M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XII predavanje, 2017.

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XII predavanje, 2017. Mehaničke oscilacije Oscilacije neke fizičke veličine su periodične promene te veličine oko ravnotežne vrednosti. Posmatrajmo sistem sačinjen od lake opruge koeficijenta krutosti k i tela mase m, koje je postavljeno na idealno glatku podlogu, prikazan na slici 1. Telo se kreće translatorno, tako da je njegovo kretanje potpuno opisano Njutnovim zakonima, kao za materijalnu tačku. U pravcu x ose na telo deluje samo elastična sila opruge F el = kx i, gde x označava istezanje opruge, a istovremeno i koordinatu tela. Tačka x = 0, kada je opruga neistegnuta, predstavlja položaj stabilne ravnoteže. Telo koje miruje u x = 0 ostaće u ovom položaju. Ali ako se telo pomeri istezanjem ili sabijanjem opruge iz x = 0 ili ako u x = 0 ima brzinu v 0 0, ono će se kretati oscilatorno oko x = 0. Pri tome, elastična sila nastoji da telo vrati u stanju ravnoteže, pa se stoga naziva restituciona sila. Slika 1: Primer oscilatora. Funkcija potencijalne energije analiziranog tela je: E p (x) = 1 2 kx2 (1) i prikazana je na slici 2.Kao što je objašnjeno u poglavlju o stabilnosti kretanja, maksimalne vrednosti koordinate x su A i +A. Rastojanje tela od ravnotežnog položaja x naziva se elongacija, a maksimalna pozitivna vrednost elongacije x max = A je amplituda oscilacija. Slika 2: Zavisnost potencijalne energije oscilatora prikazanog na prethodnoj slici. Za velike vrednosti deformacije opruge elastična sile ne zavisi linearno od deformacije. Drugim rečima, E p je kvadratna funkcija elongacije samo za male vrednosti amplitude, odnosno male vrednosti ukupne mehaničke 1

energije tela. U ovom slučaju radi se o malim oscilacijama tela. U ovom poglavlju će isključivo biti reči o malim oscilacijama. Da bismo objasnili značenje pojma male oscilacije, razmotrimo potencijalnu energiju koja komplikovano zavisi od koordinate x, ali tako da ima minimum u x = 0, kao što je prikazano na slici 3. Za male vrednosti ukupne mehaničke energije (malo A), međutim, zavisnost E p (x) se može aproksimirati paraboličnom zavisnošću od x, tako što se E p (x) razvije u Meklorenov red: x=0 ( E p (x) = E p (0)+ ( ) dep x+ 1 dx x=0 2 ( ) d 2 E p dx 2 x 2 +... (2) x=0 Ako uzmemo u obzir da je: (1) referentna tačka za potencijal u x = 0, (2) funkcija E p (x) ima minimum u ( dep dx ) x=0 = 0) i (3) ako zanemarimo članove reda većeg od 2: E p (x) 1 2 kx2. (3) Slika 3: Funkciju potencijalne energije je za male vrednosti energije E moguće aproksimirati sa kx 2 /2. Elastična sila, čija je algebarska vrednost F el = de p /dx = kx, uvek je usmerena ka položaju stabilne ravnoteže. Njutnova jednačina kretanja je: mẍ = F el = kx, (4) odnosno: ẍ+ω 2 x = 0. (5) Ovde je ω = k/m. (6) Ova diferencijalna jednačina se rešava tako što se pretpostavi rešenje oblikax(t) = Ce pt, C = const, što, zamenom u diferencijalnu jednačinu (5), daje: C(p 2 e pt +ω 2 e pt ) = 0. (7) Da bi ova jednačina važila u bilo kom vremenskom trenutku, mora biti ispunjeno: p 2 +ω 2 = 0. (8) 2

