PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati da vas naučimo kako se konkretno traže parcijalni ivodi... Najpre par reči o obeležavanjima: najčešće se u adacima adaje funkcija (, ), pa je: onaka a parcijalni ivod po -su onaka a parcijalni ivod po onaka a dupli parcijalni ivod po -su, a računa se onaka a dupli parcijalni ivod po, a računa se i su mešoviti dupli parcijalni ivodi a traže se i Ovde je najvažnije apamtiti sledeću stvar: Kad tražimo parcijalni ivod po -su tada tretiramo kao konstantu ( broj) Kad tražimo parcijalni ivod po tada tretiramo kao konstantu ( broj) primer 1. Odrediti prve parcijalne ivode a funkciju + + Prvo tražimo parcijalni ivod po. Znači da je konstanta. + + Znamo da je ivod od konstante 0 kad nije veana a funkciju, pa je: 1
+ + + 0 + 0 Sad tražimo po : + + aokruženo su konstante, pa je ivod od njih 0. + + 0 + 0 + + primer. Odrediti prve parcijalne ivode a funkciju 6+ 5 + 7 1 6+ 5 + 7 1 + + + 6 1 0 7 0 9 6 7 Sad su konstante veane a funkciju, njih prepišemo a tražimo normalno ivod od funkcije po, recimo a konstanta je koje prepisujemo a ivod od Da nađemo prvi parcijalni ivod po : je. 6+ 5 + 7 1 + + + 1 6 1 10 0 1 6 10 1 Kad radimo po, sve što ima je konstanta, pa je tako recimo a ira konstanta koju prepisujemo a namo da je od ivod 1. www.matematiranje.com
primer. Odrediti prve parcijalne ivode a funkciju 7 + 7 + 1 7 1 + 7 ( ) 1 7 7 ( ) 1 + + primer 4. Nađi prve parcijalne ivode a funkciju u + ln( ) Paite, ovde imamo i ivod složene funkcije: u + ln( ) u 1 1 1 ( + )` (1 + 0) + + + po u 1 1 ( + )` (0 + ) + + + po primer 5. Nađi prve parcijalne ivode a funkciju 1 ovde radimo kao ln Θ ( )`Θ Θ 1 Za parcijalni ivod po radimo kao : ( a )` a ln a
primer 6. + Odrediti prve parcijalne ivode a funkciju + Ovde moramo raditi kao ivod količnika: + + ` ` ( + ) po ( + ) + ( + ) po ( + ) ( + ) 1 ( + ) + ( + ) + + + + + ( + ) ( + ) ( + ) ` ` ( + ) po ( + ) + ( + ) po ( + ) ( + ) 1 ( + ) + ( + ) + + + + + ( + ) ( + ) ( + ) primer 7. Odrediti prve parcijalne ivode a funkciju u + + ln( ) u + + ln( ) u 1 1 ( + + )` + + + + + + po u 1 1 ( + + )` + + + + + + po u 1 1 ( + + )` + + + + + + po www.matematiranje.com 4
primer 8. Odrediti prve parcijalne ivode a funkciju u u 1 ` 1 1 u 1 po 1 ` 1 u 1 po u ln primer 9. Odrediti?,?,?,? a funkciju 6+ 5 + 7 1 Naravno, najpre moramo naći prve parcijalne ivode: 6+ 5 + 7 1 6 1 + 0 + 7 0 9 6 + 7 + + + 1 6 1 10 0 1 6 10 1 Sad koristeći njih tražimo dalje: 5
9 6 + 7 + 6 10 1 (9 6+ 7) 18 + (9 6 7) 9 6 + ( 6 10 1) 9 6 ( 6+ 10 1) 10 primer 10. Odrediti?,?,?,? a funkciju e e e ( )` e e e po e ( )` e e e po ( e ) e e ( e ) 1 e + e e (1 + ) ( e ) 1 e + e e (1 + ) ( e ) e e www.matematiranje.com 6
primer 11. Pokaati da je 1 + ln ako je Kod ovog tipa adatka najpre nađemo parcijalne ivode koji se javljaju u adatku ( ovde na levoj strani jednakosti) Zamenimo ih i sredimo da dobijemo desnu stranu: 1 ln Sad prepišemo levu stranu i amenimo parcijalne ivode: 1 + ln 1 1 + ln + ln Dokaali smo traženu jednakost. primer 1. Pokaati da je + ϕ( ) ako je + ϕ( ) 1 + ϕ`( ) ( )`po 1 + ϕ`( ) 1 + ϕ`( ) 0 + ϕ`( ) ( )`po ϕ`( ) ϕ`( ) amenimo u levoj strani: 7
(1+ ϕ`( )) ϕ`( ) + ϕ`( ) ϕ`( ) Dobili smo desnu stranu jednakosti! primer 1. Pokaati da je 0 ako je ( ) ϕ + ϕ + ( ) ` 1 1 ϕ`( + ) ( + ) po ϕ`( + ) ( + )` po ϕ`( + ) + + ϕ`( + ) + ` 1 1 ϕ`( + ) ( + ) po ϕ`( + ) ( + )` po ϕ`( + ) + + ϕ`( + ) + ϕ`( + ) ϕ`( + ) + + ϕ `( ) + + ϕ `( ) + + 0 www.matematiranje.com 8
TOTALNI DIFERENCIJAL funkcije (, ) u onaci d se traži po formuli: d d+ d Dakle, nađemo parcijalne ivode i amenimo ih u formulu. primer 14. Naći totalni diferencijal sledećih funkcija: a) + b) u a) d d+ d d d d + b) u + u u u du d+ d+ d u 1 u ( ) ( + ) ( + ) ( + ) u 1 u ( ) ( + ) ( + ) ( + ) u 1 + 9
Sad ovo amenimo u formulu: u u u du d+ d+ d 1 du d d+ d ( + ) ( + ) + Ako u adacima traže totalni diferencijal višeg reda, onda radimo, na primer: Za u u(, ) je u u du d+ d a totalni diferencijali drugog i trećeg reda bi bili: u u u u u d u d d d dd d ( + ) + + u u u u u u d u d d d d d dd d ( + ) + + + primer 15. Ako je u + + nađi d u u + + u u 6+ 6 6 u u + 6 6+ 6 u u 6+ 6 u u u d u d dd d + + d u (6 6 ) d + ( 6+ 6 ) dd+ (6+ 6 ) d www.matematiranje.com 10
11