Vežbe iz diferencijalnih jednačina

Vežbe iz diferencijalnih jednačina Vežbe. Familije krivih. Familija krivih je zadata funkcijom f(x, y, c, c 2,..., c n ) = 0. Naći diferencijalnu jednačinu koja opisuje tu familiju. Rešenje: Diferenciranjem početne funkcije n puta dobijamo ukupno n + jednačinu f(x, y, c, c 2,..., c n ) = 0 f (x, y, y, c, c 2,..., c n ) = 0 f 2 (x, y, y, y, c, c 2,..., c n ) = 0... f n (x, y, y, y,..., y (n), c, c 2,..., c n ) = 0 iz kojih eliminišemo konstante c, c 2,..., c n..2 Data je familija centralnih kružnica x 2 + y 2 = c 2. Naći diferencijalnu jednačinu koja je opisuje. Rešenje: Odgovarajući sistem je x 2 + y 2 = c 2 2x + 2yy = 0 Dakle, odgovarajuća diferencijalna jednačina je y = x y..3 Za date familije krivih sastaviti diferencijalne jednačine koje ih opisuju: a) y = e cx ; d) y 2 + cx = x 3 ; g) (x a) 2 + by 2 = ; b) y = (x c) 3 ; e) y = ax 2 + be x ; h) y = ax 3 + bx 2 + cx; c) x 2 + cy 2 = 2y; f) y = y = cx 3 ; i) x = ay 2 + by + c. Polje pravaca, linijski element i izokline Data je diferencijalna jednačina y = f(x, y), gde je f definisana na nekoj oblasti D R 2 i neka je x 0, y 0 D. Tada je f(x 0, y 0 ) tangens ugla koji tangenta zaklapa sa x-osom. Ured enu trojku x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) nazivamo linijski element koji se predstavlja na crtežu kao mali deo tangente. Skup svih linijskih elemenata zovemo polje pravaca. Krivu na kojoj svi linijski elementi imaju jednaki nagib zovemo izoklina. Najbitnija je izoklina kod koje je nagib sa koeficijentom pravca 0. U tim tačkama rešenje stagnira..4 Ispitati polja pravaca i nacrtati nekoliko integralnih krivih za sledeće diferencijalne jednačine: a) y = 2x; b) y = x 2 + y 2 ; c) x2 + y 2 x 2 y 2..5 Data je diferencijalna jednačina y + p(x)y = q(x), gde su p, q C(D), D R. a) Pokazati da polje pravaca za tačke na pravi x = x 0 obrazuje pramen pravih i odrediti njegov nosač. b) Za p(x) = x i q(x) = sin x odrediti geometrijsko mesto nosača pramena. c) Kada će se geometrijsko mesto nosača pramena nalaziti na y-osi?.6 Data je diferencijalna jednačina y = f(x, y). Formirati diferencijalnu jednačinu ỹ = g(x, ỹ) tako da se polja pravaca ove dve diferencijalne jednačine seku pod uglom β [0, π 2 ].

Rešenje: Neka linijski element prve jednačine u proizvoljnoj tački sa x-osom zaklapa ugao α. Tada linijski element druge jednačine zaklapa sa x-osom ugao α ± β (u zavisnosti sa koje se strane nalazi). Kako je za β π 2 dobijamo Puštnjem da β teži π 2 tg(α ± β) = tg α ± tg β tg α tg β ỹ f(x, ỹ) ± tg β = f(x, ỹ) tg β, β π 2 dobijamo diferencijalnu jednačinu ỹ = f(x, ỹ), β = π 2.7 Sastaviti diferencijalne jednačine čije rešenje seče datu familiju krivih pod zadatim uglom φ: a) y = cx 4 φ = 90 ; e) x 2 + y 2 = a 2 φ = 45 ; b) x 2 = y + cx φ = 90 ; f) 3x 2 + y 2 = c φ = 30 ; c) y 2 = x + c φ = 90 ; g) y 2 = 2px φ = 60 ; d) x 2 + y 2 = a 2 φ = 90 ; h) y = x ln x + cx φ = arctg 2. Početni problem Početni problem n-tog reda se sastoji od diferencijalne jednačine i početnih uslova y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n ) ) y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y, y (x 0 ) = y 2,..., y (n ) (x 0 ) = y n. Početni problem prvog reda je y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0. Funkcija y = y(x) je rešenje početnog problema n-tog reda ako je n puta diferencijabilna, 2 zadovoljava početne uslove, 3 zadovoljava diferencijalnu jednačinu..8 Neka je f C(D), D R 2. Ako su y i y 2 dva rešenja početnog problema na nekom intervalu I, pokazati da su y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 x 0, y 0 D y 3 (x) = max{y (x), y 2 (x)} i y 4 (x) = min{y (x), y 2 (x)} takod e rešenja datog početnog problema na istom intervalu I. 2 Vežbe 2. Elementarne metode rešavanja diferencijalnih jednačina prvog reda Jednačine koje razdvajaju promenljive P (x)dx + Q(y)dy = 0 y = f(x) g(y) Ako postoji i početni uslov y(x 0 ) = y 0, onda je y y 0 g(s)ds = P (x)dx = g(y)dy = f(x)dx. x x 0 f(t)dt. Q(y)dy; 2

2. Rešiti diferencijalnu jednačinu sin x dx + cos y dy = 0 Rešenje: sin x dx + cos y dy = 0 sin x dx = cos y dy cos x = sin y + c 2 Jednačine oblika y = f(ax + by + c). Rešavaju se smenom zavisne promenljive u = ax + by + c, gde je u = u(x). Tada je u = a + by. 2.2 Rešiti diferencijalnu jednačinu y = 2 y x +, y x 0. Rešenje: Smena je u = y x. Tada je y = u + x, pa je y = u +. Dobija se diferencijalna jednačina u + = 2 u + du 2 u = dx u = x + c y x = (x + c) 2 y = (x + c) 2 + x 3 Homogene diferencijalne jednačine prvog reda. Oblika su y = f ( y x). Rešavaju se smenom u = y x. Tada je y = ux, pa je y = u x + u. Konačno, diferencijalna jednačina je y 2.3 Rešiti jednačinu y = x. 2.4 Rešiti jednačinu y = 2x 5y 3y + x. Rešenje: Data jednačina se može zapisati u obliku u x + u = f(u) du f(u) u = dx x y = 2 5 y x 3 y x + što je homogena jednačina. ( ) ax + by + c 4 Jednačine oblika y = f mx + ny + p Treba da pokušamo da svedemo na jednačine u kojima se ne pojavljuju slobodni članovi c i p. Uvodimo smenu u = y + α, t = x + β Tada je pa diferencijalna jednačina je oblika y = dy d(u α) = = dx dx y = f d(u α) dt dt dx = u, ( ) at + bu + c aα bβ. mt + nu + p mα nβ 3

α i β ćemo odrediti iz sistema aα + bβ = c mα + nβ = p Ovaj sistem ima rešenje ako je a b m n 0, pa se početna diferencijalna jednačina svodi na homogenu oblika ( ) at + bu y = f. mt + nu Ako je a b m n = 0, tada je a = km, b = kn, pa se početna diferencijalna jednačina može zapisati kao ( ) ( ) kmx + kny + c k(mx + ny) + c y = f = f = G(mx + ny), mx + ny + p mx + ny + p što je diferencijalna jednačina tipa obrad enog pod 2. 2.5 Rešiti DJ y = 3x y+ 2x+y+4 Rešenje: Dobija se da je α =, a β = 2. 5 Jednačine oblika y = y x + p(x)f( y x ). Smena je u = y x, pa je (kao kod homogene) y = u x + u. Dobijamo što je jednačina koja razdvaja promenljive. 6 Linearna diferencijalna jednačina prvog reda u x + u = u + p(x)f(u) du f(u) = dxp(x) x y + p(x)y = q(x) Uvodimo smenu y(x) = u(x) v(x). Funkciju v ćemo izabrati, dok će onda funkcija u biti nametnuta. Tada je y = u v + uv. u v + uv + p(x)uv = q(x) u v + u(v + p(x) ) = q(x) }{{} =0 Tražimo bilo koju funkciju v da je v + p(x)v = 0. Tada je dv = p(x) dx, pa je ln v = p(x) dx, to v jest v = e p(x)dx. Dobijamo diferencijalnu jednačinu oblika u e p(x)dx = q(x), što je jednačina koja razdvaja promenljive. 2.6 Rešiti jednačinu y + xy x 3 = 0. 2.7 Rešiti jednačinu y = 2xy+y 3. Rešenje: Kako je y = dy dx = dy dx = dx dy = x imamo da je x = 2xy + y 3, što je linearna jednačina u kojoj je y nezavisna, a x zavisna promenljiva. 7 Bernulijeva jednačina Zapisaćemo je drugačije y + p(x)y = q(x)y α, α 0,. y y α + p(x)y α = q(x). 4

