στο G Θεωούμε τη συνάτηση Η(z) με: Η(z)=p(z), z G και Η(z)= f(z), j z E η οποία είναι ολόμοφη στο GU E Από το θεώημα Ruge υπάχει ακολουθία πολυωνύμων p τέτοια ώστε: δηλαδή, και p Έστω σύνολο G ώστε: H, ομοιόμοφα στα συμπαγή του GU E η p p η p σε συμπαγές του G f σε συμπαγές του Ε j Ω G G G 4

44 Τότε χησιμοποιώντας το λήμμα 43 βίσκουμε ένα πολυώνυμο είναι - στο G και: up p (z) z Ω z K up p (z) - ε p(z) < 3 f(z) < - j p που να Επίσης, από το λήμμα μποούμε να βούμε μία ακολουθία πολυωνύμων q, τέτοια ώστε : () q (z) = f j(z) και q, στα συμπαγή υποσύνολα του δηλαδή, Επιλέγουμε To ζ Έστω p + q p, στα συμπαγή υποσύνολα του R > up z ζ z K Ω και το z K Τ= up z ζ z K Τότε, αν εφαμόσουμε εκτιμήσεις Cauhy στo δίσκο D(ζ,R), θα έχουμε: (κ) q (ζ) κ up S (q,ζ)(z) = up (z ζ) κ! C z K z K κ = z ζ up up q (w) κ z Κ κ= w D(ζ,R ) R = up q (w), τότε C Αν w D(ζ,R ) Έτσι, θα έχουμε ότι: T κ up S (q,ζ)(z) C ( ) z K κ= R Από την πααπάνω σχέση και από το λήμμα 43 υπάχει με > deg(p ) ώστε το πολυώνυμο p + q να είναι - στο Ω και: ε up q (z) < z Ω 3 (3) up S (q,ζ)(z) < z K Θέτουμε : f(z) = p (z) + q (z) Τότε από τις σχέσεις (), () και (3) ποκύπτει ότι: κ () 4

45 up f(z) -g(z) up p (z) -p(z) + up p(z) -g(z) + up q (z) z Ω z Ω z Ω z Ω ε ε ε < + + = ε Για το συγκεκιμένο θα αποδείξουμε ότι f [O(Ω,,m,j,, ) I B] Αν αξιοποιήσουμε τις σχέσεις () και (3), θα έχουμε: up S (f,ζ)(z) - f(z) = up S (p + q,ζ)(z) - f(z) = up z K (κ) (p + q ) (ζ) - j z K κ (z ζ) - f(z) j = up p (z)- f(z) j + S (q,ζ)(z) κ= κ! z K up p (z)- f(z) j + up S (q,ζ)(z) < + = z K z K Τέλος, αντικαθιστώντας την f(z), στην τελευταία σχέση που πέπει να αποδείξουμε, θα έχουμε ότι: ( ) ( ) ( ) up f (z)- f (z) = up (p ) (z) + q (z)-f(z) = j m j Έτσι, ποκύπτει το ζητούμενο m m j up + f (z) - f(z) j = j z K Ο συνδυασμός των τιών ποηγούμενων λημμάτων, μας επιτέπει να βγάλουμε το πιο σημαντικό συμπέασμα αυτού του κεφαλαίου αλλά και ολόκληης της εγασίας Το συμπέασμα αυτό, το διαβάζουμε στο θεώημα που ακολουθεί, το οποίο ολοκληώνει την εγασία μας Θεώημα 48 Η κλάση W I B είναι G δ και πυκνό σύνολο στο Β Απόδειξη Τα λήμματα 45 και 46 αποδεικνύουν ότι η κλάση W B = [O(Ω,,m,j,,) B] I I I I I U I είναι αιθμήσιμη τομή ανοιχτών p= m= j= = = συνόλων στο Β, δηλαδή, είναι το σύνολο = G δ σύνολο Επίσης, στο λήμμα 47 είδαμε ότι U[O(Ω,,m,j,,) I B] είναι πυκνό στο Β Αλλά το Β εφοδιασμένο με την τοπολογία του Α(Ω) αποτελεί πλήη χώο Επομένως, από το θεώημα Baire το W I B είναι πυκνό υποσύνολο του Β ως αιθμήσιμη τομή ανοιχτών και πυκνών υποσυνόλων του 4

46 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] R BURCKEL, A Itrodutio to Claial Complex Aalyi Bael 979 [] C CHUI ad M N PARNES Approximatio by overovergee of power erie Joural of Mathematial Aalyi ad Appliatio 36 (97), [3] G COSTAKIS, Some remark o uiveral futio ad Taylor erie Math Pro Cambridge Philo So 8, () [4] G COSTAKIS ad A MELAS, O the rage of uiveral futio Bull Lodo Math So 3, () [5] G COSTAKIS ad VVLACHOU, A geeri reult oerig uivalet uiveral futio Arh Math 8, (4) [6] S M DUYOS RUIS Uiveral futio ad the truture of the pae of etire futio, (Ruia), Dokl Akad Nauk SSSR 79 (984), Eglih tralatio i: Soviet Math Dokl 3 (984), [7] R M GETHNER ad SHAPIRO Uiveral vetor for operator o pae of holomorphi futio Pro Amer Math So (987), 8-88 [8] KGGROSSE-ERDMANN, Holomorphe Moter ud uiverelle Fuktioe Mitt Math Sem Giee 76, -84 (987)l [9] W LUH, Approximatio aalytiher Fuktioe durh überkovergete Potezreihe ud dere Matrix-Traoformierte Mitt Math Sem Giee 88 (97) [] W LUH Über die Awedug vo Überummierbarkeit zur Approximatio reguläre Fuktioe Topi i aalyi (Colloq Math Aal Jyuäkylä, 97) (Spriger, 974), pp 6-67 [] W LUH Über de Satz vo Mergelya J Approx Theory 6 (976),

47 [] G R MACLANE, Sequee of derivative ad ormal familie J Aal Math, 7-87 (95\53) [3] A MELAS ad V NESTORIDIS, Uiverality of Taylor erie a a geeri property of holomorphi futio Adv Math 57, () [4] A MELAS, V NESTORIDIS ad IPAPADOPERAKIS Growth of oeffiiet of uiveral Taylor erie ad ompario of two lae of futio Joural d'aalye Mathématique 73 (997), 87- [5] D MENCHOFF, Sur le érie Trigoométrique Uiverelle, Compte Redu (Doklady) de l' Aademie de Siee de l' URSS, Vol XLIX, o (945), 79-8 [6] V NESTORIDIS, A exteio of the otio of uiveral Taylor erie, i ''Proeedig, Computative Method ad Futio Theory '97 (CMFT'97), Nioia, Cypru, Otober 3-7, 997,'' pp 4-43 [7] V NESTORIDIS, Uiveral Taylor erie A It Fourier Greoble 46, (996) [8] G PAL, Zwei Kleie Kuge, Tôhoku Math J 6 (94/5), 4-43 [9] W RUDIN, Real ad omplex aalyi New York 996 [] ISCHNEIDER, Shlihte Fuktioe mit uiverelle Approximatioeigehafte Mitt Math Sem Giee 3 (997) [] A I SELEZNEV, O uiveral power erie (Ruia) math Sb (N S) 8 (95),