7. MEHANIČKI VALOVI I ZVUK

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA I 7. MEHANIČKI VALOVI I ZVUK 7.1 Prostiranje valova u elastičnoj sredini Ako se na jednom mjestu elastične sredine (čvrste, tečne ili plinovite) izazovu oscilacije njenih čestica, tada će se, zbog međudjelovanja čestica, to osciliranje širiti kroz sredinu nekom brzinom v. Proces prostiranja oscilacija u prostoru naziva se val ili talas. Val ne prenosi čestice sredine u kojoj se prostire, one samo vrše osciliranje oko ravnotežnih položaja. Longitudinalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju duž pravca prostiranja. Transverzalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju u smjeru koji je okomit na pravac prostiranja vala. Mehanički transverzalni val nastaje samo u sredini koja sadrži otpor na smicanje. U tečnoj i plinovitoj fazi moguć je nastanak samo longitudinalnih valova. Crtež 7.1 Na crtežu 7.1, prikazano je kretanje čestica pri prostiranju transverzalnog vala. Čestice označene sa 1,,3 itd. pomaknute su jedna od druge na rastojanju 1/4 vt, to je jednako četvrtini puta kojeg val pređe za vrijeme jednog perioda. Čestice koje jedna od druge stoje na rastojanju vt osciliraju u istoj fazi. Rastojanje između najbližih čestica koje osciliraju u istoj fazi naziva se valna dužina. 68

Valna dužina je prema tome jednaka proizvodu brzine vala i perioda. λ v T (7.1) Ako zamijenimo u izrazu (7.1) T s 1/f dobijemo v λ (7.) f Geometrijsko mjesto tačaka do kojeg dolaze oscilacije u momentu vremena t naziva se valni front, to je površina koja dijeli dio prostora koji je zahvaćen u valni proces od oblasti u kojoj još nema oscilacija. Geometrijsko mjesto tačaka koje osciliraju sa istom fazom naziva se valna površina. Valne površine mogu da budu bilo kojeg oblika, najjednostavnije su one koje imaju oblik ravni ili sfere. U tim slučajevima val se naziva ravni ili sferni. U ravnom valu valne površine predstavljaju sistem koncentričnih sfera, crtež 7.. a) Sferni val b) Ravni val Crtež 7. Pravci duž kojih se šire oscilacije od tačke do tačke zovemo zrakama vala, zrake su okomite na valne površine. Iz točkastog izvora u izotropnom sredstvu (tj. sredstvu koje u svim smjerovima ima iste osobine) širi se sferni val čije su valne fronte koncentrične sfere (lopte) crtež 7.a, a zrake radijalni pravci. Ravni val nastaje iz beskonačno dalekog točkastog izvora, valne fronte su ravnine, a zrake paralelni pravci, crtež 7.b. 7. Jednadžba ravnog i sfernog vala 69

Valna jednadžba naziva se izraz koji daje pomjeranje ψ oscilirajuće točke kao funkciju njenih koordinata x, y, z i vremena t ψ ψ ( x, y, z, t) (7.3) Funkcija (7.3) mora da bude periodična kako u odnosu na vrijeme, t tako i u odnosu na koordinate x, y, z. Nađimo oblik funkcije u slučaju ravnog vala koji se prostire duž ose x ψ ψ ( x,t) (7.4) Valne površine normalne su na osu x. Neka oscilacije tačaka koje leže u ravni x 0 imaju oblik ψ ψ ( 0, t) Acosωt (7.5) Nađimo oblik osciliranja čestice u ravni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti x. Da bi val prešao put od ravni x 0 do ravni x valu je potrebno vrijeme τ x τ (7.6) v gdje je v brzina prostiranja vala. Oscilacije čestica koje leže u ravni x zaostaju u vremenu, za τ Crtež 7.3. Prema tome, jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku x ψ Acosω( t τ ) Acosω t Pri ovome pretpostavljamo da je amplituda oscilacija u svim tačkama jedna ista, tj. nema apsorpcije valova. Neka je vrijednost faze u jedndžbi (7.7) jednaka nekoj stalnoj vrijednosti x ω t const. (7.8) Izraz (7.8) daje vezu između vremena t i onog mjesta x u kojem se u danom momentu ostvaruju iste vrijednosti faze. Diferenciranjem (7.8) dobivamo brzinu kojom se pomjera dana vrijednost faze 1 dt dx 0 (7.9) v odnosno dx + v (7.10) dt (7.7) 70

