7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc se magnarna jednca onacava sa j) Peroda magnarne jednce je 4, odnosno: Imagnarn do je jednak Im : 3 ( m ) = ; = m = = m = = m = 3 = = 4 0 3 4 4 + m Dva su kompleksna broja jedna ka ako maju jednake realne magnarne djelove. Konjugrano-kompleksn broj, je kompleksn broj koj ma magnarn do, suprotne vrjednost od adanog magnarnog broja. Prmjer: konjugrano-kompleksn broj, broja (. Pojednostav rae: ) ( ) + 3 je broj 3 5 0 a) 4 = ( )( 4) = = b) = = 5 5 5 5 7 7 7 ( ) ) = = ) = = = 4 4 49 4 + c d ) = = = 7 4+3 3 e f 6 4+ ) = = = = 0 g) 8 = 4 = 4 = 5 3 43 + 3 43 + h 3 ) = = = = 48 00 4 + 0 450 + 0. a)3 3 3 4 b)8 4 4 8 6 + = + = + = = + = + 3. Rjes adane jednadbe: 7x y = 4 + 4 Re:4x = 4 x = Im: y = 4 y = 6 7 = 3 x y Re : 7 = 3 x x = 0 Im : 6 = y y = 6 Kompleksn brojev Vektorsk Oblk
x + + 7 = y x x + + 7 = y x Re : x+ = 0 x = Im : 7 = y x = y y = 3 4. Rjes kvadratne jednadbe: x + 64 = 0 x + 0 = 0,, x + 64 = 0 x = ± 64 = ± 8 x + 0 = 0 x = ± 4 5 = ± 5 7. Racunske operacje sa kompleksnm brojevma Pravla a Zbrajanje Odumanje kompleksnh brojeva mogu se opcento prkaat u oblku: ( a + b) + ( c + d) = ( a + c) + ( b + d ) Pravla a Mnoenje Djeljenje kompleksnh brojeva mogu se opcento prkaat u oblku: Prmjer: ( a+ b) ( c + d) = ( ac bd ) + ( ad + bc) ( a + b) ( a + b)( c d) ( ac + bd ) + ( bc ad ) = = ( c+ d) ( c+ d)( c d) c + d 5. 3 + 5+ 7 = 3 5 + + 7 = + 5 6. 7+ 9 6 4 = 7 6 + 9+ 4 = + 3 7. 3 4 4 6 5 8 = 6 4 6 0 9 = 0 + 6 9 = 0 + 7 8. 6 4 9 = 6 3 = 8 6 = 6+ 8 9. 7 7 3 4 8 6+ 8 3 + 34 = = = 3 4 3 4 3 4 5 + + 3 + 4 0. 4 6 + 6 + 6 = = = = 4. 3 + + + + = = = = 5 + + Kompleksn brojev Potenc. korjen.
. 3 7 + = 3 + 7 = 3 8 3. 7 6 3 + = 7 6 3 = 9 + 6 4. 4 + 6 + 3 8 = 4 + 4+ 3 9 = 7 5 5. 5 + 9 4 + 5 = 5 + 3 5 = 6. 7 8 = + 7 8 = ( ) ( ) 7. 5 3 5 3 36 49 = 5 3 5 3 6 7 = = 0 3 5 + 8 7 = 8 + 8. 7 7 = 49 7 = 7+ 49 + = + = + 9. 4 5 0 8 5 3 0. 3 7 + = 3 + + 7 = 5 8. 7 6 3 + = 7 6 3 = 9 + 6 + = + = + =. 9 3 3 4 6 3 6 36 6 6 = 36 6 6 = 4 6 5 4 5 5 5 4 + + + 3. 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 5 4. 08 7 = 4 7 7 = 7 7 = 7 = 9 3 = 3 3 5. 3 8 = 3 4 7 4 3 = 6 7 4 3 = = = 3 6. 7 7 9 7 7 3 7 8 + = + = + + = + 6 4 7. 7 3 7 + 6 7 3 7 4 7 3 3 7 3 Kompleksn brojev Potenc. korjen. 3
8. 3 7 = 3 6 7+ 7 = 9 4 49= 40 4 3 3 9. = 3+ 3 = 3 3 + = 30. 6 6 + 5 + 30 30 + = = = 5 5 + 5 4+ 5 9 0.5 0.5 3 + 0.75 + 0.5 0.75 + 0.5 3. = = = = 0.075 + 0.05 3 3 3+ 9+ 0 3. 3 3 3 3 3 = = = = 3 3 3 9 3 + 9 33. + = = = + 3 + 3 3 + 9 5 5 3 3 5 5 3 8 34. 6 4 4 4 + + = + + = = + 3 + + + + 3 35. = = 3 8 4+ 0 = = = + + 4 5 5 ( ) Kompleksn brojev Potenc. korjen. 4