Ova jednačina se u teoriji diferencijalnih jednačina naziva karakteristična jednačina (koja odgovara diferencijalnoj jednačini (5)) i ima dva korena: p 1,2 = ±iω. (9) Prema tome, diferencijalna jednačina ima dva fundamentalna rešenja x 1 (t) = e iωt i x 2 (t) = e iωt. Opšte rešenje diferencijalne jednačine je linearna kombinacija fundamentalnih rešenja: x(t) = C 1 e iωt +C 2 e iωt, (10) gde su C 1 i C 2 konstante koje su u opštem slučaju kompleksni brojevi, a njihove vrednosti mogu se dobiti na osnovu početnih uslova. Ako iskoristimo e iz = cosz +isinz (z je proizvoljan broj), dobija se: x(t) = K 1 cosωt+k 2 sinωt, (11) gde su K 1 = C 1 +C 2 i K 2 = i(c 1 C 2 ). Konstante K 1 i K 2 moraju biti realni brojevi, jer je elongacija x realna fizička veličina, a argumenti cos i sin su realne promenljive. Upravo izvedena parametarska jednačina kretanja može se pisati u pogodnijem obliku: x(t) = Asin(ωt+ϕ 0 ). (12) Ako su poznati K 1 i K 2, vrednosti A i ϕ 0 se mogu odrediti na osnovu Asinϕ 0 = K 1 i Acosϕ 0 = K 2 : A = K 2 1 +K2 2, (13) ϕ 0 = arctg K 1 K 2. (14) Svaki sistem kod koga se vremenska promena neke fizičke veličine izražava funkcijom (12) naziva se linearni harmonijski oscilator (LHO). Oscilator je linearan jer je komponenta rezultantne eksterne sile u pravcu kretanja linearna funkcija koordinate, ili, ekvivalentno, jer je diferencijalna jednačina kretanja linearna. 1 Diferencijalna jednačina LHO (5) je homogena, jer svi članovi sadrže nepoznatu funkciju i njene izvode. Oscilacije opisane funkcijom (12) su proste, jer je A = const i harmonijske, jer se promena elongacije u funkciji vremena izražava harmonijskom funkcijom. Veličine kojima se karakteriše LHO su: x-elongacija; A-amplituda oscilacija; ω-kružna učestanost (frekvencija) oscilacija; ϕ 0 -početna faza; ωt+ϕ 0 -faza. Jedinica za kružnu učestanost oscilacija je rad/s: [ω] = rad s. (15) 1 Linearne diferencijalne jednačine sadrže nepoznatu funkciju i sve izvode te funkcije na prvi stepen. 3

Pored navedenih veličina, LHO se karakteriše i periodom oscilovanja: T = 2π ω. (16) T je vreme za koje se obavi jedna puna oscilacija, pri čemu sistem dva puta prođe kroz ravnotežni položaj, obe amplitudne tačke i vrati se u prvobitni pložaj. Za vreme T faza oscilacija se promeni za 2π rad. Recipročna vrednost T je učestanost (frekvencija) oscilacija: f = 1 T = ω 2π. (17) Jedinica za frekvenciju je herc: [f] = Hz = 1 s. (18) Tipičan izgled zavisnosti x(t) je prikazan na slici 4. Slika 4: Zavisnost elongacije x od vremena. T označava period oscilacija. Na osnovu funkcije x(t) može se odrediti zavisnost algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine od vremena: ( v(t) = ẋ = Aωcos(ωt+ϕ 0 ) = v max sin ωt+ϕ 0 + π ), (19) 2 gde je v max = ωa (20) maksimalna vrednost intenziteta vektora brzine. Uočimo da brzina fazno prednjači elongaciji za π/2 rad. Slično se mož odrediti zavisnost algebarske vrednosti intenziteta ubrzanja od vremena: a(t) = ẍ = Aω 2 sin(ωt+ϕ 0 ) = a max sin(ωt+ϕ 0 +π), (21) gde je a max = ω 2 A (22) maksimalna vrednost intenziteta ubrzanja. a(t) fazno prednjači elongaciji za π rad. Slično je elastična sila: F(x) = kx = ma = F max sin(ωt+ϕ 0 +π), (23) 4

gde je F max maksimalna vrednost (intenziteta) sile: F max = mω 2 A = ka. (24) Zavisnost kinetičke energija oscilatora od vremena je: E k = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 A 2 cos 2 (ωt+ϕ 0 ), (25) dok je zavisnost potencijalne energije od t: E p (x) = 1 2 kx2 = 1 2 mω2 x 2 = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt+ϕ 0 ). (26) Ukupna mehanička energija je: E k +E p = 1 2 mω2 A 2 = E = const. (27) Odavde se lako može odrediti zavisnost brzine oscilatora od elongacije: mv 2 + kx2 2 2 = E = mω2 A 2. (28) 2 Koristeći k = mω 2 : v 2 = ω 2 A 2 ω 2 x 2. (29) Prema tome, intenzitet brzine je: v = ω A 2 x 2. (30) 1 Primeri LHO 1. Teg obešen o oprugu: Posmatrajmo teg obešen o elastičnu oprugu zanemarljivo male mase u gravitacionom polju Zemlje (videti sliku 5). Najpre se opruga istegne za y = mg/k. Ako je brzina tela u ovom položaju jednaka nuli, telo ostaje u stanju mirovanja (položaj stabilne ravnoteže), jer je rezultantna sila na telo jednaka nuli: k y mg = 0. (31) Ako se zatim opruga istegne, telo se kreće oscilatorno oko ravnotežnog oložaja. Ako sa y označimo rastojanje od položaja stabilne ravnoteže, algebarska vrednost rezultantne spoljašnje sile na telo je: Jednačina kretanja je, dakle: F (ext) rez = mg F el = mg k( y +y) = mg k y ky. (32) }{{} 0 ÿ + k y = 0. (33) m Ova jednačina ima oblik diferencijalne jednačine LHO. Iz nje se dobija kružna učestanost oscilacija: k ω = m, (34) a period oscilovanja je: m T = 2π k. (35) 5