Prema tome, brzina prostiranja vala u jednadžbi (7.7) jeste brzina pomjeranja faze, pa se zove fazna brzina. Iz jednadžbe (7.10) slijedi da je brzina vala pozitivna, prema tome (7.7) opisuje val koji se rasprostire u stranu rasta x (slijeva u desno), val koji se rasprostire u stranu suprotnu ima oblik x ψ Acos ω t + (7.11) Izjednačimo fazu sa konstantom i diferencirajmo, dobijemo dx v (7.1) dt Rezultat pokazuje da se val kreće u suprotnom smjeru. Jednadžbi ravnog vala može se dati simetričan oblik u odnosu na t i x. Uvedimo valni broj k, π k (7.13) λ Veza između valnog broja k i kružne frekvencije ω i fazne brzine vala v ima oblik ω v (7.14) k Jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku ( t kx) ψ A cos ω ± (7.15) Promatrajmo jednadžbu sfernog vala. Sferni val nastaje od izvora koji se može smatrati točkom. U slučaju da je brzina prostiranja u svim smjerovima ista val koji nastaje od izvora (točkastog) mora biti sferni. Neka je faza osciliranja jednaka ω t tada tačke koje leže na valnoj površini radijusa r mora r oscilirati sa fazom ω t. Amplituda osciliranja u tom slučaju ako sredina ne apsorbira energiju vala neće ostati konstantna, ona se smanjuje po zakonu 1/r Jednadžba sfernog vala ima oblik A r ψ cos ω t r v (7.16) Ova jednadžba vrijedi samo za velike r, u odnosu na dimenziju izvora. Kad r teži nuli amplituda postaje beskonačna, što upravo pokazuje o neprimjenjivosti jednadžbe (7.16) za male vrijednosti r. 7.3 Jednadžba ravnog vala koji se prostire u proizvoljnom smjeru Nađimo jednadžbu ravnog vala koji se prostire u pravcu koji sa osama x, y, z obrazuje uglove αβγ,,. Neka oscilacije koje prolaze kroz koordinatni početak, crtež 7.4, imaju oblik ψ 0 Acosωt (7.17) Uzmimo valnu površinu koja od koordinatnog početka stoji na rastojanju l. Oscilacije u toj ravni 1 zaostaju za oscilacijama (.17) za vrijeme τ v l ψ Acos ω t (7.18) Izrazimo l preko radijus vektora r. Lako je uočiti da skalarni proizvod jediničnog vektora normale n s radijus vektorom r bilo koje tačke površine ima istu vrijednost koja je jednaka l n r r cos ϕ l (7.19) Uvrštavanjem izraza (7.19) u (7.18) dobivamo 71

ω ψ Acos ωt n r Crtež 7.4 Omjer v ω jednak je valnom broju k. Vektor k k n koji je po modulu jednak valnom broju k π λ (7.1) i koji ima smjer normale na površinu naziva se valni vektor. Uvođenjem k u (7.0), dobijemo ψ r, t Acos ωt k r (7.) Jednadžba (7.) daje otklon od ravnotežnog položaja s radijus vektorom r u momentu vremena t. Da bi prešli od radijus vektora tačke r njenim koordinatama x, y, z, izrazimo skalarni proizvod k r projekcijama vektora na koordinatne ose: k r k x x + k y y + k z z (7.3) Tada jednadžba ravnog vala dobiva oblik ψ x, y, z, t Acos ωt k x k y k z (7.4) ( ) ( ) gdje je x y z π π π k x cos α, k y cos β, k z cos γ (7.5) λ λ λ U slučaju kada se r podudara sa osom x, tada je k x k, k y k z 0 te jednadžba (7.4) prelazi u jednadžbu (7.15). Jednadžba ravnog vala ponekad se piše i u obliku ψ Ae ω i t k r pri čemu se podrazumijeva da se koristi samo realni dio tog izraza, npr. [ ( ωt kx) + i sin( t kx) ] (7.6) ψ A cos ω (7.7) 7.4. Valna jednadžba Jednadžba bilo kojeg vala je rješenje diferencijalne jednadžbe koju zovemo valna jednadžba. 7