Smena je z = y α, pa je z = ( α) y y α. Dobijamo što je linearna jednačina. z + p(x)z = q(x), α 2.8 Rešiti jednačinu: y + 2y = 2 y. 8 Rikatijeva jednačina y + p(x)y + q(x)y 2 = r(x) Da bi je rešili treba da znamo partikularno rešenje y p (x). Tada je smena y = z + y p, pa je y = z + y p. Dobijamo z + y p + p(x)z + p(x)y p + q(x)z 2 + 2q(x)zy p + q(x)y 2 p = r(x) Kako je y p rešenje, važi pa se dobija što je Bernulijeva za α = 2. y p + p(x)y p + q(x)y 2 p = r(x), z + p(x)z + q(x)z 2 + 2q(x)zy p = 0 z + z(p(x) + 2q(x)y p ) + q(x)z 2 = 0 2.9 Rešiti diferencijalnu jednačinu y + y + y 2 = 2 ako je partikularno rešenje y p (x) =. 2.0 Rešiti Rikatijevu diferencijalnu jednačinu znajući da je partikularno rešenje oblika y p = ae bx. 3 Vežbe 3. 9 Jednačina totalnog diferencijala. Oblika su pod uslovom da je To znači da postoji F (x, y) da je F x = M i F y y = y 2 e x + 2y(e 4x ) + e 7x 5e 3x M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 M y = N x. = N. Uslov sledi iz jednakosti 2 F x y = 2 F y x. Rešenje jednačine je F (x, y) = c. Funkciju F dobijamo F (x, y) = M(x, y)dx + φ(y) = m(x, y) + φ(y) Tada je N(x, y) = m(x, y) y + φ (y) Odakle izrazimo φ(x). Analogno, F možemo dobiti integraljenjem funkcije N, tj. F (x, y) = N(x, y)dy + φ(y) = n(x, y) + ψ(x). 5

3. Rešiti diferencijalnu jednačinu (y x)dx + xdy = 0. Rešenje: Kako je = (y x) y = (x) x = to je jednačina totalnog diferencijala. Stoga je F (x, y) = xdy + φ(x) = xy + φ(x). Dakle pa je y x = x (xy + φ(x)) = y + φ (x), φ (x) = x φ(x) = x2 2 + c Rešenje je xy x2 2 + c = 0. 0 Jednačine koje dopuštaju integracioni množitelj. One su isto oblika ali kod njih immao da je Pretpostavimo da postoji neka funkcija f da je M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, M y N x. Mf y = Nf x, to jest da je diferencijalna jednačina totalnog diferencijala originalno izgledala M(x, y)fdx + N(x, y)fdy = 0. Problem je naći funkciju f. U zadacima se daje oblik funkcije, tj. posmatra se f kao funkcija jedne promenljive koja može biti npr. x, y, x y, x 2 + y 2 i sl. 3.2 Rešiti diferencijalnu jednačinu (2xy +x 2 y + y3 3 )dx+(x2 +y 2 )dy = 0 znajući da dopušta integracioni množitelj funkciju f(x). Rešenje: Neka je Kako je M(x, y) = 2xy + x 2 y + y3 3 ovo nije jednačina totalnog diferencijala. Neka je N(x, y) = x 2 + y 2. M y = 2x + x2 + y 2 2x = N x Rešavamo M (x, y) = (2xy + x 2 y + y3 3 )f(x) N (x, y) = (x 2 + y 2 )f(x). M y = N x. (2x + x 2 + y 2 )f(x) = 2xf(x) + (x 2 + y 2 )f (x) f(x) = f (x) f(x) = e x 6

Jednačina totalnog diferencijala je Sada je pa je Rešenje je: (2xy + x 2 y + y3 3 )ex dx + (x 2 + y 2 )e x dy = 0. F (x, y) = (x 2 + y 2 )e x dy = x 2 e x y + e x y3 3 + φ(x) x (x2 e x y + e x y3 3 + φ(x)) = 2xyex + x 2 ye x + y3 3 ex 2xye x + x 2 ye x + y3 3 ex + φ (x) = 2xye x + x 2 ye x + y3 3 ex φ (x) = 0 φ(x) = 0 x 2 e x y + e x y3 3 = c. Peanova teorema Teorema (Peano) Neka je y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 početni problem i neka je funkcija f neprekidna na skupu D, gde je D = { x, y R 2 : x x 0 a, y y 0 b}. Tada postoji rešenje početnog problema na intervalu x x 0 h, gde je { } b h = min a,, a M = max f(x, y). M x,y D 3.3 Naći najveći interval [x 0, x 0 +h] na kojem postoji rešenje početnog problema y = x 2 +y 2, y(x 0 ) = y 0, gde je a) x 0 = y 0 = 0; b) x 0 = y 0 =. Teorema Pikar-Lindelöf Teorema (Pikar-Lindelöf) Neka je y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 početni problem i neka je funkcija f neprekidna na skupu D, gde je i važi D = { x, y R 2 : x x 0 a, y y 0 b} ( L > 0) ( x, y, x, y 2 D) f(x, y ) f(x, y 2 ) L y y 2. Tada postoji jedinstveno rešenje početnog problema na intervalu x x 0 h, gde je { } b h = min a,, a M = max f(x, y), M x,y D do kog se dolazi preko niza sukcesivnih aproksimacija y n (x) = y 0 + x x 0 f(t, y n (t))dt, n N. Takod e važi ocena greške y n (x) y(x) M (Lh) n+ L (n + )! elh. Teorema Ako je funkcija f neprekidno diferencijabilna po y, tada je i Lipšicove klase po drugoj promenljivi y i L = max f(x, y) x,y D y. 7

3.4 Formirati prva tri člana niza sukcesivnih aproksimacija rešenja početnog problema y = y 2 x 2 + y(0) = 0 i oceniti grešku. 3.5 Koristeći niz sukcesivnih aproksimacija naći rešenje početnog problema y = x + y, y(x 0 ) = y 0. 3.6 Dat je početni problem y = sin(x 2 + y) y(0) = 0. Koji se član niza sukcesivnih aproksimacija od rešenja razlikuje manje od unapred datog broja d ako je D = { x, y : x, y }. 3.7 Primerom pokazati da neprekidnost funkcije f(x, y) nije dovoljan uslov za jedinstvenost rešenja početnog problema. Rešenje: Tada su rešenja y(x) = y = 3y 2 3, y(0) = 0. { 0, x < c, c > 0 (x c) 3, x c 3.8 Pokazati primerom da uslovi teoreme Pikar-Lindelöf dovoljni, ali ne i potrebni za postojanje jedinstvenosti rešenja. Rešenje: Posmatrajmo diferencijlnu jednačinu y = f(x, y) = { y ln y, 0 < y < 0, y < 0 i neka je y(x 0 ) = y 0 <. Kako je lim y 0 y ln y = 0, funkcija f je neprekidna. Pokažimo da nije Lipšicova. Pretpostavimo da postoji L > 0 takvo da za sve ured ene parove x, y i x, y 2 važi Posmatrajmo, 0 i, y 2. Tada je f(x, y ) f(x, y 2 ) L y y 2. f(, 0) f(, y 2 ) = y 2 ln y 2 L y 2. Dakle ln y 2 je ograničeno sa L. Kontradikcija. Med utim, postoji jedinstveno rešenje: { e e x x 0 ln y 0, 0 < y y(x) = 0 < y 0, y 0 0 Asimptotsko ponašanje rešenja 3.9 Pokazati a) da postoji jedinstveno rešenje početnog problema y = y 2, y(x 0 ) = y 0, b) da za y 0 0 svako rešenje ima vertikalnu asimptotu, c) analizom polja pravaca da za y 0 < 0 rešenje kad x teži beskonačnosti ima horizonatalnu asimptotu. Teorema Neka su data dva početna problema y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 y = g(x, y) y(x 0 ) = y 0 i neka su f i g neprekidne na nekom skupu D koji u svojoj unutrašnjosti sadrži tačku x 0, y 0. Neka su y i y 2 rešenja početnih problema, respektivno. Ako je f(x, y) g(x, y) za sve x, y D onda je y (x) y 2 (x) za x > x 0, a y (x) y 2 (x) za x < x 0. 3.0 Pokazati da rešenje početnog problema y = x 2 + y 2 y(0) = ima vertikalnu asimptotu. 3. Data je diferencijalna jednačina y = x 2 y 2 y(x 0 ) = y 0 a) Naći nekoliko članova niza sukcesivnih aproksimacija i oceniti grešku. b) Naći x 0, y 0 takvo da se rešenje može produžiti neograničeno udesno. c) Naći x 0, y 0 takvo da rešenje ima verikalnu asimptotu. 8