Slika 5: Primer oscilatora: malo telo obešeno o vertikalno postavljenu oprugu. 2. Matematičko klatno: Posmatrajmo malo telo (materijalnu tačku) mase m obešeno o neistegljiv konac zanemarljive mase i dužine l (videti sliku 6). Telo se nalazi u položaju stabilne ravnoteže ako je postavljeno vertikalno ispod tačke vešanja. Tada je sila zatezanja konca T = mg. Ukoliko se telo otkloni iz položaja ravnoteže tako što se zarotira za ugao θ 0, a zatim pusti, doći ce do oscilacija oko položaja stabilne ravnoteže. S obzirom da se telo kreće po delu kružnice, kretanje tela se određuje pomoću momentne jednačine. Primetimo da bi moment rezultantne sile koji bi uzrokovao porast ugla θ imao smer z ose. S obzirom da je sila zatezanja T postavljena duž konca, samo je moment sile Zemljine teže različit od nule i usmeren je suprotno od z ose. Algebarska vrednost ovog momenta je, prema tome: M Oz = mglsinθ. (36) Jednačina za z projekciju momenta ima formu: I z α = I θ = M 0z = mglsinθ, (37) gde je I z moment inercije tela u odnosu na z osu: I z = ml 2. (38) Ova jednačina je nelinearna diferencijalna jednačina i ima komplikovano rešenje. Međutim, za male vrednosti ugla θ (θ 1 rad): sinθ θ. (39) 6

Slika 6: Matematičko klatno. Momentna jednačina postaje: Dakle: odnosno: Kružna učestanost oscilacija je: a period: I z θ = mglθ. (40) ml 2 θ+mglθ = 0, (41) θ + g θ = 0. (42) l ω = g l, (43) l T = 2π g. (44) 3. Fizičko klatno: Posmatrajmo kruto telo koje osciluje oko osovine čiji se pravac poklapa sa osom z. Osa z prolazi kroz tačku O koja se nalazi u xy ravni u kojo je centar mase (videti sliku 7). Trenje u osovini i otporna sila sredine na telo se zanemaruju. Momentna jednačina za momentnu tačku O je: Iα = I θ = M 0z = mgssinθ, (45) gde je I moment inercije tela u odnosu na osu z (I I z ), a s je rastojanje centra mase od tačke vešanja (s = r CM ). Ovde smo uzeli u obzir činjenicu da je moment sile reakcije osovine N jednak nuli. Slično kao kod 7

Slika 7: Primer oscilatora: fizičko klatno. matematičkog klatna, za θ 1 rad, sinθ θ, tako da jednačina kretanja ima oblik: I θ+mgsθ = 0, (46) odnosno: Odavde se lako dobije: a period oscilacija: θ + mgs θ = 0. (47) I mgs ω =, (48) I I T = 2π mgs. (49) Treba primetiti da je matematičko klatno specijalan slučaj fizičkog klatna. Naime, moment inercije matematičkog klatna je I = ml 2, a s = l, tako da je: 4. Oscilator sa dve paralelno vezane opruge: ml T = 2π 2 mgl = 2π l g. (50) Posmatrajmo oscilator sa dve paralelno vezane opruge krutosti k 1 i k 2 i telom mase m koje se kreće po glatkoj podlozi, kao što je prikazano na slici 8. U položaju stabilne ravnoteže x = 0 opruge su neistegnute. Ako se sistem izvede iz razvnoteže, telo će oscilovati. Pri tome na telo deluju elastične sile dve opruge, F el1 i F el2, čije su algebarske vrednosti: F el1 = k 1 x, (51) 8

