Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa matrica Pojam determiate materice Nači izračuavaja determiate reda i 3 Osobie determiati 3 Pojam miora i kofaktora i ači jihovog izračuavaja Laplaceovo pravilo o razvoju determiate 4 Pojam iverze matrice i ači jeog izračuavaja Pre ego što počemo sa prvim delom predavaja iz Matematike za ekoomiste, u kome ćemo izložiti osove pojmove iz lieare algebre, reći ćemo ekoliko reči o primjei lieare algebre u ekoomi Pri izučavaju poašaja ekog ekoomskog modela u određeom vremeskom treutku posmatraju se varable koje am karakterišu model i uočava se jihova međuzavisost Na primjer, ukoliko posmatramo eki od modela acioalog dohotka, varable koje posmatramo mogu biti acioali dohodak, ivestice, vladia potrošja, potrošja, ukupi porezi, stopa poreza a dohodak i dr Na osovu empirskih proučavaja i ekoomskih pretpostavki modela veza između varabli iskazuje se jedačiama veze Za te jedačie veze možemo pretpostaviti da su lieare, jer se mogu određeim matematskim metodama (za date okvire vredosti varabli) liearizirati Na taj ači model je okarakterisa sistemom liearih jedadžbi Rješeje tog sistema liearih jedadžbi je tzv ekvilibrum ili ravoteži položaj modela O je predstavlje oim vredostima varabli u kojima model e teži ka promjei Odrediti ekvilibrium modela zači rešiti sistem liearih jedadžbi, a to se čii upravo metodama lieare algebre koje ćemo u daljem upozati Napomeimo da se lieara algebra koristi za ispitivaje tzv stacioarog poašaja ekoomskog modela, tj poašaja u fiksiraom treutku vremea, dok se za ispitivaje diamike modela (tj promjee modela u toku vremea) koristi diferecali i itegrali raču, o kome ćemo govoriti ešto kase I Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa matrica Matricom formata smatrat ćemo shemu od m realih brojeva Ako je A matrica formata, tada jee elemete ozačavamo sa a, gdje am i ozačava redi broj vrste, a Na primjer, elemet a 35 se alazi u trećoj vrsti i petoj koloi matrice Matricu formata možemo zapisati i kao a a a a a a A am am a m Matricu formata mx (koja ima samo jedu kolou) zovemo vektor-koloom, a matricu formata x (koja ima samo jedu vrstu) zovemo vektor-vrstom j redi broj koloe matrice A, i pišemo A ( a )
0 Na primjer, matrica A 3 je vektor-koloa, jer je formata 4x 4 Matrica A ( 3 8) je vektor-vrsta, jer je formata 3x Skup svih matrica formata či elemeti su reali brojevi ozačavamo sa je ozaka za skup realih brojeva) I Sabiraje matrica i možeje matrica skalarom (pri čemu Dve osove operace s matricama su sabiraje matrica i možeje matrice skalarom (tj možeje matrice realim brojem) Matrice A i B možemo sabrati ako i samo ako su jedakih formata U tom slučaju matrice se sabiraju tako što se saberu oi elemeti matrica koji se alaze u istoj vrsti i istoj koloi o zapisujemo a ledeći ači: Ako je A ( a ) i B ( b ), tada je A+ B ( a ) + b 0 3 Primjer: Saberimo matrice A 3 i B 4 Imamo: 7 7 3 A+ B 7 4 Aaolgo sabiraju, matrice jedakih formata oduzimamo tako što oduzmemo odgovarajuće elemete jede matrice od elemeata druge matrice Za matrice A i B iz prethodog primjera je ( ) 03 3 3 A B 3 4 3 7 7 0 3 Matrica se moži skalarom tako što se svaki elemet te matrice pomoži datim skalarom (odoso realim brojem) o zapisujemo a sledeći ači: Ako je data matrica A ( a ) i reala broj λ, tada je λa ( λa ) Za matrice A i B iz prethodog primjera je 3 0 A 4 6, dok je B 4 4 7 Na kraju, izračuajmo matricu 3A B Kao prvo, pomožićemo matrice A i B skalarima, a zatim ćemo tako dobee matrice oduzeti Imamo: 3 0 4 6 7 6 3A B 6 9 8 8 36 4 7 58 Sabiraje matrica (istog formata) i možeje matrica skalarom ima sledeće osobie Za ABC,, i λ, µ vredi: A + B B+ A (sabiraje matrica je komutativo)
