SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA POMAKA Osijek, 15.9.2011 Maksimović Vladimir

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZNANSTVENO PODRUČJE: TEHNIČKE ZNANOSTI ZNANSTVENO POLJE: GRAĐEVINARSTVO ZNANSTVENA GRANA: TEHNIČKA MEHANIKA TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA POMAKA PRISTUPNIK: MAKSIMOVIĆ VLADIMIR IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA POMAKA Osijek, 2011. Mentor Doc.dr.sc. ALEKSANDAR JURIĆ, dipl.ing.građ. Predsjednik Odbora za Završne i diplomske ispite: Prof.dr.sc. LIDIJA TADIĆ, dipl.ing.građ.

SADRŽAJ: 1. UNUTRAŠNJE SILE...1 1.1. Ravninski prikaz unutrašnjih sila- Konvekcija o predznacima...3 1.2. Diferencijalne i integralne veze kontinuiranog opterećenja poprečne sile i momenta savijanja u nekom presjeku...4 1.3. Zadatak...5 - izračun reakcija...6 - određivanje unutrašnjih sila s lijeva u presjeku n-n...7 - određivanje unutrašnjih sila s desna u presjeku n-n... 8 2. IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA U PRESJEKU n-n METODOM VIRTUALNOG RADA...9 2.1. Načelo virtualnog rada...10 2.2. Zadatak...11 - određivanje momenata u presjeku n-n metodom virtulanog rada...12 - određivanje poprečnih sila u presjeku n-n metodom virtualnog rada...14 - određivanje uzdužnih sila u presjeku n-n metodom virtualnog rada...16 3. DIJAGRAMI UNUTRAŠNJIH SILA...17 3.1. Zadatak...20 - izračun momenata i M dijagram...21 - izračun poprečnih sila i T dijagram...22 - izračun uzdužnih sila i N dijagram...23 4. IZRAČUN KUTINIH BRZINA...24 4.1. Kutne brzine...25 4.2. Zadatak...25 - grafički prikaz...25 - proračun...26 - literatura...27

1. UNUTRAŠNJE SILE Postupcima određivanja sila u osloncima i vezama, uslijed djelovanja aktivnog vanjskog opterećenja, dabivaju se sve vanjske sile koje djeluju na konstrukcijski sustay i njegove sastavne elemente. Iz grane mehanike, otpornosti materijala, paznato je da se unutrasnje sile u presijecima punih konstrukcija koriste za odredivanje elemenata tih konstrukcija. Temeljno nacela kojim se odreduju unutrasnje sile u presijeku kaze da su sile u presijeku u ravnotezi sa opterecenjem izabranog dijela presijecenog nosaca. Sile u presjeku izabranog dijela konstrukcije prikazuju djelovanje sila odsje6enog dijela konstrukcije. Sile presjeka su rasporedene po cijeloj povrsini presjeka,a njihovo djelovanje se uvijek može prikazati jednam silom ili jednim momentum kaji djeluju u nekoj točki presjeka.obično se bira to&a na presjeku koja je teziste presjeka. Djelovanje sile presijeka moze se prikazati dinamom sila na točku težišta presjeka. Poprecna sila T y u nekom presjeku nastoji presjeci presjek u smjeru osi y. Poprecna sila T z u nekom presjeku nastoji presjeci presjek u smjeru osi z. Uzduzna sila N x u nekom presjeku nastoji produziti presjek u smjeru osi x. Moment savijanja M y u nekom presjeku nastoji saviti pesjek oko osi y. Moment savijanja M Z u nekom presjeku nastoji saviti presjek oko asi z. Moment uvrtanja M x u nekom presjeku nastoji uvrnuti presjek oko osi x.

Slika. 1.1. Normalna ili uzdužna sila N u nekom presjeku jednaka je zbroju svih uzdužnih projekcija lijevo ili desno od presjeka. Poprečna ili transverzalna sila T u nekom presjeku jednaka je zbroju svih poprečnih projekcija lijevo ili desno od presjeka. Moment M u nekom presjeku jednak je zbroju svih momenata lijevo ili desno od presjeka. Unutrasnje sile u nekom presijeku moraju zadovoljiti uvijet ravnoteze sa svim silama lijevo ili desno od tog presijeka.