Slika 8: Oscilator sa dve paralelno vezane opruge: (a) nenapregnute opruge, (b) napregnute opruge, (c) sistem opruga zamenjen jednom oprugom krutosti k ekv. F el2 = k 2 x, (52) kako je prikazano na slici 8(b). Sistem od dve opruge može se ekvivalentirati jednom oprugom koeficijenta krutosti k ekv. Pri tome se nameću uslovi: (1) da ista sila deluje na telo u sistemima sa jednom i dve opruge i (2) da je elongacija tela ista u sistemima sa jednom i dve opruge. Prema tome, u sistemu sa oprugom koeficijenta krutosti k ekv algebarska vrednost intenziteta sile je: F el = k ekv x = F el1 +F el2 = (k 1 +k 2 )x. (53) Ekvivalentni koeficijent krutosti sistema dve paralelno vezane opruge je: k ekv = k 1 +k 2. (54) Koristeći ranije izvedeni rezultat za kružnu učestanost oscilovanja sistema sa jednom oprugom (ω = k/m), kružna učestanost oscilovanja tela koje je zakačeno za dve opruge je: k1 +k 2 ω = m. (55) Jednostavnim uopštavanjem može se pokazati da je ekvivalentna kapacitivnost sistema od n paralelno vezanih opruga: k ekv = n k i, (56) što je po obliku slično izrazu za ekvivalentnu kapacitivnost n paralelno vezanih kondenzatora. i=1 9

5. Oscilator sa dve redno vezane opruge: Slika 9: Oscilator sa dve redno vezane opruge: (a) nenapregnute opruge, (b) napregnute opruge, (c) sistem opruga zamenjen jednom oprugom krutosti k ekv. Posmatrajmo sada oscilator sa dve redno vezane opruge krutosti k 1 i k 2 za koje je vezano telo mase m koje se kreće po idealno glatkoj podlozi, kao na slici 9. Kao u slučaju dve paralelno vezane opruge pretpostavljamo da je telo u položaju stabilne ravnoteže kada su opruge nenapregnute (x = 0). Pretpostavimo zatim da se opruge istegnu (deo (b) prikazane slike). Obe opruge su lake (zanemarljive mase), tako da je elastična sila kojom telo deluje na drugu oprugu kutosti k 2 jednaka (vektorski) sili kojom druga opruga deluje na prvu oprugu krutosti k 1 : F el F el2 = F el1. (57) Pri tome se prva opruga istegne za x 1, a duga opruga za x 2, tako da je ukupno istezanje opruga x jednako x = x 1 +x 2. (58) Zamenimo sistem opruga jednom oprugom krutosti k ekv pod istim uslovima kao za sistem dve paralelno vezane opruge, tako da važi x = F el /k ekv. Prema tome, F el k ekv = F el k 1 + F el k 2. (59) Odavde sledi izraz za ekvivalentnu krutost sistema dve paralelno vezane opruge: k ekv = k 1k 2 k 1 +k 2. (60) 10

Kružna učestanost oscilovanja tela koje je zakačeno za sistem od dve redno vezane opruge je, prema tome: k 1 k 2 ω = m(k 1 +k 2 ). (61) Uopštavanjem bi se jednostavno dobio izraz za recipročnu vrednost ekvivalentne krutosti sistema od n redno vezanih opruga: 1 k ekv = n i=1 1 k i. (62) Ova formula je po obliku slična formuli za ekvivalentnu krustost sistema redno vezanih kondenzatora. 2 Prigušene oscilacije Slika 10: Primer sistema u kome su oscilacije prigušene. Ako se amplituda oscilacija smanjuje u toku vremena, te oscilacije se nazivaju prigušene ili amortizovane. Posmatrajmo sistem prikazan na slici 10 koji se sastoji od opruge krutosti k i tela mase m. Sredina u kojoj se kreće telo deluje na telo otpornom silom F ot. S obzirom da je otporna sila sredine disipativna, mehanična energija tela se smanjuje. Pored otporne sile, u pravcu u kome se telo kreće (x pravac), na telo deluje elastična sila opruge F el. Za male vrednosti brzine tela, otporna sila sredine je proporcionalna algebarskoj vrednosti brzine, tj. algebarska vrednost otporne sile je F ot = bv = bẋ, b = const. Njutnova jednačina kretanja tela za kretanje duž x ose je: mẍ = i F i = kx bẋ, (63) odnosno: Ako podelimo ovu jednačinu sa m: gde su: i mẍ+bẋ+kx = 0. (64) ẍ+2αẋ+ω 2 0x = 0, (65) α = b 2m ω 2 0 = k m. α se naziva koeficijent prigušenja ili koeficijent amortizovanja oscilacija, a ω 0 je sopstvena kružna učestanost oscilacija. Sopstvena kružna učestanost oscilacija je zapravo kružna učestanost prostih (neprigušenih) oscilacija, 11