4 Vežbe 4. Asimptotsko ponašanje rešenja II 4. Data je diferencijalna jednačina y = y 3 y 2 x 2y 2 + yx + y y(x 0 ) = y 0. a) Naći nekoliko članova niza sukcesivnih aproksimacija, uz početni uslov y() =, i oceniti grešku. b) Pokazati da ako y 0 (0, ), da tada i rešenje y(x) (0, ). c) Naći x 0 i y 0 takve da rešenje jednačine ima vertikalnu asimptotu. 4.2 Data je diferencijlana jednačina xyy = y x y(x 0 ) = y 0. a) Dokazati da se za x 0 = 2 i y 0 = rešenje ne može produžiti na desno do +, niti da desno od x 0 ima vertikalnu asimptotu. b) Dokazati da za y 0 < x 0 < 0 rešenje ima vertikalnu asimptotu. 4.3 Rešiti jednačinu xydy = (y 2 + x)dx. Diferencijalne jednačine prvog reda - razni zadaci Rešenje: Ovo je Bernulijeva jednačina. 4.4 Rešiti jednačinu (2 9xy 2 )x = (6x 3 4y 2 )yy. Rešenje: Ovo je jednačina totalnog diferencijala. 4.5 Rešiti jednačinu (2x 2 y ln y x)y = y. Rešenje: Ovo je Bernulijeva jednačina kada se x posmatra kao funkcija od y (x = x(y)) 4.6 Smenom y = z 2 svesti jednačinu 9yy 8xy + 4x 3 = 0 na homogenu i rešiti je. 4.7 Smenom x = t α, y = z β diferencijalnu jednačinu (xy + y 3 )dx 2x 2 dy = 0 svesti na homogenu i rešiti je Rešenje: pa se jednačina svodi na x = t α dx = αt α dt y = z β dy = βz β dz, α(t α z β + z 3β )t α dt 2t 2α βt β dz z = αt2α z β + αt α z 3β 2βt 2α z β z = α z 2β t + α z 2β+ 2β t α+ Za 2β + = α + dobijamo homogenu jednačinu. Neka je α = 2, a β =. 4.8 Rešiti jednačinu (x 2 y )dy (xy 2 )dx = 0 znajući da ima integracioni množitelj oblika f(x y). 4.9 Data je diferencijalna jednačina (x 3 )y = 2xy 2 x 2 y. Odrediti partikularno rešenje jednačine u obliku polinoma, a zatim naći rešenje koje zadovoljava uslov y(0) = 4. 4.0 Dat je početni problem xy = y + 3x 2 (x 2 + y 2 ), y(x 0 ) = y 0. a) Da li postoji jedinstveno rešenje? b) Za x 0 = y 0 = naći nekoliko članova niza sukcesivnih aproksimacija c) Naći integracioni množitelj oblika f(x 2 + y 2 ) i rešiti jednačinu. 4. Naći potreban i dovoljan uslov da jednačina P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ima integracioni množitelj oblika f(y 2 x). 4.2 Naći rešenje jednačine y sin 2x = 2(y + cos x) koje ostaje ograničeno kada x teži π 2. 9

5 Vežbe 5. Diferencijalne jednačine prvog reda - geometrijska primena 5. Naći familiju krivih kod kojih je tačka preseka bilo koje tangente sa apscisom jednako udaljena od tačke dodira i koordinatnog početka. 5.2 Naći familiju krivih za koje je površina trougla ograničenog tangentom, x-osom i duži koja spaja koordinatni početak sa tačkom dodira konstanta i iznosi a 2. 5.3 Odrediti krive sa osobinom da je deo tangente u proizvoljnoj tački krive izmed u x-ose i prave y = ax + b i dodirnom tačkom krive podeljen na dva jednaka dela. Jednačine koje nemaju y Jednačine koje dopuštaju snižavanje reda F (x, y (k), y (k+),..., y (n) ) = 0, k Smena je y (k) = z. Tada je y (k+) = dy(k) dx = dz dx = z i tako dalje, pa je y (n) = z (n k). 5.4 Rešiti diferencijalnu jednačinu x 2 y = (y ) 2. 2 Jednačine koje nemaju x F (y, y,..., y (n) ) = 0 Smena y = p(y), a y postaje nezavisna promenljiva. Tada je y = dy dx = dp dx = dp dy dy dx = p p. y = dy dx = d(pp ) dx = d(pp ) dy 5.5 Rešiti diferencijalnu jednačinu 2yy = (y ) 2 +. 3 Jednačine koje su izvod neke jednačine nižeg reda i postoji funkcija G(x, y, y,..., y (n ) ) da je F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 dy dx = (pp + p 2 )p. F (x, y, y,..., y (n) ) = (G(x, y, y,..., y (n ) )). Tada je G(x, y, y,..., y (n ) ) = c. 5.6 Rešiti diferencijalnu jednačinu yy = (y ) 2 znajući da je izvod diferencijalne jednačine nižeg reda. 4 Homogene po y. F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 Ako umesto y (k) stavimo l y (k) za k = 0,, 2,... n i dobijemo opet polaznu jednačinu, onda je to homogena po y. Smena: y = yz, gde je z = z(x). Tada je y = (yz) = y z + yz = yz 2 + yz = y(z 2 + z ). 5.7 Rešiti diferencijalnu jednačinu xyy + x(y ) 2 = 2yy. 0

5 Jednačine koje se svode na jednačine koje nemaju x (uopštene homogene) F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 Ako zamenimo x sa l x, y sa l m y, y sa l m y,..., y(n) sa l m n y(n) i jednačina za neko m ostane nepromenjena, onda uvrštavamo smenu x = e t, y = e mt z, (z = z(t)) Tada je dx = e t dt y = dy dx = d(emt z) dt dt dx = (memt z + e mt z )e t i tako dalje redom odredimo sve izvode y koji se pojavljuju u polaznoj jednačini 5.8 Sniziti red date diferencijalne jednačine: 2x 4 y 3y 2 = x 4. 5.9 Rešiti diferencijalnu jednačinu: yy y + 2y 2 y = 3yy 2. 5.0 Rešiti diferencijalnu jednačinu y2 x 2 + y 2 = 3xy + 2yy x. 5. Rešiti diferencijalnu jednačinu 5y 2 3y y iv = 0 znajući da je potpun izvod diferencijalne jednačine nižeg reda. 5.2 Rešiti diferencijalnu jednačinu xy y = x 2 yy znajući da je izvod diferencijalne jednačine nižeg reda. 5.3 Data je diferencijalna jednačina yy + 3y y = 0. Sniziti red za jedan ako se zna da se može predstaviti kao izvod neke diferencijalne jednačine, a zatim je rešiti. 6 Vežbe 6. Implicitne jednačine - opšti oblik Oblika su F (x, y, y ) = 0. Ako možemo da nekako izrazimo y, onda su to ekspilicitne. Inače, znamo da ih, u opštem slučaju, rešimo ako je moguće izraziti x ili y, tj. x = φ(y, y ) ili y = ψ(x, y ). Tada uvodimo parametar Rešavamo: p = dy dx = y x = φ(y, p) ili y = ψ(x, p) dx = φ y dy + φ p dp ili dy = ψ x dx + ψ p dp p dy = φ ydy + φ p dp ili p dx = ψ x dx + ψ p dp ( p φ y)dy = φ p dp ili (p ψ x )dx + ψ p dp Sada posmatramo y kao funkciju od p, odnosno x kao funkciju od p i rešimo (ako možemo) dobijenu eksplicitnu jednačinu. Dobijeno rešenje je u parametarskom obliku. Na kraju moramo proveriti da li su funkcije koje su rešenja diferencijalne jednačine F y = 0 rešenja i početne jednačine. Takva rešenja nazivamo singularna.

6. Naći sva rešenje diferencijalne jednačine y = x + y ln y. Rešenje: U ovoj jednačini y je već izraženo. Uvodimo parametar p = y = dy dx y = x + p ln p dy = dx + ( p )dp Tada je Dakle rešenje je pdx = dx + ( p )dp (p )dx = p dp / (p ) p p dx = dp p x = ln p + c y = ln p + c + p ln p = p + c. x = ln p + c y = p + c Oslobad anjem od parametra p dobijamo da je y = e x c + c. Tokom rešavanja delili smo sa p. Preveravamo da li je to možda rešenje, tj. da li je rešenje diferencijalne jednačine y = rešenje početne. Rešenje diferencijalne jednačine je y = x + c. Uvrštavanjem u polaznu dobijamo da je x + c = x + 0, tj. da je još jedno rešenje y = x +. Ostaje da se proveri da li je rešenje diferencialne jednačine F y = 0 rešenje polazne. Tako imamo + y = 0, tj. y =, što smo već videli da je rešenje y = x +. Dakle sva rešenja jednačine su y = e x c + c i y = x +. 6.2 Naći sva rešenja diferencijalne jednačine y 3 + y 2 = xyy. 6.3 Naći sva rešenja diferencijalne jednačine y sin y x = 0. Opšti oblik Kleroove jednačine je Diferenciranjem dobijamo Specijalni oblici implicitnih jednačina Kleroova diferencijalna jednačina y = xy + f(y ). y = y + xy + f (y )y 0 = y (x + f (y )) Dakle rešenja su y = 0, pa je y = c. Odatle je rešenje y = xc + f(c). 2 x + f (y ) = 0. Odatle izrazimo y = g(x), pa je rešenje y = xg(x) + f(g(x)). Prave y = xc + f(c) su tangente na y = xg(x) + f(g(x)). 2