A + ( B+ C) ( A+ B) + C (sabiraje matrica je asocativo) 3 Postoji matrica O (tzv ula-matrica, tj matrica či svi elemeti su jedaki ula) takva da za sve matrice A vredi A + O O+ A A Nula matrica zove se još i eutrali elemet u odosu a sabiraje matrica 4 Za svaku matricu A postoji joj suprota matrica A takva da je A + ( A) ( A) + A O λµ A λ µ A 5 ( ) ( ) 6 ( λ + µ ) A λ A+ µ A 7 λ ( A + B) λa+ λb Primjer (za samostala rad) Ako je A B I Možeje matrica 0 0 A 3 0 i 4 0 B 0, izračuati 3 sxp Za dve matrice A i B kažemo da su saglase ukoliko je s Dakle, matrice A i B su saglase ako i samo ako je broj vrsta matrice B jedak broju koloa matrice A xp Neka su sada A i A a i B ( bjk ) B dve saglase matrice, pri čemu je ( ) Proizvod matrica A i B je matrica C, formata mxp, takva da je ( ) vredi c xp ik abjk j C c ik i mxp Dakle, elemeat u i -toj vrsti i k -toj koloi matrice C AB dobemo tako što svaki od elemeata i -te vrste matrice A pomožimo s odgovarajućim elemetom k - te koloe matrice B i te proizvode saberemo Ilustrujmo ovu defiicu a sledećem primjeru: 0 0 0 Primjer Nađimo proizvod matrica A 3 0 i B 4 0 3 0 0 Pre svega, matrice A i B su saglase, jer je broj koloa matrice A jedak broju vrsta matrice B (jedak 4) Proizvod matrica A i B biće matrica formata 3x3 Nju dobamo a sledeći ači: 0 0 0 AB 3 0 0 3 4 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + + + 00 00 + + 0+ 0 0 + + 3+ 00 + 3 + + 00 0 + 3 + 0 + 0 + 3 + 3 + 00 + 4 + + 0 0 + 4 + 0 + + 4 + 3 + 0 3 5 3 9 8 9
Iz ovog primjera također možemo zaključiti da možeje matrica e komutativa operaca Naime, iako su matrice A i B saglase, kao i matrice B i A, matrica C AB je formata 3x3, dok je matrica D BA formata 4x4 Matricu A iz prethodog primjera e moguće pomožiti samu sa sobom, tj izračuati proizvod A A Da bi eku matricu bilo moguće pomožiti samu sa sobom, potrebo je i dovoljo a oa bude kvadrata matrica, tj da ima jedak broj vrsta i koloa (dakle, mora biti m ) akve matrice je moguće i stepeovati prirodim brojem, a sledeći ači Za A po defiici stavljamo 0 m m A E i A A A, za svaki priroda broj m Ovdje smo sa E ozačili jediiču matricu reda (tj jediiču matricu formata ) Iako je ula-matrica bila matrica či svi elemeti su ule, jediiča matrica e matrica či svi elemeti su jediice Ime jediiča matrica potiče od toga što se možejem sa jediičom matricom (odgovarajućeg formata) e meja polaza matrica, kao što se i možejem broja sa jediicom taj broj e meja Jediiča matrica je matrica či elemeti a glavoj dagoali su jediice, a a svim ostalim mjestima su ule Drugim rečima, E ( e), pri čemu je e za i j, dok je e 0 za sve ostale i i j Na primjer, 0 0 0 0 0 0 E 0, E 3 0 0 0 0 0 i E 0 0 4 0 0 0 0 0 0 Može se pokazati da, ukoliko je A, tada je A E E A A (ova osobia je aaloga osobii realih brojeva tj čijeici da je a a a, za sve reale brojeve a ) Možeje matrica, pored avedeih ima i sledeće osobie (ovdje su am A, B i C kvadrate matrice istog formata): A BC AB C (možeje matrica je asocativo, iako e komutativo) ( ) ( ) A ( B + C) AB + AC (možeje matrica je distributivo s leva prema sabiraju) 3 ( B + C) A BA+ CA (možeje matrica je distributivo s desa prema sabiraju) 4 A O O A O (sa O smo ozačili ula-matricu) Napomeimo a kraju da, zbog toga što možeje matrica e komutativo moramo posebo razmatrati možeje s leve i s dese strae i voditi o tome račua I3 raspoovaa matrica Neka je data matrica A ( a ) sa A ( aji ) xm raspoovaa matrica matrice A, u ozaci A se defiiše Dakle, matrica A se dobe kada u matrici A vrste i koloe zamee mjesta (tj prva vrsta postae prva koloa, druga vrsta postae druga koloa, itd) 0 0 Primjer Odredimo traspoovau matricu matrice A 3 0 4 Kako je matrica A formata 3x4, to će traspoovaa matrica biti formata 4x3 Imamo