koju smo ranije označavali sa ω. Slično kao kod prostih oscilacija, fundamentalna rešenja imaju oblik x = e pt. Zamenom ove funkcije u jednačinu (65) lako se dobije karakteristična jednačina: p 2 +2αp+ω 2 0 = 0. (66) Koreni ove jednačine su: p 1,2 = α± α 2 ω0 2. (67) U zavisnosti od međusobnog odnosa α i ω 0 mogu se razlikovati 3 slučaja. I α > ω 0 U ovom slučaju koreni karakteristične jednačine su realni i različiti: p 1 = (α α 2 ω0 2) = p 1 < 0, (68) Opšte rešenje je linearna kombinacija fundamentalnih rešenja: p 2 = (α+ α 2 ω0 2) = p 2 < 0. (69) x(t) = C 1 e p1 t +C 2 e p2 t, (70) gde vrednosti koeficijenata C 1 i C 2 zavise od početnih uslova. Kretanje opisano poslednjom funkcijom naziva se aperiodično (preamortizovano) kretanje. II α = ω 0 U ovom slučaju su koreni karakteristične jednačine jednaki: p 1 = p 2 = α. (71) Može se pokazati da su u ovom slučaju e αt i te αt fundamentalna rešenja. Prema tome, opšte rešenje je: x(t) = (C 1 +C 2 t)e αt. (72) Kretanje opisano ovom jednačinom naziva se kritično aperiodično kretanje ili kritično amortizovano kretanje. Aperiodično i kritično periodično kretanje su ilustrovani na slici 11. III α < ω 0 Ako je α < ω 0, tada su koreni karakteristične jednačine kompleksni: p 1,2 = α±iω 1, (73) gde je ω 1 = ω 2 0 α2. (74) Opšte rešenje Njutnove jednačine je: x(t) = C 1 e αt e iω1t +C 2 e αt e iω1t = e αt (C 1 e iω1t +C 2 e iω1t ). (75) 12

Slika 11: Parametarska jednačina kretanja x(t) u slučaju aperiodičnog i kritičnog aperiodičnog kretanja. Slika 12: Kvaziperiodično kretanje. 13

Slično kao kod prostih oscilacija: C 1 e iω1t +C 2 e iω1t = A 0 sin(ω 1 t+ϕ 0 ). (76) Dakle, Ovakvo kretanje je oscilatorno sa vremenski zavisnom amplitudom A(t): gde je: x(t) = A 0 e αt sin(ω 1 t+ϕ 0 ). (77) x(t) = A(t)sin(ω 1 t+ϕ 0 ), (78) A(t) = A 0 e αt > 0. (79) A 0 je vrednost vremenski zavisne amplitude u t = 0. Tipična zavisnost x(t) je prikazana na slici 12 zajedno sa funkcijama A(t) i A(t) koje su zajedno anvelopa x(t). Ovakvo kretanje se naziva kvaziperiodično (podamortizovano) kretanje. Ovde je ω 1 kružna učestanost prigušenih oscilacija, a period (zapravo kvaziperiod, jer se ne radi o periodičnom kretanju) ovih oscilacija je: 2.1 Određivanje A 0 i ϕ 0 na osnovu početnih uslova T = 2π 2π = (80) ω 1 ω 2 0 α2. Amplituda prigušenih oscilacija A 0 i početna faza ϕ 0 mogu se odrediti ako su poznati položaj tela u početnom trenutku x 0 = x(t = 0) i algebarska vrednost intenziteta brzine v 0 = v(t = 0). Naime, na osnovu direktno sledi: Početna brzina je: Koristeći sledi: i x(t) = A 0 e αt sin(ω 1 t+ϕ 0 ), (81) v(t) = ẋ = αa 0 e αt sin(ω 1 t+ϕ 0 )+A 0 e αt ω 1 cos(ω 1 t+ϕ 0 ). (82) Ako se poslednje dve jednačine kvadriraju i saberu: Odavde sledi amplituda u početnom trenutku: v 0 = ẋ(0) = αa 0 sinϕ 0 +ω 1 A 0 cosϕ 0. (83) x 0 = x(t = 0) = A 0 sinϕ 0, (84) sinϕ 0 = x 0 A 0 (85) cosϕ 0 = 1 ω 1 A 0 (v 0 +αa 0 sinϕ 0 ) = v 0 +αx 0 ω 1 A 0. (86) sin 2 ϕ 0 +cos 2 ϕ 0 = x2 0 A 2 + (v 0 +αx 0 ) 2 0 ω1 2 = 1. (87) A2 0 A 0 = x 2 0 + ( v0 +αx 0 ω 2 1 ). (88) 14

