BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Primena dijagrama interakcije M-N 1 Primena dijagrama interakcije M-N 2

Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije najviše se koriste za ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta, ali mogu da se prošire praktično na čitavu oblast naprezanja M u i N u, odnosno M u i Z u Interakcioni dijagrami pokrivaju svih pet naponsko-deformacijskih oblasti, pa mogu, načelno, da se koriste za dimenzionisanje i drugačije opterećenih preseka Za usvojeni oblik i dimenzije poprečnog preseka, raspored i količinu armature i mehaničke karakteristike betona i čelika, bira se stanje graničnih dilatacija u preseku Sa poznatim rasporedom dilatacija, potpuno je određen i raspored napona pritisaka u betonu, kao i veličina napona u zategnutoj i pritisnutoj armaturi

Mali ekscentricitet sile pritiska Iz uslova ravnoteže normalnih sila i momenata savijanja za težište betonskog preseka, jednoznačno se određuju granični momenti M u i odgovarajuća granična normalna sila N u koji dovode presek u stanje granične nosivosti pri odabranim dilatacijama u betonu i armaturi Ponavljajući postupak za konačan broj različitih stanja graničnih dilatacija, dobija se niz tačaka koje odgovaraju usvojenom koeficijentu (procentu) armiranja Variranjem količine armature u preseku, dobija se familija krivih linija u funkciji mehaničkog koeficijenta armiranja kao parametra

Dijagram interakcije M-N (a) za pojedinačan presek (b) familija krivih u bezdimenzionalnoj formi za sva naponska stanja preseka

Mali ekscentricitet sile pritiska Da bi se uopštila i proširila upotreba dijagrama interakcije, oni se prikazuju u sistemu bezimenzionalnih koordinata m u n u Bezdimenzionalne koordinate su bezdimenzionalni granični momenat savijanja M u m u = b d 2 f B kao i bezdimanzionalna granična normalna sila n u = N u b d f B

Mali ekscentricitet sile pritiska Tako konstruisani dijagrami interakcije mogu da se koriste za proizvoljan odnos strana b/d pravougaonog preseka, kao i za bilo koju marku betona Dijagrami interakcije konstruišu se za izabran oblik poprečnog preseka, za usvojen kvalitet armature (GA ili RA), za usvojen način armiranja: odnos donje i gornje armature, kao i položaj armature definisan odnosom a/d (odnos položaja težišta armature i visine preseka), a parametarski zavisno od niza vrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja

- koso savijanje

- kružni presek

Odrediti potrebnu površinu armature za stub zadatog pravougaonog oblika b/d = 40/850 cm, sa usvojenim kvalitetom materijala MB 40, RA 400/500 na koji deluju tri kombinacije sila u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - kombinacija (a)... N g = 1385.8 kn, M p = ±826.3 knm - kombinacija (b)... N g = 3682.9 kn, M p = ±637.7 knm - kombinacija (c)... N g = 4820.8 kn, M p = ±238.9 knm MB 40 f B = 25.5 MP a = 2.55 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2

: kombinacija (a) Posmatra se kombinacija (a): N g = 1385.8 kn, M p = ±826.3 knm Pretpostavlja se ε a1 > 3 (zatezanje) γ u,g = 1.6 γ u,p = 1.8 Granični uticaji M u i N u M u = 1.8 826.3 = 1487.3 knm N u = 1.6 1385.8 = 2217.3 kn

: kombinacija (a) Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : n u = N u 2217.3 = b d f B 40 85 2.55 = 0.256 m u = M u 1487.3 b d 2 = f B 40 85 2 2.55 = 0.202 Pretpostavlja se a 1 = a 2 = a = 6.5 cm Bezdimenzionalan koeficijent položaja armature a/d = 6.5/85 = 0.076 0.075

Dijagram interakcije M-N: kombinacija (a)

: kombinacija (a) Posmatra se i dalje kombinacija (a), ali sa povoljnim dejstvom stalnog opterećenja Granični uticaji M u i N u M u = 1.8 826.3 = 1487.3 knm N u = 1.0 1385.8 = 1385.8 kn Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : N u 1385.8 n u = = b d f B 40 85 2.55 = 0.160 m u = M u 1487.3 b d 2 = f B 40 85 2 2.55 = 0.202

Dijagram interakcije M-N: kombinacija (a)