6.4 Rešiti diferencijalnu jednačinu y = xy y 2. Rešenje: Diferenciranjem dobijamo y = y + xy 2y y 0 = y (x 2y ) y = 0, pa je y = c. Rešenje je y = cx c 2. 2 x 2y = 0, pa je y = x x2 2. Dakle, rešenje je y = 2 x2 4 Proizvod eksplicitnih diferencijalnih jednačina, tj. y = x2 4. F (x, y, y ) = n (y f i (x, y)) = 0 y(x 0 ) = y 0 i= Tada rešavamo diferencijalne jednačine y = f i (x, y) i neka su njihova rešenja g i (x, y, c i ) = 0, gde konstate c i odred ujemo iz početnih uslova. Opšte rešenje je oblika n g i (x, y, c i ) = 0 6.5 Ispitati kada postoji jedinstveno rešenje problema (y ) 3 4x 2 y = 0, y(x 0 ) = y 0. i= Rešenje: Jednačina se može zapisati u obliku y (y 2x)(y + 2x) = 0 Rešenja diferencijalnih jednačina su y = 0, pa je y = c. Iz početnog uslova dobijamo da je y y 0 = 0. 2 y = 2x, pa je y = x 2 + c 2. Iz početnog uslova dobijamo da je y x 2 y 0 + x 2 0 = 0. 3 y = 2x, pa je y = x 2 + c 3. Iz početnog uslova dobijamo da je y + x 2 y 0 x 2 0 = 0. Opšte rešenje je (y y 0 )(y x 2 y 0 + x 2 0)(y + x 2 y 0 x 2 0) = 0 Ako je x 0 = 0, kroz tačku 0, y 0 prolaze sva tri rešenja i imaju isti koeficijent pravca, pa nemamo jedinstveno rešenje. Ako je x 0 0, kroz tačku x 0, y 0 prolaze sva tri rešenja, ali sa različitim koeficijentom pravca, pa je rešenje jedinstveno. Ona je oblika Langrageo-ova diferencijalna jednačina y = xf(y ) + g(y ). Uvodimo parametar y = p i nakon diferenciranja dobijamo y = xf(p) + g(p) dy = f(p)dx + (xf (p) + g (p))dp pdx = f(p)dx + (xf (p) + g (p))dp (p f(p))dx = (xf (p) + g (p))dp dx dp = xf (p) + g (p) p f(p) dx dp x f (p) p f(p) = g (p) p f(p), a to je linerana jednačina ako posmatramo x kao funkciju od p. 6.6 Naći sva rešenja diferencijalne jednačine y = xy 2 + ln y. 3

7 Vežbe 7. Sistemi diferencijalnih jednačina Posmatrajmo sledeći sistem diferencijalnih jednačina: x = f (t, x, x 2,... x n ) x (t 0 ) = x 0 x 2 = f 2 (t, x, x 2,... x n ) x 2 (t 0 ) = x 0 2.. x n = f n (t, x, x 2,... x n ) x n (t 0 ) = x 0 n Ovakav sistem nazivamo početnim problemom. Ako označimo onda je a analogno Tada početni problem dobija oblik x = x, x 2,... x n, f i (t, x, x 2,..., x n ) = f i (t, x), f(t, x) = f (t, x), f 2 (t, x),..., f n (t, x) x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0 Ovako zapisan, podseća na običan početni problem, pa tako za sistem važe teoreme Peano i Pikar- Lindeöf. Teorema (Peano) Neka je f(t, x) neprekidna na zatvorenom skupu G, gde je G = { t, x : t t 0 a, x x 0 b}. Tada početni problem za sistem ima rešenje definisano na intervalu [t 0 h, t 0 + h], gde je h = min{a, b M } M = sup f(t, x) G Teorema (Pikar-Lindelöf) Neka je f(t, x) neprekidna na zatvorenom skupu G, gde je G = { t, x : t t 0 a, x x 0 b} i neka zadovoljava Lipšicov uslov po x, tj. postoji L > 0 takvo da je u G f(t, x ) f(t, x 2 ) L x x 2. Tada početni problem za sistem ima jedinstveno rešenje definisano na intervalu [t 0 h, t 0 + h], gde je h = min{a, b M } M = sup f(t, x) G do kog se dolazi nizom sukcesivnih aproksimacija t x k (t) = x 0 + f(s, x k (s))ds, t 0 gde je ocena rastojanja k-tog člana od rešenja (greška) x(t) x k (t) M L (Lh) k+ (k + )! elh. Napomena: Funkcija f je Lipšicova po x ako je f x neprekidno, tj. ako su funkcije f i x j sve i, j =, 2,..., n. neprekidne za 4

7. Ispitati egzistenciju i jedinstvenost rešenja sistema Rešenje: Obeležićemo y = x ln y x = ty x ctg t f (t, x, y) = x ln y f 2 (t, x, y) = ty x ctg t Rešenje postoji na skupu gde su f i f 2 neprekidne, tj. na D = { t, x, y R 3 : x 0, y > 0, t kπ k Z} Jedinstveno rešenje postoje tamo gde su i parcijalni izvodi funkcija f i f 2 neprekidni po x i po y. Kako je f x = 2 f x y = y f 2 x = ctg t f 2 y = t jedinstvenost imamo na skupu D 2 = D { t, x, y R 3 : x > 0, y 0, t kπ k Z} = { t, x, y R 3 : x > 0, y > 0, t kπ k Z} 7.2 Ispitati egzistenciju i jedinstvenost rešenja sistema x = x 2 + ln ty y = 3 x y2 t 2 7.3 a) Naći interval u kojem postoji jedinstveno rešenje početnog problema x = y 2 + t y = x 2 + y 2 x(0) = y(0) = 2 b) Naći nekoliko članova niza sukcesivnih aproksimacija. Rešenje: Označimo sa f (t, x, y) = y 2 + t f 2 (t, x, y) = x 2 + y 2 Kako su obe funkcije neprekidne, imamo da postoji rešenje u svakoj tački. Pošto je Posmatramo rešenje na skupu D f x = 0 f y = 2y f 2 x = 2x f x = 2y D = { t, x, y : t 0 a, x, y, 2 b} Kako je h = min{a, b M }, gde je M = sup D f (t, x, y), f 2 (t, x, y). Potrebno je samo izračunati M. Za izračunavanje ćemo koristiti vektorsku normu, što je u stvari maksimum. Stoga je M = max D max{y2 + t, x 2 + y 2 } = max{(b + 2) 2 + a, (b + ) 2 + (b + 2) 2 } h = min{a, Za početnu aproksimaciju uzimamo funkcije b (b + 2) 2 + max{a, (b + ) 2 } }. x 0 (t) =, y 0 (t) = 2 5

Sada je x (t) = x 0 + y (t) = y 0 + t t 0 f (s, x 0 (s), y 0 (s))ds = + t t x 2 (t) = x 0 + y 2 (t) = y 0 + t 0 f 2 (s, x 0 (s), y 0 (s))ds = + t 0 f (s, x (s), y (s))ds = + t t 0 f 2 (s, x (s), y (s))ds = + 7.4 Diferencijalnu jednačinu n-tog reda t 0 t 0 t 0 t 0 (2 2 + s)ds = + 4t + t2 2 ( 2 + 2 2 )ds = 2 + 5t y ( n) = F (t, y, y, y,..., y (n ) ) ((2 + 5s) 2 + s)ds = + 4t + 5t 2 + 25t3 3 + t2 2 (( + 4s + s2 2 )2 + (2 + 5s) 2 )ds napisati u obliku sistema n diferencijalnih jednačina prvog reda, zatim primeniti na y iv + 5y (y ) 2 2t sin y = 0 Rešenje: Uvešćemo nove zavisne promenljive x i. Tada vršimo zamenu y = x i dobijamo y = x pa uvodimo x = x 2 y = x 2 pa uvodimo x 2 = x 3. y (n ) = x n pa uvodimo x n = x n y n = x n pa je stoga x n = F (t, x, x 2, x 3,..., x n ) U našem slučaju taj sistem nakon smene y = x izgleda x = x 2 x 2 = x 3 x 3 = x 4 x 4 = 5x 2 x 2 3 + 2t sin x 7.5 Rešiti sistem 7.6 Rešiti sistem 7.7 Rešiti sistem 7.8 Rešiti sistem 7.9 Rešiti sistem 7.0 Rešiti sistem 7. Rešiti sistem 7.2 Rešiti sistem y = z x y = x z z = (y z)2 + xz x 2 z = x y dx xz = dy yz = dz xy dx x 2 = dy xy 2z 2 = dz xz dx y + z = dy x + z = dz x + y xy + x y = 2 xy x y = x = y z y = x 2 + y z = x 2 + z x = x(y 2 z 2 ) y = y(x 2 + z 2 ) z = z(x 2 + y 2 ) 6