Deljenjem jednačine (85) sa (86) dobija se izraz za tangens početne faze: tgϕ 0 = 2.2 Parametri prigušenih oscilacija x 0 A 0 v 0+αx 0 ω 1A 0 = ω 1x 0 v 0 +αx 0. (89) Postoji nekoliko parametara koji se koriste za opis kvaziperiodičnog prigušenog kretanja. 1. Dekrement prigušenja Dekrement prigušenja je odnos amplitude i-te i i+1 oscilacije, odnosno: β = A(t) A(t+T) = eαt, (90) gde je korišćen izraz za vremenski zavisnu amplitudu prigušenih oscilacija A(t) = A 0 e αt. 2. Logaritamski dekrement prigušenja Logaritamski dekrement prigušenja se definiše kao: 3. Faktor dobrote oscilatora Λ = lnβ = ln A(t) = αt. (91) A(t+T) Faktor dobrote oscilatora je odnos mehaničke energije oscilatora na početku i-te oscilacije i gubitka mehaničke energije tokom i-te oscilacije: E i E(t) Q = 2π = 2π E i E i+1 E(t) E(t+T). (92) Ako se desna strana pomnoži i podeli periodom oscilacija T, faktor dobrote oscilatora je: Ovde je E/T srednja snaga gubitaka u i-toj oscilaciji, Faktor dobrote je dat izrazom: Q = ω 1 E(t) E/T. (93) P gi = E T = E i E i+1. (94) T Q = ω 1 E i P gi. (95) Ako su oscilacije proste (kada nema prigušenja), tada Q. Na osnovu zavisnosti elongacije od vremena x(t) (77) i v(t) = ẋ(t) moguće je u opštem slučaju izvesti komplikovani izraz za faktor dobrote prigušenih oscilacija. Jednostavan slučaj za analizu je α ω 0, kada: v(t) = ẋ = A 0 e αt [ αsin(ω 1 t+ϕ 0 )+ω 1 cos(ω 1 t+ϕ 0 )] A 0 e αt ω 1 cos(ω 1 t+ϕ 0 ), (96) gde je uzeto ω 1 ω 0 za α ω 0. Odavde se lako dobije izraz za kinetičku energiju oscilatora: E k (t) = 1 2 mv2 1 2 mω2 0A 2 0e 2αt cos 2 (ω 0 t+ϕ 0 ), (97) 15

dok je izraz za potencijalnu energiju oscilatora: Prema tome, ukupna energija je: E p (t) = 1 2 kx2 = 1 2 mω2 0e 2αt sin 2 (ω 0 t+ϕ 0 ). (98) E(t) = E k (t)+e p (t) = 1 2 mω2 0A 2 0E 2αt. (99) Ako je prigušenje oscilacija slabo, mehanička energija oscilatora opada, dakle, eksponencijalno sa vremenskom konstantom τ E = (2α) 1. U vremenskom trenutku t+t: Faktor dobrote je: E(t+T) = 1 2 mω2 0 A2 0 E 2α(t+T). (100) Q = 2π 1 2 mω2 0 A2 0 e 2αt 1 2 mω2 0 A2 0 /2e 2αt (1 e 2αT ). (101) Za male vrednost argumenta funkcija e u može se približno predstaviti razvojem u Meklorenov red do prvog stepena po u: Dakle, e u 1 u. (102) 1 Q = 2π 1 e 2αT 2π 1 1 (1 2αT) = π αt. (103) Koristeći Λ = αt i ω 1 ω 0 = 2π/T, faktor dobrote za α ω 0 je: 3 Prinudne oscilacije Q = ω 0 2α = π Λ = π αt. (104) Posmatrajmo oscilator prikazan na slici 13. Opruga je vezana za kotur koji se okreće ugaonom brzinom ω i za koji je vezana opruga u tački van centra. Masa opruge je zanemarljivo mala, tako da je rezultantna sila na oprugu jednaka nuli. Odavde se može zaključiti da je sila kojom kotur deluje na oprugu jednaka sili kojom opruga deluje na telo mase m. Slika 13: Oscilator na koji deluje pogonska sila intenziteta F p. Na telo deluju: elastična sila opruge F el = kx i; 16