: kombinacija (b) Posmatra se kombinacija (b): N g = 3682.9 kn, M p = ±637.7 knm Pretpostavlja se ε a1 < 0 (pritisak) γ u,g = 1.9 γ u,p = 2.1 Granični uticaji M u i N u M u = 2.1 637.7 = 1339.2 knm N u = 1.9 3682.9 = 6997.5 kn

: kombinacija (b) Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : N u 6997.5 n u = = b d f B 40 85 2.55 = 0.807 m u = M u 1339.2 b d 2 = f B 40 85 2 2.55 = 0.182 Koristi se isti dijagram interakcije

Dijagram interakcije M-N: kombinacija (b)

: kombinacija (b) Granični uticaji M u i N u M u = 2.062 637.7 = 1314.9 knm N u = 1.862 3682.9 = 6857.6 kn Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : n u = N u 6857.6 = b d f B 40 85 2.55 = 0.791 m u = M u 1314.9 b d 2 = f B 40 85 2 2.55 = 0.178

Dijagram interakcije M-N: kombinacija (b)

: kombinacija (c) Posmatra se kombinacija (c): N g = 4820.8 kn, M p = ±238.9 knm Pretpostavlja se ε a1 < 0 (pritisak) γ u,g = 1.9 γ u,p = 2.1 Granični uticaji M u i N u M u = 2.1 238.9 = 501.7 knm N u = 1.9 4820.8 = 9159.5 kn

: kombinacija (c) Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : N u 9159.5 n u = = b d f B 40 85 2.55 = 1.056 m u = M u 501.7 b d 2 = f B 40 85 2 2.55 = 0.068 Koristi se isti dijagram interakcije

Dijagram interakcije M-N: kombinacija (c)

: sve kombinacije Rekapitulacija dobijenih mehaničkih koeficijenata armiranja: 1 Kombinacija (a)... µ 0.32 (nepovoljno dejstvo g) 2 Kombinacija (b)... µ 0.29 3 Kombinacija (c)... µ 0.23 Potrebna ukupna količina armature: A a = µ b d f B = 0.32 40 85 2.55 = 69.36 cm2 σ v 40 Armatura gore i dole (simetrično A a1 = A a2 = Aa 2 ): A a1,2 = 34.68 cm 2 usvojeno: ± 7RΦ25 (±34.37 cm 2 )

Konačno usvojena armatura

Primer iz prakse

Primena dijagrama interakcije M-N Primer iz prakse Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1

Primer iz prakse - Response-2000

Primer iz prakse - Response-2000 Geometric Properties Gross Conc. Trans (n=9.12) Area (mm 2 ) x 10 3 160.0 173.0 Inertia (mm 4 ) x 10 6 2133.3 2335.4 3-15M y t (mm) y b (mm) 200 200 200 200 Av = 50 mm 2 per leg @ 150 mm S t (mm 3 ) x 10 3 10666.7 11677.1 400 2-15M S b (mm 3 ) x 10 3 10666.7 11677.1 Crack Spacing 2 x dist + 0.1 db /ρ Loading (N,M,V + dn,dm,dv) 0.0, 0.0, 0.0 + 0.0, 1.0, 0.0 400 3-15M Concrete fc' = 20.5 MPa a = 19 mm ft = 1.51 MPa (auto) ε c ' = 1.86 mm/m Rebar fu = 600 MPa Long, f y = 400 Trans, f y = 240 ε s = 100.0 mm/m All dimensions in millimetres Clear cover to transverse reinforcement = 40 mm "Megatrend" - Postojece stanje S. Brcic Stub 40/40

Primer iz prakse - Response-2000 Cross Section Longitudinal Strain top -2.94 2.12 bot Longitudinal Concrete Stress top N+M M: 217 knm -20.5 1.5 N: -1547 kn bot

Primer iz prakse - Response-2000 M-N Interaction 600.0-200.0-160.0-120.0-80.0-40.0 0.0 40.0 80.0 120.0 160.0 200.0 0.0-600.0 Axial Force (kn) -1200.0-1800.0-2400.0 Legend Cracking Crush on bottom Crush on Top -3000.0-3600.0 Moment (knm)

Primer iz prakse - Response-2000 Control : M-N 884.2-218.2 218.2 N+M M: 217 knm N: -1547 kn -3872.1