8 Vežbe 8. Linearni sistemi diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima Homogeni sistem 8. Rešiti sistem Rešenje: Matrica sistema je Karakteristični koreni matrice A su x = 2x y + z y = x + 2y z z = x y + 2z A = 2 2 2 Kako su svi koreni realni i različiti rešenje je oblika λ =, λ 2 = 2, λ 3 = 3 x = c v e λ t + c 2 v 2 e λ 2t + c 3 v 3 e λ 3t, gde su v, v 2, v 3 odgovarajući karakteristični vektori. U ovom slučaju rešenje je x y = c 0 e t + c 2 e 2t + c 3 0 e 3t, z tj. x = c 2 e 2t + c 3 e 3t y = c e t + c 2 e 2t z = c e t + c 2 e 2t + c 3 e 3t 8.2 Rešiti sistem x = x y z y = x + y z = 3x + z Rešenje: Matrica sistema je Karakteristični koreni matrice A su A = 0 3 0 λ =, λ 2 = + 2i, λ 3 = 2i Imamo par konjugovano kompleksnih rešenja i sva rešenja su razlišita. x = c v e λt + c 2 Re(v 2 e λ2t ) + c 3 Im(v 2 e λ2t ), gde su v i v 2 odgovarajući karakteristični vektori. Za λ 3 ne tražimo karakterističan vektor. Imamo da je v = 0 v 2 = 2 i 3i 7

Tada je v 2 e λ2t = 2 i 3i e t e 2it = 2 i 3i e t (cos 2t + i sin 2t) = 2et cos 2t + i2e t sin 2t e t sin 2t ie t cos 2t 3e t sin 2t 3ie t cos 2t Konačno, rešenje je 8.3 Rešiti sistem x = c 2 e t cos 2t + c 3 2e t sin 2t y = c e t + c 2 e t sin 2t c 3 e t cos 2t z = c e t + c 2 3e t sin 2t c 3 3e t cos 2t x = 2x y z y = 2x y 2z z = x + y + 2z Rešenje: Matrica sistema je Karakteristični koreni matrice A su A = 2 2 2 2 λ = λ 2 = λ 3 = Kako imamo višestruko koren, rešenje tražimo u obliku P k (t) Q k (t) e λt, R k (t) gde su P k, Q k i R k polinomi reda k, a k = r + s n, gde je r rang matrice λe A, s višestrukost korena, a n red sistema. Tako je λe A = 2 2 2 pa je rang matrice jednak. Red polinoma je k = + 3 3 =. Rešenje tražimo u obliku x y = At + B Ct + D e t z Et + F Konstante A, B, C, D, E i F odred ujemo uvrštavanjem u sistem. Kako se radi o trostrukom korenu, tri konstante ćemo izraziti preko druge tri. Ae t + (At + B)e t = 2(At + B)e t (Ct + D)e t (Et + F )e t Ce t + (Ct + D)e t = 2(At + B)e t (Ct + D)e t 2(Et + F )e t Ee t + (Et + F )e t = (At + B)e t + (Ct + D)e t + 2(Et + F )e t Odatle dobijamo sistem linearnih jednačina Rešavanjem dobijamo da je A = C + E A = B D F C = 2B 2D 2F E = B + D + F A = E C = 2E F = E + B D 8

Proglasimo sada B,D i E za konstante c, c 2 i c 3 respektivno. Tada je A = c 3 B = c C = 2c 3 D = c 2 E = c 3 F = c c 2 + c 3, pa je rešenje x y z = c 3 t + c 2c 3 t + c 2 c 3 t + c c 2 + c 3 e t = c 0 e t + c 2 0 e t + c 3 t 2t t + e t 8.4 Rešiti sistem: x = 2x 3y y = x 2y Rešenje: Ovakvi sistemi se uvek mogu rešiti uvod enjem novih zavisnih promenljivih i svod enjem na siszem linearnih jednačina prvog read. U ovom slučaju sistem je oblika Med utim, upošteno, kod homogenih sistema oblika x = u y = v u = 2x 3y v = x 2y a n x (n) + a n x (n ) +... + a 0 x + b n y (n) + b n y (n ) +... + b 0 y = 0 c n x (n) + c n x (n ) +... + c 0 x + d n y (n) + d n y (n ) +... + d 0 y = 0 do karaketrističnih korena dolazimo iz jednačine a nλ n + a n λ n +... + a 0 b n λ n + b n λ n +... + b 0 c n λ n + c n λ n +... + c 0 d n λ n + d n λ n +... + d 0 = 0, a zatim do odgovarajućih karakterističnih vektora rešavajući sistem [ an λ n i + a n λ n i +... + a 0 b n λ n i + b n λ n i +... + b 0 c n λ n i + c n λ n i +... + c 0 d n λ n i + d n λ n i +... + d 0 Tako se u našem slučaju sistem može zapisati x 2x 3y = 0 x + y + 2y = 0 Odgovarajuća karakteristična jednačina je λ2 2 3 λ 2 + 2 = 0 čije je rešenje Odgovarajući karaktersistični vektori su [ 3 v = dok v 4 ne tražimo. Kako je rešenje je v 3 e λ3t = λ =, λ 2 =, λ 3 = i, λ 4 = i. ] [ 3, v 2 = [ cos t + i sin t cos t + i sin t ] = ] [, v 3 = [ cos t cos t ], ] [ sin t + i sin t x = 3c e t + 3c 2 e t + c 3 cos t + c 4 sin t y = c e t + c 2 e t + c 3 cos t + c 4 sin t. ] [ x y ], ] [ 0 = 0 ]. 9

8.5 Metodom varijacije konstanti rešiti sistem Rešenje: Prvo rešimo homogen sistem Njegovo rešenje je Tada je rešenje nehomogenog sistema oblika Nehomogeni sistem x = x y + cos t y = 2x y x = x y y = 2x y x h = c cos t + c 2 sin t y h = c (cos t + sin t) + c 2 (sin t cos t) x = c (t) cos t + c 2 (t) sin t y = c (t)(cos t + sin t) + c 2 (t)(sin t cos t). Funkcije c (t) i c 2 (t) dobijamo iz sledećeg sistema lineranih jednačina c (t) cos t + c 2(t) sin t = cos t c (t)(cos t + sin t) + c 2(t)(sin t cos t) = 0, gde nehomogeni deo ovog sistema je nehomogeni deo sistema diferencijalnih jednačina. Sistem rešavamo Kramerovim pravilom. Tako je D S = cos t sin t cos t + sin t sin t cos t = Stoga je Dakle Rešenje je D c = cos t sin t 0 sin t cos t = sin t cos t D c 2 = cos t cos t sin t cos t + sin t 0 = cos t c (t) = c 2 (t) = c (t) = sin t cos t c 2(t) = + sin t cos t ( sin t cos t )dt = t + ln cos t + c ( + sin t cos t )dt = t ln cos t + c 2. x = (t + ln cos t + c ) cos t + (t ln cos t + c 2 ) sin t y = (t + ln cos t + c )(cos t + sin t) + (t ln cos t + c 2 )(sin t cos t). 8.6 Metodom pogad anja partikularnog rešenja rešiti sistem x = 2x y z + e 2t y = 3x 2y 3z + cos t z = x + y + 2z + e t 20

Rešenje: Rešavamo prvo homogen sistem i dobijamo da je i karakteristični koreni su x h = c + c 2 e t + c 3 e t y h = 3c + c 2 e t z h = c + c 3 e t λ = 0 λ 2,3 =. Pogad ačku metodu koristimo ako su svi nehomogeni delovi oblika gde je P m (t) polinom reda m. Tada je partikularno rešenje oblika x p y p = Q k Q 2 k z p Q 3 k P m (t)e αt cos βt ili P m (t)e αt sin βt, e αt cos βt + R k R 2 k R 3 k e αt sin βt gde su Q i k i Ri k polinomi reda k = m + l, a l je višestrukost α + iβ kao korena karakteristične jednačine. Posmatrajmo prvo e 2t. Imamo da je m = 0, a kako je α = 2, a β = 0, onda je i l = 0. Partikularno rešenje je oblika: x p y p z p = A B C e 2t. Do konstanti A, B, C dolazimo uvrštavajući partikularno rešenje u sistem gde je od nehomogenih delova jedini preostao onaj koji posmatramo, tj. x = 2x y z + e 2t y = 3x 2y 3z z = x + y + 2z Tako dobijamo da je A = 3 2, B = 3 2 i C = 2. Sada posmatramo cos t. Imamo da je m = 0, a kako je α = 0, a β =, imamo da je l = 0. Partikularno rešenje je oblika x p 2 y p2 z p2 = A B C cos t + D E F sin t. Što se tiče e t, imamo da je α =, a β = 0, pa je l = 2. Stoga je partikularno rešenje oblika x p3 y p3 = A xt 2 + B x t + C x A y t 2 + B y t + C y e t z p3 A z t 2 + B z t + C z U oba slučaja se do konstanti dolazi uvrštavanjem u sistem koji od nehomogenih delova ima samo onaj koji posmatramo. 8.7 Rešiti sistem 8.8 Rešiti sistem 8.9 Rešiti sistem x = x y + z + t y = x + y z (t 2 + ) sin t z = 2z y x = 2x y z + tg t y = 3x y 2z z = 2z x + y + ctg t x = 2x + 2z y + t cos t y = x + 2z + e t sin t z = y 2x z 2