otporna sila sredine, suprotno usmerena od vektora brzine F ot = b v = bv i; b je konstanta proporcionalnosti (koeficijent otporne sile), a v algebarska vrednost intenzitet brzine tela; prostoperiodična pogonska sila (pobuda) F p = F 0 cos(ωt) i, gde je ω kružna učestanost prostoperiodične pobude, a radi jednostavnosti pretpostavljeno je da je početna faza pobude jednaka nuli. ϕ 0 = 0. Njuntova jednačina za kretanje tela duž x pravca je: mẍ = βv kx+f 0 cosωt, (105) odnosno: ẍ+2αẋ+ω 2 0 x = f 0cosωt, (106) gde je f 0 = F 0 /m amplituda pogonske sile po jedinici mase. Poslednja jednačina je nehomogena diferencijalna jednačina, jer je jedan od sabiraka poznata funkcija f 0 cosωt (u homogenoj diferencijalnoj jednačini svi članovi sadrže nepoznatu funkciju). Opšte rešenje nehomogene diferencijalne jednačine jednako je zbiru opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine i partikularnog rešenja nehomogene jednačine: x(t) = x h (t)+x p (t). (107) Partikularno rešenje ne zavisi od opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine i do njegovog oblika se dolazi na poseban načina za datu poznatu funkciju. Pretpostavimo da je kretanje započeto u vremenskom trenutku t 0 = nt, gde je T = 2π/ω, a n N. Za posmatranu diferencijalnu jednačinu partikularno rešenje je: x p (t) = acos(ω(t+t 0 ) ϕ), (108) gde je ϕ početna faza ove komponente rešenja. Opšte rešenje homogene jednačine dobijeno je u prethodnom poglavlju: x h (t) = A 0 e α(t+t0) sin(ω 1 (t+t 0 )+ϕ 0 ). (109) Ako je t 0 α 1, tada je x h (t = 0) x p (t = 0), tako da je za t > 0 elongacija: x(t) = x h (t) = acos(ωt ϕ). (110) Zamena ovog rešenja u diferencijalnu jednačinu (106) daje kao rezultat zavisnost amplitude i faze od kružne učestanosti pobude, a(ω) i ϕ(ω). Da bismo našli ove zavisnosti, zamenimo oblike x(t), ẋ(t) i ẍ(t), x(t) = acos(ωt ϕ) = acosϕcosωt+asinϕsinωt, (111) ẋ(t) = ωasin(ωt ϕ) = ωasinϕcosωt ωacosϕsinωt (112) i ẍ(t) = ω 2 acos(ωt ϕ) = ω 2 acosϕcosωt ω 2 asinϕsinωt (113) u polaznu diferencijalnu jednačinu. Ukoliko se posebno grupišu članovi koji sadrže cosωt i sinωt, sledi: [a(ω 2 0 ω 2 )cosϕ+2aαωsinϕ f 0 ]cosωt +[ a(ω 2 0 ω2 )sinϕ+2aαωcosϕ]sinωt = 0. (114) 17

Ova jednakost mora biti ispunjena u svakom trenutku, odakle se lako zaključi da su faktori koji množe cosωt i sin ωt jednaki nuli: Na osnovu druge jednačine ovog sistema sledi: a(ω 2 0 ω2 )cosϕ+2aαωsinϕ = f 0, (115) a(ω 2 0 ω2 )sinϕ+2aαωcosϕ = 0 (116) ( ) 2αω ϕ(ω) = arctg ω0 2. (117) ω2 Ova funkcija predstavlja zavisnost amplitude od kružne učestanosti pobude i naziva se fazno-frekventna karakteristika oscilatora (videti sliku 15.23 u P. Marinković, Fizika 1: skripta, 2017.). Kvadrati jednačina (115) i (116) su: a 2 (ω 2 0 ω 2 )cos 2 ϕ+4a 2 (ω 2 0 ω 2 )αωcosϕsinϕ+4a 2 α 2 ω 2 sin 2 ϕ = f 2 0, (118) a 2 (ω 2 0 ω2 )sin 2 ϕ 4a 2 (ω 2 0 ω2 )αωcosϕsinϕ+4a 2 α 2 ω 2 cos 2 ϕ = 0, (119) respektivno. Sabiranjem dve poslednje jednačine lako se dobije: a(ω) = f 0 (ω0 ω) 2 +4α 2 ω 2. (120) Ova funkcija predstavlja zavisnost amplitude od kružne učestanosti pobude i naziva amplitudsko-frekventna karakteristika oscilatora (videti sliku 15.22 u P. Marinković, Fizika 1: skripta, 2017.). Za pobudu koja je konstantna u funkciji vremena, ω = 0, tako da je: a(ω = 0) = a 0 = f 0 ω 2 0 (121) i ϕ(ω = 0) = ϕ 0 = 0. (122) Treba uočiti da ove vrednosti ne zavise od ω 0 i α. a(ω 0 ) je pomeraj tela pod dejstvom konstantne sile. a 0 ćemo zvati stacionarna amplituda. Za α = 0: a(ω) = f 0 (123) (ω0 ω) 2, tako da se lako uoči da je za ω = ω 0, a(ω 0 ). Zapravo je prava linija ω = ω 0 vertikalna asimptota u zavisnosti a(ω) za α = 0. Ako je α 0, amplituda prinudnih oscilacija ima konačnu maksimalnu vrednost a max. Ako je a = a max, kažemo da je oscilator u rezonanciji sa pobudom, a kružna učestanost pobude pri kojoj se dešava rezonancija naziva se rezonantna kružna učestanost ω rez. Rezonantna kružna učestanost se može jednostavno odrediti na osnovu uslova: du dω = 0, (124) ω=ωrez gde je: 2(ω 2 0 ω 2 )( 2ω)+4α 2 (2ω) = 0. (125) 18