0 3 4 A 0 0 Očigledo je da je ( A ) A Operaca traspoovaja matrica ima i sledeće osobie: λ A + µ B λ A + µ B, gdje su A i B matrice istog formata, a λ i µ reali brojevi ( ) ( ) A B B A, gdje su A i B saglase matrice Ako je A A, za matricu A kažemo da je simetriča matrica Očigledo je da simetriča matrica mora biti kvadrata 0 Primjer Matrica A 3 je simetriča matrica 0 Ako je A A, za matricu kažemo da je kososimetriča Kososimetriča matrica mora biti kvadrata i imati ule a glavoj dagoali 0 Primjer Matrica A 0 je kososimetriča matrica Provjerite to za vježbu 0 I Pojam determiate materice Nači izračuavaja determiate reda i 3 Osobie determiati I Pojam determiate matrice U prethodom delu smo vidjeli da možeje kvadratih matrica ima osobie sliče osobiama možeja realih brojeva (osim komutativosti) Jeda od tih osobia jeste egzisteca jediiče matrice E sa osobiom da je A E E A A, za sve A Kako u skupu realih brojeva svaki reala broj a, a 0 ima svoj iverzi elemet a takav da vredi a a a a, postavlja se pitaje da li sliča osobia vredi za sve matrice A, A O Dakle, postavlja se pitaje za koje matrice A postoji matrica A takva da vredi A A A A E Odgovor a to pitaje će am dati determiata matrice Stroga defiica determiate matrice, baš kao i stroga defiica matrice je matematički dosta zahtjeva i mi je ovdje ećemo avoditi Smatrat ćemo da je determiata kvadrate matrice A reala broj pridruže toj matrici Ozačavat ćemo ga sa det A ili A Napomeimo da se determiata pridružuje isključivo kvadratoj matrici Ukoliko je matrica formata, za determiatu pridružeu toj matrici kažemo da je reda I Izračuavaje determiati reda i reda 3 Neka je a b A c d proizvolja matrica formata x Po defiici je
a b det A ac bd c d Dakle, determiata reda se izračuava tako što se od proizvoda elemeata a glavoj dagoali oduzme proizvod elemeata a sporedoj dagoali te determiate 3 Primjer Izračuajmo determiatu matrice A 4 3 3 Imamo det A 3 34 ( ) 9 + 8 7 4 3 a b c Neka je sada A a b c proizvolja matrica formata 3x3 Determiatu matrice A a3 b3 c 3 možemo izračuati a sledeći ači: Kao prvo, s dese strae determiate dopišemo prve dve koloe matrice A, a zatim možimo elemete a tri glave dagoale, saberemo ih i od jih oduzmemo zbir proizvoda elemeata sa sporede dagoale Imamo: a b c a b det A a b ca b ( ab c3+ bc a3+ ca b3) ( a3bc+ bc 3 a+ c3ab) a3 b3 c3 a3 b3 Postoje i drugi ačii izračuavaja determiati trećeg reda O jima možete pročitati u udžbeiku B Lučića, glava II, poglavlje 73 0 Primjer Izračuajmo determiatu matrice A 3 0 Imamo: 0 deta 3 3 ( 3 ( ) + 0 + 0 ( ) ) ( 030 + + ( ) ( ) ) 0 0 3 4 9 I3 Osobie determiati U prethodom primjeru uočili smo da ukoliko u determiati postoji dosta ula, lakše je izračuati jihovu vredost Sada ćemo avesti eke osobie determiati, pomoću kojih ih je jedostave izračuavati Za svaku kvadratu matricu A je det A det A Ako su u matrici A elemeti jede vrste ili koloe jedaki ili proporcioali elemetima druge vrste ili koloe, determiata je jedaka uli 3 Determiata se moži (deli) brojem različitim od ule tako da se elemeti jede vrste ili koloe determiate pomože (podele) tim brojem 4 Ako dve vrste ili koloe determiate zamee mjesta, determiata meja predzak 5 Vredost determiate ostaje epromejea ukoliko sve elemete jede vrste ili koloe pomožimo ekim realim brojem i saberemo sa odgovarajućim elemetima eke druge vrste ili koloe 6 Za kvadrate matrice A i B istog formata je det ( A B) det A det B U sledećem primjeru pokazat ćemo kako se primejuju osobie determiati