9 Vežbe 9. Linearne jednačine višeg reda 9. Rešiti jednačine a) y 3y + 2y = 0 b) y + k 2 y = 0, k 0 c) y + 4y + 3y = 0 d) y + 4y 3y = 0 e) y 3y + 3y y = 0 f) y iv + 2y + y = 0 Rešenje: a) Rešavamo karakterističnu jednačinu Rešenja su r 3 3r 2 + 2r = 0. r = 0, r 2 =, r 3 = 2. Kako su rešenja realna i jednostruka, rešenje je oblika b) Karakteristična jednačina je y(x) = c e r x + c 2 e r 2x + c 3 e r 3x = c + c 2 e x + c 3 e 2x. r 2 + k 2 = 0, pa su joj rešenja r = ki, r 2 = ki. Rešenje je kompleksno i jednostruko. Razmatraćemo samo jedno rešenje od para konjugovano kompleksnih. Imamo da je Opšte rešenje je oblika e r x = e ikx = cos kx + i sin kx y = c Re(e rx ) + c 2 Im(e rx ) = c cos kx + c 2 sin kx. c) Karakteristična jednačina je r 2 + 4r + 3 = 0, a njena rešenja r,2 = 2 ± 3i. Kako je opšte rešenje je e rx = e ( 2+3i)x) = e 2x (cos 3x + i sin 3x), y = c e 2x cos 3x + c 2 e 2x sin 3x. d) Karakteristična jednačina je r 2 + 4r 3 = 0, a njena rešenja r,2 = 2 ± 7. Kako su rešenja realna i jednostruka, opšte rešenje je y = c e ( 2+ 7)x + c 2 e ( 2 7)x. e) Karakteristična jednačina je r 3 3r 2 + 3r = 0, a njena rešenja r,2,3 =. Rešenje je realno i višestruko. Tada je y = (c + c 2 x + c 3 x 2 )e r x = (c + c 2 x + c 3 x 2 )e x. f) Karakteristična jednačina je r 4 + 2r 2 + = 0, a rešenja su r,2 = i, r 3,4 = i. Posmatramo samo jedan od para konjugovano kompleksnih brojeva. Kako je e ix = cos x + i sin x, opšte rešenje je y = (c + c 2 x) cos x + (c 3 + c 4 x) sin x. 22

9.2 Pogad ajući oblik partikularnog rešenja reši jednačinu y 4y + 3y = xe x + sin 2 x Rešenje: Poagd ačku metodu možemo koristiti ako je svaki nehomogeni deo oblika e αx (P k (x) cos βx + Q l (x) sin βx), gde su P k i Q l polinomi reda k, odnosno l. Partikularno rešenje je oblika y p (x) = e αx (R m (x) cos βx + S m (x) sin βx)x s, gde su R m i S m polinomi reda m = max{k, l}, a s je višestrukost broja α + iβ kao korena karakteristične jednačine. Kako je sin 2 cos 2x x = 2, imamo tri nehomogena dela, xe x, cos 2x 2 i 2. Svi oni su oblika da možemo koristiti pogad ačku metodu. Rešimo prvo homogeni deo. Karakteristična jednačina je r 2 4r + 3 = 0, a njeni koreni su r = i r 2 = 3. Dakle, rešenje homogenog dela je y h = c e x + c 2 e 3x. Posmatrajmo prvo nehomogeni deo xe x. Kako je ispred e x polinom prvog reda, imamo da je m =. Pošto je a + ib =, a to je koren karakteristična jednačine, imamo da je s =. To znači da je partikularno rešenje oblika = e x (Ax + B)x. y p Da bi dobili konstante A i B, ovo rešenje ćemo uvrstiti u jednačinu koja od nehomogenih delova ima samo onaj koji ispitujemo, tj. y 4y + 3y = xe x. Tako dobijamo da je A = 4, a B = 4. Dakle, y p = e x ( 4 x2 4 x). 2 Posmatrajmo sad 2. U ovom slučaju imamo da je partikularno rešenje oblika Uvrštavanjem u diferencijalnu jednačinu y p2 = A. y 4y + 3y = 2 dobijamo da je A = 6, tj. da je y p2 = 6. 3 cos 2x Na kraju posmatrajmo 2. Imamo da je partikularno rešenje oblika Uvrštavanjem u diferencijalnu jednačinu dobijamo da je A = 30, a B = 4 65, tj. da je Konačno y p3 = A cos 2x + B sin 2x. y 4y cos 2x + 3y = 2 y p3 = 4 cos 2x + sin 2x. 30 65 y = y h + y p + y p2 + y p3 y = c e x + c 2 e 3x + e x ( 4 x2 4 x) + 6 + 4 cos 2x + 30 65 sin 2x 23

9.3 Pogad ajući oblik partikularnog rešenja reši jednačinu 9.4 Metodom varijacije konstanti rešiti jednačinu y + 9y = e x sin 3x + cos 3x + 3x y 6y + y 6y = e4x + e 2x. Rešenje: Prvo rešimo homogeni deo jednačine. Karakteristična jednačina je a njena rešenja su Rešenje homogenog dela je tj. r 3 6r 2 + r 6 = 0, r = r 2 = 2 r 3 = 3. y h = c e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x. Rešenje diferencijalne jednačina tražimo u obliku Do funkcija c i (x) dolazimo rešavajući sistem Determinanta sistema je y = c (x)e x + c 2 (x)e 2x + c 3 (x)e 3x. c e x + c 2e 2x + c 3e 3x = 0 c (e x ) + c 2(e 2x ) + c 3(e 3x ) = 0 c (e x ) + c 2(e 2x ) + c 3(e 3x ) = e 4x +e 2x, c e x + c 2e 2x + c 3e 3x = 0 c e x + 2c 2e 2x + 3c 3e 3x = 0 c e x + 4c 2e 2x + 9c 3e 3x = e 4x +e 2x. D S = e x e 2x e 3x e x 2e 2x 3e 3x e x 4e 2x 9e 3x a ostale determinante su 0 e 2x e 3x D c = 0 2e 2x 3e 3x e 4x +e 4e 2x 9e 3x = e9x + e 2x D c 2 = 2x Dakle, pa je c = e x e 2x 0 D c 3 = e x 2e 2x 0 e x 4e e 3x 2( + e 2x ) 2x e4x +e 2x = 2e6x, e x 0 e 3x e x 0 3e 3x e x = e7x + e 2x e4x +e 9e 3x 2x c 2 = e2x + e 2x c e x 3 = 2( + e 2x ), = 2e8x + e 2x 2( 2x ) dx = 2 arctg e2x + c 3 c (x) = e 3x 2( + e 2x ) dx = 2 ex 2 arctg ex + c c 2 (x) = e2x + e 2x dx = 2 ln( + e2x ) + c 2 c 3 (x) = e x + e 24

Ojlerova diferencijlana jednačina je oblika i smenom Euler-ova diferencijalna jednačina d n (ax + b) n y (n) + d n (ax + b) n y (n ) +... + d (ax + b)y + d 0 y = f(x) ax + b = e t se svodi na diferencijlnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima. 9.5 Rešiti diferencijalnu jednačinu Rešenje: Uvodimo smenu x = e t. Tada je x 2 y 3xy + 5y = 3x 2. dx = e t dt, pa je dt dx = e t y = dy dx = dy dt dt dx = ẏe t y = dy dx = d(ẏe t ) dt dt dx = (ÿe t ẏe t )e t = ÿe 2t ẏe 2t Diferencijalna jednačina je sada e 2t (ÿe 2t ẏe 2t ) 3e t ẏe t + 5y = 3e 2t ÿ 4ẏ + 5y = 3e 2t Karakteristična jednačina homogenog dela je r 2 4r + 5 = 0, a njeni koreni su r,2 = 2 ± i. Rešenje homogenog dela je y h = c e 2t cos t + c 2 e 2t sin t Do partikularnog rešenja dolazimo pogad ačkom metodom, pa je y p = Ae 2t, a uvrštavanjem se dobija y p = 3e 2t. Rešenje je y = c e 2t cos t + c 2 e 2t sin t + 3e 2 t = c x 2 cos ln x + c 2 x 2 sin ln x + 3x 2. 9.6 Rešiti diferencijalnu jednačinu 0 Vežbe 0. (2x + 3) 3 y + 3(2x + 3)y 6y = 0. Jednačine višeg reda. Razni zadaci 0. Naći vezu izmed u r(x) i s(x) tako da jednačina y + r(x)y + s(x)y = 0 ima partikularno rešenje oblika y (x) = e mx. Primeniti to na (x 2)y (4x 7)y + (4x 6)y = 0. 0.2 Rešiti jednačinu xy + 2y xy = 0 znajući da ima partikularno rešenje oblika y (x) = eαx x. 0.3 Pokazati da diferencijalna jednačina (ae bx + b 2 )y = y, a, b R, a, b 0, ima partikularno rešenje y (x) = e αx + β, α, β R. Primeniti to na (e x + )y = y. 25