Ova jednačina ima tri rešenja, ω 1 = 0 i ω 2,3 = ± ω 2 0 2α2. Može se pokazat da je prvo rešenje ω = ω 1 vrednost za koju funkcija u(ω) ima maksimalnu vrednost, dok je treće rešenje ω = ω 2 0 2α2 nefizičko. Dakle, rezonantna kružna učestanost data je izrazom: ω rez = ω0 2 2α2. (126) Može se pokazato da d 2 u/dω 2 ω=ωrez > 0, što znači da funkcija a(ω) ima maksimum u ω = ω rez. Takođe, lako se uoči da sa rastom α, ω rez opada i da za α > α kr = ω 0 / 2 funkcija a(ω) nema maksimum, već monotono opada sa rastom ω. Minimalna vrednost u je: tako da je rezonantna amplituda: a rez raste sa smanjenjem α i a rez za α = 0. u min = u(ω rez ) = (ω 2 0 ω2 rez )+4α2 ω 2 rez = 4α2 (ω 2 0 α2 ), (127) Za slabo prigušenje (α ω 0 ), rezonantna amplituda je: f 0 a(ω rez ) = a rez = 2α. (128) ω0 2 α2 a ranije smo pokazali da je: a rez f 0 2αω 0, (129) a 0 = f 0 /ω 2 0. (130) Kada ω, sve zavisnosti prikazane na slici teže nuli, jer se sila menja tako brzo da sistem ne stiže da se pomeri iz položaja ravnoteže. Za slabo prigušenje (α ω 0 ), odnos a rez i a 0 je: a rez a 0 Raznije smo izveli izraz za faktor dobrote oscilatora Q za slučaj slabog prigušenja: f 0 2α ω 0 f 0 = ω 0 2α. (131) ω0 2 Q = ω 0 2α. (132) Dakle, ako je prigušenje slabo, faktor dobrote oscilatora jednak je odnosu rezonantne i stacionarne amplitude: Q = a rez a 0. (133) Prema izrazu 117, sve funkcije ϕ(ω) za različite vrednosti α prolaze kroz dve tačke, (ω = 0,ϕ = 0) i (ω = ω 0,ϕ = π/2). Prema tome, fazno kašnjenje jednako je π/2 ako je kružna učestanost pobude jednaka sopstvenoj kružnoj učestanosti oscilatora. Za α = 0, kriva ϕ(ω) je stepenasta: 0, ω < ω 0 ϕ(ω) = π 2, ω = ω 0 π, ω > ω 0. Za α > 0, ω rez < ω 0, što znači da je fazno kašnjenje manje od π/2. Na kraju spomenimo da prinudne oscilacije imaju tehnološki značaj. Na primer, sopstvena učestanost oscilovanja krila aviona mora biti različita od učestanosti vibracija motora. Dobro je poznato da marševski korak čete vojnika po mostu može da dovede do rušenja mosta. (134) 19

4 Izbijanje oscilacija Rezultat slaganja dve oscilacije različitih kružnih učestanosti, x 1 (t) = Asin(ω 1 t+ϕ 1 ) (135) i je: gde su: i respektivno. x 2 (t) = Asin(ω 2 t+ϕ 2 ) (136) x t (t) = x 1 (t)+x 2 (t) = 2Acos(ω t+ϕ )sin(ω + t+ϕ + ), (137) ω ± = ω 1 ±ω 2 2 (138) ϕ ± = ϕ 1 ±ϕ 2, (139) 2 Ako je ω 1 ω 2, zavisnost rezultujuće elongacije od vremena je harmonijska funkcija kružne učestanosti ω + i promenljive amplitude koja se menja harmonijski između 0 i 2A (videti sliku 15.12, P. Marinković, Fizika 1 - skripta, 2017.) Period izbijanja je: Frekvencija izbijanja je: T izb = π ω = 2π ω 1 ω 2. (140) f izb = ω 1 ω 2 2π = f 1 f 2. (141) 20