Promatrajmo ravni val u smjeru ose x ψ x, t ψ Acos ωt kx (7.8) ( ) ( ) Nađimo drugu parcijalnu derivaciju po koordinatama i vremenu od funkcije ψ ( xt, ) 1 ψ ω Acos( ωt kx) ω ψ ψ k Acos( ωt kx) k ψ (7.9) Iz jednadžba (7.9) dobivamo ψ k ψ (7.30) ω k 1 Uzevši u obzir vezu, dobivamo ω v ψ 1 ψ (7.31) v Jednadžba (7.31) predstavlja valnu jednadžbu. Ovo možemo analogno proširiti na sve tri dimenzije, pa valna jednadžba u tri dimenzije ima oblik ψ ψ ψ 1 ψ + + (7.3) y z v Jednadžba (7.3) može se napisati koristeći Laplasov operator ψ ψ ψ ψ + + y z odnosno 1 ψ ψ v (7.33) (7.34) 7.5 Brzina prostiranja elastičnih valova Neka se u pravcu x ose prostire longitudinalni ravni val. Izdvojimo u sredini cilindrični volumen visine x sa površinom koja je jednaka jedinici. Ako osnova cilindra sa koordinatom x ima u nekom trenutku pomjeranje ψ onda će pomjeranje osnove s koordinatom x+ x biti ψ + ψ. Prema tome, razmatrani volumen se deformira i dobiva izduženje ψ (ako je ψ < 0 to predstavlja sažimanje). ψ Veličina, ε predstavlja srednju relativnu deformaciju cilindra. Zbog toga što se ne mijenja po x linearnom zakonu, stvorena deformacija na raznim presjecima cilindra neće biti jednaka. Da bismo dobili deformaciju na presjeku x potrebno je da x teži nuli. Prema tome je 1 Funkcija ψ ( xyzt,,,), je funkcija četiri nezavisno promjenjive, pa se ovdje moraju uvesti parcijalni izvodi funkcije, koji se pišu simbolima,, y, z,. Parcijalni izvod za funkcije više promjenjivih, po nekoj određenoj promjenjivoj, računamo kao običan izvod po toj promjenjivoj, s tim da se ostale varijable smatraju konstantne. Laplasov operator: + +. y z 73

ψ ε lim (7.35) x0 x Postojanje deformacije istezanja svjedoči o postojanju normalnog naprezanja σ koje je pri malim deformacijama proporcionalno veličini deformacije. Suglasno Hookeovom (Hukovom) zakonu, σ E ε, gdje je E Youngov (Jang) modul a σ normalno naprezanje (σ F ), imamo s σ E ε E (7.36) Napomenimo da relativna deformacija a prema tome i naprezanje u fiksiranom momentu vremena zavise od x. Tamo gdje su otkloni čestice od položaja ravnoteže maksimalni, deformacije i naprezanja su jednaki nuli. U mjestima gdje čestice prolaze kroz položaj ravnoteže deformacija i naprezanje dostižu maksimalnu vrijednost pri čemu se pozitivne i negativne deformacije (istezanje i sabijanje) naizmjenično smjenjuju (longitudinalni val ), crtež 7.5. Napišimo jednadžbu kretanja za jedinični ci1indar. Uzimajući da je x veoma malen, ubrzanje sistema može se smatrati konstantno. Masa cilindra jednaka je ρ xs, gdje je gustoća nedeformirane sredine. Crtež 7.5 Crtež 7.6 Sila koja djeluje na cilindar, jednaka je razlici sila na presjeku FF -F 1.Prema (7.36) imamo x x i na presjeku x0 tj. 74

F SE (7.37) x 0 Veličinu možemo razviti u red 3 za male vrijednosti x kao + x + x 0 0 Uvrštavanjem u relaciju (.37) dobivamo F SE x SE x x x ψ (7.38) Sa druge strane, sila je prema II Newtonovom zakonu jednaka F ψ ψ ψ m ρ V ρs x (7.39) Izjednačavanjem relacija (7.39) i (7.38) dobivamo jednadžbu oblika valne jednadžbe ψ ρ ψ (7.40) E 1 ρ Uspoređivanjem jednadžbe (7.40) sa valnom jednadžbom (7.31 ) vidimo da je. Prema v E tome brzina longitudinalnih valova jednaka je kvadratnom korijenu iz Youngovog modula podjeljnog s gustoćom sredine v E ρ Analogna računanja za transverzalne valove dovode do slijedećeg izraza za brzinu (7.4) G v ρ gdje je G modul smicanja. 7.6 Energija elastičnog vala (7.41) Promatrat ćemo sredinu u kojoj se prostire longitudinalni ravni val, izdvojivši elementarni volumen V, ali tako malen da se deformacije i brzina mogu smatrati istim i jednakim u svim tačkama. Da bi izračunali ukupnu energiju sistema moramo prethodno izračunati potencijalnu energiju elastične deformacije pri istezanju ili sabijanju. Energiju istegnutog (sabijenog) štapa za l, dobit ćemo preko rada vanjskih si1a. Pošto je sila promjenljiva, rad je jednak. W l 0 F dx (7.43) gdje je x - izduženje u procesu deformacije i ide od 0 do l. Znači, sila koja odgovara izduženju x, prema Hookeovom zakonu ima oblik E S F x (7.44) l Uvrštavanjem (7.44) u (7.43) možemo izračunati rad, odnosno energiju deformisanog tijela. 3 Funkcija F(x) može se razviti u Mac Lorinov red, za male (infinitezimalne) vrijednosti x kao ( ) ( 0) '( 0) F x F + F x+ 75