0.4 Data je diferencijalna jednačina (e x +)y 2y e x y = 0. Rešiti je znajući da je jedno partikularno rešenje polinom po e x. 0.5 Data je diferencijalna jednačina (x + )xy + (x + 2)y y = x +. Naći opšte rešenje ako se zna x da je jedno rešenje homogenog dela jednačine polinom. 0.6 Data je diferencijlna jednačina x 4 y + y = 0. a) Transformisati je uvod enjem nove nezavisne promenljive x = t. b) Pokazati da se pogodnim izborom funkcije f dobijena jednačina smenom y = z f(t) transformiše u jednačinu sa konstantnim koeficijentima. c) Rešiti jednačinu. 0.7 Pokazati da nijedno netrivijalno rešenje jednačine y = y + y 3 nema više od jedne nule. 0.8 Data je diferencijalna jednačina y + p(x)y + q(x)y = 0, gde su p, q neprekidne funkcije. Dokazati da ako dva rešenja imaju lokalni maksimum u istoj tački x 0 da su ta rešenja linearno zavisna. 0.9 Dokazati da ako je q(x) < 0 rešenja jednačine y + p(x)y + q(x)y = 0 ne mogu imati pozitivan maksimum. 0.0 Za koje n diferencijalna jednačina y (n) = f(x, y, y,..., y (n ) ), gde je f neprekidno diferencijabilna funkcija na R n+, može da ima med u svojim rešenjima dve funkcije: y = x i y 2 = sin x? Vežbe. Posmatramo diferencijalnu jednačinu Tačka x 0 je regularna tačka akko a 2 (x 0 ) 0 2 a 2 (x), a (x) i a 0 (x) su analitičke u x 0. U suprotnom, tačka x 0 je singularana. Tada rešenje tražimo u obliku stepenog reda REŠAVANJE POMOĆU REDOVA Regularna tačka a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = 0. y = a n (x x 0 ) n. n=0. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine ( x 2 )y + 2xy + k(k +)y = 0 u okolini tačke x 0 = 0..2 Naći opšte rešenje Hermitove diferencijalne jednačine y 2xy + 2ky = 0 u okolini tačke x 0 = 0..3 Diferencijalnu jednačinu (x 2)y + y (x 2) 2 y = 0 rešiti u okolini tačke x 0 =. Posmatramo diferencijalnu jednačinu Regularno-singularna tačka a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = 0. Tačka x 0 je regularno-singularna tačka akko je singularana i funkcije su analitičke u x 0. a (x) a 2 (x) (x x 0) i a 0 (x) a 2 (x) (x x 0) 2 26

.4 Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine 2x 2 y xy + ( x 2 )y = 0 u okolini x 0 = 0..5 Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine xy + y x 2 y = 0 u okolini x 0 = 0..6 Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine xy 2y xy = 0 u okolini x 0 = 0..7 Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine xy 2y x 2 y = 0 u okolini x 0 = 0..8 Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine 2x 2 (x )y + x(3x + )y 2y = 0 u okolini x 0 = ( x > M). 2 Vežbe 2. Rubni (granični) problem 2. Naći sopstvene vrednosti i sopstvena rešenja problema a) y + λy = 0 y(0) = y(π) = 0. b) d(xy ) dx + λ x y = 0 y (0) = y (e 2π ) = 0, λ > 0 2.2 Rešiti rubni problem y y 2y = 0, y (0) = 2, y( ) = 0. 2.3 Naći sopstvene vrednosti i sopstvena rešenja rubnog problema ( x 2 )y xy + λ 2 y = 0 sa uslovima y() = y( 2 ) = 0. Uputstvo: smenom nezavisne promenljive svesti jednačinu na jednačinu sa konstantnim koeficijentima. Šturmove teoreme i posledice Teorema (Šturmova teorema o upored ivanju). Neka je P C ([a, b]) i P (x) > 0 za sve x [a, b]. Neka su Q, Q 2 C([a, b]) i za sve x [a, b] nek je Q (x) Q 2 (x). Tada izmed u svake dve nule rešenja diferencijalne jednačine (P (x)y ) + Q (x)y = 0 nalazi se bar jedna nula rešenja jednačine (P (x)z ) + Q 2 (x)z = 0. 2.4 Sva netrivijalna rešenja jednačine y + q(x)y = 0, gde je q C([a, b]) i q(x) < 0 za sve x (a, b), imaju najviše jednu nulu. Pokazati. 2.5 Neka su x i i x i+ dve uzastopne nule netrivijalnog rešenja jednačine y + q(x)y = 0, gde je q C([a, b]) i q(x) > 0 za sve x [a, b]. Pokazati da je π x i+ x i π, M m gde je m = min q(x) i M = max q(x). x [a,b] x [a,b] 2.6 Broj nula netrivijalnog rešenja diferencijalne jednačine y + q(x)y = 0 na intervalu [a, b], gde je gde je q C([a, b]) i q(x) 0 za sve x [a, b]. Pokazati da je [ ] [ ] b a b a m N M +. π π 2.7 Data je diferencijalna jednačina y 2e x y + e 2x y = 0. Oceniti rastojanje izmed u dve uzastopne nule, kao i broj nula netrivijalnog rešenja na intervalu [2, 0] 27

2.8 Dokazati da rešenje diferencijalne jednačine: y x + 2y + x 2 y = 0 ima bar 5 nula na intervalu [, 25]. Oscilatornost Rećićemo da je rešenje oscilatorno ako i samo ako ima beskonačno mnogo nula. Rešenje je oscilatorno u okolini tačke x 0 ako i samo ako u svakoj okolini tačke x 0 ima beskonačno mnogo nula. Teorema Data je diferencijalna jednačina y + q(x)y = 0. Neka je ω = lim inf x x2 q(x) ω = lim sup x 2 q(x). Tada ako je ω > 4 onda je svako rešenje oscilatorno u beskonačnosti, a ako je ω < 4 onda ni jedno rešenje nije oscilatorno u beskonačnosti. 2.9 Ispitati oscilatornost netrivijalnog rešenja diferencijalne jednačine y + y = 0 u okolini tačke x5 x 0 = 0. 3 Vežbe 3. (AB smer) Posmatrajmo sistem diferencijalnih jednačina Stabilnost x = dx dt = f(x, y) y = dy = g(x, y) dt Kritična tačka sistema x 0, y 0 ako i samo ako je x f(x 0, y 0 ) = g(x 0, y 0 ) = 0. Rećićemo da je sistem stabilan (metastabilan) u kritičnoj tački ako i samo ako ε > 0 δ > 0 t 0 t t 0 (d ( x 0, y 0, x(t 0 ), y(t 0 ) ) < δ d ( x 0, y 0, x(t), y(t) ) ) < ε To znači da se rešenje ne udaljava sa vremenom od kritične tačke. Sistem je nestabilan ako i samo ako nije stabilan. Sistem je striktno stabilan ako i samo ako δ > 0 t 0 t t 0 (d ( x 0, y 0, x(t 0 ), y(t 0 ) ) < δ ( lim t x(t), y(t) = x 0, y 0 )). To znači da se vremenom rešenje približava kritičnoj tački. Rešenje nehomogenog sistema je stabilno ako i samo ako je rešenje homogenog sistema stabilno. Stabilnost možemo ispitivati i za diferencijalne jednačine oblika y = g(x, y) f(x, y). Stabilnost rešenja jednačine ekvivalentna je stabilnosti rešenja sistema x = dx dt = f(x, y) y = dy = g(x, y). dt Ispitivaćemo stabilnost u 0, 0. Da bi to postigli uvodimo smenu x = x x 0 ỹ = y y 0. 28

Tada je posmatramo sistem x = f( x + x 0, ỹ + y 0 ) = f( x, ỹ) ỹ = g( x + x 0, ỹ + y 0 ) = g( x, ỹ). Sistem je stabilan ako i samo ako je linearizovan sistem stabilan. Stoga, sad posmatramo sistem x = f x + f ỹ x ỹ 0,0 0,0 ỹ = g x x + g 0,0 ỹ ỹ. 0,0 Rešimo sada ovaj sistem. Neka su λ i λ 2 karakteristični koreni. U zavisnosti od njih razlikujemo različite tipove kritičnih tačaka. λ, λ 2 R, λ λ 2, λ λ 2 > 0. Tada tu tačku nazivamo čvor. Ako su oba korena negativna. onda je stabilan, a u suprotnom nestabilan. 3. Ispitati stabilnost u 0, 0 za sistem x = x y = 2y. [ ] 0 Rešenje: Matrica sistema je A =, pa su karakteristični koreni λ 0 2 = i λ 2 = 2. U pitanju je čvor i rešenje je stabilno. Rešenje je x = c e t, y = c 2 e 2t. 2 λ, λ 2 R, λ λ 2, λ λ 2 > 0. Tada tu tačku nazivamo sedlo. Rešenje je uvek nestabilno. 3.2 Ispitati stabilnost u 0, 0 za sistem x = x y = y. [ ] 0 Rešenje: Matrica sistema je A =, pa su karakteristični koreni λ 0 = i λ 2 =. U pitanju je sedlo i rešenje je nestabilno. Rešenje je x = c e t, y = c 2 e t. 3 λ = 0, λ 2 0. U pitanju je ekvilibrijum. Rešenje je metastabilno ako je λ 2 > 0, a u suprotnom je nestablino. 3.3 Ispitati stabilnost u 0, 0 za sistem x = x + y y = x + y. [ ] Rešenje: Matrica sistema je A =, pa su karakteristični koreni λ = 0 i λ 2 = 2. U pitanju je ekvilibrijum i rešenje je nestabilno. Rešenje je x = c e 2t + c 2, y = c e 2t c 2. 4 Re(λ i ) = 0, Im(λ i ) 0. U pitanju je centar (vortex). Rešenje je metastabilno. 3.4 Ispitati stabilnost u 0, 0 za sistem x = y y = x. 5 λ i R Re(λ i ) 0. U pitanju je fokus. Ako je Re(λ i ) < 0 rešenje je striktno stabilno, a u suprotom nestabilno. 3.5 Ispitati stabilnost u 0, 0 za sistem x = x y y = x + y. 6 λ = λ 2 0 i jedno od rešenja je polinom prvog reda. Tada je u pitanju izražen čvor (inflected node). Ako je λ < 0, onda je rešenje striktno stabilno, a inače je nestabilno. 3.6 Ispitati stabilnost u 0, 0 za sistem x = x + y y = y. [ ] Rešenje: Matrica sistema je A =, pa su karakteristični koreni λ 0 = λ 2 =. Kako je rešenje x = (c + c 2 t)e t, y = c 2 e t, u pitanju je izražen čvor, a rešenje je nestabilno. 7 λ = λ 2 0 i ni jedno od rešenja nije polinom prvog reda. Tada je u pitanju zvezda. Ako je λ < 0, onda je rešenje striktno stabilno, a inače je nestabilno. 29