Vitkost štapova i kriterijumi Pritisnuti elementi pri određenim uslovima mogu da izgube stabilnost svoje ravnotežne konfiguracije Mera osetljivosti štapa na moguće izvijanje je njegova vitkost: λ i = l i i min i min = I min /A b gde je - l i... dužina izvijanja pritisnutog elementa - i min... minimalni radijus inercije poprečnog preseka elementa u odnosu na osu oko koje se vrši izvijanje - I min... momenat inercije bruto preseka u odnosu na osu oko koje se vrši izvijanje - A b... površina bruto poprečnog preseka betona

Vitkost štapova i kriterijumi U zavisnosti od vitkosti štapa Propisi BAB 87 definišu sledeće načine proračuna centrično pritisnutih stubova: 1 λ i < 25... proračun se vrši bez uticaja izvijanja (kratki stubovi) 2 25 λ i 75... stubovi se tretiraju kao umereno vitki i koristi se približan proračun 3 75 < λ i 140... stubovi se tretiraju kao izrazito vitki i koriste se tačniji postupci proračuna 4 λ i > 140... ova vitkost nije dozvoljena, osim u prolaznim fazama kod montažnih sistema, kada je vitkost ograničena na λ max = 200

Vitkost štapova i kriterijumi Dužina izvjanja l i je dužina zamenjujuće proste grede koja ima istu krtičnu silu izvijanja kao i posmatrani štap (sa datim graničnim uslovima) Dužina izvjanja je rastojanje između prevojnih tačaka (tačaka infleksije) u deformisanoj konfiguraciji posle izvijanja Izvijanje štapa usled date kritične sile (u smislu bifurkacione stabilnosti) je postojanje bliske ravnotežne konfiguracije (u odnosu na osnovni ravnotežni položaj) pri datoj kritičnoj sili

Ojlerovi slučajevi izvijanja

Vitkost štapova i kriterijumi Dužina izvjanja l i izražava se u obliku l i = k l gde je - l... stvarna dužina posmatranog pritisnutog elementa (sistemna dužina) u posmatranoj ravni izvijanja - k... bezdimenzionalni koeficijent dužine izvijanja (odražava granične uslove na krajevima i stepen pomerljivosti sistema) - l i... dužina izvijanja posmatranog pritsnutog elementa

Sistemi sa nepomerljivim čvorovima

Sistemi sa pomerljivim čvorovima

Proračun bez uticaja izvijanja Pritisnuti AB elementi se računaju bez uticaja izvijanja ukoliko je ispunjen barem jedan od uslova: 1 kod centrično pritisnutin elemenata ako je vitkost λ i < 25 2 kod ekscentrično pritisnutih elemenata ako je vitkost λ i 50 25 M 1 M 2 - gde su M 1 i M 2 momenti savijanja na krajevima štapa po teoriji I reda, pri čemu je M 2 > M 1

Proračun bez uticaja izvijanja 3 kod ekscentrično pritisnutih elemenata kada je e 1 d 3.5 ako je λ i 75 gde je - e 1 = M/N... ekscentricitet normalne sile po teoriji I reda - d... visina preseka u pravcu ekscentriciteta 4 kod ekscentrično pritisnutih elemenata kada je e 1 d 3.5 λ i 75 ako je λ i > 75 U oba ova slučaja dominantni su efekti I reda

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Ako nije zadovoljen ni jedan od navedenih uslova, mora da se proveri stabilnost pritisnutog elementa na izvijanje Za umereno vitke elemente: 25 < λ i 75 dozvoljava se približno uzimanje u obzir efekata teorije II reda Približan postupak, u skaldu sa PBAB 87, je postupak dopunske ekscentričnosti normalne sile

Umereno vitki elementi - dopunski ekscentricitet

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Dopunska ekscentričnost normalne sile data je sa e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 (1) gde je: - e 0... ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju - e 1... ekscentricitet usled uticaja Teorije I reda - e ϕ... ekscentricitet usled tečenja betona - e 2... ekscentricitet usled uticaja Teorije II reda

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Pravilnik BAB 87 propisuje ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju e 0 zbog realno mogućih netačnosti tokom izvođenja Ova dodatna ekscentričnost N sile e 0 treba da se uzima u obzir i kod približnih proračuna 25 < λ i 75 i kod tačnijih proračuna λ i > 75 Ekscentričnost e 0 usled netačnosti pri izvođenju usvaja se u obliku 2 cm e 0 = l i 10 cm 300