1.1. Ravninski prikaz unutrasnjih sila - konvencije o predznacima Za određivanje unutrašnjih sila nužno je usvojiti određene konvencije o predzacima, kako bi se bez moguće pogreške dobili stvarni predznaci izračunati unutrašnjih sila. Predznaci se usvajaju na slijedeći način: Ako se po konstrukcijskom element kreće s lijeve strane, odnosno, dio presječene konstrukcije ostaje s lijeve strane, crtež 1.2.a, tada se u presjeku pretpostavljaju: pozitivna uzdužna sila, negativna poprečna sila i pozitivni moment. Ako se po konstrukcijskom element kreće s desne strane, odnosno, dio presječene konstrukcije ostaje s desne strane, crtež1.2.b, tada se u presjeku pretpostavljaju: negativna uzdužna sila, pozitivna poprečna sila i negativni moment. Slika 1.2.

1.2. Diferencijalne i integralne veze kontinuiranog opterećenja poprečne sile i momenta savijanja u nekom presjeku Diferencijalnim i integralnim vezama kontinuiranog opterećenja, poprečne sile I momenta savijanja u nekom presjeku, definiran je nagib tangente na krivulju T-x u ovisnosti o vrijednosti q(x), te nagib tangent krivulje M-x u ovisnosti o vrijednosti Tx. T x i M x i obrnuto. U svakom presjeku na temelju vrijednosti q(x), moguće je odrediti vrijednosti Neka je jedan diferencijalno mali dio grede opterećen kontinuiranim opterećenjem I uravnotežen silama presjeka kao na crtežu 1.3. Slika 1.3.

1.3. ZADATAK

Izračun reakcija

Određivanje unutrašnjih sila s lijeva u presjeku n- n:

Određivanje unutrašnjih sila s desna u presjeku n-n:

2.IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA U PRESJEKU n-n METODOM VIRTUALNOG RADA Analiza gibanja i mirovanja načelom virtualnog rada glavni je predmet analitičke statike. Virtualni radovi predstavljaju temeljna načela mehanike i daju opći energetski kriterij ravnoteže mehaničkih sustava. Za većinu zadaća ravnoteže sila, metode koje se temelje na analizi radova često su pogodnije od metoda koje se temelje na jednadžbama ravnoteže. 2.1.Načelo virtualnog rada Elementarni rad sile i momenta u razmjeru je s elementarnim podacima ds i dφ. U slučaju ravnoteže nema gibanja pa su pomaci pretpostavljeni, zamišljeni, dakle x=0. Zamišljeni (virtualni) pomaci označavaju se varijacijama δx i δφ. Virtualni radovi sile i momenta nad virtualnim pomacima jednaki su: W F F s, M W M Ako je virtualni pomak neke točke M krutog tijela jednak δs M, onda su virtualni pomaci bilo koje točke i tog tijela jednaki δs i, odnosno vrijedi: s i sm si / M sm ri / M Virtualni rad sila i momenata nad virtualnim omakom δs i, koji djeluje na kruto tijelo, može se napisati kao: W i F i s i i F i ( s r ) / M M i

Kako su sve sile i moment koji djeluju na neko kruto tijelo ili statički sustav krutih tijela u ravnoteži, F i, i M M 0 dakle 0 nuli, odnosno može sezapisati uvjet ravnoteže konzervativnih sila:, tada su svi radovi nad virtualnim pomacima δs M i δφ jednaki W 0, A 0 To predstavlja temeljno načelo virtualnog rada za kruto tijelo u ravnoteži i glasi: Sile i momenti koji djeluju na kruto tijelo su u ravnoteži, ako je zbroj pripadnih virtualnih radova svihtih sila i momenata nad bilo kojim virtualnim pomacima jednak nuli.