3.7 Ispitati stabilnost u 0, 0 za sistem x = x y = y. [ ] 0 Rešenje:Matrica sistema je A =, pa su karakteristični koreni λ 0 = λ 2 =. Kako je rešenje x = c e t, y = c 2 e t, u pitanju je zvezda, a rešenje je striktno stabilno. 8 λ = λ 2 = 0. Rešenja su prave, pa su uvek nestabilna. Teorema Linearni sistem sa konstantnim koeficijentima je a) striktno stabilan ako je za sve i Re(λ i ) < 0. b) nestabilan ako postoji i Re(λ i ) > 0. c) metastabilan ako postoji samo jedno i za koje je Re(λ i ) = 0 i za sve ostale j i važi Re(λ j ) < 0. 3.8 Dat je sistem x = ln( y + y 2 ) y = 3 (x 2 + 8y) 2. Naći sve kritične tačke, ispitati stabilnost u njima i odrediti njihov tip. Rešenje: Kritične tačke ovog sistema su rešenja sistema jednačina ln( y + y 2 ) = 0 3 (x 2 + 8y) 2 = 0, tj. 3, 0, 3, 0,,,,. Ispitivaćemo tačku x 0, y 0 =,. Za ostale je analogno. Prvo ćemo je pomeriti u koordinatni početak. Uvodimo smenu x = x + ỹ = y, pa je Novi sistem je sada x = x y = ỹ +. Linearizacijom novog sistema dobijamo x = ln(ỹ 2 + ỹ + ) ỹ = 3 ( x 2 2 x + 8ỹ + 9) 2. x = ỹ ỹ = 3 x 4 3ỹ Matrica sistema je [ 0 A = 3 4 3 pa su karakteristični koreni λ,2 = 2 3 ± 2 3 7. Dakle, u pitanju je sedlo i ono je uvek nestabilno. Ispitivanje striktne stabilnosti rešenja linearne jednačine n-tog reda sa konstantnim koeficijentima. Linearna diferencijalna jednačina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima je ], a 0 y (n) + a y (n ) +... + a n y + a n y = 0, a 0 > 0. Rešenje je stabilno ako i samo ako su svi koreni karakteristične jednačine a 0 λ n + a λ n +... + a n λ + a n = 0 negativni. Potreban uslov je da svi a i > 0. U slučaju n 2, to je i dovoljan uslov. Potreban i dovoljan uslov: Posmatrajmo matricu Hurvica: a a 0 0 0 0 0 0 a 3 a 2 a 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a a 0 0.......... 0 0 0 0 0 0 a n 30

To je matrica reda n. Na glavnoj dijagonali su a, a 2,..., a n. Zatim se na ostala mesta red aju koeficijenti, tako da je u svakoj vrsti indeks sledećeg za jedan manji. Ostatak popunimo nulama. Glavni minori su = a, 2 = a a 0 a 3 a 2, a a 0 0 3 = a 3 a 2 a a 5 a 4 a 3,... Uslov Raus-Hurvica: Svi glavni minori su pozitivni, tj. i > 0 za i =, 2,..., n. 2 Uslov Ljenar-Šipara: svi a i > 0 i još treba da važi: n > 0, n 3 > 0, n 5 > 0,.... 3.9 Pod kojim uslovima je rešenje diferencijalne jednačine stabilno? Rešenje: Karakterisitčna jednačine je Matrica Hurvica je Potrebno je da a > 0, b > 0, i 3 = y iv + 2y + ay + 3y + by = 0 λ 4 + 2λ 3 + aλ 2 + 3λ + b = 0. 2 0 3 a 2 0 b 3 2 0 0 3 a 2 0 b 3 a 0 0 0 b = 6a 4b 9 > 0, = 2 > 0 Dakle, b > 0 i 6a > 4b + 9. 4 Vežbe 3. (CD smer) Diferencne jednačine Diferencni operator Neka je I 0 [0, ) i neka je funkcija f(x) definisana na skupu I 0 +Z. Definisaćemo diferencni operator (delta) sa f(x) = f(x + ) f(x) Osnovne osobine ovog operatora su (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) 2 (kf(x)) = k f(x), k R 3 (f(x) g(x)) = f(x + ) g(x) + g(x) f(x) = = f(x) g(x) + g(x) f(x) + f(x) g(x) ( ) f(x) 4 g(x) f(x) f(x) g(x) = g(x) g(x)g(x + ) 5 (f(g(x)) = f(g(x) + g(x)) f(g(x)) 6 (f (x)) = ( f(x)) 4. Naći: a) x 3 b) ln x c) sin ax d) a x. 3

Rešenje: a) x 3 = (x + ) 3 x 3 = 3x 2 + 3x + b) ln x = ln( + x ) c) sin ax = sin a(x + ) sin ax = 2 cos(ax + a 2 ) sin a 2 d) a x = (a )a x Diferencni operator možemo više puta primeniti. Tako je 2 f(x) = ( f(x)))f(x + 2) 2f(x + ) + f(x) n f(x) = ( n f(x)) Funkciju ω(x) sa osobinom ω(x) = 0 nazivamo aditivna konstanta. To je perodična funkcija sa periodom. Antidiferencni operator Uvodimo inverzni operator - antidiferencni operator. f(x) = F (x) F (x) = f(x). f je odred eno do na aditivnu konstantu ω. Osnovne osobine ovog operatora su (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) 2 (kf(x)) = k f(x), k R 3 (f(x) g(x)) = f(x)g(x) (g(x + ) f(x)) 4 (f(g(x) + g(x)) f(g(x))) = f(g(x)) + ω 5 ( f(x)) = f(x) 6 ( f(x)) = f(x) + ω 4.2 Odrediti: a) b) x c) a x d) (xa x ). Rešenje: a) Kako je x = x + x =, onda je = x b) Imamo da je x 2 = 2x +. Stoga je Odavde je x 2 = x 2 = 2x + = 2 x + = 2 x + x. x = x(x ). 2 c) Već smo videli da je a x = (a )a x. Odavde je a x = ax a, pa je a x = ax a = ax a. d) (xa x ) = a (xa x (a )) = a (x a x ) = = a (xax (a x+ x)) = xax a a (a ) 2 ax. Faktorijalni stepen 32

Definišemo x (0) = x (n) = x(x )(x 2)... (x n + ) x ( n) = (x + n) (n) Za faktorijalni stepen važi x (m+n) = x (m) (x m) (n) 4.3 Zapisati x 3 preko faktorijalnih stepena. Rešenje: Imamo da je x (3) = x(x )(x 2) = x 3 3x 2 + 2x, x (2) = x(x ) = x 2 x i x () = x. Stoga je x 3 = x (3) + 3x 2 2x = x (3) + 3(x (2) + x) 2x = x (3) + 3x (2) + x () Generalno, važi n x n = Sk n x (k), gde je Sk n Stirlingov broj druge vrste. Neke vrednosti su date u tabeli. k= k n 2 3 4 5 6 7 2 3 3 4 7 6 5 5 25 0 6 3 90 65 5 7 63 30 350 40 2 Analogno definišemo f (0) (x) = f (n) (x) = f(x)f(x )f(x 2)... f(x n + ) f ( n) (x) = f (n) (x + n) Osnove osobine su (f(x)g(x)) (n) = f(x) (n) g(x) (n) (f (m) ) (n) = (f (n) ) (m) f (m+n) (x) = f (m) (x)f (n) (x m) Gama funkcija Važi da je x (x) = x(x ) (x ). Kako za Gama funkciju, koja je definisana sa Γ(x) = važi Γ(x + ) = xγ(x), imamo da je 0 e t t x dt, Γ(x + ) = x (x), x N. Dakle x (n) = Γ(x + ) Γ(x + n). 33