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Escentricitet normalne sile usled uticaja Teorije I reda e 1 jednak je e 1 = M N gde su M i N uticaji izračunati za stanje upotrebljivosti - usled ukupnog eksploatacionog opterećenja Za sisteme sa nepomerljivim čvorovima, pri linearnoj raspodeli momenata savijanja po dužini štapa (odn. stuba!), ekscentricitet e 1 može (dovoljno tačno) da se odredi iz relacije e 1 = 1 N (0.65 M 2 + 0.35 M 1 ) gde su M 1 i M 2 momenti savijanja na krajevima stuba sračunati za stanje upotrebljivosti, pri čemu je M 2 > M 1

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Za sistem sa pomerljivim čvorovima treba da se unapred definiše oblik izvijanja Zatim, za merodavne kombinacije opterećenja, u srednjoj trećini dužine izvijanja odredi se ekscentricitet e 1 Ekscentricitet usled tečenja betona e ϕ može da se zanemari ako je ispunjen barem jedan od sledećih uslova: λ i 50 ili e 1 d 2 ili N I g 0.2 N I q (2) gde su - N I g... normalna sila usled stalnog opterećenja - N I q... normalna sila usled ukupnog eksploatacionog opterećenja (obe sile po Teoriji I reda)

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 U slučju kada nisu ispunjeni uslovi (2), mora da se uzme u obzir tečnje betona preko dodatne ekvivalentne ekscentričnosti e ϕ : e ϕ = (e 1g + e 0 ) (e α E 1 α E ϕ 1) (3) gde su - e 1g... ekscentricitet normalne sile od stalnog opterećenja N I g - e 0... ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju - e... osnova prirodnog logaritma (e = 2.718...) - α E... bezdimenzionalni koeficijent odnosa normalnih sila α E = N I g N E gde je N E = π 2 Eb I ib l 2 i

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 U izrazu za Ojlerovu silu N E koristi se idealizovan momenat inercije betonskog preseka I ib = I b + E a E b I a Takođe, u izrazu (3) sa ϕ je označen koeficijent tečenja betona Kada je određena ekscentričnost usled uticaja Teorije I reda e 1 onda se uticaj Teorije II reda određuje u zavisnosti od e 1, vitkosti štapa λ i, kao i visine preseka d u ravni izvijanja

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Ekscentričnost usled uticaja Teorije II reda e 2 određuje se prema izrazima: e 2 = d λ i 25 0.1 + e 1 za 0 e 1 100 d d 0.30 e 2 = d λ i 25 160 e 2 = d λ i 25 160 za 0.3 e 1 d 2.5 (3.5 e 1 d ) za 2.5 e 1 d 3.5

Izrazito vitki pritisnuti elementi 75 < λ i 140 U slučaju izrazito vitkih elemenata 75 < λ i 140 proračun mora da se vrši primenom tačnijih postupaka Tačniji postupci podrazumevaju proračun po Teoriji II reda U primeni komercijalnih računarskih programa ukupna matrica krutosti sistema data je kao zbir linearne i geometrijske matrice krutosti Problem određivanja kritičnog opterećenja svodi se na rešavanje problema svojstvenih vrednosti matrica

- primer 1 Centrično pritisnut stub - različito oslanjanje Dimenzionisati stub zadatog konstantnog preseka b/d = 35/35cm i visine l = 4.6m ako je opterećen normalnim silama pritiska usled stalnog i povremenog opterećenja N g = 300 kn N p = 500 kn Usvojiti beton MB 25 i glatku armaturu GA 240/360 Posmatrati dve mogućnosti graničnih uslova (a) obostrano uklješen stub (b) obostrano zglobno oslonjen stub

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Karakteristike materijala MB 25 f B = 17.25 MP a = 1.725 kn/cm 2 GA 240/360 σ v = 240 MP a = 24.0 kn/cm 2 Geometrijske karakteristike preseka b = 35cm d = 35cm A b = 35 35 = 1225 cm 2 Ib i b = = 10.1 cm A b I b = b d3 12 = 125 052.08 cm4

