Teorija stabilnosti 2014/2015. VJEŽBE 3 Osnovno o problemu stabilnosti krutih tijela povezanih s elastičnim oprugama Konstruktivne vježbe - SAP2000 Građevinski fakultet, Sveučilište u Zagrebu Zavod za tehničku mehaniku Katedra za statiku, dinamiku i stabilnost konstrukcija Mario Uroš, Damir Lazarević 1
GEOMETRIJSKA NELINEARNOST Mehanika kontinuuma shema veze pojedinih veličina zadano polje pomaka geometrijski rubni uvjeti polje pomaka volumske sile geometrijske jednadžbe uvjeti ravnoteže polje deformacija zakon ponašanja polje naprezanja prirodni rubni uvjeti zadano polje sila kod lin. ovisnosti formulacija problema se svodi na lin. dif. jed. rješenje problema je jednoznačno (položaj ravnoteže na pravcu) moguća je općenito pojava četiri vrste nelinearnosti 1. materijalna nelinearnost 2. geometrijska nelinearnost 3. nelinearnosti rubnih uvjeta uzrokovana silom 4. nelinearnosti rubnih uvjeta uzrokovana pomakom 2
Nelinearnost veza u mehanici kontinuuma nelinearnost geometrijskih rubnih uvjeta nelinearnost prirodnih rubnih uvjeta û u b geometrijska nelinearnost LrE = 0 E S ˆt materijalna nelinearnost geometrijska nelinearnost jed. ravnoteže i geom. jednadžbe uvjet ravnoteže - definiranje uvjeta rav. na deformiranoj geom. operator L uvodi nelinearnost odnos pomak i deform. (geom. jednadžbe) nelinearan odnos polja pomaka i polja deform. je nelin. ako se očekuju velike deform. lagane konstrukcije, membrane, pneumatske konstrukcije, konstrukcije od gume i sl. 3
Teorija konačnih pomaka P lsinθ P l(1 cos θ ) lθ P EI = l θ lcosθ θ l k k A geom. nelin. koja se odnosi na točnu geometriju pomaka pretpostavka da je materijal elastičan moguće promatrati položaje koji su u stvarnosti nemogući moguće odstupiti od točne geometrije pomaka Taylorov red ( n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) 3 f ( x0 ) n f ( x) = f ( x0 ) ( x x0 ) + ( x x0 ) + ( x x0 ) + ( x x0) + Rn ( x) 1! 2! 3! n! k A 4
Teorija konačnih pomaka granična točka Limit point krivulja ima horiz. tangentu točka grananja Bifurcation point - sjecište više krivulja ravn. odnos opterećenja i pomaka nije jednoznačan potrebne nestandardne numeričke metode točka otkazivanja - krivulja ravnoteže naglo prestaje (rušenje?) ne može se uspostaviti ravnoteža uzrok može biti globalno ili lokalno otkazivanje P granična točka primarna krivulja točka grananja sekundarna krivulja tercijalna krivulja stabilno područje nestabilno područje točka otkazivanja u 5
Teorija konačnih pomaka dinamički proboj unaprijed sustava i uspostavljanja novoga ravnotežnog stanja strategija numeričkog proračuna se mjenja točke zaokreta ili Turning points vert. tangenta na krivulju dolazi do proboja unatrag ako se primjenjuje kontrolirani prirast pomaka. P točka grananja proboj naprijed točka otkazivanja točka zaokreta proboj natrag točka grananja u stabilno područje nestabilno područje 6
Zadatak proboj 1.S.S. (SAP2000) P λ l = 1m h = 2 2 m λ n + 1 λ n λ π α = 4 2a = 2 m k = 1 kn / m λ λ λ = + n+ 1 n u n u n + 1 u mješovite metode = inkrementalna + iterativna kontrola sile Load Control - uzlazna grana krivulje P-u nagib tangente na krivulju jednak nuli ili je negativan metoda Newton-Raphson - tangentna krutost u koraku Constant-stiffness modifikacija metode gdje je krutost unutar inkrementa konstantna pojedina inačica metoda se primjenjuje ovisno o potrebnoj brzini kriterij konvergencije i točnosti proračuna
Displacement Control - kontrolirani prirast pomaka rezultat P(u) koja može biti sa negativnim nagibom tangente izabrati stupanj slobode i zadati mu traženi pomak analiza se provodi tako da se u svakom intervalu pomak odabranog stupnja slobode mijenja za konstantni u amplituda zadane sile (sustava sila) se računa iz ravnoteže potrebno zadati sustav sila da se ostvari traženi pomak dijagram P-uće biti različit za razne sustave sila iako imaju isti traženi pomak 8
Buckling analiza linearizacija problema stabilnosti Buckling analiza - problem vlastitih vrijednosti efikasno kod jednostavnijih konstrukcija gdje je područje prije gubitka stabilnosti linearno - numerički nije zahtjevna Buckling analiza ne uzima u obzir promjenu geometrije konstrukcije ni promjenu uzdužne sile u elementu na početnoj geometriji se odredi vrijednost uzdužne sile koja direktno (uz duljinu) predstavlja geometrijsku krutost elementa rezultat je kritična vrijednost sile (vlastita vrijednosti) i pripadni oblik izvijanja određen do na konstantu za većinu sluč. daje za zadovoljavajuće vrijednost krit. sile. 9
Statika točna geometrija pomaka teorija velikih pomaka Large Displacements uključuje točne vrijednosti rotacije i translacije elementa dok su geometrijske jednadžbe i dalje linearne (vrijedi pretpostavka da je odnos pomaka i deformacija mali) relativni pomaci na svakom pojedinom elementu ne smiju biti veliki (kabeli i užad) u koraku iteracije potrebno je voditi računa o maksimalnoj vrijednosti koraka iteracije u takvim slučajevima treba podijeliti elemente na više manjih 10
P Rezultati analize l = 1m h = 2 2 m π α = 4 k = 1 kn / m 2a = 2 m
Statika P- analiza P- analiza kod velikih uzdužnih naprezanja u elementima uzdužna sile smanjuje ili povećava krutost elementa moguće je da krutost elementa bude jednaka nuli - gubitak stab. P- analiza pretpostavlja male pomake i male deformacije dok se uvjeti ravnoteže postavljaju na deformiranoj geometriji iterativno se izračunava nova krutost u svakom koraku (promjena samo geometrijskog člana) uzdužna sila mjenja krutost što utječe na raspodjelu unutarnjih sila (s time mijenja i uzdužnu silu - iteracija) P- obuhvaća nelinearnost u krivulji ravnoteže prije gubitka stabilnosti vrijedi teorija jako malih pomaka pretpostavka P- je konst. uzdužna sila u elementu u inkrementu 12
Statika P- analiza def. linija štapnog konačnog elementa polinom 3.stupnja pri P- utjecaju se prirast momenta od uzdužne sile računa u odnosu na polinom pri velikim uzdužnim tlačnim silama (blizu kritične sile) deformacijska linija je trigonometrijska funkcija, dok je pri vlačnim silama hiperbolna funkcija podijeliti element na više manjih i s time se približiti točnom rješenju 13
Rezultati analize P- postupak daje prevelike vrijednosti kritične sile uzrok ovoj netočnosti je nelin. dio krivulje do granične točke P- analiza pretpostavlja male pomake i kutove zaokreta 14
Rezultati analize 15