7.3 Vektorsk oblk kompleksnog broja Uvedmo pojam kompleksn koordnatn sstem l kompleksna ravnna. To je pravokutn koordnatn sustav, u kojem je na x os prkaan realn do kompleksnog broja a na y os, magnarn do kompleksnog broja, y. x os Re: realn do kompleksnog broja y os Im: magnarn do kompleksnog broja Kompleksn broj se jos onacava sa onakom : = + 3 Modul kompleksnog broja: od shodsta. je apsolutna vrjednost vektora l udaljenost promatrane tocke Argument kompleksnog broja: je vrjednost kuta sto ga cn vektor sa potvnom x-os. Promatrajmo donju slku: Zadan kompleksn broj ma oblk: = 4 + 3 = x+ y = = + + = = Modulus kompleksnog broja: r x y 4 3 5 5 y 3 Argument kompleksnog broja: ϕ tanϕ = = = 0.75 ϕ = 36.869 x 4 Zbroj grafck adane brojeve: = 5 = = + = 5 = 3 3 Modulus kompleksnog broja: r x y 3 3 8 9 3 = = + + = = = y 3 Argument kompleksnog broja: ϕ tanϕ = = = ϕ = 45 x 3 ϕ = 360 45 = 35 Kompleksn brojev Vektorsk Oblk 5
7.4 Trgonometrjsk oblk kompleksnog broja Ranje je objasnjen modulus kompleksnog broja. Sada uvodmo jos jedan nov pojam: argument kompleksnog broja Modulus kompleksnog broja: r = = x + y y Argument kompleksnog broja: ϕ = arctanϕ = arctan kut vektora sa potvnom x os x I donje slke sljed: x = rcosϕ y = rsnϕ ( ϕ ϕ) Trgonometrjsk oblk kompleksnog broja gleda ovako: = x+ y = r cos + sn Prmjer: = 4 + 3 r = = + = = 4 3 5 5 y 3 tanϕ = = = 0.75 ϕ = 36.869 x 3 = 5 cos 36.869 + sn 36.869 l jos krace, = 5 36.869 Prka u trgonometrjskom oblku sljedece kompleksne brojeve: a r ) = 8 + 6 = = 8 + 6 = 00 = 0 y 6 tanϕ = = ϕ = 36.869 x 8 = r cosϕ + snϕ = 0 cos36.869 + sn 36.869 = 0 36.869 Kompleksn brojev Potenc. korjen. 6
) = 3 4 = = 3 + 4 = 5 = 5 b r y 4 tanϕ = = ϕ = 53.3 l psano potvno ϕ = 80 53.3 = 306.869 x 3 = r cos + sn = 5 cos306.869 + sn 306.869 = 0 306.869 ( ϕ ϕ) c r ) = 3 = = 3 = 3 ϕ Ovdje mamo samo realn do, ϕ = 80 = r cosϕ + snϕ = 3 cos80 + sn80 = 380 d r ) = 9 = = 9 = 9 ϕ Ovdje mamo samo magnarn do, ϕ = 90 ( ϕ ϕ) = r cos + sn = 9 cos90 + sn 90 = 9 90 Pretvor u algebarsk oblk sljedece brojeve: a) = 5 cos 54 + sn 54 x = r cosϕ = 5cos 54 =.938 y = rsnϕ = 5sn 54 = 4.045 =.938 + 4.045 b) =.6 cos 50 + sn 50 x = r cosϕ =.6 cos 50 =.3856 y = rsnϕ =.6sn 50 = 0.8 =.3856 + 0.8 7.5 Eksponencjaln oblk kompleksnog broja Ne ulaec u dokavanje raa, eksponencjaln oblk kompleksnog broja psemo: = r e ϕ vana napomena: ϕ je u radjanma e Prrodn broj e, e =.7888... ( cosϕ snϕ) = r + = r e ϕ Pretvor adan broj u eksponencjaln oblk: ϕ = 8.5 36.3 36.3 =.3788 = r e = 8.5e 80.3788 Kompleksn brojev Potenc. korjen. 7
y 7.43 = 3.07 7.43 tanϕ = = =.4 x 3.07 ϕ = 67.55 l ϕ = 80 67.55 = 9.4499 ϕ = 9.4499 = 5.004 80 r = = + = 3.07 7.43 8.039 ϕ = r e = 8.039e 5.004 Ira adan broj u trgonometrjsk eksponencjaln oblk: 3 3 4 = + r = = + = = y 3 tanϕ = = = ϕ = 30 ; x 3 3 6 = r + = + ( cosϕ snϕ) ( cos30 sn 30 ) ϕ = r e = e 6 = + r = = + = 5 y tanϕ = = ϕ = 6.56 ϕ = 80 6.56 = 53.43 x ϕ =.6779 ( cosϕ snϕ) 5 ( cos53.43 sn53.43 ) = r + = + ϕ = r e = 5e.6779 3 3 8 4 3 = + + r = = + + = + Ovaj ra moe se rjest na sljedec nacn: 8+ 4 3 = a + b a + b = a+ ab + b a+ b = 8 a = + = + + + = ab = 3 b = 6 8 4 3 a ab b b 8b 0 r = = + 6 y 3 tanϕ = = = = 3 ϕ = 5 x + 3 + 3 3 = r cosϕ + snϕ = + 6 cos5 + sn5 ( 6) ϕ = r e = + e Kompleksn brojev Potenc. korjen. 8