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Obostrano uklješten stub - dužina izvijanja: l i = l 2 = 4.6 2 = 2.3 m = 230 cm Vitkost štapa λ i = l i = 230 = 22.76 < 25 i min 10.1 Kako je λ < 25, to je u pitanju kratak stub (ne uzima se u obzir uticaj izvijanja)

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Granična normalna sila N u = 1.9 N g + 2.1 N p = 1.9 300 + 2.1 500 = 1620 kn Minimalan geometrijski procenat armiranja za cetrično pritisnut stub je µ min = 0.6% Minimalan mehanički procenat armiranja µ min = µ min σv 24 = 0.6 f B 1.725 = 8.35% Potrebna površina betonskog preseka A b,pot = N u f B (1 + µ) = 1620 = 866.76 cm2 1.725 (1 + 0.0835)

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Potrebna stranica kvadratnog preseka b pot = A b,pot = 29.44 cm 2 Za zadate dimenzije b/d=35/35cm, stvarna površina preseka je A b,stv = 1225 cm 2 Potrebna površina armature - za potrebnu površinu preseka A a,min = µ min A b,pot = 0.006 866.76 = 5.20 cm 2 - za stvarnu (veću) površinu preseka i µ min = 0.3% A a,min = µ min A b,stv = 0.003 1225 = 3.68 cm 2

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Usvojeno 4Φ14 (6.16 cm 2 )

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Obostrano zglobna veza - dužina izvijanja: Vitkost štapa λ i = l i = l = 4.6 m = 460 cm l i = 460 = 45.54 > 25 i min 10.1 Kako je 25 λ < 75, to je u pitanju umereno vitak stub (uzima se u obzir uticaj izvijanja)

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Ekscentricitet stuba (približna teorija uticaja izvijana) je e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 Ekscentricitet ose stuba usled netačnosti pri izvođenju e 0 = l 300 = 460 = 1.53 cm 300 Kako je 2 cm < e 0 < 10 cm to je usvojeno e 0 = 2cm Ekscentricitet po Teoriji I reda e 1 = M q N q = 0 jer je M q = M g + M p = 0

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Ekscentricitet usled tečenja betona je e ϕ = 0, jer je λ i = 45.54 < 50 Ekscentricitet usled Teorije II reda, imajući u vidu da je e 1 /d = 0 iznosi e 2 = d λi 25 100 Prema tome, ukupni ekscentricitet je 0.1 + e 1 = 2.27 cm d e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 = 2.0 + 2.27 = 4.27 cm

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Pretpostavlja se da je dilatacija u zategnutoj armaturi (zbog momenta savijanja) manja od ε a1 > 3 Granični uticaji su N u = 1.6 N g + 1.8 N p = 1380 kn M u = N u e = 1380 0.0427 = 58.93 knm Računaju se bezdimenzionalni granični uticaji n u = N u 1380 = b d f B 35 35 1.725 = 0.65 M u 58.93 100 m u = b d 2 = f B 35 35 2 1.725 = 0.08

Dijagram interakcije za pravougaoni presek i GA

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Usvajajući simetrično armiranje A a1 = A a2, kao i položaj armature a/d = 0.10, iz dijagrama interakcije (za GA 240/360) očitavaju se vrednosti: ε a1 = 0.5 ε b2 = 3.5 µ = 0 Pretpostavka da je ε a1 > 3 nije opravdana, pa se povećavaju koeficijenti sigurnosti na vrednosti za koje je ε a1 < 0 i granični uticaji su N u = 1.9 N g + 2.1 N p = 1620 kn M u = N u e = 69.21 knm

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Bezdimenzionalni granični uticaji su n u = N u b d f B = 0.77 m u = Iz dijagrama interakcije očitavaju se vrednosti M u b d 2 f B = 0.09 ε a1 < 0 ε b2 = 3.5 µ = 0.04

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Potrebna površina armature A a,pot = µ b d f B σ v = 3.52 cm 2 Minimalna površina armature (minimalan geometrijski koeficijent armiranja µ = 0.6%) Usvojeno 4Φ16 (8.04 cm 2 ) A a,min = 0.006 1225 = 7.35 cm 2

- primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Usvojeno 4Φ16 (8.04 cm 2 )