3 4 5 6 7 8 Primjer Izračuati determiatu D 9 0 3 4 5 6 Pri izračuavaju ove determiate koristićemo se osobiom 5 kako bismo u prvoj vrsti determiate dobili ule Kako bismo umjesto broja u prvoj vrsti i drugoj koloi dobili ulu, prvu kolou determiate pomožit ćemo sa (-) i dodati drugoj koloi matrice Aalogo, prvu kolou determiate pomožit ćemo sa (-3) i dodati trećoj koloi kako bismo u prvoj vrsti i trećoj koloi dobili broj 0, umjesto broja 3 Imamo: 0 0 4 5 4 8 8 D 9 8 6 3 4 6 Kako su elemeti druge koloe determiate D proporcioali elemetima treće koloe te determiate, to je, a osovu osobie vredost determiate D jedaka uli I3 Pojam miora i kofaktora i ači jihovog izračuavaja Laplaceovo pravilo o razvoju determiate I3 Mior i kofaktor Neka je data kvadrata matrica A ( a ) j i eka je a a a j a a a a j a : : : : D a i a i a a i determiata matrice A : : : : a a a a Uočimo elemeat a determiate D O se alazi u i -toj vrsti i j -toj koloi Kada iz determiate D izostavimo i -tu vrstu i j -tu kolou, ostali elemeti determiate D firmiraju ovu determiatu reda ( ) ako dobeu determiatu zovemo miorom ili subdetermiatom elemeta a i ozačavamo je sa M Determiata D ima tačo miora, jer svakom elemetu determiate odgovara po jeda mior Broj ( ) i + A j M zovemo kofaktorom ili algebarskim komplemetom elemeta a determiate D, odoso matrice A Primjer Odredimo miore M i M 3, te kofaktore A 3 i A determiate 0 D 3 0 Mior M jedak je determiati koju dobemo kada iz determiate D izbacimo drugu 0 vrstu i drugu kolou Dakle, M ( ) 0 0 0
Aalogo, mior M 3 jedak je determiati koju dobemo kada iz D izbacimo prvu vrstu i 3 treću kolou Dakle, M3 4 0 4 0 3+ 0 Po defiici kofaktora je A3 ( ) M3 ( ) ( )( 0) + 3 Aalogo je A ( ) ( 3 ) 5 0 Primjer Odredimo kofaktore A A 3 i A 4 matrice A 3 0 0 0 3 Imamo: ( ) + A 0 0 ( ) ( ) 0 3 Za vježbu odredite ostala dva kofaktora (Rješeja se alaze u dodatim materalima) I3 Laplaceovo pravilo o razvoju determiate Do sada smo vidjeli kako izračuati determiatu drugog i trećeg reda Na žalost, e postoji tako jedostava ači za izračuavaje determiati četvrtog i višeg reda Za to će am poslužiti Laplaceovo pravilo o razvoju determiate koje će am govoriti o tome kako determiatu reda prikazati kao sumu determiati reda Na taj ači, a primjer možemo determiatu reda 4 prikazati kao sumu determiati reda 3 koje zamo izračuati Aalogo, determiatu reda 5 možemo prikazati kao sumu determiati reda 4, koje izražavamo kao sumu determiati reda 3, itd sada ćemo avesti Laplaceovo pravilo o razvoju determiate: eorema Determiata D reda jedaka je zbiru proizvoda elemeata ma koje vrste ili koloe i jima odgovarajućih kofaktora Drugim rečima, D a A a A i j Dakle, determiatu možemo razviti po proizvoljoj vrsti ili koloi Kako se kofaktori (tj determiate reda ) može s odgovarajućim elemetima, za razvoj determiate uzet ćemo ou vrstu ili kolou u kojoj ima ajviše ula Koriso je i poslužiti se osobiama determiati kako bismo dobili vrstu ili kolou sa "puo" ula Primjer Determiatu matrice A iz prethodog primjera ajjedostave je razviti po trećoj vrsti, drugoj ili četvrtoj koloi (jer u jima imamo po dve ule) Pokažimo kako se izračuava determiata razvojem po četvrtoj koloi 0 det A A4 + 0 A4 + 0 A34 + A44 3 0 0 0 3 + 4 4+ 4 ( ) 3 0 + ( ) ( ) ( 6) + ( 5) 6 5 0 3 3 0 Pokažimo kako determiatu razviti po trećoj vrsti Imamo:
0 det A 3 A3 + 0 A3 + A33 + 0 A34 3 0 0 0 3 3+ 3+ 3 3 ( ) 0 + ( ) 0 3 3+ 9 + 0 3 0 Za vježbu, izračuajte determiatu matrice A razvajući je po drugoj koloi (Rješeja su u dodatim materalima) I4 Pojam iverze matrice i ači jeog izračuavaja I4 Defiica iverze matrice Kao prvo, daćemo defiicu adjugovae matrice * Neka je data matrica A ( a ) Za matricu A ( A ) kažemo da je adjugovaa matrica matrice A Dakle, elemeti adjugovae matrice dobu se tako što za svaki od elemeata a matrice A ađemo jegov kofaktor A, te kofaktore složimo u matricu, a zatim tako dobeu matricu traspoujemo Izračuajte sami adjugovau matricu matrice A 0 3, a zatim ađite proizvod * A A (Rješeje je dato u dodatim Adjugovaa matrica ima sledeću veoma važu osobiu: * * A A A A det A E () Sada ćemo defiisati iverzu matricu matrice A Za matricu A kažemo da je ivertibila ili regulara matrica ukoliko postoji matrica A takva da vredi A A A A E () Matricu A za koju vredi relaca () zovemo iverzom matricom matrice A Očigledo je da postoji veza između relaca () i (), odoso između adjugovae matrice i iverze matrice matrice A * * Ukoliko je det A 0, tada je, a osovu relace () A A A A O (Ovdje am O ozačava ula-matricu), pa matrica A ema iverzu matricu (takva matrica zove se sigulara matrica) Ukoliko je det A 0, matrica je regulara, jer iz relace ( ), ako deljeja sa det A 0 (uslov da je determiata različita od 0 bio am je potreba kako bismo podelili sa brojem det A) dobamo A * * det A A det A A A E Dakle, ukoliko je det A 0, matrica je ivertibila i vredi * A A (3) det A
I4 Nači izračuavaja iverze matrice Relaca (3) ma govori o tome kako izračuati iverzu matricu date matrice (ukoliko oa postoji) Neka je data matrica A ( a ) Iverzu matricu matrice A određujemo a sledeći ači: Izračuamo determiatu det A matrice A Ukoliko je det A 0, matrica ema iverze, pa je e možemo i izračuati Ukoliko je det A 0, matrica ima iverzu, pa prelazimo a sledeći korak Odredimo kofaktore A svih elemeata a matrice A 3 Formiramo matricu kofaktora, pa je traspoujemo Na taj ači smo dobili matricu * A ( A ) * 4 Podelimo matricu A sa det A * Na taj ači smo dobili matricu A A det A 3 4 5 6 7 8 Primjer Ispitajmo da li matrica A 9 0 ima iverzu matricu i ukoliko ima 3 4 5 6 odredimo je Rae smo vidjeli da je D det A 0, pa data matrica ema iverzu 0 Primjer Ispitajmo da li matrica A 3 ima iverzu matricu i ukoliko ima 0 odredimo je Izračuajmo determiatu matrice Rae smo vidjeli da je det A 9 0, pa data matrica ima iverzu Sad prelazimo a sledeći korak, a to je izračavaje kofaktora svih elemeata matrice A Imamo: + 3 + A ( ) ( 3 ) 5, A ( ) ( ) ( 0), 0 + 3 3 + 0 A3 ( ) ( 4 0) 4, A 0 ( ) ( ) ( 0), + 0 + 3 A ( ) ( 0), A3 0 ( ) ( ) ( 0), 0 3+ 0 3+ 0 A3 ( ) ( 0), A3 3 ( ) ( ) ( 0), 3+ 3 A33 ( ) ( 3( 4) ) 3+ 4 7 3 5 4 Dobee kofaktore složit ćemo u sledeću matricu:, koju ćemo traspoovati 7 5 4 5 * da bismo dobili A 7 4 7
5 5 5/9 /9 /9 Sada je A /9 /9 /9 9 4 7 9 4 7 4/9 /9 7/9 Provjerimo, a kraju da li je aš rezultat tača Da bismo to uradili trebamo pomožiti matrice A i A i vidjeti da li je jihov proizvod matrica E 3 Imamo: 0 5 0 5 9 0 0 A A 3 3 0 9 0 E3 0 9 4 7 9 0 4 7 9 0 0 9 Dakle, matrica A je zaista iverza matrica matrice A Za samostala rad možete provjeriti da je A A E 3 I43 Osobie iverze matrice Na kraju, avešćemo tri osobie iverze matrice koje su am potrebe pri rješavaju matričih jedačia Ako je A ivertibila matrica, tada je i A također ivertibila i vredi ( A ) A Ako su A i B ivertibile matrice, tada je i A B također ivertibila matrica i vredi ( ) A B B A 3 Ako je A ivertibila matrica, tada je i A također ivertibila i vredi ( A ) ( A )