Prka u algebarskom oblku: 3 6e 60 = ϕ = = 3 = r + = + = + = + 3 ( cosϕ snϕ) 6( cos 60 sn 60 ) 6 3( 3) 5.306 80 = 7e ϕ = 5.306 = 304 = r cos + sn = 7 cos304 + sn 304 = 9.5 4.09 ( ϕ ϕ) 4 ϕ 90 = e = = ( cosϕ + snϕ) = 4 co r s 90 + sn 90 = 4 0 + = 4 Dodajmo jos pravla a mnoenje djeljenje kompleksnh brojeva u trgonometrjskom eksponencjalnom oblku: ϕ ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) Mnoenje: = r cos + sn r cos + sn = rr cos + + sn + = r e r e ϕ ( cosϕ + snϕ ) ( ϕ + ϕ ) ϕ ϕ r e r ( ϕ ϕ ) ( ϕ + ϕ ) ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) Djeljenje: = = cos + sn r cos sn r = rr e = r ϕ r ϕ = rr ϕ + ϕ r r r e r = = e r ϕ r = = ϕ ϕ r ϕ r Kompleksn brojev Potenc. korjen. 9
7.6 Potencranje korjenovanje kompleksnog broja Formula a potencranje nava se DeMovre-ova formula: n n ( cosϕ snϕ) ( cos ϕ sn ϕ ) n = r + = r n + n ϕ n ( ϕ) n n n nϕ = r e = r e n n = r = r n n n ϕ + 360 k ϕ + 360 k Korjenovanje: = r cos + sn k = 0,,... n n n q ϕ p ϕ + 360 p k p ϕ + 360 p k cos + sn k = 0,,... q q q p q p = r 36. Rjes korstec Bnomn poucak: ( + ) 6 3 4 ( + ) = + 6 + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 6 6 6 5 4 6 5 4 3 6 5 4 3! 3! 4! 5! 6 5 4 3 6 60 60 40 9 64 7 44 + == + + + = 6! + 5 + 37. 5 4+ + + + + + 4 3+ 6 4 3 = = 9 4 4+ 3 3 = = 6 3 = = + + + + + 4 4 + + + + 4 8+ 0 0 38. = = = = = = = 6 39. + r = = + = 5 tanϕ = ϕ = 63.343 6 6 3 5 63.343 5 6 63.434 = 5 380.60969 = 5 380.60969 = rϕ = = l u algebarskom oblku: ( cosϕ snϕ) 5( cos380.60969 sn 380.60969 ) ( ) = r + = + = = 5 0.936 + 0.359 = 7 + 44 Kompleksn brojev Potenc. korjen. 0
6 40. Iracunaj ω ako je adano 6 6 3 = = + 6 6 3 36 36 3 r = = + = + = 6 3 tanϕ = = 3 ϕ = 60 odnosno ϕ = 0 6 3 3 ϕ = cos0 + sn0 = 0 = r e = e 3 6 6 0 + 360 k 0 + 360 k ω = = cos + sn a k = 0,,,3, 4,5 6 6 6 0 0 k = 0 ω = cos + sn =.5( cos 0 + sn 0 ) =.489 + 0.5 6 6 6 0 + 360 0 + 360 k = ω = cos + sn =.5( cos80 + sn80 ) = 6 6 = 0.6 +.487 6 0 + 360 0 + 360 k = ω3 = cos + sn = 6 6 =.5 cos40 + sn40 =.56 + 0.97 6 0 + 360 3 0 + 360 3 k = 3 ω4 = cos + sn = 6 6 =.5 cos 00 + sn 00 =.489 0.56 ( ) 6 0 + 360 4 0 + 360 4 k = 4 ω5 = cos + sn = 6 6 =.5 cos 60 + sn 60 = 0.6.487 6 0 + 360 5 0 + 360 5 k = 5 ω6 = cos + sn = 6 6 =.5 cos30 + sn 30 =.56 097 ( ) 4. Iracunaj = r = = ϕ = 90 ϕ + 360 k ϕ + 360 k = cos + sn a k = 0, 90 90 k = 0 = cos + sn = cos 45 + sn 45 = + = + = Kompleksn brojev Potenc. korjen.
90 + 360 90 + 360 k = = cos + sn = cos 5 + sn 5 = = = 4 4. Iracunaj ω = 4 = = 4 tanϕ = 0 ϕ = 0,80 r ω = 80 + 360 k 80 + 360 k cos + sn a 4 4 k = 0,,,3 k = 0 k = ω = ( cos45 + sn45 ) = + = + ω = ( cos35 + sn35 ) = + = + k = ω3 = ( cos 5 + sn 5 ) = = k = 3 ω4 = ( cos 35 + sn 35 ) = = Kompleksn brojev Potenc. korjen.