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Dimenzionisati stub zadatog konstantnog preseka b/d = 35/35cm i visine l = 5.0m koji je na kraju A uklješten, a na drugom kraju B zglobno oslonjen Štap je opterećen normalnim silama pritiska i momentima savijanja u uklještenju: - stalno opterećenje... N g = 112.5 kn M g,a = 50 knm - korisno opterećenje... N p = 90.0 kn M p,a = 40 knm Usvojiti beton MB 30 i rebrastu armaturu RA 400/500 Smatrati da je u pitanju sistem sa nepomerljivim čvorovima

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Karakteristike materijala MB 30 f B = 20.5 MP a = 2.05 kn/cm 2 GA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Geometrijske karakteristike preseka b = 35cm d = 35cm A b = 35 35 = 1225 cm 2 Ib i b = = 10.1 cm A b I b = b d3 12 = 125 052.08 cm4

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Dužina štapa je l = 5.0m, pa, imajući u vidu granične uslove (2. Ojlerov slučaj), dužina izvijanja iznosi l i = l 2 = 3.54 m = 354 cm Sa ovim, vitkost štapa je jednaka λ i = l i = 354 i min 10.1 = 34.99 Kako je 25 λ i 75, stub spada u kategoriju umereno vitkih stubova

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Provera kriterijuma kada se ne uzima u obzir izvijanje (bez obzira na vitkost) - eksploatacioni uticaji po Teoriji I reda M I q = M g + M p = 50 + 40 = 90 knm N I q = N g + N p = 112.5 + 90 = 202.5 kn - ekscentricitet po Teoriji I reda e 1 = M I q N I q = 90 100 202.5 = 44.44 cm - relativni ekscentricitet e 1 /d e 1 d = 44.44 = 1.27 < 3.5 35

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Kako je e 1 /d < 3.5, uticaji II reda moraju da se uzmu u obzir, pa se određuje dopunska ekscentričnost e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 Ekscentricitet usled imperfekcije ose stuba: e 0 = l 300 = 500 300 = 1.67 cm < 2 cm usvojeno: e 0 = 2 cm Ekscentricitet po Teoriji I reda: e 1 = M I q N I q = 44.44 cm Ekscentricitet usled tečenja betona: e ϕ = 0 jer je λ i < 50

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Ekscentricitet po Teoriji II reda (za 0.3 < e 1 /d < 2.5): e 2 = d λi 25 160 = 2.19 cm Ukupni ekscentricitet je: e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 = 2.0 + 44.44 + 0 + 2.19 = 48.63 cm Granični uticaji - presek uklještenja A N u,a = 1.6 N g + 1.8 N p = 342 kn M u,a = 1.6 M g + 1.8 M p = 152 knm

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Granični uticaji - presek u sredini polja AB N u,ab = 1.6 N g + 1.8 N p = 342 kn M u,ab = N u,ab e = 342 0.4863 = 166.32 knm Merodavan je presek u sredini raspona Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature a a1 = 5cm, pa je statička visina preseka h = d a a1 = 30cm

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Granični momenat za zategnutu armaturu ( ) d M au = M u + N u 2 a 1 = 166.32 + 342 Dobija se M au = 209.07 knm Bezdimenzionalni koeficijent k: k = h = Mau b f B 30 20907 35 2.05 Iz tabela za dimenzionisanje očitava se = 1.757 ε a1 = 3.45 ε b2 = 3.5 µ = 31.481% (35/2 5) 100

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Potrebna površina armature data je sa A a,pot = µ b d f B σ v N u σ v A a,pot = 8.39 cm 2 Pošto je u pitanju stub kod koga je uticaj normalne sile veliki, presk može i da se simetrično armira Bezdimenzionalni granični uticaji n u = N u b d f B = 0.14 m u = N u b d 2 f B = 0.19

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Iz odgovarajućeg dijagrama interakcije (RA 400/500, simetrično armiranje A a1 = A a2, sa rasporedom a/d = 0.10), očitavaju se vrednosti (obostrani lom): ε a1 = 10 ε b2 = 3.5 µ = 0.33 Potrebna površina armature A a = µ b d f B σ v = 20.72 cm 2 A a1 = A a2 = A a 2 = 10.36 cm2 Usvojeno: 2 4RΦ19 A a,stv = 2 11.34 = 22.68 cm 2

- primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Usvojeno 2 4RΦ19 (22.68 cm 2 )