2.2. ZADATAK Moment u presjeku n-n

Poprecna sila u presjeku n-n

Uzduzna sila u presjeku n-n

3.DIJAGRAMI UNUTRAŠNJIH SILA Dijagrami unutrašnjih sila rabe se pri dimenzioniranju nosača, kako bi se u svakom presjeku mogle znati vrijednosti pojedinih unutrašnjih sila. Kod crtanja dijagrama unutrašnjih sila potrebno je unutrašnje sile izračunati u karakterističnim presjecima, a to su: Mjesta djelovanja koncentriranih opterećenja Mjesta početaka i završetaka raspodijeljenih opterećenja Mjesta promjene položaja glavne osi nosača. Na mjestima djelovanja koncentriranih opterećenja potrebno je izračunati unutrašnju silu s lijeve i desne strane presjeka. To znači slijedeće: Ako na nekom mjestu djeluje koncentrirana poprečna sila, u tom presjeku potrebno je odrediti unutrašnje poprečne sile s obje strane tog presjeka. Ako na nekom mjestu djeluje koncentrirana uzdužna sila, u tom presjeku potrebno je odrediti unutrašnje uzdužne sile s obje strane tog presjeka. Ako na nekom mjestu djeluje koncentrirani moment savijanja, u tom presjeku potrebno je odrediti unutrašnje moment s obje strane tog presjeka. Iz diferencijalnih i integralnih veza mogu se izvesti određeni zaključci koji će biti od pomoći pri konstruiranju dijagrama unutrašnjih sila. ZAKLJUČCI: U dijelovima konstrukcije gdje je vrijednost kontinuiranog opterećenja q(x) jednaka nuli, vrijednost poprečne sile T x je konstantna. U dijelovima konstrukcije gdje je vrijednost poprečne sile T x jednaka nuli, vrijednost momenta savijanja M x je konstantna. Dijagram poprečne sile ima skok na mjestu gdje djeluje koncentrirana vertikalna sila. Dijagram momenta savijanja ima skok na mjestu gdje djeluje koncentirani moment savijanja.

Slika 1.4. Na dijelovima konstrukcije na kojima djeluju koncentrirane poprečne sile i moment, te raspodijeljena opterećenja, dijagrami unutrašnjih poprečnih sila i momenata imaju tijek kao što je prikazano primjerima na crtežu 1.4.

Slika 1.5 Za karakteristična opterećenja greda na kojima djeluju koncentrirane poprečne sile i raspodijeljena opterećenja, dijagrami unutrašnjih poprečnih sila i momenata imaju tijek kao što je prikazano primjerom na crtežu 1.5.

3.1. ZADATAK

Momentni dijagram

Dijagram poprečnih sila

Dijagram uzdužnih sila

4.IZRAČUN KUTNIH BRZINA Općenito se svako ravninsko gibanje tijela može prikazati kao sastavljeno, tj. zbroj gibanja jedne točke toga tijela i rotacije tijela oko nje. Zadatke je često jednostavnije riješiti grafički, tako da se brzine i ubrzanja nacrtaju u nekom mjerilu. Tada se ti crteži nazivaju planom brzina, odnosno ubrzanja. Pri tome je zadatke najbolje rješavati u nekoliko koraka: odrediti polove brzina svih tijela u mehanizmu nacrtati plan brzina izračunati kutne brzine svih tijela izračunati normalne komponente ubrzanja odrediti tangencijalne komponente ubrzanja (iz plana ubrzanja). 4.1. Kutna brzina Kutna brzina je brzina kružnog gibanja tijela oko neke fiksne točke. Dana je jednadžbom koja je analogna jednadžbi brzine kod gibanja tijela u prostoru. Dakle, tijelo rotira kutnom brzinom ω oko neke točke tako da se u vremenu dt otkloni za kut dφ oko te iste točke. Standardna mjerna jedinica za kutnu brzinu je radijan u sekundi (rad/s). Kutna brzina se može prikazati kao vektor (tzv. pseudovektor) tako da njegov vektorski umožak s radijus-vektorom točke u kružnom gibanju daje obodnu brzinu te točke:

4.2. ZADATAK

Literatura Dr.sc.-A. Jurić-Mehanika I (Statika) Dr.sc.-A. Jurić-Mehanika II (Kinematika i dinamika)