l l E S E S x E S l l W xdx (7.45) l l 0 0 l Konačno imamo da je potencijalna energija jednaka E V E ε p (7.46) Izraz za potencijalnu energiju elementarnog volumena V ima oblik ρv E p V (7.47) gdje je, E ρv, Youngov modul elastičnosti, ε, relativna deformacija. Promatrani volumen sadrži također i kinetičku energiju ρ V E k (7.48) gdje je, m ρ V, masa i v brzina danog elementa V. Sabiranjem izraza (7.48) i (7.47) dobit ćemo ukupnu energiju ρ E Ek + E p + v (7.49) Dijeljenjem energije E sa volumenom V u kojem se ona sadrži, dobit ćemo gustoću energije E 1 u ρ + v (7.50) V Parcijalnim diferenciranjem jednadžba ravnog vala po t i po x dobivamo x ωasinω t i ω x Asin ω t (7.51) v Uvrštavanjem izraza (7.51) u (7.30) dobit ćemo izraz za gustoću energije ρ x u A ω sin ω t ili u ρa ω sin ( ωt kx) (7.5) Vidimo da se gustoću energije mijenja po zakonu kvadrata sinusne funkcije. Pošto je srednja vrijednost kvadrata sinusa jednaka 1/, srednja vrijednost gustoće energije po volumenu u svakoj točki sredine biće jednaka ρ u A ω (7.53) Gustoću energije proporcionalna je gustoći sredine, kvadratu frekvencije i kvadratu amplitude vala. Energija se prenosi samim valom od izvora oscilacije do različitih tačaka sredine, prema tome val sa sobom prenosi energiju. Količina energije koju prenosi val kroz neku površinu u jedinici vremena naziva se tok energije ili fluks kroz površinu. 76

Fluks energije je skalarna veličina čije su dimenzije jednake dimenziji energije podijeljene sa dimenzijom vremena, tj. podudara se sa dimenzijom snage. Prema tome fluks se mjeri u vatima (W). Fluks energije u raznim točkama sredine može imati različitu intenzivnost. Za karakteristiku fluksa energije u raznim točkama prostora uvodi se vektorska veličina koja se zove gustoća toka energije. Smjer vektora gustoće fluksa energije podudara se s smjerom u kojem se prenosi energija. Neka se kroz površinu S okomitu na pravac prostiranja vala prenosi za vrijeme t energija E. Tada će gustoća fluksa energije po definiciji biti jednaka E j S t S obzirom da je E fluks energije t φ φ j S Kroz površinu S za vrijeme osnovom S i visinom v t, crtež 7.7., kroz površinu S može se pisati (7.54) (7.55) t prenijet će se energija koja je sadržana u volumenu valjka sa Crtež 7.7 Ako su dimenzije valjka dovoljno male tako da bismo gustoću energije u svim tačkama valjka mogli smatrati jednakom, onda se E može naći kao proizvod gustoće energije i volumena valjka, S v t, tj. E u S v t (7.56) Kad taj izraz za E uvrstimo u formulu (7.54) dobit ćemo j u v Razmatrajući faznu brzinu v kao vektor čiji se pravac podudara sa smjerom prostiranja vala može se napisati j u v (7.57) Srednja vrijednost vektora gustoća fluksa energije jednaka je 1 j sr u v ρa ω v (7.58) Intenzitet vala I jednak je srednjoj vrijednosti energije, koju val prenosi kroz jediničnu površinu u jedinici vremena, a to je upravo skalarna vrijednost vektora tj. I 1 ρva ω j sr (7.59) 77